Numeerinen integrointi
|
|
- Kristiina Salminen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin) Jtkoss oletetetn, että[, b] on suljettu väli j f ko välillä inkin jtkuv, jolloin f on myös Riemnn-integroituv (Luse IX71) Jtkoss setetn integroitvlle funktiolle voimkkmpikin säännöllisyysvtimuksi Numeerisen integroinnin lgoritmeill trkoitetn yleensä nk numeerisi kvdrtuurej (ti kvdrtuurisääntöjä, engl qudrture rule), joiss integrli pproksimoidn äärellisenä summn muoto f(x)dx N w i f(x i ) (1) Tässä pisteitä x i, i = 1N (yleensä x i [,b]) snotn kvdrtuuripisteiksi j lukuj w i kvdrtuuripinoiksi Kvdrtuuripisteitä j -pinoj vlittess integroimisväli jetn usein ensin osväleihin [x k 1,x k ], k = 1n (eli menetellään smoin kuin integrlin määrittelyssä lunperin) Tällöin integrlin dditiivisuuden nojll on I(f,,b) = f(x)dx = i=1 n k=1 xk x k 1 f(x)dx = n I k (2) Jos integroitv funktio on säännöllinen j osvälit [x k 1,x k ] riittävän lyhyitä, voidn osintegrlit I k = xk x k 1 f(x)dx lske likimäärin käyttämällä suhteellisen yksinkertist kvdrtuuri muoto (1), missä = x k 1 j b = x k Perustn kvdrtuurin yksinkertistumiselle lyhyellä välillä on Tylorin luse, jonk mukn säännöllinen funktio on likimin (mtl-steinen) polynomi lyhyellä välillä (ks Luku VIII4) Numeerisen integroinnin virhetrkstelujen lähtöjtuksen onkin juuri vertilu polynomeihin Jtkoss jtelln väli [, b] lkuperäisen integroimisvälin lyhyeksi osväliksi j f ko välillä (riittävän) säännölliseksi Tällisten lähtöoletusten vllitess yksinkertisimmt numeeriset kvdrtuurit ovt Kvdrtuuri trkoitt kirjimellisesti neliöimistä Termi viitt integrlin j pint-ln väliseen yhteyteen k=1 581
2 IX9 Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk Keskipistesääntö: Puolisuunnikssääntö: Simpsonin sääntö: f(x)dx (b )f( +b 2 ) f(x)dx 1 2 (b )[f()+f(b)] f(x)dx 1 [ 6 (b ) f()+4f( +b ] 2 )+f(b) Näistä etenkin Simpsonin sääntö (osväleillä käytettynä) on lskinten j tietokoneiden yleisesti käyttämä numeerisen integroinnin menetelmä Puolisuunnikssääntöön viittn usein myös nimellä trpetsi Nimensä mukisesti sääntö nt integrlin rvoksi puolisuunnikkn (trpetsin) pint-ln A: y y = f(x) A b x Kun ym sääntöjä käytetään osväleillä hjotelmss (2), niin tuloksen on lkuperäisen integrlin pproksimtio muoto (1) Snotn tällöin, että kyseessä on yhdistetty (engl composite) kvdrtuuri Esimerkiksi yhdistetty keskipistesääntö on kvdrtuuri muoto (1), missä vlitn x i = 1 2 (x i 1 +x i ), w i = x i x i 1, i = 1n = N Yhdistetty keskipistesääntö on siis eräs integrli pproksimoivist Riemnnin summist Suorn Riemnnin summiin perustuvist pproksimtioist tämä on yleensä trkin (ks virherviot jäljempänä) Simpsonin sääntö on numeerisen integroinnin klssikko, jot on iknn käytetty pljon käsinlskusskin Säännön keksi englntilinen mtemtikko Thoms Simpson ( ) 582
3 Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi Jos hjotelmss (2) jko on tsvälinen j merkitään h = x k x k 1, f k = f(x k ), niin yhdistetty puolisuunnikssääntö s muodon [ 1 f(x)dx h 2 f 0 +f 1 + +f n ] 2 f n j yhdistetty Simpsonin sääntö muodon f(x)dx h 6 [f 0 +4f 1 +2f f n 2 +4f n 1 +f n ] Yhdistetyssä Simpsonin säännössä jok toinen kvdrtuuripiste on osvälijon jkopiste j jok toinen (suurimmll pinokertoimell vrustettu) on osvälin keskipiste Esimerkki 1 Kun integrli 1 0 xe x2 /(x+1)dx pproksimoidn käyttäen tsvälistä yhdistettyä trpetsi j Simpsoni, sdn seurvt tulokset: pisteitä Trpetsi Simpson Tässä Simpson on trpetsi selvästi nopempi Tämä on odotettviss, kosk integroitv funktio on sileä, ks virherviot jäljempänä Esimerkki 2 Sm vertilusetelm kuin edellisessä esimerkissä Lsketn integrli 1 Tulokset ovt tässä tpuksess: 0 e x /( x+1)dx pisteitä Trpetsi Simpson
4 IX9 Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk Konvergenssi on nyt selvästi hitmp edellisessä esimerkissä, eikä eri menetelmillä ole tässä merkittävää ero Syynä on ilmeisesti se, että integroitv funktio on vähemmän säännöllinen kuin edellisessä esimerkissä (jtkuv, mutt ei jtkuvsti derivoituv integroimisvälillä) Em esimerkeissä on merkille pntv, että kun Esimerkin 2 integrliss tehdään sijoitus x = t, on tuloksen Esimerkin 1 integrli (kertoimell 2) Sijoitus siis knntt tässä tehdä, vikk se ei muuten (suljetuss muodoss integroimisen knnlt) tee tehtävää helpommksi Myös osittisintegroinnill, srjkehitelmillä ym voi usein mnipuloid tehtävää niin, että integroitvst funktiost tulee säännöllisempi, jolloin numeerisen integroinnin menetelmät toimivt premmin Virhervioist Osvälijkoon perustuvn yhdistetyn kvdrtuurin virhe rvioidn ensin erikseen kullkin osvälillä Trkstelln jtkoss edellä esitettyä kolme esimerkkiä: Keskipistesääntö, Trpetsi j Simpson Arvioitess virhettä yksittäisellä osvälillä on ensimmäisenä tehtävänä tutki, kuink korke-steisille polynomeille kvdrtuuri on trkk, ts on määrättävä indeksi m siten, että kvdrtuuri on trkk polynomille stett n täsmälleen kun n m Minituiss esimerkkitpuksiss on tulos seurv: Sääntö Trkk polynomeille stett Keskipistesääntö m = 1 Trpetsi m = 1 Simpson m = 3 Aloitetn keskipistesäännöstä Oletetetn, että integroitv funktio f on trksteltvll (os)välillä [, b] khdesti jtkuvsti derivoituv Merkitään c = ( + b)/2 j käytetään integroimisvirheelle symboli E(f) : E(f) = f(x)dx (b )f(c) Integroimisvirheen rvioiminen perustuu khteen perushvintoon: Ensinnäkin nähdään, että pätee E(f +g) = E(f)+E(g) (3) 584
5 Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi (Yleisemmin E(f) on linerinen f:n suhteen, eli E(αf +βg) = αe(f)+βe(g), α,β R) Toinen perushvinto on em tulukkoon perustuv: f(x) = A+Bx (A,B R) E(f) = 0 (4) Olkoon nyt p(x) = T 1 (x,c) = f:n ensimmäisen steen Tylorin polynomi pisteessä c, eli p(x) = f(c)+f (c)(x c) Tällöin on hvintojen (3) (4) perusteell, j kosk (f p)(c) = 0, E(f) = E(f p+p) = E(f p)+e(p) = E(f p) = Tylorin luseen (Luse VIII43) perusteell on f(x) p(x) = 1 2 f (ξ)(x c) 2 = f (ξ)ω(x), x [,b], missä ξ = ξ(x) (,b) Tässä on ω(x) = 1 2 (x c)2 0, joten jos M 1 = min x [,b] f (x), M 2 = mx x [,b] f (x), (f p)(x)dx niin jolloin M 1 ω(x) (f p)(x) M 2 ω(x), x [,b], M 1 ω(x)dx 1 24 M 1(b ) 3 Siis jollkin η [M 1,M 2 ] pätee (f p)(x)dx M 2 ω(x) dx (f p)(x)dx 1 24 M 2(b ) 3 E(f) = η 24 (b )3 Kosk f on jtkuv välillä [,b], niin M 1 = f (x 1 ) j M 2 = f (x 2 ) joillkin x 1,x 2 [,b] (Luse V111), jolloin η = f (ξ) jollkin ξ [,b] (Luse V19) Keskipistesäännölle on näin johdettu virhekv E(f) = 1 24 (b )3 f (ξ), ξ [,b] (Keskipistesääntö) 585
6 IX9 Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk Trpetsin tpuksess voidn virhekv joht vstvn tpn Tässä tpuksess on vertilupolynomiksi p kuitenkin vlittv Tylorin polynomin sijst ensimmäisen steen interpoltiopolynomi, jolle pätee p() = f() j p(b) = f(b) (ks Luku VIII7) Virhekvksi sdn (Hrjteht 5) E(f) = 1 12 (b )3 f (ξ), ξ [,b] (Trpetsi) Keskipistesäännön j trpetsin virhekvoist nähdään, että jos f (x) > 0 integroimisvälillä (eli jos f on ylöspäin kuper), niin keskipistesääntö nt integrlille liin pienen j trpetsi liin suuren rvon Em virhenlyysin perusteell ilmiön voi selittää niin, että keskipistesääntö integroi oikein f:n Tylorin polynomin T 1 (x,c), kun ts trpetsi integroi oikein f:n interpoltiopolynomin, vrt kuvio y Trpetsi Keskipistesääntö c b x Myös Simpsonin säännölle voidn joht virhekv smntyyppisellä päättelyllä kuin edellä Oletten, että f on neljä kert jtkuvsti derivoituv välillä [,b], sdn virhekvksi (ks Hrjteht 10) E(f) = 1 90 h5 f (4) (ξ), h = (b )/2, ξ [,b] (Simpson) Em virhekvoist voidn edelleen joht virhervioit yhdistetyille kvdrtuureille Rjoitutn tässä tsväliseen jkoon, eli oletetn, väli [, b] jetuksi osväleihin [x k 1,x k ], k = 1n, missä x k x k 1 = h = (b )/n k Olkoon integroitv funktio f khdesti jtkuvsti derivoituv välillä [,b], j olkoon M 1 j M 2 f :n minimi- j mksimirvot välillä [,b] Tällöin jos E k (f) = keskipistesäännön integrointivirhe osvälillä [x k 1,x k ], niin em virhekvn perusteell 1 24 M 1h 3 E k (f) 1 24 M 2h 3 Summeermll j huomioimll, että nh = b sdn kokonisvirheelle E(f) = n k=1 E k(f) rviot 1 24 (b )M 1h 2 E(f) 1 24 (b )M 2h 2 586
7 Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi Tässä on M 1 = f(x 1 ), M 2 = f(x 2 ) joillkin x 1,x 2 [,b], joten päädytään välirvomuotoiseen virhekvn kuten edellä Tsvälisen trpetsin j Simpsonin tpuksess menetellään vstvsti, jolloin tuloksen ovt seurvt virhekvt: Tsvälinen, yhdistetty kp-sääntö: E(f) = 1 24 (b )f (ξ)h 2 Tsvälinen, yhdistetty trpetsi: E(f) = 1 12 (b )f (ξ)h 2 Tsvälinen, yhdistetty Simpson: E(f) = (b )f(4) (ξ)h 4 Tässä on kikiss tpuksiss ξ [, b], j h on lähimpien kvdrtuuripisteiden väli, eli joko h = osvälin pituus (keskipistesääntö, trpetsi), ti h = osvälin pituus/2 (Simpson) Muun kuin tsvälisen jon tpuksess voidn em yhdistettyjen kvdrtuurien virhe rvioid muodoss E(f), missä oikell puolell on ±f (k) (ξ):n sijst f (k) (x) :n mksimirvo välillä [,b] j h on peräkkäisten kvdrtuuripisteiden suurin väli Yleisesti jos osvälijkoon perustuvn yhdistetyn numeerisen kvdrtuurin virhe on suuruusluokk O(h r ) (integroitvn funktion f olless riittävän säännöllinen), mutt ei luokk O(h r+1 ) (vikk f olisi kuink säännölinen), niin snotn, että ko menetelmän (trkkuuden) kertluku (engl order of ccurcy) on r Kuten em virhetrkstelust voi päätellä, on yleisesti r = m +1, jos numeerinen kvdrtuuri integroi osväleillä trksti polynomin stett m mutt ei polynomi stett m+1 Yhdistetty keskipistesääntö j trpetsi ovt siis toisen kertluvun menetelmiä, j yhdistetyn Simpsonin kertluku on r = 4 Esimerkkejä ensimmäisen kertluvun menetelmistä ovt Riemnnin summkvt, joiss kvdrtuuripisteet (eli välipisteet ξ k, vrt Luku IX4) eivät ole osvälien keskipisteitä (ks Hrjteht 7) Riemnnin summiin perustuvist pproksimtioist yhdistetty keskipistesääntö on siis trkkuutens puolest omss luokssn *Adptiivinen integrointi Lskimiss j numeeris symbolisiss tietokoneohjelmistoiss numeerisen integroinnin komentojen (esim Mthemtic: NIntegrte) tkn on usein yhdistetty Simpson, mhdollisesti myös korkemmn kertluvun yhdistettyjä kvdrtuurej Jko osväleihin ei näissä ohjelmiss yleensä suoritet tsvälisesti, vn integroitvn funktioon sopeutuen dptiivisesti Adptiivisen Simpsonin menetelmän iden on selvittää nuuskimll, kuink suuri on integroitvn funktion 587
8 IX9 Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk neljäs derivtt f (4) (x) trksteltvll osvälillä [x k 1,x k ] Perusjtus on yksinkertinen: Jos osväli on lyhyt (niinkuin lskun kuluess ennen pitkää on), niin voidn olett, että f (4) (x) on ko välillä likimin vkio = M k Tällöin vkio M k sdn selville tulkitsemll itse lgoritmin ntmi tuloksi posteriori (eli lskemisen jälkeen) seurvsti: Sovelletn ensin Simpsonin sääntöä välillä [x k 1,x k ] tulos I 1 Jetn sitten väli puoliksi j sovelletn Simpsonin sääntöä kummllkin osvälillä erikseen tulos I 2 Jos nyt integrlin trkk rvo = I välillä [x k 1,x k ], niin Simpsonin virhekvn mukn { I I 1 = 1 M 90 kh 5, I I 2 = 1 M ) 5 M k = 96h 90 k 2 (h 5 (I 1 I 2 ), h = 1(x 2 k x k 1 ) 2 Todellisuudess f (4) ei ole ivn vkio edes lyhyellä välillä (jos olisi, stisiin myös integrlin trkk rvo I selville!), mutt stu rvio on yleensä dptiivisiin trkoituksiin riittävä: Sen vull voidn ohjt lgoritmi tihentämään jko siellä, missä lskun ntm luku M k on itseisrvoltn suuri Algoritmi pyrkii trkemmin tihentämään jko niin, että virhetiheys, eli integroimisvirhe osvälillä jettun osvälin pituudell, on suunnilleen sm jokisell osvälillä (Tällinen jko on osoitettviss lskutyön knnlt optimliseksi) Adptiivinen lgoritmi toimii käytännössä hämmästyttävän hyvin myös useimmiss sellisiss tilnteiss, joiss funktio ei ole linkn niin säännöllinen kuin em lskuss oletetn (eli neljä kert jtkuvsti derivoituv) Näin käy vikkp Esimerkin 2 integroimistehtävässä, joss integroitv funktio ei ole edes jtkuvsti derivoituv (f(x) 1 x origon lähellä) Lskemll lukuj M k ym tvll lgoritmi päätyy tihentämään jko voimkksti origon lähellä (kuten pitää!) j pystyy tämän koneälyn nsiost lskemn integrlin rvon vditull trkkuudell lähes yhtä nopesti kuin Esimerkin 1 tilnteess (!) Minittkoon, että jos käytetään tsvälistä jko, niin sekä yhdistetyn Simpsonin että yhdistetyn trpetsin virhe on Esimerkissä 2 suuruusluokk O(h 3/2 ) (vrt numeeriset tulokset ko esimerkissä sekä Hrjteht 8) 588 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1 Integrli 1 f(x)dx lsketn yhdistetyllä, tsvälisellä trpetsill jkmll integroimisväli n osväliin Lske näin sdun likirvon virhe trks- 0 ti, kun ) f(x) = x(1 x), b) f(x) = e x 2 Lske integrlille 1 0 (x2 +1) 1 dx likirvo käyttämällä 11 pisteen yhdistettyä, tsvälistä Simpsonin sääntöä (5 osväliä) j vert trkkn rvoon
9 Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi 3 Näytä, että Simpsonin sääntö on sm kuin pproksimtio f(x)dx p(x) dx, missä p on toisen steen (interpoltio)polynomi, jok määritellään ehdoill p() = f(), p(b) = f(b) j p(c) = f(c), c = (+b)/2 4 Numeerisen integroinnin nk korjttu trpetsikv on f(x)dx 1 2 (b )[f()+f(b)]+β(b )2 [f (b) f ()], missä β vlitn niin, että kv on trkk polynomeille stett m = 3 Mikä on β:n rvo? Millinen on korjttu trpetsikv vstv yhdistetty kvdrtuuri, jos jko osväleihin on tsvälinen? 5 Olkoon f khdesti jtkuvsti derivoituv välillä [,b] j g = f p, missä p on ensimmäisen steen interpoltiopolynomi, jolle pätee p() = f() j p(b) = f(b) Näytä osittin integroimll, että pätee 1 2 (x )(b x)g (x)dx = g(x) dx Johd puolisuunnikssäännön virhekv tästä tuloksest 6 Todist Simpsonin säännön virhekv siinä tpuksess, että f (4) on vkio integroimisvälillä (eli f on polynomi stett 4) 7 Integrlin pproksimoiminen Riemnnin summll, joss välipisteiksi osväleillä [x k 1,x] vlitn ξ k = x k 1, vst osväleillä tehtyä pproksimtiot f(x)dx (b )f() Johd tälle virhekv E(f) = 1 2 (b )2 f (ξ), ξ [,b] Mikä on virhekv koko välillä, jos jko osväleihin on tsvälinen? 8 Integrlille 1 0 xdx lsketn kksi likirvo jkmll integroimisväli h:n pituisiin osväleihin (tsvälinen jko) j käyttämällä yhdistettyä Trpetsi j Simpsoni ) Lske kummsskin tpuksess integrointivirhe trksti osvälillä [0, h] b) Päättele, että yhdistetyn kvdrtuurin virhe on molemmiss tpuksiss vähintään suuruusluokk O(h 3/2 ) (Virhe on myös todellisuudess tätä suuruusluokk) 589
10 IX9 Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk 9 (*) (Arkhimedeen jäljillä) Suor S leikk prbelin K : y = x 2 pisteissä (, 2 ) j (b,b 2 ), jolloin suor erott prbelist segmentin A välillä [,b] ( < b) Olkoon A n segmentin pint-ln µ(a) likirvo, jok sdn jkmll väli [,b] tsvälisesti 2 n osväliin (n N) j käyttämällä yhdistettyä trpetsi Näytä pelkin lgebrn keinoin, että jono {A n } on geometrinen srj Lske µ(a) (= lim n A n ) tällä perusteell 10 (*) Johd Simpsonin virhekv käyttäen Luseen VIII74 tulost j kolmnnen steen vertilupolynomi p, jok määritellään ehdoill p() = f(), p(b) = f(b), p(c) = f(c) j p (c) = f (c), missä c = ( + b)/2 Oletetn, että f on neljä kert jtkuvsti derivoituv välillä [,b] 11 (*) Trkstelln integrlin f(x)dx lskemist dptiivisell, yhdistetyllä Simpsonin kvdrtuurill oletten, että f on neljästi jtkuvsti deri- voituv integroimisvälillä Jos f (4) :n rvo vihtelee ko välillä suuresti, niin dptiivinen lgoritmi päätyy jkmn integroimisvälin hyvin eripituisiin osväleihin [x k 1,x k ] Kosk f (4) on kuitenkin jtkuv, voidn