Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ È ÖÙ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º

Transkriptio

1 Ê ÒØ Ò Ø Ð ÙÙ Ø ÓÖ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Å Ö Ù ÌÙÓÑ Ð ϕ v N N

2 Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ È ÖÙ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾º½ ÂÓÙ ÐÐ ØÙ ØØÙ Ô Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾º¾ Ã Ò Ú Ô Ù Ø Ò Ñ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾º ÂÓÙ ÐÐ ØÙ ØÙÒ Ô Ð Ö Ò Ö ÐÐ Ò Ò ÖØÝÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½º¾º Ê Ø ÓÒ ÐÔ ÐÝ ÒØ Ñ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ¾ Ì Ô ÒÓÔÓÐÙØ Ð Ö ØØ Ò Ò Ø Ð ÑÙÓØÓÚ Ö Ø ½ ¾º½ Ò Ú Ô Ù Ø Ò Ý Ø Ñ Ø Ð Ð Ö ØØ Ò Ò Ø Ð º º º º º º º º º º º ½ ¾º½º½ ÅÙÓØÓÚ Ö Ò Ú ÙØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾ Ò Ú Ô Ù Ø Ò Ý Ø Ñ Ô Ø Ð Ð Ö ØØ Ò Ò Ø Ð º º º º º º º º º ¾¼ ¾º¾º½ ÅÙÓØÓÚ Ö Ò Ú ÙØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ ¾º Ò Ú Ô Ù Ø Ò Ý Ø Ñ Ô ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ð Ö ØØ Ò Ò Ø Ð º º º º º º ¾ ¾º º½ ÅÙÓØÓÚ Ö Ò Ú ÙØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ ¾ º½ ÈÙÖ Ø ØÙÒ Ø ÚÙØ ØÙÒ ÙÚ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ Ì Ô ÒÓÑ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º Ô ÝÝ Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ Ê ØÞ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ò Ö Ö Ø Ö Ò ÑÙÙÒÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ö Ò Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ Ê ÙÒ ÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º È Ö Ø Ò ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó Ò Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ä Ù ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ú ÙØÙ ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ò º½ Ì ÔÙÑ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ã ÑÑÓØÓÒ ÒÙÖ Ù º½ Ì Ò ÒØØ ÑÓ ÙÙÐ Ø ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ã Ó ÑÓ ÙÙÐ Ø ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ë ÒÐ ÝÒ Ø ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

3 ËÁË ÄÌ º º½ Ë ÒÐ ÝÒ Ñ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÈÙÖ ØÙ ÙÚÓ Ò Ñ ØÓ ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÈÙÖ Ø ØÙÒ ÙÚ Ò ÔÐ Ø Ò Ò Ñ Ò Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ð Ù ÒÒ ØÝ Ø Ò Ú ÙØÙ ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ Á¹ÔÓ Ð Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ã ÑÑÓ Ø ØÙ ØØÙ ÙÚ º½ ÂÓÙ ÐÐ ØÙ ØØÙ ÙÚ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ã ÑÑÓ ÐÐ ÐÙ Ø ÐÐ ÓÐ Ú Ô Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º½ Ð Ò Ò Ø Ô Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Â Ø ÙÚ Ò Ô Ð Ò Ò ÒÙÖ Ù ½¼ º½ ÅÓÑ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ Ë ÖØÝÑÑ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ Ë ÖØÝÑ Ò Ú ÙØÙ Ò ÔÐ Ø Ò Ö ÙÓÖÑ Ò ½¾ ÎÒØ ÒÙÖ Ù ½ º½ Ã Ø ÔÙÖ Ø ØØÙ ÙÚ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ã Ó ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÔÓ Ð Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º¾ Ð Ò Ò ÔÓ Ð Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º Ò Ð Ò Ù Ø Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÔÓ Ð Ù º º º º º º º º º º ½ ½ º¾ ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ º¾º½ Ô Ò Ò ÔÙÖ ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÎÒØ ÒÙÖ Ù Ø ØÚÒ Ö Ø Ù Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ º º º º º º º º º º º º ½ ½¼ Ã Ô Ù ½ ½ ½¼º½ Ã Ô Ù Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ ½¼º¾ Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½¼º¾º½ ÈÓØ ÒØ Ð Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½¼º¾º¾ Ø ØØÝ ÚÒØ ÒÙÖ Ù Ô Ù º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½½ Ä Ø Ò ÐÓÑÑ Ù ½ ½½º½ Ä Ø Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ò Ö Ø Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½½º½º½ Ä Ø Ò Ö ÙÒ ÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ ½½º½º¾ Ì Ø ÔÙÖ Ø ØÙÒ Ð Ø Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ò Ö Ø Ù Ö Ð ÐÐ Ö ÙÒ Ó ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½½º¾ ÄÓÑÑ Ù Ø ØÚÒ Ö Ø Ù Ö Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ º º º º º º º º º º º º º ½ ½½º Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ ½½º ÂÝ Ø ØÝÒ Ð Ø Ò ÐÓÑÑ Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼½ ½½º º½ Ò Ò Ý Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼½ ½½º º¾ Ã ÝÑÑ ØÖ Ø Ý Ø ØØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ ½½º º ÂÝ Ø Ø ÓÐÑ Ø Ù ÑÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ ½½º º ÈÓ ØØ Ø Ô Ø ØØ Ø Ý Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼

4 ËÁË ÄÌ ½¾ Ä Ø Ò ÔÐ Ò Ö Ò Ò Ò ÐÝÝ ¾½½ ½ ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù ¾¾ ½ º½ ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÔÝ Ö Ý ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÐÓÑÑ Ù º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ ½ º½º½ Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ ½ º¾ Ä Ò ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ ½ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½ º º½ ÈÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ò Ò Ú Ö Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÝÐ Ø Ø Ô ÒÓ ÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½ ½ º º½ È Ò ÙÓÖÑ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò ØÓ Ò Ò Ú Ö Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù Ö Ð ÙÓÖÑ ØÙ Ø Ô Ù º º º º º º º º º ¾ ½ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÝÐ Ö ØØ Ò Ò Ø Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾

5 Ú ËÁË ÄÌ

6 ÄÙ Ù ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ È ÖÙ ØØ Ø ËØ Ð ÙÙ Ø ÓÖ ÐÚ Ø ØÒ Ñ ÐÐÓ Ò Ð Ø Ð Ø Ø Ô ÒÓØ Ð ÓÒ Ø Ð Ð Ú Ø Ð Ð Ð ÔÚ º Ê ÒÒ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ ØÙØ Ø Ò Ö ØÝ Ø Ó Ò Ö ÒØ Ò Ø Ø¹ Ø Ø Ø Ð ÙØØ º Ä ÒØÓ¹ Ú ÖÙÙ Ø Ò Ø Ø Ò Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ð Ò Ø Ý Ø Ñ Ò ÝÒ Ñ Ø Ø Ð ÙØØ º Ë ÙÖ Ú ØÝ ØÝØÒ Ó Ò Ö ÒØ ¹ Ò Ø ØØ Ò Ø Ð Ù Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Òº Ê ÒØ Ò ØÝÝÔ Ø Ø Ð Ù Ò Ñ Ò ØÝ Ø Ú Ø Ö ÔÔÙ Ò ÑÖ Ø ÐÐÒ ÐÑ Ø ÒÙÖ Ù Ô Ù ÚÒØ ÒÙÖ Ù ÐÓÑÑ Ù ÙÚ ½º½º Ì Ô ÒÓØ Ð Ò ÐÙÓÒÒ ÚÓ ÓÐÐ Ø Ð Ð Ð Ô Ø Ð µ Ø Ò Ö ÒØØ º ÓÒ Ú ÒÒÓÐÐ Ø ØØÙ ÙÚ Ò ½º¾ Ô ÐÐÓÒ ÐÙ Ø Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ò Ý Ø Ñ Ò ÚÙÐÐ º ÃÙÚ Ò ½º¾ Ø Ô Ù Ø Ô ÒÓØ Ð ÓÒ Ø Ð Ô ÐÐÓ Ô Ð ÖØÝÒ Ø Ñ Ø ÙÔ Ò ÔÓ ÐÐ º ÃÙÚ Ò ½º¾ Ø Ô Ù Ø Ô ÒÓØ Ð ÓÒ ÔÙÓÐ Ø Ò Ð Ð Ô Ò Ò Ö ÙØØ Ô ÐÐÓÒ Ö ÐÐ Ò ÔÓ Ñ Ò Ø Ô ÒÓØ Ð Ø º ÃÙÚ Ò ½º¾ Ô ÐÐÓÒ Ø Ô ÒÓ Ñ ÓÒ Ò ¹ Ö ÒØØ Ð ÓÒ ÚÐ ÒÔ ØÑØ Ò Ô Ò ÐÐ Ö ÐÐ º ËØ Ð ÙÙ Ø ÓÖ ÝØ ØÒ Ù Ò ÙÖ Ú ØØ Ø È ÖÙ Ø Ð ÓÒ Ö Ø ÐÑÒ Ð ÙÔ Ö Ò Ò Ø Ô ÒÓØ Ð º À Ö ØØÝ Ø Ð ÓÒ Ö Ø ÐÑÒ Ø Ð Ö Ò ÙØØ Ñ Ò ÑÙÙØÓ Ò Ð Òº À Ö ÓÒ ÙÐ Ó Ò Ò ÑÔÙÐ ÙÓÖÑ Ò ÑÙÙØÓ Ø Ö ÒØ Ò ÔØÝ ÐÐ ÝÝ ÑÙÓØÓ¹ Ú Ö µº ÈÓ Ñ ÓÒ ÓÒ Ö ØÝÒ Ø Ð Ò Ô ÖÙ Ø Ð Ò ÖÓº Ê ÒØ Ò Ø Ð Ù Ò ØÙØ Ñ Ò ÚÓ Ò ÝØØ ÑÑº ÙÖ Ú Ñ Ò Ø ÐÑ ½

7 ¾ ÄÍÃÍ ½º ÂÓ ÒØÓ ϕ v N N ÃÙÚ ½º½ ËØ Ð Ù ÒÑ Ò ØÝ ÐÑ Øº ÃÙÚ ½º¾ Ì Ô ÒÓØ Ð Ò ÐÙÓÒÒ º Ø Ô ÒÓÑ Ò Ø ÐÑ Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ Ô ÝÝ Ñ Ò Ø ÐÑ Ò ØØ Ò Ò Ñ Ò Ø ÐÑº ½º¾ Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø ÌÙØ Ø Ò ÙÖ Ú Ö ÒØ Ò Ø Ð Ù Ò Ò ÐÝ Ó ÒÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ý Ò ÖØ Ø Ò Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ò ÚÙÐÐ º

8 ½º¾º Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø ϕ k ÓÙ Ø ØÓÒ Ö Ò F = kaϕ aϕ a ϕ a O O ÃÙÚ ½º ÂÓÙ ÐÐ ØÙ ØØÙ Ô Ð Ö º ½º¾º½ ÂÓÙ ÐÐ ØÙ ØØÙ Ô Ð Ö ÌÙØ Ø Ò ÙÚ Ò ½º ÓÙ ÐÐ ØÙ ØÙÒ Ö ØØ ÑÒ Ý Ò ÙÚ Ò Ø Ð ÙØØ Ø Ô ÒÓÑ ¹ Ò Ø ÐÑÐÐ Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ Ô ÝÝ Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ Ò ØØ ÐÐ Ñ Ò Ø ÐÑÐÐº ÂÓÙ ÓÒ ÒÒ Ø ØØÝ ÙÚ Ò Ø ØØÓÑ Ò Ö Ò Ò ÚÙÐÐ º Ì Ô ÒÓÑ Ò Ø ÐÑ Ì Ô ÒÓÑ Ò Ø ÐÑ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò ÑÓÑ ÒØ Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ ØÙ Ô Ø Ò O Ù Ø Ò Ò ϕ kaϕa =, ½º½µ Ñ Ø ÙÖ ÓÑÓ Ò Ò Ò Ý ØÐ ( ka )ϕ =. ½º¾µ ÃÝ ÝÑÝ ÓÒ ÓÑ Ò ÖÚÓØ ØÚº ÀÓÑÓ Ò ÐÐ Ý ØÐ ÖÝ ÑÐÐ ÓÒ ¹ØÖ Ú Ð Ö Ø Ù Ö Ù Ò ÒÓÐÐ Ö Ø Ùµ Ó ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ ÒÓÐÐ º ÆÝØ Ý ØÐ ¹ Ý Ø Ñ ÓÒ Ú Ò Ý Ý ØÐ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÒÓÐÐ Ó Ø ÙÖ Ö Ø Ù Ð = ka = ka. ½º µ ½º µ Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò Ò Ò Ö ÒØ Ò Ó ÓÒ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Π = U + V, ½º µ

9 ÄÍÃÍ ½º ÂÓ ÒØÓ p = /ka Ö ÙØÙÑ Ô Ø ϕ ÃÙÚ ½º Ì Ô ÒÓÔÓÐÙØ Ö ÙØÙÑ Ô Ø º F = kaϕ k aϕ u = ( cosϕ) ϕ a O ÃÙÚ ½º Ë ÖØÝÒÝØ Ø Ð º Ñ ÓÒ ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö U = k(aϕ) V = u = ( cos ϕ) ½º µ ½º µ ÓÒ ÙÐ Ó Ò ÙÓÖÑ Ò ÔÓØ ÒØ Ð º È Ò Ò ÙÐÑ Ò ϕ Ø Ô Ù ÓÒ Ð ÑÖ Ò V = ϕ. ½º µ Ì Ô ÒÓØ Ð ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ø Ø ÓÒ Ö Ò ÖÚÓÒ ÓÒ ÚÐØØÑØ Ò ØÓ ÓÒ ØØ dπ dϕ = ka ϕ ϕ =, ½º µ Ð (ka )ϕ =. ½º½¼µ Ì Ô ÒÓØ Ð Ò Ð ØÙ Ò ÐÚ ÐÐ ØÙØ Ñ ÐÐ ÔÓØ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ ØÓ Ø Ö Ú ØØ Ø ÝÐ ÑÑ Ò ØÓ Ø Ú Ö Ø ÓØ º Ò Ú Ô Ù Ø Ò Ý Ø Ñ Ò Ø Ô Ù ØÓ Ò Ò Ú Ö ¹ Ø Ó ÓÒ δ Π = d Π dϕ (dϕ), ½º½½µ

10 ½º¾º Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø / kr Ð Ð Ò Ö ÒØØ Ø Ð ϕ ÃÙÚ ½º ËØ Ð Ø Ð Ð Ø Ò Ö ÒØ Ø Ô Ø Ø Ø Ô ÒÓÔÓÐÙ ÐÐ º Ù ÑÑ Ò Ú Ô Ù Ø Ò Ý Ø Ñ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ò Ò Ú Ö Ø Ó ÓÒ δ Π = n n i= j= Π ϕ i ϕ j δϕ i δϕ j. ½º½¾µ ÂÓ δ Π ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ Ò Ò Ø Ô ÒÓØ Ð ÓÒ Ø Ð º ÂÓ δ Π ÓÒ Ò Ø Ú Ø Ò ØØ Ò Ò Ø Ô ÒÓØ Ð ÓÒ Ð Ð º Ì Ô Ù δ Π = Ø Ô ÒÓØ Ð ÓÒ Ò Ö ÒØØ º Ñ Ö Ò Ø Ô Ù Ò d Π dϕ = ka >, ÓØ Ò Ø Ô ÒÓØ Ð ÓÒ Ø Ð ÙÒ < ka, Ö ÒØ Ò Ö ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ kr ÓÒ kr = ka. Î Ö Ó Ñ ÐÐ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ð Ù ÖØÝÑ ϕ = θ + εˆϕ ½º½ µ ½º½ µ ½º½ µ ½º½ µ ØÙÐ Π(ϕ + εˆϕ) = ka (θ + εˆϕ) (θ + εˆϕ) ½º½ µ = ka θ θ + ε(ka θ θ)ˆϕ + ε (ka )ˆϕ, Ó Ú Ñ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ½º Ú Ö Ø Ó Ú Ñ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ¾º Ú Ö Ø Óº

11 ÄÍÃÍ ½º ÂÓ ÒØÓ ϕ e kaϕ a ϕ O ÃÙÚ ½º Ô Ò Ò ÙÓÖÑ º Ô ÝÝ Ñ Ò Ø ÐÑ Ô ÝÝ Ñ Ò Ø ÐÑ ØÙØ Ø Ò ÔØÝ ÐÐ Ø ÑÙÓØÓÚ Ö ÐÐ Ø Ö ÒÒ ØØ º ÃÙÚ Ò ½º ØØÑÒ Ö ÒØ Ò Ö ØÝ Ø Ð ÑÙÓ Ó Ø ØØÙ Ø Ô ÒÓÝ Ø Ð ÓÒ (ϕ + e) + kaϕa =, ½º½ µ Ó Ø Ò Ö Ø Ù ϕ = Ã ÖØÝÑ ϕ Ð ØÝÝ Ö Ø ÒØ ÙÒ ka ÓØ Ò e ka. ½º½ µ Ã Ö Ó Ø Ø Ò Ö Ø Ù ÑÙÓ Ó kr = ka. kr = ϕ ϕ + e ½º¾¼µ, ½º¾½µ Ô ÖÖ ØÒ Ö Ø Ù Ö Ô ÝÝ Ò e ÖÚÓ ÐÐ º Ã Ò Ñ ØØ Ò Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ã Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ØÙØ Ø Ò Ö ÒØ Ò ÚÖ Ø ÐÝ Ô ÖÙ Ø Ð Ò Ù Ø Òº ÃÙÓÖ¹ Ñ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓ ÓÐÐ ÑÔÐ ØÙ Ú Ö ØØ ÓÒ Ö ØØ Ò Òº Å Ò Ø ÐÑ ÓÚ ÐØÙÙ ÑÝ Ô ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ò Ø Ô Ù Òº Ì Ö Ø ÐØ Ú Ò Ö ÒØ Ò Ð Ý ØÐ ÓÒ J ϕ + kaϕ a ϕ =, ½º¾¾µ

12 ½º¾º Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø / kr e =.5 ½ Ö ÙØÙÑ Ô Ø e =. ϕ[rad]. ¼º½ ÃÙÚ ½º Ô Ò ÙÓÖÑ Ò Ö Ø Ù º ϕ kaϕ J ϕ a ϕ J = 3 ρ3 O ÃÙÚ ½º ÎÖ Ø Ð Ú Ö ÒÒ º Ð Ñ J ÓÒ ÖØÓ Ø Ù ÑÓÑ ÒØØ ϕ + λ ϕ =, λ = ka J ½º¾ µ ½º¾ µ J = x ρdx = ρ3, ½º¾ µ 3 Ñ ρ ÓÒ Ø Ý ÓÒ ÔÓ Ð Ù Ò Ô ÒØ ¹ Ð ÓÒ ÙÚ Ò Ô ØÙÙ º Ä Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù Ö ÔÔÙÙ Ô Ö Ñ ØÖ Ò λ ÖÚÓ Ø º ÂÓ λ > Ò Ò Ö Ø Ù ÓÒ ϕ = cos λt + B sinλt, ½º¾ µ

13 ÄÍÃÍ ½º ÂÓ ÒØÓ k k θ θ ϕ ϕ ϕ θ ÃÙÚ ½º½¼ Ã Ò Ú Ô Ù Ø Ò Ý Ø Ñ º ÚÖ Ø ÐÝÒ ÑÔÐ ØÙ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Òº Ì Ô Ù λ < Ö Ø Ù ÓÒ ϕ = cosh λt + B sinhλt. ½º¾ µ Ð Ù Ó ÐÐ ϕ() = ϕ ϕ() = Ò Ö Ø Ù ϕ = ϕ cosh λt. ½º¾ µ ÃÙÐÑ ϕ Ñ Ò Ð ÑÑ Ò Ö Ø ÙÒ ÑÙ Ò Ö ØØ Ñ Ò ÑÙ Ò º ÃÖ ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ Ò Ø Ò Ó Ø λ = ÓÒ kr = ka. ½º¾ µ ½º¾º¾ Ã Ò Ú Ô Ù Ø Ò Ñ ÐÐ º ÌÙØ Ø Ò Ò Ú Ô Ù Ø Ò Ý Ø Ñ Ò Ø Ð ÙØØ Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑÐÐº ÃÙÚ Ò ½º½¼ Ý Ø Ñ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö ÓÒ Π = U + V = k(θ) + k(ϕ) ½º ¼µ ÃÙÒ ÙÐÑ Ø ϕ θ ÓÚ Ø Ô Ò Ò Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ð Ù ØÙÐ [( cos θ) + ( cos ϕ) + ( cos(ϕ θ)]. cos θ θ ϕ, cos ϕ, ½º ½µ Π = k θ + k ϕ (θ + ϕ θϕ). ½º ¾µ

14 ½º¾º Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø ËØ Ø ÓÒ Ö ÙÙ Ó Ø δπ = Ò Π θ =, Π ϕ =, ½º µ Ó Ø ÙÖ Ò ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ò Ò Ý ØÐ Ò ÓÑÓ Ò Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ (k )θ + ϕ =, θ + (k )ϕ =. ½º µ ½º µ Å ØÖ ÑÙÓ Ó Ö Ó Ø ØØÙÒ Ý ØÐ Ø ÓÚ Ø [ k k ][ θ ϕ ] = [ ], ½º µ Ø ÐÝ Ý ÑÑ Ò Ñ Ö ØØÝÒ Ó Ø Kq =. detk = ½º µ ½º µ Ò ØÓ Ò Ø Ò Ý ØÐ ÓÒ ÙÙÖ Ø ÓÚ Ø = 3 k = kº ÇÑ Ò Ú ØÓÖ Ø Ö Ø Ø Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ø ½º µ Ó ØØ Ñ ÐÐ Ò Ô ÐÐ ÚÙÓÖÓÒ¹ Ô ÖÒ ÓÑ Ò ÖÚÓØ º ÇÑ Ò ÖÚÓ Ú Ø ÓÑ Ò Ú ØÓÖ q Ó Ö Ø Ø Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ø ÌÙÐÓ Ò Ò k [ ][ θ ϕ ϕ = θ. ] = [ ]. ½º µ ÇÑ Ò ÖÚÓ Ú Ø Ú ÓÑ Ò Ú ØÓÖ q Ö Ø Ø Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ø k [ ][ θ ϕ ] = [ ] ½º ¼µ, ½º ½µ Ó Ø Ò ϕ = θ. ½º ¾µ ÇÑ Ò Ú ØÓÖ Ø ÓÒ Ø ØØÝ ÙÚ ½º½½º Ð Ø Ô Ù n¹ú Ô Ù Ø ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø Ö Ø Ø Ò Ý Ø¹ Ð ÖÝ Ñ Ø K( i )q i =, i =,...,n. ½º µ ÌÙØ Ø Ò Ø Ô ÒÓØ ÐÓ Ò Ð ØÙ ÑÙÓ Ó Ø Ñ ÐÐ ÔÓØ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Π ØÓ Ò Ú Ö ¹ Ø ÓÒ n n δ Π Π = δϕ i δϕ j ½º µ ϕ i ϕ j i= j=

15 ½¼ ÄÍÃÍ ½º ÂÓ ÒØÓ θ θ θ θ ϕ = θ ÃÙÚ ½º½½ Ã Ò Ú Ô Ù Ø Ò Ý Ø Ñ Ò ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Øº Ø ØÓ Ò Ò Ð ÑÙÓ ÓÒ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Π Π θ θ ϕ Π ϕ θ Π ϕ = [ k k ]. ½º µ Ã ÖÖÓ ÒÑ ØÖ ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ Ó Ò Ô Ø ÖÑ Ò ÒØ Ø ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Ð Ó Ø ÙÖ Ú Ø ÓØ Π θ > ½º µ Π ( Π ) θ ϕ Π >, ½º µ θ ϕ < k ½º µ Ð (k ) () > (k )( 3k ) >. ½º ¼µ ½º µ Ó Ø ÔØ ÐÐÒ ØØ Ø Ô ÒÓØ Ð ÓÒ Ø Ð ÙÒ < 3k Ö ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ ÓÒ kr = 3 k. ½º ½µ ½º¾º ÂÓÙ ÐÐ ØÙ ØÙÒ Ô Ð Ö Ò Ö ÐÐ Ò Ò ÖØÝÑ Ì Ú ÒÓÑ Ö ÒØ Ø Ð Ù Ò Ñ Ò ØÝ Ø Ô ØÙÙ ÝÐ Ò Ô ÒØ Ò ÖØÝÑ Ò Ð¹ Ò ÑÙØØ Ó Ù ÓÒ ÝØ ØØÚ Ø Ö ÑÔ ÓÑ ØÖ Ò ÑÙÙØÓ Ò ÙÓÑ ÓÓÒÓØØ Ú Ø Ó¹ Ö º ÌÙØ Ø Ò ØØ ÙÚ Ò ½º½¾ Ô Ð Ö ¹ ÓÙ ¹Ñ ÐÐ Ò ÚÙÐÐ º Ê Ø Ø Ò Ø ØÚ Ò Ò Ø Ô ÒÓÑ Ò Ø ÐÑÐÐ ØØ Ò Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑÐÐº

16 ½º¾º Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø ½½ R F = ka tanϕ a sinϕ a tanϕ u = ( cosϕ) Ø ØÓÒ Ö Ò k ϕ a/ cosϕ / kr Ö ÙØÙÑ Ô Ø O arccos a ϕ arccos a ÃÙÚ ½º½¾ ÂÓÙ ÐÐ ØÙ ØÙÒ Ô Ð Ö Ò Ö ÐÐ Ò Ò ÖØÝÑº Ì Ô ÒÓÑ Ò Ø ÐÑ Ì Ô ÒÓÑ Ò Ø ÐÑ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò Ø Ô ÒÓ ØÓ sinϕ a cos ϕ R =, ½º ¾µ Ñ ÙÚ Ú Ø Ò Ó Ø ÙÓÖ ØÙ Ö Ø Ó ÓÒ Ø ØØÓÑ Ò Ö Ò Ò Ø Ô Ù R = katan ϕ cos ϕ. ½º µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ØÙ Ö Ø Ó Ø Ô ÒÓ ØÓÓÒ ØÙÐ sin ϕ a katan ϕ =, ½º µ cos ϕ cos ϕ Ð ( ka cos 3 )sin ϕ =. ϕ ½º µ ØÐ ÐÐ ÓÒ ØÖ Ú Ð Ö Ø Ù ϕ = Ø Ö Ø Ù ka = cos 3 ϕ. ½º µ ¹ØÖ Ú Ð Ö Ø Ù ÚÓ ÓÐÐ ÓÐ Ñ ÙÒ ka > º Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÔÓØ ÒØ Ð ÙÒ Ø Ó ÓÒ Π = U + V = k(atan ϕ) ( cos ϕ). ½º µ

17 ½¾ ÄÍÃÍ ½º ÂÓ ÒØÓ / kr k a tanϕ u = ( cosϕ) Ö ÙØÙÑ Ô Ø Ò Ö ÒØØ µ a ϕ Ð Ð Ø Ð ϕ O arccos a arccos a ÃÙÚ ½º½ È Ð Ö Ò Ö Ø Ù Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑÐÐº Ê ÒØ Ò Ø Ô ÒÓ ØÓ ÓÒ dπ dϕ tan ϕ = ka cos sinϕ =, ϕ ½º µ Ð ( ) ka cos 3 sin ϕ =, ϕ ÙØ Ò Ø Ô ÒÓÑ Ò Ø ÐÑ º ¹ØÖ Ú Ð Ö Ø Ù ÓÒ kr = cos 3 ϕ, ½º µ ½º ¼µ Ñ kr ÓÒ Ô Ð Ö Ò Ö ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ Ô Ò Ò ÖØÝÑÒ ϕ Ø Ô Ù º Ì Ô ÒÓØ ÐÓ Ò Ð ÙÒ ÐÚ ØØÑ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò ÔÓØ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ ØÓ Ò Ò Ö ¹ Ú ØØ d ( Π ka )cos dϕ = cos 3 ϕ ϕ + 3ka cos 4 ϕ sin ϕ. ½º ½µ Ì Ô ÒÓÔÓÐÙ ÐÐ ϕ ØÓ Ò Ò Ö Ú ØØ ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò d Π dϕ = 3ka cos 4 ϕ sin ϕ >, ½º ¾µ ÓØ Ò ÔØ ÐÐÒ ØØ Ø Ô ÒÓ Ñ Ø ϕ ÓÚ Ø Ø Ð º Ë Ò Ò Ø Ô ÒÓ Ñ Ø ϕ = > ka ÓÚ Ø Ô Ø Ð º ½º¾º Ê Ø ÓÒ ÐÔ ÐÝ ÒØ Ñ ÐÐ Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ø ÙÚ Ø ÓÓØØÙ ÓÙ ÐÐ ØÙ ØØÙ Ö Ø Ó ÓØ ÙÓÖÑ ØØ ÙÓÖ¹ Ñ ÙÚ ½º½ º Ê Ø Ø Ò Ø ØÚ Ò Ò Ø Ô ÒÓÑ Ò Ø ÐÑÐÐ ØØ Ò Ò Ö Ñ Ò ¹ Ø ÐÑÐÐº

18 ½º¾º Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø ½ sinα (sinα sin θ) cosθ sinθ α θ k F sinθ C cosα u = (cosθ cosα) F = ku / cosθ ÃÙÚ ½º½ Ê Ø ÓÒ ÐÔ ÐÝ ÒØ º 4k B Ø Ð Ð Ð Ö Ô Ø Ò Ö ÒØØ µ θ θ B θ B B ÃÙÚ ½º½ ÂÓÙ ÐÐ ØÙ ØÙÒ Ö Ø ÓÒ Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ùº Ì Ô ÒÓÑ Ò Ø ÐÑ ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò Ø Ô ÒÓ ØÓ M C = Ð cos θ k(cos θ cos α)sin θ =, ½º µ Ó Ø Ö Ø Ø Ò 4k = sin θ tan θ cos α, π < θ < α < π. ½º µ ÃÙÓÖÑ ¹ ÖØÝÑ ¹ ÝÖÒ Ô Ø B ÙÚ ½º½ Ø Ò ÒØØ ÓÒ Ú ÙÓÖ Ñ Ø Ö Ø Ø Ò d dθ = cos θ cos α cos θ =, cos 3 θ = cos α, ja θ B = ± arccos[(cos α) 3]. ½º µ ½º µ ÃÖ ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ ÓÒ kr 4k = sin θ B tan θ B cos α. ½º µ Ñ Ö ÙÒ α = 3 θ B = ±7.6 Ø θ B ± Ö /(4k) ±.76545º

19 ½ ÄÍÃÍ ½º ÂÓ ÒØÓ ¼º¼ ¼º¼¾ /(4k) ¼ ¹¼º¼¾ ¹¼º¼ ¹¼º¼ ¹¼º¼½ ¼º¼½ ¼ p kr ¼º¼ ¹½ ¹¼º ¼ θ ¼º ½ ÃÙÚ ½º½ Ê Ø ÓÒ Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù p = /(4k) α = 3 θ B = ± Ö º Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ ËÝ Ø Ñ Ò Ó ÓÒ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö ÓÒ Π = U + V = k() (cos θ cos α) ½º µ (sin α sinθ). Ì Ô ÒÓ Ó Ø dπ dθ = ÙÖ Ý ØÐ cos α = sin θ tan θ cos α = sin θ( 4k cos θ ). Ì Ô ÒÓÒ Ð ÙÒ ØÙØ Ñ Ø Ú ÖØ Ò Ð Ø Ò ØÓ Ò Ò Ö Ú ØØ ½º µ d Π dθ = 4k (cos θ cos α)( cos θ) + 4k sin θ sin θ = 4k ( cos α cos θ cos θ). ÌÓ Ò Ò Ö Ú ØØ ÓÒ ÒÓÐÐ Ð Π θ =, kun θ = ± arccos[(cos α) 3] ±θ B, ½º ¼µ ½º ½µ

20 ½º¾º Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø ½ ¼º½¾ ¼º½ ¼º¼ ¼º¼ p =.4 p =. p = p =. p kr p =.4 Π ¼º¼ ¼º¼¾ ¼ ¹¼º¼¾ ¹¼º¼ ¹½ ¹¼º ¼ θ ¼º ½ ÃÙÚ ½º½ Ê Ø ÓÒ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö k =.5 = α = 3 θ B = ± Ö º Ø Ô ÒÓ Ñ Ò Ð ØÙ ÓÒ Ò Ö ÒØØ º ÌÓ Ò Ò Ö Ú ØØ ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ð Ø Ô ÒÓØ Ð Ò Ð ØÙ ÓÒ Ø Ð º ÌÓ Ò Ö Ú Ø Ò Ò Ø Ú ÐÐ ÖÚÓ ÐÐ Ð Π θ >, kun θ < θ B ja θ > θ B, ½º ¾µ Π θ <, kun θ B < θ < θ B, ½º µ Ø Ô ÒÓØ Ð ÓÒ Ð Ð º ÃÙÚ ½º½ ÓÒ Ö Ø ÓÒ Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù Ö ÙÓÖÑ Ô Ö Ñ ØÖ Ò p = /(4k) ÖÚÓ ÐÐ º ÃÖ ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ p kr ÓÒ ÒÓ Ò.76545º ÃÙÚ ½º½ ÓÒ Ø ØØÝ Ú Ø Ú Ø ÔÓØ ÒØ ¹ Ð Ò Ö Ò ÖÚÓØº

21 ½ ÄÍÃÍ ½º ÂÓ ÒØÓ

22 ÄÙ Ù ¾ Ì Ô ÒÓÔÓÐÙØ Ð Ö ØØ Ò Ò Ø Ð ÑÙÓØÓÚ Ö Ø ¾º½ Ò Ú Ô Ù Ø Ò Ý Ø Ñ Ø Ð Ð Ö ØØ Ò Ò Ø Ð ÅÖ Ø ØÒ ÙÚ Ò ¾º½ ÓÙ ÐÐ ØÙ ØÙÒ ÙÚ Ò Ø Ô ÒÓÔÓÐÙØ ÓØ Ù Ò Ò Ò ØØ Ö ÒÒ ÓÒ Ú Ö Ø Ò Ð Ò ÓÐ ÙÓÖÑ Ò Ô ÝÝØØ Ø ÑÙÙØ Ð Ù Ö Øº Ê ÒØ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö ÓÒ Π = kϕ ( cos ϕ). ¾º½µ Ë ÙÚ Ò Ø Ô ÒÓ Ñ Ø Ô ÒÓÔÓÐÙØ ÚÓ Ò ÑÖ ØØ ØØ Ñ ÐÐ Π ϕ = ¾º¾µ Ø ÝÐ ÑÑ Ò ØØ Ñ ÐÐ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Π Ò ÑÑ Ò Ò Ú Ö Ø Ó ÒÓÐÐ Ð δπ = Π δϕ =. ϕ ¾º µ ÂÓ Ý Ø Ñ ÐÐ ÓÒ n Ö ÔÔÙÑ ØÓÒØ Ú Ô Ù Ø ØØ Ò Ò δπ = n i= Ø Ô ÒÓ Ñ º Ã Ú Ø ¾º µ ÙÖ Ñ Ö Ò Ø Ô Ù Π ϕ i δϕ i = ¾º µ δπ(ϕ) = (kϕ sin ϕ)δϕ =, δϕ. ¾º µ ÃÓ δϕ ÓÒ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò Ú Ö Ø Ó ÓÒ Ò ÖØÓ Ñ Ò ½º Ú Ö Ø ÓÒ Ú ÓÐØ Ú ÒÓÐÐ Ó Ø ÙÖ = k ϕ sinϕ. ¾º µ ÂÓ ϕ = Ò Ò Ø Ô ÒÓ ØÓ ¾º µ ØÓØ ÙØÙÙ ÐÐ ÙÓÖÑ Ò ÖÚÓ ÐÐ Ð ÙÓÖ ÐÐ ϕ = º ÃÙÚ Ò ¾º½ ÙÓÖ I ÓÒ Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ùº Ã Ú Ò ¾º µ ÚÙÐÐ ÑÖ Ø ØÒ ØÓ Ò Ò ½

23 ½ ÄÍÃÍ ¾º Ì Ô ÒÓÔÓÐÙØ Ð Ö ØØ Ò Ò Ø Ð ÑÙÓØÓÚ Ö Ø u ÁÁ B ÁÁ ϕ u = ( cos ϕ) Á k π ¼ π Ø Ð Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù Ð Ð Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù ϕ ÃÙÚ ¾º½ Ã ÖÖ ÓÙ ÐÐ ØÙ ØÙ Ô Ð Ö º Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù ÓØ Ñ Ö ØÒ ÝÑ ÓÐ ÐÐ IIº ÃÝÖ II Ð Ø Ô ÒÓÔÓÐÙÒ I ϕ = µ Ô Ø B Ñ kr = k. ¾º µ ÈÓÐ Ù I ÓÒ ÔÖ Ñ Ö Ò Ò Ð ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ò Ò ÔÓÐ Ù ÔÓÐ Ù II ÓÒ ÙÒ Ö Ò Ò Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ùº È Ø B ÙÚ ¾º½ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÔ Ø Ö ÙØÙÑ Ô Ø µº È Ø ØØ B Ú Ø Ú ÙÓÖÑ Ò ÖÚÓ Ò Ñ Ø ØÒ Ö ØØ ÙÓÖÑ kr º Ì Ö Ò ÔÓØ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ù Ò ¾º½µ Ø ÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ð ÑÖ Ò Ò Ð Ù ÓÖÚ Ñ ÐÐ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÒ Ø Ó cos ϕ Ö Ø ÐÑÐÐ cos ϕ! ϕ + 4! ϕ4 + ¾º µ ÓØØ Ñ ÐÐ ÙÓÑ ÓÓÒ Ò ÓÐÑ Ò ÑÑ Ø Ø ÖÑ ÓÐÐÓ Ò Ò Π(ϕ) = (k )ϕ + 4 ϕ4. ¾º µ ØØ Ñ ÐÐ δπ = ØÙÐ [(k )ϕ + 6 ϕ3 ]δϕ =, δϕ, ¾º½¼µ Ó Ø Ò Ö Ø ØÙ Ø Ô ÒÓÔÓÐÙØ ϕ =,, ¾º½½µ = k k ( + 6 ϕ ). ¾º½¾µ 6 ϕ Ã Ú Ò ¾º½¾µ Ô ÝØÒ ÑÝ ÙÒ Ö Ò Ø Ô ÒÓÔÓÐÙÒ Ú Ø ¾º µº ØØ ¹ Ñ ÐÐ ϕ = Ò Ð ÑÖ Ø Ú Ø ¾º½¾µ Ø Ö Ö ÙØÙÑ Ô Ø kr = k º

24 ¾º½º Ò Ú Ô Ù Ø Ò Ý Ø Ñ Ø Ð Ð Ö ØØ Ò Ò Ø Ð ½ ÌÙØ Ø Ò ÙÖ Ú Ø Ô ÒÓØ ÐÓ Ò Ð ØÙ Ð ÑÖ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ú Ò ¾º µ ÚÙÐÐ º ÙÖ Ø ÓÔ Ø = k ÓØ Ò Ø ÖÑ Ò ϕ ÖÖÓ Ò Ú ¾º µ ÓÒ ÒÓÐÐ º ÂÐ¹ ÑÑ Ò º Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Π Ú ¾º µ ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ ÓØ Ò Ô Ø Ò B Ø Ô ÒÓØ Ð ÓÒ Ø Ð º Ì Ô ÒÓÔÓÐ Ù Ò I II Ð ØØÝÚ Ò Ø ÐÓ Ò Ø Ð ÙØØ ØÙØ Ø Ò Π Ò ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ø ÒÝØ ØÓ Ò Ö Ú Ø Ò d Π dϕ = k + ϕ ¾º½ µ ÚÙÐÐ º ÈÖ Ñ Ö ÐÐ ÔÓÐÙÐÐ ϕ = d Π dϕ = k, ¾º½ µ ÓØ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ò Ò Ú Ö Ø Ó ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò ÙÒ < k Ò Ø Ú Ò Ò ÙÒ > k º ÐÐ Ø Ô Ù Ø Ô ÒÓØ Ð ÓÒ Ø Ð Ð ÑÑ Ô Ø Ð º Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÙÒ Ö Ò ÔÓÐÙÒ II Ú ¾º½¾µ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ò Ö Ú Ø Ò Ú Ò ØÙÐ d Π dϕ = 3 k(ϕ + 4 ϕ4 ), ¾º½ µ Ó ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò ÔÓÐÙÒ II Ø Ô ÒÓØ Ð Ø ÓÚ Ø Ø Ò Ø Ð ÙÚ ¾º½º Ì Ô ÒÓ¹ ÔÓÐ Ù II ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ø Ð º ¾º½º½ ÅÙÓØÓÚ Ö Ò Ú ÙØÙ Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÐÐ Ò Ñ ÖÖ ÓÙ Ò ØÙ Ñ ÙÐÓ ÙÚ Ù Ò ÐÐ ÑÙØØ ØÐÐ ÖØ Ö ÒØ Ò ÓØ ÙØ Ò ÑÙÓØÓÚ Ö ÙÚ Ò ÐØ ÚÙÙ ÙÐÑ Ð ÙØ Ð ÓÒ ϕ º ÅÙÓØÓÚ Ö ÐÐ Ò ÙÚ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ð Ù ÓÒ Π(ϕ;ϕ ) = k(ϕ ϕ ) ( cos ϕ) + ( cos ϕ ). ¾º½ µ Ã ØØÑÐÐ cos ϕ Ö ÓØØ Ñ ÐÐ ÑÙ Ò Ø ÖÑ Ø º Ø Ò Ø Ò Π(ϕ;ϕ ) = k(ϕ + ϕ ϕϕ ) ( cos ϕ) + ( ϕ 4 ϕ 4 ). ¾º½ µ ÇØ ÙØ Ò ØØ ÙÐÑ ϕ ÓÒ Ô Ò ÓÐÐÓ Ò Ø ÖÑ Ò ϕϕ Ö ÒÒ ÐÐ ϕ Ò ÓÖ ÑÔ ÔÓ¹ Ø Ò ÐØÚØ Ø ÖÑ Ø ÚÓ Ò ØØ ÔÓ º È Ò Ò ÑÙÓØÓÚ Ö Ò Ø Ô Ù Ú Ø ¾º½ µ ÙÖ Π(ϕ;ϕ ) = k(ϕ ϕϕ ) ( cos ϕ). Ì Ô ÒÓØ Ð Ø ÑÖ Ø ØÒ ÐÐ Ò Ó Ø δπ = Ð Ó Ø ÙÖ Ø Ô ÒÓÔÓÐÙ ÐÐ Ú ¾º½ µ [k(ϕ ϕ ) sin ϕ]δϕ =, δϕ, ¾º½ µ = k ϕ sin ϕ k ϕ sin ϕ. ¾º¾¼µ

25 ¾¼ ÄÍÃÍ ¾º Ì Ô ÒÓÔÓÐÙØ Ð Ö ØØ Ò Ò Ø Ð ÑÙÓØÓÚ Ö Ø ϕ > ϕ < ϕ ϕ ϕ < ϕ > k π ¼ π Ø Ð Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù Ð Ð Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù ϕ ÃÙÚ ¾º¾ Ã ÖÖ ÓÙ ÐÐ ØÙ ØÙ Ô Ð Ö Ð Ù ÖØÝÑÒ Ú ÙØÙ º Ã Ú Ò ¾º¾¼µ Ò ÑÑ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ Ñ Ù Ò Ú Ö ØØ ÑÒ Ö ÒØ Ò Ø Ô ÒÓÝ ¹ ØÐ ¾º½¾µº ÌÓ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÑÙÓØÓÚ Ö Ø ÙØÙÚ ÓÖ Ù Ø ÖÑ º Ã Ú ¾º¾¼µ ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ ÙÚ Ò ¾º¾º ÈÓÐÙØ ÓØ Ð Ú Ø ϕ¹ Ð Ò ÓÚ Ø ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÑÙÙØ ÓÚ Ø ÔÐÙÓÒÒÓÐÐ ÑÙ¹ ÔÓÐ Ù µº ÂÓ Ø ÖÚÓ ϕ Ú Ø ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò ÔÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò ÔÓÐ Ùº ÈÓÐÙØ ÑÙÓ Ó ¹ Ø Ú Ø ÝÖÔ ÖÚ Ó ÓÒ Ö Ø Ò ÑÖ ÝÖ ÙØ Ò ÓÒ ϕ Ò ÖÚÓ Òµº ÃÙÚ Ò ¾º¾ Ô Ø Ø ÓÚ Ú ÐÐ Ô ÖÖ ØØÝ ÝÖ ØØ Ú d Π = k cos ϕ =. dϕ ¾º¾½µ (,ϕ)¹ø Ó Ô Ø Ø ÓÚ Ú Ò ÔÙÓÐ ÐÐ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ð Ù Ò ØÓ Ò Ò Ö Ú Ø¹ Ø d Π ÓÒ Ò Ø Ú Ò Ò Ø Ô ÒÓØ Ð Ø ÓÚ Ø Ô Ø Ð º Î Ø Ú Ø Ô Ø Ø ÓÚ Ú Ò dϕ ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ ØÓ Ò Ò Ö Ú ØØ ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ø Ô ÒÓ Ñ Ø ÓÚ Ø Ø Ð º ¾º¾ Ò Ú Ô Ù Ø Ò Ý Ø Ñ Ô Ø Ð Ð Ö ØØ Ò Ò Ø Ð ÃÙÚ Ò ¾º Ú ÓÙ ÐÐ ØÙ ØÙÒ Ö ØØ ÑÒ Ý Ò Ô Ð Ö Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ð Ù ÓÒ Π(ϕ) = k sin ϕ ( cos ϕ). Ì Ô ÒÓØ Ð dπ dϕ = Ð sin ϕ(kcos ϕ ) =, ¾º¾¾µ ¾º¾ µ ÓÐÐ ÓÒ Ö Ø ÙØ Ø Ô ÒÓÔÓÐÙØµ ϕ = ja = kcos ϕ. ¾º¾ µ

26 ¾º¾º Ò Ú Ô Ù Ø Ò Ý Ø Ñ Ô Ø Ð Ð Ö ØØ Ò Ò Ø Ð ¾½ k u Á B = k u = ( cos ϕ) ÁÁ ÁÁ ϕ Á ϕ π/ ¼ π/ Ø Ð Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù Ð Ð Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù ÃÙÚ ¾º ÂÓÙ ÐÐ ØÙ ØØÙ Ô Ð Ö º À Ö ÙØÙÑ Ô Ø B kr = k. ¾º¾ µ Ì Ô ÒÓØ ÐÓ Ò Ð ØÙ ÐÚ Ø ØÒ Π Ò ØÓ Ò Ö Ú Ø Ò d Π dϕ = k (cos ϕ ) cos ϕ ¾º¾ µ ÚÙÐÐ º ÈÓÐÙÐÐ I ϕ = Π Ò ØÓ Ò Ò Ö Ú ØØ ÓÒ d Π = (k ), dϕ ¾º¾ µ ÓØ Ò ÔÖ Ñ Ö ÐÐ ÔÓÐÙÐÐ Ø Ô ÒÓØ Ð Ø ÓÚ Ø Ø Ð ÙÒ < k Ô Ø Ð ÙÒ > kº Ë ÙÒ Ö ÐÐ ÔÓÐÙÐÐ II = kcos ϕ d Π dϕ = k [ (k) ], ¾º¾ µ ÓØ Ò d Π < Ó < kº ÈÓÐÙÐÐ II Ø Ô ÒÓØ Ð Ø ÓÚ Ø Ô Ø Ð º dϕ ÙÖ Ø ÓÔ Ø B = k ϕ = d Π = º È Ø Ò B Ø Ô ÒÓØ Ð Ò Ð ÙÒ dϕ ÐÚ ØØÑ ÓÒ ØÙØ ØØ Ú Ð ÔÓØ ÒØ Ð Π(ϕ)º Å Ö Ø ÑÐÐ ϕ = θ ÝØØÑÐÐ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ý Ø Ý sin θ = 4sin θ cos θ cos θ = cos θ Ò Π(θ) = k sin θ(cos θ ), ¾º¾ µ Ó ÓÒ Ò Ø Ú Ø Ò ØØ º È Ø Ò B Ø Ô ÒÓØ Ð ÓÒ Ø Ò Ô Ø Ð º Ñ Ö Ò Ø Ô Ù ÙÒ Ö Ò Ò Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ô Ø Ð º

27 ¾¾ ÄÍÃÍ ¾º Ì Ô ÒÓÔÓÐÙØ Ð Ö ØØ Ò Ò Ø Ð ÑÙÓØÓÚ Ö Ø ÃÓÖÚ Ñ ÐÐ Ò ¹ Ó Ò ÙÒ Ø ÓØ Ö Ø ÐÑ ÐÐ ÐÝØØÑÐÐ Ø ÖÑ Ø ϕ Ò Ò Ð Ò¹ Ø Ò ÔÓØ Ò Ò Ø Ò Ð ÑÖ Ò Ò Ð Ù Π(ϕ) = k (ϕ 3 ϕ4 ) ( ϕ 4 ϕ4 ). ¾º ¼µ Ì Ô ÒÓ Ó Ø δπ = Ò Ø Ô ÒÓÔÓÐÙØ ϕ = ja = k( ϕ ). ¾º ½µ ÐÐ Ò Ò Ö Ø Ù ÓÒ Ñ Ù Ò Ø Ö Ò Ö Ø ÙÒ ÔÖ Ñ Ö Ò ÔÓÐÙÒ Ú Ð ÑÑ Ò Ò Ö Ø Ù ÓÒ Ð ÑÖ Ò ÙÒ Ö Ò ÔÓÐÙÒ Ú º ÙÖ Ø ÓÔ Ø kr = k ϕ = ÙØ Ò Ø Ö Ö Ø Ù º Ä Ö Ø ÙÒ Π Ò ØÓ Ò Ò Ö Ú ØØ ÓÒ ÈÖ Ñ Ö ÐÐ ÔÓÐÙÐÐ d Π dϕ = k ( ϕ ) ( ϕ ). d Π = (k ) dϕ ¾º µ ÙØ Ò Ø Ö Ö Ø Ù º Ë ÙÒ Ö ÐÐ ÔÓÐÙÐÐ II d Π dϕ = k ( k ) k. ¾º ¾µ ¾º µ Å Ö ØÒ = αk α < º ÌÐÐ Ò d Π dϕ = k ( 3 + 4α α ) k f(α). ¾º µ ÃÓ ÙÒ Ø Ó f(α) < Ø Ö Ø ÐÙÚÐ ÐÐ ÓÒ d Π < ÙÒ Ö Ò ÔÓÐÙÒ Ø Ô ÒÓ¹ dϕ Ø Ð Ø ÓÚ Ø Ô Ø Ð º ÙÖ Ø ÓÔ Ø B kr = k α = ÓØ Ò d Π = Ø Ô ÒÓØ Ð Ò Ð ¹ dϕ ØÙ Ô ÐÚ º ÈÓØ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ú Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÙÖ Ø ÓÔ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ò Ó ØØ Ñ ÐÐ = k ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ú Ò ¾º ¼µ Π(ϕ) = 8 k ϕ 4, ¾º µ ÓØ Ò Ô Ø Ò B Ø Ô ÒÓØ Ð ÓÒ Ô Ø Ð º ¾º¾º½ ÅÙÓØÓÚ Ö Ò Ú ÙØÙ ÇØ ÙØ Ò ØØ ÙÚ ÓÒ ÙÐÑ Ò ϕ Ú ÖÖ Ò ÐÐ ÐÐ Ò Ó Ð ÙØ Ð Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ð ÑÖ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ð Ù Ò ÚÙÐÐ º Ì Ö ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ð Ù Π(ϕ;ϕ ) = k (sin ϕ sin ϕ ) ( cos ϕ) + ( cos ϕ ) ¾º µ

28 ¾º¾º Ò Ú Ô Ù Ø Ò Ý Ø Ñ Ô Ø Ð Ð Ö ØØ Ò Ò Ø Ð ¾ k ϕ ϕ ÃÙÚ ¾º ÂÓÙ ÐÐ ØÙ ØØÙ Ð Ù Ò ÐØ Ú Ô Ð Ö º ÑÙÙÒØÙÙ ÓÖÚ Ñ ÐÐ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ø ÙÒ Ø ÓØ ÓÔ Ú Ø Ø ØÙ ÐÐ Ö Ø ÐÑ ÐÐ ÑÙÓ¹ ØÓÓÒ Π(ϕ;ϕ ) = k (ϕ 3 ϕ4 ϕϕ ) ( ϕ 4 ϕ4 ) ¾º µ ÓØ Ù Ò ØØ ϕ ÓÒ Ô Ò ÓÐÐÓ Ò Ø ÖÑ Ò ϕϕ Ö ÒÒ ÐÐ ϕ Ò ÓÖ ÑÔ ÔÓØ Ò Ð¹ ØÚØ Ø ÖÑ Ø ÚÓ Ò ØØ ÔÓ µº Ì Ô ÒÓØ Ð δπ = Ð ÑÖ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ú Ø ÙÖ Ø Ô ÒÓÝ ØÐ = k ( ϕ ϕ ϕ ), ¾º µ Ñ ÖØ ÐÙÓ O(ϕ 4 ) O(ϕϕ ) ÓÐ Ú Ø Ø ÖÑ Ø ÓÒ Ø ØØÝ ÔÓ Ø ÖÑ Ò ϕ ϕ ϕ Ö ÒÒ ÐÐ µº Ê Ø ÙØ ¾º µ ÓÒ Ø ØØÝ ÙÚ ¾º º ÂÓ Ø ÖÚÓ ϕ Ú Ø ÐÐ Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò ÔÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ùº Ì Ô ÒÓÔÓÐ Ù Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ ÝÖÔ ÖÚ Ø Ô Ö Ø ÓÒ ÒÝØ Ò Ð ÔÔ Ð ØØ ϕ Ò ÔÓ Ø Ú ÐÐ ÖÚÓ ÐÐ ϕ Ò Ò Ø Ú ÐÐ ÖÚÓ ÐÐ º ÃÙÒ ϕ Ò Ò ÑÙÓØÓÚ Ö ÐÐ Ò Ö ÒØ Ò Ø Ô ÒÓÔÓÐÙØ Ð ØÝÚØ ØÝ ÐÐ Ò Ö ÒØ Ò Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù º ÄÙÓÒÒÓÐÐ ÐÐ ÔÓÐÙ ÐÐ Ñ Ö Ò Ø Ô Ù ÙÓÖÑ ÐÐ ÓÒ Ñ Ñ ÖÚÓØ m º Ö ÚÓ Ñ ÐÐ Ú ¾º µ ØÙÐ Ñ Ø ÙÖ Ý Ø Ý Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ¾º ½µ Ú Ò ¾º µ ØÙÐ d dϕ = k( ϕ + ϕ ϕ) =, ¾º ¼µ ϕ = ϕ 3. ¾º ½µ m = k( 3 ϕ 3), ¾º ¾µ Ð Ò Ñ Ñ ÖÚÓÒ Ö ÔÔÙÚÙÙ Ð ÙÚ Ö Ø ϕ ÙÚ ¾º º Å Ñ ÖÚÓ m Ú Ø Ú Ô Ø ÓÒ Ò Ñ ÐØÒ Ö Ô Ø º

29 ¾ ÄÍÃÍ ¾º Ì Ô ÒÓÔÓÐÙØ Ð Ö ØØ Ò Ò Ø Ð ÑÙÓØÓÚ Ö Ø m /k ϕ > ϕ < B = k m ϕ < ϕ > π/ ¼ π/ Ø Ð Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù Ð Ð Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù ϕ ϕ ÃÙÚ ¾º ÂÓÙ ÐÐ ØÙ ØØÙ Ô Ð Ö Ð Ù ÖØÝÑÒ Ú ÙØÙ º ÃÝÖÒ ¾º ¾µ ÙÚ Ò ¾º ÚÙÐÐ ÔØ ÐÐÒ ØØ Ô Ò Ò ϕ Ò ÖÚÓ ÙØØ ÙÙÖ Ò Ò Ø Ú Òµ ÑÙÙØÓ Ò m Ò ÖÚÓ Ñ Ö Ò Ö ÒÒ ÓÒ ÝÚ Ò Ö ÑÙÓØÓÚ Ö¹ ÐÐ º Ã Ú ¾º ¾µ ÚÓ Ò Ó Ø Ú ØÓ ØÓ Ø Ð Ñ ÒÓ Ñ ÐÐ ϕ Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ò ¾º µ ÚÙÐÐ Ú Ø d Π dϕ = k( ϕ ) ( ϕ ) =. ¾º µ Ã Ú ¾º µ ÓÒ Ø ØØÝ ÙÚ ¾º Ô Ø Ø ÓÚ Ú ÐÐ º È Ø Ø ÓÚ Ú Ò Ð ÔÙÓÐ ÐÐ d Π > Ø Ô ÒÓØ Ð Ø ÓÚ Ø Ø Ð º Î Ø Ú Ø Ô Ø Ø ÓÚ Ú Ò ÝÐÔÙÓÐ ÐÐ dϕ d Π < Ø Ô ÒÓØ Ð Ø ÓÚ Ø Ô Ø Ð º dϕ ¾º Ò Ú Ô Ù Ø Ò Ý Ø Ñ Ô ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ð Ö Ø¹ Ø Ò Ò Ø Ð ÌÙØ Ø Ò Ý Ò ÙÐÓ ÙÚ Ò Ú ÒÓÒ ÓÙ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ý Ø Ñ º ÂÓÙ Ò Ô ØÙÙ ÓÒ Ð ÙØ Ð ā ÓÖÑÓ ØÙÒ Ø Ð º ËÝ Ø Ñ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö ÓÒ Π(ϕ) = k(a ā) ( cos ϕ), ¾º µ Ñ a = ā = sinθ, + tan θ ( tan θ + sin ϕ ¾º µ ). ¾º µ

30 ¾º º Ò Ú Ô Ù Ø Ò Ý Ø Ñ Ô ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ð Ö ØØ Ò Ò Ø Ð ¾ ÁÁ Á B = k ÁÁ k ā a k ϕ Á ÃÙÚ ¾º θ Î ÒÓÐÐ ÓÙ ÐÐ ØÙ ØØÙ Ô Ð Ö º ¼ ϕ Ø Ð Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù Ð Ð Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù ÃÙÐÑ Ò ϕ θ ÙÒ Ø ÓÒ [ Π(ϕ) = k + ( ) tan θ tan θ + sin ϕ ] ( cos ϕ). ¾º µ sin θ Ø Ø Ò ÙÖ Ú θ = π Ø ØÒ ÙÐÑ Ò ϕ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ø ÙÒ Ø ÓØ Ö Ó º 4 ÌÐÐ Ò Ò Π(ϕ) = 4 k (ϕ ϕ3 48 ϕ4 ) ( ϕ 4 ϕ4 ). ¾º µ Ó Ø δπ = ÙÖ ϕ = ja = k( 3 4 ϕ + 8 ϕ ), ¾º µ ÓØ ØØÚØ ÐÐ Ò ÔÖ Ñ Ö Ø ÙÒ Ö Ø Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù ÙÚ ¾º º ÃÙÒ ϕ = Ò Ò Ú Ø ¾º µ ÙÖ kr = k. ¾º ¼µ ÌÙØ Ø Ò Ø Ô ÒÓØ Ð Ò Ð ØÙ ÙÖ Ø ÓÔ Ø Ó ØØ Ñ ÐÐ Ö ØØ Ò ÙÓÖÑ Ò ÖÚÓ ¾º ¼µ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ú Ò ¾º µ Ò Π(ϕ) = 8 k ( ϕ 3 + ϕ4 ), ¾º ½µ Ó ÙÙ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÑ ÒÓ º Ø Ò Ø ÖÑ º ÙÖ Ø ÓÔ Ø Ò Ø Ô ÒÓØ Ð ÓÒ Ø Ò Ô Ø Ð º ÈÖ Ñ Ö Ò ÙÒ Ö Ò ÔÓÐÙÒ Ø Ô ÒÓÔ Ø Ò ØÙØ Ñ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò ÔÓ¹ Ø ÒØ Ð Ò ØÓ Ò Ò Ö Ú ØØ d Π dϕ = 4 k ( 3ϕ 4 ϕ ) ( ϕ ). ¾º ¾µ

31 ¾ ÄÍÃÍ ¾º Ì Ô ÒÓÔÓÐÙØ Ð Ö ØØ Ò Ò Ø Ð ÑÙÓØÓÚ Ö Ø ÈÖ Ñ Ö ÐÐ ÔÓÐÙÐÐ I ϕ = µ d Π dϕ = ( k ), ¾º µ ÓØ Ò Ø Ô ÒÓØ Ð Ø ÓÚ Ø Ø Ð ÙÒ < k Ô Ø Ð ÙÒ > kº Ë ÙÒ¹ Ö ÐÐ ÔÓÐÙÐÐ II d Π dϕ = 8 k ( 3ϕ + ϕ 3 ϕ3 + 4 ϕ4 ). ¾º µ Ã Ú ¾º µ Ð Ò Ö Ò Ò Ø ÖÑ 3ϕ ÓÒ ÐÐ Ø Ú Ô Ò ÐÐ ϕ Ò ÖÚÓ ÐÐ ÓØ Ò ÔÓÐÙÒ II Ø Ô ÒÓ Ñ Ø Ø Ð Ò ϕ = ÝÑÔÖ Ø ÓÚ Ø Ø Ð ÙÒ ϕ < Ô Ø Ð ÙÒ ϕ > º Ì ØÚÒ ØØ ÐÝ ÚÓ Ò Ý Ò ÖØ Ø Ø Ñ ÐÐ Π Ò Ø ÐÑ ÓÐÑ ÒÒ Ò Ø Ò Ø ÖÑ Ò Π(ϕ) = 4 k (ϕ ϕ3 ) ϕ. ¾º µ ÌÐÐ Ò Ò Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù Ò Ý ØÐ ϕ = ja = k( 3 4 ϕ). ¾º µ ËÙÓÖ ¾º µ ÓÒ ÝÖÒ ¾º µ Ø Ò ÒØØ ÙÖ Ø ÓÔ Ø B Ó ϕ = ÙÚ ¾º º ÈÓÐÙØ I II ÓÚ Ø ÒÝØ ÙÓÖ ÑÙØØ ÙÖ Ø ÓÔ Ø ÓÒ Ñ Ù Ò ØÝ ÐÐ ÑÑÐÐ ÔÓ¹ Ø ÒØ Ð Ò Ú ÐÐ ÑÖ Ø ØØÝ Ô Ø B ( k,)º ÙÖ Ø ÓÔ Ø Ò B ÝÑÔÖ Ø Ó Ø¹ Ø Ñ ÐÐ Ø ØÙÒ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ú Ò ¾º µ = k Ò Π(ϕ) = 8 k ϕ 3, ¾º µ ÓØ Ò Ô Ø B ÓÒ Ô Ø Ð º Ë ÙÒ Ö ÐÐ ÔÓÐÙÐÐ Ò Ú Ò ¾º µ Ø ÒÝØ ¹ Ó ØØ Ñ ÐÐ ÙÒ Ö Ò ÔÓÐÙÒ Ú ¾º µ Ø ØÙÒ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ú Ò ¾º µ ÚÙÐÐ Ð ØØÙÙÒ ØÓ Ò Ö Ú Ø Ò Ð Ù Òµ d Π dϕ = 3 8 k ϕ ¾º µ d Π dϕ > ÙÒ ϕ < Ø Ð µ d Π < ÙÒ ϕ > Ô Ø Ð µº dϕ Ñ Ö Ò Ö ÒØ Ò Ð Ö ØØ Ò Ò Ø Ð ÓÒ Ô ÝÑÑ ØÖ Ò Òº ¾º º½ ÅÙÓØÓÚ Ö Ò Ú ÙØÙ ÇØ ÙØ Ò ÙÐÓ ÙÚ Ò ÐØ ÚÙÙ Ð ÙØ Ð ϕ º ÂÒÒ ØÝ ØØ ÑÒ ÓÙ Ò Ô ØÙÙ ÓÒ a º ÈÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ð Ù Ò Π(ϕ;ϕ ) = k(a a ) ( cos ϕ) + ( cos ϕ ). ¾º µ Ñ ÓØ ÙÑ ÐÐ θ = π 4 a = + sin ϕ, ¾º ¼µ

32 ¾º º Ò Ú Ô Ù Ø Ò Ý Ø Ñ Ô ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ð Ö ØØ Ò Ò Ø Ð ¾ k ā a a ϕ ϕ θ ÃÙÚ ¾º Î ÒÓÐÐ ÓÙ ÐÐ ØÙ ØØÙ Ð Ù Ò Ú ÒÓ Ô Ð Ö º a = + sin ϕ. ¾º ½µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ú Ø ¾º ¼µ ¾º ½µ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ú Ò ¾º µ ØØÑÐÐ ØÖ ÓÒÓ¹ Ñ ØÖ Ø ÙÒ Ø ÓØ Ö Ó ØÝ Ù Ò ϕ = ϕ = Ò Π(ϕ;ϕ ) = k ( ϕ 4 ϕ3 ϕϕ ) ϕ, ¾º ¾µ ÙÒ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ú Ó ØØ ÓÒ ÐÐ Ò ÓØ ÙØØÙ ØØ ÑÙÓØÓÚ Ö Ô Ö Ñ ØÖ ϕ ÓÒ Ô Ò ϕ Ò ÓÖ ÑÔ ÔÓØ Ò ÐØÚØ Ø ÖÑ Ø ÚÓ Ò ØØ ÔÓ Ø ÖÑ Ò ϕϕ Ö ÒÒ ÐÐ µº ÃÓ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ú ¾º ¾µ ÓÒ Ø ÖÑ ϕ 3 ÚÓ Ò Ò Ð ÒÒ Ò Ø Ò Ø ÖÑ ØØ ÔÓ º ËØ Ø ÓÒ Ö ÙÙ Ó Ø δπ = ÙÖ Ø Ô ÒÓ ØÓ = k( 3 4 ϕ ϕ ϕ ), ¾º µ ÓÒ ØØÑØ ÝÖØ ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ ÙÚ Ò ¾º º ÂÓ Ø ϕ Ò ÖÚÓ Ú Ø ÐÐ Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò ÔÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ùº ÃÙ¹ Ú ¾º ÓÒ Ò Ð ÝÖÔ ÖÚ º Æ Ø Ú Ø ϕ Ò ÔÓ Ø Ú ÖÚÓ ϕ Ò Ò Ø Ú ÖÚÓ º ÅÙÓØÓÚ Ö ÐÐ Ò Ö ÒØ Ò Ø Ô ÒÓÔÓÐÙØ Ð ØÝÚØ Ú Ö ØØ ÑÒ Ö ÒØ Ò Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù ÙÒ ϕ º ÄÙÓÒÒÓÐÐ ÐÐ Ø Ô ÒÓÔÓÐÙ ÐÐ ÙÒ ϕ > ÙÓÖÑ ÚÙØØ Ñ Ñ ÖÚÓÒ m ÙÒ Ø ÔÓÐÙ ÐÐ ÓØ Ð ØØÝÚØ Ð Ù ÐØ ÚÙÙ Ò ϕ < ÙÓÖÑ ÐÐ ÓÐ Ñ Ñ Ô ¹ Ø ØØº Ð Ñ ÒÓ Ñ ÐÐ ϕ Ø Ô ÒÓ Ó Ø ¾º µ Ý ØÐ Ø ÙÖ d Π dϕ = k( 3 ϕ) = m = k( 3ϕ ), ¾º µ ¾º µ

33 ¾ ÄÍÃÍ ¾º Ì Ô ÒÓÔÓÐÙØ Ð Ö ØØ Ò Ò Ø Ð ÑÙÓØÓÚ Ö Ø ϕ > m / kr B = k ϕ < m ϕ < ¼ ϕ > Ø Ð Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù Ð Ð Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù ϕ ϕ ÃÙÚ ¾º Î ÒÓÐÐ ÓÙ ÐÐ ØÙ ØØÙ Ô Ð Ö Ð ÙØ ÔÙÑ Ò Ú ÙØÙ º ÙÚ ¾º º ËÙÓÖ Ò Ý ØÐ ¾º µ ÔÙÓÐ ØØ ÔÖ Ñ Ö Ò ÙÒ Ö Ò ÔÓÐÙÒ ÚÐ Ò ÙÐÑ Òº ÃÝ¹ Ö ¾º µ ÚÙ ÙÓÖ ϕ = Ø Ò ÒØ Ð Ø º ÎÓ Ò ÔØ ÐÐ º ÑÝ ÙÚ ¾º µµ ØØ Ô Ò Ò ÐØ ÚÙÙ ÙÐÑ ϕ ÙØØ ÙÓÑ ØØ Ú Ò Ô Ò Ò Ñ Ò Ö ÙÓÖÑ Ò m Ð Ö ÒÒ ÓÒ Ö ÑÙÓØÓÚ Ö ÐÐ º Ê ÒØ ÐÐ Ó ÐÐ Ð Ö ØØ Ò Ò ÝØØÝØÝÑ Ò Ò ÙÒ Ö Ò Ò Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ùµ ÓÒ Ô ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÑÙÓØÓÚ Ö Ò Ú ÙØÙ ÓÒ ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò Ö ÒØ ÐÐ Ó Ò Ð Ö ØØ Ò Ò ÔÓÐ Ù ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Òº Ã Ú ¾º µ m (ϕ )¹Ö ÔÔÙÚÙÙ ÓÒ ØÝÝÔÔ ϕ ÙÒ Ø Ú ÙÓÖ Ò ÓÙ Ò ØÙ Ñ Ò Ô Ð Ö Ò Ø Ô Ù Ú ¾º ¾µ Ú Ø Ú Ö ÙÓÖÑ Ò Ö ÔÔÙÚ ÙÙ Ð Ù¹ ÐØ ÚÙÙ ÙÐÑ Ø ÓÒ ØÝÝÔÔ ϕ 3 º ÃÙÚ ¾º ÙÓÖ Ò ¾º µ Ô Ø Ø ÓÚ Ú µ Ú ÑÑ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ d Π > Ø Ô ÒÓ¹ dϕ Ø Ð Ø ÓÚ Ø Ø Ð º Î Ø Ú Ø ÙÓÖ Ò ¾º µ Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ d Π ÓÚ Ø Ô Ø Ð º < Ø Ô ÒÓØ Ð Ø dϕ

34 ÄÙ Ù ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ º½ ÈÙÖ Ø ØÙÒ Ø ÚÙØ ØÙÒ ÙÚ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ ÈÙÖ Ø ØÙÒ Ø ÚÙØ ØÙÒ ÙÚ Ò Ð ÓÒ x Ð Ò y ÙÙÒØ Ò Ò Ø Ô ÒÓ ØÓ ÙÒ ÔÙÖ ¹ Ø Ú ÚÓ Ñ ÓÒ Ú Ó ÓÒ Q + Q + Q + v (v + v ) + q x =, Ó Ø ÙÖ Q x v x + q =. Ê ÐÐ x Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ º½µ º¾µ Q v + q =, º µ Ñ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ ( ) d( ) dx º Ë Ñ ÒÐ ÐÐ Ø Ö Ø ÐÙÐÐ Ó Ø Ò ÑÓÑ ÒØ Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ M = Q. º µ Ì Ô ÒÓ ØÓ Ò º µ º µ ÚÙÐÐ Ò ÔÙÖ Ø ØÙÒ Ø ÚÙØ ØÙÒ ÙÚ Ò Ö ÒØ ¹ Ð Ý ØÐ M v + q =. º µ ÇØØ Ñ ÐÐ ÙÓÑ ÓÓÒ ÑÑÓ Ò ÙÚ Ò ÑÓÑ ÒØ Ò ÝÖ ØÝÑÒ ÚÐ Ò Ò Ý Ø Ý ØÙÐ M = EIκ = EIv (EIv ) + v = q. Ì Ô Ù EI = Ú Ó Ø ÔÙÑ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ ÓÒ Ñ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ v (4) + k v = q EI, k = EI. º µ º µ º µ º µ ¾

35 ¼ ÄÍÃÍ º ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ x x + x x,u y,v Q v M q M + M v + v Q + Q ÃÙÚ º½ Ë ÙÚ Ò Ð Óº Æ Ð ÒÒ Ò ÖØ ÐÙÚÙÒ Ø Ú ÐÐ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò º µ Ö Ø Ù ÓÒ v(x) = sin kx + B cos kx + Cx + D + v p, º½¼µ Ñ v p ÓÒ ÔÓ ØØ ÙÓÖÑ Ø q(x) Ö ÔÔÙÚ Ý ØÝ Ö Ø Ùº º¾ Ì Ô ÒÓÑ Ò Ø ÐÑ Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ñ Ö Ò ÑÓÐ ÑÑ Ø Ô Ø Ý Ø ØÙ ØØÙ ÙÚ º Ë ÙÚ Ò Ö ÙÒ ÓØ ÓÚ Ø v() = v () = v() = v () =. º½½µ Ì ÔÙÑ Ò Ð Ù Ò Ö Ú ØØ ÓÒ v (x) = k cos kx Bk sin kx + C. º½¾µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø ÔÙÑ Ò Ò Ö Ú Ø Ò Ð Ù Ø Ö ÙÒ ØÓ Ò º½½µ Ò Ý ØÐ ¹ ÖÝ Ñ B + D =, k + C =, sin k + B cos k + C + D =, kcos k kb sin k + C =. ÃÓÓØ Ò Ö ÙÒ ÓØ Ñ ØÖ Ý ØÐ k sin k cos k k cos k k sin k B C D =. º½ µ º½ µ º½ µ º½ µ º½ µ ÂÓØØ Ý ØÐ ÖÝ ÑÐÐ º½ µ ÓÐ ¹ØÖ Ú Ð Ö Ø Ù ÓÒ Ò ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ò Ø ÖÑ ¹ Ò ÒØ Ò ÓÐØ Ú ÒÓÐÐ Ð 4k sin k (sin k k cos k ) =. º½ µ

36 º¾º Ì Ô ÒÓÑ Ò Ø ÐÑ ½ ÔÐ Ò Ö ÐÐ Ý ØÐ ÐÐ º½ µ ÓÒ Ö Ø Ù Ó sin k = º½ µ Ð Ø k = nπ, n =,,..., º½ µ tan k = k, º½ µ ÓÒ Ö Ø Ù ÓÒ k º½ µ Ë ÙÚ Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ú Ø Ô Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ k = π, (n = ), º¾¼µ ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ ÓÒ kr = 4π EI. º¾½µ È Ò ÒØ ÓÑ Ò ÖÚÓ Ú Ø Ú ÓÑ Ò ÑÙÓØÓ ÒÙÖ Ù ÑÙÓØÓµ Ò Ó ØØ Ñ ÐÐ k = k = π Ö ÙÒ ØÓ Ò Ó Ò Ö Ø Ù ÓÒ B + D =, k + C =, sin k + B cos k + C + D =, k cos k k B sink + C =, = C =, D = B, ÒÙÖ Ù ÑÙÓØÓ ÓÒ v(x) = B(cos πx ). ÌÓ Ø ÓÑ Ò ÖÚÓ k = = 8.75EI µ Ú Ø ÓÑ Ò ÑÙÓØÓ v(x) = B(.7sin x + cos 8.986x +.x ) º¾¾ µ º¾¾ µ º¾¾µ º¾¾ µ º¾ µ º¾ µ º¾ µ Ö Ø ÚÓ Ò ØÙ ØØÙ Ò Ô Ð Ö Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ ÚÓ Ò ØØ ÚÓ ÐÐ Ø Ñ kr = απ EI kr = π EI n, n = β º¾ µ º¾ µ º¾ µ

