REAALIANALYYSI. Pekka Koskela. Syksy 2015

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "REAALIANALYYSI. Pekka Koskela. Syksy 2015"

Transkriptio

1 REAALIANALYYSI Pekka Koskela Syksy 2015 Luennot: Ti 1012, To 1416, MaD 380. Demot: To 1012, MaD 355, Changyu Guo.. Demohyvitys: 80%6 p., 70%5, 60%4, 50%3, 30%2, 20%1. Pertti Mattila: Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Ilkka Holopainen: luentomuistiinpanoja verkossa. Bruckner, Bruckner, Thompson: Real analysis. Lehto: Reaalifunktioiden teoria. Rudin: Real and complex analysis. 1

2 1 Mittateoriaa Olkoon (X, d) metrinen avaruus. Tällöin µ : P(X) [0, ] on (ulko)mitta jos (a) µ( ) = 0, (b) µ(a) µ(b) aina kun A B, ja (c) µ( A i) kaikille A 1, A 2,.... Kokoelma Γ P(X) on sigma-algebra (σ-algebra) jos (a) Γ, (b) X \ A Γ aina kun A Γ, ja (c) A i Γ aina kun A 1, A 2, Γ. Olkoon Γ σ-algebra. Tallöin µ : Γ [0, ] on mitta jos (a) µ( ) = 0 ja (b) µ( A i) = µ(a i) aina kun A 1, A 2 Γ ovat pareittain pistevieraita. Olkoon µ : P(X) [0, ] ulkomitta. Tällöin A X on µ-mitallinen jos µ(e) = µ(e A) + µ(e \ A) jokaiselle E X. Merkitään M µ = {A X : A µ mitallinen}. Tällöin M µ on σ-algebra ja µ : M µ [0, ] on mitta. Kääntäen, jos µ : Γ [0, ] on mitta, missä Γ on σ-algebra, niin kaava µ (B) = inf{µ(a) : A Γ ja B A} antaa ulkomitan, jolle µ (A) = µ(b) jokaiselle A Γ. Ulkomitta µ : P(X) [0, ] on säännöllinen, jos jokaiselle B X löytyy mitallinen A X s.e. B A ja µ(a) = µ(b). X :n Borelin joukkojen σ-algebra B(X) on X :n suppein σ-algebra, joka sisältää kaikki X :n avoimet joukot (ekvivalentisti kaikki suljetut joukot). Muista, että σ-algebrojen leikkaus on σ-algebra. (Ulko)mitta µ : P(X) [0, ] on Borelin mitta jos B(X) M µ ja Borelsäännöllinen jos lisäksi jokaiselle A X löytyy B B(X), jolle A B ja µ(b) = µ(a). 2

3 Huomautus. (Ulko)mitta µ on Borelin mitta joss jokainen suljettu (avoin) joukko on µ-mitallinen. Esimerkki. Lesguen mitta m n on Borel-säännöllinen. Myös Diracin mitta δ a on Borel-säännöllinen jokaiselle a R n. HT Samoin myös lukumäärämitta. (Ulko)mitta µ : P(X) [0, ] on metrinen, jos aina kun d(a, B) > 0, A, B X. µ(a B) = µ(a) + µ(b) 1.1 Lause. (Ulko)mitta µ on Borelin mitta jos ja vain jos se on metrinen. Todistus. Todistetaan metrisyyden rittävyys, välttämättömyys HT. Rittää osoittaa, että jokainen suljettu joukko F on µ-mitallinen. Olkoon siis F X suljettu ja E X. Määritellään E i = {x E \ F : d(x, F ) 1/i}, jolloin d(e i, E F ) 1/i. Siispä metrisyyden nojalla Jos tiedettäisiin, että µ(e i ) + µ(e F ) = µ(e i (E F )) µ(e). µ(e i ) µ(e \ F ) kun i, niin saataisiin tästä ja subadditiivisuudesta µ(e) µ(e \ F ) + µ(e F ) µ(e) ja joukon F mitallisuus seuraisi. Nyt E 1 E 2... ja E \ F = E i sillä F on suljettu. Niinpä väite seuraa seuraavasta lemmasta. 3

4 1.2 Lemma. Olkoon µ metrinen, A 1 A 2..., A = A i ja d(a i, A \ A i+1 ) > 0 kaikille i 1. Tällöin µ(a) = lim µ(a i ). i Todistus. Voidaan olettaa, että lim i µ(a i ) = M <. Merkitään B i = A i \ A i 1 kun i 2. Tällöin d(b i, B j ) > 0 kun i j 2. Koska µ on metrinen, saadaan ja samoin kaikille m. Täten mistä seuraa, että m m µ(b 2i ) = µ( B 2i ) µ(a 2m ) M m µ(b 2i+1 ) M µ(a) µ(a m B i ) µ(a m ) + i=m µ(a) lim i µ(a i ). Monotonisuus antaa vastakkaisen epäyhtälön. µ(b i ), i=m Esimerkki. Lebesguen mitta on metrinen. Tämä ei näy suoraan määritelmästä, sillä m ( A) = inf{ v(i i ) : A I i }, missä joukot I i ovat n-välejä ja v(i i ) on kyseisen n-välin geometrinen tilavuus. Paloittelemalla kyseiset n-välit nähdään, että annetulle δ > 0, voidaan olettaa, että jokaisen peittävän n-välin halkaisija on alle δ. Väite seuraa helposti tästä: kun d(a, B) > 0, tarkastellaan joukon A B peitettä n-väleillä I i, joiden halkaisijat enintään δ/3. Jos määritellään J A = {i : I i A } ja J B = {i : I i B }, 4

5 niin J A J B =. Täten v(i i ) v(i i ) + v(i i ) i J A i J B ja A i J A I i, B i J B I i jne. 1.1 Caratheodoryn konstruktio Miten mitata käyrän γ B 3 (0, 1) pituus? Yrite: µ(γ) = inf{ diam(i i) : γ I i}, missä jokainen I i on n-väli. Ongelma: tällä määritelmällä µ(γ) 2 3, sillä γ ] 1, 1[ 3. Korjaus: µ δ (γ) = inf{ diam(i i ) : γ I i, diam(i i ) δ}, missä jokainen I i on n-väli. Tällöin kun ˆδ < δ ja siispä antaa järkevämmän määritelmän. µ δ (γ) µˆδ(γ) µ(γ) := lim µ δ (γ) = sup µ δ (γ) δ 0 Tarkastellaan yleistä tilannetta. Olkoot F P(X) kokoelma joukkoja ja ϕ : F [0, ] funktio s.e. jokaiselle δ > 0, (a) löytyy A 1, A 2, F s.e. X A i ja diam(a i ) δ kaikille i, (b) löytyy A F s.e. diam(a) < δ ja ϕ(a) < δ. Kun A X, asetetaan ψ δ (A) = inf{ ϕ(a i ) : A A i, A i F, diam(a i ) δ} ja määritellään Tällöin ψ(a) = lim δ 0 ψ δ (A). δ>0 ψ(a) = sup ψ δ (A). δ>0 5

6 1.3 Lause. 1. ψ δ on (ulko)mitta kaikille δ > ψ on Borelin mitta. 3. Jos F B(X), niin ψ on Borel-säännöllinen. Todistus. Kohta (1) on helppo, kopioi Lebesguen mitan todistuksen idea; (b) antaa ψ δ ( ) = 0. Kohtaa (1) käyttäen nähdään, että myös ψ on (ulko)mitta, joten Lause 1.1:n nojalla (2) seuraa jos osoitetaan, että ψ on metrinen. Tämä taas seuraa helpohkosti käyttäen tietoa ψ(a) = lim δ 0 ψ δ (A). Todistetaan kohta (3). Olkoon A X. Jokaiselle k löytyy A k,1, A k,2, F s.e. diam(a k,i ) 1/k, A A k,i ja Joukko ϕ(a k,i ) ψ 1/k (A) + 1/k. B := k=1 A k,i on selvästi Borelin joukko ja A B. Edelleen ψ 1/k (A) ψ 1/k (B) Väite seuraa antamalla k. ϕ(a k,i ) ψ 1/k (A) + 1/k. Esimerkki. Ottamalla kokoelmaksi F avaruuden R n n-välien luokka ja ϕ(i) = v(i) saadaan mittana ψ Lebesguen mitta m n. Hausdorn mitta H s, 0 s < saadaan valinnoilla F = P(X), ϕ(a) = diam(a) s, missä sovitaan, että diam( ) 0 = 0 ja diam(a) 0 = 1 kun A. Mikäli käytetään P(X) :n sijasta suljettuja palloja, {B(x, r) : x X, r > 0}, saadaan S s, jolle HT Lisäksi S s = H s reaaliakselilla. H s (A) S s (A) 2 s H s (A). 6

7 Huomautus. H 0 on lukumäärämitta. Kun X = R n ja metriikka tavallinen euklidinen, niin H n = c(n)m n, missä 0 < c(n) < ja c(1) = 1. Itse asiassa c(n) = 2 n /m n (B n (0, 1)), katso Mattilan kirja. Jos γ on siisti käyrä, niin H 1 (γ) on käyrän γ pituus. Jos X on siisti pinta avaruudessa R n, niin H m (X) on pinnan M m- ulotteinen pinta-ala. H m on peräisin Caratheodory'lta vuodelta Hausdor määritteli yleisen H s vuonna 1918 ja osoitti, että H s (C) = 1 kun C on Cantorin 1 log 2 -joukko ja s =. 3 log 3 Kun 0 s < t < ja H s (A) <, niin H t (A) = 0. Määritellään dim H (A) = inf{s : H s (A) = 0}. Esimerkiksi H s (R n ) = 0 kun s > n ja dim H (R n ) = n. Hausdordimension voi määritellä monella ekvivalentilla tavalla HT. H s on Borel-säännöllinen, sillä voidaan ottaa F = {A X : A suljettu}; huomaa, että diam(a) = diam(a) jokaiselle A. H s δ ei ole yleensä Borelin mitta. Hausdorn mitta H 1 toimii huonosti esimerkiksi koko tasossa, sillä tällöin jokaisen epätyhjän avoimen joukon mitta on ääretön. Toisaalta H 1 antaa äärellisen mitan suoristuvan käyrän osajoukoille. Tämä motivoi seuraavan määritelmän. Määritelmä. Olkoon µ (ulko)mitta X :ssä ja A X. Mitan µ rajoittuma joukkoon A saadaan kaavalla (µ A)(B) = µ(a B). 7

8 1.4 Lause. 1. µ A on ulkomitta. 2. Jos B on µ-mitallinen, niin B on µ A-mitallinen. 3. Jos A on µ-mitallinen, µ(a) < ja µ on Borel-säännöllinen, niin µ A on Borel-säännöllinen. Lause 1.4:n todistus jätetään harjoitustehtäväksi. Esimerkki. Jos A X on H s -mitallinen ja H s (A) <, niin H s A on äärellinen Borel-säännöllinen mitta. Erityisesti H s C on sellainen kun C on Cantorin 1 log 2 -joukko ja s =. 3 log 3 Tarkastellaan seuraavaksi mitallisten joukkojen approksimointia suljetuilla/avoimilla joukoilla. Palautetaan ensin mieleen Lebesguen mitan tapaus: (1) Jokaiselle A R n ja jokaiselle ɛ > 0 löytyy avoin U ɛ s.e. A U ɛ ja m n (U ɛ ) m n (A) + ɛ. (2) Jokaiselle Lebesgue-mitalliselle A R n ja jokaiselle ɛ > 0 löytyy suljettu F ɛ s.e. F ɛ A ja m n (A) m n (F ɛ ) + ɛ. 1.5 Lause. Olkoon µ Borel-säännöllinen (ulko)mitta ja A X µ-mitallinen. 1. Jose µ(a) <, niin jokaiselle ɛ > 0 löytyy suljettu F ɛ s.e. F ɛ A ja m n (A \ F ɛ ) ɛ. 2. Jos on olemassa avoimet joukot V 1, V 2,... s.e. A V i ja µ(v i ) < jokaiselle i, niin jokaiselle ɛ > 0 löytyy avoin V s.e. A V ja µ(v \ A) < ɛ. Todistus. Todistetaan väite (1) ensin Borelin joukolle A. Siirtymällä mittaan µ A voidaan olettaa, että µ(x) <. Asetetaan Γ = {A B(X) : sekä (1) että (2) pätee joukolle A}. Osoitetaan, että Γ on σ-algebra. Selvästi Γ. 8

