Lebesguen integraali

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Lebesguen integraali"

Transkriptio

1 LUKU 3 Lebesguen integrli Seurvss esitettävä määritelmä Lebesguen integrlille ei ole Lebesguen lkuperäinen. Vuoden 1904 luennoissn [23] hän kuitenkin setti tvoitteeksi, että integrlill olisi ominisuus: kun jono (f n ) n=1 on ksvv j sen rjfunktio f, niin f [,b] n f. Seurvss määritelmässä tätä konvergenssiominisuutt väljennetään [,b] hiemn. Määritelmä 3.1. Olkoon f : nnettu funktio. Snotn, että f L ks (ti että f on yläfunktio), jos on olemss ksvv porrsfunktiojono (s n ) n=1 siten, että (3.1) lim s n (x) = f(x) m.k. x j lim s n (x) dx <. Kun f L ks, on luku (3.2) f := funktion f Lebesguen integrli. f(x) dm(x) := lim s n (x) dx Huomutus 3.2. ) Lebesguen integrli f on riippumton jonon (s n) n=1 vlinnst. Nimittäin, jos myös jonoll (t n ) n=1 on smt ominisuudet (3.1) kuin jonoll (s n ) n=1, niin lim s n (x) = f(x) = lim t n (x) m.k. x. Seuruksen 2.8 nojll on lim s n (x) dx = lim t n (x) dx. b) Jos f on porrsfunktio, niin f L ks j määritelmän 3.1 mukinen Lebesguen integrli on sm kuin funktion f porrsfunktiointegrli. Jonoksi (s n ) n=1 voidn nimittäin vlit vkiojono s n = f kikille n Z +. c) Olkoot f L ks j funktio g relikselill määritelty funktio siten, että f(x) = g(x) m.k. x. Tällöin g L ks j g = f. Funktiolle g voidn nimittäin käyttää sm porrsfunktiojono kuin funktiolle f. d) Lemm 2.6 tk, että ksvvn porrsfunktiojonon (s n ) n=1, jolle s n (x) dx <, lim rj-funktion rvot ovt äärelliset nollmittist joukko lukuunottmtt. 1 Viimeksi muutettu

2 3. LEBESGUEN INTEGAALI 7 Lemmn 2.6 rjfunktion lim g n (x) =: g(x) luonnollinen rvo pisteessä x, joss jono (g n (x)) n=1 ei ole rjoitettu, on g(x) =. Kun myöhemmin monotonisten (ti muidenkin) funktiojonojen (g n ) n=1 kohdll päädytään tilnteeseen, missä rjfunktion rvo on + ti ti jono ei suppene nollmittisess joukoss, voidn rjfunktio korjt relirvoiseksi settmll (hiemn epäloogiselt vikuttv) { lim g n (x), jos jono (g n (x)) n=1 suppenee, g(x) := 0, jos jono (g n (x)) n=1 ei suppene. Toinen vihtoehto on slli rjfunktiolle rvot + j. Mitt- j integrliteorin kurssill [19] näin menetelläänkin, mutt tämä edellyttää trkkvisuutt. (Erotus ei ole järkevästi määriteltävissä, joten funktioiden yhteen- j vähennyslskujen määriteltävyys on ongelmllisemp kuin relirvoisille funktioille.) Jtkoss rjfunktioiden rvot oletetn korjtun relirvoisiksi yllä olevn funktion g mllin mukisesti (eli ongelmpisteissä g(x) := 0). e) Merkintöjen f j f(x) dm(x) sijst Lebesguen integrli stetn myös merkitä f(x) dx, mutt tässä yhteydessä tätä merkitää pyritään välttämään, jottei seknnust (epäoleellisiin) iemnnin integrleihin syntyisi. Ajtus Lebesguen integrlin määrittelemiseksi yllä olevll tvll (j määritelmällä 3.10) on peräisin Frigyes iesziltä vuodelt 1919 [30]. Tiettävästi ensimmäinen oppikirjesiintyminen tälle määrittelytvlle on ieszin j Bel Sz.-Ngyn funktionlinlyysin kirjss [31, luku II]. Lemmt 2.7 j 2.6 kulkevt siellä nimillä Lemm A j Lemm B. Jo hiemn ennen ieszin rtikkeli M. Fréchet (1915) j vrsinkin P. J. Dniell ( ) olivt trkstelleet integrllikäsitteelle bstrkti yleistystä. Nykyisin Dniellin integrlin tunnettu integrli on vstvnkltinen ljennus kuin mitä Lebesguen integrli on porrsfunktiointegrlist. Lähtökohtn on funktiovruus Y ( yksinkertiset funktiot) j kuvus I : Y ( integrli ), joll on ominisuudet ) I on linerikuvus, eli I(αf + βg) = αi(f) + βi(g), kun f, g Y j α, β, b) I on positiivinen, t.s. I(f) 0, kun f 0, j c) I on jtkuv (tämä vtisi trkemmn selvityksen). Tätä ljennusmenetelmää kuvtn lyhyesti kirjss [31, 63], vrsin perusteellisesti kirjss [13, luku 3], smoin kuin kirjss [34]. Esimerkki 3.3. Olkoon f :, f(x) = 0, kun x < 0, j f(x) = 1/k 2, kun k 1 x < k, k Z +. Tällöin f L ks. Jono (s n ) n=1, missä s n (x) := 0, kun x < 0, j s n (x) = 1/k 2, kun k 1 x < k j k n, j s n (x) := 0, kun x n, on ksvv jono porrsfunktioit, jolle s n (x) f(x) kikille x. Huom, että f itse ei ole porrsfunktio (porrsfunktion pitää hävitä rjoitetun välin ulkopuolell j sen rvojoukko on äärellinen). Lisäksi lim s n = lim n k=1 1 k 2 <. Esimerkki 3.4. Muutetn edellistä esimerkkiä siten, että f(x) := 1/k, kun k 1 x < k, k Z +, j s n (x) := 1/k, kun k 1 x < k j k n, j s n (x) := 0,