olett, että vierekkäisten osvälien pituudet eivät kovin pljon poikke toisistn Tällöin on määriteltävissä lähimpien kvdrtuuripisteiden välimtk kuvv, välillä [,b] jtkuv funktio h(x) siten, että osväleillä [x k 1,x k ] pätee h(x) x k x k 1, trkemmin C 1 (x k x k 1 ) h(x) C 2 (x k x k 1 ), x [x k 1,x k ], missä C 1 j C 2 ovt vkioit ) Näytä, että tehdyin oletuksin kvdrtuuripisteiden kokonismäärä n (johon lskutyö on verrnnollinen) on suuruusluokk n 1 h(x) dx b) Päättele, että jos f (4) on jokisell osvälillä likimin vkio (näin on, jos jko on riittävän tiheä), niin integroimisvirhe koko välillä [, b] on suuruusluokk E(f) ρ(x)dx, ρ(x) = [h(x)]4 f (4) (x) c) Olkoon lskettv integrli 1 0 e x dx, missä [1, ) Jos virhetolernssiksi setetn ε = 10 8, niin mitä suuruusluokk on trvittv kvdrtuuripisteiden lukumäärä n (j siis lskutyö) prmetrin funktion, kun h(x) = h = vkio (tsvälinen jko)? d) Adptiivinen integroij päätyy c-kohdn integrliss utomttisesti selliseen kvdrtuuripisteiden sijoitteluun, että virhetiheys ρ(x) em virhekvss on likimin vkio j kokonisvirheen itseisrvo ε Arvioi n prmetrin funktion tällisess optimlisess kvdrtuuriss 590
Riemannin integraalista
Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss
Lisätiedotx k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b
5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),
LisätiedotSisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20
Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät
Lisätiedot1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [
1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x
Lisätiedot6 Integraalilaskentaa
6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion
Lisätiedot2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä
2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn
LisätiedotII.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku
II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä
Lisätiedot5 Epäoleellinen integraali
5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss
LisätiedotRiemannin integraali
LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset
Differentili- j integrlilskent (CHEM) Lskuhrjoitus / vko 7, mllivstukset Johdntotehtävä x dx = ln.693, joten rvo ln voidn pproksimoid integroimll numeerisesti funktiot x välillä [,]. Jetn väli [,] khteen
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,
Lisätiedot4 Taso- ja avaruuskäyrät
P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen
LisätiedotOSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA
OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij
Lisätiedot10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA
MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November
LisätiedotIntegraalilaskenta. Määrätty integraali
9..08 Integrlilskent Määräämätön Etsitään funktiot Derivoinnille käänteistoimenpide integroiminen Integrlifunktio F(x), jolle F x = f x, lisäksi integrlifunktioille G x = F x + C. Vkion C lisäys (merkitys),
LisätiedotNumeerinen integrointi.
Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun
Lisätiedot7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen
7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn
Lisätiedot5 Riemann-integraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Ala- ja yläintegraali
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 9 5 Riemnn-integrli 5. Al- j yläintegrli Voit olett tunnetuksi ll esitetyt supremumin j infimumin ominisuudet (joukot A j B ovt rjoitettuj sekä epätyhjiä j λ R). Jos
LisätiedotIntegraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO
Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten
LisätiedotKuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.
Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,
LisätiedotVille Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007
Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions
Lisätiedota = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1
5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.
LisätiedotRiemannin integraalista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin
LisätiedotTEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.
Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.
LisätiedotAnalyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P
Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................
Lisätiedot11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS
11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.
Lisätiedot3 Integraali ja derivaatta
3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,
LisätiedotSinilause ja kosinilause
Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,
LisätiedotViikon aiheet. Pinta-ala
info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen
LisätiedotKertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.
Lisätiedot4. Reaalifunktioiden määrätty integraali
6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot
LisätiedotPythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause
Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin
LisätiedotKäydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.
DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdtus relifunktioihin 802161P, 5op Os 3 Pekk Slmi 19. lokkuut 2015 Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 1 / 48 Integrlit 1 Määrätty integrli = oike integrli: esim. 1 0 x 2 dx = reliluku 2 Määräämätön integrli
LisätiedotPolynomien laskutoimitukset
Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää
LisätiedotPainopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1
Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon
LisätiedotMääritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.
Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio
LisätiedotSisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15
Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013
Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)
LisätiedotMatemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi
Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt
LisätiedotMatematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P
Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4
LisätiedotRistitulo ja skalaarikolmitulo
Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden
LisätiedotR4 Harjoitustehtävien ratkaisut
. Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 10 To 6.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 10 To 6.10.2011 p. 1/35 p. 1/35 Numeerinen integrointi Puolisuunnikassääntö b a f(x)dx = h 2 (f 0 + f
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa II
MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, os II G. Gripenberg Alto-yliopisto 9. helmikuut 16 G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, 9. helmikuut
LisätiedotMatematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki
Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn
LisätiedotAnalyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että
Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A
LisätiedotSyksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.
Lisätiedot2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.
2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x
Lisätiedoti 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +
I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue
LisätiedotTYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.
TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk
LisätiedotSarjaratkaisun etsiminen Maplella
Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.
LisätiedotMatematiikan peruskurssi. Seppo Hassi
Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät
Lisätiedot521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:
12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:
Lisätiedot2 Epäoleellinen integraali
ANALYYSI C, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, SYKSY 8 Epäoleellinen integrli Integrointivihje: Hyödynnä yhdistetyn funktion integrointisääntöä.. Määritä 9 9 (c) ( ). Tutki, millä vkion p rvoill epäoleellinen integrli
LisätiedotEsimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.
8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentili- j integrlilskent 1 Riikk Korte (Pekk Alestlon klvojen pohjlt) Alto-yliopisto 22.11.2016 Sisältö Pint-l Integrli 1.1 Pint-l: Suorkulmio Seurvss trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmi
Lisätiedot4 Pinta-alasovelluksia
Pint-lsovelluksi. Kuvjn lle jäävä pint-l voidn määrittää, jos kuvj on -kselin yläpuolell. Välillä [, 5] funktion f kuvj on -kselin lpuolell. Peiltn funktion f kuvj -kselin suhteen, jolloin sdn funktion
Lisätiedot7 Numeerinen derivointi ja integrointi
7 Numeerinen derivointi j integrointi 7.1 Derivttojen estimointi Numeerisell derivoinnill trkoitetn likirvon lskemist funktion f : R R derivtlle f ilmn derivtn nlyyttistä lusekett. Jos funktion f rvo tunnetn
LisätiedotHELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto Fkultet/Sektion Fculty Litos Institution Deprtment Mtemttis-luonnontieteellinen Tekijä Förfttre Author Antti Khri Työn
LisätiedotNumeerinen integrointi ja derivointi
Numeerinen integrointi ja derivointi Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Interpolaatiokaavat Approksimoitava integraali I = b a f(x)dx. Tasavälinen hila: x i = a+ (b a)i n, i = 0,...,n Funktion
LisätiedotIntegroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä
Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,
LisätiedotLINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat
(0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset
LisätiedotKertausta ja täydennystä
LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin
LisätiedotMikrotalousteoria 2, 2008, osa III
Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6
LisätiedotNeliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on
4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void
Lisätiedot3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko
3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu
LisätiedotReaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?
Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS
0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö
Lisätiedot8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella
H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että
LisätiedotSäännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja
Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 11 Ti 11.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 11 Ti 11.10.2011 p. 1/34 p. 1/34 Automaattiset integrointialgoritmit Numeerisen integroinnin tarkkuuteen
LisätiedotMika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014
Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen
Lisätiedot763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014
763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Rtkisut 1 Kevät 014 1. Tehtävä: Lske, kuink mont hilpistettä on yksikkökopiss ) yksinkertisess kuutiollisess, b) tkk:ss j c) pkk:ss. (Ot huomioon, että esimerkiksi yksikkökopin
LisätiedotAnalyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita
Anlyyttiset funktiot j integrointiteorin lkeit 6. helmikuut 2006 isältö 1 Kertust 1 2 Anlyyttiset funktiot 2 2.1 Anlyyttiset funktiot tsoll................... 2 2.2 Monogeeniset funktiot vruudess R n.............
LisätiedotParaabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.
5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson
Lisätiedotθ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö
22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2
LisätiedotPertti Koivisto. Analyysi C
Pertti Koivisto Anlyysi C TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 68/28 TAMPERE 28 TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 68/28 JOULUKUU 28 Pertti Koivisto Anlyysi
LisätiedotOlkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F)
T 79.148 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2.4 Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään
Lisätiedot5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)
5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät
LisätiedotTehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi
Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,
LisätiedotOlkoon. äärellinen automaatti. Laajennetaan M:n siirtymäfunktio yksittäisistä syötemerkeistä merkkijonoihin: jos q Q, x Σ, merkitään
T 79.00/002 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2. Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään
LisätiedotDigitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30
Digitlinen videonkäsittely Hrjoitus 5, vstukset tehtäviin 5-30 Tehtävä 5. ) D DCT sdn tekemällä ensin D DCT kullekin riville, j toistmll D DCT tuloksen sdun kuvn srkkeill. -D N-pisteen DCT:, k 0 N ( k),
Lisätiedotlim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.
Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös
LisätiedotSuorat, käyrät ja kaarevuus
Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.
LisätiedotSarjat ja integraalit
Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................
LisätiedotJATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.
JATKUVAT FUNKTIOT JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva funktio Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista., suomennos Matti Pauna JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva
LisätiedotVakioiden variointi kolmannen kertaluvun yhtälölle
Vkioiden vriointi kolmnnen kertluvun yhtälölle Olkoon trksteltvn kolmnnen kertluvun linerinen epähomogeeninen differentiliyhtälö > diffyht:= (-1)*diff(y(), $3)-*diff(y(), $2)+diff(y(), )=ep(^2); diffyht
LisätiedotPinta-alan laskeminen
Pint-ln lskeminen Esimerkki Välillä, jtkuvn, einegtiivisen funktion f määrätt integrli nt suorn pint-ln, eli f = A. INTEGRAALILASKENTA, MAA9 A = f Toislt, jos f on välillä,, eipositiivinen, eli f R, niin
Lisätiedot