9 Olkoon B Γ ja ɛ > 0. Tällöin löytyy avoin U ja suljettu F s.e. F B U ja µ(b \ F ) < ɛ. µ(u \ B) < ɛ. Nyt X \ U X \ B X \ F antaa approksimaation suljetulla joukolla ja avoimella joukolla joukolle X\B. Lisäksi µ((x \ F ) \ (X \ B)) = µ(b \ F ) < ɛ ja µ((x \ B) \ (X \ U)) = µ(u \ B) < ɛ. Täten X \ B Γ. Olkoot B 1, B 2, Γ ja ɛ > 0. Löytyy suljetut F i ja avoimet U i s.e. F i B i U i ja µ(b i \F i ) < ɛ/2 i, µ(u i \B i ) < ɛ/2 i. Asettamalla U = U i saadaan avoin joukko, jonka nähdään helposti approksimoivan joukkoa B := B i halutulla tavalla. Subadditiivisuudella nähdään myös, että µ(b \ F i ) < ɛ. Toisaalta joukot B\ k F i muodostavat vähenevän jonon mitallisia joukkoja ja µ(b \ F 1 ) µ(x \ F 1 ) <, joten lim µ(b \ k F i ) = µ(b \ F i ) < ɛ. k Siispä F := k F i kelpaa approksimoivaksi suljetuksi joukoksi rittävän suurella k. Olemme todistaneet, että Γ on σ-algebra. Olkoon nyt E suljettu. Osoittaaksemme, että E Γ, rittää approksimoida E :tä ulkoa sopivalla avoimella joukolla. Olkoon ɛ > 0 ja määritellään U i = {x X : d(x, E) < 1/i}, jolloin U i on avoin. Nyt E U i jokaisella i, ja koska E on suljettu, seuraa helposti, että E = U i. Edelleen U 1 U 2..., µ(u 1 ) µ(x) < ja jokainen U i on avoimena mitallinen sillä µ on Borelin mitta. Täten µ(e) = µ( U i ) = lim i µ(u i ). 9

10 Koska E on mitallinen, saadaan µ(u i \ E) = µ(u i ) µ(e) 0 kun i, joten U i riittävän suurella i kelpaa halutuksi approksimoivaksi avoimeksi joukoksi. Olemme osoittaneet, että Γ on σ-algebra, joka sisältää suljetut joukot, erityisesti jokaisen Borel-joukon. Todistetaan nyt väite (1). Voidaan jälleen olettaa, että µ(x) <. Olkoon A µ-mitallinen ja ɛ > 0. Tällöin myös X \ A on µ-mitallinen ja koska µ on Borel-säännöllinen, löytyy B B(X) s.e. X \ A B ja µ(x \ A) = µ(b). Nyt myös µ(a \ (X \ B)) = µ(b \ (X \ A)) = 0. Koska X \ B A on Borel, todistuksen alkuosan nojalla löytyy suljettu F X \ B s.e. Täten µ(a \ F ) < ɛ sillä µ((x \ B) \ F ) < ɛ. A \ F = ((X \ B) \ F ) ((A \ (X \ B)) \ F ). Todistetaan lopuksi väite (2). Olkoon ɛ > 0. Nyt V i \ A on mitallinen ja µ(v i \ A) <. Kohdan (1) nojalla löytyy suljettu F i V i \ A s.e. µ((v i \ A) \ F i ) < ɛ/2 i. Asetetaan U = (V i \ F i ), jolloin U on avoin ja väite seuraa: µ(u \ A) = µ(( (V i \ F i )) \ A) µ((v i \ F i ) \ A) < ɛ. Huomautus. Jos X voidaan esittää numeroituvana yhdisteenä kompakteja joukkoja, niin kohdassa (1) joukon F voidaan vaatia olevan kompakti. Näin on esimerkiksi kun X = R n. 10

11 2 Mitalliset funktiot Kertaa perusasiat mitta- ja integraaliteoriasta. Määritelmä. Olkoon f : X R ja Γ P(X). f on Γ-mitallinen jos f 1 ([, t[) Γ jokaiselle t R. f on Borelin funktio jos se on B(X)-mitallinen. Jos µ on (ulko)mitta X :ssä, niin f on µ-mitallinen jos se on M µ - mitallinen. Ominaisuuksia Jos f i : X R ovat Γ-mitallisia, i = 1, 2,..., niin inf i 1 f i, sup i 1 f i, lim inf i f i ja lim sup i f i ovat Γ-mitallisia. Erityisesti lim i f i on Γ-mitallinen jos kyseinen raja-arvo on olemassa. Jos f : X R on jatkuva ja µ Borelin mitta, niin f on Borelin funktio ja µ-mitallinen. Jos f : X R on Borelin funktio ja µ Borelin mitta, niin f on µ-mitallinen. 2.1 Lause. Egorovin lause (Dmitri Egorov ) Olkoon Γ σ-algebra X :ssä, µ : Γ [0, ] mitta, µ(x) < ja f i : X R Γ-mitallisia. Jos f i (x) f(x) R µ-m.k. niin jokaiselle ɛ > 0 löytyy A ɛ Γ s.e. µ(x \ A ɛ ) < ɛ ja f i (x) f(x) tasaisesti joukossa A ɛ. Huomautus. 1. Valitsemalla Γ = M µ saadaan vastaava tulos µ-mitallisuuden suhteen. 2. Esim. Lebesguen mitan tapauksessa voidaan ottaa Γ = B(R n ), funktiot f i Borelin funktioiksi ja saadaan A ɛ B(R n ). Esimerkki. Olkoon X =]0, 1[ ja µ = m 1, f i (x) = 1/(ix). Tällöin f i (x) 0 kaikille x X. Annetulle ɛ > 0, joukoksi A ɛ voidaan valita ]ɛ/2, 1[. 11

12 Todistus. Asetaan A k,m = {x : f i (x) f(x) < 1/k kaikille i m} kun k, m 1. Jokaiselle k pätee {x : lim i f i (x) = f(x)} m=1 A k,m. Nyt A k,m Γ kaikille k, m mitallisuuden ja mitallisten funktioiden perusoperaatioiden nojalla. Täten myös m=1 A k,m Γ. Niinpä 0 = µ(x \ m=1 A k,m = µ( (X \ A k,m )). Jos m n, niin A k,m A k,n, joten X \ A k,n X \ A k,m. Koska µ(x) <, saadaan lim µ(x \ A k,m) = µ( (X \ A k,m )) = 0. m m=1 Olkoon ɛ > 0. Jokaiselle k löytyy m k s.e. Asetetaan Tällöin A Γ ja µ(x \ A) = µ(x \ m=1 µ(x \ A k,mk ) < ɛ/2 k. A = A k,mk. k=1 A k,mk ) = µ( (X \ A k,mk )) ɛ. k=1 k=1 Kun x A, pätee x A k,mk kaikille k ja f i (x) f(x) < 1/k kaikille i m k. Täten f i (x) f(x) tasaisesti joukossa A. Huomautus. Oletusta µ(x) < tarvitaan HT. 2.2 Lause. Lusinin lause (Nikolai Luzin ) Olkoon µ Borel-säännöllinen, µ(x) < ja f : X R µ-mitallinen. Tällöin 12

13 jokaiselle ɛ > 0 löytyy suljettu joukko F ɛ X s.e. µ(x \ F ɛ ) < ɛ ja f Fɛ on jatkuva. Huomautus. Myös Lusinin lauseen käänteinen väite pätee HT. Ehto µ(x) < voidaan työllä korvata oletuksella, että X voidaan esittää numeroituvana yhdisteenä joukkoja, joiden µ-mitta on äärellinen. Lause pätee myös kun f : A R, missä A on µ-mitallinen ja µ(a) < : tarkastele mitan µ rajoittumaa joukkoon A. Lusinin lause EI väitä, että f olisi jossakin pisteessä jatkuva: tarkastele vaikkapa rationaalipisteiden karakterista funktiota reaaliakselilla ja käytä mittana Lebesguen mittaa. Todistus. Oletetaan ensiksi, että f on yksinkertainen: f = k a i χ Ai, missä 0 a i <, A i M µ, A i A j = kun i j ja X = k A i. Lause 1.4 antaa suljetut joukot F j A j s.e. µ(a j \ F j ) < ɛ/k. Asetetaan F = k F j, jolloin F on suljettu ja µ(x \F ) < ɛ. Lisäksi funktion f rajoittuma joukkoon F on selvästi jatkuva: jos x F j, niin d(x, F i ) > 0 jokaisella i j ja f = a j joukossa F j. Olkoon nyt f 0 mitallinen. Löytyy yksinkertaiset f i s.e. f i (x) f(x) kaikilla x X. Todistuksen ensimmäisen kappaleen nojalla saadaan suljetut E i X s.e. µ(x \ E i ) < ɛ/2 i+1 ja f i Ei on jatkuva. Asetetaan jolloin F on suljettu ja µ(x \ F ) = µ(x \ F = E i, E i ) = µ( (X \ E i ) < ɛ/2. 13

14 Egorovin lauseen nojalla löytyy mitallinen A ɛ X s.e. µ(x \ A ɛ ) < ɛ/4. ja f i (x) f(x) tasaisesti joukossa A ɛ. Täten f F Aɛ on jatkuva. Edelleen Lause 1.4 antaa suljetun joukon F ɛ F A ɛ, jolle µ((f A ɛ ) \ F ɛ. Siispä F ɛ on haluttu joukko funktiolle f : µ(x \ F ɛ ) < ɛ. Yleiselle mitalliselle f = f + f väite seuraa käyttäen edellisen kappaleen tulosta funktioille f +, f. 2.3 Seuraus. Olkoon µ Borel-säännöllinen ja µ(x) <. Tällöin f : X R on µ- mitallinen jos ja vain jos löytyy jatkuvat f i : X R s.e. f i (x) f(x) µ-m.k. Todistus. Olkoon f : X R µ-mitallinen. Lusinin lauseen nojalla löydetään suljetut F j X s.e. µ(x \ F j ) < 1/j ja f Fj on jatkuva. Voidaan olettaa, että F j F j+1 kaikille j 1 : korvataan joukot F j tarvittaessa joukoilla ˆF j := j F i. Tietzen jatkolauseen nojalla löytyy jatkuvat f j : X R s.e. f j Fj = f. Haluttu approksimaatio seuraa, sillä X \ F j on Borelin joukko ja siten mitallinen, f i = f = f j joukossa F j jokaiselle i j, ja µ(x \ F j ) < 1/j. Olkoon funktiolla f väitteessä annettu approksimaatio. Jokainen kyseisistä funktioista f i on jatkuvana Borelin funktio ja siten myös µ-mitallinen, sillä µ on Borel-säännöllinen. Olkoon E se joukko, missä funktiot f i eivät suppene funktioon f. Tällöin µ(e) = 0 ja Borel-säännöllisyyden nojalla löytyy Borelin joukko B s.e. E B ja µ(b) = 0. Nyt f i (x) f(x) Borelin joukossa X \B, joten f B on Borelin funktio. Määrittelemällä ˆf = f joukossa X \ B ja ˆf = 0 joukossa B saadaan Borelin funktio ˆf, joka yhtyy funktioon f µ-m.k. Koska µ on Borelin mitta, ˆf on µ-mitallinen ja täten myös f. 14