3 3. LEBESGUEN INTEGAALI 8 kun x n, Tällöin (s n ) n=1 on ksvv jono porrsfunktioit, jolle s n (x) f(x) kikille x. Lisäksi n 1 lim s n = lim k =. Tästä ei kuitenkn void päätellä, että f L ks. Tämän osoittmiseksi pitäisi näyttää, että jos (t n ) n=1 on mikä thns ksvv jono porrsfunktioit, jolle t n (x) f(x) melkein kikille x, niin lim t n =. Tämä seur helpoiten (ntiteesin kutt) seurvss luvuss todistettvst monotonisen konvergenssin luseest. Esimerkki 3.5. Olkoot, b siten, että < b j g : [, b] jtkuv. Asetetn f :, f(x) = 0, kun x < ti x > b, j f(x) = g(x), kun x b. Tällöin f L ks. Tämä esimerkki on erikoistpus seurvst. Lukijn knntt hrjoituksen vuoksi käydä todistus läpi suorn. Mlli s kurssill Anlyysi 2 todistetust tuloksest Jtkuv funktio on iemnn-integroituv. Tärkeä ominisuus on, että jtkuv funktiot g : [, b] voidn pproksimoid tsisesti porrsfunktioill tsist jtkuvuutt vuksi käyttäen. Esimerkki 3.6. Olkoot, b siten, että < b j g : [, b] on rjoitettu j melkein kikkill jtkuv. Muist, että g on melkein kikkill jtkuv trkoitt, että joukko N = {x [, b] g on epäjtkuv pisteessä x} on nollmittinen. Asetetn f :, f(x) = 0, kun x < ti x > b, j f(x) = g(x), kun x b. Tällöin f L ks. Jetn väli [, b] 2 n yhtäpitkään osväliin [x j 1, x j ], 1 j 2 n, missä x j = + j (b )/2 n. Asetetn k=1 m j := inf{g(x) x [x j 1, x j ]}. Määritellään porrsfunktio s n settmll s n (x) = 0, kun x < ti x > b, j välillä [, b] s n (x) := m j, kun x j 1 < x x j, j s n () := m 1. Tällöin välillä [, b] on s n g; välin [, b] ulkopuolell on s n = f. Lisäksi porrsfunktion s n+1 jkovälit sdn puolittmll porrsfunktion s n jkovälit, joten s n s n+1. (Porrsfunktio s n on funktion g Drboux n lsummn määräävä lporrsfunktio.) Osoitetn, että s n (x) g(x) jokisess funktion g jtkuvuuspisteessä x (, b). Olkoon g jtkuv pisteessä x. Tällöin jokiselle ε > 0 on olemss δ = δ x,ε > 0 siten, että g(x) ε < g(y) < g(x) + ε, kun x δ < y < x + δ. Olkoon m(δ) = inf{g(y) y (x δ, x + δ)}. Tällöin g(x) ε m(δ), joten g(x) m(δ) + ε. Kun n on riittävän suuri, on jollekin k {1,..., 2 n } voimss x [x k 1, x k ] (x δ, x + δ). Tällöin s n (x) = m k g(x) m(δ) + ε m k + ε = s n (x) + ε. Kosk jono (s n ) n=1 on ksvv j s n g, on kikille n n s n (x) g(x) s n (x) + ε.

4 3. LEBESGUEN INTEGAALI 9 Siis s n (x) g(x), kun n. Kosk funktion g epäjtkuvuuspisteiden joukko on nollmittinen, on s n f melkein kikkill. Integrlien jono ( s n) n=1 on ksvv j b s n M dx = M (b ), missä M = sup{g(x) x [, b]}. Funktio f on siis Lebesgue-integroituv. Tähän esimerkkiin pltn myöhemin iemnnin integrlin yhteydessä. Nimittäin, rjoitettu funktio g : [, b] on iemnn-integroituv, jos j j vin jos se on jtkuv melkein kikkill. (Todistetn myöhemmin.) Esimerkki 3.7. Olkoon g : (0, 1], g(x) = 1/ x. Asetetn f :, f(x) = 0, kun x 0 ti x > 1, j f(x) = g(x), kun 0 < x 1. Osoitetn, että f L ks. Käytetään vstv jko j porrsfunktiot s n kuin edellisessä esimerkissä (x j = j/2 n, s n (x) = (j/2 n ) 1/2 välillä (x j 1, x j )). Tällöin jono (s n ) n=1 on ksvv j s n = 2 n j=1 Summlle voidn helposti joht rviot joist seur, että 2( 2 n + 1 1) < ( j 2 n ) 1/2 1 2 n = 1 2 n/2 2 n j=1 2 n j=1 1 j < 2 2 n, s n 2, kun n. 1 j. Siis f L ks j f = 2. (Helpompi tp integrlin lskemiseen sdn myöhemmin: Anlyysin perusluse!) Tämä esimerkki selvittänee, miksi käytetään ksvvi porrsfunktiojonoj. Esimerkin tilnteess, ylöspäin rjoittmttomlle funktiolle f, ei ole olemss porrsfunktiot s, jolle f s. Määritelmän 3.1 ensisijisen jtuksen on kuitenkin määritellä integrli luksi ei-negtiivisille funktioille (kuten f + j f ) j myöhemmin vihtuvmerkkisille funktioille (esimerkiksi jon f = f + f vull) käyttämällä integrlin linerisuutt. (Linerisuus sdn määritelmän seuruksen, mutt implisiittisesti se on mukn määritelmässä.) Esimerkki 3.8. Olkoon f :, { 1, kun x Q, f(x) = 0, kun x \ Q. Tällöin f = 0 melkein kikkill (kosk Q on nollmittinen), joten f on Lebesgueintegroituv (nollfunktio on tietysti porrsfunktion Lebesgue-integroituv; vrt. huomutuksen 3.2 kohdt b) j c)).

