a b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "a b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº"

Transkriptio

1 ÄÙ Ù ÐÙ Ø ÂÙ Ä Ö ÂÓÙÒ È Ö ÓÒ Ò ÄÙ ÐÐ ÌÑ ÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÂÓÙÒ È Ö Ó Ò ÚÙÓ Ò ¾¼¼ ¾¼¼ ÂÙ Ä Ö Ò ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ Ô ØÑ Ò ÄÙ Ù Ð٠ع ÙÖ Ò ÐÙ ÒØÓ Òº ÅÓÒ Ø Ò Ò Ò Ñ Ø ¹ Ö Ð ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ú ÓÒ Ñ ØØ ÐÐ ÐÙ ÒØÓ ÙÖ ÐÐ Ð ÑÙ Ò ÓÒ ÓÒ Ò Ú ÖÖ Ò ÝÐ ÑÖ Ø ÝÚ ÒØÚ Ñ Ø Ö Ð º ÃÙÖ ÐÐ ÓÒ ØÖÙÓ Ò ÐÙ Ù ÐÙ Ø Z Q R C Ð Ø Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙ Ø Nº Ë Ñ ÐÐ Ý Ò ÐÔ Ò Ò ÐÙ Ù ÐÙ Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ò Ö ØÝ Ø Ò ÓÑ Ò ¹ ÙÙ º ÄÙ Ù ÐÙ Ò Z Q ÓÒ ØÖÙ Ø ÓØ Ò Ò Ð ØØÝÚØ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø ÓÚ Ø Ñ Ð Ó ÙÓÖ Ú Ú ÑÙØØ Ò Ø Ö Ó Ú Ø ÝÚ Ö Ó ØÙ Ø Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Ó Ò ÝØ Øº Ê Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÒ R ÓÒ ØÖÙ Ø Ó Ù ÝÒ ÓÒÓ Ò ÚÙÐÐ ÓÒ Ñ Ò ØÝ ¹ ÐÑÔ ÑÓ Ò Ù Ò Ò ÐÝÝ Ò ÒÒ ÐØ Ö ØØ Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÒ Øݹ ÐÐ ÝÝ Ò Ó Ó ØØ Ñ Ò Òº ÃÓÑÔ ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÒ Ý Ø Ý Ó ÑÑ 3. Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ý ØÐ Ò ÝÐ Ò Ö Ø Ù Ú Ò ØÓ Ø ÑÑ Ð Ö Ò Ô ÖÙ Ð Ù Òº ÃÙÖ Ò ÙÓÖ ØØ Ñ Ò Ò Ú ÙÙÖ ÑÔ Ø ØÓ ØÓ Ò Ñ Ø Ñ ØØ Ò Ò Ô ÖÙ Ôع Ø ÐÝ Ò Ú µ ÓÙ Ó¹ÓÔÔ ÙÒ Ø Ó Ò Ð ØÝÚØ Ô ÖÙ ÑÖ Ø ÐÑØ ÓÐ Ø Ø Ò ØÙÒÒ ¹ ØÙ º ÃÙÒ Ú ØØ ÑÑ ÑÙ Ò Ð ØÓ ÑÑ ÙÖ Ò ÝØÑÑ ÐÝ ÒØ Ø ¹ Ù Ð Ø Ú ÖÙÙ Ø Ä ½ ¹ Ä Ò Ö Ò Ò Ð Ö ÓÑ ØÖ ½º ½

2 ¾ ½º ÂÓ ÒØÓ ÒÞ Ò Ð Ò Ø Ö Ð ÓØØ Ñ Ø ÐÐ Ò Ö Ø Å Ò ÒÛ Ö º Ä ÓÔÓÐ ÃÖÓÒ Ö ÄÙÓÒÒÓÐÐ ÐÐ ÐÙÚÙ ÐÐ 1,2,3,4,... Ð Ñ Ò Ò ÓÒ ØØÝÒÝØ ÝØÒÒ Ò Ø ÖÔ Ø Ð¹ Ñ Ø ÐÙ ÙÑÖ Ú ÒÒÓ Ø ØØ Ñ Ö ÓÐÑ Ò ÓÑ Ò Ò ÓÐÑ Ò Ð ¹ ÑÒ ÑÙÓ Ó Ø Ñ ÐÐ ÓÙ Ó ÐÐ ÓÒ ØÓ ÐÐ Ó Ò Ý Ø Ò Ò ÓÑ Ò ÙÙ º ÃÝØÒÒ Ò Ùع Ø ÓÚ Ø ÝÒØÝÒ Ø ÑÝ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ö ØÝ Ø Ý Ø Ò¹ ÖØÓÐ ÙØ Ó Ò ÓÒ ÙÓÑ ØØÙ ÒÓÙ ØØ Ú Ò ÑÓÒ ÒÝ Ý Ò Ø ØÒ ÐÚ ÐØ ØÙÒ¹ ØÙÚ Ð Ù ÒØ º ÅÙØØ Ñ Ø ÓÚ Ø Ò Ø Ú Ø ÐÙÚÙØ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙÚÙØ ÖÖ ¹ Ø ÓÒ Ð ÐÙÚÙØ Ø ÓÔ ÓÑÔÐ ÐÙÚÙص Ñ Ò ÐÐ ÚÓ Ò Ð Ò Ñ ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÐÐ ÐÙÚÙ ÐÐ Ò Ä ÑÑ Ñ Ò Ò Ò Ý ÝÑÝ Ò Ú Ø Ù ÝÐÐ ÓÐ Ú Ä ÓÔÓÐ ÃÖÓÒ ¹ Ö Ò ÓÑÑ ÒØØ ÑÙ ÐÐ Ò ÓØ ÑÑ Ð Ø Ó ØÙØÙÒ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò ÓÙ¹ ÓÒ N = {0,1,2,3,... } ÓØ ÃÖÓÒ Ö Ò Ø Ö Ó ØØ ÔÙ Ù Ò Ó ÓÒ ÐÙÚÙ Ø ÒÞ Ò Ð Òµº ÆÓÐÐ ÓÒ Ø ÓØ ØØÙ ÑÙ Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÓÒ Ð Ò¹ Ò ÑÙ ÚÙÙ Ý Ø Ú ÓÐ Ò ÐÙ Ù ÐÙ Ò ØÝ Ò ÒÒ ÐØ Ý Ø ÐÙÓÒ¹ ÒÓÐÐ Ò Ò Ù Ò ÐÙÚÙØ 1,2,3,4,...º ÂÓÙ Ó N Ú ÖÙ Ø Ø Ò ÐÐ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÐÐ Ý Ø Ò¹ ÖØÓÐ Ù + µ Ö ØÝ ÐÐ Ó Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÓÐ Ø ¹ Ø Ò ÒØÙ Ø Ú Ø ØÙÒÒ ØÙ º Â Ø Ó ÖØÓÐ Ù Ñ Ö ØÒ Ù Ò ÐÑ Ò Ô Ø ØØ a b = abº ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙ ÙÚÙ Ø Ð Ø Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÑÑ Ø ØØ Ò Ò ÑÙÙÒ ÐÐ Ò¹ Ö µ Ð ÐÙ Ù ÐÙ Ø Z Q R C Ò Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ö ØÝ Øº ÐÓ Ø ÑÑ ÓÖÑ Ð ÐÐ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ò ÑÖ Ø ÐÑÐÐ ÅÖ Ø ÐÑ ½º½º ÔØÝ Ò ÓÙ ÓÒ A Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÓÒ ÙÚ Ù : A A Aº Ä ÙØÓ Ñ ØÙ Ò ØÙÐÓ Ø Ñ Ö ØÒ ÝÐ Ò (a,b) = a bº Ä ÙØÓ Ñ ØÙ ÓÒ ÒØ Ó Ð ØØ Ø Ò ÓÙ ÓÒ A Ð ÓÓÒ a,b ÓÙ ÓÒ A Ð ÓÒ a bº Ñ Ö ½º¾º µ ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò Ý Ø Ò¹ ÖØÓÐ Ù ÓÚ Ø Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ¹ Ý Ø ÒÐ Ù ÓÒ ÙÚ Ù + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), ÖØÓÐ Ù ÓÒ ÙÚ Ù : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). µ ÂÓÙ ÓÒ X Ó ÓÙ ÓØ ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø X Ò ÔÓØ Ò ÓÙ ÓÒ P(X) = {A X}º ÂÓÙ ¹ Ó Ò Ð Ù Ý Ø ÓÚ Ø ÔÓØ Ò ÓÙ ÓÒ P(X) Ð ÙØÓ Ñ ØÙ (A,B) A B (A,B) A Bº µ ÇÐ ÓÓÒ X ÓÐ ÓÓÒ F(X) = {f : X X} Ò X Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÓÙ Óº ÃÙÚ Ù Ø Ò Ý ØÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙ ÓÒ F(X) Ð ÙØÓ Ñ ØÙ (f,g) f gº µ Å ØÖ Ò Ý Ø Ò¹ ÖØÓÐ ÙØ Ò 2 2 ¹Ñ ØÖ Ò ÓÙ Ó M 2 2 ÓÚ Ø Ð ÙØÓ Ñ ØÙ º Ø ÒÐ Ù ÓÒ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÑÝ 2 3 ¹Ñ ØÖ Ò ÓÙ Ó ÑÙع Ø ÖØÓÐ Ù ÓÐ º

3 ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÐÐ ÓÒ ÙÖ Ú Ø ØÖ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø µ Ó Ø Ú ÙÙ Ð Ð ØÒÒ ÝÝ ÐÐ a,b,c N µ ÓÑÑÙØ Ø Ú ÙÙ Ð Ú ÒÒ ÙÙ ÐÐ a,b N µ ØÖ ÙØ Ú ÙÙ Ð Ó ØØ ÐÙÐ ÔØ ÐÐ a,b,c Nº a + (b + c) = (a + b) + c a(bc) = (ab)c a + b = b + a ab = ba (a + b)c = ac + bc µ Ä Ý Ø ÒÐ ÙÐÐ ÓÒ Ò ÙØÖ Ð Ð Ó 0 N ÖØÓÐ ÙÐÐ ÓÒ Ò ÙØÖ Ð Ð Ó 1 N a + 0 = 0 + a = a ÐÐ a N ; a 1 = 1 a = a ÐÐ a N. ÇÒ ØÖ ÙÓÑ Ø ØØ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø ÚØ ØÓØ ÙØ Ò Ø ÓÑ Ò ÙÙ º Ñ Ö ½º º µ ÂÓÙ ÓÒ P(X) Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø ÓÚ Ø ÓÑÑÙØ Ø Ú A B = B A A B = B A ÐÐ A,B P(X)º Æ ÓÚ Ø ÑÝ Ó Ø Ú Ð ØÖ ÙØ Ú ØÓ Ø Ò Ù Ø Òº µ ÂÓÙ ÓÒ F(X) Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÓÒ Ó Ø Ú Ò Ò f (g h) = (f g) h ÐÐ f,g,h F(X)º Ä ÙØÓ Ñ ØÙ ÓÐ Ù Ø Ò Ò ÓÑÑÙØ Ø Ú Ò Ò ÐÐ ÝÐ Ò f g g f º ÅÖ Ø ÐÑ ½º º ÇÐ ÓÓÒ A ÓÐ ÓÓÒ ÓÙ ÓÒ A Ð ÙØÓ Ñ ØÙ º Ð Ó e A ÓÒ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ò Ò ÙØÖ Ð Ð Ó Ó e a = a = a e ÐÐ a Aº Ð Ó ā A ÓÒ Ð ÓÒ a A ÒØ Ð Ó Ó ā a = a ā = eº Ñ Ö ½º º µ ÃÙØ Ò Ó ØÓØ ÑÑ Ò 0 ÓÒ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ò ÙØÖ Ð Ð Ó 1 ÓÒ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò ÖØÓÐ ÙÒ Ò ÙØÖ Ð Ð Óº Í ÑÑ ÐÐ ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÐÐ ÐÙÚÙ ÐÐ ÓÐ ÒØ Ð ÓØ ÙÑÑ Ò Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ò Ù Ø Òº µ Á ÒØØ Ò Ò ÙÚ Ù id: X X id(x) = x ÓÒ ÓÙ ÓÒ F(X) Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ò Ò ÙØÖ Ð Ð Ó id f = f = f id ÐÐ f F(X). ÂÓ f F(X) ÓÒ Ø Ó Ò ÒØ ÙÚ Ù f 1 ÓÒ ÙÚ Ù Ò f ÒØ Ð Ó Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ò Ù Ø Ò f f 1 = id = f 1 f º ÌÓ ÐØ Ó f F(X) ÓÐ Ø Ó ÐÐ ÓÐ ÑÝ Ò ÒØ Ð ÓØ º µ Å ÖØ Ò ÖØÓÐ Ù ÚÖغ Ä ½µ ÓÙ Ó M 2 2 ÓÐ ÓÑÑÙØ Ø Ú Ò Ò ÐÐ ÝÐ Ò AB BAº à ÖØÓÐ Ù ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ó Ø Ú Ò Ò Ð ØÖ ÙØ Ú Ò Ò Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ù Ø Òº Å ØÖ Ò ÖØÓÐ ÙÐÐ ÓÒ ÓÙ Ó M 2 2 ÑÝ Ò ÙØÖ Ð Ð Ó ( ) 1 0 I 2 2 =. 0 1 Ä ÙØÓ Ñ ØÙ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ù ÑÑ Ò ÓÙ ÓÒ ÖØ Ò ØÙÐÓÓÒ

4 Ñ Ö ½º º ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ ÙÒ ÚÙÐÐ Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÓÙ ÓÓÒ N N (m,n) + (p,q) = (m + p,n + q)º ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò Ö ØÝ ÓÒ Ö Ñ Ö Ö Ð Ø Ó Ø º ÅÖ Ø ÐÑ ½º º Ê Ð Ø Ó ÓÙ Ó A ÓÒ ÓÙ ÓÒ A A Ó ÓÙ Óº ÂÓ R A A ÓÒ Ö Ð Ø Ó Ò Ò Ù Ò Ñ Ö ØÒ arb (a,b) Rº Ñ Ö ½º º µ ÅÖ Ø ÐÐÒ Ö Ð Ø Ó R ÓÙ Ó N ØØ Ñ ÐÐ arb b = a + 3p ÓÐÐ Ò p N. ÌÑ Ö Ð Ø Ó Ð ØØÝÝ Ò Ò ÒÓØØÙ Ò ÓÒ ÖÙ Ò Ò Ø Ó ÑÝ Ñ Ö ½º½ º µ ÅÖ Ø ÐÐÒ ÓÙ Ó P(X) Ö Ð Ø Ó R ØØ Ñ ÐÐ ARB A B. ÅÖ Ø ÐÑ ½º º ÂÓÙ ÓÒ A Ö Ð Ø Ó R ÓÒ Ö Ú Ò Ò Ó ara ÐÐ a A ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ó ÐÐ a,b A ÔØ arb = bra ØÖ Ò Ø Ú Ò Ò Ó ÐÐ a,b A ÔØ arb brc = arc; ÒØ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ó ÐÐ a,b A ÔØ arb bra = a = bº Ê Ð Ø Ó ÓÒ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Ó Ó ÓÒ Ö Ú Ò Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ØÖ Ò Ø Ú Ò Ò Ó ØØ Ò Ò Ö ØÝ Ó ÓÒ Ö Ú Ò Ò ÒØ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ØÖ Ò Ø Ú ¹ Ò Ò ØÝ ÐÐ Ò Ò Ö ØÝ Ó ÓÒ Ó ØØ Ò Ò Ö ØÝ Ð ÐÐ a,b A ÔØ Ó Ó arb Ø braº ÂÓ R ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Ò Ö ØÝ ÓÙ Ó A Ò Ò Ô Ö (A,R) ÒÓØ Ò ØÝ Ò Ö ¹ Ø Ø ØÝ ÓÙ Ó º Ñ Ö ½º½¼º µ ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò Ö ØÝ ÐÐ ÔØ n n Ö Ú ÝÝ µ n m, m n = m = n n m, m p = n pº ÒØ ÝÑÑ ØÖ ÝÝ µ ØÖ Ò Ø Ú ÙÙ µ Ä Ò Ó Ó n m Ø m n ÓØ Ò ÓÒ ÓÙ ÓÒ N ØÝ ÐÐ Ò Ò Ö ØÝ º µ ÂÓÙ ÓÒ X ÔÓØ Ò ÓÙ ÓÒ P(X) Ö Ð Ø Ó ÓÒ Ó ØØ Ò Ò ÑÙØØ ØÝ ÐÐ Ò Ò Ö ØÝ A A A B, B A = A = B A B, B C = A C ÑÙØØ ÓÙ Ó ÐÐ A,B P(X) ÚÐØØÑØØ Ô A B Ø B A Ñ Ø Ñ Ö ¹ µº ÀÙÓÑ Ó Ø µ ÂÓ a b ÚÓ Ò ÝØØ ÑÝ Ñ Ö ÒØ b aº µ ÂÓ ÓÒ Ó ØØ Ò Ò Ö ØÝ Ò Ò Ù Ò ÝØ ØÒ ÑÝ Ö Ð Ø ÓØ a < b a b a b.

5 ÀÙÓÑ ØØ < ÓÐ ÅÖ Ø ÐÑÒ ½º Ñ Ð Ö ØÝ Ö Ð Ø Ó ÐÐ ÓÐ Ö Ú Ò Òº Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓØ Ñ Ö ØÒ Ù Ò ÝÑ ÓÐ ÐÐ Ð Ó (a,b) ÓÒ Ý Ò Ö Ð ¹ Ø ÓÒ Ð Ó Ò Ò Ñ Ö ØÒ a bº ÂÓ ÓÒ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Ó Ò Ò Ó Ò Ò ÓÙ ÓÒ A Ð Ó a ÑÖ Ú Ú Ð Ò ÐÙÓ Ò [a] = {b A : a b}. ÂÓÙ ÓÒ A Ð Ó Ò ÑÖÑØ Ú Ú Ð Ò ÐÙÓ Ø ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø ÙÙ Ò ÓÙ ÓÒ ÓØ ÙØ ÙØ Ò Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓØ Ú Ø Ú A Ò Ø ÓÙ Ó Ñ Ö ØÒ A/ º Ä ÑÑ ½º½½º ÇÐ ÓÓÒ ÓÙ ÓÒ A Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Ó ÓÐ ÓÓØ a,b Aº ÌÐÐ Ò a b [a] = [b]. ÌÓ ØÙ º À Ö Ó ØÙ Ø ØÚº Ñ Ö ½º½¾º µ À ÐÔÓ Ò Ñ Ö Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Ó Ø ÓÒ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ¹ Ù Ò Ö Ð Ø Ó = º ÌÐÐ Ò [n] = {n} ÐÐ n Nº µ ÂÓÙ ÓÒ N N Ö Ð Ø Ó (m,n) (p,q) m = p ÓÒ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Óº Ì ÓÙ Ó (N N)/ ÚÓ Ò Ñ Ø ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÐÐ Ø Ú ÐÐ µ ÓÙ ÓÒ N Ò Ð ÓØ n N Ú Ø Ú Ú Ð Ò ÐÙÓ [(n,0)] = {(n,m) : m N}º µ ÅÝ ÓÙ ÓÒ N N Ö Ð Ø Ó (m,n) (p,q) mq = np ÓÒ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Óº ÌÐÐ Ð Ù ÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓØ ØÙÐÐ Ò Ø ÖÚ Ø Ñ Ò ÑÝ ÑÑ Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ Ý Ø Ý º µ Ñ Ö Ò ½º µ¹ Ó Ò Ö Ð Ø Ó ÓÐ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Óº Ë ÓÒ ÝÐÐ Ö ¹ Ú Ò Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÑÙØØ ØÖ Ò Ø Ú Ò Òº ÅÖ Ø ÐÑ Ä Ù ½º½ º ½ ÂÓ ÓÒ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÓÒ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Ó ÓÙ Ó A Ò ÓÚ Ø Ý Ø Ò ÓÔ Ú Ø Ó a b a b Ò ÙÒ a a b b º ÌÐÐ Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÑÖ Ø Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ò ÓÙ Ó A/ ÒÒ ÐÐ [a] [b] = [a b]º Ñ Ö ½º½ º ÇÐ ÓÓÒ Ö Ð Ø Ó Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Z ÑÖ Ø ÐØÝ Ò¹ Ò ÐÐ a b Ó ÓÒ k Z Ø Ò ØØ b = a + 3kº ÌÐÐ Ò ÓÒ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Ó ½µ a = a ÐÐ a Z ¾µ Ó b = a + 3k ÓÐÐ Ò k Z Ò Ò a = b + 3 ( k) µ Ó b = a + 3k c = b + 3n Ó ÐÐ Ò k,n Z Ò Ò c = a + 3(k + n)º Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓØ ÙØ ÙØ Ò ÓÒ ÖÙ Ò º Ø ÒÐ Ù ÓÒ Ý Ø Ò ÓÔ Ú ¹ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ò ÂÓ a = a + 3m b = b + 3n Ò Ò a + b = a + b + 3(m + n). Ë Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÑÖ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ò ÓÐÑ Ò Ð ÓÒ ÓÙ ÓÐÐ Z/ = {[0],[1],[2]}. ½ ÌÐÐ Ø ÐÐ Ñ Ö ØÝØ Ó Ø ÓÚ Ø Ð Ø ØÓ Ó Ú Ö Ò Ø ÙÙÐÙ ÙÖ Ò ÐØ Ò»Ø Ú Ø ÑÙ Ò

6 ¾º ÃÓ ÓÒ ÐÙÚÙØ Í ÑÑ ÐÐ ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÐÐ ÐÙÚÙ ÐÐ ÓÐ ÒØ Ð ÓØ Ý Ø Ò¹»Ø ÖØÓÐ ÙÒ Ù Ø Òº ÌÑ ÓÒ Ð Ý Ø Ý Ò ØØ ÚØ Ú ÒÒÝ ¹ ÓÐ ÙØ ÓÐ ÅÖ Ø ÐÑÒ ½º½ ÑÙ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ó Ò Ò ØÙ¹ ÐÓ Ø ÚØ ÓÐ Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÐÙ Ù µº Ì Ñ Ð ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó ÓÒ Ð Ò Ô Ò Ò Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ò Ù Ø Òº Ä ÒÒ ÑÑ ÐÙ ÐÙ Ù ÐÙ ØØ N Ø Ò ØØ Ó ÐÐ Ð ÓÐÐ ÓÒ Ø ÙÙ ¹ ØÖÙ ØÙÙÖ Ð Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Z ÒØ Ð Ó Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ù Ø Òº ÌÐÐ Ò ÑÝ Ú ÒÒÝ Ð Ù ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÐÙ Ù ÐÙ Zº Á Ò ÓÒ ÑÖ Ø ÐÐ Ó ÓÒ ÐÙÚÙØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò ÑÙÓ ÓÐÐ Ò ÖÓØÙ Ò º ÂÓ m n ÓÚ Ø ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÐÙ Ù m n Ò Ò ÖÓØÙ m n ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÙÓÒÒÓй Ð Ò ÐÙ ÙÒ ÓÒ Ý ØÐ Ò n+x = m Ö Ø Ù x Nº ÌÓ ÐØ ØÑ Ñ ÐÙÓÒÒÓй Ð Ò Ò ÐÙ Ù x ÚÓ Ò ØØ ÖÓØÙ Ò Ö ØØ ÑÒ ÑÓÒ ÐÐ Ö Ø Ú ÐÐ º Ö ØÝ Ø ÙÓÑ Ø Ò ØØ m n = p q m + q = p + n. ÅÙØØ Ø Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ ÒØÝÝ Ú Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÓØ Ò Ó Ò ÔÙÓÐ Ò Ý ØÐ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÐÐ m,n,p,q N Ö ÔÔÙÑ ØØ Ø ÓÒ Ó m n p qº ÌÑÒ Ú ÒÒÓÒ ÓÔ Ø Ñ Ò ÑÖ ØØ Ð ÑÑ ÓÙ ÓÓÒ N N Ö Ð Ø ÓÒ ØØ ¹ Ñ ÐÐ ½µ (m,n) (p,q) m + q = p + n. À Ú ÒÒÓÐÐ Ø ØÑ Ø Ö Ó ØØ ÙÙÖ Ø ØØ ÐÙÚÙ ÐÐ m n ÓÒ Ñ ÖÓØÙ Ù Ò ÐÙÚÙ ÐÐ p qº ÃÙÚ ½º Ê Ð Ø ÓÒ ÐÙÓ Ø [(0,1)] [(0,0)] [(1,0)]º Ä ÑÑ ¾º½º Ã Ú ÐÐ ½µ ÑÖ Ø ÐØÝ Ö Ð Ø Ó ÓÒ ÓÙ ÓÒ N N Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Óº

7 ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓØ m,n,p,q,r,s Nº ÌÐÐ Ò ½µ (m,n) (m,n) Ó m + n = m + nº ¾µ (m,n) (p,q) m + q = p + n p + n = m + q (p,q) (m,n)º µ (m,n) (p,q) = m+q = p+n (p,q) (r,s) = p+s = r+qº Ä Ñ ÐÐ ÒÑ Ý ØÐ Ø Ý Ø Ò Ò Ò ÒÔ (m + q) + (p + s) = (p + n) + (r + q) (m + s) + (p + q) = (r + n) + (p + q). ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ ÙÒ ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ ÙÓÑ ØØ Ø Ø ÖÚ Ø Ú ÒÒÝ Ð Ù µ Ø Ø ÙÖ ØØ m + s = r + n, ÓØ Ò Ö Ð Ø ÓÒ ÑÖ ¹ Ø ÐÑÒ ÒÓ ÐÐ (m,n) (r,s). ÇÐ ÑÑ Ó Ó ØØ Ò Ø ØØ ÓÒ Ö Ú Ò Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ØÖ Ò Ø Ú Ò Ò ÓØ Ò ÓÒ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Óº ÆÝØ ÚÓ ÑÑ ÑÖ Ø ÐÐ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÒ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓØ Ú Ø Ú Ò Ø ÓÙ ÓÒ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º¾º ÃÓ ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó ÓÒ Z = (N N)/, Ñ (m,n) (p,q) m + q = p + nº Å Ö Ø ÑÑ Ô Ö Ò (m,n) N N ÑÖÑ Ú Ú Ð Ò ÐÙÓ Ø Ó ÐÝ Ý Ø Ú Ò [m,n] = [(m,n)] Zº ÃÓ ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÑÖ Ø ÐÐÒ ØØ Ñ ÐÐ ¾µ [m,n] + [p,q] = [m + p,n + q] ÖØÓÐ Ù ØØ Ñ ÐÐ µ [m,n] [p,q] = [mp + nq,mq + np]. ÀÙÓÑ ÙØÙ µ Ä ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ò ÑÖ Ø ÐÑØ ÓÚ Ø Ö Ú ÃÙÒ [m,n] ¹ Ø ÐÐ Ò ÖÓØÙ Ò m n Ò Ò Ð Ù Ø ¾µ µ Ú Ø Ú Ø Ð Ù Ø (m n) + (p q) = (m + p) (n + q) (m n)(p q) = (mp + nq) (mq + np). µ ÃÓ ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø ÓÚ Ø ÝÚ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ º ÌÑ Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ò ØÙÐÓ Ø ÚØ Ö ÔÙ Ú Ú Ð Ò ÐÙÓ Ø Ú Ð ØÙ Ø Ù Ø Ø º ÌÓ Ø ÑÑ ØÑÒ Ý Ø ÒÐ ÙÐÐ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ (m,n ) [m,n] (p,q ) [p,q] ÓÐÐÓ Ò Ö Ð Ø ÓÒ ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò ÔØ µ m + n = m + n p + q = p + q. ÃÓ Ý Ø ÒÐ Ù ÑÖ Ø ÐØ Ò ØØ Ñ ÐÐ [m,n] + [p,q] = [m + p,n + q] Ò Ò ÒÝØ ØÝØÝÝ Ó Ó ØØ ØØ µ [m + p,n + q] = [m + p,n + q ]. Ä Ñ ÐÐ Ó Ò µ Ý ØÐ Ø Ý Ø Ò Ò (m + n ) + (p + q ) = (m + n) + (p + q)

8 Ð (m + p) + (n + q ) = (m + p ) + (n + q). ÅÙØØ ØÐÐ Ò Ò (m + p,n + q) (m + p,n + q ) Ñ Ø µ ÙÖ Ä ÑÑ Ò ½º½½ ÒÓ ÐÐ º à ÖØÓÐ Ù Ø ÐÐÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚÒº ÀÙÓÑ ÙØÙ ÐÐ Ò ÙÓÑ ÙØÙ Ò µ¹ Ó Ò ØÙÐÓ ÚÓ Ò ÐÑ Ø ÑÝ Ù¹ Ö Ú Ø ÃÓ ½º ÑÖ Ø ÐØÝ ÓÙ ÓÒ N N Ð ÙØÓ Ñ ØÙ (m,n) + (p,q) = (m + p,n + q) ÓÒ Ý Ø Ò ÓÔ Ú Ó ÓÒ ÐÙÚÙØ ÑÖ ØØ Ð ÚÒ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ò Óй ÐÓ Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ Ù Ò Ú Ø Ú Ò Ø Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ò Ú Ö¹ Ø Ó Ø Ò ½º½ µº ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÝÐ ØÝÚØ ÑÝ Ó ÓÒ ÐÙÚ٠й Ð Ð ÐÐ Ó ÓÒ ÐÙÚÙ ÐÐ Ò ÒØ Ð Ó Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ù Ø Ò Ä Ù ¾º º µ ÃÓ ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÖØÓÐ Ù ÓÚ Ø Ó Ø Ú Ð ÐÐ a,b,c Zº a + (b + c) = (a + b) + c a(bc) = (ab)c µ ÃÓ ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÖØÓÐ Ù ÓÚ Ø ÓÑÑÙØ Ø Ú Ð ÐÐ a,b Zº a + b = b + a ab = ba µ ÃÓ ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÖØÓÐ Ù ÓÒ ØÖ ÙØ Ú Ò Ò Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ù Ø Ò Ð ÐÐ a,b,c Zº (a + b)c = ac + bc µ ÃÓ ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ò ÙØÖ Ð Ð Ó ÓÒ [0,0] ÖØÓÐ ÙÒ Ò ÙØÖ Ð Ð Ó ÓÒ [1,0]º µ ÂÓ ÐÐ Ð ÓÐÐ [m,n] Z ÓÒ Ú Ø ÐÙ Ù [n,m] Z Ð ÒØ Ð Ó Ý Ø Ò¹ Ð ÙÒ Ù Ø Òµ [m,n] + [n,m] = [0,0]. ÌÓ ØÙ º µ ÌÓ Ø Ø Ò Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ó Ø Ú ÙÙ º ÇÐ ÓÓØ a = [m,n] b = [p,q] c = [r,s] Ó ÓÒ ÐÙ Ù º ÃÝØØ Ò ÝÚ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ó Ø Ú ÙÙØØ ÑÑ (a + b) + c = [m + p,n + q] + [r,s] = [(m + p) + r,(n + q) + s] = [m + (p + r),n + (q + s)] = [m,n] + [p + r,q + s] = a + (b + c). à ÖØÓÐ ÙÒ ØØ ÐÝ Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º µ À Ö Ó ØÙ Ø ØÚº µ À Ö Ó ØÙ Ø ØÚº µ [m,n] + [0,0] = [m,n] [m,n][1,0] = [m + 0,0 + n] = [m,n]º

9 µ ÆÝØ [m,n]+[n,m] = [m+n,n+m]º ÌÓ ÐØ ÐÐ k N ÔØ (k,k) (0,0) ÐÐ k + 0 = 0 + kµ ÓØ Ò [k,k] = [0,0] Ö ØÝ Ø [m + n,n + m] = [0,0]º Ë Ô [m,n] + [n,m] = [0,0]º Å Ö ÒØ Å Ö Ø ÑÑ Ó ÓÒ ÐÙÚÙÒ a = [m,n] Z Ú Ø ÐÙ Ù a ÓÐÐÓ Ò Ð Ù Ò ¾º Ô ÖÙ Ø ÐÐ a = [n,m]º ÀÙÓÑ ØØ ØÐÐ Ò a = [0,1][m,n]º ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º ÅÖ ØØ Ð ÑÑ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ú ÒÒÝ Ð ÙÒ : Z Z Z ØØ Ñ ÐÐ a b = a + ( b)º ÃÓ ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÖØÓÐ ÙÒ Ù Ø Ò ÒØ Ð Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÒÓ Ø Ò ÐÙÚÙ ÐÐ [1,0] [0,1] ØÓØ µ ÓØ Ò ÖØÓ¹ ÓÐ Ù Ò Ù Ø Ò Z ÓÒ Ú Ð Ð Ò Ô Ò ÐÙ Ù ÐÙ Ø Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ô Ð ÑÑ ÑÝ ÑÑ Òº À ÐÙ ÑÑ ØØ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó ÓÒ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÒ Ð ÒÒÙ ÓØ Ò ÓÙ ÓÒ N ØÙÐ ÓÐÐ ÓÙ ÓÒ Z Ó ÓÙ Óº ÃÙ Ø Ò Ò Z ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÓÙ ÓÒ N N ØÖ Ø Ò Ø ÓÙ ÓÒ N ÓÐ ØÑÒ ÓÙ ÓÒ Ó ÓÙ Óº ÎÓ ÑÑ Ö¹ Ø ØÑÒ ÓÒ ÐÑ Ò Ø ÑÐÐ Ñ Ø Ñ Ø ÝÚ Ò Ù Ò ÝØ ØÝÒ Ø ÑÔÙÒ Ñ ¹ Ø ÑÑ ÓÙ ÓÒ N ÓÔ Ú Ò ÓÙ ÓÒ N Ò Ø Ú Òµ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ó ÓÙ ÓÒ Ò º Ä Ù ¾º º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÙÚ Ù i: N Z ØØ Ñ ÐÐ i(n) = [n,0]º ÌÐÐ Ò i ÓÒ Ò Ø Ó ÓÐÐ ÔØ ÐÐ m,n Nº i(m + n) = i(m) + i(n) i(mn) = i(m)i(n) ÌÓ ØÙ º ÌÓ Ø Ø Ò ÐÙ Ò Ø Ú ÝÝ ÂÓ i(n) = i(m) Ò Ò [n,0] = [m,0]º ÅÙØØ ØÐÐ Ò n + 0 = m + 0 ÓØ Ò n = mº Ë Ô i ÓÒ Ò Ø Óº ÇÐ ÓÓØ ØØ Ò m,n Nº ÌÐÐ Ò i(m + n) = [m + n,0] = [m,0] + [n,0] = i(m) + i(n) Ú Ø Ú Ø i(mn) = [mn,0] = [m,0][n,0] = i(m)i(n). Ä Ù Ò ¾º ÑÙ Ò ÙÚ Ù Ø i Ò Ø Ó i: N i(n) Z Ó ¹ ÐÝØØ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ð ÓÐ Ñ Ö ØÝ Ø Ð Ø Ò Ó ÐÙÚÙØ m n Ý Ø Ò Ø ÖÖÓØ Ò Ó Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò ÐÙ Ù Ò Ú Ú Ø Ú Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò [m,0] [n,0]º ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò Ö ØÝ Ö Ð Ø Ó ÚÓ Ò ÑÝ Ð ÒØ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÓÒ Zº ÅÙ Ø ØØ ÓÙ ÓÒ X Ö Ð Ø Ó R ÓÒ Ó ØØ Ò Ò Ö ØÝ Ó ÓÒ Ö Ú Ò Ò ÒØ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ØÖ Ò Ø Ú Ò Òº ÂÓ Ð ÐÐ a,b X ÔØ arb Ø bra Ò Ò R ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Ò Ö ØÝ º ÂÓ R ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Ò Ö ØÝ ÓÙ Ó X Ò Ò (X,R) ÓÒ ØÝ Ò Ö Ø ØØݺ ÅÖ Ø ÐÑ ¾º º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÓÙ ÓÒ Z Ö Ð Ø Ó ØØ Ñ ÐÐ [m,n] [p,q] m + q p + n. ÀÙÓÑ Ó Ø µ ÀÙÓÑ ØØ Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ ÒØÝÝ Ú Ò ÓÙ ÓÒ N Ö ØÝ º µ ÃÙÒ [m,n] Ø ÐÐ Ò ÖÓØÙ m n Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑ ÒÓÓ m n p q m + q p + n.

10 ½¼ Ä Ù ¾º º ÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝ Ö Ð Ø Ó ÓÒ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÒ Z ØÝ ÐÐ Ò Ò Ö ØÝ º Ä ÐÐ m,n N ÔØ i(m) i(n) m n. ÌÓ ØÙ º ½µ Ç Ó Ø Ø Ò ÐÙ ØØ Ö Ð Ø Ó ÓÒ ÝÚ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ ÇÐ ÓÓÒ [m,n] [p,q] ÓÐ ÓÓØ (m,n ) [m,n] (p,q ) [p,q]º ÌÐÐ Ò m+q p+n ØÓ ÐØ m+n = m +n p+q = p +q Ô Ø Ó Ó ØØ ØØ ÑÝ m +q p +n º ÅÙØØ Ò Ò ÓÒ ÐÐ (m + q ) + (p + n) = (m + n) + (p + q ) = (m + n ) + (p + q) = (m + q) + (p + n ) (p + n) + (p + n ). ¾µ Ì Ö Ø Ø Ò ØØ Ò ØØ Ó ØØ Ò Ö ØÝ Ò Ú Ø ÑÙ Ø ØÝØØÝÚØ [m,n] [m,n] ÓÒ ÐÚ ÂÓ [m,n] [p,q] [p,q] [m,n] Ò Ò m + q p + n m + q p + n ÓØ Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò Ö ØÝ Ò ÒØ ÝÑÑ ØÖ ÝÝ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ m + q = p + n Ð [m,n] = [p,q] ÂÓ [m,n] [p,q] [p,q] [r,s] Ò Ò m + q p + n p + s r + q ÓÐÐÓ Ò m + q + p + s p + n + r + q, Ñ Ø ÙÖ m + s r + n Ð [m,n] [r,s]º µ ÇÐ ÓÓØ [m,n],[p,q] Zº ÃÓ ÓÒ ÓÙ ÓÒ N ØÝ ÐÐ Ò Ò Ö ØÝ Ò Ò ÒÝØ Ó Ó m + q p + n Ø m + q p + n ÓØ Ò [m,n] [p,q] Ø [m,n] [p,q]º Ë Ø Ò ÓÒ ÓÙ ÓÒ Z ØÝ ÐÐ Ò Ò Ö ØÝ º µ ÇÐ ÓÓØ m,n Nº ÌÐÐ Ò i(m) i(n) [m,0] [n,0] m + 0 n + 0 m n. ÅÖ Ø ÐÐÒ ÒÝØ ÔÓ Ø Ú Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Z + ØØ Ñ ÐÐ ÂÓÙ Ó Z + = {[k,0] Z : k N, k 0}. Z + = {[0,k] : k N, k 0} ÒÓØ Ò ÔÙÓÐ Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó º Å Ö ØÒ Ð 0 = [0,0] Zº ÌÐÐ Ò ÙÖ Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÔØ ÚØ Ä ÑÑ ¾º º µ ÃÙÒ a,b Z + Ò Ò a + b Z + ab Z + º µ Z = Z + {0} Z + º µ Z + Z + = º µ à ÐÐ a Z ÔØ a 2 Z + {0}º ÌÓ ØÙ º µ ÇÐ ÓÓØ a = [m,0], b = [n,0] m,n Nº ÌÐÐ Ò a + b = [m + n,0]º ÃÓ m + n N m + n 0 Ò Ò a + b Z + º Ë ÑÓ Ò ab = [mn,0] Z + º µ ÇÐ ÓÓÒ a = [m,n] Zº ÂÓ m = n Ò Ò a = 0 Ú ÖØ Ä Ù Ò ¾º Ó Ò µ ØÓ ØÙ Òµº ÂÓ Ø m > n Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ k N k 1 Ø Ò ØØ m = n+kº ÅÙØØ ØÐÐ Ò m+0 = k +n Ð [m,n] = [k,0] ÓØ Ò a Z + º Î Ø Ú Ø Ó m < n Ò Ò Ð ÝØÝÝ k N k 1 Ø Ò ØØ m + k = 0 + nº ÌÐÐ Ò [m,n] = [0,k] ÓØ Ò

11 ½½ a Z + º ÃÓ Ó Ù ÐÐ Ø ÐÐÝ Ø Ú ØÓ Ó Ø ÓÒ Ò ÚÓ Ñ Ò Ò Ú Ø ÙÖ º µ À Ö Ó ØÙ Ø ØÚº µ À Ö Ó ØÙ Ø ØÚº ËÓÔ ÑÙ Ì Ø Ñ Ø ÑÑ ÐÙ Ù ÐÙ Ò N Ú Ø Ú Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ó ÓÙ ÓÒ i(n) = Z + {0} Ò Ñ Ö Ø ÑÑ ÐÐ n N n = [n,0] Z. ÌÐÐ ØÙÐ ÒÒ ÐÐ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ø N ØÙÐ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÒ Z Ó ÓÙ Óº Ä Ù Ò ¾º Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ó Ò Ò ÒÓÐÐ Ø ÔÓ Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÓÒ Ó Ó ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ø Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò ÐÙ Ùµ Ø ÓÒ ÙÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ó Ó¹ Ò ÐÙÚÙÒ Ú Ø ÐÙ Ù Ð Ò Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº Å Ö Ø ÑÑ Ò Ø Ó ÐÐ n N n = [0,n] Z. ÀÙÓÑ ÙØÙ µ ÃÙÒ [m,n] Z Ò Ò ÐÐ Ø Ñ Ö ÒØ ÝØØ Ò ÚÓ ÑÑ Ö¹ Ó ØØ ØØ [m,n] = [m,0] + [0,n] = m + ( n) = m n Ð ÐÙ Ù [m,n] ÓÒ ØÓ ÐÐ ÖÓØÙ m nº µ ÃÓ ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ö ØÝ ÚÓ Ø Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÑÝ ÓÙ ÓÒ Z + ÚÙÐÐ ÐÐ ¹ ÐÐ a,b Z ÔØ a b b a Z + {0} (= N ) Ø Ý ØÔ ØÚ Ø Ø Ý Ø Ý ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÑÑ Òµ a < b b a Z + ; Ý ØÝ Ó Ø Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º ÌÓ Ø Ø Ò Ú Ð ÑÙÙØ Ñ Ý ÝÐÐ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ò ÓÑ Ò ¹ ÙÙ º Ä ÑÑ ¾º º µ ÂÓ a,b,c Z a + c = b + c Ò Ò a = bº µ ÂÓ a,b Z ab = 0 Ò Ò a = 0 Ø b = 0º µ ÂÓ a,b Z c Z \ {0} ac = bc Ò Ò a = bº ÌÓ ØÙ º µ ÃÓ c + ( c) = 0 Ò Ò ÓÐ ØÙ Ø a + c = b + c ÝØØ Ò ÑÑ a = a + 0 = a + (c + ( c)) = (a + c) + ( c) = (b + c) + ( c) = b + (c + ( c)) = b. µ ÂÓ a = 0 Ò Ò Ú Ø ÙÖ ÓØ Ò ÚÓ ÑÑ ÓÐ ØØ ØØ a 0º Ä ÑÑ Ò ¾º Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÒÝØ Ð ÝØÝÝ k N k 1 Ø Ò ØØ a = [k,0] Ø a = [0,k]º ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ b = [p,q] Zº ÂÓ a = [k,0] Ò Ò [0,0] = ab = [k,0][p,q] = [kp,kq], ÓØ Ò kp = kqº ÃÓ k 1 Ò Ò Ø Ø ÙÖ N Ò ÖØÓÐ ÙÒ ÓÑ Ò ÙÙ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ØØ p = q ÓÐÐÓ Ò b = [p,p] = 0º Ì Ô Ù a = [0,k] Ø ÐÐÒ Ú Ò Ú Ø Ú Ø º µ Ë ÙÖ µ¹ µ¹ Ó Ø Ö Ó ØÙ Ø ØÚº

12 ½¾ À ØÓÖ Æ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ø Ú Ø Ò Ó ÝÚ Ò Ú Ö Ò Ð ÒØ Ð Ð Ø ÝÐ Ò ÙÚ Ñ Ò Ú Ð º Ò ÑÑ Ò Ò ØÙÒÒ ØØÙµ Ö Ø Ð¹ ÑÐÐ Ò Ò Ò Ø Ú Ø Ò ÐÙ Ù Ò ÒÓÐÐ Ò µ Ö ØÑ Ø Ò ØÝ Ð ÝØÝÝ ÒØ Ð Ò Ö ¹ Ñ ÙÔØ Ò ¼µ Ø Øº ÁÒØ Ø Ò Ø Ú Ø ÐÙÚÙØ Ð Ú ÚØ Ø Ø Ö Ò ÐÐ Ò ÙÖÓÓÔÔ Ò ÑÙØØ Ò Ò ÝØØ ÓÐ ÐÙ ÝÚ Ò Ú Ö ÙØÙÒÙØØ º Ñ Ö ¹ Ð Ö ÐÐ Ø Ò Ý ØÐ Ò Ò Ø Ú Ø ÙÙÖ Ø Ø ØØ Ò Ý Ø Ñ ØØ Ø ÙÓÑ Ó Ñ Ø¹ Ø Ú Ð ½ ¼¼¹ÐÙÚÙÐÐ º Ò ÑÑ ÙÙ Ò Ò Ñ Ø Ñ Ø Ó ÓØ ØØ Ð ÚØ Ò Ø Ú ÐÙ Ù ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ó Ò ÐÙ Ù Ö Ø ÐÑ ÓÐ Ú Ø Å Ð ËØ Ð ½ ½ Ë µ Ê Ð ÓÑ ÐÐ ½ ¾ ½ ¾ ÁØ Ð µº ØÐ Ò Ò Ø Ú Ø Ö Ø ÙØ ÓÚ Ø Ð ÐÐ Ò Ò Ì ÓÑ À ÖÖ ÓØ Ò ½ ¼ ½ ¾½ Ò Ð ÒØ µ Ð ÖØ Ö Ð Ò ½ ½ ¾ Ê Ò»ÀÓÐÐ ÒØ µ Ø ÓØ ÚØ Ù Ø Ò Ò ØÙÐÐ Ø ÓÑ Ò Ò Ò ÓÚ Ò ØÙÒÒ ØÙ º Ö Ð ÓÐ ÐÑ Ø ÑÝ Ò ÑÑ Ó ØØ ØÙ Ò Ø¹ Ø Ò Ø Ú Ø ÐÙÚÙØ ØØÙÚ Ø Ú Ø Ò ÙÙÒØ Ò ÔÓ Ø Ú ÐÙ Ù Ò Ò Òº ÌÑ ØÝ ÝÐ ØÝ ½ ¼¼¹ ½ ¼¼¹ÐÙÚÙ ÐÐ ÙÒ Ò ÐÝÝØØ ÓÑ ØÖ Ð Ø¹ Ø Ò ÝØØ ÓÓÖ Ò ØØ Ð Ø Ó ÒØÝ ÑÝ Ò Ø Ú ÐÙ Ù º ÔÐÙÙÐÓ Ò Ø Ú ÐÙ Ù Ó Ø Ò ÓÐ Ù Ø Ò Ò ÝÚ Ò ÝÐ Ø Ú Ð ½ ¼¼¹ ½ ¼¼¹ÐÙÚÙ ÐÐ Òº Á Ò Ø Ú Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÑÖ ØØ Ð Ñ Ø ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò Ô Ö Ò Ú Ú Ð Ò ÐÙÓ Ò ÓÒ Ô Ö Ò Ä ÓÔÓÐ ÃÖÓÒ Ö ÐØ ½ ¾ ½ ½ Ë µ ÚÙÓ ÐØ ½ º ÀÒ Ò ØÝ Ò ØÓ Ò ÔÓ ÓÒ Ò Ú ÖÖ Ò ØÐÐ ÙÖ ÐÐ ÝØØÑ Øѹ Ñ ÓØ Ð ÑÔÒ ÓÒ Ê Ö Ò Ò ½ ½ ½ ½ Ë µ ÑÖ Ø ÐÑ ÚÙÓ¹ ÐØ ½ ½ º º Ê Ø ÓÒ Ð ÐÙÚÙØ ÒÓ Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙØ Ó ÐÐ ÓÒ ÒØ ÐÙ Ù ÖØÓÐ ÙÒ Ù Ø Ò ÓÚ Ø 1 1º ÌÓ ¹ ÐØ ÓÐ Ù ÓÒÒ ØÙÙ Ó ÐÐ Ò Ó ÓÒ ÐÙÚÙ ÐÐ ÑÙØØ ÐÐ º ÂÓ Ù Ø Ò Ò a,b,c,d Z Ó ÑÖØ a b c d ÓÚ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ò a b = c ad = bc; d Ñ Ö 12 3 = = ÌÑ Ú ÒØÓ Ó Ø Ñ Ø ÑÖ ØØ Ð ÑÒ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙÚÙØ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÑÙÓ¹ ÓÐÐ Ø Ò Ó ÑÖ Ò ÚÙÐÐ Ñ Ò Ø Ô Ò Ù Ò Ó ÓÒ ÐÙÚÙØ ÑÖ Ø ÐØ Ò ÐÙÓÒ¹ ÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò ÑÙÓ ÓÐÐ Ò ÖÓØÙ Ò º Å Ö ØÒ Z = Z \ {0} ÑÖ Ø ÐÐÒ Ö Ð Ø Ó ÓÙ Ó Z Z ØØ Ñ ÐÐ µ (a,b) (c,d) ad = bc. Ä ÑÑ º½º Ã Ú ÐÐ µ ÑÖ Ø ÐØÝ Ö Ð Ø Ó ÓÒ ÓÙ ÓÒ Z Z Ú Ú Ð Ò Ö ¹ Ð Ø Óº ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓØ a,c,e Z b,d,f Z º ÌÐÐ Ò ½µ (a,b) (a,b) Ó ab = baº ¾µ (a,b) (c,d) ad = bc cb = da (c,d) (a,b)º µ (a,b) (c,d) = ad = bc (c,d) (e,f) = cf = deº à ÖØÓÑ ÐÐ ÒÑ Ý ØÐ Ø ÔÙÓÐ ØØ Ò Ò (ad)(cf) = (bc)(de), Ò ÒÔ (af)(cd) = (be)(cd).

13 ÂÓ ÒÝØ cd 0 Ò Ò Ä ÑÑ Ò ¾º µ¹ Ó Ò ÒÓ ÐÐ af = be ÓÐÐÓ Ò (a,b) (e,f)º ÂÓ Ø cd = 0 Ò Ò Ä ÑÑ Ò ¾º µ¹ Ó Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ c = 0 Ó d Z µ ÓØ Ò ÑÝ ad = bc = 0 de = cf = 0. ÃÓ ÐÐ Ò d 0 Ò Ò a = 0 e = 0º Æ ÒÔ af = 0 = be ÓØ Ò Ø Ò Ø Ô Ù (a,b) (e,f)º ÃÓ ÓÒ Ö Ú Ò Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ØÖ Ò Ø Ú Ò Ò ÓÒ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Óº ÅÖ Ø ÐÑ º¾º Ê Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó ÓÒ Q = (Z Z )/, Ñ (a,b) (c,d) ad = bcº Ð ÓÒ (a,b) Z Z ÑÖÑ Ú Ú ¹ Ð Ò ÐÙÓ Ñ Ö ØÒ ÐÐ Ò ÐÝ Ý Ø [a,b] = [(a,b)] Qº Ê Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÑÖ Ø ÐÐÒ ØØ Ñ ÐÐ [a,b] + [c,d] = [ad + bc,bd] ½ ÖØÓÐ Ù [a,b][c,d] = [ac,bd]. ÀÙÓÑ ÙØÙ µ ÃÓ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙÚÙØ ÑÖ ØØ Ð Ú Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Ó ÔÓ Ù¹ ØÙÙ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÖØÓÐ ÙÙÒ ØÙÐ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÖØÓÐ Ù Ø ÐÙÓÒÒÓÐÐ ¹ ÑÑ Ò Ò Ò Ò Ù Ò Ý Ø ÒÐ Ù Ø º µ Ä ÙØÓ Ñ ØÙ Ø ÓÒ ÐÐ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ Ö Ú Ø ÃÙÒ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù [a,b] Ø ÐÐ Ò Ó ÑÖÒ a b Ò Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÑÙÓ ÓÒ ÖØÓÐ Ù ÑÙÓ ÓÒ a b + c ad + bc = d bd a b c d = ac bd. µ Ê Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø ÓÚ Ø ÝÚ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ º ÆÝØ ØÒ ØÑ Ý Ø ÒÐ ÙÐÐ ÇÐ ÓÓØ (a,b ) [a,b] (c,d ) [c,d]º È Ø Ó Ó ØØ ØØ Ð ØØ Ð Ý ØÔ ØÚ Ø µ ÅÙØØ Ó a b = b a c d = d c Ò Ò [a d + b c,b d ] = [ad + bc,bd] (a d + b c )(bd) = (b d )(ad + bc) a d bd + b c bd = b d ad + b d bc. a d bd = (a b)(d d) = (b a)(d d) = b d ad b c bd = (c d)(b b) = (d c)(b b) = b d bc, ÓØ Ò Ý ØÐ µ Ô Ø Ô Ò Ø Ò Ú Ø ÓÒ ØÓ Ø ØØÙº à ÖØÓÐ Ù Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º Å Ö ÒØ Å Ö Ø ÑÑ Ø Ó Ù Ò [p,q] = p q = p/qº ÅÙ Ø Ù Ø Ò Ò ØØ Ø Ö Ó Ø ÑÑ ØÐÐ Ñ Ö ÒÒÐÐ Ô Ö Ò (p,q) Z Z ÑÖÑ Ú Ú Ð Ò ÐÙÓ º

14 ½ Ã Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ò ÝÚØ ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÔØ ÚØ ÑÝ Ö Ø ÓÒ ¹ Ð ÐÙ Ù Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÐÐ Ð Ó ÐÐ ÒÓÐÐ Ø ÔÓ Ú ÐÐ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙÚÙÐÐ Ò ÒØ Ð Ó ÖØÓÐ ÙÒ Ù Ø Ò Ä Ù º º µ Ê Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÖØÓÐ Ù ÓÚ Ø Ó Ø Ú º µ Ê Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÖØÓÐ Ù ÓÚ Ø ÓÑÑÙØ Ø Ú º µ Ê Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÖØÓÐ Ù ÓÒ ØÖ ÙØ Ú Ò Ò Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ù Ø Òº µ Ê Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ò ÙØÖ Ð Ð Ó ÓÒ 0 = [0,1] ÖØÓÐ ÙÒ Ò Ùع Ö Ð Ð Ó ÓÒ 1 = [1,1]º µ ÂÓ ÐÐ [p,q] Q ÓÒ Ú Ø ÐÙ Ù [ p,q] Q Ð ÒØ Ð Ó Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ù Ø Òµ [p,q] + [ p,q] = [0,1]. µ ÂÓ ÐÐ [p,q] Q \ {[0,1]} ÓÒ ÒØ ÐÙ Ù [q,p] Q \ {[0,1]} Ð ÒØ Ð Ó ÖØÓÐ ÙÒ Ù Ø Òµ [p,q][q,p] = [1,1]. ÌÓ ØÙ º µ Ë ÙÖ Ñ Ð Ó ÙÓÖ Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ò Ó Ø Ú ¹ ÙÙ Ø Ñ Ö [a,b] ( [c,d][e,f] ) = [a,b][ce,df] = [a(ce),b(df)] = [(ac)e,(bd)f] =... µ Ë ÙÖ Ñ Ð Ó ÙÓÖ Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ò ÓÑÑÙØ Ø Ú ÙÙ Ø Ñ Ö µ À Ö Ó ØÙ Ø ØÚº µ À ÐÔÔÓ Ð Ùº [a,b] + [c,d] = [ad + bc,bd] = [cb + da,db] = [c,d] + [a,b]. µ Ì Ö ØØ ÙÓÑ Ø ØØ [0,m] = [0,1] ÐÐ m Z º µ Ì Ö ØØ ÙÓÑ Ø ØØ [m,m] = [1,1] ÐÐ m Z º ÀÙÓÑ ÙØÙ ÆÓÐÐ ÐÐ 0 = [0,1] ÚÓ ÓÐÐ ÒØ ÐÙ Ù Ó ÐÐ [p,q] Q [0,1][p,q] = [0 p,1 q] = [0,q] [1,1] = 1. Å Ö ÒØ Å Ö Ø ÑÑ ÐÙÚÙÒ a = [p,q] Q Ú Ø ÐÙ Ù a = [ p,q] ÒØ ¹ Ð ÓØ 1 a = a 1 = [q,p]º ÅÖ Ø ÐÑ º º ½µ ÅÖ ØØ Ð ÑÑ ÙÙ Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ò ÓÐ ÙÒ ÓÙ Ó ¹ Q = Q \ {0} ØØ Ñ ÐÐ a/b = a b 1 ÐÐ a,b Q Ñ b 1 ÓÒ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙÚÙÒ b 0 ÒØ ÐÙ Ùº ÃÝØÑÑ ÑÝ Ñ Ö ÒØ a b = a/bº ¾µ Ê Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ú ÒÒÝ Ð Ù ÑÖ Ø ÐÐÒ ØØ Ñ ÐÐ a b = a+( b) ÐÐ a,b Qº ÐÐ ÐÙÚÙ Ñ Ø ÑÑ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÒ N ÐÙ Ù ÐÙ Ò Z Ó ÓÙ¹ Ó º ÆÝØ ÐÙ ÑÑ Ø Ñ Ò ÓÙ ÓÐÐ Z ÙÙ Ò ÐÙ Ù ÐÙ Ò Q Ù Ø Òº ÌØ Ú ÖØ Ò ÑÖ ØØ Ð ÑÑ ÙÚ Ù Ò j : Z Q ØØ Ñ ÐÐ j(m) = [m,1]º Ä ÑÑ º º ÃÙÚ Ù j ÓÒ Ò Ø Ó ÓÐÐ ÔØ ÐÐ m,n Zº j(m + n) = j(m) + j(n) j(mn) = j(m)j(n)

15 ½ ÌÓ ØÙ º Ë Ñ Ò Ø Ô Ò Ù Ò Ä Ù ¾º À Ö Ó ØÙ Ø ØÚµº Ê Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ö ØÝ Ò ÑÖ ØØ Ð Ñ Ø Ú ÖØ Ò ÓØ ÑÑ ÝØØ Ò ÔÓ Ø Ú Ø Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÒ { m } Q + = n Q : m,n Z +. Î Ø Ú Ø Ò Ø Ú Ø Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó ÓÒ { m } Q + = n Q : m,n Z +. ÅÙ Ø ØØ m n = [m,n]º ÂÓÙ ÓÐÐ Q + ÓÒ Ñ Ò ÐØ ÓÑ Ò ÙÙ Ù Ò ÔÓ Ø ¹ Ú Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÐÐ Z + Ä ÑÑ º º µ ÂÓ a,b Q + Ò Ò a + b Q + ab Q + º µ Q = Q + {0} Q + º µ Q + Q + = º µ à ÐÐ a Q ÔØ a 2 Q + {0}º µ à ÐÐ a Q + ÔØ a 1 Q + º ÌÓ ØÙ º µ ÇÐ ÓÓØ a = m/n b = p/q Ñ m,n,p,q Z + º ÌÐÐ Ò a + b = (mq + np)/nqº Ä ÑÑ Ò ¾º Ô ÖÙ Ø ÐÐ mq,np,mq + np,nq Z + ÓØ Ò a + b Q + º Î Ø Ú Ø Ò Ò ØØ ab Q + º ÄÓÔÙØ Ó Ø Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º ÅÝ Ä ÑÑ ¾º ÝÐ ØÝÝ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙÚÙ ÐÐ Ä ÑÑ º º µ ÂÓ a,b,c Q a + c = b + c Ò Ò a = bº µ ÂÓ a,b Q ab = 0 Ò Ò a = 0 Ø b = 0º µ ÂÓ a,b Q c Q ac = bc Ò Ò a = bº ÌÓ ØÙ º µ ÌÓ Ø Ø Ò ÙØ Ò Ó ÓÒ ÐÙÚÙ ÐÐ º µ ÇÐ ÓÓØ a = m/n b = p/q Ñ m,p Z n,q Z º ÂÓ ab = 0 Ò Ò mp nq = 0 = 0 1. ÌÐÐ Ò mp = 0 ÓØ Ò Ä ÑÑ Ò ¾º ÒÓ ÐÐ m = 0 Ø p = 0º Ë Ô a = 0 Ø b = 0º µ Ë ÙÖ µ¹ µ¹ Ó Ø ÙØ Ò Ó ÓÒ ÐÙÚÙ ÐÐ º ÎÓ Ò ØÓ Ø ÑÝ Ýع Ø Ò ÐÙÚÙÒ c ÒØ ÐÙ Ù Ñ Ò Ø Ô Ò Ù Ò µ¹ Ó ÝØ ØÒ Ú Ø ÐÙ¹ Ù º ÆÝØ ÚÓ ÑÑ ÑÖ Ø ÐÐ Ö ØÝ Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙÚÙ ÐÐ ÅÖ Ø ÐÑ º º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÓÙ ÓÒ Q Ö Ð Ø Ó < ØØ Ñ ÐÐ ÐÐ a,b Q a < b b a Q +. ÀÙÓÑ ÙØÙ Ê Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÙÑÑ Ø Ò ÑÝ ÖÓØÙ µ ÓÒ ÝÚ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ ÓØ Ò Ö ØØ ÙÓÑ Ø ØØ ÓÙ ÓÓÒ Q + ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ö ÔÙ Ú Ð ØÙ Ø Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ¹ ÚÙÒ a Ù Ø Ø º ÌÐÐ Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ö Ð Ø Ó < ÓÒ ÝÚ Ò ÑÖ Ø ÐØݺ

16 ½ ÌÓØÙØØÙÙÒ Ø Ô Ò Ø ÑÑ Ú Ð ÐÐ a,b Q a b a < b Ø a = b. ÀÙÓÑ ÙØÙ ÃÙÒ m,n,p,q Z + Ò Ò m µ n p mq np. q ÌÑ Ù Ø Ò Ò ÓÐ ÝÚ Ø Ô ÑÖ Ø ÐÐ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ö ØÝ Ø ÔÓ ÒØ Ú Ò µ Ô ÖÙ Ø ÐÙ Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º Ä Ù º º ÂÓÙ ÓÒ Q Ö Ð Ø Ó ØÝ ÐÐ Ò Ò Ö ØÝ º Ä ÐÐ m,n Z ÔØ ÌÓ ØÙ º ½µ ÇÐ ÓÓØ a,b,c Qº ÌÐÐ Ò j(m) j(n) m n. a a ÂÓ a b b a Ò Ò b a Q + {0} b a = (a b) Q + {0}º ÃÓ Ä ÑÑ Ò º ÑÙ Ò Q + Q + = Ò Ò ÚÐØØÑØØ b a = 0 ÓÐÐÓ Ò a = bº ÂÓ a b b c Ò Ò b a Q + {0} c b Q + {0} ÓÐÐÓ Ò Ä ÑÑ Ò º µ¹ Ó Ò ÚÙÐÐ Ò Ò ÐÔÓ Ø ØØ Ë Ô a cº c a = (c b) (b a) Q + {0}. Æ Ò ÓÐÐ Ò ÓÒ ÓÙ ÓÒ Q Ó ØØ Ò Ò Ö ØÝ º ¾µ ÇÐ ÓÓØ a,b Qº Ä ÑÑ Ò º Ô ÖÙ Ø ÐÐ b a = 0 b a Q + Ø a b = (b a) Q + º Æ ÒÔ a b Ø b a ÓØ Ò Ö ØÝ ÓÒ ÑÝ ØÝ ÐÐ Ò Òº µ ÇÐ ÓÓØ m,n Zº ÌÐÐ Ò j(m) j(n) [m,1] [n,1] m 1 1 n m n, Ñ ÑÑ Ò Ò Ú Ú Ð Ò ÙÖ Ú Ø µº ËÓÔ ÑÙ Ì Ø Ñ Ø ÑÑ Ó ÓÒ ÐÙÚÙØ Ú Ø Ú Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ó ÓÙ¹ ÓÒ j(z) Q Ò º ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ó m Z Ò Ò m = [m,1] = m/1 Qº ÀÙÓÑ ÙØÙ ÇÐ ÑÑ ÝØØÒ Ø Ñ Ö ÒØ a/b = a b Ø Ò Ø Ö Ø Ö¹ Ó ØÙ Ó (a,b) Z Z Ò Ò a/b = [a,b] Q Ó (a,b) Q Q Ò Ò a/b = a b 1 Qº ÃÙÒ Ñ Ø ÑÑ Ó ÓÒ ÐÙÚÙØ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ó ÓÙ Ó ÓÒ ÝÝØ Ø Ö Ø ØØ Ó ÓÒ ÐÙÚÙ ÐÐ ÑÓÐ ÑÑ Ø Ñ Ö ÒÒØ Ø Ö Ó ØØ Ú Ø Ñ º ÌÓ Ò Ò ÓÒ Ò ÐÐ Ó (a,b) Z Z Ò Ò Ñ ØÙ ÙÚ Ù Ø j ÝØØ Ò ÑÑ a b 1 = [a,1][b,1] 1 = [a,1][1,b] = [a,b]. À Ú ÒØÓ ÇÐ ÑÑ Ò Ø Ð ÒÒ ØØÙ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÒ N Ö ¹ Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Q Ó ÐØ ÓÙ ÓÒ N Ó ÓÙ ÓÒ Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ¹ Ñ ØÙ Ø Ò ÙØØ N = i(n) Z = j(z) Q. Ø Ò¹ ÖØÓÐ Ù ÝØØÝØÝÚØ Ö ØØ Ò ÝÚ Ò ÐÙ Ù ÐÙ Q à ÐÐ a Q ÓÒ ÒØ Ð Ó Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ù Ø Ò Ú Ø ÐÙ Ù aµ ÐÐ a Q \ {0} ÒØ ¹ Ð Ó ÖØÓÐ ÙÒ Ù Ø Ò ÒØ ÐÙ Ù 1/aµº Ð Ö Ò Ò ÐÝÝ Ò ÒÒ ÐØ Ö Ø Ó¹ Ò Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ù Ø Ò Ò ÓÐ Ú Ð Ö ØØÚÒ ÝÚ ÐÙ Ù ÐÙ º Ò ÖØ Ò Ò Ö ØÑ Ø Ò ÓÒ Ú Ð Ú Ø ÙØ Ò ÙÖ Ú Ñ Ö Ó Ó ØØ

17 ½ Ñ Ö º½¼º ØÐ ÐÐ x 2 = 2 ÓÐ Ö Ø Ù Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó ÂÓ ÓÐ x = p/q Q Ø Ò ØØ x 2 = 2 Ò Ò ØÐÐ Ò p 2 = 2q 2 º ÅÙØØ ÒÝØ ÐÙ Ù 2 ÒØÝÝ ÐÙÚÙÒ p 2 Ð ÙØ ØÝ Ô Ö ÐÐ Ò ÑÓÒØ ÖØ ÐÙÚÙÒ 2q 2 ØÝ Ô Ö Ø¹ ØÓÑ Ò ÑÓÒØ ÖØ ÓÐÐÓ Ò Ö ØÑ Ø Ò Ô ÖÙ Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ ÒÑ ÐÙÚÙØ ÚØ ÚÓ ÓÐÐ Ý Ø ÙÙÖ º ÂÓ ØÐÐ Ý ØÐ ÐÐ ÐÙØ Ò Ö Ø Ù Ø ÖÚ Ø Ò Ú Ð Ð ÑÔ ÐÙ Ù ÐÙ º Ò ÐÝÝ Ò Ø ÖÔ Ø Ú ÖØ Ò ØØ Ð ÑÑ ÙÖ Ú Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ Ó ØÓ Ñ ÑÙ Ò ØÝ Òµ Ö Ø ØÝ ÐÙ Ù ÐÙ º ÅÖ Ø ÐÑ º½½º ÄÙ Ù M Q ÓÒ ÓÙ ÓÒ A Q ÝÐÖ Ó a M ÐÐ a Aº ÂÓÙ ÓÒ A ÝÐÖ M Q ÓÒ ÓÙ ÓÒ A Ô Ò Ò ÝÐÖ Ó M M ÐÐ ÓÙ ÓÒ A ÝÐÖ Ó ÐÐ M º Î Ø Ú Ø ÐÙ Ù m Q ÓÒ ÓÙ ÓÒ A Q Ð Ö Ó m a ÐÐ a Aº ÂÓÙ ÓÒ A Ð Ö m Q ÓÒ ÓÙ ÓÒ A ÙÙÖ Ò Ð Ö Ó m m ÐÐ ÓÙ ÓÒ A Ð Ö Ó ÐÐ m º ÂÓÙ Ó A Q ÓÒ ÝÐ ÐØ Ö Ó Ø ØØÙ Ó ÐÐ ÓÒ Ó Ò ÝÐÖ M Q Ú Ø Ú Ø Ð ÐØ Ö Ó Ø ØØÙ Ó ÐÐ ÓÒ Ó Ò Ð Ö m Qº ÂÓ ÓÙ ÓÐÐ ÓÒ Ýй ØØ Ð Ö ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙº ÀÙÓÑ ÙØÙ Í Ò ÓÙ ÓÒ A Ô Ò ÒØ ÝÐÖ ÙØ ÙØ Ò ÙÔÖ ÑÙÑ Ø Ý¹ Ø ØÒ Ñ Ö ÒØ supaº ËÙÙÖ ÒØ Ð Ö ÙØ ÙØ Ò Ò ÑÙÑ Ñ Ö ØÒ inf Aº Ò ÐÝÝ Ò ÒÒ ÐØ ÓÒ Ö ÑÑ Ò ØÖ ØØ Ó ÐÐ ÝÐ ÐØ Ö Ó Ø ØÙÐÐ ÓÙ¹ ÓÐÐ ÓÒ Ô Ò Ò ÝÐÖ º ÂÓÙ Ó Q Ò Ò Ù Ø Ò Ò ÓÐ Ñ Ö º½¾º ÂÓÙ ÓÐÐ A = {x Q : x 2 2} ÓÐ Ô Ò ÒØ ÝÐÖ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Q ÇÐ Ø Ø Ò ØØ a = p/q Q ÓÒ Ò ÓÙ ÓÒ A Ô Ò Ò ÝÐÖ º Ñ Ö Ò º½¼ Ô ÖÙ Ø ÐÐ a 2 = p 2 /q 2 2 ÓØ Ò a 2 < 2 Ð a Aµ Ø a 2 > 2º ÂÓ a 2 = p 2 /q 2 < 2 Ò Ò Ø ÖÔ ÙÙÖ ÐÐ n N ÔØ (1 + 1/n) 2 < 2q 2 /p 2 Ý ØÝ Ó Ø Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ µº ÌÐÐ Ò b = (1 + 1/n)p/q A a < b ÓØ Ò a ÚÓ Ò ÓÐÐ ÓÙ ÓÒ A ÝÐÖ º Î Ø Ú Ò Ø Ô Ò Ó Ó Ø Ø Ò ØØ Ñ Ò ÓÙ ÓÒ B = {x Q : x 2 > 2} Ð Ó ÓÐ ÓÙ ÓÒ A Ô Ò Ò ÝÐÖ º ÃÙ Ø Ò Ò Q = A B ÓØ Ò ÓÙ ÓÐÐ A ÚÓ ÓÐÐ Ô Ò ÒØ ÝÐÖ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó º à ÒÒ ØØ ÒÒ ØØ ÙÓÑ ÓØ Ñ Ö Ò º½¼ º½¾ Ñ Ò ÐØ ÙÙØ Ò Ú Ð Ø Ó Ø ÓÒ Ò ÝÚ Ò Ö Ð Ò Ò Ò ÑÑ Ý Ò ÖØ Ò Ý ØÐ Ò Ö Ø ÙÒ ÓÐ Ñ ÓÐÓ ØÓ Ô Ò ÑÑÒ ÝÐÖ Ò Ð ÝØÑ Ò Òº ÒÒ Ø Ò Ø Ú Ú Ð Ý Ø ÖÔ ÐÐ Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑ ÅÖ Ø ÐÑ º½ º ÄÙÚÙÒ a Q Ø ÖÚÓ ÓÒ a, Ó a Q +, a = a, Ó a Q +, 0, Ó x = 0. Ä Ù º½ º ÁØ ÖÚÓÐÐ ÔØ µ a = 0 a = 0º µ a b a c + c b ÐÐ a,b,c Q ÓÐÑ Ó ÔÝ ØÐ µº µ ab = a b ÐÐ a,b Qº

18 ½ ÌÓ ØÙ º Ò ÐÝÝ ½» À Ö Ó ØÙ Ø ØÚº ÀÙÓÑ ÙØÙ Ë Ñ ÑÖ Ø ÐÑ ØÓ Ñ ÑÝ ÑÙ ØÝ Ò Ö Ø ØÝ ÐÙ Ù ÐÙ Z ÑÝ ÑÑ Ò Rµº À ØÓÖ Ê Ø ÓÒ Ð ¹ Ø ÑÙÖØÓÐÙ Ù ÓÒ Ø ÐØÝ Ó Ú Ö Ú Ð Ø Ó º ÅÙ Ò ÝÔØ ÝØ ØØ Ò Ò º Ý ÑÙÖØÓÐÙ Ù ÓØ ÓÐ Ú Ø ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò ÒØ ÐÙ Ù º à ÑÙÙØ ÑÙÖØÓÐÙÚÙØ Ø ØØ Ò Ò Ò ÙÑÑ Ò ¹ Ñ Ö ÐÙ Ù 3/5 Ø ØØ Ò ÑÙÓ Ó 1/3 1/5 1/15 º ÌÑ ÓÐÐÙØ Ð Ù Ò ÒÒ ÐØ ÓÚ Ò ÝØÒÒ ÐÐ Ø ÑÙØØ ÝÔØ Ð ÐÐ ÓÐ Ñ ØØ Ú Ø ÙÐÙ Ó Ø ÐÔÓØØ ¹ Ñ Ñ Ö Ý ÑÙÖØÓÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ Ù º ÝÐÓÒ Ð ÐÐ ÓÐ ÝØ ÙÓÑ ØØ Ú Ø ÓÙ Ø Ú ÑÔ Ý Ø Ñ Ó ÑÙÖØÓÐÙÚÙØ ÐÑ Ø Ò Ð ÒÒ ÐÐ Ø ¹ Ø Ú ¼¹ ÒØ Ö Ø ÐÑ Ò Ñ ØØ Ò 60,60 2 = 3600,... ÚÙÐÐ º Ë ¹ Ø Ò Ñ Ö 1/5 = (0;12) 60 Ó 1/5 = 12/60µ 1/50 = (0;1,12) 60 Ó 1/50 = 1/ /3600µº ÒØ Ò ÃÖ Ð Ø ØØ ÚØ ÑÙÖØÓÐÙÚÙØ Ø Ó Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ø Ô ØÙÙ Ò Ù Ø Øµ Ó Ó ØØ Ò Ò Ñ ØØ Ò ÚÙÐÐ ÑÙØØ Ñ Ö ÒÒØ ÔÓ Ú Ø ÒÝ Ý Øº Ñ Ö Ò º½¼ Ú ÒØÓ 2 / Q ÓÒ ÓÐ ÐÐ Ø Ô Ö Ò ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÙÐÙ ÙÒÒ Ø ÒÓ Ò ¼¼¹ÐÙÚÙÐØ ÃÖº ÌÙÓÐÐÓ Ò ÙÓÑ ØØ Ò ØØ Ò Ð Ò ÚÙ ÐÚ Ø ÓÚ Ø Ý Ø Ñ ¹ Ø ØØÓÑ Ø Ð Ò Ò Ù ØØ ÚÓ ÐÑ Ø Ò Ó ÓÒ ÐÙÚÙÒ Ù Ø Ò º Ì Ö Ò Ò ÑÙ Ò ØÑ Ö ÝØØ ÙÙÖ Ø ÈÝØ ÓÖ Ð Ø Ò ÐÙ Ù Ò ÖÑÓÒ ÐÐ Ô ÖÙ ØÙÒÙØØ Ñ ÐÑ Ò ÙÚ Ý Ø Ñ Ø ØØÓÑÙÙ Ò ÔØ ØØ Ò Ò Ù ÙØØ Ñ Ö Ò Ø¹ Ø Ú Ö ÐÐ Ò Ò Ø ØÓ Ô Ð Ú ÑÒº Ì ÓÖ ØØ ÑÑ Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ð ØØ Ò Ø Ö Ø ÐÐ Ù Ø Ò Ò Ú Ø ½ ¼¼¹ÐÙÚÙÒ Ð¹ ÙÔÙÓÐ ÐÐ º Ê Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÒ Ø ÑÐÐ Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ó ÓÒ ÐÙ ÙÔ Ö Ò ¹ Ú Ú Ð Ò ÐÙÓ Ò ÒØÝÝ Ò Ò À ÒÖ Ï Ö Ò ½ ¾ ½ ½ Ë µ ÓÔÔ Ö ¹ Ä Ö Ù Ö Ð Ö ÚÙÓ ÐØ ½ ÃÖÓÒ Ö ØÓ Ò ØØ Ð Ú Ø Ú Ò ÑÙØØ ÑÓÒ ÑÙØ ÑÑ Òµ ÑÖ Ø ÐÑÒ Ó ÚÙÓÒÒ ½ º º Ù ÝÒ ÓÒÓØ ÐÐ Ò ÐÙÚÙÒ ÐÓÔÙÒ Ñ Ö Ø º½¼ º½¾ Ó Ó ØØ Ú Ø ØØ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ¹ Ó ÓÒ Ö º Ë ÙÖ Ú Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÑÑ ÓÒ Ò ØÝØØ ÒÑ Ö Ø ÓÔ Ú ÐÐ ÖÖ Ø ÓÒ Ð ÐÙÚÙ ÐÐ ØÓ Ò ÒÓ Ò Ð ÒØ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙÚÙØ ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÑ ÐÙ Ù ÐÙ R Ó Ò Ø Ö Ò ÒÒݺ À ÐÙ ÑÑ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ØØ Q ÚÓ Ò ÐÐ Ò ØÙÐ Ø ØÑÒ ÙÙ Ò ÐÙ Ù ÐÙ Ò Ó Ø Ò ØØ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ö ØÝ ÐÝÚغ Á Ò ÓÒ ÖÚ Ó Ñ Ö ÐÙ Ù 2 / Q Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÓÒÓÐÐ Ó ÙÔ¹ Ô Ò Ó Ø ÐÙ Ù 2 º ÇÒ ÐÑ Ò ÓÒ Ù Ø Ò Ò ØØ ØÐÐ Ø ÐÙ Ù 2 ÓÐ Ú Ðµ ÓÐ Ñ ÓØ Ò ÚÓ ÑÝ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ñ Ø ØØ ÐÙ Ù Ó Ø ÙÔÔ ¹ Ò Ñ Ò Ò Ø Ö Ó ØØ º ÌÑ ÓÒ ÐÑ ÚÓ Ò ÖØ ÝØØÑÐÐ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ù ÝÒ ÓÒÓ Ó Ø ØØ Ð ÑÑ Ø ÐÙÚÙ º Ë ÙÖ Ú ÐÙÚÙ ÑÙÓ Ó Ø Ñ¹ Ñ Ò Ø ÓÒÓ Ø ÐÙØÙÒ ÐÙ Ù ÐÙ Ò R ÓÔ Ú Ò Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ø µ ÚÙÐÐ º ÐÓ Ø ÑÑ Ø Ö Ø Ð Ñ ÐÐ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÓÒÓ º ÇÐ ÓÓÒ J = J (Q) = {(a n ) n=1 : a n Q}

19 ½ Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù ÓÒÓ Ò ÓÙ Óº ÅÖ ØØ Ð ÑÑ Ý Ø ÒÐ ÙÒ ÖØÓÐ ÙÒ ÓÙ Ó J ÓÑÔÓÒ ÒØ ØØ Òº ÂÓ α = (a n ) n=1 β = (b n) n=1 Ò Ò α + β = (a n + b n ) n=1 αβ = (a n b n ) n=1. Æ ÐÐ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÐÐ ÓÒ Ô Ð ÓÒ ØÙØØÙ ÓÑ Ò ÙÙ Ä Ù º½º à ÐÐ α,β,γ J α = (a n ) n=1 β = (b n) n=1 γ = (c n) n=1 ÓÒÓ Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÐÐ + ÔØ µ Ó Ø Ú ÙÙ µ ÓÑÑÙØ Ø Ú ÙÙ µ ØÖ ÙØ Ú ÙÙ α + (β + γ) = (α + β) + γ α(βγ) = (αβ)γ α + β = β + α αβ = βα (α + β)γ = αγ + βγ. Ä µ ÓÒÓ 0 = (0) n=1 = (0,0,0,... ) ÓÒ Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ò ÙØÖ Ð Ð Ó ÓÒÓ 1 = = (1,1,1,... ) ÓÒ ÖØÓÐ ÙÒ Ò ÙØÖ Ð Ð Ó (1) n=1 µ Ó ÐÐ ÓÒÓÐÐ α = (a n ) n=1 ÓÒ ÒØ Ð Ó α = ( a n) n=1 Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ù Ø Òº ÌÓ ØÙ º à ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÙÖ Ú Ø ÙÓÖ Ò ÓÒÓ Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ò ÑÖ ¹ Ø ÐÑ Ø Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ò Ú Ø Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ý ØÝ ¹ Ó Ø Ò Ø Ö Ø Ñ Ò Ò Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º ÀÙÓÑ ÙØÙ ÅÓÒ ÐÐ ÓÒÓ ÐÐ ÓÐ ÒØ Ð ÓØ ÖØÓÐ ÙÒ Ù Ø Ò ÇÐ ÓÓÒ Ñ Ö α = (0,a 2,a 3,... ) β = (b 1,b 2,b 3,...)º ÌÐÐ Ò αβ = (0,a 2 b 2,a 3 b 3,...) (1,1,1,... ) = 1, ÓØ Ò ÓÒÓÐÐ α ÚÓ ÓÐÐ ÒØ Ð ÓØ ÖØÓÐ ÙÒ Ù Ø Òº ÀÙÓÑ ÙØÙ ÂÓÒÓ α = (a n ) n=1 J ÚÓ Ò ØÙÐ Ø ÙÚ Ù α : Z + Q, α(n) = a n. ÅÖ Ø ÐÑ º¾º ½µ ÂÓÒÓ (a n ) n=1 J ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ Ó ÓÒ M Q Ø Ò ØØ a n M ÐÐ n Z + º ¾µ ÂÓÒÓ (a n ) n=1 J ÙÔÔ Ò Ó Ø ÐÙ Ù a Q Ó ÐÐ ε Q + ÓÒ N N Ø Ò ØØ a n a < ε, ÙÒ n N. µ ÂÓÒÓ (a n ) n=1 J ÓÒ Ù ÝÒ ÓÒÓ Ó ÐÐ ε Q + ÓÒ N N Ø Ò ØØ a n a m < ε, ÙÒ n,m N. ÂÓ ÓÒÓ α = (a n ) n=1 J ÙÔÔ Ò Ó Ø ÐÙ Ù a Q ÓÒ a ÓÒÓÒ α Ö ¹ ÖÚÓº ÌÐÐ Ò ÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØ a = lim n a n ; a n n a; a n a, ÙÒ n.

20 ¾¼ ÂÓ ÓÒÓ α J ÙÔÔ Ò Ó Ø ÓØ Ò ÐÙ Ù a Q ÒÓÑÑ ØØ ÓÒÓ α ÙÔÔ Ò ÓÙ Ó Qµº ÂÓ ÓÒÓ ÙÔÔ Ò ÒØÙÙº Ñ Ö º º µ ÂÓÒÓ (a n ) n=1 J ÓÒ Ú Ó ÓÒÓ Ó ÓÒ ÓÐ Ñ a Q Ø Ò ØØ a n = a ÐÐ n Z + º ÌÐÐ Ò ÑÝ lim n a n = aº µ ÂÓÒÓ (1/n) n=1 J ÙÔÔ Ò Ó Ø ÐÙ Ù 0º ÌÑ Ò Ò ÙÖ Ú Ø ÇÐ ÓÓÒ ε Q + ÓÐÐÓ Ò ε = p/q Ó ÐÐ Ò p,q Z + º ÃÙÒ n > q Ò Ò np > qp q 1 ÓÐÐÓ Ò 1/n < p/q = εº Æ Ò ÓÐÐ Ò 1/n 0 = 1/n < ε ÙÒ n > q Ð ÙÒ n q + 1 ÓØ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ º¾ ¾µ ÐÙÚÙ N ÚÓ Ò Ú Ð Ø q + 1º ÅÖ Ø ÐÑÒ º¾ ØØ Ø Ð ØØÝÚØ Ð Ø ØÓ Ò Ä Ù º º µ ÂÓ ÓÒÓ α J ÙÔÔ Ò Ò Ò α ÓÒ Ù ÝÒ ÓÒÓº µ ÂÓ ÓÒÓ α J ÓÒ Ù ÝÒ ÓÒÓ Ò Ò ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙº ÌÓ ØÙ º µ À Ö Ó ØÙ Ø ØÚ ÝØ ÓÐÑ Ó ÔÝ ØÐ º µ ÂÓ α = (a n ) n=1 J ÓÒ Ù ÝÒ ÓÒÓ Ò Ò Ð ÝØÝÝ N N Ø Ò ØØ a n a m < 1 Q +, ÙÒ n,m N. ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ M = max{ a n a N : 1 n N}º ÌÐÐ Ò ÐÐ n Z + a n a n a N + a N max{1,m } + a N, ÓØ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ º¾ ½µ ÐÙÚÙ M ÚÓ Ò Ú Ð Ø M = max{1,m } + a N º ÀÙÓÑ ÙØÙ ÅÓÒ Ø Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ù ÝÒ ÓÒÓØ ÚØ ÙÔÔ Ò ÓÙ Ó Qº Ñ Ö ÓÒÓ 1 = 1 1, 2 = 2 1, 3 2, 5 3, 8 5, 13 8, 21 13,..., Ó Ø ÙÙ ÒÒ ÐÐ p n q n = p n 1 + p n 2 q n 1 + q n 2, ÓÒ Ò ÐÙÚÙØ µ ÓÒ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ù ÝÒ ÓÒÓ Ó ÙÔÔ Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ¹ Ù Ò ÓÙ Ó º Ë ÚÙÙØ ÑÑ ØÑÒ Ò ØÓ ØÙ Òº Å Ò ØØ ÓÓÒ ØØ Ý Ò Ò ÓÒÓ Ð ØØÝÝ Ø ÙÑÙÖØÓÐÙ Ù Ò ÙÐØ Ò Ð Ù Ò ÐÐ Ø p n q n = / Q. n 2 Å Ö ØÒ Ø Ø Ð Ø Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÒ Q Ù ÝÒ ÓÒÓ Ò ÓÙ Ó C = C (Q) = {(a n ) n=1 J (Q) : (a n ) n=1 ÓÒ Ù ÝÒ ÓÒÓ}. Ä Ù º º ÂÓÒÓ Ò Ý Ø Ò¹ ÖØÓÐ ÙØ ÑÖÚØ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø ÑÝ Ù ÝÒ ÓÒÓ Ò ÓÙ Ó Ø º Ó α,β C Ò Ò α + β C αβ C º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓØ α = (a k ) k=1 C β = (b k) k=1 C º Ç Ó Ø ÑÑ ØØ αβ C º ÃÓ Ù ÝÒ ÓÒÓØ ÓÚ Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ò Ò Ð ÝØÝÝ M α, M β Q + Ø Ò ØØ a k M α b k M β ÐÐ k Z + º ÇÐ ÓÓÒ ØØ Ò ε Q + º ÃÓ α β ÓÚ Ø Ù ÝÒ ÓÒÓ Ò Ò Ð ÝØÝÝ N α, N β N Ø Ò ØØ a n a m < ε/(2m β ) ÙÒ n,m N α b n b m < ε/(2m α ) ÙÒ n,m N β.

21 ¾½ ÂÓ ÒÝØ Ú Ð Ø Ò N = max{n α,n β } Ó n,m N Ò Ò ÓÐÑ Ó ÔÝ ØÐ Ò ÒÓ ÐÐ a n b n a m b m a n b n a n b m + a n b m a m b m Ë Ô ÑÝ ØÙÐÓ ÓÒÓ αβ ÓÒ Ù ÝÒ ÓÒÓº a n b n b m + a n a m b m ε < M α + ε M β ε 2M α 2M β 2 + ε 2 = ε. Ø ÒÐ ÙÙÒ Ð ØØÝÚ Ú Ø Ú Ø Ö Ø ÐÙ Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º Ä Ù º º ÂÓÙ ÓÒ C Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø + ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ä Ù Ò º½ ÓÑ Ò ¹ ÙÙ Ø µ µº ÌÓ ØÙ º ÇÑ Ò ÙÙ Ø µ µ ÙÖ Ú Ø ÙÓÖ Ò Ä Ù Ò º½ Ú Ø Ú Ø Ó Ø º ÃÓ Ø µ Ú ÖØ Ò ØÝØÝÝ Ó Ó ØØ ØØ Ù ÝÒ ÓÒÓÒ ÒØ Ð Ó Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ù Ø Ò ÓÒ ÑÝ Ù ÝÒ ÓÒÓº ÌÑ ÙÖ Ä Ù Ø º ÐÐ ÒÝØ α = ( 1) n=1 α ( 1) n=1 ÓÒ Ú Ó ÓÒÓÒ Ù ÝÒ ÓÒÓº º Ê Ð ÐÙÚÙØ Á Ò ÑÑ ÓÐ ÑÖ Ø ÐÐ Ö Ð ÐÙÚÙØ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ù ÝÒ ÓÒÓ Ò ÚÙÐÐ º Ë ¹ Ø Ò Ñ Ö ÓÒÓÒ 1;1,4;1,41;1,414 ;1,4142 ;... Ô Ø Ú Ø Ø Ö Ð ÐÙ Ù 2º ÅÓÒ Ø Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ù ÝÒ ÓÒÓØ ÙÔÔ Ò Ú Ø Ù Ø Ò Ò Ó Ø Ñ ÐÙ Ù ¹ Ñ Ö 1/n 0 ±1/2 n 0 ( 1) n /n 0 ÙÒ n º Ë ÑÓ Ò Ð Òµ ÑÓÒ ÐÐ Ù ÝÒ ÓÒÓ ÐÐ ÓÐ ÒØ Ð ÓØ ÖØÓÐ ÙÒ Ù Ø Òº ÑÑ ÚÓ ÑÖ Ø Ð¹ Ð Ö Ð ÐÙ Ù ÙÓÖ Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ù ÝÒ ÓÒÓ Ò ÓÙ Ó ÑÙØØ ÓÒ ÐÑ Ø Ò ÓÖ ØØÙ ÑÖ ØØ Ð ÑÐÐ Ù ÝÒ ÓÒÓ ÐÐ ÓÔ Ú Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Óº ÅÖ Ø ÐÑ º½º Ê Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ù ÝÒµ ÓÒÓ α = (a k ) k=1 ÓÒ ÒÓÐÐ ÓÒÓ Ó ÙÔÔ Ò Ó Ø ÐÙ Ù 0 Qº Å Ö Ø ÑÑ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÒÓÐÐ ÓÒÓ Ò ÓÙ Ó N (Q)º Ä ÑÑ º¾º ÇÐ ÓÓØ α N (Q) β C (Q)º ÌÐÐ Ò αβ N (Q)º ÌÓ ØÙ º À Ö Ó ØÙ Ø ØÚ Ú ÖØ Ä Ù Ò º ØÓ ØÙ Òº ÀÙÓÑ ÙØÙ Ä ÑÑ Ò º¾ ØÙÐÓ Ô Ó ÓÐ Ø ÑÑ Ú Ò ØØ β J (Q)º ¹ Ñ Ö (1/n) n=1 N (Q) (n) n=1 J (Q) ÑÙØØ Ò Ò ØÙÐÓ ÓÒÓ (1) n=1 ÓÐ ÒÓÐÐ ÓÒÓº ÅÖ Ø ÐÐÒ ÓÙ Ó C (Q) Ö Ð Ø Ó ØØ Ñ ÐÐ µ α β α β N (Q). Ä ÑÑ º º Ã Ú ÐÐ µ ÑÖ Ø ÐØÝ Ö Ð Ø Ó ÓÒ ÓÙ ÓÒ C(Q) Ú Ú Ð Ò Ö Ð ¹ Ø Óº ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓØ α,β,γ C (Q)º ÌÐÐ Ò ½µ α α Ó α α = (0) k=1 N (Q)º ¾µ ÂÓ α β Ò Ò α β N (Q) ÓÐÐÓ Ò Ä ÑÑ Ò º¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÑÝ Ò ÒÔ β αº β α = ( 1) k=1 (α β) N (Q),

22 ¾¾ µ ÂÓ α β β γ Ò Ò α β N (Q) β γ N (Q) ÓÐÐÓ Ò ÓÐÑ Ó¹ ÔÝ ØÐ Ò ÚÙÐÐ Ò Ò ØØ ÑÝ α γ N (Q)º Ë Ô ÓÒ Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Óº ÀÙÓÑ ÙØÙ Ê Ð Ø ÓÒ ØÖ Ò Ø Ú ÙÙ ÚÓ Ò ØÓ Ø ÑÝ ÙÖ Ù Ò ÝÐ ¹ ÑÑ Ø ØÙÐÓ Ø ÂÓ α,β N (Q) a,b Q Ò Ò ÑÝ aα + bβ N (Q) Ö Ó ØÙ Ø ØÚµº ÆÝØ ÚÓ ÑÑ ÐÓÔÙÐØ Òµ ÑÖ Ø ÐÐ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÒ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ù ÝÒ ÓÒÓ Ò Ú Ú Ð Ò ÐÙÓ Ò ÚÙÐÐ ÅÖ Ø ÐÑ º º Ê Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó ÓÒ Ø ÓÙ Ó ( R = C (Q)/ = C (Q)/N (Q) Ê Ð ÐÙ Ù Ò Ý Ø Ò¹ ÖØÓÐ Ù ÑÖ Ø ÐÐÒ ØÙØØÙÙÒ Ø Ô Ò Ú Ú Ð Ò ÐÙÓ ¹ Ò ÚÙÐÐ ÃÙÒ α = (a n ) n=1 β = (b n) n=1 C x = [α], y = [β] R Ò Ò x + y = [α] + [β] = [(a n + b n ) n=1 ] xy = [α][β] = [(a nb n ) n=1 ]. ÀÙÓÑ ÙØÙ µ Ä Ù Ò º Ô ÖÙ Ø ÐÐ (a n + b n ) n=1 C (a nb n ) n=1 C ÓØ Ò Ò Ø ÓÒÓ Ú Ø Ú Ø Ú Ú Ð Ò ÐÙÓ Ø ÓÚ Ø ØÓ ÐÐ Ö Ð ÐÙ Ù º µ Ê Ð ÐÙ Ù Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø ÓÚ Ø ÝÚ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ º ÌÓ Ø Ò ØÑ ÐÐ Ò Ý Ø ÒÐ ÙÐÐ ÖØÓÐ Ù Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ µ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ α [α] β [β] ÓÐÐÓ Ò α α β β ÓÚ Ø ÒÓÐÐ ÓÒÓ º ÌÐÐ Ò Ä ÑÑ Ò º¾ Ð Ò ÙÓÑ ÙØÙ Ò ÒÓ ÐÐ (α + β) (α + β ) = (α α ) + (β β ) N (Q), ÓØ Ò [α + β] = [α + β ]º Ë Ô Ö Ð ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÓÒ ÝÚ Ò ÑÖ Ø ÐØݺ Ë ÙÖ Ú Ð ÑÑ Ø ØØÚ Ø Ò Ò Ò Ú ÒØÓ ÓÒ ÝÚ Ò Ó Ö ¹ Ð ÐÙ Ù Ò ÓÑ Ò ÙÙ ØÓ Ø ØØ º Ä ÑÑ º º ÇÐ ÓÓÒ α C (Q)º ÌÐÐ Ò Ø ÑÐÐ Ò Ý ÙÖ Ú Ø Ú ØÓ Ó Ø ÓÒ ÚÓ Ñ µ α N (Q) µ ÓÒ c Q + N N Ø Ò ØØ a n c ÐÐ n N µ ÓÒ c Q + N N Ø Ò ØØ a n c ÐÐ n N º ÌÓ ØÙ º ÃÓ Ú ØÓ ØÓ µ ÓÒ Ý ØÔ ØÚ Ò Ò ØØ ÓÒ c Q + N N Ø Ò ØØ c a n c ÐÐ n N Ó ÓÒ Q Ò ØÝ ÐÐ Ò Ò Ö ØÝ Ò Ò ÓÒ ÐÚ ØØ ÓÖ ÒØ Ò Ý Ú ØÓ Ó Ø µ µ ÚÓ ÓÐÐ ÚÓ Ñ ÓÒÓÐÐ α = (a n ) n=1 C (Q)º ÇÒ Ú Ð Ó Ó Ø ØØ Ú ØØ Ó Ù Ú ØÓ Ó Ø ÓÒ Ò ÚÓ Ñ º ÂÓ ÒÝØ α N (Q) Ò Ò Ú Ø ÔØ º Ë Ô ÚÓ ÑÑ ÓÐ ØØ ØØ α / N (Q) Ð ØØ ÐÐ ε Q + ÓÐ ÓÐ Ñ ÐÙ Ù N N Ø Ò ØØ ÔØ a n ε ÙÒ n N º Ì Ø ÙÖ ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ Ó Ò ε Q + Ø Ò ØØ a n ε Ö ØØ ÑÒ ÑÓÒ ÐÐ n Z + º ÌÓ ÐØ Ó α ÓÒ Ù ÝÒ ÓÒÓ Ò Ò Ð ÝØÝÝ N N Ø Ò ØØ a n a m < ε/2 ÙÒ n,m N. ÆÝØ ÚÓ Ò Ú Ð Ø N N Ø Ò ØØ a N ε ÓÐÐÓ Ò Ó Ó a N ε Ø a N εº ÂÓ a N ε Ò Ò ÐÐ n N Ò ε < a N = a n + (a N a n ) a n + a n a N < a n + ε/2, ).

23 ¾ ÓØ Ò a n ε/2 = c ÐÐ n N Ð µ ÓÒ ÚÓ Ñ º Î Ø Ú Ø Ó Ó Ø Ø Ò ØØ Ø Ô Ù a N ε ÓÒ ÚÓ Ñ Ú ØÓ ØÓ µº Ä ÑÑ º Ó Ó ØØ ØØ Ù ÝÒ ÓÒÓ Ò Ú Ú Ð Ò ÐÙÓ Ò ÖØÝÑÐÐ ÓÐ ÑÑ Ô Ø ÖÓÓÒ ÖØÓÐ ÙÒ ÒØ Ð Ó Ò Ð ØØÝÚ Ø ÓÒ ÐÑ Ø ÚÖغ Ä Ù Ò º½ Ð Ò ÙÓÑ ÙØÙ Òµº Ö ØÝ Ø ÚÓ ÑÑ ÒÝØ Ó Ó ØØ ØØ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ¹ Ù Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ò ÝÚØ ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÔØ ÚØ ÑÝ Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ º Ä Ù º º µ Ê Ð ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÖØÓÐ Ù ÓÚ Ø Ó Ø Ú º µ Ê Ð ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÖØÓÐ Ù ÓÚ Ø ÓÑÑÙØ Ø Ú º µ Ê Ð ÐÙ Ù Ò ÖØÓÐ Ù ÓÒ ØÖ ÙØ Ú Ò Ò Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ù Ø Òº µ ÄÙ Ù 0 = [(0) n=1 ] R ÓÒ Ö Ð ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ò ÙØÖ Ð Ð Ó ÐÙ Ù 1 = ] R ÓÒ ÖØÓÐ ÙÒ Ò ÙØÖ Ð Ð Óº [(1) n=1 µ ÂÓ ÐÐ Ö Ð ÐÙÚÙÐÐ x ÓÒ Ú Ø ÐÙ Ù x Ð ÒØ Ð Ó Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ù Ø Òº µ ÂÓ ÐÐ ÒÓÐÐ Ø ÔÓ Ú ÐÐ Ö Ð ÐÙÚÙÐÐ x ÓÒ ÒØ ÐÙ Ù x 1 Ð ÒØ ¹ Ð Ó ÖØÓÐ ÙÒ Ù Ø Òº ÌÓ ØÙ º ÇÑ Ò ÙÙ Ø µ µ ÙÖ Ú Ø ÙÓÖ Ú Ú Ø Ä Ù Ò º½ Ú Ø Ú Ø Ó Ø Ó µ ÓÒ ÐÔÔÓ ØÓ Ø ØØ Ó x = [(a n ) n=1 ] R Ò Ò x = [( a n ) n=1 ] ÓÒ x Ò Ú Ø ÐÙ Ùº Ë Ø Ò Ö ØØ Ó Ó ØØ ØØ Ó Ø µ ÔØ Ð Ó ÐÐ x R \ {0} ÓÒ ÒØ Ð Ó ÖØÓÐ ÙÒ Ù Ø Ò ÃÙÒ x R ÚÓ ÑÑ Ò Ú Ð Ø ÐÙÚÙØ a k Q = Q \ {0} Ø Ò ØØ x = [(a k ) k=1 ] Ö Ó ØÙ Ø ØÚµº ÌÐÐ Ò ÓÒÓÐÐ (1/a k ) k=1 ÔØ (a k ) k=1 (1/a k) k=1 = (1) k=1. ÂÓ Ú Ð Ø ÑÑ x 1 = [(1/a n ) n=1 ] Ò Ò x x 1 = 1º ÀÙÓÑ Ù Ø Ò Ò ØØ Ò Ò ÚÓ Ò Ú Ð Ø Ú Ò Ó ÑÝ ÓÒÓ (1/a k ) k=1 ÓÒ Ù ÝÒ ÓÒÓ Æ Ò ÓÐÐ Ò ÓÒ Ú Ð Ó Ó Ø ØØ Ú ØØ ØÓ ÐÐ (1/a k ) k=1 C (Q)º Ì Ø ÖÚ Ø ÑÑ ÓÐ ØÙ Ø x = [(a k ) k=1 ] R \ {0}º ÇÐ ÓÓÒ ε Q + º ÃÓ (a k ) k=1 / N (Q) Ò Ò Ä ÑÑ Ò º ÚÙÐÐ Ð ÝØÝÝ N 1 N q Q + Ø Ò ØØ a n q Ò ÙÒ n N 1 º ÌÓ ÐØ Ó (a k ) k=1 C (Q) ÚÓ ÑÑ Ú Ð Ø ÐÙÚÙÒ N 2 N Ø Ò ØØ a n a m < q 2 ε ÙÒ n,m N 2. ÂÓ ÒÝØ Ø ÑÑ N = max{n 1,N 2 } Ò Ò ÐÐ n,m N ÔØ 1 1 a n a m = a m a n a m a n = a m a n a m a n a m a n q 2 < q 2 ε/q 2 = ε. Ë Ô (1/a k ) k=1 ÓÒ Ù ÝÒ ÓÒÓ Ú Ø ÓÒ ØÓ Ø ØØÙº ÅÖ Ø ÐÑ º º ÅÖ ØØ Ð ÑÑ Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ Ú ÒÒÝ ¹ ÓÐ ÙØ Ú Ò ÙØ Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙÚÙ ÐÐ ÃÙÒ x,y R Ò Ò x y = x + ( y) Ó Ð y 0 Ò Ò Ø ÑÑ x/y = x y 1 º Ë ÙÖ Ú Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÑÑ ÓÒ ÑÖ Ø ÐÐ Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ Ö ØÝ º Ì Ø ÖÚ Ø Ò ÔÙÒ ÔÓ Ø Ú Ø Ò Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó R + = { [(a k ) k=1 ] : ÓÒ N N q Q + Ø Ò ØØ a n q ÐÐ n N } ; Ú Ø Ú Ø R + ÓÒ Ò Ø Ú Ø Ò Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Óº

24 ¾ ÀÙÓÑ ÙØÙ ÂÓÙ Ó R + ÓÒ ÝÚ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ ÐÐ Ó a k q Ò ÙÒ k N (a k ) k=1 (b k) k=1 Ò Ò Ð ÝØÝÝ N N Ø Ò ØØ b k a k < q 2 ÙÒ k N º ÃÓÐÑ Ó ÔÝ ØÐ Ò ÚÙÐÐ Ò Ò ØØ ÒÝØ b k > q/2 ÙÒ k max{n,n} Nº Ä ÑÑ º ÓÙ ÓÐÐ Q + ØÓ Ø ØÙØ ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÔØ ÚØ ÑÝ ÓÙ ÓÐÐ R + Ä ÑÑ º º µ ÂÓ x,y R + Ò Ò x + y R + xy R + º µ R = R + {0} R + º µ R + R + = º µ à ÐÐ x R ÔØ x 2 R + {0}º µ à ÐÐ x R + ÔØ x 1 R + º ÌÓ ØÙ º µ Ì Ö Ø ÐÐ Ò ØÙÐÓ ÇÐ ÓÓØ x = [(a k ) k=1 ] y = [(b k) k=1 ] R +º ÌÐÐ Ò ÓÒ N 1 N q 1 Q + Ø Ò ØØ a k q 1 ÙÒ k N 1 Ú Ø Ú Ø Ð ÝØÝÝ N 2 N q 2 Q + Ø Ò ØØ b k q 2 ÙÒ k N 2 º ÆÝØ q 1 q 2 Q + a k b k q 1 q 2 Ò ÙÒ k max{n 1,N 2 } ÓØ Ò xy R + º Ø ÒÐ Ù Ø ÐÐÒ Ñ Ò Ø Ô Òº µ ÇÐ ÓÓÒ x = [(a k ) k=1 ] Rº ÎÓ ÑÑ ÓÐ ØØ ØØ x 0º ÌÐÐ Ò Ä ÑÑ Ò º ÒÓ ÐÐ Ð ÝØÝÝ q Q + N N Ø Ò ØØ Ó Ó µ a n q ÐÐ n N ÓÐÐÓ Ò x R + Ø µ a n q ÐÐ n N ÓÐÐÓ Ò a n q ÐÐ n Nº ÅÙØØ ÒÝØ x = [( a k ) k=1 ] R + ÓØ Ò x = ( x) R + º µ ÂÓ [(a k ) k=1 ] R + R + Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ q Q + Ø Ò ØØ a k q a k q ÙÒ k ÓÒ Ø ÖÔ ÙÙÖ º ÌÐÐ Ò a k Q + Q + = Ñ ÓÒ Ñ ÓØÓÒØ º Ë Ô R + R + = º µ µ¹ Ó Ø Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º Å Ö ÒØ ÃÝØÑÑ Ø Ó ÑÝ Ñ Ö ÒØ R = R \ {0} = R + R + º ÅÖ Ø ÐÑ º º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÓÙ ÓÒ R Ö Ð Ø ÓØ < ØØ Ñ ÐÐ ÐÐ x,y R x < y y x R + x y x < y Ø x = y. ÀÙÓÑ ÙØÙ Ê Ð Ø ÓØ < ÓÚ Ø ÝÚ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ ÐÐ Ú ÒÒÝ Ð Ù ÓÙ ÓÓÒ R + ÙÙÐÙÑ Ò Ò ÓÚ Ø ÝÚ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ º Ä Ù º½¼º Ê Ð Ø Ó ÓÒ ÓÙ ÓÒ R ØÝ ÐÐ Ò Ò Ö ØÝ º ÌÓ ØÙ º Ì ÖÚ ØØ Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø ØÓ Ø Ø Ò Ä ÑÑ Ò º ÚÙÐÐ Ú Ò ÙØ Ò Ö ¹ Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ö ØÝ Ø Ó Ú Ä Ù º Ó ØÓ Ø ØØ Ò Ú Ø Ú Ò Ä Ñ¹ Ñ Ò º ÚÙÐÐ º À ÐÙ ÑÑ Ñ Ø Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙÚÙØ ÓÔ Ú Ò Ö Ð ÐÙ Ù Ò Ó ÓÙ ÓÒ Ò º ÌØ Ú ÖØ Ò ÑÖ ØØ Ð ÑÑ ÙÚ Ù Ò i: Q R i(q) = [(q) k=1 ]º ÌÐÐ Ò ÔØ Ä Ù º½½º ÃÙÚ Ù i ÓÒ Ò Ø Óº Ä ÐÐ q,q Q i(q + q ) = i(q) + i(q ) i(qq ) = i(q)i(q ), i(q) i(q ) q q.

25 ¾ ÌÓ ØÙ º ½µ ÃÙÚ Ù Ò i Ò Ø Ú ÝÝ Ò Ø Ö ØÙ Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º ¾µ ÇÐ ÓÓØ q,q Qº ÌÐÐ Ò i(q + q ) = [(q + q ) k=1 ] = [(q) k=1 ] + [(q ) k=1 ] = i(q) + i(q ); ÖØÓÐ Ù Ø ÐÐÒ Ú Ø Ú Ø º µ Ç Ó Ø Ø Ò Ú Ð ØØ ÙÚ Ù i ÐÝØØ Ö ØÝ Òº ÃÓ q = q i(q) = i(q ) Ò Ò Ö ØØ Ó Ó ØØ ØØ q < q i(q) < i(q )º ÆÝØ ØÓ ÐØ q < q q q Q + i(q) < i(q ) i(q ) i(q) = [ (q ) k=1] [(q) k=1 ] = [ (q q) k=1] R+. ÂÓÙ ÓÒ R + ÑÖ Ø ÐÑÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ó Ø q q Q + ÙÖ ØØ [(q q) k=1 ] R + ÒØ Ò Ó [(q q) k=1 ] R + Ò Ò q q p ÓÐÐ Ò p Q + ÓÐÐÓ Ò ÑÝ q q Q + º Ë Ô q < q i(q) < i(q )º ËÓÔ ÑÙ Ì Ø Ñ Ø ÑÑ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙÚÙØ Ú Ø Ú Ò Ö Ð ÐÙ Ù Ò Ó ÓÙ ÓÒ i(q) R Ò Ø º Ó q Q Ò Ò q = [(q) k=1 ] Rº ÀÙÓÑ ÙØÙ µ Â Ø Ó Ñ Ö ÒÒÐÐ a > 0 Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ò ØØ a R + º µ ÁØ ÖÚÓ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ Ú Ò ÑÓ Ò Ù Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙÚÙ ÐÐ ÑÖ ¹ Ø ÐÑ ÓÙ Ó Q ÓÖÚ Ø Ò ÓÙ ÓÐÐ R ÓÙ Ó Q + ÓÙ ÓÐÐ R + º ÃÓÐÑ Ó ÔÝ ØÐ ØÓ Ø Ø Ò ÙØ Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙÚÙ ÐÐ Ä ÑÑ º½¾º à ÐÐ x,y R ÔØ x + y x + y. Ã Ò Ö Ð ÐÙ Ù ÓÒÓ Ò ÓÙ Ó Ñ Ö ØÒ J (R)º ÄÙ Ù ÓÒÓ Ò Ð ØØÝÚØ ÑÖ ¹ Ø ÐÑØ ÓÚ Ø ÓÙ Ó R ØÝ Ò Ñ ÒÐ Ø Ù Ò ÓÙ Ó Q ÅÖ Ø ÐÑ º½ º ½µ ÂÓÒÓ (x n ) n=1 J (R) ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ Ó ÓÒ M R Ø Ò ØØ x n M ÐÐ n Z + º ¾µ ÂÓÒÓ (x n ) n=1 J (R) ÙÔÔ Ò Ó Ø ÐÙ Ù x R Ó ÐÐ ε > 0 ÓÒ N N Ø Ò ØØ x n x < ε ÙÒ n N. µ ÂÓÒÓ (x n ) n=1 J (R) ÓÒ Ù ÝÒ ÓÒÓ Ñ Ö ØÒ (x n) n=1 C (R) Ó ÐÐ ε > 0 ÓÒ N N Ø Ò ØØ x n x m < ε ÙÒ n,m N. ÀÙÓÑ ÙØÙ Ä Ù º ÔØ ÑÝ ÙÒ J = J (R) Ð ÙÔÔ Ò Ú Ø Ö Ð ÐÙ Ù ÓÒÓØ ÓÚ Ø Ù ÝÒ ÓÒÓ Ù ÝÒ ÓÒÓØ ÓÚ Ø Ö Ó Ø ØØÙ º ÌÓ ØÙ ÓÒ ÙÓÖ ÓÔ Ó Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù ÓÒÓ Ò Ø Ô Ù Ø º ÅÝ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÙÔ ØÙ ÒÒ Ø ÝÐ ØÝÚØ Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ Ä ÑÑ º½ º µ ÂÓ x,y,z R x + z = y + z Ò Ò x = yº µ ÂÓ x,y R xy = 0 Ò Ò x = 0 Ø y = 0º µ ÂÓ x,y R z R xz = yz Ò Ò x = yº ÌÓ ØÙ º ÃÓ Ø µ µ ØÓ Ø Ø Ò ÙØ Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙÚÙ ÐÐ µ¹ Ó Ø Ú Ø Ô ¹ Ò Ò Ø Ö Ø ÐÙÒ Ó Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º

26 ¾ Ç Ó Ø ÑÑ ÙÖ Ú ØØ ÄÙÚÙÒ ÐÓÔÙ Ú ØÙØ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÓÒ Q Ð ØØÝÚØ Ò ÐÝÝ Ò ÓÒ ÐÑ Ø ÓÖ ÒØÙÚ Ø Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó º Ã Ö ÑÑ ÐÙ Ô ÒØ ÔÙØÙÐÓ Ø Ä ÑÑ º½ º ÇÐ ÓÓÒ γ = (c k ) k=1 Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ù ÝÒ ÓÒÓ ÓÐ ÓÓÒ c Q +º ÂÓ ÓÒ ÓÐ Ñ N N Ø Ò ØØ c k < c Ò ÙÒ k N Ò Ò [γ] cº ÌÓ ØÙ º ÂÓ [γ] = 0 Ò Ò Ú Ø ÔØ º ÂÓ [γ] R + Ò Ò [γ] = [γ]º ÂÓ ÒÝØ ÓÐ Ò [γ] > c Ò Ò [(c k c) k=1 ] = [(c k) k=1 ] [(c) k=1 ] = [γ] i(c) = [γ] c R +. ÌÐÐ Ò Ð ÝØÝÝ q Q + N N Ø Ò ØØ c k c q ÐÐ k N ÓØ Ò Ö ØÝ Ø c k c + q > c ÐÐ k N º ÌÑ Ó Ø Ö Ø Ö Ø Ò ÐÐ ÓÐ ØÙ Ø ÝØØ Ò ÑÑ ÐÐ k max{n,n } ØØ c < c k c k < cº Ì Ô Ù [γ] R + Ø ÐÐÒ Ñ Ò Ø Ô Òº Ä ÑÑ º½ º ÇÐ ÓÓÒ ε R + º ÌÐÐ Ò Ð ÝØÝÝ ε Q + Ø Ò ØØ 0 < ε < εº Ö ØÝ Ø Ó ÐÐ M N ÓÒ n N ÓÐÐ M/n < εº ÌÓ ØÙ º À Ö Ó ØÙ Ø ØÚº ÀÙÓÑ ÙØÙ ÅÙ Ø ØØ Ø Ú Ñ Ø ÑÑ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙÚÙÒ q Q Ò Ú Ó ÓÒÓ (q) n=1 Ú Ø Ú Ò Ö Ð ÐÙÚÙÒ Ò ÓØ Ò Ö Ð ÐÙÚÙÒ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙÚÙÒ Ú ÖØ Ñ Ò Ò ÓÒ ÐÐ ØØÙ Ä ÑÑ º½ º ÌÓØ ÑÑ ÐÐ ÐÙÚÙ ØØ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ù ÝÒ ÓÒÓÐÐ α C (Q) ÚÐØØÑØØ ÓÐ Ö ¹ ÖÚÓ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó º Ë ÙÖ Ú Ð Ù Ó Ó ØØ ØØ ØÑ ÓÒ ÐÑ ÔÓ ØÙÙ ÙÒ ÓÒÓÒ α C (Q) ÙÔÔ Ò Ñ Ø Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ñ ØÙ Ò ÙØØ µº Ä Ù º½ º ÇÐ ÓÓÒ α = (a n ) n=1 Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ù ÝÒ ÓÒÓº ÌÐÐ Ò ÓÒÓ α ÙÔÔ Ò Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ò Ö ¹ ÖÚÓ ÓÒ ÓÒÓ α Ú Ø Ú Ú Ú Ð Ò ¹ ÐÙÓ x = [α] Rº ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ ε > 0º ÌÝØÝÝ Ó Ó ØØ ØØ Ð ÝØÝÝ N N Ø Ò ØØ ½¼µ a n x < ε Ò ÙÒ n N. Ä ÑÑ Ò º½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ε Q + Ø Ò ØØ 0 < ε < εº ÃÓ (a n ) n=1 ÓÒ Q Ò Ù ÝÒ ÓÒÓ ÓÒ ÓÐ Ñ N N Ø Ò ØØ ½½µ a n a m < ε Ò ÙÒ n,m N. ÃÓ ÚÓ ÑÑ Ö Ó ØØ a n = [(a n ) k=1 ] R ÙÓÑ Ú Ó ÓÒÓ µ ØÓ ÐØ x = [(a k ) k=1 ] Ò Ò a n x = [(an ) k=1 ] [(a k) k=1 ] = [(an a k ) k=1 ]. à ÒÒ Ø ØÒ ÒÝØ n N Ñ Ö ØÒ c k = a n a k º ÌÐÐ Ò Ó Ò ½½µ ÑÙ Ò c k = a n a k < ε Ò ÙÒ k N ÓÐÐÓ Ò Ä ÑÑ Ò º½ ÒÓ ÐÐ [(ck ) k=1 ] ε º ÅÙØØ ÒÝØ Ò a n x = [(ck ) k=1 ] ε < ε Ò ÙÒ n N ÓØ Ò Ú Ø ½¼µ ÔØ º Ë Ô x = lim n a n º Ä Ù Ò º½ ÚÙÐÐ ÚÓ ÑÑ ÒÝØ ØÓ Ø ØØ Ø ÑÙÙØ Ò Ö Ð ÐÙ¹ Ù Ò Ù ÝÒ ÓÒÓØ ÙÔÔ Ò Ú Ø ÓÙ Ó Rº

27 ¾ Ä Ù º½ º ÂÓ Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ù Ò Ù ÝÒ ÓÒÓ ÙÔÔ Ò º ÌÓ ØÙ º Á Ò ÓÒ ÖÚ Ó Ö Ð ÐÙ Ù Ò Ù ÝÒ ÓÒÓ ÓÔ Ú ÐÐ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ù ÝÒ ÓÒÓÐÐ ÓÐÐ ÓÒ ÐÐ Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ Ö ¹ ÖÚÓ ÓÙ Ó Rº Ç Ó Ø ÑÑ ØØ ØÑÒ Ö ¹ ÖÚÓÒ ØÝØÝÝ ÓÐÐ ÑÝ Ð ÙÔ Ö Ò ÓÒÓÒ Ö ¹ ÖÚÓº ÇÐ ÓÓÒ (x n ) n=1 C (R)º ÂÓ Ò Ò x n R ÓÒ ÓÒ ÙÒ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ù ÝÒ ÓÒÓÒ ÑÖÑ Ú Ú Ð Ò ÐÙÓ º ÇÐ ÓÓÒ ÓÒÓ (a n,k ) k=1 ÐÙ Ù x n Ú Ø Ú Ò ÐÙÓ¹ Ò Ù Ø ØÓ Ò ÒÓ Ò x n = [(a n,k ) k=1 ]º Ä Ù Ò º½ ÒÓ ÐÐ x n = lim k a n,k ÓØ Ò ÐÐ n Z + Ð ÝØÝÝ Ò K n N Ø Ò ØØ Ë Ø Ò Ö ØÝ Ø Å Ö ØÒ q n = a n,kn º x n a n,k < 1 n x n a n,kn < 1 n Ò ÙÒ k K n. ÐÐ n N. ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ ε > 0º ÃÓ (x n ) n=1 C (R) Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ N N Ø Ò ØØ x n x m < ε/3 ÙÒ n,m Nº Ä ÑÑ Ò º½ ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ð Ú Ð Ø N 1 N Ø Ò ØØ 1/N 1 < ε/3º ÌÐÐ Ò ÐÐ n N 1 ÔØ ½¾µ x n q n < 1 n 1 N 1 < ε/3. ÂÓ ÒÝØ n,m N 1 Ò Ò q n q m = q n x n + x n x m + x m q m q n x n + x n x m + x m q m < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. Æ Ò ÓÐÐ Ò (q n ) n=1 ÓÒ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ù ÝÒ ÓÒÓº ÂÓ x = [(q n) n=1 ] R ÓÒ ØØ ÓÒÓ Ú Ø Ú Ö Ð ÐÙ Ù Ò Ò Ä Ù Ò º½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ x = lim n q n º ÇÒ Ú Ð Ó Ó Ø ØØ Ú ØØ x = lim n x n º ÃÓ x = lim n q n Ò Ò Ð ÝØÝÝ N 2 N Ø Ò ØØ x q n < ε/2 Ò ÙÒ n N 2 º ÌÐÐ Ò ÐÐ n max{n 1,N 2 } Ò ÖÚ ÓÒ ½¾µ ÚÙÐÐ x n x x n q n + q n x < ε/3 + ε/2 < ε, ÓØ Ò ØÓ ÐÐ Ò x n x ÙÒ n º ÀÙÓÑ ÙØÙ ÃÓ ÓÙ ÓÒ R Ù ÝÒ ÓÒÓØ ÙÔÔ Ò Ú Ø ÒÓØ Ò ØØ R ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Òº Ù ÝÒ ÓÒÓ Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò ÚÙÐÐ ÚÓ ÑÑ ÒÝØ ØÓ Ø ÙÖ Ú Ø Ò ÐÝÝ Ò Ò¹ Ò ÐØ Ö ØØ Ò ØÖ Ø Ô Ö ØØ Ø ÑÙ Ø ØØ Ô Ò Ò ÝÐÖ ÙÙÖ Ò Ð Ö Ñ¹ Ö Ø ÐÐÒ Ö Ð ÐÙ Ù Ò Ó ÓÙ Ó ÐÐ Ú Ò ÑÓ Ò Ù Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ó ÓÙ Ó ÐÐ ÑÖ Ø ÐÑ º½½º Ä Ù º½ º µ ÇÐ ÓÓÒ A R ÔØÝ ÝÐ ÐØ Ö Ó Ø ØØÙ ÓÙ Óº ÌÐÐ Ò ÓÙ¹ ÓÐÐ A ÓÒ Ô Ò Ò ÝÐÖ ÓÙ Ó Rº µ ÇÐ ÓÓÒ B R ÔØÝ Ð ÐØ Ö Ó Ø ØØÙ ÓÙ Óº ÌÐÐ Ò ÓÙ ÓÐÐ B ÓÒ ÙÙÖ Ò Ð Ö ÓÙ Ó Rº ÌÓ ØÙ º ÌÓ Ø ÑÑ µ¹ Ó Ò µ¹ Ó Ø ÚÓ Ò Ó Ó ØÓ Ø Ñ Ò Ø Ô Ò Ø Ô Ð ÙØØ µ¹ Ó Ø Ò Ø Ö Ø Ð Ñ ÐÐ ÓÙ Ó Bº

28 ¾ µ Î Ð Ø Ò ÐÐ n N Ô Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù y n ÓÐÐ y n /n ÓÒ ÓÙ ÓÒ A ÝÐÖ ØÓ Ò ÒÓ Ò y n = min{y Z : y/n ÓÒ ÓÙ ÓÒ A ÝÐÖ }. ÌÐÐ Ò Ò ÐÙ Ù y n Ð ÝØÝÝ ÐÐ A ÓÒ ÝÐ ÐØ Ö Ó Ø ØØÙ ÓØ Ò y/n ÓÒ Ú ÖÑ Ø ÓÙ ÓÒ A ÝÐÖ Ø ÖÔ ÙÙÖ ÐÐ y Z ØÓ ÐØ Ó Ù Ò Ø ÝÐÖ Ó Ø y/n ÓÒ Ô Ò Ò ÐÐ Ó ÐÐ Ð ÐØ Ö Ó Ø ØÙÐÐ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÔØÝ ÐÐ Ó ÓÙ ÓÐÐ ÓÒ Ñ Ò Ñ ØÑ ÚÓ Ò ØÓ Ø Ò Ù Ø ÓÐÐ µº ÄÙÚÙÒ y n ÑÖ Ø ÐÑÒ ÒÓ ÐÐ Ð ÝØÝÝ x n A ÓÐÐ ½ µ y n 1 n < x n y n n. ÇÐ ÓÓØ ÒÝØ m,n N Ø Ò ØØ yn n ym m º ÌÐÐ Ò y m m 1 m = y m 1 m < y n n y m m, ÐÐ ÑÙÙØ Ò y m ÓÐ Ñ Ò Ñ Ð Ò Ò Ñ Ø µº Ë Ô ÓØ Ò Ö ØÝ Ø 0 y m m y n n < 1 m, y m m y n < 1 n m. ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ ε > 0º ÃÙÒ m,n > 1/ε Ò Ò ÐÐ Ò ÖÚ ÓÒ ÒÓ ÐÐ y m m y n < ε, n ÓØ Ò ÓÒÓ (y n /n) n=1 ÓÒ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Òµ Ù ÝÒ ÓÒÓº Ä Ù Ò º½ ÑÙ Ò ÙÔÔ Ò Ó Ø Ö ¹ ÖÚÓ w Rº µ Ç Ó Ø ÑÑ ØØ ÐÙ Ù w R ÓÒ ÓÙ ÓÒ A Ô Ò Ò ÝÐÖ º ÆÝØ ØÒ ÐÙ ØØ w ÓÒ ÓÙ ÓÒ A ÝÐÖ ÂÓ ÓÐ Ò x A ÓÐÐ w < x Ò Ò x w R + º ÌÐÐ Ò Ö ¹ ÖÚÓÒ ÑÖ Ø ÐÑÒ ÒÓ ÐÐ Ð ÝØÝÝ n N ÓÐÐ w y n < x w. n 2 Ì Ø ÙÖ Ô Ò ÐÐ Ð ÙÐÐ Ú ÖØ Ó Ø Ò ½ µ ÐÐ µ ØØ x y n n x w 2 > 0. Ë Ô x > y n /n Ñ ÓÒ Ö Ø Ö Ò Ò ØØ y n /n ÓÒ ÓÙ ÓÒ A ÝÐÖ º Æ Ò ÓÐÐ Ò ÐÙÚÙÒ w ØÝØÝÝ ÓÐÐ ÓÙ ÓÒ A ÝÐÖ º ÌÝØÝÝ Ú Ð Ó Ó ØØ ØØ w ÓÒ ØÓ ÐÐ Ô Ò Ò ÓÙ ÓÒ A ÝÐÖ Ó Ø ÇÐ ÓÓÒ u < wº ÌÐÐ Ò ÚÓ Ò Ú Ð Ø Ò Ò ÙÙÖ n N ØØ y n n w w u R + 4 Ð 1/n (w u)/4 ÓÐÐÓ Ò Ó Ò ½ µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ x n A Ø Ò ØØ y n n x n 1 n w u. 4

29 ¾ ÆÝØ ½ µ x n u = x n y n n + y n n w + w u w u 4 y n n w }{{} w u 4 + w u w u 2 ÓØ Ò A x n > u Ò ÒÔ u ÚÓ ÓÐÐ ÓÙ ÓÒ A ÝÐÖ º Ë Ô w ÓÒ ÚÐØØÑØØ Ô Ò Ò ÓÙ ÓÒ A ÝÐÖ Ó Ø º > 0, ÀÙÓÑ ÙØÙ Ò ÐÝÝ Ò ÙÖ ÐÐ ÓÒ Ø Ô Ò ÓØØ ØÓ Ø Ñ ØØÓÑ µ Ô ÖÙ ÓÐ ¹ ØÙ Ð ÓÓÑ µ Ó Ó µ ÙÐ ØØÙ Òµ Ø Ò ÚÐ Ò Ô Ö Ø ÂÓ I 1 I 2... ÓÚ Ø ÔØÝ ¹ ÙÐ ØØÙ Ö Ó Ø ØØÙ Ö Ð ÐÙ ÙÚÐ Ò Ò Ò Ò Ð Ù i=1 I i ÓÒ ÔØÝ Ø µ ØÝ ÐÐ ÝÝ ÓÓÑ ÂÓ ÐÐ ÝÐ ÐØ Ö Ó Ø ØÙÐÐ ÔØÝ ÐÐ ÓÙ ÓÐÐ A R ÓÒ Ô Ò Ò ÝÐÖ º ÆÑ Ô Ö ØØ Ø ÓÚ Ø ÒÝØ Ð Ù Ø µ µ ÓÒ Ä Ù º½ µ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÙ Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º ÀÙÓÑ ÙØÙ Ë Ø Ò ÚÐ Ò Ô Ö ØØ Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ó ÐÐ Ö Ð ÐÙÚÙÐÐ ÑÖØ Ñ Ð Ø ÐÑ Ø Ó Ñ Ö Ã ÐÔ Ð Ò Ò Ò ÐÝÝ Á µº Æ Ò Ù¹ ÝÒ ÓÒÓ Ò Ú Ú Ð Ò ÐÙÓ Ò ÚÙÐÐ ØÖ Ø Ø ÑÖ Ø ÐÐÝ ÐÐ Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ ÑÑ Ò ØÙØØÙ ÓÒ Ö ØØ Ò Ò ØÝ º Ã Ø ÐÐÒ Ú Ð Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÓÒ ÐÑ Ú ÒÒÓÐÐ Ø Ò Ø Ñ Ö Ø º½¼ º½¾ ÐÓÔÔÙÙÒ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ñ Ö º¾¼º ØÐ ÐÐ x 2 = 2 ÓÒ Ö Ø Ù Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó º ÌÑ Ò ¹ Ò ÙÖ Ú Ø ÇÐ ÓÓÒ A = {x R : x 2 < 2}. ÌÓ Ø Ñ ÐÐ Ñ Ö Ò º½¾ ÔØØ ÐÝÒ ÓÙ Ó R ÙÓÑ ÑÑ ØØ Ñ Ò ÓÙ ÓÒ A ÐÙÚÙ Ø ÚÓ ÓÐÐ ÓÙ ÓÒ A ÝÐÖ º Î Ø Ú Ø Ò Ò ØØ Ñ Ò ÓÙ ÓÒ B = {x R : x 2 > 2} ÐÙÚÙ Ø ÚÓ ÓÐÐ ÓÙ ÓÒ A Ô Ò Ò ÝÐÖ º ÌÓ ÐØ A ÓÒ ÔØÝ Ñº 1 Aµ ÝÐ ÐØ Ö Ó Ø ØØ٠Ѻ 2 ÓÒ ÝÐÖ µ ÓØ Ò Ä Ù Ò º½ ÑÙ Ò ÓÙ ÓÐÐ A ÓÒ Ô Ò Ò ÝÐÖ a Rº ÐÐ ØÓ ØÙÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÚÓ ÓÐÐ a 2 < 2 a 2 > 2 ÓØ Ò ÚÐØØÑØØ a 2 = 2º Ë Ñ ÐÐ ÔØØ ÐÝÐÐ Ò ØØ ÑÝ ÓÙ ÓÒ A ÙÙÖ Ò Ð Ö ÓÒ Ý ØÐ Ò x 2 = 2 Ö Ø Ùº ÁØ ÐÐ ÔÓ Ø Ú ÐÐ Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ÙÙÖ Ø Ä Ù º¾½º ÇÐ ÓÓÒ x R + ÓÐ ÓÓÒ n Nº ÌÐÐ Ò ÓÒ ( n x) n = xº Ä Ó x,y R + x < y Ò Ò n x < n yº n x R + ÓÐÐ ÔØ ÌÓ ØÙ º ÄÙÚÙÒ n x ÓÐ Ñ ÓÐÓ ØÓ Ø Ø Ò Ñ Ò Ø Ô Ò Ù Ò Ñ Ö º¾¼ ØÓ Ø Ø Ò ÐÙÚÙÒ 2 ÓÐ Ñ ÓÐÓº ÂÖ ØÝ Ò ÐÝÑ Ò Ò Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø Ø¹ Ú º

30 ¼ ÀÙÓÑ Ó Ø µ ÄÙ Ù n x ÒÓØ Ò ÐÙÚÙÒ x R + n ÒÒ ÙÙÖ µ ÂÓ x R + Ò Ò Ý ØÐ ÐÐ r n = x ÓÒ Ö Ø Ù r R + Ø ÑÐÐ Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ n ÓÒ Ô Ö ØÓÒº µ ÂÓ x R + n ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ò Ò Ý ØÐ ÐÐ r n = x ÓÒ Ö Ø ÙØ ± n xº ÀÙÓÑ ÙØÙ Ê Ð ÐÙÚÙØ ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø ÑÖ Ø ÐÐ ÑÝ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ¹ Ò Ò Ð Ù Ø Ò ÚÙÐÐ Ë ÒÓÑÑ ØØ ÓÙ Ó A Q ÓÒ Ò Ò Ð Ù Äµ Ó ÙÖ Ú Ø ÓØ ÓÚ Ø ÚÓ Ñ A A Q ÂÓ ÐÙÚÙÐÐ x Q Ð ÝØÝÝ a A Ø Ò ØØ x a Ò Ò x A à ÐÐ a A Ð ÝØÝÝ b A Ø Ò ØØ a < bº Ñ Ö ÓÙ Ó ÓÒ Ò Ò Ð Ù º A = {a Q : a < 0 Ø a 2 2} Ê Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó ÚÓ Ò ÒÝØ ÑÖ Ø ÐÐ Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ò Ò Ð Ù Ø Ò ÓÙ ÓÒ R = {A Q : A ÓÒ Ä}, ÓÐÐÓ Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù q Q ÚÓ Ò Ñ Ø ÓÙ ÓÒ Ò º Q = {a Q : a < q} Ê Ð ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ ÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ ÓÒ ÙÓÖ Ú Ú Ò Ò Î ÒÒÝ Ð Ù ÑÖ Ø ÐÐÒ ØØ Ñ ÐÐ ÓÐÐÓ Ò Ö ØÝ Ø A + B = {a + b : a A, b B}. A B = {a b : a A, b Q \ B}, B = 0 B = {a b : a < 0, b Q \ B}. à ÖØÓÐ ÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ ÓÒ Ñ Ò ÑÙØ ÑÔ º ÅÖ Ø ÐÐÒ ØØ Ú ÖØ Ò Ò Ò Ö ØÝ ÓÙ ÓÓÒ R ØØ Ñ ÐÐ ÂÓ ÒÝØ A,B R A,B 0 Ò Ò A B A B. A B = {ab : a A, a 0 b B, b 0} {q Q : q < 0}. ÂÓ A < 0 Ø B < 0 Ò Ò ÖØÓÐ ÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ô Ð ÙØ Ø Ò ÔÓ Ø Ú Ø Ò ÐÙ Ù Ò ÖØÓÐ Ù ØØ Ñ ÐÐ ÑÙÓ ÓÐÐ Ø µ A B = ( A ( B) ) = ( A B) ) = ( A ( B) ) ; Ó Ò Ò Ø Ó Ø ÑÓÐ ÑÑ Ø ÖÖÓØØ Ú Ø ÓÚ Ø ¹Ò Ø Ú ØÑ Ó Ø Ñ¹ Ö ØØ ÑÙÙØ ØÙÐÓغ

31 ÅÖ Ø ÐÑ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÓÒ Ñ Ð Ó ÐÚ ØØ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ØÓ¹ Ø Ñ Ò Ò ÓÒ ÓÒ Ò Ú ÖÖ Ò ØÝ ÐÑÔ Ù Ò Ù ÝÒ ÓÒÓ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ñ¹ Ö Ø ÐÑ ÚÖغ Ä Ù º µº ÌÓ ÐØ Ò Ò Ð Ù Ø Ò ÚÙÐÐ ÓÙ ÓÒ R Øݹ ÐÐ ÝÝ Ò Ó Ó ØØ Ñ Ò Ò ÓÒ ÐÔÔÓ ÂÓ A R ÓÒ ÝÐ ÐØ Ö Ó Ø ØØÙ Ò Ò ÐÙ Ù M = {q Q : q A ÓÐÐ Ò A A } = A ÓÒ ÓÙ ÓÒ A Ô Ò Ò ÝÐÖ º ÂÓ Ò Ñ ØØ Ò A A a A Ò Ò ÓÙ ÓÒ M ÑÖ ¹ Ø ÐÑÒ ÒÓ ÐÐ a Mº Ë Ô A M Ð A M Ñ Ø Ò ÑÑ ØØ M ÓÒ A Ò ÝÐÖ º ÂÓ ØÓ ÐØ M ÓÒ Ó Ò A Ò ÝÐÖ q M Ò Ò q A ÓÐÐ Ò A A ÓÐÐÓ Ò A M Ð A M º Æ Ò ÓÐÐ Ò ÑÝ q M ÓØ Ò M M Ð M M º Ë Ô M ÓÒ A Ò ÝÐÖ Ó Ø Ô Ò Òº Î ÖØ ØØ Ä Ù Ò º½ º½ ØÓ ØÙ Ò Ó Ñ Ô ÖÙ Ø ÐØ Ò Ù ÝÒ ÓÒÓ Ò ÚÙÐÐ À ØÓÖ Á Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÑÖ ØØ Ð Ñ Ø Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÚÙÐÐ ÓÒ Ú Ò¹ ÒØÝÝ Ø Ú ÐÐ Ò Ó ÒØ Ò ÃÖ Ù Ó Ó Ò ¼ ÃÖºµ Øع Ñ Ù Ø Ò Ø ÓÖ º ÍÙ Ò Ò Ò ÑÑ Ò Ò ØÖ ÐÙ Ù ØØ Ò ØØ ÓÐ Ë ÑÓÒ ËØ Ú Ò ½ ½ ¾¼ ÀÓÐÐ ÒØ µ Ó ØØ ØÙ Ò ØØ ÐÙ Ù ÚÓ Ò ÔÔÖÓ ÑÓ Ñ Ð Ú ÐØ ÐÐ Ø Ö ÙÙ ÐÐ ÔØØÝÚ Òµ Ñ Ð ÐÙ Ù Ò ÚÙÐÐ º Ã Ø Ù Ø Ò Ò Ô Ø Ò ÒÒ Ò Ù Ò Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ Ø Ò Ø ÑÐÐ Ò Ò Ýع Ø ÐÔÓ Ò Ò ÑÖ Ø ÐѺ Ñ Ö Ù Ù Ø Ò¹ÄÓÙ Ù Ý ½ ½ Ê Ò µ ÒÒ ØØÒÝØ ÓÔÔ Ö Ò ÓÙÖ ³ Ò ÐÝ ½ ¾½µ ÙÙÖ ÑÔ ÙÓÑ ÓØ Ö Ð ÐÙ¹ Ù Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ØÓØ Ú Ò ØØ Ö Ð ÐÙÚÙØ Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÓÒÓ Ò Ö ¹ ÖÚÓ Ò Ò Ú Ö Ò Ø ÝØØÒÝØ Ù ÝÒ ÓÒÓ µµº Å Ø Ñ ØØ Ò Ò ÐÝÝ Ò Ø ÑÐÐ ØÝÑ Ò Ò ½ ¼¼¹ÐÙÚÙÒ ÙÐÙ ÐÓ Ù Ø Ò Ò Ø ÖÔ Ò ÑÝ Ö Ð ÐÙ Ù Ò Ø Ö ÐÐ ÑÖ Ø ÐÑÐÐ Ú Ò Ò Ò ØØ Ù Ø Ñ Ø Ñ Ø ÓØ ÙÐ Ú Ø ÝÚ Ò ÐÝ Ý Ò Ò ÐÐ Ö Ð ÓÒ ØÖÙ Ø Ó Ø Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ Ê Ö Ò ½ ½ ½ ½ Ë µ ØØ Ð Ò Ò Ð Ù Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ò Ö Ð ¹ ÐÙ Ù Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÚÙÓÒÒ ½ ÑÙØØ ÙÐ Ø Ò Ú Ø ½ ¾º ÓÖ ÒØÓÖ ½ ½ ½ Î Ò»Ë µ ØØ Ð Ñ Ò ÚÙÓÒÒ ½ ¾ ÓÑ Ò Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÑÖ ¹ Ø ÐÑÒ Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ù ÝÒ ÓÒÓ Ò ÚÙÐÐ º ÌØ Ð ØÝÑ Ø Ô ÓØ Ñ Ò ØÐÐ ÙÖ ÐÐ ÒÓÙ Ø ÑÑ µ ÓÐ Ú Ø ÝØØÒ Ø Ñ Ò ÑÑ Ò ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØ ÑÝ ÖÐ Å Ö Ý ½ ½ ½½ Ê Ò µ ÚÙÓÒÒ ½ Ù Ö À ¹ Ò ½ ¾½ ½ ½ Ë µ ÑÝ Ò ÚÙÓÒÒ ½ ¾º Å Ò Ø Ò Ø Ý Ø Ý Ú Ð Ã ÖÐ Ï Ö ØÖ ½ ½ ½ Ë µ Ó ÝØØ ÐÙ ÒÒÓ ÐÐ Ò Ø ÑÐÐ Ø Ñ Ð Ø Ð¹ Ñ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÑÖ Ø ÐÑ ÚÙÓ Ø ½ Ð Ò ÙÐ Ø Ò ÚÙÓÒÒ ½ µº à ÒÑ Ö Ð Ø Ñ ÐÐ Ø Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ Ó Ø Ú Ø Ù Ø Ò Ò ÓÐ ÐÐ Ø Ñ Ò ÐÓÔÔÙØÙÐÓ Ò ÐÐ Ò ÓÚ Ø ÒÒ ÓÑÓÖ º ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ö Ñ ÐÐ Ò ÚРй Ð ÓÒ ÓÐ Ñ Ø Ó Ó ÐÝØØ ÓÙ ÓÒ R Ö ÒØ Ò Ð Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ö ØÝ Òº A A ½ º ÃÓÑÔÐ ÐÙÚÙØ Ä Ù Ò º¾½ ÑÙ Ò Ó ÐÐ ÔÓ Ø Ú ÐÐ Ö Ð ÐÙÚÙÐÐ ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò n ÙÙÖ ÐÐ n Nº Ë Ò Ò Ñ Ö Ý ØÐ ÐÐ x 2 = 1 ÓÐ Ö Ø Ù Ö Ð ÐÙ Ù¹ Ò ÓÙ Ó 1 / R + ØÓ ÐØ Ò Ö Ð ÐÙ Ù Ò Ò Ð Ø ÓÚ Ø ¹Ò Ø Ú º

32 ¾ ÂÓØØ ØÐÐ Ò Ý ØÐ ÐÐ Ø Ò Ö Ø Ù ØÝØÝÝ ÐÙ Ù ÐÙ ØØ Ð ÒØ ÐÐ Òº ¹ ÑÑ Ð ÒÒÙ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÚÐ Ø ØÝØ ØØ Ò Ò Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙÚÙ ÐÐ ØØ Ò Ð ÐÐ Ò Ø Ö Ø Ø Ð ØØ Ò ÖÖ Ø ÓÒ Ð ÐÙÚÙ ÐÐ º Æ Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ø Ò Ð Ò ÓÙ Ó R ÓÐ Ò Ö Ó Ò ÐÙ Ù ÐÙ ØØ ÚÓ ÐÐ Ò Ð ÒØ º Å Ø Ò ÙÙ Ð ÒÒÙ ØÙÐ Ø Á R ÓÒ Ó ØÝÒÒ ÓØ Ò Ð ÒÒ Ø Ò ÚÙÐÐ º À ÐÙ ÑÑ Ð Ø ÐÙ Ù Ö Ø ÐÑÑÑ ÑÙ Ò Ð ÓÒ 1 Ø Ò ØØ Ö ¹ Ð ÐÙ Ù Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø ÚÓ Ò ÙÓÖ ØØ ÑÝ Ø ÙÙ ÓÙ Ó ØÓ ÚÓÒ ÑÙ Ò ÑÝ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ò ÝÚØ ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÐÝÚغ Ö ØÝ Ø ÐÙ ÙÙÒ 1 ØÝØÝÝ ÚÓ Ð Ø Ö Ð ÐÙ Ù Ø ØÝØÝÝ ÚÓ ÖØÓ Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ ÓÐÐÓ Ò ÙÙ Ò ÐÙ Ù ÐÙ ÑÑ ØÙÐ ÐØ Ò Ò ÑÙÓØÓ a + b 1 ÓÐ Ú Ø Ð ÓØ Ñ a,b Rº ÂÓ Ö Ð ÐÙ Ù Ò Ð Ù ÒÒ Ø ÓÚ Ø ÐÐ Ò ÚÓ Ñ Ò Ò ØØ ÑÙÓØÓ ÓÐ Ú Ò ÐÙ Ù Ò ÙÑÑ Ò ØÙÐÓ (a + b 1) + (c + d 1) = (a + c) + (b + d) 1 (a + b 1)(c + d 1) = ac + ad 1 + bc 1 + bd 1 1 = (ac bd) + (ad + bc) 1, Ñ ÝØ ÑÑ ÝÚ Ø ØÓ 1 1 = 1º Ë Ô Ò Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ò ØÙ¹ ÐÓ Ø ÓÚ Ø ÑÝ Ñ ÑÙÓØÓ ÓÐ Ú ÐÙ Ù º ÃÙÒ Ø Ð ÑÑ ÐÙ Ù a + b 1 Ö Ð ÐÙ ÙÔ Ö Ò (a,b) R 2 ÚÓ ÑÑ ØØ ÐÐ Ø Ò Ú ÒØÓ Ò Ð Ò Ø ÑÐÐ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ØÐÐ ÙÙ ÐÐ ÐÙ Ù ÐÙ ÐÐ ÅÖ Ø ÐÑ º½º ÃÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó C ÓÒ C = R 2 = {(a,b) : a,b R} Ú ÖÙ Ø ØØÙÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ ØØ ÐÐ Ý Ø ÒÐ ÙÐÐ (a,b) + (c,d) = (a + c,b + d) ÖØÓÐ ÙÐÐ Ó ÑÖ Ø ÐÐÒ ØØ Ñ ÐÐ (a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc). Ã Ö Ð ÐÙ Ù Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ò ÝÚØ ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÝÐ ØÝÚØ ØÓ ÐÐ ÑÝ ÓÑÔÐ ÐÙÚÙ ÐÐ Ä Ù º¾º µ ÃÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÖØÓÐ Ù ÓÚ Ø Ó Ø Ú º µ ÃÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÖØÓÐ Ù ÓÚ Ø ÓÑÑÙØ Ø Ú º µ ÃÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò ÖØÓÐ Ù ÓÒ ØÖ ÙØ Ú Ò Ò Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ù Ø Òº µ Ð Ó 0 = (0,0) ÓÒ ÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ò ÙØÖ Ð Ð Ó Ð Ó 1 = (1,0) ÓÒ ÖØÓÐ ÙÒ Ò ÙØÖ Ð Ð Óº µ ÂÓ ÐÐ ÓÑÔÐ ÐÙÚÙÐÐ z ÓÒ Ú Ø ÐÙ Ù z = ( 1,0)z ÒØ Ð Ó Ý Ø Ò¹ Ð ÙÒ Ù Ø Òµº µ ÂÓ ÐÐ ÒÓÐÐ Ø ÔÓ Ú ÐÐ ÓÑÔÐ ÐÙÚÙÐÐ z = (x,y) ÓÒ ÒØ ÐÙ Ù ( ) x z 1 = x 2 + y 2, y x 2 + y 2 ÒØ Ð Ó ÖØÓÐ ÙÒ Ù Ø Òµº

Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø

Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ Å Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó ÔÝ ØÝÝ ÐÐ Ý ØØ Ðк Å Ò Ø Ð Ú Ø ÚÙÙ ÓÒ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) ÓÒ Å Ò Ð Ñ Ò ÑÙ Ø Ô Ó Ò Ñ Ñ ÐÙ ÙÑÖ ÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ô ØÙ Ý ØØ Øº ÂÓ Å Ò Ø Ð Ú Ø ÑÙ ÓÒ

Lisätiedot

ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù

ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº

Lisätiedot

(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc).

(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc). ÃÓÑÔÐ ÐÙÚÙ Ø ½ ½º ÂÓ ÒØÓ ØÐ ÐÐ x + 1 = 0 ÓÐ Ö Ø Ù Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ó Ó Ò Ö Ð ÐÙ¹ ÚÙÒ ØÓ Ò Ò ÔÓØ Ò ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Òº ÂÓØØ ØÐÐ Ý ØÐ ÐÐ Ø Ò Ö Ø Ù Ñ Ò ØÝØÝÝ Ð ÒØ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ð ÑÐÐ Ò ÙÙ Ð Ó Ñ Ö ØÒ Ø¹ Ø ØÓ Ø

Lisätiedot

ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ

ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º º ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø Ø ¹ÑÖ ØØ ÐÝ º¾µ ÚÓ Ú Ø Ø ÑÝ Ø Ò ÑÖ Ø ÐØÚ Æ Ñ ÒØÝ ÑÝ ³ ³¹Ñ Ö Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ º Ë Ò ÓÐ ÐÐ ØØÝ ØÝÔ ¹ÐÝ ÒØ º½µº ¾ ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ

Lisätiedot

Kuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely

Kuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑ Ò Ö ÒÒ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ø ÐРؽ ؾ Ø È Ð Ó ÐÑ Ò Ô ÖÙ Ö ÒÒ Ì ØÓ ÓÒ Ô Ð Ò ÝØ Ñ Ò ÓÒ Ñ ÐÐ Ó Ø Ò ÙÚ ØØ ÐÐ Ø Ñ ÐÑ Ø ÚÓ ÓÐÐ Ú Ò Ý Ò ÖØ Ò Ò Ð

Lisätiedot

Ð ØÖÓÒ Ø Ñ ÙÚÐ Ò Ø Ì ÑÙ Ê ÒØ ¹ Ó À Ð Ò ¾ º ÐÓ ÙÙØ ½ Ë Ò ÙÔ Ò ÝÒÒ Ò Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Å Ù Ö Ø ÐÑØ ¾ ¾º½ ÆÝ Ý Ø Ñ Ù Ö Ø ÐÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø

Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò ØÓÖ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð

Lisätiedot

F n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}.

F n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}. Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½

Lisätiedot

À Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø

À Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø Ì ÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ì Ó Ø ÐÐÒ ÓÒ ÐÑ ÓØ ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ö Ø Ú ÑÙØØ Ó Ò Ö Ø Ù Ú Ø Ò Ò Ô Ð ÓÒ Ø Ø Ð ØØ Ö Ø Ù ÓÐ ÝØÒÒ ÐÚÓÐÐ Ò Òº Í ÑÑ Ø ÓÐ ØØ Ú Ø ØØ ÆȹØÝ ÐÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÚ Ø Ø ÔÙÑ ØØÓÑ ÒØÖ Ø Ð µ ÑÙØØ ØØ ÓÐ ØÓ Ø ØØÙº

Lisätiedot

ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼

ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼ Å Ð Ë Ú Ð ÂÓ ÒØÓ Ð Ø ÓÖ Òº ØÖ ÙØ Ú Ø Ð Ø ÔÐÓÑ ØÝ ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼ ÁÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ ÐÙÓÒÒÓÒØ

Lisätiedot

p q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2

p q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 º ÅÓÒ ÙÐÓØØ Ø Ö ÒØ Ð Ð ÒØ º½ Â Ø ÙÚÙÙ Ó ØØ Ö Ú Ø Ø Ù Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ö ÒØ Ð Ð ÒØ ÐÑÔ Ø Ð ÓÒ Ò Ô Ò ÙÒ Ø Ó T(x, y, z.t) ÄÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ÐÑÓ ØØ Ñ Ò ÙÙÒØ Ò ÐÑÔ Ø Ð Ú ÚÓ Ñ ÑÑ Ò Ù Ò Ð ÐÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ½½ ÃÓÓÖ

Lisätiedot

È Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾»

È Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾» È Ú Ö Ù ÆÈ Á à РÐÙÓ Ø È ÆÈ ÒÝØØÚØ ØÝ Ò Ö Ð ÐØ Ë ÐÚ Ø È ÆȺ µ È ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÐ º µ ÆÈ ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ú Ö Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ð ÓÒ

Lisätiedot

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø È ÀÌ Ä Ì Ê ÙÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ

Lisätiedot

ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø

ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ìº à ÖÚ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ½» ½½ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì

Lisätiedot

ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö

ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ý ÝÐÐ Ø ØÓÖ ÒØ Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ

Lisätiedot

F n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }.

F n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }. Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½

Lisätiedot

el. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln (

el. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln ( ÈÙÓÐ Ó ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ô ÖÙ Ø Ø À Ì Øº ½º È ÖÖ ÔÒ¹ÔÙÓÐ Ó Ð ØÓ Ò Ò Ö ÚÝ Ñ ÐÐ ÙÒ ÙÐ Ó Ò Ò ÒØØ ÓÒ ÒÓÐÐ º ÂÓ ÓÒØ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò V 0 Ý ØÐ µ ÃÙÚ Ò ÚÙÐÐ µ Ù ÓÚ ÖØ Ý ØÐ Ø Ô¹ Ò¹ØÝÝÔ Ø Ò Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ö Ø ÓØ Ô¹ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÙÖ

Lisätiedot

A B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) =

A B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) = ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º

Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º ÂÓ ÒØÓ Ñ ØÖ Ò Ð Ò Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ò ØØ ÐÝÝÒ Ê¹Ó ÐÑ ØÓÐÐ ÒÒ Ç Ö Ò Ò Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÐÓ ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º

Lisätiedot

{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}.

{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}. Ä Ø ÓÓ Ø Ø º º Ä Ø ÓÓ Ø Ø Å Ø Ñ Ø ÓØ ÑÖ ØØ Ð ÚØ Ù Ò ÓÙ Ó ÑÔÐ ØØ ÐÐ ÒÓØ Ø ÓÐÐ Ò ÙØ Ò {(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}. À ÐÐ Ø Ö Ó Ú Ø Ú Ò ÒÓØ Ø ÓÒ Ð ØÓ ÐÐ Ò Ú ØÓ ØÓ Ò ÝÒØ Ò Ø Ú ÐÐ ÐÐ Ð Ø

Lisätiedot

:: γ1. g 1. :: γ2. g 2

:: γ1. g 1. :: γ2. g 2 ÌÝÝÔÔ Ú ØØ Ø ¹ Ý ÝÑÝ Ø º º¾ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ý ÝÑÝ Ð Ø x g Ò e? :: α Ö Ø Ø Ò ÓÐ ÐÐ Ø ÑÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ØØ ÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙØØ À ÐÐ ÝÐ Ø Ò ÐÐ ÑÙÙØØÙ Ó ÐÐ ÐÑ ÒØÙ ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ð Ó º Ë Ø ÑÙØ ÑÑ Ò ÑÓÒ Ý ÝÑÝ Ð Ø p g Ò e? ::

Lisätiedot

ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º

ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½

Lisätiedot

Symmetriatasot. y x. Lämmittimet

Symmetriatasot. y x. Lämmittimet Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ ¹ÖÝ ÑĐ» ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó ÅÍÁËÌÁÇ ÆÓ»Ì ÊÅǹ ¹¾¼¼¼ ÔÚÑ ½¼º Ñ Ð ÙÙØ ¾¼¼¼ ÇÌËÁÃÃÇ Ø Ú ÒعØÙÐÓ ÐÑ Ð ØØ Ò ¹Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò ÖØ Ø ØÙØ ØÙÐÓ ÐÑ Ð Ø Ñ ÐÐ Ø Ä ÌÁ ̵ ÂÙ Ú Ó Ð ¹ÂÙÙ Ð

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð Ý ÒØØ Ð Ø ÒÖ Ð Ø ÒØØ Ì Ò À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý

ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý Ä Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÑ Ò Ò Ð Ñ Ô Ð Ò ÚÙÐÐ Î ÐÐ Ã ÒÒÙÒ Ò Å Ø Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø

Lisätiedot

Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç Å ÖØØ Ì Ò Ö ¾ º½º¾¼½½ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ

Lisätiedot

arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos

arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos hyväksymispäivä arvosana arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki 12.4.2007 HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET

Lisätiedot

d 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j

d 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j ¾º¾º ÁÌÇÁÆÌÁ Ì ÁË Æ Ä Ëà ÅÁÆ Æ ¾ º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ ÌÌÈÈÈÌÄÌÅÈÈ Ò Ù Ø¹Öݹ¹ Ò¹¹¹Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÐÙ ØØ ÐÓ Ò Ù ØÖÝ d ǫ ÒØ ÖÝ ǫ e ÒÙ ØÖÝ u ǫ ÒØ Ö Ý y s Ò ØÖÝ s ǫ ÒØ Ö ǫ t ÒØÖÝ ǫ e ÒØ Ö Ø ¾º¾ ØÓ ÒØ Ø ÝÝ Ò Ð

Lisätiedot

È ÌÀÇƹÇÀ ÄÅÇÁÆÆÁÆ ËÇÎ ÄÄÍÃËÁ Å ÌÊÁÁËÁÄ Ëà ÆÌ Æ ÌÁÄ ËÌÇÌÁ Ì Ë Æ Â ÆÍÅ ÊÁË Æ Å Ì Å ÌÁÁÃÃ Æ ÄÍÃÁÇÄ ÁËÁÄÄ Ì Ò Ï ÐÐ Ö ¹Ä Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Å ÖÖ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å

Lisätiedot

ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º

ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º ÂÓ ÒØÓ ½ ½ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ ÐÐ ØÙØÙ ØÙØ Ò Ô ÖÙ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ö ØÝ Ø Ñ Ø Ò ÖÓ ØÙØÙ Ø Ø Ð Ô ÖÙ Ø Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ø À ÐÐ ÓÐÐ ÓÒ Ô Ó Ó ÐÑÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø º ½ ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ

Lisätiedot

Ì ÓÚ Ö ÓØ Ð Ò Ã ÐÐÙÒ Å Ø Ñ Ø Ò ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ½ ½ À ØÓÖ ¾ Î Ö ÓØ ÓÖ ¾º½ Î Ö ÓÒ ÚÖ ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i).

1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i). ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½

Lisätiedot

Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ Ã ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ

Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ à ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Ò ÝÚÝÝ Ð ÒØ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ

Lisätiedot

Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð

Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÖÓ Æ Ñ Ð ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø

Lisätiedot

½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1

½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1 ½º º Àǹ ÇÊ ËÁ ù Ä ÇÊÁÌÅÁ ½ à ÖÔ Ê Ò Ø Ö Ø Ð Ú Ø ÑÝ ÙÒ Ú Ö Ð Ò ÙØÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ú Ö Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ð Ø Ò q ØÙÒÒ Ø ÐÙ Ù ÓÙ Ó Ø Qº Q Ò ÐÙÚÙØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ô Ò Ò Ò Ò Ø ÖÚ Ø ÓÐÐ Ð ÙÐÙ Ù º ÎÖÒ Ø ÑÝ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ

Lisätiedot

à ÑÖ Ò ÙÙ Ò ÙÒØÓÐ Ò Ò ÓÖ ÓØ ÓÒ ÓÖ ÓÑ Ö Ò Ð Ò ÑÖÝØÝÑ Ò Ò ËÁË ÄÌ ËÁË ÄÌ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ ÌÙØ ÑÙ Ý ÝÑÝ ØÙØ ÐÑ Ò Ö ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÙÒØÓÐ Ò Ñ Ö Ò Ø ËÙÓÑ º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º Šع¾º ½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø º½º¾¼¼ Ì Ø ÐÙÒ ÑÙÐÓ ÒØ ÑÔÙÑ Ø ÖÚ Ò Ö Ø ÐÑ Ò Ù Ø ÒÒÙ Ø Ó ÙÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Â ÒÒ Ä ØÓÒ Ò ¼¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ

Lisätiedot

x 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n

x 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n ÇÈÌÁÅÇÁÆÆÁÆ È ÊÍËÌ Ì Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ¾ º ÝÝ ÙÙØ ¾¼¼ ¾ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ØÙØÙ ØÙØØ Ø Ú ÐÐ ÑÔ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ò Ò ÝØØ Ò ÓÚ ÐÐÙØÙ º ÃÙÖ Ñ Ø Ö Ð ÒØÙÙ Ò Ð Ò Ö Ó Òº ÐÙ ÐÝ Ý Ø ÖÖ Ø Ò Ñ ØÖ Ð Ö Ø

Lisätiedot

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Ì ÖÓ ÃÓ Ó Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÌÙÖÙÒ Ð ÓÔ ØÓ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ

Lisätiedot

284 = º Î Ø Ú Ø. A = kanta korkeus. A 1/2suunn = kanta+kanta 2

284 = º Î Ø Ú Ø. A = kanta korkeus. A 1/2suunn = kanta+kanta 2 ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓØ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ ÒÓ¹Ã Ö Ò ½ Å Ø Ñ Ø Ò Ý Ò Ð ØÓ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÈÝØ ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ ÈÝØ ÓÖ

Lisätiedot

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ã Ö Ì ÑÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ç ÐÑ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ð Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ

Lisätiedot

x = [ x 1 x 2 x n (x i K) x = K (n) = {(x 1, x 2,...,x n ) : x i K} e 1 = (1, 0,..., 0) Ø, e 2 = (0, 1,..., 0) Ø,..., e n = (0, 0,...

x = [ x 1 x 2 x n (x i K) x = K (n) = {(x 1, x 2,...,x n ) : x i K} e 1 = (1, 0,..., 0) Ø, e 2 = (0, 1,..., 0) Ø,..., e n = (0, 0,... ¼¼ Ë Å ØÖ Ø ÓÖ Ì ÖÓ Î Ò ÙÓ Ù ¾º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ä Ò Ö Ð Ö ½º½ Å Ö ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ È ÖÙ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Å

Lisätiedot

Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ

Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ Á Å Ö Ò Ò À Ò ½½º º¾¼¼ Ç Ñ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ÐÔ Ð Ú Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÑÓ ÙÐ ¹ Ö Ó ÒØ Ì ÑÓ ÌÙÓÑ Ò Ò À Ð Ò ½º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö Ø ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ

Lisätiedot

Ð Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø

Ð Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø Ä Æ Ä ÍÃÃÇÆ Æ Å Ø Ñ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ØÓØ Ø Ò Ú Ö Ø Ö Ø ÐÙ ÓÔ ÒØÓ¹ Ñ Ò ØÝ Ò Ú ÙØØ Ú Ò Ø Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÈÄÇÅÁÌ ÝÚ ÝØØÝ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ó ØÓÒ ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ º½½º¾¼¼ º Ì Ö Ø Ø ÔÖÓ ÓÖ Ë ÔÔÓ ÈÓ ÓÐ Ò Ò ØÙØ Å ÀÙ ÓÐ

Lisätiedot

(xy)z = x(yz) λx = xλ = x.

(xy)z = x(yz) λx = xλ = x. ÄÙ Ù ½ ÐÙ ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ ÝØ ØØÚ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Ø ØÓ Ò ØØ Ðݹ Ø Ø Ò Ð ØÓ Ò ÓÔ ÒØÓ ÓÐÐ ÙØÓÑ Ø Øº ÅÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÖ Ú Ò Ð Ø Ò Åº º À ÖÖ ÓÒ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÓÖÑ Ð Ä Ò Ù Ì ÓÖݺ ÓÒ¹Ï Ð Ý ½ º º º

Lisätiedot

C A B, A D B A B E. A B C, A C B Ø B A C.

C A B, A D B A B E. A B C, A C B Ø B A C. Ù Ð Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ñ ÐÐ Ö Ë ÐÑ Ð ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ã ÚØ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ À Ð ÖØ Ò ÓÓÑ Ö Ø ÐÑ ¾ ¾º½ À Ð ÖØ Ò Ò Ò ÓÓÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

A c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061

A c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061 JORMA JOUTSENLAHTI Lukiolaisen tehtäväorientoituneen matemaattisen ajattelun piirteitä 1990-luvun pitkän matematiikan opiskelijoiden matemaattisen osaamisen ja uskomusten ilmentämänä AKATEEMINEN VÄITÖSKIRJA

Lisätiedot

T 2. f T (x)e i2π k T x dx. c k e i2π k T x = x dx. c k e i2π k T x = k Z. f T (x) =

T 2. f T (x)e i2π k T x dx. c k e i2π k T x = x dx. c k e i2π k T x = k Z. f T (x) = º ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÙÖÖ Ò ÒØÖÐ Ð Ù ¹ ÓÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f(x) PC(R) º½ ÓÙÖÖ¹ Ò ÐÝÝ º ÒÐ Òµ ÅÖ Ø ÐÐÒ T ¹ ÓÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f T (x) = f(x), T 2 < x < T 2, ÃÓÑÔÐ Ò Ò ÓÙÖÖ¹ÖÖÓ Ò c k = 1 T T 2 T 2 f T (x)e i2π k T x dx.

Lisätiedot

ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð

ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ì ÑÓ Ã ÖÚ ¾º½½º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ ¾º½½º¾¼¼ ½» ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ

Lisätiedot

º F(+, + ) = 1 F(, ) = F(, y) = F(x, ) = 0 й

º F(+, + ) = 1 F(, ) = F(, y) = F(x, ) = 0 й ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½

Lisätiedot

Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÎÁÁÃÁÆÃÇËÃÁ Å ÌÌÁ ÂÖ ØÝ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ø Ú ÐÙ Ø ÓØ Ä Ò ØØ ØÝ º Å Ø Ñ Ø À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ ÃÓÓ Ù Ø ÓÖ Ò Ø ÚÓ

Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÎÁÁÃÁÆÃÇËÃÁ Å ÌÌÁ ÂÖ ØÝ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ø Ú ÐÙ Ø ÓØ Ä Ò ØØ ØÝ º Å Ø Ñ Ø À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ ÃÓÓ Ù Ø ÓÖ Ò Ø ÚÓ Å ØØ Î Ò Ó ÂÖ ØÝ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ø Ú ÐÙ Ø ÓØ Ä Ò ØØ ØÝ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÎÁÁÃÁÆÃÇËÃÁ Å ÌÌÁ ÂÖ ØÝ ÙÒ Ø ÓÐÐ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ø Ú ÐÙ Ø ÓØ Ä Ò ØØ ØÝ º Å

Lisätiedot

Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò

Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÓØ Ò Ò Ó ÐÑ ØÓØ Ò µ ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ

Lisätiedot

x (t) = f(x(t)) u B δ (p) = ϕ t (v) = p, v B d (p) = lim e t AT e t A dt W =

x (t) = f(x(t)) u B δ (p) = ϕ t (v) = p, v B d (p) = lim e t AT e t A dt W = Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ º Ì Ô ÒÓÔ Ø Ø Ø Ð ÙÙ Ì ÐÙÚÙ Ø ÑÑ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ø Ô ÒÓÖ Ø Ù Ò Ø Ð ÙÙ Ø Ö Ø ÐÙ¹ ÒÝØ ÔÐ Ò Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ º ÌÐÐ ÓÚ Ø Ñ Ö ÐÙÖ Ý Ø Ñ ÐÐ Ô ÐÐ Ò ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ò Ó Ó Ð Ø ÝÐ Ô Ò ÓÐ Ú ÐÙÖ º ÂÓ

Lisätiedot

f(x) =, x = 0,1,...,100. P(T 20) = P( X 50 20) 0.

f(x) =, x = 0,1,...,100. P(T 20) = P( X 50 20) 0. Ú ËÁË ÄÌ ½¾º ËÙ Ø ÐÐ Ø Ò Ó ÙÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º ÇØÓ Ó Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½¾º Å Ò Ò ÙÑ Ø Ú Ô ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º º º º º º º º º º

Lisätiedot

Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙÑÖ Ì Ú Ø ÐÑ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ

Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙÑÖ Ì Ú Ø ÐÑ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ ÂÝÖ Ä Ò Ò Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½ º ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ

Lisätiedot

Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò

Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò Å ÈÙÐ Ò Ò ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÓØ Ò Ò Ò Ø ÒØÙØ ÐÑ ¾ º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù

Lisätiedot

Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÇÐÐ ¹È ÀÙÓÚ Ð Ò Ò Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò

Lisätiedot

Barysentrinen koordinaattisysteemi sekä pisteen konjugaatio kolmion suhteen

Barysentrinen koordinaattisysteemi sekä pisteen konjugaatio kolmion suhteen HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Jenni

Lisätiedot

λ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin.

λ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin. Šع¾º½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø ¾¼¼ ¹¼¾¹½¾ Ì Ø ÐÙÒ Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ø Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙÐÐ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Ä ÙÖ ÂÙ Ò Ã Ò ¼¼ È Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ

Lisätiedot

P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,

P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1, ËÁË ÄÌ º º½ º º¾ º º º º Ú Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò

Lisätiedot

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÈÓÐÙÒ Ø ÒØ Ù Ò ÒØ Ò ÝÑÔÖ Ø Ô Ð È Ä ÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ ÄÙùØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç

Lisätiedot

Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÐ Ò Ò Ð Í Ð ØÝ Ò Ò Ò Ó ØÛ Ö ÔÖÓ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙ

Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÐ Ò Ò Ð Í Ð ØÝ Ò Ò Ò Ó ØÛ Ö ÔÖÓ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙ Ê ÑÓ È Ø Ò Ò ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ¾ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò

Lisätiedot

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö Ø ÝØØ Ø Ò ØØ Ò ÙÚ Ù ÐÓ Ô ÖÙ Ø Ò Ò Ñ¹ Ö ØØ ÐÝ Û È ØÖ Ä Ò Ö Ò À Ð Ò ¾ º º¾¼¼ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç

Lisätiedot

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú ËÍÎÁ ÄÌÁÇ ÈÁÊà ÆÅ ÄÄ ¾¼¼ ¾¼¼ Ì È ÀÌÍÆ Á Æ ÄÁÁà ÆÆ ¹ ÇÆÆ ÌÌÇÅÍÍÃËÁ Æ Æ Ä ËÇÁÆÌÁ ËÎ ÊÃÃÇÂ Æ ÎÍÄÄ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø Ð ÓÔ ØÓÒÐ ØÓÖ Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ

Lisätiedot

ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½

ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½ Ê Ã ÆÆÍËÌ ÃÆÁËÌ Æ ÇÄÇ ÁËÌ Æ Â ÁÄÅ ËÌÇÄÄÁËÌ Æ Ì ÃÁ Á Æ Î ÁÃÍÌÍË ËÍÆÌÇÂ Æ ËÁË ÁÄÅ Æ Ê ÇÆÈÁÌÇÁËÍÍÌ Æ ÌÓÔ Ã ÒÒÙÒ Ò Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ

Lisätiedot

Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ

Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË Ì ÑÓ Ã ÖÚ º½¾º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË º½¾º¾¼¼ ½» Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ

Lisätiedot

139/ /11034 = 0.58

139/ /11034 = 0.58 Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ

Lisätiedot

3D piirron liukuhihna (3D Graphics Pipeline) Sovellus/mallinnus Geometrian käsittely Rasterointi/piirto

3D piirron liukuhihna (3D Graphics Pipeline) Sovellus/mallinnus Geometrian käsittely Rasterointi/piirto ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ö Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ¹ Ö Ò Ô ÖØÑ Ò Ò ÙÚ Ø Ò Ù Ò Ð Ù Ù Ò Ò Ô Ô Ð Ò µ ÚÙÐÐ Ö Ð Ù Ù Ò Ö Ø ØÓ ÙÐ Ð Ù Ù Ò Ò Ö Ú Ò ÙØØ ÒÒ Ò Ù Ò Ô ÖÖ ØÒ ÖÙÙ ÙÐÐ Ö

Lisätiedot

Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò

Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º  ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ̺ à ÖÚ ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ½» ½ Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º  ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò

Lisätiedot

Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta È Ä Ø Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò

Lisätiedot

y t = X t β + u t, u t NID(0, 1) t = 1, 2,..., n ½µ

y t = X t β + u t, u t NID(0, 1) t = 1, 2,..., n ½µ ÇÊ Ê ÈÊÇ ÁÌ Â Â ÄÃ È ÄÄǹÇÌÌ ÄÍÆ Å ÄÄÁÆÌ ÅÁÆ Æ Ê Ò ÓÑ Î Ö Ð ½º Ò ÙÙØ ¾¼¼ ËÁË ÄÌ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ ¾ ÇÖ Ö ÔÖÓ Ø ¾º½ Å ÐÐ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Â Ð Ô ÐÐÓ¹ÓØØ ÐÙÒ Ò

Lisätiedot

M Pv + q = 0, M = EIκ = EIv, (EIv ) + Pv = q. v(x) = Asin kx + B cos kx + Cx + D + v p. P kr = π2 EI L n

M Pv + q = 0, M = EIκ = EIv, (EIv ) + Pv = q. v(x) = Asin kx + B cos kx + Cx + D + v p. P kr = π2 EI L n ÄÙ Ù ½ ËØ Ð Ù Ú Ó Ó ÐÑ ½º½ ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ Ì Ô ÒÓ ÓØ Q v + q =, M = Q, ½º½µ ÑÑÓ ÐÐ ÙÚ ÐÐ M v + q =, M = EIκ = EIv, (EIv ) + v = q. ½º¾µ ½º µ ½º µ EI = Ú Ó ÆÙÖ Ù ÚÓ Ñ v (4) + k v = q EI, k = EI,

Lisätiedot

x α 1... x (v ṽ)φdx = 0

x α 1... x (v ṽ)φdx = 0 Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ ÔØ ÐÐ ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ì ÑÙ ÅÙ ØÓÒ Ò ½ ½ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ñ Ø Ø Ø Ò Ø ÙÒØ Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ½ º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ

Lisätiedot

ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ

ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ò ² Ö Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø

Lisätiedot

Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta Ä ÊÓÔÔÓÒ Ò Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú

Lisätiedot

M : S N { }, S : S N.

M : S N { }, S : S N. Æ ¹Ð ÒØ ÙÒ Ú Ö Ð ÙÙ Æ ËÙÙØ Ö Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù Ñ Ø Ñ Ø ÌÙÖÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ¾¼¼ Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ¾ ½ ÓÖÑ Ð Ø Ò ÐØ Ò Ø ÓÖ Ò ØØ Ø ØÙÐÓ ½º½ ÅÙÐØ ÓÙ ÓØ Ö Ð Ø ÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ Ë Ò Ø Ð Ø ÑÓÖ

Lisätiedot

Referenced. Object. StateSet. Node. Geode

Referenced. Object. StateSet. Node. Geode ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ¹Ó Ø Ì ÑÓºÌÓ Ú Ò ÒØѺ Ùغ ÌÑ Ó ÙÑ ÒØØ ÓÒ ØÝ Ò Ø Ô Ú Ø ØÒ Ø ÖÔ Ò ÑÙ Òº ½ Ø ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ÇË µ ÓÒ ÇÔ Ò Ä Ò Ô Ö ÒÒ ØØÙ ¹ÙÓ Ö¹ ØÓ Ó ÓÒ Ú Ô Ø Ø Ú Ó ØÓ Ñ ÑÓÒ ÝÑÔÖ Ø º ÇË Ó¹ ÙÑ ÒØÓ ØÙ ÓÜÝ Ò¹Ó Ñ ØÓÒ

Lisätiedot

f(x;n,θ) = θ x (1 θ) n x, x = 0,1,...,n; 0 θ 1. Θ = {θ 0 θ 1}. ˆθ = x n.

f(x;n,θ) = θ x (1 θ) n x, x = 0,1,...,n; 0 θ 1. Θ = {θ 0 θ 1}. ˆθ = x n. ËÁË ÄÌ Ú º º½ Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò º

Lisätiedot

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÆÌÌÁ¹ÁÄ ÊÁ È ÊÌ Æ Æ ÁÐÑ ØÓÒÑÙÓ Ù Ñ Ö ÙÓÐ Ò Ø Ó ÐÐ Ú Ù¹ ØÙ Ø Ñ Ö ÐÐ Ò ÙÑ

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÆÌÌÁ¹ÁÄ ÊÁ È ÊÌ Æ Æ ÁÐÑ ØÓÒÑÙÓ Ù Ñ Ö ÙÓÐ Ò Ø Ó ÐÐ Ú Ù¹ ØÙ Ø Ñ Ö ÐÐ Ò ÙÑ ÆÌÌÁ¹ÁÄ ÊÁ È ÊÌ Æ Æ ÁÄÅ ËÌÇÆÅÍÇÃà ÍË Å ÊÁËÍÇÄ ÁÆ ÃÌÁÇÁÄÄ Î ÁÃÍÌÍÃË Ì Å Ê ÄÄÁËÁÁÆ ÃÍÅÈÍà ÊÊÇËÈÁÄÎÁÁÆ Â Å È ÄÄÇÆ Ë Ì ÁÄ Ì Ë Ë Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÂÝÖ Å Ð Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ

Lisätiedot

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ ÌÝ Ò Ò

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ ÌÝ Ò Ò ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ã ÒÓØ Ó Ø Ò Ò ÙÖÓÚ Ö Ó Ò ØÝ ØØ Ø ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ À Ð Ò ¾º º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ

Lisätiedot

ÂÝÖ Ë Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ð Ì ØÐ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÌËÁ Ò ÅË˹ÑÖ ØÝ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø ÌÝ Ò Ð Ö Ø Ø ÖØ Ä Ú Ð ØÙÑ ÅÓÒØ Ò Ý Ö Ë ÚÙÑÖ Ë Ó ÒØ Ð ÆÙÑ Ö

ÂÝÖ Ë Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ð Ì ØÐ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÌËÁ Ò ÅË˹ÑÖ ØÝ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø ÌÝ Ò Ð Ö Ø Ø ÖØ Ä Ú Ð ØÙÑ ÅÓÒØ Ò Ý Ö Ë ÚÙÑÖ Ë Ó ÒØ Ð ÆÙÑ Ö ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÌËÁ Ò ÅË˹ÑÖ ØÝ ÂÝÖ Ë Ö Ò Ò À Ð Ò ½ º º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ ÂÝÖ Ë Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ð Ì ØÐ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÌËÁ Ò ÅË˹ÑÖ

Lisätiedot

Ä ÖÓ Ò ÒØÝÑ Ò Ò Ù Ø Ð Ó Ò Ô ÐÐÓÒ Ñ ØØ Ú Ë ÖÔ È Ý Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ÇÙÐÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÓÐÓ Ò Ð ØÓ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ Ä ÖÓ Ò Ö ÒØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾

Lisätiedot

Erkki Mäkinen ja Timo Poranen. Algoritmit

Erkki Mäkinen ja Timo Poranen. Algoritmit Erkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKKÖ TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 1/2011 TAMPERE 2011 TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKKÖ INFORMAATIOTIETEIDEN

Lisätiedot

Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÃÇÊÃ ÃÇÍÄÍ Ì Å Ó Î Ø ÁÈÄÇÅÁÌ Æ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ ÌÝ Ò Ò Ñ Î Ö ÚÖÓÓØØÓÖ Ò ÓÒ Ò Ò ÐÝÝ È ÚÑÖ º Ñ ÖÖ ÙÙØ ¾¼¼ Ë ÚÙÑÖ ¾ Ç ØÓ Ë ¹ Ø ØÓÐ ÒÒ Ø Ò Ò Ó ØÓ ÈÖ

Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÃÇÊÃ ÃÇÍÄÍ Ì Å Ó Î Ø ÁÈÄÇÅÁÌ Æ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ ÌÝ Ò Ò Ñ Î Ö ÚÖÓÓØØÓÖ Ò ÓÒ Ò Ò ÐÝÝ È ÚÑÖ º Ñ ÖÖ ÙÙØ ¾¼¼ Ë ÚÙÑÖ ¾ Ç ØÓ Ë ¹ Ø ØÓÐ ÒÒ Ø Ò Ò Ó ØÓ ÈÖ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÃÇÊÃ ÃÇÍÄÍ Ë ¹ Ø ØÓÐ ÒÒ Ø Ò Ò Ó ØÓ Å Ó Î Ø Î Ö ÚÖÓÓØØÓÖ Ò ÓÒ Ò Ò ÐÝÝ ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Òº ÔÓÓ º Ñ ÖÖ ÙÙØ ¾¼¼ ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ ÈÖÓ ÓÖ ÒØ ÖÓ Ö Ó ÌÝ

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ È ÖÙ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ È ÖÙ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º Ê ÒØ Ò Ø Ð ÙÙ Ø ÓÖ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Å Ö Ù ÌÙÓÑ Ð ϕ v N N Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ È ÖÙ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

º F(+,+ ) = 1 F(, ) = F(,y) = F(x, ) = 0 й

º F(+,+ ) = 1 F(, ) = F(,y) = F(x, ) = 0 й Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ È ÖÙ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ È ÖÙ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º Ê ÒØ Ò Ø Ð ÙÙ Ø ÓÖ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Å Ö Ù ÌÙÓÑ Ð ϕ v N N Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ È ÖÙ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º

Lisätiedot

Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÃÇÊÃ ÃÇÍÄÍ Ì ÃÆÁÄÄÁË Æ ËÁÁÃ Æ Â Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ ÇË ËÌÇ Ì Ç ØÓ È Ò Ë ÚÙ Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÖÓ ÙÙÖ Ò ÓÓ Ò Ñ ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ ÌÝ Ò Ó ÂÙ Ó Ã ÒÒ Ì Ò

Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÃÇÊÃ ÃÇÍÄÍ Ì ÃÆÁÄÄÁË Æ ËÁÁÃ Æ Â Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ ÇË ËÌÇ Ì Ç ØÓ È Ò Ë ÚÙ Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÖÓ ÙÙÖ Ò ÓÓ Ò Ñ ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ ÌÝ Ò Ó ÂÙ Ó Ã ÒÒ Ì Ò Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÂÙ Ó Ã ÒÒ ÃÓÑÔÓ ØØ Ð Ñ Ò ØØ Ò Ò ÐÝÝ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú Ø ØØÝ ÔÐÓÑ ØÝ ÔÓÓ ¾ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ

Lisätiedot

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö ÁÖÖÐ Ø Ò Ò ¹ Ö ÑÓÓØØÓÖ Â ÒÒ Ä Ù Ö Ò Ò À Ð Ò ¾ º º¾¼¼ Ç ÐÑ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ð Ø Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç

Lisätiedot

ONGELMA LASKENNALLINEN EI LASKENNALLINEN ONGELMA ONGELMA = RATKEAMATON RATKEAVA ONGELMA ONGELMA OSITTAIN RATKEAVA EI TEHOKASTA RATKAISUA

ONGELMA LASKENNALLINEN EI LASKENNALLINEN ONGELMA ONGELMA = RATKEAMATON RATKEAVA ONGELMA ONGELMA OSITTAIN RATKEAVA EI TEHOKASTA RATKAISUA Ô ÖÙ Ñ ÐÐ Ø Ä ÒÒ Ò ÚÐÐ ¾¼½¼ ÐÙ ÒÒÓØ ÖØ Ò Ñ Ø Ñ ØÒ Ô ÖÙ ØØغºº Â Ñ Ò ØÝÝÔÔ Ø ØØ ÐÙ Å Ø Ñ Ø ÖØØ µ Ñ Ø Ñ Ø º Ù Ò ÅÓØÛ Ò ÍÐÐÑ Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÙØÓÑ Ø ÌÓÖÝ Ä Ò Ù ÀÓÔÖÓ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒº Ò ØØÓÒ ØØ ÐÝØØÒ ÔÓÐÐ Ò Ò

Lisätiedot

Ì Ú Ø Ñ Ò Ó ÔÓÒ ÒØØ Ò Ô Ö Ò Ø ¹ Ú ÖÙÙ Ñ Ò ÓÚ Ù Ó Ó ÙÓ ÙÙ ¹ Ò ØÓÓÒº Ì ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ñ ÂÝÚ ÝÒ Ý ÓÔ ØÓ ½º Ó ÙÙØ ¾¼¼ º Ë ÚÙ ½ Ø º Ì ¹ Ú ÖÙÙ Ñ Ò Ý Ó

Ì Ú Ø Ñ Ò Ó ÔÓÒ ÒØØ Ò Ô Ö Ò Ø ¹ Ú ÖÙÙ Ñ Ò ÓÚ Ù Ó Ó ÙÓ ÙÙ ¹ Ò ØÓÓÒº Ì ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ñ ÂÝÚ ÝÒ Ý ÓÔ ØÓ ½º Ó ÙÙØ ¾¼¼ º Ë ÚÙ ½ Ø º Ì ¹ Ú ÖÙÙ Ñ Ò Ý Ó ÔÓÒ ÒØØ Ò Ô Ö Ò Ø ¹ Ú ÖÙÙ Ñ Ò ÓÚ Ù Ó Ó ÙÓ ÙÙ Ò ØÓÓÒ Ò Ó Ì ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ñ ÂÝÚ ÝÒ Ý ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø ØÓØ Ø Ò ØÓ ½º Ó ÙÙØ ¾¼¼ Ì Ú Ø Ñ Ò Ó ÔÓÒ ÒØØ Ò Ô Ö Ò Ø ¹ Ú ÖÙÙ Ñ Ò ÓÚ Ù Ó Ó ÙÓ ÙÙ ¹ Ò ØÓÓÒº Ì

Lisätiedot

a(z) = k 0 1 z k = k 0 2 k z k = k 0 z k = (1 + z) n. k

a(z) = k 0 1 z k = k 0 2 k z k = k 0 z k = (1 + z) n. k ̹ º ¾¼½ Ö Ø Ø Ö ÒØ Ø Ò ÖÓ Ú Ø ÙÒ Ø ÓØ È ÇÖÔÓÒ Ò Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ ÄÙ ÐÐ ÌÑÒ ÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÝÝ ÐÙ Ù Ù Ò ¾¼¼½ ÑÙ Ø ÒÔ ÒÓ Ò Ì Ò ÐÐ Ò ÓÖ ÓÙÐÙÒ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ ÙÖ ÐØ

Lisätiedot

̹ º ¼¼½ ÄÌÈ» à ÚØ ¾¼½¼ ÈÖ ØØ ÐÓ Ò Ñ ÒØØ Ø Ø ÙÐÙØ ¾ ½º Ì ÍÄÍË ÆÆ Ì ÃÎ ÆÌÌÇÊ ÁÄÄ ÅÙÓØÓ T xϕ(x) Ø E xϕ(x)µ ÓÐ Ú Ø ÒØ Ð Ò Ò ÓÐÑÙ T xϕ(x) E xϕ(x) ØÙÐ ÓØØ

̹ º ¼¼½ ÄÌÈ» à ÚØ ¾¼½¼ ÈÖ ØØ ÐÓ Ò Ñ ÒØØ Ø Ø ÙÐÙØ ¾ ½º Ì ÍÄÍË ÆÆ Ì ÃÎ ÆÌÌÇÊ ÁÄÄ ÅÙÓØÓ T xϕ(x) Ø E xϕ(x)µ ÓÐ Ú Ø ÒØ Ð Ò Ò ÓÐÑÙ T xϕ(x) E xϕ(x) ØÙÐ ÓØØ Ì¹ º ¼¼½ ÄÌÈ» à ÚØ ¾¼½¼ ÈÖ ØØ ÐÓ Ò Ñ ÒØØ Ø Ø ÙÐÙØ ½ ÄÙ ÒØÓ ÈÖ ØØ ÐÓ Ò Ñ ÒØØ Ø Ø ÙÐÙØ ½º Ì ÙÐÙÒÒ Ø Ú ÒØØÓÖ ÐÐ ¾º Ì ÙÐÙ Ò Ð ØØÝÚØ ÑÖ Ø ÐÑØ º Ç Ø ØÓ ØÙØ Ò Ð Ø Ñ Ò º ËÝØ Ñ ØØ Ò Ò Ø ÙÐÙ º Î Ø Ñ ÐÐ Ò ÑÙÓ ÓØ

Lisätiedot

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ËØ Ø ÓÒ Ö Ò Ò ÔÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ËØ Ø ÓÒ Ö Ò Ò ÔÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ö ¹ Ò ÐÝÝ ½¼ ÓÔ ÖØÓ ÄÙÓÑ Ì Ð ØÓØ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý ¼½ Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ËÝ Ý ¾¼½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ËØ Ø ÓÒ Ö Ò Ò ÔÖÓ º º º º º º º

Lisätiedot

u(0,t) = u(l,t) = 0, t > 0

u(0,t) = u(l,t) = 0, t > 0 ÓÙÖ Ö¹ Ö Ø ¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ì ÑÙ ÀÓÒ Ò Ò ½ ¾ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ¾ º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼½¾ Ì Ú Ø ÐÑ Ì ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Ø ÐÐÒ ÓÙÖ Ö¹ Ò ÐÝÝ Ò ÑÔ ØÙ¹ ÐÓ Ó Ø Ò ÓÚ ÐÐÙ º Ä Ø Ò Ð ÐÐ ÓÑÔÐ Ø

Lisätiedot

ÄÇÄÁ ÇÈÌÁÅÇÁÆÌÁ ÈÇËÁÌÊÇÆÁÅÁËËÁÇÌÇÅÇÊÁ¹ÃÍÎÆÌÅÁËÆ ÄÁÁÌÌÎËË ÅÄÄÁÆÌÅÁËËË Ã ËÖÓÐÑ ÈÖÓ ÖÙ ¹ØÙØÐÑ ÌÑÑÙÙ ¾¼¼ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÅÌÅÌÁÁÃÆ ÄÁÌÇË ¾¼¼½ ÌÍÊÃÍ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÅØÑØÒ ÐØÓ ËÊÀÇÄÅ ÃÁË ÐÓÐ ÓÔØÑÓÒØ ÔÓ ØÖÓÒÑ ÓØÓÑÓÖ¹

Lisätiedot

Šع½º½¼ ¼ Å Ø Ñ Ø Ò Ô ÖÙ ÙÖ Ä Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ 3 2.5 2 Ã Ø Ø Ü µ 2 Ü µ 2 Ü µ 3 Ü µ.5 Ø Ü µ 3 Ü µ.5 Ø «.5.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Ü Ü ËÝ Ý ¾¼½¼ Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ

Lisätiedot

ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU TEKNISKA HÖGSKOLAN HELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU TEKNISKA HÖGSKOLAN HELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY ÆÖÒÒ ÂÖÓ ÓÖÓÙÐÙ ÌÒÐÐÒÒ ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU TEKNISKA HÖGSKOLAN HELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY ÔÖÓÖ¹ ÔÓ ØÖÓÖ ¹ÚÖÒÐÝÝ ÐØØÑÐÐÒ ÐÑÒØØÑÒØÐÑÐÐ ÄØÓ ÔÖÙÖ ÓÖ º½½º¾¼¼ ÅØÑØÒ ÐØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓÒØÓ ¾ ÑÐÐÒÒÙ ÄØØÖÒØÒ

Lisätiedot

ÚØ ØØ Ò ØÙÐ > ØÒÔØ ÑÝ ÐØ ÑÐ ØÐÐÒ Ö ØÝ Ò ½ ÌØÚÒ ØØÐÙ ØØÚÒ ÖØ ÑÒÒ ØØÓÓÒÐÐ ÐÐÝØØ ÓÔÚ ÐÓÖØÑ Í Ò ÑÐÓ ÝÐ ÐÐ Ø ÓÐÐ ÙÚÐØÙ ØÓÑÒØÓ À ØØÓÓÒÓÐÑ ÚÒ ØÓÑÒØÔÖØ ØÚÓØØÒ

ÚØ ØØ Ò ØÙÐ > ØÒÔØ ÑÝ ÐØ ÑÐ ØÐÐÒ Ö ØÝ Ò ½ ÌØÚÒ ØØÐÙ ØØÚÒ ÖØ ÑÒÒ ØØÓÓÒÐÐ ÐÐÝØØ ÓÔÚ ÐÓÖØÑ Í Ò ÑÐÓ ÝÐ ÐÐ Ø ÓÐÐ ÙÚÐØÙ ØÓÑÒØÓ À ØØÓÓÒÓÐÑ ÚÒ ØÓÑÒØÔÖØ ØÚÓØØÒ ØÒÐÐÒÒ ÝÐÓÔ ØÓ ÌÑÔÖÒ ÐØÓ ÅØÑØÒ ØØÓÓÒ ÓÐÐ ÖØØ ÎÓÓ ÝÑÔØÓÓØØÒÒ ÙÓÖØÙ ÊØÒ Ø ÑÒÒ ØØÓÓÒÐÐ ÎÐ Ù ÐÓÖØÑÒ ÑÐÑÒ ÒØØ ÎÐÑÖ ½ ÌØÚÒ ØØÐÙ ØÖÒ ÐÓÖØÑ ÈÖÓÖØØØÓÒÓ ÐÒÒÙÒØ¹Ø ÝÝÐÐ ØÒÚØÓ Î ÄÌ̹½¼¼ ÎÐ Ù ÐÓÖØÑÒ ÑÐÑÒ Ý Ý ¼½ ¼»½½

Lisätiedot