15 3 Rieszin esityslause Tässä luvussa oletamme, että avaruuden X jokainen joukko, joka on sekä rajoitettu että suljettu, on kompakti. Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että jokainen suljettu pallo on kompakti. Luvun päätulokseen riittää lokaalimpi oletus, katso esim. Rudin. Merkitään C(X) = {f : X R : f jatkuva}. Funktion f : X R kantaja on spt(f): ={x X : f(x) 0}. Edelleen C 0 (X) = {f C(X) : spt(f) kompakti}. Avaruus C(X) on vektoriavaruus ja sen aliavaruus C 0 (X) on normiavaruus, f = sup{ f(x) : x spt(f)} = max{ f(x) : x spt(f)}. Olkoon µ Borel-säännöllinen mitta, jolle µ(k) < jokaiselle kompaktille K X (Radonin mitta). Kertaa integraaliteorian osuus mitta- ja integraaliteoriasta. Lyhennetään merkintä f dµ merkinnäksi f dµ. X Määritellään T : C 0 (X) R kaavalla T (f) = T f = f dµ. Tällöin T on lineaarinen: T (αf + βg) = αt f + βt g kun α, β R ja f, g C 0 (X). Lisäksi T f 0 jos f 0. Määritelmä. L : C 0 (X) R on positiivinen lineaarinen funktionaali jos se on lineaarinen ja Lf 0 aina kun f 0. Huomautus. Positiivinen lineaarinen funktionaali on monotoninen: Lf Lg jos f g : koska g f 0, niin Lg Lf = L(g f) Lause. Rieszin esityslause (Frigyes Riesz ) Olkoon L : C 0 (X) R positiivinen lineaarinen funktionaali. Tällöin löytyy yksikäsitteinen Borel-säännöllinen mitta µ s.e. 1. Lf = f dµ kaikille f C 0 (X) ja 2. µ(k) < jokaiselle kompaktille K X. 15

16 Todistusta varten tarvitsemme topologisia aputuloksia. 3.2 Lemma. Urysohnin lemma (Pavel Urysohn ) Jos K U on kompakti ja U on avoin, niin löytyy f C 0 (X) s.e. f K = 1, 0 f 1 ja spt(f) U. Todistus. Määritellään f(x) = max{0, (δ d(x, K))/δ}, missä δ = d(k, X \ U)/2 jos U X ja δ = 1 jos U = X. 3.3 Lemma. Olkoon K X ja kompakti ja U 1, U 2,..., U m X avoimia s.e. K m U i. Tällöin löytyy kompaktit K 1, K 2,..., K m s.e. K i U i kaikilla i ja K = m K i. Todistus. Oletetaan ensiksi, että m = 2. Löytyy ɛ > 0 s.e. jokaiselle x K pätee B(x, ɛ) U 1 tai B(x, ɛ) U 1 (Lebesguen luku). Asetetaan K i = {x K : d(x, X \ U i ) ɛ} kun i = 1, 2. Helposti nähdään, että joukoilla K 1, K 2 on halutut ominaisuudet. Tapaus m 3 saadaan induktiolla. 3.4 Lemma. Ykkösen ositus Olkoon K X kompakti ja U 1,..., U m avoimia joukkoja s.e. K m U i. Tällöin löytyy funktiot h 1,..., h m C 0 (X) s.e. spt(h i ) U i, 0 h i 1 ja m h i(x) = 1 jokaiselle x K. Todistus. Olkoot K 1,..., K m edellisen lemman antamat kompaktit joukot. Urysohnin lemman nojalla löytyy f i C 0 (X) s.e. 0 f i 1, f i (x) = 1 kun x K i ja spt(f i ) U i. Asetetaan h 1 = f 1, h 2 = (1 f 1 )f 2,..., h m = (1 f 1 )... (1 f m 1 )f m. Tällöin 0 h i 1, h i C 0 (X) ja selvästi spt(h i ) U i. Edelleen ja induktiolla saadaan h 1 + h 2 = f 1 + (1 f 1 )f 2 = 1 (1 f 1 )(1 f 2 ) m h i = 1 (1 f 1 )... (1 f m ). Kun x K, x K i jollakin i ja tällöin f i (x) = 1. Täten m h i(x) = 1. 16

17 Todistus. (Rieszin esityslause) Yksikäsitteisyys: olkoot µ, ν Borel-säännöllisiä mittoja, jotka toteuttavat Rieszin esityslauseen ominaisuudet (1) ja (2). Kiinnitetään x X. Nyt X = B(x, i) ja µ(b(x, i)) µ(b(x, i)) < jokaiselle i ja vastaavasti mitalle ν; muista, että oletimme että ne joukot ovat sekä suljettuja että rajoitettuja ovat kompakteja. Siispä avaruudelle X löytyy numeroituva peite avoimia, äärellismittaisia joukkoja molempien mittojen suhteen. Täten Lause 1.4 antaa µ(a) = inf{µ(u) : A U, U avoin} kun A B(X) ja vastaava pätee myös mitalle ν. Olkoon U avoin. Löytyy kompaktit K 1 K 2... s.e. U = K i. Urysohnin lemman nojalla löytyy f i C 0 (X) s.e. 0 f i 1, f i (x) = 1 kun x K i ja spt(f i ) U. Korvaamalla f i funktiolla ˆf i = max 1 j i f j voidaan olettaa, että f 1 f 2 Nyt jono f j kasvaa joukon U karakteriseen funktioon, joten monotoninen konvergenssi ja ominaisuus (1) antavat µ(u) = lim f i dµ = lim f i dν = ν(u). i i Edellisen kappaleen approksimointituloksen nojalla saamme µ(a) = ν(a) jokaiselle A B(X). Annetulle A X, mittojen µ, ν Borel-säännöllisyys antaa Borelin joukot B µ, B ν s.e. A B µ, µ(a) = µ(b µ ) ja vastaavasti mitalle ν ja joukolle B ν. Nyt B µ B ν on Borelin joukko ja A B µ B ν, joten µ(a) = µ(b µ B ν ) = ν(b µ B ν ) = ν(a) edellisen kappaleen nojalla. Täten µ(a) = ν(a) jokaiselle A X. Todistetaan seuraavaksi vaaditun mitan olemassaolo askeleittain. Aloitetaan määrittelemällä µ( ) = 0 ja avoimelle U asetetaan µ(u) = sup{lf : f C 0 (X), 0 f 1, spt(f) U}. Yleiselle A X määritellään µ(a) = inf{µ(u) : A U, U avoin}. Tällöin µ : P(X) [0, ] on hyvin määritelty. Aloitetaan todistamalla, että µ on (ulko)mitta. Ensinnäkin, jos A B, niin selvästi µ(a) µ(b). Olkoot A 1, A 2, X ja ɛ > 0. Löytyy avoimet U i s.e. A i U i ja µ(u i ) µ(a i ) + ɛ/2 i. 17

18 Olkoon f C 0 (X) s.e. 0 f 1 ja spt(f) U i. Koska spt(f) on kompakti, löytyy m s.e. spt(f) m U i. Lemma 3.4 antaa funktiot h i C 0 (X) s.e. 0 h i 1, spt(h i ) U i ja m h i(x) = 1 jokaiselle f :n kantajan pisteelle x. Nyt m f = h i f, missä h i f C 0 (X), 0 h i f 1 ja kantaja sisältyy joukkoon U i, joten Täten ja siten Lf = L( m h i f) = m L(h i f) µ( U i ) µ( A i ) m µ(u i ) µ(a i ) + ɛ µ(a i ). m µ(a i ) + ɛ. Olemme osoittaneet, että µ on ulkomitta. Osoitetaan seuraavaksi, että µ(k) < jokaiselle kompaktille K X. Olkoon K X kompakti. Tällöin löytyy x X ja r > 0 s.e. K B(x, r). Urysohnin lemman avulla saadaan g C 0 (X) s.e. g(x) = 1 jokaiselle x B(x, r). Olkoon f C 0 (X) s.e. 0 f 1 ja f :n kantaja sisältyy avoimeen joukkoon B(x, r). Nyt Lf Lg sillä f g; muista, että L on monotoninen. Täten µ(k) µ(b(x, r)) Lg <. Osoitetaan, että µ on Borelin mitta. Rittää osoittaa, että µ on metrinen. Olkoot A, B X ja d(a, B) > 0. Pitää osoittaa, että µ(a B) = µ(a)+µ(b). Subadditiivisuuden nojalla riittää osoittaa, että µ(a) + µ(b) µ(a B). Olkoon ɛ > 0 ja W avoin joukko s.e. µ(w ) µ(a B) + ɛ ja A B W. Olkoot U, V avoimia s.e A U W, B V W ja U V =. Valitaan f, g C 0 (X) s.e. 0 f 1, 0 g 1, spt(f) U, spt(g) V ja µ(u) Lf + ɛ, µ(v ) Lg + ɛ. Nyt f + g C 0 (X), 0 f + g 1 ja spt(f + g) W, joten L(f + g) µ(w ). Edelleen µ(a) + µ(b) Lf + Lg + 2ɛ = L(f + g) + 2ɛ µ(a B) + 3ɛ ja väite seuraa antamalla ɛ 0. 18

19 Osoitetaan seuraavaksi, että µ on Borel-säännöllinen. Olkoon A X. Jos µ(a) =, valitaan B = X B(X). Ellei, löytyy avoimet U i X s.e. A U i ja µ(u i ) < µ(a i ) + 1/i. Olkoon V i = i j=1 U j. Tällöin V 1 V 2... ja V i, V i B(X). Nyt µ(a) (µ V i ) = lim i µ(v i ) lim i µ(a) + 1/i = µ(a). Osoitetaan lopulta ehto (1): Lf = f dµ kun f C 0 (X). Riittää osoittaa, että Lf f dµ kaikille f C 0 (X). Jos nimittäin tämä pätee, niin Lf = L( f) ( f) dµ = f dµ. Tarkastellaa vain tapausta f 0. Yleinen tapaus saadaan tämän argumentin pienellä modikaatiolla. Olkoon 0 f C 0 (X) ja ɛ > 0. Tällöin löytyy b < s.e. 0 f(x) < b kaikille x X. Olkoot 0 = y 0 < y < < y m = b s.e. y i y i 1 < ɛ kaikille i = 1,..., m. Asetetaan E i = {x sptf : y i 1 f(x) < y i }. Tällöin sptf = m E i, E i E j = kun i j ja E i B(X) M µ. Löytyy avoimet U i E i s.e. µ(u i ) < µ(e i ) + ɛ/2 i. Leikkaamalla U i avoimella joukolla {x X : f(x) < y i } voidaan olettaa, että f(x) < y i joukossa U i. Ykkösen ositus joukoille spt(f) ja U 1,..., U m antaa funktiot h i C 0 (X) s.e. 0 h i 1, spt(h i ) U i ja m h i(x) = 1 jokaiselle funktion f kantajan pisteelle x. Nyt m Lf = L( h i f) = m L(h i f) m y i L(h i ). Edelleen L(h i ) µ(u i ) µ(e i ) + ɛ/2 i, y i y i 1 + ɛ ja f y i 1 joukossa E i. Täten m Lf (y i 1 + ɛ)(µ(e i ) + ɛ/2 i ) f dµ + (b + µ(sptf))ɛ + ɛ 2, ja haluttu epäyhtälö seuraa antamalla ɛ 0. 19

20 Esimerkki. Olkoon X = R. Määritellään Lf = f(x) dx kun f C 0 (R), missä integraali on tavallinen Riemannin integraali. Tämä on lineaarinen funktionaali, joten Rieszin esityslauseen nojalla löytyy yksikäsitteinen Borel-säännöllinen mitta µ, jolle µ(k) < jokaiselle kompaktille K ja f(x) dx = f dµ kaikille f C 0 (R). Tällöin µ = m 1. R 20

21 4 Mittojen heikko konvergenssi Määritelmä. Sanotaan, että Borel-säännöllinen mitta µ on Radonin mitta jos µ(k) < jokaiselle kompaktille K X. Olkoot µ i, µ Radonin mittoja. Sanotaan, että (µ i ) suppenee heikosti kohti mittaa µ jos f dµ i f dµ kun i jokaiselle f C 0 (X). Merkitään tällöin µ i µ. Huomautus. Merkintä µ i konvergenssi. µ olisi järkevämpi, sillä kyseessä on heikko Esimerkki. 1. Jos x i x, niin Diracin mitoille δ xi pätee δ xi δ x. 2. Jos X = R, niin Diracin mitat δ i suppenevat heikosti mittaan µ = 0. Toisaalta δ i (R) = 1 0 = µ(r). 3. Jos X = R, niin Diracin mitat δ 1/i suppenevat heikosti Diracin mittaan δ 0, mutta δ i ({0}) = 0 1 = δ 0 ({0}). Mittojen heikko suppeneminen ei siis takaa joukkojen mittojen suppenemista. 4. Olkoon X = R ja µ k = 1 k k δ i/k kun k 2. Nyt R f dµ k = 1 k k f( i 1 k ) f dx = 0 [0,1] f dm 1 jokaiselle f C 0 (R), missä toiseksi viimeinen integraali on Riemannintegraali. Siispä jonon (µ k ) heikko raja on Lebesguen mitan rajoittuma välille [0, 1]. Huomautus. Mittojen heikko raja on yksikäsitteinen (jos olemassa) kun jokainen joukko joka on sekä suljettu että rajoitettu on kompakti.tämä seuraa Rieszin esityslauseesta sovellettuna positiiviseen lineaariseen funktionaaliin Lf := lim i f dµi. 21

22 4.1 Lause. Olkoon (µ i ) jono Radonin mittoja R n :ssä s.e. sup i µ i (K) < jokaiselle kompaktille joukolle K. Tällöin jonolla (µ i ) on heikosti suppeneva osajono. Kyseinen mittojen heikko raja µ on myös Radonin mitta. Todistus. Oletetaan ensiksi, että sup i (R n ) = M <. Yleinen tapaus todistetaan lopuksi tätä argumenttia käyttäen. Koska C 0 (R n ) on separoituva (Weierstrassin lause), löytyy jono (ϕ i ) C 0 (R n )- funktioita, s.e. jokaiselle f C 0 (R n ) ja jokaiselle ɛ > 0, sup f(x) ϕ i (x) < ɛ x R n jollekin i. Jono ( ϕ 1 dµ i ) on rajoitettu jono reaalilukuja, joten löytyy suppeneva osajono ( ϕ 1 dµ 1 i ). Edelleen jono ( ϕ 2 dµ 1 i ) on rajoitettu, ja saadaan jonon (µ 1 i ) osajono (µ 2 i ), jolle sekä lim i ϕ1 dµ 2 i että lim i ϕ2 dµ 2 i ovat olemassa. Jatketaan induktiivisesti. Diagonaalijonolle (µ i i) haluttu raja-arvo lim i ϕj dµ i i on olemassa jokaiselle j. Määritellään Lϕ j := lim ϕ j dµ i i i. Osoitetaan, että jokaiselle f C 0 (R n ) on olemassa lim i f dµ i i. Kiinnitetään f C 0 (R n ) ja ɛ > 0. Valitaan k s.e. sup f(x) ϕ k (x) < ɛ x R n ja j ɛ s.e. ϕ k dµ i i ϕ k dµ j j < ɛ kaikille i, j j ɛ. Nyt f dµ i i f dµ j j 2 max m {i,j} f dµ m m ϕ k dµ m m + ϕ k dµ i i ϕ k dµ j j. Yhdistämällä estimaatit saadaan f dµ i i f dµ j j ɛ + (µj j (Rn ) + µ i i(r n ))ɛ (1 + 2M)ɛ kun i, j j ɛ. Täten ( f dµ i i) on Cauchy ja voidaan määritellä Lf := lim f dµ i i i. 22

23 Tällöin L on positiivinen lineaarinen funktionaali ja Rieszin esityslause antaa halutun Radonin mitan µ. Oletetaan nyt, että sup i µ i (K) < jokaiselle kompaktille K. Erityisesti siis sup i µ i (B(0, j)) < jokaiselle j 1. Tarkastellaan mittoja ν i = µ i B(0, j) kiinteälle j. Tällöin sup i (ν i (R n )) < ja jokainen ν i on Radonin mitta. Todistuksen alkuosan perusteella saadaan osajono ν j i siten että lim f dν j i i jokaiselle f C 0 (R n ). Siirtymällä diagonaalijonoon voidaan määritellä Lf := lim f dµ i i i. Tällöin L on positiivinen lineaarinen funktionaali ja Rieszin esityslause antaa halutun Radonin mitan tässäkin tapauksessa. Esimerkki. Tarkastellaan standardia Cantorin 1 -joukkoa C. Konstruktion 3 tasolla j meillä on 2 j suljettua välin [0, 1] osaväliä I j,i, joiden jokaisen pituus on 3 j. Asetetaan mitaksi µ j Lebesguen mitan m 1 rajoittuman kyseisten välien yhdisteeseen F j painotettuna kertoimella ( 3 2 )j. Tällöin µ j (R) = 1. Lause 4.1 antaa Radonin mitan µ, jolle µ j µ. Tälle mitalle µ(r) = 1 ja µ(r \ C) = 0, joten µ(c) = 1. Perustellaan lyhyesti: selvästi µ(r) 1. Löytyy f C 0 (R), jolle 0 f 1 ja f = 1 välillä [0, 1]. Tällöin µ(r) f dµ = lim f dµ j = 1. j R Jos K R \ C on kompakti, niin d(k, C) > 0. Löytyy siten f C 0 (R), jolle 0 f 1, f = 1 joukossa K ja spt(f) C =. Siispä µ(k) f dµ = lim f dµ j = 0. j Itse asiassa µ = H s C, missä s = log 2 log 3. R Huomautus. Lause 4.1 pätee yleisemminkin: tarvitaan avaruuden C 0 (X) separoituvuus ja sopiva versio Rieszin esityslauseesta. Erityisesti kun (X, d) :n suljetut pallot ovat kompakteja voidaan käyttää Rieszin esityslausetta. Tällaisille (X, d) avaruus C 0 (X) on separoituva Stone-Weierstrassin lauseen nojalla. 23

24 Perustellaan avaruuden C 0 (X) separoituvuutta hieman tarkemmin. Stone- Weierstrass kertoo seuraavan: Olkoon X kompakti avaruus. Tällöin A C(X) on tiheä supremum-normin suhteen jos kokoelmalla A on seuraavat ominaisuudet 1) jos f, g A ja λ 1, λ 2 R, niin λ 1 f + λ 2 g A, 2) jos f, g A, niin fg A, 3) vakiofunktio f(x) = 1 kuuluu kokoelmaan A, 4) jos x y, niin löytyy f A, jolle f(x) f(y). Tällaista kokoelmaa sanotaan algebraksi, joka separoi pisteet. Jos (X, d) :n suljetut pallot ovat kompakteja, separoituvuus seuraa helposti jos kiinteälle x 0 löydetään jokaiselle j 1 numeroituva algebra joukosta C(B(x 0, j)). Kiinnitetään j ja valitaan numeroituva tiheä joukko pisteitä y i B(x 0, j). Tämä onnistuu kompaktiuden avulla. Määritellään f i (x) = d(x, y i ), jolloin f i C(B(x 0, j)). Otetaan kokoelmaksi A vakiofunktion f(x) = 1 ja kaikkien äärellisten tulojen funktioista f i virittämä lineaarinen avaruus. Tämä on selvästi algebra, joka separoi pisteet. Nyt A ei ole numeroituva, mutta rationaalikertoimiset A :n alkiot antavat numeroituvan tiheän joukon. 24

25 5 Konvoluutio ja C -approksimaatio Kertausta muuttujanvaihdosta: Olkoon f L 1 (R n ), A M mn, h R n ja λ > 0. Tällöin missä ja f(x + h) dm n = f(y) dm n, A A+h f(λx) dm n = λ n f(y) dm n, A λa A + h = {x R n : x = a + h jollekin a A} λa = {x R n : x = λ jollekin a A}. Nämä kaavat ovat helppoja yksinkertaisille funktioille ja yleiset tapaukset saadaan approksimoimalla. Yleisemmin: jos L : R n R n on lineaarinen bijektio, niin A f(lx) dm n = 1 detl LA f(y) dm n. Jos g : U V on dieomorsmi, U, V avoimia ja A U, niin (f g) J g (x) dm n = f(y) dm n, missä J g (x) = det(dg(x)). A Määritelmä. Funktioiden f, g L 1 (R n ) konvoluutio f g määritellään asettamalla (f g)(x) = f(x y)g(y)dm n (y) R n g(a) kun x R n on sellainen, että g(y) := f(x y)g(y) on integroituva. Huomautus. Muuttujanvaihdolla nähdään, että (f g)(x) = (g f)(x). 5.1 Lause. Jos f, g L 1 (R n ), niin f g on määritelty m n -m.k. x R n. Lisäksi f g L 1 (R n ) ja f g L 1 f L 1 g L 1. 25

26 Todistus. Määritellään F : R n R n R kaavalla F (x, y) = f(x y)g(y). Tällöin F on m 2n -mitallinen: määritellään L(x, y) = (x y, y), F 1 (x, y) = f(x)g(y), jolloin F = F 1 L; esim. yksinkertaisten funktioiden avulla nähdään helposti, että F 1 on m 2n -mitallinen ja edelleen, että F on myös HT. Integroidaan: f(x y)g(y) dxdy = R n R n g(y) R n f(x y) dxdy = R n = f L 1 g(y) dy = f L 1 g L 1. R n Fubinin lauseesta saadaan, että f(x y)g(y) dy < R n m.k. x R n ja että h(y) = f(x y)g(y) on integroituva m.k. x R n. Halutttu normiepäyhtälö saadaan yllä olevasta laskusta. 5.2 Lause. Olkoon f L 1 (R n ). 1. Jos g C 0 (R n ), niin f g C(R n ). 2. Jos g C k 0 (R n ), niin f g C k (R n ). Huomautus. Jos molemmat funktiot ovat kompaktikantajaisia, niin myös niiden konvoluutio on. Tähän ei riitä toisen kompaktikantajaisuus. Todistus. Koska g C 0 (R n ), niin g L 1 (R n ) ja g on rajoitettu. Niinpä f g(x) on määritelty jokaiselle x R n ja (f g)(x + h) (f g)(x) = [g(x y + h) g(x y)]f(y)dy R n kun h R n. Koska g C 0 (R n ), niin g on tasaisesti jatkuva: annetulle ɛ > 0 löytyy δ > 0 s.e. g(x y + h) g(x y) < ɛ 26

27 kaikille x, y kun h < δ. Täten annetulle ɛ > 0 löytyy δ > 0 s.e. (f g)(x + h) (f g)(x) ɛ f L 1 kun h < δ. Siispä f g on (tasaisesti) jatkuva kun g C 0 (R n ). Oletetaan, että g C0(R 1 n ). Olkoon e i = (0,..., 1,..., 0) standardi kantavektori, 1 i n, ja 0 h R. Tällöin 1 h (f g(x + he i) f g(x)) = Väliarvolauseen nojalla g(x y + he i ) g(x y) R h n g(x y + he i ) g(x y) = h i g(z) M h f(y)dy. jollekin z pisteiden x y + he i ja x y välisellä janalla, missä M riippuu vain funktiosta g C0(R 1 n ). Täten dominoidun konvergenssin lause antaa 1 lim h 0 h (f g(x + he i) f g(x)) = i g(x y)f(y)dy = f ( i g)(x) R n ja tämä on todistuksen ensimmäisen kappaleen nojalla jatkuva. Yleinen tapaus g C k 0 (R n ) saadaan induktiolla. Määritelmä. Funktioperhe {ϕ ɛ : ɛ > 0} on approksimatiivinen identiteetti jos jokaiselle ɛ > 0 ϕ ɛ 0 ja ϕ ɛ on jatkuva, sptϕ ɛ B(0, ɛ) ja R n ϕ ɛ dm n = 1. Edelleen approksimatiivinen identiteetti on sileä jos sen jokainen ϕ ɛ on sileä. Huomautus. Approksimatiiviisia identiteettejä on helppo konstruoida: kiinnitetään 0 ϕ C 0 (B(0, 1)), joka ei ole nollafunktio, ja asetetaan ϕ ɛ = c ɛ ϕ(x/ɛ), missä c = 1/ R n ϕ. Valitsemalla sileä ϕ saadaan sileä approksimatiivinen identiteetti. 5.3 Lause. Jos f L p (R n ), 1 p <, niin ϕ ɛ f f avaruudessa L p (R n ). 27

28 Todistusta varten tarvitaan seuraava lemma. 5.4 Lemma. Olkoon 1 p <. Tällöin kompaktikantajaisten jatkuvien funktioiden luokka C 0 (R n ) on tiheä avaruudessa L p (R n ). Erityisesti, jos f L p (R n ), niin lim h 0 R n f(x + h) f(x) p dx = 0. (1) Todistus. Dominoidun konvergenssin lauseesta saadaan helposti, että niiden rajoitettujen funktioiden luokka, joiden kantajat ovat rajoitettuja, on tiheä avaruudessa L p (R n ). Tällaisen funktion positiivi- ja negatiiviosaa voi approksimoida kasvavalla jonolla yksinkertaisia funktioita. Helposti nähdään, että kyseiset jonot antavat approksimaation avaruudessa L p (R n ). Riittää siten approksimoida näitä yksinkertaisia funktioita. Minkowskin epäyhtälön nojalla riittää approksimoida mitallisen, äärellismittaisen joukon karakterista funktiota jatkuvalla, kompaktikantajaisella funktiolla avaruudessa L p (R n ). Tämä on helppoa käyttäen monotonista konvergenssia ja Urysohnin lemmaa: muista, että m n (A) = sup{m n (K) : K A, K kompakti} = inf{m n (U) : A U, U avoin} kun A on m n -mitallinen. Jälkimmäinen väite on selvästi totta jos f C 0 (R n ), sillä tällöin f on tasaisesti jatkuva ja integrointi on yli kompaktien joukkojen. Olkoon sitten f L p (R n ) mielivaltainen ja ɛ > 0. Valitaan sellainen ϕ C 0 (R n ), jolle f ϕ p < ɛ. Silloin f(x + h) f(x) p = = f(x + h) ϕ(x + h) + ϕ(x + h) ϕ(x) + ϕ(x) f(x) p 2 f ϕ p + ϕ(x + h) ϕ(x) p < 3ɛ kunhan h on riittävän pieni, sillä ϕ on tasaisesti jatkuva ja kompaktikantajainen. Todistus. (Lause 5.3) 28

29 Ensinnäkin (ϕ ɛ u)(x) u(x) = ϕ ɛ (x y)u(y)dy u(x) ϕ ɛ (x y)dy R n R n ϕ ɛ (x y) u(y) u(x) dy R n ( ϕ ɛ (x y)dy) (p 1)/p ( R n ϕ ɛ (x y) u(y) u(x) p dy) 1 p R }{{} n =: z = ( ϕ ɛ (z) u(x z) u(x) p dz) 1 p R n Hölderin epäyhtälön nojalla kun 1 < p <, ja vastaava epäyhtälö pätee myös kun p = 1. Täten (ϕ ɛ u)(x) u(x) p dx ϕ ɛ (y) u(x y) u(x) p dydx R n R n R n = ϕ ɛ (y) u(x y) u(x) p dx dy, B(0,ɛ) R } n {{} 0 mikä menee nollaan kun ɛ 0 Lemma 5.4:n nojalla, sillä y B(0, ɛ) ja siten y 0, kun ɛ Lause. Olkoon 1 p <. Tällöin C 0 (R n ) on tiheä avaruudessa L p (R n ). Todistus. Oletetaan ensin, että sptf on kompakti. Olkoot ϕ 1/i sileitä funktioita sileästä approksimatiivisesta indentiteetistä. Edellisen lauseen nojalla ϕ 1/i f f avaruudessa L p (R n ) kun i. Edelleen ϕ 1/i f on kompaktikantajainen, sillä konvoluution molemmat funktiot ovat, ja täten Lause 5.2 antaa ϕ 1/i f C 0 (R n ). Olkoon sitten f L p (R n ) yleinen ja ɛ > 0. Valitaan j 1 niin suuri, että fχ B(0,j) f L p (R n ) < ɛ. Todistuksen ensimmäisen osan nojalla löytyy f i C 0 (R n ) s.e. fχ B(0,j) f i L p (R n ) < ɛ. 29

30 Väite seuraa Minkowskin epäyhtälöllä. Huomautus. 1. C 0 (R n ) ei ole tiheä avaruudessa L (R n ) : esim. kun n = 1 ja f = χ [0,1], niin f ϕ L (R) 1/2 jokaiselle ϕ C(R). 2. Jos Ω R n on avoin ja 1 p <, niin C 0 (Ω) on tiheä avaruudessa L p (Ω) : jos Ω R n, asetetaan K j = B(0, j) {x Ω : d(x, Ω) 1 j }. Tällöin K j on kompakti ja uχ Kj u avaruudessa L p (Ω); käytä edellistä lausetta funktion uχ Kj nollajatkoon ja valitse todistuksessa niin suuri i, että sptf i Ω. Huomautus. Jos f i f avaruudessa L p (R n ), niin ei välttämättä päde että f i (x) f(x) m.k., mutta löytyy osajono, jolle tämä on totta. Edellisen lauseen nojalla siis: jos f L p (R n ), niin löytyy f i C0 (R n ) s.e. f i (x) f(x) m.k. Voidaan myös määritellä mitan konvoluutio. Määritelmä. Olkoon µ Borelin mitta avaruudessa R n ja f : R n R. Tällöin f µ(x) = f(x y)dµ(y) R n niille x, joille y f(x y) on µ-integroituva. Palautetaan mieliin Fourier-muunnoksen määritelmä. Määritelmä. Funktion f Fourier-muunnos on ˆf(x) = f(y)e ix y dy = R n f(y) cos(x y)dy i R n f(y) sin(x y)dy, R n missä x y = x 1 y x n y n on tavallinen sisätulo. Fourier-muunnos käyttäytyy hyvin konvoluutioissa HT. Määritelmässä käytetään usein termin ix y sijaan termiä iπxẏ, joka antaa yksinkertaisemman Parsevalin ja Plancherelin kaavat. 30

31 Huomautus. Idea funktioiden sileästä approksimaatiosta konvoluutiolla on peräisin Sergei Sobolevilta vuodelta Kurt Otto Friedrichs keksi saman idean vuonna Termi mollier on peräisin Friedrichs'iltä. 31

32 6 Peitelauseita ja niiden sovelluksia Kurssin eräs päämäärä on osoittaa, että jokainen kasvava f : [a, b] R on dierentioituva m 1 -m.k. x [a, b]. Tarkastellaan ongelmaa lyhyesti. Tarvitaan erityisesti toispuoleisten ala- ja yläderivaattojen D + f(x) = lim inf h 0+ ja f(x + h) f(x) h f(x + h) f(x) = lim inf{ δ 0 h : 0 < h < δ} D + f(x) = lim sup h 0+ f(x + h) f(x) h f(x + h) f(x) = lim sup{ δ 0 h : 0 < h < δ} yhtäsuuruus m 1 -m.k. Ellei, löytyy joukko A [a, b] s.e. m 1 (A) > 0 ja kaikille x A löytyy u < v joille D + f(x) < u < v < D + f(x). Tämä seuraa, sillä jos D + f(x) < D + f(x), löytyy rationaaliset q < r, joille D + f(x) < q < r < D + f(x). Tarkastellaan erikoistapausta misä A = [c, d[ joillekin c < d ja f on jatkuva. Tällöin myös f(a) on väli. Voitaisiin ehkä löytää äärellinen määrä erillisiä välejä [x i, x i + h i [, i = 1, 2,... ja [y i, y i + k i [ joukon A määritelmää käyttäen s.e. A = [x i, h i [= [y i, k i [ i i ja Tällöin saataisiin f(x i + h i ) f(x i ) < uh i, vk i < f(y i + k i ) f(y i ). d c = m 1 (A) = i i h i > 1 [f(x i + h i ) f(x i )] = u = 1 [f(y i + k i ) f(y i )] v k i = v (d c) > d c. u u u Yritetään käyttää tätä ideaa. Ongelmia syntyy, sillä A ei välttämättä ole väli, eikä ole selvää että kyseisten erillisten välien vastineet voidaan löytää. Tähän tarvitaan peitelauseita. i i 32

33 6.1 Lause. (5r-peitelause) Olkoon F perhe separoituvan avaruuuden (X, d) palloja B s.e. M := sup{r B : B F} <, missä 0 < r B < on pallon B säde. Tällöin on olemassa numeroituva (mahdollisesti äärellinen) perhe G F s.e. B j B i = kun B i, B j G, B i B j ja 5B. Todistus. Asetetaan B F B B G F j = {B F : M/2 j < r B M/2 j 1 }, j = 1, 2,..., jolloin F = j=1 F j. Määritellään perheet G j induktiivisesti: Olkoon G 1 mikä tahansa maksimaalinen perhe F 1 :n erillisiä palloja (siis pareittain pistevieras kokoelma palloja s.e. jokainen pallo B F 1 leikkaa jotakin perheen G 1 palloa). Tällainen kokoelma löytyy Zornin lemman nojalla. Oletetaan, että G 1,... G k 1 on valittu. Olkoon G k mikä tahansa maksimaalinen kokoelma F k :n erillisiä palloja B s.e. B B = jokaiselle B k 1 j=1 G j. Asetetaan G = j=1 G j, jolloin G on perhe kokoelman F erillisiä palloja. Olkoon x 1, x 2, X numeroituva tiheä joukko. Jokaiselle B G löytyy x j B. Koska pallot B G ovat erillisiä, myös kokoelman G täytyy olla numeroituva. Todistetaan lopuksi että jokaiselle B F löytyy B G s.e. B 5B. Olkoon B F. Löytyy k s.e. B F k. Koska G k on maksimaalinen, niin B B jollekin B k j=1 G j. Toisaalta r B > M/2 k ja r B M/2 k 1, joten r B < 2r B. Kolmioepäyhtälöllä saadaan B 5B käyttämällä tietoa B B. Huomautus. Jos avaruuden (X, d) suljetut pallot ovat kompakteja, Zornin lemman käyttö voidaan välttää: kiinnitetään x X ja tarkastellaan yllä ensiksi vain niitä perheen F 1 palloja, jotka sisältyvät palloon B(x, 2M). Jos näitä löytyy, valitaan yksi ja jatketaan valitsemalla erillisiä palloja niin kauan kuin mahdollista. Koska B(x, 2M) on kompakti, tämä prosessi on äärellinen. Jatketaan tarkastelemalla niitä perheen F 1 palloja, jotka sisältyvät palloon B(x, 2 2 M), ja jotka eivät leikkaa yhtään ensimmäisessä vaiheessa valittua palloa. Jatketaan ilmeisellä tavalla. Tällä argumentilla saadaan maksimaalinen perhe G 1. Loppu todistuksesta saadaan modioimalla alkuperäistä todistusta samalla tavalla. 33