5 3. LEBESGUEN INTEGAALI 10 Huomutuksen 3.2 kohdn c) mukinen ominisuus (nollmittinen joukko ei vikut integroituvuuteen eikä integrlin rvoon) stt tuntu hlphintiselt tempult Lebesguen integrlin määritelmässä (siinähän nollmittisten joukkojen vikutus jätetään täysin huomiott, lim s n (x) = f(x) m.k. x ). Lebesguen integrlill on kuitenkin vstv dditiivisuusominisuus integroimisjoukon suhteen kuin iemnnin integrlill: f = f + f, A B kun A j B ovt mitllisi j pistevierit. Jos B on nollmittinen, niin f = 0 B (inkin, jos f on rjoitettu: f M = f f M m(b) = 0). B B Siis funktiot rvot nollmittisess joukoss eivät vikut integrlin rvoon. Tästä trkemmin myöhemmin. Seurvn luseeseen on koottu tuttuj integrlin perusominisuuksi. Yläfunktioihin liittyen on syytä kuitenkin huomt, että funktiolle f L ks voi oll f L ks, joten L ks ei ole vektorivruus. Luse 3.9. Olkoot f, g L ks sekä 0 α <. Tällöin ) αf L ks, b) f + g L ks, c) mx(f, g) L ks, d) min(f, g) L ks ; e) αf = α f j f) (f + g) = f + g; g) jos f g, niin f g. Todistus. Olkoot (s n ) n=1 j (t n ) n=1 ksvvi porrsfunktiojonoj, jotk määräävät funktiot f j g määritelmän 3.1 mukisesti. Koht g) seur suorn seuruksest 2.8. On helppo todet, että porrsfunktiojonot (αs n ) n=1, (s n +t n ) n=1, (mx(s n, t n )) n=1 j (min(s n, t n )) n=1 ovt ksvvi j, että niiden rjfunktioin melkein kikkill ovt αf, f +g, mx(f, g) j min(f, g). Määritelmän nojll riittää trkist, että vstvt integrlijonot pysyvät rjoitettuin: lim (αs n ) = α lim s n = α f, j lim (s n + t n ) = lim A s n + lim t n = mx(s n, t n ) (s n + s 1 + t n + t 1 ) min(s n, t n ) s n f. B f + f + g s 1 + g + Toiseksi viimeisessä kohdss käytettiin epäyhtälöä mx{, b} + b, kun, b ovt ei-negtiivisi, j tieto, että porrsfunktiot s n + s 1 j t n + t 1 ovt einegtiivisi. t 1,

6 3. LEBESGUEN INTEGAALI 11 Määritelmä Olkoon f : nnettu funktio. Snotn, että f on Lebesgue-integroituv, jos on olemss g, h L ks siten, että f = g h melkein kikkill. Tässä tpuksess funktion f Lebesguen integrli on luku f := f(x) dm(x) := g h. Lebesgue-integroituvien funktioiden joukko merkitään L 1 = L 1 (). Huomutus ) Funktion f Lebesguen integrli ei riipu vlituist funktioist g, h L ks. Nimittäin, jos f = g 1 h 1 = g 2 h 2, missä g 1, h 1, g 2, h 2 L ks, niin g 1 + h 2 = g 2 + h 1 L ks, joten g 1 + h 2 = (g 1 + h 2 ) = (g 2 + h 1 ) = g 2 + h 1. Siis g 1 h 1 = g 2 b) Jos f L ks, niin f L 1 j määritelmien 3.1 j 3.10 mukiset integrlit f ovt smt, kosk voidn vlit g = f j h = 0. c) Jos f L 1 j f = f melkein kikkill, niin f L 1 j f = f, kosk molemmille funktioille f j f voidn käyttää sm pri g, h L ks. d) Jos trksteltville funktioille f L 1 hluttisiin slli myös rvot + j, niin funktiot g, h L ks voivt sd rvot + j vin nollmittisiss joukoiss. Tällöin funktion f = g h määriteltävyyden knss on ongelmi (tpukset g(x) = + j h(x) = +, sekä g(x) = j h(x) = ) vin nollmittisess joukoss. Nämä ongelmt kierrettäisiin settmll f(x) = 0, jos g(x) = + j h(x) = +, ti jos g(x) = j h(x) =. Luse Olkoot f, g L 1 sekä α. Tällöin ) αf L 1 ; b) f + g L 1 c) mx(f, g) L 1 ; d) min(f, g) L 1 ; e) f L 1 ; f) f +, f L 1 ; g) αf = α f; h) (f + g) = f + g; i) jos f g, niin f g. Todistus. Olkoot s, t, u, v L ks siten, että f = s t j g = u v melkein kikkill. ) j g): Jos α 0, seurvt väitteet helposti iemmin L ks -funktioille todistetust. Olkoon α < 0. Tällöin αf = ( α)t ( α)s melkein kikkill j αf = ( α)t ( α)s = ( α) t ( α) s = α f. Huom: ( α)t, ( α)s L ks. h 2.

7 3. LEBESGUEN INTEGAALI 12 b) j h): Tällöin f + g = (s + u) (t + v) melkein kikkill j (f + g) = (s + u) (t + v) = s + u t v = f + g. i): Jos f g, on s + v u + t, joten s + v u + t. Siis f = s t u v = g. e): On helppo trkist, että f = mx(s, t) min(s, t) melkein kikkill. Luseen 3.9 nojll mx(s, t), min(s, t) L ks. Kohdt c), d) j f) seurvt helposti, kun huomtn, että Seurus Jos f L 1, niin mx(f, g) = 1 (f + g + f g ), 2 min(f, g) = 1 (f + g f g ), 2 f + = mx(f, 0), f = min(f, 0). f Todistus. Edellisen luseen kohtien ) j i) nojll ehdost f f f seur f f f. Merkintä Olkoon I väli, jonk päätepisteet ovt j b, b ( = j/ti b = + sllittuj). Olkoon f : I nnettu funktio. Asetetn f :, f(x) = 0, kun x \ I, j f(x) = f(x), kun x I. Funktio f on funktion f nolljtko. Jos f L 1 (), snotn, että f on integroituv välillä I j merkitään f L 1 (I). Funktion f Lebesguen integrli yli välin I on f := f(x) dm(x) := f. I Jos sekntumisen vr iemnn-integrliin ei ole, voidn merkitä b b f := f(x) dm(x) := f. Määritellään myös (huom: b ) b f := b I f. f(x) dm(x) := b I f = f. I Huom, että f = 0, sillä tässä tpuksess f = 0 melkein kikkill. Kosk Lebesguen integrlin kohdll mielenkiinto kohdistuu epäjtkuviin funktioihin, esitetään integrlilskennn välirvoluse yleensä seurvss muodoss, jonk todistus jätetään hrjoitustehtäväksi: Seurus Olkoot, b, < b, j f L 1 ([, b]). Oletetn, että on olemss m, M siten, että m f(x) M m.k. x [, b].

8 Tällöin 3. LEBESGUEN INTEGAALI 13 m (b ) [,b] f M (b ). Luse Olkoot f L 1 j c. Tällöin f L 1 ((, c]) j f L 1 ([c, )). Lisäksi pätee c (3.3) f(x) dm(x) = f(x) dm(x) + f(x) dm(x). Todistus. Kv (3.3) pätee, jos f on porrsfunktio. Osoitetn väite tämän tiedon vull luksi ei-negtiivisille yläfunktioille j sitten mielivltiselle Lebesgueintegroituvlle funktiolle. Tpus f L ks, f 0: Määritelmän nojll on olemss ksvv porrsfunktiojono (s n ) n=1 siten, että lim s n(x) = f(x) m.k. x j lim s n (x) dx = f(x) dm(x). Tällöin jono (s + n ) n=1, missä s + n (x) = mx{s n (x), 0}, on ksvv jono ei-negtiivisi porrsfunktioit. Kosk f(x) 0, on lim s+ n (x) = mx { lim s n (x), 0 } = mx{f(x), 0} = f(x) m.k. x. Lisäksi jokiselle osvälille J pätee (Luse 3.9, koht g; s + n, f L ks ) s n (x) + dx s n (x) + dx f(x) dm(x). J Kun tätä sovelletn väliin J = I 1 := (, c], nähdään, että fχ I1 L ks (χ I1 on välin I 1 krkteristinen funktio). Vstvsti fχ I2 L ks, missä I 2 := [c, ). Lisäksi lim s n (x) + dx = lim s n (x) I k + χ Ik (x) dx = f(x)χ Ik (x) dm(x). Kosk c s + n (x) dm(x) = s + n (x) dm(x) + s + n (x) dm(x), sdn väite, kun n. Yleinen tpus f L 1 : Olkoot u, v L ks siten, että f = u v. Tällöin u = u + u j v = v + v, joten f = u + + v (u + v + ). Luseen 3.9 nojll (kohdt c j b) u + +v, u +v + L ks. Todistuksen edellistä koht voidn nyt sovelt funktioihin u + + v j u + v +. Väite seur helposti. Luse Olkoot I väli, jonk päätepisteet ovt j b, < b ( =, b = + sllittuj). Olkoon h. Merkitään I + h = {x + h x h}. Olkoot f L 1 (I) j g(x) = f(x h). Tällöin g L 1 (I + h) j lisäksi pätee b f(x) dm(x) = b+h +h c c f(x h) dm(x). Todistus. Jätetään hrjoitustehtävksi. Sm strtegi kuin edellisen luseen todistuksess: väite on tunnetusti tosi porrsfunktioille; tämän vull väite osoitetn funktioille f L ks ; lopuksi yleinen tpus.

9 3. LEBESGUEN INTEGAALI 14 Lemm Olkoot f L 1 j ε > 0. Tällöin ) on olemss g, h L ks siten, että f = g h, h on ei-negtiivinen melkein kikkill j h < ε. b) on olemss porrsfunktio s j g L 1 siten, että f = s + g j g < ε. Todistus. ) Kosk f L 1, on olemss g 1, h 1 L ks siten, että f = g 1 h 1. Olkoon (t n ) n=1 ksvv porrsfunktiojono, jok määrää funktion h 1. Kosk t n h 1, on olemss N Z + siten, että 0 (h 1 t N ) < ε. Kun setetn h = h 1 t N j g = g 1 t N, on g, h L ks, g h = g 1 h 1 = f. Lisäksi h 0 melkein kikkill j h < ε. b) Olkoot g j h kuten )-kohdss. Vlitn porrsfunktio s siten, että 0 (g s) < ε. Tällöin f = g h = s + (g s) h = s + (g s h) = s + g, missä g := g s h. Tällöin g L 1 j g g s + h < 2ε. Funktioksi g kelp siis g (kun ε korvtn luvull ε/2). Luse Jos f L 1, niin on olemss porrsfunktiojono (s n ) n=1 siten, että lim f s n = 0 j lim s n (x) = f(x) m.k. x. Todistus. Olkoot g, h L ks siten, että f = g h melkein kikkill. Vlitn ksvvt porrsfunktiojonot (u n ) n=1 j (v n ) n=1 siten, että v n g m.k. j v n h m.k. Asetetn s n = u n v n. Tällöin s n f m.k. j f s n (g u n ) + (h v n ) 0. Lebesguen integrlilskent käsittelevä Leçons [23] perustuu hänen College de Frncess lukuvuonn pitämiin luentoihin. Luentojen viimeisessä luvuss hän setti integrointiongelmn: jokiselle välillä [, b] määritellylle rjoitetulle funktiolle f on määrättävä reliluku b f(x) dx, jok toteuttisi ehdot: (1) b f(x) dx = b+h f(x h) dx; +h (2) b f(x) dx + c f(x) dx + f(x) dx = 0; b c (3) b (f(x) + g(x)) dx = b f(x) dx + b g(x) dx; (4) jos f 0 j b >, niin b f(x) dx 0; (5) 1 1 dx = 1 0 (6) jos (f n ) n=1 on ksvv funktiojono j f n (x) f(x), niin b f n(x) dx b f(x) dx. Ehdoist puuttuu tuttu homogeenisuusehto b (k f(x)) dx = k b f(x) dx kikille k.

10 3. LEBESGUEN INTEGAALI 15 Tämä seur kuitenkin ehdost (3) (ehto (6) stetn myös trvit). Lebesgue ei konstruoinut interli lähtien näistä ehdoist, vn johdnnoss hhmotellull tvll määrittelemällä ensin kikille joukoille sisä- j ulkomitn, rjmll erilleen mitlliset joukot, sitten kikist funktioist mitlliset funktiot, j lopuksi konstruoimll integrlin lkukuvjoukkojen vull. Hän kuitenkin osoitti, että integrointiongelmn ino rtkisu mitllisille funktioille on hänen konstruoimns integli. joitettujen joukkojen E mitlle m(e) Lebesgue oli jo väitöskirjssn settnut tvoitteet (1) m(e) 0 jollekin joukolle E; (2) m(e + ) = m(e) kikille (tässä E + = {x + x E}); (3) jos E 1, E 2, E 3,..., ovt preittin pistevierit, niin ( ) m E n = m(e n ). n=1 Joukon mittn käsitettä olivt ennen Lebesgue iä tutkineet monet mtemtikot, joist ennenkikke tulee minit Cmille Jordn j Émile Borel. Jordnilt käyttöön ovt jääneet muun muss joukon Jordnin sisältö (sisä- j ulkosisältö sekä käsite Jordnmitllisuus). Borelin ikn tiedettiin, että jokinen relikselin voin joukko A voidn esittää muodoss A = I n, n=1 missä I n ovt preittin pistevierit voimi välejä. Avoimen joukon A mitksi on siis luonnollist sett m(a) = l(i n ). n=1 Kosk suljetun joukon S (, b) komplementti (, b) \ S on voin, on suljetun joukon mitksi luonnollist sett n=1 m(s) = b m((, b) \ S). Borel käytti tämän kltist ide joukkojen mitn käsittelyyn kompleksimuuttujn funktioit käsittelevissä tutkimuksissn 1890-luvull. Näiden (j muidenkin topologi käsittelevien) Borelin tutkimusten nojll tiettyjä joukkoj kutsutn Borelin joukoiksi. Lebesguen tvoitett, että kikille rjoitetuille joukoille E voitisiin määritellä mitt m(e), jok toteuttisi yllä setetut ehdot, ei void kuitenkn svutt. Esimerkkejä tässä suhteess ongelmllisist (eli epämitllisist) joukoist ntoivt G. Vitli 1905 j E. B. Vn Vleck Lebesguen näkemys näihin esimerkkeihin oli vruksellinen, luultvsti osin siksi, että esimerkit perustuivt vhvsti niin snotun vlintksioomn käyttöön. Kuitenkin vuonn 1965 on osoitettu, että Lebesguen mielessä epämitllisi joukkoj ei void konstruoid ilmn vlintksioom.

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

Kertausta ja täydennystä

Kertausta ja täydennystä LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia. 2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x

Lisätiedot

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 + I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

Analyysi III S

Analyysi III S Anlyysi III 800624S Sisältö sitietoj 5 Riemnn integroinnin rjt 6 Luku 1. Mittteori 7 1. Algebr j σ-lgebr 7 2. Mitt 8 3. Ulkomitt j mitlliset joukot 11 4. Ulkomitn konstruointi 14 5. Lebesguen ulkomitt

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit

Sarjat ja integraalit Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

R(f, T ) := f(t k )(x k x k 1 ).

R(f, T ) := f(t k )(x k x k 1 ). Lebesguen tp määritellä mitt j integrli Lebesguen 1 itsensä lunperin käyttämä määritelmä mitlle j ennenkikke mitllisuuden käsitteelle poikke jonkinverrn nykyisin tvnomisest määrittelytvst. Ensinnäkin,

Lisätiedot

Luku I on funktion f Riemannin integraali välillä [a, b] ja sitä merkitään b

Luku I on funktion f Riemannin integraali välillä [a, b] ja sitä merkitään b 1. Lebesguen tp määritellä mitt j integrli Lebesguen 1 itsensä lunperin käyttämä määritelmä mitlle j ennenkikke mitllisuuden käsitteelle poikke jonkinverrn nykyisin tvnomisest määrittelytvst. Ensinnäkin,

Lisätiedot

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua Riemnn-integrlin j mittintegrlin vertilu Pro grdu -tutkielm Pii Tskinen Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Kevät 216 Sisältö Johdnto 3 1 Esitietoj 5 1.1 Välijost............................. 5

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

ANALYYSIN TEORIA A JA B

ANALYYSIN TEORIA A JA B ANALYYSIN TEORIA A JA B Kikki luseit ei ole muotoiltu smll tvll kuin luennoill. Ilmoit virheistä yms osoitteeseen mikko.kngsmki@ut. (jos et ole vrm, onko kyseessä virhe, niin ilmoit mieluummin). 1. Yleistä,

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita: 2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1

Lisätiedot

Korkeamman kertaluvut derivaatat

Korkeamman kertaluvut derivaatat LUKU 4 Korkemmn kertluvut derivtt Derivtn määritelmän mukn differentioituv kuvust f : U F voidn pproksimoid ffiinill kuvuksell, f(x + u f(x + Df(xu. Jos f on khdesti differentioituv, voidn derivtt pproksimoid

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto Fkultet/Sektion Fculty Litos Institution Deprtment Mtemttis-luonnontieteellinen Tekijä Förfttre Author Antti Khri Työn

Lisätiedot

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 22. syyskuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 22. syyskuuta 2016 lusekkeet, lusekkeet, TIEA241 Automtit j kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhni Kijnho lusekkeet j smuus TIETOTEKNIIKAN LAITOS 22. syyskuut 2016 Sisällys lusekkeet, lusekkeet lusekkeet j smuus j smuus lusekkeet

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:

Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita: 2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:

Lisätiedot

Analyyttinen lukuteoria

Analyyttinen lukuteoria Anlyyttinen lukuteori Johdnto Kuten yltä näkyy, tämän luentomonisteen kttm luentosrj on nimeltään Anlyyttinen lukuteori, vikkkin opintorekisteribyrokrttisist syistä opintojkso knt nimeä Lukuteori 3. Näin

Lisätiedot

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita. T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä

Lisätiedot

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Annik Heinonen Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Helmikuu 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Newtonin integrli 2 2.1

Lisätiedot

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,

Lisätiedot

Olkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F)

Olkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F) T 79.148 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2.4 Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään

Lisätiedot

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpnoj syksyltä 2005 20. lokkuut 2005 Sisältö 1. Esitietoj 2 1.1. Riemnn-integrli............................ 2 1.2. Derivtt................................. 4 1.3.

Lisätiedot

Olkoon. äärellinen automaatti. Laajennetaan M:n siirtymäfunktio yksittäisistä syötemerkeistä merkkijonoihin: jos q Q, x Σ, merkitään

Olkoon. äärellinen automaatti. Laajennetaan M:n siirtymäfunktio yksittäisistä syötemerkeistä merkkijonoihin: jos q Q, x Σ, merkitään T 79.00/002 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2. Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään

Lisätiedot

Analyysin peruslause

Analyysin peruslause LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja 582206 Lskennn mllit (syksy 2010) 1. kurssikoe, rtkisuj 1. [2+2+2 pistettä] Säännöllisissä lusekkeiss on käytetty tuttu lyhennysmerkintää Σ = ( ). () merkkijonot, joiden kksi ensimmäistä merkkiä ovt joko

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen ANALYYSI Tero Kilpeläinen 3 Teksti sisältää muistiinpnoj vuosin j 3 pidetystä kurssist. Tämän pketin trkoitus on tuke omien muistiinpnojen teko, ei korvt niitä. Mtemtiikk oppii prhiten itse kirjoitten

Lisätiedot

Numeerinen integrointi.

Numeerinen integrointi. Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentili- j integrlilskent 1 Riikk Korte (Pekk Alestlon klvojen pohjlt) Alto-yliopisto 22.11.2016 Sisältö Pint-l Integrli 1.1 Pint-l: Suorkulmio Seurvss trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmi

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin Hnn Hlinen Mtemtiikn pro grdu Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kesä 4 Tiivistelmä: Hnn Hlinen, Jodtus frktliderivttoiin j niiden sovelluksiin

Lisätiedot

Sarjojen tasainen suppeneminen

Sarjojen tasainen suppeneminen Srjojen tsinen suppeneminen Pro grdu -tutkielm Krist Mikkonen 165274 Itä-Suomen yliopisto Fysiikn j mtemtiikn litos 19. mrrskuut 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Lukujonoist j srjoist 2 2.1 Lukujoukoist...........................

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,

Lisätiedot

Reaalianalyysin perusteita

Reaalianalyysin perusteita Reaalianalyysin perusteita Heikki Orelma 16. marraskuuta 2008 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Mitallisuus 3 3 Yksinkertaiset funktiot 6 4 Mitat ja integrointi 7 5 Kompleksisten funktioiden integrointi 10 6 Nolla-mittaisten

Lisätiedot

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon. 5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita Anlyyttiset funktiot j integrointiteorin lkeit 6. helmikuut 2006 isältö 1 Kertust 1 2 Anlyyttiset funktiot 2 2.1 Anlyyttiset funktiot tsoll................... 2 2.2 Monogeeniset funktiot vruudess R n.............

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot