Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki"

Transkriptio

1 Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki

2 Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn integrlin lskeminen 25 9 Määrätyn integrlin lskeminen sijoituksell 28 Määrätyn integrlin derivoiminen 3 Määrätyn integrlin sovelluksi 35 2 Tilvuuden j vipn ln lskeminen 36 3 Epäoleelliset integrlit 37 4 Integrlien suppeneminen 39 5 Tiheysfunktiot 44 6 Tsointegrlit 47 7 Tsointegrlin lskeminen 5 8 Tsointegrlin lskeminen monimutkisemmss joukoss 54 9 Muuttujien vihto: siirtyminen npkoordintteihin 58 2 Avruusintegrli 66 2

3 2 Avruusintegrli yli monimutkisempien lueiden Muuttujn vihto: sylinterikoordintit 7 23 Muuttujn vihto: pllokoordintit Ensimmäiseen välikokeeseen vlmistvi tehtäviä Osittisintegrointi Osmurtohjotelmi Yhden muuttujn sijoituskeino Tsointegrlit Npkoordintit Sylinterikoordintit Pllokoordintit II Toinen välikoe Usemmn muuttujn funktion rj-rvo Usemmn muuttujn funktion jtkuvuus 9 27 Osittisderivtt j grdientti 9 28 Vektorirvoiset funktiot Suunnttu derivtt 93 3 Tngenttitson yhtälö 96 3 Hessen mtriisi Kokonisdifferentili Osittisderivoinnin ketjusääntö 34 Implisiittinen derivointi 2 35 Neliömuodot 7 36 Neliömuotojen definiittisyys 9 37 Konveksius j konkvius 2 3

4 38 Loklit äärirvot 4 39 Äärirvon lskeminen joukoss 9 4 Rjoitetun äärirvon lskeminen Lgrngen menetelmällä 2 4 Differentiliyhtälöt Lineriset differentiliyhtälöt Toiseen välikokeeseen vlmistvi tehtäviä Usemmn muuttujn rj-rvo j jtkuvuus Suunnttu derivtt j tngenttitson yhtälö Osittisderivoinnin ketjusääntö Implisiittinen derivointi Neliömuodot Usemmn muuttujn funktion optimointi Differentiliyhtälöt A Rtkisut ensimmäisen välikokeen hrjoituksiin 28 A. Osittisintegrointi A.2 Osmurtohjotelmi A.3 Sijoituskeino A.4 Tsointegrlit A.5 Npkoordintit A.6 Sylinterikoordintit A.7 Pllokoordintit B Rtkisut toisen välikokeen hrjoituksiin 38 B. Usemmn muuttujn rj-rvo j jtkuvuus B.2 Suunnttu derivtt j tngenttitson yhtälö B.3 Osittisderivoinnin ketjusääntö B.4 Implisiittinen derivointi B.5 Neliömuodot B.6 Usemmn muuttujn funktion optimointi B.7 Differentiliyhtälöt

5 Os I Ensimmäinen välikoe Integrointi Integrointi on derivoinnin käänteistoimitus: jos funktion F(x) derivtt on f (x), niin funktion f (x) integrli on F(x). Täten, kosk esimerkiksi funktion x 2 + e 2x derivtt on 2x + 2e 2x, niin tämän funktion 2x + 2e 2x integrli on x 2 + e 2x. Tätä merkitään seurvsti: 2x + 2e 2x dx x 2 + e 2x. Tässä ( )dx trkoitt yksinkertisesti että luseke ( ) integroidn. Se on yhtenäinen merkintä, jonk ost j dx eivät trkoit yksinään vrsinisesti mitään, joskin dx kertoo, että integrointi suoritetn x:n suhteen. Vstvsti ( )dy trkoitt integrointi y:n suhteen. Vstvsti huomtn esimerkiksi, että x 5 dx 6 x6, kosk d dx 6 x6 x 5. Integrointi on siis helppo, jos ost rvt, minkä funktion derivtt tietty funktio on. Tvlln siis ost jo integroid, jos ost derivoid. Integrlifunktio ei kuitenkn ole yksikäsitteinen: myös funktio /6x 6 + on funktion x 5 integrlifunktio, kosk funktion /6x 6 + derivtt on x 5. Itse siss jos F(x) on funktion f (x) integrlifunktio eli dx d F(x) f (x), niin myös funktio F(x) + C on funktion f (x) integrlifunktio millä thns vkion C rvoll, kosk d (F(x) + C) f (x) + f (x). dx Esimerkki.. ( Funktion ) 4x 2 kikki integrlifunktiot ovt muoto 3 4 x3 + C, kosk d 43 dx x 3 + C 4x 2. Kosk integrointi on derivoinnin käänteistoimitus, niin jokist derivoimissääntöä vst käänteinen integroimissääntö. Otetn näistä esimerkkejä.

6 Esimerkki.2. Potenssifunktion x n derivtt on nx n. Täten x n dx n + xn+ + C. Eli kosk potenssin derivoimissääntö kertoo, että potenssi tulee eteen kertoimeksi j potenssi vähenee yhdellä, kertoo vstv integrointisääntö että potenssi ksv yhdellä j tämän yhdellä ksvneen potenssin käänteisluku tulee eteen kertoimeksi. Tästä seur esimerkiksi, että x 325 dx 326 x326 + C. Esimerkki.3. Tunnetusti logritmin ln x derivtt on /x. Täten kun x >. dx ln x + C, x Tähän mennessä käsitellyt integroinnit ovt olleet käytännössä melko suorviivisi. Hnklmpi tehtäviä ovt usein derivoinnin ketjusääntöön perustuvt integroinnit. Derivoinnin ketjusääntöhän kertoo, että yhdistetyn funktion f (g(x)) derivtt on f (g(x))g (x). Eli ulkofunktion derivtt (rvoll sisäfunktio g(x)) kert sisäfunktion derivtt. Täten tämä sääntö kertoo meille esimerkiksi, että Dx(x 2 + 6x) 2 2(x 2 + 6x) 9 (2x + 6). Täten luonnollisesti 2(x 2 + 6x) 9 (2x + 6)dx (x 2 + 6x) 2 + C, eli käytännössä tässäkään integroimissäännössä ei ole mitään uutt: se kertoo inostn että f (g(x))g (x)dx f (g(x)) + C. Käytännössä vike on huomt, että luseke 2(x 2 + 6x) 9 (2x + 6) on muoto f (g(x))g (x). Esimerkki.4. (3x 2 + 2)e x3 +2x+5 dx e x3 +2x+5 + C. 2

7 Mtemttisen nlyysin kurssilt muistuu mieleen myös, että logritmin derivoimissääntöä j ketjusääntöä voi yhdistää derivoitess funktion f (x) logritmi: Dx ln f (x) f (x) f (x). Tässä pitää muist, että logritmi on määritelty inostn, kun f (x) >. Toislt jos f (x) <, niin silloin puolestn ln( f (x)) on määritelty (kosk tällöin f (x) > ) j Täten funktion f (x) f (x) Dx ln( f (x)) f (x) f (x) f (x) f (x). integrointi tuott tuloksen ln f (x) + C, jos f (x) on positiivinen, j tuloksen ln( f (x)) + C, jos f (x) on negtiivinen. Nämä kksi tpust voi yhdistää kätevästi kirjoittmll, että f (x) dx ln f (x) + C, f (x) joss f (x) voi oll negtiivinen ti positiivinen, kunhn f (x). Kosk esimerkiksi Dx ln(x 2 + 5x + ) 2x + 5 x 2 + 5x +, niin vstv integrointi kertoo täten, että ( ) 2x + 5 x 2 dx ln x 2 + 5x + + C. + 5x + Eli jos tunnistt integroitvn funktion olevn muoto f (x), niin integrointitehtävän vstus on yksinkertisesti ln f (x) + f (x) C. Esimerkki.5. Integroidn nyt funktio 2x x 3 + x. Tämä ei itse siss ole muoto f (x)/ f (x), mutt sen huomtn olevn muoto 4 f (x)/ f (x). Kosk integrointi on linerinen opertio, tämän lusekkeen integrointi voidn suoritt helposti siirtämällä kerroin 4 eteen: Tämä trkoitt, että ( f (x) + bg(x))dx f (x)dx + b g(x)dx. 3

8 2x x 3 + x dx 4 3x 2 + x 3 + x dx 4 ln x 3 + x. Tässä vditn täydellisyyden vuoksi vielä ehto x 3 + x. Huom, että integrlifunktio F(x) on in derivoituv, kosk määritelmän mukn F (x) f (x). Anlyysin peruskurssill osoitettiin, että derivoituv funktio on in jtkuv. Tästä seur, että integrlifunktio on in jtkuv. Tästä tuloksest on pu, kun hetn ploittin määriteltyjen funktioiden integrlej, kuten ll olevss tehtävässä: Esimerkki.6. Etsitään funktion { x 2, kun x f (x) x, kun x < integrlifunktio. Aluksi integroidn funktio ploittin: funktion x 2 integrlifunktiot ovt muoto 3 x3 + C j funktion x integrlifunktiot ovt muoto 2 x2 + C 2. Täten funkion f (x) integrlifunktiot F(x) ovt muoto { 3 x 3 + C F(x), kun x 2 x2 + C 2, kun x <. Tämän integrlifunktion pitää kuitenkin oll jtkuv, kosk integrlifunktiot ovt in jtkuvi. Tämä rjoitt vkioiden C j C 2 rvoj. Jott tuo integrlifunktio olisi jtkuv, on oltv että pisteessä x nuo kksi plst yhtyvät, eli 3 x3 + C 2 x2 + C 2, kun x. Tästä seur, että on oltv C voidn ilmist muodoss: C 2. Täten hlutut integrlifunktiot F(x) { 3 x 3 + C, kun x 2 x2 + C, kun x <. Tässäkin esimerkissä tuloksen oli siis joukko integrlifunktioit: yksi integrlifunktio jokist vkion C rvo kohden. Käytännössä sdn 4

9 vin yksi rtkisu, jos rjoitetn funktion rvo tietyssä pisteessä. Jos yllä olevss esimerkissä vdittisiin vikkp, että F(3), niin silloin C eli C 9. Tällöin stisiin yksikäsitteinen integrlifunktio: F(x) { 3 x 3 9, kun x 2 x 2 9, kun x <. Tämä ehto F(3) on esimerkki lkurvost, joit tulln tpmn lisää esimerkiksi differentiliyhtälöiden yhteydessä. 2 Osittisintegrointi Mtemttisen nlyysin peruskurssill derivoitiin funktioit, jotk olivt khden funktion tuloj: esimerkiksi funktio (2x 2 + 3x + )(e x + 4x) on funktioiden 2x 2 + 3x + j e x + 4x tulo. Tällinen funktio derivoitiin tulosäännöllä, jok menee seurvsti: (2.) d dx ( f (x)g(x)) f (x)g(x) + f (x)g (x). Tällä kvll voidn lske esimerkiksi yllä olevn funktion derivtt: d ( ) (2x 2 + 3x + )(e x + 4x) (4x + 3)(e x + 4x) + (2x 2 + 3x + )(e x + 4). dx Derivoinnin tulosääntö eli yhtälö (2.) voidn luonnollisesti integroid kummltkin puolelt: d dx ( f (x)g(x)) dx f (x)g(x)dx + f (x)g (x)dx. Kosk integrointi j derivointi ovt toistens käänteistoimituksi, yllä olevn yhtälön vsemmll puolell nämä kksi toimitust kumovt toisens j koko yhtälö sdn seurvn muotoon: f (x)g(x) f (x)g(x)dx + f (x)g (x)dx. Tästä yhtälöstä voidn nyt vähentää kummltkin puolelt termi f (x)g(x)dx, jolloin sdn osittisintegroinnin kv: 5

10 (2.2) f (x)g (x) f (x)g(x) f (x)g(x)dx. Eli: hlumme integroid funktion f (x)g (x). Jos tämä integrointi ei onnistu suorn (esimerkiksi kppleess esitetyllä tvll), voidn kokeill osittisintegrointi. Tällöin lsketn ensin funktion f (x) derivtt f (x) j funktion g (x) integrli g(x). Lopuksi lsketn integrli f (x)g(x)dx, minkä jälkeen hluttu integrli sdn kvst (2.2). Esimerkki 2.. Lsketn integrli xe x dx käyttämällä osittisintegrointi. Ensinnä luonnollisesti lskettvn integrlin on oltv muoto f (x)g (x)dx. Esimerkin luseke on tätä muoto, kun xe x f (x)g (x). Käytännössä smme in vlit, kumpi osist x j e x on f (x) j kumpi on g (x). Tämä tehtävä rtke inostn, jos vlitsemme nämä seurvsti: f (x) x g (x) e x. Seurv vihe osittisintegroinniss on in lske funktiot f (x) j g(x). Nämä on tällä kert helppo lske: f (x) g(x) e x. Tällöin termi f (x)g(x) on yhtä kuin xe x. Tämän tehtävään sovellettun osittisintegroinnin kv kertoo siis seurv: f (x)g (x)dx f (x)g(x) f (x)g(x) xe x dx xe x e x dx. 6

11 Kosk tuo viimeinen termi e x dx on yhtä kuin e x, on tehtävän rtkisu seurv: xe x dx xe x e x. Tämä on vielä hyvä vrmist derivoimll yllä olevn yhtälön oike puoli (käytetään derivoinnin tulosääntöä): Eli tehtävän tulos pätee. d dx (xex e x ) e x + xe x e x xe x. Tässä esimerkissä huomsimme osittisintegroinnin pääviheet:. Vlitn kumpi integroitvn lusekkeen osist on f (x) j kumpi on g (x). 2. Lsketn f (x) j g(x). 3. Lsketn integrli f (x)g(x)dx 4. Käytetään osittisintegroinnin kv. Tämä oli yksinkertinen osittisintegrointitehtävä j kikki nämä viheet sujuivt vivtt. Seurvss esimerkissä koht 3 ei toimi suorn, vn osittisintegrointi joudutn soveltmn usen kertn. Esimerkki 2.2. Lsketn seurvksi integrli x 2 e x dx. Vlitn funktiot seurvsti: f (x) x 2 j g (x) e x, jolloin f (x) 2x j g(x) e x. Tällöin sdn osittisintegroinnin kv käyttäen: x 2 e x dx x 2 e x 2xe x dx. Tässä integrli 2xe x dx 7

12 ei ole lskettviss suorn, mutt sekin voidn lske osittisintegroinnill, mikä oikestn tehtiinkin jo (vkiot 2 ville) edellisessä esimerkissä: 2xe x dx 2 xe x dx 2(xe x e x ). x 2 e x dx x 2 e x 2xe x dx x 2 e x 2(xe x e x )dx x 2 e x 2xe x + 2e x dx. Tämän esimerkin opetus on siis, että joskus osittisintegrointi pitää sovelt usemmn kerrn smss tehtävässä. Seurv esimerkki puolestn kertoo, että joskus osittisintegrointi vtii hiemn luovuutt funktioiden f (x) j g (x) vlinnss. Esimerkki 2.3. Lsketn integrli ln xdx. Tässä funktiot f (x) j g (x) tuntuvt luksi mhdottomilt muodost, kosk integrlin sisässä näyttää olevn vin yksi funktio: ln x. Pienellä luovuudell huommme kuitenkin että tämäkin luseke voidn esittää khden funktion tulon: muodoss ln xdx, jolloin voidn vlit f (x) ln x j g (x). Nyt f (x)g(x) x ln x j f (x)g(x)dx x dx x, x jolloin ln xdx x ln x x. All olevss esimerkissä esiintyy kolms tpus, jok kohdtn usein osittisintegroitess: integrointi ei vrsinisesti tuot tulost, mutt lopult sdn luseke, jost integrli sdn pääteltyä. 8

13 Esimerkki 2.4. Integroidn nyt osittisintegroinnill e 2x sin xdx. Vlitn f (x) e 2x j g (x) sin x. Täten f (x) 2e 2x j g(x) cos x (kosk kosiinifunktion derivtt on sin x), joten e 2x sin xdx e 2x cos x 2e 2x ( cos x) e 2x cos x + 2 e 2x cos x Sovelletn nyt osittisintegrointi toiseen kertn: nyt tuohon jälkimmäisen integrliin e 2x cos x. Vlitn tässä f (x) e 2x j g (x) cos x. Täten f (x) 2e 2x j g(x) sin x j yllä olev luseke sdn seurvn muotoon: ( ) e 2x cos x + 2 e 2x cos xdx e 2x cos x + 2 e 2x sin x sin x(2e 2x dx) e 2x cos x + 2e 2x sin x 4 sin xe 2x dx. Nyt huomtn, että tähän sti stu tulos kertoo itse siss seurv: e 2x sin xdx e 2x cos x + 2e 2x sin x 4 sin xe 2x dx Tässä integrli yhtälön vsemmll puolell on sm kuin yhtälön oiken puolen viimeinen termi, joten ne voidn siirtää smlle puolelle. Tämän jälkeen integrli rtke helposti: 5 e 2x sin xdx e 2x cos x + 2e 2x sin x 4 e 2x sin xdx e 2x cos x + 2e 2x sin x e 2x sin xdx ( ) e 2x cos x + 2e 2x sin x 5 sin xe 2x dx Tiivisteenä: osittisintegrointi on derivoinnin tulosäännön käänteistoimitus 2. Sitä knntt sovelt silloin, kun f (x)g (x)dx 2 Jos et muist tentissä osittisintegroinnin kv ulko, riittää että muistt tulon derivoimissäännön, jolloin voit joht osittisintegrlin kvn tästä. 9

14 on vike lske, mutt f (x)g(x)dx on helppo lske. Kuten in integroitess, voi osittisintegroinninkin tuloksen trkist derivoimll stu luseke. 3 Osmurtohjotelm Usein integroitvn on rtionlifunktio eli funktio, jok on muoto P(x) Q(x), joss P(x) j Q(x) ovt polynomej. Tällinen rtionlifunktio on esimerkiksi x 5 + 3x + x 3 + 2x 2. Tässä knntt kiinnittää luksi huomiot polynomien steisiin: yllä osoittjn ste on 5 j nimittäjän ste on 3. Polynomin ste on siis sen korkeimmn potenssin ste. Rtionlifunktioiden integrlej lskettess on oleellist huomt ensiksi, onko osoittjn ste suurempi kuin nimittäjän ste. Yllä osoittjn ste on suurempi, kun ts funktion x 2 + 4x x 7 + 5x nimittäjän ste (eli 7) on suurempi kuin osoittjn ste (eli 2). Se onko osoittjn vi nimittäjän ste suurempi rtkisee miten näitä integrlej knntt lske. Aluksi käsittelemme tpuksen, joss nimittäjän steluku on suurempi. Esimerkki tällisest funktiost on (x 4)(x 2), jonk nimittäjän steluku on kksi, minkä voi nähdä lskemll nimittäjän lusekkeen uki. Tätä funktiot on kuitenkin mhdotont integroid suorn. Oleellist tällisess tpuksess on tutki nimittäjän nollkohti. Yllä olevll funktioll on kksi erillistä nollkoht: x 4 j x 2 2.

15 Tällisess tpuksess tuolle funktiolle voi tehdä seurvnlisen osmurtohjotelmn: (x 4)(x 2) A x 4 + A 2 x 2. Tässä A j A 2 ovt vkioit, jotk pitää rtkist. Käytännössä nämä rtkistn vlitsemll ne siten, että yllä olevn yhtälön vsen j oike puoli ovt smoj: (x 4)(x 2) A x 4 + A 2 x 2 (x 2)A (x 2)(x 4) + (x 4)A 2 (x 4)(x 2) (x 2)A + (x 4)A 2 (x 4)(x 2) A x 2A + A 2 x 4A 2. (x 4)(x 2) Tästä voidn nyt rtkist A j A 2 : täytyy päteä, että (x 4)(x 2) A x 2A + A 2 x 4A 2 (x 4)(x 2) eli että A x 2A + A 2 x 4A 2. Kosk tällä vsemmll puolell on pelkkä luku, eikä yhtään x:ää sisältävää termiä, niin on oltv että A x + A 2 x eli A + A 2. Toinen ehto, jok sdn on 2A 4A 2. Kun nämä kksi ehto yhdistetään, sdn ensimmäisestä ehdost, että A A 2, jonk voi sijoitt toiseen ehtoon j rtkist 2A 2 4A 2 eli A 2 /2, jolloin A /2. Täten tuo tehtävän rtionlifunktio voidn esittää muodoss (x 4)(x 2) A x 4 + A 2 x 2 /2 x 4 /2 x 2. Nyt tämä oike puoli on integroitviss: /2 x 4 /2 x 2 dx /2 x 4 dx /2 x 2 dx /2 ln x 4 /2 ln x 2 + C.

16 Täten tehtävän rtkisu on dx /2 ln x 4 /2 ln x 2 + C. (x 4)(x 2) Yleisesti otten kun integroitvn on rtionlifunktio f (x) P(x)/Q(x), jonk nimittäjän Q ste on suurempi kuin sen osoittjn P ste j jonk nimittäjällä on erilliset nollkohdt (Q(x) (x x )(x x 2 ) (x x n )) niin integrli sdn rtkistu jkmll tehtävän funktio ensin osmurtoihin: P(x) Q(x) A + A A n x x x x 2 x x n j rtkisemll tästä vkiot A,..., A n. Tästä sdn lopult integroimll rtkisuksi P(x) Q(x) dx A ln x x + A 2 ln x x A n ln x x n + C Esimerkki 3.. Hlutn lske integrli x 2 x dx. Nyt pitää loitt jkmll nimittäjä tekijöihin, jolloin näemme sen nollkohdt: x 2 x x(x ). Eli nimittäjän nollkohdt ovt selvästi j. Täten osmurtohjotelm on muoto x(x ) A x + A 2 x. Tästä voidn rtkist kertoimet A j A 2 vnhn mlliin: x(x ) A x + A 2 x A (x ) x(x ) + A 2x x(x ) A x A + A 2 x. x(x ) Jälleen rtkistn termit A j A 2 settmll A x A + A 2 x. Tästä seur heti, että A. Tästä ts seur, että A 2. Täten x(x ) dx x dx + x dx ln x dx + ln x + C. 2

17 Toinen osmurtotpus, jot käsittelemme, on tpus joss osoittjn steluku on suurempi kuin nimittäjän steluku. Tällinen funktio on esimerkiksi x 4 x 2 3x + 2. Tällinen polynomi pitää luksi muokt eri muotoon esimerkiksi jkokulmss. All tämä muokkus kuitenkin suoritetn hiemn eri tvll. Iden on esittää osoittj x 4 muodoss nimittäjä kert jokin luku plus jokin luku. Eli yleisesti otten hlumme esittää rtionlifunktion P(x)/Q(x) muodoss (x)q(x) + b(x) Q(x) (x) + b(x) Q(x), joss (x) j b(x) ovt polynomej j P(x) (x)q(x) + b(x). Iden on, että osmäärä b(x) olisi muodoss, joss nimittäjän steluku olisi suurempi kuin osoittjn Q(x) steluku. Funktion x 4 x 2 3x + 2 tpuksess hlumme siis lisätä osoittjn nimittäjän x 2 3x + 2 kerrottun jollkin polynomill. Kosk osoittjss on termi x 4, niin kerrotn tämä nimittäjä termillä x 2, jolloin näiden tuloss esiintyy termi x 4 : x 4 x 2 3x + 2 x2 (x 2 3x + 2) + (3x 3 2x 2 ) x 2 3x + 2 x 2 + 3x3 2x 2 x 2 3x + 2. Tuoss jälkimmäinen termi 3x 3 2x 2 vlittiin siten, että pätee yhtäsuuruus x 4 x 2 (x 2 3x + 2) + (3x 3 2x 2 ). Tämän jälkeen osoittjn tekijät jettiin erikseen nimittäjällä. Sduss funktioss on kuitenkin edelleen tekijä (3x 3 2x 2 )/(x 2 3x + 2), joss osoittjn ste ylittää nimittäjän steen. Sovelletn tähänkin sm tekniikk: esitetään sen osoittj nimittäjän kertoimen j jäännöstermin vull: 3x 3 2x 2 x 2 3x + 2 3x(x2 3x + 2) + (9x 2 6x) x 2 3x + 2 3x + 9x2 6x x 2 3x

18 Tässä vlittiin jälleen nimittäjään kerroin 3x siten että osoittjn suurin termi 3x 3 stisiin nimittäjän j termin 3x kertoimen. Termi (9x 2 6x) vlittiin siten, että pätisi 3x 3 2x 2 3x(x 2 3x + 2) + (9x 2 6x). Nyt olemme sneet lkuperäisen funktion muotoon x 4 x 2 3x + 2 x2 + 3x + 9x2 6x x 2 3x + 2. Muoktn vielä tämä viimeinen termi smll tktiikll kuntoon. Esitetään se muodoss 9x 2 6x x 2 3x + 2 9(x2 3x + 2) + (2x 8) x 2 3x + 2 2x x 2 3x + 2 Täten olemme sneet muokttu lkuperäisen funktion muotoon x 4 x 2 3x + 2 x2 + 3x x 8 x 2 3x + 2. Tämän viimeinen termi ei ole vieläkään integroitviss, mutt inkin se on tuttu tyyppiä, joss nimittäjän steluku ylittää osoittjn steluvun. Lisäksi sen nimittäjä voidn esittää tulomuodoss: x 2 3x + 2 (x )(x 2), joten luseke voidn esittää osmurtoin: 2x 8 x 2 3x + 2 A x + A 2 x 2. Tästä voidn rtkist vnhn tpn A 3 j A Täten lkuperäinen funktio sdn integroitu seurvsti: x 4 x 2 3x + 2 dx x 2 + 3x x + 24 x 2 dx 3 x x2 + 9x 3 ln x + 24 ln x 2 + C. 4 Lisää osmurtoj Tutkitn jälleen rtionlifunktion P(x)/Q(x) integrointi. Aiemmin käsittelimme tpuksen, joss nimittäjä voidn esittää muodoss Q(x) 4

19 (x x )(x x 2 ) (x x n ). Tässä siis nimittäjällä on n kpplett nollkohti: nollkohdt ovt x, x 2,..., x n, jotk olivt kikki keskenään erisuuri eli x i x j kun i j. Tällinen yhtälö stiin integroitu esittämällä se muodoss P(x) Q(x) A x x + A 2 x x A n x x n j integroimll tämän lusekkeen oike puoli. Tässä siis rtionlifunktio jettiin osmurtoihin. Nyt jtketn osmurtojen käsittelyä, mutt enää ei oletet että nimittäjän voi esittää muodoss Q(x) (x x )(x x 2 ) (x x n ), joss nollkohdt ovt erisuuri. Voi oll esimerkiksi, että integroitv rtionlifunktio on (4.3) (x 3) 2 (x 3)(x 3), jolloin nimittäjällä (x 3) 2 on kksi kert toistuv nollkoht x 3. Smoin funktioll (x )(x ) 8 on 8-kertinen nollkoht x, minkä lisäksi sillä on selvästi nollkoht x 2. Tällinen usempikertinen nimittäjän nollkoht voidn myös rtkist osmurtohjotelmll, mutt se vtii erilist osmurtohjotelm. Ensinnä pitää huomt, että yllä yhtälö (4.3) on helppo integroid, sillä Jetn nyt yhtälö osmurtoihin seurvsti: (x 3) 2 dx (x 3) 2 dx (x 3) + C x 3 + C. (x )(x 3) 2 (x )(x 3) 2 A x + A 2 x 3 + A 3 (x 3) 2. 5

20 Nyt siis khteen kertn toistuv nollkoht 3 iheutt sen, että termi x 3 esiintyy osmurtohjotelmss sekä ensimmäisessä että toisess potenssiss. Nyt yllä olevst yhtälöstä voidn rtkist tuttuun mlliin kertoimet A,A 2 j A 3 : (x )(x 3) 2 A x + A 2 x 3 + A 3 (x 3) 2 A (x 3) 2 (x )(x 3) 2 + A 2(x )(x 3) (x )(x 3) 2 + A 3(x ) (x )(x 3) 2 A (x 2 6x + 9) (x )(x 3) 2 + A 2(x 2 4x + 3) (x )(x 3) 2 + A 3(x ) (x )(x 3) 2. Tästä yhtälöstä voidn rtkist kertoimet A, A 2 j A 3 settmll osoittjt yhtä suuriksi: A (x 2 6x + 9) + A 2 (x 2 4x + 3) + A 3 (x ). Tämän yhtälön vsemmll puolell ei esiinny termejä, joss olisi kertoimen x 2 ti x. Täten on oltv esimerkiksi, että A x 2 + A 2 x 2 A + A 2. Vstvll päättelyllä sdn yhtälöryhmä Tästä sdn rtkistu kertoimet A + A 2 6A 4A 2 + A 3 9A + 3A 2 A 3 A /4 A 2 /4 A 3 /2. Täten integrointi voidn suoritt seurvsti: (x )(x 3) 2 dx /4 /4 x dx + x 3 dx + 4 ln x 4 ln x 3 2 /2 (x 3) 2 dx ( ) + C. x 3 Yllä olevll tekniikll voidn rtkist myös luseke, joss toistuvi nollkohti on enemmän kuin kksi. Esimerkiksi yhtälö (x )(x 3) 3 6

21 jetn osmurtoihin seurvsti: (x )(x 3) 3 A x + A 2 x 3 + A 3 (x 3) 2 + A 4 (x 3) 3. Yleisesti otten siis rtionlifunktio, jonk nimittäjässä on k-kertinen juuri, voidn jk osmurtoihin seurvsti: P(x) (x x )(x x 2 ) k A + A 2 A + 3 x x x x 2 (x x 2 ) A k (x x 2 ) k. Osmurtohjotelmist on nyt on käsitelty tpukset, joiss rtionlifunktion P(x)/Q(x) nimittäjä voidn esittää nollkohtiens tulon eli muodoss (x x ) (x x n ). Kuitenkin esimerkiksi funktion (x )(x 2 + ) nimittäjän tekijällä x 2 + ei ole yhtään nollkoht, kosk x 2 + > kikill x. Tällöin osmurtohjotelm s seurvn muodon: (x )(x 2 + ) A x + Bx + C x 2 +, joss A, B j C ovt relilukuj. Tällä kert nollkohdttomn termin x 2 + osmurtoon tulee termi, jok on muoto Bx + C. Tämän jälkeen lsku sujuu smn tpn kuin ikisemminkin. Esimerkki 4.. Integroidn rtionlifunktio x x 3 2x 2 + x 2. Ensinnä huomtn kokeilemll, että nimittäjän yksi nollkoht on x 2. Täten nimittäjä voidn esittää termin (x 2) j jonkin toisen termin tulon. Huomtn, että itse siss nimittäjä voidn jk tekijöihin seurvsti: x 3 2x 2 + x 2 (x 2)(x 2 + ). Täten integroitvn on funktio x (x 2)(x 2 + ). Tässä tekijällä x 2 + ei ole yhtään nollkoht. Täten osmurtohjotelm on seurv: x (x 2)(x 2 + ) A x 2 + Bx + C x

22 Tästä rtkistn seurvksi kertoimet A, B j C: x (x 2)(x 2 + ) A x 2 + Bx + C x 2 + A(x2 + ) (Bx + C)(x 2) (x 2)(x ) (x 2)(x 2 + ) Ax 2 + A (x 2)(x 2 + ) + Bx2 2Bx + Cx 2C (x 2)(x 2. + ) Asetetn jälleen smnkertoimiset termit yhtä suuriksi, jolloin sdn A 2/5 B 2/5 C /5 Täten integrointi voidn suoritt seurvll hjotelmll: x (x 2)(x 2 + ) dx 2 5 2/5 2/5x + /5 x 2 dx + x 2 dx + x 2 dx 2x 5 x 2 + dx + 5 x 2 + dx 2 5 ln x 2 5 ln x2 + + rctn x + C. 5 Tässä toisell rivillä jettiin tekijä ( 2/5x + /5)/(x 2 + ) khteen osn, joist toiseen käytettiin tulost, jonk mukn funktion /( + x 2 ) integrli on rctn x. Nyt olemme käsitelleet kikki osmurtotpukset. Rtionlifunktio P(x)/Q(x) integroidn siis seurvsti:. Jos rtionlifunktio on muoto F (x)/f(x) se voidn integroid suorn: sen integrli on ln F(x) + C. Smoin jos rtionlifunktio on muoto /(x x n ) k, se voidn integroid suorn. Kolms suorn integroitv luseke on /( + x 2 ). 2. Jos rtionlifunktio ei ole jomp kump näistä muodoist, se plutetn näihin muotoihin osmurtohjotelmn vull. Tästä on useit tpuksi: () Jos osoittjn ste on suurempi ti yhtä suuri kuin nimittäjän ste, se muoktn esimerkiksi jkokulmn vull muotoon, joss nimittäjän ste ylittää osoittjn steen. 8

23 (b) Jos nimittäjän ste ylittää osoittjn steen, rtionlifunktio esitetään osmurtojen summn. Osmurtojen trkk muoto riippuu siitä, onko nimittäjällä kuink mont nollkoht, j jos on, niin ovtko nämä nollkohdt usempikertisi vi uniikkej. Osmurtohjotelmn vull rtionlifunktio plutetn muotoon, joss se voidn esittää esimerkiksi muoto F (x)/f(x) olevien termien summn. 5 Sijoituskeino Jos integrli ei rtke tähän mennessä käsitellyillä tekniikoill, voidn integroitv luseke usein muokt rtkevn muotoon sijoittmll x:n piklle jokin muu muuttuj. Esimerkiksi integrlin x 2 + 6x + dx voi rtkist sijoituskeinoll. Muoktn luksi nimittäjä x 2 + 6x + muotoon, jost nähdään millinen sijoitus knntt tehdä. Huomtn, että x 2 + 6x + x 2 + 6x (x + 3) 2 +, joten luontev sijoitus olisi vlit t x + 3. Eli nyt tekijä x + 3 korvtn t:llä: x 2 + 6x + dx (x + 3) 2 + dx t 2 + dt Yllä sijoitettiin myös dx:n piklle dt, kosk integrointi suoritettiin lopult t:n suhteen. Nyt integrli on rtkevss muodoss, sillä integrli, jok on muoto /( + x 2 ) on rkustngenttifunktion integrli. Eli: t 2 dt rctn t + C + Sijoituskeino käyttäessä pitää muist lopuss sijoitt tkisin x:ää sisältävä luseke t:n piklle. Tässä tehtävässä siis sijoitetn t x + 3 tkisin, jolloin sdn lopullinen vstus: x 2 dx rctn(x + 3) + C. + 6x + Sijoituskeinoss siis sijoitetn jonkin x:n lusekkeen piklle t. Tyypillinen sijoitus on esimerkiksi t x eli x t 2. 9

24 Tällisen sijoituksen ide on siis tehdä integroitvst lusekkeest helposti lskettv. Sijoituskeinoss siis korvtn x lusekkeell g(t) eli jollkin t:n funktioll. Käytännössä tehtävästä etsitään x:ää sisältäviä termejä, joiden piklle olisi kätevää sijoitt t. Yllä esimerkiksi vlitsimme termin x + 3 korvttvksi t:llä, kosk se teki integroinnist helpomp. Sijoituskeino soveltviss tehtävissä ongelmn on yleensä nimen omn keksiä mikä luseke knntt korvt t:llä. Usein ensimmäinen sijoitusyritys ei tuot tulost, vn on yritettävä uudestn eri sijoituksell. Ain kun sijoitt t:n lusekkeeseen, pitää muist myös korvt dx lusekkeell g (t)dt eli funktion g derivtn j dt:n tuloll. Yllä tämä ei ollut ongelm, kosk jos t x + 3 niin x t 3 g(t) j selkeästi g (t), jolloin dx dt. Esimerkki 5.. Lsketn integrli x x + dx sijoituksell. Tässä potentilisin sijoituksin tulee mieleen t x + j t x +. Tämä tehtävä rtke kätevästi tällä jälkimmäisellä sijoituksell, joten olkoon t x +. Ensin rtkistn tästä x: t x + t 2 x + x t 2 g(t) Tästä sdn, että g (t) 2t, jolloin meidän pitää muist sijoitt dx:n piklle 2tdt. Tällöin tehdään sijoitukset x + t x t 2 j dx 2tdt jolloin luseke sdn muotoon x x + dx (t 2 )t(2tdt) 2t 4 2t 2 dt 2 5 t5 2 3 t3 + C 2

25 Lopullinen vstus sdn sijoittmll yllä t:n piklle tkisin luseke x + : x x + dx 2 5 ( x + ) ( x + ) 3 + C 2 5 (x + )5/2 2 3 (x + )3/2 + C. Yllä sijoituskeino rtkisi tehtävän melko suorn. Usein sijoituksen tuloksen kuitenkin päädytään lusekkeeseen, jot on muokttv esimerkiksi osmurroill prempn muotoon. Sijoituskeinoss j osmurroiss on siis kummsskin iden muokt integroitv lusekett helpompn muotoon. Usein lusekkeen s helpompn muotoon muullkin tvoin. Esimerkiksi jos lskettvn on integrli 2 sin x cos xdx voimme käyttää kv 2 sin x cos x sin 2x, joll integrli rtke helposti. 6 Määrätty integrli Aiemmin trkstelimme määräämätöntä integrli ( )dx, jonk hyöty on pääosin siinä, että se on derivoinnin käänteistoimitus. Nyt käsittelemme lustvsti määrättyä integrli b ( )dx. Tähän on iempn verrttun lisätty integroinnin rjt: integrointi loitetn pisteestä x j lopetetn pisteeseen x b. Eli väli (, b) on integrointiväli: funktio integroidn tältä väliltä. Määrätty integrli on hyvin kätevä käsite. Esimerkiksi jos f (x) on ei-negtiivinen funktio eli f (x), niin määrätty integrli b f (x)dx mitt funktion f j x-kselin rjoittmn lueen pint-l välillä x b. Määrätyn integrlin intuitio on se, että jos välin (, b) pituus on 2

26 (eli jos b + ), niin määrätty integrli nt funktion keskirvon tällä välillä. Esimerkiksi tiedetään, että x 2 dx 3. Kosk välin (, ) pituus on yksi, niin voimme sno, että funktion x 2 keskirvo tällä on tällä välillä on /3. Yllä huomtn, että määrätyllä integrlill on myös se hyvä puoli, että sen rvo on yksikäsitteinen. Sm ei voi sno määräämättömästä integrlist, joss on in mukn vkio C. Jos välin (, b) pituus ei ole yksi, voidn sno että määrätty integrli nt funktion keskirvon tällä välillä kerrottun välin (, b) pituudell eli luvull b : b ( ) f (x)dx Funktion f keskirvo välillä (, b) (b ). Tämän intuition vull voimme nt rvioit tietyn määrätyn integrlin rvolle. Jos tiedämme vikk, että funktio f s in rvons välillä /2 j 3/2 eli /2 f (x) 3/2, niin luonnollisesti tämän funktion keskirvo on myös tällä välillä. Kosk määrätty integrli on funktion keskirvo tietyllä välillä (, b) kerrottun tämän välin pituudell, voidn nyt sno 2 (b ) b 7 Ylä- j lsumm f (x)dx 3 (b ). 2 Määrätyn integrlin täsmällinen määritelmä vtii lsummn j yläsummn käsitteitä. Ylä- j lsumm kertovt yksinkertisesti rvion tietyn käyrän ll olevn lueen pint-llle. Oletetn nyt, että hlumme lske määrätyn integrlin f (x)dx eli hlumme lske funktion f (x) ll olevn lueen pint-ln, kun x (, ). Alsumm nt tälle pint-llle lrjn j yläsumm ā nt puolestn tälle pint-llle ylärjn, eli f (x)dx ā 22

27 Kummnkin lskeminen loitetn jkmll väli (, b) osiin. Yllä käytetty väli on (, ). Tämän voi jk osiin esimerkiksi seurvsti: (, ) (, /3] (/3, 2/3] (2/3, ) Tässä jkopisteet ovt /3 j 2/3. Ne siis jkvt välin (,) kolmeen osn. Alsumm sdn tämän jon vull lskettu kolmess osss. Vlitn ensin väliltä (, /3) funktion f (x) pienin 3 rvo tällä välillä. Olkoon tämä m. Seurvksi vlitn funktion pienin rvo väliltä (/3, 2/3). Olkoon tämä m 2. Vlitn vstvsti funktion pienin rvo välillä (2/3, ), jot merkitään m 3. Nyt näiden jkopisteiden määrittämä lsumm sdn lskettu kertomll nuo pisteet m, m 2 j m 3 kyseisten välien pituuksill (eli luvull /3): 3 m + 3 m m 3. Yläsumm sdn vstvsti lskemll funktion suurimmt rvot yllä muodostetuill väleillä. Merkitään näitä suurimpi rvoj M, M 2 j M 3. Näistä sdn lskettu yläsumm kvll ā 3 M + 3 M M 3. Esimerkki 7.. Lsketn integrlille 2 x 2 dx ylä- j lsumm. Ensin pitää päättää välin (2, 3) jkopisteet. Vlitn pisteiksi 4/3 j 5/3, jolloin smme siis kolme väliä. Ensin pitäisi lske funktion pienemmät j suurimmt rvot näillä väleillä. Tämä on helppo, kosk f on välillä (2, 3) idosti ksvv funktio: suurin rvo on siis in välin oikess päätepisteessä j pienin rvo on ts vsemmss päätepisteessä. Täten lsummn kv on 3 f () + 3 f (4/3) + 3 f (5/3) / / , Jos funktio ei svut minimiä tällä välillä, vlitn infimum minimin semest: m inf{ f (x) : x (, /3)}. 23

28 Vstvsti yläsummn kv on ā 3 f (4/3) + 3 f (5/3) + 3 f (2) 3 6/ / , Todellisuudess tuo määrätty integrli on rvoltn 7/3 2, 33. Tässä tehtävässä nähtiin myös esimerkki siitä, että lsumm on in pienempi kuin yläsumm, kun ts itse määrätty integrli on näiden khden välissä. Yllä joimme välin vin kolmeen osn. Jko voi kuitenkin tihentää vlitsemll enemmän j enemmän jkopisteitä. Tällöin tämän jon määrittämät ylä- j lsummt lähestyvät toisin j niiden ntm rvio funktion rjoittmn ln pint-llle on yhä prempi. Tämän tki määrätty integrli määritellään ylä- ti lsummien rj-rvon, kun tuot jko tihennetään rjtt, eli kun jkopisteitä vlitn yhä enemmän j enemmän. Tästä määritelmästä nähdään myös, miksi määrätty integrli voidn tulkit keskirvon, kun integrointivälin pituus on. Jos jkopisteitä on luksi vikk 5, on lsumm 5 m + 5 m m m m 5 5 (m + m 2 + m 3 + m 4 + m 5 ). Toisin snottun lsumm on funktion viiden rvon keskirvo. Jos jko tihennetään, niin funktiost otetn keskirvoj, joss on mukn yhä enemmän j enemmän funktion pisteitä. Esimerkiksi jos jkopisteitä on, sdn lsumm m i. i Täten määrätyn integrlin tulkint keskirvon on oikeutettu. Tästä nähdään myös, että määrätty integrli on siis eräänlinen summ. 24

29 8 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin b f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:. Mikäli f (x) on ei-negtiivinen eli f (x), niin määrätty integrli nt funktion f (x) j x-kselin välissä olevn lueen pint-ln välillä (, b). 2. Määrätty integrli b f (x)dx on funktion f (x) keskirvo välillä (, b) kerrottun tämän välin pituudell eli luvull b. Funktion f (x) määräämätön integrli f (x)dx määriteltiin puolestn ilmn vstvnlist intuitiot: se on inostn lskusääntö, jok on derivoinnin käänteistoimitus. Eli esimerkiksi ( x x 2 ) dx 4 x4 + rctn x + C. Määräämätön integrli j määrätty integrli kuitenkin liittyvät toisiins kiinteästi, kuten näiden nimistäkin voi päätellä. Merkitään ll määräämätöntä integrli f (x)dx merkinnällä F(x). Eli F(x) f (x)dx. Täten esimerkiksi jos f (x) x 3, niin F(x) (/4)x 4 + C. Integrlilskennn pääluse snoo, että määrätyt integrlit voi lske määräämättömien integrlien vull: b f (x)dx F(b) F(). Eli: hlutn lske funktion f (x) määrätty integrli välillä (, b). Tämä sdn lskemll luksi funktion f määräämätön integrli F(x) j ktsomll, mikä sen rvo on pisteessä j mikä sen rvo on pisteessä b. Esimerkki 8.. Hlutn lske määrätty integrli 4 3 x2 dx. Integrlilskennn pääluseen mukn: 4 3 x 2 dx F(4) F(3), 25

30 joss F on funktion x 2 määräämätön integrli eli F(x) (/3)x 3 + C. Täten 4 x 2 dx F(4) F(3) 3 ( C ) ( ) C Toisin snottun funktion x 2 määrätty integrli välillä (3, 4) on 37/3 2, 3. Huom yllä, että vkio C häviää määrättyä integrli lskettess. Näin käy in, joten sitä on turh pitää lskuss mukn. Huom edellisessä esimerkissä, että tulos 4 3 x2 dx 2, 3 kertoo, että funktion x 2 keskimääräinen rvo välillä (3, 4) on 2,3. Toinen tulkint on, että tämän funktion j x kselin väliin jää pint-l, jok on suuruudeltn 2,3 välillä (3, 4). Esimerkki 8.2. Lsketn b ex dx. Kosk e x on om integrlins, niin b e x dx F(b) F() e b e. Huom, että tässä vkiot C ei pidetty lskuss mukn. Määrätyn integrlin lskemist helpott käytännössä, jos käytämme nottion F(b) F() semest merkintää b. Täten siis esimerkiksi b b ( ) (3x + )dx 3 ( 3 2 b2 + b 2 x2 + x ) ( ) Kuten yllä minitsimme, määrätyn integrlin voi nähdä keskirvon ti pint-ln. Tästä tulkinnst seur hyödyllisiä sovelluksi. Seurvss esimerkissä käytetään lisäksi tieto b f (x)dx + b eli integroinnin linerisuutt. g(x)dx 26 b ( f (x) + g(x)) dx,

31 Esimerkki 8.3. Lske käyrien y x 2 j y x sekä suorien x j x 2 reunustmn lueen pint-l. Rtkisu. Kuten tunnettu, pint-ln voi lske integrlin b f (x)dx. Kosk reunustmss on suort x j x 2, niin vlitn integroinnin päätepisteiksi j b 2. Lisäksi tiedetään. Integrli b x2 dx nt käyrän y x 2 j x-kselin välissä olevn lueen pint-ln. Merkitään tätä l A. 2. Integrli b xdx nt suorn y x j x-kselin välissä olevn lueen pint-ln. Merkitään tätä l B. 3. Välillä (, 2) pätee x 2 > x, eli käyrä y x 2 on suorn y x yläpuolell. Täten käyrien y x 2 j y x välissä olevn lueen pint-l sdn erotuksen A B. Eli erotuksen b x 2 dx b xdx b (x 2 x)dx. Tästä seur, että käyrien y x 2 j y x reunustmn lueen pint-l välillä (, 2) sdn integroimll erotus x 2 x integrointirjoill j b 2: 2 (x 2 2 ( x)dx 3 x3 ) 2 x2 ( ) ( 2 3 ) Eli käyrien y x 2 j y x sekä suorien x j x 2 reunustmn lueen pint-l on 5/6. Esimerkki 8.4. Lske käyrien y x 2 j y x sekä suorien x j x 2 reunustmn lueen pint-l. Rtkisu. Integrointiväli on nyt (, 2). Huomtn, että välillä (, ) pätee x > x 2, mutt välillä (, 2) ts pätee x 2 > x. Käyrien välistä pint-l 27

32 lskiess pitää in vähentää korkemmll olevst käyrästä mtlmmll olev käyrä, joten tämä tehtävä on lskettv khdess osss. Välillä (, ) pätee x > x 2, joten integroidn erotus x x 2 tällä välillä: (x x 2 )dx ( 2 x2 ) 3 x3 Välillä (, 2) pätee x 2 > x, joten integroidn tällä välillä puolestn erotus x 2 x: 2 (x 2 2 ( ) x)dx ( x3 2 x2 ) ( 3 2 Täten käyrien y x 2 j y x sekä suorien x j x 2 reunustmn lueen pint-l on /6 + 5/6. ) 9 Määrätyn integrlin lskeminen sijoituksell Aiemmin lskimme määräämättömiä integrlej sijoituksell x g(t). Siinä siis integroitvn lusekkeen muuttuj x korvttiin sijoituksell g(t) j vstvsti termi dx korvttiin termillä g (t)dt. Määrätyn integrlin lskeminen tällä tvll on peritteess smnlist, mutt integroinnin rjt j b pitää myös muunt. Esimerkki 9.. Lsketn nyt integrli x x + dx. Tehdään luksi sijoitus t x +, jolloin x t j dx dt. Integrointilusekkeeseen tehdään nyt nämä sijoitukset, mutt pitää huomt että 28

33 sijoituksen tki myös integroinnin rjt muuttuvt. Integrointirjt j b on määritelty muuttujn x suhteen j nyt siirrytään muuttujn t x +. Täten jos x, niin t j jos x, niin t. Integrointirjojen j b piklle tulevt täten uudet rjt c j d. Tällöin integrli sdn muotoon x x + dx (t ) tdt t 3/2 t /2 dt ( 2 5 t5/2 2 ) 3 t3/2 4 5 Seurvksi käsitellään trigonometristen funktioiden integroimist sijoituskeinoll. Määritellään luksi trigonometrisen funktiot yksikköympyrän vull. Trkstelln ll olev kuv. Huom ensinnä, että kuvss pätee Pythgorn luse 2 + b 2 c 2 eli hypotenuusn neliö on yhtä kuin kteettien neliöiden summ: + t 2 t x Eli pätee ( + t 2 ) t 2. Toislt kosk kulmn x sini on määritelmän mukn sen vstisen sivun j hypotenuusn suhde, pätee sin x t + t 2. 29

34 Vstvsti kulmn kosiini on sen kulmn viereisen sivun j hypotenuusn suhde, joten cos x. + t 2 Tngentti puolestn on kulmn vstisen j viereisen sivun suhde eli kuvss tn x t. Näitä tietoj voi käyttää sovellettess sijoitust t tn x. Tätä sijoitust käytetään integrleihin, jotk ovt muoto Tällöin tehdään korvukset Esimerkki 9.2. Integroidn + b sin 2 x + c cos 2 x dx. sin 2 x t2 + t 2 j cos 2 x + t 2. π/4 π/4 4 3 sin 2 x dx. Tehdään sijoitus tn x t. Täten x rctn t, joten dx dt/( + t 2 ). Termin sin 2 x piklle puolestn sijoitetn termi t 2 /( + t 2 ). Myös integroinnin rjt muuttuvt: kun x π/4, niin tn x j kun x π/4, niin tn x. Tehdään kikki nämä sijoitukset: π/4 π/4 4 3 sin 2 x dx 4 3(t 2 /( + t 2 )) 4( + t 2 ) 3t 2 dt 4 + t 2 dt. ( dt ) + t 2 Tämä integrli näyttää nyt kohtlisen yksinkertiselt. Huomtn, että 3

35 tämä sdn lskettu rkustngenttifunkion vull: ( ) 4 + t 2 dt 4 + (t/2) 2 dt ( ) 2 rctn(t/2) (rctn(/2) rctn( /2)) 2 2 rctn(/2). Tässä viimeinen yhtäsuuruus perustuu siihen, että rctn( /2) rctn(/2). Sijoituskeino käytettäessä pitää siis tehdä seurvt korvukset:. Muuttuj x sisältävät termit pitää korvt termillä g(t). 2. Termi dx pitää korvt termillä g (t)dt. 3. Integroinnin rjt pitää korvt uusill rjoill. Määrätyn integrlin derivoiminen Tutkitn nyt määrättyä integrli, jonk ylärj on muuttuj x. Tutkitn siis integrli x f (t)dt. Tämä integrli on nyt muuttujn x funktio, joten voidn merkitä F(x) x f (t)dt. Esimerkki tällisest funktiost on F(x) x (t 2 + t)dt. Huom, että tämä on nimenomn muuttujn x funktio, eikä muuttujn t funktio. Muuttuj t häviää integroitess, joten yhtä hyvin voitisiin kirjoitt F(x) x (c 2 + c)dc, 3

36 eli tuo integrlin sisässä olev kirjin ei ole lskennn knnlt oleellinen. f (t)dt de- Integrlilskennn toinen pääluse kertoo, että integrlin x rivtt muuttujn x suhteen on funktio f (x): d x f (t) f (x). dx Tämän tuloksen voi tulkit intuitiivisesti, kun muist, että määrätyn integrlin voi tulkit pint-ln. Derivtt d x dx f (t) siis kertoo, kuink funktion f (x) j x-kselin väliin jäävän lueen pint-l muuttuu, kun siirrytään hiemn oikelle eli ksvtetn rgumentti x hiemn. Vstus on, että l muuttuu funktion f rvon verrn. Tämä on sikäli intuitiivist, kosk kyseinen pint-l muuttuu pljon, jos f (x) on suuri luku j vähän jos f (x) on pieni luku. Esimerkki.. Lske derivtt F (x), kun F(x) x (t 2 + t)dt. Rtkisu. Integrlilskennn pääluseen mukn x F (x) d (t 2 + t)dt dx x 2 + x. Seurvss esimerkissä käytetään tieto x f (t)dt x f (t)dt, eli jos integrointirjojen järjestystä viht, niin integrli kertoutuu luvull. Esimerkki.2. Lske derivtt F (x), kun F(x) x ln tdt. Rtkisu. Integrlilskennn pääluseen mukn d ln tdt d dx x dx ln x. x ln tdt 32

37 Siispä lrjll olev muuttuj x on helppo plutt ylärjlle. Hiemn enemmän ongelmi tuott integrlin x 2 f (t)dt lskeminen, sillä tässä ylärjn ei ole muuttuj x, vn tämän muuttujn funktio x 2. Tästä tilnteest selvitään kuitenkin sopivll nottioll: merkitään F(x 2 ) x 2 f (t)dt, eli nyt merkitään, että lskettv integrli on jonkin muuttujn F rvo pisteessä x 2. Täten siis F(x) x f (t)dt. Derivoinnin ketjusäännön perusteell pätee d dx F(x2 ) 2xF (x 2 ), eli yhdistetyn funktion derivtt sdn sisäfunktion x 2 j ulkofunktion F derivttojen tulon. Tästä seur, että d x 2 dx f (t)dt 2x f (x 2 ), joss siis 2x on sisäfunktion x 2 derivtt j f (x 2 ) on ulkofunktion F(x) derivtt rvioitun pisteessä x 2. Esimerkki.3. Derivoi funktio F(x 2 ) x 2 cos tdt. Rtkisu. Ketjusäännön j integroinnin pääluseen mukn d x 2 cos tdt 2x cos x 2. dx Jos integroinnin rjn on jokin muu funktio kuin x 2, selvitään tästäkin ketjusäännön yksinkertisell sovelluksell. 33

38 Esimerkki.4. Derivoi funktio sin x ln tdt. Rtkisu. Merkitään ensinnä tätä integrli funktion F rvon pisteessä sin x: F(sin x) sin x ln tdt. Tässä siis sisäfunktio on sin x. Tämän derivtt on tunnetusti cos x. Nyt voidn jälleen sovelt ketjusääntöä: d sin x ln tdt cos x ln sin x. dx Yllä todettiin, että muuttuj x s esiintyä joko integroinnin l- ti ylärjll. Se voi kuitenkin esiintyä kummllkin rjll yhtä ik. Tämä ei tuot lskuihin ongelmi, kosk integrlin voi in jk osiin: x x f (t)dt x x f (t)dt + x f (t)dt + f (t)dt x f (t)dt. Integrlin x f (t)dt voi derivoid jälleen ketjusäännöllä: merkitään Täten Tämän perusteell F( x) x f (t)dt. d F( x) f ( x). dx d x f (t)dt d x f (t)dt + d dx x dx dx f ( x) + f (x). x f (t)dt Esimerkki.5. Derivoi x 3 x e t2 dt. 34

39 Rtkisu. Jetn tämä integrli ensin khteen osn: x 3 x e t2 dt e t2 + x x x 3 e t2 x 3 e t2 + Näistä kummnkin integrointi sujuu nyt kätevästi ketjusäännöllä: e t2. d x 3 e t2 dt d x e t2 dt + d x 3 e t2 dx x dx dx e ( x)2 + 3x 2 e (x3 ) 2 e x2 + 3x 2 e x6. Määrätyn integrlin sovelluksi Määrätyllä integroinnill on runssti sovelluksi, jotk perustuvt siihen, että integrli esittää pint-l. Tloustieteessä esimerkiksi kuluttjn ylijäämä on khden käyrän välissä olev pint-l, joten sen voi lske määrättynä integrlin. Integrlill voi lske pitsi loj, myös tilvuuksi. Tyypillinen sovellus on seurv: jokin käyrä y f (x) pyörähtää x-kselin ympäri tietyllä välillä (, b). Tällisell pyörähdyskppleell on tilvuus, jok on helppo lske integrlin vull: sen kv on π b ( f (x)) 2 dx, eli kyseisen tilvuuden s integroimll f : neliön pyörähdysvälillä (, b) j kertomll tuloksen π:llä. Esimerkki.. Käyrä y x 2 + pyörähtää x-kselin ympäri välillä (, ). Lske syntyneen kppleen tilvuus. 35

40 Rtkisu. Kyseinen tilvuus sdn integrlin π (x 2 + ) 2 dx π (x 4 + 2x 2 + )dx π ( 5 x x3 + x) π( ) 28 5 π. 2 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss jokin käyrä y f (x) pyörähtää x-kselin ympäri jollkin välillä x b. Tällisen kppleen tilvuus A stiin lskettu kvll A π b ( f (x)) 2 dx. Toislt määrätyn integrlin vull voi lske myös tällisen pyörähtämällä syntyneen kppleen vipn l. Tämä l B sdn lskettu kvll b B 2π f (x) + ( f (x)) 2 dx. Esimerkki 2.. Käyrä f (x) + x pyörähtää x-kselin ympäri välillä x 2. Syntyneen kppleen tilvuus A sdn lskettu yllä esitetyllä kvll: A π π π π π b ( f (x)) 2 dx ( + x) 2 dx ( + 2x + x 2) dx (x + x x3 ) (( ) ( + + )) π. 36

41 Vstvsti syntyneen pyörähdyskppleen vipn l B sdn lskettu seurvsti: b B 2π f (x) + ( f (x)) 2 dx 2π x + dx 2π ( + x) 2dx 2 2 2π (x + 2 x2 ) 2 ( ) 5 2π 5 2π. 2 Tässä itseisrvot voitiin poist, kosk + x on positiivinen tutkitull välillä x 2. 3 Epäoleelliset integrlit Tähän mennessä lsketut integrlit ovt olleet hyvin käyttäytyviä eli muoto b f (x)dx, joss j b ovt olleet relilukuj. Tällinen integrli on ollut yleensä kohtuullisen suorviivisesti lskettviss: jos f (x) on jtkuv funktio, niin yllä olev tyyppiä olev integrli on in olemss eli voidn kirjoitt b f (x)dx A, eli integrli b f (x)dx on jokin reliluku A. Tässä oleellist siis on, että f on jtkuv funktio välillä [, b] j että j b ovt relilukuj. Tällöin tämä integrli on olemss eli f on integroituv välillä [, b]. Ennen kuin etenemme, on syytä ymmärtää intuitiivisesti miksi yllä olev tyyppiä olev integrli on in olemss. Tämän voi perustell sillä, että integrli voidn ymmärtää käyrän j x-kselin välissä olevn lueen pint-ln. Jos piirrät jtkuvn funktion f jollekin äärelliselle välille [, b], niin tämän funktion j x-kselin välissä on in pkoll äärellinen 37

42 pint-l. Täten jtkuv funktio on integroituv äärellisellä välillä. Nyt tutkimme tpust, joss f :n jtkuvuus ti :n j b:n äärellisyys eivät enää päde. Tyyppiesimerkki tälläisestä integrlist on x 2 dx. Tässä siis toisen integrointirjn on ääretön. Onko tämä integrli olemss? Tämä riippuu intuitiivisesti siitä, onko käyrän y /x 2 j x- kselin välissä olevn lueen pint-l ääretön vi äärellinen välillä x [, [. Tätä ei voi kuitenkn päättää ennen kuin tiedetään, miten tällinen integrli lsketn. Määritellään siis epäoleellinen integrli seurvnlisen rj-rvon: M f (x)dx lim f (x)dx. M Tässä määritelmässä siis hlutn lske integrli äärettömyydessä. Tämä tphtuu siten, että lsketn luksi integrli M f (x)dx, j nnetn tämän jälkeen integroinnin ylärjn ksv rjtt eli otetn rj-rvo M lim f (x)dx. M Tämä on siis määritelmän mukn sm si kuin integrli äärettömyydessä eli M lim f (x)dx f (x)dx. M Nyt voimme lske epäoleellisen integrlin x 2 dx. Merkitään siis integroinnin ylärj kirjimell M j nnetn tämän ylä- 38

43 rjn ksv rjtt: dx lim x2 M lim M lim M M x 2 dx M ( ) x ( M ) ( ) lim M ( M ). Täten tämä integrli on siis olemss j täten käyrän y /x 2 j x- kselin välissä olevn lueen pint-l välillä [, [ on yksi. Epäoleellinen integrli lsketn täsmälleen smll tekniikll kuin yllä, jos integroitv on funktio jok on epäjtkuv integroimisvälillä. Esimerkki tälläisestä integrlist on Nyt funktio /x on epäjtkuv nollss, joten tämä integrli määritellään jälleen rj-rvon: x. dx lim x x dx. 4 Integrlien suppeneminen Yllä lskettiin esimerkkinä integrli dx. x2 Tässä siis epäoleellinen integrli oli olemss. Näin ei kuitenkn in käy. Tämä huomtn lskemll esimerkiksi funktion /x integrli vä- 39

44 lillä [, ] dx lim x M lim M M M x dx ln x lim (ln M ln ) M, eli kyseinen integrli on ääretön. Toisin snottun siis funktion /x j x-kselin välissä olev pint-l on ääretön välillä [, [. Jos integrli f (x)dx on rvoltn jokin reliluku, snotn että se suppenee. Jos tämä epäoleellinen integrli puolestn ei ole reliluku (vn esimerkiksi ääretön ti miinus ääretön), niin kyseinen integrli hjntuu. Usein hjntumisen ti suppenemisen voi päättää yksinkertisesti lskemll epäoleellisen integrlin, kuten ll olevss esimerkissä. Esimerkki 4.. Tutki suppeneeko vi hjntuuko xe x2 dx. Rtkisu. Integrli näyttää lkuun siltä, että siinä trvitsisi käyttää osittisintegrointi, mutt tämä itse siss sujuu helpommin, sillä integroitv luseke xe x2 on itse siss melkein muoto f (x) f (x), joss f (x) e x2 : xe x2 dx lim M lim M lim M M M xe x2 dx ( 2 ) e x2 ( 2 e M2 ( 2 e ) ( /2) /2. ) 4

45 Usein integroitv funktiot ei kuitenkn voi suorn lske. Tällinen on esimerkiksi integrli e x2 dx, jot ei voi suorn lske siitä yksinkertisest syystä, että tähän lskuun trvittv määräämätöntä integrli e x2 dx ei ole olemss. Tämän j monet muut ei-negtiivisten funktioiden integrlit voi kuitenkin osoitt suppeneviksi mjornttiperitteen vull. Tätä peritett käytetään, kun hlutn osoitt että integrli 4 b f (x)dx. on olemss. Muistetn luksi, että integrli on pint-l. Hlumme siis osoitt, että jokin pint-l on äärellinen. Oletetn nyt, että löydetään jokin integrli b g(x)dx jok on suurempi kuin f :n integrli: b f (x)dx b g(x)dx. Jos tämä integrli b g(x)dx on nyt olemss äärellisenä, niin integrli b f (x)dx on myös pkoll olemss: pint-l b f (x)dx on äärellisenä olemss, kosk se on pienempi kuin pint-l b g(x)dx, jok on myös äärellisenä olemss. Oletetn siis että seurvt seikt pätevät:. 2. f (x) f (x) g(x) kun x [, b] 3. Integrli on äärellisenä olemss. b 4 Tässä b voi oll myös j voi oll. g(x)dx 4

46 Tällöin pätee b f (x)dx b g(x)dx j integrli b f (x) suppenee mjornttiperitteen nojll. Mjornttiperitteess siis etsitään suurempirvoinen integrli, jok suppenee. Esimerkki 4.2. Osoit, että suppenee. e x2 dx Rtkisu. Nyt f (x) e x2. Tämä funktio on in positiivinen, joten siihen voi mhdollisesti sovelt mjornttiperitett. Hlutn löytää tätä suurempirvoinen funktio g(x), jonk integrli suppenee. Välillä [, ] pätee e x2 e x e x e x. Täten funktioksi g voidn vlit g(x) e x. Tämän integrli on helppo lske: Eli e x dx lim M lim M M M e x dx ( e x ) lim M ( e M ( e )) e. e x2 dx e x dx e, joten esimerkin integrli suppenee mjornttiperitteen nojll. Nyt kun mjornttiperite on käsitelty, on helppo rvt mistä on kyse minornttiperitteess. Tässä trkstelln jälleen kht funktiot f j g, jotk ovt kumpikin ei-negtiivisi j joille pätee b g(x)dx b f (x)dx 42

47 j lisäksi oletetn, että integrli b g(x)dx hjntuu. Tällöin minornttiperitteen nojll myös integrli b f (x)dx hjntuu5. Eli intuitiivisesti jteltun funktion f j x-kselin välinen pint-l on ääretön, kosk tämä l on suurempi kuin funktion g j x-kselin välinen pint-l, jok on ääretön. Minornttiperitett käytetään seurvsti:. Hlutn todist, että jokin integrli b f (x)dx hjntuu. 2. Etsitään funktio g, jok on pienempi kuin f eli g(x) f (x) j jonk integrli b g(x)dx hjntuu. 3. Tällöin integrli b f (x)dx hjntuu. Esimerkki 4.3. Osoit minornttiperitteen vull, että integrli hjntuu. 2 x dx Rtkisu. Nyt f (x) x. Pitäisi löytää tätä funktiot pienempi funktio g, jonk integrli hjntuu välillä [2, ]. Helppo tp löytää pienempi funktio on ksvtt osoittj yhdellä: >. x x Eli nyt etsimämme funktio on g(x) / x. Tämän integrli voidn lske jälleen suorviivisesti: 2 x dx lim M lim M M 2 M 2 x dx 2 x lim M (2 M 2 2). 5 Tämä perite seur itse siss suorn mjornttiperitteest: jos f suppenisi, niin silloin mjornttiperitett voisi sovelt j myös g suppenisi. 43

48 Täten kosk x < x, niin integrli x hjntuu. 5 Tiheysfunktiot Kuten jo usen kertn on todettu, integrlill voi lske loj j tilvuuksi. Yksi määrätyn integrlin tärkeimpiä sovelluksi on lisäksi se, että sillä voi lske tphtumien todennäköisyyksiä. Tämän sovelluksen käyttäminen vtii kuitenkin tiheysfunktion käsitettä. Tiheysfunktio on mtemttisesti jteltun mikä thns ei-negtiivisi rvoj sv funktio, jok integroituu relikselill lukuun yksi eli jolle pätee f (x)dx j f (x). Grfisesti tulkittun tiheysfunktio on siis funktio, jok on jtkuvsti x- kselin yläpuolell (ti x-kselill) j jonk ll olevn lueen pint-l on yksi. Tiheysfunktion ide on seurv: jos stunnismuuttujll X on tiheysfunktio f (x), niin tätä tiheysfunktiot integroimll voi lske todennäköisyyksiä. Jos merkitään P( X b) todennäköisyyttä, että stunnismuuttuj X s rvon välillä [, b], niin tämän todennäköisyyden voi lske integroimll stunnismuuttujn tiheysfunktion f (x) tällä välillä: P( X b) b f (x)dx. All oleviss esimerkeissä käytetään lisäksi seurv integrointisääntöä : jos funktio f (x) on jollkin välillä [i, j] noll eli pätee f (x), x [i, j], niin myös tämän funktion integrli välillä [i, j] on noll eli j f (x). Trkstelln nyt funktiot f (x), jok on määritelty ploittin: { e x, kun x [, b] f (x) muulloin. i 44

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Ari Tuomenlehto - 0 - Lusekkeen käsittelyä Luseke j lusekkeen rvo Näkyviin merkittyä

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012 A2 Jouni Smpo 28. mrrskuut 2012 Sisältö 1 Integrointitekniikoit 2 1.1 Osittisintegrointi (Integrtion by prts)...................... 2 1.2 Sijoitus (Method of Substitution).......................... 2 1.3

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

SUORAKULMAINEN KOLMIO

SUORAKULMAINEN KOLMIO Clulus Lukion Täydentävä ineisto 45 0 45 60 ( - ) + SUORKULMINEN KOLMIO Pvo Jäppinen lpo Kupiinen Mtti Räsänen Suorkulminen kolmio Suorkulminen kolmio Käsillä olev Lukion Clulus -srjn täydennysmterili

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET http://www.tut.fi/smg/course.php?id=57 Rtkisut Hrjoitukset 3, 2014 Tehtävä 1. Pyydetään muodostmn nnetun piirin Nortonin ekvivlentti. Nortonin, smoin kuin Theveninin,

Lisätiedot

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys. TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

5 Jatkuvan funktion integraali

5 Jatkuvan funktion integraali 5 Jkuvn funkion inegrli Derivlle kääneisä käsieä kusun inegrliksi. Aloien inegrliin uusuminen esimerkillä. Esimerkki 5.. Tuonolioksess on phunu kemiklivuoo. Määriellään funkio V sien, eä V () on vuoneen

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat MAB: Monikulmiot Aluksi Tässä luvuss käsitellään pljon monikulmioit sekä muutmi tärkeimpiä esimerkkejä monikulmioiin liittyvistä leist. Näistä leist edottomsti tärkein ti inkin kuskntoisin on Pytgorn luse.

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,

Lisätiedot

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin Hnn Hlinen Mtemtiikn pro grdu Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kesä 4 Tiivistelmä: Hnn Hlinen, Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 25 Kierros 3, 26. 3. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. "Perinteisempi" tulkinta: 1D 3/19/13

Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Perinteisempi tulkinta: 1D 3/19/13 Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Otetn funk:o f(,), jok riippuu muudujist j. Jokiselle, tson pisteellä funk:oll on siis joku rvo. Tpillisiä fsiklis- kemillisi esimerkkejä voisivt oll esimerkiksi mss:hes

Lisätiedot

Integroimistekniikkaa 1/5 Sisältö ESITIEDOT: integraalifunktio, määrätty integraali, derivointisäännöt Hakemisto

Integroimistekniikkaa 1/5 Sisältö ESITIEDOT: integraalifunktio, määrätty integraali, derivointisäännöt Hakemisto Integroimistekniikk /5 Sisältö Sijoitsmenettely Annetn fnktion integrlifnktiot lskettess fnktiot pyritään mntmn siten, että tlos voidn tnnist jonkin lkeisfnktion derivtksi. Usein mntminen jodtn tekemään

Lisätiedot

6 Kertausosa. 6 Kertausosa

6 Kertausosa. 6 Kertausosa Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)

Lisätiedot

Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa

Yläkoulun geometriaa. Yläkoulun geometriaa Yläkoulun geometri Tämä tehtäväkokoelm nt yläkoulun oppillle mhdollisuuden syventää kouluss opittv geometrin oppimäärää. Se on erityisen hyödyllinen niille, jotk ikovt lukioss vlit pitkän mtemtiikn. Kokoelmn

Lisätiedot

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää Solmu 3/2008 Mtemtiikkolympiliset 2008 kuusi vike tehtävää Mtti Lehtinen Mnpuolustuskorkekoulu 49. Knsinväliset mtemtiikkolympiliset pidettiin Mdridiss 4. 22. heinäkuut 2008. Kilpilijoit oli 535 j he edustivt

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä matematiikka 7.2.2012

PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä matematiikka 7.2.2012 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä mtemtiikk 7 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä on usempi kohti

Lisätiedot

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S 3.3. Aritmeettie summ 3.3. Aritmeettie summ Mikä olisi helpoi tp lske 0 esimmäistä luoollist luku yhtee? Olisiko r voim käyttö 0 + + + 3 + + 00 hyvä jtus? Tekiik vull se iki toimii. Fiksumpiki tp kuiteki

Lisätiedot

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95 9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:

Lisätiedot

Gillespie A.: Foundations of Economics., 2011, luvut 6-8, 17, 21 ja 29. ISBN 978-0-19-958654-7. Oxford University Press.

Gillespie A.: Foundations of Economics., 2011, luvut 6-8, 17, 21 ja 29. ISBN 978-0-19-958654-7. Oxford University Press. Vltiotieteellinen tiedekunt Tloustieteen vlintkoe Arvosteluperusteet Kesä 0 Vlintkoekirjt Gillespie A.: Foundtions of Economics., 0, luvut 6-8, 7, j 9. ISBN 978-0-9-958654-7. Oxford University Press. sekä

Lisätiedot

3 Mallipohjainen testaus ja samoilutestaus

3 Mallipohjainen testaus ja samoilutestaus Tietojenkäsittelytiede 24 Joulukuu 2005 sivut 8 21 Toimittj: Jorm Trhio c kirjoittj(t) Historiljennus mllipohjisess testuksess Timo Kellomäki Tmpereen teknillinen yliopisto Ohjelmistotekniikn litos 1 Johdnto

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

Geometrinen algebra: kun vektorien maailma ei riitä

Geometrinen algebra: kun vektorien maailma ei riitä Geometrinen lgebr: kun vektorien milm ei riitä Risto A. Pju 4. huhtikuut 2003 Tiivistelmä Geometrinen lgebr on viime vuosin ksvttnut suosiotn luonnontieteiden mtemttisen menetelmänä. Sen juuret ovt vektori-

Lisätiedot

Laudatur. Lukion pitkän matematiikan kertausta ylioppilastehtävien avulla Otava

Laudatur. Lukion pitkän matematiikan kertausta ylioppilastehtävien avulla Otava Ludtur Lukio pitkä mtemtiik kertust ylioppilstehtävie vull Otv Ylioppilstehtävät vuositti Mtemtiik koe 6.. Pitkä oppimäärä Perustitoj. Sieveä lusekkeet ), b) y y + y y. Geometri. Tssivuise kolmio ympäri

Lisätiedot

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään. S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn

Lisätiedot

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1 VEKTORILASKENTA Timo Mäkelä SISÄLTÖ: VEKTORIN KÄSITE VEKTOREIDEN ERUSLASKUTOIMITUKSET VEKTOREIDEN YHTEENLASKU VEKTOREIDEN VÄHENNYSLASKU 4 VEKTORIN KERTOMINEN LUVULLA6 4 VEKTORILAUSEKKEIDEN KÄSITTELY7 TASON

Lisätiedot

Kuva 1. n i n v. (2 p.) b) Laske avaimiesi etäisyys x altaan seinämästä. (4 p.) c) Kuinka paljon lunta voi sulaa enintään Lassen suksien alla?

Kuva 1. n i n v. (2 p.) b) Laske avaimiesi etäisyys x altaan seinämästä. (4 p.) c) Kuinka paljon lunta voi sulaa enintään Lassen suksien alla? TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY j VY insinööriosstojen vlintkuulustelujen fysiikn koe 26.5.2004 Merkitse jokiseen koepperiin nimesi, hkijnumerosi j tehtäväsrjn kirjin. Lske jokinen tehtävä siististi omlle sivulleen.

Lisätiedot

http://www.math.helsinki.fi/solmu/

http://www.math.helsinki.fi/solmu/ 1/2000 2001 http://www.mth.helsinki.fi/solmu/ Solmu Solmu Solmu 1/2000 2001 Mtemtiikn litos PL 4 (Yliopistonktu 5) 00014 Helsingin yliopisto http://www.mth.helsinki.fi/solmu/ Päätoimittj Pekk Alestlo Toimitussihteerit

Lisätiedot

Kirjallinen teoriakoe

Kirjallinen teoriakoe 11 Kirjllinen teorikoe Päivämäärä: Osllistujn nimi: Kirjllinen teorikoe Arviointi koostuu khdest osst: "yleiset kysymykset "j lskutehtävät" Kokeen hyväksytty rj on 51% molemmist osioist erikseen. St 1

Lisätiedot

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus. KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA

AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA John Kopr Pro grdu -tutkielm Huhtikuu 015 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO TURUN YLIOPISTO Mtemtiikn j tilstotieteen litos KOPRA, JOHAN: Automttien synkronistiost

Lisätiedot

Tutkimusasetelmien tilastollisista menetelmistä

Tutkimusasetelmien tilastollisista menetelmistä Tutkimussetelmien tilstollisist menetelmistä Jnne Pitkäniemi VTM, MS (iometry HY, Knsnterveystieteen litos 1 Kohorttitutkimuksen siruen j ltisteen välinen ssositio Tpusverrokki tutkimus Poikkileikkustutkimus

Lisätiedot

7303045 Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen

7303045 Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen 7303045 Lj mtemtii 2 Kevät 2005 Risto Silveoie. Luusrjt Kos srjt ovt summie jooj, ertmme esi jooje teori. Joot Joo o mtemtii iei perustvimpi äsitteitä j se vull ohdt äärettömyys esimmäistä ert. Luulueit

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a)

Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a) Kertusos Kertusos ). ) : j 7 0 7 ) 0 :( ) c) :( ). Merkitää merirosvorht (kg) sukltrffelit (kg) ) 7, 0 hit: /kg hit: 7 /kg ) 00 g 0,kg 7 0,,0,,0, 0, (kg) :. ) Vstus: ) 7, 0 ( ) ) 00 g. ) 0 7 9 7 0 0 Kertusos

Lisätiedot

AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 3: Potensseja ja polynomeja

AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 3: Potensseja ja polynomeja Mrik Toivol j Tiin Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA lk. Osio : Potenssej j polynomej Sisältö on lisensoitu voimell CC BY.0 -lisenssillä. Osio : Potenssej j polynomej. Smnkntisten potenssien tulo.... Smnkntisten

Lisätiedot

Luentoesimerkki: Riemannin integraali

Luentoesimerkki: Riemannin integraali Luentoesimerkki: Riemannin integraali Heikki Apiola, "New perpectives "-esitykseen lievästi muokattu Kurssi: Informaatioverkostot, keväällä Tässä (4..) käytetään "worksheet-modea", uudempaa "document mode"

Lisätiedot

3.7. Rekursiivisista lukujonoista

3.7. Rekursiivisista lukujonoista .7 Rekursiivisist lukujooist.7. Rekursiivisist lukujooist Kerrt vielä, että lukujoo void määritellä khdell eri tvll, joko käyttämällä lyyttistä säätöä ti rekursiivist säätöä. Joo määrittelemie rekursiivisesti

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa. Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä

Lisätiedot

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali:

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali: BMA57 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus, viikko 46/5 Fourier-integraali: f(x) A() π B() π [A() cos x + B() sin x]d, () Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: f(t) cos tdt, () f(t) sin tdt. (3) F {f(t)} ˆf()

Lisätiedot

2. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 2.1. Visuaalinen havaitseminen

2. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 2.1. Visuaalinen havaitseminen 2. Digitlisten kuvien peruskäsitteet 2.1. Visulinen hvitseminen Tässä luvuss käsitellään digitlisten kuvien perussioist, in kuvien näkemisestä pikseleihin j trvittviin lskentmenetelmiin sti. Vikk kuvnprosessointi

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Euroopan neuvoston puiteyleissopimus kulttuuriperinnön yhteiskunnallisesta merkityksestä

Euroopan neuvoston puiteyleissopimus kulttuuriperinnön yhteiskunnallisesta merkityksestä Sopimustekstin käännös 30.03.2015 (epävirllinen) Counil of Europe Trety Series - No. 199 Euroopn neuvoston puiteyleissopimus kulttuuriperinnön yhteiskunnllisest merkityksestä Fro, 27.10.2005 Johnto Euroopn

Lisätiedot

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun. Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman

Lisätiedot

6.2 Algoritmin määritelmä

6.2 Algoritmin määritelmä 6.2 Algoritmin määritelmä Mitä lgoritmill yleensä trkoitetn? Peritteess: Yksiselitteisesti kuvttu jono (tietojenkäsittely)opertioit, jotk voidn toteutt meknisesti. Käytännössä: luonnollist kieltä, pseudokoodi

Lisätiedot

Vuokrahuoneistojen välitystä tukeva tietojärjestelmä.

Vuokrahuoneistojen välitystä tukeva tietojärjestelmä. Kertusesimerkki: Vuokrhuoneistojen välitystä tukev tietojärjestelmä. Esimerkin trkoituksen on on hvinnollist mllinnustekniikoiden käyttöä j suunnitteluprosessin etenemistä tietojärjestelmän kehityksessä.

Lisätiedot

Laskennan perusmallit (LAP)

Laskennan perusmallit (LAP) Lskennn perusmllit (LAP) Kimmo Fredrikssonin j Mtti Nykäsen luentomonisteest krsien muoknnut Pekk Kilpeläinen Tietojenkäsittelytieteen litos, Itä-Suomen yliopisto sähköposti: pekk.t.kilpelinen@uef.fi Lukuvuoden

Lisätiedot

Suorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat

Suorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat Suorkideknvt lind suorkideknvt lind suorkideknvt Sisällysluettelo Suorkideknvt Knv LKR... Liitosost Liitoslist LS... Liitoslist LS-... Kulmyhde LBR... Liitoslist LS... S-mutk LBXR... LBSR... Liitoslist

Lisätiedot

4.7.2 Testerit. Test ok. virhe vast.ota. lähetä τ. virhe. virhe. vast.ota. τ τ. vast.ota. lähetä. lähetä. lähetä ok

4.7.2 Testerit. Test ok. virhe vast.ota. lähetä τ. virhe. virhe. vast.ota. τ τ. vast.ota. lähetä. lähetä. lähetä ok OHJ-2600 Tilkoneet 204 6. Tämän tehtävän tvoite on kuvn LTS:ää vstesimerkkinä käyttäen osoitt, että nnetun LTS:n knss minimlinen CFFD-smnlinen LTS ei in ole yksikäsitteinen. P Q AG(P) = AG(Q) f, {{}} f,

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

Runkovesijohtoputket

Runkovesijohtoputket Runkovesijohtoputket PUTKET JA PUTKEN OSAT SSAB:n vlmistmi pinnoitettuj putki j putken osi käytetään lähinnä runkovesijohtolinjoihin, joiden hlkisij on DN 400-1200. Ost vlmistetn teräksisistä pineputkist

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

Kattoeristeet - nyt entistä parempia kokonaisratkaisuja. Entistä suurempi Kuormituskestävyys ja Jatkuva Keymark- Laadunvalvontajärjestelmä

Kattoeristeet - nyt entistä parempia kokonaisratkaisuja. Entistä suurempi Kuormituskestävyys ja Jatkuva Keymark- Laadunvalvontajärjestelmä Kttoeristeet - nyt entistä prempi kokonisrtkisuj Entistä suurempi Kuormituskestävyys j Jtkuv Keymrk- Lunvlvontjärjestelmä Rockwool-ekolvll kttoeristeet seisovt omill jloilln Ekolvoj käytettäessä työ on

Lisätiedot

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen?

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen? YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 3.3.0 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. Verrattuna lähtöarvoon kurssi oli laskenut. Kalliimman tukkuhinta 1,2 480 = 576 Kalliimman myyntihinta 1,3

Kertausosa. Kertausosa. Verrattuna lähtöarvoon kurssi oli laskenut. Kalliimman tukkuhinta 1,2 480 = 576 Kalliimman myyntihinta 1,3 Kertusos. ) Edullisemm hit 480, = 64 Klliimm tukkuhit, 480 = 576 Klliimm myytihit, 576 = 748,80 b) 748,80 64 = 0,666... = 6,66% 7% 748,80. Liittymä puhelimell mks khde vuode ik 4 8,50 = 684. Liittymä ilm

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Numeerinen integrointi Analyyttisesti derivointi triviaalia, integrointi vaikeaa. Numeerisesti laskettaessa tilanne on päinvastainen. Integrointi on yhteenlaskua, joka on tasoittava operaatio: lähtötietojen

Lisätiedot