34 Tarvitsemme myös seuraavaa peitelausetta. Muista, että suljetun pallon säde on aina aidosti positiviinen ja äärellinen. 6.2 Lause. (Vitalin peitelause) Olkoon A R n ja B perhe avaruuden R n suljettuja palloja s.e. inf{diam(b) : x B, B B} = 0 jokaiselle x A. Tällöin löytyy numeroituva (mahdollisesti äärellinen) kokoelma erillisiä palloja B j B s.e. m n (A \ j B j ) = 0. Lisäksi, jos ɛ > 0, niin pallot voidaan valita s.e. m n (A) j m n (B j ) m n (A) + ɛ. Todistus. Tarkastellaan ensin jälkimmäistä väitettä. Annetulle ɛ > 0 löytyy avoin joukko U ɛ s.e. A U ɛ ja m n (U ɛ ) m n (A) + ɛ. Asetetaan B ɛ = {B B : B U ɛ }. Tämä pallokokoelma toteuttaa lauseen ensimmäisen osan vaatimukset ja jälkimmäinen väite seuraa jos todistamme lauseen ensimmäisen osan. Oletetaan ensiksi, että A on rajoitettu. Voidaan olettaa, että m n (A) > 0. Löytyy avoin ja rajoitettu U s.e. A U ja Tarkastellaan kokoelmaa m n (U) (1 + 7 n )m n (A). B U = {B B : B U}. 5r-peitelauseen avulla löydetään B 1, B 2, B U s.e. B i B j = aina kun i j ja A j I 5B j. Nyt m n (A) j I m n (5B j ) 5 n j I m n (B j ) 5 n m n (U) <. Löytyy k 1 s.e. k 1 m n (A) 6 n m n (B j ) j=1 34

35 eli Asetetaan Tällöin k 1 j=1 m n (B j ) 6 n m n (A). A 1 = A \ k 1 j=1 B j. k 1 m n (A 1 ) m n (U) m n (B j ) λm n (A), j=1 missä λ := (1 + 7 n 6 n ) < 1. Lisäksi A 1 sisältyy avoimeen joukkoon U \ k 1 j=1 B j. Toistetaan tämä argumentti korvaamalla joukko A joukolla A 1 ja tarkastelemalla sopivaa avointa joukkoa U 1, jolle A 1 U 1 U \ k 1 j=1 B j. Saadaan uusi äärellinen kokoelma erillisiä palloja ja niiden avulla A 2 s.e. m n (A 2 ) λm n (A 1 ) λ 2 m n (A). Näiden kahden kokoelman pallot ovat selvästi erillisiä. Jatkamalla induktiivisesti saadaan väite. Jos A ei ole rajoitettu, tarkastellaan joukkoja A Q 1 ja A (Q j \ Q j 1 ), j 2, missä Q j =] j, j[ n on origokeskinen avoin kuutio.tällöin joukot Q 1, Q j \ Q j 1 ovat avoimia, pareittain pistevieraita ja todistuksen alkuosan argumentti antaa numeroituvan kokoelman erillisiä palloja jotka peittävät joukon A Q 1 A (Q j \ Q j 1 ) j nollamittaista joukkoa lukuunottamatta. Koska kyseisten kuutioiden reunojen yhdiste on nollamittainen, väite seuraa. Huomautus. Vitalin peitelause on peräisin Giuseppe Vitalin paperista vuodelta 1908 (n = 1) ja Henri Lebesguen paperista vuodelta Tarkastellaan lyhyesti Cantorin joukkoja ennen Vitalin lauseen seurauksia. Esimerkki. Olkoot λ i ]0, 1/2[ ja merkitään λ = (λ i ) i. Konstruoidaan Cantorin joukko C(λ). Poistetaan ensiksi välin [0, 1] keskeltä avoin väli, jonka pituus on λ 1. Jäljelle jää kaksi suljettua väliä, joiden kummankin pituus 35

36 on 1 2 (1 λ 1). Poistetaan molempien keskeltä avoin väli, jonka pituus on λ (1 λ 1). Jäljelle jää neljä suljettua väliä, joiden jokaisen pituus on 1 2 [1 2 (1 λ 1) λ (1 λ 1)] = 1 4 (1 λ 1)(1 λ 2 ). Tasolla k meillä on suljetut välit I k,1,..., I k,2 k, joiden jokaisen pituus on 2 k (1 λ 1 )... (1 λ k ). Asetetaan jolloin Siispä Täten m 1 (C(λ)) > 0 joss C(λ) = 2 k k=1 I k,i =: F k, k=1 m 1 (F k ) = Π k (1 λ i ). m 1 (C(λ)) = Π (1 λ i ). < log(π (1 λ i )) = log(1 λ i ). Koska funktiolle f(t) = log(t) pätee f (1) = 1 saadaan m 1 (C(λ)) > 0 joss λ i <. Esim. valinnalla λ i = 1/i 2 saadaan positiivimittainen Cantorin joukko ja valinnalla λ i = 1/i nollamittainen. Miten m 1(B(x,r) C(λ)) m 1 käyttäytyy kun λ (B(x,r)) i = 1/i 2? Poistettujen välien päätepisteissä tämä on enintään 1/2, mutta syvällä Cantorin joukossa varmaan lähes 1. Jos korvataan x-keskiset pallot suljetuilla palloilla B x, voidaanko sanoa jotakin osamäärästä m 1(B C(λ)) m 1? (B) 6.3 Lause. (Lebesguen tiheyspistelause) Olkoon A R n. Pisteelle x R n asetetaan Tällöin B(x) = {B : B suljettu pallo ja x B}. 36

37 1. m n -m.k. x A. m n (B A) lim B(x) B x m n (B) = 1 2. Jos A on mitallinen, niin m.k. x R n \ A. m n (B A) lim B(x) B x m n (B) = 0 Todistusta varten tarvitaan seuraava määritelmä. Määritelmä. Joukon A ala- ja ylätiheydet pisteessä x ovat m n (A B) D(A, x) = lim inf B(x) B x m n (B) ja D(A, x) = lim sup B(x) B x m n (A B). m n (B) Todistus. (Lause 6.3) Todistetaan ensin osa 1. Koska riittää osoittaa, että Merkitään D(A, x) D(A, x) 1, m n ({x A : D(A, x) < 1}) = 0. A j = {x A : D(A, x) 1 1/j} B(0, j). Rittää osoittaa, että m n (A j ) = 0 jokaiselle j 1. Kiinnitetään j. Jokaiselle x A j löytyy mielivaltaisen pieniä suljettuaja palloja B s.e. x B ja m n (A B) (1 1/(2j))m n (B). Vitali antaa suljetut erilliset pallot B 1, B 2,... s.e. m n (A j \ i B i) = 0, m n (A B i ) (1 1/(2j))m n (B i ) jokaiselle i ja i m n(b i ) m n (A j ) + ɛ. Nyt m n (A j ) m n (A j ( i B i )) + m n (A j \ i B i ) = m n ( i (A j B i )) 37

38 i m n (A j B i ) i m n (A B i ) (1 1/(2j)) i m n (B i ) (1 1/(2j))[m n (A j ) + ɛ]. Antamalla ɛ 0, saadaan m n (A j ) < m n (A j ), mistä seuraa m n (A j ) = 0 sillä m n (A j ) <. Jos A on mitallinen, niin m n (B) = m n (A B) + m n (A c B) ja väite seuraa käyttämällä ensimmäistä väitettä joukolle A c. Huomautus. 1. Lebesguen tiheyspistelauseen ensimmäisen osan nojalla m.k. x A jokaiselle ɛ > 0 löytyy δ > 0 s.e. (1 ɛ)m n (B) m n (B A) m n (B) aina kun B on suljettu pallo, x B ja diam(b) δ. 2. Vitalin peitelause ja Lebesguen tiheyspistelause pätevät monille muillekin joukkoperheille. Esimerkiksi kuutiot tai λ-säännölliset n-välit käyvät: I(λ) := {[a 1, b 1 ] [a n, b n ] : b j a j b i a i λ kaikille i, j = 1,..., n}. 3. Kun A on mitallinen, niin tiheyspistelauseen nojalla 1 χ A (y) dm n (y) χ A (x) m n (B) m.k. x A kun B(x) B x. Milloin pätee 1 f(y) dm n (y) f(x) m n (B) B m.k. x kun B(x) B x? 6.4 Lause. (Lebesguen derivointilause) Olkoon f L 1 (R n ). Tällöin B 1. m.k. x R n, lim B(x) B x 1 f dm n = f(x) m n (B) B 38

39 2. 1 lim sup{ δ 0 m n (B) m n -m.k. x R n. B f(y) f(x) dm n (y) : B B(x), diam(b) δ} = 0 Huomautus. Lebesguen deriviointilauseen todisti Henri Lebesgue vuonna Todistusta varten tarvitaan maksimaalifunktiota. Määritelmä. Kun f : R n R on mitallinen, asetetaan Mf(x) = sup B(x) B 1 m n (B) B f dm n. Huomautus. 1. Mf on mitallinen HT. 2. Mf(x) f L kaikille x R n. 3. Jos f L 1 > 0, niin Mf =. R n 4. M on sublineaarinen: M(f + g) Mf + Mg. 6.5 Lause. (Hardy-Littlewood-Wiener) 1. kun λ > 0. m n ({x : Mf(x) > λ}) 5 n λ 1 f L 1 2. Mf L p C(p, n) f L p aina kun f L p (R n ) ja 1 < p. 39

40 Huomautus. Tapaus n = 1 on peräisin vuodelta 1930, G.H. Hardy ja J.E. Littlewood, ja n 2 vuodelta 1939, N. Wiener. Todistus. Asetetaan E λ = {x R n : Mf(x) > λ} kun λ > 0. Olkoon x E λ. Löytyy suljettu pallo B x s.e. f dm n > λm n (B). B Tällöin diam(b) C(λ, n)( f dm n ) 1/n C(λ, n) f L 1. B 5r-peitelauseen nojalla löytyy erilliset B 1, B 2,... s.e. E λ j 5B j ja λm n (B j ) < B j f dm n jokaiselle j. Siispä m n (E λ ) m n ( j 5B j ) 5 n j m n (B j ) < 5 n λ 1 R n f dm n. Todistetaan lauseen jälkimmäinen väite. Edellisen huomautuksen nojalla Mf on mitallinen ja voidaan olettaa että p <. Kiinnitetään 1 < p <, t > 0 ja asetetaan f t (x) = f(x) kun f(x) > t/2 ja f t (x) = 0 muulloin. Tällöin f(x) f t (x) + t 2, joten Mf(x) Mf t (x) + t 2 ja {x : Mf(x) > t} {x : Mf t (x) > t 2 }. Soveltamalla lauseen ensimmäistä väitettä funktioon f t saadaan m n ({x : Mf(x) > t}) 2 5 n t 1 f t L 1. Cavalierin kaavan, muuttujanvaihdon ja Fubinin avulla tästä saadaan Mf p dm n = p t p 1 m n ({Mf > t}) dt R n 0 2p5 n t p 2 f dm n dt 0 { f >t/2} 40

41 = 2 p p5 n s p 2 f dm n ds = 2 p p5 n R n f(x) 0 { f >s} f(x) 0 s p 2 ds dm n (x) = 2 p p5 n (p 1) 1 R n f p dm n. Todistus. (Lause 6.4) Riittää todistaa lauseen jälkimmäinen väite. Olkoon f L 1 (R n ) ja ɛ > 0. Löytyy g C 0 (R n ) s.e. f g L 1 < ɛ. Määritellään 1 ϕ f (x) = lim sup{ f(y) f(x) dm n (y) : B B(x), diam(b) δ}. δ 0 m n (B) Nyt joten sillä B f(y) f(x) f(y) g(y) + g(y) g(x) + g(x) f(x), kun B x. Täten {ϕ f > t} {M(f g) > t/2} { g f > t/2}, 1 g(y) g(x) dm n (y) 0 m n (B) B m n ({ϕ f > t}) m n ({M(f g) > t/2}) + m n ({ g f > t/2}) Siispä 2 5 n t 1 f g L 1 + 2t 1 f g L 1 2t 1 6 n ɛ. m n ({ϕ f > 0}) j m n ({ϕ f > 1/j}) = 0. Tarkastellaan seuraavaksi mitallisten funktioiden jatkuvuutta uudelleen. Määritelmä. Funktion f : A R approksimatiivinen raja-arvo pisteessä x on λ jos jokaiselle ɛ > 0 m n ({y B(x, r) A : f(y) λ > ɛ}) lim r 0 m n (B(x, r)) = 0. 41

42 Merkitään tällöin λ = applim y x f(y) ja sanotaan, että f on approksimatiivisesti jatkuva pisteessä x jos lisäksi λ = f(x). Huomautus. Jos f on jatkuva pisteessä x, niin f on myös approksimatiivisesti jatkuva pisteessä x : kun ɛ > 0 on annettu, niin f(y) f(x) < ɛ kunhan x y < r ja r on riittävän pieni. Esimerkki. Funktio f(x) = χ Q (x), f : R R, on approksimatiivisesti jatkuva joukossa R \ Q. Olkoon A = {(x, y) : y < x 2 } ja f = χ A. Tällöin f(0, 0) = 0 ja f on approksimatiivisesti jatkuva pisteessä (0, 0). 6.6 Lause. Funktio f : R n R on m n -mitallinen joss f on m n -m.k. approksimatiivisesti jatkuva. Todistus. Todistetaan approksimatiivisen jatkuvuuden välttämättömyys. Lusinin lauseen nojalla löytyy suljetut joukot C 1 C 2... s.e. f Cj on jatkuva jokaiselle j ja m n (R n \ C j ) = 0. Riittää osoitaa, että f on approksimatiivisesti jatkuva m.k. x C j jokaiselle j. Kiinnitetään j. Koska C j on suljettuna m n -mitallinen, niin Lebesguen tiheyspistelauseen nojalla m n (B(x, r) \ C j ) lim r 0 m n (B(x, r) m n -m.k. x C j. Approksimatiivinen jatkuvuus seuraa jokaiselle tällaiselle x C j, sillä joukossa C j, f(y) f(x) < ɛ kun r < r ɛ. Oletetaan, että f on m n -m.k. approksimatiivisesti jatkuva. Rittää osoittaa, että E t := {x R n : f(x) > t} on m n -mitallinen jokaiselle t R. Merkitään = 0 A = {x R n : f on approksimaativesti jatkuva pisteessä x}. Tällöin m n (R n \ A) = 0 ja E t = E t A E t (R n \ A), joten riittää osoittaa, että E t A on m n -mitallinen. Jokaiselle x E t A pätee f(x) > t, joten m n ((B(x, r) \ E t ) lim r 0 m n (B(x, r)) 42 = 0

43 sillä f on approksimatiivisesti jatkuva ja f t joukossa B(x, r) \ E t. Myös m n ((B(x, r) \ (A E t )) lim r 0 m n (B(x, r)) sillä m n (R n \ A) = 0. Toisaalta tämä raja-arvo on Lebesguen tiheyspistelauseen nojalla 1 m n -m.k. x R n \ (A E t ). Siispä = 0 χ A Et = 1 lim r 0 m n ((B(x, r) \ (A E t )) m n (B(x, r)) m n -m.k. x. Toisaalta jokaiselle joukolle F R n funktio u(x) = lim sup r 0 on mitallinen HT, joten myös χ A Et m n (F B(x, r)) m n (B(x, r)) ja siten myös E t A on mitallinen. Huomautus. Lebesguen derivointilauseen nojalla erityisesti µ(b(x, r)) lim r 0 m n (B(x, r)) kun µ(a) = A f dm n ja f L 1. Voisiko tämä päteä yleiselle Radonin mitalle µ? Entä jos korvataan B(x, r) pallolla B B(x)? Lebesguen tiheyspistelauseen todistus perustuu Vitalin peitelauseeseen. Voisiko tämä peitelause päteä yleiselle Radonin mitalle? Esimerkki. Löytyy Radonin mitta µ R n :ssä, jolle Vitalin suora yleistys ei päde: määritellään µ : P(R 2 ) kaavalla Asetetaan µ(a) = m 1 ({x R : (x, 0) A}). F = {B((x, y), y) : x R, y > 0} ja A = {(a, 0) : 0 < a < 1}. Tällöin (a, 0) B((a, y), y) jokaisella y > 0 ja siten löytyy B F s.e. (a, 0) B. Toisaalta jos B 1, B 2, F, niin A i B i on numeroituva ja siten µ(a \ i B i) = Lause. (Besicovitchin peitelause) Löytyy P (n), Q(n) N s.e. seuraava pätee. Olkoon A R n rajoitettu ja B kokoelma suljettuja palloja siten, että jokainen a A on jonkin (mahdollisesti usean) pallon B B keskipiste. Tällöin 43

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

Tiheyspistelauseita. Petteri Salovaara. Pro Gradu tutkielma

Tiheyspistelauseita. Petteri Salovaara. Pro Gradu tutkielma Tiheyspistelauseita Petteri Salovaara Pro Gradu tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesä 2006 1 2 Sisältö 1. LUKU: Esitietoja 3 2. LUKU: Mittojen derivointia ja tiheyspistelause

Lisätiedot

Reaalianalyysin perusteita

Reaalianalyysin perusteita Reaalianalyysin perusteita Heikki Orelma 16. marraskuuta 2008 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Mitallisuus 3 3 Yksinkertaiset funktiot 6 4 Mitat ja integrointi 7 5 Kompleksisten funktioiden integrointi 10 6 Nolla-mittaisten

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Mitta- ja integraaliteoria 2 Harjoitus 1, Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja m(a) < 1. Näytä, että josonp>1javakio M<1, joille

Mitta- ja integraaliteoria 2 Harjoitus 1, Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja m(a) < 1. Näytä, että josonp>1javakio M<1, joille Harjoitus 1, 30.10.2015 1. Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja ma) < 1. Näytä, että josonp>1javakio Mt} apple M 2. Olkoon f 2 L 1 A). Näytä, että 2 kaikilla

Lisätiedot

Analyysin peruslause

Analyysin peruslause LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 5. Olkoon f : [0, 1] R kasvava. Osoita, että joukko. {x [0, 1] f ei ole jatkuva pisteessä x} on numeroituva. [Vihje: Lause 1.2.

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 5. Olkoon f : [0, 1] R kasvava. Osoita, että joukko. {x [0, 1] f ei ole jatkuva pisteessä x} on numeroituva. [Vihje: Lause 1.2. Harjoitukset 1 16.9.25 1. Merkitään Z + = {x Z x > }. Osoita, että f : Z + Z + Z +, f(x, y) = 2 x 1 (2y 1), on bijektio. Piirrä kuva. Perinteisempi kuvaus Z + Z + Z + on (x, y) (x + y 1)(x + y)/2 (x 1).

Lisätiedot

Moderni reaalianalyysi

Moderni reaalianalyysi JUHA KINNUNEN Moderni reaalianalyysi F ( ) := f (ξ)e i ξ dξ 2π Juha Kinnusen laatiman luentomateriaalin pohjalta toimittaneet Mikael Lindström, Olli Hyvärinen ja Tuomas Pöyhtäri Sisältö LEBESGUEN ULKOMITTA

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Jordanin sisältö ja Lebesguen ulkomitta

Jordanin sisältö ja Lebesguen ulkomitta Jordanin sisältö ja Lebesguen ulkomitta Jennika Ojalehto Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2016 Tiivistelmä: Jennika Ojalehto, Jordanin sisältö ja

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Täydellisyysaksiooman kertaus

Täydellisyysaksiooman kertaus Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja

Lisätiedot

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko. Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,

Lisätiedot

Ville Suomala MITTA- JA INTEGROINTITEORIAA

Ville Suomala MITTA- JA INTEGROINTITEORIAA Ville Suomala MITT- J INTEGROINTITEORI Luentotiivistelmä kevät 2015 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Lebesguen ulkomitta 2 2.1 Merkintöjä............................... 2 2.2 Ulkomitta L..............................

Lisätiedot

Ville Suomala MITTA JA INTEGRAALI

Ville Suomala MITTA JA INTEGRAALI Ville Suomala MITT J INTEGRLI Luentotiivistelmä kevät 2017 1 Johdanto bstraktin mittateorian voidaan katsoa syntyneen vuoden 1900 tienoilla, kun Henry Lebesgue esitteli uuden integrointiteorian. Mitta-

Lisätiedot

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)

Lisätiedot

LUKU 6. Mitalliset funktiot

LUKU 6. Mitalliset funktiot LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.

Lisätiedot

d ) m d (I n ) = 2 d n d. Koska tämä pätee kaikilla

d ) m d (I n ) = 2 d n d. Koska tämä pätee kaikilla MAT21007 Mitta ja integraali Harjoitus 2 viikko 25.3-29.3 2019) Palauta mieleen: monisteen luku 0; Topologia I) avaruuden d euklidinen etäisyys, avoimet kuulat ja joukot. Ohjausta laskuharjoitusten tekoon:

Lisätiedot

Joukot metrisissä avaruuksissa

Joukot metrisissä avaruuksissa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia

Lisätiedot

Lebesguen mitta ja integraali

Lebesguen mitta ja integraali Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Määritelmä 2.5. Lause 2.6.

Määritelmä 2.5. Lause 2.6. Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan

Lisätiedot

Cantorin joukko LUKU 8

Cantorin joukko LUKU 8 LUKU 8 Cantorin joukko 8.. Cantorin 3 -joukko Merkitään J = J 0, = [0, ]. Poistetaan välin J keskeltä avoin väli I,, jonka pituus on /3; siis I, = (, 2). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J 3 3, ja

Lisätiedot

MITTA- JA INTEGRAALITEORIA 2015

MITTA- JA INTEGRAALITEORIA 2015 MITT- J INTEGRLITEORI 2015 HELI TUOMINEN Sisältö Johdantoa 2 Mitta 2 Integraali 2 nalyysin peruslause 2 Riemann-integraalista 2 1. Valmistelua, kertausta ja merkintöjä 4 Infimum ja supremum 4 Laajennettu

Lisätiedot

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali 4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Derivaatasta ja derivoituvuudesta

Derivaatasta ja derivoituvuudesta Derivaatasta ja derivoituvuudesta Piia Lehtola Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2018 Tiivistelmä: Piia Lehtola, Derivaatasta ja derivoituvuudesta,

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a i > 0kaikillai 2 I, niin P i2i a i = 1.

2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a i > 0kaikillai 2 I, niin P i2i a i = 1. Harjoitus 1, 11.9.2015 1. Näytä, että joukossax on äärettömän monta alkiota jos ja vain jos on joukko X, 6= X, jokaonyhtämahtavakuinx. 2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a

Lisätiedot

Ville Suomala MITTA JA INTEGRAALI

Ville Suomala MITTA JA INTEGRAALI Ville Suomala MITT J INTEGRLI Luentomoniste syksy 2018 1 Johdanto Lukijalle Nämä muistiinpanot muodostavat rungon Oulun yliopistossa luennoitavalle kurssille Mitta ja integraali. Luentomuistiinpanot ovat

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Mitta ja integraali 1

Mitta ja integraali 1 Mitta ja integraali 1 Ilkka Holopainen 2 March 22, 2004 1 Perustuvat pääosin luentomonisteisiin Tylli: Mitta ja integraali (2000 ja Väisälä: Diff. Int. III (1985 2 Ilmoita painovirheistä esim. sähköpostitse

Lisätiedot

MITTA JA INTEGRAALI TUOMAS HYTÖNEN

MITTA JA INTEGRAALI TUOMAS HYTÖNEN MITTA JA INTEGRAALI TUOMAS HYTÖNEN 1. Johdanto: Riemann vs. Lebesgue Useimmat integroimisteoriat perustuvat siihen, että on jokin joukko helppoja funktioita, jotka ilman muuta osataan integroida, ts. on

Lisätiedot

1 Supremum ja infimum

1 Supremum ja infimum Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,

Lisätiedot

Rademacherin lause. Anssi Niitti. Matematiikan Pro Gradu -tutkielma

Rademacherin lause. Anssi Niitti. Matematiikan Pro Gradu -tutkielma Rademacherin lause Anssi Niitti Matematiikan Pro Gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2008 Sisältö 1. Johdanto 2 2. Esitietoja. Hausdorff-mitat ja dimensiot

Lisätiedot

f(x) sin k x dx, c k = 1

f(x) sin k x dx, c k = 1 f ( n) n 3. Fourier n sarjoista I [1, 8.16, luku 11], [, luku 15], [3, luku IX, 8 9]. [5, luku I], [6, luku XII, 3], [7, luku 8], [8, luku 4], [9, luku 8] Trigonometrinen polynomi on muotoa a + ( ak cos

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset

Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tuomas Hentunen Matematiikan pro gradu tutkielma Kesäkuu 2014 Tiivistelmä: Tuomas Hentunen, Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset (engl. Uniform convergence

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 Kevät 2012 1 Tilastolliset inversio-ongelmat Tilastollinen ionversio perustuu seuraaviin periaatteisiin: 1. Kaikki mallissa olevat muuttujat mallinnetaan

Lisätiedot

Topologisten avaruuksien metristyvyys. Toni Annala

Topologisten avaruuksien metristyvyys. Toni Annala Topologisten avaruuksien metristyvyys Toni Annala Sisältö 1 Johdanto 2 2 Topologiset avaruudet 3 3 Erotteluaksioomat 8 4 Metristyvät avaruudet 13 5 Metristyvyys 17 1 Luku 1 Johdanto Topologia on matematiikan

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II 802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen

Lisätiedot

Kompaktisuus ja filtterit

Kompaktisuus ja filtterit Kompaktisuus ja filtterit Joukkoperheellä L on äärellinen leikkausominaisuus, mikäli jokaisella äärellisellä L L on voimassa L. Nähdään helposti, että perheellä L on äärellinen leikkausominaisuus ja L

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

MITTA- JA INTEGRAALITEORIA. Tero Kilpeläinen

MITTA- JA INTEGRAALITEORIA. Tero Kilpeläinen MITT- J INTEGRLITEORI Tero Kilpeläinen 2003-04 Teksti sisältää muistiinpanoja vuosina 2003-04 pidetystä kurssista. Tämän paketin tarkoitus on tukea omien muistiinpanojen tekoa, ei korvata niitä. Matematiikkaa

Lisätiedot

Tasa-asteisesti jatkuvien funktioperheiden suppenevista osajonoista

Tasa-asteisesti jatkuvien funktioperheiden suppenevista osajonoista Tasa-asteisesti jatkuvien funktioperheiden suppenevista osajonoista Pro gradu -tutkielma Toni Vesikko 243023 Itä-Suomen yliopisto 7. heinäkuuta 2016 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Perusteet ja merkintöjä 2 3 Funktionaalianalyysin

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Kalle

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden

Lisätiedot

Metriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00

Metriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1 Metriset avaruudet Erno Kauranen 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1. Sisätulo ja normiavaruus................................................. 3 2. Metrinen avaruus........................................................

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

6. Lineaariset operaattorit

6. Lineaariset operaattorit 96 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että Fourier-sarjat suppenevat L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla 80). Osoitimme myös, että kun f on jatkuva ja

Lisätiedot

1 Reaaliset lukujonot

1 Reaaliset lukujonot Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot

Lisätiedot

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1

Lisätiedot

U missä U A := {U R n : U avoin ja U A}; intuitiivisesti suurin avoin joukko, joka sisältyy A:han. Määritellään A:n sulkeuma A := F F A

U missä U A := {U R n : U avoin ja U A}; intuitiivisesti suurin avoin joukko, joka sisältyy A:han. Määritellään A:n sulkeuma A := F F A Mitta a integraali Kesä 2 4. tehtävät Malliratkaisut (LS). Olkoon a i R i =, 2,... ono. Sanotaan, että i a i = os kaikille M R on olemassa i, olle kaikille i i pätee a i M. Sanotaan, että i a i = os i

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)

Lisätiedot

Johdatus topologiaan (4 op)

Johdatus topologiaan (4 op) 180305 Johdatus topologiaan (4 op) Kevät 2009 1. Alkusanat Sana topologia on johdettu kreikan kielen sanoista topos ja logos, jotka merkitsevät paikkaa ja tietoa. Jo 1700-luvun alussa käytettiin latinan

Lisätiedot

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat

Lisätiedot

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1 1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y

Lisätiedot

Milloin joukon Lebesguen ja Hausdorffin mitat ovat yhtä suuria?

Milloin joukon Lebesguen ja Hausdorffin mitat ovat yhtä suuria? Milloin joukon Lebesguen ja Hausdorffin mitat ovat yhtä suuria? Juha Väätäinen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesä 2012 Sisältö Johdanto 1 Luku 1. Gammafunktio

Lisätiedot

Lineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.

Lineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo. Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat

Lisätiedot

Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.

Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Topologia I 1. kurssikoe 26.2.2013 Malliratkaisut ja tehtävien tarkastamiset Tehtävät 1 ja 2 Henrik Wirzenius Tehtävät 3 ja 4 Teemu Saksala Jos sinulla on kysyttävää

Lisätiedot

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Neljännen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuun 2.1. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Funktion y = f (x) on intuitiivisesti

Lisätiedot

Fourier-analyysia ryhmillä

Fourier-analyysia ryhmillä Fourier-analyysia ryhmillä Pekka Salmi Kevät 2010 1 Topologian pikakurssi Avoimet, suljetut, kompaktit joukot Olkoon X ei-tyhjä joukko ja P(X) = { A; A X } joukon X osajoukkojen muodostama joukko. Kokoelma

Lisätiedot

Sarjojen suppenemisesta

Sarjojen suppenemisesta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])

Lisätiedot

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,

Lisätiedot

Mat Johdatus stokastiikkaan: Todistuksia

Mat Johdatus stokastiikkaan: Todistuksia Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan: Todistuksia Monotonista luokkaa koskeva lause Oletetaan, että Ω on ei-tyhjä joukko; G H 2 Ω ; jos A ja B G niin A B G; Ω H; jos A ja B H ja A B niin B \ A H; ja joko, että

Lisätiedot

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a

Lisätiedot

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste, Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan

Lisätiedot

= X s + IE[X t X s ] = 0, s ja sitä, että ehdollinen odotusarvo on tavallinen odotusarvo silloin, kun satunnaismuuttuja

= X s + IE[X t X s ] = 0, s ja sitä, että ehdollinen odotusarvo on tavallinen odotusarvo silloin, kun satunnaismuuttuja 44 E. VALKEILA 6. Geometrinen Brownin liike 6.1. Brownin liike ja Iton kaava. Tavoitteena on mallintaa osakkeen tuottoa jatkuvassa ajassa. Jos (S t ) t T on osakkeen hintaprosessi, niin tuotolla tarkoitetaan

Lisätiedot

SOBOLEV-AVARUUDET. Pekka Koskela. Kevät 2015

SOBOLEV-AVARUUDET. Pekka Koskela. Kevät 2015 SOBOLEV-AVARUUDET Pekka Koskela Kevät 2015 Luennot: Ti 1416 MaD 380, Ke 1214, MaD 302. Demot: To 1416, MaD 380. Demohyvitys: 80%6 p., 70%5, 60%4, 50%3, 30%2, 20%1. Sergei L. Sobolev 1908-1989: On some

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Maksimaalifunktio ja L p -avaruudet

Maksimaalifunktio ja L p -avaruudet Maksimaalifunktio ja L p -avaruudet PRO GRADU -TUTKIELMA Matti Teerikangas Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka 23. toukokuuta 27 Sisältö Johdanto 2 Hardy, Littlewood,

Lisätiedot

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin

Lisätiedot

Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010

Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 4.1. Viime kerralta. Esimerkki lokaalikonveksin avaruuden osajoukosta, joka

Lisätiedot

Positiivitermisten sarjojen suppeneminen

Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?

saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä? ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 4 Funktion raja-arvo 4 Määritelmä Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: fx) A < ε aina, kun 0 < x a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Yleistettyjen jonojen käyttö topologiassa

Yleistettyjen jonojen käyttö topologiassa Yleistettyjen jonojen käyttö topologiassa Antti Karvinen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesä 2016 Tiivistelmä: Antti Karvinen, Yleistettyjen jonojen

Lisätiedot

2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo

2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo 2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo Ratkaisun olemassaolon tutkimiseen tarvitaan perustietoja konvekseista joukoista ja lineaarialgebrasta. Niitä tarvitaan myös ratkaisualgoritmin ymmärtämiseen. Tutkitaan

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7 2. Normi ja normiavaruus Olkoon E vektoriavaruus (eli lineaariavaruus) skalaarikuntana K = R tai K = C. Kurssilla Lineaarialgebra I määriteltiin vain R-kertoimiset vektoriavaruudet,

Lisätiedot

14. Juurikunnat Määritelmä ja olemassaolo.

14. Juurikunnat Määritelmä ja olemassaolo. 14. Juurikunnat Mielivaltaisella polynomilla ei välttämättä ole juuria tarkasteltavassa kunnassa. Tässä luvussa tutkitaan sellaisia algebrallisia laajennoksia, jotka saadaan lisäämällä polynomeille juuria.

Lisätiedot

4. Hilbertin avaruudet

4. Hilbertin avaruudet FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 51 4. Hilbertin avaruudet Hilbertin avaruudet ovat ääretönulotteisista normiavaruuksista ominaisuuksiltaan kaikkein lähinnä kotiavaruutta R n tai C n. Tästä syystä niiden

Lisätiedot

Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus

Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus 1. (5:7) Olkoon E normiavaruus, I = [0, 1] ja f, g : I E jatkuvia. Osoita, että yhtälön h(s, t) = (1 t)f(s) + tg(s) määrittelemä kuvaus h : I 2 E on

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot