Mitta ja integraali 1

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Mitta ja integraali 1"

Transkriptio

1 Mitta ja integraali 1 Ilkka Holopainen 2 March 22, Perustuvat pääosin luentomonisteisiin Tylli: Mitta ja integraali (2000 ja Väisälä: Diff. Int. III ( Ilmoita painovirheistä esim. sähköpostitse osoitteeseen ilkka.holopainen@helsinki.fi

2 2 Mitta ja integraali 0 Taustatietojen kertausta ja täydennystä 0.1 Käytännön joukko-oppia Olkoon X mikä tahansa joukko. Tällöin X:n potenssijoukko on P(X = {A: A X} ja X:n joukkoperhe (tai perhe/kokoelma X:n osajoukkoja on mikä tahansa P(X:n osajoukko Perheen F yhdiste on ja leikkaus on A F A F F P(X. A = {x X : x A jollakin A F} A = {x X : x A kaikilla A F}. Olkoon A jokin (indeksijoukko ja oletetaan, että jokaista α A vastaa yksikäsitteinen X:n osajoukko V α X. (Toisin sanoen, α V α on kuvaus A P(X. Tällöin kokoelma F = {V α : α A} on X:n indeksöity joukkoperhe. Indeksöidyn perheen yhdiste on V α = {x X : x V α jollakin α A} α A ja vastaavasti leikkaus on α A V α = {x X : x V α kaikilla α A}. Merkitsemme myös α V α ja V α, α jos A käy selville asiayhteydestä. simerkki Olkoon F P(X. Voimme tulkita F:n indeksöidyksi perheeksi käyttämällä F:ää itseään indeksijoukkona. Toisin sanoen, jos α F (jolloin α on X:n osajoukko, niin merkitään V α = α. Tällöin F = {V α : α F}. 2. X = {x}, x X {x} = yksiö. Usein indeksijoukkona on N = {1, 2, 3,...}, jolloin merkitään n N V n tai n V n tai V n, n

3 Kevätlk ja vastaavasti V n tai V n tai V n. n N n n Merkinnät (V n, (V n n=1, (V n n N, ja V 1, V 2,... tarkoittavat (joukkojen jonoja. Joukkojen A, B X erotus on Joukon B X komplementti (X:n suhteen on A \ B = {x X : x A ja x B}. B c = X \ B. Huomautus 0.3. A \ B = A B c. X A B c = A \ B PSfrag replacements A B B c Lause 0.4. Olkoon {V α : α A} jokin X:n joukkoperhe. Tällöin pätee ns. de Morganin lait: (0.5 ( c V α = α α V c α ja (0.6 ( c V α = Vα. c α α Olkoon B X. Tällöin pätee ns. distributiiviset lait yhdisteelle ja leikkaukselle: (0.7 B ( V α = (B V α α α ja (0.8 B ( V α = (B V α. α α Tod. (0.5: x ( c V α α (0.6: Samoin. x V α α: x V α α: x Vα c x α α V c α.

4 4 Mitta ja integraali (0.7: x B ( V α x B ja x α α V α x B V α jollakin α A x α x B ja x V α jollakin α A ( B Vα. (0.8: Samoin. Joukkoperheen yhdisteen/leikkauksen kuvat ja alkukuvat. Olkoot X ja Y epätyhjiä joukkoja ja f : X Y kuvaus. Joukon A X kuva (kuvauksessa f on Merkitään myös lyhyemmin f A. Joukon B Y alkukuva (kuvauksessa f on f(a = {f(x: x A}. ( Y f 1 (B = {x X : f(x B}. Merkitään myös f 1 B. Käytämme myös merkintää f 1 (y = f 1 ({y}, kun y Y. [Huom.: f:llä ei tarvitse olla käänteiskuvausta.] Lause 0.9. Olkoon f : X Y, {V α : α A} X:n joukkoperhe ja {W β : β B} Y :n joukkoperhe. Silloin (0.10 f ( V α = fv α (0.11 f 1( W β = f 1 W β (0.12 f 1( W β = f 1 W β. Tod. (0.10: y f ( V α y = f(x ja x α β β α α V α y fv α jollakin α A y α α β β y = f(x ja x V α jollakin α A fv α. (0.11 ja (0.12: Samoin. Huomautus Aina pätee f ( V α fv α, α α mutta inkluusio voi olla aito. Yhtäsuuruus f( α V α = α fv α pätee esimerkiksi, jos f on injektio.

5 Kevätlk Numeroituvat ja ylinumeroituvat joukot. Numeroituvuus on erittäin tärkeä mittateoriassa! Määritelmä Joukko A on numeroituva, jos A = tai injektio f : A N ( surjektio g : N A. A on ylinumeroituva, jos A ei ole numeroituva. Huomautus A numeroituva A äärellinen (mukaanluettuna tai numeroituvasti ääretön (jolloin bijektio f : A N. 2. A numeroituva A = {x n : n N} (toisto sallittu, joten A voi olla äärellinen. 3. A numeroituva, B A B numeroituva. Lause Jos joukot A n ovat numeroituvia n N, niin A n on numeroituva. (li numeroituva yhdiste numeroituvista joukoista on numeroituva. n N Tod. Voi olettaa A n n N. A n numeroituva A n = {x m (n: m N}. Määritellään kuvaus g : N N n A n, g(n, m = x m (n. Silloin g on surjektio N N n A n. Riittää löytää surjektio h: N N N, koska silloin g h: N n N A n on surjektio ja siten n A n numeroituva. simerkki surjektiosta h: N N N (1, 1 =h(1 (2, 1 =h(2 (3, 1 =h(4 (4, 1 =h(7 (5, 1 =h(11. (1, 2 =h(3 (1, 3 =h(6 (1, 4 =h(10 (2, 2 =h(5 (2, 3 =h(9 (3, 2 =h(8 (4, 2 =h(12 (3, 3 =h(13 (2, 4 =h(14 (1, 5 =h(15 Seuraus Rationaalilukujen joukko Q = { m n n, m Z, n 0} on numeroituva. Syy: Joukko A k = { m n n, m Z, n 0, m k, n k} on äärellinen (ja siten numeroituva k N. Lause 0.16 Q = k N A k numeroituva.

6 6 Mitta ja integraali simerkki (Ylinumeroituva joukko. Väli [0, 1] (ja siten myös R on ylinumeroituva. Idea: x [0, 1] x:llä on desimaalikehitelmä x = 0, a 1 a 2 a 3..., missä a j {0, 1, 2,..., 9}. Vastaoletus: [0, 1] numeroituva, jolloin [0, 1] = {x n : n N}. Pisteillä x n on desimaalikehitelmät x 1 = 0, a (1 1 a(1 2 a( x 2 = 0, a (2 1 a(2 2 a( x 3 = 0, a (3 1 a(3 2 a( x n = 0, a (n 1 a(n 2 a(n 3... a (n n.... Lävistäjällä on lukujono a (1 1, a(2 2, a(3 3,..., a(n n,..., missä a (n n = x n :n n:s desimaali. Määritellään luku x [0, 1] asettamalla x = 0, b 1 b 2 b 3..., missä { a (n n + 2, jos a (n n {0, 1, 2,..., 7}, (0.19 b n = a (n n 2, jos a (n n {8, 9}. Luvun x n:s desimaali toteuttaa b n a n n = 2 n N, joten x x n n N. Tämä on ristiriita, sillä [0, 1] = {x n : n N}. Siis [0, 1] on ylinumeroituva. [Huom. Desimaalikehitelmä ei ole 1-käsitteinen: esim. 0, = 0, (nähdään esim. geometrisen sarjan avulla. Tämä ei kuitenkaan haittaa, sillä (0.19:ssä b n = a n (n ± 2.] Summaaminen. Olkoon A mielivaltainen indeksijoukko ja a α 0 α A. Kysymys: Mitä tarkoittaa Määr. a α = sup{ α A Tähän palataan myöhemmin. a α? α A α A 0 a α A 0 A äärellinen} uklidinen avaruus R n R n = Alkoita kutsutaan pisteiksi tai vektoreiksi. n kpl {}}{ R R karteesinen tulo Algebrallinen rakenne. x R n x = (x 1,..., x n, x j R, j = 1,..., n.

7 Kevätlk Pisteiden x, y R n summa on Reaaliluvun λ R ja pisteen x R n tulo on Nollavektori Pisteen x R n vastavektori (vastinpiste Pisteiden x, y R n erotus on x + y = (x 1 + y 1,..., x n + y x R n. λx = (λx 1,..., λx n R n. 0 = 0 = (0,..., 0. x = ( 1x = ( x 1,..., x n. x y = x + ( y. R n :ssä summa ja reaaliluvulla kertominen toteuttavat vektoriavaruuden ehdot (Lin.alg.I, esim. Pisteiden x, y R n sisätulo on Merkitään uklidinen etäisyys R n :ssä. Pisteiden x, y R n etäisyys on x + y = y + x, x + 0 = 0 + x = x, λ(x + y = λx + λy, (λ + µx = λx + µx jne x, y R n, λ, µ R. x y = n x i y i R. x = ( n 1/2 x x = x i x i ( n 1/2 ( 2 x y = xi y i. x:n normi. Usein merktään d(x, y = x y. Tällöin d on metriikka R n :ssä, ts. toteuttaa (metriikan ehdot: kuvaus d: R n R n R d(x, y 0 x, y R n d(x, y = 0 x = y d(x, y = d(y, x x, y R n d(x, y d(x, z + d(z, y x, y, z R n (kolmioepäyht., -ey. Avoimet ja suljetut joukot R n :ssä. (DII, Topo I uklidinen metriikka d määrää R n :ään avoimet ja suljetut joukot (ja siten R n :n topologian seuraavasti:

8 8 Mitta ja integraali Olkoon x R n ja r > 0. Joukko B(x, r = {y R n : y x < r} on avoin (x-keskinen, r-säteinen kuula (engl. ball ja S(x, r = {y R n : y x = r} on (x-keskinen, r-säteinen pallo (tai pallokuori (engl. sphere. Vastaavasti B(x, r = {y R n : y x r} on suljettu (x-keskinen, r-säteinen kuula. Joukko V R n on avoin, jos x V r = r(x > 0 s.e. B(x, r V. Joukko V R n on suljettu, jos R n \ V on avoin. PSfrag replacements S(x, r r x y > 0 B(x, r y x r simerkki B(x, r on avoin x R n, r > 0 ( -ey, ks. yo. kuva. 2. Suljettu kuula B(x, r on suljettu joukko. 3. R n ja ovat sekä avoimia että suljettuja. 4. Puoliavoin väli, esim. [0, 1, ei ole avoin eikä suljettu. Huomautus Joukon A R n sulkeuma on A = {x R n : x A tai x on A:n kasautumispiste}. Piste x R n on joukon A R n kasautumispiste, jos r > 0 B(x, r (A \ {x}. R n :ssä pätee B(x, r = B(x, r. Varoitus. Joskus kuulaa B(x, r kutsutaan myös palloksi, jolloin S(x, r:ää on kutsuttava pallokuoreksi. Huomautus Jos (X, d on metrinen avaruus, ts. d: X X R tot. metriikan ehdot, niin voidaan määr. X:n avoimet ja suljetut joukot (metr. d suht. kuten edellä korvaamalla y x metriikalla d(x, y. Seuraava tulos pätee yleisesti: Lause Olkoon A mikä tahansa indeksijoukko. Silloin (0.25 V α R n avoin α A V α avoin; α A (0.26 V α R n suljettu α A V α suljettu; α A

9 Kevätlk k (0.27 V 1,..., V k R n avoin V j avoin; k (0.28 V 1,..., V k R n suljettu V j suljettu. Tod. (Topo I (0.25: V α0 x V α α 0 A s.e. x V α0, α A avoin avoin kuula B(x, r V α0 V α. α A (0.26: V α suljettu α Vα c avoin α (0.25 = V c de Morg. ( c α = V α avoin α α V α α suljettu. (0.27 ja (0.28: (HT. Huomautus V j avoin j N V j avoin, V j suljettu j N V j suljettu. (HT 1 Lebesguen mitta R n :ssä 1.1 Johdanto Geometrinen lähtökohta: Jos I = [a, b] R on rajoitettu väli, niin sen pituus on (Samoin jos I avoin tai puoliavoin. Joukko I R n on n-väli, jos se on muotoa l(i = b a. I = I 1 I n, missä kukin I j R on väli (joko avoin, suljettu tai puoliavoin.

