2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a i > 0kaikillai 2 I, niin P i2i a i = 1.

Transkriptio

1 Harjoitus 1, Näytä, että joukossax on äärettömän monta alkiota jos ja vain jos on joukko X, 6= X, jokaonyhtämahtavakuinx. 2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a i > 0kaikillai 2 I, niin P i2i a i = Olkoon f :[0, 1]! [0, 1] vähenevä. Näytä, että joukko = x 2 [0, 1] : f ei ole jatkuva pisteessä x on numeroituva Olkoon x 2 R n.näytä, että m ({x}) =0. 5. Olkoon = Q \ [0, 1]. Näytä, että voidaan peittää avoimillaväleillä, joiden pituuksien summa on enintään 1/10. Seuraavista tehtävistä selviää, miksi Lebesguen ulkomitan määritelmässä käytetään äärettömän montaa peittävää väliä. Joukon R Jordanin ulkomitta on n kx J () =inf v(i i ):I i on avoin väli kaikilla i =1...k, missä v(i) =(b a) onvälin I =]a, b[ pituus. 6. Olkoot, B R. Osoita,että J ( [ B) apple J ()+J (B). k[ I i o, 7. Osoita, että J () =J () kaikilla R. 8. Näytä joukonq \ [0, 1] avulla, että subadditiivisuuseipäde ulkomitalle J : 2 1 Vihje: Lause Vihje: Tehtävä 7. Näytä, että J (Q \ [0, 1]) = 1 mutta J ({q}) = 0 kaikilla q 2 Q \ [0, 1].

2 Harjoitus 2, Olkoon H = (x 1, 2,...,x n ) 2 R n : x n =0 hypertaso. Näytä määritelmän avulla, että m (H) =0. 2. Olkoon I R n rajoittamaton mutta ei surkastunut väli. Näytä, että m (I) =1. 3. Olkoon = {(x, y) 2 R 2 :0applex<1jay = x 2 }. Määritä perustellenm (). 4. Olkoon U R n avoin ja epätyhjä jaolkoonk R n rajoitettu. Näytä, että m (U) > 0jam (K) < Olkoon R n, t>0jaolkoont = {ta : a 2 }. Näytä, että m (t) =t n m (). 6. Onko totta, että (a) jos m () > 0, niin sisältää (epätyhjän) avoimen joukon, (b) jos m () < 1, niin on rajoitettu, (c) jos m () =0,niinm () =0? Jos ei, niin anna vastaesimerkki. 7. Jos B R n ja m () =m (B), niin onko m (B \ ) =0?Perustele. 8. Olkoon = nx 2 R : x j apple 1 o j jollain j 2 N. 2 Näytä, että m () < 1. Piirräkuva!

3 Harjoitus 3, Huomaa, että tehtäviä on8! 1. Olkoot, B R n ja olkoon m (B) =0.Näytä, että on mitallinen jos ja vain jos [ B on mitallinen. 2. Olkoot, B R n.näytä, että jos on mitallinen, niin m ()+m (B) =m ( [ B)+m ( \ B). 3. Olkoon f : R n! R m jatkuva, n, m 2 N. Näytä, että kuvajoukkof(r n ) R m on mitallinen Olkoon L: R n! R n lineaarinen bijektio ja R n mitallinen. Näytä, että L() on mitallinen Olkoon R mitallinen ja m () < 1. Olkoonf : R! [0, 1), (a) Näytä, että f(x) =m ( \ ( 1,x]). f(x) f(y) apple x y kaikilla x, y 2 R. (f on siis Lipschitz-jatkuva vakiolla 1). (b) Näytä, että onmitallinenjoukkob, jollem(b) = 1 2 m(). 6. Näytä, m(b(x, r)) = m(b(0, 1))r n kaikilla avoimilla palloilla B(x, r) R n Määritä yksikköpallon kuoren mitta. 4 S n = x 2 R n : kxk =1 8. Keksi esimerkki mitallisista joukoista R n ,joille \ 1 m i < m( i ). 1 Esitä R n kompaktien joukkojen yhdisteenä. (Huomaa, että f() eivälttämättä ole mitallinen kaikille mitallisille R n,tähän palataan 4. harjoituksissa.) 2 Muista, että m n(l(e)) = detl m n(e) kaikilla E R n. Kertaa leikkauksen ja komplementtien (merkintään alla c :llä) kuvautuminen: (1) f(\ i i ) \ i f( i ) aina, = jos f on injektio. (2) f( c ) (f()) c, jos f on injektio (3) (f()) c f( c ), jos f on surjektio. 3 Teht. 4, siirto ei muuta mittaa ja Harj. 2/Teht.4 4 Tehtävä 6, Lause 2.20

4 Harjoitus 4, Olkoon >0ja K = I R n : I on avoin n-väli tai ; ja diam I<. 1 Näytä, että kaikilla R n on 2 nx 1 1[ m () = inf v(i i ):I i 2 K kaikilla i ja I i o. 2. Olkoot E,F R n joukkoja, joiden etäisyys on positiivinen eli dist(e,f)=inf x y : x 2 E,y 2 F > 0. Näytä, että m (E [ F )=m (E)+m (F ). 3. Täydennä Lauseen2.23.todistustanäyttämällä, että 1) =) 4): Jos R n on mitallinen, niin kaikilla ">0onsuljettujoukkoF, jollem( \ F ) <" Olkoon R n.näytä, että on mitallinen jos ja vain jos on kompaktit joukot K i, i 2 N, joille 4 m ( \ S 1 K i)=0. Huomaa, että todistuksesta saadaan Lauseen ) =) 5). Sanotaan, että jatkuvafunktiof : R n! R n toteuttaa ehdon (N) jos m (f(e)) = 0 kaikilla E R n,joillam (E) =0. (M) jos f() 2 M aina kun 2 M. 5. Näytä, että (N) =) (M) Näytä, että (M) =) (N) Näytä, että funktiof : R! [0, 1), f =3 [0,2] +2 [1,3] + Q, on yksinkertainen, määrää sennormaaliesitysjalaskeintegraalii(f,r). 1 diam E on joukon E halkaisija, diam E =sup{ x y : x, y 2 E}. 2 Muista, että jos I,I 1,...,I k ovat välejä, joille I = [ k j=1 I j ja joukot int I j ovat erillisiä, niin v(i) = P k j=1 v(i j). 3 Lause ) =) 2) auttaa. 4 Suunnassa =) käsittele rajoitettu ja rajoittamaton tapaus erikseen. Käytä tehtävää 3 ja Lausetta 2.20(3) rajoitetulle. Rajoittamattomassa tapauksessa huomaa, että aina [ 1 k=1 E k \ [ 1 k=1 F k [ 1 k=1 (E k \ F k ). 5 Käytä tehtävää 4 6 Saa käyttää tietoa: jokainen positiivimitallinen joukko sisältää epämitallisen osajoukon.

5 Harjoitus 5, Todista Lemman 3.9 kohta (2): Olkoon f 2 Y + ja olkoot E i R n, i 2 N, mitallisia ja erillisiä. Tällöin on 1[ 1X I f, E i = I(f,E i ). 2. Olkoon f : R n! R yksinkertainen funktio. Näytä, (joko määritelmän tai Luvun 4tulostenavulla),että f on mitallinen. 3. Todista Lemman 4.7 kohta (2): Olkoot B R n mitallisia ja olkoon f :! R mitallinen. Tällöin f B (funktion f rajoittuma joukkoon B) onmitallinen Todista Lause 4.13: Jos 2 M, f :! R on mitallinen ja g : R! R on jatkuva, niin funktio g f :! R on mitallinen. 5. Olkoon 2 M, f :! R mitallinen ja p>0. Näytä, että funktio f p :! [0, 1] on mitallinen. (Huomaa, että funktion f maalijoukko on R.) 6. Seuraus 4.12 sanoo, että jos f on mitallinen, niin f on mitallinen. Keksi esimerkki funktiosta f : R! R, jolle f on mitallinen, mutta f ei ole mitallinen. 7. Olkoon 2 M, f :! R mitallinen ja olkoon g :! R sellainen, että m ({x 2 : f(x) 6= g(x)}) =0. Näytä, että g on mitallinen. Jos f on yksinkertainen, niin onko g yksinkertainen? Lisätehtävä: 8. Olkoon f :[0, 1]! R vähenevä funktio.näytä, että f on mitallinen. 1 Rajoittuma joukkoon B on siis funktio f B : B! R, f B (x) =f(x) kaikilla x 2 B.

6 Harjoitus 6, Todista Huomatus 14 (3): Olkoot, B R n mitallisia ja f :! [0, 1] mitallinen. Tällöin nollajatkon f integraalille pätee 1 f dm= fdm. B 2. Olkoon R n mitallinen ja olkoot f,g:! [0, 1] mitallisia funktioita, joille fdm= gdm<1 E kaikilla mitallisilla joukoilla E. Näytä, että f(x) =g(x) melkeinkaikillax Todista Seuraus 5.5: Olkoon R n mitallinen ja olkoot f i :! [0, 1], i 2 N, mitallisia. Tällöin 1X 1X f i dm = f i dm. 4. Määritä perustellenraja-arvo B(0,2)\B(0,1) E \B log 1+ 1 kxk dm. kxk i 5. Olkoon g : R 2! [0, 1], g(x) =e kxk.näytä, että 3 R 2 gdm<1. 6. Todista Lemman 5.6 kohta (3): Olkoot i R n, i 2 N, mitallisia, i i+1 kaikilla i 2 N ja olkoon f : S 1 i! [0, 1] mitallinen.tällöin 4 fdm= fdm. i S 1 i 7. Olkoon f : R n! [0, 1] mitallinen funktio, jolle R fdm<1. Näytä, että kaikilla R n ">0onR>0, jolle 5 fdm<". R n \B(0,R) 1 Käytä integraalin määritelmää jasupremumin"-karakterisaatiota. Tarkastele erikseen tilanteet, joissa R f dm= 1 ja R fdm= 1. 2 B \B Tutki joukkoa C = {x 2 : f(x) >g(x)}. Lemma 4.9, Lause 5.2 ja integraalin lineaarisuus auttavat. 3 R 2 = B 1 [[ 1 (B i+1 \ B i ), B i = B(0,i), Harj.3 pallojen mitoille ja suhdetesti 4 Tutki funktioita f k = f k, MK-lause 5 R n = B 1 [[ 1 (B i+1 \ B i ), B i = B(0,i)

7 Harjoitus 7, Nämä ovatkurssin1.osanviimeisetharjoitukset. Tehtävä 7.jalisätehtävä toisellasivulla 1. Olkoot f,g 2 L 1 (). Näytä, että funktioh:! R, h(x) = max{f(x),g(x)}, on integroituva. Onko R hdm=max{r fdm,r gdm}? 2. Olkoon 0 <s<1. Laske raja-arvo j!1 [0,1] jx s 1+jx dm. 3. Laske raja-arvo e 1 j x j!1 [0,1) 1+x dm Olkoon f 2 L 1 (). Näytä, että 1 min i, f(x) dm = fdm. 5. Olkoon R n mitallinen ja olkoot f i :! R mitallisia. Näytä, että josfunktio f = P 1 f i on integroituva, niin f i dm =0. 6. Olkoon R n mitallinen joukko, jolle m() < 1. Olkoon1<p<1 ja olkoon f :! [0, 1] mitallinen funktio, jolle f p dm < 1. Näytä, että 2 Kuinka käy, jos m() =1? fdm<1. 1 Koska lasketaan raja-arvoa i!1, niin voi olettaa, että i 0. 2 Tutki erikseen joukot {f apple 1} ja {f >1}.

8 7. Olkoon f : R 2! R, f(x, y) =xy 3 ja = (x, y) 2 R 2 : x 2 + y 2 apple 1, x 0, y 0. Laske R fdmfubinin lauseen avulla. 8. (Lisätehtävä) Laskeraja-arvo 3 1+ x j sin 2 x + j 1 cos 2 x e (x+ x j ) dm. j!1 j j [0, ] 3 e x = j!1...