Numeerinen integrointi

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Numeerinen integrointi"

Transkriptio

1 Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin) Jtkoss oletetetn, että[, b] on suljettu väli j f ko välillä inkin jtkuv, jolloin f on myös Riemnn-integroituv (Luse IX71) Jtkoss setetn integroitvlle funktiolle voimkkmpikin säännöllisyysvtimuksi Numeerisen integroinnin lgoritmeill trkoitetn yleensä nk numeerisi kvdrtuurej (ti kvdrtuurisääntöjä, engl qudrture rule), joiss integrli pproksimoidn äärellisenä summn muoto f(x)dx N w i f(x i ) (1) Tässä pisteitä x i, i = 1N (yleensä x i [,b]) snotn kvdrtuuripisteiksi j lukuj w i kvdrtuuripinoiksi Kvdrtuuripisteitä j -pinoj vlittess integroimisväli jetn usein ensin osväleihin [x k 1,x k ], k = 1n (eli menetellään smoin kuin integrlin määrittelyssä lunperin) Tällöin integrlin dditiivisuuden nojll on I(f,,b) = f(x)dx = i=1 n k=1 xk x k 1 f(x)dx = n I k (2) Jos integroitv funktio on säännöllinen j osvälit [x k 1,x k ] riittävän lyhyitä, voidn osintegrlit I k = xk x k 1 f(x)dx lske likimäärin käyttämällä suhteellisen yksinkertist kvdrtuuri muoto (1), missä = x k 1 j b = x k Perustn kvdrtuurin yksinkertistumiselle lyhyellä välillä on Tylorin luse, jonk mukn säännöllinen funktio on likimin (mtl-steinen) polynomi lyhyellä välillä (ks Luku VIII4) Numeerisen integroinnin virhetrkstelujen lähtöjtuksen onkin juuri vertilu polynomeihin Jtkoss jtelln väli [, b] lkuperäisen integroimisvälin lyhyeksi osväliksi j f ko välillä (riittävän) säännölliseksi Tällisten lähtöoletusten vllitess yksinkertisimmt numeeriset kvdrtuurit ovt Kvdrtuuri trkoitt kirjimellisesti neliöimistä Termi viitt integrlin j pint-ln väliseen yhteyteen k=1 581

2 IX9 Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk Keskipistesääntö: Puolisuunnikssääntö: Simpsonin sääntö: f(x)dx (b )f( +b 2 ) f(x)dx 1 2 (b )[f()+f(b)] f(x)dx 1 [ 6 (b ) f()+4f( +b ] 2 )+f(b) Näistä etenkin Simpsonin sääntö (osväleillä käytettynä) on lskinten j tietokoneiden yleisesti käyttämä numeerisen integroinnin menetelmä Puolisuunnikssääntöön viittn usein myös nimellä trpetsi Nimensä mukisesti sääntö nt integrlin rvoksi puolisuunnikkn (trpetsin) pint-ln A: y y = f(x) A b x Kun ym sääntöjä käytetään osväleillä hjotelmss (2), niin tuloksen on lkuperäisen integrlin pproksimtio muoto (1) Snotn tällöin, että kyseessä on yhdistetty (engl composite) kvdrtuuri Esimerkiksi yhdistetty keskipistesääntö on kvdrtuuri muoto (1), missä vlitn x i = 1 2 (x i 1 +x i ), w i = x i x i 1, i = 1n = N Yhdistetty keskipistesääntö on siis eräs integrli pproksimoivist Riemnnin summist Suorn Riemnnin summiin perustuvist pproksimtioist tämä on yleensä trkin (ks virherviot jäljempänä) Simpsonin sääntö on numeerisen integroinnin klssikko, jot on iknn käytetty pljon käsinlskusskin Säännön keksi englntilinen mtemtikko Thoms Simpson ( ) 582

3 Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi Jos hjotelmss (2) jko on tsvälinen j merkitään h = x k x k 1, f k = f(x k ), niin yhdistetty puolisuunnikssääntö s muodon [ 1 f(x)dx h 2 f 0 +f 1 + +f n ] 2 f n j yhdistetty Simpsonin sääntö muodon f(x)dx h 6 [f 0 +4f 1 +2f f n 2 +4f n 1 +f n ] Yhdistetyssä Simpsonin säännössä jok toinen kvdrtuuripiste on osvälijon jkopiste j jok toinen (suurimmll pinokertoimell vrustettu) on osvälin keskipiste Esimerkki 1 Kun integrli 1 0 xe x2 /(x+1)dx pproksimoidn käyttäen tsvälistä yhdistettyä trpetsi j Simpsoni, sdn seurvt tulokset: pisteitä Trpetsi Simpson Tässä Simpson on trpetsi selvästi nopempi Tämä on odotettviss, kosk integroitv funktio on sileä, ks virherviot jäljempänä Esimerkki 2 Sm vertilusetelm kuin edellisessä esimerkissä Lsketn integrli 1 Tulokset ovt tässä tpuksess: 0 e x /( x+1)dx pisteitä Trpetsi Simpson

4 IX9 Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk Konvergenssi on nyt selvästi hitmp edellisessä esimerkissä, eikä eri menetelmillä ole tässä merkittävää ero Syynä on ilmeisesti se, että integroitv funktio on vähemmän säännöllinen kuin edellisessä esimerkissä (jtkuv, mutt ei jtkuvsti derivoituv integroimisvälillä) Em esimerkeissä on merkille pntv, että kun Esimerkin 2 integrliss tehdään sijoitus x = t, on tuloksen Esimerkin 1 integrli (kertoimell 2) Sijoitus siis knntt tässä tehdä, vikk se ei muuten (suljetuss muodoss integroimisen knnlt) tee tehtävää helpommksi Myös osittisintegroinnill, srjkehitelmillä ym voi usein mnipuloid tehtävää niin, että integroitvst funktiost tulee säännöllisempi, jolloin numeerisen integroinnin menetelmät toimivt premmin Virhervioist Osvälijkoon perustuvn yhdistetyn kvdrtuurin virhe rvioidn ensin erikseen kullkin osvälillä Trkstelln jtkoss edellä esitettyä kolme esimerkkiä: Keskipistesääntö, Trpetsi j Simpson Arvioitess virhettä yksittäisellä osvälillä on ensimmäisenä tehtävänä tutki, kuink korke-steisille polynomeille kvdrtuuri on trkk, ts on määrättävä indeksi m siten, että kvdrtuuri on trkk polynomille stett n täsmälleen kun n m Minituiss esimerkkitpuksiss on tulos seurv: Sääntö Trkk polynomeille stett Keskipistesääntö m = 1 Trpetsi m = 1 Simpson m = 3 Aloitetn keskipistesäännöstä Oletetetn, että integroitv funktio f on trksteltvll (os)välillä [, b] khdesti jtkuvsti derivoituv Merkitään c = ( + b)/2 j käytetään integroimisvirheelle symboli E(f) : E(f) = f(x)dx (b )f(c) Integroimisvirheen rvioiminen perustuu khteen perushvintoon: Ensinnäkin nähdään, että pätee E(f +g) = E(f)+E(g) (3) 584

5 Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi (Yleisemmin E(f) on linerinen f:n suhteen, eli E(αf +βg) = αe(f)+βe(g), α,β R) Toinen perushvinto on em tulukkoon perustuv: f(x) = A+Bx (A,B R) E(f) = 0 (4) Olkoon nyt p(x) = T 1 (x,c) = f:n ensimmäisen steen Tylorin polynomi pisteessä c, eli p(x) = f(c)+f (c)(x c) Tällöin on hvintojen (3) (4) perusteell, j kosk (f p)(c) = 0, E(f) = E(f p+p) = E(f p)+e(p) = E(f p) = Tylorin luseen (Luse VIII43) perusteell on f(x) p(x) = 1 2 f (ξ)(x c) 2 = f (ξ)ω(x), x [,b], missä ξ = ξ(x) (,b) Tässä on ω(x) = 1 2 (x c)2 0, joten jos M 1 = min x [,b] f (x), M 2 = mx x [,b] f (x), (f p)(x)dx niin jolloin M 1 ω(x) (f p)(x) M 2 ω(x), x [,b], M 1 ω(x)dx 1 24 M 1(b ) 3 Siis jollkin η [M 1,M 2 ] pätee (f p)(x)dx M 2 ω(x) dx (f p)(x)dx 1 24 M 2(b ) 3 E(f) = η 24 (b )3 Kosk f on jtkuv välillä [,b], niin M 1 = f (x 1 ) j M 2 = f (x 2 ) joillkin x 1,x 2 [,b] (Luse V111), jolloin η = f (ξ) jollkin ξ [,b] (Luse V19) Keskipistesäännölle on näin johdettu virhekv E(f) = 1 24 (b )3 f (ξ), ξ [,b] (Keskipistesääntö) 585

6 IX9 Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk Trpetsin tpuksess voidn virhekv joht vstvn tpn Tässä tpuksess on vertilupolynomiksi p kuitenkin vlittv Tylorin polynomin sijst ensimmäisen steen interpoltiopolynomi, jolle pätee p() = f() j p(b) = f(b) (ks Luku VIII7) Virhekvksi sdn (Hrjteht 5) E(f) = 1 12 (b )3 f (ξ), ξ [,b] (Trpetsi) Keskipistesäännön j trpetsin virhekvoist nähdään, että jos f (x) > 0 integroimisvälillä (eli jos f on ylöspäin kuper), niin keskipistesääntö nt integrlille liin pienen j trpetsi liin suuren rvon Em virhenlyysin perusteell ilmiön voi selittää niin, että keskipistesääntö integroi oikein f:n Tylorin polynomin T 1 (x,c), kun ts trpetsi integroi oikein f:n interpoltiopolynomin, vrt kuvio y Trpetsi Keskipistesääntö c b x Myös Simpsonin säännölle voidn joht virhekv smntyyppisellä päättelyllä kuin edellä Oletten, että f on neljä kert jtkuvsti derivoituv välillä [,b], sdn virhekvksi (ks Hrjteht 10) E(f) = 1 90 h5 f (4) (ξ), h = (b )/2, ξ [,b] (Simpson) Em virhekvoist voidn edelleen joht virhervioit yhdistetyille kvdrtuureille Rjoitutn tässä tsväliseen jkoon, eli oletetn, väli [, b] jetuksi osväleihin [x k 1,x k ], k = 1n, missä x k x k 1 = h = (b )/n k Olkoon integroitv funktio f khdesti jtkuvsti derivoituv välillä [,b], j olkoon M 1 j M 2 f :n minimi- j mksimirvot välillä [,b] Tällöin jos E k (f) = keskipistesäännön integrointivirhe osvälillä [x k 1,x k ], niin em virhekvn perusteell 1 24 M 1h 3 E k (f) 1 24 M 2h 3 Summeermll j huomioimll, että nh = b sdn kokonisvirheelle E(f) = n k=1 E k(f) rviot 1 24 (b )M 1h 2 E(f) 1 24 (b )M 2h 2 586

7 Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi Tässä on M 1 = f(x 1 ), M 2 = f(x 2 ) joillkin x 1,x 2 [,b], joten päädytään välirvomuotoiseen virhekvn kuten edellä Tsvälisen trpetsin j Simpsonin tpuksess menetellään vstvsti, jolloin tuloksen ovt seurvt virhekvt: Tsvälinen, yhdistetty kp-sääntö: E(f) = 1 24 (b )f (ξ)h 2 Tsvälinen, yhdistetty trpetsi: E(f) = 1 12 (b )f (ξ)h 2 Tsvälinen, yhdistetty Simpson: E(f) = (b )f(4) (ξ)h 4 Tässä on kikiss tpuksiss ξ [, b], j h on lähimpien kvdrtuuripisteiden väli, eli joko h = osvälin pituus (keskipistesääntö, trpetsi), ti h = osvälin pituus/2 (Simpson) Muun kuin tsvälisen jon tpuksess voidn em yhdistettyjen kvdrtuurien virhe rvioid muodoss E(f), missä oikell puolell on ±f (k) (ξ):n sijst f (k) (x) :n mksimirvo välillä [,b] j h on peräkkäisten kvdrtuuripisteiden suurin väli Yleisesti jos osvälijkoon perustuvn yhdistetyn numeerisen kvdrtuurin virhe on suuruusluokk O(h r ) (integroitvn funktion f olless riittävän säännöllinen), mutt ei luokk O(h r+1 ) (vikk f olisi kuink säännölinen), niin snotn, että ko menetelmän (trkkuuden) kertluku (engl order of ccurcy) on r Kuten em virhetrkstelust voi päätellä, on yleisesti r = m +1, jos numeerinen kvdrtuuri integroi osväleillä trksti polynomin stett m mutt ei polynomi stett m+1 Yhdistetty keskipistesääntö j trpetsi ovt siis toisen kertluvun menetelmiä, j yhdistetyn Simpsonin kertluku on r = 4 Esimerkkejä ensimmäisen kertluvun menetelmistä ovt Riemnnin summkvt, joiss kvdrtuuripisteet (eli välipisteet ξ k, vrt Luku IX4) eivät ole osvälien keskipisteitä (ks Hrjteht 7) Riemnnin summiin perustuvist pproksimtioist yhdistetty keskipistesääntö on siis trkkuutens puolest omss luokssn *Adptiivinen integrointi Lskimiss j numeeris symbolisiss tietokoneohjelmistoiss numeerisen integroinnin komentojen (esim Mthemtic: NIntegrte) tkn on usein yhdistetty Simpson, mhdollisesti myös korkemmn kertluvun yhdistettyjä kvdrtuurej Jko osväleihin ei näissä ohjelmiss yleensä suoritet tsvälisesti, vn integroitvn funktioon sopeutuen dptiivisesti Adptiivisen Simpsonin menetelmän iden on selvittää nuuskimll, kuink suuri on integroitvn funktion 587

8 IX9 Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk neljäs derivtt f (4) (x) trksteltvll osvälillä [x k 1,x k ] Perusjtus on yksinkertinen: Jos osväli on lyhyt (niinkuin lskun kuluess ennen pitkää on), niin voidn olett, että f (4) (x) on ko välillä likimin vkio = M k Tällöin vkio M k sdn selville tulkitsemll itse lgoritmin ntmi tuloksi posteriori (eli lskemisen jälkeen) seurvsti: Sovelletn ensin Simpsonin sääntöä välillä [x k 1,x k ] tulos I 1 Jetn sitten väli puoliksi j sovelletn Simpsonin sääntöä kummllkin osvälillä erikseen tulos I 2 Jos nyt integrlin trkk rvo = I välillä [x k 1,x k ], niin Simpsonin virhekvn mukn { I I 1 = 1 M 90 kh 5, I I 2 = 1 M ) 5 M k = 96h 90 k 2 (h 5 (I 1 I 2 ), h = 1(x 2 k x k 1 ) 2 Todellisuudess f (4) ei ole ivn vkio edes lyhyellä välillä (jos olisi, stisiin myös integrlin trkk rvo I selville!), mutt stu rvio on yleensä dptiivisiin trkoituksiin riittävä: Sen vull voidn ohjt lgoritmi tihentämään jko siellä, missä lskun ntm luku M k on itseisrvoltn suuri Algoritmi pyrkii trkemmin tihentämään jko niin, että virhetiheys, eli integroimisvirhe osvälillä jettun osvälin pituudell, on suunnilleen sm jokisell osvälillä (Tällinen jko on osoitettviss lskutyön knnlt optimliseksi) Adptiivinen lgoritmi toimii käytännössä hämmästyttävän hyvin myös useimmiss sellisiss tilnteiss, joiss funktio ei ole linkn niin säännöllinen kuin em lskuss oletetn (eli neljä kert jtkuvsti derivoituv) Näin käy vikkp Esimerkin 2 integroimistehtävässä, joss integroitv funktio ei ole edes jtkuvsti derivoituv (f(x) 1 x origon lähellä) Lskemll lukuj M k ym tvll lgoritmi päätyy tihentämään jko voimkksti origon lähellä (kuten pitää!) j pystyy tämän koneälyn nsiost lskemn integrlin rvon vditull trkkuudell lähes yhtä nopesti kuin Esimerkin 1 tilnteess (!) Minittkoon, että jos käytetään tsvälistä jko, niin sekä yhdistetyn Simpsonin että yhdistetyn trpetsin virhe on Esimerkissä 2 suuruusluokk O(h 3/2 ) (vrt numeeriset tulokset ko esimerkissä sekä Hrjteht 8) 588 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1 Integrli 1 f(x)dx lsketn yhdistetyllä, tsvälisellä trpetsill jkmll integroimisväli n osväliin Lske näin sdun likirvon virhe trks- 0 ti, kun ) f(x) = x(1 x), b) f(x) = e x 2 Lske integrlille 1 0 (x2 +1) 1 dx likirvo käyttämällä 11 pisteen yhdistettyä, tsvälistä Simpsonin sääntöä (5 osväliä) j vert trkkn rvoon

9 Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi 3 Näytä, että Simpsonin sääntö on sm kuin pproksimtio f(x)dx p(x) dx, missä p on toisen steen (interpoltio)polynomi, jok määritellään ehdoill p() = f(), p(b) = f(b) j p(c) = f(c), c = (+b)/2 4 Numeerisen integroinnin nk korjttu trpetsikv on f(x)dx 1 2 (b )[f()+f(b)]+β(b )2 [f (b) f ()], missä β vlitn niin, että kv on trkk polynomeille stett m = 3 Mikä on β:n rvo? Millinen on korjttu trpetsikv vstv yhdistetty kvdrtuuri, jos jko osväleihin on tsvälinen? 5 Olkoon f khdesti jtkuvsti derivoituv välillä [,b] j g = f p, missä p on ensimmäisen steen interpoltiopolynomi, jolle pätee p() = f() j p(b) = f(b) Näytä osittin integroimll, että pätee 1 2 (x )(b x)g (x)dx = g(x) dx Johd puolisuunnikssäännön virhekv tästä tuloksest 6 Todist Simpsonin säännön virhekv siinä tpuksess, että f (4) on vkio integroimisvälillä (eli f on polynomi stett 4) 7 Integrlin pproksimoiminen Riemnnin summll, joss välipisteiksi osväleillä [x k 1,x] vlitn ξ k = x k 1, vst osväleillä tehtyä pproksimtiot f(x)dx (b )f() Johd tälle virhekv E(f) = 1 2 (b )2 f (ξ), ξ [,b] Mikä on virhekv koko välillä, jos jko osväleihin on tsvälinen? 8 Integrlille 1 0 xdx lsketn kksi likirvo jkmll integroimisväli h:n pituisiin osväleihin (tsvälinen jko) j käyttämällä yhdistettyä Trpetsi j Simpsoni ) Lske kummsskin tpuksess integrointivirhe trksti osvälillä [0, h] b) Päättele, että yhdistetyn kvdrtuurin virhe on molemmiss tpuksiss vähintään suuruusluokk O(h 3/2 ) (Virhe on myös todellisuudess tätä suuruusluokk) 589

10 IX9 Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk 9 (*) (Arkhimedeen jäljillä) Suor S leikk prbelin K : y = x 2 pisteissä (, 2 ) j (b,b 2 ), jolloin suor erott prbelist segmentin A välillä [,b] ( < b) Olkoon A n segmentin pint-ln µ(a) likirvo, jok sdn jkmll väli [,b] tsvälisesti 2 n osväliin (n N) j käyttämällä yhdistettyä trpetsi Näytä pelkin lgebrn keinoin, että jono {A n } on geometrinen srj Lske µ(a) (= lim n A n ) tällä perusteell 10 (*) Johd Simpsonin virhekv käyttäen Luseen VIII74 tulost j kolmnnen steen vertilupolynomi p, jok määritellään ehdoill p() = f(), p(b) = f(b), p(c) = f(c) j p (c) = f (c), missä c = ( + b)/2 Oletetn, että f on neljä kert jtkuvsti derivoituv välillä [,b] 11 (*) Trkstelln integrlin f(x)dx lskemist dptiivisell, yhdistetyllä Simpsonin kvdrtuurill oletten, että f on neljästi jtkuvsti deri- voituv integroimisvälillä Jos f (4) :n rvo vihtelee ko välillä suuresti, niin dptiivinen lgoritmi päätyy jkmn integroimisvälin hyvin eripituisiin osväleihin [x k 1,x k ] Kosk f (4) on kuitenkin jtkuv, voidn olett, että vierekkäisten osvälien pituudet eivät kovin pljon poikke toisistn Tällöin on määriteltävissä lähimpien kvdrtuuripisteiden välimtk kuvv, välillä [,b] jtkuv funktio h(x) siten, että osväleillä [x k 1,x k ] pätee h(x) x k x k 1, trkemmin C 1 (x k x k 1 ) h(x) C 2 (x k x k 1 ), x [x k 1,x k ], missä C 1 j C 2 ovt vkioit ) Näytä, että tehdyin oletuksin kvdrtuuripisteiden kokonismäärä n (johon lskutyö on verrnnollinen) on suuruusluokk n 1 h(x) dx b) Päättele, että jos f (4) on jokisell osvälillä likimin vkio (näin on, jos jko on riittävän tiheä), niin integroimisvirhe koko välillä [, b] on suuruusluokk E(f) ρ(x)dx, ρ(x) = [h(x)]4 f (4) (x) c) Olkoon lskettv integrli 1 0 e x dx, missä [1, ) Jos virhetolernssiksi setetn ε = 10 8, niin mitä suuruusluokk on trvittv kvdrtuuripisteiden lukumäärä n (j siis lskutyö) prmetrin funktion, kun h(x) = h = vkio (tsvälinen jko)? d) Adptiivinen integroij päätyy c-kohdn integrliss utomttisesti selliseen kvdrtuuripisteiden sijoitteluun, että virhetiheys ρ(x) em virhekvss on likimin vkio j kokonisvirheen itseisrvo ε Arvioi n prmetrin funktion tällisess optimlisess kvdrtuuriss 590

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

Numeerinen integrointi.

Numeerinen integrointi. Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun

Lisätiedot

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 10 To 6.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 10 To 6.10.2011 p. 1/35 p. 1/35 Numeerinen integrointi Puolisuunnikassääntö b a f(x)dx = h 2 (f 0 + f

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut . Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 + I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue

Lisätiedot

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys. TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk

Lisätiedot

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

7 Numeerinen derivointi ja integrointi

7 Numeerinen derivointi ja integrointi 7 Numeerinen derivointi j integrointi 7.1 Derivttojen estimointi Numeerisell derivoinnill trkoitetn likirvon lskemist funktion f : R R derivtlle f ilmn derivtn nlyyttistä lusekett. Jos funktion f rvo tunnetn

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto Fkultet/Sektion Fculty Litos Institution Deprtment Mtemttis-luonnontieteellinen Tekijä Förfttre Author Antti Khri Työn

Lisätiedot

Numeerinen integrointi ja derivointi

Numeerinen integrointi ja derivointi Numeerinen integrointi ja derivointi Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Interpolaatiokaavat Approksimoitava integraali I = b a f(x)dx. Tasavälinen hila: x i = a+ (b a)i n, i = 0,...,n Funktion

Lisätiedot

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia. 2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentili- j integrlilskent 1 Riikk Korte (Pekk Alestlon klvojen pohjlt) Alto-yliopisto 22.11.2016 Sisältö Pint-l Integrli 1.1 Pint-l: Suorkulmio Seurvss trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmi

Lisätiedot

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

Kertausta ja täydennystä

Kertausta ja täydennystä LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin

Lisätiedot

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita Anlyyttiset funktiot j integrointiteorin lkeit 6. helmikuut 2006 isältö 1 Kertust 1 2 Anlyyttiset funktiot 2 2.1 Anlyyttiset funktiot tsoll................... 2 2.2 Monogeeniset funktiot vruudess R n.............

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 11 Ti 11.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 11 Ti 11.10.2011 p. 1/34 p. 1/34 Automaattiset integrointialgoritmit Numeerisen integroinnin tarkkuuteen

Lisätiedot

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä

Lisätiedot

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon. 5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

Olkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F)

Olkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F) T 79.148 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2.4 Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään

Lisätiedot

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014 763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Rtkisut 1 Kevät 014 1. Tehtävä: Lske, kuink mont hilpistettä on yksikkökopiss ) yksinkertisess kuutiollisess, b) tkk:ss j c) pkk:ss. (Ot huomioon, että esimerkiksi yksikkökopin

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

Olkoon. äärellinen automaatti. Laajennetaan M:n siirtymäfunktio yksittäisistä syötemerkeistä merkkijonoihin: jos q Q, x Σ, merkitään

Olkoon. äärellinen automaatti. Laajennetaan M:n siirtymäfunktio yksittäisistä syötemerkeistä merkkijonoihin: jos q Q, x Σ, merkitään T 79.00/002 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2. Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään

Lisätiedot

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30 Digitlinen videonkäsittely Hrjoitus 5, vstukset tehtäviin 5-30 Tehtävä 5. ) D DCT sdn tekemällä ensin D DCT kullekin riville, j toistmll D DCT tuloksen sdun kuvn srkkeill. -D N-pisteen DCT:, k 0 N ( k),

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT Lyhyt mtemtiikk YO-vlmennus 8. mliskuut 00 LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE RATKAISUT. Trkstelln yhtälöpri, polynomin sievennöstä j lusekkeeseen sijoittmist. ) Rtkistn jälkimmäisestä yhtälöstä x, jolle

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit

Sarjat ja integraalit Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................

Lisätiedot

Vakioiden variointi kolmannen kertaluvun yhtälölle

Vakioiden variointi kolmannen kertaluvun yhtälölle Vkioiden vriointi kolmnnen kertluvun yhtälölle Olkoon trksteltvn kolmnnen kertluvun linerinen epähomogeeninen differentiliyhtälö > diffyht:= (-1)*diff(y(), $3)-*diff(y(), $2)+diff(y(), )=ep(^2); diffyht

Lisätiedot

JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.

JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista. JATKUVAT FUNKTIOT JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva funktio Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista., suomennos Matti Pauna JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva

Lisätiedot

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen

Lisätiedot

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi! MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske

Lisätiedot

7.lk matematiikka. Geometria 1

7.lk matematiikka. Geometria 1 7.lk mtemtiikk 1 Htnpään koulu 7B j 7C Kevät 2017 2 Sisällys 1. Koordintisto... 4 2. Kulmien nimeäminen j luokittelu... 8 3. Kulmien mittminen j piirtäminen... 10 4. Ristikulmt j vieruskulmt... 14 5. Suort,

Lisätiedot

SUORAKULMAINEN KOLMIO

SUORAKULMAINEN KOLMIO Clulus Lukion Täydentävä ineisto 45 0 45 60 ( - ) + SUORKULMINEN KOLMIO Pvo Jäppinen lpo Kupiinen Mtti Räsänen Suorkulminen kolmio Suorkulminen kolmio Käsillä olev Lukion Clulus -srjn täydennysmterili

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

2.1 Vaillinaiset yhtälöt

2.1 Vaillinaiset yhtälöt .1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön

Lisätiedot

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta. MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin

Lisätiedot

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Annik Heinonen Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Helmikuu 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Newtonin integrli 2 2.1

Lisätiedot

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin Hnn Hlinen Mtemtiikn pro grdu Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kesä 4 Tiivistelmä: Hnn Hlinen, Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin

Lisätiedot