f(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) x 2 f(x 1,x 2,...,x n ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n ) f 1 (x 1 ) = 1 6, ÙÒ x 1 S 1 f 2 (x 2 ) = = 2 x 2

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "f(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) x 2 f(x 1,x 2,...,x n ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n ) f 1 (x 1 ) = 1 6, ÙÒ x 1 S 1 f 2 (x 2 ) = = 2 x 2"

Transkriptio

1 Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ Ø Ý Ø ØÝØ ÙÑ Ø º º º º º º º ½ º½º à ÙÐÓØØ Ò Ò ÖÒÓÙÐÐ Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º ½ º½º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÙÑ º º º º º º º º º ½ º¾ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ º º º º º º º º º º º º ¾¼¼ º¾º½ ÅÓÑ ÒØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼½ º¾º¾ Ë ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó º º º º º º º º º º º ¾¼¾ º Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º º½ Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º º¾ Ë ÑÓ Ò ÙØÙÒ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ËÂʵ ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º º Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó º º º º º ¾¼ º ÅÙÐØ ÒÓÑ ÙÑ ÑÓÒ ÙÐÓØØ Ò Ò ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò Ù¹ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º Ã Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º º½ ËØ Ò Ö ÑÙÓØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º º¾ ÃÓÖÖ ÐÓ Ú Ø ÑÙÙØØÙ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º Ë ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò ÑÙÙÒÒÓ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º º½ Ð Ò Ò Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ º º º º º º ¾½ º º¾ ËØÙ ÒØ Ò t¹ ÙÑ F ¹ ÙÑ Ø ¹ ÙÑ º º º ¾½ Ø ÒÚ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ À Ö Ó ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ ÂÓ ÒØÓ Ø Ð ØÓÐÐ Ò ÔØØ ÐÝÝÒ ¾¾ º½ º¾ º º Ì Ð ØÓÐÐ Ò Ò ÓÒ ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ Ì Ð ØÓÐÐ Ø Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¼ Ø ÑÓ ÒÒ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Í ÓØØ ÚÙÙ Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½ ÇØ ÒØ ÙÑ Ø ¾ º½ Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑÑ Ò ÙÑ º º º º ÆÓÖÑ Ð ÙÑ Ò Ð ØØÝÚØ ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º ¾ ½ º º½ ËÙÑÑ Ò Ò Ð ÙÑÑ Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º ¾ ½ º º¾ t¹ ÙÑ F ¹ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ º Ã Ò Ò Ö Ú ØØÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½  ÙÑ Ò Ð ÖÚÓØ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò ÚÙÐÐ º º º º º º º¾ ÅÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÙÒ Ø ÓØ º º º º º º º º º º º º º º ÂÖ ØÝ ÙÙÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¼ º º½ Å Ñ Ñ Ò Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¼ º º¾ ÂÖ ØÝ ÙÙÖ Ò X (k) ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½ º ËÙÔÔ Ò Ñ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾

2 ËÁË ÄÌ Ú º º½ Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ËÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò ÙÑ Ñ Ð º º º º º º º º º º º º º ½¼ Í ÓØØ ÚÙÙ ÔØØ ÐÝÒ Ô ÖÙ Ø Ø ¾ ½¼º½ Í ÓØØ ÚÙÙ Ò ÑÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º½º½ Ö Ø Ø Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼º½º¾ Â Ø ÙÚ Ø Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼º¾ Ñ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼º Í ÓØØ ÚÙÙ Ò Ý ØÑ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼º Ø Ý Ý Ð Ò Ð ØÝÑ Ø Ô Ò º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º Í ÓØØ ÚÙÙ Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º Í ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ñ Ö ÚÙÙ º º º º º º º º º º º ½¼º Í ÓØØ ÚÙÙ Ò ÒÚ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼º º½ Í ÓØØ ÚÙÙ ÙÙ Ô Ö Ñ ØÖ Ó ÒÒ º º º º º º º º ½¼º È Ø ÙÙÖ Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼º ËÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ ½¼º º½ Ç ÓØ ØØÙ Ò ÓÖÑ Ø Ó Ó Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ º º º º º ¾ ¾ ½¼º º¾ È Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÓÖÑ Ø Ó ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º ¾ ½¼º º Ö Ñ Ö Ò Ê ÓÒ Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼º º ËÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ò ÓÑ Ò ÙÙ ½½ È Ø ¹ Ø ÑÓ ÒØ ½½º½ È Ø ¹ Ø Ñ ØØÓÖ Ò ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ½½º½º½ À Ö ØØÓÑÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½º½º¾ Ì Ó ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½º½º Ì Ö ÒØÙÚÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼¾ ½½º¾ Ø ÑÓ ÒØ Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½½º¾º½ ÅÓÑ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½½º¾º¾ ËÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ò ËÍ µ ÓÑ ¹ Ò ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½½º ÐØ ¹Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½½º ÌÝ ÒØÚÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½½º º½ È ÖÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½½º º¾ Ì Ð Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½½º º Å Ò Ñ Ð Ò Ò ØÝ ÒØÚÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½½º ÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ò Ô Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½¾ ÎÐ Ø ÑÓ ÒØ ½ ½¾º½ à ÖÚÓ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½¾º½º½ Æ Ô ÙÙÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º¾ Ã Ò ÖÚÓÒ ÖÓØÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø º º º º º º º º º º ¾ ½¾º ËÙ Ø ÐÐ Ø Ò Ó ÙÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º ¾

3 ÄÙ Ù ÇØ ÒØ ÙÑ Ø º½ Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø ÅÙ Ø ÑÑ ÐÐ Ø ÐÙÚÙ Ø ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X 1 X 2 ÓÚ Ø Ö Ô¹ ÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÑÖ Ø ÐÑØ º º µ Ó f(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) ÐÐ x 1 S 1 x 2 S 2 Ñ f(x 1,x 2 ) ÓÒ X 1 Ò X 2 Ò Ý Ø ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó Ø Ö ¹ Ø Ø Ô Ù ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Óµ f 1 (x 1 ) ÓÒ X 1 Ò f 2 (x 2 ) ÓÒ X 2 Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó S 1 ÓÒ X 1 Ò ÖÚÓ ÓÙ Ó S 2 ÓÒ X 2 Ò ÖÚÓ ÓÙ Óº ÅÖ Ø ÐÑ ÝÐ ØÝÝ ÙÓÖ Ú Ú Ø Ù Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ø Ô Ù Òº Ë ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ Ø X 1 X 2 º º º X n ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó f(x 1,x 2,...,x n ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n ) ÐÐ x i S i Ñ f i (x i ) ÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X i Ø Ý ÙÒ Ø Ó S i ÓÒ X i Ò ÖÚÓ ÓÙ Ó 1 i nº ÂÓ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X i, 1 i n ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò Ý ØØ Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X i Ö ÙÒ Ù¹ Ñ Ø ØÝ Ò ÑÖ ØØÚØ Ò Ò Ý Ø ÙÑ Òº ÂÓ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X 1 X 2 º º º X n ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò ÑÝ Ò Ò ÙÒ Ø ÓØ u 1 (X 1 ) u 2 (X 2 ) º º º u n (X n ) ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ñ Ð Ù Ò ÙÒ Ø Óu i i = 1,2,...,n Ö Ô¹ ÔÙÙ Ú Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X i ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X j j iº Ñ Ö º½ ÇÐ ÓÓÒ X 1 ÒÓÔ Ò ÐÑÐÙ Ù ÙÒ Ø ØÒ Ø Ú ÐÐ Ø Ö¹ ØÓÒØ ÒÓÔÔ º Ë ÐÐÓ Ò X 1 Ò ÖÚÓ ÓÙ Ó ÓÒ S 1 = {1,2,3,4,5,6} ÓÒ ØÓ¹ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó f 1 (x 1 ) = 1 6, ÙÒ x 1 S 1 f 1 (x 1 ) = 0 ÙÒ x 1 S 1 º ÇÐ ÓÓÒ X 2 ÖÙÙÒ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÙÒ Ø ØÒ Ö ØÓÒØ Ð ÒØØ ÓÐÑ ÖØ ØÓØ ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº Ë ÐÐÓ Ò X 2 Bin(3,1/2) ( 3 f 2 (x 2 ) = x 2 )( 1 2 ) x2 ( ) 3 x2 ( 1 3 = 2 x 2 ¾ )( ) 3 1, 2

4 ÄÙ Ù º ÇØ ÒØ ÙÑ Ø ÙÒ x 2 S 2 = {0,1,2,3}º ÆÑ Ó ØØ ÒÓÔ Ò ØØÓ Ð ÒØ Ò ØØÓ Ø Ò Ø Ò ØØ Ò ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÒ Øº Ë ØÙÒÒ ÑÙÙع ØÙ Ø X 1 X 2 ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò Ò ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº Ë ÐÐÓ Ò Ñ Ö ) (X 1 = 4 X 2 = 2) = f 1 (2)f 2 (2) = 1 6 ( 3 2 ( 1 2 )3 = ÀÙÓÑ ØØ Ñ Ö ÒÒØ (X 1 = 4 X 2 = 2),({X 1 = 4} {X 2 = 2}) (X 1 = 4,X 2 = 2) Ø Ö Ó ØØ Ú Ø Ñ º Ð Ø (X 1 = x 1,X 2 = x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) = 1 ( ) 3 6 ( 1 2 )3 ÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X 1 X 2 Ý Ø ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó Ñ (x 1,x 2 ) S 1 S 2 º ÇÐ ÓÓÒ Ñ Ö A = {5,6} S 1 B = {0,1,2} S 2 º Ë ÐÐÓ Ò X 1 Ò X 2 Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ (X 1 A,X 2 B) = (X 1 A)(X 2 B) = 1 2 ( 3 3 [ x 2 x 2 =0 x 2 ) ( 1 2 )3 ] = Í Ò Ø Ö Ø Ð ÑÑ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ø º ÇÐ ÓÓÒ Ñ Ö ¹ Y = u(x 1,X 2 ) Ñ u ÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X 1 X 2 Ö Ð ÖÚÓ ¹ Ò Ò ÙÒ Ø Óº Ë ÐÐÓ Ò Y ÓÒ Ø ØÝ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º Ö ØÝ Ø ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ Ò Ð Ò Ö Ø ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø ØÖ Ø Ø Ð ØÓØ Ø º Ñ Ö º½ ÚÓ Ø Ò ÑÖ Ø ÐÐ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Y = X 1 + X 2 ÓÒ ÖÚÓ ÐÙ ÓÒ S Y = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Y ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ØÙÐÓ ÓÙ Ó ¹ S 1 S 2 Ñ S 1 = {1,2,3,4,5,6} S 2 = {0,1,2,3}º Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø ÓÒu(X 1,X 2 ) Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÚÓ ¹ Ò Ð Ú ÐÐ E[u(X 1,X 2 )] = u(x 1,x 2 )f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ). x 1 S 1 x 2 S 2 ÂÓ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Y ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ g(y) Ò Ò ÐÐÓ Ò E[u(X 1,X 2 )] = E(Y) = y S Y yg(y). ÂÓ X 1 X 2 X 1 X 2 ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øµ u(x 1,X 2 ) = u 1 (X 1 )u 2 (X 2 ) Ò Ò E[u 1 (X 1 )u 2 (X 2 )] = E[u(X 1 )]E[u 2 (X 2 )] Ä Ù º µº ÂÓ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ X 1 X 2 ÓÒ Ñ ÙÑ X 1 X 2 ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X 1,X 2 ÒÓØ Ò ÓÐ Ú Ò ÓØÓ X 1 Ò X 2 Ò Ý Ø Ø ÙÑ Ø º ÂÓ Ñ Ö Ø ØÒ Ø ÒÓÔÔ Ñ ÐÐ ÓÒ ÓØÓ X 1,X 2 Ø ÙÑ Ø Tasd(1,6) Ñ ÓØÓ Ó Ó n = 2º

5 º½º Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø Ë ØÙÒÒ ÓØÓ ÓØÓ ÙÙÖ ÌÝÝÔ ÐÐ Ø Ð ØÓÐÐ ÔØØ ÐÝÓÒ ÐÑ Ø Ö Ø Ð ÑÑ ØÙÒÒ ÑÙÙع ØÙ X ÓÒ ÙÑ ÓÒ ØÙÒØ Ñ ØÓÒº ÇÐ ÓÓÒ f(x) ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Ø Ý ÙÒ Ø Ó F(x) ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÂÓ X ÓÒ Ö ØØ Ò Ò f(x) ÓÒ ØÓ¹ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Óµº Ã Ö Ø ÐÙÓ Ø ÐÐ Ò ÚÓ ÑÑ ÒÓ ØØ ½º f(x) ÓÒ Ó Ó ØÝ Ò ØÙÒØ Ñ ØÓÒ Ø ¾º ØÙÒÒ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ f(x) Ñ Ø Ñ ØØ Ò Ò ÑÙÓØÓ ÑÙØØ ÙÑ Ö Ô¹ ÔÙÙ Ý Ø Ø Ù ÑÑ Ø ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø º ÃÙÒ ÙÑ ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓ Ú ÐÐ ØÙÒÒ ØØÙ Ò Ò ÐÐÓ Ò Ñ Ö Ø ÑÑ ØØ ½º X ÒÓÙ ØØ ÒÓÑ ÙÑ Bin(n,θ) Ñ θ ÓÒ ØÙÒØ Ñ ØÓÒ Ô Ö ¹ Ñ ØÖ º ¾º X ÒÓÙ ØØ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ N(µ,σ 2 ) Ñ ØÓ Ò Ò Ø ÑÓÐ ÑÑ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÓÚ Ø ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ º ÂÓ ÑÓÐ ÑÑ Ø ÓÚ Ø ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ò Ò Ô Ö Ñ ØÖ θ = (µ,σ 2 ) ÓÒ Ú ØÓÖ º ÃÙÒ ÙÒ Ø Ó f(x) ÓÒ ØÝ Ò ØÙÒØ Ñ ØÓÒ ÓÐ Ø ÑÑ Ø Ú ÐÐ Ø Ñ Ö ØØ X Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ E(X) Ú Ö Ò Var(X) ÓÚ Ø ÓÐ Ñ º ÅÖ Ø ÐÑ º½ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X 1 X 2 º º º X n ÓÚ Ø ØÙÒÒ ÓØÓ X Ò ÙÑ Ø Ó Ò ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÒÓÙ ØØ Ú Ø Ñ ÙÑ Ò Ô Ò ÒØ ÒØ ÐÐÝ ØÖ ÙØ iidµ Ù Ò Xº ÇØÓ Ó Ó ÓÒ nº Ñ Ö º¾ ÇÐ ÓÓÒ X 1,X 2,...,X n ÓØÓ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(µ,σ 2 )º Ë ÐÐÓ Ò Ó Ò Ò X i N(µ,σ 2 ) i = 1,2,...,n X 1 X 2 º º º X n ÓÚ Ø Ö ÔÔÙ¹ Ñ ØØÓÑ Øº ÇØÓ Ò X 1,X 2,...,X n Ý Ø ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f(x 1,x 2,...,x n ;µ,σ 2 ) = = = n f(x i ;µ,σ 2 ) n 1 2πσ e [1/(2σ2 )](x i µ) 2 ( 1 )n 2e [1/(2σ2 )] n 2πσ 2 (x i µ) 2, Ñ f(x i ;µ,σ 2 ) = 1 2πσ e (x i µ) 2 /2σ 2, i = 1,2,...,n ÓÒ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò N(µ,σ 2 ) Ø Ý ÙÒ Ø Óº

6 ÄÙ Ù º ÇØ ÒØ ÙÑ Ø Ä Ù º½ ÔÙÐ Ù Ò º½ ÝÐ ØÝ µ Ë ØÙÒÒ Ú ØÓÖ ØX = (X 1,X 2,..., X n ) Y = (Y 1,Y 2,...,Y m ) ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó Ú Ò Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ø ÙÒ Ø ÓØ g(x) h(y ) ØØ f(x,y) = g(x)h(y) ÐÐ x Ò y Ò ÖÚÓ ÐÐ Ñ g Ö ÔÙ y Ø h Ö ÔÙ x غ ÇØÓ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙ Ù ÓØÓ ÙÙÖ µy ÓÒ ÓØÓ Ò ÙÒ Ø Ó Ð Y = u(x 1,...,X n )º Ì Ð ØÓÐÐ ÔØØ ÐÝ ØÙÒØ Ñ ØÓÒØ Ô Ö Ñ ØÖ θ ÖÚ Ó Ò Ð Ø ÑÓ ¹ Ò ÓÒ Ò ÓØÓ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙÚÙÒ Y ÚÙÐÐ º Ë Ò Ø Ô Ù ÒÓÑÑ ØÙÒ¹ ÒÙ ÐÙ Ù Y Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ Ô Ø ¹ Ø Ñ ØØÓÖ º º¾ Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑÑ Ò ÙÑ Ì Ð ØÓÐÐ ÓÚ ÐÐÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ø Ú ÐÐ Ø Ö Ð ØÙÒÒ ÑÙÙع ØÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ø º ÇØÓ Ø X 1,X 2,...,X n Ð ØØÙ ÙÙÖ u(x 1,X 2,...,X n ) ÓÒ ÓØÓ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙ Ù Ø Ø Ø µº à ØÖ ÓØÓ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙ Ù ÓÚ Ø ÓØÓ ÖÚÓ X ÓØÓ Ú Ö Ò S 2 º Æ Ø ÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ú ØÓÖ Ö¹ ÚÓ Ò Ò ØÙÒÒÙ ÐÙ Ù (X,S 2 )º ÂÓ Ø Ò Ø ØÝ Ø ÓØÓ Ø x 1,x 2,...,x n ÚÓ Ò Ð ØÙÒÒÙ ÐÙÚÙ ÐÐ ÑÖØÝØ ÖÚÓØ (x s 2 )º ÆÑ ÖÚÓØ ÓÚ Ø Ú Ò Ý Ú ÒØÓ Ú Ø Ú Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø (X S 2 )º Ì Ð ØÓÐÐ ÔØØ ¹ ÐÝ Ø ÖÚ Ø Ò Ò Ò ÓØÓ Ø Ð ØØÙ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙ Ù Ò ÙÑ º ÌÑ Ó Ø Ð ØÓÐÐ Ø ÔØØ ÐÝ ÓÒ ØÙÒÒÙ ÐÙ Ù Òµ ÓØ ÒØ ÙÑ Ò Ø ÓÖ º Ñ Ö º À Ø ØÒ Ø ÒÓÔÔ º ÇÐ ÓÓÒ1º ÒÓÔ Ò ÐÑÐÙ ÙX 1 2º ÒÓÔ Ò ÐÑÐÙ ÙX 2 º ÅÖ Ø ØÒ ÒÝØ ÐÑÐÙ Ù Ò ÙÑÑ ÒY = X 1 +X 2 ØÓ¹ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó g(y)º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ý ØØ Ò ÖÚÓÒ Ñ Ö y = 4 ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò g(4) Ð Ñ Ø º Ì Ô ØÙÑ {Y = 4} ÚÓ ØØÙ Óй Ñ ÐÐ ØÓ Ò ÔÓ ÙÐ Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ {X 1 = 1, X 2 = 3} {X 1 = 2, X 2 = 2} {X 1 = 3, X 2 = 1}º Ë g(4) = (Y = 4) = (X 1 = 1, X 2 = 3)+(X 1 = 2, X 2 = 2)+(X 1 = 3, X 2 = 1) = = Â Ø Ñ ÐÐ Ñ ÐÐ Ô Ö ØØ ÐÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó g(y) y g(y)

7 º¾º Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑÑ Ò ÙÑ Ð Ø Ñ Ö Ò º ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÚÓ Ò Ð Ò º ÓÒÚÓÐÙÙØ Ó¹ Ú ÐÐ y 1 g(y) = (Y = y) = f(k)f(y k), Ñ k=1 f(k) = 1 6, k = 1,2,3,4,5,6 ÓÒ ÒÓÔ Ò ÐÑÐÙÚÙÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Óº ÌÓ Ò Ò Ø Ô Ó Ø g(y) ÓÒ ÝØØ ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø ÓØ º ÆÓÔ Ò ÐÑÐÙ¹ ÚÙÒ ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó ÓÒ M X (t) = E ( e tx) = 1 6 et e2t e3t e4t e5t e6t. ÃÓ ÐÑÐÙÚÙØ ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò Y Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó ÓÒ M Y (t) = M X1 (t)m X2 (t) = [M X (t)] 2. ÃÓ e kt Ò ÖÖÓ Ò M Y (t) Ò Ð Ù ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ (Y = k) k = 2,3,...,12 Ò ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Y Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø ÓÒº Ä Ù º¾ ÇÐ ÓÓØ X 1,X 2,...,X n Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ó ¹ Ò Ý Ø ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n )º ÂÓ g(y) ÓÒ ¹ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Y = u(x 1,X 2,...,X n ) Ø Ý ÙÒ Ø Ó Ò Ò E(Y) = yg(y)dy S y = u(x 1,x 2,...,x n )f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n )dx 1 dx 2... dx n, S S S Ñ Ð Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ ÓÐ Ñ º Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ó Ú Ú ¹ Ø Ú ØÙÐÓ Ò ÓÖÚ Ñ ÐÐ ÒØ Ö Ð Ø ÙÑÑ Ð Ù ÐÐ º Ë ÙÖ Ú Ð Ù ÓÒ Ä Ù Ò º¾ Ö Ó Ø Ô Ù Ä Ù º ÇÐ ÓÓØ X 1,X 2,...,X n Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ó ¹ Ò Ý Ø ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n )º ÂÓ Y = u 1 (X 1 )u 2 (X 2 ) u n (X n ) Ò Ò E(Y) = E[u 1 (X 1 )]E[u 2 (X 2 )] E[u n (X n )]. ÂÓ Y = X 1 + +X n ÓÒ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑÑ Ò Ò ÐÐ Ø ØØÝ Ò Ð Ù Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ð Y Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ú Ö Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Óº Ë ÙÖ Ú Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ð Ò Ö ¹ Ý Ø Ø Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ó Ø µº

8 ÄÙ Ù º ÇØ ÒØ ÙÑ Ø Ä Ù º ÇÐ ÓÓØ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X 1 X 2 º º º X n Ó ÓØÙ ÖÚÓØ µ 1 µ 2 º º º µ n Ú Ö Ò Ø σ 2 1 σ 2 2 º º º σ 2 nº Ë ÐÐÓ Ò ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ Ò Y = n a ix i Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ú Ö Ò ÓÚ Ø µ Y = a i µ i σy 2 = a 2 i σ2 i, Ñ a 1 a 2 º º º a n ÓÚ Ø ÒÒ ØØÙ Ú Ó Ø º ÌÓ ØÙ º ÃÓ Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ÓÔ Ö ØØÓÖ Ò Ò ( ) E(Y) = E a i X i = = a i E(X i ) = Î Ø Ú Ø [ ( σy 2 = E[(Y µ Y ) 2 ] = E a i X i [ ] 2 [ = E a i (X i µ i ) = E = Ñ ÙÙÖ Ø E(a i X i ) a i µ i = µ Y. ) ] 2 a i µ i ] a i a j (X i µ i )(X j µ j ) j=1 a i a j E[(X i µ i )(X j µ j )] = j=1 σ ij = E[(X i µ i )(X j µ j )] a i a j σ ij, ÓÚ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X i X j,1 i n,1 j n ÚÐ ÓÚ Ö Ò ¹ º ÃÓ X i X j ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò σ ij = 0 ÙÒ i jº Ì Ø ÙÖ ØØ σy 2 = a 2 iσi. 2 Ñ Ö º ÇÐ ÓÓØ X 1 X 2 Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø Ó ¹ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓØ ÓÚ Ø µ 1 = 4 µ 2 = 3 Ú Ö Ò Ø Ú Ø Ú Ø σ 2 1 = 4 σ 2 2 = 9º Ë ÐÐÓ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Y = 3X 1 2X 2 Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ú Ö Ò ÓÚ Ø µ Y = 3 ( 4)+( 2) 3 = 18 j=1 σ 2 Y = ( 2) 2 9 = 72.

9 º¾º Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑÑ Ò ÙÑ Ñ Ö º ÇÐ ÓÓÒ X 1,X 2,...,X n ÓØÓ ÙÑ Ø ÓÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ µ Ú Ö Ò σ 2 º Ë ÐÐÓ Ò ÓØÓ ÖÚÓÒ X = X 1 +X 2 + +X n n Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ú Ö Ò ÓÚ Ø ( ) 1 µ X = µ = µ n σ 2 = X ( 1 n ) 2 σ 2 = σ2 n. ÇØÓ Ú Ö Ò ÓÒ ÑÙÓØÓ S 2 = 1 (X i X) 2 = 1 ( Xi 2 n 1 n 1 nx2), ÓØ Ò E(S 2 ) = 1 n 1 [ ] E(Xi 2 ) ne(x2 ). ÃÓ E(Xi 2) = σ2 + µ 2 E(X 2 ) = σ 2 /n + µ 2 Ò Ò Ð Ñ ÐÐ ÓÒ ÐÔÔÓ ØÓ Ø ØØ E(S 2 ) = σ 2 º ÇÐ ÑÑ Ó Ó ØØ Ò Ø ØØ X ÓÒ µ Ò S 2 ÓÒ σ 2 Ò Ö ØÓÒ Ø Ñ ØØÓÖ º ÂÓ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X 1,X 2,...,X n ÙÑ Ø ØÙÒ¹ Ò Ø Ò ÙÖ Ú Ò Ð Ù Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÑÖ ØØ Ò Ò Ð Ò Ö Ò Ý ¹ Ø Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÚÙÐÐ Ò Ù Ò ÑÝ Ò ÙÑ º Ä Ù º ÂÓ X 1 X 2 º º º X n ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø Ó Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø M Xi (t) i = 1,2,...,n Ò Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ¹ Ò Y = n a ix i ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó ÓÒ M Y (t) = n M Xi (a i t). ÌÓ ØÙ º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Y ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó ÓÒ M Y (t) = E ( e ty) = E ( e t(a 1X 1 +a 2 X 2 + +a nx n) ) = E ( e a 1tX1 e a 2tX2 e antxn) = E ( e a 1tX 1 )E(e a 2tX 2 ) E(e antxn), Ó ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø e a itx i ÓÚ Ø ÒÒ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº ÅÓÑ ÒØØ ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò E ( e tx i ) = M Xi (t), ÓØ Ò E ( e a itx i ) = MXi (a i t).

10 ¾ ¼ ÄÙ Ù º ÇØ ÒØ ÙÑ Ø Ë M Y (t) = M X1 (a 1 t)m X2 (a 2 t) M Xn (a n t) = n M Xi (a i t). Ñ Ö º ÇÐ ÓÓÒ X 1,X 2,...,X n ÓØÓ ÖÒÓÙÐÐ Ò ÙÑ Ø Ber ( 1 3) º Ë ÐÐÓ Ò M(t) = et. ÂÓ Y = X 1 +X 2 + +X n Ò Ò M Y (t) = n ( et) = ( et) n Ì Ø Ò ÑÑ ØØ Y Bin ( n, 1 3) º Ë ÙÖ Ù º½ ÂÓ X 1,X 2,...,X n ÓÒ ÓØÓ ÙÑ Ø ÓÒ ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ ¹ Ø Ó ÓÒ M(t) Ò Ò ½º ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Y = n X i ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó ÓÒ M Y (t) = n M(t) = [M(t)] n. ¾º ÓØÓ ÖÚÓÒ X = n (1/n)X i ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó ÓÒ M X (t) = n ( ) [ ( )] n t t M = M. n n Ñ Ö º ÇÐ ÓÓÒ X 1,X 2,X 3 ÓØÓ ÔÓÒ ÒØØ ÙÑ Ø ÓÒ Ó Ó¹ ØÙ ÖÚÓ ÓÒ θº ÔÓÒ ÒØØ ÙÑ Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó ÓÒ M(t) = 1/(1 θt) t < 1/θº Ë ÐÐÓ Ò ÙÑÑ Ò Y = X 1 +X 2 +X 3 ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó ÓÒ M Y (t) = [1/(1 θt)] 3 = (1 θt) 3, t < 1 θ, Ñ ÓÒ ÑÑ ÙÑ ÒGamma(3,θ) ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó ÓØ ÒY Gamma(3,θ)º ÌÓ ÐØ X Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó ÓÒ M X (t) = [( 1 θt ) 1 ] 3 ( = 1 θt ) 3, ÙÒ t < t º ÇØÓ ÖÚÓ X ÒÓÙ ØØ ÑÑ ÙÑ ÑÑ (3,θ/3)º

11 º º ÆÓÖÑ Ð ÙÑ Ò Ð ØØÝÚØ ÙÑ Ø ¾ ½ º ÆÓÖÑ Ð ÙÑ Ò Ð ØØÝÚØ ÙÑ Ø Ì Ð ØÓÐÐ ÓÚ ÐÐÙ ÓÐ Ø Ø Ò Ù Ò ØØ ÓØÓ Ø Ò ÒÓÖÑ Ð ¹ ÙÑ Ø N(µ,σ 2 )º Ø ÑÓ Ø Ú Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÓÚ Ø ÐÐÓ Ò µ σ 2 º Æ Ò Ø Ú ÐÐ ÑÑ Ø Ø Ñ ØØÓÖ Ø ÓÚ Ø ÓØÓ ÖÚÓ X ÓØÓ Ú Ö Ò S 2 º º º½ ËÙÑÑ Ò Ò Ð ÙÑÑ Ò ÙÑ Ä Ù º ÂÓ X 1,X 2,...,X n ÓÒ ÓØÓ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(µ,σ 2 ) Ò Ò ÓØÓ ÖÚÓÒ X = 1 n n X i ÙÑ ÓÒ N(µ,σ 2 /n)º ÌÓ ØÙ º ÃÓ X i N(µ,σ 2 ) Ò Ò ) M Xi (t) = exp (µt+ σ2 t 2. 2 Ë ÙÖ Ù Ð Ù Ò º½ ÑÙ Ò M X (t) = M Xi ( t n ) [ ( = exp µ t )] n + σ2 (t/n) 2 n 2 ) = exp (µt+ (σ2 /n)t 2, 2 Ó ÓÒ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò N(µ,σ 2 /n) ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Óº ÃÓ ÑÓÑ ÒØØ ¹ ÙÒ Ø Ó ÑÖ ØØ Ý ØØ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑ Ò Ò Ò X N(µ,σ 2 /n)º ÒÒ Ò ÓØÓ Ú Ö Ò Ò S 2 Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò (n 1)S 2 /σ 2 ÙÑ Ò Ó Ø Ñ Ø Ø ØÒ Ú ÐÑ Ø Ð Ú ØÙÐÓ Ø º Ä Ù º ÇÐ ÓÓØ X i χ 2 (r i ) i = 1,2,...,nº ÂÓ X 1 X 2 º º º X n ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Y = X 1 +X 2 + +X n ÙÑ ÓÒ χ 2 (r 1 +r 2 + +r k )º ÌÓ ØÙ º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Y ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ¹ Ó M Y (t) = E [ e t(x 1+X 2 + +X n) ] = E ( e ) E ( tx 1 e ) E ( tx 2 e txn) n = M Xi (t). ÃÓ M Xi (t) = (1 2t) r i/2 ; t < 1 2,

12 ¾ ¾ ÄÙ Ù º ÇØ ÒØ ÙÑ Ø Ò Ò M Y (t) = n (1 2t) ri/2 = (1 2t) (r 1+r 2 + +r n)/2, t < 1 2 ÓÒ χ 2 ¹ ÙÑ Ò χ 2 (r 1 +r 2 + +r n ) ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Óº Ì Ø ÙÖ ØØ Y χ 2 (r 1 +r 2 + +r n ). Ä Ù º ÇÐ ÓÓÒ Z 1,Z 2,...,Z n ÓØÓ Ø Ò Ö ÑÙÓØÓ Ø ÒÓÖÑ Ð Ù¹ Ñ Ø N(0,1)º Ë ÐÐÓ Ò W = Z 2 1 +Z Z2 n ÒÓÙ ØØ ÙÑ χ2 (n)º ÌÓ ØÙ º ÃÓ Zi 2 χ 2 (1) i = 1,2,...,n Z1 2 Z2 2 º º º Z2 n ÒÒ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò ØÙÐÓ ÙÖ Ä Ù Ø º º ÓÚ Ø ¹ Ë ÙÖ Ù º¾ ÇÐ ÓÓØ X 1 X 2 º º º X n Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø X i N(µ i,σ 2 i ) i = 1,2,...,nº Ë ÐÐÓ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ W = (X i µ i ) 2 σ 2 i ÒÓÙ ØØ ÙÑ χ 2 (n)º º º¾ t¹ ÙÑ F ¹ ÙÑ Ë ÙÖ Ú Ð Ù Ø ØÒ ÓØÓ ÖÚÓ X ÓØÓ Ú Ö Ò S 2 Ó ¹ Ú ØÙÐÓ Ó ÓÒ ØÖ Ø Ð ØÓÐÐ ÓÚ ÐÐÙ º Ä Ù º ËØÙ ÒØ Ò Ð Ù µ ÇÐ ÓÓÒ X 1,X 2,...,X n ÓØÓ ÒÓÖÑ Ð Ù¹ Ñ Ø N(µ,σ 2 ) X = n (1/n)X i ÓÒ ÓØÓ ÖÚÓ S 2 = [1/(n 1)] n (X i X) 2 ÓÒ ÓØÓ Ú Ö Ò º Ë ÐÐÓ Ò ½º X S 2 ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø ¾º X ÒÓÙ ØØ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ N(µ,σ 2 /n) º (n 1)S 2 /σ 2 ÒÓÙ ØØ χ 2 ¹ ÙÑ χ 2 (n 1)º ÌÓ ØÙ º ÃÓ Ø ½º ÀÙÓÑ Ø Ò Ò Ò ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X X 1 X,...,X n X ÒÓÙ ØØ Ú Ø ÒÓÖÑ Ð ÙÑ º Ä Ñ ÐÐ ÚÓ Ò ØÓ Ø ØØ Cov(X,X i X) = 0 ÐÐ i = 1,...,nº Ì Ø ÙÖ Ñ µ ØØ X X 1 X,...,X n X ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº ÃÓ S 2 Ö ÔÔÙÙ Ô Ð ¹ ØÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X 1 X,...,X n X Ò Ò ÑÝ X S 2 ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº ÃÓ Ø ¾ ÓÒ Ð Ù º º ÌÓ Ø Ø Ò ÒÝØ Ó Ò Ú Ø º (n 1)S 2 χ 2 (n 1). σ 2

13 º º ÆÓÖÑ Ð ÙÑ Ò Ð ØØÝÚØ ÙÑ Ø ¾ Ä Ñ ÐÐ ÚÓ Ò ØÓ Ø ØØ ( ) 2 Xi µ = [ (Xi X)+(X µ) ] 2 σ σ ( ) 2 Xi X n(x µ)2 = + σ σ 2 ( ) 2 = (n 1)S2 X µ + σ 2 σ/. n ÃÓ Z = X µ σ/ n N(0,1) Ò Ò Z2 χ 2 (1)º Î Ø Ú Ø Ë ÙÖ Ù Ð Ù Ò º¾ ÑÙ Ò W = n ( Xi ) µ 2 χ 2 (n)º σ ÃÓ S 2 Z 2 ÓÚ Ø Ó Ò ½ ÑÙ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò E ( e tw) = E ( e ) t[(n 1)S2 /σ 2 +Z 2 ] = E ( ) e t(n 1)S2 /σ 2 e tz2 = E ( e t(n 1)S2 /σ 2 ) E ( e tz 2 ). ÃÓ W χ 2 (n) Z 2 N(0,1) Ò Ò Ì Ø ÙÖ ØØ (1 2t) n/2 = E [ e t(n 1)S/σ2 ] (1 2t) 1/2. E [ e t(n 1)S/σ2 ] = (1 2t) (n 1)/2 ; t < 1 2, Ó ÓÒ ÙÑ Ò χ 2 (n 1) ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Óº Æ Ò ÓÒ Ð Ù Ò Ú Ø ØÓ ¹ Ø ØØÙº Ä Ù º Ó Ó ØØ ØØ Ý Ú Ô Ù Ø Ñ Ò Ø ØÒ ÙÒ Ð Ù n (X i µ) 2 ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ ÖÚÓ µ ÓÖÚ Ø Ò ÓØÓ ÖÚÓÐÐ º Â Ø Ó ØÙÐ ÑÑ Ò ÑÒ χ2¹ ÙÑ Ò Ò Ñ Ö ØÝ Ò ÓÚ ÐÐÙ º Ä Ù º½¼ ÇÐ ÓÓØ X 1 X 2 º º º X n ÒÒ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÒÓÖÑ Ð ¹ ÙÑ ÒÓÙ ØØ Ú Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø Ó Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓØ ÓÚ Ø µ 1 µ 2 º º º µ n Ú Ö Ò Ø σ 2 1 σ 2 2 º º º σ 2 nº Ë ÐÐÓ Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ó Y = a i X i ÒÓÙ ØØ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ ( N a i µ i, a 2 i σ2 i ÌÓ ØÙ º ÌÙÐÓ Ò ÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ Ä Ù ØØ º ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Òº ).

14 ÄÙ Ù º ÇØ ÒØ ÙÑ Ø ÇÐ Ø Ø Ò ØØ X 1,X 2,...,X n ÓÒ ÓØÓ ÙÑ Ø N(µ,σ 2 ) ÓÒ Ú Ö ¹ Ò σ 2 ØÙÒÒ Ø Òº Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ð Ù ØØ T = X µ S/ n = X µ σ/ n (n 1)S 2 σ 2 / (n 1), Ó ØÙÒÒ Ø Ò t¹ø Ø ÙÙÖ Ò º Ì ÑÑ ØØ Ä Ù Ò º ÑÙ Ò Z = X µ σ/ n N(0,1) U = (n 1)S2 σ 2 χ 2 (n 1). Ä Ä Ù Ò º ÑÙ Ò Z U ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº ÌÐÐ Ò Ò ØÙÒ¹ Ò ÑÙÙØØÙ ÒÓÙ ØØ t¹ ÙÑ Ú Ô Ù Ø Ò r = n 1º Ð ÐÙÚÙ º º¾ Ø ØØ Ò t¹ ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Óº Í Ò ÐÙØ Ò Ú ÖÖ Ø Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò N(µ 1,σ1 2) N(µ 2,σ2 2) Ú Ö Ò º Ì ÑÑ n 1 Ò Ó Ó Ò ÓØÓ Ò ÙÑ Ø N(µ 1,σ1) 2 n 2 Ò Ó¹ Ó Ò ÓØÓ Ò ÙÑ Ø N(µ 2,σ2 2 )º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÓØÓ Ø ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº ÇÐ ÓÓØ S1 2 S2 2 Ò Ø Ö ÓØÓ Ø Ð ØÙØ ÓØÓ Ú Ö Ò Øº Ä Ù Ò º ÑÙ Ò U = (n 1 1) S2 1 σ 2 1 χ 2 (n 1 1) V = (n 2 1) S2 2 σ 2 2 χ 2 (n 2 1). ÃÓ ÓØÓ Ø ÓÚ Ø ÒÒ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø U V ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº Î Ö Ò Ò Ý Ø ÙÙÖÙÙØØ ÚÓ Ò Ø Ø Ø Ø Ø Ö¹ Ø Ð Ñ ÐÐ Ù ØØ º º½µ F = U/(n 1 1) V/(n 2 1). Ð ÐÙÚÙ º º¾ Ó Ó Ø ØØ Ò ØØ Ù º º½µ ÒÓÙ ØØ F ¹ ÙÑ Ú ¹ Ô Ù Ø Ò n 1 1 n 2 2º º Ã Ò Ò Ö Ú ØØÑ ÇÐ ÑÑ Ú ÒÒ Ø ØØ ÓØÓ ÙÙÖ Ò ÙÑ Ö ÔÔÙÙ Ø Ú ÐÐ Ø ÓØÓ ÓÓ Ø nº ÂÓ X 1,X 2,...,X n ÓÒ ÓØÓ ÖÒÓÙÐÐ Ò ÙÑ Ø Ber(p) Ò Ò X = X 1 + X X n Bin(n,p)º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ÙÑ Ö ÔÔÙÙ ÓØÓ ÓÓ Ø nº ÇÐ ÓÓÒ X 1,X 2,...,X n ÓØÓ ÙÑ Ø ÓÒ ÖÚÓ ÓÒ µ Ú Ö Ò σ 2 > 0º Å Ö ØÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X 1 X 2 º º º X n ÙÑÑ ÖÚÓ ÙÖ Ú Ø S n = X i X n = S n n

15 º º Ã Ò Ò Ö Ú ØØÑ Ë ÐÐÓ Ò E(X n ) = µ Var(X n ) = σ2 n. Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X n Ú Ö Ò Ô Ò Ò ÙÒ n Ú º ÂÓ Ø n Ó ¹ Ø Ö ÙÑ º Ì Ö Ø Ð ÑÑ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò (X i ;i 1) = X 1,X 2,X 3,... ÓÒÓ Ò Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑ Ò ÓÒÓ º ÂÓ X 1,X 2,...,X n ÓÒ ÓØÓ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(µ,σ 2 ) Ò Ò ÓØÓ ¹ ÖÚÓÒ X n ÙÑ ÓÒ N(µ,σ 2 /n) Ó Ö ÔÔÙÙ n غ ÇØÓ ÓÓÒ n Ú ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ØØÝÝ Ý Ô Ò ÑÑÐÐ Ô Ò ÑÑÐÐ ÚÐ ÐÐ µ Ò ÝÑÔÖ Ø Òº ÌÑ Ø Ö Ó ØØ ØØX n Ò ÙÑ Ð Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ñ Ð ÖÚÓ µº Î Ø Ú Ø X n µ Ð Ò ÒÓÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ñ Ð º ÇÐ ÓÓÒ ÝÐ Ø W n = X n µ σ/ n Ë ÐÐÓ Ò E(W n ) = 0 Var(W n ) = 1º Æ ÐÐ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ W 1,W 2,... ÓÒ Ñ Ú Ö Ò 1 ÐÐ n Ò ÖÚÓ ÐÐ º Ä Ò W n Ò ÙÑ ÓØ Ò ÙÑ ÙÒn Ú º ÂÓ ÓØÓ ÓÒ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(µ,σ 2 ) Ò ÒW n N(0,1) ÐÐ n 1º ÌØ Ò Ö ÙÑ ÓÒ Ø Ø Ô Ù N(0,1)º ÂÓ Ö ¹ ÙÑ Ö ÔÙ Ø ÙÑ Ø Ó Ø ÓØÓ Ú Ð Ø Ò Ò Ò Ö ¹ ÙÑ Ò ØÝØÝÝ ÓÐÐ N(0,1)º ÅÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó Ò Ý Ø Ý Ø ØØ Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ù¹ Ñ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒµ Ý ØØ Ø Ú Ø ÚÙÙØØ Ó Ú Ä Ù º½¼º Ë ¹ Ñ Ý Ø Ý Ø ØØ Ò ÑÝ ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ø Ó Ú Ä Ù º½ ÓØ ÚÓ Ò ÓÚ ÐØ Ö ¹ ÙÑ Ò ÑÖ ØØÑ Òº Ä Ù º½½ Ã Ò Ò Ö Ú ØØѵ ÇÐ ÓÓÒX 1,X 2,...,X n ÓØÓ Ù¹ Ñ Ø ÓÒ ÖÚÓ ÓÒ µ Ú Ö Ò σ 2 º Å Ö ØÒ W n = X n µ σ/ n = S n nµ nσ. Ë ÐÐÓ Ò W n Ò ÙÑ Ð Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ N(0,1) ÙÒ n º Ã Ò Ö Ú ØØÑÒ ÑÙ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑÑ ÒÓÙ ØØ Ð Ñ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ ÙÒ n ÓÒ ÙÙÖ º Å Ö Ø ÑÑ W n N(0,1), ÙÒ n ÓÒ ÙÙÖ º Å Ö Ø Ö Ó ØØ ÒÓÙ ØØ Ð Ñ Ò ÙÑ º ÃÝØÒ¹ Ò Ò Ö Ú ØØÑÒ ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÖÚ Ó W n Ò ÙÑ ÙÒ n ÓÒ Ö ØØÚÒ ÙÙÖ º Ë ÐÐÓ Ò (W n w) w 1 2π e w2 /2 dx = Φ(w),

16 ÄÙ Ù º ÇØ ÒØ ÙÑ Ø Ñ Φ(w) ÓÒ ÒÓÖÑ Ø ØÙÒ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Óº ÎÓ ÑÑ Ñ Ö¹ Ø Ñ Ò Ò ÑÝ ÙÖ Ú Ø (W n w) = F Wn (w) Φ(w), ÙÒn º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÒW n ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓF Wn (w) ÙÔÔ Ò Ó Ø ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓØ Φ(w) Ô Ø w Rº Ñ Ö º ÇÐ ÓÓÒ X 1,X 2,...,X 15 ÓØÓ ÙÑ Ø ÓÒ Ø Ý ÙÒ ¹ Ø Ó ÓÒ f(x) = ( 3 2) x2 1 < x < 1º  ÙÑ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ µ = 0 Ú Ö Ò σ 2 = 3/5º Ñ Ö ØÓ ÒÒ ÝÝ (X 0.15) ÚÓ Ò Ð Ó Ø Ñ Ð¹ Ð Ò Ò X Ò ÙÑ ÑÖ ØØÑÐÐ Ø Ý ÝØØÝ ØÓ ÒÒ ÝÝ º à ¹ Ò Ö Ú ØØÑÒ ÚÙÐÐ Ò ØÑÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ð ÖÚÓ ÐÑ Ò Ø ØÓ X Ò Ø Ö Ø ÙÑ Ø ( X 0 (X 0.15) = / ) / 3/5 15 3/5 15 = (Z ) Φ(0.75) = ÖÚ ÓÒ Ø Ö ÙÙ Ø Ò Ò Ö Ú ØØÑ Ù Ø Ò Ò ÒÒ ØÝ Øº º º½ Ö ØØ Ò ÙÑ Ò Ð ÖÚÓØ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò ÚÙÐÐ ÇÐ ÓÓÒ X 1,X 2,...,X n ÓØÓ ÖÒÓÙÐÐ Ò ÙÑ Ø Ber(p)º Ë ÐÐÓ ÒS n = X 1 + X 2 + +X n ÒÓÙ ØØ ÒÓÑ ÙÑ Bin(n,p)º Ã Ò Ö Ú ØØÑÒ ÑÙ Ò X n p Z n = = S n np p(1 p)/n np(1 p) ÒÓÙ ØØ Ð Ñ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ N(0,1) ÙÒ n ÓÒ ÙÙÖ º ÌÙÐÓ Ò ÑÙ¹ Ò ÒÓÑ ÙÑ Ð Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ ÙÒ n Ú º È Ù ÐÓ Ò¹ Ø Ò ÚÓ Ò Ô Ø ØØ n ÓÒ Ö ØØÚÒ ÙÙÖ ÙÒ np 5 n(1 p) 5º Å Ø Ò ÑÑÒ p ÔÓ 0.5 Ø Ø ÙÙÖ ÑÔ n Ø ÖÚ Ø Òº ÂÓ Ñ Ö ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò S n Bin(n,p) ÖÚÓ Ò ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝØØ ÖÚ Ó Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò ÚÙÐÐ ÝØ ØÒ Ø ÙÚÙÙ ÓÖ Ù Ø º ØØ Ð ÑÑ ØØ ØÓ ÒÒ ÝÝ (S n = x) = n! x!(n x)! px (1 p) n x, x = 0,1,...,n, ÓÒ Ò ÙÓÖ Ø Ò Ô ÒØ ¹ Ð ÓÒ ÒØ ÓÒ 1 ÒÒ Ò Ô Ø xº Ä ¹ Ø Ò ØØ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓ ØØÙÙ ÚÐ ÐÐ (x 1/2,x+1/2)º  ÙÑ Ò ÖÚÓ Ú Ö Ò Ñ¹ Ö Ø ØØÒ ÖÚ Ó Ø Ú Ø ÒÓÑ ÙÑ Ø º

17 º º Ã Ò Ò Ö Ú ØØÑ Ñ Ö º ÇÐ Ø Ø Ò ØØX Bin(10,0.5)º Ä Ø Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ (3 X < 6)º ÎÓ Ò Ö Ó ØØ (3 X < 6) = (2.5 X 5.5). ÖÚ Ó Ò ÒÝØ Ð ÑÑ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝØØ Ò Ö Ú ØØÑÒ ÒÓ¹ ÐÐ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò ÚÙÐÐ º Ë ÐÐÓ Ò ( (2.5 X 5.5) = X ) 10/4 10/4 10/4 Φ(0.316) Φ( 1.581) = Ì Ö ØÓ ÒÒ ÝÝ ÒÓÑ ÙÑ Ò ÚÙÐÐ ÓÒ (3 X < 6) = º º º¾ ÅÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÙÒ Ø ÓØ Ì Ö Ø Ð ÑÑ ÒÝØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ù Ò ÓØÓ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙ Ùµ Ù¹ Ñ Ò Ö ÔÔÙÚÙÙØØ ÓØÓ ÓÓ Ø nº ÇØÓ ÖÚÓ ÓØÓ Ú Ö Ò ÓÚ Ø Ø Ú Ð¹ Ð ÑÑ Ø ÓØÓ Ø Ð ØÙØ ØÙÒÒÙ ÐÙÚÙغ ÇÐ Ø Ø Ò Ñ Ö ØØ X n Bin(n,p)º Ö n Ò ÖÚÓ ÐÐ ÑÑ Ö ÒÓÑ ÙÑ Òº Å Ø Ò ÙÑ ÑÙÙع ØÙÙ n Ò Ú ÇÐ ÑÑ Ò Ö Ú ØØÑÒ ÚÙÐÐ Ó Ó Ó ØØ Ò Ø ØØ Bin(n,p) Ð Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ ÙÒ n Ú º ÎÓ ÑÑ ØÙØ Bin(n,p) Ò Ö ÙÑ ÑÝ ÓÐÐ ØØ ÙÑ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ np Ô ØÒ Ú ÓÒ λº ÂÓ np = λ ÓÒ Ú Ó n Ò Ò p 0º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X n Bin(n,p) ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÃÓ p = λ/n Ò Ò M n (t) = M n (t) = (1 p+pe t ) n. [ 1 λ n + λ ] n [ ] n n et = 1+ λ(et 1). n ÃÝØØ Ò ÝÚ Ò ÐÝÝ Ò ØÙÐÓ Ø ( 1+ n) a n = e a, Ò lim n lim M n(t) = e λ(et 1) = M(t), n Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ t Rº ÃÓ M(t) = e λ(et 1) ÓÒ ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ Ò oi(λ) ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó Ò Ò Ä Ù Ò º½ ÑÙ Ò X n Ò ÙÑ Ð ØÝÝ ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ oi(λ) ÙÒ n º

18 ÄÙ Ù º ÇØ ÒØ ÙÑ Ø Ä Ù º½¾ Ä ÚÝÒ Ø ÙÚÙÙ Ð Ù µ ÇÐ ÓÓÒ X 1,X 2,... ÓÒÓ ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ Ó Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø F X1,F X2,... Ú Ø Ú Ø ÑÓÑ Òع Ø ÙÒ Ø ÓØ M X1 (t),m X2 (t),...º ÇÐ ÓÓÒ X ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ ÖØÝѹ ÙÒ Ø Ó ÓÒ F X ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó M X (t)º ÂÓ n Ò Ú Ö ØØ M Xn (t) M X (t) ÐÐ t Ò ÖÚÓ ÐÐ Ó Ò ÒÓÐÐ Ò ÝÑÔÖ Ø ( h,h), h > 0 Ò Ò ÐÐÓ Ò lim F X n (x) = F X (x) n Ô Ø x Ó F X (x) ÓÒ Ø ÙÚ º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ø ÙÖ ¹ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Òº ÌÐÐ Ò ÒÓÑÑ Ø¹ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X 1,X 2,... ÙÔÔ Ò Ú Ø ÙÑ Ñ Ð Ó Ø ØÙÒ¹ Ò ÑÙÙØØÙ Xº Ã Ò Ö Ú ØØÑÒ ØÓ ØÙ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ X 1,...,X n ÓÒ ÓØÓ ÙÑ Ø ÓÒ ÖÚÓ ÓÒ µ Ú Ö Ò σ 2 º Ã Ò Ö Ú ØØÑÒ ÑÙ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò W n = ( n X i nµ)/ nσ Ñ ÙÑ Ð Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ N(0,1) ÙÒ n. Ã Ö Ó Ø Ø Ò W n = X 1 + +X n nµ nσ = (X 1 µ)+ +(X n µ) nσ = 1 nσ (Y 1 + +Y n ), Ñ Y i = X i µ, i = 1,...,n Y i Y j ÙÒ i jº ÅÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò W n Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó ÓÒ M Wn (t) = E(e twn ) = E(e 1 n (Y 1 + +Y n)t) t = M Y1 + +Y n ( ). nσ ÃÓ Y i Y j ÙÒ i j Ò Ò º º½µ t M Wn (t) = M Y1 + +Y n ( ) nσ = n t t M Yi ( ) = [M( )] n, nσ nσ Ñ M( t nσ ) ÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Y i Ý Ø Ò ÙÑ Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ ¹ Ø Óº ÆÝØ Ö ØØ Ó Ó ØØ ØØ M Wn (t) e t2 2 Ñ e t2 2 ÓÒ ÒÓÖÑ Ð Ù¹ Ñ Ò N(0,1) ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Óº Ë ÐÐÓ Ò Ä ÚÝÒ Ø ÙÚÙÙ Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ Ä Ù

19 º º Ã Ò Ò Ö Ú ØØÑ º½¾µ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò W n ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó F Wn Ð Ò ÒÓÖÑ Ð Ù¹ Ñ Ò N(0,1) ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓØ Φº ÃÙÒ Ñ Ö ØÒ h = t σ t2 ÚÓ Ò Ö Ó ØØ n = º Ë ÐÐÓ Ò Ý ØÐ Ø n σ 2 h 2 º º½µ ÙÖ ÒØ Ø ØØ log M Wn (t) = n log M(h) t 2 t2 log M(h) = log M(h) =. σ 2 h2 σ 2 h 2 ÃÙÒ t ÓÒ ÒÒ Ø ØØÝ n Ò Ò h 0º ÎÓ Ò Ó Ó ØØ Ò ÐÝÝ Ò ÙÖ ÐØ ØÙØÙÒ Ä³ÀÓ Ô Ø Ð Ò ÒÒ Ò ÚÙÐÐ ØØ º º¾µ log M(h) lim h 0 h 2 = σ2 2. ÃÙÒ ÙÓÑ Ø Ò ØØ M(0) = 1, M (0) = 0 M (0) = σ 2 ÓÚ ÐÐ Ø Ò Ä³ÀÓ Ô Ø Ð Ò ÒØ ÖØ ØÙÐÓ º º¾µº Æ Ò ÓØ Ò lim n M Wn (t) = e t2 2 º lim log M W n (t) = t2 σ 2 n σ 2 2, Ñ Ö º½¼ ÇÐ ÓÓÒ X,Y ÓØÓ Ø ÙÑ Ø Tas(0,1)º Ë ÐÐÓ Ò ÙÑÑ Z = X +Y ÒÓÙ ØØ ÓÐÑ Ó ÙÑ ÓÒ Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ z, 0 z 1; f Z (z) = 2 z, 1 < 1 2; 0, ÑÙÙ ÐÐ. Ì Ý ÙÒ Ø Ó Ò ÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ ÓÒÚÓÐÙÙØ Ó Ú f Z (z) = f X (z y)f Y (y)dy. Ë ÐÐÓ Ò f Z (z) = z dy = z, ÙÒ 0 z 1 f Z (z) = 1 0 dy = 2 z, z 1 ÙÒ 1 < z 2º ÃÓÐÑ Ó ÙÑ ÓÒ Ó Ô Ð ÓÒ Ð ÑÔÒ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ù Ò Ø ÙÑ º

20 ¾ ¼ ÄÙ Ù º ÇØ ÒØ ÙÑ Ø º ÂÖ ØÝ ÙÙÖ Ø ÇØÓ Ò ÙÙÖ Ò Ô Ò Ò ÖÚÓ ÑÖ Ò Ò ÖÚÓ Ñ Ò ÓÚ Ø ØÖ¹ Ø ÓØÓ ÙÙÖ Ò ÖÚÓ Ò Ö ØÝ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ØÙÒÒÙ ÐÙ Ù º ÇÐ ÓÓÒ X 1,X 2,...,X n ÓØÓ º Å Ö ØÒ ÓØÓ Ò Ô Ò ÒØ ÖÚÓ X (1) ÙÖ Ú Ô ¹ Ò ÒØ X (2) Ò Ò ÐÐ Ò ÓØ Ò X (1) X (2) X (n). ÌÑ Ò Ó ÒØ Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ ÓØÓ ÖÚÓØ Ô ÒÒ Ò Ú Ú Ò Ö ¹ ØÝ Òº ÂÓ ÓØÓ ÓÒ Ñ Ö Ò Ò Ö Ø ØØÝ ÓØÓ ÓÒ º ÆÝØ Ñ Ö X 1 = 5.0 X (1) = 2.7 X (3) = 5.0 ÓÒ Ñ Ò X 3 = 2.7º ÆÝØ X (1) = min(x 1,...,X n ) X (n) = max(x 1,...,X n ). ÌÙÒÒÙ ÐÙ Ù X (k) ÓÒ ÓØÓ Ò kº Ö ØÝ ØÙÒÒÙ ÐÙ Ùº º º½ Å Ñ Ñ Ò Ñ ÇÐ ÓÓÒX 1,X 2,...,X n ÓØÓ ÙÑ Ø ÓÒ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒF(x)º Å ¹ Ñ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ F (n) (x) = (X (n) x) = (X 1 x, X 2 x,..., X n x) = (X 1 x)(x 2 x) (X n x), Ó X 1 X 2 º º º X n ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº à ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò (X i x) = F(x) ÓØ Ò Å Ò Ñ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ F (1) (x) = (X (1) x) F (n) (x) = [F(x)] n. = 1 (X (1) > x) = 1 (X 1 > x, X 2 > x,..., X n > x) = 1 (X 1 > x)(x 2 > x) (X n > x) = 1 [1 F(x)] n. Ñ Ö º½½ ÇÐ ÓÓÒX 1,X 2,...,X n ÓØÓ ÔÓÒ ÒØØ ÙÑ Ø Exp(λ)º ÅÖ Ø ØÒ Ñ Ò Ñ Ò X (1) ÙÑ º ÔÓÒ ÒØØ ÙÑ Ò Exp(λ) ÖØÝѹ ÙÒ Ø Ó ÓÒ { 0, ÙÒ x < 0 F(x) = 1 e λx, ÙÒ x 0º

21 º º ÂÖ ØÝ ÙÙÖ Ø ¾ ½ Ë ÐÐÓ Ò Ñ Ò Ñ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ { 0, ÙÒ x < 0 F (1) (x) = 1 e nλx, ÙÒ x 0º Å Ò Ñ ÒÓÙ ØØ ÔÓÒ ÒØØ ÙÑ Exp(nλ)º ÂÓ ÓØÓ ÓÒ Ø ÙÚ Ø ÙÑ Ø ÓÒ Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f(x) ¹ Ò X (1) Ò X (n) Ò ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø ÓØ Ö ÚÓ Ñ ÐÐ ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓØ F (n) (x) F (1) (x)º ÆÝØ Ñ Ñ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f (n) (x) = d dx [F(x)]n = n[f(x)] n 1 f(x) Ñ Ò Ñ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f (1) (x) = d ( ) 1 [1 F(x)] n = n[1 F(x)] n 1 f(x). dx º º¾ ÂÖ ØÝ ÙÙÖ Ò X (k) ÙÑ ÇÐ ÓÓÒ X 1,X 2,...,X n ÓØÓ ÙÑ Ø ÓÒ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ F(x)º ÂÓ ¹ Ø Ò ÒÝØ Ö ØÝ ØÙÒÒÙ ÐÙÚÙÒ X (k) 1 < k < n ÙÑ º ÂÓ {X (k) x} Ò Ò ÐÐÓ Ò Ò Ò k ÓØÓ ÖÚÓ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ø ÓÖ ÒØ Ò Ý Ø ÙÙÖ Ù Ò xº Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ý Ò ÖØ ÙÙ Ò ÚÙÓ Ø Ô Ù Ø n = 3º ÂÓ Ø Ò Ñ Ò Ò X (2) ÙÑ º Ì Ô ØÙÑ {X (2) x} ØÓØ ÙØÙÙ Ø ÑÐÐ Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ {X 1 x, X 2 x} Ø {X 1 x, X 3 x} Ø {X 2 x, X 3 x} Ø {X 1 x, X 2 x, X 3 x}º ÃÓ (X i x, X j x) = [F(x)] 2 [1 F(x)], i j (X 1 x, X 2 x, X 3 x) = [F(x)] 3, Ò Ò º º½µ F (2) (x) = (X (2) x) = 3[F(x)] 2 [1 F(x)]+[F(x)] 3 3 ( ) 3 = [F(x)] i [1 F(x)] 3 i. i i=2 Ð Ø Ô Ù Ú Ø Ú Ú ÚÓ Ò Ó Ø Ñ ÐÐ Ô Ö ØØ Ð¹ Ð º ÑÑ Ù Ø Ò Ò ØØ Ð ÝÐ Ò Ú Ò Ó ØÓ Ò Ø Ö ÑÑ Ò ØÓØ Ñ¹ Ñ Ú Ò ØØ X (k) Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ º º¾µ F (k) (x) = (X (k) x) = i=k ( ) n [F(x)] i [1 F(x)] n i. i

22 ¾ ¾ ÄÙ Ù º ÇØ ÒØ ÙÑ Ø ÂÓ ÓØÓ ÓÒ Ø ÙÚ Ø ÙÑ Ø Ò Ú Ø Ú Ø Ý ÙÒ Ø Ó Ö ¹ ÚÓ Ñ ÐÐ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Óº Ø ØÒ Ò Ò X (2) Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÙÒ n = 3º ÃÙÒ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó º º½µ Ö ÚÓ Ò Ò f (2) (x) = F (2) (x) = 3 2F(x)f(x)[1 F(x)] 3[F(x)]2 f(x)+3[f(x)] 2 f(x) = 3!F(x)[1 F(x)]f(x). Ö ÚÓ Ñ ÐÐ Ð Ù º º¾µ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X (k) Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÝÐ Ø Ô Ù (1 k n) º º µ f (k) (x) = n! (k 1)!(n k)! [F(x)]k 1 [1 F(x)] n k f(x). Ñ Ö º½¾ ÇÐ ÓÓÒ X 1,X 2,X 3,X 4,X 5 ÓØÓ ÙÑ Ø ÓÒ Ø Ý ¹ ÙÒ Ø Ó ÓÒ f(x) = 2x 0 < x < 1º  ÙÑ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ 0, x < 0; F(x) = x 2, 0 x 1; 1, x > 1. Ë ÐÐÓ Ò Ñ Ò Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ð Ù Ò º º µ ÒÓ ÐÐ f (3) (x) = 5! 2!2! x4 (1 x 2 ) 2 2x = 60x 5 (1 x 2 ) 2, 0 < x < 1. Î Ø Ú Ø Ñ Ò Ñ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f (1) (x) = 10x(1 x 2 ) 4, 0 < x < 1 Ñ Ñ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f (5) (x) = 10x 9, 0 < x < 1. ÎÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ Ö Ø ØÝÒ ÓØÓ Ò X (1),X (2),...,X (n) Ø Ý ÙÒ ¹ Ø Ó { n! n f X(1),...,X (n) (y 1,...,y n ) = f(y i), y 1 < < y n ; 0 ÑÙÙ ÐÐ Ñ f(y) ÓÒ ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Óº

23 º º ËÙÔÔ Ò Ñ ØØ Ø ¾ 10 f (5) (x) f (1) (x) f (3) (x) ÃÙÚ Ó º½º Å Ò Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ñ Ò Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÙÒ ÓØÓ ÓÒ ÙÑ Ø f(x) = 2x 0 < x < 1º º ËÙÔÔ Ò Ñ ØØ Ø º º½ Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù Ò Ð Ç Ó Ø ÑÑ Ø Ð ÐÙÚÙ Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ò ÚÙÐÐ ØØ ÓØÓ ÖÚÓ X ÓÒ ÝÚ ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ ÖÚÓÒ ØÙÒÒÙ ÐÙ Ùº Ä ØÝÑ Ø Ô ÓÒ Ñ Ò Ö Ð Ò Ò Ù Ò Ò Ö Ú ØØÑÒ Ý Ø Ý º ÔÝ ØÐ ÔØ ÐÐ ÙÑ ÐÐ Ó ÐÐ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÓÒØ º Ä Ù º½ Å Ö ÓÚ Ò ÔÝ ØÐ µ ÂÓ X 0 ÓÒ ÔÒ Ø Ú Ò Ò ØÙÒ¹ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ò ÐÐÓ Ò ÐÐ a > 0, a R, (X a) E(X). a Ø ÙÙÖÙÙ ÓÒ ÚÓ Ñ ÐÐÓ Ò Ú Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ (X = a) = p = 1 (X = 0) 0 < p 1º ÌÓ ØÙ º ÌÓ Ø Ø Ò Ð Ù Ö Ø ÐÐ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ º Â Ø ÙÚ ÐÐ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ ØÓ ØÙ ÓÒ Ú Ø Ú ÒÐ Ò Òº ÇÐ ÓÓÒS X ØÙÒÒ ÑÙÙع ØÙ Ò X Ñ ÓÐÐ Ø Ò ÖÚÓ Ò ÓÙ Ó B = {x S X x a}, B c = {x S X x < a} f(x) ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Óº Ë ÐÐÓ Ò E(X) = xf(x) = xf(x)+ xf(x) x S X x B x B c a x Bf(x) = a(x a). Ì Ø ÙÖ ØÙÐÓ (X a) E(X). a

24 ÄÙ Ù º ÇØ ÒØ ÙÑ Ø Ä Ù º½ Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ µ Å ÐÐ Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ X Ú Ó ÐÐ a > 0 c Ô Ø Ô Ò ÔÝ ØÐ º º½µ ( X c a) E(X c)2 a 2. ÌÓ ØÙ º ÃÓ (X c) 2 0, Ò Ò Å Ö ÓÚ Ò ÔÝ ØÐ Ò ÑÙ Ò [(X c) 2 a 2 ] E[(X c)2 ] a 2. ÃÓ ÔÝ ØÐ Ø (X c) 2 a 2 X c a ÓÚ Ø Ý ØÔ ØÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ º ÃÙÒ ÔÝ ØÐ º º½µ Ú Ð Ø Ò c = µ Ò º º¾µ ( X µ a) σ2 a 2, Ñ σ 2 = Var(X) µ = E(X)º Í Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ð Ù ÙØ Ò ÑÙÓ Ó º º¾µº ÇØÓ ÖÚÓ Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ ÇÐ ÓÓÒ X 1 X 2 º º º X n ÓØÓ ÙÑ Ø F ÓÒ ÖÚÓ ÓÒ µ Ú Ö Ò σ 2 º ÇØÓ ÙÑÑ ÓØÓ ÖÚÓ ÓÚ Ø Ë ÐÐÓ Ò S n = X 1 +X 2 + +X n, X n = S n n. E(S n ) = nµ, Var(S n ) = nσ 2, E(X n ) = µ, Var(X n ) = σ2 n. ÃÙÒ ÓÚ ÐÐ Ø Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ ÓØÓ ÖÚÓÓÒX n Ò Ó Ø ε > 0 Ó Ø º º µ ( X n µ ε) σ2 nε 2. Ä Ù º½ À Ó ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù Ò Ð ÀËÄĵµ ÇÐ ÓÓÒX 1 X 2 º º º X n Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò Ñ ÙÑ ÒÓÙ ØØ Ú Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÓÒÓ ÓØÓ µ Ó Ó Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ µ Ú Ö Ò σ 2 º ÇÐ ÓÓÒ S n = X 1 +X 2 + +X n Ë ÐÐÓ Ò Ó ÐÐ ε > 0 X n = S n n. ( X n µ ε) 0, ÙÒ n.

25 º º ËÙÔÔ Ò Ñ ØØ Ø ÌÓ ØÙ º Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ò ÑÙ Ò ÚÖغ º º µµ ( X n µ ε) σ2 nε 2. ÃÙÒ n Ò Ò σ 2 /(nε 2 ) 0 ÓØ Ò ( X n µ ε) 0, ÙÒ n º Æ Ò ÓÒ Ð Ù ØÓ Ø ØØÙº º º¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÒÚ ÙÙ Ò ØØ Òº ÃÓÒÚ ¹ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÙÚ ÓÒ ÓÚ Ö Ð ÙÚ Ô Ø Ú ØØ º ÅÖ Ø ÐÑ º¾ ÙÒ Ø Ó g : R R ÓÒ ÓÒÚ Ó Ó Ø a R Ó Ø ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò λ(a) ØØ º º µ g(x) g(a)+λ(a)(x a) ÐÐ x Rº Ë ÒÓÑÑ ØØ g ÓÒ Ó Ø ÓÒÚ Ó ÔÝ ØÐ º º µ ÓÒ ØÓº ÂÓ g(x) ÓÒ Ö ÚÓ ØÙÚ Ò Ò ÓÔ Ú λ Ò Ú Ð ÒØ ÓÒ g Ò Ö Ú ØØ λ(a) = g (a) ÔÝ ØÐ º º µ ÓÒ ÐÐÓ Ò ÑÙÓØÓ g(x) g(a)+g (a)(x a). ÌÑÒ ÔÝ ØÐ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÚÓ Ò ÔØ ÐÐ ØØ ÙÒ Ø ÓÒ g(x) ÙÚ ÓÒ Ø Ò ÒØØ Ò ÝÐÔÙÓÐ ÐÐ º Ö ÚÓ ØÙÚ ÙÒ Ø Ó g(x) ÓÒ ÓÒÚ Ó Ú Ò Ó Ò Ö Ú ØØ g (x) ÓÒ Ú Ú º ÂÓ 2. Ö Ú ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ Ò Ò g Ò ÓÒÚ ÙÙ Ò ÚÐØØÑØ Ò Ö ØØÚ ØÓ ÓÒ g (x) 0º Î Ø Ú Ø g ÓÒ Ó Ø ÓÒÚ Ó g (x) > 0º Ä Ù º½ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ µ ÇÐ ÓÓÒ X ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÐÐ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ g(x) ÓÒ ÓÒÚ ÙÒ Ø Óº Ë ÐÐÓ Ò º º µ E[g(X)] g[e(x)]. ÂÓ g ÓÒ Ó Ø ÓÒÚ Ò Ò ÔÝ ØÐ º º µ ÓÒ ØÓ ÐÐ X ÓÐ Ú Óº ÌÓ ØÙ º Î Ð Ø Ò ÔÝ ØÐ º º µ a = E(X)º Ë ÐÐÓ Ò Ò º º µ g(x) g(e(x))+λ(x E(X)). ÃÙÒ ÔÝ ØÐ º º µ ÓØ Ø Ò ÔÙÓÐ ØØ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓØ Ò ØÙÐÓ º º µº Ñ Ö º½ Ñ Ö ÙÒ Ø ÓØ g(x) = x g(x) = x 2 ÓÚ Ø ÓÒÚ ¹ ÙÒ Ø Ó Ø º ÂÓ X ÐÐ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò 2. ÑÓÑ ÒØØ E(X) = µ X ÓÐ Ú Ó Ò Ò Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ Ò º º µ ÑÙ Ò E(X 2 ) > µ 2 Ó g(x) = x 2 ÓÒ Ó Ø ÓÒÚ g (x) = 2 > 0µº Î Ø Ú ÐÐ ÔØØ ÐÝÐÐ ÚÓ Ò Ó Ó Ø¹ Ø ØØ E(log(X)) < log[e(x)] Ó X ÓÐ Ú Óº Ò Ò ÓÒ ÙÓÑ ØØ Ú ØØ ÙÒ Ø Ó g(x) = log(x) ÓÒ Ó Ø ÓÒÚ ÐÐ g (x) = 1 > 0º x 2

26 ÄÙ Ù º ÇØ ÒØ ÙÑ Ø º º ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò Ç Ó Ø ÑÑ Ð ÚÙÚÙ º Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ò ÚÙÐÐ ØØ ÓØÓ Ö¹ ÚÓ X ÓÒ ÝÚ ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ ÖÚÓÒ ØÙÒÒÙ ÐÙ Ùº Ì Ö Ø ÐÙ Ô ÖÙ ØÙ Ø Ò º ØÓ Ø Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò ØØ Òº ÅÖ Ø ÐÑ º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÓÒÓ{X n } ÙÔÔ Ò ØÓ Ø Ø Ó ¹ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X Ó ÐÐ ε > 0 Ø Ý ØÔ ØÚ Ø lim ( X n X ε) = 0 n lim ( X n X < ε) = 1. n ËØÓ Ø Ø ÙÔÔ Ò Ñ Ø ÒÓØ Ò ÑÝ ÙÔÔ Ò Ñ ØÓ ÒÒ Ýݹ Ò Ñ Ð Ñ Ö ØÒ X n Xº Í Ò Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ø Ð ÒÒ ØØ ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓØ Ð ØÝØÒ ÓÒ Ú Óº ÌÐÐ Ò Ò Ø Ð ÒÒ ÓÒ Ó ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù Ò Ð Ä Ù º ÀËÄĵº ÀËÄÄ ÒÓÓ ØØ ÓØÓ ÖÚÓ ÙÔÔ Ò ØÓ Ø Ø Ó Ø ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ ÖÚÓ ÙÒ ÓØÓ Ó Ó Ú º ÇÐ ÓÓÒ {X n } ÐÐ Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÓÒÓ ØØ E(X n ) = µ Var(X n ) = σ 2 º À ÓÒ ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù Ò Ð Ò ÑÙ Ò X n µ, Ñ X n = (X 1 +X 2 + +X n )/nº Ä Ù ØÓ Ø ØØ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ò ÚÙÐÐ º Ñ Ö º½ ÇÐ ÓÓÒ {X n } ÓÒÓ ÐÐ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ¹ ØØ Ë ÐÐÓ Ò (X n = 1) = 1 (X n = 0) = 1 1 n n. (X n = 1) = 1, ÙÒ 0 < ε < 1 ( X n ε) = n 0, ÙÒ ε 1º Ì Ø Ò Ò ØØ ( X n ε) 0 ÙÒ n º ÎÓ ÑÑ ÒÓ ØØ X n 0º Ñ Ö º½ ÇØÓ Ú Ö Ò Ò Ø Ö ÒØÙÚÙÙ µ ÇÐ ÓÓÒ {X n } ÐÐ Ò Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÓÒÓ ØØ E(X n ) = µ Var(X n ) = σ 2 < º ÇØÓ Ú ¹ Ö Ò ÓÒ Sn 2 = 1 (X i X) 2. n 1 Ì ÑÑ ØØ E(S 2 n ) = σ2 º Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ò ÑÙ Ò ( S 2 n σ 2 ε) E(S2 n σ2 ) 2 ε 2 = Var(S2 n ) ε 2. ÂÓ ÒÝØ Var(S 2 n ) 0 ÙÒ n Ò Ò lim n ( S 2 n σ2 ε) = 0 (S 2 n,n 1) ÙÔÔ Ò ØÓ Ø Ø Ó Ø ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Ú Ö Ò º

27 º º ËÙÔÔ Ò Ñ ØØ Ø ËØÓ Ø Ø ÙÔÔ Ò Ñ Ø Ó Ú ØÙÐÓ Ä Ù º½ ÇÐ ÓÓØ (X n,n 1) (Y n,n 1) ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÓÒÓ X Y ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ c b Ú Ó Ø b 0º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ n º Ë˽µ ÂÓ E(X n c) 2 0 Ò Ò X n cº Ë˾µ ËË µ ËË µ ËË µ ÂÓ X n X Y n Y Ò Ò X n +Y n X +Yº ÂÓ X n X Ò Ò cx n cxº ÂÓ X n X Y n Y Ò Ò X n Y n XY º ÂÓ X n c Y n b c b 0 Ú Ó Ø Ò Ò Xn Y n c b º Ä Ù º½ ÇÐ ÓÓÒ g Ô Ø c Ø ÙÚ Ö Ð ÙÒ Ø Óº µ ÂÓ X n c Ò Ò g(x n ) g(c)º µ ÂÓ X n X Ò Ò g(x n ) g(x)º ÌÓ ØÙ º ÌÓ Ø Ø Ò Ó Ø (a)º ÇÐ ÓÓÒǫÑ Ø Ò ÔÓ Ø Ú ÐÙ Ùº ÙÒ ¹ Ø ÓÒ g Ø ÙÚÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ ÚÓ Ò Ò Ú Ð Ø ÐÐ Ò Ò δ > 0 ØØ Ú Ø Ú Ø x c < δ g(x) g(c) < ǫ º º µ g(x) g(c) ǫ x c δ. ÔÝ ØÐ Ò º º µ ÒÓ ÐÐ {x : g(x) g(c) ǫ} {x : x c ǫ} ÓØ Ò ( X n c ǫ) ( g(x n ) g(c) ǫ}). ÇÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò ( X n c ǫ) 0 ÓØ Ò ( g(x n ) g(c) ǫ} 0. Ë g(x n ) g(c)º ÔÙÐ Ù º½ ÇÐ ÓÓØ (A n,n 1) (B n,n 1) ÐÐ Ø Ø Ô ØÙÑ Ò Ó¹ ÒÓØ ØØ (A n ) 1 (B n ) 1 ÙÒ n º Ë ÐÐÓ Ò (A n B n ) 1 ÙÒ n º ÌÓ ØÙ º ËÓÚ ÐÐ ÅÓÖ Ò Ò ÒØ Ø Ô ØÙÑ ÒA n B n ÝØ ØØ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ý Ø Ð ÙÐ Ù ØØ º Ä Ù Ò º½ Ó Ò Ë˾µ

28 ÄÙ Ù º ÇØ ÒØ ÙÑ Ø ÌÓ ØÙ º ÀÙÓÑ ØØ X n X X n X 0 Y n Y Y n Y 0º ÃÓÐÑ Ó ÔÝ ØÐ Ò ÑÙ Ò (X n +Y n ) (X +Y) X n X + Y n Y. ÃÙÒ Ú Ð Ø Ò X n X < ǫ 2 Y n Y < ǫ 2 Ò Ò X n X + Y n Y < ǫº ÃÓ {ω : X n X < ǫ 2 } {ω : Y n Y < ǫ 2 } {ω : X n X + Y n Y < ǫ}, Ò Ò ( (X n +Y n ) (X +Y) < ǫ) ({ X n X < ǫ 2 } { Y n Y < ǫ 2 }). ÃÓ ({ X n X < ǫ}) 1 2 ({ Y n Y < ǫ }) 1 Ò Ò ÔÙÐ Ù Ò 2 º½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÙÖ Ú Ø º ÅÖ Ø ÐÑ º ËÙÔÔ Ò Ò Ñ Ò Ò Ò Ð Ú Ö Ò Ñ Ð µ Ë ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ Ò ÓÒÓ (X n,n 1) ÙÔÔ Ò Ò Ð Ú Ö Ò Ñ Ð Ó Ø ¹ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X Ó lim E(X n X) 2 = 0, n Ñ E(X 2 n )E(X2 ) < º Ë ÐÐÓ Ò Ñ Ö ØÒ X n mse Xº Ä Ù º½ ÂÓ X n mse X Ò Ò X n Xº ÌÓ ØÙ º Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ ÒÑÙ Ò ( X n X ǫ) E(X n X) 2 ǫ 2 ÐÐ ǫ > 0. mse ÃÓ X n X Ò Ò ÅÖ Ø ÐÑÒ º ÑÙ Ò E(X n X) 2 0 ÙÒ n º Æ Ò ( X n X ǫ) 0 ÙÒ n º ËØÓ Ø Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò X n Xº º º ËÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò ÙÑ Ñ Ð ÇÐ ÑÑ ÐÐ Ó Ù Ò ÓØØ Ò ØÙØÙ ØÙÒ Ø ÙÔÔ Ò Ñ Ò ÙÑ Ñ ¹ Ð º Ã Ø ÑÖ Ø ÐØ Ò Ð ÐÙÚÙ º º ÅÖ Ø ÐÑ º½µº Ë ØÙÒÒ ÑÙÙع ØÙ Ò ÓÒÓ (X n,n 1) = (X 1,X 2,...) ÙÔÔ Ò ÙÑ ÐØ Ò Ó Ø ØÙÒ¹ Ò ÑÙÙØØÙ X X n d X ÙÒ n µ Ó lim n F X n (x) = F X (x) Ô Ø x Ó F X (x) ÓÒ Ø ÙÚ º ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØ ÑÓÑ ÒØØ ¹ ÙÒ Ø Ó Ò ÓÒÓÒ ÙÔÔ Ò Ñ Ø ÙÖ Ú Ø Ú Ò ÙÑ Ò ÙÔÔ Ò Ñ ¹ Ò Ò ÙÑ Ñ Ð º

29 º º ËÙÔÔ Ò Ñ ØØ Ø Ñ Ö º½ ÇÐ ÓÓØ (X n, n 1) ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ó Ò ÖØÝѹ ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ 0, ÙÒ x < 1 1 n 1 F n (x) = 2, ÙÒ 1 1 x < 1+ 1, n n 1, ÙÒ x n Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ { 0, ÙÒ x < 1 F(x) = 1, ÙÒ x 1. à ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó F ÓÒ Ø ÙÚ ÑÙÙ ÐÐ Ô Ø Ô Ø x = 1º ÃÙÒ x < 1 Ú Ð Ø Ò n 0 > 1/(1 x)º Ë ÐÐÓ Ò x < 1 1 n 0 ÑÝ x < 1 1 n ÐÐ n n 0º Æ Ò F n (x) = 0, ÙÒ n n 0 º ÃÙÒ x > 1 Ú Ð Ø Ò n 0 1/(x 1)º Ë ÐÐÓ Ò x 1+ 1 n 0 x 1+ 1 n ÐÐ n n 0. Ë F n (x) F(x) ÙÒ x 1º ÂÓ d X n F n X F Ò Ò X n Xº ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØ F n (x) F(x) Ô Ø ÙÚÙÙ Ô Ø 1º F n (1) = 1 ÐÐ n ÑÙØØ F(1) = 1º 2 ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò ÓÒ Ú Ú ÑÔ Ø Ù Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò ÙÑ ¹ Ñ Ð º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÓÒÓ ÚÓ ÙÔ Ø ÙÑ Ñ Ð ÑÙØØ ØÓ Ø Ø º ÌÓ ÐØ ØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò ÑÔÐ Ó ÙÔÔ Ò Ñ Ò ÙÑ Ñ Ð º Ä Ù º¾¼ ÂÓ X n X Ò Ò X n d Xº ÌÓ ØÙ º à ÐÐ ǫ > 0 Ô Ø Ô Ò Ë ÑÓ Ò Ë F n (x) = (X n x) = (X n x,x x+ǫ)+(x n x,x > x+ǫ) F(x+ǫ)+( X n X > 0). F(x ǫ) = (X x ǫ) = (X x ǫ,x n x)+(x x ǫ,x n > x) F n (x)+( X n X > 0). F(x ǫ) ( X n X > 0) F n (x) º º µ F n (x+ǫ)+( X n X > 0). ÃÙÒ n ÙÖ ÔÝ ØÐ Ø º º µ ÔÝ ØÐ F(x ǫ) F n (x) F(x+ǫ). ÃÙÒ ǫ 0 F n (x) F(x) F Ò Ø ÙÚÙÙ Ô Ø º

30 ¾ ¼ ÄÙ Ù º ÇØ ÒØ ÙÑ Ø Ö ØÝ Ø Ó ÓÒÓ X n, n 1 ÙÔÔ Ò Ó Ø Ú ÓØ a Ø º (X = a) = 1µ d ØÓ Ø Ø Ò Ò Ä Ù Ò º¾¼ ÑÙ Ò X n aº Ì Ö Ó Ø Ô Ù Ô Ø Ô Ò ÑÝ ÒØ Ò Ò ØÙÐÓ ÙÖ Ú Ð Ù º Ä Ù º¾½ ÇÐ ÓÓÒ a Ú Óº Ë ÐÐÓ Ò X n d a X n aº ÌÓ ØÙ º Ç Ó Ø ÑÑ ØØ ÙÔÔ Ò Ñ Ø ÙÑ Ñ Ð ÙÖ ÙÔÔ ¹ Ò Ñ Ò Ò ØÓ Ø Ø º ÇÐ ÓÓÒ F ÐÐ Ò X Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ØØ (X = a) = 1 (F n, n 1) ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó Ò ÓÒÓ Ñ F n ÓÒ X n Ò ÖØÝѹ ÙÒ Ø Óº ÆÝØ F(x) = 0, ÙÒ x < a F(x) = 1 ÐÐ x Ò ÖÚÓ ÐÐ x aº È Ø Ø a ǫ a+ǫ ÓÚ Ø F Ò Ø ÙÚÙÙ Ô Ø Ø ÐÐ ǫ > 0º ÆÝØ ( X n a < ǫ) ( X n a ǫ) = (a ǫ X n a+ǫ) = (X n a+ǫ) (X n < a ǫ) = F n (a+ǫ) (X n < a ǫ). d ÂÓ X n X Ò Ò F n (a+ǫ) 1 (X n < a ǫ) F n (a ǫ) 0 ÐÐ ǫ > 0 ÙÒ n º Ë ( X n a ǫ) 1 ÙÒ n Ð X n aº d ÂÓ X n X Ò Ò Ø ÙÖ ØØ Ø Ý ÙÒ Ø ÓØ Ø ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝ ÙÒ Ø ÓØ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ µ f n (x) ÙÔÔ Ò Ú Ø Ó Ø X Ò Ø ¹ Ý ÙÒ Ø ÓØ f(x)º ÌÑ Ó Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú Ñ Ö º Ñ Ö º½ ÇÐ ÓÓÒ {X n }, n 1 ÐÐ Ò Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÓÒÓ ØØ ÓÒÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø { 1, ÙÒ x = 2+ 1 n f n (x) = (X n = x) = 0, ÙÒ x 2+ 1 n º ÀÙÓÑ ØØ f n (2) = 0 ÐÐ nº Ì Ø ÙÖ ØØ f n (x) f(x) Ñ f(x) = 0 ÐÐ xº Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X n ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÑÙÓØÓ { 0, ÙÒ x < 2+ 1 n F n (x) = 1, ÙÒ x 2+ 1 n º ÃÙÒ n Ò Ò F n (x) F(x) Ñ { 0, x < 2; F(x) = 1, x 2. F(x) ÓÒ Ô Ø Ò x = 2 Ò ÖÓ ØÙÒ Ò ÙÑ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Óº ÆÝØ X Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó f(2) = 1 f(x) = 0, ÙÒ x 2º ÌÓ ÒÒ¹ ÝÝ ÙÒ Ø Ó Ò f n (x) ÓÒÓ Ù Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ó Ø ØÑÒ ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø ÓØ Ó f n (2) = 0 ÐÐ nº

31 º º ËÙÔÔ Ò Ñ ØØ Ø ¾ ½ ÇÐ ÓÓÒ {X n } ÓÒÓ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ó Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ µ Ú Ö ¹ Ò σ 2 º Ë ÐÐÓ Ò Ò Ö Ú ØØÑÒ ÑÙ Ò Z n = X n µ σ/ n d Z, Ñ Z N(0,1)º ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØ Z n Ò ÙÑ Ø ÓÚ Ø Ù Ò Ö Ø¹ Ø ÑÙØØ ÐØ Ö ÙÑ ÓÒ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ º ÃÙÒ n ÓÒ Ö ØØÚÒ ÙÙÖ Ò Ò ( a X ) n µ σ/ n b Φ(b) Φ(a). ÂÓ Ñ Ö X n Bin(n,p) Ò Ò ÐÐÓ Ò Ò Ö Ú ØØÑÒ ÑÙ Ò n(xn p) p(1 p) d Z, Ñ Z N(0,1)º ÌØ ØÙÐÓ Ø ÙØ ÙØ Ò ÅÓ ÚÖ Ò Ä ÔÐ Ò Ð Ù º Ä Ù º¾¾ ËÐÙØ ÝÒ Ð Ù µ ÇÐ ÓÓØX 1,X 2,... Y 1,Y 2,... ØÙÒÒ ÑÙÙع d ØÙ Ò ÓÒÓ a Ú Óº ÂÓ X n X Y n a Ò Ò ½º X n +Y n d X +a ¾º Y n X n d axº ËÐÙØ ÝÒ Ð Ù ÚÓ Ò ØÓ Ø Ñ ÒÐ ÐÐ Ø Ò ÐÐ Ù Ò Ð Ù º¾¼º Ê Ó ØÙÑÑ Ø ØÝ Ø Ò ÐÐ Ø ØØÝÝÒ ÙÔÔ Ò Ñ ¹ ØØ Ò ØÓ Ø Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò ÙÑ Ñ Ð º ØÑÑ Ù Ø Ò Ò Ú Ð Ò º Ñ Ð Ò Ú ÖÑ Ò ÑºÚºµ ÙÔÔ Ò Ñ Ò ÑÖ ¹ Ø ÐÑÒº ÅÖ Ø ÐÑ º ÂÓÒÓ {X n } ÙÔÔ Ò Ñ Ð Ò Ú ÖÑ Ø Ó Ø ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ X Ó ( lim n X n X < ε ) = 1. Æ ÒÒ Ø ÑÖ Ø ÐÑ ÑÙ ØÙØØ ØÓ Ø Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø ÓÚ Ø ÐÐ ÐÐ Ø Ö Ð º

ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù

ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº

Lisätiedot

ÈÖÓ Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐ ÓÒ ØØÓ ¹ Ð º ÂÓ Ò Å Ò Ö Ò Ý

ÈÖÓ Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐ ÓÒ ØØÓ ¹ Ð º ÂÓ Ò Å Ò Ö Ò Ý ÈÖÓ Ð Ø Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ñ Ø ÐÐÒ ÔÖÓ Ð Ø Ð ÓÖ ØÑ º ÌÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÖÚ Ø Ò Ø Ø ØÒ ÓÐ Ó ØÙÐÓ Ò ÑÙ Ò Ö Ù ÙØ Òº ÖÓÒ Ô Ø ÖÑ Ò Ñ Ò ÓÒ ØØ ÒÝØ Ø Ö Ø ÐÐ ÖÓ Ú Ò Ð ÒØ ØÓ Ø Ø Ò ÙÙ ÐÐ ÖÚ Ù ÐÐ Ø ÖÚ ØØ º Ä ÓÒ Ö ØØ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ

Lisätiedot

p q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2

p q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 º ÅÓÒ ÙÐÓØØ Ø Ö ÒØ Ð Ð ÒØ º½ Â Ø ÙÚÙÙ Ó ØØ Ö Ú Ø Ø Ù Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ö ÒØ Ð Ð ÒØ ÐÑÔ Ø Ð ÓÒ Ò Ô Ò ÙÒ Ø Ó T(x, y, z.t) ÄÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ÐÑÓ ØØ Ñ Ò ÙÙÒØ Ò ÐÑÔ Ø Ð Ú ÚÓ Ñ ÑÑ Ò Ù Ò Ð ÐÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ½½ ÃÓÓÖ

Lisätiedot

º F(+, + ) = 1 F(, ) = F(, y) = F(x, ) = 0 й

º F(+, + ) = 1 F(, ) = F(, y) = F(x, ) = 0 й ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½

Lisätiedot

1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i).

1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i). ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½

Lisätiedot

ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ

ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º º ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø Ø ¹ÑÖ ØØ ÐÝ º¾µ ÚÓ Ú Ø Ø ÑÝ Ø Ò ÑÖ Ø ÐØÚ Æ Ñ ÒØÝ ÑÝ ³ ³¹Ñ Ö Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ º Ë Ò ÓÐ ÐÐ ØØÝ ØÝÔ ¹ÐÝ ÒØ º½µº ¾ ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ

Lisätiedot

Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø

Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ Å Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó ÔÝ ØÝÝ ÐÐ Ý ØØ Ðк Å Ò Ø Ð Ú Ø ÚÙÙ ÓÒ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) ÓÒ Å Ò Ð Ñ Ò ÑÙ Ø Ô Ó Ò Ñ Ñ ÐÙ ÙÑÖ ÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ô ØÙ Ý ØØ Øº ÂÓ Å Ò Ø Ð Ú Ø ÑÙ ÓÒ

Lisätiedot

P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,

P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1, ËÁË ÄÌ º º½ º º¾ º º º º Ú Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò

Lisätiedot

139/ /11034 = 0.58

139/ /11034 = 0.58 ÄÙ Ù ÂÓ ÒØÓ Ø Ð ØÓÐÐ Ò ÔØØ ÐÝÝÒ º½ Ì Ð ØÓÐÐ Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÐÙÓÒÒ Ì Ð ØÓÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÔØØ ÐÝ ØØ Ð Ú ÒØÓ Ò Ú Ø ÐÙ ÔÚ ÖÑÙÙØØ º ÓÐ Ø ØÒ ÐÚ ØØ ØÙÓÐÐ Ø Ø ÚÓ Ò Ø¹ Ø Ñ ØÒ Ø ÑÐÐ Ø Ø Ø Ø ÐРغ Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÓÒ ÓÑ

Lisätiedot

F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º

F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½

Lisätiedot

Ð ØÖÓÒ Ø Ñ ÙÚÐ Ò Ø Ì ÑÙ Ê ÒØ ¹ Ó À Ð Ò ¾ º ÐÓ ÙÙØ ½ Ë Ò ÙÔ Ò ÝÒÒ Ò Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Å Ù Ö Ø ÐÑØ ¾ ¾º½ ÆÝ Ý Ø Ñ Ù Ö Ø ÐÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

F n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }.

F n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }. Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½

Lisätiedot

F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º

F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½

Lisätiedot

Kuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely

Kuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑ Ò Ö ÒÒ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ø ÐРؽ ؾ Ø È Ð Ó ÐÑ Ò Ô ÖÙ Ö ÒÒ Ì ØÓ ÓÒ Ô Ð Ò ÝØ Ñ Ò ÓÒ Ñ ÐÐ Ó Ø Ò ÙÚ ØØ ÐÐ Ø Ñ ÐÑ Ø ÚÓ ÓÐÐ Ú Ò Ý Ò ÖØ Ò Ò Ð

Lisätiedot

X = 0I A0 +1I A1 +2I A2 +3I A3 = 1I A1 +2I A2 +3I A3. {X(ω) = r}º

X = 0I A0 +1I A1 +2I A2 +3I A3 = 1I A1 +2I A2 +3I A3. {X(ω) = r}º ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º

Lisätiedot

Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»

Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½» Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½» Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓØ Ò ÐØ º Å Ø Ò Ô Ð ÓÒ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÙÐÙØØ ØÙÒÒ Ø Ò Ò Á Ä Ø Ò Ð Ò ØÙÒÒ Ø Ú ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ô Ù Ó Ð Ö Øصº Ä Ø Ò

Lisätiedot

F n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}.

F n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}. Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½

Lisätiedot

ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö

ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ý ÝÐÐ Ø ØÓÖ ÒØ Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ

Lisätiedot

MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,

MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2, ËÁË ÄÌ Ú º º½ Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò º

Lisätiedot

A B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) =

A B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) = ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º

Lisätiedot

Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»

Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½» Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½» ÃÙÖ Ò ÐØ Ø ÐØÙ ÐØ ½ ¾ Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò ÄÙÓ È ÄÙÓ ÆÈ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ ÆȹØÝ ÐÐ ÔÖÓ Ð ÑÓ Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÄÙÓ ÈËÈ Ë Ú Ø Ò Ð Ù Ñ Ö ÈËÈ ¹ØÝ ÐÐ Ø

Lisätiedot

À Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø

À Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø Ì ÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ì Ó Ø ÐÐÒ ÓÒ ÐÑ ÓØ ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ö Ø Ú ÑÙØØ Ó Ò Ö Ø Ù Ú Ø Ò Ò Ô Ð ÓÒ Ø Ø Ð ØØ Ö Ø Ù ÓÐ ÝØÒÒ ÐÚÓÐÐ Ò Òº Í ÑÑ Ø ÓÐ ØØ Ú Ø ØØ ÆȹØÝ ÐÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÚ Ø Ø ÔÙÑ ØØÓÑ ÒØÖ Ø Ð µ ÑÙØØ ØØ ÓÐ ØÓ Ø ØØÙº

Lisätiedot

ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º

ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ ØÝ Ð º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÉÄ ÓÐ Ó Ý ÐÝ Ð º º º º º º º º º º º º

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ ØÝ Ð º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÉÄ ÓÐ Ó Ý ÐÝ Ð º º º º º º º º º º º º ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÇÐ ÓÔÓ Ø Ø ØÓÑ ÐÐ Ø Ø ØÓ ÒÒ Ò ÐÐ ÒØ Ö Ø ÐÑ ÖØÓ ÖÐÙÒ À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ

Lisätiedot

Ð Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø

Ð Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø Ä Æ Ä ÍÃÃÇÆ Æ Å Ø Ñ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ØÓØ Ø Ò Ú Ö Ø Ö Ø ÐÙ ÓÔ ÒØÓ¹ Ñ Ò ØÝ Ò Ú ÙØØ Ú Ò Ø Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÈÄÇÅÁÌ ÝÚ ÝØØÝ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ó ØÓÒ ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ º½½º¾¼¼ º Ì Ö Ø Ø ÔÖÓ ÓÖ Ë ÔÔÓ ÈÓ ÓÐ Ò Ò ØÙØ Å ÀÙ ÓÐ

Lisätiedot

d 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j

d 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j ¾º¾º ÁÌÇÁÆÌÁ Ì ÁË Æ Ä Ëà ÅÁÆ Æ ¾ º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ ÌÌÈÈÈÌÄÌÅÈÈ Ò Ù Ø¹Öݹ¹ Ò¹¹¹Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÐÙ ØØ ÐÓ Ò Ù ØÖÝ d ǫ ÒØ ÖÝ ǫ e ÒÙ ØÖÝ u ǫ ÒØ Ö Ý y s Ò ØÖÝ s ǫ ÒØ Ö ǫ t ÒØÖÝ ǫ e ÒØ Ö Ø ¾º¾ ØÓ ÒØ Ø ÝÝ Ò Ð

Lisätiedot

Symmetriatasot. y x. Lämmittimet

Symmetriatasot. y x. Lämmittimet Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ ¹ÖÝ ÑĐ» ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó ÅÍÁËÌÁÇ ÆÓ»Ì ÊÅǹ ¹¾¼¼¼ ÔÚÑ ½¼º Ñ Ð ÙÙØ ¾¼¼¼ ÇÌËÁÃÃÇ Ø Ú ÒعØÙÐÓ ÐÑ Ð ØØ Ò ¹Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò ÖØ Ø ØÙØ ØÙÐÓ ÐÑ Ð Ø Ñ ÐÐ Ø Ä ÌÁ ̵ ÂÙ Ú Ó Ð ¹ÂÙÙ Ð

Lisätiedot

È Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾»

È Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾» È Ú Ö Ù ÆÈ Á à РÐÙÓ Ø È ÆÈ ÒÝØØÚØ ØÝ Ò Ö Ð ÐØ Ë ÐÚ Ø È ÆȺ µ È ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÐ º µ ÆÈ ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ú Ö Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ð ÓÒ

Lisätiedot

º F(+,+ ) = 1 F(, ) = F(,y) = F(x, ) = 0 й

º F(+,+ ) = 1 F(, ) = F(,y) = F(x, ) = 0 й Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ ¾ º½º À Ö Ö

Lisätiedot

139/ /11034 = 0.58

139/ /11034 = 0.58 Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ

Lisätiedot

el. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln (

el. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln ( ÈÙÓÐ Ó ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ô ÖÙ Ø Ø À Ì Øº ½º È ÖÖ ÔÒ¹ÔÙÓÐ Ó Ð ØÓ Ò Ò Ö ÚÝ Ñ ÐÐ ÙÒ ÙÐ Ó Ò Ò ÒØØ ÓÒ ÒÓÐÐ º ÂÓ ÓÒØ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò V 0 Ý ØÐ µ ÃÙÚ Ò ÚÙÐÐ µ Ù ÓÚ ÖØ Ý ØÐ Ø Ô¹ Ò¹ØÝÝÔ Ø Ò Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ö Ø ÓØ Ô¹ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÙÖ

Lisätiedot

f(x) =, x = 0,1,...,100. P(T 20) = P( X 50 20) 0.

f(x) =, x = 0,1,...,100. P(T 20) = P( X 50 20) 0. Ú ËÁË ÄÌ ½¾º ËÙ Ø ÐÐ Ø Ò Ó ÙÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º ÇØÓ Ó Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½¾º Å Ò Ò ÙÑ Ø Ú Ô ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º º º º º º º º º º

Lisätiedot

ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼

ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼ Å Ð Ë Ú Ð ÂÓ ÒØÓ Ð Ø ÓÖ Òº ØÖ ÙØ Ú Ø Ð Ø ÔÐÓÑ ØÝ ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼ ÁÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ ÐÙÓÒÒÓÒØ

Lisätiedot

º F(+,+ ) = 1 F(, ) = F(,y) = F(x, ) = 0 й

º F(+,+ ) = 1 F(, ) = F(,y) = F(x, ) = 0 й Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ

Lisätiedot

Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø

Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò ØÓÖ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð

Lisätiedot

{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}.

{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}. Ä Ø ÓÓ Ø Ø º º Ä Ø ÓÓ Ø Ø Å Ø Ñ Ø ÓØ ÑÖ ØØ Ð ÚØ Ù Ò ÓÙ Ó ÑÔÐ ØØ ÐÐ ÒÓØ Ø ÓÐÐ Ò ÙØ Ò {(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}. À ÐÐ Ø Ö Ó Ú Ø Ú Ò ÒÓØ Ø ÓÒ Ð ØÓ ÐÐ Ò Ú ØÓ ØÓ Ò ÝÒØ Ò Ø Ú ÐÐ ÐÐ Ð Ø

Lisätiedot

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø È ÀÌ Ä Ì Ê ÙÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ

Lisätiedot

Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð

Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÖÓ Æ Ñ Ð ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø

Lisätiedot

Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ

Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ Á Å Ö Ò Ò À Ò ½½º º¾¼¼ Ç Ñ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò

Lisätiedot

(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc).

(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc). ÃÓÑÔÐ ÐÙÚÙ Ø ½ ½º ÂÓ ÒØÓ ØÐ ÐÐ x + 1 = 0 ÓÐ Ö Ø Ù Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ó Ó Ò Ö Ð ÐÙ¹ ÚÙÒ ØÓ Ò Ò ÔÓØ Ò ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Òº ÂÓØØ ØÐÐ Ý ØÐ ÐÐ Ø Ò Ö Ø Ù Ñ Ò ØÝØÝÝ Ð ÒØ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ð ÑÐÐ Ò ÙÙ Ð Ó Ñ Ö ØÒ Ø¹ Ø ØÓ Ø

Lisätiedot

a b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº

a b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº ÄÙ Ù ÐÙ Ø ÂÙ Ä Ö ÂÓÙÒ È Ö ÓÒ Ò ÄÙ ÐÐ ÌÑ ÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÂÓÙÒ È Ö Ó Ò ÚÙÓ Ò ¾¼¼ ¾¼¼ ÂÙ Ä Ö Ò ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ Ô ØÑ Ò ÄÙ Ù Ð٠ع ÙÖ Ò ÐÙ ÒØÓ Òº ÅÓÒ Ø Ò Ò Ò Ñ Ø ¹ Ö Ð ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ú ÓÒ Ñ ØØ ÐÐ ÐÙ ÒØÓ ÙÖ ÐÐ Ð ÑÙ

Lisätiedot

:: γ1. g 1. :: γ2. g 2

:: γ1. g 1. :: γ2. g 2 ÌÝÝÔÔ Ú ØØ Ø ¹ Ý ÝÑÝ Ø º º¾ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ý ÝÑÝ Ð Ø x g Ò e? :: α Ö Ø Ø Ò ÓÐ ÐÐ Ø ÑÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ØØ ÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙØØ À ÐÐ ÝÐ Ø Ò ÐÐ ÑÙÙØØÙ Ó ÐÐ ÐÑ ÒØÙ ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ð Ó º Ë Ø ÑÙØ ÑÑ Ò ÑÓÒ Ý ÝÑÝ Ð Ø p g Ò e? ::

Lisätiedot

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ã Ö Ì ÑÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ç ÐÑ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ð Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ

Lisätiedot

ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø

ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ìº à ÖÚ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ½» ½½ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì

Lisätiedot

Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç Å ÖØØ Ì Ò Ö ¾ º½º¾¼½½ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ

Lisätiedot

º A, B E A B E. A B = A B. A k E, k N k=0 A k E. p(b) = m N,

º A, B E A B E. A B = A B. A k E, k N k=0 A k E. p(b) = m N, Ì Ð ØÓÑ Ø Ñ Ø Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÇÙÐÙ ÙÐØÝ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý Ú ÓÒ Ó Å Ø Ñ Ø Â ÒÙ ÖÝ ¾¼¼ ¾ ÔØ Ö ½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ø ½º½ Ë ØÙÒÒ Ó ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ Ò Ø Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ ØØ Ñ Ø Ñ ØØ Ñ Ò Ø Ð¹ Ñ ÙÚ Ñ Ò Ø Ø Ó Ø

Lisätiedot

f(x;n,θ) = θ x (1 θ) n x, x = 0,1,...,n; 0 θ 1. Θ = {θ 0 θ 1}. ˆθ = x n.

f(x;n,θ) = θ x (1 θ) n x, x = 0,1,...,n; 0 θ 1. Θ = {θ 0 θ 1}. ˆθ = x n. ËÁË ÄÌ Ú º º½ Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò º

Lisätiedot

k(x,x ) K N(µ, Σ) GP(m(x), k(x,x )) X x p diag(x)

k(x,x ) K N(µ, Σ) GP(m(x), k(x,x )) X x p diag(x) Ì ÊÅÇ ÁÂ ÍËËÁÆ ÈÊÇË ËËÁÌ Ê Ê ËËÁÇ Æ Ä ËÁËË Ã Ò Ø ÒØÝ Ç ÝÐ Ø ÒØØ À ÖÖ Ä Ñ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ À ÀÙØØÙÒ Ò ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓØ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ Ì ÊÅÇ ÁÂ Ù Ò ÔÖÓ Ø Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ Ã Ò Ø ÒØÝ

Lisätiedot

P(E i ) P( ) = 0. P(A A c ) = P(A)+P(A c ) = 1. P( ) = 1 P(Ω) = 0. P(E 1 E n ) = P(E 1 )+ +P(E n ). i=1. i=1

P(E i ) P( ) = 0. P(A A c ) = P(A)+P(A c ) = 1. P( ) = 1 P(Ω) = 0. P(E 1 E n ) = P(E 1 )+ +P(E n ). i=1. i=1 È Ò Ò ÓÑ Ú Ö ÙÙ Ø Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ËÙÑÑ Ò Ò ½ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ½ º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÖ ¾ ¾º½ Ë ØÙÒÒ ÙÙ ØÓ ÒÒ ÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÓÐÐ Ò

Lisätiedot

N = A A A S(A) Aº 0 = 1 = { } 2 = {, { }} 3 = {, { }, {, { }}} 4 = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} A = Nº. i=1 n N n > 0º

N = A A A S(A) Aº 0 = 1 = { } 2 = {, { }} 3 = {, { }, {, { }}} 4 = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} A = Nº. i=1 n N n > 0º Å Ì ¾¾ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ã ¾¼½¼ ÌÑ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÙÖ ÐØ Ó ÐØ Ä ÃÙÖ ØÙÒ Ô ÖÙ ¹ Ø ÐÐ Ò ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ò ÓØ ÒÒ ØØ ÐÙ Ñ Ð Ô ØÓ¹ ØÙ Ò Ð Ý ØÝ Ó Ø º Ë ÐØ ½º ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ½º½º ÄÙ Ù Ö Ø ÐÑØ ½º¾º  ÓÐÐ ÙÙ ½º º Ð

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ÐÔ Ð Ú Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÑÓ ÙÐ ¹ Ö Ó ÒØ Ì ÑÓ ÌÙÓÑ Ò Ò À Ð Ò ½º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö Ø ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ

Lisätiedot

¾º C A {N A } K N A º A B N B

¾º C A {N A } K N A º A B N B Ú ÒØ Ò ÐÐ ÒØ ØÓ ÒÒÙ Ø Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ó ÔÙÓÐ Ø ÚÓ Ú Ø Ó¹ Ô Ð Ø Ú Ñ Ø ØÓ ÒØ ØÓ Ò º ÌÐÐ Ò Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ð ØØÝÝ Ù ÑÔ Ò Ø ØÓØÙÖÚ ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ò ÑÑ ¹ Ò Ú Ò ÒÒ Ò Ù Ò Ú Ö Ò Ò Ò ØÓ Ñ ÒØ Ñ Ö Ø Ó

Lisätiedot

È ÌÀÇƹÇÀ ÄÅÇÁÆÆÁÆ ËÇÎ ÄÄÍÃËÁ Å ÌÊÁÁËÁÄ Ëà ÆÌ Æ ÌÁÄ ËÌÇÌÁ Ì Ë Æ Â ÆÍÅ ÊÁË Æ Å Ì Å ÌÁÁÃÃ Æ ÄÍÃÁÇÄ ÁËÁÄÄ Ì Ò Ï ÐÐ Ö ¹Ä Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Å ÖÖ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å

Lisätiedot

Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ Ã ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ

Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ à ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Ò ÝÚÝÝ Ð ÒØ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ

Lisätiedot

à ÑÖ Ò ÙÙ Ò ÙÒØÓÐ Ò Ò ÓÖ ÓØ ÓÒ ÓÖ ÓÑ Ö Ò Ð Ò ÑÖÝØÝÑ Ò Ò ËÁË ÄÌ ËÁË ÄÌ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ ÌÙØ ÑÙ Ý ÝÑÝ ØÙØ ÐÑ Ò Ö ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÙÒØÓÐ Ò Ñ Ö Ò Ø ËÙÓÑ º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð Ý ÒØØ Ð Ø ÒÖ Ð Ø ÒØØ Ì Ò À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý

ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý Ä Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÑ Ò Ò Ð Ñ Ô Ð Ò ÚÙÐÐ Î ÐÐ Ã ÒÒÙÒ Ò Å Ø Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø

Lisätiedot

q(x) = T n (x, x 0 ) p(x) =

q(x) = T n (x, x 0 ) p(x) = ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ ÓÚ Ø ÒÒ ØÙÒ Ô Ø Ò x 0 ÝÑÔÖ ¹ Ø Ö ØØÚÒ Ð Ø Ð Ö ØØÚÒ ÑÓÒØ ÖØ Ø ÙÚ Ø µ Ö ÚÓ ØÙÚ ÅÖ Ø ÐÑ ÎÁÁ ½ ÙÒ Ø ÓÒ f : D f R D f R Ó ÓÒ

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º

Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º ÂÓ ÒØÓ Ñ ØÖ Ò Ð Ò Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ò ØØ ÐÝÝÒ Ê¹Ó ÐÑ ØÓÐÐ ÒÒ Ç Ö Ò Ò Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÐÓ ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º

Lisätiedot

λ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin.

λ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin. Šع¾º½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø ¾¼¼ ¹¼¾¹½¾ Ì Ø ÐÙÒ Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ø Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙÐÐ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Ä ÙÖ ÂÙ Ò Ã Ò ¼¼ È Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ

Lisätiedot

Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò

Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÓØ Ò Ò Ó ÐÑ ØÓØ Ò µ ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ

Lisätiedot

 ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ð Ø ÐÓ ÒÒ ¹Ã Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ð

 ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ð Ø ÐÓ ÒÒ ¹Ã Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ð Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÒÒ ¹Ã Ð Ø ÐÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼  ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ

Lisätiedot

ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º

ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º ÂÓ ÒØÓ ½ ½ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ ÐÐ ØÙØÙ ØÙØ Ò Ô ÖÙ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ö ØÝ Ø Ñ Ø Ò ÖÓ ØÙØÙ Ø Ø Ð Ô ÖÙ Ø Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ø À ÐÐ ÓÐÐ ÓÒ Ô Ó Ó ÐÑÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø º ½ ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ

Lisätiedot

x 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n

x 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n ÇÈÌÁÅÇÁÆÆÁÆ È ÊÍËÌ Ì Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ¾ º ÝÝ ÙÙØ ¾¼¼ ¾ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ØÙØÙ ØÙØØ Ø Ú ÐÐ ÑÔ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ò Ò ÝØØ Ò ÓÚ ÐÐÙØÙ º ÃÙÖ Ñ Ø Ö Ð ÒØÙÙ Ò Ð Ò Ö Ó Òº ÐÙ ÐÝ Ý Ø ÖÖ Ø Ò Ñ ØÖ Ð Ö Ø

Lisätiedot

x (t) = f(x(t)) u B δ (p) = ϕ t (v) = p, v B d (p) = lim e t AT e t A dt W =

x (t) = f(x(t)) u B δ (p) = ϕ t (v) = p, v B d (p) = lim e t AT e t A dt W = Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ º Ì Ô ÒÓÔ Ø Ø Ø Ð ÙÙ Ì ÐÙÚÙ Ø ÑÑ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ø Ô ÒÓÖ Ø Ù Ò Ø Ð ÙÙ Ø Ö Ø ÐÙ¹ ÒÝØ ÔÐ Ò Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ º ÌÐÐ ÓÚ Ø Ñ Ö ÐÙÖ Ý Ø Ñ ÐÐ Ô ÐÐ Ò ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ò Ó Ó Ð Ø ÝÐ Ô Ò ÓÐ Ú ÐÙÖ º ÂÓ

Lisätiedot

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Ì ÖÓ ÃÓ Ó Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÌÙÖÙÒ Ð ÓÔ ØÓ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ

Lisätiedot

ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð

ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ì ÑÓ Ã ÖÚ ¾º½½º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ ¾º½½º¾¼¼ ½» ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ

Lisätiedot

0 ex x = e 1. x + 3a 2x a = 2a xº. 1 3 (uvy) 3 (uxy) 3 (wxy) uvwxy (uvw) 1 3 (vwx)

0 ex x = e 1. x + 3a 2x a = 2a xº. 1 3 (uvy) 3 (uxy) 3 (wxy) uvwxy (uvw) 1 3 (vwx) Å ÌȽ ¼ ËÝÑ ÓÐ Ò Ò Ð ÒØ ¾ ÓÔ ½ Ð Ø ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ Ø ÐØ ËÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒÒ Ò ÙÖ ÐÐ ÓÔ Ø Ò Ø ØÓ ÓÒ Ò ÝØØÑ Ø ÔÙÚÐ Ò Ò Ñ Ø Ñ ØØ ÓÒ ÐÑ Ò¹ Ö Ø Ù º ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ÒØ Ô ÖÙ Ú ÐÑ Ù Ø ÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒØ Ò Ö Ó ØÙÒ Ò Å Ø Ñ ¹

Lisätiedot

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÑÙ Ò ÝÒØ Ã Ò Ø ÒØÝ ¾ ÚÙ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ È

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÑÙ Ò ÝÒØ Ã Ò Ø ÒØÝ ¾ ÚÙ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ È ÂÇÆÁ È ÀÄ Å ËÁÆÁÅ ÄÄÁÆÆÍÃË Æ È ÊÍËÌÍÎ ÅÍËÁÁÃÁÆ Ë ÆÌ ËÁ Ã Ò Ø ÒØÝ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ ÃÓÒ Ø ÃÓÔÔ Ò Ò ½½º ØÓÙ Ó ÙÙØ ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ

Lisätiedot

T 2. f T (x)e i2π k T x dx. c k e i2π k T x = x dx. c k e i2π k T x = k Z. f T (x) =

T 2. f T (x)e i2π k T x dx. c k e i2π k T x = x dx. c k e i2π k T x = k Z. f T (x) = º ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÙÖÖ Ò ÒØÖÐ Ð Ù ¹ ÓÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f(x) PC(R) º½ ÓÙÖÖ¹ Ò ÐÝÝ º ÒÐ Òµ ÅÖ Ø ÐÐÒ T ¹ ÓÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f T (x) = f(x), T 2 < x < T 2, ÃÓÑÔÐ Ò Ò ÓÙÖÖ¹ÖÖÓ Ò c k = 1 T T 2 T 2 f T (x)e i2π k T x dx.

Lisätiedot

M Pv + q = 0, M = EIκ = EIv, (EIv ) + Pv = q. v(x) = Asin kx + B cos kx + Cx + D + v p. P kr = π2 EI L n

M Pv + q = 0, M = EIκ = EIv, (EIv ) + Pv = q. v(x) = Asin kx + B cos kx + Cx + D + v p. P kr = π2 EI L n ÄÙ Ù ½ ËØ Ð Ù Ú Ó Ó ÐÑ ½º½ ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ Ì Ô ÒÓ ÓØ Q v + q =, M = Q, ½º½µ ÑÑÓ ÐÐ ÙÚ ÐÐ M v + q =, M = EIκ = EIv, (EIv ) + v = q. ½º¾µ ½º µ ½º µ EI = Ú Ó ÆÙÖ Ù ÚÓ Ñ v (4) + k v = q EI, k = EI,

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º Šع¾º ½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø º½º¾¼¼ Ì Ø ÐÙÒ ÑÙÐÓ ÒØ ÑÔÙÑ Ø ÖÚ Ò Ö Ø ÐÑ Ò Ù Ø ÒÒÙ Ø Ó ÙÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Â ÒÒ Ä ØÓÒ Ò ¼¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ

Lisätiedot

2x1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 3. x1 = 2 x 2 = 5. 2 ( 2)+5 = = 3. 5x1 x 2 = 1 10x 1 2x 2 = 2. ax1 +bx 2 = e cx 1 +dx 2 = f

2x1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 3. x1 = 2 x 2 = 5. 2 ( 2)+5 = = 3. 5x1 x 2 = 1 10x 1 2x 2 = 2. ax1 +bx 2 = e cx 1 +dx 2 = f Ä Ò Ö Ð Ö Á ÇÙÐÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ ØØ Ø Ò Ø Ø Ò Ð ØÓ ¾¼½½ ÂÖÚ ÒÔ Ã Ö Ó ØØ ÒÙØ ÌÙÙÐ Ê Ô ØØ ¾ ½ Ä Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ½½ Ñ Ö µ Ê Ø Ý ØÐ 5x = 7 Ã ÖÖÓØ Ò Ý ØÐ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÐÙÚÙÐÐ 5 1 ÓÐÐÓ Ò Ò 5 1 5x = 5 1 7 Ð x =

Lisätiedot

Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ

Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË Ì ÑÓ Ã ÖÚ º½¾º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË º½¾º¾¼¼ ½» Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ

Lisätiedot

ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼

ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼ ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼ ÌÝ Ò Ó À ÒÒÙ Â ÓÐ ÌÝ Ò Ø ÒÓ Åº Å Ø Ð ÅÓÓ Ð ÑÓÒ ÙÐØØÙÙÖ Ò

Lisätiedot

½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1

½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1 ½º º Àǹ ÇÊ ËÁ ù Ä ÇÊÁÌÅÁ ½ à ÖÔ Ê Ò Ø Ö Ø Ð Ú Ø ÑÝ ÙÒ Ú Ö Ð Ò ÙØÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ú Ö Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ð Ø Ò q ØÙÒÒ Ø ÐÙ Ù ÓÙ Ó Ø Qº Q Ò ÐÙÚÙØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ô Ò Ò Ò Ò Ø ÖÚ Ø ÓÐÐ Ð ÙÐÙ Ù º ÎÖÒ Ø ÑÝ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ

Lisätiedot

Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta Ë ÑÓ À Ð Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¼º

Lisätiedot

x = [ x 1 x 2 x n (x i K) x = K (n) = {(x 1, x 2,...,x n ) : x i K} e 1 = (1, 0,..., 0) Ø, e 2 = (0, 1,..., 0) Ø,..., e n = (0, 0,...

x = [ x 1 x 2 x n (x i K) x = K (n) = {(x 1, x 2,...,x n ) : x i K} e 1 = (1, 0,..., 0) Ø, e 2 = (0, 1,..., 0) Ø,..., e n = (0, 0,... ¼¼ Ë Å ØÖ Ø ÓÖ Ì ÖÓ Î Ò ÙÓ Ù ¾º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ä Ò Ö Ð Ö ½º½ Å Ö ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ È ÖÙ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Å

Lisätiedot

Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº ÌÝĐÓÒ Ò Ñ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð ËÓ ØÛ Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÓÖ Ñ Ò Ò ÖÖÓÒ

Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº ÌÝĐÓÒ Ò Ñ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð ËÓ ØÛ Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÓÖ Ñ Ò Ò ÖÖÓÒ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ð Ò ½½º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼¾ ÂÝÚĐ ÝÐĐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº

Lisätiedot

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú ËÍÎÁ ÄÌÁÇ ÈÁÊà ÆÅ ÄÄ ¾¼¼ ¾¼¼ Ì È ÀÌÍÆ Á Æ ÄÁÁà ÆÆ ¹ ÇÆÆ ÌÌÇÅÍÍÃËÁ Æ Æ Ä ËÇÁÆÌÁ ËÎ ÊÃÃÇÂ Æ ÎÍÄÄ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø Ð ÓÔ ØÓÒÐ ØÓÖ Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ

Lisätiedot

Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò

Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò Å ÈÙÐ Ò Ò ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÓØ Ò Ò Ò Ø ÒØÙØ ÐÑ ¾ º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù

Lisätiedot

Ì ÓÚ Ö ÓØ Ð Ò Ã ÐÐÙÒ Å Ø Ñ Ø Ò ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ½ ½ À ØÓÖ ¾ Î Ö ÓØ ÓÖ ¾º½ Î Ö ÓÒ ÚÖ ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼

Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼ Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ë ÎÇÄ ÁÆ Æ ÇÄÄÁ

Lisätiedot

Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò

Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º  ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ̺ à ÖÚ ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ½» ½ Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º  ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò

Lisätiedot

Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÇÐÐ ¹È ÀÙÓÚ Ð Ò Ò Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò

Lisätiedot

½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ¹ØÖ º½ ÑÔÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ¹ØÖ º½ ÑÔÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¹ØÖ Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÒØ Ñ Ð ÚÝÐÐ Â Ó Å ÐÚ Ö À Ð Ò ¾¾º½¼º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ØÝ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ

ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ò ² Ö Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø

Lisätiedot

Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð Å Ö Ø¹ ÑÓ Ð ÓÖ ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ñ ÑÓÖÝ Ñ Ò Ñ ÒØ ÌÝ Ì Ø

Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð Å Ö Ø¹ ÑÓ Ð ÓÖ ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ñ ÑÓÖÝ Ñ Ò Ñ ÒØ ÌÝ Ì Ø È ÚÓ È Ö Ò Ò Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÓØ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ

Lisätiedot

A c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061

A c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061 JORMA JOUTSENLAHTI Lukiolaisen tehtäväorientoituneen matemaattisen ajattelun piirteitä 1990-luvun pitkän matematiikan opiskelijoiden matemaattisen osaamisen ja uskomusten ilmentämänä AKATEEMINEN VÄITÖSKIRJA

Lisätiedot

Referenced. Object. StateSet. Node. Geode

Referenced. Object. StateSet. Node. Geode ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ¹Ó Ø Ì ÑÓºÌÓ Ú Ò ÒØѺ Ùغ ÌÑ Ó ÙÑ ÒØØ ÓÒ ØÝ Ò Ø Ô Ú Ø ØÒ Ø ÖÔ Ò ÑÙ Òº ½ Ø ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ÇË µ ÓÒ ÇÔ Ò Ä Ò Ô Ö ÒÒ ØØÙ ¹ÙÓ Ö¹ ØÓ Ó ÓÒ Ú Ô Ø Ø Ú Ó ØÓ Ñ ÑÓÒ ÝÑÔÖ Ø º ÇË Ó¹ ÙÑ ÒØÓ ØÙ ÓÜÝ Ò¹Ó Ñ ØÓÒ

Lisätiedot

3D piirron liukuhihna (3D Graphics Pipeline) Sovellus/mallinnus Geometrian käsittely Rasterointi/piirto

3D piirron liukuhihna (3D Graphics Pipeline) Sovellus/mallinnus Geometrian käsittely Rasterointi/piirto ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ö Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ¹ Ö Ò Ô ÖØÑ Ò Ò ÙÚ Ø Ò Ù Ò Ð Ù Ù Ò Ò Ô Ô Ð Ò µ ÚÙÐÐ Ö Ð Ù Ù Ò Ö Ø ØÓ ÙÐ Ð Ù Ù Ò Ò Ö Ú Ò ÙØØ ÒÒ Ò Ù Ò Ô ÖÖ ØÒ ÖÙÙ ÙÐÐ Ö

Lisätiedot

ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ

ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÀÁ Ì ÊÁÆÌ Ä ËËÁ ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½¼ º Ð Ø º ËÓÚ ÐÐ

Lisätiedot

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö Ø ÝØØ Ø Ò ØØ Ò ÙÚ Ù ÐÓ Ô ÖÙ Ø Ò Ò Ñ¹ Ö ØØ ÐÝ Û È ØÖ Ä Ò Ö Ò À Ð Ò ¾ º º¾¼¼ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç

Lisätiedot

Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta È Ä Ø Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò

Lisätiedot

(AB) ij = p. k=1 a ikb kj. AA 1 = A 1 A = I.

(AB) ij = p. k=1 a ikb kj. AA 1 = A 1 A = I. Ð ÙÓ ÙÖ Ø Å˹ ½ ¼ ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ A A = 0 0 2 0 0 2 ÐØÓ Ð ÓÔ ØÓ È ÖÙ Ø Ø Ò ÃÓÖ ÓÙÐÙ Å Ø Ñ Ø Ò ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼½ ÄÁÆ ÊÁ Ä Ê Æ È ÊÍËÌ Ì ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ ÙÙ ÐÐ Ò Ý ÝÐÐ ¾¼½

Lisätiedot

ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½

ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½ Ê Ã ÆÆÍËÌ ÃÆÁËÌ Æ ÇÄÇ ÁËÌ Æ Â ÁÄÅ ËÌÇÄÄÁËÌ Æ Ì ÃÁ Á Æ Î ÁÃÍÌÍË ËÍÆÌÇÂ Æ ËÁË ÁÄÅ Æ Ê ÇÆÈÁÌÇÁËÍÍÌ Æ ÌÓÔ Ã ÒÒÙÒ Ò Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ

Lisätiedot

x α 1... x (v ṽ)φdx = 0

x α 1... x (v ṽ)φdx = 0 Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ ÔØ ÐÐ ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ì ÑÙ ÅÙ ØÓÒ Ò ½ ½ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ñ Ø Ø Ø Ò Ø ÙÒØ Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ½ º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ

Lisätiedot

y t = X t β + u t, u t NID(0, 1) t = 1, 2,..., n ½µ

y t = X t β + u t, u t NID(0, 1) t = 1, 2,..., n ½µ ÇÊ Ê ÈÊÇ ÁÌ Â Â ÄÃ È ÄÄǹÇÌÌ ÄÍÆ Å ÄÄÁÆÌ ÅÁÆ Æ Ê Ò ÓÑ Î Ö Ð ½º Ò ÙÙØ ¾¼¼ ËÁË ÄÌ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ ¾ ÇÖ Ö ÔÖÓ Ø ¾º½ Å ÐÐ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Â Ð Ô ÐÐÓ¹ÓØØ ÐÙÒ Ò

Lisätiedot

Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò

Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò Ò ØÙÖÚ ÐÐ ÙÙ ØØ Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ø Ø Ó ÐÐ ÑÖØÒ ÓÖ ¹ Ò Ø Ó

Lisätiedot

Pr(θ = 1)Pr(Y > y 0 θ = 1) Pr(θ = 1)Pr(Y > y 0 θ = 1)+Pr(θ = 0)Pr(Y > y 0 θ = 0) γ[1 F 1 (y 0 )] γ[1 F 1 (y 0 )]+(1 γ)[1 F 0 (y 0 )].

Pr(θ = 1)Pr(Y > y 0 θ = 1) Pr(θ = 1)Pr(Y > y 0 θ = 1)+Pr(θ = 0)Pr(Y > y 0 θ = 0) γ[1 F 1 (y 0 )] γ[1 F 1 (y 0 )]+(1 γ)[1 F 0 (y 0 )]. Ì Ð ØÓÐÐ Ò Ò ÔØØ ÐÝ ¾ ½¼ ÓÔ ÖØÓ ÄÙÓÑ Ì Ð ØÓØ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý ¼½ Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ã ÚØ ¾¼½ Ã Ö ÐÐ ÙÙØØ ÖØ Û Ø ÂÓÐÐ ÂÓÒ ËØ Ø Ø Ð ÁÒ Ö Ò Ë ÓÒ Ø ÓÒ ÈÖ Ò¹ Ø À ÐÐ ¾¼¼¾ ÓÙÒ ËÑ Ø ÒØ Ð Ó ËØ Ø Ø Ð ÁÒ Ö Ò Ñ Ö

Lisätiedot