ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ
|
|
- Aurora Tamminen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º º ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø Ø ¹ÑÖ ØØ ÐÝ º¾µ ÚÓ Ú Ø Ø ÑÝ Ø Ò ÑÖ Ø ÐØÚ Æ Ñ ÒØÝ ÑÝ ³ ³¹Ñ Ö Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ º Ë Ò ÓÐ ÐÐ ØØÝ ØÝÔ ¹ÐÝ ÒØ º½µº ¾
2 ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ ÆÓ Ò ÖÝÌÖ µ Ò ÖÝÌÖ µ Ö Ú Ò Ë ÓÛ Ñ ØÝÝÔÔ ÑÙÙØØÙ Ù Ø ÓÐÑÙ ÓÐ Ú Ò Ð ÓÒ ØÝÝÔÔ º ¾
3 ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ä Ø Ø µ ÚÓ Ø Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ú Ø Ú Ø Ø Ä Ø Ø ÆÙÐÐ ÓÒ Ø Ä Ø Øµ ÌÝÝÔÔ Ä Ø Ø Ó ÖÓ ØÙÙ ÝÒØ Ø Ø Ø º Î Ó ÆÙÐÐ Ó ÖÓ ØÙÙ ÝÒØ Ø Ø º ÃÓÒ ØÖÙ ØÓÖ ÓÒ Ó ÖÓ ØÙÙ ÝÒØ Ø Ø ÓÔ Ö ØØÓÖ Ò ÜÖ ¾º µº Æ Ò ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ØÝÝÔ Ó Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ó Ó º ¾ ¼
4 ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º ÄÙ Ø ÐÐ Ò Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÓÐÑÙ Ò ÐÐ Ø Ö Ø Ý Ð Ø Ò º Ð ÑÔ Ö Ø Ù ÒÓÖ Ö½ ÓÒ Ö ØÝ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ö Ó Ø ØØÙÒ ÙÓÖ Ò À Ðй Ð ÐÐ Ð ÐÚ Ø Ò Ó Ò ÓÒ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ú Ø ÚÙÙ ÐØ Ò Ò Ð Ò Ò Ó ÓÐÑÙ ÒÓÖ Ö Ð Ø ÐÙÓ Ò ØØ Ý Ò ØÓ Ø Ñ Ò ÐÔ º Ð ÑÔ Ö Ø Ù ÒÓÖ Ö¾ Ø ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ÑÙØØ ÓÒ Ó Ó Ò ¾ ½
5 ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º ½ ÑÔÓÖØ Ò ÖÝÌÖ ¾ ÒÓÖ Ö½ Ò ÖÝÌÖ ¹ ÒÓÖ Ö½ ÑÔØÝ ÒÓÖ Ö½ ÆÓ Ð Ø Ñ Ð Ö Øµ ÒÓÖ Ö½ Ð Ø Ñ Ð ÒÓÖ Ö½ Ö Ø ÒÓÖ Ö¾ Ò ÖÝÌÖ ¹ ½¼ ÒÓÖ Ö¾ ½½ Ð Ô ÒÓÖ Ö³µ ½¾ Û Ö ÒÓÖ Ö³ ÑÔØÝ ½ ½ ÒÓÖ Ö³ ÆÓ Ð Ø Ñ Ð Ö Øµ ½ ÒÓÖ Ö³ Ð Ø ½ Ñ Ð ÒÓÖ Ö³ Ö Ø µ ¾ ¾
6 Ì ØÓÖ ÒÒ Ò Ù Ø Ó Ø º º½ º º½ Ì ØÓÖ ÒÒ Ò Ù Ø Ó Ø Î Ø Ú Ø Ù Ò Ð ØÓ ÐÐ º¾µ ÑÝ ÑÙ ÐÐ Ò Ù Ø Ú Ø ÑÖ Ø ÐÐÝ ÐÐ Ø ØÓØÝÝÔ ÐÐ ÚÓ Ò Ø Ò Ù Ø ÓØ º ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØØ ÐÝ Ú Ø Ú Ø Ó Ø ÓÚ Ø Ø ÑÐÐ Ò Ò Ó Ø ¹ÑÖ Ø ÐØÚ Æ Ñ ÒØÝÝ ³ ³¹Ñ Ö Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ º ÅÙÙØ ÓÚ Ø Ô ÖÙ Ø Ô Ù º ¾
7 Ì ØÓÖ ÒÒ Ò Ù Ø Ó Ø º º½ Ç Ó Ø Ø Ò Ñ Ö Ò Ú Ø ÒÓÖ Ö½ ÒÓÖ Ö¾ Ð Ô ÒÓÖ Ö³µ Ü ¹ ÒÓÖ Ö³ Ü Î Ø Ò ÑÙÓØÓÓÒ ÒÓÖ Ö½ t ÒÓÖ Ö³ t ÐÐ ÔÙ ÐÐ tº ¾
8 Ì ØÓÖ ÒÒ Ò Ù Ø Ó Ø º º½ Î Ú ÒÒ Ø Ò Ù Ø Ò Ò Ò Ù Ø ÓØÓ ØÙ Ø ÑÑ Ú ÖØ Ò ÑÙÓØÓÓÒ ÐÐ Ð ØÓ ÐÐ x ÔØ ÒÓÖ Ö½ t x ÒÓÖ Ö³ t x Î ØØ ÑÑ ÓÒ Ö Ó Ø Ô Ù x = º Ì x ÐÑ Ñ ÖÓÓÐ Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ ÓÒº ¾
9 Ì ØÓÖ ÒÒ Ò Ù Ø Ó Ø º º½ ØÒ Ò Ù Ø ÓÐÐ ÝÐ ÔÙÙÒ t Ö ÒØ Òº Ë Ñ ÐÐ Ö Ó ØÙØ Ò Ò Ö ÐÐ Ò ÔÙ Ò tº ÈÙÙ ÚÓ ÓÐÐ ÑÝ Ö Ø Ò Ò Ñ Ö Ò ÆÓ ÑÔØÝ ¼ Ò ÒÓ Ô ÖÙ Ø Ô Ù ÓÒ t = ÑÔØÝ ÒÓÖ Ö½ ÑÔØÝ x = x = x = ÒÓÖ Ö³ ÑÔØÝ x ¾
10 Ì ØÓÖ ÒÒ Ò Ù Ø Ó Ø º º½ ÒÓ Ò Ù Ø Ú Ò Ò Ø Ô Ù ÓÒ t = ÆÓ l m r Ó l r ÓÚ Ø ØÓ Ö ÐÐ Ñ Ò ØÝÝÔ Ò ÖÚÓ Ð ÒÖ ÔÙ Ø ÓÐ Ø Ø Ò Ò Ù Ø Ú Ø ØÓØ ÙØØ Ú Ò ØÑÒ Ú ØØ Òº Ì Ò Ù Ø Ó ØÒ Ö ÒØ Ò Ù Ø Ò l r ÓÚ Ø Ý Ò ÖØ ÑÔ Ù Ò tº ÅÙ Ø Ö Ø Ð ÒØ Ý ÝÐÐ Ò Ù Ø ÓØ ÔÓ ÓÚ Ø ÑѺ Ò Ù Ø Ó ÔÙÙÒ ÓÓÒ ÓÐÑÙ Ò ÐÙ ÙÑÖÒµ Ø ÓÖ Ù Ò Ô ÑÑÒ ÔÓÐÙÒ Ô ØÙÙ Òµ Ù Ø Òº Ø Ø ÐÐ Ò Ù Ø ÓÐÐ ÓÒ Ó Ò ÙÙÖ Ó Ú Ò Ó ÐÐ Ð ÐÐ ÑÙØØ ÐÓÔÙØØÓÑ Òº ¾
11 Ì ØÓÖ ÒÒ Ò Ù Ø Ó Ø º º½ Ä Ø Ò ÒÓÖ Ö½ ÆÓ l m rµ x = ÒÓÖ Ö½ l m ÒÓÖ Ö½ rµ x = ÒÓÖ Ö½ l m ÒÓÖ Ö½ r xµ = ÒÓÖ Ö½ l m ÒÓÖ Ö³ r xµ = ÒÓÖ Ö³ l m ÒÓÖ Ö³ r xµ = ÒÓÖ Ö³ ÆÓ l m rµ x ½º ÙÒ Ø ÓÒ ÒÓÖ Ö½ Ó ÐÑ ÓÓ º ¾º ÇÔ Ö ØØÓÖ Ò µ Ð ØÒÒ ÝÝ º¾µº º ÁÒ Ù Ø Ó¹ÓÐ ØÙ ÐÐ Ú Ú ØØÙ Ò Ö ÙÖ Ó ÙØ Ù Òº º ÙÒ Ø ÓÒ ÒÓÖ Ö³ Ó ÐÑ ÓÓ º ¾
12 Ì ØÓÖ ÒÒ Ò Ù Ø Ó Ø º º½ Î Ú ÒÒ ØØÙ Ú ØØ ÑÑ ÓÒ ÒÝØ ØÓ Ø ØØÙº ÌØ ØÓ ØÙ Ø ÚÓ Ø ÐÐ ÑÝ ÙÒ Ø ÓÒ ÒÓÖ Ö³ Ó Ø Ñ Ò ÄÙÓÚ Ó ÙÙ Ã ØÒ Ú Ú ÒÒ ØØÙ Ú ØØ ÑÑ Ó ÖØÓÓ ØÓ Ò Ô Ò ÐÙ ØØÙÒ µ Ñ Ø ÙØ ÙÒ ÒÓÖ Ö³ t x Ô Ø Ô Ð ÙØØ º Å Ò Ò Ò Ó ÙÙ ÍÙ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò ØØ ÐÝ Ò Ú ØØ Ò ØÓ ØÙ Ø Ø Ò ØØ Ò ÐÙ ØÙ Ò ÝÐ Ø Ú ØØ Ø Ö ÙÖ Ú Ø ÒÒ Ø Ò Ö Ò Ù Ø ÓØ Ô Ù Ø Ò Ò Ú Ñ Ò Ý ØÐ Ò ØÓ Ò Ô Ò ÐÙ ØØÙÒ µº ¾
13 Ã Ö Ô Ö Ñ ØÖ Ø º º¾ º º¾ Ã Ö Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÐÐ Ñ Ö Ø Ó Ø ØØ Ò Ð ÓÖ ØÑ Ð ÑÐÐ Ò ÓÔ Ú Ö Ô Ö Ñ ØÖ ÙÑÙÐ ØÓÖµ x = º Ð Ø Ö Ô Ö Ñ ØÖ ÒÒ ØØ Ó ÐÐ ÐÐÓ Ò ÙÒ Ó ÓÒ Ò Ô Ð ÙØÙ ÖÚÓÒ Ö ÒØ Ñ Ò Ò ÐÙ Ø Ð Ò ÓÐ Ø ÑÙØØ ÔÙÓÐ Ú ÐÑ Ò Ô Ð ÙØÙ ÖÚÓÒ ØÝ ÒØÑ Ò Ò ÓÒ Ò ÒÓÔ º ¾ ¼
14 È Ö Ñ ØÖ Ò Ò ÑÓÒ ÑÙÓØÓ ÙÙ º º È Ö Ñ ØÖ Ò Ò ÑÓÒ ÑÙÓØÓ ÙÙ Ç ÐÑÓ ÒÒ ÑÓÒ ÑÙÓØÓ ÙÙ Ð ÔÓÐÝÑÓÖ ÔÓÐÝÑÓÖÔ Ñµ Ø Ö Ó ØØ ØØ Ñ ÓÓ ÚÓ ÝØØ ÑÓÒ Ò Ö ÑÙÓØÓ Ø Ò Ø ØÓ Ð Ó Ò ØØ ÐÝÝÒº ÃÓ Ö ÑÙÓØÓ Ø Ø ØÓ Ð ÓØ ÙÙÐÙÚ Ø Ö ØÝÝÔÔ Ò Ò Ò Ø Ö Ó ØØ ØØ Ñ ÓÓ ÓÚ ÐØÙÙ ÑÓÒ ÐÐ Ö ØÝÝÔ ÐÐ º À ÐÐ Ò ØÝÝÔÔ Ö Ø ÐÑ ÔÙÓÐ Ø Ò Ø Ö Ó ØØ ØØ Ý Ò ÓÓ Ò ØÝÝÔ ÓÒ Ò ØÝÝÔÔ ÑÙÙØØÙ Ø Ö ÑÔ ØÝÝÔÔ º ¾ ½
15 È Ö Ñ ØÖ Ò Ò ÑÓÒ ÑÙÓØÓ ÙÙ º Ñ Ö ÔÓÐÝÑÓÖ Ò ØÝÝÔ Ò Ò ÖÝÌÖ º µ ÙÒ Ø ÓÒ ØÝÝÔÔ ÚÓ Ò Ñ Ö Ø ÒÓÖ Ö¾ º Ò ÖÝÌÖ ¹ ÌÑ ÙÒ Ú Ö Ð Ú ÒØØÓÖ ³ ³ Ø Ö Ó ØØ ÐÐ ØÝÝÔ ÐÐ ØØ Ð ØÝÝÔÔ ÑÙÙØØÙ Ò ÓÒ Ò ÝÚÝÝ ÐÙ ÓÒ Ô Ø Ò ³º³ Ð Ò Ò ØÝÝÔÔ º ÓÒ À Ðй Ð Ò Ò Ò Ñ Ö ÒØ Ó ÐÑÓ Ò Ø ÖÚ Ø Ø Ö Ó ØØ º ¾ ¾
16 È Ö Ñ ØÖ Ò Ò ÑÓÒ ÑÙÓØÓ ÙÙ º ÇÐ Ó¹Ó ÐÑÓ ÒÒ ÙØ Ò Â Ú µ ÓÒ Ò º Ø ÒÝØ Óµ ¹ÑÓÒ ÑÙÓØÓ ÙÙ Ö Ñ ØÓ Ø ÙÚ Ø Ò Ô Ö ÝØÝÑ Ö Ö Ò Ö Ø Ó ÐÐ Ã ÐÐ ¹ÙÐÓØØ ÐÐ ÔÔ Ð ÐÐ ÝÐÐÙÓ µ ÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ Ò Ñ ÐØ Ø Ð ÚÙÙ Ñ ØÓ µº º º ÑÙØØ Ô ÐÐÓÒ Ø Ð ÚÙÙ Ð Ø Ò Ö Ú ÐÐ Ù Ò ÙÙØ ÓÒ ÔÔ Ð Ò Ð ÐÙÓ µº ÂÓ Ò Ò ÓÒ Ö ØØ Ò Ò ÔÔ Ð ÓÐ Óµ Ó ÐÑÓ ØØ ÓÑ Ò Ø Ð ÚÙÙØ Ò Ó Ø Ø ÓÑ Ø Ñ ØØ Ò Ø ØÓ ÒØØÒ µ Ú Ò º ¾
17 È Ö Ñ ØÖ Ò Ò ÑÓÒ ÑÙÓØÓ ÙÙ º È Ö Ñ ØÖ Ò Ò ÑÓÒ ÑÙÓØÓ ÙÙ ÐÑ ÔÙÓÐ Ø Ò Ñ Ø ØÑ ÙÒ Ø Ó Ø Ö ÔÔÙÑ ØØ ØÙÓÒ Ö ÙÑ ÒØØ Ò ØÝÝÔ Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÒÓÖ Ö¾ Ð Ø Ñ Ò ÒÖ ÔÙÙÒ ÓÐÑÙ Ò ÐÐ Ø Ö ØÝ Ö ÔÔÑ ØØ Ø Ñ Ø ØÝÝÔÔ ÒÑ ÐÐ Ø Ñ ÐÐÓ Ò Ò ÓÚ Øº ÃÒØ Ò ÒÓÖ Ö¾ ÚÓ Ø ØÝÝÔ Ò ÖÚÓ ÐÐ Ñ ØÒ ÑÙÙØ Ù Ò ÓÔ Ó Ò Ø ØÙÐÓ Ò ÂÓ ÐÙ Ø Ò ÐÐ ÓØ Ò Ò ÑÑÒ Ò Ò Ò Ô Ø Ú Ø Ú Ø ÓÐ ØØ ØØ ØÝÝÔÔ ÔÝ ØÝ Ò ÐÐÓ Ò ÓÐ Ò ØÝÝÔÔ ÌÑ ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ ÝÝ Ò ÑÖ Ø ÐѺ ¾
18 È Ö Ñ ØÖ Ò Ò ÑÓÒ ÑÙÓØÓ ÙÙ º Ì ÒÝØ ¹ÑÓÒ ÑÙÓØÓ ÙÙ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÌÝÝÔÔ Ô Ø Ö Ó ØØ ØÝÐ Ò ÒÓÖ Ö¾ Ò ÖÝÌÖ Ç Ø ¹ Ç Ø ÓØØ Ö Ó ØØÙ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒµ ÝÐÐÙÓ Ò Ð ÐÙÓ Òº º º ÑÙØØ ÐÐÓ Ò ØÓ ØÝÝÔÔ Ø ØÓ Æ ÒÔ ÓÐ Ó Ð Ò ÓÒ Ò ØÙÓØÙ Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ò ÑÓÒ ÑÙÓØÓ ÙÙ Ð Ô ÖØ Ò Â Ú º¼ Ò Ö Ø ÑÔÐ Ø Ñ ÐÐ ÔÓ Øµ º º º ¾
19 È Ö Ñ ØÖ Ò Ò ÑÓÒ ÑÙÓØÓ ÙÙ º ÌÓ ÐØ ØÝØØ Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÑÓÒ ÑÙÓØÓ ÙÙØØ Ô Ø Ó Ù ÚÓ Ö Ó ØØ ÚÓ Ö Ó ØØ Ö ØÑ ÙÒ Ø ÓØ ØÝÝÔÔ ÓÖØ º ¹ Ó Ú Ò Ñ Ø Ò ØÝÝÔÔ Ý Ë ÐÐ Ô Ø ÓÐÐ Ö ØÝ Ö Ð Ø Ó µº À Ðй Ð Ö Ó Ø Ø Ò Ò ÓÖØ º ÇÖ ¹ Ð Ñ Ø Ò ØÝÝÔÔ Ó ÙÙÐÙÙ ÐÙÓ Ò ÇÖ Ð ÓÐÐ ÓÒ µ º ¾
20 È Ö Ñ ØÖ Ò Ò ÑÓÒ ÑÙÓØÓ ÙÙ º ÌÝÝÔÔ ÐÙÓ Ø ØÝÔ Ð µ ÓÒ Ø Ô ÝÐ ÙÓÖÑ ØØ Ò Ñ ÐÐ ØÙ Ø À Ðй Ð Ò ÙÙØÙÙ Ó ÐÑÓ ÒØ ÐØ Ò ØÝÝÔÔ Ö Ø ÐÑ Ò ÝÐ Ø ÝÚ Ø ÓØØÙ Ö Ø ÙØ Ô ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÒÓØ Ø ÓÐØ Ò Ù Ò ÐÓ Ò x.p(x) Q(x) Ð ÐÐ ÓÒ P ØÓØ ÙØØ Ú ÐÐ x ÔØ ÑÝ Q º ÙÙÒÒ Ø ÐØÙ Ý Ø Ò ÓÔ Ú ØÝÝÔ ÒÔØØ ÐÝÒ Ò ¾
21 È Ö Ñ ØÖ Ò Ò ÑÓÒ ÑÙÓØÓ ÙÙ º ÌÝÝÔÔ ÐÙÓ Ø Ú º ÓÐ Ó ØØ Ø ½º ÂÓ Ò Ò ÖÚÓ ÙÙÐÙÙ Ø ÑÐÐ Ò Ý Ø Ò ÓÒ Ö ØØ Ò ØÝÝÔÔ Òº Ë ÖÚÓØ ÓÚ Ø ØÝÝÔÔ Ò Ò Ø Ò º ¾º ÂÓ Ò Ò ÓÒ Ö ØØ Ò Ò Ø ÔÓÐÝÑÓÖ Ò Òµ ØÝÝÔÔ ÚÓ ÙÙÐÙ Ù Ò Ö ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Òº Ñ Ö ØÝÝÔÔ ÁÒØ ÓÒ ÒÙÑ Ö Ò Ò ÆÙÑ ØØ ØÙÐÓ ØÙ ÐÔÓ Ò Ò Ë ÓÛº Ë ØÝÝÔ Ø ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ò Ò Ø Ò º º Ö ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ò ÚÐ ÐÐ ÓÒ Ú Ø ÑÙ Ö Ö Ñ Ö ØÝÝÔÔ ÚÓ ÓÐÐ ÇÖ Ú Ò Ó ÓÒ ÑÝ Õ Ð Ó ÐÐ ÓÒ ÑÝ µº ¾
22 È Ö Ñ ØÖ Ò Ò ÑÓÒ ÑÙÓØÓ ÙÙ º À ÐÐ ¹ Ø Ò Ö ÓÒ Ú Ò ØÑ ÑÔÐ ØØ Ò Ò ØÝÝÔ Ò ÐÙ ÓÐ Ú ³ ³ Ò Ò ÝÚÝÝ ÔØØÝÝ ØÑÒ ØÝÝÔ Ò ÐÓÔÔÙÙÒº À Ðг¹ ÓØÙ Ó ÐÑÓ ÚÓ Ú ØÓ ØÓ Ø Ö Ó ØØ Ø Ú ÒØØÓÖ Ø Ò ÝÚ Ò ÑÙÓ Ó ÓÖ ÐÐ ÓÐÐÓ Ò Ò Ú ÙØÙ Ø ÙÙ Ó Ó ØÝÝÔ Ø ØØÚÒ ÑÖ ØØ ÐÝÒ ÐÓÔÔÙÙÒ ÓØ Ò Ö ØÝ Ø Ò ØØ Ð ÑØ ØÝÝÔÔ ÑÙÙØØÙ Ø Ò ÝÚØ Ò ÑÖ ØØ ÐÝÒ ÐÐ ÓÐ Ú Ò ØÝÝÔ ØÝ Òº ¾
23 ÌÝÝÔ ÒÔØØ ÐÝÒ Ô Ö ØØ Ø º º ÌÝÝÔ ÒÔØØ ÐÝÒ Ô Ö ØØ Ø Ø ÐÐÒ À ÐÐ Ò ØÝÝÔ ÒÔØØ ÐÝÒ Ô Ö ØØ Ø Ñ Ò ÑØØ Ò Ö Ó Ø Ô Ù Ò Ð ÒÒÙ Òº ÃÙÚ ÐÐ Ò ØÝÝÔ ÒÔØØ ÐÝ Ý ØÐ ÒÖ Ø ÙÒ º ÌÓ Ò Ò Ý ØÔ ØÚ ÙÚ ÐÙØ Ô ÓÐ Ñ ØÙ ÙÒ Ø ÓÒµ Ó ÓÒ Ð ÓÖ ØÑ Ø Ý ØÐ ÒÖ Ø Ù º ¾ ¼
24 ÌÝÝÔÔ Ý ØÐ ÖÝ Ñ º º½ º º½ ÌÝÝÔÔ Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÌÝÝÔÔ Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÓÒ Ó Ó ÐÑ ÓÐÑ ÒÐ Ð Ó Ø Ú ØØ Ø ØÑ Ò Ñ ÓÒ ØÙÓØ ØÝÝÔÔ Ý ÝÑÝ ÓÒ Ó ØÑ Ð Ù ØÙÓØ ØÝÝÔÔ Ý ØÐ Ø ÒÑ ØÝÝÔÔ ÓÚ Ø Ò Ñ Ø º ÌÝÝÔ ÒÔØØ ÐÝ ÓÒ ØÑÒ Ó Ó ÐÑ Ò Ò Ð Ó Ò ØØ ÐÝ ÒØ Ò ÑÙ Ø º ØÐ ÖÝ ÑÒ Ö Ø Ñ Ò Ò ÓÒ Ø Ò ÐØÑ ÐÐ ØÝÝÔÔ ÑÙÙØØÙ ÐÐ ÓØ ØÝØØÚØ ÖÚÓغ ¾ ½
25 ÌÝÝÔÔ Ý ØÐ ÖÝ Ñ º º½ ÐÙ ÓÒ ÒÒ ØØÙ Ð Ù ÓÒ ØÝÝÔÔ ØÝØÝÝ ÐÚ ØØ Ñ Ö ÓÒ ÝØØ Ö Ó ØØ ØÙÐ ÐÐ Ö Ó ØÙ Ø ÐÐ Ó ØÙÒÒ ØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÝÑ º ØÝÝÔÔ Ø Óغ à ØØ ÐÝ ÚÓ Ø Ñ Ð Ò Ñ Ø Ò Ö ØÝ º À Ðй ÐÑÓ ØØ ØÝÝÔÔ Ú Ö Ø Ú Ø ÐÐÓ Ò ÙÒ ÙØÙÙ ÔØØ ÐÝ Ò ÙÑÔ Ù Òº Î Ö Ò ÝÝ ÚÓ ÓÐÐ Ú Ò ØÓ ÐÐ Ñ Ð Ù µº ¾ ¾
26 ÌÝÝÔÔ Ú ØØ Ø ¹ Ý ÝÑÝ Ø ÐÙ ØÝÝÔÔ Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÓÓ ØÙÙ ØÝÝÔÔ Ú ØØ Ø ÑÙÓØÓ ÐÐ Ò Ñ :: Ò ØÝÝÔÔ ÒÒ ØØÙÙÒ Ð Ù Ò Ò ÝÚ ÐÐ À Ðй Ð Ò ÒÖ ÒÒ ØÙ ÐÐ Ò Ñ ÐÐ º Ë ÐØ Ñ Ö ÙÖ Ú ÒÐ Ø ØÝÝÔÔ Ú ØØ Øº ¾
27 À Ðй Ð Ò ÓÑ Ø ÖÚÓ ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ Ø ÙØ Ò µ :: º ¹ ¹ µ Ó ÓÒ Ò Ö Ò Ò Ô Ö ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ º Î Ó Ö ØÓÒ ÈÖ ÐÙ ÙÒ Ø ÓØ ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ Ø ÙØ Ò Ø ÂÙ Ø :: º µ ¹ :: º ¹ Å Ý ÃÝØØ Ò ÑÖ ØØ Ð ÑØ ÙÒ Ø ÓØ ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ Øº ¾
28 Ä Ù ÙÐÙ ÙÚ ÓØ ÙØ Ò ¼º¼ :: º Ö Ø ÓÒ Ð Ö Ø ÓÒ Ð ÓÒ ØÝÝÔÔ ÐÙÓ º µº º º Ó ÓÓ ØÙÙ Ø ÑÙÖØÓ¹ Ð Ù ÙÐÙ ÙØÝÝÔ Øº º º Ð ØÝÝÔ Ò a Ô Ø ÓÐÐ Ó Ò Ò Ø ØÝÝÔ Øº Æ Ò ¼º¼ ÓÔ ÙØÙÙ ÓÐ Ñ Ò Ñ Ø Ø Ò ÑÙÖØÓ¹ Ø Ð Ù ÙÐÙ ÙØÝÝÔÔ ÝØØ ÝÑÔÖ Ø Ò ÙÐÐÓ Ø Ò Ò Ú Ø ÑÙ Ø Ò ÑÙ Ø º ¾
29 ÃÓ ÓÒ ÐÙ ÙÚ ÓØ ÙØ Ò ¼ :: º ÆÙÑ ÓÚ Ø Ú Ø Ú Ø Ñ Ø Ø Ò ÆÙÑ ÖÓ Ø º ÅÙÙØ Ú ÓØ ÙØ Ò ³ ³ :: Ö ÚØ ÓÐ ÔÓÐÝÑÓÖ Ú Ò Ò ÐÐ ÓÒ Ð ÓÒ Ö ØØ Ò Ò ØÝÝÔÔ º ¾
30 ÂÓ Ò Ò ØÝÝÔÔ Ú Ø ÓÒ ÙÐ ØØÙ ÐÓ µ Ò ØÝÝÔÔ ÑÙÙØØÙ Ø ÓÒ ÙÒ Ú Ö Ð Ú ÒØ Ó ØÙº ÌÝÝÔ ÒÔØØ ÐÙ Ð Ð ÑÐÐ ØÝÝÔÔ Ý ÝÑÝ ÑÙÓØÓ ÒÒ ØØÙ Ð Ù? :: ÙÙ ØÝÝÔÔ ÑÙÙØØÙ Ì Ø Ó ÙÙ ØÝÝÔÔ ÑÙÙØØÙ Ø Ö Ó ØØ ØØ ÓØ Ø Ò ÝØØ Ò Ó Ò ÐÐ Ò Ò ØÝÝÔÔ ÑÙÙØØÙ ÓØ Ú Ð ÒÒÝ Ø Ý ØÐ ÖÝ Ñ º ÁÒØÙ Ø Ú Ø Ý ØÐ ÒÖ Ø ÙÒ ÐÐ ØÙÓØØ Ñ ÖÚÓ ÓÒ ØÝÝÔÔ Ó ÔØ ÐÐÒ ÒÒ ØÙÐÐ Ð Ù ÐÐ Ð ÖÚÓ Ó ÒÒ Ø Ò ÙÙ ÐÐ ØÝÝÔÔ ÑÙÙØØÙ ÐÐ º ¾
31 ÙÒ Ø ÓÒ ÙØ ÙÐ Ù Ñк ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ Øµ ÃÝ ÝÑÝ ÔÙÖ ÙØÙÙ Ý ÝÑÝ (f e)? :: α f? :: β ¹ α e? :: β β ÓÒ ÙÙ ØÝÝÔÔ ÑÙÙØØÙ º º º Ù Ø ÙØ ÙØØ Ú Ò Ð Ù Ò f Ö ÙÑ ÒØØ ØÝÝÔÔ º º º ÓØ ÑÑ Ú Ð ØÙÒÒ ØÙÒ ÑÑ Ú Ø Ó Ó Ð Ù Ò ØÙÐÓ ØÝÝÔ Ò αº ÌÝÝÔÔ ÑÙÙØØÙ ÐÐ ÚÓ ÑÑ Ò Ò ÐÑ Ø ØÓ ÑÝ Ú Ð ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ ÐÐ Ò ØÝÝÔ ÐÐ º ¾
32 ÙÒ Ø ÓÒÐÙÓÒØ Ð Ù ÃÝ ÝÑÝ ÔÙÖ ÙØÙÙ ÙÖ Ú Ø (\ x ¹ e)? :: α ½º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ x ÓÒ ÑÙÙØØÙ ÑÙØ ÑÔ ÑÓ ÑÙÙØ Ò Ö Ó Ø Ø Ò Ò Ò Ø Ú Ø Ú º ¾º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ x ÒÒÝ ÑÙÙ ÐÐ Ø Ý ØÐ ÖÝ Ñ º ÅÙÙØ Ò ÓÖÚ Ø Ò ØÑÒ x ÒØÝÑØ ÙÙ ÐÐ ÑÙÙØØÙ ÐÐ x Ð Ù eº Ë ÐÐÓ Ò Ø ÖÚ Ø ÑÙ Ø Ò ÝÚÝÝ ÒØ ØÝÝÔÔ Ý ØÐ ÖÝ Ñ º ¾
33 º Ä ØÒ ØÝÝÔÔ Ý ØÐ º º µ α = β ¹ γ Ó β γ ÓÚ Ø ÙÙ ØÝÝÔÔ ÑÙÙØØÙ º Ë ÒÓÓ ÃÓ Ó Ð Ù Ò ØÝÝÔ Ò α Ô Ø ÓÐÐ ÙÒ Ø Ó Ô Ö Ñ ØÖ ØÝÝÔ Ø β ØÙÐÓ ØÝÝÔÔ Ò γº Ò Ò Ó Ò Ò? :: ÓÖÚ ÙØÙÙ Ý ØÐ Ðк º ÆÝØ Ð ÙÔ Ö Ò Ò Ý ÝÑÝ ÔÙÖ ÙØÙÙ Ú ØØ Ý ÝÑÝ x :: β e? :: γ ÓØ Ý Ý ÝÚØ ÂÓ ÓÐ Ø ÑÑ ØØ Ô Ö Ñ ØÖ x ÓÒ ØÝÝÔÔ β Ò Ò ÓÒ Ó ÐÐÓ Ò Ð Ù e ØÝÝÔÔ γ ¼¼
34 º ÎÐ Ò Ò ÓÐ ØÙ x :: β ÚÓ Ò ÙÒÓ Ø ØØ Ò ÙÒ Ó Ò Ò Ý ÝÑÝ Ó Ñ Ò Ø ÑÙÙØØÙ Ò x ÓÒ Ø ÐØݺ ÆÑ Ø Ó Ý ÝÑÝ Ø ÝÒØÝÚØ Ý ÝÑÝ Ò Ø Ó ØØ ÐÝ Øº e? :: γ ¼½
35 À ÑÓÒ ÓÚ ØÙ Ð Ù ÃÝ ÝÑÝ e Ó h 1 h 2 h 3... h m? :: α Ó h 1, h 2, h 3,..., h m ÓÚ Ø Ò Ö Ø ÔÙÖ ÙØÙÙ ÙÖ Ú Ø ½º ÇÐ Ø Ø Ò ÙØ Ò ÙÒ Ø ÓÒÐÙÓÒØ Ð Ù ØØ Ñ Ò Ò Ö Ò h i ÑÓ p i ÒØÝÚØ ÑÙÙØØÙ Ø ÚØ ÒÒÝ ÑÙ ÖÓ h j Ø ÑÙÙ ÐÐ ØÝÝÔÔ Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÑÑ º ¾º Ä ØÒ Ý ÝÑÝ e? :: β Ó β ÓÒ ÙÙ ØÝÝÔÔ ÑÙÙØØÙ º ¼¾
36 º ÃÙ Ò Ö h i ÓÒ ÑÙÓØÓ p i v 1 ¹ a 1 v 2 ¹ a 2 v 3 ¹ a 3... v n ¹ a n Ó Ù Ò Ú Ø v k Ú ÖØ Ó ÓÑ ØÙÐÓ Ð Ù ØØ Ò a k º Î Ø Ò Ô Ø ÓÐÐ ØÓØÙÙ ÖÚÓØÝÝÔÔ v 1? :: ÓÓÐ v2? :: ÓÓÐ v3? :: ÓÓÐ... vn? :: ÓÓÐ. ÌÙÐÓ Ø Ò Ô Ø ÓÐÐ Ñ ØÝÝÔÔ α a 1? :: α a2? :: α a3? :: α... an? :: α. ÃÙ Ò ÑÙÙØØÙ x ÑÓÒ p i ØÝÝÔ ØÝ Ò ÓÑ Ò ÚÐ Ò ÓÐ ØÙ Ò x :: β x Ó β x ÓÒ Ò ÓÑ ÙÙ ØÝÝÔÔ ÑÙÙØØÙ º ¼
37 º Å ÐÐ ÓÒ Ò Ö Ø Ø Ú Ò ÑÑ ÑÝ ØÝÝÔÔ Ý ÝÑÝ ÑÙÓØÓ ÑÓ? :: ØÝÝÔÔ. xq? :: γ ÓÒ x? :: γ q? :: γ º? :: γ ÓÒ Ò ØÓØØ ÚÓ Ò ÔÓ Ø º q? :: γ ÓÒ q? :: γ º ÑÓ ÓÒ Ò Ò Ø Ô Ù Ø Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ú Ó Ò ÖÚÓ ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ Ò Ð Ù Ò Ò Ò Ò Ý Ø ÐѺ º º ÑÝ ØÝÝÔ ØØÝÝ ÑÓ Òº ¼
38 Æ Ñ Ò Ò ÚÓ Ò ÔØÝ Ý ÝÑÝ Ò Ó ÓÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÖÚÓ ÓÒ ØÖÙ ØÓÖ Ò Ò Ñ? :: α. ÌÝÝÔÔ Ý ØÐ ÖÝ Ñ ÑÑ ÓÒ Ø Ú Ø Ú Ú Ø Ò Ñ :: β Ø ÒÒ Ú Ö Ò Ñ ÓÐ Ò ÑÖ Ø ÐØݵº ÂÓ ØÝÝÔÔ β ÓÒ ÑÓÒ ÑÙÓØÓ Ò Ò Ð a 1 a 2 a 3... a r. γ Ò Ò ÓÖÚ Ø Ò ØÑ Ý ÝÑÝ ØÝÝÔÔ Ý ØÐ ÐÐ α = γ Ó Ò ÓÖÚ Ñ ÐÐ Ó Ò Ò a i ÓÑ ÐÐ ÙÙ ÐÐ ØÝÝÔÔ ÑÙÙØØÙ ÐÐ Ò δ i º ¼
39 Ë ÐÐÓ Ò Ý ÓÒ ÑÓÒ ÑÙÓØÓ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ØÑ ºµ ÝØØ ÌÝÝÔ Ø δ i ÓÚ Ø Ò Ó ÐÐ Ø ØÐÐ ÖØ ÝØ ØÒº ÂÓ ØÝÝÔÔ β ÓÐ Ò ÑÓÒ ÑÙÓØÓ Ò Ò Ò Ò Ö ØØ ÓÖÚ Ø ØÑ Ý ÝÑÝ Ô Ð ÐÐ Ý ØÐ ÐÐ α = β. ¼
40 È ÐÐ Ò Ò ÑÖ ØØ ÐÝ Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ø Ð ÒÒ ØØ Ó ÑÖ Ø ÐÐÒ Ô ÐÐ Ø Ý ÙÒ Ø Ó Ð Ý ÝÑÝ Ø Ð Ø f x 1 x 2 x 3... x k g Ò e? :: α Ó Ô Ö Ñ ØÖ Ø x 1, x 2, x 3,..., x k ÓÚ Ø ÑÙÙØØÙ Ò f ÚØ ÓÐ ÝØ ÑÙÙ ÐÐ º Ë ÐÐÓ Ò ÓÒ ¾ Ö Ñ ÓÐÐ ÙÙØØ ÃÝØØ ÑÖ ØØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ f ØÝÝÔ Ò Ø Ë ÐÐÓ Ò ÔØØ ÐÝ ÓÐ ØØ ÑÖ ØØ ÐÝÒ ÔØ ÚÒ ÑÙØØ ÙÓÑ ØÝÝÔ ÒÔØØ ÐÝÒ ÙÐÙ Ó Ò Ò ÓÐ Òº ÈØØ ÐÝÒ ØÝØÝÝ ÙÒ Ø ÓÐÐ f ØÝÝÔÔ Ë ÐÐÓ Ò ØÝØÝÝ Ð ÝÐ Ø ØØÝ ØÝÝÔÔ Ñ ÓÐÐ ÑÑ Ò ÑÓÒ ÑÙÓØÓ º ¼
41 ÃÝØØ ÑÖ ØØ Ð ØÝÝÔ Ò Ð Ö Ó ØØ ÓÓ Ò f :: β 1 ¹ β 2 ¹ β 3 ¹... ¹ β k ¹ γ. ÇÐ ÓÓØ a 1, a 2, a 3,..., a r Ò ÒØÝÚØ ØÝÝÔÔ ÑÙÙØØ٠غ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÚØ Ò ÒÒÝ ÑÙÙ ÐÐ º ½º Ä ØÒ Ø Ú Ø Ú ÙÐ ØØÙ ØÝÝÔÔ Ú Ø f :: a 1 a 2 a 3... a r. β 1 ¹ β 2 ¹ β 3 ¹... ¹ β k ¹ γ. Ô Ö Ñ ØÖ Ò ØÝÝÔÔ Ú ØØ Ø x 1 :: β 1 x 2 :: β 2 x 3 :: β 3... x k :: β k. ¼
42 ¾º Î Ø Ø Ò Ò ÐÐ Ð ÓÐ ØÙ ÐÐ ØÝÝÔÔ Ý ÝÑÝ Ò g? :: γ. ÂÓ Ú Ø Ù ÓÙ ÙØØ Ò Ò ÒØ Ñ Ò ÖÚÓ ÓÐÐ Ò ÑÙÙØØÙ Ø a 1, a 2, a 3,..., a r Ð ØÝÝÔÔ Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ ÐÑ ØÝ ÔØÖ Ú Ð a j =... µ Ò Ò g ÓÐ Ò Ò Ò ÑÓÒ ÑÙÓØÓ Ò Ò Ù Ò ÝØØ ÝÖ ØØ Ù ÓØ ÐÐ º ÅÙÙØ Ò Ö Ø Ø Ò ØÝÝÔÔ Ý ÝÑÝ e? :: α ÓÒ Ð Ò ÒÑ Ð ÓÐ ØÙ Ø ÚÓ ÙÒÓ Ø º ¼
43 ÌÝÝÔÔ ØÝØÝÝ Ò ÔØ ÐÐ ½º Ä ØÒ ÓÐ ØÙ ÙÒ Ø ÓÐÐ f ØÝÝÔÔ Ú Ø f :: β 1 ¹ β 2 ¹ β 3 ¹... ¹ β k ¹ γ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ ØÝÝÔÔ Ú ØØ Ø x 1 :: β 1 x 2 :: β 2 x 3 :: β 3... x k :: β k Ó β 1, β 2, β 3,..., β k γ ÓÚ Ø Ò ÙÙ ØÝÝÔÔ ÑÙÙØØÙ º ¾º Î Ø Ø Ò Ò ÖÙÒ ÓÒ ØÝÝÔÔ Ý ÝÑÝ Ò g? :: γ. ½¼
44 º ÇÐ ÓÓØ a 1, a 2, a 3,..., a r Ò ØÝÝÔÔ ÑÙÙØØ٠غ º º ÓØ ÐÙÓØ Ò Ú Ø ØØ ÖÙÒ ÓÒ ØÝÝÔÔ Ý ÝÑÝ Ò ÑÙ Ò ÐÙ Ò ÑÝ β 1, β 2, β 3,..., β k γ ÑÙØØ º º º Ó ÐÐ Ø ÖÚ ÒÒÙØ Ò ÒØ Ò ÙÐÙ ÖÚÓ º Ë ÐÐÓ Ò ÚÓ ÑÑ ÝÐ Ø Ú Ø Ù Ò ÑÙÓØÓÓÒ f :: a 1 a 2 a 3... a r. β 1 ¹ β 2 ¹ β 3 ¹... ¹ β k ¹ γ. Ó Ó Ò Ò β i ÓÒ ØÝÝÔÔ ÑÙÙØØÙ Ò β i Ñ ÖÚÓ Ø Ú Ø Ù γ Ú Ø Ú Ø º º ÄÓÔÙ ÚÓ ÑÑ Ú Ø Ø ØÝÝÔÔ Ý ÝÑÝ Ò e? :: α ØÐÐ ÝÐ Ø ØÝÐÐ Ú Ø Ù ÐÐ ÑÑ º ½½
45 Ã Ö Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø ØÝÝÔ Ò ÝØØ ÚÓ Ø ÙÒ Ø Ó Ø f ÔÓÐÝÑÓÖ ÑÑ Ò Ù Ò À Ðк ÖÓ Ò ÝÝ ÖÙÒ ÓÒ g Ó Ó ÙØ ÙÙ ÙÒ Ø ÓØ f Ø Ò Ö ÙÖ Ú Ø ÂÓ ØÝÝÔÔ ÒÒ ØØ Ò Ò Ò f Ø ØÒ ÔÓÐÝÑÓÖ ÓØ Ò Ø ÚÓ ÙØ Ù ÑÓÒ ÒØÝÝÔÔ ÐÐ Ö ÙÑ ÒØ ÐÐ º ÌØ ÙØ ÙØ Ò ÔÓÐÝÑÓÖ Ö ÙÖ Ó ÙÒ Ø Ó ÚÓ ÙØ Ù Ø Ò Ö ØÝÝÔÔ ÐÐ Ö ÙÑ ÒØ ÐÐ Ù Ò Ø Ø Ò ÙØ ÙØØ Òº ÂÓ ØÝÝÔÔ ÒÒ ØØÙ Ò Ò Ò Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ x i ÒÒ ØØ Ú Ò Ö ÙÑ ÒØ Ò Ô Ø Ò ÓÐÐ Ø ÑÐÐ Ò Ñ ØÝÝÔÔ Ù Ò Ò ØÝÝÔÔ ÑÙÙØØÙ ÐÐ β i ÔØ ÐØÚ ÖÚÓº ½¾
46 ÇØ ÑÑ Ñ Ö Ð Ø Ò Ô ØÙÙ Ò ½ ÑÝÐ Ò Ø Ü ¾ Ü Ó ¹ ¼ Ý Ý ¹ ½ ÑÝÐ Ò Ø Ý ÌÙÐ Ø ÑÑ ØØ ØÐÐ Ø ØÙÐ Ò ÔØ ÓÐÐ Ö Ó Ø ØØÙ ÑÖ Ø ÐÑ ÝÑÔÖ Ò ÝÑØ Ò Ð Ø ÓÒ Ô ÐÐ Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑ ÓÒ Ò¹Ó ÓÐ º Ã Ö Ó Ø ÑÑ Ò ÔØØ ÐÝ Ú ÖØ Ò Ý Ø Ò ¹ Ö Ò Ó Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÑÓÒ ÓÚ ØÙ Òº ½
47 ½º ÌÑÒ Ô ÐÐ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ØÝÝÔ ÒÔØØ ÐÝ Ð Ð Ø¹ ÒÒ ÐÐ ÑÝÐ Ò Ø :: τ 1 ¹ τ 2 Ü :: τ 1...? :: τ 2 Ó τ 1, τ 2, τ 3,... ÓÚ Ø ÙÙ ØÝÝÔÔ ÑÙÙØØÙ ÑÑ º ¾º ¹ ÒÒ Ò Ú Ð Ø Ñ Ø Ò Ý ÝÑÝ x? :: τ 3 Ó Ø Ò Ò Ñ ÒÒ ÐÐ ØÝÝÔÔ Ý ØÐ τ 3 = τ 1. ½
48 º ¹Ð Ù Ò ¹ Ö Ú Ø ÓÐ ÑÙÙØØÙ ÓÐ ÑÓ ØÙÐÓ ÐÐ Ò Ý ÝÑÝ ÑÓÐÐ Ò Ý ÝÑÝ ¼? :: τ 2? :: τ 3. ½
49 ÌÑ ÑÓÒ Ý ÝÑÝ Ö Ø Ø Ò Ò Ñ ÒÒ ÐÐ Ó ÒØ ÔÓÐÝÑÓÖ Ò ØÝÝÔ Ò :: a º a Ó Ó ÐÐ ØÝÝÔ ÐÐ Ð Ø ÓÒ Ð ÓØ ÓÚ Ø ØÝÝÔÔ a ÓÒ ÑÝ ØÝ Ð Ø Ë Ø Ø ØÝÝÔ Ø Ø Ò Ò Ò ØÙÓÖ Ú ÒØØÓÖ ØÓÒ Ú Ö Ó τ 4 Ð ØÝ Ò Ð Ø Ò ØÑ ÝØØ Ó Ú Ð ØÙÒØ Ñ ØÓÒØ Ð ÓØÝÝÔÔ τ 4 º Ë Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÑÓÒ Ý ÝÑÝ ÑÙÙØØÙÙ Ý ØÐ τ 3 = τ 4. ½
50 º ¹Ð Ù Ò Ý Ý ¹ Ö Ú Ø Ø Ò ÓÐ ÑÓÐÐ Ò Ý ÝÑÝ Ý Ý }{{} µ ݵ Ý? :: τ 3 ÑÓÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ Ò ÓÐ ØÙ Ø ØÙÐÓ ÐÐ Ò Ý ÝÑÝ Ý :: τ 5 Ý :: τ 6 ½ ÑÝÐ Ò Ø Ý? :: τ 2. ½
51 À ÑÓÒ ØÝÝÔ ØÝ ÓÚ ÐØ Ø Ñ Ô Ö Ø ØØ Ù Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÙØ ÙÒ ½º Ò Ò Ò µ Ý ::? τ 7 ¹ τ 3 Ý ::? τ 7 Ó Ø Ð ÑÑ Ò Ò ÓÒ Ò Ñ ÒÒ ÐÐ τ 7 = τ 6 ¾º ÙÒ Ø ÐÐ Ø Ò µ ::? τ 8 ¹ τ 7 ¹ τ 3 Ý ::? τ 8. ½
52 ÆÑ ÔÙÓÐ Ø Ò Ö Ø Ú Ø Ò Ñ ÒÒ ÐÐ Ð ÑÔ ÓÚ ÐØ ÔÓÐÝÑÓÖ Ø ØÝÝÔÔ ÓÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ µ :: a º a ¹ a ¹ a τ 8 ¹ τ 7 ¹ τ 3 = τ 9 ¹ τ 9 ¹ τ 9. Ð ÑÔ ÒØ Ý ØÐ Ò τ 8 = τ 5. ½
53 ÌÙÐÓ Ò Ý ÝÑÝ ÔÙÖ ÙØÙÙ Ú Ø Ú Ø Ý ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òµ ÑÙÓØÓÓÒ µ? :: τ 11 ¹ τ 10 ¹ τ 2 ½? :: τ 11 τ 1 ¹ τ 2 = τ 12 ¹ τ 10 τ 12 = τ 6. Æ Ñ ÒØ ÒØ ¼, ½ :: a º ÆÙÑ a a µ :: a º ÆÙÑ a a ¹ a ¹ a Ó ÓÒ Ð ØÓ ØØ ØÝÝÔ Ò a Ô Ø Ò ÙÙÐÙ ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ò º µ ÆÙÑ ÖÓØÝÝÔ Øº ¾¼
54 Ë ÑÓ Ò Ù Ò ÐÐ Ò Ø ÓÚ ÐÐ ØØ ÓØ Ø Ò Ò Ò ØÙÓÖ Ø ÓÔ ÓØ ¼ :: ÆÙÑ τ 13 τ 13 ½ :: ÆÙÑ τ 14 τ 14 µ :: ÆÙÑ τ 15 τ 15 ¹ τ 15 ¹ τ 15 ÑÙ Ò ÐÙ Ò ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Óغ Æ Ò Ò Ý ØÐ Ø τ 2 = τ 13 τ 11 = τ 14 τ 11 ¹ τ 10 ¹ τ 2 = τ 15 ¹ τ 15 ¹ τ 15 Ð ÓØ ÆÙÑ τ 13 ÆÙÑ τ 14 ÆÙÑ τ 15. ¾½
55 Ë ÑÑ Ð Ñ ÒÓ ØÙ Ý ÝÑÝ Ø Ý ØÐ τ 3 = τ 1 τ 3 = τ 4 τ 7 = τ 6 τ 8 ¹ τ 7 ¹ τ 3 = τ 9 ¹ τ 9 ¹ τ 9 τ 8 = τ 5 τ 1 ¹ τ 2 = τ 12 ¹ τ 10 τ 12 = τ 6 τ 2 = τ 13 τ 11 = τ 14 τ 11 ¹ τ 10 ¹ τ 2 = τ 15 ¹ τ 15 ¹ τ 15 Ð Ó ÆÙÑ τ 13 ÆÙÑ τ 14 ÆÙÑ τ 15. ¾¾
56 ÃÙÒ Ò Ú ÒÒ ØÒ º º µ Ò Ò ÐÓÔÙÐØ Ú Ò ÑÝÐ Ò Ø :: τ 1 ¹ τ 2 τ 1 = τ 4 ÆÙÑ τ 2 Ó ÚÓ Ò ÙÒ Ú Ö Ð Ú ÒØ Ó ÐÓÔÔÙØÙÐÓ ÑÝÐ Ò Ø :: τ 4 τ 2 º ÆÙÑ τ 2 τ 4 ¹ τ 2. ¾
Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø
Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ Å Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó ÔÝ ØÝÝ ÐÐ Ý ØØ Ðк Å Ò Ø Ð Ú Ø ÚÙÙ ÓÒ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) ÓÒ Å Ò Ð Ñ Ò ÑÙ Ø Ô Ó Ò Ñ Ñ ÐÙ ÙÑÖ ÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ô ØÙ Ý ØØ Øº ÂÓ Å Ò Ø Ð Ú Ø ÑÙ ÓÒ
LisätiedotÈÖÓ Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐ ÓÒ ØØÓ ¹ Ð º ÂÓ Ò Å Ò Ö Ò Ý
ÈÖÓ Ð Ø Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ñ Ø ÐÐÒ ÔÖÓ Ð Ø Ð ÓÖ ØÑ º ÌÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÖÚ Ø Ò Ø Ø ØÒ ÓÐ Ó ØÙÐÓ Ò ÑÙ Ò Ö Ù ÙØ Òº ÖÓÒ Ô Ø ÖÑ Ò Ñ Ò ÓÒ ØØ ÒÝØ Ø Ö Ø ÐÐ ÖÓ Ú Ò Ð ÒØ ØÓ Ø Ø Ò ÙÙ ÐÐ ÖÚ Ù ÐÐ Ø ÖÚ ØØ º Ä ÓÒ Ö ØØ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ
LisätiedotÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº
LisätiedotKuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑ Ò Ö ÒÒ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ø ÐРؽ ؾ Ø È Ð Ó ÐÑ Ò Ô ÖÙ Ö ÒÒ Ì ØÓ ÓÒ Ô Ð Ò ÝØ Ñ Ò ÓÒ Ñ ÐÐ Ó Ø Ò ÙÚ ØØ ÐÐ Ø Ñ ÐÑ Ø ÚÓ ÓÐÐ Ú Ò Ý Ò ÖØ Ò Ò Ð
Lisätiedot:: γ1. g 1. :: γ2. g 2
ÌÝÝÔÔ Ú ØØ Ø ¹ Ý ÝÑÝ Ø º º¾ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ý ÝÑÝ Ð Ø x g Ò e? :: α Ö Ø Ø Ò ÓÐ ÐÐ Ø ÑÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ØØ ÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙØØ À ÐÐ ÝÐ Ø Ò ÐÐ ÑÙÙØØÙ Ó ÐÐ ÐÑ ÒØÙ ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ð Ó º Ë Ø ÑÙØ ÑÑ Ò ÑÓÒ Ý ÝÑÝ Ð Ø p g Ò e? ::
LisätiedotÐ ØÖÓÒ Ø Ñ ÙÚÐ Ò Ø Ì ÑÙ Ê ÒØ ¹ Ó À Ð Ò ¾ º ÐÓ ÙÙØ ½ Ë Ò ÙÔ Ò ÝÒÒ Ò Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Å Ù Ö Ø ÐÑØ ¾ ¾º½ ÆÝ Ý Ø Ñ Ù Ö Ø ÐÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º
Lisätiedot{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}.
Ä Ø ÓÓ Ø Ø º º Ä Ø ÓÓ Ø Ø Å Ø Ñ Ø ÓØ ÑÖ ØØ Ð ÚØ Ù Ò ÓÙ Ó ÑÔÐ ØØ ÐÐ ÒÓØ Ø ÓÐÐ Ò ÙØ Ò {(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}. À ÐÐ Ø Ö Ó Ú Ø Ú Ò ÒÓØ Ø ÓÒ Ð ØÓ ÐÐ Ò Ú ØÓ ØÓ Ò ÝÒØ Ò Ø Ú ÐÐ ÐÐ Ð Ø
LisätiedotË ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ ØÝ Ð º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÉÄ ÓÐ Ó Ý ÐÝ Ð º º º º º º º º º º º º
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÇÐ ÓÔÓ Ø Ø ØÓÑ ÐÐ Ø Ø ØÓ ÒÒ Ò ÐÐ ÒØ Ö Ø ÐÑ ÖØÓ ÖÐÙÒ À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ
LisätiedotÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ý ÝÐÐ Ø ØÓÖ ÒØ Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ
LisätiedotÄ ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½» Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓØ Ò ÐØ º Å Ø Ò Ô Ð ÓÒ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÙÐÙØØ ØÙÒÒ Ø Ò Ò Á Ä Ø Ò Ð Ò ØÙÒÒ Ø Ú ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ô Ù Ó Ð Ö Øصº Ä Ø Ò
LisätiedotÀ Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø
Ì ÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ì Ó Ø ÐÐÒ ÓÒ ÐÑ ÓØ ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ö Ø Ú ÑÙØØ Ó Ò Ö Ø Ù Ú Ø Ò Ò Ô Ð ÓÒ Ø Ø Ð ØØ Ö Ø Ù ÓÐ ÝØÒÒ ÐÚÓÐÐ Ò Òº Í ÑÑ Ø ÓÐ ØØ Ú Ø ØØ ÆȹØÝ ÐÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÚ Ø Ø ÔÙÑ ØØÓÑ ÒØÖ Ø Ð µ ÑÙØØ ØØ ÓÐ ØÓ Ø ØØÙº
LisätiedotÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º
ÂÓ ÒØÓ ½ ½ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ ÐÐ ØÙØÙ ØÙØ Ò Ô ÖÙ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ö ØÝ Ø Ñ Ø Ò ÖÓ ØÙØÙ Ø Ø Ð Ô ÖÙ Ø Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ø À ÐÐ ÓÐÐ ÓÒ Ô Ó Ó ÐÑÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø º ½ ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ
LisätiedotÄ ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½» ÃÙÖ Ò ÐØ Ø ÐØÙ ÐØ ½ ¾ Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò ÄÙÓ È ÄÙÓ ÆÈ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ ÆȹØÝ ÐÐ ÔÖÓ Ð ÑÓ Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÄÙÓ ÈËÈ Ë Ú Ø Ò Ð Ù Ñ Ö ÈËÈ ¹ØÝ ÐÐ Ø
LisätiedotÈ Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾»
È Ú Ö Ù ÆÈ Á à РÐÙÓ Ø È ÆÈ ÒÝØØÚØ ØÝ Ò Ö Ð ÐØ Ë ÐÚ Ø È ÆȺ µ È ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÐ º µ ÆÈ ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ú Ö Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ð ÓÒ
LisätiedotSymmetriatasot. y x. Lämmittimet
Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ ¹ÖÝ ÑĐ» ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó ÅÍÁËÌÁÇ ÆÓ»Ì ÊÅǹ ¹¾¼¼¼ ÔÚÑ ½¼º Ñ Ð ÙÙØ ¾¼¼¼ ÇÌËÁÃÃÇ Ø Ú ÒعØÙÐÓ ÐÑ Ð ØØ Ò ¹Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò ÖØ Ø ØÙØ ØÙÐÓ ÐÑ Ð Ø Ñ ÐÐ Ø Ä ÌÁ ̵ ÂÙ Ú Ó Ð ¹ÂÙÙ Ð
LisätiedotÅ Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ
Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ Á Å Ö Ò Ò À Ò ½½º º¾¼¼ Ç Ñ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò
LisätiedotÐ ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò ØÓÖ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð
Lisätiedotel. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln (
ÈÙÓÐ Ó ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ô ÖÙ Ø Ø À Ì Øº ½º È ÖÖ ÔÒ¹ÔÙÓÐ Ó Ð ØÓ Ò Ò Ö ÚÝ Ñ ÐÐ ÙÒ ÙÐ Ó Ò Ò ÒØØ ÓÒ ÒÓÐÐ º ÂÓ ÓÒØ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò V 0 Ý ØÐ µ ÃÙÚ Ò ÚÙÐÐ µ Ù ÓÚ ÖØ Ý ØÐ Ø Ô¹ Ò¹ØÝÝÔ Ø Ò Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ö Ø ÓØ Ô¹ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÙÖ
Lisätiedotp q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2
º ÅÓÒ ÙÐÓØØ Ø Ö ÒØ Ð Ð ÒØ º½ Â Ø ÙÚÙÙ Ó ØØ Ö Ú Ø Ø Ù Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ö ÒØ Ð Ð ÒØ ÐÑÔ Ø Ð ÓÒ Ò Ô Ò ÙÒ Ø Ó T(x, y, z.t) ÄÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ÐÑÓ ØØ Ñ Ò ÙÙÒØ Ò ÐÑÔ Ø Ð Ú ÚÓ Ñ ÑÑ Ò Ù Ò Ð ÐÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ½½ ÃÓÓÖ
LisätiedotÀ ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ã Ö Ì ÑÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ç ÐÑ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ð Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ
LisätiedotË Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ Ã ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Ò ÝÚÝÝ Ð ÒØ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ
LisätiedotF n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}.
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
LisätiedotF n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }.
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
LisätiedotË ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º
ÂÓ ÒØÓ Ñ ØÖ Ò Ð Ò Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ò ØØ ÐÝÝÒ Ê¹Ó ÐÑ ØÓÐÐ ÒÒ Ç Ö Ò Ò Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÐÓ ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º
LisätiedotÇ Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç Å ÖØØ Ì Ò Ö ¾ º½º¾¼½½ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ
LisätiedotÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø
È ÀÌ Ä Ì Ê ÙÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ
LisätiedotÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø
ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ìº à ÖÚ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ½» ½½ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì
LisätiedotÈ ÌÀÇƹÇÀ ÄÅÇÁÆÆÁÆ ËÇÎ ÄÄÍÃËÁ Å ÌÊÁÁËÁÄ Ëà ÆÌ Æ ÌÁÄ ËÌÇÌÁ Ì Ë Æ Â ÆÍÅ ÊÁË Æ Å Ì Å ÌÁÁÃÃ Æ ÄÍÃÁÇÄ ÁËÁÄÄ Ì Ò Ï ÐÐ Ö ¹Ä Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Å ÖÖ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å
Lisätiedotd 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j
¾º¾º ÁÌÇÁÆÌÁ Ì ÁË Æ Ä Ëà ÅÁÆ Æ ¾ º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ ÌÌÈÈÈÌÄÌÅÈÈ Ò Ù Ø¹Öݹ¹ Ò¹¹¹Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÐÙ ØØ ÐÓ Ò Ù ØÖÝ d ǫ ÒØ ÖÝ ǫ e ÒÙ ØÖÝ u ǫ ÒØ Ö Ý y s Ò ØÖÝ s ǫ ÒØ Ö ǫ t ÒØÖÝ ǫ e ÒØ Ö Ø ¾º¾ ØÓ ÒØ Ø ÝÝ Ò Ð
LisätiedotË ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾
Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ÐÔ Ð Ú Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÑÓ ÙÐ ¹ Ö Ó ÒØ Ì ÑÓ ÌÙÓÑ Ò Ò À Ð Ò ½º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö Ø ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ
Lisätiedot139/ /11034 = 0.58
ÄÙ Ù ÂÓ ÒØÓ Ø Ð ØÓÐÐ Ò ÔØØ ÐÝÝÒ º½ Ì Ð ØÓÐÐ Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÐÙÓÒÒ Ì Ð ØÓÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÔØØ ÐÝ ØØ Ð Ú ÒØÓ Ò Ú Ø ÐÙ ÔÚ ÖÑÙÙØØ º ÓÐ Ø ØÒ ÐÚ ØØ ØÙÓÐÐ Ø Ø ÚÓ Ò Ø¹ Ø Ñ ØÒ Ø ÑÐÐ Ø Ø Ø Ø ÐРغ Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÓÒ ÓÑ
Lisätiedotq(x) = T n (x, x 0 ) p(x) =
ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ ÓÚ Ø ÒÒ ØÙÒ Ô Ø Ò x 0 ÝÑÔÖ ¹ Ø Ö ØØÚÒ Ð Ø Ð Ö ØØÚÒ ÑÓÒØ ÖØ Ø ÙÚ Ø µ Ö ÚÓ ØÙÚ ÅÖ Ø ÐÑ ÎÁÁ ½ ÙÒ Ø ÓÒ f : D f R D f R Ó ÓÒ
Lisätiedot¾º C A {N A } K N A º A B N B
Ú ÒØ Ò ÐÐ ÒØ ØÓ ÒÒÙ Ø Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ó ÔÙÓÐ Ø ÚÓ Ú Ø Ó¹ Ô Ð Ø Ú Ñ Ø ØÓ ÒØ ØÓ Ò º ÌÐÐ Ò Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ð ØØÝÝ Ù ÑÔ Ò Ø ØÓØÙÖÚ ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ò ÑÑ ¹ Ò Ú Ò ÒÒ Ò Ù Ò Ú Ö Ò Ò Ò ØÓ Ñ ÒØ Ñ Ö Ø Ó
LisätiedotReferenced. Object. StateSet. Node. Geode
ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ¹Ó Ø Ì ÑÓºÌÓ Ú Ò ÒØѺ Ùغ ÌÑ Ó ÙÑ ÒØØ ÓÒ ØÝ Ò Ø Ô Ú Ø ØÒ Ø ÖÔ Ò ÑÙ Òº ½ Ø ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ÇË µ ÓÒ ÇÔ Ò Ä Ò Ô Ö ÒÒ ØØÙ ¹ÙÓ Ö¹ ØÓ Ó ÓÒ Ú Ô Ø Ø Ú Ó ØÓ Ñ ÑÓÒ ÝÑÔÖ Ø º ÇË Ó¹ ÙÑ ÒØÓ ØÙ ÓÜÝ Ò¹Ó Ñ ØÓÒ
LisätiedotÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ì ÑÓ Ã ÖÚ ¾º½½º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ ¾º½½º¾¼¼ ½» ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ
LisätiedotËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
LisätiedotA B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) =
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º
LisätiedotÌ ÓÚ Ö ÓØ Ð Ò Ã ÐÐÙÒ Å Ø Ñ Ø Ò ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ½ ½ À ØÓÖ ¾ Î Ö ÓØ ÓÖ ¾º½ Î Ö ÓÒ ÚÖ ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
LisätiedotÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÑÙ Ò ÝÒØ Ã Ò Ø ÒØÝ ¾ ÚÙ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ È
ÂÇÆÁ È ÀÄ Å ËÁÆÁÅ ÄÄÁÆÆÍÃË Æ È ÊÍËÌÍÎ ÅÍËÁÁÃÁÆ Ë ÆÌ ËÁ Ã Ò Ø ÒØÝ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ ÃÓÒ Ø ÃÓÔÔ Ò Ò ½½º ØÓÙ Ó ÙÙØ ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ
Lisätiedotx (t) = f(x(t)) u B δ (p) = ϕ t (v) = p, v B d (p) = lim e t AT e t A dt W =
Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ º Ì Ô ÒÓÔ Ø Ø Ø Ð ÙÙ Ì ÐÙÚÙ Ø ÑÑ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ø Ô ÒÓÖ Ø Ù Ò Ø Ð ÙÙ Ø Ö Ø ÐÙ¹ ÒÝØ ÔÐ Ò Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ º ÌÐÐ ÓÚ Ø Ñ Ö ÐÙÖ Ý Ø Ñ ÐÐ Ô ÐÐ Ò ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ò Ó Ó Ð Ø ÝÐ Ô Ò ÓÐ Ú ÐÙÖ º ÂÓ
Lisätiedot1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i).
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
LisätiedotÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó
ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Ì ÖÓ ÃÓ Ó Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÌÙÖÙÒ Ð ÓÔ ØÓ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ
Lisätiedot0 ex x = e 1. x + 3a 2x a = 2a xº. 1 3 (uvy) 3 (uxy) 3 (wxy) uvwxy (uvw) 1 3 (vwx)
Å ÌȽ ¼ ËÝÑ ÓÐ Ò Ò Ð ÒØ ¾ ÓÔ ½ Ð Ø ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ Ø ÐØ ËÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒÒ Ò ÙÖ ÐÐ ÓÔ Ø Ò Ø ØÓ ÓÒ Ò ÝØØÑ Ø ÔÙÚÐ Ò Ò Ñ Ø Ñ ØØ ÓÒ ÐÑ Ò¹ Ö Ø Ù º ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ÒØ Ô ÖÙ Ú ÐÑ Ù Ø ÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒØ Ò Ö Ó ØÙÒ Ò Å Ø Ñ ¹
LisätiedotË ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð
Ý ÒØØ Ð Ø ÒÖ Ð Ø ÒØØ Ì Ò À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
LisätiedotA c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061
JORMA JOUTSENLAHTI Lukiolaisen tehtäväorientoituneen matemaattisen ajattelun piirteitä 1990-luvun pitkän matematiikan opiskelijoiden matemaattisen osaamisen ja uskomusten ilmentämänä AKATEEMINEN VÄITÖSKIRJA
LisätiedotSimulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
Ë ÑÓ À Ð Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¼º
Lisätiedot½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ¹ØÖ º½ ÑÔÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¹ØÖ Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÒØ Ñ Ð ÚÝÐÐ Â Ó Å ÐÚ Ö À Ð Ò ¾¾º½¼º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ØÝ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Lisätiedotà ÑÖ Ò ÙÙ Ò ÙÒØÓÐ Ò Ò ÓÖ ÓØ ÓÒ ÓÖ ÓÑ Ö Ò Ð Ò ÑÖÝØÝÑ Ò Ò ËÁË ÄÌ ËÁË ÄÌ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ ÌÙØ ÑÙ Ý ÝÑÝ ØÙØ ÐÑ Ò Ö ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÙÒØÓÐ Ò Ñ Ö Ò Ø ËÙÓÑ º º º º º º º º º º º º º
LisätiedotÐ Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø
Ä Æ Ä ÍÃÃÇÆ Æ Å Ø Ñ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ØÓØ Ø Ò Ú Ö Ø Ö Ø ÐÙ ÓÔ ÒØÓ¹ Ñ Ò ØÝ Ò Ú ÙØØ Ú Ò Ø Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÈÄÇÅÁÌ ÝÚ ÝØØÝ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ó ØÓÒ ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ º½½º¾¼¼ º Ì Ö Ø Ø ÔÖÓ ÓÖ Ë ÔÔÓ ÈÓ ÓÐ Ò Ò ØÙØ Å ÀÙ ÓÐ
LisätiedotÐ Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË Ì ÑÓ Ã ÖÚ º½¾º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË º½¾º¾¼¼ ½» Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ
LisätiedotÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý
Ä Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÑ Ò Ò Ð Ñ Ô Ð Ò ÚÙÐÐ Î ÐÐ Ã ÒÒÙÒ Ò Å Ø Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø
Lisätiedota b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº
ÄÙ Ù ÐÙ Ø ÂÙ Ä Ö ÂÓÙÒ È Ö ÓÒ Ò ÄÙ ÐÐ ÌÑ ÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÂÓÙÒ È Ö Ó Ò ÚÙÓ Ò ¾¼¼ ¾¼¼ ÂÙ Ä Ö Ò ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ Ô ØÑ Ò ÄÙ Ù Ð٠ع ÙÖ Ò ÐÙ ÒØÓ Òº ÅÓÒ Ø Ò Ò Ò Ñ Ø ¹ Ö Ð ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ú ÓÒ Ñ ØØ ÐÐ ÐÙ ÒØÓ ÙÖ ÐÐ Ð ÑÙ
Lisätiedot(xy)z = x(yz) λx = xλ = x.
ÄÙ Ù ½ ÐÙ ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ ÝØ ØØÚ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Ø ØÓ Ò ØØ Ðݹ Ø Ø Ò Ð ØÓ Ò ÓÔ ÒØÓ ÓÐÐ ÙØÓÑ Ø Øº ÅÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÖ Ú Ò Ð Ø Ò Åº º À ÖÖ ÓÒ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÓÖÑ Ð Ä Ò Ù Ì ÓÖݺ ÓÒ¹Ï Ð Ý ½ º º º
Lisätiedot139/ /11034 = 0.58
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ
LisätiedotË ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º
Šع¾º ½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø º½º¾¼¼ Ì Ø ÐÙÒ ÑÙÐÓ ÒØ ÑÔÙÑ Ø ÖÚ Ò Ö Ø ÐÑ Ò Ù Ø ÒÒÙ Ø Ó ÙÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Â ÒÒ Ä ØÓÒ Ò ¼¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ
LisätiedotÌ ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò
ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÓØ Ò Ò Ó ÐÑ ØÓØ Ò µ ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ
LisätiedotÌ Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò
Å ÈÙÐ Ò Ò ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÓØ Ò Ò Ò Ø ÒØÙØ ÐÑ ¾ º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù
LisätiedotÀ ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÈÓÐÙÒ Ø ÒØ Ù Ò ÒØ Ò ÝÑÔÖ Ø Ô Ð È Ä ÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ ÄÙùØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç
LisätiedotÌ È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð Å Ö Ø¹ ÑÓ Ð ÓÖ ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ñ ÑÓÖÝ Ñ Ò Ñ ÒØ ÌÝ Ì Ø
È ÚÓ È Ö Ò Ò Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÓØ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ
Lisätiedot½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1
½º º Àǹ ÇÊ ËÁ ù Ä ÇÊÁÌÅÁ ½ à ÖÔ Ê Ò Ø Ö Ø Ð Ú Ø ÑÝ ÙÒ Ú Ö Ð Ò ÙØÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ú Ö Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ð Ø Ò q ØÙÒÒ Ø ÐÙ Ù ÓÙ Ó Ø Qº Q Ò ÐÙÚÙØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ô Ò Ò Ò Ò Ø ÖÚ Ø ÓÐÐ Ð ÙÐÙ Ù º ÎÖÒ Ø ÑÝ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ
LisätiedotÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼
Å Ð Ë Ú Ð ÂÓ ÒØÓ Ð Ø ÓÖ Òº ØÖ ÙØ Ú Ø Ð Ø ÔÐÓÑ ØÝ ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼ ÁÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ ÐÙÓÒÒÓÒØ
LisätiedotÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼
ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼ ÌÝ Ò Ó À ÒÒÙ Â ÓÐ ÌÝ Ò Ø ÒÓ Åº Å Ø Ð ÅÓÓ Ð ÑÓÒ ÙÐØØÙÙÖ Ò
LisätiedotAktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
ÇÐÐ ¹È ÀÙÓÚ Ð Ò Ò Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò
LisätiedotËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ò ² Ö Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø
Lisätiedotλ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin.
Šع¾º½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø ¾¼¼ ¹¼¾¹½¾ Ì Ø ÐÙÒ Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ø Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙÐÐ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Ä ÙÖ ÂÙ Ò Ã Ò ¼¼ È Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ
LisätiedotÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú
ËÍÎÁ ÄÌÁÇ ÈÁÊÃ ÆÅ ÄÄ ¾¼¼ ¾¼¼ Ì È ÀÌÍÆ Á Æ ÄÁÁÃ ÆÆ ¹ ÇÆÆ ÌÌÇÅÍÍÃËÁ Æ Æ Ä ËÇÁÆÌÁ ËÎ ÊÃÃÇÂ Æ ÎÍÄÄ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø Ð ÓÔ ØÓÒÐ ØÓÖ Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ
Lisätiedot3D piirron liukuhihna (3D Graphics Pipeline) Sovellus/mallinnus Geometrian käsittely Rasterointi/piirto
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ö Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ¹ Ö Ò Ô ÖØÑ Ò Ò ÙÚ Ø Ò Ù Ò Ð Ù Ù Ò Ò Ô Ô Ð Ò µ ÚÙÐÐ Ö Ð Ù Ù Ò Ö Ø ØÓ ÙÐ Ð Ù Ù Ò Ò Ö Ú Ò ÙØØ ÒÒ Ò Ù Ò Ô ÖÖ ØÒ ÖÙÙ ÙÐÐ Ö
LisätiedotF(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
LisätiedotÄ ÖÓ Ò ÒØÝÑ Ò Ò Ù Ø Ð Ó Ò Ô ÐÐÓÒ Ñ ØØ Ú Ë ÖÔ È Ý Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ÇÙÐÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÓÐÓ Ò Ð ØÓ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ Ä ÖÓ Ò Ö ÒØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾
Lisätiedoty t = X t β + u t, u t NID(0, 1) t = 1, 2,..., n ½µ
ÇÊ Ê ÈÊÇ ÁÌ Â Â ÄÃ È ÄÄǹÇÌÌ ÄÍÆ Å ÄÄÁÆÌ ÅÁÆ Æ Ê Ò ÓÑ Î Ö Ð ½º Ò ÙÙØ ¾¼¼ ËÁË ÄÌ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ ¾ ÇÖ Ö ÔÖÓ Ø ¾º½ Å ÐÐ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Â Ð Ô ÐÐÓ¹ÓØØ ÐÙÒ Ò
LisätiedotN = A A A S(A) Aº 0 = 1 = { } 2 = {, { }} 3 = {, { }, {, { }}} 4 = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} A = Nº. i=1 n N n > 0º
Å Ì ¾¾ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ã ¾¼½¼ ÌÑ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÙÖ ÐØ Ó ÐØ Ä ÃÙÖ ØÙÒ Ô ÖÙ ¹ Ø ÐÐ Ò ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ò ÓØ ÒÒ ØØ ÐÙ Ñ Ð Ô ØÓ¹ ØÙ Ò Ð Ý ØÝ Ó Ø º Ë ÐØ ½º ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ½º½º ÄÙ Ù Ö Ø ÐÑØ ½º¾º  ÓÐÐ ÙÙ ½º º Ð
LisätiedotÌ Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº ÌÝĐÓÒ Ò Ñ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð ËÓ ØÛ Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÓÖ Ñ Ò Ò ÖÖÓÒ
Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ð Ò ½½º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼¾ ÂÝÚĐ ÝÐĐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº
LisätiedotHajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
È Ä Ø Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò
Lisätiedot(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc).
ÃÓÑÔÐ ÐÙÚÙ Ø ½ ½º ÂÓ ÒØÓ ØÐ ÐÐ x + 1 = 0 ÓÐ Ö Ø Ù Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ó Ó Ò Ö Ð ÐÙ¹ ÚÙÒ ØÓ Ò Ò ÔÓØ Ò ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Òº ÂÓØØ ØÐÐ Ý ØÐ ÐÐ Ø Ò Ö Ø Ù Ñ Ò ØÝØÝÝ Ð ÒØ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ð ÑÐÐ Ò ÙÙ Ð Ó Ñ Ö ØÒ Ø¹ Ø ØÓ Ø
LisätiedotÌ ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ̺ à ÖÚ ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ½» ½ Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º  ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò
Lisätiedotf(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) x 2 f(x 1,x 2,...,x n ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n ) f 1 (x 1 ) = 1 6, ÙÒ x 1 S 1 f 2 (x 2 ) = = 2 x 2
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ
LisätiedotÀ ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
Ø ÝØØ Ø Ò ØØ Ò ÙÚ Ù ÐÓ Ô ÖÙ Ø Ò Ò Ñ¹ Ö ØØ ÐÝ Û È ØÖ Ä Ò Ö Ò À Ð Ò ¾ º º¾¼¼ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç
LisätiedotÌ ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙÑÖ Ì Ú Ø ÐÑ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ
ÂÝÖ Ä Ò Ò Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½ º ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ
LisätiedotÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ
ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÀÁ Ì ÊÁÆÌ Ä ËËÁ ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½¼ º Ð Ø º ËÓÚ ÐÐ
LisätiedotMSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,
ËÁË ÄÌ Ú º º½ Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò º
LisätiedotÌ ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò Ò ØÙÖÚ ÐÐ ÙÙ ØØ Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ø Ø Ó ÐÐ ÑÖØÒ ÓÖ ¹ Ò Ø Ó
LisätiedotPainekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon
Å Ö ÃÓÑÙ Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon Sähkötekniikan korkeakoulu ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¾º¾º¾¼½ º ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ
LisätiedotP F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,
ËÁË ÄÌ º º½ º º¾ º º º º Ú Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò
Lisätiedotx 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n
ÇÈÌÁÅÇÁÆÆÁÆ È ÊÍËÌ Ì Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ¾ º ÝÝ ÙÙØ ¾¼¼ ¾ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ØÙØÙ ØÙØØ Ø Ú ÐÐ ÑÔ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ò Ò ÝØØ Ò ÓÚ ÐÐÙØÙ º ÃÙÖ Ñ Ø Ö Ð ÒØÙÙ Ò Ð Ò Ö Ó Òº ÐÙ ÐÝ Ý Ø ÖÖ Ø Ò Ñ ØÖ Ð Ö Ø
Lisätiedot2x1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 3. x1 = 2 x 2 = 5. 2 ( 2)+5 = = 3. 5x1 x 2 = 1 10x 1 2x 2 = 2. ax1 +bx 2 = e cx 1 +dx 2 = f
Ä Ò Ö Ð Ö Á ÇÙÐÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ ØØ Ø Ò Ø Ø Ò Ð ØÓ ¾¼½½ ÂÖÚ ÒÔ Ã Ö Ó ØØ ÒÙØ ÌÙÙÐ Ê Ô ØØ ¾ ½ Ä Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ½½ Ñ Ö µ Ê Ø Ý ØÐ 5x = 7 Ã ÖÖÓØ Ò Ý ØÐ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÐÙÚÙÐÐ 5 1 ÓÐÐÓ Ò Ò 5 1 5x = 5 1 7 Ð x =
LisätiedotË ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ À Ò Ñ Ò Ñ Ó Ø ÓÖ Ø Ò Ö Ñ ÐÐ ¾º½ ËÔÓÒØ Ò ÝÑÑ ØÖ Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º½ Ö ØØ ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º
Ë Ó ËÝÑÑ ØÖ Ö Ó Ì Ò ÚÖ Ø ÓÖ Ó Å ØØ À Ò ÑÓ Ñ Ô º ÝÙº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ý Ò Ð ØÓ ½¾º ÀÙ Ø ÙÙØ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ À Ò Ñ Ò Ñ Ó Ø ÓÖ Ø Ò Ö Ñ ÐÐ ¾º½ ËÔÓÒØ Ò ÝÑÑ ØÖ Ö Ó º º º º º º º º º º º º
Lisätiedotk(x,x ) K N(µ, Σ) GP(m(x), k(x,x )) X x p diag(x)
Ì ÊÅÇ ÁÂ ÍËËÁÆ ÈÊÇË ËËÁÌ Ê Ê ËËÁÇ Æ Ä ËÁËË Ã Ò Ø ÒØÝ Ç ÝÐ Ø ÒØØ À ÖÖ Ä Ñ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ À ÀÙØØÙÒ Ò ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓØ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ Ì ÊÅÇ ÁÂ Ù Ò ÔÖÓ Ø Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ Ã Ò Ø ÒØÝ
LisätiedotÀ ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒ
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÄÙÓØØ ÑÙ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÒØ ÖÒ Ø¹ ÓÚ ÐÐÙ ÐÐ È Ø Ö Ë ÐÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ÖØ Ð À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ
LisätiedotÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½
Ê Ã ÆÆÍËÌ ÃÆÁËÌ Æ ÇÄÇ ÁËÌ Æ Â ÁÄÅ ËÌÇÄÄÁËÌ Æ Ì ÃÁ Á Æ Î ÁÃÍÌÍË ËÍÆÌÇÂ Æ ËÁË ÁÄÅ Æ Ê ÇÆÈÁÌÇÁËÍÍÌ Æ ÌÓÔ Ã ÒÒÙÒ Ò Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ
Lisätiedot ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ð Ø ÐÓ ÒÒ ¹Ã Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ð
Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÒÒ ¹Ã Ð Ø ÐÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼  ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ
Lisätiedotº F(+, + ) = 1 F(, ) = F(, y) = F(x, ) = 0 й
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½¼ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
LisätiedotRuuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
Ä ÊÓÔÔÓÒ Ò Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú
Lisätiedotx α 1... x (v ṽ)φdx = 0
Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ ÔØ ÐÐ ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ì ÑÙ ÅÙ ØÓÒ Ò ½ ½ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ñ Ø Ø Ø Ò Ø ÙÒØ Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ½ º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÙÒ Ø Ó Ú ÖÙÙ
Lisätiedotf(x) =, x = 0,1,...,100. P(T 20) = P( X 50 20) 0.
Ú ËÁË ÄÌ ½¾º ËÙ Ø ÐÐ Ø Ò Ó ÙÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º ÇØÓ Ó Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½¾º Å Ò Ò ÙÑ Ø Ú Ô ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ º º º º º º º º º º
LisätiedotÌ ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ë ÎÇÄ ÁÆ Æ ÇÄÄÁ
LisätiedotP(E i ) P( ) = 0. P(A A c ) = P(A)+P(A c ) = 1. P( ) = 1 P(Ω) = 0. P(E 1 E n ) = P(E 1 )+ +P(E n ). i=1. i=1
È Ò Ò ÓÑ Ú Ö ÙÙ Ø Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ËÙÑÑ Ò Ò ½ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ½ º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼½¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÖ ¾ ¾º½ Ë ØÙÒÒ ÙÙ ØÓ ÒÒ ÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÓÐÐ Ò
LisätiedotF(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
LisätiedotÌ ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÖÓ Æ Ñ Ð ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø
LisätiedotË ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ È ÖÙ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º
Ê ÒØ Ò Ø Ð ÙÙ Ø ÓÖ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Å Ö Ù ÌÙÓÑ Ð ϕ v N N Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ È ÖÙ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º
LisätiedotË ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ È ÖÙ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º
Ê ÒØ Ò Ø Ð ÙÙ Ø ÓÖ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Å Ö Ù ÌÙÓÑ Ð ϕ v N N Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ È ÖÙ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ò ÖØ Ø Ö ÒÒ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º
Lisätiedot