x 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n

Transkriptio

1 ÇÈÌÁÅÇÁÆÆÁÆ È ÊÍËÌ Ì Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ¾ º ÝÝ ÙÙØ ¾¼¼

2 ¾ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ØÙØÙ ØÙØØ Ø Ú ÐÐ ÑÔ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ò Ò ÝØØ Ò ÓÚ ÐÐÙØÙ º ÃÙÖ Ñ Ø Ö Ð ÒØÙÙ Ò Ð Ò Ö Ó Òº ÐÙ ÐÝ Ý Ø ÖÖ Ø Ò Ñ ØÖ Ð Ö Ø Ø ÖÚ ØØ Ú Ô ÖÙ ØØ Øº ÌÓ Ó ØÝØÒ Ð ¹ Ò Ö Ò ÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ò Ó Ø Ø Ö ÑÑ Ò Ò ÐÝ Ó Ò Ë ÑÔРܹ Ð ÓÖ ØÑ Ã ÖÑ Ö Ö Ò Ñ Ò Ø ÐѺ Å Ò Ø ÐÑ ÓÚ ÐÐ Ø Ò Ø Ú ÐÐ ÑÔ Ò ÓÔ Ö Ø ÓØÙØ ÑÙ Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÙØ Ò ÙÐ ØÙ ÓÒ ÐÑ Ò ØÙÓØ ÒÒÓÒ ÐÐÓ¹ Ó ÒØ ÓÒ ÐÑ Ò Ö Ø Ñ Òº ÃÓÐÑ ÒÒ Ó Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÔÐ Ò ¹ Ö Ò ÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ò Ô ÖÙ Ð ÓÖ ØÑ º ÐÙ ÓÒ ÐÑ Ø ÓÚ Ø Ö Ó ØØ Ñ ØØÓÑ Ø º ÒÓ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ò Ñ Ø Ò Ó Ó Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ø º Ì ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ØÙØ ÓÒ Ù ØØ Ö ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ Ò ÝØØ ÔÐ Ò Ö Ø Ò ÓÒ Ð¹ Ñ Ò Ö Ø Ñ Òº ÂÓ Ö Ó Ø ÓÙ Ó ÓÒ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò ØÓ Ó ÓÙ Ó ÓÚ ÐÐ Ø Ò ÔÐ Ò Ö Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÐÑ Ò Ö Ø Ñ Ò Ó ÙÒ Ø Ó¹ Ñ Ò Ø ÐÑ º Î Ñ ÐÙÚÙ Ô Ö ÝØÒ Ö Ø Ò ÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ò Ó Ó¹ Ò ÐÙ ÙÓÔØ ÑÓ ÒÒ Òµ Ñ Ò Ø ÐÑ Òº Ä ÒÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÙÔÔ Ñ Ø Ù Ø ¹ Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ö Ø ÙÑ Ò Ø ÐÑ Ù Ò ÑÝ ÓÚ ÐÐ Ø Ò ÓÑ Ò ØÓÖ Ò ÓÔ¹ Ø ÑÓ ÒÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ô Ð Ø ÓÖ Ò Ò ÓÚ ÐÐÙØÙ Òº

3 Ë ÐØ ½ Å Ø Ñ ØØ Ø Ô ÖÙ Ø Ø ½º½ Î ØÓÖ Ú ÖÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ Å ØÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ä Ò Ö Ò Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ½½ ¾º½ ËØ Ò Ö ÑÙÓØÓ Ò Ò ÓÒ ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ¾º¾ ÇÐ Ñ ÓÐÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ¾º Ë ÑÔРܹ Ð ÓÖ ØÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º º½ ÃÖ Ô Ø Ò Ú ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º º¾ Ë ÑÔÐ Ü¹Ø ÙÐÙ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º º ÐÓ ØÙ Ö Ô Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º Ù Ð ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º º½ ÃÙ Ò¹ÌÙ Ö Ò ÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º º¾ Ù Ð ¹ ÑÔРܹ Ð ÓÖ ØÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ ¾º à ÖÑ Ö Ö Ò Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ ¾º º½ ÂÓ ØØ Ð Ú Ñ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ ¾º º¾ à ÖÑ Ö Ö Ò Ð Ù Ð ÓÖ ØÑ º º º º º º º º º º º º º º ¾

4 ËÁË ÄÌ

5 ÄÙ Ù ½ Å Ø Ñ ØØ Ø Ô ÖÙ Ø Ø ½º½ Î ØÓÖ Ú ÖÙÙ Î ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Î ØÓÖ Ú ÖÙÙ R n ÓÓ ØÙÙ Ð Ó Ø x = Ó Ø Ø Ó ÙØ ÙØ Ò Ú ØÓÖ º ÂÓÙ ÓÓÒ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ¹ Ò ØÖÙ ØÙÙÖ ÑÖ ØØ Ð ÑÐÐ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ú ØÓÖ ÙÑÑ ÐÙÚÙÐÐ Ö¹ ØÓÑ Ò Ò Ã ÐÐ u R n, v R n λ R u + v = λ u = x x 2 º x n, u + v u 2 + v 2 º u n + v n λu λu 2 º. λu n ½º½µ ½º¾µ ÐÐ ÑÖ Ø ÐÐÝØ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø ÓÚ Ø Ø Ò ÙÐ ØØÙ R n º Ä ÓÙ¹ ÓÒ R n Ð ÓØ Ú ÖÙ Ø ØØÙÒ Ñº Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÐÐ ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÙÖ Ú Ø Ú ¹ ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò ÓÑ Ø

6 ÈÖÓÔÓ Ø Ó ½º ÄÍÃÍ ½º Å Ì Å ÌÌÁË Ì È ÊÍËÌ Ì ½º Î ØÓÖ Ò Ý Ø ÒÐ Ù ÓÒ ÓÑÑÙØ Ø Ú Ò Ò u + v = v + u; ¾º ÇÒ ÓÐ Ñ ÒÓÐÐ Ú ØÓÖ O Ø Ò ØØ u + O = u 0 O = 0º ; 0 º ËÙÑÑ ÓÒ Ó Ø Ú Ò Ò u + ( v + w) = ( u + v) + w; º ÂÓ ÐÐ Ú ØÓÖ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ Ú Ø Ú ØÓÖ u Ø Ò ØØ º λ(µ u) = (λµ) u º (λ + µ) u = λ u + µ u º λ( u + v) = λ u + λ v u + ( u) = O; º ÇÒ ÓÐ Ñ ÖØÓÐ ÙÒ Ò ÙØÖ Ð Ð Ó R u = uº à ÒØ Ñ Ò Ó Î ØÓÖ u ÓÒ Ú ØÓÖ Ò { v,..., v k } Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ó Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÙÚÙØ λ,...,λ k Ø Ò ØØ u = λ v + λ 2 v λ k v k. ÅÖ Ø ÐÑ ½º ½º Î ØÓÖ Ø { v,..., v k } ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓ¹ Ñ Ó Ú Ò Ó Ý ØÐ Ò λ v + λ 2 v λ k v k = O ÒÓ Ö Ø Ù ÓÒ ØÖ Ú Ð Ö Ø Ù λ = λ 2 = = λ k = 0º ¾º Î ØÓÖ Ø { v,..., v k } ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ Ó Ú Ò Ó Ý ØÐ ÐÐ ÓÒ ÒÓÐÐ Ø ÖÓ Ú Ö Ø Ù º λ v + λ 2 v λ k v k = O

7 ½º½º Î ÃÌÇÊÁ Î ÊÍÍË Ã Ò Ú ØÓÖ Ò Ø Ô Ù Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ Ø Ú ØÓÖ Ò ÒÓØ Ò ÓÐ Ú Ò Ý Ò ÙÙÒØ u v ÇÒ ÓÐ Ñ λ R : u = λ v. ÈÖÓÔÓ Ø Ó ¾º Î ØÓÖ Ø { v,..., v k } ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ Ó Ú Ò Ó Ö Ú ØÓÖ Ø v j ÚÓ Ò Ð Ù Ù ÑÙ Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ø º ÈÖÓÔÓ Ø Ó º ÇÐ ÓÓÒ u = v j = [ ux u y k i = i j ] µ i v i. v = [ vx v y ] R 2 :Ò Ú ØÓÖ º Î ØÓÖ Ø ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ó Ú Ò Ó Ø ÖÑ Ò ÒØØ u x v x = u xv y u y v x 0. u y v y ÅÖ Ø ÐÑ ¾º Î ØÓÖ Ø { a,..., a p } ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò V Ò¹ Ò Ò Ó Ò ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò Ú Ö ØØÚØ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò Îº ÌÐÐ Ò p = Ñ(V ) ÓÒ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò Ñ Ò Óº ÈÖÓÔÓ Ø Ó º ÇÐ ÓÓÒ ÓÙ Ó { v,..., v n } Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò R n Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ú ØÓÖ Ø º ÌÐÐ Ò Ó ÐÐ Ú ØÓÖ ÐÐ u R n ÓÒ ÓÐ Ñ Ý ØØ Ø ÐÙÚÙØ λ i R n, i =, 2,..., n Ø Ò ØØ u = n λ i v i. i= ÌÐÐ Ò ÒÓØ Ò ØØ Ú ØÓÖ Ø ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò ÒÒ Òº Î ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò ÒØ 0 e = º 0, e 2 = 0 0 º 0 0,, e n = º 0.

8 ÄÍÃÍ ½º Å Ì Å ÌÌÁË Ì È ÊÍËÌ Ì ½º¾ Å ØÖ Ø Å ØÖ ÓÒ m n Ò ÐÙÚÙÒ Ö Ø ØØÝ Ú Ó Ó Ø Ú ÐÐ Ø Ø ØÒ Ö ¹ Ú ØÓÖ Ò ÚÙÐÐ A = [ a a 2 a n ], Ñ Ó Ò Ò Ö Ú ØÓÖ ÓÒ R m Ò Ð Ó a j = ÇÐ ÓÓÒ B {,...,n} Ó Ù ÒÒ ØØÙ Ò ÓÙ Ó N = {,..., n}\b Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ º ÌÐÐ Ò Ñ Ö ØÒ Ñ ØÖ A ÐÝ Ý Ø a j a 2j º a mj. A = [ A B A N ], Ñ Ñ ØÖ Ò A B Ö Ú ØÓÖ Ø Ú Ø Ú Ø Ò ÓÙ ÓÒ B Ö Ø Ñ Ø¹ Ö Aº Å ØÖ Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø ËÙÑÑ A + B = [ a ij + b ij ] Ë Ð Ö ÐÐ ÖØÓÑ Ò Ò ka = [ ka ij ] Å ØÖ ØÙÐÓ AB = [ n l= a ilb lj ]. Å ØÖ Ò Ú ØÓÖ Ò ØÙÐÓ x x 2 Ax = [ ] n a a 2 a n º = x j a j, Ñ x j R Ó Ò Ò Ö Ú ØÓÖ a j R m º Å ØÖ Ò A ØÖ Ò ÔÓÒÓ ØÙ Ñ ØÖ x n A T = [ a T ij], a T ij = a ji. Å ØÖ Ò A ÒØ Ñ ØÖ A AA = A A = Iº ÃÒØ Ñ ØÖ ÚÓ ÓÐÐ Ú Ò Ò Ð Ñ ØÖ ÐÐ Óº m = nº j=

9 ½º¾º Å ÌÊÁÁË ÁËÌ Å ØÖ Ò Ø Å ØÖ Ò Ø Rank(A) ÓÒ Ò ÙÚ ¹ Ú ÖÙÙ Ò R(A) = {y R m x R m : Ax = y} Ñ Ò Ó Óº Ê Ò (A) = Ñ(R(A)). ÌÐÐ Ò Ñ ØÖ A ÓÒ Ê Ò (A) Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒØ Ö Ú ¹ ØÓÖ Ö Ú Ú ØÓÖ µ Ò Ê Ò (A) + Ö Ú ØÓÖ ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ º ÇÐ Ø Ø Ò Ø Ó ØØ Ñ ØÖ A m nº Ë ÒÓØ Ò ØØ m n¹ Ñ ØÖ A ÓÒ ØÝ Ø Ò Òº Ó Ê Ò (A) = mº ÌÐÐ Ò ÓÒ Ò ÓÙ Ó B Ø Ò ØØ Ñ ØÖ Ò A B Ö Ú ØÓÖ Ø ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø R m Ò ÒÒ Òº Ä ØÐÐ Ò A Ò ÙÚ ¹ Ú ÖÙÙ R(A) = R m º ÁÒ ÓÙ Ó B ÙØ ÙØ Ò ÐÐÓ Ò ÒØ Ò ÓÙ Ó Ò ÓÙ Ó N ¹ ÒØ Ò ÓÙ Ó º Å ØÖ Ò Ý Ò N(A) = {x R n Ax = 0}. Ä Ù ½º Æ Ð Ñ ØÖ ÐÐ m = nµ ÙÖ Ú Ø ÓØ ÓÚ Ø Ý ØÔ ØÚ µ ÃÒØ Ñ ØÖ ÓÒ ÓÐ Ñ µ Ê Ò (A) = m µ N(A) = {0} Úµ ØÐ ÖÝ ÑÐÐ Ax = b ÓÒ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ù ÐÐ b R n Úµ det A 0º Å ØÖ Ò Ò ØØ ÝÝ Ò ØØ Ó Ò Ð ÑÙÓØÓ ËÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ñ ØÖ A T = Aµ ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø x T Ax > 0, x 0. Î Ø Ú Ø Ñ ØÖ ÓÒ Ò Ø Ú Ø Ò ØØ Ó Ò Ð ÑÙÓØÓ ÓÒ Ó Ø Ò Ø Ú Ò Ò ÐÐ ÒÓÐÐ Ø ÖÓ Ú ÐÐ Ú ØÓÖ ÐÐ º ËÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ñ ØÖ ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø Ñ Ò ØØ Ò Ø Ú Ø Ñ ¹ Ò ØØ µ Ó Ò Ð ÑÙÓØÓ x T Ax 0 (x T Ax 0). ÅÙÙ Ø Ô Ù ÓÒ Ò Ò ØØ º

10 ½¼ ÄÍÃÍ ½º Å Ì Å ÌÌÁË Ì È ÊÍËÌ Ì ÇÖØÓ ÓÒ Ð Ò Ò Ñ ØÖ Å ØÖ Q ÓÒ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ò Ò Ó Q T Q = QQ T = Iº ÃÓ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ñ ØÖ ÓÒ ÓÒ Ð Ó ØÙÚ Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÓÖØÓ¹ ÓÒ Ð Ò Ò Ñ ØÖ Q Ø Ò ØØ Q T AQ = Λ = {λ,, λ n }. ÌÐÐ Ò ÓÒ ÐÑ Ø ØØ Ñ ØÖ A ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ Ó Ú Ò Ó Ò ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú º

11 ÄÙ Ù ¾ Ä Ò Ö Ò Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ¾º½ ËØ Ò Ö ÑÙÓØÓ Ò Ò ÓÒ ÐÑ ËØ Ò Ö ÑÙÓØÓ Ò Ò Ð Ò Ö Ò Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÐÑ ÓÒ min Ax = b x 0 v T x, Ñ (m n)¹ñ ØÖ Ò A Ø ÓÒ Rank(A) = m < n Ú ØÓÖ b R m v R n ÓÒ Ò º Ù Ø ÒÒÙ Ú ØÓÖ º à ÔÝ ØÐ ÑÙÓØÓ Ø Ö Ó ØØ Ø ÚÓ Ò Ô Ð ÙØØ Ý ØÐ ÑÙÓØÓ ¹ Ð ÑÐÐ Ô Ð Ú Ö ÑÙÙØØÙ Ø Ú ÒØÑÐÐ ÝÐ ÑÑÙÙØØÙ º ÇÐ Ø ¹ Ø Ò ØØ Ö Ó Ø Ú ØÓÖ b 0º ÂÓ Ö Ó ØØ Ø Ø Ó Ö Ó ØØ Ø µ ÓÒ ÒÒ ØØÙ ÑÙÓ Ó Ax b, Ò Ò Ð ØÒ Ú ÑÑ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ Ô Ð Ú Ö Ú ØÓÖ z R m + Ø Ø ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó Ø Ò ØØ Ö Ó Ø¹ ÌÐÐ Ò Ú Ú Ð ÒØØ ÄȹÓÒ ÐÑ ÓÒ min Ax + z = b x, z 0 Ax + z = b. Î Ø Ú Ø Ó Ö Ó ØØ Ø ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ Ax b, (v T x + 0 T z). ½½

12 ½¾ ÄÍÃÍ ¾º ÄÁÆ ÊÁÆ Æ ÇÈÌÁÅÇÁÆÌÁ Ò Ò Ú ÒÒ ØÒ Ú ÑÑ ÐØ ÔÙÓÐ ÐØ ÝÐ ÑÑÙÙØØÙ Ø z 0 Ø Ò ØØ Ö Ó ØØ Ø Ò ÑÙÓØÓÓÒ Ax z = b. ¾º¾ ÇÐ Ñ ÓÐÓ Ç Ó Ø Ø Ò ÐÙ º Ä Ù ¾º ÂÓ ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÓÒ Ö Ø Ù Ò Ò Ò Ò Ý Ö Ô ¹ Ø Ø ÓÒ ÑÝ ÓÔØ Ñ Ð Ò Ò Ö Ø Ùº ÌÓ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ x U = {x 0 Ax = b} ÓÒ ÓÔØ Ñ Ð Ò Ò Ö Ø Ù Ø º v T x v T z, z U. ÅÖ Ø ÐÐÒ Ò ÓÙ Ó I {,..., n} Ø Ò ØØ j I x j > 0. ÂÓ Ò ÓÙ Ó I = Ò Ò x = 0 ÓÒ ÐÑ Ø Ö Ó Ø ÓÙ ÓÒ Ö ¹ Ô Ø º ÂÓØ Ò ÚÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ I º ÂÓ Ò ÓÙ Ó I Ú Ø Ú Ø Ñ ØÖ Ò A Ö Ú ØÓÖ Ø {a j ; j I} ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò Ò Ø ÖÚ ØØ Ò ÓÙ Ó ÚÓ Ò ØÝ ÒØ ÓÔ Ú ÐÐ Ò ÐÐ i, i 2,...,i p Ø Ò ØØ B = I {i, i 2,...,i p } ÓÒ ÒØ Ò ÓÙ Óº ÌÐÐ Ò ÓÔØ Ñ Ð Ò Ò Ö Ø Ù x ÓÒ Ö Ô Ø Ò º ÓÔØ Ñ Ð Ò Ò Ö Ô Ø º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ò ÓÙ Ó I = {i, i 2,...,i r } Ú Ø Ú Ø Ñ ØÖ Ò A Ö Ú ØÓÖ Ø ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ º ÁÐÑ Ø Ò ÓÙ ÓÒ ÖØ ÐÙ Ù Ö (I) = r > mº ÃÓ x ÓÐ Ö Ô Ø Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ Ú ØÓÖ w R n Ø Ò ØØ max j=,...,n w j > 0 w j = 0, j I j I w ja j = Aw = 0. ÌÐÐ Ò Ô Ø ÐÐ x + θw ÓÒ ÚÓ Ñ ÓØ A(x + θw) = b { xj + θw (x + θw) j = j, Ó x j > 0 0, Ó x j = 0

13 ¾º º ËÁÅÈÄ ¹ Ä ÇÊÁÌÅÁ ½ Ë ÐÐÓ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÙÚÙØ θ 0 θ Ø Ò ØØ < θ 0 = max{ x j w j ; j I, w j > 0} < 0 0 < θ = min{ x j w j ; j I, w j < 0} ÌÐÐ Ò Ô Ø x + θw U, θ [θ 0, θ ]º ÃÓ ÐÐ θ [θ 0, θ ] v T (x + θw) = v T x + θv T w v T x, Ò Ò ÚÐØØÑØØ v T w = 0º Æ Ò ÓÐÐ Ò Ô Ø Ø x + θw ÓÚ Ø ÓÔØ Ñ ¹ Ð Ö Ø Ù º ÃÓ Ò Ò Ý ÓÓÖ Ò Ø Ø x j + θ 0 w j = 0 ÐÙÚÙÒ θ 0 ÑÖ Ø ÐÑÒ ÒÓ ÐÐ Ô Ø Ò x + θ 0 w Ò ÓÙ ÓÒ I = {j; x j + θ 0 w j > 0} ÖØ ÐÙ Ù ÓÒ Ó Ø Ô Ò ÑÔ Ù Ò Ò ÓÙ ÓÒ Iº ÂÓ Ò ÓÙ Ó I Ú Ø Ú Ø Ñ ØÖ Ò Ö Ú ØÓÖ Ø ÚØ ÓÐ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò Ò ØÓ Ø Ø Ò ÐÐ Ø ÒÓÐÐ ÓÓÖ Ò ØØ Ò Ð Ý Ð ÓÖ ØÑ ÙÒÒ Ö Ú ØÓ¹ Ö Ø ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ ÓÔØ Ñ Ð Ò Ò Ö Ô Ø ÓÒ Ð ÝØÝÒÝغ ¾º ¾º º½ Ë ÑÔРܹ Ð ÓÖ ØÑ ÃÖ Ô Ø Ò Ú ØÓ ÒÒ Ò Ù Ò Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ö Ô Ø Ò Ú ØÓ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ò Ô Ð ÙØ Ø Ò Ñ ¹ Ð Ò Ö Ô Ø Ò ÑÖ Ø ÐѺ È Ø x U ÓÒ Ö Ô Ø Ó ÙÖ Ú Ø ÓØ ÓÚ Ø ÚÓ Ñ ½º ÇÒ ÓÐ Ñ ÒØ Ò ÓÙ Ó B = {i, i 2,...,i m } Ø Ò ØØ Ñ ØÖ ¹ Ò A Ö Ú ØÓÖ Ø {a i ; i B} ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ¾º à ÒØ ÑÙÙØØÙ Ø Ö Ø Ú Ø Ý ØØ Ø Ý ØÐ Ò x i a i = b; i B º { xi 0, i B x i = 0, i B. ÂÓ Ö Ô Ø ÐÐ x ÓÒ Ø ÑÐÐ Ò m ÔÓ Ø Ú Ø ÓÓÖ Ò ØØ Ò Ò ÒÓØ Ò ØØ ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ö Ô Ø ¹ Ò ÖÓ ØÙÒÙصº ÌÐÐ Ò ÒØ Ò ¹ ÓÙ Ó ÓÒ Ý ØØ Ø ÑÖØØݺ ÂÓ ÔÓ Ø Ú Ø Ò ÓÓÖ Ò ØØ Ò ÐÙ Ù¹ ÑÖ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ù Ò m Ò Ò ÒØ Ò ÓÙ Ó ÓÐ Ý ØØ Ø

14 ½ ÄÍÃÍ ¾º ÄÁÆ ÊÁÆ Æ ÇÈÌÁÅÇÁÆÌÁ ÑÖØØݺ ÃÖ Ô Ø ØØ ÒÓØ Ò ØÐÐ Ò Ò ÖÓ ØÙÒ º Ò ÖÓ ØÙÒ Ò Ö Ô Ø Ò Ú Ó ØÙÐ ÓÐÐ Ö ØÝ Ò ÙÓÐ ÐÐ Ò Òº ÂÓ Ö Ô Ø Ò Ú ¹ ØÓ Ð ÓÖ ØÑ ÙÙÒÒ ØØ Ð ÙÒÒÓÐÐ ÚÓ Ò ÔØÝ Ý Ð Ò Ö Ô Ø Ò Ú ØÓÓÒ ÓÔØ Ñ Ð Ø Ö Ô Ø ØØ Ð Ý Ýº ÇÐ Ø Ø Ò ÙÖ Ú ØØ x ÓÒ Ð Ò Ö Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÐÑ Ò Ö Ö¹ Ô Ø ÚÐØØÑØØ ÓÔØ Ñ Ð Ò Òµº ÃÖ Ô Ø Ò Ú Ó Ú Ø Ò Ý Ö Ú ØÓÖ Ø {a j ; j B} Ö Ú ØÓÖ Ò a k, k Bº ÇÐ ÓÓÒ Ò j B a j Ø Ú Ø Ú Ñ ØÖ Ò A Ö Ú ØÓÖ º ÃÓ Ñ ØÖ A B = [a i a i2 a im ] ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÙÚÙØ β i, i B Ø Ò ØØ a j = i B β i a i. ÌÓ ÐØ ÐÐ θ R i B(x i θβ i )a i + θa j = i B x i a i = b. ÌÑÒ ÒÓ ÐÐ Ô Ø z(θ) = [z i (θ)] ÓÒ ÓÓÖ Ò Ø Ø ÑÖ Ø ÐÐÒ ØØ ¹ Ñ ÐÐ z i (θ) = x i θβ i, i B z j (θ) = θ z i (θ) = 0, i B {j}, ÐØÝÚØ Ö Ó Ø ÓÙ ÓÓÒ U Ñ Ð θ > 0º ÅÖ Ø ÐÐÒ Ò j B Ó Ú Ò Ñ ÓÐÐ Ø µ ØØ Ñ ÐÐ θ j = min{ x i β i i B, β i > 0}. ÌÐÐ Ò Ô Ø z(θ j ) ÓÒ ÙÙ Ö Ô Ø º ÃÙ Ø ÒÒÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò f(x) = v T x ÖÚÓ Ô Ø z(θ) ÓÒ v T z(θ) = i B (x i θβ i )v i + θv j = v T x + θ[v j i B β i v i ]. Æ Ò ÓÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓ Ô Ò Ò Ó θ j > 0 v j β i v i < 0 i B

15 ¾º º ËÁÅÈÄ ¹ Ä ÇÊÁÌÅÁ ½ ÐÐ Ò Ó Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ö Ô Ø Ò Ú Ó ÓÒ ÙÓÑ Ó Ø Ú ÙÖ ¹ Ú Ò ÐÙ Ù Ò Ñ Ö Ø Ñ j Bº v j i B β iv i max β i θ j = min{ x i β i ; i B, β i > 0}, ÈÖÓÔÓ Ø Ó º ÂÓ v j i B β iv i 0 ÐÐ j / B Ò Ò Ö Ô Ø x U ÓÒ ÓÔØ Ñ Ð Ò Òº ÌÓ º ÐÐ Ò Ø Ò ØØ ÙÒ Ø ÓÒ v T z(θ) ÖÚÓ ÙÙÖ Ò ÐÐ j B Ó θ > 0º ÂÓ θ < 0 Ò Ò z(θ) Uº Æ Ò ÓÐÐ Ò Ö Ô Ø x ÓÒ ÓÔØ Ñ Ð Ò Òº ÈÖÓÔÓ Ø Ó º ÂÓ ÓÐÐ Ò Ò ÐÐ j B β = A B a j 0 v j β i v i < 0, i B Ò Ò ÄȹÓÒ ÐÑ ÐÐ ÓÐ Ö ÐÐ Ø Ñ Ò Ñ min x U vt x =. ÌÓ º ÂÓ β 0 Ò Ò Ô Ø z(θ) U, θ 0º Ä lim θ vt z(θ) = v T x + θ(v j β i v i ) =. i B ÈÖÓÔÓ Ø Ó º ÂÓ ÓÒ ÓÐ Ñ j B Ø Ò ØØ v j i B β i v i < 0 θ j = min{ x i β i ; i B, β i > 0} > 0, Ò Ò ÙÙ Ö Ô Ø z Ó ÑÖ Ø ÐÐÒ ØØ Ñ ÐÐ ÙØ Ò ÝÐÐ x i θ j β i, i B z i = θ j, i = j 0, ÑÙÙÐÐÓ Ò, ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ù Ò Ö Ô Ø xº

16 ½ ÄÍÃÍ ¾º ÄÁÆ ÊÁÆ Æ ÇÈÌÁÅÇÁÆÌÁ ÌÓ º ÁÐÑ Ø z(θ j ) ÓÒ ØÓ ÐÐ Ò Ö Ô Ø º ÃÙØ Ò ÐÐ v T z(θ j ) = i B (x i θ j β i )v i + θ j v j = v T x + θ j [v j i B β i v i ] < v T x. ÀÙÓÑ ÙØÙ ½º ÂÓ ÐÐ Ò ÐÐ j B Ó ÐÐ v j i B β iv i < 0 θ j = min{ x i β i ; i B, β i > 0} = 0, Ò Ò Ö Ô Ø ÑÙÙØÙ ÒÓ Ø Ò ÒØ ÑÙÙØØ٠غ ÌÐÐ Ò Ö Ô Ø x ÓÒ Ò ÖÓ ØÙÒÙغ È Ð ÑÑ ÒØ Ò Ó ØÓ Ñ Ø Ø Ô Ù ÑÝ Ñ¹ Ñ Òº ¾º º¾ Ë ÑÔÐ Ü¹Ø ÙÐÙ Ó Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ø Ò Ö ÑÙÓØÓ Ø ÄȹÓÒ ÐÑ min Ax = b x 0 v T x. ÇÐ ÓÓÒ Ô Ø x Ë ÑÔРܹ Ð ÓÖ ØÑ Ò ÐÓ ØÙ Ö Ô Ø º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÒØ Ò¹ ÓÙ Ó B = {i,...,i m } ¹ ÒØ Ò ÓÙ Ó N = {,...,n}\bº ÅÖ Ø ÐÐÒ Ñ ØÖ Ø A B = [a i a im ], A N = [a j ; j N]. ÌÐÐ Ò Ö Ô Ø Ò x ÒØ ÑÙÙØØÙ Ø Ö Ø Ú Ø Ý ØØ Ø Ý ØÐ ÖÝ ¹ ÑÒ A B x B = b x N = 0. ÅÖ Ø ÐÐÒ ÒØ ÑÙÙØØÙ ¹ ÒØ ÑÙÙØØÙ Ú Ø Ú Ø Ú ØÓÖ Ø v B v N º ÃÖ Ô Ø Ò Ú Ó ÓÒ Ð ØØ Ú ÐÙÚÙØ β i Ó ÐÐ ¹ ÒØ Ò ÐÐ º ÌÑ ÙÓÖ Ø Ø Ò ÐÔÓ ÑÑ Ò Ñ ØÖ ÑÙÓ Ó A B B N = A N B N = A B A N = [β ij ]. ÌÑÒ Ð Ò Ö Ù Ó ÙØ Ù Ø ÒÒÙ Ø ÓÚ Ø v N B T N v B. Î ØÓÖ Ò ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÚ Ø ÙÙÖ ÐÙÚÙØ v j β i v i Ó Ò ÚÙÐÐ Ö Ø Ø Ò ÓÒ Ó Ö Ô Ø ÓÔØ Ñ Ð Ò Ò Ú º

17 ¾º º ËÁÅÈÄ ¹ Ä ÇÊÁÌÅÁ ½ Ë ÑÔРܹ Ð ÓÖ ØÑ ½º ÅÙÓ Ó Ø ÐÓ ØÙ Ø ÙÐÙ Ó º º º º ºº º β β 2 β 3 β,n m β 2 β 22 β 23 β 2,n m β 3 β 32 β 33 β 3,n m º º º º ºº º β m β m2 β m3 β m,n m (v N BN T v B) T x i x i2 x i3 º x im ¾º ÂÓ Ö Ù Ó ÙØ Ù Ø ÒÒÙ Ø ¹Ò Ø Ú Ò Ò ÓÔØ Ñ Ð Ò Ò Ö Ô ¹ Ø ÓÒ Ð ÝØÝÒÝØ ÑÙÙ Ø Ô Ù Ø º º Î Ð Ø Ó Ö ØÝ Ò ÑÑ Ò Ò Ò Ø Ú Ò Ö Ù Ó ØÙ Ù ¹ Ø ÒÒÙ Ø Ú Ø Ú Ò º ÃÓº Ò ÓÒ Ò º ÔÙÚ ÒØ Ò ÂÓ Óº Ò Ú Ø Ú Ñ ØÖ Ò B N Ö Ú ØÓÖ Ò Ø Ú Ò Ò Ò Ò Ö ÐÐ Ø Ñ Ò Ñ ÓÐ º ÑÙÙ Ø Ô Ù Ð θ k = x i k β kj = min{ x i l β lj ; β lj > 0}. ÂÓ Ñ Ò Ñ ÚÙØ Ø Ò Ù ÑÑ ÐÐ Ò Ò ÖÚÓÐÐ Ò Ò Ú Ð Ø¹ Ó Ö ØÝ Ò ÑÑ Ò Òº ÃÓº Ò i k ÓÒ ÔÓ ØÙÚ ÒØ Ò º º ËÙÓÖ Ø Ë ÑÔÐ Ü¹Ø ÙÐÙ Ó Ù Ò Ð Ñ Ò Ø Ó¹ Ð Ô ÚÓع Ð ÓÒ β kj, Ñ Ñ ØÖ Ò B N Ö Ú ØÓÖ ÑÙÓ Ø Ò R n+ Ò ÒØ Ú ØÓÖ 0 º 0 º 0 Ö Ú.

18 ½ ¾º ÄÍÃÍ ¾º ÄÁÆ ÊÁÆ Æ ÇÈÌÁÅÇÁÆÌÁ Ã Ú Ò Ò Ë ÑÔРܹ Ð ÓÖ ØÑ Í Ò ÐÓ ØÙ Ö Ô Ø Ò Ð ÝØÑ Ò Ò ÓÒ Ú Ö Ò ÓÒ ÐÑ ÐÐ Ø º ÌÑ ÓÒ ÐÑ ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÑÙÓ Ó Ø Ñ ÐÐ ÓÔ Ú ÄȹÓÒ ÐÑ ÓÒ Ö Ø ÙÒ ÓÒ Ö Ö Ó Ø ÓÙ ÓÒ Ö Ô Ø Øº Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ô ÖÙ ÑÙÓØÓ Ø ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÐÑ min Ax = b x 0 v T x, Ñ A R m n ÓÒ ØÝ Ø Ò Ò Ñ ØÖ Óº Ê Ò (A) = m < nº ÈÓ Ù ¹ Ò ÑÔ Ò ÓÐ Ø Ø Ò Ð ØØ b 0º ÌÑ ÚÓ Ò Ö Ø Ò ÖØÓÑ ÐÐ Ö Ú ÐÐ Ó b i < 0º ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÐÑ min x Ũ n+m i=n+ Ê Ó Ø ÓÙ ÓÒ Ũ ÓÒ Ò Ò x Rn+m + ÓÙ Ó Ó ÐÐ Ã x = [A I m m ] x i. x º x n x n+ º x n+m = b. ÂÓ ØÑÒ ÓÒ ÐÑ Ò ÓÔØ Ñ Ð Ò Ò Ö Ø Ù ÓÒ ÐÐ Ò Ò ØØ ÓÓÖ Ò Ø Ø x n+ = = x n+m = 0, Ò Ò Ô Ø x = [x x 2 x n ] ÓÒ Ð ÙÔ Ö Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ö Ö Ô Ø ÐÐ Ò ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÚ Ø ¹Ò Ø Ú Ò ÓÒ ÓÖ ÒØ Ò m ÔÔ Ð ØØ ÒÓÐÐ Ø ÖÓ Ú ÓÓÖ Ò ØØ º ÂÓ Ø ÓÒ ÐÑ Ò ÓÔØ Ñ Ð Ò Ò Ö Ø Ù ÓÒ ÐÐ Ò Ò Ó x n+i 0 Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÐÑ Ò Ö Ó Ø ÓÙ Ó ÓÒ ØÝ º ÐÓ ØÙ Ú Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÐÓØÙ Ö Ô Ø ÓÒ [0 b] Ø º ÒØ ÑÙÙØØÙ Ú Ð Ø Ò B = {n +, n + 2,...,n + m} ¹ ÒØ ÑÙÙØØÙ ÓÓÖ Ò ¹ Ø Ø N = {,...,n}º ÐÓ ØÙ Ö Ô Ø Ö Ù Ó ÙØ Ù Ø ÒÒÙ Ø Ð Ø Ò ÙØ Ò ÒÓÖÑ Ð Ø r N = ṽ T N ṽt B I A = [ ][ a a n ].

19 ¾º º à ÃËÁÎ ÁÀ ÁÆ Æ ËÁÅÈÄ ¹ Ä ÇÊÁÌÅÁ ½ ÌÓ Ú Ö Ø Ø Ò Ð ÙÔ Ö Ò Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÐÑ ÐÓ ØÙ Ö ¹ Ô Ø Ò Ò ÑÑ Ú ÑÖØÝÒ ÓÒ ÐÑ Ò Ö Ø Ùº³ Ñ Ö ½º Ê Ø Ð Ò Ö Ò Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÐÑ ÙÒ Ù Ø ÒÒÙ Ú ØÓ¹ Ö v T = [ ] Ö Ó Ø Ñ ØÖ ÓÒ A = , b = Ê Ø º ½¹Ú ÐÐ ÓÐ Ú Ò ÐÓ ØÙ Ø ÙÐÙ ÓÒ Ú Ñ Ò Ò Ö ÓÒ Ú ØÓÖ b Ú Ñ Ò Ò Ö Ú ÐØ Ö Ù Ó ÙØ Ù Ø ÒÒÙ Ø ÐÓ ØÙ Ø ÙÐÙ Ó È ÚÓع Ð Ó ÓÒ a 22 = º ËÙÓÖ Ø Ø Ò Ù Ò Ð Ñ Ò ¹ Ø Ó

20 ¾¼ ÄÍÃÍ ¾º ÄÁÆ ÊÁÆ Æ ÇÈÌÁÅÇÁÆÌÁ ÃÓ Ö Ù Ó ÙØ Ù Ø ÒÒÙ Ø ÓÚ Ø ¹Ò Ø Ú Ø Ú Ñ Ò Ò Ö Ú ÐÐ Ñ ØÖ µ ÓÒ ½º Ú Ò ÓÔØ Ñ Ð Ò Ò Ø ÙÐÙ Ó Ð Ý ØØÝ ÐÓ ØÙ Ö Ô ¹ Ø Ò x = [ ]. ÐÓ ØÙ Ø ÙÐÙ ÓÒ ÒØ ÑÙÙØØÙ Ø ÓÚ Ø B = {, 2, 5, 6,, 7} ¹ ÒØ ÑÙÙØØÙ Ø N = {3, 4}º ÌÐÐ Ò Ö Ù Ó ÙØ Ù Ø ÒÒÙ Ø ÓÚ Ø r T N = v T N v T BA B A N = [ 0 0 ] [ ] = [ 0 ] ÂÓØ Ò ÐÓ ØÙ Ø ÙÐÙ Ó ÓÒ Ó ÓÔØ Ñ Ð Ò Ò Ø ÙÐÙ Ó ÐÓ ØÙ Ö Ô Ø ÓÔØ ¹ Ñ Ð Ò Ò Ô Ø º 2 2

21 ¾º º ÆÌÁË ÃÄÁÌ ÃÆÁÁÃ Ì ¾½ ¾º ÒØ Ý Ð Ø Ò Ø Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÖ Ú Ð Ò Ö Ø ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÐÑ min 2x 3 2x 4 + 8x 5 + 2x 6, x U Ñ Ö Ó Ø Ñ ØÖ Ö Ó Ø Ú ØÓÖ ÓÚ Ø [ ] A =, b = [ ] 0. 0 Î Ð Ø Ñ ÐÐ ÒØ ÑÙÙØØÙ x, x 2 ÐÓÔÙØ ÑÙÙØØÙ Ø ÓÚ Ø ¹ ÒØ ÑÙÙØØÙ º ÌÐÐ Ò ÐÓ ØÙ Ø ÙÐÙ ÓÒ Ö Ù Ó ÙØ Ù Ø ÒÒÙ Ø ÓÚ Ø ÙÓÖ Ò Ù Ø ÒÒÙ Ú ¹ ØÓÖ Ò ÓÓÖ Ò Ø Øº ÐÓ ØÙ Ø ÙÐÙ Ó ÓÒ ØÐÐ Ò ÐÓ ØÙ Ø ÙÐÙ ÓÒ Ú Ñ Ò Ò Ö ÓÒ Ö Ó Ø Ú ØÓÖ Ù Ø ÒÒÙ Ø Óº Ö¹ Ô Ø ÓÖ Óµ Ð Ò Ö Ú Ö Ù Ó ÙØ Ù Ø ÒÒ٠غ Å Ú Ð Ø Ò Ø Ø Ô Ù È ÚÓع Ð Ó ËÓÚ ÐÐ Ø Ò ÙÖ Ú È ÚÓع ØÖ Ø Ú Ð Ø Ò Ý Ø Ò Ø Ú Ø Ö Ù Ó Ù Ø Ù Ø ÒÒÙ Ø Ú ¹ ÑÑ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ ÓÐ Ú Ö ÐØ ÝÐ ÑÔÒ ÓÐ Ú Ð Óº ÌÐÐ Ò Óº Ø ¹ Ô Ù È ÚÓع Ð Ó Ú Ð Ø Ò ØÓ ÐØ Ö Ú ÐØ P = 2 ÔÙÚ ÒØ ¹ ÑÙÙØØÙ Ú Ð Ø Ò x 4 ÔÓ ØÙÚ x µº Ù Ò Ð Ñ Ò Ø Ó Ð Ò Ð¹ Ò Ø ÙÐÙ Ó Ò

22 ¾¾ ÄÍÃÍ ¾º ÄÁÆ ÊÁÆ Æ ÇÈÌÁÅÇÁÆÌÁ Ð Ô ÝØØ Ò ÐÓ ØÙ Ø ÙÐÙ ÓÓÒº ÁÐÑ Ø Ú Ð ØØÙ Ý Ò ÖØ Ò Ò È ÚÓع ØÖ Ø ØÓ Ñ º È ÚÓع ØÖ Ø Ò Ú Ð ÒØ Ç Ò Ô ÚÓع ØÖ Ø Ò Ú Ð Ø Ñ ÑÖ Ø Ð¹ ÐÒ Ú ØÓÖ Ò ÓÙ ÓÓÒ Ö ØÝ Ò º Ó ÐÐ Ò Ò Ö ØÝ Ð Ü Ó Ö ¹ Ò Ò Ö ØÝ µº ÅÖ Ø ÐÑ º Î ØÓÖ u R m ÓÒ Ó ÐÐ Ø ÔÓ Ø Ú Ò Ò u 0µ Ó u 0 Ò ÑÑ Ò Ò ÒÓÐÐ Ø ÖÓ Ú Ð Ó ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Òº Î Ø Ú Ø ÒÓØ Ò ØØ Ú ØÓÖ v ÓÒ Ó ÐÐ Ø ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò u Ó v u ÓÒ Ó ÐÐ Ø ÔÓ Ø Ú Ò Òº Å Ö ÒØ v uº ÃÝØØÑÐÐ ÙÖ Ú È ÚÓع Ð ÓÒ Ú Ð ÒØ ÚÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ Ë ÑÔРܹ Ð ÓÖ ØÑ ÙÔÔ Ò Ö ÐÐ Ò ÐÑÖÒ Ð Ò Ó Ø ÓÔØ Ñ Ð Ø Ö Ø ¹ Ù Ø ÚÓ Ò ÔØ ÐÐ ØØ Ö ÐÐ Ø Ö Ø Ù ÓÐ ÓÐ Ñ º È ÚÓع ØÖ Ø È ÚÓع Ö Ò Ú Ð ÒØ ÔÙÚ Ò ÒØ ÑÙÙØØÙ Ò Ú Ð ÒØ µ Î Ð Ø l N Ø Ò ØØ r l = min j N r j. È ÚÓØ¹Ö Ú Ò Ú Ð ÒØ ÔÓ ØÙÚ ÒØ ÑÙÙØØÙ µ Î Ð Ø i {,...,m} Ø Ò ØØ β ik [x i, β i, ] { β jk [x j, β j, ], j =,...,m, β jk > 0}.

23 ¾º º Í ÄÁËÍÍË ¾ ¾º ¾º º½ Ù Ð ÙÙ ÃÙ Ò¹ÌÙ Ö Ò ÓØ Ì Ú ÐÐ Ø Ø Ò Ö ÑÙÓØÓ Ø ÄÈ¹Ø ØÚ min Ax = b x 0 c T x, ÙØ ÙØ Ò ÔÖ Ñ Ð Ø ØÚ º Ë Ø Ú Ø Ù Ð Ø ØÚ ÓÐÐ ÓÒ ÐÚ ØÙÐ ÒØ Ö Ð Ñ ÐÑ ÓÒ ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ò º Ù Ð ¹ ÑÔРܹ Ð ÓÖ ØÑ ÄȹÓÒ ÐÑ Ò Ö Ø Ñ º ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò ÔÖ Ñ Ð ÓÒ ÐÑ ÐÐ Ä Ö Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð L(x, u) = c T x u T (Ax b). Î ØÓÖ Ò u ÖØÓ Ñ ÒÓØ Ò Ä Ö Ò Ò ÖØÓ Ñ º ÌÐÐ Ø Ú ÐÐ ÚÓ Ò ÔÓ Ø ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÐÑ Ø Ö Ó Ø ¹ Óغ Ë ÓØØÙ Ò Ö ÖÚÓ Ò ÓÒ Ð¹ Ñ Ò Ô Ð Ø Ò ÙÖ ÐÐ ÑÝ ÑÑ Ò Ñ Ò ÝÐ ÑÑ ÑÙÓ Ó º ÂÓ Ø Ô Ù ÒÝØ Ð Ò Ö Ò Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÐÑ ÚÓ Ò ØØ ¹ ØÙÐ Ô Ø ÓÒ ÐÑ Ò min Ax = b x 0 c T x = min x 0 max u R m ct x u T (Ax b) = max u R m min x 0 ct x u T (Ax b) = max u R m min x 0 [(ct u T A)x + u T b]. ÂÓ Ú ØÓÖ ÐÐ c T u T A ÓÒ Ý Ò Ò Ø Ú Ò Ò ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ò min x 0 (ct u T A)x = ØÐÐ Ò max u R m A T u c [min x 0 (ct u T A)x] =. ÂÓ Ø Ú ØÓÖ ÓÒ ¹Ò Ø Ú Ò Ò Ø º c T u T A 0, Ò Ò min x 0 (ct u T A)x = 0

24 ¾ ÄÍÃÍ ¾º ÄÁÆ ÊÁÆ Æ ÇÈÌÁÅÇÁÆÌÁ Ø Ò min[(c T u T A)x + u T b] = u T b x R n + ÐÐ Ø Ò ÒÓ ÐÐ max min u R m x R n + (c T u T A)x + u T b = max c T u T A 0 u T b. ÀÙÓÑ ØØ c T u T A 0 c A T u 0. Æ Ò ÓÐÐ Ò ÔÖ Ñ Ð ÓÒ ÐÑ Ú Ø Ù Ð Ø ØÚ max A T u c u T b. ÁØ ÝÐ ÓÐ Ú Ø Ö Ø ÐÙ ØÙÐ Ó Ó Ø ØØÙ Ä Ù º ÂÓ x R n + u R m ÓÚ Ø ÔÖ Ñ Ð ¹ ÙÙ Ð Ø ØÚÒ Ö Ø ÙØ Ò Ò c T x = u T b. ÐÐ Ò ÐÐ Ò ÔØØ ÐÝÒ ÒÓ ÐÐ ÐÐ ÔÖ Ñ Ð ¹ Ù Ð ÓÒ ÐÑ Ò ÝÚ ÐÐ Ö Ø Ù ÐÐ x u ÚØ ÚÐØØÑØØ ÓÔØ Ñ Ð µ ÌÑÒ ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ c T x u T b. Ä Ù ÃÙ Ò¹ÌÙ Öµº ÇÐ ÓÓÒ x R n u R m ÔÖ Ñ Ð ¹ Ù Ð ÓÒ¹ ÐÑ Ò ÝÔ Ö Ø Ù Ö Ó Ø ÓÙ ÓÒ Ð Ó Ø µº È Ø Ø ÓÚ Ø ÓÔØ Ñ Ð Ó Ú Ò Ó c T x = u T b. ÂÓ ÔÖ Ñ Ð ÓÒ ÐÑ Ò ÓÔØ Ñ Ð Ò Ò Ö Ø Ù ØÙÒÒ Ø Ò Ò Ò Ù Ð ÓÒ Ð¹ Ñ Ò ÓÔØ Ñ Ð Ò Ò Ö Ø Ù Ò ÙÖ Ú Ø Ð Ù Ø Ä Ù º ÇÐ ÓÓÒ x ÔÖ Ñ Ð ÓÒ ÐÑ Ò ÓÔØ Ñ Ð Ò Ò Ö Ø Ù A B Ú Ø Ú ÒØ Ñ ØÖ A N ¹ ÒØ Ñ ØÖ º ÌÐÐ Ò Ú ØÓÖ u T = c T B A B u = (AT B ) c B ÓÒ Ù Ð ÓÒ ÐÑ Ò ÓÔØ Ñ Ð Ò Ò Ö Ø Ùº Ä Ö Ù Ó ØÙ Ò Ù Ø ÒÒÙ Ø Ò Ú ØÓÖ ÓÒ r N = c T N u T A N.

25 ¾º º Í ÄÁËÍÍË ¾ ¾º º¾ Ù Ð ¹ ÑÔРܹ Ð ÓÖ ØÑ ÅÖ Ø ÐÑ º à ÒØ ÑÙÙØØÙ B Ú Ø Ú ÒØ Ñ ØÖ A B ÓÒ Ù Ð ¹ ÝÔ Ó Ö Ù Ó ÙØ Ù Ø ÒÒÙ Ø r N = c T N ct B A B A N 0. ÌÐÐ Ò ÒÓØ Ò ØØ Ù Ð ÝÔ Ö Ø Ùº [ xb 0 ] = [ A B b 0 ] ÐÐ Ò ÔÔ Ð Ò ÒÓ ÐÐ ÔØ Ä Ù º ÂÓ A B ÓÒ ÝÔ Ù Ð ÝÔ ÒØ Ñ ØÖ Ò Ò Ô Ø [ ] [ xb A B = b ] 0 0 ÓÒ ÔÖ Ñ Ð ÓÒ ÐÑ Ò ÓÔØ Ñ Ð Ò Ò Ö Ô Ø º ÌÑÒ Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ ÙÖ Ú Ù Ð ¹Ë ÑÔРܹ Ð ÓÖ ØÑ ½º Î Ð Ø Ù Ð ÝÔ ÒØ A B ÑÙÓ Ó Ø ÐÓ ØÙ Ø ÙÐÙ Óº ¾º ÂÓ A B ÓÒ ÝÔ ÒØ Ñ ØÖ Ò Ò ËÌÇÈ x B = A B b, u B = (A B )T c B ÓÚ Ø ÓÔØ Ñ Ð Ö Ø Ù ÔÖ Ñ Ð ¹ Ù Ð ÓÒ ÐÑ ÐÐ º º ÅÙÙØÓ Ò Ú Ð Ø Ò i p Ø Ò ØØ x ip < 0º ËÒØ ÅÙÙØØÙ ÓÒ Ô ÒØ ÑÙÙØØÙ º x ip = min x j <0 x j. º ÌÙØ Ñ ØÖ Ò A B A N = [β p,j ] p =,...,m j N Ô Ö Ú ÂÓ Ð ÓØ ÓÚ Ø ¹Ò Ø Ú Ò Ò Ö ÐÐ Ø Ö Ø Ù ÓÐ

26 ¾ ÄÍÃÍ ¾º ÄÁÆ ÊÁÆ Æ ÇÈÌÁÅÇÁÆÌÁ ÅÙÙØÓ Ò Ú Ð Ø ¹ ÒØ ÑÙÙØØÙ x s, s N Ø Ò ØØ r s = min β { r j }, p,s β p,j <0 β p,j Ñ r j ÓÒ Ö Ù Ó ØÙ Ò Ù Ø ÒÒÙ Ø Ò r N ÓÓÖ Ò ØØ ÓÒ Ñ ØÖ Ò A B A N Ô Ö Ú º [β p, β p,in m ] º ËÙÓÖ Ø Ù Ò Ð Ñ Ò Ø Ó Ë ÑÔÐ Ü¹Ø ÙÐÙ ÓÐÐ Ô ÚÓع Ð ÓÒ Ô Ð Ó Ø Ò ¾º Ù Ð ¹ ÑÔРܹ Ð ÓÖ ØÑ Ò ÓÚ ÐØ Ñ Ò Ò ÒÓÖÑ Ð Ò Ë ÑÔРܹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ö Ò¹ Ò ÐÐ ÐÔÓØØ ÄȹÓÒ ÐÑ Ò Ö Ø Ù º ÆÝØ Ø ÖÚ Ø ÙÓÐ Ø ÓÒ Ó Ú ¹ Ð ØØÙ ÒØ Ö Ø Ù ÝÔ Ø º ÂÓ Ö Ô Ø x B ÓÒ ÝÔ ÚÓ Ò ÝØØ Ø Ú ÐÐ Ø Ë ÑÔРܹ Ð ÓÖ ØÑ º ÂÓ Ø Ö Ô Ø ÓÐ ÝÔ Ò Ò ÓÚ Ð¹ Ð Ø Ò Ù Ð ÑÔРܹ Ð ÓÖ ØÑ º ÃÙÑÑ Ò Ø Ô Ù ÐÓ ØÙ Ø ÙÐÙ ÓÒ ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ò Ò Ø Ô ØÙÙ Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ º Ë ÑÔРܹ Ð ÓÖ ØÑ ÔÝ ÝØ ÐÐÒ Ö Ó Ø ÓÙ Ó ÙÒ Ø Ù Ð ÑÔÐ Ü ÔÝ ÝØ ÐÐÒ ÐÙ Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ º Î Ø Ú Ñ ÐÐ Ø Ö Ø ÓÐÐ ØÝ ÒÒÝØÒ Ö Ó Ø ÓÙ ÓÓÒ ÓÐÐÓ Ò ÑÝ ÓÔØ ¹ Ñ Ð Ò Ò Ö Ô Ø Ð ÝØÝݺ β p,s ¾º à ÖÑ Ö Ö Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙØ Ò ÐÐ Ø Ò Ö ÑÙÓØÓ Ø ÄȹÓÒ ÐÑ min Ax = b x 0 v T x, Ñ (m n)¹ñ ØÖ Ò A Ø ÓÒ Rank(A) = m < n Ú ØÓÖ b R m v R n ÓÒ Ò º Ù Ø ÒÒÙ Ú ØÓÖ º ÃÐ Å ÒØÝ Ó Ó ØØ Ú Ø ¼¹ÐÙÚÙÐÐ ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ ÄȹÓÒ ÐÑ Ó Ò Ö Ø Ñ Ò Ë ÑÔРܹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ú Ø ÓÒ ÔÓÒ ÒØ Ð Ò Òº Ñ Ö Ø ÓÚ Ø ÝÐÐ Ò Ø Ñ ÝØÒÒ ØÐÐ ÓÒ ÐÑ ÓÐ ÒØÝÒÝغ Æ Ø Ñ Ö Ø Ð Ó Ò º ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò ÙÙÑ Ò Ò Ø¹ Ø Ðݺ Ö Ò Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø ÓÒ Ã ÖÑ Ö Ö Ò Ñ Ò Ø ÐѺ ÌÝÝÔ ÐÐ Ø Ò ÐÐ Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ ÓÒ ØØ Ò ÓÚ Ø Ò º Ô Ø Ñ Ò Ø ÐÑ º

27 ¾º º à ÊÅ Êà ÊÁÆ Å Æ Ì ÄÅ ¾ ¾º º½ ÂÓ ØØ Ð Ú Ñ Ö Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÐÑ min x + x 2 + x 3 = x, x 2, x 3 0 x 2 + x 3. Ð ÙÔ Ö Ã ÖÑ Ö Ö Ò ØØ Ð Ú ÖØ Ð Ò Ø Ö Ø Ð Ð ¹ Ò Ö Ø ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÐÑ ÀÒ Ø ÙÖ Ú Ø ÓÐ ØÙ Ø min x U n c T x = 0; min c T x. x U n Ê Ó Ø ÓÙ Ó ÓÒ Ò Ò Ø ÓÒ U = {x Ax = b} Ò¹½µ¹ÙÐÓØØ Ò ÑÔÐ Ò n n = {x 0 x j = } Ð Ù ÓÙ Óº ÃÝ Ñ Ö ÓÔØ Ñ Ð Ò Ò Ö Ø Ù c T x = 0 ÚÙØ Ø Ò Ö ¹ Ô Ø x = 0. 0 j= ÐÓ ØÙ Ô Ø ÃÓÐÑ ÓÒ 2 Ô ÒÓÔ Ø Ú Ð Ø Ò x (0) = Ð ÓÖ ØÑ Ò ÐÓ ØÙ Ô Ø º À Ù ÙÙÒØ ÃÙ Ø ÒÒÙ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓØ Ú Ú Ø Ú Ò ÚØ ÚÓ Ñ Ñ¹ Ñ Ò Ö ÒØØ Ú ØÓÖ Ò ÙÙÒØ Òº Ë Ù Ø ÒÒÙ Ø Ô Ò Ò ÚØ Ú ØÓÖ Ò v = (c T x) = c

28 ¾ ÄÍÃÍ ¾º ÄÁÆ ÊÁÆ Æ ÇÈÌÁÅÇÁÆÌÁ ÙÙÒØ Ø º ÅÙØØ Ø Ò ÙÙÒØ Ò Ð ÙØØ ÚÐØØÑØØ ÔÝ ÝØ Óй Ñ ÓÒ Ø ÓÐÐ º Ë ÔÖÓ Ó Ò Ö ÒØØ Ú ØÓÖ Ø ÓÐÐ 0 a = c + et c e 2e = = Î ØÓÖ Ò a ÙÙÒØ Ò Ò Ý Ú ØÓÖ ÓÒ a (0) = ÐÔ ØÙÙ ÃÓÐÑ ÓÒ Ò Ô ÖÖ ØÝÒ ÝÑÔÝÖÒ ÓÒ r 0 = 6. ÃÓÐÑ ÓÒ ÝÑÔÝÖÒ ÚÙ Ñ Ô Ø ÑÖØØÝ ÒÓÖÑ Ð ÚÓ ÓÐÐ Ú ØÓÖ Ò a ÙÙÒØ Ò Òº Æ Ò ÓÐÐ Ò Ø Ù ÙÙÒØ Ò Ø Ò Ú ÖÖ Ò ÚÓ Ò ÔØÝ Ö Ó Ø ÓÙ ÓÒ Ö ÙÒ ÐÐ º Ë Ñ ÓÐÐ Ò Ò Ö ÙÒ ÐÐ Ñ ÒÓ Ø ØÒ ÖØÓÑ ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ 0 α º Î Ð Ø Ò Ô Ö Ñ ØÖ α = º à ÖÑ Ö Ö ÝØØ 2 Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓ α = 4 º ÍÙ ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó ÓÒ ÈÖÓ Ø Ú Ò Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó x () = x (0) + αr 0 a (0) = ÅÖ Ø ÐÐÒ ÓÒ Ð Ñ ØÖ 0 0 D = diag(x () 2 ) = ÃÙÚ Ø Ò ÑÔÐ Ø ÐÐ Ò ÔÖÓ Ø Ú ÐÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÐÐ ÃÒØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó ÓÒ T(x) = D x e T D x. T (z) = D z e T D z. ÈÖÓ Ø Ú Ò Ò ÙÚ Ù ÙÚ Ô Ø Ò x () ÑÔÐ Ò Ô ÒÓÔ Ø º

29 ¾º º à ÊÅ Êà ÊÁÆ Å Æ Ì ÄÅ ¾ Ð Ò Ò Ø Ö Ø Ó Ð Ë Ñ ÐÐ ÖØ ÑÙÙÒÒ Ø Ò Ù Ø ÒÒÙ ÙÒ Ø ÓØ º ÍÙ Ù Ø ÒÒÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÒÝØ (D c) T z, ÓÒ Ñ Ò Ñ Ø Ò ÐÐ Ò ÑÔÐ 2 º Î ØÓÖ Ò c () = D c ÔÖÓ Ø Ó Ø ÓÐÐ 2 ÓÒ c () et c () e 2 = 4 a. Æ Ò ÓÐÐ Ò Ù ÙÙÒØ ÓÒ Ñ Ù Ò ÐÐ Ø Ö Ø Ó a () = a (0) = 2. 6 ÐÔ ØÙÙØ Ò ÝØ ØÒ Ñ Ù Ò ÐÐ ÃÒØ ÔÖÓ Ø ÓÐÐ º Ø Ö Ø Ó ÅÖ Ø ÐÐÒ z (2) = x (0) + αr 0 a () = x (). x (2) = T (z (2) ) = D x () e T D x () = D 2 = diag(x (2) ). ÈÖÓ Ó Ò Ú ØÓÖ D 2 c Ø ÓÐÐ 2 a (2) = ÐÔ ØÙÙ ÙØ Ò ÐÐ ÐÐ Ø Ö Ø Ó ÐÐ. z (3) = x (0) + αr 0 a () = x (). ÃÒØ ÔÖÓ Ø ÓÐÐ Ò ÙÙ ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó x (3) = T (z (3) ) = D 2x () e T D 2 x = ()

30 ¼ ÄÍÃÍ ¾º ÄÁÆ ÊÁÆ Æ ÇÈÌÁÅÇÁÆÌÁ º Ø Ö Ø Ó x (4) = D 3x () e T D 3 x = () ¾º º¾ à ÖÑ Ö Ö Ò Ð Ù Ð ÓÖ ØÑ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ x U = {x 0 Ax = b} ÓÒ Ö Ó Ø ÓÙ ÓÒ Ô Ø Ø º ÐÐ ÓÒ Ò Ñ ÒÓÐÐ Ø ÖÓ Ú ÓÓÖ Ò ØØ ÐÐ Ý Ú ØÓÖ ÐÐ e N(A) = {w R n Aw = 0} : x + ǫe U ÐÐ Ö ØØÚÒ Ô Ò ÐÐ ǫ > 0º à ÖÑ Ö Ö Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÔÝÖ ØÒ Ø ÑÒ Ú Ø Ù Ø Ø Ò Ô ÖÙ ¹ Ø Ú Ò Ý ÝÑÝ Ò Å Ò ÙÙÒØ Ò Ô Ø Ø x ÓÒ Ð ØØÚ ÃÙ Ò ÙÙÖ ÓÒ ÐÔ ØÙÙ Ð Ñ Ð Ò Ò Ú Ø Ù Ý ÝÑÝ Ò ÓÒ ËÙÙÒØ Ó ÓÒ Ù Ø ÒÒÙ ÙÒ Ø Ó v T x Ú Ò ÚÓ Ñ ÑÑ Òº ÈÝ Ý Ð ÐÐ Ö Ó Ø ÓÙ ÓÒ Ö ÙÒ º ÙÒ Ø Ó Ú ÚÓ Ñ ÑÑ Ò Ö ÒØ Ò ÙÙÒØ Òº Æ Ò ÓÐÐ Ò Ù ÙÙÒØ ÓÒ v = (v T x). ÌÓ ÐØ ÙÙ Ô Ø y ÓÒ ÐÐ Ò ÙÙÐÙØØ Ú Ö Ó Ø ÓÙ ÓÓÒ Uº È Ø Ò ÖÓØÙ Ö Ø ÓÑÓ Ò Ò Ý ØÐ Ò A(y x) = 0. ÈÖÓ Ó Ò Ú ØÓÖ v Ñ ØÖ Ò A ÝØ Ñ Ò ÔÖÓ Ø Ó¹ÓÔ Ö ØØÓÖ ÐÐ P = I A T (AA T ) A. Ä ÑÑ ½º Î ØÓÖ Ò v ÔÖÓ Ø Ó Pv N(A)º ÌÓ º Ä ÑÑ ¾º v T Pv 0º A(Pv) = Av AA T (AA T ) Av = Av Av = 0.

31 ¾º º à ÊÅ Êà ÊÁÆ Å Æ Ì ÄÅ ½ ÌÓ º Â Ø Ò Ú ØÓÖ v Ø Ò ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ò ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò v = Pv + P v = Pv + A T (AA T ) Av. Æ Ñ ØØ Ò Æ Ò ÓÐÐ Ò (Pv) T P v = v T A T (AA T ) Av v T A T (AA T ) AA T (AA T ) Av = v T A T (AA T ) Av v T A T (AA T ) Av = 0. v T Pv = [Pv + P v] T Pv = (Pv) T Pv = Pv 2 0. Ä ÑÑ º ÙÒ Ø ÓÒ v T x ÖÚÓØ Ô Ò Ò ÚØ Ú ØÓÖ Ò Pv ÙÙÒØ Òº ÌÓ º ÐÐ Ò Ð ÑÑ Ò ÒÓ ÐÐ ÐÐ α > 0 v T (x αpv) = v T x αv T Pv v T x. ÐÔ ØÙÙ Ò α Ñ Ñ ÖÚÓ ÓÒ x i α 0 = min. (Pv) i (Pv) i ÌÐÐ ÐÔ ØÙÙ ÐÐ Ô ÝØÒ Ö Ó Ø ÓÙ ÓÒ Ö ÙÒ ÐÐ º Ú Ò Ã ÖÑ Ö Ö Ò Ô ÖÙ Ñ ÒÒ Ú Ò ÝÚÒ ÐÙ Ò Ö ÙÒ ÐÐ Ø y = x ǫα 0 Pv, Ñ 0 < ǫ < º ËÙÓÖ Ø Ø Ò ØÑÒ Ð Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÙÙ ÐÐ Ò Ð Ù º à ÖÑ Ö Ö Ò Ð Ù Ð ÓÖ ØÑ ½º ÐÓ ØÙ Ô Ø a U n Ø Ò ØØ a i > 0, i =,...,nº ¾º ÓÒ Ð Ñ ØÖ D = (a)º º Ë Ð Ù Ú ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò ÙÙ Ù Ø ÒÒÙ Ú ØÓÖ c = Dc. ÌÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÙÓÖ Ø Ø Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ú ØÓ x = D x. ÌÐÐ Ò ÐÓ ØÙ Ô Ø ÓÒ z = D (x) = [ ] T º

32 ¾ ÄÍÃÍ ¾º ÄÁÆ ÊÁÆ Æ ÇÈÌÁÅÇÁÆÌÁ º ÍÙ ÑÙÙØØÙ ØÓØ ÙØØ Ö Ó Ø Ý ØÐ Ò ADx = b. º Ä Ø Ò Ú ØÓÖ Ò c ÔÖÓ Ø Ó Ö Ó Ø ÓÙ ÓÓÒ d = c DA T (ADD T A T ) ADc. º ÐÔ ØÙÙ r 0 = min. d i >0 d i º ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÐÑ Ò ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó y = z αr 0 d, Ñ 0 < α < º º ÅÖ Ø ÐÐÒ Ú ØÓÖ v = (ADD T A T ) ADc. ÌÑÒ ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ø Ù Ö Ø Ö Ó [c A T v] T y < ǫ Ñ ǫ ÓÒ ÐÙØØÙ ØÓÐ Ö Ò ÓÔØ Ñ Ð ÙÙ Ø º ÌÐÐ Ò Ð ÙÔ Ö Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ö Ø Ù ÓÒ = Dy. x ÓÔØ ÅÙÙ Ø Ô Ù Ô Ð Ø Ò Ð ÙÙÒº ÀÙÓÑ ÙØÙ È Ø y = z td, t > 0 ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ù Ò Ô Ø z c T y = c T z tc T d = c T z t c 2 (ADc) T [AD(AD T )] ADc < c T z, ÐÐ [AD(AD) T ] ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ º È Ø y = z td ÓÒ Ö Ó Ø ÓÙ ÓÒ Ð Ó ADy = ADz tad(c (AD) T [AD(AD) T ] ADc) = Aa t(adc ADc) = b.

33 ¾º º à ÊÅ Êà ÊÁÆ Å Æ Ì ÄÅ ÂÓ t r 0 = min{ d i d i > 0} Ò Ò Ô Ø y = z td ÓÒ Ò Ò Ý ÓÓÖ Ò ØØ ÒÓÐÐ Ø Ò Ø Ú Ò Òº Ì Ø ÝÝ Ø ÐÔ ØÙÙ ÖÖÓØ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ 0 < ǫ < ÓØØ ÔÝ ÝØØ Ò Ô Ø º Ð ÓÖ ØÑ Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ø Ö Ø ÐÙ Ú ÖØ Ò ÑÖ Ø ÐÐÒ ÔÓØ ÒØ Ð ÙÒ Ø Ó f(x) = n i= ln( ct x x i ). Ä Ù Ã ÖÑ Ö Öµº ÌÓ Ò Ò ÙÖ Ú Ø Ú ØÓ Ó Ø ÓÒ ØÓØ ÙØÙÙ ½º c T (Dy) = 0 ¾º f(dy) f(a) δ Ñ δ Ö ÔÔÙÙ Ú Ó Ø αº

34 ÄÍÃÍ ¾º ÄÁÆ ÊÁÆ Æ ÇÈÌÁÅÇÁÆÌÁ

35 ÄÙ Ù ÔÐ Ò Ö Ò ÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑØ º½ º½º½ ÇÔØ Ñ Ð ÙÙ Ö Ø Ö Ó ÄÓ Ð Ö ÖÚÓ Ó Ø ÇÒ ÐÑ min f(x). x R n ÅÖ Ø ÐÑ º È Ø z ÓÒ ÐÓ Ð Ñ Ò Ñ Ó Ø Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ǫ > 0 Ø Ò ØØ f(z) f(x), x {z R n z x < ǫ}. Î Ø Ú Ø Ô Ø z ÓÒ ÐÓ Ð Ñ Ñ Ó Ø Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ǫ > 0 Ø Ò ØØ f(z) f(x), x {z R n z x < ǫ}. È Ø z ÓÒ ØÙÐ Ô Ø Ó z = [z + z ] Ø Ò ØØ ÙÒ Ø ÓÐÐ g(x + ) = f(x +, z ) ÓÒ ÐÓ Ð Ñ Ñ Ó Ø Ô Ø z + ÙÒ Ø ÓÐÐ h(x ) = f(z +, x ) ÓÒ ÐÓ Ð Ñ Ò Ñ Ó Ø Ô Ø z º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÐÙ ÙÒ Ø ÓÒ ÐÓ Ð Ö ÖÚÓ Ó Ø ÙÒ ÙÒ Ø Ó f(x) ÓÒ ÖØ Ø ÙÚ Ø Ö ÒØ Ó ØÙÚ f C 2 (R n )º Ä Ù º ÄÓ Ð Ö ÖÚÓ Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÒØØ Ú f(z) = f x f x 2 º f x n = 0.

36 ÄÍÃÍ º È ÄÁÆ ÊÁË Æ ÇÈÌÁÅÇÁÆÆÁÆ Å Æ Ì ÄÅ Ì ÌÐÐ Ò Ì ÝÐÓÖ Ò Ø ÐÑÒ ÒÓ ÐÐ f(x) = f(x) f(z) = 2 (x z)t 2 (ζ)(x z), Ñ 2 f(ζ) ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ f À Ò Ñ ØÖ Ô Ø ζ Ó ÓÒ Þ Ò ÝÑÔÖ ¹ Ø 2 2 f f(x) = [ ] i,j=,...,n. x i x j Æ Ò ÓÐÐ Ò Ö ÖÚÓ Ó Ò Ð ØÙ ÓÒ Ó Ò Ð ÑÙÓ ÓÒ Q(x) = x T 2 f(ζ)x ÓÑ Ò ÙÙ Ø º ÂÓ z ÓÒ ÐÓ Ð Ñ Ò Ñ Ó Ø Ñ Ñ Ó Ø µ Ò Ò ÚÐØØÑØØ Ò Ð ÑÙÓ¹ ÓÒ ÓÒ ÓÐØ Ú ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ò Ø Ú Ò Òµ Ô Ø Ò z ÝÑÔÖ Ø º Î Ø Ú Ø Ó Ô Ø z ÓÒ ÐÓ Ð Ö ÖÚÓ Ó Ø Ø º Ö ÒØ Ò ÒÓÐÐ Ó Ø Ò Ò ÓÒ ÐÓ Ð Ñ Ò Ñ Ó Ø Ñ Ñ Ó Ø µ Ñ Ð À Ò Ñ ØÖ ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø Ò Ø Ú Ø µ Ò ØØ º Ì Ö Ò ÓØØ Ò ÓÒ ÚÓ Ñ ÙÖ Ú Ä Ù º ÇÐ ÓÓÒ f : R n R C 2 ¹ ÙÒ Ø Óº È Ø z ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ f ÐÓ Ð Ñ Ò Ñ Ó Ø Ó Ú Ò Ó ÙÒ Ø ÓÒ À Ò Ñ ØÖ ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø Ñ ¹ Ò ØØ º Ä Ù ½¼º ÇÐ ÓÓÒ z ÙÒ Ø ÓÒ f(x) Ø Ø ÓÒ Ö Ò Ò Ô Ø ÙÒ Ø ÓÒ À Ò Ñ ØÖ ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ º ÌÐÐ Ò z ÓÒ Ö Ø ØØÝ ÐÓ Ð Ñ Ò Ñ Ó Ø º Ò ÐÓ Ø Ú ØØÑØ ÚÓ Ò ØÓ Ø ÐÓ Ð ÐÐ Ñ Ñ Ó ÐÐ º º½º¾ ÃÓÒÚ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ê Ð ÖÚÓ Ò Ò Ú ØÓÖ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó f ÓÒ ÓÒÚ Ó ÐÐ x, y R n f(tx + ( t)y) tf(x) + ( t)f(y), 0 t. ÃÓÒÚ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒÒ Ò Ô ÖÙ Ð Ù ÓÒ Ä Ù ½½º ÇÐ ÓÓÒ ÙÒ Ø Ó f : R n R ÓÒÚ Ó Ö Ú Ò Ò Ø º lim f(x) =. x ÌÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÓ Ð Ñ Ò Ñ Ó Ø x min f(x min ) f(x), x R n. Ä Ó f(x) ÓÒ Ó Ø ÓÒÚ Ò Ò Ñ Ò Ñ Ó Ø ÓÒ Ý ØØ Ò Òº

37 º½º ÇÈÌÁÅ ÄÁËÍÍËÃÊÁÌ ÊÁÇ Ä ÑÐÐ ÒÒ ÐÐ ÝÝØØØ ÙÖ Ú Ú ØØÑ ÓÒ ØÓ Ä Ù ½¾º ÇÐ ÓÓÒ f : R n R C 2 ¹ ÙÒ Ø Óº ÌÐÐ Ò f(x) ÓÒ ÓÒÚ Ó Ú Ò Ó ÙÒ Ø ÓÒ ØÓ Ò Ò Ö Ú ØØ 2 f(x) ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø Ñ Ò ØØ ÐÐ x R n º

38 ÄÍÃÍ º È ÄÁÆ ÊÁË Æ ÇÈÌÁÅÇÁÆÆÁÆ Å Æ Ì ÄÅ Ì º¾ Ê Ð ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ò Ñ

39 º º Ê Á ÆÌÌÁÅ Æ Ì ÄÅ º Ö ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ËØ Ô Ø ÒØ¹Ñ Ò Ø ÐÑ Ðº Ù ÝÒ Ñ Ò Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó Ú ÚÓ Ñ ÑÑ Ò Ö ÒØ Ò ÙÙÒØ Òº Æ Ò ÓÐÐ Ò Ù ÙÙÒØ Ù ÝÒ Ñ Ò Ø ÐÑ ÓÒ d (k) = f(x (k) ). Ì Ò ÙÙÒØ Ò ÙÒ Ø Ó Ô Ò Ò º ÂÓ Ø Ö Ø Ó Ð ÐÐ ÓÒ Ö Ø Ø Ú Ý ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ Ò ÑÓ ÒØ ÓÒ ÐÑ min t f(x (k) + td (k) ). Å Ò ÑÓ Ñ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓØ ÙÓÖ ÐÐ x (k) +td (k) Ò ÐÔ ØÙÙ t k ѹ ÖØØݺ ÍÙ ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó Ñ Ò Ñ Ó ÐÐ ÓÒ ØÐÐ Ò x (k+) = x (k) + t k d (k). Ë ÙÖ Ú Ø Ú ØØÑØ Ó Ò Ù Ý³Ò Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÙÔÔ Ò Ñ Ø ÓÚ Ø ÐÑ Ä Ù ½ º ÇÐ ÓÓÒ ÙÒ Ø Ó f(x) Ø ÙÚ Ø Ö ÒØ Ó ØÙÚ ÓÒÚ Ó Ö¹ Ú Ò Òº ÌÐÐ Ò Ù Ý³Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÙÔÔ Ò Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ò Ñ Ó Ø ÐÐ Ð Ù ÖÚ Ù ÐÐ x (0) º Ä Ù ½ º ÇÐ ÓÓÒ ÙÒ Ø Ó f(x) Ø ÙÚ Ø Ö ÒØ Ó ØÙÚ ÓÒÚ ÙÒ ¹ Ø ÓÐÐ ÓÒ ÐÓ Ð Ñ Ò Ñ Ó Ø Ô Ø zº ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ δ > 0 Ø Ò ØØ Ù Ý³Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÙÔÔ Ò Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ò Ñ Ó Ø ÐРй Ù ÖÚ Ù ÐÐ x (0) {y x z δ}º Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ f(x) Ö ÒØ Ò ÒÓÐÐ Ó Ø º Å ¹ Ò Ø ÐÑÒ ÝÐ Ò Ò Ð ÓÒ x (k+) = x (k) [ 2 f(x (k) )] f(x (k) ). º ÃÓÒ Ù ØØ Ö ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ Ð Ø Ö¹Ê Ú ¹ Ð ÓÖ ØÑ

40 ¼ ÄÍÃÍ º È ÄÁÆ ÊÁË Æ ÇÈÌÁÅÇÁÆÆÁÆ Å Æ Ì ÄÅ Ì Ð Ù ÖÚ Ù x (0) ÇÐ ÓÓÒ ÑÖØØݺ x (j), j = 0,...,k, d (j), j = 0,...,k ÌÐÐ Ò ÙÙ Ù ÙÙÒØ ÓÒ d (k) = f(x (k) ) + f(x(k) ) 2 f(x (k ) ) 2d(k ). ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ Ò ÑÓ ÒØ ¹ÓÒ ÐÑ min t f(x (k) + td (k) ) t k. ÍÙ ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó ÓÒ x (k+) = x (k) + t k d (k) º ÂÓ f(x (k+) ) < ǫ Ò Ò ËÌÇÈ ÑÙÙØÓ Ò Ô Ð Ó Ø Ò ¾º Ç Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú ØØ Óº Ð ÓÖ ØÑ ÙÔÔ Ò Ó Ó ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ú Ö ØØ Ò Òº Ð Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ú Ö ØØ Ø ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÐÑ min x R n 2 xt Ax b T x. Ä Ù ½ º ÃÓÒ Ù ØØ Ö ÒØØ Ð ÓÖ ØÑ ÔØØÝÝ n Ò Ø Ö Ø ÓÒ Ð Ò Ó Ñ ØÖ A ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ º