Analyyttinen lukuteoria

Transkriptio

1 Anlyyttinen lukuteori Johdnto Kuten yltä näkyy, tämän luentomonisteen kttm luentosrj on nimeltään Anlyyttinen lukuteori, vikkkin opintorekisteribyrokrttisist syistä opintojkso knt nimeä Lukuteori 3. Näin siksi, että tällä kurssill rtkotn lukuteoreettisi ongelmi nimenomn nlyyttisin keinoin, ts. käyttäen relij erityisesti kompleksinlyysin trjomi menetelmiä. Vikkkin luseiden todistukset ovt vrsin nlyyttispinotteisi, on kuitenkin syytä pitää mielessä, että päätvoite on lukuteoreettisten ongelmien käsittelyssä; nlyysi on tässä (vin) menetelmän semss. Kurssin tvoitteet voidn ilmist kolmiosisesti: ) Todistetn lkulukuluse. ) Todistetn Dirichlet n luse. 3) Trkstelln Riemnnin ζ-funktion nollkohtien sijinti j erityisesti näiden yhteyttä lkulukuluseen virhetermiin. log, j tämä to- Kohdss ) minittu lkulukuluse väittää, että π() distetn khdell oleellisesti erilisell tvll. Ensimmäinen todistus käyttää hyväkseen kompleksinlyysiä j Wiener-Ikehrn lusett. Vrsininen todistus on lkuvlmistelujen jälkeen melko helppo se esitetään luvuss 7. Sen sijn nuo lkuvlmistelut (erityisesti Wiener-Ikehrn luseen todistus) ovt pljon vikempi. Ne esitetään luvuiss 5. j 6. Toinen (ns. lkeellinen ) todistus lkulukuluseelle on sinällään pljon vikempi kuin ensimmäinen, mutt trvittvt lkuvlmistelut ovt helpompi, erityisesti kompleksinlyysiä ei trvit eikä käytetä. Tämä toinen todistus esitetään luvuss. j sitä vrten trvittv Selbergin epäyhtälö luvuss. Kyseinen toinen todistus on myös kronologisess mielessä toinen: ensimmäisen kerrn lkulukuluse todistettiin vuonn 896 (Hdmrd j de l Vllée-Poussin) kompleksinlyysiä käyttäen. Vuonn 949 Selberg esitti ensimmäisen lkeellisen todistuksen tälle luseelle. Tässä tekstissä esitettävä todistus on lähtökohtisesti nimenomn Selbergiltä, mutt Jyväskylän yliopiston edesmennyt professori Veikko Nevnlinn on tehnyt siihen metodologisi prnnuksi väitöskirjssn vuonn 964. Edellä kohdss ) puhutn Dirichlet n luseest. Se väittää, että jos k i

2 j syt(m,k) =, niin kongruenssiluokss [m] k Z k on äärettömän mont lkuluku. Tämä (j itse siss vähän vhvempikin tulos) todistetn ivn luentomonisteen lopuss luvuss 5. Dirichlet n srjojen j ryhmäteorin vull. Luvuss 4. esitellään Dirichlet n srjt ne ovt kompleksisi funktiosrjoj vähän smn tpn kuin potenssisrjt. Riemnnin ζ-funktio on määritelty kurssill Lukuteori relisell välillä ], [ settmll ζ(s) = n N n kikille s >. Tämä määritelmä ljennetn steittin niin, että ζ-funktio tulee (kompleksirvoisen) määritellyksi koko t- s soss C nlyyttisenä funktion pois lukien pisteen, joss tällä ljennetull ζ-funktioll on np. Tämä ljennus tehdään luvuiss 5. j 8. Tämän jälkeen luvuss 8. ihmetellään sitä, että missäpäin tso ζ-funktion nollkohdt sijitsevt. Huomtn myös (luvut 8. j.) hämmästyttävä yhteys näiden nollkohtien sijinnin j lkulukuluseen virhetermin välillä. Luvuss 8. otetn esiin myös kuuluis Riemnnin hypoteesi, jok väittää, että kikki ζ-funktion epätrivilit nollkohdt ovt suorll {z C Re(z) = }. Riemnnin hypoteesi on nimensä mukisesti todellkin hypoteesi, eikä sen pikknspitävyydestä ole tätä kirjoitettess (joulupäivänä 4) tieto. Edellä on lyhyesti kuvttu kurssin päämääriä. Luennot lkvt kuitenkin kolmell välineellisellä luvull. Luvuss. käsitellään Stieltjes-integrli, luvuss. esitetään joitkin trvittvi tuloksi Riemnn-integrlille j luvuss 3. on suppe esitys Fourier-srjoist. Tämä Fourier-osuus on typistetty niin pieneen kuin mhdollist, jott juuri j juuri sdn myöhemmin trvittv Poissonin summkv esitettyä. Lisäksi lsketn Fourier-srjojen vull ζ-funktion trkk rvo pisteessä, mutt tämän sisi kyllä vähän helpomminkin, kuten demotehtävissä tultneen näkemään. Luvuss 4. esitetään kertuksenomisesti kurssill Lukuteori todistettuj trvittvi tuloksi j todistetn muutm uusikin (lähinnä lkeislukuteoreettinen) tulos. Luvuss 9. todistetn (tässä putuloksen toimiv) Stirlingin kv, jok nt moness pikss toimivn pproksimtion kertomfunktiolle. Luku 3. on myös putulosluku. Se on ino näistä, joss mennään lgebrn mielenkiintoisille poluille. Kyseisessä luvuss todistetn äärellisten Abelin ryhmien struktuuriluse, määritellään tällisen ryhmän krkterit j todistetn niitä koskev knoninen tulos. Kurssill (ludtur-tsost kun on kyse) trvitn esitietoj. Oletetn tunnetuksi seurvien kurssien sisällöt: - Lukuteori - Algebr ii

3 - Anlyysi, j 3 - Kompleksinlyysi. Mittteorin j Funktionlinlyysiinkin vähän viittn, mutt näitä ei vrsinisesti trvit. Tekstissä esiintyy neljä ti viisi eri lähdettä, joihin viittn eksplisiittisesti. Ensimmäinen on kotisivuiltni löytyvä Lukuteori :n luentomoniste, johon viittn tyyliin [Lt,.], mikä trkoitt tietysti kyseisen monisteen lusett.. Toinen lähde on niin ikään kotisivuiltni löytyvä kompleksinlyysin luentomoniste j siihen liittyvät hrjoitustehtävät rtkisuineen. Näihin viittn tyyliin [C,.] ti [C, teht..]. Vrsinisi kirjllisuusviitteitä on kksi: Apostol, Mthemticl nlysis ([A,.]) j Edwrds, Riemnn s ζ-function ([E,.]). Näistä lähde [A] on käytössä lähinnä luvuss, joss kyseinen lähde voidn korvt mittteorin tiedoill j vice vers. Lähteeseen [E] viittn luvuss 8; kohdt joiss tätä viittust käytetään, jätetään tällä kurssill todistmtt todistus löytyy sitten [E]:stä. Näitä tuloksi ei tällä kurssill (vrsinisesti) käytetä, joten mitään ukko ei näiden todistusten puuttuminen iheut. Hlukkt j kiinnostuneet konsultoikoot [E]:tä, jos hluvt tietää, miten jotkut vähän hnklmmt luseet todistetn. Merkinnöistä sen verrn, että Riemnn-integrlille on käytössä tuttu merkintä f(t)dt. Tämä sm merkintä on tvn mukn käytössä myös epäoleellisille integrleille; tällöin voi oll myös = ti b =. Tekstissä esiintyvät erikoismerkinnät f = O(g), f = o(g), f g j f g määritellään näin: f = O(g), jos suurille R + pätee f() C g() jollekin vkiolle C, f() f = o(g), jos lim g() =, f() f g, jos lim g() = j f g, jos f = O(g) j g = O(f). iii

4 Sisältö Stieltjes-integrli Välirvo- j konvergenssiluseit 35 3 Fourier-nlyysiä 4 4 Määritelmiä j tuloksi lkeislukuteorist 7 5 Riemnnin ζ-funktio meromorfisen funktion koko tsoss 83 6 Wiener-Ikehrn luse 6 7 Alkulukuluseen ensimmäinen todistus 5 8 Alkulukuluseen trkennus, ζ-funktion nollkohtien sijinti j Riemnnin hypoteesi 6 9 Stirlingin kv 43 Lisää ζ-funktion nollkohdist 65 Selbergin yhtälö j epäyhtälö 9 Alkulukuluseen lkeellinen todistus 7 3 Äärellistä ryhmäteori 6 4 Dirichlet n srjt 56 5 Dirichlet n luse 67 iv

5 Hkemisto ( G, ), 4 A(J,f,g),Y (J,f,g), 9 G(p), 9 L(z,χ), 68 S J (t,...,t n,f,g), S ϕ, 54 V f (,b), 9 Γ, Λ, 7 Li, 7 fdg, 3 fdg,+, 4 S(g), µ, 7 fdg, fdg, + fdg, 6 fdg, π, 7 ψ, 7 θ, 7 ϕ, 7 ϑ, 7 ξ, ζ-funktio, 6, 86, 94, 5 f( + ),f( ), f = O(g), iii f = o(g), iii f g, iii f g, iii m i (J,f),M i (J,f), 9 p-ryhmä, 5 lintegrli, Bonnet n välirvoluse, 38 Dirichlet n L-funktio, 68 Dirichlet n luse, 8 Dirichlet n srj, 56 ehdollisen suppenemisen vyö, 6 Eulerin funktio, 7 Eulerin luse, 73 Eulerin perite, 7 Eulerin vkio, 78 Fourier-kertoimet, 47 Fourier-srj, 47 Fubinin luse, 4 itseisen suppenemisen bskiss, 6 knoninen hjoitelm, 38 krkteri, 39 yleistetty, 55 kokonisheilhtelu, 9 kriittinen suor, 6 Lndun luse, 64 Möbiuksen funktio, 7 Möbiuksen käänteiskv, 7 Mertensin kv, 9 multipliktiivinen, 7 muuttujnvihto, 7 ortogonlireltiot, 54 osittisintegrointi, 6 Poissonin summkv, 67 Pontrjginin duliteetti, 5 rjoitetusti heilhtelev, 9 Riemnn-Lebesguen lemm, 53 Riemnn-von Mngoldtin luse, 77 Riemnnin hypoteesi, 6 Selbergin epäyhtälö, 97 Selbergin yhtälö, 93 stndrdilogritmi, 83 Stieltjes-integrli, Stieltjes-integroituv, Stirlingin kv, 55, 64, 65 struktuuriluse, 38 suor summ, 8 suppemisbskiss, 6 suppenemispuolitso, 6 Tšhebyšhevin funktio, 7 v

6 Tšhebyšhevin luse, 74 tyyppi, ryhmän, 34 von Mngoldtin funktio, 7 von Mngoldtin kv, 34 yläintegrli, vi

7 Stieltjes-integrli Kuten tunnettu, suljetull j rjoitetull välillä [, b] R määritellyn relirvoisen rjoitetun funktion f Riemnn-integrli määritellään Riemnnin summien vull. Vlitn ensin välin [,b] jko = < <... < n = b sekä kultkin osväliltä [ i, i ] jokin piste t i [ i, i ] j snotn, että n f(t i )( i i ) i= on tähän osväliin (j vlittuihin pisteisiin t i ) liittyvä Riemnnin summ. Jos näiden summien rvo lähestyy jotkin tiettyä luku I, kun osvälijko tihennetään, snotn, että f on Riemnn-integroituv välillä [,b], I on Riemnnintegrlin rvo j merkitään f(t)dt = I. Täsmällisemmin snottun vditn, että kikille ǫ > on olemss δ > siten, että n f(t i )( i i ) I < ǫ in kun i= m{ i i i =,...,n} < δ j t i [ i, i ] kikille i =,...,n. Välttämätön j riittävä ehto funktion Riemnn-integroituvuudelle on seurv: Luse. Rjoitettu funktio f : [,b] R on Riemnn-integroituv jos j vin jos f on jtkuv melkein kikkill. Todistus. Hrjoitustehtävä. Tässä käsite melkein kikkill trkoitt sitä, että f:n epäjtkuvuuspisteiden joukko E on nollmittinen eli E voidn peittää numeroituvll määrällä voimi välejä, joiden pituuksien summ on mielivltisen pieni. Riemnn-integrlin yleistys on Stieltjes-integrli, jonk määritelmä on seurvss. Määritellään kuitenkin ensin jkoihin liittyviä käsitteitä. Määritelmä. Snotn, että äärellinen jono J = ( i ) n i= on välin [,b] jko, jos =, n = b j i i kikille i =,...,n. Sen normi on J = m{ i i i =,...,n}. Jos J j J ovt välin [,b] jkoj, snotn, että J on tiheämpi kuin J, jos J sisältää kikki jon J jkopisteet. Jkojen J j J yhdiste, jot merkitään symbolill J J muodostetn luonnollisell tvll käyttämällä kikki näissä joiss esiintyvät pisteet j järjestämällä ne suuruusjärjestykseen. On selvää, että J J on tiheämpi kuin J ti J.

8 Kirjllisuudess esitetään usein Stieltjes-integrlin määritelmä huomutuksess.3 esitettävällä tvll. Tämä määritelmä ei kuitenkn ole sopiv tälle kurssille, vn trvitn vistuksen toisenlinen määritelmä, jok nnetn kohdss.5. Huomutus.3 (Vihtoehtoinen määritelmä) Olkoot f j g suljetull j rjoitetull välillä [, b] R määriteltyjä rjoitettuj relirvoisi funktioit. Olkoon J = ( i ) n i= välin [,b] jko. Vlitn pisteet t i [ i, i ] kikille i =,...,n j merkitään S J (t,...,t n,f,g) = n f(t i )(g( i ) g( i )). i= Snotn, että S J (t,...,t n,f,g) on jkoon J liittyvä Stieltjes-summ. Jos pisteiden t i vlinnoist riippumton relinen rj-rvo I = lim J S J(t,...,t n,f,g) on olemss, niin snotn, että f on Stieltjes-integroituv g:n suhteen välillä [,b] j että I on kyseisen Stieltjes-integrlin rvo sekä merkitään f(t)dg(t) = I. Huomutus.4 Jos g(t) = t, niin huomutuksen.3 mukisell määritelmällä f(t)dg(t) = f(t)dt, missä oikell on tvllinen Riemnn-integrli. Tämä näkyy suorn määritelmistä. Nyt sitten esitetään oike määritelmä Stieltjes-integrlille. Määritelmä.5 Olkoot f j g suljetull j rjoitetull välillä [, b] R määriteltyjä rjoitettuj relirvoisi funktioit. Olkoon J välin [,b] jko. Vlitn pisteet t i [ i, i ] kikille i =,...,n j merkitään S J (t,...,t n,f,g) = n f(t i )(g( i ) g( i )). i= Snotn, että f on Stieltjes-integroituv g:n suhteen välillä [, b], merkitään f S(g), jos on olemss I R siten, että kikille ǫ > on olemss välin [,b] jko J ǫ siten, että jokiselle jko J ǫ tiheämmälle jolle J pätee S J (t,...,t n,f,g) I < ǫ kikille vlinnoille t i [ i, i ].

9 Tällöin merkitään lisäksi I = f(t)dg(t) = fdg. Huomutus.6 Jos g(t) = t, niin inkin merkinnällisesti f(t)dg(t) = b f(t)dt näyttää tvlliselt Riemnn-integrlilt. Tässä on nyt kuitenkin pieni pulm, kosk Riemnn-integrli määritellään yleensä huomutuksen.3 t- voin, kun ts meillä on käytössä määritelmä.5. Tämä pulm kuitenkin häviää, kun huomtn (hrjoitustehtävä), että tpuksess g(t) = t nämä määritelmät ovt yhteneviä. Tämä siis siitä huolimtt, mitä huomutuksess. j esimerkissä. snotn. Vert myös huomutukseen.4. Huomutus.7 Herää luonnollinen kysymys: Milloin f on g:n suhteen Stieltjes-integroituv? Riemnn-integrlille vstus on luseess. j se on intuitiivisesti selvä: f on Riemnn-integroituv, jos se on riittävän siisti. Tämä intuitio ei toimi Stieltjes-integrlille. Trkstelln esimerkiksi tilnnett, joss f j g ovt porrsfunktioit, joiss on vin yksi porrs (siis hyvin siistejä); tässä määritellään f,g : [,] R { kun t f(t) = g(t) = kun < t. Tällöin f ei ole Stieltjes-integroituv g:n suhteen välillä [, ]. Jätetään tämän trkk todistus opettviseksi hrjoitustehtäväksi. Yleisesti voi sno, että f:n j g:n mhdolliset yhteiset epäjtkuvuuskohdt iheuttvt usein ongelmi Stieltjes-integroituvuudess. Jtkoss esitetään riittäviä ehtoj tälle integroituvuudelle. Ensin kuitenkin pri esimerkkiä. Esimerkki.8 ) Jos g on vkio, niin määritelmässä.5 olevt erotukset g( i ) g( i ) ovt kikki nolli, joten S J (t,...,t n,f,g) = kikille J. Siten f S(g) j integrli on in noll, olip f mikä thns rjoitettu funktio. b) Avistuksen vähemmän trivili esimerkki sdn, kun trkstelln porrsfunktiot g : [,] R, { kun t < g(t) = kun t. Olkoon ensin f vkio, f, jolloin lskettvn on integrli dg(t). Kosk g on vkio osväleillä [,[ j [,], voidn S J :n määritelmästä unoht (vrt. )-koht) kikki ne osvälit [ i, i ], joiss i, i [,[ ti i, i 3

10 [,]. Silloin jäljelle jää vin yksi osväli, jolle pätee i < i j S J :n summn jää vin yksi termi, jok on S J (t,...,t n,f,g) = (g( i ) g( i )) = =. Tämä siis kikille joille, joten määritelmän.5 I on tämä luku. Siten f S(g) j fdg =. c) Trkstelln edelleen sm funktiot g j olkoon f : [,] R mielivltinen jtkuv funktio. Tässä viheess ei ole tieto integroituvuudest, mutt lähdetään rohkein mielin lskemn summ S J. Tässä käy smoin kuin b)- kohdss eli summn jää vin yksi termi, jok tällä kert on S J (t,...,t n,f,g) = f(t i )(g( i ) g( i )) = f(t i )( ) = f(t i ), missä t i [ i, ] j i < i. Kun jko tihennetään, niin i i, jolloin ehtojen i < i j i t i i nojll käy niin, että t i. Silloin f:n jtkuvuuden nojll f(t i ) f(). Siten S J (t,...,t n,f,g) f() kosk g( i ) g( i ) = jost riippumtt. Näin integroituvuus on todistettu j integrlin rvo on Esimerkki.8 b) yleistyy: fdg = f(). Luse.9 Vkiofunktio f C on Stieltjes-integroituv minkä thns rjoitetun funktion g : [, b] R suhteen j pätee Cdg = C(g(b) g()). Todistus. Tämä seur siitä, että mille thns jolle J pätee n S J (t,...,t n,f,g) = C(g( i ) g( i )) = C(g(b) g()). j= Huomutus. Jos f on Stieltjes-integroituv g:n suhteen vihtoehtoisen määritelmän.3 mielessä, niin f S(g) vrsinisen määritelmän.5 mielessä. Tämän näkee suorn näitä määritelmiä vertilemll. Kyseinen hvinto merkitsee sitä, että vrsininen määritelmä on lvempi kuin huomutuksen.3 määritelmä. Tämä lvemmuus on ito, kuten seurv esimerkki osoitt. Tämä hvinto nousee yllättävän tärkeään rooliin jtkoss. Esimerkki. Olkoot f,g : [,] R, { kun f() = j g() = kun < { kun < kun. Tällöin f S(g) määritelmän.5 mielessä, mutt f ei ole Stieltjes-integroituv g:n suhteen huomutuksen.3 mielessä. Jätetään todistukset hyvin opettviseksi hrjoitustehtäväksi. Mitä on fdg? Vert esimerkkiin.8 b). 4

11 Huomutus. Jtkoss trvitn usein Stieltjes-integrli sellisist funktiost, jotk on määritelty relikselin välillä, mutt joiden rvot ovt kompleksilukuj. Tällisten funktioiden Stieltjes-integrlit j -integroituvuus määritellään kuten Riemnn-integrlin tpuksess eli trkstelln erikseen reli- j imginriosi. Jätetään trkn määritelmän kirjoittminen hrjoitustehtäväksi. Tämän määritelmän voi hoit myös niin, että sllii määritelmässä.5 sekä f:n että g:n oll kompleksirvoisi. Jätetään toiseksi hrjoitustehtäväksi osoitt, että nämä kksi eri määritelmää johtvt smn lopputulokseen. Seurvt luseet kertovt Stieltjes-integrlin linerisuuden kummnkin funktion suhteen. Luse.3 Olkoot f j g Stieltjes-integroituvi h:n suhteen välillä [, b] sekä α,β R. Tällöin myös αf + βg S(h) j (αf(t) + βg(t))dh(t) = α Todistus. Hrjoitustehtävä. f(t)dh(t) + β g(t)dh(t). Luse.4 Olkoon h Stieltjes-integroituv f:n j g:n suhteen välillä [, b] sekä α,β R. Tällöin h S(αf + βg) j hd(αf + βg) = α hdf + β hdg. Todistus. Tämä on hyvin smnkltinen kuin luseen.3 todistus j jätetään hrjoitustehtäväksi. Luse.5 Olkoon < c < b j f Stieltjes-integroituv g:n suhteen väleillä [,c] sekä [c,b]. Tällöin f on Stieltjes-integroituv g:n suhteen välillä [,b] j Todistus. Hrjoitustehtävä. fdg = c fdg + c fdg. Huomutus.6 Luseest.5 trvitn jtkoss myös seurvnlist versiot. Jos f on Stieltjes-integroituv g:n suhteen väleillä [, c] sekä [, b], niin f on Stieltjes-integroituv g:n suhteen myös välillä [c, b] j luseen.5 yhtälö pätee. Vstvsti myös, jos f on Stieltjes-integroituv g:n suhteen väleillä [c, b] sekä [, b], niin f on Stieltjes-integroituv g:n suhteen myös välillä [, c] j luseen.5 yhtälö pätee. Jätetään näidenkin todistus hrjoitustehtäväksi, jok on hyvin smnkltinen kuin luseen.5 todistus. Seurv osittisintegrointiluse osoittutuu jtkoss rtkisevn tärkeäksi. Otetn käyttöön Riemnn-integrleille tuttu sijoitusmerkintä: / b f(t) := f(b) f(). 5

12 Riemnn-integrleille tuttu osittisintegrointiluse snoo, että jos F = f j G = g, niin / Gf = FG Fg. Luse.7 on tämän yleistys. Lisäksi luseess.7 pljstetn tärkeä symmetriominisuus: f S(g) g S(f). Luse.7 (Osittisintegrointi) Olkoon f Sieltjes-integroituv g:n suhteen välillä [, b]. Tällöin g S(f) j pätee gdf = / b f(t)g(t) fdg. Todistus. Olkoon ǫ > mielivltinen. Oletuksen nojll on olemss välin [, b] jko J ǫ siten, että jokiselle jko J ǫ tiheämmälle jolle J pätee S J(t,...,t n,f,g) fdg < ǫ. () Riittää osoitt, että jokiselle tätä jko J ǫ tiheämmälle jolle J pätee / b S J(t,...,t n,g,f) f(t)g(t) + fdg < ǫ. () Olkoon J = ( i ) n i= tällinen tiheämpi jko. Stieltjes-summlle S J(t,...,t n,g,f) sdn esitys Toislt / b / b S J (t,...,t n,g,f) = n g(t i )f( i ) i= n g(t i )(f( i ) f( i )) = i= n g(t i )f( i ). (3) i= f(t)g(t) voidn esittää muodoss f(t)g(t) = f(b)g(b) f()g() = n f( i )g( i ) i= n f( i )g( i ). (4) Käyttäen jko J j ehdon () välipisteitä t i [ i, i ] voidn muodost jko J = t t... n t n n. i= 6

13 Eräs tätä jko vstv Stieltjes-summ on S J (,,,,,..., n, n, n,f,g) = f( )(g(t ) g( )) + f( )(g( ) g(t ))+ f( )(g(t ) g( )) + f( )(g( ) g(t )) f( n )(g(t n ) g( n )) + f( n )(g( n ) g(t n )) = n n f( i )(g( i ) g(t i )) + f( i )(g(t i ) g( i )). (5) i= i= Jko J on tiheämpi kuin J, joten se on myös tiheämpi kuin J ǫ. Silloin ehdon () j esityksen (5) nojll pätee n n f( i )(g( i ) g(t i )) + f( i )(g(t i ) g( i )) fdg < ǫ. (6) i= i= Vähentämällä esityksestä (4) esitys (3) sdn / b f(t)g(t) S J (t,...,t n,g,f) = n f( i )(g( i ) g(t i )) + i= i= jolloin ehdon (6) nojll / b f(t)g(t) S J (t,...,t n,g,f) n f( i )(g(t i ) g( i )), fdg < ǫ. Väite () seur tästä. Riemnn-integrlille pätee tuttu muuttujnvihtokv (sopivin oletuksin) d c f(h(t))h (t)dt = h(d) h(c) Tämä yleistyy Stieltjes-integrlille seurvsti. f(t)dt. Luse.8 (Muuttujnvihto) Olkoon f Stieltjes-integroituv g:n suhteen välillä [,b] j h ksvv bijektio h : [c,d] [,b]. Silloin f h on Stieltjesintegroituv funktion g h suhteen välillä [c,d] j pätee d c (f h)d(g h) = Jos h on vähenevä bijektio, niin pätee d c (f h)d(g h) = fdg. fdg. 7

14 Todistus. Oletetn ensin, että h on ksvv bijektio, jolloin h(c) = j h(d) = b sekä jokist välin [c,d] jko J = ( i ) n i= vst välin [,b] jko h(j) := (h( i )) n i=. Toislt on olemss idosti ksvv käänteiskuvus h : [,b] [c,d], joten jokist välin [,b] jko J = (y i ) n i= vst välin [c,d] jko h (J ) := (h (y i )) n i=. Olkoon ǫ > mielivltinen. Riittää löytää välin [c,d] jko J ǫ siten, että kikille tätä tiheämmille joille J pätee S J(t,...,t n,f h,g h) fdg < ǫ. () Oletuksen f S(g) nojll on olemss välin [,b] jko J ǫ siten, että kikille tätä tiheämmille joille J pätee S J (t,...,t n,f,g) fdg < ǫ. () Määritellään nyt ehdoss () kivttu välin [c,d] jko J ǫ settmll J ǫ = h (J ǫ). Riittää osoitt, että tätä tiheämmille joille pätee ehto (). Olkoon J = ( i ) n i= tällinen jko. Tällöin ilmeisesti h(j) on tiheämpi kuin J ǫ = h(h (J )) = h(j ǫ ), joten ehdon () nojll S h(j)(t,...,t n,f,g) fdg < ǫ kikille vlinnoille t i. (3) Ehdon () epäyhtälö sdn nyt ikn näin: S J(t,...,t n,f h,g h) fdg = n (f h)(t i )((g h)( i ) (g h)( i )) fdg i= = n f(h(t i ))(g(h( i )) g(h( i ))) fdg i= = S i) h(j)(h(t ),...,h(t n ),f,g) fdg < ǫ, missä epäyhtälö i) seur ehdost (3). Näin väite on todistettu ksvvlle h. Vähenevälle h todistus on nloginen; knntt kuitenkin ktso todistus läpi, jolloin näkyy, mistä merkinvihdos pohjimmiltn johtuu j myös se, missä ksvvuusoletust oikestn käytettiin. 8

15 Jtkoss osoittutuu erittäin tärkeäksi, että tietyin edellytyksin Stieltjes-integrli voidn muunt tvlliseksi Riemnn-integrliksi, jolloin se usein voidn lske ivn konkreettisesti nlyysin kursseill opituill menetelmillä. Tästä kertoo seurv luse. Luse.9 (Yhteys Riemnn-integrliin) Olkoon f välillä [, b] Stieltjesintegroituv g:n suhteen j g jtkuv välillä [, b] sekä jtkuvsti derivoituv voimell välillä ],b[ siten, että derivtt g on rjoitettu. Tällöin fg on Riemnnintegroituv välillä [,b] j pätee fdg = f(t)g (t)dt. Huomutus. Tässä oikell on siis tvllinen Riemnn-integrli. Derivtt g pisteissä j b ei välttämättä ole määritelty, mutt hluttess niille voidn sopi joku rvo, vikkp noll. Luseen. nojll tämä ei vikut rjoitetun funktion fg Riemnn-integroituvuuteen eikä myöskään integrlin rvoon. Todistus. Olkoon ǫ > mielivltinen. Huomutuksen.6 nojll riittää löytää välin [,b] jko J ǫ siten, että kikille tätä tiheämmille joille J pätee S J(t,...,t n,fg,id) fdg < ǫ. () Kosk Stieltjes-integroituvt funktiot ovt lähtökohtisesti rjoitettuj (ks. määritelmä), niin f on rjoitettu, j kosk toislt oletuksen mukn myös g on rjoitettu, niin on olemss M > siten, että f() M j g () M kikille [,b]. () Vlitn pisteet y j z siten, että < y < z < b sekä y < ǫ M j b z < ǫ M. (3) Kosk g on oletuksen mukn jtkuv välillä ],b[, niin se on tsisesti jtkuv suljetull j rjoitetull välillä [y,z]. Silloin on olemss δ > siten, että g () g ( ) < ǫ 6M(z y) kun, [y,z] siten, että < δ. (4) Vlitn välin [y,z] jko J [y,z] siten, että J [y,z] < δ. Määritellään sitten välin [,b] jko J lisäämällä jkoon J [y,z] päätepisteet j b. Merkitään J = (y i ) m i=, jolloin siis y =, y = y, y m = z j y m = b. Kosk oletuksen mukn f S(g), niin on olemss välin [,b] jko J siten, että kikille tätä tiheämmille joille J pätee S J(t,...,t n,f,g) fdg < ǫ. (5) 9

16 Nyt olln vlmiit määrittelemään ehdoss () kivttu jko J ǫ. Asetetn J ǫ := J J. Olkoon J tiheämpi kuin J ǫ ; merkitään J = ( i ) n i=. Pitää osoitt, että rvio () pätee tälle jolle J. Kosk J on tiheämpi kuin J, niin rvio (5) toimii tälle J. Silloin ehdon () rvio seur, jos osoitetn, että S J (t,...,t n,fg,id) S J (t,...,t n,f,g) < ǫ. (6) S J :n määritelmän mukn väite (6) tulee muotoon n n f(t i )g (t i )( i i ) f(t i )(g( i ) g( i )) < ǫ. (7) i= i= Jko J sisältää kikki jon J pisteet, joten erityisesti y = y = k jollekin k j vstvsti z = y m = l jollekin l. Silloin väite (7) seur, jos osoitetn, että k k f(t i )g (t i )( i i ) f(t i )(g( i ) g( i )) < ǫ 6, (8) i= i= l l f(t i )g (t i )( i i ) f(t i )(g( i ) g( i )) < ǫ j (9) 6 i=k+ i=k+ n n f(t i )g (t i )( i i ) f(t i )(g( i ) g( i )) < ǫ 6. () i=l+ i=l+ Todistetn ensin väite (9). Differentililskennn välirvoluseen nojll kikille i =,...,n on olemss ξ i [ i, i ] siten, että g( i ) g( i ) = g (ξ i )( i i ). () Silloin väite (9) tulee muotoon l f(t i )(g (t i ) g (ξ i ))( i i ) < ǫ 6. () i=k+ Kosk jko J on tiheämpi kuin J = {} J [y,z] {b} j J [y,z] < δ, niin t i ξ i i i < δ kikille i = k +,...,l. Tällöin ehdon (4) nojll g (t i ) g (ξ i ) < ǫ 6M(z y) kikille i = k +,...,l. (3)

17 Nyt sdn rvio l f(t i )(g (t i ) g (ξ i ))( i i ) i=k+ l i=k+ f(t i ) g (t i ) g (ξ i ) ( i i ) i) < ǫ M 6M(z y) l i=k+ ǫ ( i i ) = M 6M(z y) (z y) = ǫ 6, joten väite () pätee. Tässä epäyhtälö i) seur ehdoist () j (3). Väitteen (8) todistmiseksi rvioidn näin: k k f(t i )g (t i )( i i ) f(t i )(g( i ) g( i )) i= i= k f(t i )g (t i )( i i ) + k f(t i )(g( i ) g( i )) i= i= k f(t i ) g (t i ) ( i i ) + i= k M ( i i ) + M i= M (y ) + M k i= k f(t i ) g( i ) g( i ) i) i= g( i ) g( i ) ii) = k g (ξ i ) ( i i ) iii) k M (y ) + M ( i i ) = i= M (y ) iv) < M ǫ M = ǫ 6, joten väite (8) pätee. Tässä epäyhtälöt i) j iii) seurvt ehdost (), yhtälö ii) ehdost () j epäyhtälö iv) ehdost (3) Väitteen () todistus on nloginen. Merkintä. Jtkoss trkstelln usein funktioit, joill on hyppäysepäjtkuvuuskohti. Näitä vrten sovitn merkinnöistä. Olkoon R j oletetn että reli- ti kompleksirvoinen funktio f on määritelty (inkin) välillä ], + δ[ jollekin δ >. Tällöin merkitään f( + ) = lim + f(), mikäli kyseinen rj-rvo on olemss. Vstvsti jos f on määritelty (inkin) välillä ] δ, [ jollekin δ >, niin merkitään f( ) = lim f(), i=

18 mikäli tämä rj-rvo on olemss. Huomutus. f on oikelt jtkuv pisteessä jos j vin jos f( + ) = f() j vstvsti vsemmlt jtkuv pisteessä jos j vin jos f( ) = f(). Siten f on jtkuv pisteessä jos j vin jos f( ) = f() = f( + ). Huomutus. Jos tvllisess Riemnn-integrliss f(t)dt funktion f rvo vihdetn yhdessä pisteessä, niin syntyvä funktio f on edelleen Riemnnintegroituv eikä integrlin rvo muutu. Stieltjes-integrlille fdg, missä f S(g) tilnne on toinen: voi oll, että f S(g), j vikk olisikin f S(g), voi oll, että fdg fdg. Jätetään esimerkkien keksiminen hrjoitustehtäväksi. Jtkoss joudutn usein integroimn porrsfunktioiden suhteen, j täl- löin on Stieltjes-integrlin knnlt tärkeää tietää, miten porrsfunktion porrs trkkn otten oikein muodostuu, so. miten porrsfunktio hyppää kyseisessä kohdss. Tästä kertoo luse.4, ks. myös huomutus.5. Määritellään ensin täsmällisesti porrsfunktio: Määritelmä.3 Funktio f : [, b] R on porrsfunktio, jos on olemss välin [,b] jko ( i ) n i= siten, että f ] i, i[ on vkio kikille i =,...,n. Huomutus. Porrsfunktio s siis portiden sumkohdiss käyttäytyä miten vin: se voi oll oikelt ti vsemmlt jtkuv ti ei kumpkn. Luse.4 Olkoon < c < b j g : [,b] R porrsfunktio siten, että { g() kun t [,c[ g(t) = g(b) kun t [c,b]. Olkoon f : [,b] R rjoitettu funktio siten, että f on vsemmlt jtkuv pisteessä c. Tällöin f S(g) j pätee fdg = f(c)(g(c + ) g(c )). Todistus. Vlitn välin [,b] jko niin, että c on eräs jkopisteistä. Tätä jko tihentämällä sdn väite kuten esimerkissä.8 c). Jätetään yksityiskohdt hrjoitustehtäväksi. Huomutus.5 Huom, että luseess.4 g on oikelt jtkuv pisteessä c. Luseen väite ei päde, jos oletetn, että myös f on oikelt (ei siis vsemmlt) jtkuv tässä pisteessä (ks. luse.7). Anlogisesti nähdään, että jos g on oikelt j f vsemmlt jtkuv pisteessä c, niin luseen väite pätee. Väite myös ilmeisesti yleistyy porrsfunktioille g, joill on usempi portit, kunhn g on sumpisteissä vsemmlt ti oikelt jtkuv j f on näissä pisteissä jtkuv vstkkisest suunnst. Jos porrsfunktioll g ei ole hyppäyskoht sumpisteessä, niin f:stä ei trvitse tässä pisteessä olett mitään, vn väite

19 seur, kun tulkitn g porrsfunktioksi, joll on yksi porrs vähemmän. Luse pätee myös, jos c = b (kun sovitn, että tässä tpuksess g(c + ) = g(c)), kuten helposti nähdään. Edelleen luse voidn muotoill niin, että c = (j g(c ) = g(c)). Tässä tpuksess f:stä pitää olett, että se on :ss oikelt jtkuv, mikäli g:llä on :ss hyppy. Jos hyppyä ei ole, f:stä ei trvitse olett mitään, kuten esimerkissä.8 ) nähtiin. Huomutus.6 Luse.4 ei päde, jos käytetään vihtoehtoist määritelmää.3. Tämä luse on itsesiss tärkein (j ino) syy käytetyn määritelmän vlinnlle. Seurvt kksi lusett ntvt tärkeän yhteyden Stieltjes-integrlin j äärellisten summien välille. Tämä yhteys tulee jtkoss olemn erittäin käyttökelpoinen työklu. Luse.7 Olkoon ( i ) n i= välin [,b] jko j g : [,b] R siten, että g ] i, i[ on vkio kikille i =,...,n j g on sumpisteissä i joko oikelt ti vsemmlt jtkuv, mutt päätepisteissä j b voi oll hyppäyskoht. Olkoon f : [,b] R rjoitettu funktio siten, että f on sumpisteissä i, i n, jtkuv vstkkisest suunnst kuin g; jos g:llä on hyppy :ss niin f oletetn oikelt jtkuvksi :ss j pisteessä b vstvsti. Tällöin f S(g) j fdg = n f( i )(g( + i ) g( i )), i= missä sovitn erikseen, että g( ) = g() j g(b + ) = g(b). Todistus. Vlitn pisteet y,...,y n siten, että = < y < < y < <... < n < y n < n = b. Huomutust.5 käyttäen nähdään, että f S(g) j f on integroituv g:n suhteen myös kikill osväleillä [y i,y i+ ] sekä väleillä [,y ] j [y n, n ]. Lisäksi sdn fdg i) = y n fdg + i= yi+ y i fdg + n y n fdg ii) = n f( )(g( + ) g( )) + f( i )(g( + i ) f( i )) + f( n)(g( + n ) g( n )) = i= n f( i )(g( + i ) g( i )), i= missä yhtälö i) sdn soveltmll lusett.5 j yhtälö ii) seur luseest.4 sekä huomutuksest.5. Luvun R kokonisosn määritelmä j merkintä on tuttu (vikkp) kurssilt Lt, mutt kun tämä lite on jtkoss niin kovin keskeisessä semss, niin kirjtn sille oikein om määritelmä, johon lisätään kokonisosn Stieltjesintegrlien knnlt merkittävä ominisuus. 3

20 Merkintä.8 Jokiselle R merkitään = m{ Z } Z j snotn, että on luvun kokonisos. Heti nähdään, että kuvus on oikelt jtkuv jokisess pisteessä R. Luse.9 Jokinen äärellinen summ n i= i, missä i R voidn esittää Stieltjes-integrlin, kun vlitn rjoitettu funktio f : [,n] R siten, että f on vsemmlt jtkuv pisteissä,,...,n, j f(i) = i kikille i. Tällöin pätee näet n n fd t = i. Todistus. Kosk porrsfunktio t t on merkinnän.8 mukn oikelt jtkuv hyppäyspisteissään, niin luseen.7 nojll f S( ) j n fd t = i= n f(i)( i + i ), () i= missä pitää erikseen sopi, että = = ; ylärjllhn mitään sopimisi ei trvit, kosk määritelmien mukn n + = n = n. Tällöin { i + i kun i =,...n = kun i =, joten ehdon () j f:n vlinnn perusteell n fd t = n f(i) = i= n i. Esimerkki. Luse.9 on tällä kurssill erittäin käyttökelpoinen j sitä toistuvsti käytetäänkin vert kuitenkin myös vielä prempn luseeseen.3. Näissä on oleellist funktioon f kohdistuvien vtimusten olemttomuus. On selvää, että luseen.9 ehdot täyttäviä funktioit on olemss vikk kuink pljon. Jos nyt sitten hlutn lske joku summ, niin keksitään mhdollisimmn sovelis f j lsketn summn sijst Stieltjes-integrli, mikä useimmiten tphtuu osittisintegroinnin kutt pluttmll se Riemnn-integrliksi. Lsketn esimerkinomisesti tällä tvoin vikkp tuttu summ n i= i. Tässä on i= 4

21 luontev vlit f(t) = t, jok toteutt luseen.9 vtimukset j n i = i= n 3 n n n n 3 i i= f(t)d t i) = / n t f (t)dt = n 3 / i+ i f(t) t n i= n n n 3 i i = n 3 i= jost sdn n t df(t) = n 3 n t t dt = n 3 i= i+ i n tidt = t df(t) ii) = n n t = n 3 i((i + ) i ) = n 3 i(i + ) = i= n i = 3 (n3 + n i= n i + n i= (n )n, i= (n )n ) = 3 (n3 + 3 n + n ) = 3 n3 + n + 6 n. Näissä lskelmiss yhtälö i) sdn osittisintegrointikvst.7 j yhtälö ii) luseest.9. Huomutus.3 Jos funktio f on Riemnn-integroituv jollkin välin [, b] sisältävällä voimell välillä, niin pätee tunnetusti +δ lim δ δ f(t)dt = f(t)dt. Vstv tulos ei kuitenkn päde välttämättä Stieltjes-integrlille, jos g:llä on hyppäyskoht välin päätepisteessä. Vikkp esimerkin.8 b) kohdss sdn dg =, mutt dg = kikille δ ],[, δ joten lim dg =. δ δ Tästä syystä otetn käyttöön seurv merkintä. Oletetn, että f S(g) jollkin välillä [,b] j että f on Stieltjes-integroituv g:n suhteen myös väleillä [ δ, b], missä < δ < ǫ jollekin kiinteälle ǫ >. Tällöin merkitään fdg := lim fdg, () δ δ 5

22 mikäli rj-rvo () on olemss. Vstvsti määritellään myös merkinnät joiden selitys on ilmeinen. + fdg j + fdg, Huomutuksen.3 merkinnällä luse.9 sdn vieläkin käyttökelpoisempn muotoon huom, että tässä uudess muotoiluss.3 f:n ei trvitse oll edes määritelty origon lähellä. Uusi formulointi sllii tässä esimerkiksi tyyppiä f() = ti f() = log olevien funktioiden käytön. Luse.3 Olkoot,..., n R, < c < sekä f : [c,n] R rjoitettu funktio siten, että f on vsemmlt jtkuv pisteissä,,...,n j f(i) = i kikille i. Tällöin pätee n n fd t = i. () Jos f on määritelty välillä [c, [, rjoitettu kikill välin [c, [ rjoitetuill osväleillä j jtkuv pisteissä n N, niin pätee fd t = n i= f(n) kikille >. () Todistus. Väitteen () todistmiseksi määritellään f myös välillä [,c[ sopimll, että se on vkio tällä välillä smntekevää mikä vkio j merkitään ljennettu funktiot symbolill f, jolloin sdn kikille c δ < n i= i i) = n fd t ii) = δ fd t + n δ fd t = δ fd t + n δ fd t iii) = n δ fd t, j väite () seur. Tässä yhtälö i) seur luseest.9, yhtälö ii) huomutuksest.6 j yhtälö iii) siitä, että t on vkio välillä [,δ], jolloin δ fd t =, kuten esimerkissä.8 ) todetn. Väite () seur tämän jälkeen siitä, että kikille pätee f(n) = f(n) = i) n n= fd t ii) = fd t + fd t iii) = fd t, missä yhtälö i) seur ehdost (), yhtälö ii) siitä, että t on vkio välillä [,], jolloin fd t =, j yhtälö iii) sdn luseest.5. Esimerkki.3 Relinen Riemnnin ζ-funktio määriteltiin kohdss [Lt, 6.]. Määritelmähän on sellinen, että kikille relisille s > setetn ζ(s) = n= 6 n s.

23 Tämä määrittelevä srj suppenee ylihrmonisen srjn. Trkstelln nyt tämän srjn ossummi j määritellään kiinteälle s > funktio Z s : R + R, Luseen.3 nojll sdn Z s () = n Z s () = n s = n s. n= t s d t. Tähän sovelletn osittisintegrointikv.7 j sdn Z s () = / Tässä tietysti merkintä t s t / t d t s = s trkoitt rj-rvo lim δ +. Nyt voidn sitten sovelt lusett.9 j sdn derivoimll Z s () = s + s t dt, ts+ t d t s. / δ j tässä on tvllinen Riemnn-integrli. Integroitv on noll ykkösen lpuolell, jolloin Riemnn-integrlin perusominisuuksien nojll sdn edelleen Z s () = s + s t dt. () ts+ Jos oletetn, että kvss () luku on kokonisluku, = m, niin sdn kv Z s (m) = m m s + s t dt, () ts+ jok pätee kikille m N j kikille s >. Kvn () nojll ζ-funktiolle sdn esitys ζ(s) = lim m m n= [ n s = lim m m s + s m t s t s+ dt ] i) = s t dt, (3) ts+ missä yhtälö i) seur oletuksest s >. Huom, että kvss (3) olev epäoleellinen Riemnn-integrli suppenee jo sillä perusteell, että ζ-funktion määrittelevä srj tiedetään suppenevksi. Toki tämän integrlin suppenemisen voi todist erikseenkin. Luseit.9 j.3 voidn vielä prnt j yleistää käyttökelpoisemmiksi seurvsti: 7

24 Luse.33 Olkoon c < = < <... < n = b j f : [c,b] R rjoitettu funktio siten, että f on vsemmlt jtkuv pisteissä i. Olkoot,,..., n R. Määritellään funktio g : [c, b] R settmll g() = i i. Tässä tvn mukn tyhjän summn rvoksi sovitn noll. Tällöin f S(g) j n fdg = f( i ) i. i= Todistus. Funktio g toteutt luseen.7 vtimukset siten, että se on oikelt jtkuv sumpisteissä i. Kosk f on vsemmlt jtkuv näissä pisteissä, niin luseen.7 mukn f on integroituv g:n suhteen välillä [d,b] kikille c d. Lisäksi luseen.7 nojll kikille c d < pätee d fdg = n f( i )(g( + i ) g( i )) + f(d)(g(d+ ) g(d )), () i= missä sovitn, että g(d ) = g(d) j g(b + ) = g(b). Kun c d <, niin g(d + ) = g(d) =, jolloin ehdoss () on g(d + ) g(d ) =, j sdn d fdg = n f( i )(g( + i ) g( i )). () i= Ehto () pätee kikille c d <, joten fdg = n f( i )(g( + i ) g( i )). i= Silloin väite seur, jos osoitetn, että g( + i ) g( i ) = i kikille i =,...,n. (3) Kun i n, niin funktion g määritelmän nojll g( + i ) g( i ) = lim y + i g(y) lim y i joten väite (3) pätee inkin näille i. Kun i = eli i =, niin g(y) = i i k k = i, k= g(+) g( ) = g() =, k= 8

25 joten väite (3) pätee myös tälle i. Tpuksess i = n eli i = b turvudutn sopimukseen g(b + ) = g(b), jolloin g(b + ) g(b ) = n k= n k k = n, k= j väite (3) pätee tällekin i. Jtkoss Stieltjes-integrleihin liittyvät todistukset thtovt mennä ik sotkuisiksi. Tätä sotku selventämään otetn käyttöön l- j yläsummt: Määritelmä.34 Olkoot f,g : [,b] R rjoitettuj j J = ( i ) n i= välin [,b] jko. Merkitään kikille i =,...,n M i (J,f) = sup{f() [ i, i ]} j m i (J,f) = inf{f() [ i, i ]} sekä näiden vull A(J,f,g) = Y (J,f,g) = n m i (J,f)(g( i ) g( i )) i= n M i (J,f)(g( i ) g( i )). i= j Snotn, että A(J,f,g) on jkoon J liittyvä lsumm j Y (J,f,g) vstvsti yläsumm. Huomutus. Kosk f on rjoitettu, l- j yläsummiss trvittvt infimum j supremum ovt relisi, joten määritelmä on tältä osin järkevä. Funktion g rjoittuneisuutt ei tässä trvit, mutt kosk Stieltjes-integroinniss molemmt funktiot pysyvästi oletetn rjoitetuiksi, pidetään tämä tässä ylimääräinen oletus mukn. Vroitus. Voisi jtell, että in pätee A(J,f,g) S J (t,...,t n,f,g) Y (J,f,g), () mutt näin ei välttämättä ole, sillä kertoimen g( i ) g( i ) merkistä ei ole tieto, j jos se on negtiivinen kikille i, epäyhtälöt () kääntyvät ympäri. Erityisesti jos g on josskin ksvv j josskin vähenevä, epäyhtälöketjust () ei yleisesti voi sno mitään. Ksvvlle g si on kuitenkin kunnoss. Kirjtn se oikein luseeksi, kosk tähän rvioon jtkoss usein viittn. Luse.35 Olkoot f,g : [,b] R rjoitettuj siten, että g on ksvv. Tällöin jokisell välin [,b] jolle J j kikille vstville pisteille t i pätee A(J,f,g) S J (t,...,t n,f,g) Y (J,f,g). 9

26 Todistus. Tämä seur kuten edellä todettiin siitä, että ksvvuusoletuksen nojll g( i ) g( i ) kikille jkopisteille i. Luse.36 Olkoot f,g : [,b] R rjoitettuj siten, että g on ksvv. Olkoot J j J välin [,b] jkoj siten, että J on tiheämpi kuin J. Tällöin pätee A(J,f,g) A(J,f,g) j () Y (J,f,g) Y (J,f,g). () Todistus. Todistetn vin väite (); väitteen () todistus on nloginen j jätetään se hrjoitustehtäväksi. Jko J tiheämpi jko J on stu lisäämällä jkoon J äärellinen määrä jkopisteitä. Tehdään induktio lisättävien jkopisteiden lukumäärän suhteen. Ilmeisesti riittää todist väite tpuksess, joss lisättäviä pisteitä on vin yksi: tämä toimii sekä induktion lkuskeleen että yleisenä induktioskeleen. Olkoon siis J = ( i ) n i=, k c k j J jko, jok on stu jost J lisäämällä siihen piste c. Merkitään luettvuuden prntmiseksi m = inf{f() [ k,c]}, m = inf{f() [c, k ]} j m 3 = inf{f() [ k, k ]}. Määritelmän.34 mukn erotuksest A(J,f,g) A(J,f,g) supistuu suuri os termeistä pois, j jäljelle jää vin A(J,f,g) A(J,f,g) = m (g(c) g( k )) + m (g( k ) g(c)) m 3 (g( k ) g( k )) = (m m 3 )(g(c) g( k )) + (m m 3 )(g( k ) g(c)) i), joten väite () seur. Tässä rtkisev epäyhtälö i) seur siitä, että m,m m 3 (kosk [ k,c],[c, k ] [ k, k ]) j siitä, että g(c) g( k ),g( k ) g(c), kosk g on ksvv. Luse.37 Olkoot f,g : [,b] R rjoitettuj siten, että g on ksvv. Tällöin kikille välin [,b] joille J j J pätee A(J,f,g) Y (J,f,g). Todistus. Merkitään J = J J, jolloin sdn A(J,f,g) i) A(J,f,g) ii) Y (J,f,g) iii) Y (J,f,g), missä epäyhtälöt i) j iii) sdn luseest.36 j epäyhtälö ii) luseest.35.

27 Määritelmä.38 Olkoot f,g : [,b] R rjoitettuj siten, että g on ksvv. Funktion f ylä-stieltjes-integrli g:n suhteen määritellään settmll fdg := inf{y (J,f,g) J on välin [,b] jko}. Vstvsti funktion f l-stieltjes-integrli g:n suhteen määritellään settmll fdg := sup{a(j,f,g) J on välin [,b] jko}. Huomutus. Luseen.37 nojll määritelmän.38 infimum j supremum ovt relisi. Siten ylä- j lintegrli ovt in (relisin) olemss, vikkei olisikn f S(g). Tässä on toki huomttv, että ylä- j lintegrli määritellään vin siinä tpuksess, että g on ksvv. Luse.39 Olkoot f,g : [,b] R rjoitettuj siten, että g on ksvv. Tällöin pätee fdg fdg. Todistus. Olkoon ǫ > mielivltinen. Riittää osoitt, että fdg fdg + ǫ. () Infimumin määritelmän nojll on olemss välin [,b] jko J siten, että Y (J,f,g) < fdg + ǫ. () Luseen.37 nojll kikille joille J pätee A(J,f,g) Y (J,f,g), jolloin ehdon () nojll A(J,f,g) < fdg + ǫ kikille joille J. (3) Väite () seur ehdost (3) j lintegrlin määritelmästä. Huomutus. Luseess {.39 ei välttämättä ole yhtälöä. Esimerkkinä [, b] = kun t Q [,], g(t) = t j f(t) = kun t Q.. Tässä tpuksess ilmeisesti fdg = j fdg =. Huomutus.4 Jos f,g : [,b] R ovt rjoitettuj siten, että g on ksvv j f S(g), niin fdg fdg fdg.

28 Tämä seur helposti määritelmistä j luseest.35. On syytä huomt, että luseen.39 ehto seur tästä, mutt toislt luseess.39 ei ole oletettu, että f S(g). Lemm.4 Olkoot f, h, g : [, b] R rjoitettuj siten, että g on ksvv j olkoon < c < b. Tällöin pätee fdg = fdg + c (f + h)dg fdg + hdg c fdg + fdg, (f + h)dg j hdg. Todistus. Helppo hrjoitustehtävä. Hrjoitustehtävänä knntt smll huomt, että epäyhtälöt voivt oll itoj. Määritelmä.4 Olkoot f,g : [,b] R rjoitettuj siten, että g on ksvv. Snotn, että f toteutt Riemnnin ehdon g:n suhteen välillä [, b], jos kikille ǫ > on olemss välin [,b] jko J ǫ siten, että kikille tätä tiheämmille joille J pätee Y (J,f,g) A(J,f,g) < ǫ. Huomutus. Luseen.35 nojll Y (J,f,g) A(J,f,g) in, joten itseisrvomerkit Riemnnin ehdoss ovt trpeettomt. Seurv luse liittää Riemnnin ehdon Stieltjes-integroituvuuteen. Luse.43 Olkoot f,g : [,b] R rjoitettuj siten, että g on ksvv. Tällöin seurvt ehdot ovt yhtäpitäviä. f S(g), () f toteutt Riemnnin ehdon g:n suhteen j () fdg = fdg. (3) Huomutus.44 Jos jokin luseen.43 ehdoist toteutuu, niin fdg = fdg = fdg. Tämä seur huomutuksest.4 (j tietysti luseest.43). Luseen.43 todistus. Todistetn väite osoittmll, että () () (3) ().

29 () () Oletetn, että () pätee. Jos g() = g(b), niin g:n ksvvuuden nojll g on vkio, jolloin Y (J,f,g) = = A(J,f,g) kikille joille J j siten väite () pätee trivilisti. Voidn siis olett, että g() < g(b). Olkoon ǫ > mielivltinen. Oletuksen () nojll on olemss välin [,b] jko J ǫ siten, että kikille tätä tiheämmille joille J = ( i ) n i= pätee S J(t,...,t n,f,g) fdg < ǫ kikille t i [ i, i ]. (4) 3 Tämä jko J ǫ on väitteessä () hettu jko. Olkoon siis J tiheämpi jko kuin J ǫ ; riittää osoitt, että Y (J,f,g) A(J,f,g) < ǫ. (5) Olkoot (jkoon J liittyen) M i (J,f) j m i (J,f) kuten määritelmässä.34. Supremumin j infimumin määritelmän nojll on ilmeistä, että M i (J,f) m i (J,f) = sup{f(t i ) f(t i) t i,t i [ i, i ]}, joten kikille i voidn vlit pisteet t i,t i [ i, i ] siten, että f(t i ) f(t i) > M i (J,f) m i (J,f) ǫ 3(g(b) g()). (6) Huom, että oletust g() < g(b) trvitn ehdoss (6). Nyt sdn tälle jolle J j vlituille pisteille t i,t i Y (J,f,g) A(J,f,g) = n M i (J,f)(g( i ) g( i )) i= n m i (J,f)(g( i ) g( i )) = i= n (M i (J,f) m i (J,f))(g( i ) g( i )) < i) i= n ( ) f(t i ) f(t ǫ i) + (g( i ) g( i )) = 3(g(b) g()) i= ( n ) (f(t i ) f(t ǫ n i))(g( i ) g( i )) + (g( i ) g( i )) = 3(g(b) g()) i= i= n n f(t i )(g( i ) g( i )) f(t i))(g( i ) g( i )) + ǫ ii) 3 i= i= n f(t i )(g( i ) g( i )) fdg + n f(t i)(g( i ) g( i )) fdg + ǫ 3 i= ǫ 3 + ǫ 3 + ǫ 3 = ǫ, 3 i= iii) <

30 joten väite (5) seur. Tässä epäyhtälö i) sdn ehdost (6) j g:n ksvvuudest, ii) tulee kolmioepäyhtälöstä j iii) ehdost (4). () (3) Oletetn, että ehto () pätee. Olkoon ǫ > mielivltinen. Luseen.39 nojll riittää osoitt, että fdg < Oletuksen () nojll on olemss jko J siten, että Silloin fdg + ǫ. (7) Y (J,f,g) A(J,f,g) < ǫ. (8) fdg i) Y (J,f,g) ii) < A(J,f,g) + ǫ iii) fdg + ǫ, joten väite (7) pätee. Tässä epäyhtälö i) tulee yläintegrlin määritelmästä, ii) ehdost (8) j iii) lintegrlin määritelmästä. (3) () Oletetn, että ehto (3) pätee. Merkitään A := fdg = fdg. Riittää osoitt, että kikille ǫ > on olemss jko J ǫ siten, että kikille tätä tiheämmille joille J = ( i ) n i= pätee S J (t,...,t n,f,g) A < ǫ. (9) Oletuksen (3) j infimumin määritelmän nojll on olemss jko J siten, että Y (J,f,g) < Luseen.36, g:n ksvvuuden j ehdon () nojll fdg + ǫ = A + ǫ. () Y (J,f,g) < A + ǫ kikille jko J tiheämmille joille J. () Vstvsti löydetään jko J siten, että A(J,f,g) > A ǫ kikille jko J tiheämmille joille J. (3) Määritellään nyt kivttu jko J ǫ settmll J ǫ = J J. Tätä tiheämmille joille J = ( i ) n i= sdn A ǫ i) < A(J,f,g) ii) S J (t,...,t n,f,g) iii) Y (J,f,g) iv) < A + ǫ, 4

31 joten väite (9) pätee. Tässä epäyhtälöt i) j iv) seurvt ehdoist (3) j (), sillä J on tiheämpi kuin J j J. Epäyhtälöt ii) j iii) seurvt luseest.35 j g:n ksvvuudest. Tvlliselle Riemnn-integrlille pätee tunnetusti rvio f(t)dt h(t)dt, jos f(t) h(t) kikille t. Stieltjes-integrleille vstv epäyhtälö ei välttämättä päde. Itse siss, jos g on vähenevä, epäyhtälö kääntyy ympäri. Ksvvlle g tämä kuitenkin pätee: Luse.45 Olkoot f,g,h : [,b] R rjoitettuj siten, että g on ksvv j f(t) h(t) kikille t [,b] sekä f,h S(g). Tällöin pätee Todistus. Hrjoitustehtävä. fdg hdg. Seurvkin, Riemnn-integrlille tuttu rvio pätee vin ksvvlle g. Luse.46 Olkoot f,g : [,b] R rjoitettuj siten, että g on ksvv j f S(g). Tällöin f S(g) j pätee rvio fdg f dg. Todistus. Todistetn ensin väite f S(g). Olkoon J = ( i ) n i= väin [,b] mielivltinen jko j olkoot M i (J,f) sekä m i (J,f) kuten määritelmässä.34. Ilmeisesti supremumin j infimumin määritelmien nojll kikille i =,...,n pätee M i (J,f) m i (J,f) = sup{f(t) f(s) t,s [ i, i ]} j () M i (J, f ) m i (J, f ) = sup{ f(t) f(s) t,s [ i, i ]}. () Kolmioepäyhtälön mukn f(t) f(s) f(t) f(s) kikille t, s, jolloin ehtojen () j () nojll M i (J, f ) m i (J, f ) M i (J,f) m i (J,f) kikille i =,...,n. (3) Kosk g on ksvv, niin ehdost (3) sdn kertomll luvuill g( i ) g( i ) j summmll yli i:n ehto n M i (J, f )(g( i ) g( i )) i= n M i (J,f)(g( i ) g( i )) i= n m i (J, f )(g( i ) g( i )) i= n m i (J,f)(g( i ) g( i )) i= Y (J, f,g) A(J, f,g) Y (J,f,g) A(J,f,g). (4) eli 5

32 Ehto (4) pätee siis kikille joille J. Oletuksen f S(g) nojll kikille ǫ > on olemss jko J ǫ siten, että kikille tätä tiheämmille joille J pätee Y (J,f,g) A(J,f,g) < ǫ. Silloin ehdon (4) mukn näille joille J pätee myös Y (J, f,g) A(J, f,g) < ǫ. Näin on nähty, että f toteutt Riemnnin ehdon g:n suhteen, j väite f S(g) seur luseest.43. Luseen väite fdg f dg sdn nyt seurvsti. Kosk f f, niin luseen.45 nojll sdn ensin fdg f dg. (4) Toislt myös f f, jolloin luseiden.3 j.45 nojll sdn fdg = Väite seur ehdoist (4) j (5). ( f)dg f dg. (5) Jtkoss trvitn luseen.46 tpist rviot myös vähenevälle g. Tällinen on seurvss luseess. Luse.47 Olkoot f,g : [,b] R rjoitettuj siten, että g on vähenevä j f S(g). Tällöin f S(g) j pätee rvio fdg f dg. Todistus. Kosk g on vähenevä, niin g on ksvv. Väite f S(g) seur tällöin luseist.46 j.4. Vrsininen epäyhtälö sdn rvioist i) fdg = fd( g) = ii) b fd( g) f d( g) iii) = f dg, missä yhtälöt i) j iii) seurvt luseest.4 j epäyhtälö ii) luseest.46 funktion g ksvvuuden nojll. Luse.48 Olkoot f,g : [,b] R rjoitettuj siten, että g on ksvv j f S(g). Tällöin myös f S(g). 6

33 Todistus. Olkoon J = ( i ) n i= välin [,b] mielivltinen jko j olkoot M i(j,f) sekä m i (J,f) kuten määritelmässä.34. Tällöin kikille i =,...,n M i (J,f ) = sup{f (t) t [ i, i ]} = sup{ f (t) t [ i, i ]} = (sup{ f (t) t [ i, i ]}) = M i (J, f ) () j vstvsti m i (J,f ) = m i (J, f ). () Kosk f on rjoitettu välillä [,b], niin on olemss M > siten, että Jokiselle jolle J sdn nyt rvio f() M kikille [,b]. (3) M i (J,f ) m i (J,f ) i) = M i (J, f ) m i (J, f ) = (M i (J, f ) + m i (J, f ))(M i (J, f ) m i (J, f )) (4) M i (J, f )(M i (J, f ) m i (J, f )) ii) M(M i (J, f ) m i (J, f )). missä yhtälö i) sdn ehdoist () j () sekä epäyhtälö ii) ehdost (3) j g:n ksvvuudest. Kosk g on ksvv, niin rviost (4) sdn smn tpn kuin luseen.46 todistuksen ehdoss (3) rvio Y (J,f,g) A(J,f,g) M(Y (J,f,g) A(J,f,g)). (5) Oletuksen f S(g) j luseen.43 nojll kikille ǫ > on olemss jko J ǫ siten, että kikille tätä tiheämmille joille J pätee Y (J,f,g) A(J,f,g) < ǫ M. Näille joille J pätee silloin ehdon (5) nojll Y (J,f,g) A(J,f,g) < ǫ. Näin on nähty, että f toteutt Riemnnin ehdon g:n suhteen, j väite f S(g) seur luseest.43. Luse.49 Olkoot f,g,h : [,b] R rjoitettuj siten, että g on ksvv j f,h S(g). Tällöin myös f h S(g). Todistus. Kosk f h = ((f + h) f h ), niin väite seur luseist.3 j.48. 7

34 Luse.5 Olkoon f jtkuv j g ksvv välillä [,b]. Tällöin f S(g). Huomutus. On tärkeää huomt, että luseess.5 ei vdit g:n jtkuvuutt. Todistus. Jos g() = g(b), niin g on ksvvuusoletuksen nojll vkio, jolloin väite on trivili. Voidn siis olett, että g(b) g() >. () Luseen.43 nojll riittää osoitt, että f toteutt Riemnnin ehdon g:n suhteen. Olkoon tätä vrten ǫ > mielivltinen. Pitää löytää jko J ǫ siten, että kikille tätä tiheämmille joille J pätee Y (J,f,g) A(J,f,g) < ǫ. () Kosk f on jtkuv suljetull j rjoitetull välillä [, b], niin se on tsisesti jtkuv. Silloin ehdon () perusteell on olemss δ siten, että f() f(y) < Vlitn hluttu jko J ǫ niin, että ǫ (g(b) g()) J ǫ < δ. kun y < δ. (3) Tämä on toimiv vlint, sillä kun J = ( i ) n i= on tiheämpi kuin J ǫ, niin myös J < δ j siten i i < δ kikille i =,...,n. (4) Kuten luseen.46 todistuksen kohdss () M i (J,f) m i (J,f) = sup{f(t) f(s) t,s [ i, i ]}, jolloin ehtojen (3) j (4) nojll M i (J,f) m i (J,f) ǫ (g(b) g()) kikille i =,...,n. (5) Kosk g on ksvv, niin ehdost (5) sdn kertomll luvuill g( i ) g( i ) j summmll yli i:n ehto Y (J,f,g) A(J,f,g) = ǫ (g(b) g()) i= n (M i (J,f) m i (J,f))(g( i ) g( i )) i) i= n ǫ (g( i ) g( i )) = (g(b) g()) (g(b) g()) = ǫ < ǫ, joten väite () pätee. Tässä epäyhtälö i) seur ehdost (5). 8

35 Määritelmä.5 Olkoon f : [, b] R kuvus. Snotn, että f on rjoitetusti heilhtelev, jos on olemss vkio M R siten, että n f( i ) f( i ) M i= kikille välin [,b] joille ( i ) n i=. Snotn, että { n } V f (,b) = sup f( i ) f( i ) ( i ) n i= on välin [,b] jko i= on funktion f kokonisheilhtelu välillä [,b]. Huomutus. f on siis rjoitetusti heilhtelev välillä [, b] jos j vin jos kokonisheilhtelulle pätee V f (,b) <. Huomutus. Jtkoss käsitellään usein kompleksirvoisi funktioit. Siitä syystä joudutn lventmn määritelmää.5. Jos f : [, b] C on kompleksirvoinen, snotn, että f on rjoitetusti heilhtelev, jos sen reli- j imginrios ovt rjoitetusti heilhtelevi. Toinen, yhtäpitävä (hrj. teht.) tp määritellä tämä käsite kompleksirvoisille funktioille on käyttää määritelmää.5, joss olev itseisrvo on kompleksinen itseisrvo. Huomutus.5 Rjoitetusti heilhtelev funktio on rjoitettu, sillä helposti nähdään, että f() f() + V f (,) f() + V f (,b) kikille [,b]. Toislt tietenkään kikki rjoitetut funktiot eivät ole rjoitetusti heilhtelevi, esimerkkinä f : [,] R, { kun Q f() = kun R \ Q, kuten myös helposti nähdään. Luse.53 Ksvv ti vähenevä funktio f : [,b] R on rjoitetusti heilhtelev. Todistus. Tämä on helppo: ksvvlle f pätee V f (,b) = f(b) f() j vstvsti vähenevälle f pätee V f (,b) = f() f(b). Luse.54 Porrsfunktio on rjoitetusti heilhtelev. Todistus. Helppo hrjoitustehtävä. Tämähän perustuu oleellisesti siihen, että porrsfunktioll on portit vin äärellinen määrä, vert huomutuksen.5 esimerkkifunktioon, jok ei ole porrsfunktio. Huomutus. Luse.54 on yksinkertisuudestn huolimtt tärkeä tulos jtkoss, sillä monet lukuteoreettiset funktiot (ti inkin niiden rjoittumt väleille [,b]) ovt nimenomn porrsfunktioit. 9

36 Luse.55 Khden rjoitetusti heilhtelevn funktion summ, erotus j tulo ovt rjoitetusti heilhtelevi. Todistus. Summlle j erotukselle tämä on helppo hrjoitustehtävä. Tulolle on vrmn viisint todist ensin, että jos f on rjoitetusti heilhtelev, niin myös f on rjoitetusti heilhtelev. Tämä menee helposti käyttäen esitystä f ( i ) f ( i ) = (f( i )+f( i ))(f( i ) f( i )) j f:n rjoittuneisuutt. Yleiseen tuloon f g päästään tämän jälkeen käyttäen esitystä f g = ((f + g) f g ). Huomutus.56 Suljetull j rjoitetull välillä jtkuv funktio on tsisesti jtkuv, j voisi jtell, että tästä seurisi helposti rjoitetusti heilhtelevuus. Näin ei kuitenkn ole, vn on olemss jtkuvi funktioit jop derivoituvi, jotk eivät ole rjoitetusti heilhtelevi. Jätetään esimerkin keksiminen hrjoitustehtäväksi. Seurvn luseen ehdot tkvt kuitenkin rjoitetun heilhtelun. Luse.57 Olkoon f : [,b] R derivoituv välillä [,b] j oletetn, että derivtt on rjoitettu. Tällöin f on rjoitetusti heilhtelev välillä [,b]. Todistus. Tämä sdn helposti differentililskennn välirvoluseest. Jätetään yksityiskohdt hrjoitustehtäväksi. Luse.58 Olkoon f : [, b] R rjoitetusti heilhtelev j c [, b]. Tällöin pätee V f (,b) = V f (,c) + V f (c,b). Todistus. Hrjoitustehtävä. Tämä ei ole ihn trivili, vn tässä pitää vrmn todist epäyhtälö molempiin suuntiin. Luse.59 Olkoon f : [, b] R rjoitetusti heilhtelev. Määritellään kuvus V : [,b] R settmll V () = V f (,). Tällöin V on ksvv. Lisäksi myös V f on ksvv. Todistus. Kun < y b, niin luseen.58 nojll V (y) V () = V f (,y) V f (,) = V f (,y), joten V :n ksvvuus seur. Lisäksi (V (y) f(y)) (V () f()) = V (y) V () (f(y) f()) = V f (,y) V f (,) (f(y) f()) = V f (,y) (f(y) f()) i), joten jälkimmäinenkin väite seur. Tässä epäyhtälö i) seur siitä, että suorn kokonisheilhtelun määritelmän nojll on f(y) f() f(y) f() V f (,y). Seurv luse nt yksinkertisen j hyvin käyttökelpoisen krkteristion rjoitetusti heilhteleville funktioille. 3