10 10 Mitta ja integraali PSfrag replacements b 2 I a 2 a 1 b 1 I on avoin (vastaavasti suljettu n-väli, jos jokainen I j on avoin (vastaavasti suljettu. Olkoot I j :n päätepisteet a j, b j ; a j < b j. Silloin I:n geometrinen mitta on l(i = (b 1 a 1 (b 2 a 2 (b n a n = (n = 1 pituus, n = 2 pinta-ala, n = 3 tilavuus. Merkitään l( = 0. Tavoitteena määritellä mitta kuvauksena joka toteuttaisi ehdot: m n : P(R n [0, + ], (1 m n ( määritelty osajoukoilla R n ja m n ( 0. (2 Jos I on n-väli, niin m n (I = l(i. n (b j a j (3 Jos ( k on jono erillisiä R n :n osajoukkoja (ts. j k = kun j k, niin ( m n k=1 k = m n ( k k=1 täysadditiivisuus. (4 m n on siirtoinvariantti, ts. m n ( + x = m n (, missä R n, x R n, ja + x = {y + x y }. Osoittautuu, ettei kaikkia ehtoja (1 (4 voida samanaikaisesti toteuttaa. (n-ulotteisen Lebesguen mitan m n kohdalla luovutaan ehdosta (1, eli toteuttaa ehdot (2, (3 ja (4, missä m n : Leb R n [0, + ], Leb R n P(R n on Lebesgue-mitallisten joukkojen perhe. Leb R n sisältää mm. kaikki avoimet ja suljetut joukot.

11 Kevätlk Lebesguen ulkomitta R n :ssä Sopimus. a + = + a =, a a = + a =, a, + ei määr. ( =, ( =, a > 0 a = a =, a < 0 0, a = 0, a > 0 Huom! 0 = 0 ( a = a( = +, a < 0 0, a = 0 = ( ( = ( = ( = a 0 = a = ± ±, a > 0, a < 0 ei määr., a = 0 a = 0, a R ei määr. Varoitus: Sopimusta 0 = 0 ei voi käyttää raja-arvojen lim k x k y x laskemisessa tapauksissa lim k x k = 0, lim k y k =. Toisin sanoen, ei saa päätellä, että lim k x k y x = (lim k x k (lim k y k = 0 = 0. Muistutus: Jos (a j j N on jono s.e. a j 0 j, niin joko a j = lim k k a j R tai a j = +. Syy: osasummat k a j muodostavat kasvavan jonon. Olkoon A R n. Tarkastellaan A:n numeroituvia avoimia peitteitä (mahd. äärellisiä F = {I 1, I 2,...}, missä kukin I k R n on rajoitettu, avoin n-väli (tai ja A I k. k=1

12 12 Mitta ja integraali A PSfrag replacements Tällöin sanomme, että F on A:n Lebesguen peite. Muodostetaan summa 1 S(F = l(i k, k=1 0 S(F +. Määritelmä 1.3. Joukon A R n n-ulotteinen (Lebesguen ulkomitta on m n(a = inf {S(F: F on A:n Lebesguen peite}. (Myöhemmin osoitetaan, että myös suljetut n-välit kelpaavat. Huomautus Merkitään J k = {x R n : x j < k j} (avoin n-väli. Selvästi R n = J k, joten aina avoimia peitteitä k=1 I k A (ja inf on siten olemassa. 2. I k R n avoin n-väli 0 l(i k < summa on olemassa ja 0 l(i k +. k=1 3. Ulkomitta m n (A riippuu (tietenkin dimensiosta n. Jos n on selvä asiayhteydestä, niin merkitsemme lyhyemmin m (A = m n(a. 4. Suoraan määritelmästä seuraa: ε > 0 A:n Lebesguen peite F, joka yleensä riippuu ε:sta s.e. S(F m (A + ε. k=1 (Sallitaan m (A = +. Määritelmä ei tarkoita, että (aina olisi mahdollista löytää A:n Lebesguen peite F, jolla m n(a = S(F. 5. Siis: A m (A on kuvaus P(R n [0, ], erityisesti m on määritelty koko P(R n :ssä. simerkki Olkoon n = 2 ja olkoon A = {(x, 0: a x b} R 2 (jana tasossa. Väite: m 2 (A = 0. Tod. Olkoon ε > 0 ja I ε =]a ε, b + ε[ ] ε, ε[ R 2 avoin 2-väli. joten m 2 (A = 0. A I ε 0 m 2(A l(i ε = 2ε(b a + 2ε ε 0 0, 1 Itseasiassa S(F on harhaanjohtava merkintä, koska F on joukko. Tehdään sopimus: Kukin F:n n-väli indeksöidään vain kerran, jolloin summaan S(F otetaan mukaan kunkin n-välin geometrinen mitta täsmälleen yhden kerran.

13 Kevätlk Olkoon n = 1. Tarkastellaan rationaalilukuja Q R. Väite: m 1 (Q = 0. Tod. Q numeroituva, joten Q = {q j : j N}. Olkoon ε > 0 mielivaltainen. Jokaisella j N, olkoon I j = ] q j ε 2 j+1, q j + ε [ R 2 j+1 avoin väli. Sen pituus l(i j = 2ε/2 j+1 = ε/2 j. q j I j j N Q j I j 0 m 1(Q l(i j = ε 2 j = ε 1 2 j = ε ε 0 0, joten m 1 (Q = A R n numeroituva m n(a = 0 (Kuten Olkoon A R n rajoitettu joukko, ts. R > 0 s.e. A B(0, R. Silloin A I, missä I = n kpl ] R, R[ ] R, R[ avoin n-väli. R PSfrag replacements A R Saadaan arvio m (A l(i = (2R n. (Lebesguen ulkomitan ominaisuuksia. Lause 1.6. (1 m n( = 0; (2 monotonisuus : A B m n(a m n(b; (3 subadditiivisuus : A 1, A 2,... R n jono joukkoja m ( n A j m n(a j. Huomautus 1.7. (3 pätee myös äärelliselle yhdisteelle k (A j (valitaan A k+1 = =. Tod.

14 14 Mitta ja integraali (1: Selvä. (2: Olkoon F B:n Lebesguen peite. A B F on myös A:n Lebesguen peite määr. = m n(a S(F. Otetaan inf yli kaikkien B:n Lebesguen peitteiden m n(a m n(b. (3: Merkitään A = j A j. Olkoon ε > 0. Jokaisella j valitaan A j :n Lebesguen peite F j = {I j1, I j2...} s.e. S(F j m n(a j + ε/2 j. Nyt F = j F j = {I jk : j N, k N} on A:n Lebesguen peite määr. = m n(a S(F = Annetaan ε 0 väite. S(F j m n(a j + ε/2 j = m n(a j + ε. Huomautus 1.8. Yllä tarvittiin summeerausteoriaa (yhtälö S(F = S(F j. Ks. Lemma 1.13 ja 1.14 alla. Lause 1.9. Olkoon A R n. Silloin (1.10 m n(a + x = m n(a kaikilla x R n, missä A + x = {y + x: y A}; (1.11 m n(ta = t n m n(a, kun t > 0, missä ta = {ty : y A}. Tod. (HT Summeerausteoriaa. Olkoon I (indeksijoukko ja a i 0 i I. Jos J I on äärellinen, niin merkitään S J = a i, S = 0. i J Määritelmä a i = sup{s J : J I äärellinen}. i I Lemma i N a i = lim n n a i. eli uusi määritelmä yhtäpitävä aiemman (Diff.I kanssa.

15 Kevätlk Tod. Merkitään J n = {1,..., n}, S = i N a i (= sup{s J : J N äärellinen}. Toisaalta ( SJn nouseva jono lim J n n = S S Jn S S S. J N äärellinen n N s.e. J J n S J S Jn S S S (ottamalla sup yli J. Seuraavassa sekä I että J ovat mielivaltaisia indeksijoukkoja. (Lisäksi merkitään lyhyemmin a ij = a (i,j. Lemma a ij = a ij = a ij. (i,j I J i I j J j J i I Tod. Merkitään S vas = vasemman puoleisin summa, S kes = keskimmäinen summa, ja S oik = oikean puoleisin summa. (a: Jos A I J on äärellinen, niin äärelliset I I, J J s.e. A I J ( S A S I J = a ij a ij S kes i I j J j J i I S vas S kes (ottamalla sup yli A. [( : summassa S I J äärellisen monta termiä, joten voidaan summata missä järjestyksessä tahansa.] (b: Olkoon I I äärellinen ja J i J äärellinen i I. Merkitään A = {(i, j: i I, j J i}. Silloin S vas S A = a ij. i I Otetaan ( i I sup yli äärellisten J i J S vas i I sup yli äärellisten I I S vas S kes. Samoin S vas = S oik. j J j J i a ij Korollari a ij = a ij = a ij. (i,j N N i N j N j N i N

16 16 Mitta ja integraali Huomautus Subadditiivisuus ei (yleensä päde muodossa ( (1.17 m n A i m n(a i, missä A i R n, i I, ja I on ylinumeroituva indeksijoukko. Syy: Jos (1.17 pätisi, niin R n = i I i I x R n {x}, m n({x} = 0 x R n. 0 m n(r n = m ( (1.17 n {x} x R n x R n m n({x} = 0. Toisaalta myöhemmin todetaan, että m n(r n = +. RR (= ristiriita eli (1.17 ei päde! 1.18 (Lebesgue-mitalliset joukot Määrittelemme R n :n (Lebesgue-mitalliset joukot, Leb R n, ns. Carathéodoryn ehdon avulla. Subadditiivisuus (Lause 1.6 (3: A, B R n m (A B m (A + m (B. Lisäksi (todistetaan myöhemmin: A, B R n s.e. A B =, mutta m (A B < m (A + m (B eli m ei ole täysadditiivinen. Jälkimmäisestä tapauksesta halutaan eroon (hylkäämällä osa osajoukoista: Olkoon R n annettu joukko ja A R n testijoukko A = (A (A \ pistevieras yhdiste m subadditiivinen m (A m (A + m (A \. A \ A PSfrag replacements A Määritelmä (Carathéodoryn ehto, v Joukko R n on (Lebesgue-mitallinen, jos m (A = m (A + m (A \ }{{} =A c kaikilla A R n.

17 Kevätlk Huomautus R n mitallinen m (A m (A + m (A \ kaikilla A R n, joilla m (A <. Syy: seuraa subadditiivisuudesta, ja pätee aina, jos m (A = +. Määritelmä Jos R n on mitallinen, niin merkitään m( = m ( tarvittaessa m n (. m( on :n (n-ulotteinen Lebesgue- mitta. Merkitään Leb R n = { R n : Lebesgue-mitallinen} P(R n. Siis Myöhemmin näytetään, että m = m Leb R n : Leb R n [0, ] Leb R n P(R n. ulkomitan rajoittuma. Lause m ( = 0 mitallinen. Tod. Olkoon A R n testijoukko. A monot. = m (A = 0 A A \ monot. = m (A m (A \ = m (A +m (A \ }{{} =0 mitallinen. Lause mitallinen c mitallinen. Tod. Riittää osoittaa : Olkoon mitallinen ja A R n. Silloin m (A = m (A + m (A c = m ( A ( c c + m (A c c mitallinen. simerkki rikoistapaukset: R n numeroituva sim. 3 = m ( = 0 L = mitallinen L = c mitallinen. Leb R, R Leb R, rationaaliluvut Q Leb R, irrationaaliluvut R \ Q Leb R.

18 18 Mitta ja integraali Olkoot 1, 2,... mitallisia. Osoitamme, että i ja i ovat mitallisia. Tätä varten tarvitaan lemmoja. nsin äärellinen tapaus. Lemma ,..., k mitallisia k i ja k i mitallisia. Tod. (a yhdiste: k i = ( k 1 i k voi olettaa k = 2. Siis olkoot 1, 2 mitallisia. Olkoon A R n testijoukko. 1 mitallinen m (A = m (A 1 + m (A c 1 2 mitallinen, testijoukkona A c 1 m (A c 1 = m (A c m (A c 1 c 2 = m (A = m (A 1 + m (A 1 c 2 +m (A 1 c }{{} 2, c (subadd. m (B missä B = (A 1 (A c 1 2 = A ( 1 ( c 1 2 = A ( 1 ( 2 \ 1 = A ( 1 2. Siten m (A m (B + m (A c 1 c 2 = m ( A ( m ( A ( 1 2 c 1 2 mitallinen. B 1 PSfrag replacements 2 A A c 1

19 Kevätlk (b leikkaus: de Morgan, Lause 1.23 ( komplementin mitallisuus ja (a-osa ( k k c i = i c mitallinen. Lause , 2 mitallisia 1 \ 2 mitallinen. Tod. 1 \ 2 = 1 c 2. Lemma Olkoot 1,..., k erillisiä ja mitallisia ja A R n mielivaltainen. Tällöin m ( A ( k i = k m (A i. 4 1 PSfrag replacements 3 A 2 Tod. (a Tapaus k = 2 : 1 mitallinen, testijoukkona A ( 1 2 = B m (B = m (B }{{} 1 + m (B \ }{{} 1 =A 1 =A 2 = m (A 1 + m (A 2 eli väite. (b yleinen tapaus: Induktiolla: Oletetaan, että väite pätee, kun 2 k p, eli 1,..., p mitallisia i j =, i j A R n m ( A ( p i = p m (A i.

20 20 Mitta ja integraali Tällöin saadaan A ( p+1 (( i = A p i p+1 p i, p+1 m ( A (p+1 k=p = erillisiä ja mitallisia i k=2 = m ( A ( p = i + m (A p+1 p m (A i + m (A p+1 p+1 = m (A i. Lemma Olkoon = i, missä i :t mitallisia. Tällöin on olemassa erilliset ja mitalliset F i i s.e. = F i. Tod. Valitaan F 1 = 1, [mitallinen] F 2 = 2 \ 1, [mitallinen (L. 1.26]. k 1 F k = k \ i, [mitallinen (L ja 1.25]. PSfrag replacements 1 = F 1 2 F 2 = 3 F 3 = Tällöin (selvästi F i i i, = F i ja F i F j = i j. Lebesgue-mitallisten joukkojen peruslause

21 Kevätlk Lause Olkoon 1, 2,... jono (mahdollisesti äärellinen mitallisia joukkoja. Tällöin joukot i ja i i i ovat mitallisia. Jos lisäksi i :t erillisiä, niin (1.30 m ( i = m( i. i i ( täysadditiivisuus Tod. Merkitään S = i i 1.28 = i F i, F i :t mitallisia ja erillisiä, S k = k F i, S k S. i L (äärellinen yhdiste mitallinen S k mitallinen. Olkoon A testijoukko. Silloin Antamalla k saadaan m (A = m (A S k + m (A \ S k monot. m (A S k + m (A \ S k m (A F i + m (A \ S k N = (1.31 m (A m (A F i + m (A \ S subadd. m ( (A F i + m (A \ S = m (A S + m (A \ S S = i i mitallinen. päyhtälö (1.31, kun A = S, ja subadditiivisuus i m(f i subadd. m(s (1.31 {}}{{}}{ m ( S F i + m (S \ S = =F i =0 m(f i. Jos i :t ovat erillisiä, niin voidaan valita F i = i, joten (1.30 pätee. Alkuosan ja L perusteella i i = ( i c i c on mitallinen. simerkki Olkoon A R 2 s.e. (1.33 m ( A B(x, r x r 3 x R 2, r > 0. Väite: m(a = 0

22 22 Mitta ja integraali Tod. (a Olkoon A rajoitettu, jolloin A Q = [ a, a] [ a, a] (suljettu neliö jollakin a. Olkoon n N. Jaetaan Q suljettuihin osaneliöihin Q j, joiden sivun pituus = 2a/n, ja lukumäärä = n 2. Olkoon x j = Q j :n keskipiste. Silloin: (b Yleinen tapaus. x j 2a ja Q j B(x j, 2a/n (karkeita arvioita m (A Q j monot. m ( A B(x j, 2a/n (1.33 x j (2a/n 3 (2a 4 n 3. A = (A Q j subadd. = n 2 n2 m (A = m ( (A Q j m (A Q j n 2 n 2 (2a 4 n 3 = (2a 4 n 1 n n = m (A = 0 m(a = 0. A = j N A j, missä A j = A B(0, j rajoitettu. A j A A j :lle pätee sama ehto (1.33 (a m(a j = 0 j 1.34 simerkkejä mitallisista joukoista Ainoat esimerkit tähän mennessä: subadd. = m(a = 0. m (A = 0 A ja A c mitallisia Tässä luvussa osoitamme, että mm. avoimet ja suljetut joukot ovat mitallisia. nsin: I R n n-väli (avoin, suljettu, jne. I on mitallinen ja m(i = l(i. Apuna (Riemann-integraali (Diff II: Olkoon I = I 1 I n R n n-väli, missä I j R on väli päätepisteinä a j < b j, j = 1,..., n. Olkoon χ I : R n {0, 1} (I:n karakteristinen funktio { 1, x I χ I (x = 0, x I. Valitaan n-väli Q I ja (Riemann-integroidaan Q χ I = b1 a 1 bn a n 1 dx 1 dx n = (b 1 a 1 (b n a n = l(i. Lemma Olkoot I ja I 1,..., I k n-välejä s.e. I k I j. Silloin l(i k l(i j. Jos lisäksi leikkauksilla I i I j, i j, ei ole sisäpisteitä (ts. mikään I i I j, i j, ei sisällä avointa kuulaa ja I = k I j, niin l(i = k l(i j.

23 Kevätlk Tod. Määritellään χ, χ j : R n {0, 1}, χ(x = { 1, x I 0, x I ja χ j (x = { 1, x I j 0, x I j. Silloin oletuksesta I k I j seuraa, että χ(x k χ j(x x R n. Valitaan n-väli Q, joka sisältää kaikki yo. n-välit ja integroidaan yli Q:n ( l(i = χ χ j = χ j = l(i j. Q Q j j Q j Jos väleillä I j ei ole yhteisiä sisäpisteitä, niin χ(x = k χ j(x paitsi mahdollisesti välien reunoilla, jotka eivät vaikuta integrointiin. Huomautus Voidaan todistaa myös ilman integrointia jakamalla kaikki ao. n-välit (tarpeeksi tiheästi osaväleihin niin, että jokainen I:n osaväli on vähintään yhden I j :n osaväli. (Voidaan olettaa, että kaikki alkuperäiset n-välit ja uudet osavälit ovat suljettuja. Lemma Jos I on n-väli, niin m (I = l(i. Tod. (a: ε > 0 avoin n-väli J I s.e. l(j < l(i + ε. {J} I:n Leb. peite m (I l(i + ε ε > 0 mieliv. m (I l(i. (b: Oletetaan ensin, että I on suljettu. Olkoon F I:n Lebesguen peite. I suljettu ja rajoitettu I kompakti äärellinen alipeite F 0 = {I 1,..., I k } F. Lemma 1.35 l(i S(F 0 S(F inf yli F l(i m (I. Siis: l(i = m (I, jos I on suljettu. Oletetaan sitten, ettei I ole (välttämättä suljettu. Olkoon ε > 0. Nyt suljettu n-väli I c I s.e. l(i c > l(i ε. Siten m (I monot. m (I c = l(i c > l(i ε ε > 0 mieliv. m (I l(i. Huomautus Yo. pätee myös surkastuneille n-väleille I = I 1 I n R n, jolloin (ainakin jokin I j on yksiö. Tällöin l(i määr. = 0 = m n(i. Olkoot A R n, ε > 0 ja J 1, J 2,... R n mielivaltaisia n-välejä s.e. A J i. Jokaisella i avoin n-väli I i J i s.e. l(i i < l(j i + ε/2 i. Nyt {I 1, I 2...} on A:n Lebesguen peite, joten m (A l(i i l(j i + ε. (Muista geometrinen sarja. Tästä seuraa, että m (A = inf { l(j i : A J i, J i mielivaltainen n-väli }.

24 24 Mitta ja integraali Lause Jos I on n-väli, niin I on mitallinen ja m(i = l(i. Tod. L riittää osoittaa, että I on mitallinen. Olkoon A R n testijoukko. Väite: m (A m (A I + m (A \ I. Olkoon ε > 0. Silloin A:n Lebesguen peite (avoimia n-välejä F = {I 1, I 2,...} s.e. S(F m (A + ε. I = 1 n I j =]a 1, b 1 [ ]a n, b n [ I j I = ( { ( n-väli I ]a 1, b 1 [ 1 ]an, b n [ n = j. I j \ I ei ole välttämättä n-väli, mutta I j \ I = k I j,k on äärellinen yhdiste n-välejä s.e. leikkauksilla I j I j,k ja I j,k I j,i, k i, ei ole sisäpisteitä. PSfrag replacements A I j,1 I j,2 I j I j I Lemma 1.35 ja 1.37 l(i j 1.35 = l(i j + k l(i j,k 1.37 = m (I j + k m (I j,k. Summa yli j:n m (A + ε S(F = l(i j = j j subadd. m ( + m ( j I j }{{} A I j,k I j,k }{{} A\I monot. m (A I + m (A \ I. m (I j + j k m (I j,k Annetaan ε 0 m (A m (A I + m (A \ I.

25 Kevätlk Lause (Lindelöfin lause Olkoon A R n mikä tahansa osajoukko ja α A V α A peite avoimilla joukoilla V α R n, α A. Silloin on olemassa numeroituva alipeite Tod. HT V αj A. j N Lause R n :n avoimet ja suljetut joukot ovat mitallisia. Tod. (a Olkoon A avoin. Jos x A, avoin n-väli I(x s.e x I(x A ( avoin kuula B(x, r x A ja sen sisällä avoin n-väli. {I(x: x A} on A:n avoin peite. Lindelöf numeroituva alipeite {I(x j : j N} A = j N I(x j on numeroituva yhdiste mitallisista joukoista A on mitallinen. (b Jos A suljettu, niin A c avoin ja siten mitallinen A = (A c c mitallinen. simerkki Olkoon f : R 2 R 2 jatkuva. Väite: fr 2 on mitallinen. Tod. R 2 = j N A j, missä A j = B(0, j on kompakti f jatkuva fa j kompakti fa j suljettu fa j mitallinen fr 2 = j N fa j fr 2 mitallinen. Muistutus: Olkoot n, m 1. Kuvaus f : R n R m on jatkuva f 1 U R n on avoin U R m avoin. PSfrag replacements R n f R m f 1 U U

26 26 Mitta ja integraali Jos f : R n R m jatkuva ja C R n kompakti, niin fc R m kompakti. Perustelu: C i I f 1 U i fc i I U i avoin peite avoin peite C kompakti k C f 1 U ij fc äärellinen alipeite k U ij. Yleisempiä mitallisia joukkoja, σ-algebrat. F σ -joukot F i, F i suljettu (esim. Q, [a, b, (a, b] G δ -joukot i N G i, G i avoin (esim. R \ Q, [a, b, (a, b] i N F σδ -joukot i N A j, A j F σ G δσ -joukot i N B j, B j G δ jne. Määritelmä Olkoon X mikä tahansa joukko. Perhe Γ P(X on X:n σ-algebra ( sigmaalgebra, jos (a Γ; (b A Γ X \ A Γ; (c A i Γ, i N A i Γ. Huomautus (1 Jos Γ on σ-algebra ja A i Γ, i N, niin myös i A i Γ, sillä A i = ( A c c ( i = A c c i Γ. i i (2 Olemme todistaneet: Lebesgue-mitallisten joukkojen perhe Leb R n on R n :n σ-algebra (Lauseet 1.22, 1.23, (3 P(X on suurin X:n σ-algebra; {, X} on pienin X:n σ-algebra; A X (kiinnitetty {, X, A, A c } on X:n σ-algebra. Määritelmä Borel-joukkojen perhe Bor R n on pienin R n :n σ-algebra, joka sisältää suljetut joukot. Olemassaolo: Merkitään B = {Γ: Γ on R n :n σ-algebra, Γ sisältää suljetut joukot}. (sim. Γ = P(R n on eräs R n :n σ-algebra, joka sisältää suljetut joukot. B on σ-algebra, sillä

27 Kevätlk (a B; (b A B A c Γ Γ A c B; (c A i B i N A i Γ Γ i N A i B. Konstruktio B on pienin R n :n σ-algebra, joka sisältää suljetut joukot, joten Bor R n = B. Avoimet, suljetut, F σ, G δ, jne. joukot ovat Borel-joukkoja. Lause Jokainen Borel-joukko on mitallinen. Tod. Mitallisten joukkojen perhe Leb R n on σ-algebra ja sisältää suljetut joukot, joten Bor R n Leb R n Yleistä mittateoriaa. Hausdorff-mitta Määritelmä Olkoon Γ X:n σ-algebra. Funktio µ: Γ [0, + ] on mitta X:ssä, jos (i µ( = 0; (ii A i Γ, i N, erillisiä µ ( A i = i N µ(a i. täysadditiivisuus Kolmikko (X, Γ, µ on mitta-avaruus. Huomautus Mitta µ on myös monotoninen: Syy: A, B \ A Γ erillisiä, B = A (B \ A A, B Γ, A B 0 µ(a µ(b. µ(b = µ(a + µ(b \ A µ(a. }{{} 0 2. A, B Γ, A B, µ(a < µ(b \ A = µ(b µ(a. 3. Mitta µ on todennäköisyysmitta (lyhyemmin tn-mitta, jos µ(x = 1. simerkki (1 n-ulotteinen Lebesgue-mitta m n : Leb R n [0, + ] on mitta (ei tn-mitta. Syy: Leb R n on R n :n σ-algebra ja m on täysadditiivinen.

28 28 Mitta ja integraali (2 Olkoon X mielivaltainen joukko. Kiinnitetään x X ja asetetaan kaikilla A X { 1, jos x A; µ(a = 0, jos x A. Silloin µ: P(X [0, + ] on tn-mitta (ns. Dirac mitta alkiossa x X. Syy: (a P(X on σ-algebra. (b Olkoot A j X, j N, erillisiä (ts. A i A j =, i j. Silloin sillä µ ( A j = µ(a j, x A j molemmat puolet = 0 x A j erill. = täsm. yksi j 0 N s.e. x A j0 molemmat puolet = 1. (3 µ: P(X [0, + ], µ(a = 0 A X, on mitta. (4 Olkoot a j 0, j N, s.e. a j = 1. Asetetaan kaikilla A N µ(a = j A a j. Tällöin µ: P(N [0, 1] on tn-mitta (HT. Määritelmä Olkoon X mikä tahansa joukko. Kuvaus µ : P(X [0, + ] on ulkomitta X:ssä, jos (1 µ ( = 0; (2 A B µ (A µ (B; (3 A j X, j N µ ( A j µ (A j. Lisäksi joukko X on (µ -mitallinen, jos (Carathéodoryn ehto (1.52 µ (A = µ (A + µ (A \ pätee A X. Merkitään M µ (X = { X : µ -mitallinen} tai lyhyemmin M(X, jos µ on selvä asiayhteydestä. Huomautus M(X P(X on σ-algebra X:ssä ja rajoittuma µ M(X: M(X [0, + ] on mitta. Tod. kuten Lebesguen ulkomitan tapauksessa.

29 Kevätlk Hausdorffin mitta ja dimensio. Joukon A R n halkaisija on d(a = sup{ x y : x, y A}, d( = 0. Olkoon 0 s < ja δ > 0. Jos A R n, niin asetetaan Hδ s (A = inf{ d( j s : A j, d( j δ }, missä tehdään sopimukset d({x} 0 = 1 x R n ja d( s = 0 s 0. (Yllä j R n on mikä tahansa osajoukko. A PSfrag replacements j, d( j δ Havaitaan: 0 δ 1 δ 2 H s δ 1 (A H s δ 2 (A (inf yli pienemmän joukon. Määritelmä Joukon A R n s-ulotteinen Hausdorffin (ulko-mitta on (Voi olla H s (A =. H s (A = lim δ 0+ Hs δ (A = sup Hδ s (A. δ>0 Lause Olkoon 0 s <. Silloin H s on ulkomitta R n :ssä. Tod. HT H s -mitalliset joukot, M H s(r n, määritellään Carathéodoryn ehdon (1.52 avulla. Lisätieto: Bor R n M H s(r n. Lause Jokaista A R n kohti on olemassa 1-käsitteinen luku s = s(a 0, ns. Hausdorffin dimensio, s.e. Tod. Väite 1: H s+ε (A = 0 H s ε (A = + ε > 0, ja ε (0, s]. s 0 ja H s (A < H t (A = 0 t > s. Olkoon δ > 0. peite j A s.e. d( j δ j ja d( j s Hδ s (A + 1 Hs (A + 1 olet. < Hδ t inf (A d( j t = d( j s d( j }{{} δ δ t s( H s (A + 1 }{{} < t s t>s δ t s d( j s A:n

30 30 Mitta ja integraali Annetaan δ 0 δ t s 0 H t (A = lim δ 0 Hδ t (A = 0 eli Väite 1 todistettu. Asetetaan s(a = inf{t > 0: H t (A = 0}. Väite 1 H s(a+ε (A = 0 ε > 0. Toisaalta Väite 1 jos 0 s < t < ja H t (A > 0, niin H s (A = +. Huomautus (1 Hausdorff-mitta voidaan määritellä samalla tavalla missä tahansa metrisessä avaruudessa (X, d (joukon A X halkaisija on d(a = sup{d(x, y: x, y X}. (2 H 0 on lukumäärämitta, ts. H 0 (A = card A = A:n alkioiden lukumäärä. (3 R n :ssä pätee: H n = c m n, missä c = c(n on vakio. Siksi usein H s normeerataan kertomalla se tietyllä s:stä riippuvalla vakiolla. (4 A R n annettu Hausdorff-dimensio s(a [0, n] (ei tarvitse olla kokonaisluku. Vastaava mitan arvo H s(a (A voi olla mikä tahansa luku [0, + ]. (5 R n :ssä H s, 0 s n, sopii hyvin mittaamaan pieniä joukkoja. sim. 0-mittaisella joukolla A, m n (A = 0, voi olla H s (A > 0, 0 s < n. H s (A näkee A:n hienorakennetta ehtojen d( j δ, δ 0 takia Mitan konvergenssi Olkoon X, Γ P(X σ-algebra, ja µ: Γ [0, + ] mitta. Lause Olkoon A j Γ, j = 1,..., kasvava jono (ts. A 1 A 2 X (µ-mitallisia. Tällöin µ ( A j = lim µ(a j. j Huom.: A j Γ j N A j Γ. Tod. A j = (A j \ A j 1, A 0 = (sopimus }{{} erill. mitall. A j+2 A j+1 PSfrag replacements A j A j+1 \ A j

31 Kevätlk Mitan täysadditiivisuus µ ( A j = µ(a j \ A j 1 = lim k k µ(a j \ A j 1 = lim µ( k (A j \ A j 1 k = lim k µ(a k. } {{ } =A k Lause Olkoon A j Γ, j = 1,..., vähenevä jono (ts. X A 1 A 2 (µ-mitallisia. Jos lisäksi µ(a k < jollakin k N, niin silloin µ ( A j = lim j µ(a j. Huom.: Γ σ-alg. A j Γ. Tod. Voidaan olettaa, että µ(a 1 < (tarvittaessa indeksöidään joukot A j uudelleen. Merkitään A j = A ja B j = A 1 \ A j. Tällöin B 1 B 2 ovat mitallisia. PSfrag replacements A 1 A2 B 2 A 3 B 3 Lause 1.59 A 1 = A j ( A 1 \ A j }{{} =B j µ ( B j = lim j µ(b j. B j = (A 1 \ A j = A 1 \ A j = A 1 \ A erillinen yhdiste µ(a 1 = µ(a j + µ(b j A 1 = A (A 1 \ A erillinen yhdiste µ(a 1 = µ(a + µ(a 1 \ A