37 ¾ ÄÍÃÍ º ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ x v x x v y,v ÃÙÚ º¾ ÂÝ Ø ØÙ ØØÙ Ô Ð Ö º ÃÙÚ º ÙÐ Ö Ò ÒÙÖ Ù Ø Ô Ù Øº ÓÒ ÒÙÖ Ù Ô ØÙÙ β = / αº ÆÙÖ Ù ÒÒ ØÝ ÓÒ σ n = ( ) kr i = π E = π E n λ, º¾ µ n Ñ i = I/, λ n = n /i º ¼µ ÓÚ Ø Ý ÝÝ Ó ÙÙ ÐÙ Ùº ÙÐ Ö Ò ÒÙÖ Ù Ø Ô Ù Ø ÓÒ ÓÓØØÙ Ø ÙÐÙ ÓÓÒ º½º Ñ Ö º½ ÅÖ Ø ØÒ ÙÐ Ö Ò ÒÙÖ Ù Ø Ô Ù Ò ÒÙÑ ÖÓ ÒÙÖ Ù ÙÓÖ¹ Ñ º Ì ÙÐÙ Ó º½ ÙÐ Ö Ò ÒÙÖ Ù Ø Ô Ù Øº no. ½ ¾ α ½» ½ ¾º¼ ½ β ¾ ½ ¼º ¼º ½

38 º¾º Ì Ô ÒÓÑ Ò Ø ÐÑ x y,v x x Q v(x) ÃÙÚ º ÙÐ Ö Ò ÒÙÖ Ù Ø Ô Ù º ÃÙÚ Ò º Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ó Ø Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ M(x) = v(x) + Q( x). º ½µ ÅÓÑ ÒØ Ò ÝÖ ØÝÑÒ ÚÐ Ò Ý Ø Ý Ò M(x) = EIv (x) ÚÙÐÐ Ò EIv + v = Q( x), º ¾µ ÓÒ Ö Ø Ù ÓÒ v(x) = coskx + B sin kx Q ( x). º µ Ë ÙÚ Ò Ö ÙÒ ÓØ ÓÚ Ø v() = v () = v() =. º µ Ê ÙÒ ØÓ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ k cos k sin k B Q = ØØ Ñ ÐÐ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÒÓÐÐ ØÙÐ. º µ Ð ÓÒ Ö Ø Ù ÓÒ (k cosk sin k) =, º µ tan k = k, k º µ º µ ÃÖ ØØ Ò Ò ÔÙÖ Ø Ú ÚÓ Ñ Ð ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ ÓÒ kr = EI. º µ

39 ÄÍÃÍ º ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ π EI e Ú e y,v δ x δ ÃÙÚ º Ô Ø ÙÓÖÑ Ø ØØÙ Ò Ú Ð ÙÚ º º Ô ÝÝ Ñ Ò Ø ÐÑ Å Ò Ø ÐÑ ÙÓÖÑ Ø Ø Ò ÙÚ Ô Ø Ø ÙÚ ÐÐ ÚÓ Ò ÓØ Ù Ð ÙØ ÔÙ¹ Ñ º Ð Ù Ö Ò Ú ÙØÙ Ø Ö Ø Ø Ú Ý ØÐ ÖÝ Ñ ØÙÐ Ô ÓÑÓ Ò Ø ØØÝ ÙÓÖÑ Ò ÖÚÓ Ú Ø Ú ÖØÝÑ Ò ÑÖ Ø ØÝ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ñ Ö Ò ÙÚ Ò º Ú Ô Ø ØÙ ØØÙ ÙÚ ÓØ ÙÓÖÑ ØØ ÝÑÑ ØÖ Ø Ô Ò Ò ÙÓÖÑ º Ì ÔÙÑ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ ÓÒ v (4) + k v =, º ¼µ Ò Ö ÙÒ ÓØ ÓÚ Ø v() = v() =, º ½µ EIv () = EIv () = e v () = v () = k e. º ¾µ Ê ÙÒ ØÓ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò Ý ØÐ Ø Ê ÙÒ ØÓÖÝ ÑÒ Ö Ø Ù ÓÒ B + D =, sin k + B cos k + C + D =, k sin k + Bk cos k = k e. º µ º µ Bk = k e, º µ º µ cos k = e sin k, º µ B = e, º µ C =, D = e, Ø ÔÙÑ Ò Ð Ù ÓÒ [ cos k v(x) = e sin k º µ º µ ] sinkx cos kx +, º µ

40 º º Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ Ø v(x) = e[ cos kx tan k sin kx]. º µ ÃÙÒ ÙÓÖÑ Ð Ò Ò Ú Ð ÙÚ Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ò ÖÚÓ kr = π EI Ð k EI k π Ò Ò tan k Ø ÔÙÑ v(x) Ú Ö ØØ º Ã Ô Ø Ò Ø ÔÙÑ ÐÐ ( ) v δ Ò Ð Ù [ δ = e cos k tan k sin k ], º µ Ó ÚÓ Ò ÑÝ Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó δ = e cos ( EI ). º µ ÂÓ ÙÓÖÑ Ò Ô ÝÝ Ø ÓÚ Ø e e Ò Ò Ø ÔÙÑ ÐÐ Ó Ø Ò Ð Ù v(x) = e [ x cos kx + cot k ] sin kx. º µ Ì Ø Ô Ù Ø ÔÙÑ ØÙÐ ( Ö ØØ ÑÒ ) ÙÙÖ ÙÒ ÙÓÖÑ Ð ØÝÝ ÖÚÓ = 4π EI º Ã Ô Ø Ò Ø ÔÙÑ v = v ( ) = e 4 cos ( EI 4 ). º ¼µ º Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ Ë ÙÚ Ò ÓÑ ØÖ Ò ÔÐ Ò Ö ÙÙ Ò ÙÓÑ ÓÓÒÓØØ Ú Ö Ò Ò¹Ä Ö Ò Ò ÑÙÓ ÓÒÑÙÙ¹ ØÓ ÓÑÔÓÒ ÒØØ ÙÚ Ò Ð Ò ÙÙÒØ Ò Ò Ú ÒÝÑµ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ú ÐÐ Ñ ds ÓÒ Ú Ú ¹ Ð ÓÒ Ô ØÙÙ Ð ÙØ Ð ε = ds ds ds, º ½µ ds = [( + u ) + (v ) ]ds º ¾µ ÓÒ Ú Ú ¹ Ð ÓÒ Ò Ð ÓÖÑÓ ØÙÒ Ø Ð º Î ÒÝÑÒ Ú ØÙÐ ε = u + (u ) + (v ). º µ

41 ÄÍÃÍ º ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ x,u N Q u ds y v ds Q v y v v y,v ÃÙÚ º Ë ÙÚ Ò ÖØÝÑØ Ú ÒÝÑº Ë ÙÚ Ò ÔÓ Ð Ù Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ô Ø Ò ÖØÝÑØ ÓÚ Ø ÖÒÓÙÐÐ Ò ÓØ ÙÑ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ū = u yv, º µ v = v, º µ Ñ u v ÓÚ Ø ÙÚ Ò Ð Ò ÖØÝÑØ ÙÚ º º Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÖØÝÑ Ò Ú Ø Ú ÒÝÑÒ Ð Ù Ò ØÙÐ ε = ū + (ū ) + ( v ). º µ Ò ÖØ Ø Ø Ò Ú ÒÝÑÒ Ú Ú Ð ÑÙÓØÓÓÒ Ð ε = ū + ( v ), ε = u yv + (v ), º µ º µ Ó ÓÒ Ú Ð ÐÝ Ý ÑÑ Ò Ö Ó Ø ØØÙÒ Ñ ε = ε + yκ, ε = u + (v ) º µ º ¼µ ÓÒ ÙÚ Ò Ð Ò Ú ÒÝÑ ÙÚ Ò ÝÖ ØÝÑ ÓÒ κ = v. º ½µ Ë ÙÚ Ò ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö Ò Ð Ù ÓÒ U = E ε dv º ¾µ

42 º º Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ y,v x ÃÙÚ º ÈÙÖ Ø ØØÙ Ò Ú Ð ØÝ ÙÚ Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ ÝØ ØØÝ ÓÓÖ Ò Ø ØÓº Ð ÇØØ Ñ ÐÐ ÙÓÑ ÓÓÓÒ ØØ U = (ε + εκy + y κ )d dx. yd =, Ò ÐÓÔÙÐØ ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö Ò Ð Ù Ñ U = Ë ÙÚ Ò Ó ÓÒ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö ÓÒ Eε dx + Π = U + V, V = u() EIκ dx. º µ º µ º µ º µ º µ ÓÒ ÙÐ Ó Ò ÙÓÖÑ Ò ÔÓØ ÒØ Ð ÙÚ Ò º Ø Ô Ù º È ÖÙ Ø Ð Ò ÖØÝÑ u v Ú Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Π(u,v)º À Ö ØÝÒ Ø Ð Ò ÖØÝÑØ ÓÚ Ø u (x) = u(x) + ε δ(x), v (x) = v(x) + ε η(x), Ñ ε ε ÓÚ Ø Ô Ò ÖØÓ Ñ ÐÙ Ù µº Ë ÖØÝÑ Ú Ø Ú Ö ØÝÒ Ø Ð Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö ÓÒ Π = Π(u,v ) Ð Π = Π = + + E[u + ε δ + (v + ε η ) ] dx EI(v + ε η ) dx + [u() + ε δ()] E[(u + (v ) ) + ε δ + ε v η + ε (η ) ] dx EI[(v ) + ε v η + ε (η ) ]dx + [u() + ε δ()]. º µ º µ

43 ÄÍÃÍ º ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ Ã Ø ØÒ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ú ÖØÓ Ñ Ò ε i Ú Ú Ò ÔÓØ Ò Ò ÑÙ Ò Ö ½ Π = {E[u + (v ) ] + EI(v ) ]dx + u() +ε { E[u + (v )] δ dx + δ()} +ε {E[u + (v ) ]v η + EIv η }dx + ε E(δ ) dx + ε ε Ev δ η dx + ε {E(v ) (η ) + E[u + (v ) ](η ) + EI(η ) }dx + ε ε Eδ (η ) dx + ε3 Ev (η ) 3 dx + 8 ε4 E(η ) 4 dx. º µ À Ö ØÝÒ Ø Ð Ò Ô ÖÙ Ø Ð Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ó Ò ÖÓØÙ ÓÒ Π = δπ +! δ Π + 3! δ3 Π + 4! δ4 Π. º ¼µ ÌÙØ Ø Ò ÙÓÖ Ò Ø Ô ÒÓØ Ð Ò v = Ø Ð ÙØØ º ÈÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ø ÐÑÒ º µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÙÒ v = δ Π = ε Ñ ÓÒ ÝØ ØØÝ ÝÚ Ý Ø ÝØØ δπ = ε [ E(δ ) dx + ε Nδ dx + δ()] N = Eu. [N(η ) + EI(η ) ]dx, ËÙÓÖ Ø Ô ÒÓØ Ð Ó Ø δπ = ÙÖ Ó ØØ ÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ ¾ Nδ N δ dx + δ() =, º ½µ º ¾µ º µ º µ ½ (a + b + c + d) = a + b + c + d + (ab + ac + ad + bc + bd + cd) ¾ R uv dx = uv R u v dx

44 º º Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ Ð N δ dx =, º µ Ó Ø ÙÖ N = N ÓÒ Ú Óº ËÙÓÖ Ø Ô ÒÓØ Ð Ô ÖÙ Ø Ð µ ÓÒ Ø Ð ÙÒ δ Π ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò ÐÐ ÙÒ Ø Ó ÐÐ δ(x) η(x)º ÃÖ ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ ÑÖ Ø ØÒ Ó Ø δ( δ Π) = º µ Ð δ( [N(η ) + EI(η ) ]dx) = º µ Ú Ò º ¾µ Ó Ò ÔÙÓÐ Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó δ µº Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ N = ØÙÐ δ( Ã Ú δ( δ Π) = ÓÒ Ò Ñ ÐØÒ ÌÖ ØÞ Ò ØÓº [ (η ) + EI(η ) ]dx) =. º µ º º½ Ê ØÞ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ì ÔÙÑ ÐÐ η Ú Ð Ø Ò Ø ÐÑ N η(x) = a k ϕ k (x), k= º µ Ñ ÙÒ Ø ÓØ ϕ k (x) ÓÚ Ø ÒØ ÙÒ Ø ÓØ Ú ÓØ a k ÓÚ Ø ØÓ Ø ÑÖÑØØ Ñ ÖØÓ Ñ º Ë Ö Ò ÓÒ Ú Ð ØØÙ N Ø ÖÑ º ÒØ Ñ ÐÐ N Ò Ø ØÚÒ Ö Ø Ù Ñ Ð Ú ÐØ ÐÐ Ø Ö ÙÙ ÐÐ º Ë Ó Ø Ø Ò Ö Ú ØØÓ Ò Ø ÐÑØ N N η (x) = a k ϕ k(x), η (x) = a k ϕ k(x) k= k= º ¼µ ÌÖ ØÞ Ò ØÓÓÒ Ò δ EI N N a m ϕ m(x) a n ϕ n(x)dx m= n= m= n= Ð N N δ a ma n m= n= EIϕ m(x)ϕ n(x)dx N N a m ϕ m(x) a n ϕ n(x)dx =, º ½µ ϕ m(x)ϕ n(x)dx =, º ¾µ

45 ¼ ÄÍÃÍ º ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ Ó ÓÒ ÐÝ Ý ÑÑ Ò Ñ Ö ØØÝÒ δ N N m= n= (C mn B mn )a m a n =, º µ Ñ C mn = C nm = EIϕ m(x)ϕ n(x)dx, º µ B mn = B nm = ϕ m(x)ϕ n(x)dx. º µ Å ØÖ ÑÙÓ Ó ÌÖ ØÞ Ò ØÓ ÓÒ δ [ ] a a N C B C N B N º º ºº º a º =. º µ C N B N C NN B NN a N Ð δ( at Ka) =. º µ È Ò Ò ÙÓÖÑ Ò ÖÚÓ ÓÐÐ Ò Ð ÑÙÓØÓ at Ka ØÙÐ Ñ Ò Ø Ò Ó Ø det(k) =. º µ È Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ ÓÒ ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ò ÝÐÐ ÖÚÓº Ñ Ö º¾ ÅÖ Ø ØÒ Ò Ú Ð ÙÚ Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ê ØÞ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐÐº Ã ÒØ ÙÒ Ø ÓØ ϕ k (x) = sin kπx, k =,, º µ ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ö ÙÒ ÓØº Ã ÒØ ÙÒ Ø Ó Ò Ø ÖÚ ØØ Ú Ø Ö Ú Ø Ø ÓÚ Ø ϕ k(x) = kπ cos kπx, º ¼µ Ä Ø Ò ØØ Ò ÖØÓ Ñ Ø ϕ k(x) = kπ sin kπx. º ½µ B mn = = mπ = mπ ϕ m(x)ϕ n(x)dx nπ nπ cos mπx δ mn, cos nπx dx º ¾µ

46 º º Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ ½ C mn = = EI = EI EIϕ m(x)ϕ n(x)dx ( mπ ) ( nπ ( mπ ) ( nπ ) ) δ mn. sin mπx ÌÓ Ò Ú Ö Ø ÓÓÒ Ð ØØÝÚÒ Ò Ð ÑÙÓ ÓÒ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ ÓÒ = C B C N B N º º ºº º C N B N C NN B NN [ ( π ) 4 ( π ) ] EI º sin nπx dx º ºº [ º ( ) 4 ( ) ] Nπ Nπ EI º µ º µ. ØØ Ñ ÐÐ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÒÓÐÐ ØÙÐ [ N EI k= Ó Ø Ò Ô Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ ( ) 4 kπ = kr = π EI. ( ) ] kπ =, º µ Ñ Ö º Ä Ø Ò ÙÐÓ Ô Ð Ö Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑÐÐº º µ ÌÙØ Ø Ò ÙÐÓ Ò Ø Ð ÙØØ ÙÓÖ Ò Ô ÖÙ Ø Ð Ò Ù Ø Òº Å Ö ØÒ Ø Ø Ð Ø Ò ØØ Ð ÖØÝÑ ÙÓÖ Ò Ô ÖÙ Ø Ð Ò Ù Ø Ò ÓÒ v(x) ÑÑ Ò ÝØ ØÝÒ η(x) Ò Ø µº ÃÖ ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ ÑÖ Ø ØÒ ÙÙ Ò Ñ Ö ÒØØ Ú Ò ÑÙ Ø Ó Ø δ( δ Π) = δ ÇØ ÙØ Ò Ø ÔÙÑ ÐÐ ÑÙÓØÓ [EI(v ) (v ) ] dx =. v(x) = ( cos πx ), º µ º µ Ñ ÓÒ Ú Óº Ì ÔÙÑ ÙÒ Ø Ó º µ ØÓØ ÙØØ Ò Ñ ØØ Ø Ö ÙÒ ÓØ Ô Ø x = º Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø ÔÙÑ ÙÒ Ø Ó ØÓÓÒ º µ ØÙÐ ( δ( δ Π) = δ π 4 ) EI 64 3 π 6 =, º µ Ó Ø ÙÖ Ö Ø Ù kr = EI π 4. º½¼¼µ

47 ¾ ÄÍÃÍ º ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ ÌÙÐÓ ÓÒ Ø Ö Ó Ø ÔÙÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ø Ö ÙÐÓ Ò ÒÙÖ Ù ÑÙÓØÓº Î Ð Ø ¹ Ñ ÐÐ Ò Ó ÓÒ.3% Ø Ö ØÙÐÓ Ø ÙÙÖ ÑÔ º v(x) = x kr = 3 EI, º½¼½µ º½¼¾µ ÇØØ Ñ ÐÐ Ø ÔÙÑ ÙÒ Ø Ó ÙÐÓ Ò Ô Ú ÙØØ Ú Ò ÔÓ ØØ Ò Ô Ø ÙÓÖÑ Ò ÙØØ Ñ Ø ÔÙÑ Ò v(x) = x (3 x) kr =.5 EI, º½¼ µ º½¼ µ Ó ÓÒ.3% Ø Ö ÖÚÓ ÙÙÖ ÑÔ º ÇØ ÙØØÙ Ø ÔÙÑ Ò Ð Ù ØÓØ ÙØØ Ô Ø x = ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ö ÙÒ ÓÒ M() = EIv (), º½¼ µ Ø Ø ÝÝ Ø Ð ÑÑ Ò Ò Ø ÔÙÑ Ò Ð Ù µ ÒØ Ô Ö ÑÑ Ò ØÙÐÓ Ò Ù Ò ÙÒ Ø Ó v = x Ó ØÓØ ÙØ ØÓ M() = º Ñ Ö º ÅÖ Ø ØÒ Ú Ô Ø ØÙ ØÙÒ Ô Ð Ö Ò Ô Ð Òµ ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ò Ö¹ Ö Ø Ö Ò ÚÙÐÐ º Î Ð Ø Ò Ø ÔÙÑ ÙÒ Ø Ó v(x) = ( x)x. º½¼ µ Ó Ø º µ Ò ØÙÐÓ Ò kr = EI, º½¼ µ Ó ÓÒ.3% Ø Ö ØÙÐÓ Ø ÙÙÖ ÑÔ º Î Ð Ø Ñ ÐÐ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ö ÙÒ ÓØ M() = M() = º½¼ µ ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÔÙÑ ÙÒ Ø Ó Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ v(x) = ( 3 x x 3 + x 4 ) kr 9.88 EI, Ó ÓÒ Ú Ò.3% Ø Ö ÖÚÓ ÙÙÖ ÑÔ º º½¼ µ º½½¼µ

48 º º Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ v () = Q() Q x y, v(x) x y ÃÙÚ º ÍÐÓ Ô Ð Ö º º º¾ Ò Ö Ö Ø Ö Ò ÑÙÙÒÒÓ ÇØØ Ñ ÐÐ ÙÓÑ ÓÓÒ ØØ M = EIv, º½½½µ ØÙÐ ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÓÒ Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ð ÙÙ Ö Ø Ö ÑÙÓØÓÓÒ δ( δ Π) = δ [ ] M EI (v ) dx =. º½½¾µ ÂÓ ÑÓÑ ÒØØ M ØÓØ ÙØØ Ñ Ò Ø Ö ÙÒ ÓØ Ø ÔÙÑ v Ò Ñ ØØ Ø Ö ÙÒ ÓØ M Ò v Ò ÚÐ ÐÐ ÓÒ Ý Ø Ý M = v, º½½ µ Ò Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ ÚÓ Ò ÑÖ ØØ Ó Ø º½½¾µº Ñ Ö º ÅÖ Ø ØÒ ÙÚ Ò º ÙÐÓ Ô Ð Ö Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ ÓÒ º½½¾µ ÚÙÐÐ º Ë ÙÚ Ò Ò Ñ ØØ Ø Ö ÙÒ ÓØ ÓÚ Ø v() = v () =, º½½ µ Ñ Ò Ø Ö ÙÒ ÓØ ÓÚ Ø M() =, Q() = M () = v (). º½½ µ Î Ð Ø Ò Ø ÔÙÑ ÙÒ Ø Ó Ì Ô ÒÓ Ó Ø ÙÖ ÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ v(x) = x. M v = M = v + B º½½ µ º½½ µ º½½ µ

49 ÄÍÃÍ º ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ ØØ Ò ØÓ Ò ÖØ Ò ÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ M = v + Bx + C, º½½ µ Ó B C ÓÚ Ø ÒØ ÖÓ Ñ Ú Ó Ø º Å Ò Ø Ò Ö ÙÒ ØÓ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò ÅÓÑ ÒØ Ò Ð Ù ÓÒ B =, C = v(). º½¾¼µ M = [v(x) v()] = (x ). º½¾½µ Π Ò ØÓ Ú Ö Ø Ó ØÙÐ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ò Ð Ò δ Π = EI = ( EI ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ò ÙÒ Ø Ö ØÙÐÓ ÓÒ kr =.47 EI º (x ) dx ) 3 3, kr =.5 EI, (x) dx º½¾¾µ º½¾ µ Ñ Ö º ÅÖ Ø ØÒ Ô Ø x = Ý Ø ØÙ ØÙÒ Ô Ø x = Ò Ú Ð ÐÐ ¹ Ø ØÙ ØÙÒ Ô Ð Ö Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ º È Ð Ö Ò Ò Ñ ØØ Ø Ö ÙÒ ÓØ ÓÚ Ø v() = v () = v() =, º½¾ µ Ñ Ò Ò Ò Ö ÙÒ ØÓ ÓÒ Î Ð Ø Ò Ø ÔÙÑ Ò Ð Ù M() =. v(x) = x ( x), º½¾ µ º½¾ µ Ñ ÓÒ ÐÐ Ò Ú Ó ÖÖÓ Òº Ë Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ù Ò ÐÐ Ø ØÚ Ø Ô ¹ ÒÓ Ó Ø M v = º½¾ µ ÙÖ ÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ M = v + Bx + C, º½¾ µ Ó B C ÓÚ Ø ÒØ ÖÓ Ñ Ú Ó Ø º Ê ÙÒ ÓÒ M() = Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÔØ ÐÐÒ ØØ C = B, º½¾ µ ÑÓÑ ÒØ Ò Ð Ù ÓÒ Ó Ø M(x) = (x x 3 ) B( x). δ( δ Π) = º½ ¼µ º½ ½µ

50 º º Ö Ò Ñ Ò Ø ÐÑ x i x x x i x i+ x v i v i v i+ Ø Ö v (x i ) v ÃÙÚ º Ã Ö Ò º ÙÖ Ð Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ 3 EI [ B ] = ØØ Ñ ÐÐ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÒÓÐÐ Ò ÙÒ Ø Ö ØÙÐÓ ÓÒ kr =.9 EI º kr.54 EI, [ ]. º½ ¾µ º½ µ º Ö Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ë ÙÚ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò EIv (4) + v = q º½ µ Ø ÔÙÑ Ò Ö Ú Ø Ø ÓÖÚ Ø Ò Ö Ò Ó ÑÖ ÐÐº ÃÙÚ Ò º Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò Ø ÔÙÑ Ò Ö Ú Ø Ò Ð ÖÚÓ Ò ÑÑ Ò Ö Ò Ò ÚÙÐÐ ( ) dv v i+ v i. º½ µ dx x ÌÓ Ò ÓÖ ÑÑ Ò Ø Ò Ö Ú Ø Ò ÔÖÓ Ñ Ø Ó ÐÐ Ò Ð Ù Ø (v ) i i (v ) i ( x) (v i+ v i + v i ), ( x) 3(v i+ v i+ + v i v i ), (v ) i ( x) 4(v i+ 4v i+ + 6v i 4v i + v i ). º½ µ º½ µ º½ µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ö Ò Ð Ù Ø ÙÚ Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ò ØÙÐ Ð Ô Ø i Ý ØÐ EI i ( x) 4(v i+ 4v i+ + 6v i 4v i + v i ) + ( x) (v i+ v i + v i ) = q i. º½ µ

51 ÄÍÃÍ º ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ h k k k k + k k k k + k + k k k k + k k k k + k + ÃÙÚ º½¼ Ê ÙÒ ÓØº Å Ö ØÒ ÙÖ Ú ØØ ÓÒ Ð ÚÐ º h x º½ ¼µ º º½ Ê ÙÒ ÓØ ½º Ã ÒÒ Ø ØÝÐÐ Ö ÙÒ ÐÐ Ø ÔÙÑ ÖØÝÑ ÓÚ Ø ÒÓÐÐ Ð Ö ÙÒ Ò Ô Ø k v k =, º½ ½µ v k = h (v k+ v k ) = v k+ = v k. º½ ¾µ ¾º Æ Ú ÐØÙ ÐÐ Ø ÔÙÑ ÑÓÑ ÒØØ M = EIv ÓÚ Ø ÒÓÐÐ Ö ÙÒ Ò Ô Ø k v k =, º½ µ v k = v k+ v k + v k = v k+ = v k. º½ µ º ÄÙ Ø ÓÒ ØÙ Ó ÖØÝÑ Ð Ù ÚÓ Ñ Q = EIv Ñ Ò ÚØ ÒÓÐÐ ØÐÐ Ò Ö ÙÒ Ò Ô Ø k v k = v k+ = v k, º½ µ v k = v i+ v i+ + v i + v i v k+ = v k. º½ µ º Î Ô Ô ÑÓÑ ÒØØ Ñ Ò ÒÓÐÐ Ø Ô ÒÓ ØÓ v Q = ÓÒ ÚÓ Ñ ÓÐÐÓ Ò Ö ÙÒ Ò Ô Ø k Ò ÓØ v k = v k+ v k + v k =, º½ µ v k Q k = v k+ = v k+ v k + v k EI h (v k+ v k ). º½ µ

52 º º Ö Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ½ 4 4 ½ ¼ ½ ½ ½ ¼ ½ /3 /3 /3 ÃÙÚ º½½ ÂÝ Ø ØÙ ØÙÒ ÙÚ Ò Ð Ú Ö Óº Ñ Ö º ÅÖ Ø ØÒ Ô ØÒ Ý Ø ØÙ ØÙÒ Ô Ð Ö Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ ¹ Ö Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐÐº Î Ð Ø Ò Ð ÚÐ h x = Ñ ÓÒ ÙÚ Ò Ô ØÙÙ ÙÚ º½½º ÆÙÑ ÖÓ Ò 3 Ð Ô Ø Ø ÝÑÑ ØÖ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ¼ ½º È Ø ½ Ö Ó Ø Ø Ò Ø Ô ÒÓ ØÓ ¹ Ö Ò Ú Ò EI h 4 (v + 6v 4v ) + h ( v + v ) =, º½ µ Ð Ó Ø Ö Ø Ø Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ ( ) 3EI h v =, kr = 3 EI h = 7EI. Ì Ö ØÙÐÓ ÓÒ kr = 39.4 EI º Î Ð Ø Ñ ÐÐ Ð ÚÐ h = 4 ØÙÐ ÓÒ Ú Ö ÓÒ 3.4%º kr = 3 EI, º½ ¼µ º½ ½µ º½ ¾µ Ö Ò Ñ Ò Ø ÐÑÒ ØÙÐÓ Ø ÚÓ Ô Ö ÒØ ØÖ ÔÓÐÓ Ñ ÐÐ º Ã Ò Ð Ú Ö ÓÒ Ö Ø¹ ÙÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò Ý ØÐ Ø Ñ k ÓÒ ÖÖÓ Òº ØÐ Ô Ö Ø º½ µ Ö Ø Ø Ò Ñ Ö Ò Ø Ô Ù ØÙÐ kr kr = kh, º½ µ kr kr = kh, º½ µ kr h kr h kr h. º½ µ h ( ) ( ) 7 3 kr = 4 ( ) 4 3 ( 3 ) EI = 38.43EI, º½ µ ÓÒ Ú Ö ÓÒ.7%º Ñ Ö º ÌÙØ Ø Ò Ò Ú Ð ÐÐ Ø ØÙ ØØÙ ÙÚ Ó ÓÒ Ú ÙØØ ÔÓ ØØ ÙÓÖ¹ Ñ É Ô Ø ÔÙÖ Ø Ú ÚÓ Ñ Èº

53 ÄÍÃÍ º ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ ½ 4 4 ½ Q ¼ ½ ¼ / / ÃÙÚ º½¾ ÃÙÚ º½ ÈÙÖ Ø ØÙÒ Ø ÚÙØ ØÙÒ ÙÚ Ò Ð Ú Ö Ó Ô ÒÓ ÖØÓ Ñ Øº I I ¼ ½ ¾ / / ÈÓ Ð Ù ÐØ Ò ÑÙÙØØÙÚ Ò Ò Ú Ð ÙÚ Ò Ð Ú Ö Óº Î Ð Ø Ò Ð ÚÐ h = º ÃÙÚ Ò º½¾ Ð Ú Ö ÓÒ Ô Ø Ò Ö Ò Ý ¹ ØÐ EI h 4 ( v + 6v v ) + h ( v ) = Q h, º½ µ Ð ( 6EI ½º ÂÓ = Ò Ò v = Q3 3EI Ø Ö v ) v = Q ( ) = Q3 48EI µº ¾º ÂÓ Q = Ò Ò kr = 8EI Ø Ö kr = 9.87 EI µº º ÂÓ Q ÓÒ Ú Ó Ò Ò Ò v = Q º 3EI 4. º½ µ Ñ Ö º ÅÖ Ø ØÒ ÔÓ Ð Ù ÐØ Ò ÑÙÙØØÙÚ Ò Ò Ú Ð ÙÚ Ò ÒÙÖ Ù ¹ ÙÓÖÑ º ÃÙÚ Ò º½ Ø ØØ Ø ÑÖØÝÒ ÙÚ Ò Ø Ô Ù Ò Ø Ô ÒÓ ØÓ M(x) v(x) = Ð Ö ÒØ Ð Ý ØÐ EIv + v =. º½ µ Î Ð Ø Ò Ð ÚÐ h = º Ë ÙÚ Ò Ö ÙÒ ÓØ ÓÚ Ø 4 v() = v() =, ÓØ Ò Ð Ú Ö ÓÒ ÔØÝÔ Ø v = v 4 =. À Ð Ò Ô Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ö Ò Ý ØÐ Ø º½ µ º½ ¼µ v + v + λv =, º½ ½ µ v v + v λv =, º½ ½ µ v v 3 + λv 3 =, º½ ½µ

54 º º Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ Ñ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ λ = 6EI. Ã ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ + λ + 3 λ + λ º½ ¾µ = 3 λ3 3λ + 43 λ 4. º½ µ 6 Å Ö Ø ÑÐÐ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÒÓÐÐ ØÙÐ ÓÐÑ ÒÒ Ò Ø Ò Ý ØÐ ÓÒ Ô Ò Ò ÙÙÖ ÓÒ λ.8543 Ø Ú Ø Ú ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ ÓÒ ÙÒ Ø Ö ØÙÐÓ ÓÒ kr =.85 EI º kr.885 EI, º½ µ º Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ÒÙÖ Ù ÙÚ Ø Ò Ó Ò Ð Ñ ÒØØ Ò Ø Ð Ù ØÓ δ Π ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò Ð Ñ ÒØ ØØ Òº Ð Ñ ÒØØ Ó Ø Ø ØÙÐÓ Ø ÓÓØ Ò ÐÓÔÙ Ý Ø Ò Ð Ñ ÒØ¹ Ø Ú Ö ÓÒ ÓÐÑÙ Ò Ú Ô Ù Ø Ò ÑÙ Ø º Î Ð Ø Ò ÙÚ Ò ÔÓ ØØ ÖØÝÑÒ v(x) Ò¹ Ø ÖÔÓÐÓ Ñ Ò ÓÐÑ ÒÒ Ò Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ º Ð Ñ ÒØ Ò Ô Ò Ú Ô Ù Ø Ø ÓÚ Ø Ø ÔÙÑ ÖØÝÑ ÓØ Ò Ð Ñ ÒØ ÓÒ Ý Ø Ò Ò Ð Ú Ô Ù Ø ØØ º Ð Ñ ÒØ Ò ÐÙ ÐÐ Ø ÔÙÑ ÓÒ v(x) = N (x)v + N (x)ϕ + N 3 (x)v + N 4 (x)ϕ º½ µ Ø Ñ ØÖ ÑÙÓ Ó v(x) = [ N N N 3 N 4 ] v ϕ v ϕ Nq, º½ µ Ñ ϕ v N i ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ ÙÒ Ø ÓØº Ä ÙØØÓÑ Ò ÓÓÖ Ò Ø Ò s = x ÙÒ Ø ÓÒ N (s) = 3s + s 3, N (s) = (s s + s 3 ), N 3 (s) = 3s s 3, N 4 (s) = ( s + s 3 ). º½ µ º½ µ º½ µ º½ ¼µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ð Ñ ÒØ Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ð Ù Ò δ Π = [EI(v ) (v ) ]dx º½ ½µ

55 ¼ ÄÍÃÍ º ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ N v ½ ϕ ϕ v N ½ F p(x) N 3 ½ M M F N 4 ½ ÃÙÚ º½ Ë ÙÚ Ð Ñ ÒØ Ò Ú Ô Ù Ø Ø ÑÙÓØÓ ÙÒ Ø ÓØº ØÙÐ δ Π = qt { [(N ) T EIN (N ) T N ]dx}q º½ ¾µ Ø ÐÝ Ý ÑÑ Ò Ñ Ö ØØÝÒ δ Π = qt [C e B e ]q. º½ µ Ì Ý Ò Ò Ñ ØØ Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ý ÝÝ Ñ ØÖ Ò Ó Ø ÓÚ Ø C e = EI 3 B e = 3 K e = C e B e Ä Ø Ò Ñ Ö Ñ ØÖ Ò C e Ø ÖÑ C e C e = EI N N dx = EI,. ( 6 + s)( 4 + 6s)ds = 6 EI. ÅÙÓØÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÖÔ ÐÐ Ø Ö Ú Ø Ø Ð Ø Ò Ø Ù ÒÒ ÐÐº Ñ Ö º½ µ º½ µ º½ µ º½ µ N = dn dx = dn ds ds dx = dn ds = ( 6s + 6s ). º½ µ Ð Ñ ÒØØ Ò Ó ÙÙ Ø C e B e ÓÓØ Ò Ö ÒØ Ò ÙÚ Òµ Ý ÝÝ Ñ ØÖ C + B ØÓ Ö ØØ ÐÐ ÙÓÖÑ ÐÐ Ò ØØ Ñ ÐÐ Ð Ù Ò δ Π ÖÖÓ ÒÑ Ø¹ Ö Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÒÓÐÐ Ð Ú Ø Ñ ÐÐ det[c B] =. º½ µ

56 º º Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ½ v x k = α EI ½ ¾ ½ v v v 3 ϕ ϕ ϕ 3 ¾ ÃÙÚ º½ Ã ÖÖ ÓÙ ÐÐ ØÙ ØÙÒ ÙÚ Ò Ð Ñ ÒØØ Ñ ÐÐ º Ó Ø δ( qt Kq) = ÙÖ Ð Ò Ö Ò Ò ÓÑÓ Ò Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ Kq =, º½ ¼µ ÓÐÐ ÓÒ ¹ØÖ Ú Ð Ö Ø Ù Ó detk = Ð ØÓ º½ µ ØÓØ ÙØÙÙº Ñ Ö º½¼ ÅÖ Ø ØÒ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ ØÓ Ø Ô Ø Ý Ø ØÙ ØÙÒ ØÓ Ø Ô Ø Ò Ú Ð ÐÐ Ò ÖÖ ÓÙ ÐÐ ØÙ ØÙÒ ÙÚ Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ º Î Ð Ø Ò Ò Ò Ý Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ñ ÐÐ º Î Ò ØÙ ÓÒ ÓÐÑÙ Ó ØÙ ÓÒ ÓÐÑÙ º Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ñ ÐÐ Ò Ö ÙÒ ÓØ ÓÚ Ø v = ϕ = v =. º½ ½µ ÒÓ Ð ÐÐ Ú Ú Ô Ù Ø ÓÒ Ø Ò ÖØÝÑ ϕ Ð Ñ ÒØ Ò Ý ÝÝ Ñ ØÖ Ø Ø ÖÚ Ø Ò Ú Ò Ð ÓØ (4, 4)º ËÙÑÑ Ñ ÐÐ Ú Ô Ù Ø Ò ϕ Ð ØØÝÚØ Ø ÖÑ Ø Ö¹ Ö ÓÙ Ò Ð Ñ ÒØØ ÓÒ Ô ØÙÙ ÓÒ ÒÓÐÐ µ Ý ÝÝ ØÙÐ Ø Ð Ù ØÓ δ( δ Π) = ÑÙÓØÓÓÒ { [( ) 4EI δ ϕ + αei 4 } ]ϕ =, º½ ¾µ 3 Ó Ø ÙÖ Ö ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ kr = 5(4 + α) EI. º½ µ ÃÙÒ α = Ò Ò kr = 3 EI º Ì Ö ØÙÐÓ ÓÒ kr =.9 EI º Ê Ø Ø Ò Ñ Ø ØÚ Ú Ð Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ñ ÐÐ ÐÐ º ËÓÐÑÙ ØÙÐ ÒÝØ ÓÐÑ Ó Ø Ý ÓÒ ÙÚ Ò Ô Ø º Ê ÙÒ ÓØ ÓÚ Ø v = ϕ = v 3 =. º½ µ Å Ö ØÒ ÐÝ Ý ÑÑ Ò ØØ ÖÖ ÓÙ Ò Ý ÝÝ ÓÒ k = α EI. º½ µ ÃÓÓØ Ò Ö ÒØ Ò ÐÓ Ð Ò Ý ÝÝ Ñ ØÖ Ò Ú Ò Ò Ö Ú Ø Ö Ø Ó Ø Ú Ø Ú Ú Ô Ù Ø ØØ ÓÐ Ö ÙÒ ÓÐÐ Ø ØØÙ ÒÓÐÐ Ò Ø Ú Ø ØØÝ Ý ØÐ ÖÝ Ñ º½ ¼µ K33 + K K34 + K K4 K43 + K K44 + K K4 K4 K4 K44 + k v ϕ ϕ 3 = º½ µ

57 ¾ ÄÍÃÍ º ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ Ð 9 EI EI 6 EI 4EI EI 4EI (8 + α)ei 5 v ϕ ϕ 3 = º½ µ ÐÐ Ý ÝÝ Ñ ØÖ Ò Ð ÓÒ Kij e ÝÐ Ò ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ò ÒÙÑ ÖÓº ØØ Ñ ÐÐ Ö¹ ÖÓ ÒÑ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÒÓÐÐ Ò Ý ØÐ (9 4 5 λ)(6 5 λ)(8 + α 4 λ) (9 5 5 λ)(4 + 6 λ) (6 5 λ)(4 λ) =, Ñ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ λ = EI. È Ò Ò ÙÙÖ Ø Ô Ù α = ÖÖ ÓÙ Ø µ ÓÒ. º½ µ º½ µ λ =.7, º½ ¼µ Ó Ø Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ kr =.7 EI. Ì Ö ØÙÐÓ ÓÒ Ø Ø Ô Ù kr =.9 EI º º½ ½µ º È Ö Ø Ò ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó Ò Ñ Ò Ø ÐÑ È Ö Ø Ò ÔÖÓ Ñ Ø Ó Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÝØ ØÒ ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ò ÑÖ ØØÑ Ò Ò Ø Ô Ù Ó Ø Ö Ö Ø Ù ØÙÒÒ Ø Ø ÓÒ ÝÚ Ò ÑÓÒ ÑÙØ Ò Òº Å Ò Ø ÐÑÐÐ Ò Ö ØØ Ò ÙÓÖÑ Ò ÝÐ¹ Ð Ö ¹ ÖÚ ÓØº Å Ò Ø ÐÑ ÓØ ÙØ Ò Ò Ò ÙÚ Ò Ø ÔÙÑ ÙÒ Ø Ó v (x) ÑÖ Ø ØÒ ØØ Ò Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ú Ø Ú ÑÓÑ ÒØØ ÙÑ M (x) ÔÙÖ Ø Ú Ò ÚÓ Ñ Ò ÙÒ Ø ÓÒ º Ë ÙÒ ÑÓÑ ÒØØ ÙÑ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÑÖ Ø ØÒ Ø ÔÙÑ ÙÒ Ø Ó v (x)º ØØ Ñ ÐÐ ÐÙÒÔ Ö Ò ÓØ ÙØØÙ Ø ÔÙÑ v Ð ØØÙ Ø ÔÙÑ v Ý Ø ÙÙÖ Ò ØÓ Ö ØØ Ò ÙÓÖÑ Ò ÑÖ ØØÑ º Å Ò ØØ ÐÝ ØÓ Ø Ø Ò Ò Ò ÑÓÒØ ÖØ ØØ ØÙÐÓ Ú ÒØÙÙ Ø ØØÝÝÒ ÖÚÓÓÒº Ì ÔÙÑ Ø v v ÚÓ Ò ØØ Ý Ø ÙÙÖ Ñ Ø Ò Ô Ø a (,) Ð v (a) = v (a), a (,). º½ ¾µ ØÐ Ø ØÙ Ô Ò Ò Ò ÖÚÓ Ù Ø Ð Ö ÙÙÖ Ò ÝÐÖ º Ì Ö ÑÔ ÖÚ Ó Ø Ö ØØ ÐÐ ÙÓÖÑ ÐÐ Ò Ø ÔÙÑ Ò ÖÚÓ Ò ÚÙÐÐ º Ñ Ö º½½ ÅÖ Ø ØÒ Ò Ú ÐØÙ ØÙÒ ÙÚ Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ º ÇØ ÙØ Ò Ø ÔÙÑ ÐÐ Ð Ù v (x) = 4δ x( x), º½ µ

58 º º È Ö Ø Ò ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó Ò Ñ Ò Ø ÐÑ δ v M /EI = v /EI = δ 3EI x a M /EI dx M(a) ÃÙÚ º½ = δ 3EI B = δ 3EI Æ Ú Ð ÙÚ Ò Ø ÔÙÑ ÅÓ Ö Ò Ò ÐÓ ÐÐ º Ñ δ ÓÒ Ô Ø Ò Ø ÔÙÑ º Ë ÙÚ Ò Ø ÚÙØÙ ÑÓÑ ÒØØ ÓÒ M (x) = v (x). º½ µ ÅÓÑ ÒØØ M (x) Ú Ø Ú Ø ÔÙÑ ÚÓ Ò ÑÖ ØØ Ñ Ö ÅÓ Ö Ò Ñ Ò Ø Ð¹ ÑÐÐ Ò ÐÓ ÐÐ µº Ø Ø Ò Ô Ð Ò ÙÓÖÑ M (x) º ÌÙ Ö Ø ÓØ ÓÚ Ø = B = EI δ º ÅÓÑ ÒØØ Ô Ø x = a ÓÒ 3EI a M(a) = a v (x) (a x)dx. º½ µ EI Ì ÔÙÑ ÙÒ Ø Ó ØÙÐ v (x) = δ ) ( 3EI x x + x3 3. º½ µ ØØ Ñ ÐÐ Ñ Ö ( ) ( ) v = v º½ µ Ò δ = 5 48EI δ kr = 9.6 EI, ÙÒ Ø Ö ØÙÐÓ ÓÒ kr = 9.87 EI º ØØ Ñ ÐÐ Ø ÔÙÑ ÙÒ Ø Ó Ò v (x) v (x) ÖÚÓØ Ý Ø ÙÙÖ Ð v (x)dx = v (x)dx ØÙÐ 3 δ = 5EI δ kr = EI. ÆÙÖ Ù ÙÓÖÑ ÐÐ Ò ÝÐ¹ Ð Ö ¹ ÖÚ ÓØ ÑÖ ØØÑÐÐ Ù Ø Ò v v = EI ( x) 3 x + x 3 º½ µ º½ µ º¾¼¼µ º¾¼½µ

59 ÄÍÃÍ º ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ Ñ Ñ ¹ Ñ Ò Ñ ÖÚÓØº È Ø x = a ØÙÐ ( ) v = EI, v max º¾¼¾µ Ô Ø x = Ò Ø ÔÙÑ ÙÒ Ø Ó Ò v (x) v (x) Ù Ø Ò Ñ Ò Ñ ÖÚÓ ( v v ) min Ì Ò Ø ÐÐ Ð ÐÑ ÐÐ ÓÒ ØÙ ÖÚ Ó = 9.6 EI. 9.6 EI < kr < EI. º¾¼ µ º¾¼ µ ØØ Ñ ÐÐ ÙÙ Ð Ø ÙÒ Ø Ó v (x) = 6δ ) ( 5 x x + x3 3, º¾¼ µ ( Ó ØÓØ ÙØØ ÓÒ v Ñ ÒØØ ÙÙ Ø ÔÙÑ ) = δ ÚÓ Ò ÑÖ ØØ Ø ÔÙÑ v (x) Ú Ø Ú ÑÓ¹ v 3 (x) = 8 δ 75EI ) x x3 ( x5 5 x6 6. º¾¼ µ ØØ Ñ ÐÐ ØÙÐ ( ) ( ) v = v 3 kr = EI. º¾¼ µ º¾¼ µ

60 ÄÙ Ù Ä Ù ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ú ÙØÙ ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ò º½ Ì ÔÙÑ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÖ Ú ÐÝ Ý Ø Ð Ù ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ú ÙØÙ Ø ÒÙÖ Ù ÙÓÖ¹ Ñ Òº ÀÓÑÓ Ò Ò Ó Ò Ô Ð Ö Ò Ø Ô Ù Ð Ù ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ñ Ö ØÝ ÓÒ Ô Ò ÑÙØØ ÖÖÓ ÐÐ Ø Ò Ø Ý Ø ØØÝ Ò ÙÚÓ Ò Ø Ð Ù Ò Ò ÐÝ Ó ÒÒ ÓÒ ÝÐ Ò ÓØ ØØ Ú ÙÓÑ ÓÓÒº Ä Ù ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ð Ù ÙÑ Òµ Ð Ù ÒÒ ØÝ Ò ÚÐ Ò Ý Ø Ý Ò Ú Ò ÚÙÐÐ Ò Ñ Ú ÐÐ ÔÓ Ð Ù ÐÐ º Å Ö Ø ÑÐÐ γ xy = τ xy G τ xy = ζ Q y γ xy = ζ G Q y α = ζ G ØØÑÐÐ Ò Ø ÔÓ Ô ÝØÒ Ú Ò γ = αq. º½µ º¾µ º µ º µ º µ Ã ÖÖÓ Ò ζ =. ÙÓÖ ÔÓ Ð Ù ÐÐ Ñº Á¹ÔÓ Ð Ù ÐÐ ζ =,...,.4º Ð Ò x ÙÙÒØ Ò Ò ÖØÝÑ ÓÒ u = ϕy, º µ Ñ ϕ ÓÒ ÔÓ Ð Ù Ò ÖØÝÑ ÔÓ Ø Ú Ò Ò ÑÝ ØÔ ÚÒµº

61 ÄÍÃÍ º Ä Ù ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ú ÙØÙ ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ò y ϕ R u v R v u = (v γ)y γ v ÃÙÚ º½ Ä Ù ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ γº Ä Ù ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ð Ù ÙØØÙÒ ÖØÝÑ Ò ÚÙÐÐ ÓÒ γ γ xy = u y + v x = ϕ + v, º µ Ã Ú Ò º µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ u = (v γ)y, º µ ÙÚ Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ô Ø Ò Ú ÒÝÑ ÓÒ Ð Ñ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÝÖ ØÝÑ ε = u = ( v + γ )y, ε = κy, κ = v + γ. º µ º½¼µ º½½µ ÈÙÖ Ø ØÙ ÙÚ ÙÚ Ò Ð Ú Ø Ò Ó Ø ÙÓÖ Ð Ù ÚÓ Ñ ÓÒ Q = v, γ = αv. º½¾µ º½ µ Ë ÙÚ Ò ÝÖ ØÝÑ ÚÓ Ò Ø Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó κ = v ( α). º½ µ Ë ÙÚ Ò Ø ÚÙØÙ ÑÓÑ ÒØØ ÓÒ M(x) = EIκ(x) = EI( α)v (x). º½ µ

62 º½º Ì ÔÙÑ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÑÓÑ ÒØ Ò Ú ÙÚ Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ò M (x) v (x) = º½ µ ØÙÐ ( α)(eiv ) + v =. º½ µ Ì Ô Ù EI ÓÒ Ú Ó Ø Ô ÒÓ ØÓ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÐÝ Ý Ø ÑÙÓØÓÓÒ v (4) + k v =, º½ µ Ñ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ k = EI( α). Ñ Ö º½ ÅÖ Ø ØÒ ÙÐÓ ÙÚ Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ ÓØØ Ñ ÐÐ ÙÓÑ ÓÓÒ Ð ¹ Ù ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ ÙÒ ÙÚ Ò ÔÓ Ð Ù ÓÒ Ñ Ú Ò Òº ÙÐ Ö Ò Ò ÑÑ ÒÙÖ Ù Ø Ô Ù º½ µ k = π 4, Ö ÙÒ ØÓØ Ô Ù Ø ÚÓ Ò Ø ÐÐ Ý ÐÐ Ú ÐÐ º¾¼µ k = π, º¾½µ n Ñ n ÓÒ ÒÙÖ Ù Ô ØÙÙ º Ä Ù ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ ÙÓÑ ÓÓÒ ÓØØ Ò k = EI( α). º¾¾µ Å Ö Ø ÑÐÐ E = π EI ÙÐ Ö Ò Ò ÑÑ Ø Ô Ù ÝÐ Ø Ô Ù 4 E = π EI ÚÓ Ò Ð Ù ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò ÙÓÑ ÓÓÒÓØØ Ú ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ n Ö Ó ØØ ÑÙÓØÓÓÒ kr = Ñ Ö º¾ ÅÖ Ø ØÒ Ö Ø Ó ÙÚ Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ º E + α E. º¾ µ ÅÖ Ø ØÒ Ð Ù ÙÑ γ ÓÙ ØÓ ÖÖÓ Ò α Ú ÖØÙ Ð Ò ØÝ Ò Ô Ö ØØ Ò ÚÙÐÐ º ÌÙØ¹ Ø Ò Ö Ø Ó ÙÚ Ò Ý Ø a Ò Ñ ØØ Ø Ó º ÃÙÓÖÑ ØØ Ñ ÐÐ Ø Ö Ø ÐØ Ú Ö Ø ÓÒ Ó Ý Ò ÙÙÖÙ ÐÐ ÔÓ ØØ ÚÓ Ñ ÐÐ Q = Ò Ð ØÙ Ø Ú Ø ¹ Ú Ð Ù ÙÑ γ ÖÖÓ Ò αº Ä Ø Ò Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò ÙÓÖÑ Ò Ð Ù ÚÓ Ñ Òµ Q ÙØØ Ñ Ø ÙÚ ÚÓ Ñ Ø ÙÚÓ Ò Ô ØÙÙ ÒÑÙÙØÓ Øº Ì Ô ÒÓ Ó Ø b D = Q, º¾ µ d V = Q º¾ µ ÙÖ D = d Q, V = Q. º¾ µ b

63 ÄÍÃÍ º Ä Ù ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ú ÙØÙ ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ò b d a D Q Q = γ Q = γa V a ÃÙÚ º¾ Ê Ø Ó ÙÚ Ò ÚÓ Ñ Ø Ð Ù ÙÑ º Ë ÙÚ ÚÓ Ñ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÙÚÓ Ò Ô ØÙÙ ÒÑÙÙØÓ Ø ÓÚ Ø D = D E d d = d E d b Q V = V b = b Q, E b E b Ñ Ò Ø b d Ú ØØ Ú Ø ÙÚ Ò b ÓÒ Ð ÙÚ Ò dº Î ÖØÙ Ð Ò Ò ÚÓ Ñ Q = ÙØØ ÙÚ ÚÓ Ñ Ø º¾ µ º¾ µ Î ÖØÙ Ð Ò ØÝ Ò Ô Ö ØØ Ò ÑÙ Ø ÔØ Ý ØÐ D = d b, Ṽ =. º¾ µ Qγa = D D + Ṽ V. º ¼µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÙÚ ÚÓ Ñ Ò Ú Ø Ò Ý ØÐ ÑÙÓØÓÓÒ γa = d d ( b E d b Q + ( ) b ) Q E b º ½µ ÐÐ Ò γ = ( d 3 a E d b + b ) Q = αq. º ¾µ E b Ã ÖØÓ Ñ Ò α Ð Ù ÓÒ Ø Ò ( d 3 α = E d b a + b ). º µ E b a ÃÙÚ Ò º Ø Ô Ù ÓÙ ØÓ ÖÖÓ Ò α ÓÒ α = d 3 E d b a. º µ Ñ Ö º ÅÖ Ø ØÒ Ð Ù ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ú ÙØÙ Ò ÙÓÑ ÓÓÒÓØØ Ú ÖÖÓ Ò α ÙÚ ÐÐ º ÌÙØ Ø Ò ÙÚ Ò º ÙÚ Ò Ý Ò ÓÒ ÓÖÑ Ø ÓØ º È ÖØ Ò Ø ÔÙÑ Ú ¹ ÚÓ Ò ÒÒ Ô Ø Ø ÓØ ÙØ Ò Ð ÑÖ Ø µ ÙÚÓ Ò ÔÙÓÐ ÚÐ Òº Å Ö ØÒ ØØ ÔÙÓÐ Ò ÚÐ Ò Ñ Ø ÐÐ Ô ÖÖ ÙÚ Ò Ø ÔÙÑ ÓÒ δº ÌÐÐ Ò Ø Ú Ø Ú Ð Ù¹ ÙÑ ÓÒ γ = δ º Ä Ø Ò ÖØÝÑ δ Ú ÖØÙ Ð Ò ØÝ Ò Ý ØÐ ÐÐ ØÙØ Ñ ÐÐ ¹ a/ ÙÚ Ò Ó º Î ÖØÙ Ð Ò ØÝ Ò Ô Ö ØØ Ò ÑÙ Ò δ = M M EI ds, º µ

64 º½º Ì ÔÙÑ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ a d b a d b d 4 d a 4 d 4 d 4 d d a d b b b b, d ÃÙÚ º Ê Ø Ó ÙÚÓ º ÙÒ ÓØ Ø Ò ÙÓÑ ÓÒ Ú Ò Ø ÚÙØÙ ÑÓÑ ÒØ Ò Ó ÙÙ ÓÖÑ Ø Ó º ÃÙÚ Ò º ÑÓ¹ Ñ ÒØØ ÙÑ ÐÐ ØÙÐ δ = ( a Qa ) ( a ) + ( b Qa ) ( a ) º µ 3 4 EI a 3 EI b Ð δ = ( ) a 3 + a b Q 48EI a 4EI b γ = δ ( a a/ = + 4EI a ab EI b ) Q α = a + ab. 4EI a EI b Ã ÖØÓ Ñ Ò α Ú ÓÒ ÑÙ Ò ÑÝ Ô ÖØ Ò Ø ÔÙÑ Ò Ú ÙØÙ º º µ º µ º µ ÇØØ Ñ ÐÐ ÙÓÑ ÓÓÒ Ø Ò Ö ÐÐ Ò Ò Ð Ù Ý ÝÝ G b Ð Ù ÑÙÓ ÓÒÑÙÙ¹ ØÓ µ Ø ÔÙÑ Ò δ ØÙÐ Ð Ó δ Q º Ë Ò Ò Ô ÖØ Ò Ð Ù ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ø Ò Ó ÙÙØØ ÓØ Ø ÒÝØ ÙÓÑ ÓÓÒ ÖÚ Ó Ò Ñ Ö ØÝ ØØ Ñ µº ÐÐ Ò Ú ÖØÙ Ð Ò ØÝ Ò Ô Ö Ø ØØ ÓÚ ÐØ Ò Ð Ø Ò Ð Ó δ Q = b ( a )( b Q a ) ζ = b G b Ð ØØÙ Ð Ø ÔÙÑ ÙÓÑ ÓÓÒÓØ ØØÙÒ Ò α = a 4EI a + ab EI b + ζa G b b Q, ζa G b b. º ¼µ º ½µ

65 ¼ ÄÍÃÍ º Ä Ù ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ú ÙØÙ ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ò / Q Q / / Q Q EI a Q Q δ / Qa/4 Qa/ Qa/4 b a EI b,g b b/ EI b,g b a/ a M EI a G a = M ÃÙÚ º Ã ÙÚ º Ã ÖÖÓ ÒØ α ÚÓ Ò Ú Ð Ø Ö ÒØ ÓØØ Ñ ÐÐ ÙÓÑ ÓÓÒ Ó ÙÚÓ Ò ÔÙÖ Ø Ú Ò ÚÓ ¹ Ñ Ò Ú ÙØÙ ÖØÓ Ñ ÐÐ βº ÂÓ ÙÐÓ Ò ÓÒ Ô ØÙÙ ÓÒ a Ó ØÙÙ ÔÙÖ Ø Ú ÚÓ Ñ Ò Ò ÖÖÓ Ò β ÓÒ Ã ÖØÓ Ñ α ØÙÐ Ö ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ ÓÒ α = β = ) a π. º ¾µ EI a ( kr a 4EI a ( β) + kr = ab EI b + ζa G b b, º µ E + α E, º µ Ñ E ÓÒ ÙÐ Ö Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ú Ø Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ ØÙ ØÙÐÐ Ô Ð Ö ÐÐ ÙÒ α = º Ã ÖØÓ Ñ Ò β( kr ) ÙÓÑ ÓÓÒÓØØ Ñ Ò Ò Ó Ø Ø Ö Ø Ú Ò Ö Ø ÙÙÒ kr α( kr ) kr. º µ

66 º½º Ì ÔÙÑ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ ½ Q Q Q Q Q ½ Q a b Q a b / l n = a a/ ÃÙÚ º Ã ÙÚ Ð Ù ÚÓ Ñ Ò ÒÓÖÑ Ð ÚÓ Ñ Ò Ú ÙØÙ º

67 ¾ ÄÍÃÍ º Ä Ù ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ú ÙØÙ ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ò

68 ÄÙ Ù Ã ÑÑÓØÓÒ ÒÙÖ Ù º½ Ì Ò ÒØØ ÑÓ ÙÙÐ Ø ÓÖ ÙÐ Ö Ò ÒÙÖ Ù Ú Ø ÔØ ÚØ Ó ÒÒ ØÝ Ô Ð Ö Ò ÔÓ Ð Ù ÓÒ ÑÝ Ø Ö Ô Ò ÑÔ º ÄÝ Ý Ò Ô Ð Ö Ò Ø Ð Ù Ò Ñ Ò ØÝ ÚÓ Ù Ø Ò Ò Ø Ô ØÙ ÑÝ Ø Ö Ø Ù Ø ÐÐ ÙÙ Ö µ ÙÙÖ ÑÑ ÐÐ ÒÒ ØÝ Ò ÖÚÓ ÐÐ º ÌÙØ Ø Ò ÙÖ Ú ÙÚ ÓÒ Ñ Ø Ö Ð Ò Ú ÒÝÑÔ ÖÖÓ ÓÒ ÙÚ Ò º½ ÑÙ Ò Òº ËÙÓÖ Ò ÔÙÖ Ø ØÙÒ ÙÚ Ò ÒÒ ØÝ ÓÒ σ =, º½µ Ñ ÓÒ ÔÓ Ð Ù Ò Ô ÒØ ¹ Ð º ÂÓ ÒÒ ØÝ ÓÒ Ù Ø ÐÐ ÙÙ Ö ÙÙÖ ÑÔ Ñº ÒÒ ØÝ σ b ÙÚ º½ Ò Ò ÒÒ ØÝ Ò Ú ÒÝÑÒ ÚÐ Ò Ò Ý Ø Ý ÓÒ dσ = E t dε, º¾µ Ñ E t ÓÒ Ø Ò ÒØØ ÑÓ ÙÙÐ º Ì ÔÙÑ v(x) ÙÓÖ Ø Ô ÖÙ Ø Ð Ø µ ÙØØ ÒÒ ØÝ Ò ÑÙÙØÓ Ò σ = E t v y, º µ ÓØ Ú Ø ÑÓÑ ÒØØ ÑÓÑ ÒØ Ò ÑÙÙØÓ µ M = E t Iv. º µ ÑÑ Ò Ó ØØÙ Ø Ô ÒÓ ØÓ M v =, º µ Ð (E t Iv ) + v = º µ ÓÒ ÚÓ Ñ ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ò kr,t = π E t I. º µ n

69 ÄÍÃÍ º Ã ÑÑÓØÓÒ ÒÙÖ Ù dσ σ b c a ½ E E t = dσ dε dε ε ÃÙÚ º½ Î ÒÝÑÔ ÖÖÓ º x y ε x y ÃÙÚ º¾ ÈÓ Ð Ù Ò ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ º ËÙ Ø ÐÐ ÙÙ Ö Ò ÝÐÔÙÓÐ ÐÐ Ö ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ ÓÒ ÙÐ Ö Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ô Ò Ñ¹ Ô Ó E t Eº Ã Ú º µ ÓÐ ÝØØ ÐÔÓ Ò Ò Ó Ø Ò ÒØØ ÑÓ ÙÙÐ E t Ö ÔÔÙÙ ÒÒ ØÝ Ò ÖÚÓ Ø º Â Ñ ÐÐ Ú Ô ÒØ ¹ Ð ÐÐ ØÙÐ Ñ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ σ t = π E t λ, º µ n σ t σ kr,t = kr,t. º µ ÂÒÒ ØÝ Ò Ó ÙÙ ÐÙÚÙÒ λ n ÚÐ Ò Ò Ö ÔÔÙÚÙÙ Ò ÒØ Ñ ÐÐ σ t ÐÐ ÖÚÓ Ñ¹ Ö ØØÑÐÐ Ø Ò ÒØØ ÑÓ ÙÙÐ E t = f(σ)º Î ÒÝÑÔ ÖÖÓ ÚÓ Ò ØØ Ñ Ö Ú ÐÐ ε = σ E + σ ( ) n σ m, º½¼µ Em σ n Ó E ÓÒ ÑÑÓ ÖÖÓ Ò σ n m ÓÚ Ø Ñ Ø Ö Ð Ú Ó Ø º ÐÙÑ Ò Ò Ø Ô Ù

70 º¾º Ã Ó ÑÓ ÙÙÐ Ø ÓÖ σ [N/mm ] σ [N/mm ] ¼ ¼ ¼¼ ¼¼ ¼ ¼ ¼¼ ¼º¼½ ¼º¼¾ ¼º¼ ¼º¼ ε ¼¼ ¼ ¼º ½º¼ E t E ÃÙÚ º Î ÒÝÑÔ ÖÖÓ Ø Ú Ø Ú Ø Ò ÒØØ ÑÓ ÙÙÐ º E = 786 MN m m = 4 σ n = 36 MN º Ì Ò ÒØØ ÑÓ ÙÙÐ Ò Ú Ø m [ dε dσ = ( ) ] σ m + E = E t, σ n º½½µ [ ( ) ] σ m E t = E +. º½¾µ σ n ÂÒÒ ØÝ Ò Ú ÒÝÑÒ Ø Ò ÒØØ ÑÓ ÙÙÐ Ò ÑÑÓÑÓ ÙÙÐ Ò Ù Ø Ò E t E Ö ÔÔÙÚ ¹ ÙÙ Ø ÓÒ Ø ØØÝ ÙÚ º º Ì Ò ÒØØ ÑÓ ÙÙÐ Ø ÓÖ Ò (σ,λ)¹ ÝÖ Ö ÔÔÙÙ Ñ Ø Ö Ð Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÑÙØØ Ö ÔÙ ÔÓ Ð Ù Ò ÑÙÓ Ó Ø º Ì Ò ÒØØ ÑÓ ÙÙÐ Ø ÓÖ Ò ØØ Ò Ö ÚÙÓÒÒ ½ º Â Ò Ö Ø Ó Ø Ò ÒØØ ÑÓ ÙÙÐ Ø ÓÖ ÚÙÓÒÒ ½ ÙÓÑ ÙØØ ØØ ÙÚ Ò Ø ÔÙ ¹ ÙÔ Ö Ò ÔÙÓÐ Ò ÒÒ ØÝ Ø Ò Ô Ø Ô Ð ÙØÙ ÑÑÓ Ø Ú ÒÝÑÔ ÖÖÓ Ò Ô Ø Ø Ð Ø Ò ÙÚ º º Ã ÑÑÓ Ò Ô Ð ÙØÙÑ Ò ÙÓÑ ÓÓÒÓØØ Ñ Ò Ò ÙÚ Ò ÙÔ Ö ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ Ú ÑÑÒ ÔÙÖ Ø ØÙÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ µ Ó Ø Ò º Ö Ù Ó ÙÒ ÑÓ ÙÙÐ Ò Ø ÓÖ Ò Ø Ó ÑÓ ÙÙÐ Ò ÝØ¹ Ø ÒÓØØÓÓÒº ÌÑÒ Ø ÓÖ Ò ØØ ÚØ ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØ Ò Ö ÚÙÓÒÒ ½ ÚÓÒ Ã ÖÑ Ò ÚÙÓÒÒ ½ ¼ ËÓÙØ Û ÐÐ ÚÙÓÒÒ ½ ½¾º º¾ Ã Ó ÑÓ ÙÙÐ Ø ÓÖ Ì Ö Ø ÐÐ Ò (x,y)¹ø ÓÒ Ù Ø Ò ÝÑÑ ØÖ Ø ÔÓ Ð Ù Ø º ÇØ ÙØ Ò ØØ ÒÙÖ ¹ Ù Ò Ø Ô ØÙ ÑÙÙØÙ Ð = ÒÒ ØÝ Ò ÑÑÓ Ò Ò Ô Ð ÙØÙÑ Ò Ò ÓØ Ø Ò ÙÓÑ ÓÓÒ ÙÚ Ò ÙÔ Ö ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ º Ä Ú ÒÝÑ Ú ÒÝÑÒ ÑÙÙØÓ µ ÓÒ

71 ÄÍÃÍ º Ã ÑÑÓØÓÒ ÒÙÖ Ù ¼¼ σ [N/mm ] Ó ÑÓ ÙÙÐ ÙÓÖ ÔÓ Ð Ù ¼¼ Ø Ò ÒØØ ÑÓ ÙÙÐ ¾¼¼ ½¼¼ ¼ ½¼¼ ½ ¼ ¾¼¼ λ = /i ÃÙÚ º ÆÙÖ Ù ÒÒ ØÝ Ó ÙÙ Ò ÙÒ Ø ÓÒ º ε = y κ, Ñ y ÓÒ Ø ÝÝ Ò ÙØÖ Ð Ð Ø º Ä ÒÓÖÑ Ð ÚÓ Ñ ÓÒ N = E t εd + E εd h = E t ybdy κ + E h = (E t S + ES ) κ. yb dy κ º½ µ º½ µ ÙÖ Ó Ø N = = E t S + ES =, º½ µ º½ µ Ñ ÓÒ ÓØ ØØÙ ÝØØ Ò ÔÓ Ô ÒØ ÙÙÖ Ø S = S = h ybdy, h ybdy, º½ µ º½ µ y ÓÒ Ø ÝÝ Ò ÙØÖ Ð Ð Ø b ÓÒ ÔÓ Ð Ù Ò Ð Ú Ý º Ó Ø º½ µ Ö Ø Ø Ò Ò ÙØÖ Ð Ð Ò Æ µ Ñ Ð Ø ÝÝ Ø h h º

72 º¾º Ã Ó ÑÓ ÙÙÐ Ø ÓÖ σ σ kr σ = E t ε σ = E ε ε ε x y ε σ kr ÃÙÚ º Ã Ó ÑÓ ÙÙÐ Ø ÓÖ º ε σ < h ÈÃ σ = E t ε h y Æ σ = E ε σ > y ÃÙÚ º Ã Ó ÑÓ ÙÙÐ Ø ÓÖ Ò Ú ÒÝÑ¹ ÒÒ ØÝ ÙÑ Øº ÃÓ ÒÝØ N = ÚÓ Ò ÑÓÑ ÒØØ M = M Ø ÔÙÑ Ø Ð Ð Ø ÔÙÑ Ø ¹ ÙØÙÚ ÑÓÑ ÒØØ µ Ð Ò ÙØÖ Ð Ð Ò Ù Ø Òº ÅÓÑ ÒØØ ÓÒ M = yσ d = ye t εd + ye εd h = E t y bdy κ + E h = (E t I + EI ) κ E r I κ, y bdy κ º½ µ

73 ÄÍÃÍ º Ã ÑÑÓØÓÒ ÒÙÖ Ù Ñ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ö Ù Ó ØÙ ÑÓ ÙÙÐ ÔÓ Ô ÒØ ÙÙÖ Ø I = E r = E ti + EI, º¾¼µ I h y bdy, I = h y bdy. ÆÙÖ Ù ÙÓÖÑ ÒÙÖ Ù ÒÒ ØÝ ÓÚ Ø Ø Ò Ø Ô Ù º¾½µ kr,r = π E r I, º¾¾µ n σ kr,r = π E r λ. º¾ µ n ÅÓ ÙÙÐ E r Ö ÔÔÙÙ ÔÓ Ð Ù Ò ÑÙÓ Ó Ø (σ,ε)¹ ÝÖ Øº Ã Ó ÑÓ ÙÙÐ Ø ÓÖ ÒØ Ø Ò ÒØØ ÑÓ ÙÙÐ Ø ÓÖ ÙÙÖ ÑÑ Ò Ö ØØ Ò ÙÓÖÑ Ò Ð kr,r > kr,t º Ñ Ö º½ ÅÖ Ø ØÒ Á¹ÔÓ Ð Ù Ò Ö Ù Ó ØÙ ÑÓ ÙÙÐ º ÂÓ Á¹ÔÓ Ð Ù Ò ÙÙÑ ÓÒ ÝÚ Ò Ó Ò Ò Ú Ø º½ µ ÙÖ Ý ØÐ ÃÓ h = h + h Ò Ö Ø ØÙ E t h + Eh = h = E t E h. h = ÈÓ Ð Ù Ò Ý ÝÝ Ú ÓØ ÓÚ Ø E E + E t h, h = E t E + E t h. º¾ µ º¾ µ ( ) ( ) E I = h = h, I = h Et = h º¾ µ E + E t E + E t I = h. º¾ µ Ê Ù Ó ÙÒ ÑÓ ÙÙÐ Ò Ð Ù ØÙÐ E r = E ti + EI I = E te E t + E. º¾ µ Ñ Ö º¾ ÅÖ Ø ØÒ ÙÓÖ ÔÓ Ð Ù Ò Ó ÑÓ ÙÙÐ º Ó Ø º½ µ ÙÖ ÙÓÖ ÔÓ Ð Ù ÐÐ E t bh + E bh = h = Et E h. ÃÓ ÑÝ ØÐÐ ÔÓ Ð Ù ÐÐ h = h + h Ò E Et h = h, h = h. E + Et E + Et º¾ µ º ¼µ

74 º º Ë ÒÐ ÝÒ Ø ÓÖ h h b ÃÙÚ º Á¹ ÙÓÖ ÔÓ Ð Ù º ÈÓ Ð Ù Ò Ý ÝÝ Ú ÓØ ÙÓÖ Ø ÐÐ ÓÚ Ø I = 3 bh3 = 3 bh3 ( E E + Et ) 3, Et I = 3 bh3 = ( ) 3 3 bh3 E + Et º ½µ º ¾µ I = bh3. º µ Ê Ù Ó ÙÒ ÑÓ ÙÙÐ Ò Ð Ù ØÙÐ ÙÓÖ ÔÓ Ð Ù ÐÐ E r = 4EE t ( E t + E). º µ º Ë ÒÐ ÝÒ Ø ÓÖ ÂÓ Ø Ò ÚÙÓ Ó ÑÓ ÙÙÐ Ø ÓÖ Ô ØØ Ò Ó Ò º ÀÙÓÐ ÐÐ Ø Ò Ó Ò ØÙÐÓ Ø ÓÐ ¹ Ú Ø Ù Ø Ò Ò Ð ÑÔÒ Ø Ò ÒØØ ÑÓ ÙÙÐ Ø ÓÖ Ò Ö Ø Ù º Ä Ø Ò ÒØØ ÑÓ ÙÙÐ Ò ÝØØ ÓÒ ÐÔÔÓ Ó E t Ö ÔÙ ÔÓ Ð Ù Ò ÑÙÓ Ó Ø º Ë ÒÐ Ý Ó Ó ØØ ÙÐ Ù Ò ÚÙÓ Ò ½ ¹ ØØ ÙÚ Ò Ø ÔÙÑ Ò Ò Ð ÒÓÖÑ ¹ Ð ÚÓ Ñ Ò Ý Ú º ÌÐÐ Ò ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø ØØ ÙÔ Ö Ò ÔÙÓÐ Ò Ð ÐÙ Ò y > ÔÙÖ ØÙ ÒÒ ØÝ Ú Ò Ò ÒÙÖ Ù Ò Ð ÙÚ Ø Ò ÒØØ ÑÙ ÙÙÐ Ø ÓÖ Ò ÑÙ¹ Ø º Ë ÒÐ Ý ÔØØ Ð ØØ Ø Ò ÒØØ ÑÓ ÙÙÐ Ú ÒØ ÙÙÖ ÑÑ Ò ÒÒ ØÝ Ò ÓÐÐ ÙÚ Ú Ð ÔÝ ÝÝ ÙÓÖ Ò º ËÙÓÖ Ò ÙÚ Ò Ò ÙÓÖÑ Ò Ø Ô Ù Ø Ò ÒØØ ÑÓ¹ ÙÙÐ Ø ÓÖ ÒØ Ö ØØ Ò ÒÒ ØÝ Ò Ð Ö ¹ ÖÚ ÓÒº º º½ Ë ÒÐ ÝÒ Ñ ÐÐ Ë ÒÐ Ý Ø ÔØ ÐÑÒ ÙÚ Ò º Ñ ÐÐ ØÙØ Ñ ÐÐ º Å ÐÐ Ð ØØ Ð ØÓ ÐÐ Ò Ø Ù¹ Ú Ò Ò Ò ÑÙ Ò Ô Ð Ö Ñ ÐÐ Ò ØÓ Ñ ÒØ ÓÐ ÒÒ ÐØ Ó Ò Ö ØØÚÒ Ø Ö Ø Ò ÓÚ ÐØ Ñ Ø ÖÑØ ÝÐ Ô ÑØØ Ñ Ò Ò ÐÝÝØØ Ò ÓÒ ÐÑ Ò ½ º ÃÙÚ Ò º Ñ ÐÐ Ö ØØ ÑÒ Ý ÙÚ Ó Ò Ñ Ø Ø ÓÚ Ø (a h)d ÓÒ Ð Ø ØØÝ ØÓ Ò Ò Ú Ð ÙÚÓ ÐÐ Ó Ò Ô ØÙÙ ÓÒ h ÔÓ Ð Ù Ò Ô ÒØ ¹ Ð ÓÒ º ½ Å Ú ÖÝØ Ò ÑÔÐ ÔÓ Ð ÙØ ÒÓ ÑÔÐ Öº Ð ÖØ Ò Ø Òº

75 ¼ ÄÍÃÍ º Ã ÑÑÓØÓÒ ÒÙÖ Ù d h h θ ¾ a ½ a σ σ m ½ E E t = τe Eε m ( τ)eεm ½ ε ε m ÃÙÚ º Ë ÒÐ ÝÒ Ñ ÐÐ º Æ Ú Ð ÙÚÓ Ò (σ,ε)¹ ÝÖ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ÓÓ ØÙÙ Ø ÙÓÖ Ø Ú Ú Ø µº ÃÙÓÖ¹ Ñ Ò Ô ÝÝ ÓÒ eº Æ Ú Ð ÙÚÓ Ò ½ ¾ Ú ÒÝÑØ ÓÚ Ø ε ε º ÂÝ Ò ÙÚÓ Ò ÖØÝÑ ÓÒ θ ÓÐ ØØ Ò Ø Ý Ø Ý µ ØØ σ ε ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú ÔÙÖ ØÙ Ò Ý Ø Ý θ = h(ε ε ), º µ d Ø ÔÙÑ ÓÒ ÔÙÓÐ Ø Ò = (a h)θ = (a h) h d (ε ε ). º µ Æ Ú Ð ÙÚÓ Ò ÙÚ ÚÓ Ñ Ø ÓÚ Ø = σ, = σ. º µ

76 º º Ë ÒÐ ÝÒ Ø ÓÖ ½ ÃÓ ÓÒ ÚÓ Ñ ÓÒ Ø Ò = + = (σ + σ ). º µ ÅÓÑ ÒØ Ò Ø Ô ÒÓ ØÓ ÔÙÖ Ø Ú Ò ÚÓ Ñ Ò Ú ÙØÙ ÙÓÖ Ò Ù Ø Ò ÑÙÓ Ó Ø ØØÙÒ ÓÒ ( + e + d ) + ( + e d ) =. º µ Ã Ú Ò º µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò ε ε = d a h h. º ¼µ Å Ö ØÒ ÙÖ Ú ÐÝ Ý ÑÑ Ò x ε ε, σ =. º ½µ Ð Ò Ö Ò Ñ Ø Ö Ð Ñ ÐÐ Ò ÑÙ Ò Ö Ó Ø Ø Ò σ i = a i + b i ε i, i =,, º ¾µ Ñ a i b i ÓÚ Ø Ú Ó Ø ÙÚÓ ÐÐ ½ ¾º Ë ÙÚÓ ÐÐ ½ ¾ Ò Ý ØÐ Ø σ = a + b ε, σ = a + b ε. º µ Ã Ú Ò º µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ØÙÐ Ð Ã Ú Ø º ½µ Ò ØØ σ + σ = σ a + b ε + a + b ε = σ. ε = x + ε. º µ º µ º µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ε Ú Ò º µ ØÙÐ ε = ε = x + ε = b + b ( b x + σ a a ), b + b (b x + σ a a ). ÅÓÑ ÒØ Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ò Ú Ò º µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò ÐÓÔÙ Ý ØÐ º µ º µ a b a b + b b x σ =. d ( + e)(b + b ) + b b º µ ÐÐ ÒØÝÚØ Ë ÒÐ ÝÒ Ñ ÐÐ Ò ÙÙÖ Ø x σ ε ε ÚÓ Ò ÒÝØ ÑÖ ØØ ÖØÝÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ º

77 ¾ ÄÍÃÍ º Ã ÑÑÓØÓÒ ÒÙÖ Ù Ë ÒÐ ÝÒ Ñ ÐÐ Ò Ö Ó Ø Ô Ù ½º Ë ÙÚ Ø ½ ÓÚ Ø ¾ ÑÑÓ a = a = b = b = E ε = σ E ε = σ E + d, º ¼µ (a h)h d, º ½µ (a h)h σ = Ed + e 4(a h)h. º ¾µ ¾º Ë ÙÚ ½ ÓÒ ÑÑÓ Ò Ò ÙÚ ¾ ÓÒ ÔÐ Ø Ò Ò a = b = E a = Eε m ( τ), b = τe. º µ º Ë ÙÚ Ø ½ ¾ ÓÚ Ø ÔÐ Ø a = a = Eε m ( τ) b = b = τe σ = τed + e 4(a h)h. º µ º Ë ÙÚ ½ Ô Ð ÙØÙÙ ÑÑÓ Ø ÙÚ ¾ ÓÒ ÔÐ Ø Ò Ò b = Eº º Ë ÙÚ Ò ½ ÒÒ ØÝ ÝÐ ØØ Ú ØÓÑÝ Ø Ö Ò b = τe ÙÚ ¾ ÓÒ ÔÐ Ø Ò Ò ÔÙÖ ØÙ ¹ º Î Ð Ø Ò ÙÖ Ú Ë ÒÐ ÝÒ Ñ ÐÐ Ò Ñ Ø Ö Ð ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ñ Ø Ø E = 5 N mm, σ m = 5 N mm, τ =.5º h = 5 mm, d = mm, a = 5 mmº Ì Ô Ù e = ÝÖ BC ÙÚ º Ð Ô Ø Ø Ó σ = σ t = τed 4(a h)h. º µ Ì Ô Ù e = Ó Ó ØØ ØØ σ t ÓÒ ÙÙÖ Ò ÒÒ ØÝ ÓÐÐ Ð Ù Ò ÙÓÖ ÙÚ ÚÓ ÑÝ ÔÝ Ý ÙÓÖ Ò º Ë ÙÚ ÚÓ ÒØ ÙÙÖ ÑÑ Ò ÒÒ ØÝ Ò Ù Ò σ t Ø ÔÙÒ Ò Òº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÖ Ú ÒÒ ØÝ Ò ÖØÝÑÒ ÚÐ Ø Ö ÔÔÙÚÙÙØØ ÙÒ ÓØ ¹ ÙØ Ò Ô ÝÝ Ò ÖÚÓ e =. mmº Ã Ö ÐÐ ab ÙÚ º ÙÚ Ø ½ ¾ ÓÚ Ø Ñ¹ ÑÓ º ÃÝÖÒ Ó ÐÐ cd ÑÓÐ ÑÑ Ø ÙÚ Ø ÓÚ Ø ÔÐ Ø ÐÐ ÐÙ ÐÐ ÔÙÖ Ø ØØÙ Ò º È Ø d ÙÚ Ò ½ ÒÒ ØÝ Ò Ø ÖÚÓ Ð Ô Ò ÒØÝ Ø ÔÙÑ Ú ÒÓÔ Ø ÚÐ ÐÐ de ÙÚ Ò ½ Ô Ð ÙØÙ ÑÑÓ Ø ÔÙÖ ØÙ Ø Ú ØÓÓÒº ËÙÙÖ Ò ÖÚÓ ÒÒ ØÝ σ = ÚÙØ Ø Ò Ô Ø e ÙÒ ÙÚ ½ ÔÐ Ø Ó ØÙÙ Ú Ó º ÀÝÚ Ò Ô Ò ÐÐ Ô ÝÝ Ò ÖÚÓ ÐÐ e <.µ Ø ÔÙÑ Ú ÒÓÔ Ø ÙÒ ÒÒ ØÝ σ Ð ØÝÝ Ø Ò ÒØØ ÒÒ ØÝ Ò ÖÚÓ σ t º ËÙÙÖ Ò Ñ ÓÐÐ Ò Ò ÒÒ ØÝ Ò ÖÚÓ ÚÓ ÓÐÐ ÙÙÖ ÑÔ Ø Ô Ò ÑÔ Ù Ò σ t Ô ÝÝ Ò ÙÙÖÙÙ Ø Ö ÔÔÙ Òº

78 º º Ë ÒÐ ÝÒ Ø ÓÖ ¼¼¼ σ [N/mm ] σ t ¾¼¼¼ e = e =. e =. f e = ÑÑ ½¼¼¼ σ m ¾ ¼ c ½ ¾ Ø Ô Ù µ ½ ¾ ( + e) ÑÑ ÃÙÚ º Ë ÒÐ ÝÒ Ñ ÐÐ Ò ÒÒ ØÝ ¹ ÖØÝÑ ¹Ô ÖÖÓ ÙÒ τ =.5º Ë ÒÐ ÝÒ Ñ ÐÐ ÐÐ Ð ØÙØ ØÙÐÓ Ø Ú ÒÒÓÐÐ Ø Ú Ø Ø Ò ÒØØ ÑÓ ÙÙÐ ÒÒ ØÝ Ò σ t Ñ Ö ØÝ Øº Ä ÐÑ ÝØ ØØÝ Ñ Ø Ö Ð Ñ ÐÐ Ù Ø Ò Ò ÓÐÐÙØ Ó Ù Ø Ö Ð ¹ Ø Ò Ò Ú Ò Ò ÓØ ÙØØ Ò ÙÙÖ ÑÝ Ø ÐÙ Ò Ñ ÑÓ ÙÙÐ E t =.5E Ð τ =.5º ÂÓ τ ÓÒ Ö ØØÚÒ Ô Ò Ò Ò ÒÒ ØÝ σ t ÚÓ ØÙÐÐ Ô Ò ÑÑ Ù Ò ÑÝ Ø Ö σ m º Ð Ò ÐÝ Ó Ò Ë ÒÐ ÝÒ Ñ ÐÐ ÙÖ Ú ÝØØÑÐÐ ÐÙÑ Ò Ó Ò Ñ Ø Ö Ð Ñ Ð¹ ε = σ E + σ ( ) n σ m, º µ Em σ n Ó E ÓÒ ÑÑÓ ÖÖÓ Ò σ n m ÓÚ Ø Ñ Ø Ö Ð Ú Ó Ø Ó ÐÐ Ú Ð Ø Ò ÖÚÓØ E = 786 MN m m = 4 σ n = 36 MN º Å ÐÐ Ò ÓÑ ØÖ Ñ ØÓ ÓØ Ø Ò a = 5 mm m h = 5 mm d = mm ÓÐÐÓ Ò Ó ÙÙ ÐÙÚÙ ØÙÐ λ = i = a =, º µ d I Ñ i = I = ( ) d = d Ú Ø Ú Ö ØØ Ò Ò Ø Ò ÒØØ ÑÓ ÙÙÐ ÒÒ ØÝ 4 N ÓÒ σ t = 36.6 º ÂÒÒ ØÝ Ò σ Ø ÔÙÑ Ò ( + e) ÚÐ Ø Ö ÔÔÙÚ ÙÙØØ ØØÚØ mm ÝÖØ ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ ÙÚ º½¼ Ú Ò Ò Ø ÙÒ ÙÚ Ò ½ ÒÒ ØÝ Ð Ô Ð ÙØÙ ÙÚ Ò º Ô Ø ØØ d Ú Ø Ø Òº Ë ÖØÝÑØ Ú Ú Ø ÒÓÔ Ø ÙÒ ÙÚ Ò ½ ÔÙÖ ØÙ ÒÒ ØÝ Ð Ô Ò ÒØÝº ÃÙÒ e =. mm Ð e = Ò Ò Ô ØÒ Òº 5 % Ò Ô Ò σ t Ò ÖÚÓ Ø º Ì Ñ Ö Ø Ò ÒØØ ÑÓ ÙÙÐ ÒÒ ØÝ ÒÒ ÐÙÓØ ØØ Ú ÙÚ Ö ÒØ Ò ÙÚ Òµ ÒØÓ ÝÚÝ Øº

79 ÄÍÃÍ º Ã ÑÑÓØÓÒ ÒÙÖ Ù σ [N/mm ] σt = 36.6 ¼¼ e =. ÑÑ e =. ÑÑ e =. ÑÑ e = ÑÑ ¾¼¼ ½¼¼ ¼º½ ¼º ½º¼ ½º ( + e) ÑÑ ÃÙÚ º½¼ Ë ÒÐ ÝÒ Ñ ÐÐ Ò ÒÒ ØÝ ¹ ÖØÝÑ ¹Ô ÖÖÓ ÐÙÑ Ò ÙÚ ÐÐ º º ÈÙÖ ØÙ ÙÚÓ Ò Ñ ØÓ ØÙ Ê Ò Ò Ò Ú Ê ÒÒ Ø Ö Ò Ú ØÓ Ó Ò ÒÒ ØÝ Ò Ú ÒÝÑÒ ÚÐ Ø Ö ÔÔÙÚ ÙÙØØ ÚÓ Ò Ù¹ Ú Ø ÝÚÐÐ Ø Ö ÙÙ ÐÐ ÑÑÓ ÐÐ Ð ÔÐ Ø ÐÐ Ñ ÐÐ ÐÐ º Ê ÒÒ Ø Ö Ò ÑÑÓ¹ N ÖÖÓ Ò E = 5 mm ÑÝ Ø Ö σ N m = 5 º È ØÒ Ò Ú Ð ÝÒ ÙÚ Ò mm Ö ØØ Ò Òµ ÙÐ Ö Ò ÒÙÖ Ù ÒÒ ØÝ ÓÒ σ E = π E λ, º µ Ñ λ = I i ÓÒ Ó ÙÙ ÐÙ Ù i = ÓÒ Ø Ù º ÂÒÒ ØÝ ÒÙÖ Ù ÒÒ ØÝ µ Ù Ø Ò Ò ÚÓ ØÙÐÐ ÙÙÖ ÑÑ Ù Ò Ò Ò Ø Ö Òµ ØÝ Ý Ö ÑÝ Ø Ö ÔÙÖ ØÙ ¹ µ σ ty = σ m º ËÙÙÖ ÑÑ Ò Ñ ÓÐÐ Ò ÒÒ ØÝ Ò ÑÖ ØØ ÝÖ DBC ÙÚ º½½º ÃÓ ØÙÐÓ Ø ÓÚ Ø Ù Ø Ò Ò ÙÚ Ò ÝÖÒ DBC Ð ÔÙÓÐ ÐÐ Ô Ø Ò B Ð ØØÝÚ ÐÐº ÃÖ ØØ Ò ÙÓÖÑ Ò Ö ÖÚ Ó Ò Ê Ò Ò Ò Ú Ø σ = +. σ E σ m Ð Ñ ÒÓ Ñ ÐÐ ÙÐ Ö Ò ÒÙÖ Ù ÒÒ ØÝ σ E Ê Ò Ò Ò Ú Ø ØÙÐ º µ σ = σ m + σ m π E ( i ), º ¼µ ÓØ ØØ ÙÚ Ò º½½ Ø ÓÚ Ú º

80 º º ÈÙÖ ØÙ ÙÚÓ Ò Ñ ØÓ ØÙ σ m σ [N/mm ] ¼¼ σ σ E = π E (/i) ε ¾¼¼ ½¼¼ Ê Ò Ò Ò Ú ¼ ½¼¼ ½ ¼ ¾¼¼ /i ÃÙÚ º½½ ÙÐ Ö Ò Ê Ò Ò Ò ÒÙÖ Ù ÝÖØ Ö ÒÒ Ø Ö ÙÚÓ ÐÐ º x y z h ÔÓ Ð Ù y ÃÙÚ º½¾ Ð Ù Ò ÝÖ Ò Ú Ð ÙÚ º È ÖÖÝÒ¹ÊÓ ÖØ ÓÒ Ò Ú Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ð Ù Ò ÝÖ Ò Ú ÐØÙ ØØÙ ÙÚ º Ð ÙØ ÔÙÑ ÓØ ÙØ Ò ÙÚ º½¾ v (x) = a sin πx. º ½µ ÈÙÖ Ø ØÙÒ Ð Ù Ò ÝÖÒ Ò Ú Ð ÙÚ Ò Ø ÔÙÑ Ò Ð Ù ØÙÐ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ò Ð¹ Ò v(x) = a sin πx b sin πx, º ¾µ E Ñ E ÓÒ Ò Ú Ð ÙÚ Ò ÙÐ Ö Ò ÒÙÖ Ù ÚÓ Ñ º Ì ÔÙÑ Ò Ð Ù Ø ÑÖ Ø ØÒ Ø ÚÙØÙ ÑÓÑ ÒØ Ò Ú ÙÚ Ò Ô Ø x = ÑÓÑ ÒØØ ÓÒ ÂÒÒ ØÝ Ò ÙÙÖ Ò ÖÚÓ M ( ) = b. º µ σ max = + b h I º µ

81 ÄÍÃÍ º Ã ÑÑÓØÓÒ ÒÙÖ Ù ÚÙØ Ø Ò ÐÐ ÝÐÖ ÙÒ º Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ñ Ñ ÒÒ ØÝ Ò Ú Ò I = i ØÙÐ σ max = σ + Ñ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÐÝ ÒÒÝ Ñ Ö ÒØ η = a h i º η σ σ E, º µ Å Ñ ÒÒ ØÝ σ max Ú Ò Ú ÒÒ ØÝ Ò ÖÚÓ σ = ÒÓÔ ÑÑ Ò ÙÒÒ σ max = σ m º ÌÑÒ Ð Ò σ Ò Ð Ò ÐÐ Ò Ú ÙÚ Ò ÝÒØÝÝ ÐÐ ÝÐÐ Ø Ò ÔÐ Ø Ó ØÙÚ ÚÝ Ý ÓÒ Ð Ò Ñ Ò Ò ÙØØ ÐÓÔÙÐØ ÙÚ Ò ÒØÓ ÝÚÝÒ Ñ Ò ØÝ Òº ÃÖ ØØ Ò ÙÓÖÑ Ò Ð Ö ÚÓ Ò ÓØØ Ò ÖÚÓ ÓÐÐ σ max ÚÙØØ ÑÝ Ø ÒÒ ØÝ Ò ÖÚÓÒ σ m º ÃÓÖÚ Ñ ÐÐ Ñ Ñ ÒÒ ØÝ σ max ÑÝ Ø ÖÚÓÐÐ σ m Ò ØÓ Ò Ø Ò Ý ØÐ ÓÒ Ö Ø Ù σ Ò Ù Ø Ò ØÙÓØØ Ú Ò ( ) σ = σ 4σ Eσ m σ, º µ Ó ÓÒ Ñ Ö ØØÝ σ = ( + η)σ E + σ m. º µ ËÙÙÖ η = a h i ÚÓ Ò ÑÖ ØØ Ñ ØØ Ñ ÐÐ ØÓ ÐÐ Ø ÙÚÓ Ø º ÂÒÒ ØÝ Ò σ Ó ÙÙ ÐÙÚÙÒ λ = ÚÐ ÐÐ Ò Ö Ð Ö ÔÔÙÚÙÙ ÓØ ÙÑ ÐÐ ÙÙÖ ÐÐ η i ÖÚÓ º ÇÐ Ø Ø Ò Ñ Ö Ð ÙØ ÔÙÑ Ú ÖÖ ÒÒÓÐÐ ÙÚ Ò Ô ØÙÙØ Ò a = k h = k i Ñ k k ÓÚ Ø Ú Ó Ø º ÌÐÐ Ò Ò η = a i h i = k k = C i i. º µ ÃÙÚ Ò º½ ÝÖØ ½ ¾ ÓÒ ÑÖ Ø ØØÝ ÖÚÓ ÐÐ C =. C =.3º ÃÝÖÒ ( ) Ø Ô Ù ÓÒ ÓØ ÙØØÙ η =.3 º i º ÈÙÖ Ø ØÙÒ ÙÚ Ò ÔÐ Ø Ò Ò Ñ Ò Ñ ËÙÓÖ ÔÓ Ð Ù Ò Ø Ô Ù Ò Ú ÐØÙ ØÙÒ ÙÚ Ò Ð Ù Ò ÝÒØÝÝ Ù¹ Ú Ò º½ ØØÑ ÒÒ ØÝ Ø Ð º ÃÙÚ Ó Ø a b Ú Ø ÒÓÖÑ Ð ÚÓ Ñ = σ m b(h c) ÑÓÑ ÒØØ M = σ m bc(h c). ÌÓ ÐØ ÑÓÑ ÒØØ ÓÒ Ø Ô ÒÓ ÓÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ M = v. º µ º ¼µ º ½µ

82 º º ÈÙÖ Ø ØÙÒ ÙÚ Ò ÔÐ Ø Ò Ò Ñ Ò Ñ σ [N/mm ] ¼¼ ¾¼¼ ½¼¼ ¾ ½ ÙÐ Ö /i ¼ ½¼¼ ½ ¼ ¾¼¼ ¾ ¼ ÃÙÚ º½ Ì Ö ÙÚ Ò ÒÙÖ Ù ÝÖ º v ÔÐ Ø Ò Ò Ò Ú Ð h σ x c c b (a) (b) ÃÙÚ º½ Æ Ú Ð ÙÚ Ò Ñ Ò Ñ º Ð Ñ ÒÓ Ñ ÐÐ Ñ ØØ c Ò Ö ÔÔÙÚÙÙ v h = 4 ( σm σ σ σ m ), º ¾µ ÓØ ØØ ÝÖ BC ÙÚ º½ º ÃÝÖ DEBF ÓÒ ÔÙÖ Ø ØÙÒ ÑÑÓ Ò ( ) ÙÚ Ò ÒÒ ØÝ Ò Ø ÔÙÑ Ò ÚÐ Ò Ò Ö ÔÔÙÚÙÙ ÙÒ ÙÚ Ò Ð ÙØ ÔÙÑ ÓÒ v = a º N Ë ÙÚ ÓÒ ÑÝ Ø Ö ÓÒ σ m = 5 Ð ÑÙÓ Ó ØÙ ÔÐ Ø Ò Ò ÚÝ Ý mm ÙÒ ÚÙØ Ø Ò Ô Ø Eº ÌÑÒ Ð Ò Ø ÔÙÑ Ú ÒÓÔ ÑÑ Ò Ù Ò ÑÑÓØ ÓÖ Ò Ö Ø Ù ÓØ ØØ ÝÖ EBF º ÃÝÖ EGH Ð ØÝÝ Ý ÔÐ Ø Ø Ö Ø Ù BCº ËÙÙÖ ÒØ Ñ ÓÐÐ Ø ÒÒ ØÝ Ø σ max = max ØØ Ô Ø G ÓØ Ú Ø Ú ÒÒ ØÝ Ò ÖÚÓ Ù Ø Ò Ò ÐÚ ÐÐ ÐÐ Ø ØÝ Ø ÚÓ Ø º Å Ñ ÒÒ ØÝ σ max ÓÒ Ó Ø Ô Ù ÚÐ ÐÐ EBº ÈÐ Ø Ó ØÙÑ Ò Ð Ñ Ø Ú Ø Ú Ô Ø E Ò ÑÖ Ø ØØÝ È ÖÖÝÒ¹ÊÓ ÖØ ÓÒ Ò Ú Ø º È Ø B ÓÒ ÔÙÓÐ Ø Ò ÝÖ Ò v = a σ σ E º µ

83 ÄÍÃÍ º Ã ÑÑÓØÓÒ ÒÙÖ Ù σ [N/mm ] σ E = 36. ¼¼ σ m = 5 ¾¼¼ À /i = 8 ½¼¼ ½ ¾ v [mm] a ÃÙÚ º½ ÈÙÖ Ø ØÙÒ Ò Ú Ð ÙÚ Ò ÑÑÓ Ò Ò ÔÐ Ø Ò Ò Ø ÔÙÑ º σ [N/mm ] ¼¼ ÙÐ Ö ¾¼¼ ½ ½¼¼ ¾ i = 8 ¼ ½¼¼ ½ ¼ ¾¼¼ ¾ ¼ i ÃÙÚ º½ È ÖÖÝÒ¹ÊÓ ÖØ ÓÒ Ò Ô Ø E ÑÑÓ Ò ÔÐ Ø Ò Ö Ø ÙÒ Ð Ù ¹ Ô Ø B Ó ÙÙ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ö ÙÚ ÐÐ º v h = ( σm 4 σ σ ) σ m º µ Ð Ù Ô Ø º Î Ð Ø Ò ÙÚ Ò ÔÓ Ð Ù Ò Ñ ØÓ b = h = mm ÑÑÓ ÖÖÓ Ò E = N 5 mm ÑÝ Ø Ö σ N m = 5 mm Ô Ö Ñ ØÖ η = a h i =.3 ( ) 4 Ó ¹ i ÙÚ Ø Ñ Ø ØØÙµº Æ Ð ÔÓ Ð Ù ÐÐ a h = a h h = a (h ) i = η 6 =.5 4 ( ). º µ i Ì ÔÙÑ Ò v ÚÓ Ù a h ÙÐ Ö Ò ÒÙÖ Ù ÒÒ ØÝ σ E ÚÓ Ò Ð Ù Ù Ó ¹ ÙÙ ÐÙÚÙÒ λ = i ÚÙÐÐ º ÃÙÚ Ò º½ ÝÖ ØØ Ð Ù Ô Ø ØØ B Ö Ó ÙÙ ÐÙÚÙÒ

84 º º Ð Ù ÒÒ ØÝ Ø Ò Ú ÙØÙ ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ò σ [N/mm ] σ [N/mm ] 3 5 À σ E = 337 ¼ ¼ ¼ ¼ σ E = 5.6 À ¾¼ ¼º¼ ¼º½ ½¼ v ÑÑ ¼ ½¼ ¾¼ v ÑÑ ÃÙÚ º½ Ì Ö ÙÚ Ò Ø ÔÙÑ Ò ÒÒ ØÝ Ò ÚÐ Ö ÔÔÙÚÙÙ ÙÒ Ó ÙÙ λ = 5 Ø λ = º ÖÚÓ ÐÐ º ÃÝÖ Ó ØØ Ô Ø ØØ E Ó ÙÙ ÐÙÚÙÒ λ ÙÒ Ø ÓÒ Ò È ÖÖÝÒ¹ ÊÓ ÖØ ÓÒ Ò Ú Ø º ÃÙÚ Ø º½ Ò Ò ØØ Ô Ø Ò B E ÚÐ Ò Ò ÖÓ ÓÒ ÙÙ¹ Ö ÑÑ ÐÐ Ò ÙÒ Ó ÙÙ ÐÙ Ù λ ÓÒ ÒÓ Ò 8º ÂÓ Ó ÙÙ Ô Ò Ò ÖÚÓ Ø λ = 8 Ó ÓÒ Ø Ú ÒÓÑ Ò Ò ÖÚÓ ÐÙ ÙÙÒ λ = 5 Ó Ù Ø Ñ Ð Ó Ý Ú Ô Ð Ö Ø ÙÙÖ Ò ÖÚÓÓÒ λ = Ó ÔÙÓÐ Ø Ò Ù Ø ÝÚ Ò Ó Ô Ð Ö Ò Ò Ò ÙÚ Ò º½ ØÙÐÓ Ø Ø ÔÙÑ Ò ÒÒ ØÝ Ò ÚÐ ÐÐ Ö ÔÔÙÚ ÙÙ ÐÐ º º Ð Ù ÒÒ ØÝ Ø Ò Ú ÙØÙ ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ò Ì Ö Ô Ð Ö Ò Ø ¹Ô Ð Ò Ú ÐÑ ØÙ Ñº ÙÙÑ Ú Ð Ù Ø Ø Ù ÝÒØÝÝ Ö ÒØ Ò ÔØ Ò Ò ÐÑÔ Ø Ð º Â ØÝÑ Ò Ð Ò Ô Ð Ö Ò Ð Ù ÒÒ ØÝ Ø Ð ÓÐÐ ÚÓ ÓÐÐ Ñ Ö ØØÚ Ú ÙØÙ Ö ÒØ Ò ØÓ Ñ ÒØ Òº Ñ Ö Á¹ÔÖÓ Ð Ò Ð ÔÔÓ Ò Ö Ø ØÝÚØ ÒÓÔ ÑÑ Ò ÑÙÙØØÙÚ Ø ÑÙÙØ ÔÓ ¹ Ð Ù Ø Ý ÑÑ ÙÒ Ó ÔÓ Ð Ù Ø ÓÒ Ú Ð ÙÙÑ ÔÐ Ø ÑÙÓ Ø¹ Ø Ú Ø Ð º ÄÓÔÙÐØ ÔÖÓ Ð Ò Ó Ò ØÝÝ ÔÝÖ ÙÔ ØÙÑ Ò ÑÙØØ ÑÑ Ò ØÝÒ Ø Ð ÔÔÓ Ò Ö Ø Ú ØÙ Ø Ú Ø ÙÔ ØÙÑ Ø º ÌÑÒ ÙÖ Ù Ò Ð Ô Ò ÙÙÑ Ò Ð ØÓ Ó Ø Ò ÔÝ ÝÚ Ú ØÓ ÒÒ ØÝ Ð ÔÔÓ Ò Ö Ò ÔÙÖ ØÙ ÒÒ ØÝ º ÂÓ ÙÙÑ ÓÒ Ô Ù ÐÝ ÝØ ÚÓ ØÝ Ò Ò Ø Ø ØØ Ò Ò Ú ØÓ ÒÒ ØÝ º ÂÒÒ Ò¹ Ò ØÝ ÙÑ Ò Ù ÔÔÙ ÖÚÓØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ ÑÝ Ø Ö Ò ÓÐÑ ÒÒ Ò ÐÙÓ º º º½ Á¹ÔÓ Ð Ù ÃÙÙÑ Ú Ð Ù Ò ÙØØ Ñ ÒÒ ÒÒ ØÝ ÙÑ ÚÓ Ò Ù Ò ÔÔÖÓ ÑÓ Ô Ö ÓÐ ÐÐ ÙÑ ÐÐ º ÇØ ÙØ Ò ÙÖ Ú ØØ ÔÙÖ ØÙ ÒÒ ØÝ ÔÙÖ ØÙ ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ ÓÚ Ø ÔÓ Ø ¹ Ú º

85 ¼ ÄÍÃÍ º Ã ÑÑÓØÓÒ ÒÙÖ Ù H z σ r ÙÙÑ y σ r Ð Ô Ø B ÃÙÚ º½ Á¹ÔÓ Ð Ù Ò Ð Ù ÒÒ ØÝ ÙÑ º Î ØÓ ÒÒ ØÝ ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò ÃÙÒ ÙÓÖÑ Ú Ò Ò ÒÒ ÒÒ ØÝ ¹ Ø Ð Ù ÒÒ ØÝ ÙÑ Ò σ r Ð ØÒ ÙÓÖÑ Ò ÙØØ Ñ ÒÒ ØÝ σ = º ÃÙÓÖÑ Ò Ú Ð ÔÔÓ Ò Ö Ø ÔÐ Ø Ó ØÙ¹ Ú Ø Ò Òº ÈÐ Ø Ó ØÙÑ Ò Ò Ô Ò ÒØ Ø ÚÙØÙ Ý ÝÝØØ Ò Ø Ò Ð Ò z ÙÙÒÒ ÙÚ º½ º ÂÒÒ ÒÒ ØÝ ÙÑ σ r Ú Ø Ú ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ ÙÑ ÓÒ ε r = σ r E º Å Ö ØÒ ÙÖ Ú ÐÝ Ý ÑÑ Ò ε ÓÒ ε r Ð Ô Ò ÙÙÑ Ò Ð ØÓ ε ÓÒ ε r Ð Ô Ò Ö ε 3 ÓÒ ε r ÙÙÑ Ò ÐÐ H ÓÒ Ð ÔÔÓ Ò Ô ÒÓÔ Ø Ò ÚÐ B ÓÒ Ð Ô Ò Ð Ú Ý T ÓÒ Ð Ô Ò Ô ÙÙ t ÓÒ ÙÙÑ Ò Ô ÙÙ h ÓÒ ÙÙÑ Ò ÔÐ Ø Ò Ó Ò ÓÖ Ù b ÓÒ Ð Ô Ò ÑÑÓ Ò Ó Ò Ð Ú Ý º Ä ÔÔÓ Ò Ð ÙÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ ÙÑ ÓÒ ε r = (ε ε ) ÙÙÑ Ò Ð ÙÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ ÙÑ ÓÒ Ú Ø Ú Ø ε r = ε 3 (ε 3 ε ) ( ) z + ε, º µ B ( ) y. º µ H ÃÓ Ð Ù ÒÒ ØÝ Ø ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÓÑÓ Ò Ò Ø Ô ÒÓ ÓÒ ( = ) ÚØ ÝÐ Ø ÑÝ Ø Ö Ò ÙÓÖÑ Ò ÖÚÓÐÐ ÒÓÐÐ Ø Ô ÒÓ ØÓ σ r d = Eε r d =. º µ

86 º º Ð Ù ÒÒ ØÝ Ø Ò Ú ÙØÙ ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ò ½ T ε m t H z ε 3 h ε r ε y b/ ε b/ ε ε ε r ε m B ÃÙÚ º½ È Ö ÓÐ Ò Ò Ð ÙÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ ÙÑ ÙÒ ÔÙÖ ØÙ ÓØ ÙØ Ò ÔÓ ¹ Ø Ú º ÇØ ÙØØÙ Ò Ð ÙÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ ÙÑ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ØÙÐ ÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ Ò ÐÝÝØØ Ø Ø ÒÝØ Ô Ö ÓÐ Ò ÙÑ Ò Ø Ô Ù Ñº ÓÐÑ Ò Ô Ø Ò Ë ÑÔ ÓÒ Ò Ú ÐÐ εd = BT( 6 ε ε + 6 ε ) + Ht( 6 ε ε ε ), º µ Ó Ø ÙÖ ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ε i ÚÐ ÐÐ Ö ÔÔÙÚ ÙÙ ε 3 = ε BT Ht (ε + ε ). º ¼µ ÃÙÓÖÑ Ø ØØ Ô Ð Ö ÔÙÖ Ø Ú ÐÐ ÚÓ Ñ ÐÐ Ð ÙÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ ÙÑ Ò ε r Ð ¹ ØÒ Ø Ò ÙØÙÒÙØ Ò ÙØØ Ñ ε Ò ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ ÙÑ ε r +εº Ä Ô Ò ÑÑÓ Ò Ó Ò Ð Ú Ý ØÙÐ εm ε ε b = B, º ½µ ε ε Ñ ε m = σ m E ÓÒ ÑÝ Ø Ú ÒÝÑ ÙÙÑ Ò ÔÐ Ø Ò Ó Ò Ô ØÙÙ ÓÒ h = H ε3 + ε ε m ε 3 ε. º ¾µ ÄÝ Ý Ò Ô Ð Ö Ò ÔÙÖ ØÙ Ó ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ ε Ú Ø Ø Ó Ó ÔÓ Ð ¹ Ù º ÃÝØ ØÝÒ Ð ÔÐ Ø Ò Ñ ÐÐ Ò ÑÙ Ø ÒÒ ØÝ ÔÝ ÝÝ ÖÚÓ σ m ÙÒ

87 ¾ ÄÍÃÍ º Ã ÑÑÓØÓÒ ÒÙÖ Ù σ = σ T B b t D z h H ε y ÃÙÚ º¾¼ Á¹ÔÓ Ð Ù Ò ÔÐ Ø Ó ØÙÑ Ò Òº ÔÙÖ ØÙ ÔÙÓÐ ÐÐ ÓÒ ÚÙØ ØØÙ ÑÝ Ø Ö º ÃÙÓÖÑ Ò Ö Ñ ÒØØ ÓÒ ØÐÐ Ò d = dσ = e Edε, º µ Ð Ñ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ dσ dε = e E a ee, a e = e, º µ º µ e ÓÒ ÔÓ Ð Ù Ò ÑÑÓ Ò ÐÝÒ Ò ÐÙ Ò Ô ÒØ ¹ Ð dσ ÓÒ ÑÖ Ò Ò ÒÒ ØÝ Ò ÑÙÙØÓ º Ñ Ö Ò Ø Ô Ù Ò a e = e bt + (H h)t =. º µ BT + Ht Ã Ú º µ ÓÒ ÚÓ Ñ Ó ÙÙÑ ØØ Ð ÔÓ ÓÒ Ð ÒÙØ ÔÐ Ø Ò Ò ÑÝ Ø º Ã Ö Ø Ô Ù Ø ÓÚ Ø ½º ÂÓ Ð Ô Ø ÓÚ Ø ÑÑÓ ÐÐ ÐÙ ÐÐ Ò Ò Ø Ø Ò b = Bº ¾º ÂÓ ÙÙÑ ÓÒ Ó ÓÒ Ò ÑÑÓ Ò Ò Ò Ò Ø Ø Ò h = º Ì Ô ÒÓ ÓÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÔÙÖ Ø Ú ÚÓ Ñ ÓÒ = σ(bt + Ht) = E(BT + Ht)ε 3 ET [B(3ε + ε + ε 3ε m ) b(ε + ε ε m )] 3 Eth(ε 3 + ε ε m ). º µ

88 º º Ð Ù ÒÒ ØÝ Ø Ò Ú ÙØÙ ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ò Ñ Ö º ÌÙØ Ø Ò Ð Ù ÒÒ ØÝ Ò Ú ÙØÙ Ø ÔÓ Ð Ù Ò WF8 3 Ø ¹ Ô Ù º Å Ö ÒØ WF8 3 Ø Ö Ó ØØ Ð Ú Ð ÔÔ Ø ÔÓ Ð Ù Ø ÓÒ Ð Ô Ò Ð Ú Ý ÓÒ B = 3. mm 8 in ØÙÙÑ µµ Ô ÒÓ g = 3 lbm Ô ÙÒ» Ð µº ÈÓ Ð Ù Ò ft Ñ Ø Ø ÓÚ Ø B = 3. mm D = B ÓÖ Ù µ H = 9. mm T =. mm t = 7.3 mmº Ì Ö Ò ÑÝ Ø Ö ÑÑÓ ÖÖÓ Ò ÑÝ Ø Ú ÒÝÑ ÓÚ Ø σ m = 5 N N E =.5 5 mm mm ε m =.95º ÈÓ Ð Ù Ò Ô Ø Ò ÒÒ ÒÒ ØÝ ÓØ ÙØ Ò σ = 4 N mm σ = 9 N mm º Ð ÙÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ø ε r = σ r Ô Ø ÓÚ Ø E ε =.95 ε =.439º Ð Ù ÒÒ ØÝ Ø Ò Ø Ô ÒÓ Ó Ø σ r d = ÙÖ ε 3 =.985. º µ Ä Ô Ø ÔÐ Ø Ó ØÙÚ Ø ÙÒ ε = ε m ε =.78º ÍÙÑ ÔÐ Ø Ó ØÙÙ ÙÒ ε = ε m ε 3 =.º ÃÙÓÖÑ Ò ÙØØ Ñ ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ø ε Ú Ø Ú Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø h b a e ÒÒ ØÝ σ ÑÖ Ø ØÒ ÐÐ Ø ØØÝ Ò ÚÓ Ò ÚÙÐÐ º Ì Ó Ø ÚÙ¹ ØÙ Ý ÝÝ Ð Ò z Ù Ø Ò Ð Ø Ò Ú ÐÐ I e z I z = b B + α 3 [ + α 3 ( ) ] 3 h H, º µ Ñ α = Ht BT. Ì Ó Ø ÚÙØÙ Ý ÝÝ Ð Ò y Ù Ø Ò ÓÒ º ¼µ Iy e ( ) 3 b =. º ½µ I y B Ð Ù ÒÒ ØÝ Ò ÙÓÑ ÓÓÒÓØØ Ú ÒÙÖ Ù ÒÒ ØÝ Ò Ú ØÙÐ Ø σ kr = π EI I e I, σ kr = π E I e ( ) I, i º ¾µ º µ

89 ÄÍÃÍ º Ã ÑÑÓØÓÒ ÒÙÖ Ù ¼¼ ¾ ¼ ÙÙÑ ÔÐ Ø Ó ØÙÙ σ ¾¼¼ ½ ¼ Ð ÔÔ ÔÐ Ø Ó ØÙÙ ½¼¼ ¼ ε a ε b ¼ ¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼½ ε ¼º¼¼½ ¼º¼¼¾ ÃÙÚ º¾½ Ð Ù ÒÒ ØÝ Ò Ú ÙØÙ (σ,ε)¹ ÝÖÒº ε a Ú ØØ Ô Ö ÓÐ Ò ε b Ô ÐÓ ØØ Ò Ð Ò Ö Ò Ð ÙÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ ¹ Ø Ð Ù ÒÒ ØÝ ÙÑ Òº Ó I e ÓÒ Ø Ó Ø ÚÙØÙ Ý ÝÝ Ð Ò z Ø y Ù Ø Òº ÃÙÚ º¾½ º¾¾ ÓÒ Ø ØØÝ ØÝ ÐÐ Ú Ú ÐÐ Ô Ö ÓÐ Ø ÙÑ ε r Ú Ø Ú Ø (σ, ε)¹ (a e, ε)¹ö ÔÔÙÚ ÙÙ Ø Ø ÓÚ Ú ÐÐ Ñ Ø Ö ÔÔÙÚ ÙÙ Ø ÙÚ Ò º¾ Ý ¹ Ò ÖØ Ø ØÙÐÐ Ð ÙÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ ÙÑ ÐÐ ε r ÑÖ Ø ØØÝ Òº ÃÙÚ Ò º¾ Ð Ù Ò¹ Ò Ý ÙÑ Ò σ r = Eε r Ø Ô Ù ÓÒ ÓØ ÙØØÙ ØØ σ = 9 N Ó Ø ÙÖ mm ØØ σ = 55.9 N Ó Ð Ù ÒÒ ØÝ ÙÑ ØÓØ ÙØØ ÓÑÓ Ò Ò Ø Ô ÒÓ¹ mm Ý ØÐ Òº Î Ø Ú Ø Ð ÙÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ ÙÑ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÓÚ Ø ε =.6979 ε =.4394 ÙÒ ÔÙÖ ØÙ ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ ÒÒ ØÝ µ ÓÒ ÒÝØ ÔÓ Ø Ú Ò Òº

90 º º Ð Ù ÒÒ ØÝ Ø Ò Ú ÙØÙ ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ò ½º ½º¾ e/ ½ ¼º ¼º Ð ÔÔ ÔÐ Ø Ó ØÙÙ ÙÙÑ ÔÐ Ø Ó ØÙÙ ¼º ε a ε b ÃÙÚ º¾¾ ¼º¾ ¼ ¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼½ ¼º¼¼½ ε ( ) e Ð Ù ÒÒ ØÝ Ò Ú ÙØÙ,ε ¹Ö ÔÔÙÚ ÙÙØ Òº ¼º¼¼¾ ÙÙÑ Ò ε r ε ε Ð Ô Ò ε r ε ÃÙÚ º¾ Ò ÖØ Ø ØØÙ Ð ÙÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ ÙÑ ÔÙÖ ØÙ ÔÓ Ø Ú Ø º

91 ÄÍÃÍ º Ã ÑÑÓØÓÒ ÒÙÖ Ù

92 ÄÙ Ù Ã ÑÑÓ Ø ØÙ ØØÙ ÙÚ Ë ÙÚ Ò ØÙ Ò ÚÓ Ð Ó ØÝ Ò Ý Ø Ò Ú Ð ÐÐ Ø Ö ÙÙ Ò Ð Ö ÑØØº Ö ØÝÝÔÔ ÐÐ Ð ØÓ ÐÐ Ø Ð ØÓ ÖÙÙÚ Ð ØÓ Ò ºµ ÓÒ Ö Ð Ø Ý ÝÝ ÓÑ ¹ Ò ÙÙ Øº Ë ÙÚ ÓÒ Ù ÑÑ Ø Ò Ó ÙÙÖ ÑÔ Ó ÓÒ ÙÙØØ º Ë ÙÚÓ Ò Ð ØÓ Ø Ò Ý ¹ ÝÝ ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ú ÙØØ Ú Ø Ó Ó Ö ÒØ Ò Ñº ÙÚÓ Ø ÓÓØÙÒ Ò ØÓ Ñ ÒØ Ò ÙÓÖÑ Ò Ð Ò º Ã Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ò Ð Ñ Ø Ø ÐÐÒ ÑÝ ÑÑ Òº ÂÓ Ù ÔÙÖ Ø ØÙÒ ÙÚ Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ò ÑÖ ØØÑ ÝÑÔÖ Ú Ö ÒÒ ÚÓ Ò ÓØØ ÙÓÑ ÓÓÒ Ö ØØÚÐÐ Ø Ö ÙÙ ÐÐ ÙÚ Ñ ÐÐ ÓÙ ÐÐ º ÃÙÚ Ò º½ ÔÙÖ Ø ØÙÒ ÙÚ Ò Ô Ò ÖØÝÑ Ø Ú ØÙ Ø ÔÝ ØÝ ÙÚÓ Ò Ô Ð Ö Òµ Ø ÚÙØÙ Ý ÝÝ Ó ÚÓ Ò Ö ÒÒ Ñ ÐÐ ÙÚ Ø ÖÖ ÓÙ ÐÐ º Ë ÙÚ Ò Ø ÚÙØÙ ÑÓÑ ÒØØ Ø ÝÝ ÐÐ x Ú ÑÑ ÐØ ØÙ ÐØ ÓÒ M(x) = v(x) βϕ(), ØÓ ÐØ ÑÑÓ Ò ÙÚ Ò Ø ÚÙØÙ ÑÓÑ ÒØØ ÓÒ M(x) = EIv (x), ÓØ Ò Ø Ô ÒÓ Ó Ø ÙÖ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ v (x) + k v(x) = β EI ϕ(), º½µ º¾µ º µ Ñ ÓÒ ÐÐ Ò Ñ Ö ØØÝ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò º µö Ø Ù ÓÒ Ë ÙÚ Ò Ö ÙÒ ÓØ ÓÚ Ø Ó Ø ÙÖ Ý ØÐ ÖÝ Ñ k = EI. v(x) = sin kx + B cos kx + β ϕ(). º µ º µ v() = v() =, v () = ϕ(), º µ B + β ϕ() =, sin k + B cos k + β ϕ() =, º µ k ϕ() =.

93 ÄÍÃÍ º Ã ÑÑÓ Ø ØÙ ØØÙ ÙÚ β β βϕ() M(x) ÃÙÚ º½ È Ð Ö Ò ØÙ Ñ ÙÚ º ØØ Ñ ÐÐ ÓÑÓ Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ º µ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÒÓÐÐ Ò Ó ¹ØÖ Ú Ð Ò Ö Ø ÙÒ ÓÐ Ñ ÓÐÓÐÐ Ð Ñ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ k β EI = ( ), º µ k tan πr β K = ( πr ), º µ tan K = EI, r = º½¼µ E E ÓÒ ÙÐ Ö Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ò Ú Ð ÐÐ Ø ØÙ ØÙÐÐ ÙÚ ÐÐ º ÃÙÚ Ò º¾ ÝÖ ØØ ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ò E Ö ÔÔÙÚÙÙ Ò Ý ÝÝ Ò Ù Ø Ø β K º Ð Ò Ö Ø ÙÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò Ö Ó Ø Ô Ù Ø ½º ÃÙÒ β K, E 4º ¾º ÃÙÒ β K, E º º ÃÙÒ β K, E º

94 º½º ÂÓÙ ÐÐ ØÙ ØØÙ ÙÚ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¾¼ ½¼ β/k ¼ ¹½¼ ¹ ½ ¾ E ¹ ¹½¼ ÃÙÚ º¾ ÆÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ò Ö ÔÔÙÚÙÙ ØÙ ÒÒ Ò Ý ÝÝ Øº º ÃÙÒ β K <, E < º º½ ÂÓÙ ÐÐ ØÙ ØØÙ ÙÚ ÌÙØ Ø Ò ÙÚ Ò º ÓÙ ÐÐ ØÙ ØØÙ ÙÚ º Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò v (4) + k v = º½½µ Ö ÙÒ ÓØ ÓÚ Ø (EIv () + v ()) = ᾱ v(), º½¾ µ EIv () = β v (), º½¾ µ (EIv () + v ()) = ᾱ v(), º½¾µ EIv () = β v (). º½¾ µ Å Ö ØÒ ÙÖ Ú Ý Ò ÖØ ÑÑ Ò α = ᾱ EI, β = β EI. ÌÐÐ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ö ÙÒ ÓØ Ö Ó Ø Ø Ò ÑÙÓØÓÓÒ v (4) (x) + k v (x) =, º½ µ º½ µ

95 ¼ ÄÍÃÍ º Ã ÑÑÓ Ø ØÙ ØØÙ ÙÚ β β ᾱ ᾱ v N = Q R = ᾱ v() R Q + v = Q = EIv β ϕ() M() M + β ϕ() = M = EIv ÃÙÚ º ÂÓÙ ÐÐ ØÙ ØØÙ ÙÚ º v () + k v () + α v() =, v () β v () =, v () + k v () α v() =, v () + β v () =. º½ µ º½ µ º½ µ º½ µ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò º½ µ Ö Ø Ù ÓÒ v(x) = sin kx + B cos kx + Cx + D, º½ µ Ò Ø ÖÚ ØØ Ú Ø Ö Ú Ø Ø ÓÚ Ø v (x) = k cos kx Bk sin kx + C, v (x) = k sin kx Bk cos kx, v (x) = k 3 cos kx + Bk 3 sin kx. º½ µ º½ µ º½ µ Ê ÙÒ ØÓ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ α k α β k k β α sin k α cos k α k α kβ cos k k sin k (β k sink + k cos k) β Ã ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ B C D = { (α + α )k 6 + [β β (α + α ) + α α ]k 4 + α α (β + β β β )k }sin k. º¾¼µ [(α + α )(β + β )k 5 α α (β + β )k 3 α α β β k]cos k + α α β β k, º¾½µ Ñ k = EI º

96 º½º ÂÓÙ ÐÐ ØÙ ØØÙ ÙÚ ½ Ö Ó Ø Ô Ù ½º Î Ô Ø ØÙ ØØÙ ÙÚ Ò Ö Ó Ø Ô Ù Ò ÒØ Ñ ÐÐ ÓÙ Ú Ó ÐÐ ÖÚÓØ α = α =, β = β =. º¾¾µ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÒÓÐÐ Ó Ø ÙÖ k 4 sin k =, º¾ µ Ó ØÓØ ÙØÙÙ ÙÒ k = π ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ ÓÒ kr = π EI º ¾º ÂÝ Ø ÒÒ Ø ØÝÒ ÙÚ Ò Ø Ô Ù Ø Ø Ò α = α = β = β = º Â ¹ Ñ ÐÐ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ú Ø ÐÐ α α β β Ò ØÓ Ö ØØ ÐÐ ÙÓÖÑ ÐÐ ÑÙÓØÓÓÒ k sin k k cos k + k =, º¾ µ Ø k sin k ( cos k) =, º¾ µ Ó ÑÙÙÒÒ Ø Ò Ò Ò ÑÙÓØÓÓÒ ÐÓÔÙ ÑÙÓØÓÓÒ k sin k cos k sin k = º¾ µ ( k cos k sin k ) sin k =. º¾ µ È Ò Ò ÙÙÖ k = π Ò Ó Ø sin k = ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ ÓÒ kr = 4π EI º º ÂÓ ÙÚ Ò Ú ÑÑ Ô ÓÒ Ò Ú ÐØÙ Ó Ô ÖÖ ÓÙ Ò Ò ÓÙ ¹ Ú ÓØ ÓÚ Ø α = α = β = β = 4EI = 8EI Ð β = 8 º Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÒÓÐÐ Ó Ø ÙÖ Ý ØÐ (k 4 + β k )sin k + ( β k 3 )cos k =, º¾ µ Ð tan k = 8k (k) + 8, º¾ µ ÓÒ Ö Ø Ù ÓÒ k 4.66 Ö ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ ÓÒ kr.675 π EI =.675 E º º Ë ÙÚ Ò Ó Ò ÔÒ ØÖ Ò Ð Ø Ó ÓÙ ØÙ ÒØ Ú Ø Ú Ø ÓÙ Ú ÓØ ÓÚ Ø α = β = β = º Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÒÓÐÐ Ó Ø ÙÖ ÒÝØ k 4 ( k + α )sin k =, º ¼µ

97 ¾ ÄÍÃÍ º Ã ÑÑÓ Ø ØÙ ØØÙ ÙÚ ÃÙÚ º Ã ÖÖ ÓÙ ¹ ØÖ Ò Ð Ø Ó ÓÙ ØÙ º Ó Ø Ò Ö ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ kr = ᾱ Ø kr = π EI = E º ÂÓ ᾱ ÓÒ Ô Ò Ò Ò kr = ᾱ < E º ÃÙÒ ᾱ Ú Ò Ò Ö ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ kr Ú º ÂÓÙ Ú ÓÒ ÖÚÓÒ ᾱ = π EI 3 Ö ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ ÓÒ kr = ᾱ = E º ÂÓ ᾱ > π EI 3 Ò Ò kr = E º ÂÓÙ Ú ÓÒ ÖÚÓ ᾱ = π EI 3 ÓÒ ÓÙ Ò Ö ØØ Ò Ò Ý ÝÝ º ÃÖ ØØ Ø ÖÚÓ ÙÙÖ ÑÑ Ø ÓÙ Ú ÓÒ ÖÚÓØ ÚØ Ò Ú ÙØ Ö ØØ Ò ÙÓÖÑ Ò ÖÚÓÓÒº Ñ Ö º½ ÅÖ Ø ØÒ ÒØ Ò ÐØ ØÙ ØÙÒ ÙÚ Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ º ÂÓ Ø ÔÙÑ ÙÒ Ø Ó v(x) ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ò Ò ØÙ ÚÓ Ñ Ø ÙÚ Ò Ô ÓÚ Ø Q = αδ, º ½µ Ñ δ = v( )º Ì ÚÙØÙ ÑÓÑ ÒØØ Ó x Ú ÑÑ ÐØ ØÙ ÐØ ÓÒ Ð M(x) = v(x) Q x = EIv (x), EIv (x) + v(x) = Q x. º ¾µ º µ Ë ÙÚ Ò ( ) Ö ÙÒ ØÓ ÓÒ v() = Ð ÒØ Ò ÐÐ ØÓØ ÙØÙÚ Ø ÓØ v ( ) = v = δº Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù Ò v(x) = Q x k sin kx cos k, º µ Ð v(x) = αδ x k sin kx cos k, º µ

98 º¾º Ã ÑÑÓ ÐÐ ÐÙ Ø ÐÐ ÓÐ Ú Ô Ð α Q δ R = αδ Q ÃÙÚ º ÂÓÙ ÐÐ ØÙ ØØÙ ÙÚ º Ñ ÓÒ ÓØ ØØÙ ÙÓÑ ÓÓÒ ØØ Q = R = αδ º Ë ÙÚ Ò ÐÐ Ø ÔÙÑ ÓÒ ( ) v = δ = αδ ( k k tan k ), º µ Ó Ø ÙÖ Ý ØÐ Ð 6EI α 3 = α 4 tan k k, ( ) k tan k = + k º µ. º µ ØÐ Ø ÚÓ Ò ÑÖ ØØ ÒÒ ØØÙ ÓÙ Ú ÓØ α Ú Ø Ú Ö ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ kr º Ã Ö Ø Ô Ù Ø ÓÚ Ø ÃÙÒ α k π kr π EI º ÃÙÒ α k 4.49 kr.9 4EI º ÂÓ ÓÙ Ú Ó α ÓÒ ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò 6π EI Ò Ò ÒÙÖ Ù ÑÙÓØÓ ÓÒ ÒØ ÝÑÑ ØÖ Ò Òº 3 ÌÐÐ Ò k = π kr = 4 π EI º ÂÓ ÓÙ ÓÒ Ø ÝÝ ÐÐ l Ú ÑÑ Ø ØÙ Ø l = l Ò Ò Ö Ø Ù Ö ØØ ÐÐ ÙÓÖÑ ÐÐ Ò Ý ØÐ Ø sinkl sin kl k sin k + l l α =. º µ º¾ Ã ÑÑÓ ÐÐ ÐÙ Ø ÐÐ ÓÐ Ú Ô Ð Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÖ Ú ÙÚ Ó ÓÒ ØÙ ØØÙ Ø ÙÚ ÐÐ ÑÑÓ ÐÐ ÚÐ Ò ÐÐ º Ë Ù¹ Ú Ò Ø ÔÙ ÒÙÖ Ø µ ÝÒØÝÝ ØÙ Ô Ò q(x) = cv(x), º ¼µ

99 ÄÍÃÍ º Ã ÑÑÓ Ø ØÙ ØØÙ ÙÚ f ( ) k tan k k π/ π 3π/ º ¾ ( ) k kr ( ) k Ú Ø ÐÙÚÐ kr k [ k 6EI ( ) ] 3 k α 3 ÖÐÐ α Ò ÖÚÓÐÐ ÃÙÚ º ÃÙÚ º ÂÓÙ ÐÐ ØÙ ØÙÒ ÙÚ Ò Ö Ø Ùº EI c Ã ÑÑÓ ÐÐ ÐÙ Ø ÐÐ ÓÐ Ú ÔÙÖ Ø ØØÙ ÙÚ º Ñ c ÓÒ ÐÙ Ø ÐÙ Ù v(x) ÓÒ ÙÚ Ò Ø ÔÙÑ º ÌÐÐ Ø Ú ÐÐ ÝØØÝØÝÚ ÑÑÓ Ò Ò ÐÙ Ø Ò º Ï Ò Ð Ö Ò ÐÙ Ø Ú Ø Ö ØØ ÑÒ Ø Ò ÒÒ ØØÙ ÓÙ ÓØ ØÓ Ñ Ú Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØ Ú ØØÝ Ò ØØ ÔÙÖ Ø ØØÙ Ò ÙÚ ÖØÓ ÐÙ Ø Ø µº Ë ÙÚ Ò Ø ÔÙÑ ÙÓÖ Ò Ô ÖÙ Ø Ð Ò Ù Ø Ò ÓÒ v(x)º ÌÙØ Ø Ò ÙÚ Ò Ø Ð ÙØØ ÑÙÓ¹ Ó Ø Ñ ÐÐ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ò Ò Ú Ö Ø Ó δ Π = {EI[v (x)] + cv(x) [v (x)] }dx, º ½µ Ñ ÑÑ Ò Ø ØØÝÝÒ ÙÚ Ò ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ð Ù Ò ÓÒ ÙÙØ Ò Ø ÖÑ Ò ØÙÐÐÙØ ÑÙ Ò ÐÙ Ø Ò Ó ÙÙ º Å Ò ÑÓ Ò ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ð Ù º Ä ØÒ Ø ÔÙÑ Ò Ú Ö Ø Ó εˆv ÓÐÐÓ Ò v(x) v(x) + εˆv, º ¾µ Ñ ε ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ v(x) ÓÒ Ñ Ò Ñ Ú Ø Ú Ø ÔÙÑ º ÁÒØ ÖÓ ÒÒ Ò Ð Ò ØÓ Ò Ò Ú Ö Ø Ó Ö ÔÔÙÙ Ú Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ø ε Ñ Ò ÑÓ ÒØ ÚÓ Ò

100 º¾º Ã ÑÑÓ ÐÐ ÐÙ Ø ÐÐ ÓÐ Ú Ô Ð Ø ÒÝØ Ö ÚÓ Ñ ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ε Ù Ø Òº Î Ø Ò ØØ ½ Ó Ø ÙÖ Ì ÑÐÐ Ó ØØ ÒØ ÖÓ ÒØ ¾ ØÙÐ EIv ˆv (EIv + v )ˆv + [ ] d dε (δ Π) =, º µ ε= (EIv ˆv + cvˆv v ˆv )dx =. (EIv (4) + v + cv)ˆv dx =. º µ º µ ÃÓ εˆv ÓÒ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò Ú Ö Ø Ó ÔØ ÐÐÒ ØØ Ó ØÙ Ø ÖÑ Ò Ú Ñ Ò Ø Ö¹ Ñ Ò ÒØ Ö Ò Ò ØÝØÝÝ Ú Ø Ú Ö Ø ÓÐ ÒÒ Ò Ô ÖÙ Ð Ù µº ØØ Ñ ÐÐ ÒØ Ö Ð Ø Ö¹ Ñ Ò ÒØ Ö Ò ÒÓÐÐ Ò Ø Ô ÒÓ ØÓ EIv (4) + v + cv =, º µ Ó ÓÒ Ñ ÐÐ ÐÐ Ø ÐÐÝÒ Ú Ö Ø ÓØ ØÚÒ Ò º ÙÐ Ö Ò Ý ØÐ º Ë Ó ØÙ Ø ÖÑ Ò ÚÙÐ¹ Ð ÔØ ÐÐÒ ÙÚ Ò Ö ÙÒ ÓØ ÓØØ Ñ ÐÐ ÙÓÑ ÓÓÒ ØØ ÑÓÑ ÒØØ M = EIv Ð ¹ Ù ÚÓ Ñ Q = EIv º Ê ÙÒ ØÓ ÓÒ Ø ØÝÝÔÔ ½º Ã Ò Ñ ØØ Ø Ö ÙÒ ÓØ Ö ÙÒ Ô Ø x = x = µ ¾º ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ö ÙÒ ÓØ ÙÒ x = x = º v =, º µ v =. º µ Q v = v (3) + k v =, º µ M = v =, º ¼µ Ì ÔÙÑ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ ÚÓ Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ó Ø ÙØ Ò ÑÑ Ò ÓÒ Ó Ø ØÝ ØÙØ Ñ ÐÐ ÙÚ Ò Ð ÓÒ x Ø Ô ÒÓ ÓØØ Ñ ÐÐ ÒÝØ ÙÓÑ ÓÓÒ ÑÝ ÐÙ Ø Ô Ò Ò q = cv Ó ÙÙ º Î Ô Ø ØÙ ØÙÒ Ô Ð Ò Ö ÙÒ ÓØ ÓÚ Ø v() = v () =, v() = v () =. «df ½ F Ò Ú Ö Ø Ó ÓÒ δf = ε º dε ε= R ¾ uv dx = R uv u v dxº º ½µ º ¾µ

101 ÄÍÃÍ º Ã ÑÑÓ Ø ØÙ ØØÙ ÙÚ Ì ÔÙÑ ÙÒ Ø Ó v = sin nπx Ñ ÓÒ Ú Ó ÖÖÓ Ò n ÓÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÔÙÓÐ ÐØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ ØÓØ ÙØØ ÙÚ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ú Ô Ø ØÙ ØÙÒ ÙÚ Ò Ö ÙÒ ÓØº Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø ÔÙÑ Ò Ð Ù Ø ÔÙÑ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò ØÙÐ [ ( nπ ) ( nπ ) ] 4 c + EI sin nπx =. º µ ¹ØÖ Ú Ð Ö Ø Ù ÓÒ ÓÐ Ñ Ó ( nπ ) ( = EI + c nπ) [ ( π ) = EI n + ( ) ] c 4 n. EI π º µ È Ò Ò Ò ÖÚÓ Ö ÔÔÙÙ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÔÙÓÐ ÐØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ Ø nº Å Ö ØÒ β = ( ) 4 c π EI, º µ Ò ØÙÐÓ Ø ÃÙÒ < β < Ò Ò n = º ÃÙÒ < β < 6 Ò Ò n = º ÃÙÒ 6 < β < Ò Ò n = 3º ( π ) Å Ö Ø ÑÐÐ E EI ØÙÐ ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ò ÑÖ ØØÚ Ý ØÐ ÑÙÓØÓÓÒ n E = n + β n. º µ ÇØØ Ñ ÐÐ Ó ÓÒ ÐÙ Ù n Ø ÙÚ ÑÙÙØØÙ Ñ Ò ÑÓ Ñ ÐÐ ÙÓÖÑ n ÐÙÚÙÒ n Ù Ø Ò Ò d n dn =, n = β, º µ kr = E β = cei. º µ º¾º½ Ð Ò Ò Ø Ô Ù Ã ÑÑÓ ÐÐ ÐÙ Ø ÐÐ ÓÐ Ú Ò ÙÚ Ò Ø ÔÙÑ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ó ØØ Ò ÐÐ Ð EIv (4) + v + cv =, v (4) + k v + c EI v =, º µ º ¼µ Ñ ÓÒ ÐÐ Ò Ñ Ö ØØÝ k = EI º Ë ÙÚ Ò Ö ÙÒ ØÓ ÚÓ ÓÐÐ Ó Ò ÙÖ Ú Ø

102 º¾º Ã ÑÑÓ ÐÐ ÐÙ Ø ÐÐ ÓÐ Ú Ô Ð p = n / E ½ ½ ½¾ ½¼ ¾ p = + β p = β p = 4 + β 4 p 3 = 9 + β 9 Ø ØØ Ø Ó β = [k(k + )] ½¾ ½ ¾¼ ¾ ¾ ¾ ¼ ¾ β = c EI ( ) 4 π ÃÙÚ º Ã ÑÑÓ ÐÐ ÐÙ Ø ÐÐ ÓÐ Ú Ò ÙÚ Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ º ½º Ã Ò Ñ ØØ Ø Ö ÙÒ ÓØ v =, º ½µ v =. º ¾µ ¾º ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ö ÙÒ ÓØ Q v = v (3) + k v =, º µ M = v =. º µ Ì ÔÙÑ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ö Ó Ø Ø Ò ÑÙÓØÓÓÒ v (4) + a v + b 4 v =, º µ Ñ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ a = k = EI ja b4 = c EI. º µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ö Ø Ø Ú Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò ÝÖ Ø v(x) = e rx Ò Ö Ø Ö ¹ Ø Ò Ò Ý ØÐ r 4 + a r + b 4 =, º µ ÓÒ Ö Ø Ù ÓÒ r = a ± a 4 b 4. º µ Ö Ñ Ò ÒØ Ò a 4 b 4 Ñ Ö Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò ÓÐÑ Ø Ô Ù Ø ½º ÂÓ a 4 b 4 > Ò Ò ÙÙÖ Ø ÓÚ Ø r i = ±i a a 4 b 4, i =,...,4, º µ

103 ÄÍÃÍ º Ã ÑÑÓ Ø ØÙ ØØÙ ÙÚ cei n = ¾ n = n = 3 ¼ ¼ ¾ ½¼ ½¾ β ÃÙÚ º ÆÓÖÑ Ö ØØÙ ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ º Ñ i = º Å Ö Ø ÑÐÐ p q } = a a 4 b 4 º ¼µ Ò ÙÙÖ ÐÐ ØÝ ÑÙÓØÓ r = ip, r = ip, r 3 = iq, r 4 = iq, º ½µ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù ÚÓ Ò ÑÙÙÒØ ÑÙÓØÓÓÒ v(x) = C cos px + C sin px + C 3 cos qx + C 4 sinqx. º ¾µ ¾º ÂÓ a 4 b 4 = Ò Ò ÙÙÖ Ø ÓÚ Ø r = ib, r = ib, r 3 = ib, r 4 = ib, º µ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù ÓÒ v(x) = (C x + C )cos bx + (C 3 x + C 4 )sin bx. º µ º ÂÓ a 4 b 4 < Ò Ò Ò r = a ± i b 4 a 4, º µ ÙÙÖ Ø ÓÚ Ø ÅÖ Ø ÐÐÒ Ø Ø Ô Ù r i = ±i a i b 4 a 4, i =,...,4. º µ p q } b ± a =, º µ

104 º¾º Ã ÑÑÓ ÐÐ ÐÙ Ø ÐÐ ÓÐ Ú Ô Ð EI c ÃÙÚ º½¼ Ã ÑÑÓ ÐÐ ÐÙ Ø ÐÐ ÓÐ Ú Ý Ø ØÙ ØØÙ ÙÚ º r = (q + ip) µ Ò ÙÙÖ ÐÐ ØÝ ÑÙÓØÓ r i = ±q ± ip. º µ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù ÚÓ Ò ÒÝØ Ö Ó ØØ ÑÙÓØÓÓÒ v(x) = e r x + e r x + 3 e r 3x + 4 e r 4x º µ Ø v(x) = C cos pxcosh qx + C sinpxcosh qx + C 3 cos pxsinhqx + C 4 sinpxsinhqx. º ¼µ Ñ Ö º¾ ÅÖ Ø ØÒ Ý Ø ØÙ ØÙÒ ÙÚ Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ø Ô Ù Ø a 4 b 4 > Ø Ô Ù µº ÌÐÐ Ò Ñ Ö ØØ Ò p q } = a a 4 b 4, º ½µ Ö Ø Ù ÓÒ Ø Ø Ô Ù v(x) = C cospx + C sin px + C 3 cosqx + C 4 sin qx. º ¾µ ÂÝ Ø ØÙ ØÙÒ ÙÚ Ò Ö ÙÒ ÓØ ÓÚ Ø v( ) = v() =, v ( ) = v( ) =, º µ º µ ÙÚ ÓÒ ÚÐ ÐÐ [, ]µº Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ö Ø Ù Ö ÙÒ ØÓÝ ØÐ Ò Ò ÐÐ Ò ÓÑÓ Ò Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ C cosp ± C sin p + C 3 cosq ± C 4 sin q =, º µ C p sin p + C p cosp C 3 q sinq + C 4 q cosq =, º µ Ò Ð Ý ØÐ µº ËÝÑÑ ØÖ Ò ÒÙÖ Ù ÑÙÓ ÓÒ Ø Ô Ù C, C 3, C = C 4 = Ö ÙÒ ØÓÖÝ Ñ Ø ÙÖ ØÐÐ Ò C cosp + C cosq =, C p sinp + C 3 q sinq =. º µ º µ ØØ Ñ ÐÐ ÖÝ ÑÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÒÓÐÐ ØÙÐ q sin q cosp = p sin p cosq, º µ

105 ½¼¼ ÄÍÃÍ º Ã ÑÑÓ Ø ØÙ ØØÙ ÙÚ Ø p tanp = q tanq, ÓÒ Ö Ø ÙÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò ÑÖ Ø ØØÝ Ö ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ kr º º µ ÒØ ÝÑÑ ØÖ Ò ÒÙÖ Ù ÑÙÓ ÓÒ Ø Ô Ù C = C 3 =, C, C 4 ØÐÐ Ò ÙÖ Ý ØÐ ÖÝ Ñ C sin p + C sinq =, C p cos+ + C 3 q cosq =. º ¼ µ º ¼ µ ØØ Ñ ÐÐ ÐÐ Ò ÖÝ ÑÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÒÓÐÐ ØÙÐ p cotp = q cotq, º ½µ Ó Ø ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ ÙÙÖ Ò b ÙÒ Ø ÓÒ kr = f(b), º ¾µ Ñ ÓÒ ÒÓÖÑ Ö ØØÙ Ò Ú Ð ÙÚ Ò ØÙÐÓ Ò kr = cei Ù Ø Òº Ì Ô Ù 3 Ð a 4 b 4 < a 4 b 4 = ÒÒÝ ÙÖ Ø ÓØ Ö Ó ØÙ ¹ Ø ØÚµº Ñ Ö º Ä Ø Ò Ô ÐÙÒ Ö ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ ÙÒ ÚÐ Ò ÙÚ Ø Ò Ï Ò Ð Ö Ò ÑÑÓ ÐÐ ÐÙ Ø ÐÐ º Ê ÙÒ ÓØ ÓÚ Ø Ø Ø Ô Ù v() = v () = º µ Ã Ø Ð ÑÑ Ø Ö ÙÒ Ó Ø ÙÖ M() =, Q() v () =. º µ v () =, v () + a v () =. º µ Ã Ø ÐÐÒ Ø Ô Ù Ø 3º Å Ö ØÒ cei Ó ÓÒ Ö ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ ÙÙÖ ÐÐ ÐÙ Ø ÐÙÚÙÒ c ÖÚÓ ÐÐ Ø ÝÚ Ò Ô Ø ÐÐ Ú Ô Ø ØÙ ØÙÐÐ Ô Ð ÐÐ kr = π EI º kr Ì Ô Ù 3 a 4 b 4 < Ð kr < Ñ Ö ØÒ } p b ± a = = b ± kr, q º µ Ö Ø Ù ÓÒ v(x) = C cospxcoshqx+c sin pxcoshqx+c 3 cospxsinhqx+c 4 sin pxsinhqx. º µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø ÔÙÑ Ò v(x) Ð Ù Ø Ò Ò ÑÑ Ò Ö ÙÒ ØÓÓÒ ØÙÐ C =, º µ pc + qc 3 =. º µ

106 º¾º Ã ÑÑÓ ÐÐ ÐÙ Ø ÐÐ ÓÐ Ú Ô Ð ½¼½ x δ q(x) = cv(x) Ï Ò Ð Ö¹ ÐÙ Ø y,v ÃÙÚ º½½ Ã ÑÑÓ ÚÐ Ò ÓÐ Ú Ô ÐÙº Ã Ø Ð ÑÑ Ø ÔÒ x = Ö ÙÒ Ó Ø ÙÖ ÔÙÓÐ Ø Ò v () =, v () + (p q )v () = º µ (p + q )C (q coshq sinp + p sinhq cosp) qc 4 [ (p q )sinhq sin p pq cosh q cosp ] =, C [ (p q )sinhq sinp + pq coshq cosp ] qc 4 (q coshq sinp p sinhq cosq) =. Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÒÓÐÐ Ó Ø ÙÖ Ð ÐÑ Ò Ð Ò Ý ØÐ + + sin p kr + kr sinh p =. º½¼¼µ º½¼½µ º½¼¾µ ØÐ Ø º½¼¾µ ÚÓ Ò ÑÖ ØØ Ù kr Ñ Ò ÓØØÓÑ Ò ÑÙÙØØÙ Ò b = ( c ) 4 ÙÒ Ø ÓÒ EI kr = π EI kr kr = cei, º½¼ µ π. b kr º½¼ µ Ì Ô Ù c = kr = π EI 4 º ÃÓ kr kr < kr < Ò kr = π EI 4 cei = π 8 (b) <, Ð b > π.7735º º½¼ µ

107 ½¼¾ ÄÍÃÍ º Ã ÑÑÓ Ø ØÙ ØØÙ ÙÚ Ì Ô Ù a = b kr = Ö Ø Ù ÓÒ v(x) = (C x + C )cosbx + (C 3 x + C 4 )sin bx. º½¼ µ Ê ÙÒ Ó Ø ÙÖ ÒÝØ Ý ØÐ ÖÝ Ñ C =, º½¼ µ C + ac =, º½¼ µ (sin b + b cosb)c ( cosb b sinb)c 3 =, º½¼ µ ( cosb + b sinb)c + (sin b b cosb)c 3 =. º½¼ µ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÒÓÐÐ Ó Ø ÙÖ Ý ØÐ cos b = 3 (b ), º½¼ µ ÓÒ Ö Ø Ù ÓÒ b.896º ÃÖ ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ ÓÒ kr = b EI =.83EI = π EI (.867), º½¼ µ c kr = b 4 EI =.EI 4. º½½¼µ Ì Ô Ù Ò c = ÐÙ Ø µ ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ ÓÒ kr = π EI 4 =.467EI º Ì Ô Ù a b > kr > Ö Ø Ù ÓÒ v(x) = C cospx + C sin px + C 3 cosqx + C 4 sin qx. º½½½µ Ñ ÒÝØ Ñ Ö ØÒ } p = a q a 4 b 4 kr = b (kr ). º½½¾µ Ê ÙÒ ØÓÖÝ ÑÒ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÒÓÐÐ Ó Ø ÙÖ Ø Ø Ô Ù Ý ØÐ [ ( ) kr kr sin p sinq + ] cosp cosq =, º½½ µ Ó Ø ÚÓ Ò ÑÖ ØØ kr ÑÙÙØØÙ Ò b ÙÒ Ø ÓÒ º Ë Ù Ø ØÙÐÓ Ø ÚÓ Ò Ø ÙÖ Ú Ø ÔØ ÐÑØ ÃÙÒ b.896 Ò Ò kr º ÃÙÒ b Ò Ò kr º ÃÙÒ b >.896 Ò Ò kr > º Ì Ô Ù 3 ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ ÓÒ kr < ÙÒ b >.896º

108 º¾º Ã ÑÑÓ ÐÐ ÐÙ Ø ÐÐ ÓÐ Ú Ô Ð ½¼ kr ¾º ¾º¼ ½º ½º¼ ¼º Á ÁÁ ½º½ ÁÁÁ b ½ ¾ kr / ¾º¼ ½º ½º¼ ¼º ¼ ½ ¾ b ÃÙÚ º½¾ È ÐÙÒ ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ ÒÙÖ Ù Ô ØÙÙ º

109 ½¼ ÄÍÃÍ º Ã ÑÑÓ Ø ØÙ ØØÙ ÙÚ

110 ÄÙ Ù Â Ø ÙÚ Ò Ô Ð Ò Ò ÒÙÖ Ù º½ ÅÓÑ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ Ë ÙÚ ÒÔ ÖØÝÑ Ò ÙÚ ÒÔÑÓÑ ÒØØ Ò ÚÐ Ø Ý Ø Ý Ø ÙÚ Ò º½ Ò Ú ÐÔ ÐÐ Ù¹ Ú ÐÐ ÓÚ Ø ϕ = α M β M + θ + α, º½µ ϕ = α M β M + θ + α, º¾µ Ñ α ij β ij ÓÚ Ø Ý Ò ÙÙÖÙ Ò ÙÚ ÒÔÑÓÑ ÒØ Ò ÙØØ Ñ Ø ÖØÝÑØ θ = θ = (v v )/ ÓÒ ÙÚ Ò ÖØÝÑ v v ÓÚ Ø Ô Ò Ø ÔÙÑ Ø ÓÒ ÙÚ Ò Ô ØÙÙ µ α ij ÓÚ Ø ÙÓÖÑ Ò ÙØØ Ñ Ø ÖØÝÑØ Ò Ú ÐØÙ ØÙ ÙÚ º ÅÖ Ø ØÒ ÙÖ Ú ÐÐ Ø ÐÐÝØ ÙÚ Ú ÓØ ØÝÝÔ ÐÐ ÐÐ Ø Ô Ù ÐÐ º Ñ Ö º½ ÅÖ Ø ØÒ Ò Ú ÐØÙ ØÙÒ ÙÚ Ò Ô x = ÓÐ Ú Ò ÑÓÑ ÒØ Ò M = ØØ Ñ Ø ÙÚ ÒÔ ÖØÝÑØº ÅÓÑ ÒØ Ø M ÔÙÖ Ø Ú Ø ÚÓ Ñ Ø ÝÒØÝÚ ÙÚ Ò Ø ÚÙØÙ ÑÓÑ ÒØØ ÓÒ ( M(x) = v(x) + M x ), º µ p ½ ¾ N Q M EI, E ϕ θ M N ϕ Q ÃÙÚ º½ Ë ÙÚ ÒÔ ÖØÝÑØº ½¼

111 ½¼ ÄÍÃÍ º Â Ø ÙÚ Ò Ô Ð Ò Ò ÒÙÖ Ù M ÃÙÚ º¾ M M M(x) ÅÓÑ ÒØØ M Ò Ú Ð ÙÚ Ò Ô º v(x) ÙÚ Ò Ø ÔÙÑ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò ( EIv + v = M x ). º µ Ê ÙÒ Ó ÐÐ v() = v() = ØÙÐ Ö Ø Ù v(x) = M [ sin k( x) EI (k) + x ]. º µ sin k ÅÓÑ ÒØ Ò M M = ÙØØ Ñ Ø ÖØÝÑØ ÙÚ Ò Ô ÓÚ Ø Ñ α = β = ÐÐ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø ÓØ 3EI 6EI α = v (), º µ β = v (), º µ ( 3 k 6 k ψ(k) = 3 k φ(k) = 6 k k ) tan k ( sin k ) k = 3EI ψ(k), = 6EI φ(k). º µ º µ ( k ), º½¼µ tan k ( sink ). º½½µ k ÃÙÒ ÚÓ Ñ Ð ØÝÝ ÒÓÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ò φ ψ ÖÚÓØ Ð ØÝÚØ Ý Øº Ñ Ö º¾ ÅÖ Ø ØÒ Ô Ø ÙÓÖÑ Ò ÙØØ Ñ Ø ÙÚ ÒÔ ÖØÝÑØº ÃÙÚ Ò º Ø Ô Ù Ø ÚÙØÙ ÑÓÑ ÒØØ ÓÒ M = v + b Fx, º½¾µ ÙÒ x < a M = v + b Fx F(x a) ( = v + Fa x ), º½ µ ÙÒ x > aº ÃÓ M = EIv Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø EIv + v = b Fx, x a, º½ µ ( EIv + v = Fa x ), x > a, º½ µ

112 º½º ÅÓÑ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ½¼ F x,u a b ÃÙÚ º y,v b F b F M(x) F v(x) M(x) È Ø ÙÓÖÑ Ò F ÙÓÖÑ ØØ Ñ ÔÙÖ Ø ØØÙ ÙÚ º Ó Ò Ö Ø ÙØ ÓÚ Ø v = coskx + B sin kx Fb x, x a, º½ µ v = C coskx + D sin kx Fa ( x ), x > a, º½ µ Ñ ÓÒ ÐÐ Ò Ñ Ö ØØÝ k = EI º Ê ÙÒ ¹ Ý Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ ØÓ Ò v() = v() =, Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ó Ø Ò Ø ÔÙÑ Ò Ð Ù Ø v(x) = F ( k v(x) = F º½ µ v(a ) = v(a+), v (a ) = v (a+) º½ µ sinkb sin k sin kx b x [ sin ka ( k sin k sin k( x) a x ), x a, º¾¼µ ) ], x > a. º¾½µ Ì ÔÙÑ Ò Ð Ù Ò ÚÙÐÐ ÑÖ Ø ØÒ Ô Ø ÙÓÖÑ Ò F ÙØØ Ñ Ø ÖØÝÑØ ÙÚ Ò Ô α = v (), α = v (), º¾¾µ Ó α = F ( sin kb sin k b ), º¾ µ α = F ( sin ka sink a ). º¾ µ Ì ÚÙØÙ ÑÓÑ ÒØ Ò M(x) = EIv (x) Ð Ù Ø Ó ÚÐ ÐÐ ÓÚ Ø M(x) = M(x) = F sinkb sin kx, x a, º¾ µ sink k F sinka sin k( x), x > a. º¾ µ sink k

113 ½¼ ÄÍÃÍ º Â Ø ÙÚ Ò Ô Ð Ò Ò ÒÙÖ Ù F x,u y,v α a α b ÃÙÚ º ÃÙÚ º ¼º½ ¼º¾ ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º È Ø ÙÓÖÑ Ò F ÙØØ Ñ Ø ÖØÝÑØº M F M F = x.5. kr = ¼º¾ ¼º kr =.75. x Ì Ô Ù a = r r k = EI = π kr / kr ¼ ¼º¾ ¼º ¼ ¼º k ¼ ½º ¾º¾¾ ¾º ¾ È Ø ÙÓÖÑ Ò F ÒÓÖÑ Ð ÚÓ Ñ Ò ÙØØ Ñ Ø ÚÙØÙ ÑÓÑ ÒØØ º Ñ Ö º Ä Ø Ò ÙÚ Ú ÓØ α α Ø Ò ÙÓÖÑ Ò Ø Ô Ù º Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÙÚ Ò Ø ÚÙØÙ ÑÓÑ ÒØØ M(x) = EIv (x) Ø Ô ÒÓ ØÓÓÒ Ò Ø ÔÙÑ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ M(x) = v(x) + q x qxx = v(x) + q EIv (x) + v(x) = q x ( x ) º¾ µ x ( x ). º¾ µ À Ø Ò Ý ØÐ Ò Ý ØÝ Ö Ø Ù ÑÙÓ Ó v = a + bx + cx, º¾ µ ÓÒ Ó ØØ Ñ Ò Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò ØÙÓØØ ØÙÐÓ Ò EIc + a + bx + cx = q x + q x. º ¼µ

114 º½º ÅÓÑ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ½¼ q x,u y,v q q M(x) v(x) ÃÙÚ º Ì Ò Ò ÙÓÖÑ º Î ÖØ Ñ ÐÐ x Ò Ñ Ò ÓÖ Ù ÔÓØ Ò Ý ØÐ Ò ÙÑÑ ÐÐ Ò ÔÙÓÐ ÐÐ ÚÓ Ò ÔØ ÐÐ ØØ a = q k, b = q, c = q. º ½µ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò ÝÐ Ò Ò Ö Ø Ù ÓÒ [ x ) ]. º ¾µ v(x) = coskx + B sinkx + q (k) + ( x Ê ÙÒ ØÓ Ò v() = v() = Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ó Ø Ò ÙÚ Ò Ø ÔÙÑ ÐÐ Ð Ù [ v(x) = q sin k( x) + sin kx (k) sin k (k) x + ( x ) ], º µ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÑÖ Ø ØÒ ÖØÝÑØ α = q3 4EI χ(k), Ñ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÐÐ Ò ÙÙ ÙÒ Ø Ó α = v (), α = v (), º µ χ(kl) = 3 α = q3 4EI χ(k), ( tan kl º µ kl ) ) 3, º µ l ÓÒ ÙÚ Ò Ô ØÙÙ º ÃÙÒ Ð ØÝÝ ÖÚÓ ÒÓÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ χ ÖÚÓ Ð ØÝÝ Ý Ø Ø Ò α = q3 ÙÒ = º 4EI Ñ Ö º ÅÖ Ø ØÒ ÙÚ Ú ÓØ Ø ÔÙÖ Ø ØÙÐÐ Ð Ù Ò ÝÖÐÐ Ù¹ Ú ÐÐ º ( kl Ð Ù Ò ÝÖÒ ÙÚ Ò Ø ÔÙÑ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ ÓÒ ÇØ ÙÑ ÐÐ Ð ÙØ ÔÙÑ ÐÐ Ð Ù EIv (x) + [v(x) + v (x)] =. v (x) = δ sin πx º µ º µ

115 ½½¼ ÄÍÃÍ º Â Ø ÙÚ Ò Ô Ð Ò Ò ÒÙÖ Ù v x,u v + v y,v M(x) v(x) = v (x) + v(x) x ÃÙÚ º Ð Ù Ò ÝÖ ÔÙÖ Ø ØØÙ ÙÚ º Ö ÒØ Ð Ý ØÐ ØÙÐ ÑÙÓØÓÓÒ ÓÒ Ö Ø Ù ÓÒ v (x) + k v(x) = k δ sin πx, ( k ) º µ Ë ÙÚ Ò Ó ÓÒ Ø ÔÙÑ ÓÒ v(x) = π ( ) δ sin πx k. π º ¼µ v(x) = v (x) + v(x) = ( ) δ sin πx k. π º ½µ ÇØØ Ñ ÐÐ ÙÓÑ ÓÓÒ Ý Ø Ý Ø ( ) k = π π EI = kr Ò Ó ÓÒ Ø ÔÙÑ Ò Ð Ù ÑÙÓØÓÓÒ Ë ÙÚ Ò Ø ÚÙØÙ ÑÓÑ ÒØØ ÓÒ Ë ÙÚ ÒÔ ÖØÝÑØ ÓÚ Ø α = v () = δ δ sin πx v(x) = kr = v (x). kr M(x) = EIv (x) = v (x) kr = M (x) kr. π(k) π (k), α = v () = δ π(k) π (k). º ¾µ º µ º µ º µ

116 º½º ÅÓÑ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ½½½ M M B M M(x) v(x) Q ÃÙÚ º ÅÓÑ ÒØ Ø ÔÙÖ Ø ØÙÒ ÙÚ Ò Ô º Ñ Ö º ÅÖ Ø ØÒ Ø ÚÙØÙ ÑÓÑ ÒØØ ÙÚ ÐÐ ÓØ ÙÓÖÑ ØØ Ú Ø ÑÓÑ ÒØ Ø M M B ÙÚ Ò Ô º Ë ÙÚ Ò Ø Ô ÒÓ ÓÒ M(x) = v(x) + M + Qx º µ Ý ØÐ Ò M (x) = v (x) M(x) = EIv (x) Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ó Ø Ò Ö ÒØ ¹ Ð Ý ØÐ M (x) + k M(x) =, º µ Ñ ÓÒ ÐÐ Ò Ñ Ö ØØÝ k = EI º Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù ÓÒ M(x) = sin kx + B coskx. º µ Ê ÙÒ Ó ÐÐ M() = M M() = M B ÑÓÑ ÒØ Ò Ð Ù ØÙÐ sin kx M(x) = (M cosk M B ) sin k + M coskx. º µ Ó Ø dm(x) dx = Ò Ý ØÐ tankx = cotk + β sin k, ( β = M ) M B º ¼µ ÑÓÑ ÒØ Ò Ñ Ñ Ó Ò ÑÖ ØØÑ Òº ÅÓÑ ÒØ Ò Ñ Ñ ÖÚÓ ÓÒ M max = M β cosk + β. sin k º ½µ ÐÐ Ø ÐØÝ Ò Ñ Ö Ò ÚÙÐÐ ÓÒ ØÙ ÑÖ Ø ØÝ ÙÚ ÒÔ ÖØÝÑ Ò ÙÚ ÒÔÑÓÑ ÒØØ Ò ÚÓ ÒØÝÚØ Ø Ý Ò ÙÚ Òµ ÙÚ Ú ÓØ ϕ = α M β M + θ + α, º ¾µ ϕ = α M β M + θ + α, º µ α = 3EI ψ(k) = α, Ú ÓØ α ij Ù ÐÐ ÙÓÖÑ ØÙ Ø Ô Ù ÐÐ º β = 6EI φ(k) = β º µ

117 ½½¾ ÄÍÃÍ º Â Ø ÙÚ Ò Ô Ð Ò Ò ÒÙÖ Ù ¼ M max ¼ E =.8 ¾¼ ½¼ M max ¼º ¼º½ ¼ M = M B = B ¹½¼ ÃÙÚ º Ì ÚÙØÙ ÑÓÑ ÒØØ ÔÙÖ Ø Ú Ò ÚÓ Ñ Ò ÙÒ Ø ÓÒ º ½ ¾ ÃÙÚ º½¼ Ã Ù Ó Ò Ò Ô Ð º Ñ Ö º Ä Ø Ò Ù Ó Ò Ø ÙÚ Ò ÙÚ Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ º ÃÙÚ Ò º½¼ Ù Ó Ò ÙÚ Ò ØÙ ÐÐ Ð Ù ÙØ Ò ÖØÝÑ Ò Ý Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ ¹ ÓØ ϕ =, ϕ = ϕ 3. º µ Ì Ô ÒÓ ÓØ ØÙ ÐÐ ÓÚ Ø M + M 3 =, M 3 =. º µ ÇØØ Ñ ÐÐ ÙÓÑ ÓÓÒ ØØ ÒÝØ α = θ = Ò ÙÚ ÒÔ ÖØÝÑÒ Ú ϕ = α M β M, º µ Ý Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ Ó Ø ϕ = ØÙÐ M = β α M. º µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÙÚ ÒÔ ÖØÝÑ Ò Ú Ø ϕ = α M β M, ϕ 3 = α 3 M 3 Ý Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ ØÓÓÒ ϕ = ϕ 3 Ò Ý ØÐ α ( M 3 ) β M = α 3 M 3 º µ º ¼µ º ½µ

118 º½º ÅÓÑ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ½½ ½ ¾ M / / ÃÙÚ º½½ Ã Ù Ó Ò Ò Ô Ð ÑÓÑ ÒØØ ÙÓÖÑ ØÓ Ò ÒØ Ò ÐÐº Ð ( α 3 + α β ) β M 3 =. α º ¾µ ÐÐ ÓÒ Ð ÓØ ØØÙ ÙÓÑ ÓÓÒ Ø Ô ÒÓ ØÓ M = M 3 º ÄÓÔÙÐØ Ø Ò ÐÐ Ò Ö Ø Ø Ú ÓÑÓ Ò Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÒÝØ Ú Ò Ý Ý ØÐ µ ÓÐÐ ÓÒ ¹ØÖ Ú Ð Ö Ø Ù Ó ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ ÒÓÐÐ Ð α 3 + α β β α =. º µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø Ò ÐÐ Ó ØÙØ ÙÚ Ú Ó Ò Ú Ø Ô ÝØÒ Ý ØÐ Ò Ð 9 ψ (k) 36 φ (k) =, º µ 8ψ (k) φ (k) =, º µ ÓÒ Ö Ø Ù ÓÒ k 3.583º ÃÖ ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ ÓÒ kr = (3.583) EI EI.3π ÒÙÖ Ù Ô ØÙÙ ÓÒ Ú Ø Ú Ø n.877º ÆÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ò ÖÚÓ ÚÓ Ò Ú ÖÖ Ø Ò Ñ ØØ Ò Ò Ú Ð ÙÚ Ò Ö ØØ Ò ÙÓÖÑ Ò ÖÚÓÓÒ kr = π EI º Ñ Ö º ÃÙÚ Ò º½½ Ù Ó Ò Ô Ð Ò Ó Ò ÒØ Ò ÐÐ ÓÒ ÑÓ¹ Ñ ÒØØ ÙÓÖÑ Mº ÅÖ Ø ØÒ ØÙ ÑÓÑ ÒØ Ò ÖÚÓº ÃÙÚ Ò º½½ Ô Ð Ò Ý Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ ÓØ ÓÚ Ø Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ò Ò ÙÚ ÒÔ ÖØÝÑ Ò Ú Ø Ò ϕ =, ϕ = ϕ 3. º µ ϕ = α M β M, º µ ϕ = α M β M, º µ ϕ 3 = α 3 M 3 + α 3 º µ M = β M, º ¼µ α α M β M = α 3 M 3 + α 3, º ½µ Ð Ñ ÒÓ Ñ ÐÐ ØÙÐ ( α + α 3 β ) β M 3 = α 3 α. º ¾µ

119 ½½ ÄÍÃÍ º Â Ø ÙÚ Ò Ô Ð Ò Ò ÒÙÖ Ù M 3 M 34 M 3 ½ θ θ 34 ¾ Q 34 M 34 ÃÙÚ º½¾ Ò ÖØ Ò Ò Ö ÒÒ º È Ø ÑÓÑ ÒØ Ò ÙØØ Ñ Ø Ò Ú Ð ÙÚ Ò ÖØÝÑØ ØÙ ÐÐ ÚÓ Ò ÑÖ ØØ Ô Ø ÙÓÖ¹ Ñ Ò Ö Ø ÙÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ö ¹ ÖÚÓÒ ØØ Ñ ÐÐ Ô Ø ÚÓ Ñ Ú Ø Ò ÙÙÒØ Ò Ú Ö Ò ÒØ Ñ ÐÐ ÚÓ Ñ Ò ÚÐ Ñ Ø Ò Ñ ÒÒ Ó Ø ÒÓÐÐ º ÂÓ ÑÓÑ ÒØØ ÓÒ Ø ÝÝ ÐÐ a Ú ÑÑ ÐØ ØÙ ÐØ Ò Ò α = M ( ) k coskb sink, º µ α = M ( ) k coska sin k, º µ Ñ ÓÒ ÔÙÖ Ø Ú ÚÓ Ñ b = aº ÂÓ ÑÓÑ ÒØØ M ÓÒ ÒØ Ò ÐÐ Ò Ò ÙÚ ÐÐ 3 α 3 = M k cos k sin k k = M sin k. º µ ÌÙ ÑÓÑ ÒØ Ò Ð Ù Ò k M 3 = M sin k ψ(k) EI 8ψ (k) φ (k). º µ Ñ Ö º Ä Ø Ò ÙÚ Ò º½¾ Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ º Ã Ò Ý Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ ÓØ ÓÚ Ø ϕ 3 =, ϕ 3 = ϕ 34 = ϕ 3. º µ

120 º¾º Ë ÖØÝÑÑ Ò Ø ÐÑ ½½ Ë ÙÚ ÒÔ ÖØÝÑ Ò Ú Ø ÓÚ Ø Ã Ò ÒÙÖ Ò Ø Ô ÒÓ ÓØ ÓÚ Ø Ë ÙÚ Ò 34 Ø Ô ÒÓ ØÓ ÓÒ Ó Ø ÚÓ Ò Ö Ø Ø ϕ 3 = α 3 M 3 β 3 M 3, º µ ϕ 3 = α 3 M 3 β 3 M 3, º µ ϕ 34 = α 34 M 34 + θ 34, º ¼µ ϕ 3 = α 3 M 3. º ½µ M 3 =, º ¾µ M 43 =, º µ M 3 + M 3 + M 34 =. º µ θ 34 + M 34 =, º µ θ 34 = M 34. º µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÙÚ ÒÔ ÖØÝÑ Ò Ú Ø Ý Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ ØÓ Ò ϕ 3 = ϕ 3 = ϕ 3 ϕ 34 = ϕ 3 ÓØØ Ñ ÐÐ Ð ÑÑ Ó ÙÓÑ ÓÓÒ ØØ ÒÙÖ Ò Ø Ô ÒÓ¹ Ý ØÐ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ M 3 = (M 3 + M 34 ) ØÙÐ M 3 = β 3 M 3 = α 3 M 3, º µ ( ) β 3 + α 3 M 3 = α 3 ( M 3 M 34 ), º µ ( α 34 ) M 34 = α 3 ( M 3 M 34 ). º µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ØÙÙÒ Ý Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ ØÓ Ò Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ ÙÚ Ú Ó Ò Ú Ø α 3 = 3EI β 3 = 6EI ÙÚ ½ ÓÐ ÔÙÖ Ø ØØÙ ψ(k) = φ(k) = µ α 3 = 3EI ψ(k) α 34 = ψ(k) ÒÝØ Ò ÙÚÓ Ò Ô ØÙÙ ÓÒ Ñ ÑÓ Ò EI 3EI ÓÒ Ñ µ Ò 3EI ψ(k) ψ(k) ψ(k) ψ(k) 3EI Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÒÓÐÐ Ó Ø ÙÖ Ý ØÐ ( 3 ψ(k) + 3 (k) ) ψ(k) [ M3 M 34 ] = 9 4(k) =, [ ÓÒ Ö Ø Ù ÓÒ k.37 Ö ØØ Ò ÙÓÖÑ Ò ÖÚÓ ÓÒ kr.87 EI º ]. º ¼µ º ½µ º¾ Ë ÖØÝÑÑ Ò Ø ÐÑ Ë ÙÚ ÒÔ ÖØÝÑ Ò ÑÓÑ ÒØØ Ò ÚÐ Ø Ý Ø Ý Ø ÚÓ Ö Ó ØØ ÑÝ ÑÙÓ Ó [ ][ ] [ ] α β M ϕ θ α = β α M ϕ θ α. º ¾µ

121 ½½ ÄÍÃÍ º Â Ø ÙÚ Ò Ô Ð Ò Ò ÒÙÖ Ù Ê Ø Ñ ÐÐ Ý ØÐ Ø ÙÚ ÒÔÑÓÑ ÒØØ Ò Ù Ø Ò Ò [ ] [ ][ ] M B ϕ θ α = M B ϕ θ α, º µ Ð Ì Ý ÐÐ ÙÚ ÐÐ M = ϕ + B ϕ C θ + MK, º µ M = ϕ + B ϕ C θ + MK. º µ = B = ψ(k) 6EI 4ψ (k) φ (k) =, φ(k) 6EI 4ψ (k) φ (k) = B, º µ º µ C = + B, C = + B. º µ Ã ÒÒ ØÝ ÑÓÑ ÒØ Ø ÓÚ Ø MK = α B α, MK = α B α. º µ ÂÓ ÙÚ Ò Ô ÓÒ Ò Ú Ð Ò Ò Ð Ñ ϕ = 3EI ψ(k)m + θ + α, M = 3EI ψ(k) ϕ 3EI ψ(k) θ 3EI ψ(k) α, M = ϕ C θ + MK, = C = 3EI ψ(k), MK = 3EI ψ(k) α = α. º½¼¼µ º½¼½µ º½¼¾µ º½¼ µ Ñ Ö º Ä Ø Ò ÐÐ Ò Ñ Ö Ò ÙÚ Ò º½¾ Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ ÖØÝÑÑ Ò Ø ÐÑÐÐº Ã Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ø ÓÚ Ø Ý Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ ÓØ ÓÚ Ø ϕ 3 ÓÒ ÒÙÖ Ò 3 ÖØÝÑµº M 3 + M 3 + M 34 =, º½¼ µ M 34 + θ 34 =, º½¼ µ ϕ 3 =, ϕ 3 = ϕ 3 = ϕ 34 = ϕ 3. º½¼ µ

122 º¾º Ë ÖØÝÑÑ Ò Ø ÐÑ ½½ ÇØØ Ñ ÐÐ ÙÓÑ ÓÓÒ Ý Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ ÓØ Ó ØØ Ñ ÐÐ ÙÚ ÒÔÑÓÑ ÒØØ Ò ¹ Ú Ø M 3 = a 3 ϕ 3, º½¼ µ M 3 = 3 ϕ 3, º½¼ µ M 34 = 34ϕ 3 C 34θ 34 º½¼ µ Ø Ô ÒÓ ØÓ Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ [ a ] [ ϕ3 θ 34 ] = [ ]. º½½¼µ ØØ Ñ ÐÐ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÒÓÐÐ ØÙÐ Ö ØØ ÐÐ ÙÓÖÑ ÐÐ ØÓ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø Ò ÙÚ Ú Ó Ò ÖÚÓØ (a )( 34 ) ( 34) =. º½½½µ a 3 = 4EI, 3 = 34 = C 34 = 3EI ψ(k) a 3 ÓÒ Ø Ú ÐÐ Ò Ò ÙÚ Ú Óµ Ö ØØ Ò ÙÓÖÑ Ò ØÓ Ö Ó Ø Ø Ò ÑÙÓØÓÓÒ ( 3 ψ (k) + 3 ) 9 (k) ψ(k) 4(k) =, º½½¾µ º½½ µ Ó ÓÒ Ñ Ù Ò ÑÓÑ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ ØÙ Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù ÓÒ k.37º Ã Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ ÓÒ kr.87 EI º Ñ Ö º½¼ ÅÖ Ø ØÒ ÙÚ Ò º½ Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÚ Ó ÙÒ Ô Ø ÙÓÖÑ ÓÒ F = kn Ú Ú ÙÓÖÑ ÓÒ q = 5 kn º Ë ÙÚÓ Ò Ø ÚÙØÙ Ý ÝÝ ÓÒ EI = m 3.6 MNm = 6 mº Ê Ø Ø Ò Ø ØÚ ÙÐÑ ÒÑÙÙØÓ Ñ Ò Ø ÐÑÐÐº Ã Ò Ý Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ ÓØ ÓÚ Ø ϕ = ϕ 4 = ϕ 3 = ϕ, º½½ µ ϕ ÓÒ ÒÙÖ Ò ÖØÝÑµº Ã Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ø ÓÚ Ø M + M 3 + M 4 =, º½½ µ Q 3 Q N 4 + F =, º½½ µ Q 4 + M 4 + N 4 θ 4 =, º½½ µ Q 4 =, º½½ µ M 3 + Q 3 q =, º½½ µ M + Q =. º½¾¼µ ÃÓÐÑ ÒÒ Ò Ò Ð ÒÒ Ò Ø Ô ÒÓ ÓÒ ÑÙ Ò M 4 + N 4 θ 4 =, º½¾½µ ØÓ Ò Ú ÒÒ Ò ÙÙ ÒÒ Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò ÙÚ Ò 4 ÒÓÖÑ Ð ÚÓ Ñ ÐÐ Ú N 4 = F + Q 3 Q = F M 3 + q + M. º½¾¾µ

123 ½½ ÄÍÃÍ º Â Ø ÙÚ Ò Ô Ð Ò Ò ÒÙÖ Ù ¾ Q 3 q M F M 3 M 3 Q Q 3 Q 4 F q N 4 ½ ¾ Q 4 M 4 θ ÃÙÚ º½ Ò ÖØ Ò Ò ÚÙ ÖØÝÚ º Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÙÚ ÒÔÑÓÑ ÒØØ Ò Ú Ø M = a ϕ, º½¾ µ M 4 = 4ϕ 4θ 4, º½¾ µ M 3 = a 3 ϕ + MK 3 º½¾ µ Ò ÑÑ Ò Ø Ô ÒÓ ØÓÓÒ º½½ µ Ø Ô ÒÓ ØÓÓÒ º½¾½µ Ò Ý ØÐ Ø (a + a 3 + 4)ϕ 4θ 4 = MK 3, º½¾ µ 4 ϕ 4 θ 4 + N 4 θ 4 =. º½¾ µ ÃÓÓØ Ò Ý ØÐ Ø Ñ ØÖ ÑÙÓØÓÓÒ [ a + a N 4 4 ] [ ϕ θ 4 ] = q 8, º½¾ µ Ñ N 4 = F + q M 3 + M, MK 3 = q 8. º½¾ µ Ò ÑÑ Ò Ò Ø Ö Ø Ó ÖÖÓ Ä Ø Ò Ò Ò ÙÚ Ú Ó ÐÐ ÖÚÓØ 4 = a = a 3 = 3EI = 8 knm, º½ ¼µ 3EI ψ(k) = 8 ψ(k) [knm], º½ ½µ MK 3 = q 8 =.5 knm. º½ ¾µ

124 º º Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ½½ ËÙÙÖ Ò k ÖÚÓ Ò ÐÙ F + q k = = EI =.5 =.7, º½ µ ψ(k) =.86º Ë ÙÚ Ú ÓÒ 4 ÒÙÑ Ö Ò Ò ÖÚÓ ÓÒ Ð ÒÒ Ò ÐÙ 4 = 657. knmº Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÐÐ Ð ØÙØ ÐÙ Ù ÖÚÓØ Ø Ô ÒÓÝ ØÐ ÖÝ ÑÒ Ò Ý Ø Ñ [ ][ ϕ θ 4 ] = [.5 ], º½ µ Ó Ø Ö Ø Ø Ò ϕ =.93 [rad], Ð Ð Ø Ò ÙÚ ÒÔÑÓÑ ÒØ Ø θ 4 =.59 [rad]º Ã ÖØÝÑ Ò ÖÚÓ Ò ÚÙÐ¹ M = 6.75 knm, M 3 = 5.75 knm, M 4 =. knm. º½ µ Ë ÙÚ Ò 4 ÒÓÖÑ Ð ÚÓ Ñ ÓÒ N 4 = F M 3 + q + M, = = º½ µ ÌÓ Ò Ò Ø Ö Ø Ó ÖÖÓ ËÙÙÖ ÐÐ k Ð Ø Ò ÙÙ Ø Ö ÒÒ ØØÙ ÖÚÓ k =.875 =.9 Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ψ(k) =.89º Ä Ø Ò ØØ Ò ÙÙ Ø ÖÚÓØ ÙÚ Ú Ó ÐÐ Ö Ø Ø Ò Ø Ô ÒÓÝ ¹ ØÐ Ò ÖÝ Ñ Ò ÙÙ Ø ÖÚÓØ ÖØÝÑ ÐÐ ϕ θ 4 ÙÙ Ø ÙÚ ÒÔÑÓ¹ Ñ ÒØ Ø M = 6.77 knm, M 3 = 5.73 knm, M 4 =.4 knm. º½ µ ÅÓÑ ÒØØ Ò ÖÚÓØ ÑÙÙØØÙ Ú Ø Ò Ò Ú Ò ØØ ØÝÝ ÝØÒ ØÓ ÐÐ ÖÖÓ ÐÐ ØÙ Ò ØÙÐÓ Òº ÂÓ Ò ÙÓÖÑ ÓÐ ÓÐÐÙØ ÙÙÖ ÑÔ Ð ÑÔÒ Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖ¹ Ñ Ò Ò Ø Ö Ø ÓÒ ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò ÓÐ Ô Ð ÑØØ Ú Ø ÒÙØ Ò ÑÑÒ ÖÖÓ º Ã ¹ Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÚ Ó ÑÖ Ø ØÒ Ø Ö Ø Ð Ñ ÐÐ ÙØ Ò ÙÚ Ö Òº ÓÑ ØÖ Ò ÔÐ Ò Ö ÙÙ Ò ÚÙÓ ÙÚ Ò 4 ÑÓÑ ÒØØ ÙÑ ÓÐ Ú Ò ÙÓÖ Ú Ú Ò Ò ÙØ Ò Ð Ò Ö Ò Ö Ø ÙÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ØÙÐ º º Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ ÓÒ Ó ØØÙ ÑÑ Ò ÙÚ Ð Ñ ÒØ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ø Ú Ö ¹ Ø ÓØ δ Π = [ EI(v ) (v ) ] dx =, º½ µ Ñ v(x) ÓÒ Ð µø ÔÙÑ ÙÓÖ Ø ÔÙÖ Ø ØÙ Ø Ø Ô ÒÓØ Ð Ø Ú Ø Ú Ò Ò Ð ÑÙÓ ÓÒ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ K = K + K g C B, º½ µ

125 ½¾¼ ÄÍÃÍ º Â Ø ÙÚ Ò Ô Ð Ò Ò ÒÙÖ Ù 6.77 ½ ¾ ÃÙÚ º½ Ã Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÚ Óº Ñ K = EI 3 K g = ,. º½ ¼µ º½ ½µ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ Ø ÔÙÑ ÒØ ÖÔÓÐÓ Ò ÑÙÓØÓ ÙÒ Ø Ó Ò N i (x) ÓÐÑÙÚ ¹ Ô Ù Ø Ò q i ÚÙÐÐ Ú ÐÐ v(x) = Nq v. º½ ¾µ ÆÓÖÑ Ð ÚÓ Ñ N = ÔÙÖ ØÙ º K g ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ò Ý ÝÝ Ñ ØÖ K ÓÒ Ø Ú ÐÐ Ò Ò Ð Ò Ö Ò Òµ Ý ÝÝ Ñ ØÖ º Ð Ñ ÒØ Ò Ø ÚÙØÙ Ò Ð ØØÝÚ Ò ÓÐÑÙ¹ Ú Ô Ù Ø Ò Ú ØÓÖ ÓÒ [ ] T q v = v ϕ v ϕ. º½ µ Ð Ñ ÒØ Ò Ý ÝÝ Ñ ØÖ Ò Ö Ú Ø Ö Ø Ú Ø Ú Ø Ú ØÓÖ Ò q v Ú Ô Ù Ø Ø º ÇØØ Ñ ÐÐ ÙÓÑ ÓÓÒ Ð Ñ ÒØ Ò Ô ØÙÙ Ò ÑÙÙØÓ Ô ÖÙ Ø Ð Ò Ù Ø Ò ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ú ØÙÐ ÑÙÓØÓÓÒ δ Π = [ E(u ) + EI(v ) (v ) ] dx =. º½ µ Ð Ø ÖØÝÑ ÒØ ÖÔÓÐÓ Ò Ð Ò Ö ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ ( u(x) = x ) u + x u, Ñ ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ò Ô ØÙÙ º Ë ÖØÝÑÒ u(x) Ö Ú ØØ ÓÒ º½ µ u (x) = u u. º½ µ

126 º º Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ½¾½ y,v y,v ϕ ϕ v ϕ v x v ϕ v x,u u u ÃÙÚ º½ Ë ÙÚ Ð Ñ ÒØØ ÙÚ Ð Ñ ÒØØ º Ì Ó ÙÚ Ò Ý ÝÝ Ñ ØÖ Ò ÓÐÑÙ ÖØÝÑÚ ØÓÖ Ò [ ] T q = u v ϕ u v ϕ º½ µ Ú Ô Ù Ø Ò Ð ØØÝ Ò K = K + K g, º½ µ ÓÒ Ó Ø ÓÚ Ø K = EI 3 a a a a , º½ µ Ñ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ K g = N a = E 3 EI = E EI, º½ ¼µ º½ ½µ ÔÙÖ Ø Ú Ò ÚÓ Ñ Ò Ø Ô Ù N = º Å ØÖ K ÓÒ ØÙ Ð ÑÐÐ Ú Ô Ù Ø Ò u u Ð ØØÝ Ò Ö Ø Ó ÙÚ Ò Ý ÝÝ Ñ ØÖ K = E [ ]. º½ ¾µ

127 ½¾¾ ÄÍÃÍ º Â Ø ÙÚ Ò Ô Ð Ò Ò ÒÙÖ Ù ȳ, v y,v x,ū ϕ α x,u ÃÙÚ º½ ÃÓÓÖ Ò Ø ØÓÒ ÑÙÙÒÒÓ º Ì Ó Ò Ø Ô Ù Ý ÝÝ Ñ ØÖ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò Ó ÐÐ Ð Ñ ÒØ ÐÐ Ð Ñ ÒØ Ò ÓÑ Ô ÐÐ ÓÓÖ Ò Ø ØÓ Ð Ñ ÒØ Ò Ý ÝÝ Ñ ØÖ ÑÙÙÒÒ Ø Ò ØØ Ò Ö ÒÒ ÓÓÖ Ò Ø ØÓÓÒ ÒÒ Ò Ò Ý ÝÝ Ñ ØÖ Ò Ó Ó Ñ Ø º ÃÙÚ Ò º½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ó Ø Ò ÑÙÙÒÒÓ Ú Ð ū v ϕ = cos α sinα sin α cos α r l = Tr. u v ϕ, º½ µ º½ µ Ã Ú Ò º½ µ ÚÙÐÐ Ò Ð Ñ ÒØØ Ó Ø Ò ÓÓÖ Ò Ø ØÓÒ ( x,ȳ) Ù Ø Ò Ð Ù ÙØÙØ ÖØÝÑ ÙÙÖ Ø [ ] T r l = ū v ϕ º½ µ Ð Ù ÙØÙ ÖØÝÑ ÙÙÖ Ò [ ] T r = u v ϕ º½ µ ÚÙÐÐ º ËÓÐÑÙ ÖØÝÑ Ò Ú ØÓÖ ÓÒ Ô ÐÐ ÓÓÖ Ò Ø ØÓ [ ] r q l =, º½ µ r Ú Ò º½ µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò q l = [ T T l ] q. º½ µ È ÐÐ ÓÓÖ Ò Ø ØÓ ÑÙÓ Ó Ø ØØÙ Ý ÝÝ Ñ ØÖ K l ÑÙÙÒÒ Ø Ò ÐÓ Ð Ò ÓÓÖ Ò Ø ØÓÓÒ Ú ÐÐ [ [ ] q T Kq = q T l K lq l = q T T T T T ]K T T T l q, º½ µ T

128 º º Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ½¾ q ½ ½ ¾ ¾ ½ q 3 q 4 ½ ¾ ¾ q ½ ¾ / ÃÙÚ º½ ÃÙÐÑ º ÓØ Ò ÐÓ Ð ÓÓÖ Ò Ø ØÓ K = [ T T T T T T ]K l [ T T ], º½ ¼µ Ñ ÓÒ 3 3 ÒÓÐÐ Ñ ØÖ º Ñ Ö º½½ ÅÖ Ø ØÒ ÙÚ Ò º½ Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ º Ë ÙÚÓ Ò Ø ÚÙ¹ ØÙ Ý ÝÝ EI ÓÒ Ñ º Ë ÙÚÓ Ò Ó ÓÓÒÔÙÖ ØÙÑ Ø ØÒ ÙÓÑ ÓÓÒÓØØ Ñ ØØ Ð E = º Ã Ò ÖØÝÑÚ Ô Ù Ø Ø ÓÚ Ø q, q, q 3 ÖØÝÑ q 4 º Ð Ñ ÒØ Ò Ý ÝÝ ¹ Ñ ØÖ ÓÒ K = ( EI = EI 3 ) º½ ½µ Ð Ñ ÒØ Ò ½ Ý ÝÝ Ñ ØÖ Ø Ø ÖÚ Ø Ò Ö ÒØ Ò ÐÓ Ð Ò Ý ÝÝ Ñ ØÖ Ò Ú Ò Ú Ô Ù Ø Ø q q 3 Ú Ø Ú Ø Ö Ú Ø Ö Ø Ð ØÓ Ò Ò Ò Ð Ö Ú Ö º

129 ½¾ ÄÍÃÍ º Â Ø ÙÚ Ò Ô Ð Ò Ò ÒÙÖ Ù Ð Ñ ÒØ Ò Ô ÐÐ ÓÓÖ Ò Ø ØÓ ÑÙÓ Ó Ø ØØÙ Ý ÝÝ Ñ ØÖ ÓÒ K = EI º½ ¾µ Å ØÖ Ø K Ø ÖÚ Ø Ò Ú Ô Ù Ø Ø q q q 4 Ú Ø Ú Ø Ö Ú Ø Ö Ø Ð Ò Ð ØÓ Ò Ò Ò ÑÑ Ò Òº Ã Ò Ý ÝÝ Ñ ØÖ ÓÓØ Ò Ð Ñ ÒØØ Ò Ó ÙÙ Ø º Ë ÖÖ ØÒ Ò Ò Ø ÖÚ ØØ Ú Ø Ð ÓØ ÐÓÔÙÐÐ ÐÐ Ô Ó ÐÐ Ò Ò K = EI 3 K = EI 3 3 ËÙÑÑ Ñ ÐÐ Ý ÝÝ Ñ ØÖ Ø ØÙÐ K = EI , º½ µ º½ µ º½ µ Ã Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ò ÑÖ ØØÑ Ò Ý ØÐ ØØ Ñ ÐÐ Ý ÝÝ Ñ Ø¹ Ö Ò ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ò Ð ÑÙÓ ÓÒ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Òµ Ø ÖÑ Ò ØØ ÒÓÐÐ º Å Ö ¹ ØÒ λ = 3EI. º½ µ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÒÓÐÐ ØÓ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓØÓÓÒ det 4 4λ + λ (6 3λ)/ + λ 4λ 4 (6 3λ)/ 4 8 (6 3λ)/ (6 3λ)/ ( 36λ)/ =, ÓÒ Ô Ò Ò ÙÙÖ ÓÒ λ =.6º ÃÖ ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ ÓÒ kr =.83 EI º º½ µ

130 º º Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ½¾ N α α M Q N M 3 Q 3 α ¾ EI 45 Q M θ EI θ ½ 3/4 M Q N ÃÙÚ º½ ÃÙÐÑ º Ñ Ö º½¾ ÅÖ Ø ØÒ ÙÚ Ò º½ Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ º È Ø Ò ¾ Ú ÖØÝÑ ÓÒ u = θ = α 3 4, º½ µ ÓØ Ò Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø Ô ÒÓ ØÓÓÒ ÙÚ ÒÔÑÓÑ ÒØ Ø α = 4 3 θ, θ 3 = 4 3 θ. M + M 3 = º½ µ º½ ¼µ ϕ = ÙÖ Ð M = B ϕ + ϕ C θ, º½ ½µ M 3 = a 3ϕ c 3θ 3 = a 3ϕ + c θ º½ ¾µ ϕ C θ + a 3 ϕ + c θ = º½ µ ( + a 3)ϕ + ( C c 3)θ =. º½ µ ÃÙÚ Ò º½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ö Ó Ø Ø Ò Ø Ô ÒÓ ØÓ Q + N 3 =, º½ µ Ó Ø ÙÖ Q = º È Ð Ö Ò Ø Ô ÒÓ Ó Ø M + Q + θ + M = º½ µ

131 ½¾ ÄÍÃÍ º Â Ø ÙÚ Ò Ô Ð Ò Ò ÒÙÖ Ù ÙÚ ÒÔÑÓÑ ÒØ Ò Ú Ø M = ϕ + B ϕ C θ º½ µ ÙÖ Ð B ϕ C θ + ϕ C θ + θ = º½ µ ( + B )ϕ + ( C )θ =. º½ µ Ã ÖØÝÑ ÙÙÖ Ò ÚÙÐÐ Ð Ù ÙØÙ Ø Ø Ô ÒÓ Ó Ø ÓÓØ Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ [ + a 3 C c 3 + B C ] [ ϕ θ ] = [ ]. º½ ¼µ ØØ Ñ ÐÐ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÒÓÐÐ Ò Ý ØÐ Ó Ø Ö ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ Ö Ø Ø Òº Ë ÙÚ Ú Ó Ø ÓÚ Ø a 3 = c 3 = 3EI 3 4 = 4EI, º½ ½µ = B = ψ(k) 6 EI 4ψ (k) φ (k), º½ ¾µ φ(k) 6 EI 4ψ (k) φ (k) º½ µ Å Ö ØÒ ÓØ Ò C = + B = C. k = k = EI = β EI, Ø ÖÑ Ò ØØ Ñ Ò ÒÓÐÐ ÙÒ β ÓÒ ÒÓ Ò ½ ÓØ Ò º½ µ º½ µ º½ µ EI β EI β =, º½ µ kr 5 EI. º½ µ

132 ÄÙ Ù Ë ÖØÝÑ Ò Ú ÙØÙ Ò ÔÐ Ø Ò Ö ÙÓÖÑ Ò Ã Ò Ö ÙÓÖÑ Ò ÝÐÖ ¹ ÖÚÓ ÚÓ Ò ÑÖ ØØ Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ Ú ÖØÙ Ð Ò ØÝ Ò Ý ØÐ Ø W s W u =, º½µ Ñ W s = M pj θ j j º¾µ ÓÒ Ò Ò Ú ÖØÙ Ð Ò Ò ØÝ ÔÐ Ø Ò Ú Ð W u = λ i F i i º µ ÓÒ ÙÐ Ó Ò Ò Ú ÖØÙ Ð Ò Ò ØÝ ÙÒ Ò ÙÓÖÑ Ò ÓØ ÙØ Ò ÓÐ Ú Ò Ô Ð ØÒ Ô Ø ÚÓ ¹ Ñ ½ º ÃÙÓÖÑ Ò ÓØ ÙØ Ò ÑÙÙØØÙÚ Ò Ñ ÐÐ ÖØÓ Ñ ÐÐ º F i ÓÒ Ô ÖÙ ÙÓÖÑ ØÙ º ÃÙÒ Ú ÖØÙ Ð Ò ØÝ Ò Ý ØÐ Ø ÓÒ Ö Ø ØÙ ÙÓÖÑ ÖØÓ Ñ Ò ÝÐÖ λ p Ò Ò ÚÓ ¹ Ò ÑÖ ØØ Ø Ú Ø Ú Ø ÙÚ ÚÓ Ñ Ø N kp ÙÚÓ ÐÐ k Ø ÚÓ Ñ Ø N ijp ÙÚÓ ÐÐ ijµº Ë ÙÚ ÚÓ Ñ N k ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò ÔÙÖ ØÙ º Ë ÖØÝÑ Ò Ú Ö ØÝ Ø Ó Ö ÒØ µ Ñ Ò Ñ Ø ØÙÐ ÔÐ Ò Ö ¹ Ò Òº ÃÙÒ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò ÔÙÖ Ø ØØÙ ÙÚ ij ÖØÝÝ ÐØ ÚÙÙ ÙÐÑ Ú ÖÚÓ Ø ψ ij ÖÚÓÓÒ ψ ij + dψ ij Ò Ò ÙÚ ÚÓ Ñ Ò Ú ÖØÙ Ð Ò Ò ØÝ ÓÒ N ij ij ψ ij dψ ij º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ò ¹ Ò Ø Ñ Ð Ò Ô ÒØ ÑÙÙØÓ Ø Ö ÙÓÖÑ Ò ÒØ Ú Ñ Ò Ñ Ö Ñ Ò Ñ µº ÌÐÐ Ò λ λ + dλ, º µ θ j θ j + dθ j, º µ ψ k ψ k + dψ k, º µ i i + d i, º µ Ñ λ ÓÒ ÙÓÖÑ ÖÖÓ Ò θ j ÓÒ ÖØÝÑ ÔÐ Ø Ò Ú Ð j ψ k ÓÒ ÙÚ Ò k ÖØÝÑ i ÓÒ ÖØÝÑ Ô Ø ÙÓÖÑ Ò F i ÙÙÒØ Ò ÙÓÖÑ Ò Ó ÐÐ º ½ Ð ØÝ ÙØÙÒ Ò ÙÓÖÑ Ò Ø Ô Ù Ò ÓÒ ÐÔÔÓº Â ÙØÙÒÙØ ÙÓÖÑ ÚÓ Ò Ú ØÓ ØÓ Ø ÒØ Ô Ø ÙÓÖÑ Ò º ½¾

133 ½¾ ÄÍÃÍ º Ë ÖØÝÑ Ò Ú ÙØÙ Ò ÔÐ Ø Ò Ö ÙÓÖÑ Ò Å Ò Ñ Ò ØÝ Ý ØÐ Ò ÒÝØ M pj dθ j = λ j i F i d i + k N k k ψ k dψ k, º µ Ñ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ Ú ØÓ ØÓ Ø N k k ψ k dψ k N ij ij ψ ij dψ ij º Ê Ø Ð λ = λ p Ú ¹ Ø Ú Ø ÙÚ ÚÓ Ñ Ø ÓÚ Ø N k = N kp ÙÚ ÚÓ Ñ Ò ÓØ ÙØ Ò Ú Ú Ò Ñ Ù Ø Ð N k = λ λ p N kp. ÅÝ ÖØÝÑ Ò ÖØÝÑ Ò ÓØ ÙØ Ò ÑÙÙØØÙÚ Ò Ñ Ù Ø º µ d i i = dψ k ψ k = dθ j θ j. ÌÝ Ý ØÐ Ø ØÙÐ ÐÐ Ø ØÝ Ò ÓØ ÙÑ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ M pj θ j = λ( j i F i i + k N kp λ p k ψ k ). º µ º µ Ê Ø Ñ ÐÐ Ô ÒØ Ò ÖØÝÑ Ò ØÝ Ý ØÐ Ø M pj θ j = λ p F i i j F i i = Ó ØØ Ñ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ø ÔÐ Ò Ö Ò Ý ØÐ Ò º µ ØÙÐ i λ λ p = i º µ j M pjθ j λ p, º½¼µ k + N kp k ψ k, º½½µ j M pjθ j Ó ØØ ÙÓÖÑ ÖØÓ Ñ Ò Ö ÔÔÙÚ ÙÙ Ò Ò ÖØÝÑ Øº Ñ Ö º½ ÅÖ Ø ØÒ ÙÚ Ò º½ Ò ÙÓÖÑ Ò ÖØÝÑ Ò ÚÐ Ò Ò Ö ÔÔÙ¹ Ú ÙÙ º ÇØ ÙØ Ò ØØ Ò ÙÚÓ Ò ØÝ ÔÐ Ø Ò Ò ÑÓÑ ÒØØ ÓÒ M p = F ÙÚÓ Ò Ø ÚÙØÙ Ý ÝÝ ÓÒ EI = 5F Ð EI =.5M p º ÇØ ÙØ Ò ØØ Ò ÙÚÓ Ò Ó ÙÙ ÓÒ = 4 Ð ÓÒ ÝÚ Ò Ó i Ö ÒØ Ò ÓÑ ØÖ Ò ÑÙÙØÓ Ò ÖØÝÑ Òµ Ú ÙØÙ ÓÒ ÙÙÖ º Ã Ò ÔÐ Ø Ò Ö ÙÓÖÑ Ò Ô Ò ÑÑÒ ÝÐÖ Ò ÒØ Ý Ø ØØÝ Ñ Ò Ñ Ò ØÝ Ý ØÐ ÓÒ M p 6θ = λ 3 Fθ + λfθ, º½¾µ Ð ÔÐ Ø Ò Ò Ö ÙÓÖÑ ÖÖÓ Ò ÓÒ 6M p θ = 5Fλθ, λ p = 5 º½ µ =.4. º½ µ

134 ½¾ 3 Fλ Fλ Fλ Fλ ¾ 3 Fλ 3.6F 4.8F 5.6F 4.8F.4F.4F θ 4.8F 3.6F θ 8.8F ½ λ p =.4 θ θ ÃÙÚ º½ ÈÓÖØ Ð º Q 3.6F 4.8F F N 3.6M p Q 3 N ϕdϕ Q M p F Q ϕ dϕ N ÃÙÚ º¾ ÈÓÖØ Ð Ò ÚÓ Ñ Ø ÖØÝÑØº ÅÓÑ ÒØØ Ò Ô Ø ÓÒ M =.6M p ÙÚ Ò º¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ö Ó Ø Ø Ò Ò Ó ÐÐ Ø Ô ÒÓ ØÓ Q.6M p =, º½ µ Ó Ø ÙÖ ÙÚ Ò ÔÒ Ð Ù ÚÓ Ñ Ò ÖÚÓ Q =.6 M p = 3.F. Æ Ò Ò ÙÚ Ò º¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ö Ó Ø Ø Ò Ò Ó ÐÐ Ø Ô ÒÓ ØÓ 4.8F + F + F 3.F N =, º½ µ º½ µ Ó Ø Ö Ø ÒÓÖÑ Ð ÚÓ Ñ N º Ë Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ö Ø Ø Ò ÑÙÙØ ÙÚ ÚÓ Ñ Ø Ò N = 5.6F, N 3 = N 34 =.4F, N 45 = 8.8F º½ µ ÙÚ Ø ÔÙÖ Ø ØØÙ µº Ë ÙÚ ÚÓ Ñ Ø ÓÒ Ø ØØÝ ÙÚ º½º Ñ Ö Ò Ø Ô Ù ÙÚ ÖØÝÑ Ø ÓÚ Ø Ñ Ò ÙÙÖÙ Ø ψ k = ψ Ð ψ = θº ÌÝ Ý ØÐ º µ Ø ÖÚ ØØ Ú Ø Ø ÖÑ Ø ÚÓ ¹ Ò ÒÝØ Ð N kp k ψk = ( )Fψ = 5.Fψ, º½ µ k M pj θ j = (θ + θ + θ + θ)m p = 6M p θ = Fθ, º¾¼µ j

135 ½ ¼ ÄÍÃÍ º Ë ÖØÝÑ Ò Ú ÙØÙ Ò ÔÐ Ø Ò Ö ÙÓÖÑ Ò ¾º ¾º λ ½ ¾º¼ ¾º¼ ½º ½º ¾ λ =.8 Ö ÙÓÖÑ ÖÖÓ Ò ½º¼ ¼º ¼º¼ ¼º½ ¼º½ ¼º¾ ¼º¾ / ÃÙÚ º ÈÓÖØ Ð Ò ÙÓÖÑ ¹ ÖØÝÑ ÝÖØº 3Fλ 3Fλ ¾ ½ ÃÙÚ º ÈÓÖØ Ð Ò ÔÝ ØÝ ÙÓÖÑ Ø Ô Ð Ö ÐÐ º Ö Ø Ø ÓØ ØØ ÝÖ ÙÚ º º λ = λ p + 9, º¾½µ 5 θ ÓÑ ØÖ Ø Ð Ò Ö Ò Ø ÓÖ Ò ÑÙ Ò Ò Ò ÚÙ ÖØÝÑ ÓÒ = 7 F 3 3 EI λ = 7 λ, º¾¾µ 6 ÓØ Ø ÝÖ 3 ÙÚ º º ÃÝÖ Ò 3 Ð Ù Ô Ø ÙÓÖÑ ÖÖÓ Ò ÓÒ λ =.5º ÃÙÚ Ò º ÙÓÖÑ ØÙ Ø Ú Ø Ú ÑÑÓ Ò Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ ÓÒ λ E.4. º¾ µ Ã ÑÑÓ Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø ÔÐ Ò Ö Ò ÙÓÖÑ Ò ÖØÝÑÒ ÚÐ Ò Ö ÔÔÙÚ ÙÙ Ò ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó ÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ ÙÙÖ ÒÒÙ ÖÖÓ ÒØ K = λ λ E º¾ µ

136 ½ ½ Ð Ò Ö Ò Ö Ø ÙÙÒ = 7 λ ÓÐÐÓ Ò ØÙÐ 6 Ã Ú º¾ µ ØØ ÝÖ 4 ÙÚ º º Ê Ò Ò Ò Å Ö ÒØ Ò Ú Ò ÑÙ Ò = 7 λλ E 6 λ E λ. = +, λ R λ p λ E º¾ µ º¾ µ Ð λ R = λ p + λ p λ E. Ñ Ö Ò Ø Ô Ù Ò Ê Ò Ò Ò Ú ÐÐ ÙÓÖÑ ÖÖÓ Ò λ R = º¾ µ =.93. º¾ µ

137 ½ ¾ ÄÍÃÍ º Ë ÖØÝÑ Ò Ú ÙØÙ Ò ÔÐ Ø Ò Ö ÙÓÖÑ Ò

138 ÄÙ Ù ÎÒØ ÒÙÖ Ù º½ Ã Ø ÔÙÖ Ø ØØÙ ÙÚ Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÓÖ ÔÙÖ Ø ØØÙ ÙÚ ÓÒ ÔÓ Ð Ù ÓÒ ÚÓ Ò Ó ÙØ Ò Ò Òº Ë ÙÚ ÓÒ ÒÒ ØØÙ (x,y,z)¹ ÓÓÖ Ò Ø ØÓÓÒ Ó ÙÚ Ò Ð ÓÒ z¹ Ð º Ë ÙÖ Ú ÓØ ÙØ Ò ØØ ÓÓÖ Ò Ø ØÓ (x,y,z) ÓÒ Ô ÓÓÖ Ò Ø ØÓº ÌÐÐ Ò ØÓØ ÙØÙÚ Ø ÓÑ Ø¹ Ö Ø ÓØ xd = y d = xy d =, º½µ Ó ÓÒ ÔÓ Ð Ù Ò Ô ÒØ ¹ Ð d = t(s)ds t(s) ÓÒ Ó ÙØ Ò Ò ÔÓ Ð Ù ¹ Ò ÒÑÒ Ú ÚÙÙ s ÓÒ ÒÑÒ Ú Ú Ô Ø Ò ÙÐ Ú ÓÓÖ Ò ØØ º ÈÓ Ð Ù Ò ÚÒØ Ò ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÚ Ø (x a,y a )º Ë ÙÚ Ò ÒÙÖ Ø ÔÓ Ð Ù ÖØÝÝ ÖØÝÝ ÔÙ Ø ÚÒØ ÒÙÖ Ù ÙÚ Ò ÔÓ Ð Ù ÒÓ Ø Ò ÖØÝÝº Å Ö ØÒ ØØ ÚÒØ Ò ÖØÝÑØ ÓÚ Ø u vº ÈÓ Ð Ù Ò Ô ÒÓÔ Ø Ò O ÖØÝÑØ ÓÚ Ø Ô Ò Ò ÖÓØ Ø ÓÒ Ø Ô Ù u o (z) = u(z) + ϕ(z)y a, v o (z) = v(z) ϕ(z)x a. º¾µ º µ ÂÓ Ø ÚÙØÙ Ò Ù Ø Ò Ú Ô Ø ØÙ ØÙÒ ÙÚ Ò ÔÙÖ Ø Ú ÚÓ Ñ Ú ÙØØ Ô ÒÓÔ ¹ Ø O Ò Ò ÖØÝÒ Ø Ð Ø ÚÙØÙ ÑÓÑ ÒØ Ø ÓÚ Ø M x (z) = v o (z), M y (z) = u o (z). º µ º µ Ë ÙÚ Ò Ø ÔÙ Ú ÓÔÙÖ ØÙ ÒÒ ØÝ Ò σz = = N Ð ÔÓ Ð Ù Ò ÝÒ¹ ØÝÝ ÒÓÖÑ Ð ÒÒ ØÝ ÙÑ σ z (x,y) Ý Ø Ò ÖØÝÒ Ò Ø Ð Ò ÒÒ ØÝ ÓÒ Ô ÖÙ Ø Ð Ò ÒÒ ØÝ Ò Ð ÒÒ ØÝ Ò ÙÑÑ σ z = σ z + σ z = M y I y x + M x I x y + B I ω ω(x,y), º µ ½

139 ½ ÄÍÃÍ º ÎÒØ ÒÙÖ Ù y ϕ Q Q v O t s Q u (x a, y a ) (x, y) d = t(s)ds x s ÃÙÚ º½ ÚÓ Ò ÔÓ Ð Ù º Ñ M y = M x = B = ( x)σ z (x,y)d, yσ z (x,y)d, ωσ z (x,y)d ÓÚ Ø Ø ÚÙØÙ ÑÓÑ ÒØ Ø ÑÓÑ ÒØØ º ÎÒØ Ò Ù Ø Ò ÑÖ Ø ØØÝ ØÓÖ Ð Ò Ò ÓÓÖ Ò ØØ ω ω ÓÒ ω(s) = s h (τ)dτ, º µ º µ º µ º½¼µ Ñ s ÓÒ ÔÓ Ð Ù Ò ÒÑÒ Ú Ú Ô Ø Ò ÖØÚ ÓÓÖ Ò ØØ h (τ) ÓÒ Ó Ø ÙÓÖ Ø ÝÝ ÚÒØ Ø Ô Ø Ò τ ÙØØ Ô ÖÖ ØÝÐÐ ÒÑÒ Ú Ú Ò Ø Ò ÒØ ÐÐ º ÃÓÓÖ Ò ØØ ω ØÓØ ÙØØ ÓØ xω d = yω d = ω d =, º½½µ Ñ ÓÒ ÒØ ÖÓ ØÙ ÔÓ Ð Ù Ò Ô ÒØ ¹ Ð Ò ÝÐ º ÈÓ Ð Ù ÙÙÖ Ø ÓÚ Ø = d = t(s)ds, I x = y d, I y = x d, I ω = ω d. Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ô ÓÓÖ Ò Ø ØÓ Ð Ù ÙØÙØ ÓÒ Ø ØÙØ Ú Ø Ý ØÐ Ø º½¾µ M y = EI y u, º½ µ M x = EI x v º½ µ

140 º½º Ã Ø ÔÙÖ Ø ØØÙ ÙÚ ½ z z M y M x x y ÃÙÚ º¾ ÈÙÖ Ø ØØÙ ÙÚ (x,y,z)¹ ÓÓÖ Ò Ø ØÓ º Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ò Ò Ú Ð ÙÚ Ò ÚÒØ Ð Ò Ø ÔÙÑ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ ¹ Ò EI y u + (u + ϕy a ) =, EI x v + (v ϕx a ) =, º½ µ º½ µ Ñ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ ( ) d( ) dz º ÃÓÐÑ Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ò ØÙØ Ñ ÐÐ ÙÚ Ò ÚÒØ º ÎÒÒ Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ ÓÒ Ñ ÚÒØ ÑÓÑ ÒØØ ÓÒ M z (z) + m(z) =, º½ µ M z = M ω + M v = EI ω ϕ + GI v ϕ º½ µ m(z) ÓÒ ÙØÙÒÙØ ÚÒØ ÑÓÑ ÒØØ ÙÓÖÑ º Ä Ù ÙÑ ÐÐ ÚÒØ ÑÓÑ ÒØØ ÚÒØ ÙÐ¹ Ñ Ò ϕ ÚÙÐÐ ÚÒÒ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ ØÙÐ ÑÙÓØÓÓÒ EI ω ϕ (4) GI v ϕ = m z. º½ µ Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÚ Ò Ô ÒØ Ù Ð ØØ ÔÓ Ð Ù Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ô Ø Ò Q ÝÑ¹ ÔÖ Ø Øº ËÙ Ð Ò Ô ÝÒ Ô ÒØ ¹ Ð ÓÒ d = t(s)ds Ñ ÓÒ ÒÑÒ Ú Ú Ô Ø Ò ÖØÚ ÓÓÖ Ò ØØ t(s) ÓÒ ÒÑÒ Ú ÚÙÙ º ÃÓ Ó ÔÓ Ð Ù Ò Ô ÒØ ¹ Ð ÓÒ º È Ø Ò Q ÖØÝÑØ ÓÚ Ø u Q (x,y,z) = u(z) + (y a y)ϕ(z), v Q (x,y,z) = v(z) (x a x)ϕ(z). º¾¼µ º¾½µ

141 ½ ÄÍÃÍ º ÎÒØ ÒÙÖ Ù dz z y dq y σ z v Q v Q Q dq x v Q + v Q dz x y σ z v Q + σ z v Q dz ÃÙÚ º ÈÓ ØØ ÚÓ Ñ Øº Ë ÙÚ Ò Ð ÓÒ dz d ÔØÝ Ò Ú ÙØØ Ú ÐÐ Ú ÓÚÓ Ñ ÐÐ σzd = d ÓÒ Ø ÔÙ¹ Ò Ø Ð ÔÓ ØØ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø dq x (x,y,z) = σ z[u(z) + (y a y)ϕ(z)] d, dq y (x,y,z) = σ z[v(z) (x a x)ϕ(z)] d. º¾¾µ º¾ µ ÎÓ Ñ Ò dq x dq y ÑÓÑ ÒØØ ÔÓ Ð Ù Ò ÚÒØ Ò Ù Ø Ò ÓÒ dm z (x,y,z) = (y a y)dq x (x a x)dq y = (y a y)σ z [u(z) + (y a y)ϕ(z)] d (x a x)σ z[v(z) (x a x)ϕ(z)] d. º¾ µ ÁÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ ÔÓ Ð Ù Ò ÝÐ ÓØØ Ñ ÐÐ ÙÓÑ ÓÓÒ ØØ ÙÓÖ Ô ÖÙ Ø Ð σz(x,y) = ÓÒ ÒÝØ Ú Ó ØÙÐ m z (z) = dm z (x,y,z), º¾ µ Ð m z = σz[x a v y a u ] + σzϕ [I x + I y + (x a + ya)], º¾ µ Ñ I x = y d I y = x d I p = I x + I y + (x a + y a )º Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÑÓÑ ÒØØ m z (z) ÚÒÒ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò ØÙÐ EI ω ϕ (4) GI v ϕ = m z EI ω ϕ (4) (GI v + σ z I p)ϕ x a v + y a u =, º¾ µ º¾ µ Ñ σz = º ÁÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ ÔÓ Ð Ù Ò ÝÐ Ò ÙÚ Ò Ð ÓÒ dz ÔÓ ØØ ÙÓÖÑ Ø q x = dq x = σz[u(z) + (y a y)ϕ(z)] d º¾ µ = (u + y a ϕ ),

142 º½º Ã Ø ÔÙÖ Ø ØØÙ ÙÚ q y = dq y = σ z [v(z) (x a x)ϕ(z)] d = (v x a ϕ ). Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ q x q y Ø ÔÙÑ Ú Ú Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò ½ º ¼µ Ô ÝØÒ Ø ÚÙØÙ Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ò EI y u (4) = q x, º ½µ EI x v (4) = q y º ¾µ EI y u (4) + (u + y a ϕ ) =, EI x v (4) + (v x a ϕ ) =. º µ º µ ÁÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ ÒÑ Ø Ò ÖØ Ò Ð Ù ÙÑ ÐÐ ÒØ ÖÓ Ñ Ú ÓØ Ó Ò z = ÑÓ¹ Ñ ÒØØ Ò Ð Ù ÚÓ Ñ Ò ÚÙÐÐ ØÙÐ EI y u + (u + y a ϕ) = M y () zq x (), EI x v + (v x a ϕ) = M x () zq y (). Ë Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ò ÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ ÚÒÒ Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ø ( ) EI ω ϕ Ip + GI v ϕ x a v + y a u = B() zm z (). º µ º µ º µ º½º½ Ã Ó ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÔÓ Ð Ù Ã Ó ÝÑÑ ØÖ Ò ÔÓ Ð Ù Ò Ø Ô Ù x a = y a = ÝØ ÒØ Ø ÚÙØÙ Ò ÚÒÒ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò ÚÐ ÐØ ØÓ º ÌÐÐ Ò Ò ÚÒÒ Ò Ö ÒØ ¹ Ð Ý ØÐ Ø Ò Ò EI ω ϕ (4) (GI v + σzi p )ϕ =. º µ Â Ñ ÐÐ Ý ÝÝ ÐÐ EI ω ØÙÐ ϕ (4) + k ϕ =, º µ Ñ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò º µ Ö Ø Ù ÓÒ k = σ z I p + GI v EI ω. º ¼µ ϕ(z) = C sin kz + C cos kz + C 3 z + C 4. º ½µ Ñ Ö º½ ÅÖ Ø ØÒ Ú Ô Ø ØÙ ØÙÒ Ô Ð Ö Ò ÚÒØ ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ ÙÒ Ô ¹ Ð Ö Ò ÔÓ Ð Ù ÓÒ Ó ÝÑÑ ØÖ Ò Òº

143 ½ ÄÍÃÍ º ÎÒØ ÒÙÖ Ù Î Ô Ø ØÙ ØÙÒ Ô Ð Ö Ò Ö ÙÒ ÓØ ÓÚ Ø ϕ() = ϕ() =, ϕ () = ϕ () =. º ¾µ º µ Ê ÙÒ ØÓ Ò ÚÙÐÐ Ò ØØ C = C 3 = C 4 = Ó ¹ØÖ Ú Ð ÐÐ Ö Ø ¹ ÙÐÐ ØÙÐ sin k =, º µ Ñ Ø ÙÖ k = nπ n =,, 3,... Ö ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ ÓÒ kr = = ( ) GI v + π I p EI ω. º µ Ñ Ö º¾ ÅÖ Ø ØÒ ÐÐ Ò Ñ Ö Ò Ô Ð Ö Ò ÚÒØ ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ ÚÒ¹ Ò Ò Ù Ø Ò Ý Ø ÒÒ Ø ØÝÒ ÙÚ Ò Ö ÙÒ Ó ÐÐ ϕ() = ϕ() = ϕ () = ϕ () = º Ê ÙÒ ØÓ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò ÒØ ÖÓ Ñ Ú Ó ÐÐ Ý ØÐ Ø C = C, C = C 3 =. º µ º µ ¹ØÖ Ú Ð Ö Ø Ù ÓÒ Ø Ø Ô Ù ÓÐ Ñ Ó k = nπ Ö ØØ ÙÓÖ¹ Ñ ØÙÐ kr = = ( ) GI v + 4π I p EI ω. º µ º½º¾ Ð Ò Ò ÔÓ Ð Ù Ð Ò ÔÓ Ð Ù Ò Ø Ô Ù ÐÐ Ó ØÙØ Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ø ÓÚ Ø ØÓ Ò ÝØ ÝØÝÒ Øº EI y u (4) + (u + ϕ y a ) =, EI x v (4) + (v ϕ x a ) =, º µ º ¼µ EI ω ϕ (4) (GI v + σ zi p )ϕ x a v + y a u = º ½µ Ñ Ö º ÅÖ Ø ØÒ Ú Ô Ø ØÙ ØÙÒ ÙÚ Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ ÙÒ ÔÓ ¹ Ð Ù ÐÐ ÓÐ ÝÑÑ ØÖ Ø Ó º Î Ô Ø ØÙ ØÙÒ ÙÚ Ò Ö ÙÒ ÓØ ÓÚ Ø u() = v() = ϕ() = u() = v() = ϕ() =, u () = v () = ϕ () = u () = v () = ϕ () =. º ¾µ º µ Ê ÙÒ ÓØ ØÓØ ÙØÙÚ Ø Ú Ð Ø Ñ ÐÐ ÚÒØ Ò ÖØÝÑ ÐÐ ÚÒØÝÑÐÐ ØÝ Ø u(z) = C sin π z, v(z) = C sin π z, ϕ(z) = C 3 sin π z. º µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÓØ ÙØÙØ ÙÒ Ø ÓØ Ø Ô ÒÓ ØÓ Ò º µ ØÙÐ [ ( ] π EIy C + y a C 3 =, º µ ) [ ( ] π EIx C x a C 3 =, º µ ) [ Ip ( π ) ] y a C x a C + EIω GI v C 3 =. º µ

144 º½º Ã Ø ÔÙÖ Ø ØØÙ ÙÚ ½ ÅÖ Ø ÐÐÒ ÙÙÖ Ø ( π ) x = EIx, º µ ( π ) y = EIy, º µ ϕ = [ (π ) ] EIω + GI v, º ¼µ I p Ñ x y ÓÚ Ø Ò Ú Ð ÙÚ Ò ÙÐ Ö Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ø Ø ÚÙØÙ x Ò y Ò ÝÑÔÖ ϕ ÓÒ Ò Ú Ð ÙÚ Ò ÚÒØ ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ º Ì Ô ÒÓÝ ØÐ Ò ÖÝ ÑÐÐ ÓÒ ¹ØÖ Ú Ð Ö Ø Ù Ó Ò ÖÖÓ Ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ ÒÓÐÐ Ð det Ó ÓÒ Ù Ö Ó Ø ØØÙÒ y y a x x a y a x a I p ( ϕ) =, º ½µ I p ( x)( y )( ϕ ) y a ( x) x a ( y) =, º ¾µ Ø [ ] I 3 + ( x ya + y x I p I a) ( x + y + ϕ ) p Ñ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ I = I x + I y º + ( x y + x ϕ + y ϕ ) x y ϕ =, º µ ÃÖ ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ ÓÒ ÓÐÑ ÒÒ Ò Ø Ò Ý ØÐ Ò º ¾µ Ô Ò Ò ÙÙÖ kr =. º µ ÅÙÓØÓ f() = ÓÐ Ú Ò Ý ØÐ Ò º ¾µ ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÖÚ Ó ÙÙÖ i i =,, 3º ËÙÙÖ ÐÐ Ò ÖÚÓ ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò f() Ñ Ö ÑÖÝØÝÝ ÓÐÑ ÒÒ Ò Ø Ò Ø ÖÑ Ò I p 3 I p > Ô ÖÙ Ø ÐÐ º ÂÓ = Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ f() ÖÚÓ ÓÒ x y ϕ Ó ÓÒ Ò Ø Ú Ò Òº ÇØ ÙØ Ò ØØ x < y º ÂÓ = x Ò Ò f() = x x a ( x y ) >. º µ ÂÓ = y Ò Ò f() = y y a( y x ) <. º µ ØÐ ÐÐ f() = ÓÒ Ø Ò ÓÐÑ ÔÓ Ø Ú Ø ÙÙÖØ Ó Ø Ý ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ù Ò x Ý ÓÒ ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò y ÓÐÑ ÙÙÖ ÓÒ x Ò y Ò ÚÐ º Ë Ñ ÒÐ Ò Ò ÔØØ ÐÝ ÚÓ Ò ØÓ Ø Ø Ô Ù y < x º ÎÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ < ϕ º ÂÓ ϕ < x ϕ < y Ò Ò f( ϕ ) > º ËÙÙÖ Ò ÙÙÖ 3 ÓÒ ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò ϕ º Ã Ø Ô Ù Ý ÙÙÖ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ù Ò x y Ø ϕ Ý ÙÙÖ ÓÒ ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò x y Ø ϕ Ý ÙÙÖ ÓÒ x Ò y Ò ÚÐ º Ñ Ö º ÌÙØ Ø Ò Ý Ø ØÙ ØÙÒ ÙÚ Ò ÒÙÖ Ù Ø º

145 ½ ¼ ÄÍÃÍ º ÎÒØ ÒÙÖ Ù f() ϕ x y 3 f() x y ϕ 3 ÃÙÚ º ÈÓÐÝÒÓÑ Ò f() ÒÓÐÐ Ó Øº ÂÝ Ø ØÙ ØÙÒ ÙÚ Ò Ö ÙÒ ÓØ ÓÚ Ø u() = v() = ϕ() = u() = v() = ϕ() =, u () = v () = ϕ () = u () = v () = ϕ () =. º µ º µ Ë ÙÚ Ò Ø ÚÙØÙ Ò ÚÒÒ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò ÒÝØ EI y u + (u + ϕy a ) EI y u () =, º µ EI x v + (v ϕx a ) EI x v () =, º ¼µ EI ω ϕ (4) (GI v + σ z I p)ϕ x a v + y a u =, º ½µ Ñ M y () = EI y u () M x () = EI x v () ÓÚ Ø Ø ÚÙØÙ ÑÓÑ ÒØ Ø Ó z = º Î ØÓ ØÓ Ø ÚÓ Ø Ò Ø ÚÙØÙ ÐÐ ÝØØ Ý ØÐ Ø Ê ÙÒ ÓØ ØÓØ ÙØØ Ú Ö Ø Ù ÓÒ EI y u (4) + (u + y a ϕ ) =, º ¾µ EI x v (4) + (v x a ϕ ) =. º µ ( u(z) = C cos πz v(z) = C ( cos πz ϕ(z) = C 3 ( cos πz ), º µ ), º µ ). º µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ö Ø ÙÝÖ ØØ Ø Ø Ô ÒÓ ØÓ Ò ØÙÐ ÓÐÑ Ò Ý ØÐ Ò ÓÑÓ Ò Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÒØ ÖÓ Ñ Ú Ó Ò C i ÑÖ ØØÑ º ØØ Ñ ÐÐ ÖÝ ÑÒ ÖÖÓ Ò¹ Ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÒÓÐÐ Ò ÐÐ Ò ÓÐÑ ÒÒ Ò Ø Ò Ý ØÐ º ¾µ f() = ÙÙÖØ Ò i Ö ØØ Ò ÙÓÖÑ Ò ÑÖ ØØÑ Òº ÌÙÐÓ ÓÒ ÑÙÙØ Ò Ñ Ù Ò Ð¹ Ð Ñ Ö ÑÙØØ ÒÝØ Ø Ò π 4π Ø Ð ÐÐ Ö Ó Ø Ø Ò º

146 º½º Ã Ø ÔÙÖ Ø ØØÙ ÙÚ ½ ½ Ñ Ö º ÅÖ Ø ØÒ ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ ÙÚ ÐÐ ÓÒ ÔØÝÔÓ Ð Ù Ø Ò ÖØÝÑ x Ò y Ò ÝÑÔÖ ÓÒ Ø ØØÝ ÑÙØØ ÙÚ Ò ÔØÝ Ò Ð Ù ÚÓ Ñ Ø ÚÒ¹ Ø ÑÓÑ ÒØ Ø ÓÚ Ø ÒÓÐÐ º Ë ÙÚ Ò Ö ÙÒ ÓØ ÓÚ Ø u () = v () = ϕ () = u () = v () = ϕ () =, u () = v () = ϕ () = u () = v () = ϕ () =. º µ º µ º½º Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø Ö ÙÒ ÓØ ØÓØ ÙØØ Ú Ö Ø Ù ÓÒ Ñ n =,, 3,...º u(z) = C cos nπz, v(z) = C cos nπz, ϕ(z) = C 3 cos nπz, º µ º ¼µ º ½µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ö Ø ÙÝÖ ØØ Ø Ø Ô ÒÓ ØÓ Ò Ò ÐÐ Ò ÓÐÑ Ò Ý ØÐ Ò Ó¹ ÑÓ Ò Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÓÒ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ø Ø Ò ÒÓÐÐ º ÌÙ¹ ÐÓ Ò ÓÒ Ñ ÓÐÑ ÒÒ Ò Ø Ò Ý ØÐ º ¾µ f() = Ù Ò Ò Ú ÐØÙ ØÙÒ ÙÚ Ò Ø Ô Ù Ö ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ ÓÒ Ñ º Ò Ð Ò Ù Ø Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÔÓ Ð Ù ÂÓ ÙÚ ÐÐ ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ø Ó (x,z)¹ø Ó ÔÓ Ð Ù ÐÐ ÝÑÑ ØÖ ¹ Ð x¹ Ð Ò Ò y a = ØÐÐ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò ÖÝ Ñ ØÙÐ ÑÙÓØÓÓÒ EI y u + u =, EI x v + (v ϕx a ) =, º ¾µ º µ EI ω ϕ (4) (GI v + σ zi p )ϕ x a v =. º µ Ñ Ö º ÅÖ Ø ØÒ Ú Ô Ø ØÙ ØÙÒ Í¹ÔÖÓ Ð ÙÚ Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ º Î Ô Ø ØÙ ØÙÒ ÙÚ Ò Ö ÙÒ ÓØ ÓÚ Ø v() = ϕ() = v() = ϕ() =, v () = ϕ () = v () = ϕ () =. º µ º µ Ê ÙÒ ÓØ ØÓØ ÙØÙÚ Ø ÓØ ÙÑ ÐÐ ÖØÝÑ ÐÐ u(z) v(z) ÚÒØ ÙÐÑ ÐÐ ϕ(z) ¹ ØÝ Ø u(z) = C sin π z, v(z) = C sin π z, ϕ(z) = C 3 sin π z. º µ Ò ÑÑ Ò Ò Ø Ô ÒÓ ØÓ ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÑÙ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØ Ò ÚÙÐÐ ¹ Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ø ÓØ ÚÙØÙ (x, z)¹ø Ó ÙÒ Ô Ð Ø ÔÙÙ ÒÙÖ Ø ¹ Ò Ð Ò x ÙÙÒØ Òº Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÓØ ÙØÙØ ÙÒ Ø ÓØ v ϕ Ø Ò Ð ÑÑ Ò Ø Ô ÒÓ ØÓÓÒ º ¾µ ØÙÐ [ ( ] π EIx C x a C 3 =, º µ ) [ Ip ( π ) ] x a C + EIω GI v C 3 =. º µ

147 ½ ¾ ÄÍÃÍ º ÎÒØ ÒÙÖ Ù kr / x..6 ¾. ½ ½º¼ kr = ϕ ½º¾ kr = x x O ¼ I p I =. ½º ½ ¾ ϕ / x y ÃÙÚ º ØÐ Ò º µ ÙÙÖ Øº Å Ö ØÒ ÐÐ Ò ØØ ( π ) x = EIx, º ¼µ ( π ) y = EIy, º ½µ ϕ = [ (π ) ] EIω + GI v, º ¾µ I p ÓÚ Ø Ò Ú Ð ÙÚ Ò ÙÐ Ö Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ø Ø ÚÙØÙ x Ò ÝÑÔÖ y Ò ÝÑÔÖ ÚÒØ ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ º Ò ÑÑ Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ò Ö Ø ÙÒ ÑÙ Ò Ö ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ ÓÒ kr = y º Ã Ò Ð ÑÑ Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ò ÖÝ ÑÐÐ ÓÒ ¹ØÖ Ú Ð Ö Ø Ù Ó Ò Ö¹ ÖÓ ÒÑ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ ÒÓÐÐ Ð det x x a I p x a ( =, º µ ϕ) Ó Ø ÙÖ Ø I p ( x)( ϕ ) x a = I I p ( x + ϕ ) + x ϕ =, Ñ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ I = I x + I y I p = I + (x a + y a )º º µ º µ ÌÓ Ò Ø Ò Ý ØÐ ÐÐ º µ ÓÒ ÙÙÖØ Ó Ø Ô Ò ÑÔ ÙÙÖ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ù Ò x ϕ º ËÙÙÖ ÑÔ ÙÙÖ ÓÒ ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò x ϕ ÙÚ º º º¾ ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÔÙÖ Ø ØØÙ ÙÚ ÓØ ÙÓÑ ØØ Ú Ø Ð Ø ÚÙØÙ ÑÓÑ ÒØ Ø M x M y º ÅÓÑ ÒØØ ÙÑ Ø M x M y ÓÚ Ø Ø Ø Ð ÓÓÖ Ò Ø Ò z Ù Ø Ò Ú ÓØº ÃÙÓÖÑ ØÙ ¹ Ò ÙØØ Ñ ÙÚ Ò Ð Ù ÒÒ ØÝ ÓÒ ÒÝØ σ z = M y I y x + M x I x y. º µ

148 º¾º ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ ½ z z M y M x y x a x dq y dq x y a y x M y x M x y ÃÙÚ º ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ º Ë ÙÚ Ò Ø ÔÙ ÖØÝ ÒÙÖ Ù Ò Ý Ø Ý ÝÒØÝÝ Ð ÒÒ ØÝ È ÓÓÖ Ò Ø ØÓ σ z = M y I y x + M x I x y + B I ω ω(x,y). º µ M y = EI y u, º µ M x = EI x v, º µ B = EI ω ϕ. º½¼¼µ Ø Ò Ø Ð ÒÒ ØÝ σ z ÓÒ σ z = σ z + σ z = M y I y x + M x I x y M y I y x + M x I x y + B I ω ω(x,y). Ë ÙÚ Ò Ø ÚÙØÙ Ò ÚÒÒ Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ø ÓÚ Ø Ô ÓÓÖ Ò Ø ØÓ º½¼½µ EI y u (4) = q x, º½¼¾µ EI x v (4) = q x, º½¼ µ EI ω ϕ (4) GI v ϕ = m z. º½¼ µ Ì Ø ÔÙÖ Ø ØÙÒ Ø ÚÙØ ØÙÒ ÙÚ Ò Ø Ô Ù Ò Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ù Ò ÔÙÖ ¹ Ø ØÙÒ ÙÚ Ò Ø Ô Ù ÐÐ Ø Ö Ø ÐØ Ú Ò Ò (d t(s)ds) dz Ô Ò Ú ÙØ¹ Ø Ú Ø ÚÓ Ñ Ø σz d ÝÒØÝÚ ÐÐ ÔÓ ØØ ÙÓÖÑ ÐÐ Ð Ù Ø dq x (x,y,z) = σ z [u(z) + (y a y)ϕ(z)] d, dq y (x,y,z) = σ z[v(z) (x a x)ϕ(z)] d. º½¼ µ º½¼ µ

149 ½ ÄÍÃÍ º ÎÒØ ÒÙÖ Ù ÁÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ ÔÓ Ð Ù Ò ÝÐ ØÙÐ q x = dq x = σ z [u(z) + (y a y)ϕ(z)] d = u (y a + Mx)ϕ, q y = dq y = σ z[v(z) (x a x)ϕ(z)] d = v + (x a M y)ϕ. Î Ø Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ò ÚÒØ ÑÓÑ ÒØØ ÙÓÖÑ ÁÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ ÔÓ Ô ÒÒ Ò ÝÐ ØÙÐ m z = dm z dm z (x,y,z) = (y a y)dq x (x a x)dq y = = (y a y)σ z[u(z) + (y a y)ϕ(z)] d (x a x)σ z[v(z) (x a x)ϕ(z)] d. [(y a y)dq x (x a x)dq y ] d = (y a y)σz[u(z) + (y a y)ϕ(z)] d (x a x)σz [v(z) (x a x)ϕ(z)] d. Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ð Ù ÒÒ ØÝ Ò σz Ú Ò m z ÐÐ Ò ÑÙÓØÓÓÒ ( ) m z = M y x + M x y (y a y)[u(z) + (y a y)ϕ(z)] d I y I x ( M y I y x + M x I x y ) (x a x)[v(z) (x a x)ϕ(z)] d º½¼ µ º½¼ µ º½¼ µ º½½¼µ º½½½µ = (y a + M x )u + (x a M y )v ( M x β x + M y β y + I p)ϕ, Ñ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ β x = ( I x y 3 d + x y d) y a, º½½¾µ β y = ( I y x 3 d + xy d) x a. º½½ µ

150 º¾º ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ ½ z y e x M y M x M y x e y x dz x y e x M x ÃÙÚ º Ô Ø ÔÙÖ Ø ØØÙ ÙÚ º Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÙÙÖ Ø q x q y m z Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ò º½¼¾µ Ò Ö ÒØ Ð Ý ¹ ØÐ Ò ÖÝ Ñ º¾º½ EI y u (4) + u + (y a + M x)ϕ =, º½½ µ EI x v (4) + v (x a M y)ϕ =, º½½ µ EI ω ϕ (4) (GI v + M x β x M y β y I p)ϕ Ô Ò Ò ÔÙÖ ØÙ +(y a + M x )u (x a M y )v =. º½½ µ Ô Ò ÔÙÖ ØÙ Ò Ø Ô Ù Ð ÙØ Ð Ò ÑÓÑ ÒØ Ø ÓÚ Ø Ì Ô ÒÓ Ó Ò Ø Ø Ô Ù M x = e y, M y = e x. º½½ µ EI y u (4) + u + (y a e y )ϕ =, º½½ µ EI x v (4) + v (x a e x )ϕ =, º½½ µ EI ω ϕ (4) (GI v e y β x e x β y I p)ϕ +(y a e y )u (x a e x )v =. º½¾¼µ Ñ Ö º È Ð ÙÓÖÑ ØØ ÔÙ Ø Ò Ò Ø ÚÙØÙ ÑÓÑ ÒØØ ÙÓÖÑ M x M y = = º ÈÓ Ð Ù ÓÒ Ô I x I y º ÅÖ Ø ØÒ Ö ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ º Ñ Ö Ò Ø Ô Ù Ø ÖÚ ØØ Ú Ø Ò ÑÑ Ò Ò ÓÐÑ Ø Ô ÒÓ ØÓ ÙÔ ØÙÚ Ø ÑÙÓØÓÓÒ EI y u (4) + M x ϕ =, º½¾½µ EI ω ϕ (4) (GI v + M xβ x )ϕ + M xu =. º½¾¾µ Î Ô Ø ØÙ ØÙÒ ÙÚ Ò Ö Ø Ù ÓÒ u = C sin πz, ϕ = C 3 sin πz. º½¾ µ

151 ½ ÄÍÃÍ º ÎÒØ ÒÙÖ Ù y y y y M x M x z x x x β x = ÃÙÚ º ÈÙ Ø ÚÙØÙ º Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø ÔÙÑ Ò ÚÒØ ÙÐÑ Ò Ð Ù Ø Ø Ô ÒÓ ØÓ Ò Ò Ò¹ Ø ÖÓ Ñ Ú Ó Ò C C 3 ÑÖ ØØÑ Ò Ò Ý ØÐ Ò ÓÑÓ Ò Ò Ò Ý ØÐ ¹ ÖÝ Ñº ØØ Ñ ÐÐ ÖÝ ÑÒ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÒÓÐÐ ØÙÐ ÑÓÑ ÒØ Ò M x Ù Ø Ò ØÓ Ò Ø Ò Ý ØÐ Å Ö Ø ÑÐÐ ÐÐ Ò π EI ( y π ) [GI v + EI ω + M x β x ] (Mx) =. º½¾ µ Ò ØÓ Ò Ø Ò Ý ØÐ ÑÙÓØÓÓÒ ( π ) y = EIy, º½¾ µ ϕ = [ (π ) ] EIω + GI v, º½¾ µ I p ÓÒ Ö Ø Ù ÓÒ (M x) y β x M x I p y ϕ =, M x,kr = yβ x ± (y β x ) + I p y ϕ. º½¾ µ º½¾ µ Ã Ó ÝÑÑ ØÖ Ò ÔÓ Ð Ù Ò Ø Ô Ù Ñº Á¹ÔÓ Ð Ù ÔÓ Ð ¹ Ù ÙÙÖ β x = ØÐÐ Ò Ö ØØ Ò Ò ÑÓÑ ÒØØ ÓÒ Mx,kr Ip = ± y ϕ = ± π [ (π ) ] EI y EIω + GI v. º½¾ µ Ã Ú ÔØ ÑÝ ¹ÔÓ Ð Ù ÐÐ º Ã Ô Ò ÙÓÖ ÔÓ Ð Ù Ò Ø Ô Ù ¹ I ω I v = 3 t3 h Ñ h t ÓÚ Ø ÔÓ Ð Ù Ò ÓÖ Ù Ð Ú Ý Ö ØØ Ò Ò ÑÓÑ ÒØØ ÓÒ Mx,kr = ±π t 3 h EG. º½ ¼µ 6 º ÎÒØ ÒÙÖ Ù Ø ØÚÒ Ö Ø Ù Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ Ì ÓÒÙÖ Ù Ò Ö ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ ÑÖ Ø ØØ Ò ÌÖ ØÞ Ò Ó Ø ( ) δ δ Π = δ [EI(v ) (v ) ]dx =, º½ ½µ

152 º º ÎÒØ ÒÙÖ Ù Ø ØÚÒ Ö Ø Ù Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ ½ x, u y, v z x y ÃÙÚ º Ì ÓÒÙÖ Ù ÚÒØ ÒÙÖ Ù º Ñ δ Π = EI(v ) dx (v ) dx º½ ¾µ ÓÒ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Π ØÓ Ò Ò Ú Ö Ø Óº ÈÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ ØÓ Ò Ò Ø Ö¹ Ñ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó σx (v ) ddx = (v ) dx, º½ µ ÙÒ ÙÚ Ø ÔÙÙ Ø ÓÒÙÖ Ù (x,y)¹ø Ó ÙÚ Ò Ð ÓÒ x¹ Ð σ x = ÓÒ ÔÓ Ð Ù Ò Ô ÒØ ¹ Ð º ÎÒØ ÒÙÖ Ù Ø ØÚ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Π ØÓ Ò Ò Ú Ö Ø Ó ØÙÐ Ô ÓÓÖ Ò ¹ Ø ØÓ (x,y,z) Ñ z ÓÒ ÙÚ Ò Ð ÑÙÓØÓÓÒ [ EIy (u ) + EI x (v ) + EI ω (ϕ ) + GI v (ϕ ) ] dz + ÌÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ú Ò Ø ÖÑ Ò EI(v ) dx Ø Ð ÐÐ ÓÒ ØÙÐÐÙØ ÒÝØ σ z[(u Q) + (v Q) ]ddz. º½ µ [ EIy (u ) + EI x (v ) + EI ω (ϕ ) + GI v (ϕ ) ] dz, º½ µ Ø ÓÒÙÖ Ù Ø Ô Ù Ò ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ð ÑÑ Ò Ò Ø ÖÑ Ø ÒÙÖ Ù Ò Ø Ô Ù ÝÐ Ø ØØÝ ÑÙÓØÓÓÒ (v ) dx ÓÒ ÚÒ¹ σ z [(u Q ) + (v Q ) ]ddz. º½ µ

153 ½ ÄÍÃÍ º ÎÒØ ÒÙÖ Ù b h y x a ÃÙÚ º½¼ Æ Ú Ð ÙÚ Ò ÒÙÖ Ù º Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Π Ò ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ð ÑÑ Ò Ø ÖÑ Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ô Ø Ò Q Ö¹ ØÝÑØ ÚÒØ Ò ÖØÝÑ Ò u v ÚÙÐÐ Ð Ù ÙØØÙ Ò ÑÙÓ Ó u Q (x,y,z) = u(z) + (y a y)ϕ(z), v Q (x,y,z) = v(z) (x a x)ϕ(z) º½ µ º½ µ Ò = = σ z ((u Q ) + (v Q ) )dz σ z [ (u + (y a y)ϕ ) + (v (x a x)ϕ ) ] ddz [ (u ) + (v ) + I ] p (ϕ ) x a v ϕ + y a u ϕ dz, º½ µ Ñ (x a,y a ) ÓÚ Ø ÚÒØ Ò ÓÓÖ Ò Ø Ø I = I x + I y I p = I + (x a + y a ) I x = y d I y = x d Ð Ö Ú ØØ ÓÓÖ Ò Ø Ò z Ù Ø Ò ÓÒ ( ) d( ) dz º Ø Ò Π Ò ØÓ Ò Ò Ú Ö Ø Ó ÓÒ δ Π = [ EIy (u ) + EI x (v ) + EI ω (ϕ ) + GI v (ϕ ) ] dz [ (u ) + (v ) + I ] p (ϕ ) x a v ϕ + y a u ϕ dz, º½ ¼µ Ñ u v ϕ ÓÚ Ø Ð ÖØÝÑØ ÚÒØ ÙÐÑ ÙÓÖ Ò Ô ÖÙ Ø Ð Ò Ù Ø Òº Ñ Ö º ÅÖ Ø ØÒ Ò Ú ÐØÙ ØÙÒ ÙÚ Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ º Ë ÙÚ Ò ÔÓ Ð ¹ Ù ÓÒ x¹ Ð Ò Ù Ø Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ò U¹ÔÖÓ Ð º

154 º º ÎÒØ ÒÙÖ Ù Ø ØÚÒ Ö Ø Ù Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ ½ ÇØ Ø Ò ÝØØ Ò Ñ Ò ÓØÓÒ ÓÓÖ Ò ØØ ζ = z ÙÒ ÓÒ Ò Ú ÐØÙ ØÙÒ Ô Ð Ö Ò Ô ØÙÙ º Ë ÙÚ Ò Ö ÙÒ ÓØ ØÓØ ÙØÙÚ Ø Ú Ð Ø Ñ ÐÐ ÖØÝÑ ÙÙÖ ÐÐ ØÝ Ø u(ζ) = sin πζ, v(ζ) = B sinπζ, ϕ(ζ) = C sin πζ. º½ ½µ º½ ¾µ º½ µ ËÝÑÑ ØÖ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ y a = º ÈÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ò Ò Ú Ö Ø Ó ÓÒ ÒÝØ δ Π = [ EI y ( d ) u dζ + EI x [ (du ) + dζ ( ) dv + I p dζ ( d ) v dζ + EI ω ( d ϕ dζ ( ) dϕ dv x a dζ dζ ) ( ) ] dϕ + GI v dζ dζ ] dϕ dζ, dζ Ñ ÓÒ ÓØ ØØÙ ÙÓÑ ÓÓÒ ØØ dz = dζ d( ) dz = d( ) dζ y a = º º½ µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÓØ ÙØÙØ ÖØÝÑ ÙÙÖ Ø ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ú Ò ØÙÐ ÒØ ÖÓ ÒØ Ò Ð Ò sin πζ dζ = cos πζ dζ = /µ δ Π = 4 [ EI y π π ( π 4 + B EI x π + C π + B + I C p (GI v + EI ω π π x abc π ). )] º½ µ Ö ÚÓ Ñ ÐÐ Π Ò ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ð Ù Ô Ö Ñ ØÖ Ò B C Ù Ø Ò ½ Ò Ý ØÐ Ø (δ [ Π) (π ) = EIy ] =, º½ µ (δ [ Π) (π ) B = EIx ] B + x a C =, º½ µ [ (π (δ Π) C = x ab + ) EIω + GI v I p ] C =. º½ µ Ò ÑÑ Ø Ý ØÐ Ø Ö Ø Ø ÓÒÙÖ Ù Ò Ö ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ Ø ÚÙØÙ (x, z)¹ø Ó ( π ) y = EIy. º½ µ ØØ Ñ ÐÐ Ò Ð ÑÑ Ò Ý ØÐ Ò ÖÝ ÑÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÒÓÐÐ Ò det x x a I p x a ( =. ϕ ) º½ ¼µ ½ δ(δ Π) = (δ Π) δ + (δ Π) B δb + (δ Π) C δc = º

155 ½ ¼ ÄÍÃÍ º ÎÒØ ÒÙÖ Ù ÐÐ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ ØØ ( π ) x = EIx, º½ ½µ ( π ) y = EIy, º½ ¾µ ϕ = [ (π ) ] EIω + GI v. º½ µ I p Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÒÓÐÐ Ó Ø ÙÖ I p ( x )( ϕ ) x a =, º½ µ Ø I I p ( x + ϕ ) + x ϕ =, Ñ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ I = I x + I y I p = I + (x a + y a )º º½ µ ÌÓ Ò Ø Ò Ý ØÐ ÐÐ º½ µ ÓÒ ÙÙÖØ Ó Ø Ô Ò ÑÔ ÙÙÖ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ù Ò x ϕ ÙÙÖ ÑÔ ÙÙÖ ÓÒ ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò x ϕ º Ê Ø Ù ÓÒ Ñ Ù Ò ÑÑ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø ØÙ ØÙÐÓ Ó Ò Ú Ð ÙÚ Ò Ø Ô Ù ÓØ ÙØÙØ ÖØÝÑ ÙÙÖ Ø ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ö ÙÒ ØÓ Ò Ð ÑÝ ÒØØÝ ØÐ Øº

156 ÄÙ Ù ½¼ Ã Ô Ù ½¼º½ Ã Ô Ù Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø ÌÙØ Ø Ò (y,z)¹ø Ó ÙÓÖÑ Ø ØØÙ ÙÚ ÓÒ ÔÓ Ð Ù Ò Ý ÝÝ I x ÓÒ Ô Ð ÓÒ ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò Ý ÝÝ I y Ô ÓÓÖ Ò Ø ØÓ º ÌÐÐ Ò Ò ÙÚ ÚÓ Ñ Ò ØØ Ø Ð ÙØ Ò Ô Ø Ñ ÐÐ ÓÐÐÓ Ò ÔÓ Ð Ù ÖØÝÝ ÖØÝÝ ÚÙÐÐ º Ë ÙÚ Ò ÙÓÖÑ ØÙ Ò ÚÓ ÓÐÐ ÑÝ ÑÓÑ ÒØØ M x Ó ÚÓ ÙØÙ Ñº Ô Ø ÔÙÖ Ø Ú Ø ÚÓ Ñ Ø º ÂÓ ÙÚ ÙÓÖÑ ØØ ÔÓ ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ (y,z)¹ø Ó ØØ ÔÙÖ Ø Ú ÚÓ Ñ Ò Ò Ò Ý Ø ØØÝ Ô Ù ¹ ÚÒØ ÒÙÖ Ù Ø ØÚº ÇØ ÙØ Ò ØØ ÙÚ Ò Ð ÙÒÓÖÑ Ð ÒÒ ØÝ ÓÒ Ú Ð ÝÐÐ ÙÚ ÐØÙ ÝÐ ÑÔ Ð Ô ÓÓÖ Ò Ø ØÓ σ z = N M y I y x + M x I x y, ½¼º½µ Ñ N = º Ð ÙØ Ð Ò Ð Ù ÒÒ ØÝ ÑÖ Ø ØÒ ÒÓÖÑ Ð ÒÒ ØÝ Ò σz ÚÙÐÐ ÓÑÓ Ò Ø Ø Ô ÒÓ Ó Ø σz z + τ zs s = ½¼º¾µ ÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ Ò ÒÑÒ Ô ÙÙ ÐÐ t(s) ÖÖÓØØÙÒ µ τ zs(s,z)t(s) = (N (z)) (s) + (M y (z)) I y S y (s) (M x(z)) I x S x (s). ½¼º µ Ä Ù ÒÒ ØÝ Ò τ zs(s,z) Ú ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÔÓ Ð Ù ÙÙÖ Ø (s) = S y = S x = (s) s s d = s x(s)t(s)ds, y(s)t(s)ds, ½ ½ t(s)ds, ½¼º µ ½¼º µ ½¼º µ

157 ½ ¾ ÄÍÃÍ ½¼º Ã Ô Ù ϕ M x x, u y, v ÃÙÚ ½¼º½ Ã Ô Ò ÙÐÓ Ò Ô Ù º α dx dy ds sin α = dy ds cos α = dx ds x x Q α τ zs O y x ϕ α Q τ zs O y s α ϕ τ zs τ zs ϕ τ zs ϕcos α τ zs ϕsin α y ÃÙÚ ½¼º¾ Ì ÓÒ (y,z) Ù Ø Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÔÓ Ð Ù º ÓØ ÓÚ Ø Ø Ö Ø ÐØ Ú Ò Ð Ù Ò s Ó ÐÐ ÔÓ Ð Ù Ò Ó Ò Ô ÒØ ¹ Ð Ø Ø¹ Ø Ø ÑÓÑ ÒØ Ø Ô ÓÓÖ Ò Ø ØÓ º ÇØ ÙØ Ò Ý Ò ÖØ ÙÙ Ò ÚÙÓ ØØ (N ) = º Ð Ò x y ÙÙÒØ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø ÓÚ Ø τ zx = τ zs cos α, τ zy = τ zs sin α, ½¼º µ Ñ α ÓÒ ÔÖÓ Ð Ò ÒÑÒ Ú Ú Ò ÒÓÖÑ Ð Ò y¹ Ð Ò ÚÐ Ò Ò ÙÐÑ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÐÐ Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ô Ø Ò Q ÝÑÔÖ Ø Ø ÖÓØ ØÙÒ Ò (t(s)ds) dz Ø Ô ÒÓ º ÂÒÒ ØÝ Ø σ z τ zx τ zy ÙØÙÚ ÐÐ ÔÓ ØØ ÙÓÖÑ ÐÐ Ò Ð Ù ¹ Ø dq x (x,y,z) = { σ z [u Q(z)] } d [τ zy ϕ(z)] d, dq y (x,y,z) = { σ z[v Q (z)] } d + [τ zx ϕ(z)] d, ½¼º µ ½¼º µ Ñ u Q (z) v Q (z) ϕ(z) ÓÚ Ø Ô Ø Ò Q ÖØÝÑØ ÚÒØ ÙÐÑ Ò ÑÙÙØÓ Ô ÖÙ Ø Ð Ò

158 ½¼º½º Ã Ô Ù Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø ½ Ù Ø Òº Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÔÓ Ð Ù Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ô Ø Ò Q ÖØÝÑ Ò Ú Ø u Q (x,y,z) = u(z) (y y a )ϕ(z), v Q (x,y,z) = v(z) + (x x a )ϕ(z) ½¼º½¼µ ½¼º½½µ Ð Ù ÒÒ ØÝ Ø Ò Ú Ø ½¼º µ Ò dq x (x,y,z) = { σ z[u(z) (y y a )ϕ(z)] } d [(τ zs sin α)ϕ] d, dq y (x,y,z) = { σ z [v(z) + (x x a)ϕ(z)] } d [(τ zs cos α)ϕ] d, ½¼º½¾µ ½¼º½ µ Ñ u(z) v(z) ϕ(z) ÓÚ Ø ÚÒØ Ò ÖØÝÑØ ÚÒØ ÙÐÑ Ô ÖÙ Ø Ð Ò Ù Ø Ò ÚÒØ Ò ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÚ Ø (x a,y a )º Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÒÒ ØÝ Ø Ò Ú Ø ½¼º½µ ½¼º µ ÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ ÔÓ Ð Ù Ò ÝÐ ØÙÐ q x = dq x = [N (u + y a ϕ)] (Mx ϕ), ½¼º½ µ q y = dq y = [N (v x a ϕ)] (M y ϕ). ÈÓ ØØ ÚÓ Ñ Ò q x q y ÚÓ Ò Ó Ø Ñ ÓÒ ÓØ ØØÙ ÙÓÑ ÓÓÒ ØØ ½ S x t(s) sin α d = I x, S x cos α d =, t(s) ½¼º½ µ S y sin α d =, t(s) ½¼º½ µ S y t(s) cos α d = I y, ½¼º½ µ ½¼º½ µ ½¼º½ µ Ñ sin α = dy cos α = dx ds ds º ÎÒØ ÑÓÑ ÒØØ ÙÓÖÑ Ò m z ØÙÐ ÓÐÑ Ó ÙÙØØ º Ò ÑÑ Ò Ò ÓÑÔÓÒ ÒØØ dm z ÓÒ ÚÓ Ñ Ò dq x dq y ÑÓÑ ÒØØ dm z (x,y,z) = (y y a )dq x + (x x a )dq y = (y y a ) { σ z[u(z) (y y a )ϕ(z)] } d + (y ya )[τ zs sinα ϕ(z)] d + (x x a ) { σ z [v(z) + (x x a)ϕ(z)] } d (x xa )[τ zs cos α ϕ(z)] d. ½¼º¾¼µ ½ Ç ØØ ÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ ØÙÐ R S x sin αds = R s s R S y cos αds = R s s dy S x ds ds = Sxy R y(s) t(s)ds = I x Ó sin α = dy s ds S y dx «ds = Syx + R x(s) t(s)ds = I y Ó cos α = dx ds s ds º

159 ½ ÄÍÃÍ ½¼º Ã Ô Ù x ϕ y y a x x a dq y dq x y ÃÙÚ ½¼º ÃÙÓÖÑ Ò dq x dq y ÑÓÑ ÒØØ º x ϕ Q Q u Q v Q τ zs cos α τ zs τ zs sin α y ÃÙÚ ½¼º Ä Ù ÒÒ ØÝ Ò Ú ÙØÙ Ô Ø Ò ÖØÝÑ Ò Òº ÁÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ ÔÓ Ô ÒÒ Ò ÝÐ ØÙÐ m z = z u σz(y y a )d + v σz(x x a )d + z ϕ σz [(x x a) + (y y a ) ]d + z ϕ [τzs sin α(y y a ) τzs cos α(x x a )]d. ½¼º¾½µ Ä Ù ÒÒ ØÝ Ò τ zs Ú ÙØÙ Ô Ø Ò ÖØÝÑ Ò Ò ÙØØ ÚÒØ ÑÓÑ ÒØ Ò ÑÙÙ¹

160 ½¼º½º Ã Ô Ù Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø ½ x O y x O y ϕ y p y a p y p y ÃÙÚ ½¼º ÃÙÓÖÑ Ò Ú ÙØÙ Ô Ø Ò ÖØÝÑ Ò Òº ØÓ Ò m z = = [ τ z zy u Q τzx v ] Q d [ (τ z zs sin α)u Q + (τzs cos α)v ] ½¼º¾¾µ Q d. Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÔÓ Ð Ù Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ô Ø Ò Q ÖØÝÑ Ò Ú Ø u Q (x,y,z) = u(z) (y y a )ϕ(z), v Q (x,y,z) = v(z) + (x x a )ϕ(z) ½¼º¾ µ ½¼º¾ µ Ò m z = u z τzs sinαd + v τzs cos α d z z ϕ [(y y a )τzs sin α (x x a)τzs cos α]d. ½¼º¾ µ ÍÐ Ó Ò ÙÓÖÑ ØÙ Ò p x (z) p y (z) Ú ÙØÙ Ô Ø Ò ÑÙÙØØÙÑ Ø ÙØÙÙ ÚÒ¹ Ø ÑÓÑ ÒØØ Ò ÓÐÑ Ó ÙÙ m z3 = p y u p p x v p = p y [u(z) (y p y a )ϕ(z)] p x [v(z) + (x p x a )ϕ(z)]. ½¼º¾ µ

161 ½ ÄÍÃÍ ½¼º Ã Ô Ù Ø Ò m z = m z + m z + m z3 Ð m z = u σz z (y y a)d + v σz (x x a)d + z ϕ σz[(x x a ) + (y y a ) ]d + u τzs z sin α d + v τzs cos α d + up y vp x ϕ[(y p y a )p y + (x p x a )p x ]. ½¼º¾ µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÒÓÖÑ Ð ÒÒ ØÝ Ò Ú σ z = N M y I y x + M x I x y Ò ÐÐ ÓÐ Ú Ø ÔÓ Ð Ù Ò ÝÐ Ð ØØ Ú Ø ÒØ Ö Ð Ø σz(y y a )d = y a N (z) + Mx(z), Ñ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ σ z(x x a )d = x a N (z) M y(z), σ z [(x x a) + (y y a ) ]d = r N (z) + β x M x (z) β ym y (z), ½¼º¾ µ ½¼º¾ µ ½¼º ¼µ ½¼º ½µ r = I p, ½¼º ¾µ I p = I x + I y + (x a + y a ), ½¼º µ β x = ( y 3 d + x y d) y a, ½¼º µ I x β y = ( I y x 3 d + xy d) x a. ÇØØ Ñ ÐÐ ÙÓÑ ÓÓÒ Ð Ù ÒÒ ØÝ Ò Ú Ø Ô Ù (N ) = µ ÓÑ ØÖ Ø Ý Ø Ý Ø Ò τ zst(s) = (M y) ½¼º µ I y S y (s) (M x ) I x S x (s) ½¼º µ dx = ds cos α, dy = ds sin α ½¼º µ τ zs cos α t(s)ds = (M y ), τ zs sinα t(s)ds = (M x ). ½¼º µ

162 ½¼º½º Ã Ô Ù Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø ½ ÎÒØ ÑÓÑ ÒØ Ò m z (z) Ú ØÙÐ ÑÙÓØÓÓÒ m z = z [u (y a N M x) v (x a N + M y)] + z [ϕ (r N + β x M x β ym y )] + z [u(m x ) + v(m y ) ] ½¼º µ + up y vp x ϕ[(y p y a )p y + (x p x a )p x ]. ÇØØ Ñ ÐÐ ÙÓÑ ÓÓÒ Ø Ô ÒÓ ÓØ (Mx) = (Q y) = p y, (My) = (Q x) = p x ½¼º ¼µ ØÙÐ ÐÓÔÙÐØ m z = y a (N u ) x a (N v ) M x u M y v + [(r N + β x M x β ym y )ϕ ] [(y p y a )p y + (x p x a )p x ]ϕ. ½¼º ½µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÙÓÖÑ Ø q x q y m z Ø Ô ÒÓ ØÓ Ò EI y u (4) = q x, ½¼º ¾µ EI x v (4) = q y, ½¼º µ EI ω ϕ (4) GI v ϕ = m z ½¼º µ Ò Ô Ù Ò ÚÒØ ÒÙÖ Ù Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø ÔÙÖ Ø ØÙÒ Ø ÚÙØ ¹ ØÙÒ ÙÚ Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Øµ EI y u (4) [N (u + y a ϕ )] + (M xϕ) =, ½¼º µ EI x v (4) [N (v x a ϕ )] + (M y ϕ) =, ½¼º µ EI ω ϕ (4) GI v ϕ [(r N + β x M x β ym y )ϕ ] y a (N u ) + x a (N v ) + M x u + M y v +[(y p y a )p y + (x p x a )p x ]ϕ =. ½¼º µ Ì Ô ÒÓÝ ØÐ u(z) v(z) ϕ(z) ÓÚ Ø Ð ÖØÝÑØ Ð ÖØÝÑ ÚÒØ ÙÐÑ µ Ô ÖÙ Ø Ð Ò Ù Ø Òº Ñ Ö ½¼º½ ÅÖ Ø ØÒ Ú Ô Ø ØÙ ØÙÒ I¹Ô Ð Ò Ô Ù ÑÓÑ ÒØØ M kr º Ã Ó ÝÑÑ ØÖ Ò I¹ÔÓ Ð Ù Ò Ø Ô Ù β x = β y = º Î Ô Ø ØÙ ØÙÒ Ô Ð Ò Ö ÙÒ ÓØ ÓÚ Ø u() = v() = ϕ() = u () = v () = ϕ () =, u() = v() = ϕ() = u () = v () = ϕ () =, ½¼º µ ½¼º µ Ø Ô ÒÓ ÓØ Ý Ò ÖØ ØÙÚ Ø Ø Ö Ø ÐØ Ú ÙÓÖÑ ØÙ Ø Ô Ù ÑÙÓØÓÓÒ EI y u (4) + (M x )ϕ =, ½¼º µ EI ω ϕ (4) GI v ϕ + M xu =. ½¼º µ

163 ½ ÄÍÃÍ ½¼º Ã Ô Ù z M M y,v z M ÃÙÚ ½¼º x,u Î Ô Ø ØÙ ØØÙ I¹Ô Ð º M Ò ÑÑ Ø Ø Ô ÒÓ Ó Ø ½¼º µ ÒØ ÖÓ Ò EI y u + M xϕ = z + B, ½¼º ¼µ Ó ÓÐ Ú Ø Ú ÓØ B ÓÚ Ø ÒÓÐÐ Ö ÙÒ ØÓ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ º Ê Ø Ñ ÐÐ u = M x EI y ϕ, ½¼º ½µ Ó ØØ Ñ ÐÐ u Ð ÑÑ Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ò ½¼º µ ØÙÐ Ð Ñ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ EI ω ϕ (4) GI v ϕ (M x) Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò ½¼º µ Ö Ø Ù ÓÒ ϕ (4) aϕ bϕ =, a = GI v EI ω, b = (M x) EI ω EI y. EI y ϕ =, ½¼º ¾µ ½¼º µ ½¼º µ Ñ ϕ(z) = sin pz + B cospz + Ce qz + De qz, p = ÎÒØ ÙÐÑ Ò Ö Ú Ø Ø ÓÚ Ø a + a + b, q = a + a + b. ½¼º µ ½¼º µ Ê ÙÒ ØÓ Ò ϕ (z) = pcospz pb sin pz + qce qz qde qz, ½¼º µ ϕ (z) = p sinpz p B cospz + q Ce qz + q De qz. ½¼º µ ϕ() = ϕ () = ϕ() = ϕ () = ½¼º µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò ÒØ ÖÓ Ñ Ú Ó Ò B C D Ö Ø Ñ ÓÑÓ Ò Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ B + C + D =, ½¼º ¼ µ p B + q C + q D =, ½¼º ¼ µ sin p + B cosp + Ce q + De q =, ½¼º ¼µ p sin p p B cosp + q Ce q + q De q =. ½¼º ¼ µ

164 ½¼º½º Ã Ô Ù Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø ½ Ã Ò Ò ÑÑ Ò Ý ØÐ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ B =, C = D, ½¼º ½µ Ø Ð ÑÑ Ø Ý ØÐ Ø ÙÖ Ý ØÐ Ô Ö sin p D sinhq =, ½¼º ¾µ p sin p q D sinhq =. ½¼º µ ØØ Ñ ÐÐ Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÒÓÐÐ Ò ØÓ Ó Ø sin p sinhq(p + q ) =. sin p = ½¼º µ ½¼º µ ÙÖ p = π a + a + b = π, ½¼º µ M x,kr = π EIy GI v + π EI ω GI v. ½¼º µ Ê Ø Ù ÓØ ÙÓÑ ÓÓÒ Ø ÔÙÑ Ò v (z) Ú ÙØÙ Ø º ÂÓ EI x EI y ÓÚ Ø Ñ ÙÙÖÙÙ ÐÙÓ Ò Ò Ø ÔÙÑ Ò Ú ÙØÙ ÚÓ ÓÐÐ Ñ Ö ØØÚº Ã Ô Ù ÑÓÑ ÒØ ÐÐ ÓÒ Ó ØØÙ Ø ÔÙÑ Ò ÙÓÑ ÓÓÒÓØØ Ú Ð Ö Ø Ù Ñ I x > I y º M x,kr = π EIy GI v I r I r = I y I x + π EI ω GI v, ½¼º µ ½¼º µ ÂÓ ÔØÝÑÓÑ ÒØ Ø M = M x() M B = M x() M ÓÚ Ø Ö ÙÙÖ Ø Ò Ò Ö ÒØ ¹ Ð Ý ØÐ Ø ØÙÐ ¹Ú Ó ÖØÓ Ñ Ò Òº Ì ØÚ ÚÓ Ò Ö Ø Ø Ñº Ö Ø Ð¹ ÑÒ ÚÙÐÐ ÒÙÑ Ö Ø º Ã Ô Ù ÑÓÑ ÒØ ÐÐ ÓÒ Ó ØØÙ Ð Ú M kr = C b M kr, ½¼º ¼µ Ñ M kr ÓÒ Ø Ò ÙØÙÒ Ò ÑÓÑ ÒØ Ò Ö Ø Ù ÖÖÓ Ò C b ÓÒ C b = ( M M B ) +.3 ( M M B ).3, ½¼º ½µ M M B ÓÒ Ô Ò ÑÑÒ ÔØÝÑÓÑ ÒØ Ò Ù ÙÙÖ ÑÔ Òº Ã ÖØÓ Ñ Ò C b ÝÐÖ ÓÒ Ø Ò.3º Ã Ú ÒØ Ú ÖÑ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ ÓÐ Ú Ò ÖÚ ÓÒ Ô Ù ÑÓÑ ÒØ ÐÐ º Ñ Ö ½¼º¾ Ä Ø Ò Ú Ô Ø ØÙ ØÙÒ Ô Ð Ò Ô Ù ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ ÔÓ ¹ Ð Ù ÓÒ Ô ÙÓÖ º

165 ½ ¼ ÄÍÃÍ ½¼º Ã Ô Ù z M M B M y,v M B M M /M B > M M B M /M B < ÃÙÚ ½¼º Î Ô Ø ØÙ ØØÙ I¹Ô Ð Ö ÙÙÖ Ø ÔØÝÑÓÑ ÒØ Ø Ã Ô Ò ÙÓÖ ÔÓ Ð Ù Ò Ø Ô Ù I ω Ô Ù Ò Ö ÒØ ¹ Ð Ý ØÐ Ý Ò ÖØ ØÙÙ ÑÙÓØÓÓÒ GI v ϕ + (M x ) EI y ϕ =, ½¼º ¾µ Ð ϕ + k ϕ =, ½¼º µ Ñ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò ½¼º µ Ö Ø Ù ÓÒ k = (M x ) EI y GI v. ϕ(z) = sin kz + B coskz. ½¼º µ ½¼º µ Ê ÙÒ Ó Ø ÙÖ B = ϕ() = ϕ() = sin k =. ½¼º µ ½¼º µ ØÓ ¹ØÖ Ú Ð ÐÐ Ö Ø ÙÐÐ ÓÒ ØØ sink = k = nπ. ½¼º µ ÃÙÒ n = Ò Ö ØØ Ò Ò ÑÓÑ ÒØØ Mx,kr = π EIy GI v. ½¼º µ Ñ Ö ½¼º ÅÖ Ø ØÒ ÙÚ Ò ½¼º Ô Ò ÙÓÖ Ð Ò ÙÒ Ô Ù ÙÓÖÑ º

166 ½¼º½º Ã Ô Ù Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø ½ ½ M M z b h y,v M M x,u z ÃÙÚ ½¼º Ì Ó (x,z) Ý Ø ØÙ ØØÙ Ô Ð Ã Ô Ò ÙÓÖ Ô Ð Ò Ø Ô Ù I ω β x = β y = x a = y a = º Ö ÒØ ¹ Ð Ý ØÐ Ò ÖÝ Ñ Ý Ò ÖØ ØÙÙ ÒÝØ ÑÙÓØÓÓÒ Ò Ø Ò Ð Ñ ÒÓ Ñ ÐÐ Ý Ý ØÐ EI y u (4) + (M x)ϕ =, ½¼º ¼µ GI v ϕ M x u =, ½¼º ½µ Ñ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò ½¼º ¾µ Ö Ø Ù ÓÒ ϕ (4) + k ϕ =, k = (M x) EI y GI v. ϕ(z) = sin kz + B coskz + Cz + D. ½¼º ¾µ ½¼º µ ½¼º µ Ê ÙÒ Ó Ø ÙÖ Ý ØÐ ÖÝ Ñ ϕ() = ϕ () = ϕ() = ϕ () = B + D =, k + C =, sin k + B cosk + C + D =, k cosk Bk sin k + C =. ½¼º µ ½¼º µ ½¼º µ ½¼º µ ½¼º µ Ð Ñ ÒÓ Ñ ÐÐ Ò Ò ÑÑ Ò Ý ØÐ Ò ÚÙÐÐ C D Ô ÝØÒ Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ [ sin k k cosk cosk sink ][ B ] = [ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÒÓÐÐ Ó Ø ÙÖ ØÖ Ò Ò ÒØ Ð Ò Ò Ý ØÐ ]. ½¼º µ tan k = k, ½¼º µ

167 ½ ¾ ÄÍÃÍ ½¼º Ã Ô Ù z / / y,v x z x,u z y ϕ y M x /4 ÃÙÚ ½¼º Î Ô Ø ØÙ ØØÙ I¹Ô Ð Ô Ø ÙÓÖÑ ÒØ Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò Ò ÙÙÖ ÓÒ k = π, ½¼º µ ÙÖ Ú ÙÙÖ ÓÒ k 4.493µ Ö ØØ Ò Ò ÑÓÑ ÒØØ ÓÒ M kr = π EIy GI v. ½¼º ¼µ Ñ Ö ½¼º Î Ô Ø ØÙ ØÙÒ I¹Ô Ð Ò ÒØ Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ø ÙÓÖÑ º Å¹ Ö Ø ØÒ Ö ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ kr º È Ø ÙÓÖÑ Ò ÙØØ Ñ Ø ÚÙØÙ ÑÓÑ ÒØØ ÙÚ Ò ½¼º Ô Ð ÓÒ Mx = ( ) ( z, z, ). ½¼º ½µ Ã Ô Ù Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ ØÙÐ Ø Ø Ô Ù ÐÐ Ó ØÙÒ Ú Ò ½¼º ¾µ ÑÙ Ø EI ω ϕ (4) GI v ϕ (M x) EI y ϕ =, ½¼º ¾µ Ð EI ω ϕ (4) GI v ϕ [ ( )] z ϕ =. ½¼º µ EI y

168 ½¼º¾º Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ ½ x z x,u u() z z = y ϕ y ÃÙÚ ½¼º½¼ Î Ô Ø ØÙ ØÙÒ I¹Ô Ð Ò Ô Ø ÙÓÖÑ Ò ÒØ ÒØ Ò ÐÐ kr EIy GI 5 v 4 / / / / w = π EI ω GI v ÃÙÚ ½¼º½½ Î Ô Ø ØÙ ØÙÒ I¹Ô Ð Ò Ö Ø ÙØ Ô Ø ÙÓÖÑ Ø ÒØ Ò ÐÐº ØÐ ÓÒ ¹Ú Ó ÖØÓ Ñ Ò Ò ÑÙØØ ÚÓ Ò Ö Ø Ø Ñº Ö Ø ÐÑÒ ÚÙÐÐ ÒÙÑ Ö Ø º È Ø ÙÓÖÑ Ò Ñ ÙÚ ½¼º½¼ Ú ÙØØ Ö Ø ÙÙÒº ÂÓ ÙÓÖÑ Ú ÙØØ ÝÐÐ Ô ÐÐ Ò Ò ÚÒØ ÑÓÑ ÒØØ ÓÒ M z = [u() + h ϕ() u(z)], ½¼º µ Ø Ó ÓÒ Ð Ð Ô ÐÐ Ò Ò M z = [u() h ϕ() u(z)]. ½¼º µ ÃÙÚ ½¼º½½ ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ Ö Ø ÙØ Ö Ø Ô Ù º ½¼º¾ Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ Ã Ô Ù Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ ÐÐ Ð Ý ØÒ Ò ÐÝÝØØ Ò Ò Ö Ø Ù Ú Ò ÑÙÙØ Ñ Ô ¹ ÖÙ Ø Ô Ù º Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ Ò Ò ÚÓ Ò Ó Ø Ð Ö Ø Ù Ö Ð ÐÐ Ö Ù¹

169 ½ ÄÍÃÍ ½¼º Ã Ô Ù y yϕ v ϕ u ϕ xϕ x ÃÙÚ ½¼º½¾ ÈÓ Ð Ù Ò ÖØÝÑØº Ò ØÓ¹ ÙÓÖÑ ØÙ Ø Ô Ù ÐÐ º ÈÓ Ð Ù Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ô Ø Ò Q ÖØÝÑ ÐÐ ÚÓ Ò Ó Ø ÙÚ Ò ½¼º½¾ ÚÙÐÐ Ú Ø u Q (x,y,z) = u(z) (y y a )ϕ(z), v Q (x,y,z) = v(z) + (x x a )ϕ(z), w Q (x,y,z) = w(z) x[u (z) + v (z)ϕ(z)] y[v (z) u (z)ϕ(z)] ω(x,y)ϕ (z), ½¼º µ Ñ w(z) u(z) v(z) ÓÚ Ø ÚÒØ Ò ÖØÝÑØ ϕ(z) ÓÒ ÖØÝÑ ÚÒØ Ò ÝÑÔÖ Ð ÚÒØ ÙÐÑ Ô Ø Ò Q ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÚ Ø (x,y)º Ì Ö Ø ÐØ Ú Ò Ô Ø Ò Q ÙØØ ÙÐ Ú Ò Ò Ö Ò Ò¹Ä Ö Ò Ò Ú ÒÝÑ ÓÒ Ð ÑÖ Ò ε zq w Q + [(u Q ) + (v Q ) ]. ½¼º µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÖØÝÑ Ò Ð Ù Ø Ú ÒÝÑÒ Ú Ò ØÙÐ ε zq = w xu yv ωϕ + [(u ) + (v ) + (x a + y a )(ϕ ) ] x a v ϕ + y a u ϕ + x[ x a (ϕ ) ϕv ] + y[ y a (ϕ ) + ϕu ] ½¼º µ + [x + y ](ϕ ). Î Ô Ò ÚÒÒ Ò Ð Ù ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ó ÙØ ÒÑ Ò ÔÓ Ð Ù Ò Ô Ø Q ÓÒ γ vq γ v = nϕ, ½¼º µ Ñ n ÓÒ Ø ÝÝ Ô Ø Ò Q ÒÑÒ Ú Ú ÐØ ÒÓÖÑ Ð Ò ÙÙÒØ Òº Î Ô Ò ÚÒ¹ Ò Ò Ð Ù ÙÑ Ú Ø Ú Ð Ù ÒÒ ØÝ ÓÒ τ v = Gγ v. ½¼º½¼¼µ

170 ½¼º¾º Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ ½ ½¼º¾º½ ÈÓØ ÒØ Ð Ò Ö ÃÓ ÓÒ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö ÓÒ ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö Ò ÙÐ Ó Ø Ò ÚÓ Ñ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò ÙÑÑ º Ë ÙÚ Ò ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö ÓÒ U = (ε z σ z + γ v τ v )ddz, ½¼º½¼½µ Ñ ÓÒ Ø ØØÝ Ð Ù ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò τ sz Ó ÙÙ ÙÓÑ ÓÓÒ ÓØØ Ñ ØØ º ÍÐ Ó Ø Ò ÚÓ ¹ Ñ Ò ÔÓØ ÒØ Ð ÓÒ V = p y v p dz y v, ½¼º½¼¾µ ÙÒ ÙÓÖÑ Ò ÓÒ ÓØ ÙØØÙ Ú ÙØØ Ú Ò Ú Ò (y,z)¹ø Ó ÖØÝÑØ ÙÓÖÑ Ò Ó ÐÐ ÓÚ Ø v p v º ÃÓ ÓÒ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ø ÐÝ Ý ÑÑ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö µ ÓÒ Π = U + V. ½¼º½¼ µ Î Ö Ó Ò ÖØÝÑ u = u + δu, v = v + δv, w = w + δw, ϕ = ϕ + δϕ, ½¼º½¼ µ ½¼º½¼ µ ½¼º½¼ µ ½¼º½¼ µ Ø ØÒ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ð Ù Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Π = Π + δπ + δ Π + 3! δ3 Π +. ½¼º½¼ µ Ì Ô ÒÓ Ñ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ú Ö Ø Ó ÓÒ ÒÓÐÐ Ð δπ = Π u δu + Π v δv + Π w Π δw + δϕ =. ϕ ½¼º½¼ µ ÃÖ ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ ÚÓ Ò ÑÖ ØØ ÌÖ ØÞ Ò Ó Ø ( ) δ δ Π =. ½¼º½½¼µ Ñ Ì ÓØ Ô Ù (x,y)¹ø Ó ÙÒ ÙÚ Ò Ð ÓÒ x¹ Ð δ U = (δεδσ + δ εσ)ddx, ½¼º½½½µ ε = u + (v ) yv, δε = δu yδv, δ ε = (δv ), δσ = Eδε, σ = Eε. ½¼º½½¾µ ½¼º½½ µ ½¼º½½ µ ½¼º½½ µ ½¼º½½ µ

171 ½ ÄÍÃÍ ½¼º Ã Ô Ù ÆÙÖ Ù Ø ØÚ δ V = º ÌÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ú ØÙÐ δ Π = [ EIx (δv ) ] dx (δv ) dx, ½¼º½½ µ Ñ = σ ÓÒ ÔÙÖ Ø Ú ÚÓ Ñ E(δu ) ÓÒ ÑÙ Ò Ø ÖÑ Ò Ö ÒÒ ÐÐ Ô Ò Ò ÙÙÖ Ò Ø ØØÝ ÔÓ º Î Ø Ú Ø Ô Ù Ø ØÚ δ U = (δε z δσ z + δγ v δτ v + δ ε z σ z + δ γ v τ v )ddz, ½¼º½½ µ Ñ δε z = δw xδu yδv ωδϕ, ½¼º½½ µ δγ v = nδϕ, ½¼º½¾¼µ δσ z = Eδε z, ½¼º½¾½µ δτ v = Gδγ v, ½¼º½¾¾µ δ ε z = (δu ) + (δv ) + (x a + y a)(δϕ ) x a δv δϕ + y a δu δϕ ½¼º½¾ µ x [ x a (δϕ ) + δϕδv ] y [ y a (δϕ ) δϕδu ] +(x + y )(δϕ ), δ γ v =. ½¼º½¾ µ È ÖÙ Ø Ð Ò ÒÒ ØÝ Ø ÓÚ Ø ÍÐ Ó Ø Ò ÚÓ Ñ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò ØÓ Ò Ò Ú Ö Ø Ó ÓÒ σz = M x y, ½¼º½¾ µ I x τv =. ½¼º½¾ µ δ V = p y δ v p dz y δ v. ½¼º½¾ µ Ñ δ v p = (y p y a )(δϕ), ½¼º½¾ µ δ v = (y y a )(δϕ) ½¼º½¾ µ ÙÓÖÑ Ò p y y Ú ÙØÙ Ô Ø Ø ÓÚ Ø (,y p ) (,y )º ÇØ ÙØ Ò ØØ δw ÓÒ Ô Ò ÑÙ Ò Ú Ö Ø Ó Ò Ö ÒÒ ÐÐ ÓÐÐÓ Ò Ø ÖÑ E(δw ) dz ÚÓ Ò ØØ ÙÓÑ ÓÓÒ ÓØØ Ñ ØØ º Å Ö ØÒ ÙÖ Ú Ý Ò ÖØ ÙÙ Ò ÚÙÓ ØØ

172 ½¼º¾º Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ ½ u δu v δv ϕ δϕº ÌÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ú ØÙÐ Ñ δ Π = + + [ EIy (u ) + EI ω (ϕ ) + GI v (ϕ ) ] dz M x β x = ( I x [ ϕu + β x (ϕ ) ] dz p y (y p y a )ϕ dz + y (y y a )ϕ, y 3 d + x y d) y a. Ñ Ö ½¼º ÅÖ Ø ØÒ Ø Ò ÑÓÑ ÒØ Ò Mx M ÙÓÖÑ ØØ Ñ Ò Ú Ô Ø ØÙ ØÙÒ Ô Ð Ò Ô Ù ÙÓÖÑ º À ÖÙ ØÙ ØÙÒ Ô Ð Ò Ø Ô Ù ÚÓ Ò Ö Ø Ø Ò Ò ½¼º½ ¼µ ½¼º½ ½µ u = M EI y ϕ, ½¼º½ ¾µ Ò Ö Ð Ù Ò Ø Ø Ô Ù δ Π = ÇØ ÙÑ ÐÐ ÚÒØ ÙÐÑ ÐÐ Ð Ù ] [EI ω (ϕ ) + GI v (ϕ ) M ϕ dz. EI y ½¼º½ µ ØÙÐ ϕ = Cζ( ζ), ζ = z, ½¼º½ µ δ Π = [ ] 4 EI ω 3 C + GI v 3 C M EI y 3 C. ½¼º½ µ Ó Ø ( ) δ Π = ½¼º½ µ C ÙÖ Ö ØØ Ò Ò ÑÓÑ ÒØØ Ô Ù ÑÓÑ ÒØØ µ M kr = ( ) EIω EI y + GI v. ½¼º½ µ Î Ô Ò ÚÒÒ Ò Ø Ô Ù Ö ØØ Ò Ò ÑÓÑ ÒØØ ÓÒ M kr = EIy GI v, ½¼º½ µ ÓÒ Ú Ö ÓÒ +.6% Ø Ö Ò ÖÚÓÓÒ Ú ÖÖ ØØÙÒ º Ø ØÝÒ ÚÒÒ Ò Ø Ô Ù M kr = EIy EI ω, ½¼º½ µ Ó ÓÒ Ú Ö ØØ +%º

173 ½ ÄÍÃÍ ½¼º Ã Ô Ù M z M x y,v y M M x,u z ÃÙÚ ½¼º½ Ã ÖÖ ÓÙ ÐÐ ØÙ ØØÙ Á¹Ô Ð º Ñ Ö ½¼º Ä Ø Ò ÖÙ ØÙ ØÙÒ I¹Ô Ð Ò Ô Ù ÑÓÑ ÒØØ M x,kr ÙÒ Ô Ð ØÙ ÑÑÓ Ò Ò Ø ÙÚ ÖÖ ÓÙ ØÙ º Å Ö ØÒ ØØ ÖÖ ÓÙ Ò Ý ÝÝ ÓÒ k Ô ØÙÙ Ý Ó Ø º Ã ÖÖ ÓÙ Ò ÑÙÓ¹ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö ÐÐ ØÝ ÒÒ ØØÝ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ð Ù ¹ ÖÙ ØÙ ÒÒ Ò Ø Ô Ù ÓÒ δ Π = [ EIy (u ) + EI ω (ϕ ) + GI v (ϕ ) ] dz + [ M x u ϕ + kϕ ] dz. ½¼º½ ¼µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ú Ò Ö ÙÒ ÓØ ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ð Ù Ø u(z) = B sin π z, ϕ(z) = C sin π z ½¼º½ ½µ ½¼º½ ¾µ ØÙÐ δ Π = [ EI π 4 π π 4 ω 4 C + GI v C + EI y 4 Ó Ø ( ) δ Π =, B ÙÖ Ý ØÐ ÖÝ Ñ π 4 EI ω 3 + GI π v + k Mx π + M x Mx π π 4 EI y 3 B ( π ( ) δ Π C [ C B ) BC + k C ]. ½¼º½ µ = ½¼º½ µ ] = [ ]. ½¼º½ µ

174 ½¼º¾º Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ ½ Ã ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÒÓÐÐ Ó Ø Ò Ö ØØ ÐÐ ÑÓÑ ÒØ ÐÐ Ú ( ) π Mx,kr 4 = EI y 4 EI ω + π GI v + k. ½¼º½ µ Ñ Ö ½¼º È Ð Ò ÔÓ Ð Ù ÓÒ Ó ÝÑÑ ØÖ Ò Òº ÅÖ Ø ØÒ Ú Ô ¹ Ø ØÙ ØÙÒ Ô Ð Ò ÒØ Ò ÐÐ Ô ÒÓÔ Ø Ò ÓÖ Ù ÐÐ Ú ÙØØ Ú Ò Ô Ø ÚÓ Ñ Ò Ö ØØ Ò Ò ÖÚÓº ÃÓ ÒÝØ p y = y y a = β x = Ò Ö Ð Ù Ô Ð ØÝÝ ÑÙÓØÓÓÒ δ Π = [ EIy (u ) + EI ω (ϕ ) + GI v (ϕ ) + M x ϕu ] dz ½¼º½ µ Î Ô Ø ØÙ ØÙÒ Ô Ð Ò Ô ÖÙ Ø Ð Ò ÑÓÑ ÒØØ ÓÒ M x = z, z (, ÇØ ÙØ Ò Ð ÖØÝÑÐÐ ÖØÝÑÐÐ ØÝ Ø [ z ( z u(z) = [ z ( z ϕ(z) = C ). ½¼º½ µ ) ], ½¼º½ µ ) ]. ½¼º½ ¼µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÓØ ÙØÙØ ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓØ Ò Ö Ð Ù Ò Ò δ Π = [ 4 4 EI y 3 + EI ω 3 C + GI v 3 C 5 ] 48 C, ½¼º½ ½µ Ñ ÓÒ Ð ØØÙ Ñ Ö Ø ÖÑ Mxϕu = / { z C [ z ( z ) ] ( )} ÈÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ò Ò Ú Ö Ø Ó ÚÓ Ò Ö Ó ØØ Ò Ð ÑÙÓØÓÒ δ Π = EI y [ ] C 5 [ GI v + EI ω C 3 dz = 5 C. ½¼º½ ¾µ 48 ]. ½¼º½ µ ( ) Ó Ø δ δ Π = ÙÖ Ð Ò Ö Ò Ò ÓÑÓ Ò Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÓÒ Ö¹ ÖÓ ÒÑ ØÖ ÓÒ Ñ Ù Ò ÝÐÐ ÓÐ Ú Ò Ð ÑÙÓ Ó º ØØ Ñ ÐÐ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÒÓÐÐ ØÙÐ ØÓ Ò Ø Ò Ý ØÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ ÙÙÖØ Ú Ø ØÙÐÓ (EIy ) ( kr.6 4 GI v + EI ) ω. ½¼º½ µ Ì Ö ØÙÐÓ ÓÒ kr 4.35 (π EI y ) ( ) GI v + π EI ω. ½¼º½ µ

175 ½ ¼ ÄÍÃÍ ½¼º Ã Ô Ù À ÖÙ ØÙ ØÙÒ Ô Ð Ò Ø Ô Ù ÚÓ Ò Ö Ø Ø Ò Ò u = M x EI y ϕ, Ó ØØ Ò Ö Ð Ù Ò ÓÐÐÓ Ò Ò δ Π = [ ( ) M EI ω (ϕ ) + GI v (ϕ ) ] x ϕ dz. EI y ÇØ ÙÑ ÐÐ ÚÒØ ÙÐÑ ÐÐ ÐÐ Ò Ð Ù ϕ = C z ( z ) ½¼º½ µ ½¼º½ µ ½¼º½ µ ØÙÐ Ó Ø δ Π = [ 4 EI ω 3 C + GI v 3 C 3 ] 9 EI y 5376 C. ½¼º½ µ ÙÖ Ö ØØ Ò Ò ÑÓÑ ÒØØ kr 4.4 ( ) δ Π C (π EI y Ó ÓÒ Ø Ö ÑÔ Ù Ò Ò Ò Ð ØØÙ ØÙÐÓ º = ½¼º½ ¼µ ) ( GI v + EI ) ω, ½¼º½ ½µ Ñ Ö ½¼º Ä Ø Ò ÐÐ Ò Ø ØÚÒ Ô Ð Ò Ö ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ ÙÒ Ô Ø ÚÓ ¹ Ñ Ú ÙØØ Ó y = y p º ÇØ ÙØ Ò ØØ ÙÚ Ò Ð ÙÒÓÖÑ Ð ÒÒ ØÝ ÓÒ σ z = M x I x y, M x = z, < z <. ½¼º½ ¾µ ÃÙÒ ÖØÝÑ ÙÙÖ ÐÐ ÝØ ØÒ ÐÐ Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ó Ø [ z ( z u(z) = [ z ( z ϕ(z) = C ) ], ½¼º½ µ ) ], ½¼º½ µ Ò ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ú Ø ÖÚ ØØ Ú Ð Ø ÖÑ ÑÙÓØÓÓÒ [ ( )] [ y ϕ = ( ) ] y C, ½¼º½ µ ØÓ Ò Ò Ð ÓÑÙÓ ÓÒ Ð Ù ØÙÐ ØÝ ÒÒÝ Ò Ð Ò δ Π = EI y [ ] C ÃÖ ØØ Ò ÙÓÖÑ Ò ÖÚÓ Ò 4.6 ( EIy GI v + EI ω y p [ C ) [ GI v + EI ( ) ] ω 7.EIy y EI yy ]. ½¼º½ µ. ½¼º½ µ

176 ½¼º¾º Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ ½ ½ y p z / / y,v x z x,u z y y ϕ M x /4 ÃÙÚ ½¼º½ Î Ô Ø ØÙ ØØÙ Á¹Ô Ð Ô Ø ÙÓÖÑ Ó y = y p z = º Ñ Ö ½¼º ÅÖ Ø ØÒ Ú Ô Ø ØÙ ØÙÒ Ô Ð Ò ÒØ Ò ÐÐ Ú ÙØØ Ú Ò Ô ¹ Ø ÚÓ Ñ Ò Ö ØØ Ò Ò ÖÚÓ ÓØ ÙÑ ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÔÙÓÐ ÐÐÓÒ ÑÙÓØÓ Ò Ò ÖØÝÑ u ÖØÝÑ ϕº ÇØ ÙØ Ò Ð ÖØÝÑ ÙÙÖ ÐÐ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓØ u(z) = sin πz, πz ϕ(z) = C sin. ½¼º½ µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÓØ ÙØÙØ Ð ÖØÝÑØ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ú Ò ØÙ¹ Ð δ Π = ( ) π π [EI π ] y + EI ω C + GI v C.759πC, ½¼º½ µ Ñ Ú Ñ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ Mx ϕu = / z ( ) C π sin πz dz =.759πC. ½¼º½ ¼µ ÅÙÙÒÒ Ø Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ò Ò Ú Ö Ø Ó Ò Ð ÑÙÓ Ó δ Π = π EI y π [ ] C [ π GI v + π EI ω C π 4 ]. ½¼º½ ½µ

177 ½ ¾ ÄÍÃÍ ½¼º Ã Ô Ù ØØ Ñ ÐÐ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÒÓÐÐ Ò Ö Ø Ù kr 4.43 (π EI y ) ( ) GI v + π EI ω. ½¼º½ ¾µ ÂÓ ÙÓÖÑ Ú ÙØØ Ó y = y Ò Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ú Ò ØÙÐ Ð Ø ÖÑ [ ( )] y ϕ = y C. ½¼º½ µ ÌÝ ÒÒ ØØÝ ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ò Ð ÑÙÓØÓ ÓÒ δ Π = π [ ] C π EI y π GI v + π EI ω π y π [ C ½¼º½ µ ÃÖ ØØ Ò ÙÓÖÑ Ò ÖÚÓ Ò Ø Ø Ô Ù ÙÒ ÙÓÖÑ ÓÐ Ô Ð Ò Ð Ò ÓÖ Ù ÐÐ ]. kr [ 4M.43 + (.577 ) ] yy yy M M, ½¼º½ µ Ñ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ M = (π EI y ) ( ) GI v + π EI ω, y = π EI y. ½¼º½ µ Ì Ö ØÙÐÓ ÓÒ kr [ 4M.35 + (.54 ) ] yy +.54 yy M M. ½¼º½ µ

178 ½¼º¾º Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ ½ ½¼º¾º¾ Ø ØØÝ ÚÒØ ÒÙÖ Ù Ô Ù ØÑÐÐ Ô Ù Ò ÚÒØ ÒÙÖ Ù Ò Ò Ö Ð Ù Ø ØÝ ÒØÑÐÐ Ò Ø Ò ÝÐ Ø ØØÝ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ú δ Π = [ EIy (u ) + EI x (v ) + EI ω (ϕ ) + GI v (ϕ ) ] dz N [ (u ) + (v ) + r (ϕ ) x a v ϕ + y a u ϕ ] dz M x [ϕu + β x (ϕ ) ]dz M y [ϕv β y (ϕ ) ]dz [p y (y p y a )ϕ + p x (x p x a )ϕ ]dz + [y (y y a )ϕ + x (x x a )ϕ ] =, ½¼º½ µ Ñ u v ϕ ÓÚ Ø Ð ÖØÝÑØ ÚÒØ ÙÐÑ Ô ÖÙ Ø Ð Ò Ù Ø Ò (x a,y a ) ÓÚ Ø ÚÒ¹ Ø Ò ÓÓÖ Ò Ø Ø r = I p I p = I + (x a + ya) I = I x + I y I x = y d I y = x d I ω = ω d I v ÓÒ Ú Ô Ò ÚÒÒ Ò ÚÒØ Ý ÝÝ Ö Ú ØØ ÓÓÖ Ò ¹ a Ø Ò z Ù Ø Ò ÓÒ ( ) ( ) z º ÌÖ ØÞ Ò ÑÙ Ò Ö ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ ÑÖ Ø ØÒ Ó Ø δ ÙÖ Ú Ý Ò ÖØ Ø δ δº ÌÖ ØÞ Ò Ó Ø ÙÖ ( ) δ Π = º Å Ö ØÒ { (EI y u + Mxϕ)δu + (EI x v + Myϕ)δv + EI ω ϕ δϕ + [N (u + y a ϕ )]δu + [N (v x a ϕ )]δv + [GI v ϕ + N (r ϕ x a v + y a u ) + Mx β xϕ My β yϕ ]δϕ + [M x u + M y v + p y (y p y a )ϕ + p x (x p x a )ϕ]δϕ } dz + [ y (y y a )ϕ + x (x x a )ϕ]δϕ =. ½¼º½ µ

179 ½ ÄÍÃÍ ½¼º Ã Ô Ù Ç ØØ ÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ ¾ Ò ÐÐ Ò { (EIy u ) [N (u + y a ϕ )] + (M xϕ) } δudz+ { EIy u + Mxϕ } δu + { (EIy u ) + N (u + y a ϕ ) (Mxϕ) } δu+ { (EIx v ) [N (v x a ϕ )] + (M yϕ) } δv dz { EIx v + Myϕ } δv + { (EIx v ) + N (v x a ϕ ) (Myϕ) } δv+ { (EI ω ϕ ) (GI v ϕ ) [(r N + β x M x β y M y)ϕ ] y a (N u ) + x a (N v ) + M x u + M y v + p y (y p y a )ϕ + p x (x p x a )ϕ } δϕdz+ { EIω ϕ } δϕ + { (EI ωϕ ) + GI v ϕ + (r N + β x Mx β y My)ϕ ½¼º½ ¼µ + y a (N u ) x a (N v ) }δϕ+ {y (y y a )ϕ + x (x x a )ϕ} δϕ =. ÃÓ δu δv δϕ ÓÚ Ø Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ñ ØØ Ø Ö ÙÒ ÓØ ØÓØ ÙØØ Ú Ú Ö Ø Ó ¹ Ø ØÝØÝÝ ÌÖ ØÞ Ò ÓÒ ØÓØ ÙØÙÑ ÒØ Ö Ð ¹ ØØ Ó ØÙ Ø ÖÑ Ò ÐØÓ ÙÐ Ù¹ Ð Ù Ò Ú Øº ÁÒØ Ö Ð Ø ÖÑ Ø Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø (EI y u ) [N (u + y a ϕ )] + (Mxϕ) =, ½¼º½ ½µ (EI x v ) [N (v x a ϕ )] + (Myϕ) =, ½¼º½ ¾µ (EI ω ϕ ) (GI v ϕ ) [(r N + β x Mx β y My)ϕ ] y a (N u ) + x a (N v ) + Mxu + Myv +p y (y p y a )ϕ + p x (x p x a )ϕ =, ½¼º½ µ ÓØ ÓÚ Ø ÙÚ Ò Ø Ô ÒÓ ÓØº Ë Ó ØÙ Ø ÖÑ Ø ÙÖ Ú Ø ÙÚ Ò Ö ÙÒ ÓØ Ô ¾ R u v dz = uv R uv dzº ËÝÑ ÓÐ ÐÙ Ø Ò taiº

180 ½¼º¾º Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ ½ z = z = EI y u + M x ϕ =, u =, ½¼º½ µ (EI y u ) + N (u + y a ϕ ) (M x ϕ) =, u =, ½¼º½ µ EI x v + M yϕ =, v =, ½¼º½ µ (EI x v ) + N (v x a ϕ ) (M yϕ) =, v =, ½¼º½ µ (EI ω ϕ ) + GI v ϕ + (r N + β x M x β y M y)ϕ +y a (N u ) x a (N v ) EI ω ϕ =, ϕ =, ½¼º½ µ +[ y (y y a )ϕ + x (x x a )ϕ] =, ϕ =. ½¼º½ µ ÎÒØ ÑÓÑ ÒØ Ò Ö ÙÒ ØÓÓÒ ØÙÐ Ú Ñ Ò Ò Ø ÖÑ ÑÙ Ò Ó Ö ÙÒ ÐÐ z = Ø z = ÓÒ ÙÓÖÑ x Ø y ÓÒ Ú ÙØÙ ÙÓÖ ÙÐ ÚÒØ Ò ÙØØ º

181 ½ ÄÍÃÍ ½¼º Ã Ô Ù

182 ÄÙ Ù ½½ Ä Ø Ò ÐÓÑÑ Ù ÄÓÑÑ Ù Ò Ñ Ø ØÒ ÐÑ Ø Ó Ø Ó ÙÓÖÑ Ø ØØÙ Ð ÚÝ Ø ÔÙÙ ÐÐ Ø Ø ¹ ØÝÐÐ ÔÙÖ ØÙ ¹ Ø Ð Ù ÚÓ Ñ Ò ÖÚÓÐÐ Ø Ý Ø ØÝ Ð ÚÝÒ Ø ÓÒ ÙÙÒØ ÙÓÖ¹ Ñ ØÙ µº ½½º½ Ä Ø Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ò Ö Ø Ù Ã Ö Ó Ò Ð ØØ Ø ÓÖ Ò ÑÙ Ò Ó Ù Ò Ð Ø Ò ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ø ÓÚ Ø ε x ε y γ xy = z w x, = z w y, = z w x y. ½½º½µ ½½º¾µ ½½º µ Ä Ø Ò ÝÖ ØÝÑØ ÓÚ Ø κ x κ y κ xy = w x, = w y, = w x y. ½½º µ ½½º µ ½½º µ N x N x N x w ÃÙÚ ½½º½ Ä Ø Ò ÐÓÑÑ Ù º ½

183 ½ ÄÍÃÍ ½½º Ä Ø Ò ÐÓÑÑ Ù x, u w x u = z w x z, w ÃÙÚ ½½º¾ Ä Ø Ò ÖØÝÑº Ä Ø Ò ÓØ ÙØ Ò ÓÐ Ú Ò Ø Ó ÒÒ ØÝ Ø Ð ÝÐ Ø ØÝÒ ÀÓÓ Ò Ð Ò ÑÙ Ò ÓØ¹ ÖÓÓÔÔ Ò ÑÑÓ Ò Ò Ò ÓÒ Ø ØÙØ Ú Ø Ý ØÐ Ø ÓÚ Ø Ñ Ð Ù ÙÑÓ ÙÙÐ ÓÒ σ x = E ν (ε x + νε y ), ½½º µ σ y = E ν (ε y + νε x ), ½½º µ τ xy = Gγ xy, ½½º µ G = Ä Ø Ò Ø ÚÙØÙ ÑÓÑ ÒØ Ø ÑÖ Ø ÐÐÒ ÚÓ ÐÐ M x h M y = M xy E ( + ν). ½½º½¼µ h z σ x σ y τ xy dz, ½½º½½µ Ñ h ÓÒ Ð Ø Ò Ô ÙÙ Ð Ø Ò Ô ÒØ Ø ÓØ ÓÚ Ø z = ± h º Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÒÒ ØÝ Ø ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ø Ò ÚÙÐÐ Ð Ù ÙØØÙ Ò ÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ Ð Ø Ò Ô ÙÙ Ò ÝÐ ØÙÐ Ñ M x M y M xy = D D = ν ν ( ν) Eh 3 ( ν ) w x w y w x y, ½½º½¾µ ½½º½ µ ÓÒ Ð Ø Ò Ø ÚÙØÙ Ý ÝÝ º Ä Ø Ò Ð ÓÓÒ dx dy Ú ÙØØ Ú Ò Ð Ò z ÙÙÒØ Ø Ò ÚÓ Ñ Ò Ø Ô ÒÓ ØÓ ÓÒ ÙÚ Ò ½½º Ô ÖÙ Ø ÐÐ Q x x + Q y + p(x,y) =. y ½½º½ µ

184 ½½º½º Ä Ø Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ò Ö Ø Ù ½ M xy Q x M x y z x Q y M y M yx M xy + M xy x dx M yx + M yx y dy M y + M y y dy Q y + Q y y dy Q x + Q x y dy M x + M x x dx ÃÙÚ ½½º Ä Ø Ò Ø Ô ÒÓ ÓØº N x N xy y z N y + N y y dy x N yx + N yx y dy N yx N y N xy + N xy x dx N x + N x x dx ÃÙÚ ½½º Ã ÐÚÓÚÓ Ñ Ò Ø Ô ÒÓ ÓØº ÅÓÑ ÒØ Ò Ø Ô ÒÓ ÓØ y¹ x¹ Ð Ò Ù Ø Ò ÓÚ Ø M x x + M xy Q x y =, ½½º½ µ M xy x + M y y Q y =. ½½º½ µ Ð Ñ ÒÓ Ñ ÐÐ Ð Ù ÚÓ Ñ Ø Ò ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ø Ô ÒÓ ØÓ ½½º½ µ ÑÙÓØÓÓÒ M x x + M xy x y + M y y + p(x,y) =. ½½º½ µ Ä Ù ÙÑ ÐÐ ÑÓÑ ÒØ Ø Ø ÔÙÑ Ò Ö Ú ØØÓ Ò ÚÙÐÐ ÚÓ ÐÐ ½½º½¾µ ØÙÐ ( 4 ) w D x w x y + 4 w y 4 = p(x,y). ½½º½ µ Ã ÐÚÓÚÓ Ñ Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ø ÓÚ Ø ÙÚ Ò ½½º Ô ÖÙ Ø ÐÐ N x x + N xy y f x =, ½½º½ µ N xy x + N y y f y =, ½½º¾¼µ Ñ f x f y ÓÚ Ø Ð Ø Ò Ø ÓÒ ÙÙÒØ Ø ÙØÙÒ Ø ÙÓÖÑ Øº

185 ½ ¼ ÄÍÃÍ ½½º Ä Ø Ò ÐÓÑÑ Ù x x, u N x z, w w x w x + w x x N x + N x x x ÃÙÚ ½½º Ã ÐÚÓÚÓ Ñ Ò N x Ó ÙÙ ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ò Ø Ô ÒÓ ØÓÓÒº Ä Ø Ò Ø ÔÙ ÐÚÓÚÓ Ñ Ø N x N y N xy N yx ÙØÙÚ Ø z¹ Ð Ò ÙÙÒØ Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø ( N x + N ) ( ) x w x x y x + w x x N x y w x N w x x x y, ½½º¾½µ ( N y + N ) ( ) y w y y x y + w y y N y x w y N w y y x y, ½½º¾¾µ ( N xy + N xy ( + N yx + N yx y y ) ( ) w x x y y + w x y x N xy y w y ) ( ) w x x + w y x y N yx x w x N w xy x y x y, Ñ ÓÒ ÓØ ØØÙ ÙÓÑ ÓÓÒ ØØ N xy = N yx º Ã ÐÚÓÚÓ Ñ Ò z Ò ÙÙÒØ Ø Ò ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò ÙÑÑ ÓÒ ( w p z (x,y) x y = N x x + N w y y + N ) w xy x y, x y Ð Ø Ò Ø Ô ÒÓ ØÓ ØÙÐ ÑÙÓØÓÓÒ ( 4 ) w D x w x y + 4 w w y 4 = p + N x x + N w y y + N xy w x y. ½½º¾ µ ½½º¾ µ ½½º¾ µ ½½º½º½ Ä Ø Ò Ö ÙÒ ÓØ Î Ô Ø ØÙ ØØÙ Ö ÙÒ Î Ô Ø ØÙ ØÙ ÐÐ Ö ÙÒÓ ÐÐ x = x = a w(,y) = M x (,y) = w(a,y) = M x (a,y) =, ½½º¾ µ Ñ ( ) w M x = D x + ν w y. ½½º¾ µ ÃÓ Ö ÙÒ Ø x = x = a ÚØ Ø ÚÙ Ò ÑÓÑ ÒØ Ò M x Ö ÙÒ Ó Ø w(,y) x = w(a,y) x =. ½½º¾ µ

186 ½½º½º Ä Ø Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ò Ö Ø Ù ½ ½ Î Ô Ø ØÙ ØÙ ÐÐ Ö ÙÒÓ ÐÐ y = y = b w(x,) = M y (x,) = w(x,b) = M y (x,b) =, ½½º¾ µ Ñ ( ) w M y = D y + w ν x. ½½º ¼µ ÃÓ Ö ÙÒ Ø y = y = b ÚØ Ø ÚÙ Ò ÑÓÑ ÒØ Ò M y Ö ÙÒ Ó Ø w(x,) y = w(x,b) y =. ½½º ½µ ÂÝ Ø ÒÒ Ø ØØÝ Ö ÙÒ ÂÝ Ø ÒÒ Ø ØÝ ÐÐ Ö ÙÒÓ ÐÐ x = x = a w(,y) = w(,y) x Ú Ø Ú Ø Ö ÙÒÓ ÐÐ y = y = b w(x,) = w(x,) y = w(a,y) = w(a,y) x = w(x,b) = w(x,b) y =, ½½º ¾µ =. ½½º µ Î Ô Ö ÙÒ Î Ô ÐÐ Ö ÙÒ ÐÐ Ø ÚÙØÙ ÑÓÑ ÒØØ ÓÖÚ Ð Ù ÚÓ Ñ ÓÚ Ø ÒÓÐÐ Ø Ø Ô ÒÓ ÒÒ ØÙÒ Ö ÙÒ ÙÓÖÑ Ò Ò º Ê ÙÒÓ ÐÐ x = x = a M x (,y) = V x (,y) = M x (a,y) = V x (a,y) =, ½½º µ Ñ V x = M x x + M xy y = D ( 3 w x 3 + ( ν) 3 w x y ). ½½º µ Ê ÙÒÓ ÐÐ y = y = b M y (x,) = V y (x,) = M y (x,b) = V y (x,b) =, ½½º µ Ñ V y = M y y + M xy x = D ( 3 w y 3 + ( ν) 3 w x y ). ½½º µ

187 ½ ¾ ÄÍÃÍ ½½º Ä Ø Ò ÐÓÑÑ Ù Ñ Ö ½½º½ Î Ô Ø ØÙ ØÙÒ Ð Ø Ò y¹ Ð Ò ÙÙÒØ ÐÐ Ö ÙÒÓ ÐÐ ÓÒ Ø Ø ÙØÙÒÙØ Ö ÙÒ ÙÓÖÑ N x < ÔÙÖ Ø Ú ÙÓÖÑ µº ÅÖ Ø ØÒ Ð Ø Ò Ö ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ µº Ä Ø Ò ÚÙÑ Ø Ø ÓÚ Ø a b a bº Ñ Ö Ò Ø Ô Ù N y = N xy = Ð Ø Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ý Ò ÖØ ØÙÙ ÑÙÓØÓÓÒ 4 w x w x y + 4 w y 4 = N x w D x. Ã ÐØ Ö ÙÒÓ ÐØ Ú Ô Ø ØÙ ØÙÒ Ð Ø Ò Ø Ô Ù Ó Ò Ö ØÓØ ÙØØ Ö ÙÒ ÓØ w(x, y) = m= n= a mn sin mπx a nπy sin b ½½º µ ½½º µ w(, y) = w(a, y) = M x (, y) = M x (a, y) =, w(x, ) = w(x, b) = M y (x, ) = M y (x, b) = ½½º ¼µ ½½º ½µ ÒØØÝ ØÐ Òº Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø ÔÙÑ Ò ÝÖ Ø Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ò ØÙÐ [ ( m a mn π 4 4 a 4 + n ) m a b + n4 b 4 + N ] x m π D a sin mπx a sin nπy =. ½½º ¾µ b m= n= ÂÓØØ Ý ØÐ ØÓØ ÙØÙ ØÝØÝÝ ÙÐ ÙÐ Ù Ò Ú Ø Ö Ø Ù ØÙÐ ( ) N x = Dπ a m m a + n b. ½½º µ Å Ö ØÒ ØØ Φ = a ÓÒ ÚÙ Ù º È Ò Ò Ö ØØ Ò ÙÓÖÑ Ò ÖÚÓ ÚÙØ Ø Ò ÙÒ b n = Ý Ò Ò ÔÙÓÐ ÐØÓ ÐÓÑÑ Ù ÑÙÓ Ó y Ò ÙÙÒÒ µº ÌÐÐ Ò ÝÐÐ ÓÐ Ú Ö Ø Ù Ö ØØ ÐÐ ÙÓÖÑ ÐÐ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó ÄÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ Ò Ñ Ò Ñ Ò Ó Ø N x,kr = Dπ b ( m Φ + Φ m). ½½º µ N x,kr Φ ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ Ò Ñ Ò Ñ ÖÚÓ ÓÒ = Φ = m, ½½º µ N x,kr,min = 4 π D, (Φ = m). ½½º µ b ÃÙÚ ½½º ÓÒ Ø ØØÝ ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ Ò ÖÚÓ Ú Ô Ø ØÙ ØÙÐÐ x Ò ÙÙÒÒ ÔÙ¹ Ö Ø ØÙÐÐ Ð Ø ÐÐ ÚÙ Ù Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ º ÓÐÙÙØØ Ò Ò Ñ Ò Ñ ÖÚÓ ÚÙØ Ø Ò Ø ¹ ØÝ ÐÐ ÚÙ Ù Ø ÐÐ º Ö m Ò ÖÚÓ Ò Ð ØØÝÚ Ò ÝÖ Ò Ð Ù Ô Ø Ø Ö Ø Ø Ò ¹ Ó Ø m Φ + Φ m = m + Φ + Φ m +, ½½º µ Ó Ø ÙÖ Φ = m(m + ) ½½º µ ÃÙÒ m = Ò Ò Φ = º Φ = m(m + ). ½½º µ

188 ½½º½º Ä Ø Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ò Ö Ø Ù ½ K 8 N x N x m = Φ = a/b ÃÙÚ ½½º Ä Ø Ò ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ º Ñ Ö ½½º¾ ÌÙØ Ø Ò Ú Ô Ø ØÙ ØØÙ Ð ØØ ÓØ ÙÓÖÑ ØØ Ú Ø Ø Ò ÙØÙ¹ Ò Ø Ö ÙÒ ÙÓÖÑ Ø N x N y º Ä Ø Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ ÓÒ Ø Ø Ô Ù 4 w x w x y + 4 w y 4 = N x w D x + N y w D y, ½½º ¼µ Ö ÙÒ ÓØ ÓÚ Ø Ñ Ø Ù Ò ÐÐ Ñ Ö º Ã Ó Ò Ö ØÓØ ÙØØ Ö Ù¹ Ò ÓØ Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Òº Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÝÖ Ø ½½º µ Ø Ô ÒÓ ØÓÓÒ Ò ØÐÐ ÖÖ ÐÐ Ý ØÐ N x ( mπ a ) + Ny ( nπ b Å Ö ØÒ ØØ ÙÓÖÑ Ò Ù ÓÒ ) [ (mπ ) ( nπ ) ] = D +. ½½º ½µ a b r N y N x. Ê Ø Ñ ÐÐ Ý ØÐ ½½º ½µ N x Ò Ù Ø Ò ØÙÐ [ (m ) + n ] N x = Φ ( m ) + rn Φ π D b, ½½º ¾µ ½½º µ Ñ Φ = a b ÓÒ ÚÙ Ù º ½½º½º¾ Ì Ø ÔÙÖ Ø ØÙÒ Ð Ø Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ò Ö Ø Ù Ö Ð ÐÐ Ö ÙÒ Ó ÐÐ Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÓÖ Ð ØØ ÓØ ÙÓÖÑ ØØ Ø Ò ÙØÙÒÙØ Ö ÙÒ ÙÓÖÑ N x < º ÂÓ Ð Ø Ò Ú Ø Ø y¹ Ð Ò ÙÙÒØ Ø Ö ÙÒ ÓÚ Ø Ú Ô Ø ØÙ ØÙØ Ò Ò ÚÓ ¹ Ò ÝØØ Ä ÚÝÒ Ö Ø ÙØ Ô º ÇØ ÙØ Ò Ø ÔÙÑ ÐÐ y¹ Ð Ò ÙÙÒØ Ø Ò Ú Ô Ø ØÙ ØØÙ Ò Ö ÙÒÓ Ò Ö ÙÒ ÓØ ØÓØ ÙØØ Ú ÙÒ Ø Ó w(x,y) = f(y)sin mπx a. ½½º µ

189 ½ ÄÍÃÍ ½½º Ä Ø Ò ÐÓÑÑ Ù Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø ÔÙÑ Ò Ð Ù Ð Ø Ò Ø Ô ÒÓ ØÓÓÒ ØÙÐ Ø Ú ÐÐ Ò Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ 4 w x w x y + 4 w y 4 = N x w D x d 4 f ( mπ ) dy 4 d f a dy + [ (mπ a ) 4 + N x D ( mπ ) ] f =. a ½½º µ ½½º µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÝÖ Ø e ry Ò Ö Ø Ö Ø Ò Ò Ý ØÐ ( mπ ) [ (mπ ) 4 r 4 r N x + + a a D ( mπ ) ] =, ½½º µ a ÓÐÐ ÓÒ Ò Ð ÙÙÖØ r,,3,4 = ± [ ( mπ mπ a a ± Nx D )]. ½½º µ Ì Ô Ù N ( x mπ ) D > ½ ÙÙÖ Ø ÓÚ Ø ÓÑÔÐ ÓÒ Ù ØØ º Å Ö ØÒ a p = q = [ (mπ [ a ( mπ a ) + mπ a ) + mπ a Nx D Nx D ], ½½º µ ]. ½½º ¼µ ÂÙÙÖ Ø ÓÚ Ø r = p r = p r 3 = iq r 4 = iq Ñ i = º Ê Ø Ù w = i e r iy ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó f(y) = C sinh py + C cosh py + C 3 sinqy + C 4 cos qy. ½½º ½µ Ñ Ö ½½º ÅÖ Ø ØÒ Ø Ò Ö ÙÒ ÚÓ Ñ Ò N x < ÙÓÖÑ ØØ Ñ Ò Ð Ø Ò ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ ÙÒ Ö ÙÒ Ø y = y = b ÓÚ Ø Ý Ø ÒÒ Ø ØÝØº Ê ÙÒ ÓØ ÓÚ Ø ÒÝØ w(x, ) = w(x, ) y = w(x, b) = w(x, b) y =, ½½º ¾µ ÓØ Ò f() = df() dy Ã Ø Ò ÑÑ Ø Ó Ø ÙÖ = f(b) = df(b) dy =. ½½º µ C + C 4 =, pc + qc 3 =, ½½º µ ÓØ Ò f(y) = C ( sinhpy p q sin qy ) + C (coshpy cosqy). ½½º µ ½ Ø ÙÙÖÙÙ ØÓØ ÙØÙÙ Ú Ô Ö ÙÒ Ò Ð Ø Ò Ø Ô Ù º

190 ½½º½º Ä Ø Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ò Ö Ø Ù ½ Ã Ò Ð ÑÑ Ò Ö ÙÒ ÓÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò sinhpb p sin qb coshpb cosqb ] q [ C coshpb cosqb sinhpb + q = sin qb C p Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÒÓÐÐ Ó Ø ÙÖ Ý ØÐ [ pq( coshpb cosqb) + (p q )sinhpb sinqb =, Ó Ø ÚÓ Ò ÑÖ ØØ ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ b N x,kr = K π D b. ]. ½½º µ ½½º µ ½½º µ Ã ÖÖÓ Ò K = N x,kr π D Ø ØÒ ÚÙ Ù Ø Ò Φ = a ÙÒ Ø ÓÒ Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ù Ò b ÙÚ ½½º Ú Ô Ø ØÙ ØÙÐÐ Ð Ø ÐÐ º Ñ Ö ½½º ÅÖ Ø ØÒ Ö ÙÒ ÐØ y = Ú Ô Ø ØÙ ØÙÒ Ö ÙÒ ÐØ y = b Ú ¹ Ô Ò Ð Ø Ò ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ N x,kr º Ä Ø Ò Ö ÙÒ ÓØ ÓÚ Ø w(x, ) =, w(x, b) y + ν w(x, b) x =, Ê Ø Ù ÓÒ ÐÐ Ò ÑÙÓØÓ Ñ w(x, ) y =, ½½º µ 3 w(x, b) y 3 + ( ν) 3 w(x, b) x =. y ½½º ¼µ w(x, y) = f(y)sin mπx a, f(y) = C sinhpy + C coshpy + C 3 sin qy + C 4 cosqy, p = q = [ (mπ [ a ( mπ a ) + mπ a ) + mπ a Nx D Nx D ½½º ½µ ½½º ¾µ ], ½½º µ ]. ½½º µ Ã Ò Ò ÑÑ Ò Ö ÙÒ ÓÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ØÙÐ C = C 4 = Ò Ð Ñ¹ Ñ Ò Ö ÙÒ ÓÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò ÖØÓ Ñ Ò C C 3 Ù Ø Ò Ð Ò Ö Ò Ò ÓÑÓ¹ Ò Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ [ p ν [ p 3 p( ν) ( mπ ) ] sinh pb a ( mπ a ) ] cosh pb [ q + ν [ q 3 + q( ν) ( mπ ) ] sin qb a ( mπ a ) ] cosqb [ C C 3 ] = ½½º µ ØØ Ñ ÐÐ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÒÓÐÐ ØÙÐ ÔÐ Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ Ó Ø ÚÓ Ò ÑÖ ØØ Ö ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ N x,kr = K π D b. [ ½½º µ Ã ÖÖÓ Ò K Ö ÔÔÙÙ ÚÙ Ù Ø Ø Φ = a b º È Ø ÐÐ Ð Ø ÐÐ ÈÓ ÓÒ Ò ÐÙÚÙÒ ÖÚÓÐÐ ν =.5 K Φ º ].

191 ½ ÄÍÃÍ ½½º Ä Ø Ò ÐÓÑÑ Ù Ñ Ö ½½º ÅÖ Ø ØÒ Ø Ò Ð Ù ÚÓ Ñ Ò ÙÓÖÑ ØØ Ñ Ò Ð Ø Ò ÐÓÑÑ ¹ Ù ÙÓÖÑ º Ä Ù ÙÓÖÑ Ò N xy = Ú Ó Ø Ô Ù ÐÓÑÑ Ù Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ ÓÒ 4 w x w x y + 4 w y 4 = N xy w D x y. ½½º µ ÐÐ Ø Ô Ù ÐÐ N x Ú Ó Ó ØØÙ Ö Ø Ù ÒÝØ Ô º Ö ØØ ÑÒ Ô Ø Ò Ð Ø Ò Ø Ô Ù Ö Ø Ù ÓÒ ÑÙÓØÓ ¾ w(x, y) = f(y)e iλπx b. ½½º µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÝÖ Ø Ð Ø Ò Ø Ô ÒÓ ØÓÓÒ Ò Ø Ú ÐÐ Ò Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ d 4 f dy 4 ( ) λπ d f b dy + N xy D i ( ) λπ df b dy + ( ) 4 λπ f =, ½½º µ b ÓÒ Ö Ø Ù ÓÒ ÑÙÓØÓ f(y) = e iµπy b, ½½º ¼µ Ñ µ ÓÒ Ö Ð Ò Ò Ô Ö Ñ ØÖ º Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ö Ø Ù Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò ØÙÐ Ô ¹ Ö Ñ ØÖ Ò µ Ù Ø Ò Ò Ð ÒÒ Ò Ø Ò Ý ØÐ µ 4 + λ µ N xy D b π λµ + λ4 =, ½½º ½µ ÓÒ ÙÙÖ Ø µ i i =,..., 4 Ö ÔÔÙÚ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø λ Ø Ø N xyb D º Ö ÒØ ¹ Ð Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù ÓÒ f(y) = C e iµ πy b + C e iµ πy b + C 3 e iµ 3πy b + C 4 e iµ 4πy b. ½½º ¾µ Ê ÙÒÓ Ò y = y = b Ö ÙÒ ØÓ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò Ú Ó Ò C i Ù Ø Ò Ò Ð Ð Ò Ö Ø ÓÑÓ Ò Ø Ý ØÐ º ØØ Ñ ÐÐ Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÒÓÐÐ Ô ÝØÒ ÔÐ Ò Ö Ò Ý ØÐ Ò Ó Ø ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ N xy,kr = K π D b. ½½º µ Î Ô Ø ØÙ ØÙÐÐ Ð Ø ÐÐ K 5.35 Ý Ø ÒÒ Ø ØÝÐÐ Ð Ø ÐÐ K 8.98º ½½º¾ ÄÓÑÑ Ù Ø ØÚÒ Ö Ø Ù Ö Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ Ë Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ù Ò ÑÑ Ò ÙÚ Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ ÔÔÖÓ ÑÓ Ò Ð Ø Ò Ö Ò¹ Ø Ð Ý ØÐ Ò Ø ÔÙÑ Ò Ö Ú ØØÓ Ö Ò Ó ÑÖ Ò ÚÙÐÐ º ÅÖ Ø ÐÐÒ Ø Ö Ó ØÙ Ø Ú ÖØ Ò Ð Ú Ö Ó ÓÒ ÓÐÑÙÚÐ Ò ÓØ ÙØ Ò ÓÐ Ú Ò Ñ x = y h x Ò y Ò ÙÙÒÒ º Î Ö ÓÒ ÓÐÑÙÔ Ø Ò ÒÙÑ ÖÓ ÒØ ÓÚ Ø Ò ÙÚ Ò ½½º ÑÙ º ¾ Ê Ø Ù ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò x Ò ÙÙÒÒ º

192 ½½º¾º ÄÓÑÑ Ù Ø ØÚÒ Ö Ø Ù Ö Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ ½ y h ½¼ ¾ ½½ ¼ ½ ½¾ x h y x ½¾ ½½ ¼ ½ ¾ ½¼ ÃÙÚ ½½º Ö Ò Ñ Ò Ø ÐÑÒ Ð Ú Ö ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ÒØ (x,y)¹ø Ó º Ò ÑÑ Ø Ò Ö Ú ØØÓ Ò Ö Ò Ú Ø ÓÚ Ø Ð Ô Ø µ ( ) w h w w 3, ½½º µ x ( ) w h w w 4. ½½º µ y ÌÓ Ø Ò Ö Ú ØØÓ Ò Ö Ò ÔÔÖÓ Ñ Ø ÓØ ÓÚ Ø ( h ) w x w w + w 3, ( h ) w y w w + w 4. ØÑÐÐ ØÓ Ø Ò Ö Ú ØØÓ Ò Ú Ø Ò Ä ÔÐ Ò ÓÔ Ö ØØÓÖ ÐÐ Ý ØÐ h w 4w + w + w + w 3 + w 4. Ä Ø Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ø ÖÑ Ò 4 w ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó Ð Ò Ô Ø ÓÒ h 4 4 w w + ( 8)(w + w + w 3 + w 4 ) + (w 8 + w 5 + w 6 + w 7 ) + w 9 + w + w + w. Ì ÚÙØÙ ÑÓÑ ÒØØ Ò ÓÖÚ Ð Ù ÚÓ Ñ Ò ÔÔÖÓ Ñ Ø ÓØ ÓÚ Ø Ú Ø Ú Ø ½½º µ ½½º µ ½½º µ ½½º µ h D ( M x) ( ν)w + w + νw + w 3 + νw 4, ½½º ¼µ h D ( M y) ( ν)w + νw + w + νw 3 + w 4, ½½º ½µ h 3 D ( V x) (ν 6)(w w 3 ) + ( ν)(w 5 w 6 w 7 + w 8 ) +w 9 w, ½½º ¾µ h 3 D ( V y) (ν 6)(w w 4 ) + ( ν)(w 5 + w 6 w 7 w 8 ) +w w. ½½º µ

193 ½ ÄÍÃÍ ½½º Ä Ø Ò ÐÓÑÑ Ù a/ a/ N x y N ½ ½ ½ a 3 a 3 ½ ½ a/ a/ ½ ÃÙÚ ½½º Æ Ð Ð Ø Ò Ö Ò Ð º Ñ Ö ½½º Ä Ø Ò Ö ÙÒÓ ÐØ x = ± a Ú Ô Ø ØÙ ØÙÒ Ö ÙÒÓ ÐØ y = ±a Ý Ø ÒÒ Ø ØÝÒ Ò Ð Ð Ø Ò ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ Ö Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ ÓØØ Ñ ÐÐ Ð ÚÐ h = a 3 º ÇØ Ø Ò Ö ÙÒ ÓØ Ñ ÓÐÐ Ø ÝÑÑ ØÖ ÓØ ÙÓÑ ÓÓÒ Ó Ð Ú Ö ÓÒ ÒÙÑ ¹ ÖÓ ÒÒ º Ä Ø Ò Ö ÙÒ ÓØ ÓÚ Ø w (± a ), y = M x (± a ), y =, ½½º µ ( ( w x, ± a ) w x, ± a ) = =. ½½º µ y Å Ö ØÒ h = a n, K = Na D, ½½º µ Ñ n ÓÒ ÒÝØ 3 N N x º Î Ð ØÙÒ Ð Ú Ö ÓÒ Ø Ô Ù Ú Ò Ý ØÙÒØ Ñ ØÓÒ ÓÐÑÙØ ÔÙÑ w º È Ø Ò Ð ØØ Ý ØÐ Ò 4 w N x D w x =, Ð 4 w + N w D x = ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó Ö Ö Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ ( w + w + + ) + ( + + w ) 8( + + w w ) ½½º µ ½½º µ + w + K 9 ( w w ) =, ½½º µ Ð ( 8 K ) w =. 3 ½½º½¼¼µ ÌÐÐ ÓÑÓ Ò ÐÐ Ý ØÐ ÐÐ ÓÒ ¹ØÖ Ú Ð Ö Ø Ù ÙÒ K = π, ½½º½¼½µ ÓØ Ò Ð Ø Ò ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ Ò ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó Ú Ð ØÙÐÐ Ð Ú Ö ÓÐÐ Ð ØØÙÒ ÓÒ N kr 5.47 π D a. ½½º½¼¾µ

194 ½½º¾º ÄÓÑÑ Ù Ø ØÚÒ Ö Ø Ù Ö Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ ½ N h ¾ ¾ N x N ½ ½ a y h = a 4 N a ÃÙÚ ½½º Î Ô Ø ØÙ ØØÙ Ð ØØ N x = N y = Nº Ñ Ö ½½º ÅÖ Ø ØÒ x Ò y Ò ÙÙÒÒ ÔÙÖ Ø ØÙÒ Ú Ô Ø ØÙ ØÙÒ Ò Ð ¹ Ð Ø Ò ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ º Î Ô Ø ØÙ ØØÙ Ò Ð Ð ØØ ÙÓÖÑ ØØ Ú Ø Ø Ò ÙØÙÒ Ø Ö ÙÒ ÙÓÖÑ Ø N x = N y Nº Ä Ø Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ ÓÒ Ø Ø Ô Ù 4 w + N D w =. ½½º½¼ µ Ä Ø Ò Ö ÙÒ ÓØ ÓÚ Ø w (± a ) w (± a ), y =, y ) ( w x, ± a ) w = x =, ½½º½¼ µ ( x, ± a y =, ½½º½¼ µ ÓØ Ò Ð Ø Ò Ó ÐÐ Ö ÙÒ ÐÐ w = º ÇØ Ø Ò ÝØØ Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÑÑ M = M x + M y + ν Ö Ó Ø Ø Ò Ð Ø Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ ÑÙÓØÓÓÒ = D w, ½½º½¼ µ Ð M D N M =, ½½º½¼ µ D M + N M =, ½½º½¼ µ D w + M D =. ½½º½¼ µ Ò ÑÑ Ò Ý ØÐ Ò Ö Ò ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó Ô ÐÐ Ò Ð Ú Ö ÓÒ Ô Ø Ù¹ Ú ½½º ÓÒ 4M + M + M + M 3 + M 4 + N D h M =. ½½º½½¼µ Å Ö ØÒ λ = N D h 4 K n 4, n = a h, K = Na D. ½½º½½½µ

195 ½ ¼ ÄÍÃÍ ½½º Ä Ø Ò ÐÓÑÑ Ù ËÝÑÑ ØÖ Ò Ø Ø ÐÐÒ Ð Ø Ò Ó º ÃÙÚ Ò ½½º Ð Ú Ö ÓÒ Ö ÙÒ Ô ¹ Ø M = w = µº À Ð Ú Ö ÓÒ Ô Ø 3 Ò Ý ØÐ Ø λ 4 M λ M =. ½½º½½¾µ λ M 3 ØØ Ñ ÐÐ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÒÓÐÐ ØÙÐ ÓÐÑ ÒÒ Ò Ø Ò Ý ØÐ ÓÒ Ô Ò Ò ÙÙÖ ÓÒ λ.884 Ø Ú Ø Ú ÖÖÓ Ò K = 8.75 Ö ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ ÓÒ N kr 8.75 D a, ½½º½½ µ Ó ÓÒ Ú Ö ØØ 5.%º ½½º Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ ËÙÓÖ Ð Ø ÐÐ Ò Ò ÐÝÝØØ Ò Ò Ö Ø Ù Ð Ý ØÒ Ú Ò ÑÙÙØ Ñ Ô ÖÙ Ø Ô Ù º Ò Ö Ö Ø Ö Ò ÚÙÐÐ Ò Ò ÚÓ Ò ÑÖ ØØ ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ Ò Ð ÖÚÓ Ö Ð ¹ ÐÐ Ö ÙÒ Ó ÐÐ ÙÓÖÑ ØÙ ÐÐ ÒØ ÖÔÓÐÓ Ñ ÐÐ Ð Ø Ò Ø ÔÙÑ ÓÔ Ú ÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ º ÂÓ Ø ÔÙÑ ÙÒ Ø Ó ØØÙÙ ØÓØ ÙØØ Ñ Ò Ð Ø Ò Ö Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ö ÙÒ ÓØ Ò Ò ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ ÐÐ Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ø Ö ØÙÐÓ º Ø ÝÝ ÐÐ z Ð Ø Ò Ô ÒÒ ÐØ Ð Ø Ò ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ø ÓÚ Ø ǫ x = ε x + zκ x, ½½º½½ µ ǫ y = ε y + zκ y, ½½º½½ µ ǫ xy = ε xy + zκ xy, ½½º½½ µ Ñ Ð Ø Ò Ô ÒÒ Ò ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ø ÓÚ Ø ε x = u x + ( ) w, ½½º½½ µ x ε y = v y + ( ) w, ½½º½½ µ y ε xy = ( u y + v ) + w w x x y. ½½º½½ µ Ä Ø Ò ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö ÓÒ U = (σ x ǫ x + σ y ǫ y + σ xy ǫ xy + σ yx ǫ xy )dv = V V (σ x ǫ x + σ y ǫ y + σ xy ǫ xy )dv, Ñ σ xy = σ yx τ xy ǫ xy = ǫ yx V ÓÒ Ð Ø Ò Ø Ð ÚÙÙ º ÇØØ Ñ ÐÐ ÙÓÑ ÓÓÒ ÓÒ Ø ØÙØ Ú Ø Ý ØÐ Ø ½½º½¾¼µ σ x = E ν (ǫ x + νǫ y ), ½½º½¾½µ σ y = E ν (ǫ y + νǫ x ), ½½º½¾¾µ σ xy = Gǫ xy, ½½º½¾ µ

196 ½½º º Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ ½ ½ Ñ σ xy τ xy ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö Ò Ð Ù ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓØÓÓÒ U = [ ] E ( ǫ ν x + ǫ ) y + νǫ x ǫ y + 4Gǫ xy dv. ÃÓ ÓÑÓ Ò Ò Ð Ø Ò Ø Ô Ù V h h zedz =, ½½º½¾ µ ½½º½¾ µ Ò ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö Ò Ð Ù ØØÙ Ø Ò Ó Ò U = U m + U b, ½½º½¾ µ Ñ U m = Eh ν U b = Eh 3 ( ν ) [ ε x + ε y + νε xε y + ( ν)ε ] xy d, ½½º½¾ µ [ κ x + κ y + νκ x κ y + ( ν)κ ] xy d, ½½º½¾ µ Eh 3 ( ν ) D ½½º½¾ µ ÓÒ Ð Ø Ò Ø ÚÙØÙ Ý ÝÝ º Ä Ø Ò Ô ÒØ Ú Ø Ò Ó Ø ÙÓÖ Ò ÙØÙÒ Ò ÙÓÖÑ Ò ÔÓØ ÒØ Ð ÓÒ V = p(x, y)w(x, y) d. ½½º½ ¼µ ÈÓØ ÒØ Ð Ò Ö ÓÒ Π = U + V. ½½º½ ½µ ÅÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö Ò ØÓ Ò Ò Ú Ö Ø Ó ÓÒ δ U = (δσ x δǫ x + δσ y δǫ y + δσ xy δǫ xy + σ x δ ǫ x + σ y δ ǫ y + σ xy δ ǫ xy )dv, ½½º½ ¾µ V Ñ Ð Ò Ö Ó ÙØµ ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ø Ò Ò ÑÑ Ø Ú Ö Ø ÓØ ÓÚ Ø ØÓ Ø Ú Ö Ø ÓØ ÓÚ Ø ( ) δw δ ǫ x =, δ ǫ y = x δǫ x = δu x z δw x, δǫ y = δv y δw z y, δǫ xy = ( δu y + δv ) z δw x x y, ( ) δw, δ ǫ xy = δw δw y x y, ½½º½ µ ½½º½ µ ½½º½ µ ½½º½ µ

197 ½ ¾ ÄÍÃÍ ½½º Ä Ø Ò ÐÓÑÑ Ù ÑÑÓ Ò ÓØÖÓÓÔÔ Ò Ò Ò ÒÒ ØÝ Ø Ò ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ø Ò ÚÐ Ø Ý ØÐ Ø Ø Ó Ò¹ Ò ØÝ Ø Ð ÓÚ Ø δσ x = E ν (δǫ x + νδǫ y ), ½½º½ µ δσ y = E ν (δǫ y + νδǫ x ), ½½º½ µ δσ xy = Gδǫ xy ½½º½ µ Ð Ø Ò ÙÓÖ Ò Ø Ô ÒÓØ Ð Ò Ô ÖÙ Ø Ð Òµ ÐÚÓ ÒÒ ØÝ Ø ÓÚ Ø σ x = N x h, σ y = N y h, σ xy = N xy h. ½½º½ ¼µ ÈÓØ ÒØ Ð Ò V ØÓ Ò Ò Ú Ö Ø Ó ÓÒ ÒÝØ ÒÓÐÐ º Å Ö ØÒ ÙÖ Ú Ý Ò ÖØ ÙÙ Ò ÚÙÓ δu u δv v δw w ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ú Ò Ö Ó Ø ØØÙ ÐÐ Ò ÑÙÓØÓÓÒ δ Π = [ ( u ) Eh ( ) v ν + + ν u v x y x y + ν ( u y + v ) ] d x + [ ( ) ( D w ) w x + y + ν w ( w ) ] w x + ( ν) d y x y + [ N x ( w x ) ( ) w w + N y + N xy y x ] w d. y ½½º½ ½µ ÈÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ò ÑÑ Ò Ò Ø ÖÑ Ó Ö ÔÔÙÙ ÖØÝÑ Ø u v ÓÒ Ò ÔÓ Ø Ò Ò ÙÒ ÈÓ ÓÒ Ò ÐÙ Ù ÓÒ ÚÐ ÐÐ ( < ν <.5) ÚÓ Ò ØØ ÔÓ Ø Ö Ø ÐÙ Ø º Ä Ø Ò ÐÓÑÑ Ø ( ) u = v = º ÌÖ ØÞ Ò Ó Ø δ δ Π = ÙÖ ÙÒ ÐÐ Ò Ñ Ö ØÒ δ δ D [( ) w x + ν w δw y x + + [( N x w x + N xy ( w y + w ν x ) w δw y x + ) δw y + ( ν) w x y ] ( N y w y + N xy w x ) δw y ] δw d x y d =. ½½º½ ¾µ ÆÝØ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ u δu v δvº

198 ½½º º Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ ½ ÌÖ ØÞ Ò ØÓ ÚÓ Ò Ó ØØ ÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ ÑÙÙÒØ ÑÙÓØÓÓÒ { [ 4 ] w D x w x y + 4 δw y 4 x + D + + b b a a b ( ) w N x ( ) w N xy ( ) w N xy ( ) } w N y δw d x y x x y y y a {( {( b + D( ν) { } w x + w δw ν y x dy + D N x w x + N xy N xy w x + N y a w δw =. x y a b { } w y + ν w δw x y dx ) [ w D 3 w y x 3 + ( ν) 3 w x y ]} δw dy ) [ ]} w D 3 w y y 3 + ( ν) 3 w x δw dy y ½½º½ µ ÃÓ δw ÓÒ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò Ú ÖØÙ Ð Ò Ò ÖØÝÑ ØÝØÝÝ ÌÖ ØÞ Ò ÓÒ Ö ÙÐ Ù¹ Ð Ù Ò Ú Øº ØØ Ñ ÐÐ Ò ÑÑ Ò ÒØ Ö Ð Ð Ù Ò Ö ÙÐÙ ÓÐ Ú Ð Ù ¹ ÒÓÐÐ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ 4 w x w x y + 4 w y 4 = [ ( ) w N x + D x x y ( ) w N xy + ( ) w N xy + ( )] w N y. ½½º½ µ x x y y y ÃÓ ÐÚÓÚÓ Ñ Ø ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÙÓÖ Ô ÖÙ Ø Ð ÓÑÓ Ò Ø Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ø Ò Ð Ø Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ ÑÙÓØÓÓÒ 4 w x w x y + 4 w y 4 = D N x x + N xy =, y ½½º½ µ N xy x + N y y =, ½½º½ µ ( N x w x + N w xy x y + N y ) w y, ½½º½ µ Ó ÓÒ Ð Ø Ò Ø Ô ÒÓ ØÓº Ë Ó ØÙ Ø ÖÑ Ø ÙÖ Ú Ø Ð Ø Ò Ö ÙÒ ÓØº Ê ÙÒÓ ÐÐ x = x = a Ò Ö ÙÒ ÓØ [ 3 ] w D x 3 + ( ν) 3 w w x y N x x N xy ÇÔ Ö ØØÓÖ ÐÙ Ø Ò taiº w x + w ν y =, δw x w y =, ½½º½ µ =, δw =. ½½º½ µ

199 ½ ÄÍÃÍ ½½º Ä Ø Ò ÐÓÑÑ Ù Ê ÙÒÓ ÐÐ y = y = b Ò Ö ÙÒ ÓØ [ 3 ] w D y 3 + ( ν) 3 w w x N xy y x N y w y + w ν x =, δw y w y ËÙÓÖ Ð Ø Ò ÒÙÖ Ô Ø ØÝØÝÝ ØÓØ ÙØÙ ÓØ D( ν) w x y =, ½½º½ ¼µ =, δw =. ½½º½ ½µ =, δw =. ½½º½ ¾µ Ñ Ö ½½º ÅÖ Ø ØÒ Ú Ô Ø ØÙ ØÙÒ Ð Ø Ò ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ Ò Ö Ö ¹ Ø Ö Ò ÚÙÐÐ ÙÒ N x ÓÒ Ú Ó N y = N xy = º ÈÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ú δ Π = D + [ ( ) w x + [ ( w N x x ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓØÓÓÒ δ Π = D + ( ) w y + ν w w x + ( ν) y ) ( ) w w + N y + N xy y x ] w d y ( ) ] w d x y { ( ) w x + w y ( ν)[ w ( w ) ]} x y w d x y ( ) w N x d. x ½½º½ µ ½½º½ µ Î Ô Ø ØÙ ØÙÐÐ Ð Ø ÐÐ ÓÒ Ö ÙÒ ÓÓ ØÙÙ ÙÓÖ Ø Ó Ø ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ú Ò Ø ÖÑ [ w ( w ) ] x y w d =, ½½º½ µ x y ØÐÐ Ò δ Π = [ ( ) D w x + w y + N x ( ) ] w d. x Î Ô Ø ØÙ ØÙÒ Ð Ø Ò Ö ÙÒ ÓØ ØÓØ ÙØØ Ö Ø ÐÑ ½½º½ µ w(x, y) = m= n= a mn sin mπx a nπy sin b. ½½º½ µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø ÔÙÑ Ò ØÝ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ú Ò ÙÓÖ Ø¹

200 ½½º º Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ ½ Ø Ñ ÐÐ Ø ÖÚ ØØ Ú Ø ÒØ ÖÓ ÒÒ Ø ØÙÐ { δ Π = D [ (mπ a mn a + = 8 Dab m= n= N x { m= n= + 8 π b a N x m= n= a mn m= n= ) ( nπ ) ] + sin mπx b a ( mπ ) a mn cos mπx a a [ (mπ a m a mn. ) ( nπ ) ] + b ÁÒØ Ö Ð Ò Ð Ñ Ò ÓÒ ÝØ ØØÝ ÚÓ a } sin nπy d b } sin nπy d b ½½º½ µ sin mπx a dx = a, ½½º½ µ ( ) Ó Ø δ δ Π = Ð Ý ØÐ Ø sin x = ( cosx). ½½º½ ¼µ a mn ( ) δ Π = ÙÖ Ö Ø Ù ( [ N x = Dπ a (m ) ( n ) ] +. ½½º½ ½µ m) a b Å Ö ØÒ ØØ Ð Ø Ò ÚÙ Ù ÓÒ Φ = a º È Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ð ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ b N x,kr = Dπ b ( m Φ + Φ m) ½½º½ ¾µ ÚÙØ Ø Ò ÙÒ n = º ÃÝ Ò ØÙÐ Ú m Ò ÖÚÓ Ö ÔÔÙÙ ÚÙ Ù Ø Ø º Ñ Ö ½½º ÅÖ Ø ØÒ y Ò ÙÙÒØ ÐØ Ö ÙÒÓ ÐØ Ú Ô Ø ØÙ ØÙÒ x Ò ÙÙÒ¹ Ø ÐØ ÚÙ ÐØ Ý Ø ÒÒ Ø ØÝÒ Ð Ø Ò ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ ÙÓÖÑ ØÙ Ø Ô Ù N x ÓÒ Ú Ó N y = N xy = º ÇØ ÙØ Ò Ø ÔÙÑ ÐÐ Ð Ù Ó ØÓØ ÙØØ Ö ÙÒ ÓØ w(x, y) = n= w(x, ) = w(x, b) = a n sin mπx a w(x, ) y = nπy sin b, w(x, b) y ½½º½ µ =. ½½º½ µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø ÔÙÑ Ò ØÝ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ú Ò Ò ÒØ ÖÓ ÒØ Ò Ð Ò δ Π = D [ 3m π 4 a 4 b n 6a 3 + n4 a b 3 + m n ] ½½º½ µ ab n= + N x π a 3m b n 6a. n=

201 ½ ÄÍÃÍ ½½º Ä Ø Ò ÐÓÑÑ Ù b N x a N x x y ÃÙÚ ½½º½¼ Ê ÙÒÓ ÐØ y =, y = b Ý Ø ØÙ ØÙÒ Ø Ò ÙÓÖÑ Ò N x ÙÓÖ¹ Ñ ØØ Ñ Ò Ð Ø Ò ÐÓÑÑ Ù º ÃÙÒ m = n = Ò Ö Ø Ù N x,kr = Dπ [ b Φ Φ + 8 ], ½½º½ µ 3 Ñ Φ = a b ÓÒ ÚÙ Ù º Ã ÖØÓ Ñ Ò K = Φ Φ ½½º½ µ Ô Ò Ò ÖÚÓ ÓÒ K min 7.3 Ó ÓÒ ÒÓ Ò 5% ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò Ø Ö ØÙÐÓ º Ê Ø Ù ÓÒ Ø ØØÝ ÙÚ ½½º½¼º Ñ Ö ½½º½¼ Ä Ø Ò y Ò ÙÙÒØ ÐÐ Ö ÙÒÓ ÐÐ ÓÒ Ð Ò Ö Ø ÙØÙÒÙØ ÙÓÖ¹ Ñ ØÙ N x = N ( c b y )º ÅÖ Ø ØÒ ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ º Ä Ø Ò Ø ÔÙÑ ÓØ ÙØ Ò w(x, y) = sin mπx a ÈÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ú Ò δ Π = n= [ ( ) D w x + w y + N x a n sin nπy b. ( ) ] w d x ½½º½ µ ½½º½ µ Ò Ò ÑÑ Ò Ò ÑÑ Ò Ø ÖÑ Ò ÙÑÑ ÓÒ Ø ÔÙÑ Ò Ð Ù Ò Ó ØØ Ñ ¹ Ò ÒØ ÖÓ ÒØ Ò Ð Ò D [ ( ) w x + ( ) ] w y d = π4 8 Dab n= a n ( ) a + n b. ½½º½ ¼µ

202 ½½º º Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ ½ N a x b c = N y c = N c = ÃÙÚ ½½º½½ Ä Ò Ö Ø ÙØÙÒÙØ Ö ÙÒ ÙÓÖÑ N x º Ä Ò Ö Ø ÙØÙÒ Ò Ö ÙÒ ÙÓÖÑ Ò N x = N ( c b y ) Ø Ô Ù ( ) w N x d = x N = π N 8 b a n= a n N 4 a b π c ab ( c ) ( b y w x [ b 4 n= a n 8b π ) d n= q= ] a n a q nq (n q ), ½½º½ ½µ Ñ q ÓÒ ÐÐ Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ØØ n±q ÓÒ Ô Ö ØÓÒ n qº ÁÒØ Ö Ð Ò Ð Ñ Ò ÓÒ ÝØ ØØÝ ÚÓ b y sin pπy b sin qπy b dy = b, p = q, ½½º½ ¾µ 4 p ± q ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò b y sin pπy b sin qπy b dy =, p q, ½½º½ µ b p ± q ÓÒ Ô Ö ØÓÒº y sin pπy b sin qπy b dy = 4b π pq (p q, p q, ½½º½ µ ) ÌÖ ØÞ Ò Ó Ø ÙÖ ÖØÓ Ñ Ò a n Ù Ø Ò Ð Ò Ö Ò Ò ÓÑÓ Ò Ò Ò Ý Ø¹ Ð ÖÝ Ñº ÇØØ Ñ ÐÐ ÙÓÑ ÓÓÒ Ø ÔÙÑ Ò Ö Ø ÐÑ Ø Ò ÑÑ Ø Ø ÖÑ Ò [ ( + Φ ) KΦ ( c ) 8 π cφ K 9 8 π cφ K 9 ( + 4Φ ) KΦ ( c ) ][ a a ] = [ ], ½½º½ µ

203 ½ ÄÍÃÍ ½½º Ä Ø Ò ÐÓÑÑ Ù 3 K 39.6 kun c 5 K 3.9 c = c = c = c Φ ÃÙÚ ½½º½¾ Ä Ò Ö Ø ÙØÙÒ Ò ÚÓ Ñ Ò N x ÙÓÖÑ ØØ Ñ Ò Ð Ø Ò ÐÓÑÑ Ù º Ñ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ Ê Ø Ù ÓÒ Ø ØØÝ ÙÚ ½½º½¾º K = N b π D, Φ = a b. ½½º½ µ Ñ Ö ½½º½½ ÅÖ Ø ØÒ Ú Ô Ø ØÙ ØÙÒ Ð Ø Ò ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ Ð Ù ¹ ÙÓÖÑ ØÙ N xy ÓÒ Ú Óº ÈÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ú ÓÒ Ð Ù ÙÓÖÑ ØÙ Ò Ø Ô Ù Ú ¹ Ô Ø ØÙ ØÙÐÐ Ð Ø ÐÐ δ Π = [ ( ) ] D w x + w w w y + N xy d. x y Î Ô Ø ØÙ ØÙÒ Ð Ø Ò Ø Ô Ù ÓØ ÙØ Ò Ø ÔÙÑ ½½º½ µ w(x, y) = m= n= a mn sin mπx a nπy sin b, ½½º½ µ Ó ØÓØ ÙØØ Ö ÙÒ ÓØº Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø ÔÙÑ Ò Ö Ø ÐÑ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ú Ò ÓØØ Ñ ÐÐ ÙÓÑ ÓÓÒ ØØ a sin mπx a pπx cos dx =, a ½½º½ µ Ó m ± p ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò a sin mπx a pπx cos a dx = a π m m p, ½½º½ ¼µ

204 ½½º º Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ ½ Ó m ± p ÓÒ Ô Ö ØÓÒ Ò δ Π = 8 Dab m= n= ( ) ÌÖ ØÞ Ò Ó Ø δ δ Π Ñ a mn (m + n Φ ) + 3Φ3 K π [ (mπ ) ( nπ ) ] a mn + a b mnpq + 4N xy a mn a pq (m p )(q n ). ½½º½ ½µ m= n= p= q= = Ð Ý ØÐ Ø p= q= a pq a mn ( ) δ Π = ÙÖ Ý ØÐ ÖÝ ¹ mnpq (m p )(q n =, ½½º½ ¾µ ) Ó ÚÓ Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ º ÌÓ ÓÚ Ø ÖØÓ Ñ Ò a mn Ó ÐÐ m+n ÓÒ Ô Ö ØÓÒ Ó Ø Ú Ø ÒØ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÐÓÑÑ Ù ÑÙÓØÓº ÌÓ ÖÝ Ñ m+ n ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò ÐÓÑÑ Ù ÑÙÓØÓ ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Òº ËÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÖÝ Ñ ÐØ Ý Ø ÐÑØ (m =, n = ) (m =, n = 3) (m =, n = )... º ÒØ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÖÝ Ñ ÐØ Ý Ø ÐÑØ (m =, n = ) (m =, n = ) (m =, n = 3)... º Å Ö Ø ÑÐÐ ÚÓ Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ö Ó ØØ ÑÙÓØÓÓÒ λa mn (m + n Φ ) Φ + π 4 D λ = 3Φb N xy p= q= a pq ½½º½ µ mnpq (m p )(q n =. ½½º½ µ ) ÇØØ Ñ ÐÐ ÑÙ Ò Ú Ò Ø ÔÙÑ Ò Ö Ò Ø ÖÑ Ó Ø Ú Ø Ú Ø ÖØÓ Ñ Ø ÓÚ Ø a a Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ [ ] λ (+Φ ) [ Φ 4 ] [ ] 9 a =. ½½º½ µ 4 9 6λ (+Φ ) a Φ ØØ Ñ ÐÐ ÖÝ ÑÒ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÒÓÐÐ ØÙÐ ØÓ Ò Ø Ò Ý ØÐ Ô Ö Ñ ØÖ Ò λ Ù Ø Òº ØÐ Ò Ö Ø Ù ÓÒ Ö ØØ Ò Ò Ð Ù ÙÓÖÑ ÓÒ Φ λ = ± 9 ( + Φ ), ½½º½ µ N xy,kr = ± 9π4 D 3Φb ( + Φ ) Φ. ½½º½ µ Ã Ò Ø ÖÑ Ò Ö Ø ÙÒ Ú Ö ÓÒ ÒÓ Ò 5%º Ì Ö Ö Ø Ù Ø ÓÚ Ú µ ÔÔÖÓ ¹ ÑÓ ÝÚ Ò K = Φ, ½½º½ µ Ñ Φ > ÙÚ ½½º½ º Ã ÐØ ÚÙ ÐØ Ý Ø ÒÒ Ø ØÝÐÐ Ð Ø ÐÐ ÓÒ Ó ØØÙ Ð Ú ÙÒ Φ > º K = Φ, ½½º½ µ

205 ¾¼¼ ÄÍÃÍ ½½º Ä Ø Ò ÐÓÑÑ Ù K 9 b a 8 N xy 7 6 K = /Φ /Φ ÃÙÚ ½½º½ Ä Ù ÚÓ Ñ Ò N xy ÙÓÖÑ ØØ Ñ Ò Ð Ø Ò ÐÓÑÑ Ù º x N xy N xy y b a a ÃÙÚ ½½º½ Ä Ù ÚÓ Ñ Ò N xy ÙÓÖÑ ØØ Ñ Ò Ð ØØ Ø Ò ÐÓÑÑ Ù º Ñ Ö ½½º½¾ ÅÖ Ø ØÒ Ð Ù ÚÓ Ñ Ò ÙÓÖÑ ØØ Ñ Ò Ú Ô Ø ØÙ ØÙÒ Ð ØØ ¹ Ø Ò ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ º ÇØ ÙØ Ò Ø ÔÙÑ ÙÒ Ø Ó w(x, y) = C sin π(x + cy) a sin πy b, ½½º½ ¼µ Ñ b ÓÒ Ø Ò Ð Ú Ý º ÄÓÑÑ Ù ÑÙÓ ÓÒ ÓÐÑÙÚ Ú Ø w = µ ÓÚ Ø ÙÓÖ Ø x+cy = na n =,,,... ÚØ Ò Ð ÚÙ y =, y = b ÙÓÖ ÙÐÑ º ÄÓÑ¹ Ñ Ù ÑÙÓ ÓÒ ÐÐÓÒÔ ØÙÙ ÓÒ aº Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø ÔÙÑ Ò Ð Ù ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ú Ò ØÙÐ δ Π = [ ( ) ] D w x + w w w y + N xy d x x { [ + ( + c )b ] } + 4 c b = D π4 C 8 a b 3 a ÃÖ ØØ Ò ÙÓÖÑ Ò ÖÚÓ Ò N xy,kr = π [ D a b a cb + 6c + c + ( + c ) b ca + N xy π C cb 4a. ½½º½ ½µ ]. ½½º½ ¾µ

206 ½½º º ÂÝ Ø ØÝÒ Ð Ø Ò ÐÓÑÑ Ù ¾¼½ ÄÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ Ñ Ò Ñ ÖÚÓÒ ÙÒ b a = + c N xy = D π b ( c + c ). ½½º½ µ Å Ò ÑÓ Ñ ÐÐ Ú Ð Ô Ö Ñ ØÖ Ò c Ù Ø Ò ØÙÐ c = N xy,min = 4 π D b 5.66 π D b. ½½º½ µ ÐÐ Ø ØØÝ Ö Ø Ù ØÓØ ÙØ Ñ Ò Ö ÙÒ ØÓ w = ÚÙ ÐÐ y =, y = y b Ó ÐÓÑÑ Ù ÑÙÓ ÓÒ ÓÐÑÙÚ Ú Ø ÚØ Ð Ô Ø ÚÙ Ó Ø ÙÓÖ Òº ÇØ ¹ ÙÑ ÐÐ ÐÓÑÑ Ù ÑÙÓØÓ w(x, y) = C sin π[x + f(y)] a sin πy b ½½º½ µ ÓÐÑÙÚ Ú Ø ÓÚ Ø ÝÖØ x+f(y) = na n =,,,... Ò Ð Ú Ø ÚÙØ y =, y = b ÙÓÖ ÙÐÑ ÙÒ f(y) = cπ ( cos πy ) b b. ½½º½ µ ÌÐÐ ÐÓÑÑ Ù ÑÙÓ ÓÐÐ ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ Ò ÖÚÓ ØÙÐ N xy,kr = 5.4 π D b º ½½º ÂÝ Ø ØÝÒ Ð Ø Ò ÐÓÑÑ Ù ÂÓ Ð Ø ÓÒ Ý Ò Ò Ô ØÙÙ ÙÙÒØ Ò Ò Ý Ø Ø Ý Ø ØØµ Ò Ò ÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ø Ô ÒÓ ØÓ Ó Ý Ø Ò Ð Ø Ò Ý Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ ÓÒ ÓØ ØØÙ ÙÓÑ ÓÓÒº ÃÓÐÑ Ò Ø Ù ÑÑ Ò Ý Ø Ò Ø Ô Ù Ò ÐÝÝØØ Ò Ò ÐÓÑÑ Ù ¹ Ø ØÚÒ Ö Ø Ù ØÙÐ ÝÚ Ò Ò Ð º Í Ò Ý Ø Ò Ø Ô Ù Ý Ø Ø ÚÓ Ò ÙÐ ØØ Ð Ø Ò Ý ÝÝ ÓÑ Ò ÙÙ Ò Ö Ø Ø ÓÖØÓØÖÓÓÔÔ Ò Ð Ø Ò ÐÓÑÑ Ù Ø ¹ ØÚº ½½º º½ Ò Ò Ý Ø Ò Ò Ý Ø Ò Ø Ô Ù Ò ÐÝÝØØ Ò Ò Ö Ø Ù ÐÔÓØØÙÙ ØØÑÐÐ Ý ¹ Ø Ò ÚÒØ Ý ÝÝ ÙÓÑ ÓÓÒÓØØ Ñ ØØ º Ä Ø Ò Ý Ø Ò Ý Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ ÓØ ÓÚ Ø Ä Ø Ò Ý Ø Ò Ø ÔÙÑ Ø ÓÚ Ø Ý Ø ÙÙÖ Øº Ã ÖØÝÑ Ý Ø Ò Ó ÐÐ ÓÒ ÒÓÐÐ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÐÓÑÑ Ù ÑÙÓØÓµº Ä Ø Ò Ø ÔÙÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÓØ ÙØ Ò ÓÐ Ú Ò ÑÙÓØÓ Ì Ô Ù N ( x mπ ) D > a w(x,y) = f(y)sin mπx a. f(y) = C sinhpy + C cosh py + C 3 sin qy + C 4 cos qy, ½½º½ µ ½½º½ µ

207 ¾¼¾ ÄÍÃÍ ½½º Ä Ø Ò ÐÓÑÑ Ù Ñ p = q = [ (mπ [ a ( mπ a ) + mπ a ) + mπ a Nx D Nx D ], ½½º½ µ ]. ½½º¾¼¼µ ÂÝ Ø Ò Ø ÔÙÑ ÓÒ Ý Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ Ú Ø ÑÙ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ w p (x) = w(x,), ½½º¾¼½µ ÓØ Ò Ý Ø Ò Ø Ô ÒÓ ØÓ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓØÓÓÒ EI 4 w(x,) x 4 N p w(x,) x q p =, ½½º¾¼¾µ Ñ EI ÓÒ Ý Ø Ò Ø ÚÙØÙ Ý ÝÝ N p = p σ p ÓÒ Ý Ø Ò ÒÓÖÑ Ð ÚÓ Ñ º Î Ô Ø ØÙ ØÙÒ Ð Ø Ò Ø Ô Ù Ý Ø Ò Ø ÔÙÑ ÓÒ w(x,) = (C + C 4 )sin mπx a. ÃÝØØÑÐÐ ÝÚ ÝÑÑ ØÖ Ò Ø Ô ÒÓ ØÓ ½½º¾¼ µ q p = V y (x,), ½½º¾¼ µ Ñ Ä Ø Ò Ý Ø Ò ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ø Ø Ô ÒÓ Ó Ø ÙÖ Ð Ñ EI 4 w(x,) x 4 [ EI p 3 C q 3 C 3 + D V y (x,) = D 3 w(x,) y 3. ½½º¾¼ µ N p w(x,) x ( mπ ) 4 N p + a D N p = σ x p = N x h p. + D 3 w(x,) y 3 =, ½½º¾¼ µ ( mπ ) ] (C + C 4 ) =, ½½º¾¼ µ a ÃÓÐÑ Ø ÖÚ ØØ Ú Ð ØÓ Ò Ö ÙÒ ¹ Ý Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ Ó Ø ½½º¾¼ µ w(x, ) y =, ½½º¾¼ µ w(x, b ) =, ½½º¾½¼µ w(x, b ) y + ν w(x, b ) x =. ½½º¾½½µ

208 ½½º º ÂÝ Ø ØÝÒ Ð Ø Ò ÐÓÑÑ Ù ¾¼ b a x y Q y p, I z y ÃÙÚ ½½º½ ÂÝ Ø ØÝÒ Ð Ø Ò ÐÓÑÑ Ù º Ê ÙÒ ¹ Ý Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ ¹ Ø Ô ÒÓ Ó Ø ÓÓØ Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ sinh pb cosh pb sin qb cos qb p sinh pb p cosh pb q sin qb q cos qb p q p 3 [ EI D ( mπ a ) 4 + N p D ( mπ a ) ] q 3 [ EI D ( mπ a ) 4 + N p D ( mπ ) ] a ½½º¾½¾µ Å Ö Ø ÑÐÐ α = pb β = qb Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÒÓÐÐ ØÓ Ö Ó Ø ØØÙ ÑÙÓØÓÓÒ { F β cos β sinh α α sin β cosh α } αβ(α + β )cos β cosh α ( = F α tanh α ) β tan β (α + β ) =, ½½º¾½ µ Ñ ÓÒ ÓØ ØØÙ ÝØØ Ò ÐÝ ÒÒÝ Ñ Ö ÒØ [ EI ( mπ ) 4 F = b 3 σ x p + D a D Ì Ô Ù m = Ò ÖÖÓ Ò F ÑÙÓØÓÓÒ [ F = π4 EI Φ 4 bd + N xb ] π D Φ p bh [ ] = π4 EI Φ 4 bd KΦ p, bh Ñ Φ = a b ÓÒ ÚÙ Ù C C C 3 C 4 =. ( mπ ) ]. ½½º¾½ µ a ½½º¾½ µ K = N x,krb π D. ½½º¾½ µ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÒÓÐÐ Ó Ø ÚÓ Ò ÑÖ ØØ ÐÓÑÑ Ù ÖÖÓ Ò K ÚÙ Ù Ø Ò Φ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ð ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ Ò EI p bd bh ÖÚÓ ÐÐ ÙÚ ½½º½ º ËÙÙÖ Ò Ö ØØ Ò Ò ÒÒ ØÝ Ð ØØÝÝ ÒØ ÝÑÑ ØÖ Ò ÐÓÑÑ Ù ÑÙÓØÓÓÒ Ó Ú Ø Ú ¹ Ô Ø ØÙ ØØÙ b Ò Ð ÚÝ Ø Ð ØØ º È Ø Ò Ð Ø Ò Φ µ Ø Ô Ù Ö ØØ Ò Ò ÒÒ ØÝ ÓÒ ( σ kr = 4π E ( ν ) h b ) = 6π E ( ν ) ( ) h, ½½º¾½ µ b ÓØ Ò Ñ Ò Ñ ÐÓÑÑ Ù ÖÖÓ Ò ÓÒ K min = 6º ÃÙÚ ½½º½ ÓÒ Ø ØØÝ Ý Ø Ô Ð Ò Ñ Ò Ñ ÖÚÓØ Ó ÐÐ ÐÓÑÑ Ù ÑÙÓ Ó Ø ØÙÐ ÒØ ÝÑÑ ØÖ Ò Òº

209 ¾¼ ÄÍÃÍ ½½º Ä Ø Ò ÐÓÑÑ Ù ¾¼ K ½ ½¼ EI/bD ¾ ¾¼ ½ ½¼ ½ ¾ Φ ÃÙÚ ½½º½ ÂÝ Ø Ô Ð Ò Ý ÝÝ Ò Ú ÙØÙ ÐÓÑÑ Ù ÑÙÓØÓÓÒº EI/bD EI pieni ¼ EI suuri ¾¼ ¼ ¼º¼ ¼º½¼ ¼º½ ¼º¾¼ p /bh GI v pieni ÃÙÚ ½½º½ ÂÝ Ø Ô Ð Ò Ñ Ò Ñ ÖÚÓØ ÓØØ ÐÓÑÑ Ù ÑÙÓ Ó Ø ØÙÐ ÒØ ÝÑ¹ Ñ ØÖ Ò Òº ½½º º¾ Ã ÝÑÑ ØÖ Ø Ý Ø ØØ Ã Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ý Ø Ò Ø Ô Ù ÒØ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÐÓÑÑ Ù ÑÙÓØÓ ØÙÐ Ý¹ ÝÑÝ Ò ÝÚ Ò ÐÝ Ý ÐÐ Ð ØÓ ÐÐ º È Ø ÐÐ Ð ØÓ ÐÐ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÐÓÑÑ Ù ÑÙÓØÓ ÒØ ÐÓÑÑ Ù ÖØÓ Ñ Ò K Ñ Ò Ñ ÖÚÓÒº Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ ÓÒ Ó ØØÙ ÐÓÑÑ Ù Ö¹ ØÓ Ñ ÐÐ Ð Ö Ø Ù ( + Φ ) + 3EI K = ( bd Φ + 3 ). ½½º¾½ µ p bh ÂÓ Ý Ø Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø I = p = Ò Ò Ð Ö Ø Ù Ø ØÙÐ Ú Ô Ø ØÙ ØÙÒ Ý Ø¹ ÑØØ ÑÒ Ð Ø Ò Ö Ø Ù K = Φ + Φ +. ½½º¾½ µ ½½º º ÂÝ Ø Ø ÓÐÑ Ø Ù ÑÔ ÂÓ Ý Ø Ø ÓÒ Ô Ð ÓÒ Ò Ò Ò ÚÓ Ò ÓØØ ÙÓÑ ÓÓÒ ÝÚÐÐ Ø Ö ÙÙ ÐÐ Ð Ø Ò Ø ÚÙØÙ ¹ ÚÒØ Ý ÝÝ Ò Ý Ø Ý

210 ½½º º ÂÝ Ø ØÝÒ Ð Ø Ò ÐÓÑÑ Ù ¾¼ D x ÓÒ Ð Ø Ò Ø ÚÙØÙ Ý ÝÝ Ð Ù x = Ú Óº D y ÓÒ Ð Ø Ò Ø ÚÙØÙ Ý ÝÝ Ð Ù y = Ú Óº H ÓÒ Ð Ø Ò ÑÖ Ò Ò ÚÒØ Ý ÝÝ º ÇÖØÓØÖÓÓÔÔ Ò Ð Ø Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ ÓÒ 4 w D x x 4 + H 4 w x y + D 4 w y y 4 = N w x x, ½½º¾¾¼µ ÙÒ ÙÓÖÑ Ò ÓÒ N x º Î Ô Ø ØÙ ØÙÒ Ð Ø Ò ÐÓÑÑ Ù ÑÙÓ Ó ÓØ ÙØ Ò w(x,y) = sin πx a sin πy b. ½½º¾¾½µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø ÔÙÑ Ò Ð Ù Ø Ô ÒÓ ØÓÓÒ Ñ Ö Ø ÑÐÐ ØØ ÚÙ Ù ÓÒ Φ = a b Ò D x π 4 + HΦ π 4 + D y Φ 4 π 4 + N x a π =, ½½º¾¾¾µ Ó Ø Ö Ø Ø Ò Ö ØØ Ò Ò ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ ( ) N kr = π Dx b Φ + H + D yφ. ½½º¾¾ µ Å Ò ÑÓ Ò ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ ÚÙ Ù Ø Ò Ù Ø Ò Ú Ø Ñ ÐÐ Ó Ø ÙÖ Φ = N x Φ =, ( Dx D y ØØ ÚÙ Ù ØØ Ú Ø Ú ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ ÓÒ N x,kr = π b ( D x D y + H). ½½º¾¾ µ ) 4, ½½º¾¾ µ ½½º¾¾ µ ÂÓ Ð Ø ÓÒ x¹ Ð Ò ÙÙÒØ Ý Ø Ø Ó Ò Ø ÚÙØÙ Ý ÝÝ ÓÒ EI x Ó ¹ Ò ÚÐ Ñ Ø ÓÒ c Ò Ò Ð Ø Ò Ø ÚÙØÙ Ý ÝÝ ØÙÐ D x = EI x c + Eh 3 ( ν ), D y = Eh 3 ( ν ) ½½º¾¾ µ Ð Ø Ò ÚÒØ Ý ÝÝ ÓÒ H = D y = Eh 3 ( ν ). ½½º¾¾ µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÒÑ ÖÚÓØ Ö ØØ Ò ÒÒ ØÝ Ò Ú Ò σ x,kr = N x,kr Ò h ( ) [ σ x,kr = 4π E h ( ν ) b + ] + ( ν ) I x ch 3. ½½º¾¾ µ

211 ¾¼ ÄÍÃÍ ½½º Ä Ø Ò ÐÓÑÑ Ù À ÙÐ ÙÐ Ù ÓÒ ÙÙÖ ÒÒÙ ÖÖÓ Ò ÓÐÐ Ú Ô Ø ØÙ ØÙÒ Ð Ø Ò Ö ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ ¹ Ú x¹ Ð Ò ÙÙÒØ Ø Ò Ý Ø Ò Ò Ó Ø Ó Ý Ø Ø ÚØ ÑÙÓ Ó Ø ÐÓÑÑ Ù ¹ ÙÚ ÓÒ ÐÓÑÑ Ù ÑÙÓ ÓÒµ ÓÐÑÙÚ ÚÓ w = µº ÂÓ Ý Ø Ø Ø Ú Ø ÓÐÑÙÚ ÚÓ ÐÐ Ò Ò Ö ØØ Ò ÒÒ ØÝ Ò ÖÚÓ ÓÒ σ x,kr = 4π E ( ν ) ( ) h, ½½º¾ ¼µ c Ñ c ÓÒ Ý Ø Ò ÚÐ Ñ Ø y¹ Ð Ò ÙÙÒÒ º ËÙÙÒÒ ØØ ÐÙ ÑÖÚ Ö ØØ Ò ÒÒ ØÝ Ò ÖÚÓ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ø ÐÐ ÑÖ Ø ØÝ Ø ÖÚÓ Ø º ½½º º ÈÓ ØØ Ø Ô Ø ØØ Ø Ý Ø Ø Å Ö ØÒ ØØ Ý Ø Ò ÚÐ Ñ Ø Ø x¹ y¹ Ð Ò ÙÙÒÒ ÓÚ Ø c dº ÂÓ Ð Ø Ò Ø ÚÙØÙ Ý ÝÝ ÚÓ Ò ØØ ÙÓÑ ÓÓÒÓØØ Ñ ØØ Ý Ø Ò Ý ÝÝ Ò Ö ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ò ÓÖØÓØÖÓÓÔÔ Ò Ð Ø Ò Ý ÝÝ Ø D x = EI x c, ÌÐÐ Ò Ö ØØ Ò ÒÒ ØÝ Ò ÖÚÓ ØÙÐ D y = EI y, H =. ½½º¾ ½µ d σ x,kr = π E Ix I y b h cd. ½½º¾ ¾µ ÂÓ Ý Ø Ø ÓÚ Ø ÐÓÑÑ Ù ÑÙÓ ÓÒ ÓÐÑÙÚ ÚÓ ÐÐ Ò Ò Ð ÚÝ ÒØÒ Ô ÐÐ Ò Ò Ý ¹ Ø Ò ÚÐ Ò ÒØÒµ ÐÓÑÑ Ù ÒÒ ØÝ Ò Ú Ø σ x,kr = [ π E (c ( ) d + ( ν + ], ½½º¾ µ ) d) c Ñ ÚÙ Ù ÓÒ ÒÝØ Φ = d c º Ñ Ö ½½º½ ÅÖ Ø ØÒ Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ Ý Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ý Ø Ò Ý ØÑÒ Ð Ø Ò ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ º Î Ô Ø ØÙ ØÙÒ Ð Ø Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ú ÓÒ [ ( ) δ Π l = D w x + w y + ( ) ] w N x d. x ½½º¾ µ Î Ø Ú Ø Ý Ø Ô Ð Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ò Ò Ú Ö Ø Ó ÓÒ a ( δ Π p = EI w(x, b ) ) ( x + w(x, b N ) ) p d. x ÇØ ÙØ Ò Ø ÔÙÑ ÐÐ Ð Ù ( w(x, y) = C sin πy b + C sin πy ) sin mπx b a. ½½º¾ µ ½½º¾ µ

212 ½½º º ÂÝ Ø ØÝÒ Ð Ø Ò ÐÓÑÑ Ù ¾¼ ÃÝØØÑÐÐ ÝÚ ÒØ ÖÓ ÒØ Ú a b sin pπx a sin qπy b sin rπy b = δ qr ab 4, ½½º¾ µ Ñ δ qr = Ó q = r δ qr = Ó q r Ò [ δ Π l = ( m 8 Dab C π ) ( a + π m b + C π ) ] a + 4π b Ø Ò δ Π = δ Π l + δ Π p { [ ( = C ab m π D 8 a [ ( + C ab m π D 8 a + 8 abn m π x a (C + C), ½½º¾ µ δ Π p = C a m π ( m π ) 4 a a EI + N p. ½½º¾ µ + π b + 4π b ) ] m π + N x a + a m π ( m π ) } 4 a a EI + N p ) ] m π + N x. a ½½º¾ ¼µ Ó Ø ÙÖ ( ) δ Π N x,kr = π D b C =, + p bh [ (m Φ + Φ m ( ) δ Π C =, ½½º¾ ½µ ) ] + EI ( m ), ½½º¾ ¾µ bd Φ N x,kr = 4 π D b ( m Φ + Φ ), ½½º¾ µ m Ñ Φ = a b Ù p bh = N p N x b º ÄÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ ÓÒ N x,kr ÝÑÑ ØÖ Ò ÐÓÑÑ Ù ÑÙÓ ÓÒ Ø Ô Ù ÒØ ÝÑÑ ØÖ Ò ÐÓÑÑ Ù ÑÙÓ ÓÒ Ø Ô Ù ¹ ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ ÓÒ N x,kr º ÂÐ ÑÑ Ø Ô Ù Ý Ø Ô Ð Ø ÚÙº Ñ Ö ½½º½ ÌÙØ Ø Ò Ú Ô Ø ØÙ ØØÙ Ð ØØ Ó ÓÒ ÔÓ ØØ ÙÙÒØ Ò Ò Ý Ø º Ä Ø Ò Ô Ð Ò Ø ÚÙØÙ Ý ÝÝ Ø ÓÚ Ø D EI Ð Ø Ò ÚÙ Ù ÓÒ Φ = a b º ÄÓÑÑ Ù ÑÙÓ Ó ÓØ ÙØ Ò w(x, y) = m= a m sin mπx a πy sin b. ½½º¾ µ

213 ¾¼ ÄÍÃÍ ½½º Ä Ø Ò ÐÓÑÑ Ù Ä Ø Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ú Ö Ø Ó ØÙÐ Ð ÐÑ Ò Ð Ò [ ( ) δ Π l = D w x + w y + ( ) ] w N x d x = π 4 D 8 Φa m= Î Ø Ú Ø Ô Ð Ò Ò Ö Ð Ù ÓÒ a m (m + Φ ) + 8 N π x Φ a m m. m= ½½º¾ µ a δ Π p = EI [ w(x p, y) y ] dy = π4 b EI b 4 m= a mπx m sin p. ½½º¾ µ a Î Ð Ø Ò Ô Ð Ò ÒÒ x p = a º Ò ÔÙÓÐ ÐÐÓÒ m = µ Ø Ô Ù ÌÖ ØÞ Ò Ó Ø Ò [ N x,kr = π D b Φ ( + Φ ) + EI ] Db Φ3, ½½º¾ µ Ò ÔÙÓÐ ÐÐÓÒ m = µ Ø Ô Ù N x,kr = π D b (4 + Φ ) 4Φ. ½½º¾ µ ÂÐ ÑÑ Ø Ô Ù ÐÓÑÑ Ù ÑÙÓ ÓÒ ÓÐÑÙÚ Ú ÙÐ Ô Ø Ò Ý Ø Ô Ð ¹ º Ñ Ö ½½º½ ÅÖ Ø ØÒ Ø Ø ÔÙÖ Ø ØÙÒ ÑÑÓ ÐÐ ÐÙ Ø ÐÐ ÓÐ Ú Ò Ú ¹ Ô Ø ØÙ ØÙÒ Ð Ø Ò ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ º Â Ø ÙÚ ÑÑÓ Ò Ò ØÙ ÒØ ÓÒ ÓÑ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ò Ð Ø Ò Ý Ø º Ñ Ö Ò Ø Ô Ù ¹ N x = N y = Ú Óº Ï Ò Ð Ö Ò ÐÙ Ø Ò ØÙ Ö Ø Ó ÐÙ Ø Ô Ò µ ÓÒ q r = kw Ñ k ÓÒ ÐÙ Ø Ò Ý ÝÝ w ÓÒ Ø ÔÙÑ ÒÝØ Ð Ø ÔÙÑ ÙÓÖ Ò ÔÙÖ Ø ØÙÒ Ô ÖÙ Ø Ð Ò Ù Ø Òµº ÈÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ú ÓÒ ÐÙ Ø Ò Ú ÙØÙ ÑÙ ÒÐÙ¹ Ò δ Π = [ ( ) D w x + w y + N x ( ) w + x N y Î Ô Ø ØÙ ØÙÒ Ð Ø Ò Ö ÙÒ ÓØ ØÓØ ÙØØ Ö Ø ÐÑ w(x, y) = m= n= a mn sin mπx a nπy sin b. ( ) ] w + y kw d. ½½º¾ µ ½½º¾ ¼µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø ÔÙÑ Ò ØÝ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ú Ò ÙÓÖ Ø¹ Ø Ñ ÐÐ Ø ÖÚ ØØ Ú Ø ÒØ ÖÓ ÒÒ Ø ØÙÐ δ Π = 8 Dab + 8 abn x m= n= + 8 abk a mn m= n= m= n= [ (mπ ) ( nπ ) ] + a b m π a mn + 8 abn y a a mn, m= n= n π b a mn ½½º¾ ½µ

214 ½½º º ÂÝ Ø ØÝÒ Ð Ø Ò ÐÓÑÑ Ù ¾¼ Ñ ÒØ Ö Ð Ò Ð Ñ Ò ÓÒ ÝØ ØØÝ ÚÓ a sin mπx a dx = a, ½½º¾ ¾µ sin x = ( cosx). ½½º¾ µ ( ) Ó Ø δ δ Π = ÙÖ Ú Ø Ý ØÐ Ø a mn [ k (mπ ) ( nπ N x,kr = N y,kr = [ (mπ ) ( nπ ) ] D + a b + a b ( ) δ Π = Ò Ö Ø Ù ) ]. ½½º¾ µ

215 ¾½¼ ÄÍÃÍ ½½º Ä Ø Ò ÐÓÑÑ Ù

216 ÄÙ Ù ½¾ Ä Ø Ò ÔÐ Ò Ö Ò Ò Ò ÐÝÝ Ä Ø Ò ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ ÑÖ Ø ØØ Ò ÐÐ Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÚÓØ ØÚÒ Ö Ø ÙÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ º ÄÓÑÑ Ù ÒÒ ØÝ Ò Ð Ö ØØ Ò ÒÒ ØÝ Ò ÖÚÓÐÐ Ð ØØ Ò Ð ÑÙÓ¹ Ó ØÙ ÐÓÑÑ Ù ÙÚ Óº Ä ØØ ÚÓ Ù Ø Ò Ò ÒØ ÐÓÑÑ Ù ÒÒ ØÝ Ø Ú Ø Ú ÙÓÖ¹ Ñ ÙÙÖ ÑÑ Ò ÙÓÖÑ Ò Ó ØÙ ÒÒ Ò Ò Ó Ø Ð Ø Ò ØØÝÝ ÐÓÑÑ Ù Ò Ð Ò º ÝÐ Ö ØØ Ø Ð ÐÚÓÚ ÒÝÑ º Ð Ö ØØ Ò Ø Ð Ò ØÙØ Ñ Ø Ú ÖØ Ò Ø ÖÚ Ø Ò Ð Ø Ò ÔÐ Ò Ö Ø Ò Ñ ØØ Ø Ý ¹ ØÐ Øº ÂÓ Ø ØÝÒ Ñ Ø Ö Ð Ô Ø Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ò Ò Ô ØÙÙ ÓÒ Ð ÙØ Ð ÓÖ¹ ÑÓ ØÙÑ ØØÓÑ Ø Ð µ ds ÐÓÔÔÙØ Ð ÓÖÑÓ ØÙÒ Ø Ð µ ds Ò Ò Ö Ò Ò¹ Ä Ö Ò Ò ÑÙ Ò Ò Ú ÒÝÑ ÙÚ Ú ǫ = ds ds ds. ½¾º½µ ÂÓ Ñ Ø Ö Ð Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø ÓÚ Ø dx k Ð ÙØ Ð µ dx k ÐÓÔÔÙØ Ð µ ÓÓÖ Ò Ø¹ Ø Ò X k k =,,3 x k k =,,3 Ù Ø Ò Ð ds = dx k I k, ds = dx k i k, ½¾º¾µ Ñ ÓÓÖ Ò ØØ Ð Ò ÙÙÒØ Ø Ý Ú ØÓÖ Ø ÓÚ Ø i k I k k =,,3 Ò Ò Ò Ô ØÙÙ Ò Ò Ð Ø ÓÚ Ø ½ (ds) = dx k dx k, (ds) = dx k dx k. ½¾º µ ÃÓÓÖ Ò ØØ Ò ÖØÝÑ ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ú Ø ÚÙÙ Ø ÓÚ Ø x = x x = y x 3 = z u = u u = v u 3 = wº Å Ø Ö Ð Ô Ø Ò ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÚ Ø ÓÖÑÓ ØÙÒ Ø Ð x k = X k + u k, ½¾º µ Ñ u k ÓÚ Ø ÖØÝÑÚ ØÓÖ Ò u = u k i k ÓÑÔÓÒ ÒØ Øº Ë ÖØÝÑÚ ØÓÖ Ò Ò Ö Ñ ÒØ Ò ÚÙÐÐ Ò Ý Ø Ý dx k = dx k + du k = dx k + u k,j dx j = (δ kj + u k,j )dx j, ½¾º µ ½ Ò Ø Ò Ò ÓÔ ÑÙ Ò ÑÙ Ò ÙÑÑ Ø Ò ØÓ ØÙÚ Ò Ò Ò Ù Ø Ò Ð a k b k ¾½½ 3 k= a k b k º

217 ¾½¾ ÄÍÃÍ ½¾º Ä Ø Ò ÔÐ Ò Ö Ò Ò Ò ÐÝÝ Ñ δ kj = Ó k = j δ kj = Ó k j u i,j u i ÓÒ ÖØÝÑÚ ØÓÖ Ò X j ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò u i Ó ØØ Ö Ú ØØ ÓÓÖ Ò Ø Ò X j Ù Ø Òº Î Ú ¹ Ð ÓÒ Ò Ð Ò ÖÓØÙ ÚÓ Ò ÒÝØ Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó (ds) (ds) = (δ ki + u k,i dx i )(δ kj + u k,j )dx j dx k dx k = (u i,j + u j,i + u k,i u k,j )dx i dx j ½¾º µ Ñ = ǫ ij dx i dx j, ǫ ij = (u i,j + u j,i + u k,i u k,j ) ½¾º µ ÓÚ Ø Ö Ò Ò¹Ä Ö Ò Ò Ú ÒÝÑÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ Øº Á ÒØ Ó Ñ ÐÐ ÓÓÖ Ò Ø Ø ÖØÝÑØ Ø Ò ØØ x = X y = X z = X 3 u = u v = u w = u 3 Ð Ø Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ô Ø Ò Q ÖØÝÑØ ÓÚ Ø u Q = u z w x, ½¾º µ v Q = v z w y, ½¾º µ w Q = w, ½¾º½¼µ Ñ u(x,y,) v(x,y,) ÓÚ Ø Ô Ø ØØ Q Ú Ø Ú Ò Ð Ø Ò Ô ÒÒ Ò z = Ô Ø Ò ÖØÝÑØ Ð Ò x y ÙÙÒØ Òº ÃÓ ØÙÙÐÐ Ò Ø ÔÙÑ Ò Ø Ô Ù Ø ÔÙÑ Ð Ø Ò Ô ÙÙ Ò ÙÙÖÙÙ ÐÙÓ µ Ð ¹. Ø Ò Ô ÒÒ Ò ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò ÔÐ Ò Ö Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø ÓÚ Ø Ð ÑÖ Ø el = ÔÐ Ò Ö Ò Òµ ε,el ε x,el = ( ) w, ½¾º½½µ x ε,el ε y,el = ( ) w, ½¾º½¾µ y ε,el ε xy,el = ( )( ) w w, ½¾º½ µ x y ÙÒ ÖØÝÑ ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò u = u v = u ÔÐ Ò Ö Ø Ó ÙÙ Ø Ø ØÒ Ð Ø Ò Ø ¹ ÔÙÑ Ø w ÙÖ Ú Ò Ó ÙÙ Ò Ö ÒÒ ÐÐ Ô Ò Ò ÙÙÖ Ò ÔÓ º ÔÐ Ò Ö Ø Ò ÐÚÓÑÙÓ¹ ÓÒÑÙÙØÓ Ø Ò ÝÒØÝ ÓÒ Ú ÒÒÓÐÐ Ø ØØÙ ÙÚ ½¾º½º Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÖØÝÑ Ó Ú Ø Ã Ö Ó Ò ÓØ ÙÑ Ø ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò ÚÓ Ò Ò Ý Ò ÖØ ØÙ Ø Ò Ð Ò Ð Ø ÐÐ ÔÐ Ò Ö Ø Ú ÒÝÑ Ú Ø Ò º ÚÓÒ Ã ÖÑ Ò Ò Ð ØØ Ø ÓÖ Ò Ú Øº Ø ÝÝ ÐÐ z Ð Ø Ò Ô ÒÒ ÐØ Ð Ø Ò ÑÙÓ ÓÒÑÙÙ¹ ØÓ Ø ÓÚ Ø ǫ x = ε x + zκ x, ½¾º½ µ ǫ y = ε y + zκ y, ½¾º½ µ ǫ xy = ε xy + zκ xy, ½¾º½ µ

218 ¾½ dx w X dx x w X dx dx w X dy α = w w X Y w Y dy y ÃÙÚ ½¾º½ Ä Ø Ò ÔÐ Ò Ö Ø ÐÚÓÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Øº Ñ Ð Ø Ò Ô ÒÒ Ò ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ø ÓÚ Ø Ð Ø Ò ÝÖ ØÝÑØ ÓÚ Ø ε x = u x + ε y = v y + ε xy = ( ) w, ½¾º½ µ x ( ) w, ½¾º½ µ y ( u y + v x ) + w w x y, ½¾º½ µ κ x = w x, κ y = w y, κ xy = w x y. ½¾º¾¼µ Ä Ø Ò Ô ÒÒ Ò ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ø ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ý Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ ÓÒ ( ε x y + ε y x γ xy ) x y = w w w x y x y, ½¾º¾½µ Ñ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ γ xy = ε xy º Ð Ø ØÝÒ ÀÓÓ Ò Ð Ò ÑÙ Ò Ø Ó ÒÒ ØÝ Ø Ð ÐÚÓÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ø Ò ÐÚÓÚÓ ¹ Ñ Ò ÚÐ ÐÐ ÓÚ Ø Ý Ø Ý Ø ε x = Eh (N x νn y ), ε y = Eh (N y νn x ), γ xy = Gh N xy, E Ñ G ÓÒ Ð Ù ÙÑÓ ÙÙÐ º ( + ν) ÅÖ ØØ Ð ÑÐÐ ÖÝÒ ÒÒ ØÝ ÙÒ Ø Ó F(x,y) Ø Ò ØØ ½¾º¾¾µ ½¾º¾ µ ½¾º¾ µ N x = F y, N y = F x, N xy = F x y, ½¾º¾ µ

219 ¾½ ÄÍÃÍ ½¾º Ä Ø Ò ÔÐ Ò Ö Ò Ò Ò ÐÝÝ ÐÚÓÚÓ Ñ Ø ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ø Ô ÒÓ ÓØ N x x + N xy =, y ½¾º¾ µ N xy x + N y y =. ½¾º¾ µ ÒØØ Ø º Ä Ù ÙÑ ÐÐ Ý Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ Ó ÐÚÓÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ø ÐÚÓÚÓ Ñ Ò ÒÒ ØÝ ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ ØÙÐ Ý ØÐ [ ( 4 F x F x y + 4 F ) ] y 4 = Eh w w w x y x y. ½¾º¾ µ Ä Ù ÙÑ ÐÐ Ð Ø Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ ÐÚÓÚÓ Ñ Ø ÖÝÒ ÒÒ ØÝ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ Ò ( 4 ) w D x w x y + 4 w y 4 = p + F w y x F w x y x y + F w x y. ½¾º¾ µ ØÐ Ø ½¾º¾ µ ½¾º¾ µ ÓÚ Ø Ã ÖÑ Ò Ò¹ ÔÔÐ Ò Ý ØÐ Ø 9µ 97µº ØÐ Ò Ò ¹ ÐÝÝØØ Ò Ò Ö Ø Ù ÓÒ ÝÚ Ò Ò Ð ÑÙØØ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ Ø Ö Ò Ñ Ò Ø Ð¹ ÑÐÐ Ö Ø Ù ÓÒÒ ØÙÙ Ô Ö ØØ ÐÔÓ Ø º ÇØØ Ñ ÐÐ ÙÓÑ ÓÓÒ ÓØÖÓÓÔÔ Ò ÑÑÓ Ò Ò Ò ÓÒ Ø ØÙØ Ú Ø Ý ØÐ Ø σ x = E ν (ǫ x + νǫ y ), ½¾º ¼µ σ y = E ν (ǫ y + νǫ x ), ½¾º ½µ τ xy = Gǫ xy ½¾º ¾µ Ò Ð Ø Ò ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö Ò Ð Ù U = (σ x ǫ x + σ y ǫ y + τ xy ǫ xy )dv, ½¾º µ V Ñ V ÓÒ Ð Ø Ò Ø Ð ÚÙÙ ÑÙÓØÓÓÒ U = [ ] E ( ǫ ν x + ǫ ) y + νǫ x ǫ y + 4Gǫ xy dv. V ½¾º µ ÀÓÑÓ Ò Ò Ð Ø Ò Ø Ô Ù h h ze dz =, ½¾º µ ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö Ò Ð Ù Ò ØØÙ Ø Ò Ó Ò U = U m + U b, ½¾º µ

220 ¾½ Ñ U m = Eh ν U b = Eh 3 ( ν ) [ ε x + ε y + νε x ε y + ( ν)ε ] xy d, ½¾º µ [ κ x + κ y + νκ xκ y + ( ν)κ ] xy d. ½¾º µ Ä Ø Ò Ô ÒØ Ú Ø Ò Ó Ø ÙÓÖ Ò ÙØÙÒ Ò ÙÓÖÑ Ò ÔÓØ ÒØ Ð ÓÒ V = p(x,y)w(x,y)d. ½¾º µ ÃÓ ÓÒ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ø ÐÝ Ý ÑÑ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö µ ÓÒ ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö Ò ÙÐ Ó Ò ÙÓÖÑ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò ÙÑÑ Π = U + V. ½¾º ¼µ Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ñ Ö Ò ÙÚ Ò ½¾º¾ ÐØ Ö ÙÒÓ ÐØ Ú Ô Ø ØÙ ØØÙ Ò Ð Ð ØØ º Ê ÙÒ y = a ÔÝ ÝÝ ÙÓÖ Ò Ò ÖØÝÑ ÓÒ v = ae Ñ e ÓÒ ÖØÝÑ ÖÖÓ Òº Ê ÙÒ Ø x = ±a ÓÚ Ø Ú Ô Ø ØÙ ØÙØ Ö ÙÒ Ø Ð Ù ÙÚ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ò y ÙÙÒÒ ÑÙØØ x Ò ÙÙÒØ Ò Ò Ð ÓÒ Ø ØØÝº ÇØ ÙØ Ò Ð ØØ Ò Ð ÙØ ÔÙÑ w (x,y) = C cos πx πy cos a a, ½¾º ½µ Ñ C ÓÒ Ð ÙØ ÔÙÑ Ò ÖÚÓ Ð Ø Ò Ô Ø º Ä Ø Ò ØÝÑ Ò Ð Ù ÓØ ¹ ÙØ Ò u(x,y) = B sin πx a cos πy a, v(x,y) = B cos πx πy sin e(y + a), a a ½¾º µ w(x,y) = C cos πx πy cos a a, Ñ B C ÓÚ Ø ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ø ÖØÓ Ñ Øº Ä Ø Ò Ø ÚÙØÙ Ò Ð ØØÝÚÒ ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö Ò Ð Ù U b = D = D [ κ x + κ y + νκ xκ y + ( ν)κ ] xy d [ ( ) w x + ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓØÓÓÒ U b = D ( ) w y + ν w w x + ( ν) y ( ) ] w d x y { ( ) w x + w y ( ν)[ w ( w ) ]} x y w d. x y ½¾º ¾µ ½¾º µ ½¾º µ ½¾º µ

221 ¾½ ÄÍÃÍ ½¾º Ä Ø Ò ÔÐ Ò Ö Ò Ò Ò ÐÝÝ ÇØØ Ñ ÐÐ ÙÓÑ ÓÓÒ Ð ÙØ ÔÙÑ w ØÙÐ U b = D { ( ) (w w ) x + (w w ) y ( ν) [ (w w ) (w w ) x y ( ) ]} (w w ) d. ½¾º µ x y Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø ÔÙÑ Ò Ð ÙØ ÔÙÑ Ò Ð Ù Ø ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö Ò Ú Ò ¹ Ò ÒØ ÖÓ ÒØ Ò Ð Ò U b = D π4 (C C ) 8a. ½¾º µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÚÙÓÖÓ Ø Ò Ð Ø Ò Ô ÒÒ Ò ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ø ε xy = ε x = u x + ( ) w ( ) w, ½¾º µ x x ε y = v y + ( ) w ( ) w, ½¾º ¼µ y y ( u y + v ) + w w x x y w w x y, ½¾º ½µ Ñ Ð ÙØ ÔÙÑ Ò w Ú ÙØÙ ÓÒ ÑÙ Ò ÐÚÓØ Ð Ò ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö Ò Ú Ò ØÙÐ { U m = Eh ν 4a e π ( + ν) ec + 5π4 4 56a C4 π (5 3ν) C B 6a π ν(9π 64) 36 + π ( + ν) 4 ec + π (5 3ν) BC 6a B + 5π4 56a C4 }, 5π4 8a C C ½¾º ¾µ Ñ ÈÓ ÓÒ Ò ÐÙÚÙÒ ÖÚÓ ÓØ ÙØ Ò ν =.3º Ö ÚÓ Ñ ÐÐ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ú ÖØÓ Ñ Ò B C Ù Ø Ò ÙÖ ÒÝØ ÙÒ Π = U b + U m (U b + U m ) (U b + U m ) =, =. ½¾º µ B C Ò ÑÑ Ø Ý ØÐ Ø Ò Ö Ø ØÙ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ØÑ Ð ÑÑ Ò Ý ØÐ Ò ÙÖ B =.48 C C. ½¾º µ a [ 5.698(C C ) h 6.45a e ] C = 4.59h C. ½¾º µ Î Ö ØØ ÑÒ Ð Ø Ò Ø Ô Ù C = Ú Ñ Ò Ý ØÐ Ý Ò ÖØ ØÙÙ ÑÙÓØÓÓÒ (5.698C h 6.45a e)c =, ½¾º µ

222 ¾½ ÓÒ Ö Ø ÙØ ÓÚ Ø 6.45a C = C = e 4.59h. ½¾º µ ÂÓØØ ÖØÓ Ñ Ò C Ð Ù Ò ÙÙÖ ØØ Ú ÓÐ ÔÓ Ø Ú Ò Ò ØÝØÝÝ Ö ÙÒ Ò y = a Ø Ø ÖØÝÑ ÙÚ Ú Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò e ØÓØ ÙØØ ØÓ e > e kr =.637 h º ÌØ e Ò ÖÚÓ a Ú Ø Ú ÐÚÓÚÓ Ñ ÙÓÖ Ô ÖÙ Ø Ð ÓÒ N y,kr = Eh ν e kr =.637 Eh 3 ν a. ½¾º µ Ê ÙÒÓ Ò x = ±a Ð Ù ÙØÙ Ø ÚØ ÐÐ ÖØÝÑ x Ò ÙÙÒØ Ò ÓØ Ò ÙÓÖ Ô ÖÙ Ø Ð ε x = Eh (N x νn y ) = N x = νn y. ½¾º µ ÅÖ Ø ØÒ ÙÖ Ú ÐÚÓÚÓ Ñ Ò N y Ð Ø Ò Ø ÔÙÑ Ò C ÚÐ Ò Ò Ö ÔÔÙÚ ÙÙ ÑÙÓØÓÚ Ö ÐÐ Ò Ð Ø Ò Ø Ô Ù Ð ÙØ ÔÙÑ C µº Ð Ø ØÝÒ ÀÓÓ Ò Ð Ò ÑÙ¹ Ò Ø Ó ÒÒ ØÝ Ø Ð N y = Eh ν (ǫ y + νǫ x ). ½¾º ¼µ Ä Ø Ò Ö ÙÒ ÐÐ y = a ÐÚÓÚ ÒÝÑ ε x = º Ã Ú Ò ε y = v y + ÚÙÐÐ ØÙÐ ÐÚÓÚÓ Ñ Ò N y ÙÑ Ö ÙÒ ÐÐ y = a N y (x,a) = Eh ν [ e + C C ( a ( ) w ½¾º ½µ y cos πx a ) cos πx ]. ½¾º ¾µ a ÒØ Ñ ÐÐ Ö ÙÒ Ò y = a Ø Ø ÖØÝÑ ÙÚ Ú ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ ÖÚÓ ÚÓ Ò Ð Ø Ò Ø ÔÙÑ Ð Ú Ø ½¾º µ ÃÙÚ ½¾º¾ ÓÒ Ø ØØÝ Ô Ö Ñ ØÖ Ò e ÖÚÓÐÐ e = e kr ÐÚÓÚÓ Ñ Ò N y (x,a) ÙÑ Ö ÙÒ ÐÐ y = aº Ë Ñ ÙÚ ÓÒ ÑÝ ÐÚÓÚÓ Ñ Ò N x ÙÑ º Ã ÐÚÓÚÓ Ñ N y ¹ ÙØÙÙ ÚÓ Ñ Ø ÙÙ ÐÐ Ò ÝÐ Ö ØØ Ø Ð Ø Ò ØØ Ö ÙÒ Ø ÒØ Ú Ø Ò ÑÑÒ ÙÓÖÑ Ù Ò Ù Ø º Ã ÐÚÓÚÓ Ñ Ò ÖÚÓ ÚÓ Ò Ð Ú ÐÐ N y = a a N y dx Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÚÓ Ñ Ò N y Ð Ù Ú Ø ½¾º ¾µ ØÙÐ N y (x,a) = Eh ν a. ½¾º µ ( ) h [ (.637 C ) ( )] c a C h c h. ½¾º µ Ã ÑÖ Ò ÐÚÓÚÓ Ñ Ò N y (x,a) Ø ÔÙÑ Ò C Ö ÔÔÙÚ ÙÙ ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ ÙÚ Ò ½¾º º

223 ¾½ ÄÍÃÍ ½¾º Ä Ø Ò ÔÐ Ò Ö Ò Ò Ò ÐÝÝ N y N y,kr y a x a N x N y,kr ÃÙÚ ½¾º¾ Ä Ø Ò ÐÚÓÚÓ Ñ Ø ÝÐ Ö ØØ Ø Ð º ÃÙÚ Ò ½¾º ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ Ú ÖØ ÐÙÒ ÚÙÓ ÑÝ Ú Ô Ø ØÙ ØÙÒ Ô Ð Ö Ò Ý Ð Ò Ð ÚÝ Ò ÔÙÖ Ø ØÙÒ Ð ØØ Ø Òµ ÔÐ Ò Ö Ò Ò Ö Ø Ùº Ä ØØ Ø Ò Ö ØØ Ò Ò ÔÙÖ Ø Ú ÚÓ Ñ ÓÒ N kr = π EI = π Eh 3 4a =.56 Eh3 a. ½¾º µ Ä ØØ Ø Ò Ö ØØ Ò Ò ÐÚÓÚÓ Ñ ÓÒ Ô Ð ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ù Ò Ú Ø Ú Ò Ö ÙÒÓ ÐØ ØÙ ØÙÒ Ð ÚÝÒ.637 Eh 3.56 Eh3 µº ÂÐ Ö ØØ Ø Ð Ð ØØ Ø ÓÒ Ô Ð ÓÒ ÓÙ Ø ¹ ν a a Ú ÑÔ Ù Ò Ö ÙÒÓ ÐØ x = ±a ØÙ ØØÙ Ð ØØ º ÔÐ Ò Ö Ò Ð ØØ Ø ÓÖ Ò Ð ÐÑ Ø ÑÙÓ Ó ØÙÚ Ø Ú Ö Ò Ò Ð Ú Ð Ø Ò Ø ÔÙÑ ÖØÝÑ ÙÚ ØØ Ò Ý Ò ÖØ ÐÐ ÙÒ Ø Ó ÐÐ Ø ØÚ Ö Ø Ø Ò Ò Ö¹ Ñ Ò Ø ÐÑÐÐº Î ØÓ ØÓ Ø Ð Ø Ò ÒØÓ Ý Ý ÚÓ Ò ÖÚ Ó Ø Ó Ò Ð Ú Ý Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ ÓÒ ÓÒ ØØÒÝØ ÚÓÒ Ã ÖÑ Òº ÌÙØ Ø Ò x¹ Ð Ò ÙÙÒÒ ÔÙÖ Ø ØØÙ Ú Ô Ø ØÙ ØØÙ Ð ØØ º ÐÐ Ò Ñ Ö Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÓØ ÙØ Ò ÝÐ Ö ØØ Ø Ð ÐÚÓÚÓ Ñ Ò ÙØÙÚ Ò Ø Ø Ö ÙÒ ØÓ ÐÐ Ó Ò Ð Ú Ý ÓÒ b e b e ÓÒ Ò º Ø Ó Ð Ú Ý º ÇØ ÙØØÙ ÙÑ ÓÒ Ý Ò ÖØ Ò Ò ÓÚ ÐØ ÔÔÖÓ ÑÓ ØÓ ÐÐ Ø ÙÑ º ÂÓ b e a Ò Ò ÚÓ Ò ÓÚ ÐØ Ô ÐÐ Ú Ô Ø ØÙ ØÙÐÐ Ð Ø ÐÐ Ó ØØÙ ÐÓÑÑ Ù ¹ ÚÓ Ñ Ò Ú N x = 4 π D b. ½¾º µ e Ê ÙÓÖÑ ÚÙØ Ø Ò ÙÒ Ö ÙÒ Ø Ø Ñ Ò ÚØ ÑÝ Ø Ö ÐÐ º ÌÐÐ Ò N x = hσ m, ½¾º µ Ñ σ m ÓÒ ÑÝ Ø Ö Ò Ö Ø ØÙ b e = 4π D hσ m, ½¾º µ

224 ¾½ ¾º¼ N y N y,kr Ð ØØ ½º C = C =.h ½º¼ Ô Ð ¼º C =.h ¼ ¼ ¼º ½º¼ C h ÃÙÚ ½¾º Ä Ø Ò ÐÚÓÚÓ Ñ Ò N y (x,a) Ø ÔÙÑ Ò Ö ÔÔÙÚ ÙÙ º Ð D b e = π. hσ m Ä Ø Ò Ñ Ñ ÙÓÖÑ ÓÒ p = b e hσ m º Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø Ò b e D = ½¾º µ Eh 3 ( ν ) ØÙÐ Ñ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ c = p = ch Eσ m, π 3( ν ).9, ½¾º ¼µ ½¾º ½µ ÙÒ ÈÓ ÓÒ Ò ÐÙ Ù ÓÒ ν =.3º ÃÓ ØÙÐÓ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÓÒ Ó ØØÙ Ø Ö ÑÔ Ú c =.9 (.4h b E σ m ). ½¾º ¾µ Ì Ó Ò Ð Ú Ý Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÓÒ Ý Ò ÖØ Ò Ò ÑÙØØ ÐÐ ÓÐ ÙÒÒÓÐÐ Ø Ø ÓÖ ØØ Ø Ô ÖÙ Ø ÐÙ º Ñ Ö ½¾º½ Æ Ð Ò ÑÙÓØÓ Ò ÐÚÓÓÒ Ó ØÙÙ Ø Ò Ò Ô Ò º ÅÖ Ø ØÒ ÐÚÓÒ Ø ÔÙÑ Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑÐÐº ÀÝÚ Ò Ó Ù Ò Ð Ø Ò Ø Ô Ù ÚÓ Ò Ø ÚÙØÙ Ò Ð ØØÝÚ Ò Ö ØØ ÙÓÑ ¹ ÓÓÒÓØØ Ñ ØØ ÐÚÓÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ø Ò Ò Ö Ò Ö ÒÒ ÐÐ º Ã ÐÚÓÒ Ú ÒÝÑØ ÓÚ Ø Ô Ò Ò

225 ¾¾¼ ÄÍÃÍ ½¾º Ä Ø Ò ÔÐ Ò Ö Ò Ò Ò ÐÝÝ b e b e a ÓØ ÙØØÙ N x ÃÙÚ ½¾º Ä Ø Ò Ø Ó Ð Ú Ý b e º ÑÙØØ Ö ÐÐ Ò Ø ÔÙÑ Ò Ø Ô Ù ÚÓÒ Ã ÖÑ Ò Ò ÑÙ Ò ε x = u x + ( ) w, ½¾º µ x ε y = v y + ( ) w, ½¾º µ y ε xy = ( u y + v ) + w w x x y. ½¾º µ Ä Ø Ò ÐÚÓØ Ð Ò ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö Ò Ð Ù ÓÒ U m = (N x ε x + N y ε y + N xy ε xy )d. ½¾º µ ÇØØ Ñ ÐÐ ÙÓÑ ÓÓÒ ÓØÖÓÓÔÔ Ò ÑÑÓ Ò Ò Ò ÓÒ Ø ØÙØ Ú Ø Ý ØÐ Ø N x = Eh ν (ε x + νε y ), ½¾º µ N y = Eh ν (ε y + νε x ), ½¾º µ N xy = Ghε xy ½¾º µ Ò ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö Ò Ð Ù Ö Ó Ø ØØÙ ÑÙÓØÓÓÒ U m = Eh [ ε ν x + ε y + νε x ε y + ( ν)ε ] xy d. ½¾º ¼µ

226 ¾¾½ a a a x a y ÃÙÚ ½¾º Æ Ð Ò ÑÙÓØÓ Ò Ò ÐÚÓº Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø Ò ÐÚÓÚ ÒÝÑ Ò Ú Ø ØÙÐ U m = { ( u ) Eh ν + u ( ) w + x x x ( ) v + v y y [ ( w + ) ( ) ] [ w u v + + ν 4 x y x y + v y [ ( u + ν ) + u ( v v y y x + x ( w x ( ) w y ) + u w w y x y + v w x x ) + ( ) ] u w x y ]} w d. y ½¾º ½µ ÍÐ Ó Ò ÙÓÖÑ Ò Ø Ò Ô Ò Òµ ÔÓØ ÒØ Ð ÓÒ V = p(x, y)w(x, y)d, ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö ÓÒ Π = U m + V º ÇØ ÙØ Ò ÖØÝÑ ÐÐ Ð Ù Ø u(x, y) = B sin πx a cos πy a, v(x, y) = B cos πx πy sin a a, w(x, y) = C cos πx πy cos a a. Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÖØÝÑ Ò Ð Ù Ø ÐÚÓ Ò Ö Ò Ú Ò ØÙÐ [ U m = Eh 5π 4 ν 56a C4 π (5 3ν) C B 6a π ν(9π 64) B ]. 36 ½¾º ¾µ ½¾º µ ½¾º µ ½¾º µ ½¾º µ ÈÓ ÓÒ Ò ÐÙÚÙÒ ÖÚÓÐÐ ν =.5 ØÙÐ U m = Eh [ ( 5π a C4 7π 35π 6a BC ) ] B. ½¾º µ 9

227 ¾¾¾ ÄÍÃÍ ½¾º Ä Ø Ò ÔÐ Ò Ö Ò Ò Ò ÐÝÝ a p a ¾ pa 4 64Dh r z, w ½ ÔÐ Ò Ö Ò Ò N dw dr N Ð Ò Ö Ò Ò ¼ ¼º ½º¼ w max /h ÃÙÚ ½¾º ÑÔÝÖÐ Ø Ò Ô Ø Ò Ø ÔÙÑ º ÃÙÓÖÑ Ò ÔÓØ ÒØ Ð ÓÒ Ó Ø Ö Ø Ø Ò Ã ÐÚÓÒ Ô Ø Ò Ø ÔÙÑ ÓÒ Ô Ø Ò ÐÚÓ ÒÒ ØÝ Ø ÓÚ Ø V = 6a π pc. Π B =, Π C =, ½¾º µ ½¾º µ ( pa ) 3 C =.8a, B =.47 Eh a C. ½¾º ¼µ ( pa ) 3 w(, ) =.8a, ½¾º ½µ Eh ( p Ea ) 3 σ x (, ) = σ y (, ) =.396. ½¾º ¾µ Ñ Ö ½¾º¾ ÅÖ Ø ØÒ Ó Ù Ò ÝÑÔÝÖÐ Ø Ò Ô Ø Ò Ø ÔÙÑ ÙÓÖÑ Ò ÙÒ ¹ Ø ÓÒ º À Ø Ò ÝÑÔÝÖÐ Ø Ò Ð Ö Ø Ù Ý ØÑÐÐ Ô ÒØ Ò ÖØÝÑ Ò Ð ØØ Ø ÓÖ Ò ÐÚÓØ ÓÖ Ò Ö Ø ÙØº Ä Ø Ò Ô Ø Ò Ø ÔÙÑ Ø Ø ÙÓÖÑ Ø ÓÒ Ò Ò Ø ¹ Ñ Ð Ò Ø ÓÖ Ò ÑÙ Ò w() = pa4 64D. ½¾º µ Ã ÐÚÓÚÓ Ñ Ò Ø Ò ÙÓÖÑ Ò Ø Ô ÒÓ ØÓ ÓÒ h Ð πrn dw dr + pπr = dw dr = pr N, ½¾º µ ½¾º µ

228 ¾¾ Ñ N = N r ÓÒ ÐÚÓÚÓ Ñ º Ì ÔÙÑ Ò ÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ Ô Ø Ò Ø ÔÙÑ ØÙÐ w(r) = pa 4 N [ ( ] r, ½¾º µ a) w() = pa 4 N. Ã ÐÚÓÚÓ Ñ N ÑÖ Ø ØÒ ÐÚÓÒ Ú ÒÝÑÒ ½¾º µ ε r = ÚÙÐÐ º ËØ Ò ÙÙÒØ Ò Ò ÐÚÓÒ Ô Ø Ò Ñ ÓÒ ( ) dw ½¾º µ dr = a ε r dr = a ( ) dw dr = dr a ( pr ) p a 3 dr = N 4N. ½¾º µ Ã ÑÖ Ò Ò Ú ÒÝÑ ÓÒ ε = a = p a 4N. ½¾º½¼¼µ ÀÓÓ Ò Ð Ò ÑÙ Ò ε = Eh (N r νn θ ) = ν Eh N, ½¾º½¼½µ Ó Ø ÙÖ N 3 = E p a h ν 4. ½¾º½¼¾µ Ð Ñ ÒÓ Ñ ÐÐ ÐÚÓÚÓ Ñ N Ô Ø Ò Ø ÔÙÑ Ò Ú Ò ÚÙÐÐ Ò p = 8 ( ) 3 E h w(), ½¾º½¼ µ 3 ν a a Ó ÓÒ ÐÚÓÚÓ Ñ Ò ÒØ Ñ Ó ÙÙ ÙÓÖÑ Ø º Ø Ò p = 64D w() a 3 a + 8 E 3 ν h a ( ) 3 w(). ½¾º½¼ µ ÂÓ ÈÓ ÓÒ Ò ÐÙÚÙÒ ÖÚÓ ÓÒ ν =.3 Ò Ò [ pa 4 64Dh = w() ( ) ] w() ½¾º½¼ µ h h ÃÙÒ w() = h Ð Ø Ò Ô ÙÙ µ Ò Ò ØÓ Ò Ø ÖÑ Ò Ó ÙÙ ÓÒ 65%º a

229 ¾¾ ÄÍÃÍ ½¾º Ä Ø Ò ÔÐ Ò Ö Ò Ò Ò ÐÝÝ

230 ÄÙ Ù ½ ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù ½ º½ ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÔÝ Ö Ý ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÐÓÑÑ Ù Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÔÙÖ Ø ØØÙ ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖØ º ÄÓÑÑ Ù ÑÙÓØÓ ÓØ ÙØ Ò ÝÑÑ ØÖ º Ø ÐÐ Ò ÙÓÖ Ò Ò Ø ÖÓØ ØÙ Ù Ð ÓÒ Ð Ú Ý ÓÒ Rdθ Ñ θ ÓÒ ÝÐ ÒØ Ö Ò ÔÓÐ Ö Ò Ò ÓÓÖ Ò ØØ R ÓÒ ÝÐ ÒØ Ö Ò º ËÝÐ ÒØ Ö Ò Ð Ò ÙÙÒØ Ò Ò ÓÓÖ Ò ØØ ÓÒ x ÝÐ ÒØ Ö Ò ÒÑÒ Ú ÚÙÙ ÓÒ hº ÌÙØ Ø Ò Ò Ò Ø Ñ Ð Ò Ù Ð Ò dx (Rdθ h) Ø Ô ÒÓ º Ë Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ù Ò ÑÑ Ò Ô Ð ÐÐ Ò ÒÝØ ÝÐ ÒØ Ö Ø ÖØ Ð ØÙ Ø ÐÐÙÐÐ Ù Ð ÐÐ Ø Ô ¹ ÒÓ ØÓ M x x N x w x = p p θ, ½ º½µ Ð D 4 w x 4 N w x x + p θ = p, ½ º¾µ Ñ w ÙÓÖ Ò Ø ÔÙÑ p ÓÒ ÙØÙÒÙØ Ø Ò ÙÙÒØ Ò Ò ÙÓÖÑ º È Ð Ò Ø Ô ¹ ÒÓ ØÓÓÒ Ú ÖÖ ØØÙÒ Ô Ð Ò Ø ÚÙØÙ Ý ÝÝ EI ÓÒ ÓÖÚ ØØÙ ÙÓÖ Ò ÒÑÒ Ø ÚÙØÙ ¹ Eh 3 Ý ÝÝ ÐÐ D = ( ν ) Ð ÓÒ ØÙÐÐÙØ ÙØÙÒÙØ ÚÓ Ñ p θº ÎÓ Ñ p θ ÙØÙÙ Ø ØØ Ù Ð Ò Ø ÔÙ Ø Ú Ø Ò Ó Ø ÙÓÖ Ò Ö Ò Ò ØÝØÝÝ Ú ÒÝ Ø ÔÙÖ ØÙ Ó ÓÓÒº ÈÝ Ö Ý ÝÑÑ ØÖ Ò Ø ÔÙÑ Ò Ø Ô Ù Ö Ò Ò Ú ÒÝÑ ÓÒ π(r + w) πr ε θ = w πr R, ½ º µ Ø Ú Ø Ú ÐÚÓÚÓ Ñ Ö Ò Ò ÙÙÒÒ µ ÓÒ N θ = Ehw R. ½ º µ Ã ÐÚÓÚÓ Ñ ÐÐ Ó Ó ØÙÙ Ø Ö Ø ÐØ Ú Ò Ù Ð Ò x Ò ÙÙÒØ Ò Ö ÙÒÓ Ò ÓÒ Ø Ò ÙÙÒØ Ò Ò ÓÑÔÓÒ ÒØØ p θ Rdθdx = N θ dθdx = Ehw R dθdx, p θ = Ehw R. ¾¾ ½ º µ ½ º µ

231 ¾¾ ÄÍÃÍ ½ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù N x h Rdθ x dθ N θ N θ s z Rdθ p, w N θ θ N θ R θ = N θ dθ N θ = p θ Rdθ ÃÙÚ ½ º½ ÈÙÖ Ø ØØÙ ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ º ËÝÐ ÒØ Ö Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ò Ô Ò Ò p θ Ó ØØ Ñ Ò Ð Ò D 4 w x 4 N w x x + Eh R w = p. ½ º µ ØÐ ÓÒ ØÝ Ò Ñ Ù Ò ÑÑÓ ÐÐ ÐÙ Ø ÐÐ ÓÐ Ú Ò ÔÙÖ Ø ØÙÒ Ô Ð Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ ÙÒ ÐÙ Ø ÐÙ Ù ÓÒ k = Eh R. ½ º µ Ý Ð Ò Ò Ò ÐÓ Ð ÝØÝÝ ÐÔÓ Ø ØÝÒÒÝÖ Ò Ú ÒØ Ø ÝÐ ÒØ Ö Ò ÙÚ Ø ÐÐÙØ Ö Ò Øµ ÑÙÓ¹ Ó Ø Ú Ø ÑÑÓ Ò ÐÙ Ø Ò Ô ØÙÙ ÙÙÒØ ÐÐ Ù Ð ÐÐ º Ø Ø Ò ÙÖ Ú ÔÓ ØØ Ò Ò Ô Ò p ÒÓÐÐ º È ØÒ Ú Ô Ø ØÙ ØÙÒ ÝÐ ÒØ Ö Ò Ö ÙÒ ÓØ ØÓØ ÙØØ ÔÝ Ö Ý ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÐÓÑÑ Ù ÑÙÓØÓ w(x) = C m sin mπx, ½ º µ Ñ m ÓÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÔÙÓÐ ÐØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ C m ÓÚ Ø ÖØÓ Ñ º Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÓØ ¹ ÙØØÙ ÐÓÑÑ Ù ÑÙÓØÓ Ø Ô ÒÓ ØÓÓÒ Ò [ (mπ ) ( ) ] Eh N x,kr = D + R. ½ º½¼µ D mπ È Ò Ò ÐÓÑÑ Ù ÚÓ Ñ Ò ÖÚÓ ÚÙØ Ø Ò ÙÒ ØÐÐ Ò mπ = ( ) Eh 4, ½ º½½µ R D ( ) Eh N x,kr,min =. ½ º½¾µ 3( ν ) R

232 ½ º¾º Ä Ò ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ø ¾¾ N x n = ¾ ¼ ½ ¾ m ÃÙÚ ½ º¾ ÈÙÖ Ø ØÙÒ ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ º ÄÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ Ò Ñ Ò Ñ ÖÚÓÓÒ Ô ØÒ ÙÒ Ú Ô Ø ØÙ ØÙÒ ÝÐ ÒØ Ö Ò Ô ØÙÙ ÓÒ ÐÐ Ò Ò ØØ Ò ÓÔ Ó ÓÒ ÐÙÚÙÒ m Ú ÖÖ Ò Ò Ò ÔÙÓÐ ÐØÓ º ÅÙ Ø Ô Ù ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ ÓÒ ÙÙÖ ÑÔ ÙÚ ½ º¾º ÐÐ Ø ØØÝ Ö Ø Ù ÓÒ ÚÓ Ñ ÑÝ ÝÚ Ò Ô Ø ÐÐ ÝÐ ÒØ Ö ÐÐ ÙÒ Ö ÙÒ ¹ ÐÙ Ø ÝÐ ÒØ Ö Ò Ô Øµ ÓØ Ø Ø ÙÓÑ ÓÓÒº ½ º½º½ Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑ ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÔÝ Ö Ý ÝÑÑ ØÖ Ò ÐÓÑÑ ÙÑÙÓ ÓÒ Ø Ô Ù ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ú ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò ÝØØÑÐÐ ÝÚ Ñ Ò ÐØ ÙÙØØ Ô Ð Ò Ò Ö Ð Ù Ò Ò δ Π = πr [ D ( ) w ( w x + Eh R ) ( ) ] w + Nx dx. x ½ º½ µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÝÖ Ø Ò ÌÖ ØÞ Ò Ó Ø w(x) = C m sin mπx ( ) δ Π Ñ Ö Ø Ù Ù Ò ÐÐ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø Ð N x,kr = D [ (mπ ½ º½ µ C m = ½ º½ µ ) ( ) ] Eh + R. ½ º½ µ D mπ ÈÝ Ö Ý ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÐÓÑÑ Ù ÑÙÓØÓ ØÙÐ Ý Ò Ú Ò Ô Ù Ò ÐÐ Ø Ý¹ Ú Ò ÐÝ Ý ÐÐ ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ ÐÐ º ÄÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ N x ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ú ÖÖ ÒÒÓÐÐ Ò Ò ÙÙÖ ¹ Ò Eh R º

233 ¾¾ ÄÍÃÍ ½ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù θ h x R ÃÙÚ ½ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ º ½ º¾ Ä Ò ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ø ÅÖ Ø ÐÐÒ ÓÓÖ Ò Ø ØÓ (x,s,z) Ø Ò ØØ ÝÐ ÒØ Ö Ô ÒØ (x,s) ÓÒ ÙÓÖ Ò ÒÑÒ Ô ÒØ x ÓÒ ÝÐ ÒØ Ö Ò Ð Ò ÙÙÒØ Ò Ò ÓÓÖ Ò ØØ s Ö Ò ÙÙÒØ Ò Ò ÓÓÖ ¹ Ò ØØ z ÓÒ Ô ÒØ Ú Ø Ò Ó Ø ÙÓÖ ÓÓÖ Ò ØØ º ÃÙÓÖ Ò ÒÑÒ Ú ÚÙÙ ÓÒ hº ÃÙÓÖ Ð ÓÒ dx ds h Ö ÙÒÓ Ò Ú ÙØØ Ú Ø ÒÒ ØÝ Ö ÙÐØ ÒØ Ø ÓÚ Ø N x = h ( σ x + z ) dz, N s = R h σ s dz, ½ º½ µ h h N xs = h ( τ xs + z ) dz, N sx = R h τ sx dz, ½ º½ µ h h Q x = h ( τ xz + z ) dz, Q s = R h τ sz dz, ½ º½ µ h h M x = h ( σ x + z ) z dz, M s = R h σ s z dz, ½ º¾¼µ h h M xs = h ( τ xs + z ) dz, M sx = R h τ sx z dz, ½ º¾½µ h h Ñ N x N xs N s N sx ÓÚ Ø ÐÚÓÒ ÒÓÖÑ Ð ÚÓ Ñ Ø Ð Ù ÚÓ Ñ Ø Q x Q s ÓÚ Ø ÔÓ ØØ Ø Ð Ù ÚÓ Ñ Ø M x M s ÓÚ Ø Ø ÚÙØÙ ÑÓÑ ÒØ Ø M xs M sx ÓÚ Ø ÚÒØ ÑÓ¹ Ñ ÒØ Øº

234 ½ º¾º Ä Ò ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ø ¾¾ dx ds x Qs M x M xs N x N xs p M sx N sx Q s M s N s s h ÃÙÚ ½ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÒÒ ØÝ Ö ÙÐØ ÒØ Ø Ì Ö Ø Ð Ñ ÐÐ ÙÓÖ Ð ÓÒ dx ds h Ø Ô ÒÓ Ó Ø Ò ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò Ø Ô ¹ ÒÓ ÓØ N xs N x x + N xs s =, ½ º¾¾µ x + N s s + Q s =, ½ º¾ µ R Q s s + Q x x N s R N β x x x N β s xs x N β x sx s N β s s s + p =. ½ º¾ µ ÅÓÑ ÒØØ Ò Ø Ô ÒÓ ÓØ ÓÚ Ø Q s = M s s + M xs x, Q x = M x x + M sx s. ½ º¾ µ ½ º¾ µ Ì Ô ÒÓ ØÓ M z = ØÓØ ÙØÙÙ ÒØØ Ø º Ð Ñ ÒÓ Ñ ÐÐ Ð Ù ÚÓ Ñ Ø Ø Ô ÒÓ Ó Ø ÐÙ ÙÙÒÓØØ Ñ ØØ Ð Ù ÚÓ Ñ Q s ØÓ Ø Ô ÒÓÝ ØÐ µ ØÙÐ M x x N s R N β x x x N xs N x x + N sx s N xs x + N s s + Q s R + M xs x s + M sx x s + M s s β s x N β x sx s N s β s s + p =. =, ½ º¾ µ =, ½ º¾ µ ½ º¾ µ Ä Ò ÙÓÖ Ò Ø Ô Ù Ð Ù ÚÓ Ñ Ò Q s Ó ÙÙ ÚÓ Ò ØØ ÔÓ ÑÙ Ò Ø Ö¹ Ñ Ò Ö ÒÒ ÐÐ º Ç Ù ÐÐ ÙÓÖ ÐÐ z ÓÒ Ô Ò Ý Ò Ö ÒÒ ÐÐ ØÐÐ Ò ÚÓ Ò ØØ R N sx = N xs, M sx = M xs. ½ º¾ µ Ì Ô ÒÓÝ ØÐ Ø ÚÓ Ò ÒÝØ Ð Ò ÙÓÖ Ò Ø Ô Ù Ö Ó ØØ Ñ Ò Ý Ò¹

235 ¾ ¼ ÄÍÃÍ ½ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù β s x N s N x + N x x dx M sx Q s N sx p z Q x + Q x x dx z N xs Q x M x N x N s + N s s ds Nxs + N N sx N sx + xs x dx s ds M xs s Q s + Q s s ds β x M x + M x x dx M xs + M xs x dx M s + M s s ds M sx + M sx s ds ÃÙÚ ½ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò Ø Ô ÒÓ ÓØ N x + = N x + N x x dx M+ sx = M sx + M sx ds Ò º s ÖØ ÑÔ Ò ÑÙÓØÓÓÒ N s R N β x x x N xs N x x + N sx s N xs x + N s s M x x + M xs x s + M s ( s βs x + β x s ) N s β s s + p =. =, ½ º¾ µ =, ½ º ¼µ ½ º ½µ Á ÓØÖÓÓÔÔ Ò ÑÑÓ Ò ÙÓÖ Ò ÓÒ Ø ØÙØ Ú Ø Ý ØÐ Ø ÓÚ Ø Ñ ÒÐ Ø Ù Ò Ð ÚÝÒ Ð Ø Ò Ú Ø Ú Ø Ý ØÐ Øº Ã ÐÚÓÚÓ Ñ Ò ÐÚÓÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ø Ò ÚÐ Ø Ý ØÐ Ø ÓÚ Ø N x = C(ε x + νε s ), ½ º ¾µ N s = C(ε s + νε x ), ½ º µ N xs = C( ν)ε xs, ½ º µ Ñ C = Eh ν ½ º µ

236 ½ º¾º Ä Ò ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ø ¾ ½ ÓÒ ÐÚÓÒ Ý ÝÝ º Ì ÚÙØÙ ÑÓÑ ÒØØ Ò ÙÓÖ Ò ÝÖ ØÝÑ Ò ÚÐ Ø Ý ØÐ Ø ÓÚ Ø Ñ M x = D(κ x + νκ s ), ½ º µ M s = D(κ s + νκ x ), ½ º µ M xs = D( ν)κ xs, ½ º µ D = Eh 3 ( ν ) ½ º µ ÓÒ ÙÓÖ Ò Ø ÚÙØÙ Ý ÝÝ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò Ô ÒÒ Ò ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ø ÝÖ ØÝÑØ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÚÓ ÐÐ Ñ ε x = u x + β x, ε s = v s + w R + β s, ε xs = ( u s + v ) + x β xβ s, ½ º ¼µ κ x = β x x, κ s = β s s, κ xs = ( βx s + β ) s, ½ º ½µ x β x = w x, β s = w s ½ º ¾µ ÓÚ Ø ÖØÝÑØº ÃÓÓÖ Ò ØØ Ò x y z ÙÙÒØ Ø ÖØÝÑØ ÓÚ Ø u v wº Å Ö ØÒ Ú Ð ØØ ÐÚÓÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ø Ò Ð Ò Ö Ø Ó ÙÙ Ø ÓÚ Ø e x = u x, e s = v s + w R, e xs = ( u s + v ), ½ º µ x ÓÐÐÓ Ò ε x = e x + β x, ε s = e s + β s, ε xs = e xs + β xβ s. ½ º µ Ã ÖØÝÑÒ β s Ú ÓÒ Ø ØÝ Ð Ò ÙÓÖ Ò Ø Ô Ù Ð ÑÖ ØÝ ØØÑÐÐ ÖØÝÑÒ v Ú ÙØÙ ÔÓ º Ã ÖØÝÑÒ β s Ø Ö ÑÔ Ú ÓÒ β s = v R w s. ½ º µ ÐÐ ÓÐ Ú Ø Ò Ñ ØØ Ø Ý ØÐ Ø ÓÒ ØØÒÝØ ÓÒÒ ÐÐº Ã ÐÚÓÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ ÓÒ Ñ ÒÐ Ø ÓÑ ØÖ Ø ÔÐ Ò Ö Ø Ø ÖÑ Ø Ù Ò Ð ¹ Ø Ò Ú Ø Ú ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ º ÅÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò ε s Ø ÖÑ w ÙØÙÙ ÝÐ Ò¹ R Ø Ö Ò Ø Ò Ô ØÙÙ Ò ÑÙÙØÓ Ø Ø ÔÙÑ Ò w Ú ÖÖ Òµ Ð ε s,w = π(r + w) πr πr w R, ½ º µ ÙØ Ò ÔÝ Ö Ý ÝÑÑ ØÖ Ò ÐÓÑÑ Ù ÑÙÓ ÓÒ Ý Ø Ý Ó ØØ Òº ÃÙÚ Ò ½ º Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÖØÝÑ β s ÓÒ β s = w s + v R. ½ º µ

237 ¾ ¾ ÄÍÃÍ ½ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù v dw ds ds dw R v R ÃÙÚ ½ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÖØÝÑ β s º ÃÙÒ ÙÓÖ Ò Ð ØÝÝ Ö Ø ÒØ Ò Ò Ò Ñ ØØ Ø Ý ØÐ Ø Ð ØÝÚØ Ð Ø Ò Ú ¹ Ø Ú Ý ØÐ Øº Ä Ø Ò Ô ÒÒ Ò ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ø ÓÚ Ø ε x = u x + ( ) w, ½ º µ x ε y = v y + ( ) w, ½ º µ y ε xy = ( u y + v ) + w w x x y, ½ º ¼µ Ð Ø Ò ÝÖ ØÝÑØ ÓÚ Ø κ x = w x, Ä Ø Ò Ø Ô Ù ÖØÝÑØ ÓÚ Ø β x = w x, κ y = w y, β y = w y. κ xy = w x y. ½ º ½µ ½ º ¾µ Ø ÝÝ ÐÐ z ÙÓÖ Ò Ô ÒÒ ÐØ ÙÓÖ Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ô Ø Ò ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ø ÓÚ Ø ½ ǫx = εx + zκx, ½ º µ ǫ y = ε s + zκ s, ½ º µ ǫ xs = ε xs + zκ xs. ½ º µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ó ÓÒ Ø ØÙØ Ú Ø Ý ØÐ Ø ÓÐÑ ÒØ Ò Ø Ô ÒÓ ØÓÓÒ Ò Ø ¹ Ô ÒÓ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò ÖÝ Ñ Ö Ó Ø ØØÙ ÑÙÓØÓÓÒ ( 4 w D ( w N x N x x + N sx s N xs x w x s + 4 w s 4 x + N s ) s + N s R x + N w xs x s + N s w s ) =, ½ º µ =, ½ º µ = p, ½ º µ ½ ÃÙÓÖ Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ô Ø Ò ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ñº x Ò ÙÙÒÒ ÓÒ ǫ x = ǫ x(x, s,z) ÑÙØØ Ô Ò¹ Ò Ò Ú Ø Ú ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ ÓÒ ε x = ε x(x, s)º

238 ½ º¾º Ä Ò ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ø ¾ Ñ ÙÓÖ Ò Ø ÔÙÑ Ò Ó Ø ØØÙ ÖÑÓÒ Ò Ò ÓÔ Ö ØØÓÖ ÓÒ ÐÝ Ý ÑÑ Ò Ñ Ö ØØÝÒ 4 w 4 w x w x s + 4 w s 4. ½ º µ ØÐ Ø ÓÚ Ø Ð Ò ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÔÐ Ò Ö Ø Ø Ô ÒÓ ÓØ Ò Ø ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØØÙ Ð Ø ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÙÙÖ Ò Ø ÔÙÑ Ò Ò ÐÝÝ Òº Ì Ô ÒÓÝ ØÐ ÓÚ Ø ØÙÒØ Ñ Ø¹ ØÓÑ Ò N x N s N xs Ø ÔÙÑ wº Ì Ô ÒÓÝ ØÐ Ø ÚÓ Ò Ð Ò Ö Ó ØØÑÐÐ ÖØÝÑ Ò u v w Ù Ø Ò ØÓ Ò ÓÖ ÑÑ Ò Ø Ò Ø ÖÑ Ø ÔÓ º ÌÐÐ Ò ØÙÐ N x x + N sx s N xs x + N s s D 4 w + N s R Ñ Ð Ò Ö Ó ÒÒ Ò Ð Ò ÐÚÓÚÓ Ñ Ø ÓÚ Ø =, ½ º ¼ µ =, ½ º ¼ µ = p, ½ º ¼µ Ð Ò Ö Ø ÐÚÓÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ø ÓÚ Ø e x = u x, N x = C(e x + νe s ), ½ º ½µ N s = C(e s + νe x ), ½ º ¾µ N xs = C( ν)e xs ½ º µ e s = v s + w R, e xs = ( u s + v ). ½ º µ x Ì Ô ÒÓÝ ØÐ Ø ½ º ¼µ ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø ÓÐÑ Ò ØÓ Ò ÝØ ÝØÝÒ Ò Ö ÒØ Ð Ý ¹ ØÐ Ò ÖÝ ÑÒ Ó ÓÚ Ø ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ò N x N s N xs wº Ð Ñ ÒÓ Ñ ÐÐ ÐÚÓÚÓ Ñ Ø ÓÒ Ø ØÙØ Ú Ø Ò Ý ØÐ Ò ÚÙÐÐ Ò ÓÐÑ Ø Ô ¹ ÒÓÝ ØÐ ( u C x + ν u s + + ν v x s + ν ) w =, ½ º µ R x ( v C s + ν v x + + ν u x s + ν ) w =, ½ º µ R s D 4 w + C ( w R R + v s + ν u ) = p, ½ º µ x Ó ÓÚ Ø ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ò ØÓ Ò ÝØ ÝØÝÒ Ò ÖØÝÑØ u v wº ÓÒÒ ÐÐ ÓÒ Ý Ò ÖØ Ø ÒÙØ Ð Ò Ö Ó ØÙ Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ò Ý Ø Ñ Ò ÝØ ÒÒÒ Ó ØØ Ò ÔÙÖ Ú Ò ÑÙÓØÓÓÒ Ñ 8 ( ) 4 ( 4 ( ))º 4 u = ν 3 w R 4 v = + ν R x w R x s, 3 w x s R 3 w s 3, D 8 w + + ν R C 4 w x 4 = 4 p. ½ º µ ½ º µ ½ º ¼µ

239 ¾ ÄÍÃÍ ½ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù Ä Ø Ò ÚÓÒ Ã ÖÑ Ò Ò ÔÔÐ Ò Ý ØÐ Ø Ú Ø Ú Ò Ò ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ò ¹ Ò Ý ØÐ Ò Ý Ø Ñ Ò Ô ÝØÒ ÑÖ ØØ Ð ÑÐÐ ÖÝÒ ÒÒ ØÝ ÙÒ Ø Ó F(x,s) Ø Ò ØØ N x = F s, N y = F x, ÓÐÐÓ Ò ÐÚÓÚÓ Ñ Ø ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ø Ô ÒÓ ÓØ ÒØØ Ø º Ä Ù ÙÑ ÐÐ Ý Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ Ó N xs = F x s, ½ º ½µ N x x + N xs =, s ½ º ¾µ N xs x + N s s = ½ º µ ε x s + ε s x ( ε xy ) x s = w w w x s x s + w R x ½ º µ ÐÚÓÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ø ÐÚÓÚÓ Ñ Ò ÒÒ ØÝ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ ØÙÐ Ý ØÐ [ ( 4 F x F x s + 4 F ) ] s 4 = Eh w w w x s x s + w R x. ½ º µ Ä Ù ÙÑ ÐÐ ÙÓÖ Ò ÓÐÑ ÒÒ Ø Ô ÒÓÝ ØÐ ÐÚÓÚÓ Ñ Ø ÖÝÒ ÒÒ ØÝ ÙÒ ¹ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ Ò ( 4 ) w D x w x s + 4 w s 4 = p + F w s x F w x s x s + F w x s F R x. ½ º µ ØÐ Ø ½ º µ ½ º µ Ó Ø Ò ÑÑ Ò ÓÒÒ ÐÐº ØÐ Ò Ò ÐÝÝØØ Ò Ò Ö Ø¹ Ù ÓÒ Ò Ð ÑÙØØ ÙØ Ò Ð Ø Ò Ø Ô Ù Ò ÚÓ Ò Ö Ø Ø Ð ÑÖ Ø ÒÙÑ Ö ÐÐ Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐº Ä Ò Ö Ó Ò ÓÒÒ ÐÐ Ò Ý ØÐ Ø Ö Ó ØØ Ñ ÐÐ Ò Ô ÖÙ Ø Ð () Ö ØÝ Ø Ð ¹ () Ú ÒØÑÐÐ Ø Ð Ò () Ý ØÐ Ø Ô ÖÙ Ø Ð Ð Ù ÙØÙØ Ý ØÐ Øº Å Ö ØÒ ØØ Ö ØÝÒ Ø Ð Ò () ÙÙÖ Ø ÓÚ Ø w = w + w, F = F + F, ½ º µ Ñ w F ÓÚ Ø Ø ÐÓ Ò ÚÐ Ø Ò Ö Ñ ÒØ Ø Ô Ò Ø ÑÙÙØÓ Øµº Î ÒÒÝ Ð ÙÒ Ð Ò Ò Ú Ø ½ º µ 4 F x F x s + 4 F s 4 = Eh [ w x s w x s w w x s w w x s + R ] w x ½ º µ

240 ½ º º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö ¾ Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ú Ø ½ º µ ( 4 ) w D x w x s + 4 w s 4 = F s w x + F s w x F x s w x s F w x s x s + F x w s + F x w s R F x, ½ º µ Ñ Ô Ò ÙÓÖÑ ÓÒ p = p Ð Ò Ö Ñ ÒØØ p = º ÇØ ÙÑ ÐÐ ØØ Ð ÙØ Ð Ò ÝÖ ¹ ØÝÑØ ÓÚ Ø ÒÓÐÐ Ð w x = w s = w x s =, ½ º ¼µ Ò Ú Ð Ý Ò ÖØ ÑÑ Ø Ý ØÐ Ø ( 4 ) w D x w x s + 4 w s 4 = Å Ö Ø ÑÐÐ 4 F x F x s + 4 F s 4 = Eh ( R ) w x ½ º ½µ F w s x F x s + w F w x s x s F R x. ½ º ¾µ 4 w 4 w x w x s + 4 w s 4, 4 F 4 F x F x s + 4 F s 4 Ó Ø Ñ ÐÐ ÓÔ Ö ØØÓÖ 4 Ý ØÐ Ò ½ º ½µ Ò Ò Ò R 4 ( F x ) = Eh R 4 w x 4, ½ º µ ½ º µ ½ º µ ØØ Ò Ó Ø Ñ ÐÐ ÓÔ Ö ØØÓÖ 4 Ý ØÐ Ò ½ º ¾µ ÓØØ Ñ ÐÐ Ò Ú ½ º µ ÙÓÑ ÓÓÒ Ò D 8 w (N 4 x w x + w N xs x s + ) w N s s + Eh 4 w R x 4 =. ½ º µ Ä Ò ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ ½ º µ ÚÓ Ò Ó Ø ÑÝ Ò Ö Ñ Ò Ø ÐÑÐÐº ½ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö ÃÙÓÖ Ò Ó ÓÒ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö µ ÓÒ ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö Ò ÙÐ¹ Ó Ø Ò ÚÓ Ñ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò ÙÑÑ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö ÓÒ U = (σ x ǫ x + σ s ǫ s + τ xs ǫ xs )dv, ½ º µ V

241 ¾ ÄÍÃÍ ½ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù Ñ V ÓÒ ÙÓÖ Ò Ø Ð ÚÙÙ º ÇØØ Ñ ÐÐ ÙÓÑ ÓÓÒ ÓØÖÓÓÔÔ Ò ÑÑÓ Ò Ò Ò ÓÒ Ø ¹ ØÙØ Ú Ø Ý ØÐ Ø σ x = E ν (ǫ x + νǫ s ), ½ º µ σ s = E ν (ǫ s + νǫ x ), ½ º µ τ xs = Gǫ xs ½ º ¼µ Ò ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö Ð Ù ÙØØÙ Ô Ð ØÒ ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ø Ò ÚÙÐÐ ÑÙÓ Ó U = [ ] E ( ǫ ν x + ǫ ) s + νǫ x ǫ s + 4Gǫ xs dv, ½ º ½µ V Ñ ÙÓÖ Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ô Ø Ò Q : (x,y,z) ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ø ÓÚ Ø ǫ x (x,y,z) = ε x (x,y) + zκ x (x,y), ǫ y (x,y,z) = ε s (x,y) + zκ s (x,y), ǫ xs (x,y,z) = ε xs (x,y) + zκ xs (x,y). ½ º ¾µ ½ º µ ½ º µ ÀÓÑÓ Ò Ò ÙÓÖ Ò Ø Ô Ù ÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ ÙÓÖ Ò Ô ÙÙ Ò ÝÐ ÑÙÓ ÓÒÑÙÙ¹ ØÓ Ò Ö Ò Ð Ù Ò ÓØ ØØÙ Ø Ò Ó Ò Ñ Ñ Ö Ò ¹ Ø ÚÙØÙ Ó Ò U = C [ ε x + ε s + νε x ε s + ( ν)ε ] xs d Ñ + D C = [ κ x + κ s + νκ x κ s + ( ν)κ ] ½ º µ xs d, Eh ( ν ), D = Eh 3 ( ν ) ½ º µ ÓÚ Ø ÐÚÓÒ Ý ÝÝ ÙÓÖ Ò Ø ÚÙØÙ Ý ÝÝ h ÓÒ ÙÓÖ Ò Ô ÙÙ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö Ò Ð Ù Ò Ô ÒÒ Ò z = ÑÙÓ ÓÒÑÙÙ¹ ØÓ Ø ÝÖ ØÝÑØ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÚÓ ÐÐ Ñ ε x = u x + β x, ε s = v s + w R + β s, ε xs = κ x = β x x, κ s = β s s, κ xs = β x = w x, β s = v R w s ( u s + v ) + x β xβ s, ½ º µ ( βx s + β ) s, x ½ º µ ½ º µ ÓÚ Ø ÖØÝÑØº Ã ÖØÝÑÒ Ò Ö Ñ ÒØ Òµ β s Ú ÚÓ Ò Ð Ò ÙÓÖ Ò Ø Ô Ù Ø Ð ¹ ÑÖ ØÝ ØØÑÐÐ ÖØÝÑÒ v Ú ÙØÙ ÔÓ Ð β s = v R w s w s. ½ º½¼¼µ

242 ½ º º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö ¾ ÑÑ Ò Ø ÐÐÝÒ Ñ Ö ÒÒÒ ÑÙ Ø ÐÚÓÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ø Ò ÖØÝÑ Ò Ù Ø Ò Ð Ò ¹ Ö Ø Ó ÙÙ Ø ÓÚ Ø e x = u x, e s = v s + w R, e xs = ( u s + v ), ½ º½¼½µ x ÓØ Ò ε x = e x + β x, ε s = e s + β s, ε xs = e xs + β xβ s. ½ º½¼¾µ ÃÙÓÖ Ò Ô ÒØ Ú Ø Ò Ó Ø ÙÓÖ Ò ÙØÙÒ Ò ÙÓÖÑ Ò ÔÓØ ÒØ Ð ÓÒ V = p(x, s)w(x, s) d. ½ º½¼ µ ÈÓØ ÒØ Ð Ò Ö ÓÒ ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö Ò ÙÐ Ó Ò ÙÓÖÑ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò ÙÑÑ Π = U + V. ½ º½¼ µ ½ º º½ ÈÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ò Ò Ú Ö Ø Ó ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò Ø Ô ÒÓ Ñ Ò Ø Ð ÙØØ ØÙØ Ø Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ò Ú Ö ¹ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ º ÍÐ Ó Ò ÙÓÖÑ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò V = pw d ½ º½¼ µ ØÓ Ò Ò Ú Ö Ø Ó ÓÒ ÒÝØ ÒÓÐÐ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö Ò Ð Ù ½ º µ ÚÓ Ò ÓÒ Ø ØÙØ Ú Ø Ò Ý Ø¹ Ð Ò ÚÙÐÐ Ö Ó ØØ ÑÝ ÑÙÓØÓÓÒ U = [N x ε x + N s ε s + N xs ε xs ] d + ½ º½¼ µ [M x κ x + M s κ s + M xs κ xs ] d. Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ÑÙÙØÓ Ø ÙÒ Ô ÖÙ Ø Ð Ò ÖØÝÑ Ò Ð ØÒ Ô Ò Ø ÑÙÙØÓ Ø Ð u u + δu, v v + δv, w w + δw, ½ º½¼ µ Ñ ÑÙÙØÓ Ø ÖØÝÑ Ò ÖÚÓ ÖØÝÑ Ò Ú Ö Ø ÓØµ ÓÚ Ø δu δv δwº ÅÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö Ò ØÓ Ò Ò Ú Ö Ø Ó ÓÒ δ U = ( δnx δε x + δn s δε s + δn xs δε xs + N xδ ε x + Ns δ ε s + Nxsδ ) ε xs d + (δm x δκ x + δm s δκ s + δm xs δκ xs ) d, ½ º½¼ µ

243 ¾ ÄÍÃÍ ½ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù Ñ ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ø Ò Ú Ö Ø ÓØ ÓÚ Ø δε x = δe x + β x δβ x, δε s = δe s + β s δβ s, δε xs = δe xs + β s δβ x + β x δβ s, ½ º½¼ µ δe x = δu x, δe s = δv s + δw R, δe xs = ( δu s + δv ), ½ º½½¼µ x ÖØÝÑ Ò Ú Ö Ø ÓØ ÓÚ Ø Ð Ò ÙÓÖ Ò Ø Ô Ù µ δβ x = δw x, ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ø Ò ØÓ Ø Ú Ö Ø ÓØ ÓÚ Ø δβ s = δw s, ½ º½½½µ ÝÖ ØÝÑ Ò Ú Ö Ø ÓØ ÓÚ Ø δκ x = δβ x x, ÃÓÒ Ø ØÙØ Ú Ø Ò Ý ØÐ Ò δ ε x = (δβ x ), δ ε s = (δβ s ), δ ε xs = δβ x δβ s ½ º½½¾µ δκ s = δβ s s, δκ xs = ( δβx s + δβ ) s. ½ º½½ µ x N x = C(ε x + νε s ), ½ º½½ µ N s = C(ε s + νε x ), ½ º½½ µ N xs = C( ν)ε xs ½ º½½ µ M x = D(κ x + νκ s ), ½ º½½ µ M s = D(κ s + νκ x ), ½ º½½ µ M xs = D( ν)κ xs ½ º½½ µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÚÓ Ñ ÙÙÖ Ò ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ ÙÙÖ Ò Ú Ö Ø Ó Ò ÚÐ Ø Ý ØÐ Ø ÓÚ Ø δn x = C(δε x + νδε s ), ½ º½¾¼µ δn s = C(δε s + νδε x ), ½ º½¾½µ δn xs = C( ν)δε xs ½ º½¾¾µ δm x = D(δκ x + νδκ s ), ½ º½¾ µ δm s = D(δκ s + νδκ x ), ½ º½¾ µ δm xs = D( ν)δκ xs, ½ º½¾ µ Ñ C = Eh ν, D = Eh 3 ( ν ). ½ º½¾ µ

244 ½ º º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö ¾ È ÖÙ Ø Ð Ò ÐÚÓÚÓ Ñ Ø ÓÚ Ø Nx = C(ε x + νε s ), ½ º½¾ µ Ns = C(ε s + νε x ), ½ º½¾ µ Nxs = C( ν)ε xs, ½ º½¾ µ Ñ ε x = e x + (β x), ε s = e s + (β s), ε xs = e xs + β xβ s. ½ º½ ¼µ Ä Ò Ö Ó Ñ ÐÐ Ô ÖÙ Ø Ð Ò ÐÚÓÚÓ Ñ Ò Ð Ù Ø ØÙÐ Ñ Ô ÖÙ Ø Ð Ò Ð Ò Ö Ó ÙØ ÐÚÓÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ø ÓÚ Ø e x = u x, N x = C(e x + νe s), ½ º½ ½µ Ns = C(e s + νe x ), ½ º½ ¾µ Nxs = C( ν)e xs, ½ º½ µ e s = v s + w R, e xs = ( u ) s + v. ½ º½ µ x ÈÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ò Ò Ú Ö Ø Ó ÚÓ Ò ÒÝØ Ö Ó ØØ ÑÙÓØÓÓÒ δ Π = [ C (δε x ) + (δε s ) + ν (δε x ) (δε s ) + ( ν)(δε xs ) ] d + + D [ N x ( δw x ) + N s ( ) δw + N δw xs s x ] δw d s [ (δκx ) + (δκ s ) + ν(δκ x )(δκ s ) + ( ν)(δκ xs ) ] d. ½ º½ µ Ä Ò Ö Ó Ñ ÐÐ ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö Ò ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ú Ñ Ö Ø ÑÐÐ Ú Ö ¹ Ø Ó Ø Ý Ò ÖØ Ø δu u δv v δw w Ò º Ò δ Π = C [ e x + e s + νe xe s + ( ν)e ] xs d + + D [ N x ( w x ) + N s ( ) w + N w xs s x [ κ x + κ s + νκ xκ s + ( ν)κ ] xs d, ] w d s ½ º½ µ Ñ e x = u x, κ x = β x x, e s = v s + w R, e xs = ( u κ s = β s s, κ xs = s + v x ( βx s + β s x ), ½ º½ µ ) ½ º½ µ

245 ¾ ¼ ÄÍÃÍ ½ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù β x = w x, β s = w s ½ º½ µ ÓÚ Ø ÖØÝÑØº Ã ÖØÝÑÒ Ò Ö Ñ ÒØ Òµ β s Ú ÓÒ Ø ØÝ Ð Ò ÙÓÖ Ò Ø Ô Ù Ð ÑÖ ØÝ ØØÑÐÐ ÖØÝÑÒ Ò Ö Ñ ÒØ Òµ v Ú ÙØÙ ÔÓ Ð β s = v R w s w s, ½ º½ ¼µ Ý ØÐ Ø ÓÒ Ð Ò Ö Ó ØÙ ØØÑÐÐ Ô ÖÙ Ø Ð Ò ÖØÝÑØ w x ÔÓ ºµ w s ÐØÚØ Ø ÖÑ Ø Ä Ù ÙÑ ÐÐ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ò Ò Ú Ö Ø Ó ÖØÝÑ Ò Ö Ñ ÒØØ Ò u v w ÚÙÐÐ ØÙÐ δ Π = C [ ( u ) + x ( v s + ν ( ) v + ( ν) u x s + [ ( ) w Nx + Ns x + [ ( ) D w x + ) + ν u v x s + ν ( w s v x + w R + v s ) + Nxs w x ( ) w s + ν w ( ) u s w R w s ] u w + ν d x R ] d w x + ( ν) s ( ) ] w d. x s ½ º½ ½µ Ì ÚÙØÙ Ò Ð ØØÝÚ ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ó ÙÙ U b = D = D [ κ x + κ s + νκ xκ s + ( ν)κ ] xs d [ ( ) w x + ( ) w s + ν w w x + ( ν) s ( ) ] w d x s ½ º½ ¾µ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÝ ÑÙÓØÓÓÒ U b = D { ( ) w x + w s ( ν)[ w ( w ) ]} x s w d. x s ½ º½ µ Ë Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ù Ò ÑÑ Ò Ð Ø Ò ÐÓÑÑ Ù Ò Ý Ø Ý Ó Ø Ò ÝÐ ÒØ Ö ¹ ÙÓÖ Ò Ø Ô ÒÓ ÓØ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ ÙÐ Ö Ò Ý ØÐ Òº Ç ØØ ¹ ÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ ÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ Ú Ö Ø ÓÐ ÒÒ Ò Ô ÖÙ Ð Ù ØØ Ø Ö Ó ØØ Ñ ÐÐ ÙÓÖ Ò

246 ½ º º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÝÐ Ø Ø Ô ÒÓ ÓØ ¾ ½ Ú Ö Ø ÓÐ ÒÒ Ò ÙÐ Ö Ò Ý ØÐ Ø f u ( f x f v ( f x ( f f Ñ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ ( + f x w,xx w x ( f ) + x s ( ),x ( ) x, u,x v,x w,x w,xs ) ( ) f s u,s ) ( ) f s v,s ) ( ) f s ) + s w,s ( f ( ),s ( ) s, w,ss Ú Ö Ø ÓÔÖÓ Ð Ñ ÐÐ δ Π = f(u,u,x,u,s,v,v,x,v,s,w,w,x,w,s,w,xx,w,xs,w,ss )d = min Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ò ÖÝ Ñ ( u C x + ν ( v C s + ν v u s + + ν x + + ν v x s + ν R u x s + ν R D 4 w + C ( w R R + v s + ν u x ( Nx w x + w N xs x s + N s ) w x ) w s ) w s ) ) =, ½ º½ µ =, ½ º½ µ =, ½ º½ µ ½ º½ µ ½ º½ µ =, ½ º½ µ =, ½ º½ µ =, ½ º½ µ Ó ÓÚ Ø ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ò ØÓ Ò ÝØ ÝØÝÒ Ò Ò Ö Ñ ÒØ Ð Ø ÖØÝÑØ u v wº ØÐ Ò ½ º½ µ ÚÐ Ò Ò ÝØ ÒØ ÚÓ Ò Ó ØØ Ò ÔÙÖ Ö Ó ØØ Ò ÑÙÓØÓÓÒ 4 u + ν 3 w R x 3 3 w R x s 4 v + + ν 3 w R x s + 3 w R s 3 D 8 w + Eh 4 ( w R x 4 4 Nx w x + w N xs x s + ) w N s s =, ½ º½ ¼ µ =, ½ º½ ¼ µ =, ½ º½ ¼µ Ñ 8 ( ) 4 ( 4 ( ))º Ì Ô ÒÓ ØÓ ½ º½ ¼µ ÓÒ Ñ Ù Ò ÑÑ Ò Ö Ø Ú ÐÐ Ó ØØÙ Ú ½ º µº ½ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÝÐ Ø Ø Ô ÒÓ ÓØ ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò Ø Ô ÒÓ ØÓ Ó ØØ Ø Ø Ò ÓÙ Ó Ý Ò ÖØ ØÙ Ó Ò ÚÙÓ ¹ Ò ÓÚ ÐØÙÚ Ø Ú Ò Ð ÐÐ ÙÓÖ ÐÐ º ÇØØ Ñ ÐÐ ÑÙ Ò ÑÑ Ò ÔÓ Ø ØÝÒ Ð Ù ¹ ÚÓ Ñ Ò Q s = M s s + M xs ½ º½ ½µ x

247 ¾ ¾ ÄÍÃÍ ½ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù Ó ÙÙ ØÓ Ø Ô ÒÓ Ó ÑÙØØ ÓØ ÙÑ ÐÐ Ó Ù Ò ÙÓÖ Ò Ø Ô Ù ØØ N sx = N xs M sx = M xs Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ò ÖÝ Ñ ½ º¾ µ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓØÓÓÒ N xs x + N s s + R N x x + N xs ( s Ms s + M ) xs x =, ½ º½ ¾ µ =, ½ º½ ¾ µ N s R N β x x x N β s xs x N sx M x x + M xs x s + M s s β x s N s Ã ÖØÝÑÒ β s Ú Ø Ø Ò ÐÐ Ð ÑÖ ØÝ β s = v R w s w s. β s s + p =. ½ º½ ¾µ ½ º½ µ ÌÝ ÐÐ ÑÑØ ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò Ô ÒÒ Ò ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ø ÝÖ ØÝÑØ ÓÚ Ø ε x = u x + β x, ε s = v s + w R + β s, ε xs = ( u s + v ) + x β xβ s, ½ º½ µ κ x = β x x, κ s = β s s, κ xs = ( βx s + β ) s, ½ º½ µ x Ñ β x = w x, β s = v R w s ½ º½ µ ÓÚ Ø ÖØÝÑØº ÇØØ Ñ ÐÐ ÐÐ Ò ÝØØ Ò ÐÚÓÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ø Ò Ð Ò Ö ÐÐ Ó ÙÙ ÐÐ Ñ Ö ÒÒØ e x = u x, e s = v s + w R, e xs = ( u s + v ) ½ º½ µ x Ò Ú Ø ε x = e x + β x, ε s = e s + β s, ε xs = e xs + β xβ s. ½ º½ µ Ä Ù ÙÑ ÐÐ ÝÖ ØÝÑØ ÖØÝÑ Ò ÚÙÐÐ ØÙÐ κ x = w x, κ s = v R s w s, κ xs = v R x w x s. ½ º½ µ ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò Ø Ð Ù Ò ØÙØ Ñ Ø Ú ÖØ Ò Ø ÖÚ ØØ Ú Ø Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ø Ó Ø Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ú Ò δ Π = C [ (δεx ) + (δε s ) + νδε x δε s + ( ν)(δε xs ) ] d + [ N x δ ε x + Ns δ ε s + Nxs ] δ ε xs d ½ º½ ¼µ + D [ (δκx ) + (δκ s ) + ν(δκ x )(δκ s ) + ( ν)(δκ xs ) ] d

248 ½ º º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÝÐ Ø Ø Ô ÒÓ ÓØ ¾ ÚÙÐÐ Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ù Ò ÑÑ Òº Ä Ò Ö Ó Ñ ÐÐ ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö Ò ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ú Ñ Ö Ø ÑÐÐ Ú Ö ¹ Ø Ó Ø ÐÝ Ý Ø δu u δv v δw w Ò º Ò δ Π = C + + D ( e x + e s + νe x e s + ( ν)e ) xs d ( N x β x + N s β s + N xsβ x β s ) d ( κ x + κ s + νκ x κ s + ( ν)κ ) xs d, ½ º½ ½µ Ñ e x = u x, e s = v s + w R, e xs = ( u s + v ), ½ º½ ¾µ x κ x = β x x, κ s = R β x = w x, v s w s, κ xs = v R x w x s β s = v R w s ½ º½ µ ½ º½ µ ÓÚ Ø ÖØÝÑØº ÌÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ú ÓÒ Ð Ò Ö Ó ØÙ ØØÑÐÐ Ô ÖÙ Ø Ð Ò ÖØÝÑØ βx βs ÐØÚØ Ø ÖÑ Ø ÔÓ ºµ Ä Ù ÙÑ ÐÐ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ò Ò Ú Ö Ø Ó ÖØÝÑ Ò Ö Ñ ÒØØ Ò u v w ÚÙÐÐ ØÙÐ δ Π = C [ ( u ) + x ( v s ) + ν u v x + ( ν) u v s x + w R + v w s R + [ ( ) w ( w Nx + Ns x s v R + [ ( ) ( D w w x + s R ( w + ( ν) x s ) ] v d. R x s + ν ] u w + ν d x R ) + Nxs ( ) u + ν s ( ) v x ( )( w w x s v ) ] d R ) ( v + ν w w s x s R ) v s ½ º½ µ Î Ö Ø ÓÔÖÓ Ð Ñ Ò δ Π = f(u,u,x,u,s,v,v,x,v,s,w,w,x,w,s,w,xx,w,xs,w,ss )d = min ½ º½ µ

249 ¾ ÄÍÃÍ ½ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù ÙÐ Ö Ò Ý ØÐ Ø ÓÚ Ø ( + f x w,xx f u ( f x ( f f u,x v x f w ( f x ( f ) + x s v,x w,x w,xs ) ( ) f s u,s ) ( ) f s v,s ) ( ) f s ) + s w,s ( f w,ss ) =, ½ º½ µ =, ½ º½ µ =, ½ º½ µ Ñ Ó ØØ Ö Ú ØÓ ÐÐ ÓÒ ÝØ ØØÝ ÐÝ ÒÒÝ Ñ Ö ÒØ ( ),x ( ) x, ( ),s ( ) s. ½ º½ ¼µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ f Ø Ð ÐÐ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ð Ù Ò ÒØ ¹ Ö Ò Ò ÝÐ Ò ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ò ÖÝ Ñ ( u C x + ν u s + + ν v x s + ν ) w =, ½ º½ ½ µ R x [ ( ) C h v R s + ν ) ( h v R x ] + + ν u x s + ν w D R s R s ( w) ( ) w +Ns + Nxs w =, ½ º½ ½ µ x ( w R + v D 4 w + C R Nx ( w x w N xs x s R Ñ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ ÐÝ Ý Ø v = v x + v s, s v R s + ν u x ) Ns v x ) + D R ( w s R s ( v) ) v s w = w x + w s. =, ½ º½ ½µ ½ º½ ¾µ Ì Ô ÒÓÝ ØÐ ½ º½ ½µ ÓÚ Ø ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ò ØÓ Ò ÝØ ÝØÝÒ Ò Ò Ö ¹ Ñ ÒØ Ð Ø ÖØÝÑØ u v wº ØÐ Ò ½ º½ ½µ ÚÐ Ò ÝØ ÒÒÒ ÔÙÖ Ù ÓÒÒ ØÙ Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ù Ò Ý ØÐ Ò ½ º½ µ Ø Ô Ù º ½ º º½ È Ò ÙÓÖÑ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò ØÓ Ò Ò Ú Ö Ø Ó ÌÖ ØÞ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ø ØØ Ò ÙÐ Ó Ò ÙÓÖÑ Ò ÔÓØ ÒØ Ð ÖØÝÑ Ò Ù Ø Ò ØÓ Ø Ø ØØ ÓÐ Ú Ø Ø ÖÑ Ø ÔÓ º Ì Ø ÚÓ ÙØÙ Ñ Ö ØØÚ Ú Ö ØØ Ó Ø Ò Ô Ò Ò ÙÓÖÑ ØØ Ñ Ò ÝÐ ÒØ Ö Ò ÐÓÑÑ Ù ÑÙÓ Ó ÓÒ ÝÚ Ò Ú Ò ÔÙÓÐ ÐØÓ ÝÐ ÒØ Ö Ò ¹ Ò ÙÙÒÒ º Ì Ò Ò Ò Ø Ô Ò ÙÓÖÑ ÓÒ ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ò Ò Ò Ø Ñ ØÝ ÓÒ Ô ¹ Ò ÙÓÖÑ Ò ÒØ Ò Ø ØØ ÖØ ÝÐ ÒØ Ö Ò Ø Ð ÚÙÙ Ò ÑÙÙØÓ º ËÝÐ ÒØ Ö Ò ÔÓ Ð Ù Ò

250 ½ º º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÝÐ Ø Ø Ô ÒÓ ÓØ ¾ Ô ÒØ ¹ Ð ÓÒ ÓÖÑÓ ØÙÒ Ø Ð = πr + πr [ w + R Ô Ò ÙÓÖÑ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö ÓÒ V = p πr [ w + R ( v vr w )] s + wr v s + w ds, ( v vr w )] s + wr v s + w ds dx, ½ º½ µ ½ º½ µ Ñ Ô Ò p ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ø Ò ÙÙÒÒ ÙÐÓ Ô Òµº ÑÑ Ò Ø ØØ Ò ÖØÝÑ Ò Ù Ø Ò ØÓ Ø Ø ØØ ÓÐ Ú Ø Ø ÖÑ Ø ÔÓ Ð ÔÔÖÓ ÑÓ Ø Ò Ø Ò Ô Ò ÙÓÖÑ Ò ÔÓØ Ò¹ Ø Ð Ú ÐÐ πr V p w ds dx. ½ º½ µ È Ò ÙÓÖÑ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò ØÓ Ò Ò Ú Ö Ø Ó ÓÒ δ V = p πr R [ (δv) (δv)r δw ] s + (δw)r δv s + (δw) ds dx. Å Ö Ø ÑÐÐ ÐÐ Ò Ú Ö Ø Ó Ø Ý Ò ÖØ Ø v δv w δw Ò δ V = p πr R ( v vr w ) s + wr v s + w ds dx. ½ º½ µ ½ º½ µ ÇØØ Ñ ÐÐ ÙÓÑ ÓÓÒ Ô Ò ÙÓÖÑ Ò ØÓ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ð Ù ÌÖ ØÞ Ò Ó Ò ØÝ ÒÒ ØÝØ ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ø ( u C x + ν u s + + ν v x s + ν ) w =, ½ º½ µ R x C [ ( ) h v R s + ν ( h R +N s + + ν u x s + ν R ( w s v R ] w D s R ) + Nxs w x + p ( w R + v D 4 w + C R Nx ( w x w N xs x s R ) v x s ( w) ( v R w ) s ) s + ν u + D x R s ( v) ) ( v Ns w x s ) v R s ( +p R v ) s + w =, ½ º½ µ =, ½ º½ µ Ñ ÓÒ ØÙÐÐÙØ ØÝ ÒÒÝ Ò Ô Ò ÙÓÖÑ Ò ÒØ Ò Ø Ø Ò ÐØÚØ Ø ÖÑ Ø ØÓ Ò ÓÐ¹ Ñ ÒØ Ò Ý ØÐ Òº

251 ¾ ÄÍÃÍ ½ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù b R R ÃÙÚ ½ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù ÑÙÓØÓ Ó ÓÒ ÚÓ Ò ÓÚ ÐØ Ð Ò ÙÓ¹ Ö Ò Ø ÓÖ º w w R ÃÙÚ ½ º ÈÙÖ Ø ØÙÒ ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù º ½ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù Ö Ð ÙÓÖÑ ØÙ Ø Ô Ù ¹ Ì ØÝ Ò Ð Ò Ö Ó ÒØ Ò Ý Ò ÖØ ØÙ Ø Ò ÚÙÓ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø ½ º½ ¼µ ÔØ ÚØ Ð ÐÐ ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ ÐÐ º ÂÓ ÐÓÑÑ Ù ÑÙÓ Ó ÓÒ Ù Ø ÐÓÑÑ Ù ÐØÓ ÝÐ ÒØ Ö Ò Ò ÙÙÒÒ Ø Ò ØØ Ý Ò ÐÓÑÑ Ù ÐÐÓÒ ÒÙÓÐ ÓÖ Ù ÓÒ Ô Ò ÙÚ ½ º Ò Ò ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ ÚÓ Ò Ö Ø Ø Ó Ò ÙÓÖÑ ØÙ Ø Ô Ù ÝÚÐÐ Ø Ö ÙÙ ÐÐ Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ø ½ º½ ¼µº ÌÙØ Ø Ò Ñ Ö Ò ÚÙÐÐ º Ñ Ö ½ º½ ÅÖ Ø ØÒ Ð Ò ÙÙÒÒ ÔÙÖ Ø ØÙÒ ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ ¹ Ù ÙÓÖÑ ÓÒÒ ÐÐ Ò Ý ØÐ Ò ½ º½ ¼µ ÚÙÐÐ º Ê Ø Ø Ò Ø ØÚ ÓÒÒ ÐÐ Ò Ð ÑÖ Ø Ò Ð Ò ÙÓÖ Ò Ý ØÐ Ò ½ º½ ¼µ ÚÙÐ¹ Ð º ÂÓ ÝÐ ÒØ Ö Ò ÔØÝ Ò ÔÓ ØØ Ð ÓÒ Ø ØØÝ ØÙ ÒÒ ÐÐ Ò Ò ÔØÝ Ò Ð ÐÐ ØÙÐ Ô ÖÙ Ø Ð ÒÒ Ò ÐÓÑÑ Ù Ø µ Ø ÚÙØÙ Ø ÓÒ Ú ÙØÙ Ø ØØ Ò ÔÓ Ø ¹ Ô ÒÓÝ ØÐ Ø Ý Ò ÖØ Ø ØØ º Ä ÑÖ Ö Ø Ù ÓØ ÙØ Ò Ø Ò Ó ÒÔÙÓÐ Ò ÙÚ Ò ½ º ÑÙ Ò Ò Ô ÖÙ Ø Ð Ò Ø Ò Ò ÓÖÑ Ø Óº ÂÓ ÝÐ ÒØ Ö Ò

252 ½ º º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù Ö Ð ÙÓÖÑ ØÙ Ø Ô Ù ¾ Ð Ò ÙÙÒØ Ò Ò Ô Ò ÙÓÖÑ ÓÒ p a Ò Ò Ô ÖÙ Ø Ð Ò ÐÚÓÚÓ Ñ Ø ÓÚ Ø ÓÐÑ Ý ØÐ ½ º½ ¼µ ØÙÐ ÑÙÓØÓÓÒ Nx = p ar, N s =, N sx =, ½ º½ µ D 8 w + Eh R 4 w x 4 N x 4 ØÐ Ò Ö Ø Ù Ø Ò ÑÙÓ Ó w(x, s) = C mn sin mπx ( ) w x =. ½ º½ ¼µ sin ns R, ½ º½ ½µ Ñ C mn ÓÚ Ø ÖØÓ Ñ º Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÝÖ Ø ½ º½ ½µ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò ½ º½ ¼µ Ò Ö Ø ØÙ ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ [ N x,kr = π D (m + n ) m + Z m ] π 4 (m + n ), ½ º½ ¾µ Ñ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ n = n πr, Z = ν. Rh ½ º½ µ Z ÓÒ Ò Ñ ÐØÒ Ø ÓÖ Ò Ô Ö Ñ ØÖ º È Ò ÑÑÒ ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ Ò ÒØ Ú Ó Ó¹ Ò ÐÙ ÙÔ Ö m, n Ð Ý ØÒ Ñº Ó Ð Ñ ÐÐ º Ã Ô Ø Ò ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò Ö ØØ Ò Ð Ò ÙÙÒØ Ò ÔÙÖ Ø Ú Ò ÚÓ Ñ Ò Ð ÖÚÓ Ò Ñ Ò ÑÓ Ñ ÐÐ N x,kr Ò Ú Ø ¹ Ò (m + n ) Ù Ø Òº Å Ò Ñ Ò m ÒØ N x,kr,min 3( ν ) (m + n ) m Ì Ö ÝÐ ÒØ Ö ÐÐ ν =.3 Ø Ø Ô Ù Eh R = π 3( ν ) Rh. N x,kr =.65 Eh R. ½ º½ µ ½ º½ µ ½ º½ µ Ã Ú Ø ½ º½ µ Ò Ò ØØ Ý Ø ÙÖ Ø ÓÔ Ø ØØ N x,kr Ò ÖÚÓ µ Ú Ø ÑÓÒ¹ Ø ÐÓÑÑ Ù ÑÙÓØÓ º Ö ÐÓÑÑ Ù ÑÙÓØÓ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø Ð ÙÙÒÒ ¹ ÔÙÖ Ø ØÙ Ø ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ø Ö ØØ Ò Ö Ö Òº Æ º Ø ÓÐÐ Ø Ú ÐÑ Ø ØØÙ Ò ÝÐ ÒØ Ö Ò Ö ÙÓÖÑ ÚÓ ÓÐÐ ÝÐ ÒØ Ö Ò ÑÙÓ ÓÒ Ô ÒØ Ò Ð ÙÚ Ö Ò Ø Ú Ò Òº 3 % Ø ÓÖ ØØ Ø ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ Ø ÙÒ Ð ÓÖ ØÓÖ Ó¹ÓÐÓ Ù Ø ÓÒ Ô ØÝ Ð ÐÐ Ø ÓÖ ØØ Ø ÖÚÓ N x,kr º ÃÓ ÔÙÓÐ ÐØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖØ m n ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ý ØÐ ½ º½ µ ÚÓ ØÓØ ÙØØ Ø ÓÖ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓ ÐÐ Z <.85º ÌÐÐ Ò Ö Ø Ù ÓÒ ØØ Ú Ú Ø ½ º½ ¾µ Ó Ð Ñ ÐÐ º ÃÙÚ ½ º ÓÒ Ø ØØÝ Ð ÙØÓÒ ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ Ö ØØ Ò Ò ÐÚÓÚÓ Ñ µ N x,kr π D N x,kr Ø ÓÖ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò Z = ν ÙÒ Ø ÓÒ º Rh ½ º½ µ

253 ¾ ÄÍÃÍ ½ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù ½¼¼¼ N x,kr ½¼¼ ½¼ ½ ½¼ ½¼¼ ½¼¼¼ Z ½¼¼¼¼ ÃÙÚ ½ º ÈÙÖ Ø ØÙÒ ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ Ø ÓÖ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÙÒ Ø ÓÒ º p p w w p p R ÃÙÚ ½ º½¼ ÈÓ ØØ Ò Ô Ò Ò ÙÓÖÑ ØØ Ñ ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ º ÃÙÒ ÝÐ ÒØ Ö Ò Ð Ò Ö Ø ÒØ Ò Ò ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ Ð ØÝÝ ÖÚÓ N x,kr = π D, ½ º½ µ Ó ÓÒ Ô ØÒ Ú Ô Ø ØÙ ØÙÒ Ð ÚÝ Ø Ò ÙÐ Ö Òµ ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ º ÃÓ ÓÒ¹ Ò ÐÐ Ò Ý ØÐ ÒÒ Ó ØÙÐÓ Ø ÝÚ Ò Ô Ø ÐÐ ÝÐ ÒØ Ö ÐÐ ÓÒ Ö ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ Ð ØØ Ú ÙÐ Ö Ò ÒÙÖ Ù ÙÓÖÑ Ò ÔÙØ ÐÐ ÓÒ Ø ÚÙØÙ Ý ÝÝ ÓÒ I = πr 3 hº Ñ Ö ½ º¾ ÅÖ Ø ØÒ ÔÓ ØØ ÙÙÒØ Ò Ô Ò Ò p = p p ÙÓÖÑ ØØ Ñ Ò ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ º ÂÓ ÝÐ ÒØ Ö Ò Ô Ò Ú ÙÙÒØ Ò Ò Ð ÓÒ Ø ØØÝ ØÙ ÒÒÓ ÐÐ Ò Ò ÔÙ ÐÚÓØ Ð ÓÐ Ñ ÓÐÐ Ò Ò Ô ÖÙ Ø Ð () Ú Ò ÙÓÖ Ò Ô Ò Ð ÝÝØ Ò ÝÒØÝÝ Ø ÚÙØÙ ¹ Ø Ð Ó Ù Ø Ò Ò Ø ØØ Ò ÙÓÑ ÓÓÒÓØØ Ñ ØØ Ý Ò ÖØ Ø ØÙ Ð Ò ÙÓÖ Ò ÓÒÒ ÐÐ Òµ Ø ÓÖ º ÇØ ÙØ Ò Ó Ò ÔÙÓÐ Ò ÙÚ Ò ½ º½¼ ØØÑ Ô ÖÙ Ø Ð Ó ÐÚÓÚÓ Ñ Ø ÓÚ Ø N x =, N s = pr = p p R, N sx =. ½ º½ µ

254 ½ º º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù Ö Ð ÙÓÖÑ ØÙ Ø Ô Ù ¾ ÈÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ò Ò Ú Ö Ø Ó ÓÒ ÔÓ ÙÙÒØ Ò Ô Ò ÙÓÖÑ Ò Ø Ô Ù δ Π = [ ( u ) ( ) v C + + ν u v x s x s + ν ( ) u s + ν + D + ( ) v + ( ν) u v x s x + w R + v w s R { ( ) w x + w s ( ν)[ w w x s [ N s ( ) ] w d. s ÙÐ Ö Ò Ý ØÐ Ò Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ò ÖÝ Ñ ( u C x + ν u s + + ν v x s + ν R Ö ÙÒ Ó Ò C ( v s + ν D 4 w + C R v x + + ν u x s + ν R ( w R + v s + ν u x ) w x ) w s ] u w + ν d x R ( ) ]} w x s d ½ º½ ¼µ =, ½ º½ ½ µ =, ½ º½ ½ µ ) Ns w s = ½ º½ ½µ v =, ½ º½ ¾ µ w =, ½ º½ ¾ µ ( u C x + ν v s + ν ) w =, ½ º½ ¾µ R ( ) w D x + ν w s = ½ º½ ¾ µ ÝÐ ÒØ Ö Ò Ö ÙÒÓ ÐÐ x = x = º ÃÓÐÑ ÒÒ Ò Ö ÙÒ ÓÒ ÑÙ Ò N x = Ò Ð ÒÒ Ò Ö ÙÒ ÓÒ ÑÙ Ò Ø ÚÙØÙ ÑÓÑ ÒØØ ÝÐ ÒØ Ö Ò Ô ÓÒ ÒÓÐÐ º ØÐ Ø ÚÓ Ò ÐÐ Ò Ý Ò ÖØ Ø Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓØÓÓÒ 4 u + ν 3 w R 4 v + + ν 3 w R D 8 w + Eh R 4 w x 4 N s 4 Ì Ô ÒÓÝ ØÐ Ò Ö Ø Ù ÚÓ Ò ØØ Ð Ù ÐÐ u(x, s) = mn cos mπx ns sin R, x 3 3 w R x s =, ½ º½ µ x s + 3 w R s 3 =, ½ º½ µ ( ) w s =, ½ º½ µ v(x, s) = B mn sin mπx w(x, s) = C mn sin mπx cos ns R, sin ns R, ½ º½ µ ½ º½ µ ½ º½ µ Ñ mn B mn C mn ÓÚ Ø ÖØÓ Ñ º Ë ÖØÝÑ Ò u v Ð Ù Ò ÖØÓ Ñ Ø mn B mn Ò Ð Ù ÙØØÙ ÖØÓ Ñ Ò C mn ÚÙÐÐ Ó ØØ Ñ ÐÐ ÖØÝÑÓØ Ù¹ Ñ Ø ½ º½ µ Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ò ½ º½ µº ÆÝØ ÚÓ Ò Ø Ö Ø ØØ Ø ÔÙÑ Ò

255 ¾ ¼ ÄÍÃÍ ½ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù p p ½¼¼¼ ½¼¼ ½¼ ½ ½¼ ½¼¼ ½¼¼¼ Z ½¼¼¼¼ ÃÙÚ ½ º½½ ÈÓ ØØ Ò Ô Ò Ò ÙÓÖÑ ØØ Ñ Ò ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ º w ÝÖ Ø ØÓØ ÙØØ Ö ÙÒ ÓØ w = M x = Ö ÙÒÓ ÐÐ x = x = ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÔÓ ØØ ÙÙÒÒ º Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÝÖ Ø ½ º½ µ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò ½ º½ µ Ò Ö Ø ØÙ ÐÓÑ¹ Ñ Ù ÙÓÖÑ [ N s,kr = π D (m + n ) Z m 4 ] n + π 4 n (m + n ), ½ º½ µ Ñ ÓÒ ÐÐ Ò Ñ Ö ØØÝ n = n πr, Z = ν Rh ½ º½ µ ÓÒ Ø ÓÖ Ò Ô Ö Ñ ØÖ º ÄÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ Ñ Ò Ñ ÖÚÓÒ [ N s,kr = π D ( + n ) Z ] n + π 4 n ( + n ), ½ º½ µ ÙÒ m = º ÈÓ ØØ ÙÙÒØ Ò Ô Ò Ò ÙÓÖÑ ØØ Ñ Ò Ú Ô Ø ØÙ ØÙÒ ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ ¹ Ù ÑÙÓØÓÓÒ ØÙÐ Ý Ò Ò ÔÙÓÐ ÐØÓ Ð ÙÙÒØ Òº Å Ò ÑÓ Ñ ÐÐ ÐÓÑÑ Ù ¹ ÙÓÖÑ Ô Ö Ñ ØÖ Ò n Ù Ø Ò Ò Ö ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ Ø ØØÝ Ø ÓÖ Ò Ô Ö ¹ Ñ ØÖ Ò Z ÙÒ Ø ÓÒ º ÃÙÚ ½ º½½ ÓÒ Ø ØØÝ Ð ÙØÓÒ Ô Ò p p R π D p p Ñ p p = p ÓÒ ÔÓ ØØ Ò Ô Ò ÙÓÖÑ Ò ÒØ Ò Ø ØØ Ô Ö Ñ ØÖ Ò Z ÙÒ Ø ÓÒ º ÀÝÚ Ò ÐÝ Ý Ò ÝÐ ÒØ Ö Ò Ø Ô Ù Z ÃÙÒ n = Ò Ñ Ò Ñ ÖÚÓ N s,kr π D [ ( + n ) n N s,kr = 4π D. ]. ½ º½ µ ½ º½ µ ÃÙÚ ½ º½¾ ÓÒ Ú ÖÖ ØØÙ ÓÒÒ ÐÐ Ò Ý ØÐ ÐÐ ½ º½ µ Ø Ö ÑÑ ÐÐ Ý ØÐ ÐÐ ½ º½ µ ØÙ Ö Ø Ù ÔÓ ØØ Ò Ô Ò ÙÓÖÑ Ò Ø Ô Ù º

256 ½ º º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù Ö Ð ÙÓÖÑ ØÙ Ø Ô Ù ¾ ½ ½¼º¼ p p R Eh 4 ½º¼ n = R h = ¼º½ n = R h = ÓÒÒ ÐÐ Ú Ø ½ º½ n = R h = 5 ÃÙÚ ½ º½¾ ¼º¼½ ¼º½ ½º¼ ½¼º¼ πr ½¼¼º¼ ÈÓ ØØ Ò Ô Ò Ò ÙÓÖÑ ØØ Ñ Ò ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ ÓÒÒ ÐÐ Ò Ý ØÐ ÐÐ Ø Ö ÑÑ ÐÐ Ý ØÐ ÐÐ ½ º½ µº Ñ Ö ½ º ÅÖ Ø ØÒ Ð Ù ÚÓ Ñ Ò N xs ÙÓÖÑ ØØ Ñ Ò ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑ¹ Ñ Ù ÙÓÖÑ ÓÒÒ ÐÐ Ò Ð Ò ÙÓÖ Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ò ÚÙÐÐ º Ä Ù ÚÓ Ñ Ò N xs ÚÒØ ÑÓÑ ÒØ Òµ Ö ØØ Ñ Ò ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò Ø Ô Ù ÓÐ¹ Ñ Ø Ô ÒÓÝ ØÐ ½ º½ ¼µ ØÙÐ ÑÙÓØÓÓÒ D 8 w + Eh 4 ( w R x 4 4 N xs ) w =. ½ º¾¼¼µ x s ÇØ ÙØ Ò ÐÐ Ò Ý Ò ÖØ ÙÙ Ò ÚÙÓ ØØ Ô ÖÙ Ø Ð ÓÒ ÐÚÓØ Ð N xs ÓÒ Ú Óº ÌÐÐ Ò Ø Ô ÒÓ Ó ØÙÐ D 8 w + Eh 4 ( w ) R x 4 w N xs 4 =. ½ º¾¼½µ x s ÃÓ Ý ØÐ ½ º¾¼½µ ÒØÝÝ Ø ÔÙÑ Ò Ô Ö ÐÐ ØØ Ô Ö ØØÓÑ Ö Ú ØØÓ ÐÐ Ñ Ö ÓØ ÙØØÙ Ø ÔÙÑ Ò Ð Ù ØÙÐ ÒÝØ Ý Òº Ä Ù ÚÓ ¹ Ñ Ò ÙÓÖÑ ØØ Ñ Ò ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù ÑÙÓ Ó ÝÐ ÒØ Ö Ò Ò ÙÙÒØ Ø ÐÓÑÑ Ù ÐÐÓØ ÖØÚØ Ô Ö Ð Ñ Ø ÝÐ ÒØ Ö Ð Ò ÙÙÒØ Ò Ñ ÒØ ØÐÐ Ø ÓÖÑ Ø ÓØ Ú Ø Ú Ø ÔÙÑ Ò Ð Ù ÓÒ ( mπx w(x, s) = C mn sin ns ), ½ º¾¼¾µ R

257 ¾ ¾ ÄÍÃÍ ½ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù x z s k w = ÃÙÚ ½ º½ Ä Ù ÚÓ Ñ Ò ÙÓÖÑ ØØ Ñ Ò ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù º Ñ C mn ÓÚ Ø ÖØÓ Ñ º ÅÙ Ò ÖØÝÑ Ò Ð Ù Ø ÓÚ Ø ( mπx u(x, s) = mn cos ns ), ½ º¾¼ µ ( R mπx v(x, s) = B mn cos ns ), ½ º¾¼ µ R Ñ mn B mn ÓÚ Ø ÖØÓ Ñ º Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø ÔÙÑ Ò Ð Ù ½ º¾¼¾µ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò ½ º¾¼½µ Ò Ö Ø¹ ØÙ ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ Ñ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ N xs,kr = n ( + k ) k k = mπ n R D R + k 3 ( + k ) Eh, ½ º¾¼ µ n = mπ n. ½ º¾¼ µ Î Ð ØØÙ Ø ÔÙÑ Ò Ð Ù ½ º¾¼¾µ ØÓØ ÙØ Ñ ØÒ Ø ØØÝ ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÔØÝ Ò Ö ÙÒ ØÓ ÓØ Ò ØÙ Ö ØØ Ò ÙÓÖÑ Ò Ð Ù ÔØ Ô Ø ÐÐ ÝÐ ÒØ Ö ÐÐ Ó Ò Ö ÙÒÓ Ò Ð ÐÐ ÝÒØÝÚ Ø ÚÙØÙ Ø Ð Ú ÙØ Ñ Ö ØØÚ Ø Ö ØØ Ò ÙÓÖÑ Ò Ö¹ ÚÓÓÒº ÃÓ ÓÒ ÐÙ Ù ÖÚÓ m n Ú Ø Ø ØØÝ ÓÑ Ò ÖÚÓ N xs,mnº È Ø Ò ÝÐ ÒØ Ö Ò Ø Ô Ù + k, ½ º¾¼ µ ØÐÐ Ò Ò Ð ÑÖ Ø N xs,kr = n D k R + k3 n Eh. Å Ò ÑÓ Ñ ÐÐ Ð Ù ½ º¾¼ µ Ô Ö Ñ ØÖ Ò k Ø mµ Ù Ø Ò ØÙÐ ½ º¾¼ µ ÙÒ Eh N xs,kr,min =.36n ( ν ) 3/4 k = n 4 36( ν) ( ) 3/ h, ½ º¾¼ µ R ( ) h. ½ º¾½¼µ R È Ò Ò Ö ØØ Ò ÙÓÖÑ Ò ÖÚÓ Ò ÙÒ n = ÑÙØØ ÝØÒÒ Ö ÙÒ ØÓ Ò ØÓØ ÙØØ Ñ Ò Ò Ú Ø ØØ n ÓÒ Ú ÒØÒ ¾º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò Ö ÙÒÓ Ò Ð ÝÝ n = ÓÒ Ð Ò Ô Ò ÓØ Ò ÓÒÒ ÐÐ Ò Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù ÓÒ Ø Ø Ò ÝÝ Ø Ð ÑÖ Ò Òº

258 ½ º º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù Ö Ð ÙÓÖÑ ØÙ Ø Ô Ù ¾ N xs z < ( ) R h jäykästi tuettu nivelreuna Z ÃÙÚ ½ º½ Ä Ù ÚÓ Ñ Ò ÙÓÖÑ ØØ Ñ Ò ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ Ø¹ ÓÖ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÙÒ Ø ÓÒ º Ì Ö ÑÑ ÐÐ Ø ÓÖ ÐÐ ÓÒ Ó ØØÙ Ö ØØ Ò ÙÓÖÑ Ò ÖÚÓ Ó ÓÒ n Ò ÖÚÓÐÐ ¾ ¹ ÖØ Ò Ò ÐÐ Ð ØØÙÙÒ ÖÚÓÓÒ Ú ÖÖ ØØÙÒ º 4 3 ÃÙÚ ½ º½ ÓÒ ÓÒÒ ÐÐ Ò Ý ØÐ Ø Ø Ö ÑÑ ÐÐ Ø ÓÖ ÐÐ Ð ØÙØ Ö Ø ÙØ Ò Ú ¹ Ð ÐÐ Ø ØÙ ØÙÐÐ Ý Ø ÒÒ Ø ØÝÐÐ ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ ÐÐ º ÃÙÚ ½ º½ ÓÒ Ø ØØÝ Ð ÙØÓÒ Ö ØØ Ò Ò Ð Ù ÚÓ Ñ N xs,kr π D N xs,kr Ø ÓÖ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò Z ÙÒ ¹ Ø ÓÒ º Ñ Ö ½ º ÅÖ Ø ØÒ Ð Ò ÙÙÒÒ ØØ ÔÓ ØØ ÙÙÒÒ ÔÙÖ Ø ØÙÒ ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ º ÇØ ÙØ Ò ÐÐ Ò Ý Ò ÖØ ÙÙ Ò ÚÙÓ Ð ÑÖ Ø ØØ ÙÓÖ Ò Ô ÖÙ Ø Ð Ò ÚÓ Ñ ÙÙÖ Ø ÓÚ Ø ÐÚÓØ Ð Ò ÑÙ Øº È ÖÙ Ø Ð Ò ÐÚÓÚÓ Ñ Ø ÓÚ Ø N x = p ar, N s = p p R, N sx =, ½ º¾½½µ ÙÒ p a ÓÒ Ð Ò ÙÙÒØ Ò Ò Ô Ò p p ÓÒ ÔÓ ØØ ÙÙÒØ Ò Ò Ô Ò º Ø ØÝ ÙÓÖÑ ØÙ Ø Ô Ù ÓÐÑ Ý ØÐ ½ º½ ¼µ ØÙÐ ÑÙÓØÓÓÒ D 8 w + Eh 4 ( w R x 4 4 Nx w x + ) w N s s =. ½ º¾½¾µ Î Ð Ø Ñ ÐÐ Ø ØØÝ Ô Ò ÙÓÖÑ Ò Ù k = N x N s Ò Ø Ô ÒÓ ØÓ Ö Ó Ø ØØÙ ÑÙÓØÓÓÒ D 8 w + Eh R 4 w x 4 + p pr 4 ½ º¾½ µ ( ) k w x + w s =. ½ º¾½ µ È ØÒ Ú Ô Ø ØÙ ØÙÒ ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò Ø Ô Ù Ý ØÐ Ò ½ º¾½ µ Ö Ø Ù ÓÒ w(x, s) = C mn sin mπx sin ns R, ½ º¾½ µ

259 ¾ ÄÍÃÍ ½ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù ½¼¼¼ p ½¼¼ Ð Ò Ò Ô Ò ( ) < 5R R h ½¼ ÔÓ ØØ Ò Ò Ô Ò ½ Ý ÖÓ Ø ØØ Ò Ò Ô Ò ½¼ ½¼¼ ½¼¼¼ Z ½¼¼¼¼ ÃÙÚ ½ º½ ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ Ø ÓÖ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÙÓÖÑ ØÙ Ø Ô Ù º Ñ C mn ÓÚ Ø ÖØÓ Ñ º Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø ÔÙÑ Ò Ð Ù ½ º¾½ µ Ö ÒØ Ð Ý Ø¹ Ð Ò ½ º¾½ µ ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ Ñ N s,kr = π D [ (m + n ) km + n + Z m 4 ] π 4 (m + n ) (km + n, ½ º¾½ µ ) n = n πr, Z = ν Rh ½ º¾½ µ ÓÒ Ø ÓÖ Ò Ô Ö Ñ ØÖ º È Ò ÑÑÒ ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ Ò ÒØ Ú Ó ÓÒ ÐÙ ÙÔ Ö m, n Ð Ý ØÒ Ó Ð Ñ ÐÐ º Ì Ô Ù k = Ò ÔÓ ØØ ÙÙÒÒ ÔÙÖ Ø ØÙÒ Ý¹ Ð ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ º Ì Ô Ù k = Ú Ø Ý ÖÓ Ø ØØ Ø Ô Ò ÙÓÖÑ ¹ ØÙ Ø º ÃÙÚ Ò ½ º½ ÓÒ ÓÓØØÙ Ð Ò ÙÙÒØ Ò ÔÙÖ Ø Ú Ò ÙÓÖÑ Ò ÔÓ ØØ Ò Ô Ò ¹ ÙÓÖÑ Ò Ý ÖÓ Ø ØØ Ò Ô Ò ÙÓÖÑ Ò p = R π D p Ñ p = p a p = p p Ø p = p a = p p ÓÒ Ô Ò ÙÓÖÑ Ò ØÓ ÐÐ Ò Òµ ÒØ Ò Ø ØØ Ñº ÙÓÖÑ ØÙ Ø Ô Ù ÐÓÑÑ Ù ÖÚÓØ Ô Ö Ñ ØÖ Ò Z Ù Ø ÓÒ º Ñ Ö ½ º ÅÖ Ø ØÒ Ö ØØ ÑÒ Ô Ø Ò Ý ÖÓ Ø ØØ Ò Ô Ò Ò ÙÓÖÑ ØØ ¹ Ñ Ò ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò Ö ØØ Ò Ò ÙÓÖÑ º Ö ØØ ÑÒ Ô Ø Ò ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÔÙØ Òµ Ö Ø Ù Ö ÔÙ ÓÓÖ Ò Ø Ø xº ÃÝ¹ Ø ØÒ Ô Ò ÙÓÖÑ Ò Ø Ô Ù Ø Ö ÑÑ Ò Ø ÓÖ Ò Ò Ö Ð Ù ØØ ½ º½ µº ÈÓ¹

260 ½ º º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù Ö Ð ÙÓÖÑ ØÙ Ø Ô Ù ¾ s x p p ÃÙÚ ½ º½ ÀÝ ÖÓ Ø ØØ Ò Ô Ò Ò ÙÓÖÑ ØØ Ñ Ö ØØ ÑÒ Ô Ø ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ º Ø ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ú Ö Ø Ó ØÙÐ ÒÝØ Ý Ò Ô ØÙ ÐÐ ÙÓÖ ÐÐ µ δ Π = C + Ñ N s = pr = p prº πr πr ( v s + w ) ds R N s ( w s v ) ds R + πr ( D w s ) v ds R s πr p R ÇØ ÙÑ ÐÐ ÖØÝÑ ÐÐ Ð Ù Ø Ò v(s) = C cos ns R, δ Π = C π [ ( v vr w ) s + wr v s + w ds, ½ º¾½ µ w(s) = C sin ns, n =,,... ½ º¾½ µ R C R ( n) + ( p n ) + D ( R 3 n n ) + 4 p ( n ) ]. ½ º¾¾¼µ ÌÓ Ò Ò Ú Ö Ø Ó Ñ Ò ØØ ÔÓ Ø Ú Ò Ò ØØ ÝÝ Ò ÙÒ Ô Ò ÙÓÖÑ ÓÒ p = p kr Ð p kr = D ( R 3 n n ). ½ º¾¾½µ È Ò Ò Ö ØØ Ò ÙÓÖÑ Ò ÖÚÓ ÚÙØ Ø Ò ÙÒ n = º ÌÐÐ Ò p kr = 3D R 3, ½ º¾¾¾µ ÔÓ Ð Ù Ñ Ò Ó ÓÒ ÑÙÓØÓ ÙÚ ½ º½ º ÂÓ ÙÓÖÑ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò ØÓ Ò Ò Ú Ö Ø Ó ÓØ ÙØ Ò ÒÓÐÐ Ò Ò Ò ÓÐÑ ÒÒ Ò Ð Ò ÙÙÖ ØÙÐÓ p kr = 4D R 3. ½ º¾¾ µ Ê Ø Ù ÔØ ÑÝ ÝÑÔÝÖÒ ÑÙÓØÓ ÐÐ Ö Ò ÐÐ ÓØ ÙÓÖÑ ØØ Ý ÖÓ Ø ØØ Ò Ò Ô Ò º

261 ¾ ÄÍÃÍ ½ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù ¼ ¼ u() ÃÙÚ ½ º½ Ì Ô ÒÓÔÓÐÙØ Ú Ö ØØ ÑÐÐ ÐÐ ÑÙÓØÓÚ Ö ÐÐ ÐÐ ÔÙÖ Ø ØÙÐ¹ Ð ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ ÐÐ º ½ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÝÐ Ö ØØ Ò Ò Ø Ð Ä Ò ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò Ð Ò Ö Ó ÙÐÐ Ø ÓÖ ÐÐ Ó Ô ÖÙ Ø Ð ÓØ Ø Ò ÐÚÓØ Ð Ö¹ ØÝÑ Ò Ú ÙØÙ Ø ØÒ ÙÓÑ ÓÓÒÓØØ Ñ ØØ ÒÒ Ò ÐÓÑÑ Ù Ø ÚÓ Ò ÑÖ ØØ ÔÖ ¹ Ñ Ö Ò Ò Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù Ö ÙØÙÑ Ô Ø ÙÖ Ø ÓÔ Ø µ Ð ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ Ò ÖÚÓº ÃÙÓÖ Ò Ð Ö ØØ Ò Ø Ð Ò ÐÚ ØØÑ Ò Ò Ú Ø ØÝ ÐÐ ÑÔ ÔÐ Ò Ö Ø Ø ÓÖ ¹ º ÃÙÚ ½ º½ ÓÒ Ø ØØÝ Ð Ò ÙÙÒÒ ÔÙÖ Ø ØÙÒ ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò Ø Ô ÒÓÔÓÐÙØ Ð ÔÙÖ Ø Ú Ò Ó ÓÒ ÚÓ Ñ Ò = πrn x Ð Ò ÖØÝÑÒ u() ÚÐ Ò Ò Ý Ø Ý º ÈÖ Ñ Ö Ò Ò Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù ÓÒ ÙÓÖ Ø ØÝ Ò Ð Ò Ö Ó ÒØ Ò ÙÖ Ù Ò º ÃÙÚ Ò ½ º½ ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ Ø ÓÚ Ú ÐÐ Ò Ú Ø Ú ÒÐ Ò ÑÙÓØÓÚ Ö ÐÐ Ò ÙÓÖ Ò Ø Ô ÒÓÔÓÐÙØº ÅÙÓØÓÚ Ö Ò ÙÖ Ù Ò ÙÖ Ø ÓÔ Ø Ò Ø Ø Ô ÒÓÔÓÐÙÐÐ ÓÒ Ö Ô Ø º ÈÙÖ ¹ Ø ØÙÒ Ó ÙØ Ò Ò ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò Ø Ô Ù ÙÖ Ø ÓÔ Ø ÒØ ÝÐ Ò Ú Ò Ð Ò ÓÔØ Ñ Ø Ò ÙÚ Ò ÙÓÖ Ò ÒØÓ ÝÚÝ Øº ÌÓ ÐÐ Ò Ò Ö ÙÓÖÑ ÚÓ ÓÐÐ Ô Ð ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ù Ò Ú Ö ØØ ÑÒ ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ º Ð ÙÙÒÒ ÔÙÖ Ø ØØÙ ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ ÓÒ ÝÚ Ò Ö Ð Ù Ö ÐÐ º ÌÑ ÚÓ ¹ Ò Ð ØØ ÐÐ ØØ ÐÓÑÑ Ù ÚÓ Ñ Ô Ò ÒØ ÓÑ Ò ÖÚÓ µ Ú Ø Ù Ø Ö Ð ÐÓÑÑ Ù ÑÙÓØÓ Ø Ù Ø ÓÑ Ò ÖÚÓ ÓÒ Ð Ò ÒÑ ÚÙÓÖÓÚ ÙØØ Ú Ø ØÓ ¹ Ò ÒØ Ò ÝÐ ÒØ Ö Ò ÒØÓ Ý Ýº ÃÙÚ ½ º½ ½ º½ ½ º¾¼ ½ º¾½ ÓÒ Ú ÖÖ ØØÙ Ø ÓÖ ØØ Ö ØØ Ò ÙÓÖÑ Ò ÖÚÓ Ó ØÙÐÓ Ò Ö ÙÓÖÑ ØÙ Ø Ô Ù º ÃÙÚ ½ º½ ÓÒ Ø ØØÝ Ð ÙØÓÒ Ð ÙÙÒØ ¹ Ò Ò ÔÙÖ Ø Ú ÚÓ Ñ Ø ÓÖ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò N x π D N x Z = ν Rh ½ º¾¾ µ ½ º¾¾ µ ÙÒ Ø ÓÒ º ÃÝØ ØØÝ ÐÓ Ö ØÑ Ò Ò Ø Ó ÒÝØØ ÖÓØ ØÓ ÐÐ Ø Ô Ò ÑÔ Òº ÃÙÚ ½ º½ ÓÒ Ú ÖÖ ØØÙ Ð Ù ÚÓ Ñ Ò ÙÓÖÑ ØØ Ñ Ò ÝÐ ÒØ Ö Ò ØÙÐÓ º Ä ÙØÓÒ Ð Ù ÚÓ Ñ ÓÒ N xs = π D N xs. ½ º¾¾ µ

262 ½ º º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÝÐ Ö ØØ Ò Ò Ø Ð ¾ ½¼¼¼¼ N x ½¼¼¼ ½¼ ½ ½¼ ½¼¼ ½¼¼¼ Z ½¼¼¼¼ ÃÙÚ ½ º½ ÈÙÖ Ø ØÙÒ ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò Ó ÐÐ Ø Ò Ø ÓÖ ØØ Ø Ò ØÙÐÓ Ø Ò Ú ÖØ ÐÙº ÃÙÚ ½ º¾¼ ÓÒ Ú ÖÖ ØØÙ ÔÓ ØØ Ò Ô Ò Ò ÙÓÖÑ ØØ Ñ Ò ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ØÙÐÓ º ÈÝ ØÝ Ð ÐÐ ÓÒ Ð ÙØÓÒ Ô Ò p p π DRp p = π DRp, ½ º¾¾ µ Ñ p p = p ÓÒ ÙÐ Ó Ò Ò ÔÓ ØØ Ò Ò Ô Ò º ÃÙÚ ½ º¾½ ÓÒ Ý ÖÓ Ø ØØ Ò Ô Ò Ò ÙÓÖÑ ØØ Ñ Ò ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ØÙÐÓ Øº ÈÝ ¹ ØÝ Ð ÐÐ ÓÒ ÒÝØ Ð ÙØÓÒ Ý ÖÓ Ø ØØ Ò Ò Ô Ò p π DRp, ½ º¾¾ µ Ñ p = p a = p p ÓÒ ØÓ ÐÐ Ò Ò Ý ÖÓ Ø ØØ Ò Ò Ô Ò º ÃÙÚ ½ º¾¾ ÓÒ Ø ØØÝ Ó ÐÐ Ò Ø ÓÖ ØØ Ò Ð Ò Ö ØØ Ò ÚÓ Ñ Ò Ù N x,koe Ñ N x,teor =.65 Eh N x,teor R Ø Ò ÒÑÒ Ô ÙÙ Ò Ù Ø Ò R h ÙÒ Ø ÓÒ º ÃÙÚ Ò ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ ÑÝ Ö ÓØ ØØÙ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ ÝÖ Ó Ø ÚÓ Ò ÐÙ Ø ÖÚ ØØ Ú Ô Ò ÒÒÝ ÖÖÓ Ò Ù Ø Ò R ÙÒ Ø ÓÒ º È Ò ÒÒÝ ÖØÓ Ñ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ ÙÓÖÑ Ò ÖÚÓÓÒ h Ú ÙØØ ÑÝ Ó ØÙÐÓ Ø Ò ÓÒØ º Ð Ø ÔÙÖ Ø ØØÙ ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ ÓÒ Ö Ø Ô Ù º ÅÙ ÙÓÖÑ ØÙ Ø Ô Ù ØÙÐÐ Ò ÝÐ Ò ØÓ Ñ Ò ÙÙÖ ÑÑ ÐÐ Ö Ù Ø Ó ÖØÓ Ñ Ò Ö¹ ÚÓ ÐÐ Ð Ô Ò ÑÑÐÐ Ö Ù Ø ÓÐÐ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÔÐ Ò Ö Ò Ø ÓÖ Ò ÙÖ ÒÙÙÖØ ÓÐ Ú Ø ÚÓÒ Ã ÖÑ Ò Ì Òº ÎÙÓÒ¹ Ò ½ ½ ÙÐ ØÙ ØÙØ ÑÙ Ó Ó ØØ Ú Ø ØØ Ð Ø ÔÙÖ Ø ØÙÒ ÝÐ ÒØ Ö ÙÓ¹ Ö Ò ÙÒ Ö ÐÐ Ø Ô ÒÓÔÓÐÙÐÐ Ó Ð Ø ÙÖ Ø ÓÔ Ø Ø ÙÚ ½ º¾ ÔÙ¹ Ö Ø Ú ÚÓ Ñ Ð Ò ÖØÝÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÔÙØÓ ÒÓÔ Ø º ÚÓÒ Ã ÖÑ Ò Ò Ì Ò Ò Ö Ø ÙÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÚÓ Ò ÔØ ÐÐ ØØ Ú Ø Ú Ò ÑÙÓØÓÚ Ö ÐÐ Ò ÙÓÖ Ò Ø Ô ÒÓ¹ ÔÓÐÙÐÐ ÓÒ Ö Ô Ø Bº ÓÒÒ ÐÐ Ï Ò ØØ ÚØ ÚÙÓÒÒ ½ ¼ ØÑÒØÝÝÔÔ Ò Ö Ø ÙÒ Ý¹ Ð ÒØ Ö ÙÓÖ ÐÐ ÓÒ ÑÙÓØÓ ÔÓ Ñ Ò ØÝ ÐÐ Ò ÝÐ ÒØ Ö Ò ÑÙÓ Ó Ø º ÃÓ Ø Ö ØØ ÚÙÓÒÒ ½ ÝÐ Ò ÔÐ Ò Ö Ò ÙÓÖ Ø ÓÖ Ò ÓÒ ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ØÙØ ÐÓÑÑ Ù ¹

263 ¾ ÄÍÃÍ ½ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù ½¼¼¼¼ N xs ½¼¼ ½¼ ½ ½¼ ½¼¼ ½¼¼¼ Z ½¼¼¼¼ ÃÙÚ ½ º½ Ä Ù ÚÓ Ñ Ò ÙÓÖÑ ØØ Ñ Ò ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò Ó ÐÐ Ø Ò Ø ÓÖ ØØ ¹ Ø Ò ØÙÐÓ Ø Ò Ú ÖØ ÐÙº Ò Ð Ø Ø Ð ÙÖ Ø ÓÔ Ø Ò Ð ÝÝ ÑÙÓØÓÚ Ö Ò Ú ÙØÙ Ø ÙÓÖ Ò ÝØØÝØÝÑ Òº ÃÓ Ø Ö Ò ØÙØ ÑÙ ØÙÐÓ Ø ØÙÐ Ú Ø ÝÐ Ø Ø ØÓÓÒ Ú Ø ÚÙÓÒÒ ½ º ÃÓ Ø Ö ØÙØ ÙÓÖ Ò ÝØØÝØÝÑ Ø Ú ÖÙÙ ÓÒ ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÚ Ø ÙÓÖÑ ÙÓÖ¹ Ñ ÖÖÓ Òµ Ö ÐÓÑÑ Ù ÑÙÓØÓ Ò ÑÔÐ ØÙ Øº Ì Ô ÒÓÔÓÐÙØ ÑÖ Ø ØÒ ÔÓØ ÒØ ¹ Ð Ò Ö Ò Ð Ù Ò Ò ÑÑ Ø Ò Ö Ú ØÓ Ò ÚÙÐÐ Ø Ô ÒÓÒ Ð ØÙ ØÙØ Ø Ò ØÓ Ø Ò Ö Ú ØØÓ Ò ÚÙÐÐ º ÈÙÖ Ø ØÙÒ ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÙÙÖ Ö Ö ÝÝ ÙØÙÙ ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ð Ù ¹ Ò Π = a + a q + a q + a 3 q 3 + a 4 q 4 +, ½ º¾¾ µ Ñ q ÓÒ ÐÓÑÑ Ù ÑÙÓ ÓÒ ÑÔÐ ØÙ a, a a... ÓÚ Ø ÙÓÖÑ Ø Ø ÙÓÖÑ Ö¹ ØÓ Ñ Ø µ ÑÙÓØÓÚ Ö Ø Ö ÔÔÙÚ ÖØÓ Ñ ÓÐÑ ÒÒ Ò Ø Ò Ø ÖÑ Øº Ñº Ð Ø Ò Ô Ð Ö Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ð Ù Ø ÔÙÙØØÙÙ ÓÐÑ ÒÒ Ò Ø Ò Ø ÖÑ Ò ÚØ ÓÐ Ö Ð ÙÚ Ö ÐÐ º ÐÐ Ø Ö Ø ÐÐÙ Ð Ò Ö Ø Ð Ù Ø ÓÖ ÝØ ØØÝ ÔÓ¹ Ø ÒØ Ð Ò Ö Ò ØÓ Ò Ò Ú Ö Ø Ó ÓÒ Ò Ð ÐÐ Ò Ò ÓØ Ò Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ø ÔØ ÐÑ Ð Ö ØØ Ø Ø Ð Ø º ÈÓØ ÒØ Ð Ò Ò Ö Ò Ð Ù Ò ÓÖ ÑÑ Ò Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ñ Ö ØÝ Ø ÚÓ ØÙØ Ñº ÚÓÒ Ã ÖÑ Ò Ò Ñ Ö Ò ÚÙÐÐ º ÃÙÚ Ò ½ º¾ Ò Ú Ð ÙÚÓ Ø ÓÙ Ø ÓÓ ØÙÚ Ò Ý Ø ¹ Ñ Ò ÓÙ ÚÓ Ñ Ò ÖØÝÑÒ Ö ÔÔÙÚ ÙÙ ÓØ ÙØ Ò F = C w C w, Ñ w ÓÒ Ø ÔÙÑ C C ÓÚ Ø ÖØÓ Ñ º ËÝ Ø Ñ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö ÓÒ Π = Fdw (cos ϕ cos ϕ). ½ º¾ ¼µ ½ º¾ ½µ Ì Ñ Ö ϕ = qº Ã Ú ½ º¾ ½µ ÚÓ Ò ÔÔÖÓ ÑÓ cos ϕ cos ϕ (ϕ ϕ ), w (ϕ ϕ ). ½ º¾ ¾µ

264 ½ º º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÝÐ Ö ØØ Ò Ò Ø Ð ¾ ½¼¼¼ p p ½¼¼ ½¼ ½ ½¼ ½¼¼ ½¼¼¼ Z ½¼¼¼¼ ÃÙÚ ½ º¾¼ ÈÓ ØØ Ò Ô Ò Ò ÙÓÖÑ ØØ Ñ Ò ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò Ó ÐÐ Ø Ò Ø Ó¹ Ö ØØ Ø Ò ØÙÐÓ Ø Ò Ú ÖØ ÐÙº ÁÒØ ÖÓ ÒÒ Ò Ð Ò Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö ÐÐ Ð ÑÖ Ò Ò Ð Ù Π = C (ϕ ϕ ) 3 C 3 (ϕ ϕ ) 3 (ϕ ϕ ). ½ º¾ µ Ì Ô ÒÓ Ñ Π ϕ = ÓØ Ò Ø Ô ÒÓÔÓÐÙØ ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ý ØÐ Ò = [ C C (ϕ ϕ ) ] ϕ ϕ ϕ. ½ º¾ µ Ã Ú Ò ½ º¾ µ ÚÙÐÐ Ò Ò ØØ ÓÙ ÚÓ Ñ Ò Ú Ò ÖØÓ Ñ Ò C Ø ÔÙÖ Ø Ú Ò ÚÓ Ñ Ò ÙÐÑ Ò ϕ ÚÐ Ø Ö ÔÔÙÚÙÙØØ ØØÚ ÝÖ ÙÓÖ µ ÓÒ Ð Ú Ú Ö ØØ ÑÒ Ý Ø Ñ Ò ϕ = µ Ø Ô Ù º Î Ö ÐÐ Ò Ý Ø Ñ Ò Ñ Ñ ÙÓÖÑ ÓÒ Ø Ô Ò ÑÔ Ñ Ø ÙÙÖ ÑÔ ÓÒ ÑÙÓØÓÚ Ö ϕ º ÃÓ Ø Ö Ò ÑÙ Ò ÐÓÑÑ Ù Ò Ð Ò Ò Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù ÚÓ Ò ØØ ÝÑÔØÓÓØØ ¹ Ø ÙÖ Ø ÓÔ Ø Ò Ð ÝÝ µ ØÝ ÐÐ ÐÐ ÑÙÓØÓÚ Ö ØØ ÑÐÐ µ Ö ÒØ ÐÐ ¹ Ú ÐÐ λ = c q c q, ½ º¾ µ λ kr Ñ λ ÓÒ ÙÓÖÑ Ô Ö Ñ ØÖ λ = N x µ λ kr ÐÓÑÑ Ù ÙÓÖÑ q ÓÒ ÐÓÑÑ Ù ÑÙÓ¹ ÓÒ ÑÔÐ ØÙ Ñ Ö q = ϕµ c c ÓÚ Ø ÖØÓ Ñ º Ê ÒØ Ò ÝØØÝØÝÑ Ò Ò Ö ÔÔÙÙ Ö ÒØ ÐÐ ÓÑ Ò Ø ÖØÓ Ñ Ø c c º ÃÓ Ø Ö Ò ÑÙ Ò ÑÙÓØÓÚ Ö ØØ ÑÒ Ö ÒØ Ò ÝØØÝØÝÑ Ò Ò ÙÖ Ø ÓÔ Ø Ò Ð ÝÝ ÑÖ Ö ÒØ Ò Ö ÝÝ Ò ÑÙÓØÓÚ Ö Ò Ú ÙØÙ ÐÐ º ÃÙÚ Ò ½ º¾ Ø Ô Ù I c = c < º ÃÓ Ø Ö Ó Ó ØØ ØØ Ø Ø Ô Ù Ö ÒÒ ÓÐ Ö Ð ÙÚ Ö ÐÐ º Ì Ô Ù II c = c > Ø Ø Ô Ù ÃÓ Ø Ö Ò ÑÙ Ò ÔØ ÝÑÔØÓÓØØ Ò Ò Ú λ [ ( max ρ c ] /3 = 3 q, ½ º¾ µ λ kr )

265 ¾ ¼ ÄÍÃÍ ½ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù ½¼¼¼ p ½¼¼ ½¼ ½ ½¼ ½¼¼ ½¼¼¼ Z ½¼¼¼¼ ÃÙÚ ½ º¾½ ÀÝ ÖÓ Ø ØØ Ò Ô Ò Ò ÙÓÖÑ ØØ Ñ Ò ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò Ó ÐÐ Ø Ò Ø ÓÖ ØØ Ø Ò ØÙÐÓ Ø Ò Ú ÖØ ÐÙº Ñ ρ ÓÒ ÑÙÓØÓÚ Ö Ò ÑÙÓ Ó Ø Ö ÔÔÙÚ ÖÖÓ Ò q ÓÒ ÑÙÓØÓÚ Ö Ò ÑÔÐ ØÙ º Ì Ô Ù III c > ÃÓ Ø Ö Ò ÑÙ Ò ÑÙÓØÓÚ Ö ÐÐ Ò Ö ÒØ Ò Ñ Ñ ÙÓÖÑ ÓÒ λ max λ kr = (q ρc ) /. ½ º¾ µ Ë ÙÒ Ö ÐÐ ÔÓÐÙÐÐ ÙÓÖÑ λ max ÔÙØÓ ÐÙ ÝÚ Ò ÒÓÔ Ø Ö ÒÒ ÓÒ ÝÚ Ò Ö ÑÙÓØÓÚ Ö ÐÐ º Ã Ú Ò ½ º¾ µ ÑÙ Ò Ò ÝØØÝØÝÑ Ò Ò Ö ÝÝ ÑÙÓØÓÚ Ö¹ ÐÐ µ ÓÒ ÐÙÓÒØ ÒÓÑ Ø ÙÐ Ó Ò Ô Ò Ò ÙÓÖÑ ØØ Ñ ÐÐ Ô ÐÐÓ ÙÓÖ ÐÐ ÔÙÖ Ø ØÙ ÐÐ ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ ÐÐ º ÆÝ ÝÒ ÙÓÖ Ö ÒØ Ø ÚÓ Ò Ò ÐÝ Ó ÔÐ Ò Ö Ø Ø Ó Ø ÒÙÑ Ö ÐÐ Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ ÙØ Ò Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÐÐº Ä Ù Ä Ñ ÓÚ Ø ÙÐ Ø ÚÙÓÒÒ ½ ØÙØ ¹ ÑÙ Ò Ð Ø ÔÙÖ Ø ØÙÒ ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÝØØÝØÝÑ Øº Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ Ò ÐÝ Ó ÙÒ ÙÓÖ Ò Ô ØÙÙ = 7.9 R = ÙÓÖ Ò ÒÒ Ô ÙÙ h =.47 Ñ Ø Ö Ð Ò ÑÑÓ ÖÖÓ Ò E = 567 ÈÓ ÓÒ Ò ÐÙ Ù ν =.3º ÑÔ Ò ØÙØ ÑÙ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÐÓÑÑ Ù ÑÙÓ Ó ÓÒ Ø Ø Ô Ù 4 Ø ÐØÓ Ò ÙÙÒÒ º Ä Ù Ä Ñ Ñ ÐÐ Ò Ú Ø ÙÓÖ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ó Ò Ò Ð ÓÐÑÙ ÐÐ ÙÓÖ Ð Ñ ÒØ Ð¹ Ð Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ ØÙÐ 4º Ð Ñ ÒØØ Ñ ÐÐ ÓÐ Ô ØÙÙ Ò ÔÙÓÐ ÐÐ 4 Ð Ñ ÒØØ Ò ÙÙÒÒ 3 Ð Ñ ÒØØ º ËÝÑÑ ØÖ Ò ÝÚ ÝØØ Ô Ò ÒØ Ð ÒØ Ñ ÐÐ ÑÙØØ ÙÐ Ñ ÐÐ ÔÓ ÐÓÑÑ Ù ÑÙÓØÓ º ÃÙÚ ½ º¾ ÓÒ Ø ØØÝ Ð Ò Ö Ø Ò ÐÓÑÑ Ù Ò ÐÝÝ Ò ÐÓÑÑ Ù ÑÙÓØÓ ¹ ÐÐ Ö ÙÒ Ó ÐÐ º Î ÑÑ ÒÔÙÓÐ Ø Ò ÙÚ Ò ÐÓÑÑ Ù ÑÙÓ ÓØ ÓÒ Ð ØØÙ Ô ØÒ Ý Ø ØÙ ØÙÐÐ ÝÐ ÒØ Ö ÐÐ Ó ÒÔÙÓÐ Ø Ò ÙÚ Ò Ú Ø Ú Ø ØÙÐÓ Ø ÓÒ Ð ØØÙ ÓØ ¹ ÙÑ ÐÐ ÝÐ ÒØ Ö Ò ÔØ Ú Ô ÑÙØØ ÖØÝÑØ ØÙ ØÙ º Ê ÙÒ ÓØ ÚØ Ø Ø Ô Ù ¹ Ú ÙØ Ñ Ö ØØÚ Ø Ð Ò Ö Ò ÐÓÑÑ Ù Ò ÐÝÝ Ò ÐÓÑÑ Ù ÑÙÓØÓ Òº ÃÙÚ ½ º¾ ÓÒ ÔÐ Ò Ö Ò Ò ÐÝÝ Ò ÙÓÖÑ Ò ÖØÝÑÒ ÚÐ Ò Ò Ö ÔÔÙÚÙÙ Ó ÓÒ Ð ØØÙ Ô ØÒ Ý Ø ØÙ ØÙÐÐ ÙÓÖ ÐÐ º ÃÙÚ ½ º¾ ÔÝ ØÝ Ð ÐÐ ÓÒ Ù ¹

266 ½ º º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÝÐ Ö ØØ Ò Ò Ø Ð ¾ ½. ½º¼ N x,koe N x,teor ¼º ¼º ¼º ¼º¾ ¼ ¼¼ ½¼¼¼ ½ ¼¼ ¾¼¼¼ ¾ ¼¼ ¼¼¼ ¼¼ R h ÃÙÚ ½ º¾¾ Ð Ò ÙÙÒÒ ÔÙÖ Ø ØÙÒ ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò Ó ÐÐ Ò Ø ÓÖ ØØ Ò Ö ØØ Ò ÙÓÖÑ Ò Ù º Ø ÐÐ Ò Ò Ð Ò Ò ÙÓÖÑ cr Ñ cr ÓÒ Ð ÐÐ Ò Ð Ò Ö Ò Ò ÐÝÝ Ò ÐÓÑÑ ¹ Ù ÙÓÖÑ Ú ¹ Ð ÐÐ ÓÒ ÝÐ ÒØ Ö Ò Ö ÙÒ Ò ÖØÝÑ Ð Ò ÙÙÒØ Ò ÒÓÖÑ Ö ØØÙ¹ Ò Ð Ò Ö Ò Ò ÐÝÝ Ò Ú Ø Ú ÐÐ ÖØÝÑÒ ÖÚÓÐÐ u cr º ÎÐ ÐÐ B ÙÓÖ ÓÖÑÓ ¹ ØÙÙ ÔÝ Ö Ý ÝÑÑ ØÖ Ø º È Ø B ÙÓÖ Ò ÝÒØÝÝ ÑÙÓØÓ Ó ÓÒ 4 ÐØÓ Ò ÙÙÒÒ º ÃÙÚ ½ º¾ ÓÒ ÝÐ ÒÒ Ø ØØÝ ÙÓÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ú ÔÖ Ñ Ö ÔÓÐÙÐÐ ÙÙÖ Ò¹ Ò Ò Ô Ø ØØ B ÙÓÖÑ Ò ÖÚÓÐÐ cr =.388 Ô Ø Ò B Ø Ð ÒÒ ÓÒ ÙÖ Ú ÙÚ ÙÓÖÑ Ò ÖÚÓÐÐ cr =.45º ÃÙÓÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÑÙÓØÓ ÑÙÙØØÙÙ ÝÚ Ò Ô Ò ÐÐ ÙÓÖ¹ Ñ Ò ÑÙÙØÓ Ò ÚÐ ÐÐº Ë ÙÒ Ö ÐÐ ÔÓÐÙÐÐ Ô ÝØÒ Ò ÙÐ Ö Ò Ô Ø Ò D ÓØ Ú Ø Ú ÓÖÑ Ø ÓÒ ÑÙÓØÓ ÓÒ Ø ØØÝ Ð ÑÑ ÙÚ ½ º¾ º Ë ÙÒ Ö ÐÐ Ô Ð ÙØÙÑ ÔÓÐÙÐÐ B D Ø Ò ÙÙÒØ Ø ÖØÝÑØ Ú Ú Ø ÑÙØØ ÙÓÖ Ò ÔÒ ¹ Ð ÙÙÒØ Ò Ò ÖØÝÑ Ô Ò Ò º È Ø B ÐÐ Ø ÚÓØ Ð Ò ÑÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö Ô Ø D ÙÓÖ Ò Ú Ö ØÓ ØÙÒÙØ Ò Ö ÓÒ ØÓÙØÙÒÙØ Ø ÚÙØÙ Òº ÃÙÚ Ø Ò Ò ÑÝ ØØ ³ÐÓÑÑÓØ³ Ú Ú Ø Ñ ÐÙÙÑÑ Ò ÙÓÖ Ò Ò Ô Òº ÂÓ ÙÚ ½ º¾ Ñ ÒÒÒ ÙÖ Ø ÓÔ Ø Ò B Ó ÔÖ Ñ Ö Ø ÔÓÐ Ù Ô Ø Ò Ò Ò ÙÓÖ ÓÖÑÓ ØÙÙ ÐÙ ÔÝ Ö Ý ÝÑÑ ØÖ Ø ÑÙØØ ÑÝ ÑÑ Ò Ò ÐÑ ÒØÙÙ Ù¹ Ú Ò Ñ Ö ØØÝ ÑÙÓØÓ Ó Ø ÓÒ Ø ØØÝ ÙÚ ½ º¾ º ÃÙÚ ½ º ¼ ÓÒ ÏÓ Ð Ú Ö Ò À Ð ÝÒ ÚÙÓÒÒ ½ ÙÐ Ñ ØÙÐÓ Ú Ø Ú ÒÐ ¹

267 ¾ ¾ ÄÍÃÍ ½ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù / kr / kr ½ ½ B ¼ ¼ ½ u/u kr ¼ ¼ ½ u/u kr ÃÙÚ ½ º¾ Ð Ò ÙÙÒÒ ÔÙÖ Ø ØÙÒ ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò Ø Ô ÒÓÔÓÐÙØº ÐÐ ÔÙÖ Ø ØÙÐÐ ÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ ÐÐ º ÈÙÖ Ø Ú ÙÓÖÑ ÓÒ ÒÝØ λ Ð Ò Ò ÖØÝÑ ÓÒ Uº ÈÖ Ñ Ö ÐÐ ÔÓÐÙÐÐ ÓÒ 77 ÙÖ Ø ÓÔ Ø ØØ ÒÒ Ò Ö Ô Ø ØØ Ó u = 4.º ÃÙ¹ u cr Ú Ò ½ º ¼ ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ Ò ÑÑ Ø ÙÒ Ö Ø Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù ÔÖ Ñ Ö Ò ÔÓÐÙÒ Ð º ÃÙÚ ½ º ½ ÓÒ Ø ØØÝ Ò ÑÑ Ò Ò ÙÒ Ö ÔÓÐ Ù Ò Ð ØØÝÚ ÙÓÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÑÙÓØÓº

268 ½ º º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÝÐ Ö ØØ Ò Ò Ø Ð ¾ F w ϕ ϕ w F = f(w) ϕ ϕ ÃÙÚ ½ º¾ ÚÓÒ Ã ÖÑ Ò Ò Ñ Ö Ö ÒÒ º Á c = ÁÁ c = ÁÁÁ c > c < λ c > λ λ λ max /λ kr q q q q ÃÙÚ ½ º¾ Ê ÒØ Ò ÑÙÓØÓÚ Ö Ö ÝÝ ÃÓ Ø Ö Ò ÑÙ Òº

269 > ¾ ÄÍÃÍ ½ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù? H! % H ' % H! ' H " H ÃÙÚ ½ º¾ Ä Ò Ö Ò Ò ÐÝÝ Ò ÐÓÑÑ Ù ÑÙÓ ÓØº

270 ½ º º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÝÐ Ö ØØ Ò Ò Ø Ð ¾ ½º½ ¼ ½º½¼¼ / kr ½º¼ ¼ n = n = 8 n = 4 n = 4 n = 8 ½º¼¼¼ ¼º ¼ ¼º ¼¼ ¼º ¼ n = 4 n = ¼º ¼¼ ¼º ¼¼ ¼º ¼¼ ½º¼¼¼ ½º½¼¼ u/u kr ½º¾¼¼ ½º ¼¼ ½º ¼¼ ÃÙÚ ½ º¾ ÔÐ Ò Ö Ò Ò ÐÝÝ Ò Ø Ô ÒÓÔÓÐ Ù º

271 ¾ ÄÍÃÍ ½ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù? H! & &? H " #? H & % " ÃÙÚ ½ º¾ ÔÐ Ò Ö Ò Ò ÐÝÝ Ò ÓÖÑ Ø ÓÑÙÓØÓ º

272 ½ º º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÝÐ Ö ØØ Ò Ò Ø Ð ¾ & = > " &? H & % ÃÙÚ ½ º¾ ÈÖ Ñ Ö ÔÓÐÙÐÐ Ó ØØ Ú ÓÖÑ Ø ÓÑÙÓØÓ º

273 = N ¾ ÄÍÃÍ ½ º ËÝÐ ÒØ Ö ÙÓÖ Ò ÐÓÑÑ Ù & $? H " # # 7 7? H ÃÙÚ ½ º ¼ ÈÖ Ñ Ö ÔÓÐ Ù Ò ÑÑ Ø ÙÒ Ö Ø ÔÓÐ Ù º &? H $ " H E = H O * E B K H? = J E = J D H E = H O 5 K J E = J D # # 7 7? H + O H + H I I 5? J E 4 E =, E I F =? J ÃÙÚ ½ º ½ Ò ÑÑ Ò Ò ÙÒ Ö Ò Ò ÔÓÐ Ù Ò Ð ØØÝÚ ÓÖÑ Ø ÓÑÙÓØÓº

Näytä lisää