Viikon aiheet. Pinta-ala

Transkriptio

1 info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu Szbille ennen Tenttimällä kurssin hlumsssi yleistenttitilisuudess. Arvosn: tentti. Määrätty integrli Muuttujn vihto j osittisintegrointi Käyrän pituus, pyörähdyskppleen vipn pint-l j tilvuus Srjt Geometrinen srj Srjn suppeneminen CDH: Luku 13.3, 6-6.3, Prujut2016: Luvut 4.3, 3.1, Prujut2008: s Pint-l 1 Pint-l 2 Tällä tvll määritellään Riemnnin integrli 3 Käyrän j x-kselin välinen pint-l välillä [, x] on A(x). Kun väliä pidennetään x:n verrn on A(x + x) A(x) + f (x) x 4

2 Pint-l Pint-l Infinitesimlisell rjll luseke on trkk jost rtkisemll f (x) Siis Näin ollen lim A(x + x) = A(x) + lim f (x) x x 0 x 0 f (x) = lim x 0 A(x + x) A(x) x f (x) = da dx A(x) = F(x) + C missä F(x) on f (x):n integrlifunktio. Pint-l Välillä [, b] käyrän j x- kselin väliin jäävä pint-l on A = F(b) F() [ ] b = F(x) [ = f (x)dx] = = / b F(x) missä punisell esitetyt merkintätvt esiintyvät fysiikss tyypillisesti. f (x)dx 5 Alkupisteessä siis Määrätty integrli A() = F() + C = 0 C = F() A(x) = F(x) F() Määrätyn integrlin, integrlifunktion j pint-ln välillä on siis yhteys A = f (x)dx = / b F(x) = F(b) F() Tämä tunnetn myös nlyysin perusluseen. Huom, että pint-l voidn kirjoit integroimisylärjn funktion: x x A(x) = f (x )dx = f (t)dt Tällöin pitää muist merkitä integroimismuuttuj jollin toisell symbolill. Pilkun lisääminen yo. tvll on tyypillinen tp. Tällöin A(x):ää kutsutn f (x):n kertymäfunktioksi

3 Määrätty integrli lskusääntöjä Määrätty integrli lskusääntöjä Integroimislue c jetn khteen osn b, b c: F(c) F() = ( F(c) F(b) ) + ( F(b) F() ) Kun tehdään muuttujn vihto t = g(x) täytyy myös integroimisrjt muutt joten f (x)dx = f (x)dx + b f (x)dx Integroimisvälin kääntäminen iheutt merkinvihdon: F(c) F() = ( F() F(c) ) siis f (x)dx = f (x)dx c Osittisintegroinniss f (x)dx = f gdx = / b g(b) g() fg h(t)dt fg dx Epäoleellinen integrli 9 Epäoleellinen integrli 10 Määrätty integrli, jonk integroimisvälin päätepisteistä toinen ti molemmt ovt äärettömyydessä on epäoleellinen integrli. Käytännössä tämä trkoitt määrättyä integrli, joss sijoituksen jälkeen päätepiste viedään äärettömyyteen: 0 dx f (x) = lim L L 0 / L = lim L 0 dx f (x) F(x) = lim L ( F(L) F(0) ) Myös tpukset, joss integroimisvälillä ti välin päätepisteissä integroitvll funktioll f (x) on epäjtkuvuuskoht ovt epäoleellisi integrlej. Nämä lsketn myös ottmll rj-rvo integroimisen jälkeen: f (x):llä epäjtkuvuuskoht pisteessä x = b: t f (x)dx = lim f (x)dx t b Epäjtkuvuuskoht pisteessä x = b, < b < c: t f (x)dx = lim f (x)dx + lim f (x)dx t b t b + t 11 12

4 Määrätty integrli fysiikss Määrätty integrli fysiikss 2 Grvittiovuorovikutuksen tekemä työ 1-ulotteisesti liikkuvn kppleen nopeus v(t) = dx dt dx = v(t)dt Lskemll määrätty integrli jnhetkestä t = t 0, jolloin kpple oli pikss x = x 0 jnhetkeen t jolloin kpple on pikss x sdn x x 0 dx = t t 0 v(t )dt joss olemme ts tehneet pilkkumerkinnällä eron integroimismuuttujn j -rjn välillä. Määrätty integrli fysiikss 2 13 W = r2 r 1 G d r Mn pinnn lähellä G = mgĵ. Vlitn reitiksi pystysuor siirto korkeudelt y 0 korkeudelle y 1, jolloin d r = dyĵ j W = y1 y 0 mgdy = (mgy 1 mgy 0 ) Integrlifunktio U(y) = mgy tunnistetn kppleen j mn väliseksi grvittiovuorovikutuksen potentilienergiksi. Siis W = ( U(y 1 ) U(y 0 ) ) = U Jos kpple liikkuu korkemmlle y 1 > y 0 on U > 0. Tällöin W = K < 0 eli kppleen kineettinen energi pienenee. Määrätty integrli käyrän pituus 14 Huom, että mikäli integrlifunktio on olemss, niin tehty työ riippuu vin tämän integrlifunktion rvost lku- j loppupisteessä! W = U(y 1 ) + U(y 0 ) Vuorovikutuksi, joiden voimn integrlifuntkio on olemss kutsutn konservtiiviseksi vuorovikutukseksi. Näiden integrlifunktioit kutsutn vuorovikutuksen potentilienergiksi. Siirtymässä x x + x funktion rvo muuttuu y y + y. Pisteiden (x, y) j (x + x, y + y) välimtk s sdn Pythgorn luseen vull s = ( x) 2 + ( y) 2 = x 1 + ( y x )

5 Määrätty integrli käyrän pituus Infinitesimlisell rjll skeleen pituus pitkin käyrää ds = dx 1 + ( dy dx )2 = dx 1 + (y ) 2 Pyörähdyskpple Kolmiulotteinen kpple muodostuu, kun funktio f (x) pyörähtää x-kselin ympäri. Pyörähdyksessä piste P = (x, f (x)) piirtää ympyränkren, jonk pituus on 2πf (x). Piirtyneen ympyrän säde on f (x). Viiploidn kpple dx pksuisiksi viipleiksi. Välillä x [, b] käyrän pituus on s = dx 1 + (y ) 2 Pyörähdyskpple Kunkin viipleen ulkopinnn (=vipn) pint-l on da = ( 2πf (x) ) ds = 2πf (x)dx 1 + (f ) 2 17 Srjt Olkoon ääretön srj S = n = Toislt kunkin viipleen tilvuus on Onko S äärellinen? Jos, niin se trkoitt, että ossummn dv = π ( f (x) ) 2 dx Pyörähdyskppleen vipn pint-l j kppleen tilvuus sdn lskettu välillä x [, b] A = 2π dx f (x) 1 + (f (x)) 2 V = π dx ( f (x) ) 2 19 S N = N 1 n (joss on siis N termiä) rj-rvo on äärellinen lim S N = S Srjn snotn suppenevn tähän rvoon. Muuss tpuksess srj hjntuu. 20

6 Srjt Srjn suppenemiselle lim n = 0 n on välttämätön, mutt ei riittävä ehto. Suppenemistestejä on lukuisi, MAPU I:llä käytetään vin suhdetestiä. Se kertoo, että srj S = n suppeneminen voidn testt peräkkäisten termien suhteell. lim n+1 = r n Srj suppenee itseisesti, jos r < 1 j hjntuu kun r > 1. Rjtpuksess r = 1 testi ei kerro juut eikä jt. Geometrinen srj Tutkitn geometrisen srjn suppenemist: lim n n = lim n q n = 0 vin kun q < 1. Suhdetesti n n+1 n = q n+1 q n = q jonk mukn on ts oltv q < 1. Eli geometrisen srjn päätellän suppenevn kyseisellä ehdoll. Srjn ossummt suppenevt rvoon ( N ) S = lim S N = lim = 1 = 1 ( 1 lim q N ) kun q < Geometrinen srj Geometrinen srj on potenssisrj S N = Srjn summ löydetään esim. N 1 q n S N = 1 + q + q q N 2 + q N 1 qs N = q + q q N 2 + q N 1 + q N jost sdn vähentämällä lusekkeet toisistn S N qs N = N S N = N Hrmoninen srj Toinen esimerkkin on hrmoninen srj Termien rj-rvo: S = = n=1 lim 1 n = lim n n n = 0 Tämä ehto täytyy. Suhdetesti: lim n+1 n n = lim n 1 n n n + 1 = 1 Suhdetestin perusteell ei ost sno suppeneeko srj. Hrmonisen srjn voidn (lukuisill tvoill) osoitt hjntuvn