32 32 Mitta ja integraali µ(a = µ(a 1 µ(a 1 \ A (tässä tarvitaan µ(a 1 < = µ(a 1 µ ( B j = µ(a 1 lim j µ(b j = µ(a 1 lim j ( µ(a1 µ(a j = lim j µ(a j. Huomautus hto µ(a k < jollakin k N on välttämätön. sim. A j = {(x, y R 2 : x > j} A 1 A 2 A 3 m 2 (A j = j ( A j = m 2 A j = 0 lim m 2 (A j. j j N j N Huomautus (Tn-teoriassa tärkeä sovellus Borel-Cantelli lemma: Olkoon (X, Γ, µ mittaavaruus, A j Γ, j N, ja A = {x X : x A j äärettömän monella indeksillä j N}. Tällöin: (HT µ(a j < µ(a = Lebesguen mitan yhteys Jordan-mittaan Lause R n (Leb.-mitallinen ja m(b \ A < ε. ε > 0 (Leb.-mitallinen A ja B s.e. A B Tod. HT 3/5 Määritelmä (Diff II R n Jordan-mitallinen rajoitettu ja χ Riemannintegroituva. Tällöin :n Jordan-mitta on m J ( = χ. Lause Jos R n on Jordan-mitallinen, niin on Lebesgue-mitallinen ja m J ( = m(. Tod. Oletetaan n = 2, yleinen n samoin. Valitaan suljettu suorakulmio R. Olkoon D = {R j } R:n jako äärellisen moneen suljettuun suorakulmioon R j, joilla ei ole yhteisiä sisäpisteitä. Karakteristiseen funktioon χ liittyy yläsumma M D = { 1, R j ; G j l(r j, G j = 0, R j j =.

33 Kevätlk Merkitään B D = {R j : R j }, jolloin B D mitallinen ja M D = L l(r j = m(b D. R j Vastaava alasumma on Merkitään m D = j g j l(r j, g j = { 1, R j ; 0, R j. A D = {R j : R j }, jolloin A D on mitallinen ja m D = m(a D. Olkoon ε > 0. Jordan-mitallinen χ Riemann-integroituva Lisäksi jako D s.e. M D m D < ε B D = (B D \ A D A D erillinen yhdiste m(b D \ A D = m(b D m(a D = M D m D < ε A D B D L = mitallinen. m(a D m( m(b D m(a D = m D m J ( M D = m(b D ε < m D M D m( m J ( M D m D < ε t.s. m( m J ( < ε m( = m J (. ja Seuraus. Tunnetut (Riemann-integroimalla saadut pinta-ala-/tilavuuskaavat ovat voimassa. sim. Merkitään B n (x, r = {y R n : y x < r} R n (avoin kuula. m 2 ( B 2 (x, r = πr 2 ; m 3 ( B 3 (x, r = 4 3 πr3. Lisätieto: (ei todisteta R n Jordan-mitallinen rajoitettu ja m n ( = i-(lebesgue-mitallinen joukko R:ssä Lause (Vitali, 1905 eli R, joka ei ole Lebesgue-mitallinen. Leb R P(R Ideana on löytää joukko B R, 0 < m (B <, ja B:n ositus B = A i

34 34 Mitta ja integraali erillisiin joukkoihin A i s.e. m (A i = m (A 1 i. Tällöin jonkun joukoista A i on oltava ei-mitallinen. Yksi tapa varmistaa, että joukoilla A i on sama ulkomitta, on pyrkiä valitsemaan A i = A + x i jollakin (kiinteällä joukolla A R ja x i R ja käyttää ulkomitan siirtoinvarianssia. Tod. Tarkastellaan tekijäryhmää R/Q, jonka alkiot ovat ekvivalenssiluokkia (x, x R. (x = (y x y x y Q. Voidaan kirjoittaa (x = x + Q. Valitaan jokaisesta ekvivalenssiluokasta (x, x R, täsmälleen yksi edustaja, joka kuuluu väliin [0, 1]. Olkoon A näiden joukko. Väite: A Leb R. Vastaoletus: A Leb R. (i Joukot A + r, r Q, ovat erillisiä: x (A + r (A + s, r, s Q x = a 1 + r ja x = a 2 + s, a 1 a 2 = s r Q a 1 a 2 (a 1 = (a 2 a 1 = a 2 s = r. a 1, a 2 A (koska valittiin täsm. yksi alkio (ii m(a = 0 (käytetään siirtoinvarianssia : A Leb R A + a Leb R ja m(a = m(a + a: (iii R = r Q (A + r: (i, (ii ja (iii A [0, 1] A + 1 [0, 2] n n N 2 m ( (A + 1 n erill. = m(a + 1 n = m(a n=1 m(a = 0. n=1 n=1 x R a (x A x a = r Q, a A x = a + r, x A + r. + = m(r = r Q a A m(a + r = m(a = 0. RR }{{} r Q =0 Huomautus Myös R n :ssä, n 1, samantyyppinen esimerkki, joten Leb R n P(R n.

35 Kevätlk Jos A R on mikä tahansa joukko s.e. m (A > 0, niin B A s.e. B Leb R. (HT Lisätieto: (Banach-Tarski paradoksi, 1924: Mikä tahansa R 3 :n suljettu kuula B voidaan osittaa äärellisen moneen (erilliseen palaan A j B = (sopivalla m 2 ja sitten järjestellä palat uudelleen kuvauksilla m A j g j : R 3 R 3, g j (x = y j + T j (x, missä y j R 3 ja T j : R 3 R 3 on lineaarinen kierto (j = 1,..., m niin, että syntyy kaksi B:n kanssa samankokoista (s.o. sama säde suljettua kuulaa. Lebesguen mitta siirto- ja kiertoinvariantti joukot A 1,..., A m eivät mitallisia. 2 Mitalliset kuvaukset 2.1 Mitallinen kuvaus Merkitään Ṙ = R { } {+ }. Määritelmä 2.2. Olkoon A R n. Kuvaus f : A R m on mitallinen (σ-algebran Leb R n suhteen, jos f 1 G on (Lebesgue-mitallinen kaikilla avoimilla G R m. Kuvaus f : A Ṙ on mitallinen, jos (i f 1 G on mitallinen kaikilla avoimilla G R m, (ii f 1 (+ on mitallinen ja (iii f 1 ( on mitallinen. PSfrag replacements R n R m A f f 1 G G Huomautus f : A R m mitallinen A = f 1 R m R n on mitallinen joukko. Samoin f : A Ṙ mitallinen A = f 1 (R f 1 (+ f 1 (+ R n on mitallinen joukko. 2. f : A R m mitallinen, B A mitallinen f B : B R m mitallinen. Syy: G R m avoin (f B 1 (G = }{{} B mitallinen f 1 G }{{} mitallinen on mitallinen.

36 36 Mitta ja integraali 3. Olkoon X mielivaltainen joukko ja Γ P(X σ-algebra. Määr. Kuvaus f : X R on mitallinen (σ-alg. Γ suhteen, jos f 1 G Γ kaikilla avoimilla G R. Muistutus. (Diff II/Topo I Kuvaus f : A R m, A R n, on jatkuva pisteessä x A, jos ε > 0 kohti δ = δ(ε > 0 s.e. f ( B(x, δ A B(f(x, ε. f : A R m on jatkuva, jos f on jatkuva x A. PSfrag replacements A f B(f(x, ε B(x, δ fb(x, δ Pätee: f : A R m on jatkuva (2.4 f 1 G on avoin A:ssa avoimilla G R m, t.s. f 1 G = A V, missä V R n on avoin. Lause 2.5. A mitallinen ja f : A R m jatkuva f mitallinen. Tod. G R m avoin (2.4 = f 1 G avoin A:ssa avoin V R n s.e. f 1 G = }{{} A mitallinen }{{} V mitallinen Leb R n f mitallinen. Lause 2.6. Jos f : A R m on mitallinen, niin f 1 B on mitallinen kaikilla Borel-joukoilla B R m. Tod. Merkitään Γ = {V R m : f 1 V mitallinen}. Silloin Γ on σ-algebra, sillä (1 f 1 = mitallinen Γ, (2 V Γ f 1 V c = }{{} A \ f 1 V }{{} mitallinen V c Γ, mitallinen mitallinen (3 V i Γ, i N f 1( i N V i = i N f 1 V i }{{} mitallinen mitallinen i N V i Γ. Lisäksi Γ sisältää suljetut joukot, sillä: F suljettu F c avoin f 1 F = ( f 1 (F c c mitallinen }{{} F Γ. Siis Γ Bor R m (= pienin σ-algebra, joka sisältää suljetut joukot. mitallinen Korollari 2.7. f mitallinen välin ja pisteen alkukuvat mitallisia.

37 Kevätlk simerkki 2.8. Olkoon R n ja χ : R n {0, 1} joukon karakteristinen funktio { 1, jos x, χ (x = 0, jos x. Väite: χ mitallinen funktio mitallinen joukko. Tod. = χ 1 (1 mitallinen (K Olkoon mitallinen ja G R avoin. R n, jos {0, 1} G, χ 1 (G =, jos {0, 1} G =,, jos {0, 1} G = {1}, c, jos {0, 1} G = {0}. Nämä joukot mitallisia χ mitallinen funktio. Lause 2.9. Olkoon f : A R m mitallinen, A R n, ja g : B R k jatkuva, missä fa B R m. Silloin g f on mitallinen. Tod. G R k avoin g jatkuva } (2.4 = g 1 G avoin B:ssä avoin V R m s.e. g 1 G = B V (g f 1 G = f 1 (g 1 G = f 1 (B V fa B = f 1 (V mitallinen. missä Varoitus: f ja g mitallisia g f mitallinen. Jos f : A R m, niin f = (f 1,..., f m, f(x = ( f 1 (x,..., f m (x, f j : A R, f j (x = (P j f(x ja P j (y 1,..., y m = y j (P j projektio j:nnelle koord.. Lause f = (f 1,..., f m : A R m on mitallinen f j on mitallinen j {1,..., m}. Tod. Jos f on mitallinen, niin f j = P j f on mitallinen (L. 2.9, sillä P j jatkuva. Oletetaan, että f j on mitallinen j. Olkoon G R m avoin. P 1 2 I 2 PSfrag replacements I 2 I 1 I 2 = P 1 1 I 1 P 1 2 I 2 I 1 P 1 1 I 1

38 38 Mitta ja integraali Lindelöf G = i N I (i, I (i avoin m-väli (vrt. L tod. f 1 G = i N I (i = I (i 1 I (i m = f 1 I (i = i N m m f 1 Pj 1 I (i j Pj 1 I (i j, I (i j R avoin = i N m fj 1 I (i j }{{} mitallinen mitallinen. Lause Mitallisten funktioiden f, g : A Ṙ summa ja tulo ovat mitallisia (mikäli määriteltyjä. Samoin λf, λ R, ja f a, a > 0, ovat mitallisia. Tod. Summa. Olkoot f, g : A R mitallisia. Kirjoitetaan f + g = u v, missä A v R 2 u R, v = (f, g ja u(x, y = x + y. } Lause 2.10 v mitallinen f + g = u v mitallinen. u jatkuva Huom. Tapaus f, g : A R m mitallisia f + g mitallinen seuraa Lause 2.10:stä. Olkoot f, g : A Ṙ mitallisia. [Summa f + g on määritelty, jos missään x A ei ole f(x = +, g(x =, tai päinvastoin.] Merkitään f + g = h. Tiedetään, että A on mitallinen (Huom. 1.. Toisaalta A = h 1 (+ h 1 ( A 0, missä A 0 = h 1 R. h 1 (+ = f 1 (+ g 1 (+ on mitallinen. h 1 ( = f 1 ( g 1 ( on mitallinen. A 0 on mitallinen. f A 0 ja g A 0 mitallisia (Huom. 2. tod. alkuosa = h 1 G on mitallinen G R avoin h on mitallinen. Tulo. Samoin (HT λf rikoistapaus tulosta. f a f a = u f, missä u(x = x a jatkuva, jos a > 0. L. 2.9 f a on mitallinen. Tästä lähtien tarkastellaan vain funktioita f : A Ṙ, A Rn. Tärkeä peruskriteeri: Lause Olkoon A R n mitallinen ja f : A Ṙ. SY (= seuraavat ehdot yhtäpitäviä (1 f on mitallinen; (2 a = {x A: f(x < a} on mitallinen a R; (3 a = {x A: f(x > a} on mitallinen a R; (4 a = {x A: f(x a} on mitallinen a R;

39 Kevätlk (5 a = {x A: f(x a} on mitallinen a R. Tod. a = A \ a joten (2 (5 a = A \ a joten (3 (4 a = L a+1/j joten (2 = (4 j N a = L a 1/j joten (4 = (2 j N a = f 1( (, a f 1 ( joten (1 (2 }{{} avoin Oletetaan, että (2 pätee [ja siis (3,(4,(5] Väite: (1 pätee eli f on mitallinen. Tod. Olkoon G R avoin. G = j N I j, I j = (a j, b j avoin väli (Lindelöf f 1 G = j N f 1 I j, f 1 I j = {x: a j < f(x < b j } = a j bj mitallinen f 1 G mitallinen f 1 (+ = j N j mitallinen f 1 ( = j N j mitallinen f mitallinen. Huomautus Oletus A mitallinen on välttämätön Lauseessa sim. Olkoon A eimitallinen (L ja x 0 A. Määritellään f : A Ṙ, { + jos x A \ {x 0 }, f(x = jos x = x 0. Silloin a = {x A: f(x < a} = {x 0 } on mitallinen a R eli (2 pätee, mutta f ei voi olla mitallinen (koska A ei-mitallinen eli (1 ei päde. simerkki Väite: f : R R mitallinen { (1 f 2 mitallinen funktio, (2 = {x: f(x > 0} mitallinen joukko. Tod. Merkitään a = {x: f(x < a}. Lause 2.12: osoitettava a on mitallinen a R. (i Olkoon a > 0. f(x < a f(x 2 < a 2 tai f(x 0, joten a = {x: f 2 (x < a 2 } }{{} }{{} c mitallinen mitallinen (1 mitallinen (2

40 40 Mitta ja integraali (ii Olkoon a 0. f(x < a f(x 2 > a 2 ja f(x 0, joten a = {x: f 2 (x > a 2 } }{{} }{{} c mitallinen (1 mitallinen (2 mitallinen Lause 2.12 f on mitallinen. f mitallinen L f 2 = f f on mitallinen. Samoin: f mitallinen L mitallinen. Huomautus f 2 mitallinen f mitallinen. Syy: Olkoon R ei-mitallinen ja f : R R, f(x = { 1, jos x, 1, jos x c. Silloin f 2 on vakiofunktiona f 2 (x 1 mitallinen, mutta {x: f(x > 0} = L joukko. = f ei-mitallinen. on ei-mitallinen 2.16 Lukujonon lim sup ja lim inf Määritelmä Olkoon a 1, a 2,... jono Ṙ:ssä. Merkitään b k = sup a i, i k c k = inf i k a i. (sallitaan b k, c k Ṙ Tällöin b 1 b 2 b k b k+1 c 1 c 2 c k c k+1 ja (sup / inf pienemmästä joukosta raja-arvot lim b k = inf b k = β ja lim c k = sup c k = γ k k N k k N (sallitaan ±. Merkitään β = lim sup a i i tai lim a i i γ = lim inf i i tai lim a i i yläraja-arvo eli limes superior alaraja-arvo eli limes inferior. Siis ( ( lim sup a i = lim sup a i = inf sup a i, i k i k k N i k lim inf a ( i = lim inf a ( i = sup inf a i. i k i k k N i k Huomautus (a i jono Ṙ:ssä lim sup i a i ja lim inf i a i aina olemassa ( 1-käsitteisiä. Ṙ ja simerkki (1,,,,... ; b k = k, c k = k β =, γ =

41 Kevätlk (2 1, 2, 3, 4,... ; b k = k, c k = k k β = = γ (3 0, 1, 0, 1, 0, 1,... ; b k = 1 k, c k = 0 k β = 1, γ = 0 (4 0, 1, 0, 2, 0, 3,... ; b k = 0 k, c k = k β = 0, γ =. Lause (i lim inf i a i lim sup i a i, (ii a i M i i 0 lim sup i a i M, (iii a i m i i 0 lim inf i a i m. Tod. (i c k b k γ = lim k c k lim k b k = β, (ii b k M k i 0 β = lim k b k M, (iii c k m k i 0 γ = lim k c k m. Lause Olkoon (a i jono Ṙ:ssä. Tällöin lim a i ( Ṙ i lim inf i a i = lim sup a i i ( Ṙ. Tässä tapauksessa lim a i = lim inf i i Tod. Oletetaan, että α = lim i a i. (a1 α R a i = lim sup a i i (± sallitaan. ε > 0 i 0 s.e. α ε < a i < α + ε i i 0 α ε c i0 γ β b i0 α + ε ε mieliv. γ = β (a2 α = (a3 α = samoin Oletetaan, että β = γ merk. = α. (b1 α R M R i 0 s.e. a i > M i i 0 M c i0 γ β M mieliv. γ = β = ε > 0 k 1 s.e. b k < α + ε k k 1 k 2 s.e. c k > α ε k k 2 k max{k 1, k 2 } α ε < c k a k b k < α + ε ε mieliv. α = lim k a k

42 42 Mitta ja integraali (b2 α = (b3 α = samoin M R k 0 s.e. c k > M k k 0 a k c k > M k k 0 lim a k = k 2.22 Rajafunktion mitallisuus Lause Olkoot f j : A Ṙ, j N, mitallisia. Silloin funktiot sup f j, j N inf f j, j N lim sup f j, j lim inf j f j ovat mitallisia. Jos f = lim j f j, niin f on mitallinen. Huomautus Yo. funktiot määritelty pisteittäin x A. simerkiksi funktion sup j N f j arvo pisteessä x A on sup j N f j (x Ṙ. Tod. Merkitään g(x = sup j N f j (x, x A. Kaikilla a R: (2.25 {x A: g(x a} ( = mitallinen {}}{ {x A: f j (x a} on mitallinen g = sup f j on mitallinen. j N j N ( ( : g(x a fj (x a j N (2.26 inf f j = sup( f j on mitallinen, j N j N ( lim sup f j = inf sup f j on mitallinen [(2.25, (2.26], j k N j k lim inf f ( j = sup inf f j on mitallinen [(2.25, (2.26]. j k N j k Jos f = lim j f j, niin L lim f j j = lim sup j f j on mitallinen. Melkein kaikkialla (lyhyemmin m.k. = lukuunottamatta 0-mittaista joukkoa. Samoin melkein jokainen (lyhyemmin m.j.. sim. (a m.j. reaaliluku on irrationaalinen, sillä m(q = 0. (b e jx2 j 0 m.k. x R, sillä m({0} = 0. Lause Olkoot f, g : A mitallinen. Ṙ. Oletetaan, että f on mitallinen ja g = f m.k. Silloin g on

43 Kevätlk Tod. Olkoon A 0 A s.e. m(a 0 = 0 ja f(x = g(x x A \ A 0. Olkoon a R. Merkitään a = {x A: f(x < a} }{{} mitallinen ja osoitetaan, että F a on mitallinen. Nyt ja F a = {x A: g(x < a}. F a = ( F a A 0 ( Fa \ A 0, m ( F a A 0 m (A 0 = 0 F a A 0 on mitallinen. Toisaalta F a \ A 0 = a \ A 0, joka on mitallinen. Siis F a on kahden mitallisen joukon yhdisttenä mitallinen. Huomautus Siis nollajoukot (0-mittaiset eivät vaikuta mitallisuuteen voidaan puhua myös sellaisten funktioiden mitallisuudesta, jotka ovat määritelty vain m.k. Lause Olkoot f j : A Ṙ, j N, mitallisia ja f j f m.k. Tod. f = lim sup j f j m.k. ja lim sup j f j on mitallinen. simerkki Olet. f : R R ja f (x x R. Väite: f on mitallinen. Tod. Merkitään g n (x = f mitallinen. f(x + 1/n f(x, jolloin f (x = lim 1/n g n(x. n f (x x R f jatkuva ja siis mitallinen g n mitallinen (L L = f mitallinen. Lisätieto I Littlewoodin kolme periaatetta (Kts. esim. Royden: (I Jokainen mitallinen joukko A R n, jolle m(a <, on melkein äärellinen yhdiste F = m I j, missä I 1,..., I m ovat n-välejä: ε > 0 F = m I j A s.e. m(a F < ε, missä A F = (A \ F (F \ A ( symmetrinen erotus. (II Jokainen mitallinen kuvaus on melkein jatkuva : Lusinin lause (Reaalianalyysi I: Jos A R n on rajoitettu, f : A R on mitallinen ja ε > 0, niin kompakti C A s.e. m(a \ C < ε ja f C on jatkuva. (III Jokainen suppeneva jono mitallisia funktioita f j : A R on melkein tasaisesti suppeneva : gorovin lause (Reaalianalyysi I: Jos A R n, m(a <, f j : A R ovat mitallisia ja f j f : A R m.k. Silloin ε > 0 kompakti C A s.e. m(a \ C < ε ja f j C f C tasaisesti (t.s. sup x C f j (x f(x j 0. Lisätieto II Olkoon (Ω, Γ, µ tn-avaruus. Kurssilla TN I (tai TN-teoria sanotaan, että funktio X : Ω R on satunnaismuuttuja, jos {ω Ω: X(ω x} = X 1 (, x] Γ kaikilla x R. Voidaan osoittaa: Lause 2.12 pätee myös näille, ja X : Ω R satunnaismuuttuja X Γ-mitallinen funktio Ω R.

44 44 Mitta ja integraali 3 Lebesguen integraali 3.1 Yksinkertaiset funktiot Määritelmä 3.2. Funktio f : R n R on yksinkertainen, jos (1 f on mitallinen, (2 f 0 (f(x 0 x R n, (3 f saa vain äärellisen monta arvoa. Merkitään Y = {f f : R n R yksinkertainen} (tai Y n. PSfrag replacements R n A R 1 3 A 2 A 1 0 a 1 a 2 a 3 A 3 Huomautus f Y f(x x. 2. f Y, Leb R n fχ Y. Olkoon f Y ja f:n eri arvot a 1,..., a k [0, +. Silloin k A i = f 1 (a i ovat mitallisia ja erillisiä, R n = A i ja f = k a i χ Ai on f:n normaaliesitys. Määritelmä 3.4. Olkoon f Y ja f = k a i χ Ai sen normaaliesitys. Tällöin f:n integraali (yli R n : n on k I(f = a i m(a i. (muista 0 = 0 Jos R n on mitallinen, niin f:n integraali yli :n on rityisesti: I(f = I(f, R n, 0 I(f,, I(f, = I(fχ.

45 Kevätlk Leb R n I(χ = m(. Lause 3.5. Jos f Y ja f:n normaaliesitys on k a i χ Ai, niin I(f, = k a i m(a i. Tod. (3.6 fχ = k a i χ Ai χ = k a i χ Ai (ei ole välttämättä normaaliesitys. A 3 A 4 PSfrag replacements A 1, a 1 = 0 A 2, missä a fχ :lle arvo = 0 fχ :n normaaliesitys saadaan summasta (3.6 (1 poistamalla siitä kaikki ne termit, joilla A j = (2 jos a j = 0 jollakin j {1,..., k}, niin lisätään R n \ joukkoon A j ja merkitään syntynyttä joukkoa edelleen A j :llä näillä a j m(a j = 0 } (3 jos a i 0 i {1,..., k}, niin lisätään summaan termi a k+1 χ Ak+1, missä a k+1 = 0 ja A k+1 = R n tällöin a \ k+1 m(a k+1 = 0 k k I(f, = I(fχ = a i m(a i + a k+1 m(a k+1 = a i m(a i. Lause 3.7. Olkoot j, j N, mitallisia ja erillisiä ja = j N j. Jos f Y, niin I(f, = j N I(f, j. Tod. Olkoon f = k a iχ Ai normaaliesitys. L. 3.5 I(f, = k a i m(a i.

46 46 Mitta ja integraali Koska A i = j N (A i j, niin (peruslause L m(a i = j N m(a i j i = 1,..., k I(f; = k a i 3.5 = j N I(f, j. j N m(a i j = j N k a i m(a i j Huomautus 3.8. Selvästi I(f, = I(fχ = I(0 = 0, joten Lauseen 3.7 nojalla kuvaus on mitta jokaisella (kiinteällä f Y. Konvergenssilause 1.59 Leb R n [0, + ], I(f, Korollari 3.9. Jos f Y ja 1 2 ovat mitallisia, niin I ( f, j = lim j I(f, j. Lause Olkoot f, g Y, mitallinen ja a 0 vakio. Silloin (i f + g Y ja I(f + g, = I(f, + I(g, ; (ii af Y ja I(af, = ai(f,. Tod. (i: Selvästi f + g Y. (a Olkoon = R n ja normaaliesitykset. Silloin k f = a j χ Aj, g = l b i χ Bi (f + gχ Ai B j = (a i + b j χ Ai B j i, j 3.5 = (3.11 { I(f + g, Ai B j = (a i + bjm(a i B j = a i m(a i B j + b j m(a i B j = I(f, A i B j + I(g, A i B j R n = yhdiste erillisistä joukoista A i B j. Lause 3.7 I(f + g 3.7 = i,j I(f + g, A i B j (3.11 = i,j I(f, A i B j + i,j I(g, A i B j (b mielivaltainen. 3.7 = I(f + I(g I(f + g, = I ( (f + gχ = I(fχ + gχ = I(fχ + I(gχ = I(f, + I(g,.

47 Kevätlk (ii: af Y selvä. Olkoon a > 0 ja f = k a iχ Ai normaaliesitys. a = 0 I(af, = 0 = ai(f,. af = I(af, = k aa i χ Ai normaaliesitys. k aa i m(a i = a k a i m(a i = ai(f,. Monotonisuusominaisuuksia. Lause (1 mitallinen ja f, g Y, f g (ts. f(x g(x x I(f, I(g, ; (2 F mitallisia, f Y I(f, I(f, F ; (3 f Y, m( = 0 I(f, = 0. Tod. (1: g = f + (g f, missä g f 0 ja g f Y. Lause 3.10 I(g, 3.10 = I(f, + I(g f, I(f,. }{{} 0 (2: F 0 χ χ F f Y fχ fχ F ( Y I(f, = I(fχ (1 I(fχ F = I(f, F. (3: Jos f = k a iχ Ai on normaaliesitys, niin I(f, = k a i m(a i = 0, sillä A }{{} i ja m( = 0. =0 Lisätieto. Olkoon (X, Γ, µ mitta-avaruus. Funktio f : X R on yksinkertainen, jos f = k a i χ Ai, missä a 1,..., a k 0, joukot A i Γ, i = 1,..., k, ovat erillisiä ja X = k A i. Silloin f:n integraali on k I(f = a i µ(a i. Luvun 3.1 ominaisuudet ovat voimassa!

48 48 Mitta ja integraali 3.13 Lebesguen integraali, f 0 Lause Olkoon f : R n Ṙ mitallinen ja f 0. Tällöin nouseva jono 1-kertaisia funktioita f j Y, f 1 f 2, s.e. f(x = lim j f j (x x R n. Tod. Määritellään f j : R n Ṙ seuraavasti: Jaetaan [0, j erillisiin puoliavoimiin väleihin I 1,..., I k, joiden pituus on 1/2 j, t.s. Määritellään f j (x = I i = [(i 12 j, i2 j, i = 1,..., k = j2 j. { (i 12 j, kun x f 1 I i, (eli (i 12 j f(x < i2 j j, kun x f 1 [j, + ] (eli f(x j. f mitallinen f 1 (I i mitallinen ja f 1 [j, + ] mitallinen. f j 0, saa vain äärellisen monta arvoa Konstruktio f j f j+1 (katso kuva. f j Y, j = 1, 2,... PSfrag replacements j + 1 j f j f j+1 f j+1 I i fj f j f 1 I i f 1 ([j, + ] f 1 I i Väite: f j (x f(x x R n. (a: f(x < + j 0 > f(x. Kun j j 0, niin (i 12 j f(x < i2 j jollakin i {1,..., j2 j } f j (x = (i 12 j f(x < i2 j = f j (x + 2 j lim f j (x = f(x. j (b: f(x = + f j (x = j j f j (x + = f(x. f(x 2 j < f j (x f(x Määritelmä Olkoon f : R n Ṙ mitallinen ja f 0. Silloin f:n (Lebesguen integraali yli R n :n on f = sup{i(ϕ: ϕ Y, ϕ f}. Jos R n on mitallinen, niin f:n integraali yli :n on (3.16 f = fχ.

Mitta ja integraali 1

Mitta ja integraali 1 Mitta ja integraali 1 Ilkka Holopainen osittain muokannut ja täydentänyt Okko Kanerva 2 14. tammikuuta 2011 1 Perustuu pääosin luentomonisteisiin Tylli: Mitta ja integraali (2000) ja Väisälä: Diff. Int.

Lisätiedot

d ) m d (I n ) = 2 d n d. Koska tämä pätee kaikilla

d ) m d (I n ) = 2 d n d. Koska tämä pätee kaikilla MAT21007 Mitta ja integraali Harjoitus 2 viikko 25.3-29.3 2019) Palauta mieleen: monisteen luku 0; Topologia I) avaruuden d euklidinen etäisyys, avoimet kuulat ja joukot. Ohjausta laskuharjoitusten tekoon:

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

Reaalianalyysin perusteita

Reaalianalyysin perusteita Reaalianalyysin perusteita Heikki Orelma 16. marraskuuta 2008 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Mitallisuus 3 3 Yksinkertaiset funktiot 6 4 Mitat ja integrointi 7 5 Kompleksisten funktioiden integrointi 10 6 Nolla-mittaisten

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

MITTA- JA INTEGRAALITEORIA 2015

MITTA- JA INTEGRAALITEORIA 2015 MITT- J INTEGRLITEORI 2015 HELI TUOMINEN Sisältö Johdantoa 2 Mitta 2 Integraali 2 nalyysin peruslause 2 Riemann-integraalista 2 1. Valmistelua, kertausta ja merkintöjä 4 Infimum ja supremum 4 Laajennettu

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

Analyysin peruslause

Analyysin peruslause LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta

Lisätiedot

Täydellisyysaksiooman kertaus

Täydellisyysaksiooman kertaus Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja

Lisätiedot

Tiheyspistelauseita. Petteri Salovaara. Pro Gradu tutkielma

Tiheyspistelauseita. Petteri Salovaara. Pro Gradu tutkielma Tiheyspistelauseita Petteri Salovaara Pro Gradu tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesä 2006 1 2 Sisältö 1. LUKU: Esitietoja 3 2. LUKU: Mittojen derivointia ja tiheyspistelause

Lisätiedot

Mitta ja Integraali. Anssi Mirka 1. 1 Ilmoita painovirheistä esim. sähköpostitse osoitteeseen

Mitta ja Integraali. Anssi Mirka 1. 1 Ilmoita painovirheistä esim. sähköpostitse osoitteeseen Mitta ja Integraali Anssi Mirka 1 1 Ilmoita painovirheistä esim. sähköpostitse osoitteeseen anssi.mirka@helsinki.fi 2 Mitta ja integraali Contents 0 Taustatietojen kertausta ja täydennystä 7 0.1 Käytännön

Lisätiedot

1 Supremum ja infimum

1 Supremum ja infimum Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Jordanin sisältö ja Lebesguen ulkomitta

Jordanin sisältö ja Lebesguen ulkomitta Jordanin sisältö ja Lebesguen ulkomitta Jennika Ojalehto Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2016 Tiivistelmä: Jennika Ojalehto, Jordanin sisältö ja

Lisätiedot

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 5. Olkoon f : [0, 1] R kasvava. Osoita, että joukko. {x [0, 1] f ei ole jatkuva pisteessä x} on numeroituva. [Vihje: Lause 1.2.

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 5. Olkoon f : [0, 1] R kasvava. Osoita, että joukko. {x [0, 1] f ei ole jatkuva pisteessä x} on numeroituva. [Vihje: Lause 1.2. Harjoitukset 1 16.9.25 1. Merkitään Z + = {x Z x > }. Osoita, että f : Z + Z + Z +, f(x, y) = 2 x 1 (2y 1), on bijektio. Piirrä kuva. Perinteisempi kuvaus Z + Z + Z + on (x, y) (x + y 1)(x + y)/2 (x 1).

Lisätiedot

Mitta- ja integraaliteoria 2 Harjoitus 1, Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja m(a) < 1. Näytä, että josonp>1javakio M<1, joille

Mitta- ja integraaliteoria 2 Harjoitus 1, Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja m(a) < 1. Näytä, että josonp>1javakio M<1, joille Harjoitus 1, 30.10.2015 1. Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja ma) < 1. Näytä, että josonp>1javakio Mt} apple M 2. Olkoon f 2 L 1 A). Näytä, että 2 kaikilla

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna

Lisätiedot

MITTA- JA INTEGRAALITEORIA. Tero Kilpeläinen

MITTA- JA INTEGRAALITEORIA. Tero Kilpeläinen MITT- J INTEGRLITEORI Tero Kilpeläinen 2003-04 Teksti sisältää muistiinpanoja vuosina 2003-04 pidetystä kurssista. Tämän paketin tarkoitus on tukea omien muistiinpanojen tekoa, ei korvata niitä. Matematiikkaa

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a i > 0kaikillai 2 I, niin P i2i a i = 1.

2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a i > 0kaikillai 2 I, niin P i2i a i = 1. Harjoitus 1, 11.9.2015 1. Näytä, että joukossax on äärettömän monta alkiota jos ja vain jos on joukko X, 6= X, jokaonyhtämahtavakuinx. 2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a

Lisätiedot

Joukot metrisissä avaruuksissa

Joukot metrisissä avaruuksissa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia

Lisätiedot

Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus

Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus 1. (5:7) Olkoon E normiavaruus, I = [0, 1] ja f, g : I E jatkuvia. Osoita, että yhtälön h(s, t) = (1 t)f(s) + tg(s) määrittelemä kuvaus h : I 2 E on

Lisätiedot

Ville Suomala MITTA JA INTEGRAALI

Ville Suomala MITTA JA INTEGRAALI Ville Suomala MITT J INTEGRLI Luentotiivistelmä kevät 2017 1 Johdanto bstraktin mittateorian voidaan katsoa syntyneen vuoden 1900 tienoilla, kun Henry Lebesgue esitteli uuden integrointiteorian. Mitta-

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

U missä U A := {U R n : U avoin ja U A}; intuitiivisesti suurin avoin joukko, joka sisältyy A:han. Määritellään A:n sulkeuma A := F F A

U missä U A := {U R n : U avoin ja U A}; intuitiivisesti suurin avoin joukko, joka sisältyy A:han. Määritellään A:n sulkeuma A := F F A Mitta a integraali Kesä 2 4. tehtävät Malliratkaisut (LS). Olkoon a i R i =, 2,... ono. Sanotaan, että i a i = os kaikille M R on olemassa i, olle kaikille i i pätee a i M. Sanotaan, että i a i = os i

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali 4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Ville Suomala MITTA- JA INTEGROINTITEORIAA

Ville Suomala MITTA- JA INTEGROINTITEORIAA Ville Suomala MITT- J INTEGROINTITEORI Luentotiivistelmä kevät 2015 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Lebesguen ulkomitta 2 2.1 Merkintöjä............................... 2 2.2 Ulkomitta L..............................

Lisätiedot

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Määritelmä 2.5. Lause 2.6.

Määritelmä 2.5. Lause 2.6. Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

Topologisten avaruuksien metristyvyys. Toni Annala

Topologisten avaruuksien metristyvyys. Toni Annala Topologisten avaruuksien metristyvyys Toni Annala Sisältö 1 Johdanto 2 2 Topologiset avaruudet 3 3 Erotteluaksioomat 8 4 Metristyvät avaruudet 13 5 Metristyvyys 17 1 Luku 1 Johdanto Topologia on matematiikan

Lisätiedot

1 Reaaliset lukujonot

1 Reaaliset lukujonot Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = = JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /

Lisätiedot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 Kevät 2012 1 Tilastolliset inversio-ongelmat Tilastollinen ionversio perustuu seuraaviin periaatteisiin: 1. Kaikki mallissa olevat muuttujat mallinnetaan

Lisätiedot

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a

Lisätiedot

U β T. (1) U β T. (2) {,X} T. (3)

U β T. (1) U β T. (2) {,X} T. (3) 1.1 a) Joukkoperhe T = α I T α P(X) on topologia. Todistus. Osoitetaan, että topologian määritelmän 1.1 ehdot (1), (2) ja (3) toteutuvat. Ehtoa (1) varten olkoon {U β β J} T. Pitää osoittaa, että U β T.

Lisätiedot

MITTA JA INTEGRAALI TUOMAS HYTÖNEN

MITTA JA INTEGRAALI TUOMAS HYTÖNEN MITTA JA INTEGRAALI TUOMAS HYTÖNEN 1. Johdanto: Riemann vs. Lebesgue Useimmat integroimisteoriat perustuvat siihen, että on jokin joukko helppoja funktioita, jotka ilman muuta osataan integroida, ts. on

Lisätiedot

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste, Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N,

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4 (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, i=1 A i = R 1, ja f : R 1 R 1 ei ole jatkuva. Lause

Lisätiedot

Miten osoitetaan joukot samoiksi?

Miten osoitetaan joukot samoiksi? Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.

Lisätiedot

Ville Suomala MITTA JA INTEGRAALI

Ville Suomala MITTA JA INTEGRAALI Ville Suomala MITT J INTEGRLI Luentomoniste syksy 2018 1 Johdanto Lukijalle Nämä muistiinpanot muodostavat rungon Oulun yliopistossa luennoitavalle kurssille Mitta ja integraali. Luentomuistiinpanot ovat

Lisätiedot

MS-C1540 Euklidiset avaruudet

MS-C1540 Euklidiset avaruudet MS-C1540 Euklidiset avaruudet MS-C1540 Euklidiset avaruudet III-periodi, kevät 2016 Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu 1 / 30 Euklidiset

Lisätiedot

Metriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00

Metriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1 Metriset avaruudet Erno Kauranen 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1. Sisätulo ja normiavaruus................................................. 3 2. Metrinen avaruus........................................................

Lisätiedot

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko. Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo

2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo 2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo Ratkaisun olemassaolon tutkimiseen tarvitaan perustietoja konvekseista joukoista ja lineaarialgebrasta. Niitä tarvitaan myös ratkaisualgoritmin ymmärtämiseen. Tutkitaan

Lisätiedot

Moderni reaalianalyysi

Moderni reaalianalyysi JUHA KINNUNEN Moderni reaalianalyysi F ( ) := f (ξ)e i ξ dξ 2π Juha Kinnusen laatiman luentomateriaalin pohjalta toimittaneet Mikael Lindström, Olli Hyvärinen ja Tuomas Pöyhtäri Sisältö LEBESGUEN ULKOMITTA

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II 802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Johdatus topologiaan (4 op)

Johdatus topologiaan (4 op) 180305 Johdatus topologiaan (4 op) Kevät 2009 1. Alkusanat Sana topologia on johdettu kreikan kielen sanoista topos ja logos, jotka merkitsevät paikkaa ja tietoa. Jo 1700-luvun alussa käytettiin latinan

Lisätiedot

Cantorin joukko LUKU 8

Cantorin joukko LUKU 8 LUKU 8 Cantorin joukko 8.. Cantorin 3 -joukko Merkitään J = J 0, = [0, ]. Poistetaan välin J keskeltä avoin väli I,, jonka pituus on /3; siis I, = (, 2). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J 3 3, ja

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus

Lisätiedot

1.1. Joukon Jordanin sisältö. Reaaliakselin kompaktin välin [t 0, t m ] jako on

1.1. Joukon Jordanin sisältö. Reaaliakselin kompaktin välin [t 0, t m ] jako on 1. Jordan-joukot Yksinkertaisuuden (ja havainnollisuuden vuoksi) seuraavassa tarkastellaan vain tason osajoukkoja, vaikka päättelyt voitaisiin helposti siirtää yleiseen n-ulotteiseen euklidiseen avaruuteen

Lisätiedot

Mitta- ja integraaliteoria (osat 1 ja 2) Juha Lehrbäck

Mitta- ja integraaliteoria (osat 1 ja 2) Juha Lehrbäck Mitta- ja integraaliteoria (osat 1 ja 2) Juha Lehrbäck Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos syksy 2018 lkusananen Tämä luentomoniste perustuu Jyväskylän yliopistossa syksyinä 2017

Lisätiedot

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)

Lisätiedot

Taustatietoja ja perusteita

Taustatietoja ja perusteita Taustatietoja ja perusteita Vektorit: x R n pystyvektoreita, transpoosi x T Sisätulo: x T y = n i=1 x i y i Normi: x = x T x = ni=1 x 2 i Etäisyys: Kahden R n :n vektorin välinen etäisyys x y 1 Avoin pallo:

Lisätiedot

Milloin joukon Lebesguen ja Hausdorffin mitat ovat yhtä suuria?

Milloin joukon Lebesguen ja Hausdorffin mitat ovat yhtä suuria? Milloin joukon Lebesguen ja Hausdorffin mitat ovat yhtä suuria? Juha Väätäinen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesä 2012 Sisältö Johdanto 1 Luku 1. Gammafunktio

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan

Lisätiedot

Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010

Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 4.1. Viime kerralta. Esimerkki lokaalikonveksin avaruuden osajoukosta, joka

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Kompaktisuus ja filtterit

Kompaktisuus ja filtterit Kompaktisuus ja filtterit Joukkoperheellä L on äärellinen leikkausominaisuus, mikäli jokaisella äärellisellä L L on voimassa L. Nähdään helposti, että perheellä L on äärellinen leikkausominaisuus ja L

Lisätiedot

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b. 2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Metriset avaruudet 2017

Metriset avaruudet 2017 Metriset avaruudet 2017 Jouni Parkkonen Merkintöjä N = {0, 1, 2,... } luonnolliset luvut #(A) N { } joukon A alkioiden lukumäärä A B = {a A : a / B} joukkojen A ja B erotus. A B on joukkojen A ja B erillinen

Lisätiedot

a) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon

a) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 3, ratkaisuista. Kokonaisluvut määriteltiin luonnollisten lukujen avulla ekvivalenssiluokkina [a, b], jotka määrää (jo demoissa ekvivalenssirelaatioksi osoitettu)

Lisätiedot

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä

Lisätiedot

LUKU 6. Mitalliset funktiot

LUKU 6. Mitalliset funktiot LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.

Lisätiedot

Derivaatasta ja derivoituvuudesta

Derivaatasta ja derivoituvuudesta Derivaatasta ja derivoituvuudesta Piia Lehtola Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2018 Tiivistelmä: Piia Lehtola, Derivaatasta ja derivoituvuudesta,

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita? Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)

Lisätiedot

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 (1) Olkoon X joukko ja (T j ) j J perhe X:n topologioita. Osoita, että T = {T j : j J} on X:n topologia. (2) Todista: Välit [a, b) muodostavat R 1 :n erään topologian kannan.

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Derivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.

Derivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella. Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset

Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset 1. Olkoon X satunnaismuuttuja, ja olkoot a R \ {0}, b R ja Y = ax + b. (a) Olkoon X diskreetti ja f sen pistetodennäköisyysfunktio.

Lisätiedot

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

Determinoiruvuuden aksiooma

Determinoiruvuuden aksiooma Determinoiruvuuden aksiooma Vadim Kulikov Esitelma 12 Maaliskuuta 2008 Tiivistelma. Valinta-aksioomasta seuraa, etta Leb(R) ( P(R), eli on olemassa epamitallisia joukkoja. Tassa esitelmassa nahdaan, etta

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot