Tiheyspistelauseita. Petteri Salovaara. Pro Gradu tutkielma
|
|
- Amanda Keskinen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Tiheyspistelauseita Petteri Salovaara Pro Gradu tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesä
2 2 Sisältö 1. LUKU: Esitietoja 3 2. LUKU: Mittojen derivointia ja tiheyspistelause LUKU: Hausdorn mitta ja tiheydet LUKU: Pakkausmitta ja tiheydet 19 JOHDANTO Tiheyspistelauseen mukaan käytetyn mitan suhteen mitallisen joukon A tiheys on 1 melkein kaikilla pisteillä x, jotka kuuluvat joukkoon A. Vastaavasti joukon A komplementin tiheys on 0 melkein kaikilla pisteillä x, jotka kuuluvat joukon A komplementtiin. Usein mittana käytetään Lebesguen mittaa, mutta tiheyspistelauseet pätevät myös yleisemmille mitoille. Mitan derivoinnilla toisen mitan suhteen on suora yhteys joukkojen tiheyksiin. Tässä työssä esiteään tiheyspistelause Radon-mitoille ja tutustutaan erityisesti Hausdorn mitan ja pakkausmitan avulla määriteltyihin tiheyksiin ja niihin liittyviin tuloksiin. Vastaavasti, kuten joukoille, voidaan myös mitoille määritellä tiheys. Mittojen tiheyttä hyödynnetään pakkausmitan yhteydessä.tekstin lukijalta oletetaan, että mitta- ja integraaliteorian perusteet ovat hyvin hallussa. Ensimmäisessä luvussa esitetään perusmääritelmiä ja lauseita, joita tarvitaan todistettaessa tiheyksiin liittyviä tuloksia. Aluksi määritellään Radon-mitta ja mitan rajoittuma. Lisäksi esitetään monessa muussa yhteydessäkin hyödylliset ns. 5r-peitelause ja Vitalin peitelause Radon mitoille. Ensimmäisessä luvussa määritellään myös s- ulotteinen Hausdorn mitta ja s-ulotteinen pakkausmitta. Luvun lopuksi määritellään Minkowskin dimensio, Hausdorn dimensio ja pakkausdimensio. Tässä kirjoitelmassa dimensioita tarvitaan mm. esitettäessä tulos, milloin joukon yläpakkausdimensio ja Hausdorn dimensio ovat yhtäsuuret, kun tiedetään, että sen alatiheys on positiivinen pakkausmitan suhteen melkein kaikilla pisteillä, jotka kuuluvat kyseiseen joukkoon A. Toisessa luvussa määritellään mitan ylä- ja aladerivaatat toisen mitan suhteen. Tärkeimpänä tuloksena esitetään lause, joka antaa perusteet mitan derivoinnille toisen mitan suhteen. Tämän lauseen seurauksena saadaan tiheyspistelause joukoille. Lisäksi seurauksena saadaan lause integraalien dierentioinnille. Kolmannessa luvussa pyritään todistamaan tiheyspistelause s-ulotteiselle Hausdorn mitalle R n :ssä. Luvussa määritellään ala- ja ylätiheydet joukolle Hausdorn mitan avulla. Lisäksi esitetään lause, jonka avulla voidaan tutkia joukkojen tiheyksiä Hausdorn mitan avulla. Neljännessä luvussa määritellään ala- ja ylätiheydet yleisille mitoille. Mittojen tiheyttä hyödynnetään erityisesti tutkittaessa pakkausmitan tiheyttä. Lisäksi esitetään tuloksia, joissa käytetään hyväksi tietoa tutkittavan joukon tiheydestä.
3 3 MERKINTÖJÄ R reaalilukujen joukko L n n-ulotteinen Lebesguen mitta R n :ssä B(x, r) = {y R n : d(x, y) < r} R n :n avoin pallo B(x, r) = {y R n : d(x, y) r} R n :n suljettu pallo diama = sup{d(x, y) : x, y A}, joukon A halkaisija R n :ssä d(x, y) = x y χ A joukon A karakteristinen funktio P(X) = {A : A X} joukon X kaikkien osajoukkojen kokoelma, X:n potenssijoukko Tekstissä esiintyvä mitta µ on ulkomitta, ellei toisin mainita. Toisin sanoen µ on mitta X:ssä, jos (1) µ( ) = 0, (2) jos A B, niin µ(a) µ(b) (monotonisuus), (3) µ( A i) µ(a i) (subadditiivisuus). 1. LUKU: Esitietoja Ensimmäisessä luvussa esitellään jatkossa tarvittavia perusmääritelmiä ja hyödyllisiä lauseita. Aluksi määritellään Radon-mitta ja mitan rajoittuma. Peitelauseista annetaan 5r-peitelause ja Vitalin peitelause, jotka ovat hyödyllisiä lauseita myös monessa muussa yhteydessä. Näitä lauseita ei todisteta tässä työssä, vaan todistuksiin esitetään vain kirjallisuusviitteet. Luvussa määritellään myös Hausdorn mitta ja pakkausmitta ja näihin liittyen Hausdorn dimensio ja pakkausdimensio. Lisäksi määritellään Minkowskin dimensio ja esitetään lyhyesti myös eri dimensioiden väliset suhteet Määritelmä. Olkoon µ mitta X:ssä. (1) Mitta µ on Borel-mitta, jos kaikki Borel-joukot ovat µ-mitallisia. (2) Mitta µ on Borel-säännöllinen, jos se on Borel-mitta ja jos jokaiselle A X on Borel-joukko B X siten, että A B ja µ(a) = µ(b) Määritelmä. Mitta µ on Radon-mitta, jos se on Borel-mitta ja (1) µ(k) < jokaiselle kompaktille K X (2) µ(v ) = sup{µ(k) : K V, K kompakti} avoimille joukoille V X (3) µ(a) = inf{µ(u) : A U, U avoin}, A X Määritelmä. R n :ssä määritelty mitta µ on äärellinen, jos µ(r n ) <. Mitta µ on lokaalisti äärellinen, jos kaikilla x R n on olemassa r > 0 siten, että µ(b(x, r)) < Määritelmä. Mitan µ rajoittuma joukkoon A X, µ A,määritellään µ A (B) = µ(a B) kaikilla B X Lemma. Olkoot µ mitta ja joukot A, B X siten, että A B, B µ-mitallinen ja µ(a) = µ(b) <. Tällöin µ(a C) = µ(b C) kaikilla µ-mitallisilla joukoilla C X.
4 4 Olkoon C µ-mitallinen joukko, jolloin µ(a) = µ(c A) + µ(a \ C) = µ(b) = µ(c B) + µ(b \ C). Nyt B \ C = (A \ C) ((B \ A) \ C) ja A \ C ja (B \ A) \ C ovat erillisiä, joten µ(b \ C) = µ(a \ C) + µ((b \ A) \ C) = µ(a \ C), sillä koska µ(a) = µ(b) <, niin 0 = µ(b) µ(a) = µ(b \ A). Tällöin siis µ(a C) = µ(b C) Lause. Olkoon A X. (1) µ A on mitta. (2) Jos joukko B on µ-mitallinen, niin silloin B on myös µ A - mitallinen. (3) Jos joukko A on µ-mitallinen, µ(a) < ja µ on Borel-säännöllinen, niin µ A on Borel-säännöllinen. Väite (1): Selvästi µ A ( ) = µ(a ) = µ( ) = 0. Olkoot B C X, jolloin A B A C. Nyt µ A (B) = µ(a B) µ(a C) = µ A (C). Olkoot B 1, B 2,... X. µ A ( B i ) = µ(a B i ) = µ( (A B i )) Siis µ A on mitta. µ(a B i ) = µ A (B i ) Väite (2): Olkoon B µ-mitallinen. Tällöin kaikilla E X µ A (E \ B) + µ A (E B) = µ(a (E \ B)) + µ(a (E B)) = µ((a E) \ B) + µ((a E) B) = µ(a E) = µ A (E). Väite (3): Olkoon B Borel-joukko siten, että A B ja µ(a) = µ(b). Siten µ(b \ A) = 0. Olkoon C X ja D Borel-joukko siten, että B C D ja µ(b C) = µ(d). Tällöin C D (X \ B) =: E ja µ A (E) µ(b E) = µ(b D) µ(d) = µ(b C) = µ(a C) = µ A (C). Täten µ A (E) = µ A (C), joten µ A on Borel-säännöllinen.
5 Seuraavaksi esitellään kaksi peitelausetta, ns. 5r-peitelause ja Vitalin peitelause Radon-mitoille. Peitelauseet ovat hyvin tärkeitä työkaluja mittateoriassa ja yleensä reaalianalyysissä. Peitelauseiden avulla annettu R n :n joukko voidaan peittää tietyntyyppisillä erillisillä joukoilla, yleensä suljetuilla palloilla. 5r-peitelause soveltuu suureen joukkoon peitteitä, kun taas Vitalin peitelauseessa peitteiden vaatimukset rajoittavat sovellettavien peitteiden määrää. Kyseisiä peitelauseita ei tässä yhteydessä todisteta, vaan todistuksiin annetaan vain kirjallisuusviitteet Lause (5r- peitelause). Olkoot A R n rajoitettu ja B = {B(x, r x ) : x A} kokoelma R n :n suljettuja palloja siten, että sup{diam(b) : B B} <. Tällöin löydetään x 1, x 2,... A, joita voi olla numeroituvan monta tai äärellinen määrä, siten, että pallot B(x i, r i ) ovat erillisiä ja Katso esimerkiksi [4] lause 2.1. A B B B(x, r x ) B(x i, 5r i ) Seuraus (5r-peitelause, yleinen muoto). Olkoon B kokoelma R n :n suljettuja palloja siten, että sup{diam(b) : B B} <. Tällöin on olemassa erilliset pallot B 1, B 2,... B siten, että B(x, r x ) B(x i, 5r i ). B B Tämän todistuksen idea löytyy esimerkiksi [4] lauseen 2.1 todistuksesta Lause (Vitalin peitelause Radon-mitoille). Olkoot µ Radon-mitta R n :ssä, A R n ja B perhe suljettuja palloja siten, että inf{r : B(x, r) B} = 0 kaikille x A. Tällöin löydetään erilliset pallot B i B siten, että µ(a \ B i ) = 0. Katso esimerkiksi [4] lause Lause. Olkoot µ Borel-säännöllinen mitta X:ssä, A µ-mitallinen joukko ja ɛ > 0. (1) Jos µ(a) <, niin on olemassa suljettu joukko C A siten, että µ(a \ C) < ɛ. (2) Jos on olemassa avoimet joukot V 1, V 2,... siten, että A V i ja µ(v i ) < kaikilla i, niin on olemassa avoin V siten, että A V ja µ(v \ A) < ɛ. 5 Katso esimerkiksi [4] lause Huomautus. Lauseen 1.10 kohdassa (1) joukko C voidaan suoraan valita kompaktiksi, kun X = R n.
6 6 Carathéodoryn konstruktion avulla saadaan luotua paljon erilaisia mittoja. Esimerkiksi Lebesguen mitta saadaan Carathéodoryn konstruktiosta. Seuraavaksi esitetään Carathéodoryn konstruktio ja sen avulla määritellään Hausdorn mitta Carathéodoryn konstruktio. Olkoot X metrinen avaruus, F kokoelma X:n osajoukkoja ja funktio ζ : F [0, ]. Oletetaan, että (1) kaikilla δ > 0 on olemassa E 1, E 2... F siten, että diame i δ ja X = E i. (2) kaikilla δ > 0 on olemassa E F siten, että diame δ ja ζ(e) δ. Määritellään kaikilla 0 < δ ja A X ψ δ (A) = inf{ ζ(e i ) s : A E i, diame i δ, E i F} ja Lause. Carathéodoryn kostruktiossa saatu ψ(a) = lim ψ δ (A) = sup ψ δ (A). δ 0 (1) ψ δ on mitta, (2) ψ on Borel-mitta ja (3) jos F:n alkiot ovat Borel-joukkoja, niin ψ on Borel-säännöllinen. Katso esimerkiksi [4] lause Hausdorn mitta. Olkoon X separoituva metrinen avaruus ja 0 s <. Valitaan Carathéodoryn konstruktiossa F = P(X) ja ζ(e) = (diame) s, missä 0 s = 1 ja diam( ) s = 0. Tällöin ψ = H s on s-ulotteinen Hausdorn mitta. Tätä merkitään Hδ(A) s = inf{ (diame i ) s : A E i, diam(e i ) δ, E i P(X)} ja δ>0 H s (A) = lim H s δ 0 δ(a) = sup Hδ(A). s Huomautus. (1) H 0 on lukumäärämitta. (2) Kun X = R n, niin H n = 2 n α(n) 1 L n, missä α(n) = L n (B n (0, 1)) ja L n n-ulotteinen Lebesguen mitta. Täten pallon B(x, r) Hausdorn mitta on H n (B(x, r)) = (2r) n kaikille x R n, 0 < r <. (3) H s on Borel-säännöllinen lauseen 1.13 (3) nojalla, sillä voidaan valita F = {E X : E suljettu} (katso [4] lause 4.4(1)). Pakkausmitta on eräänlainen Hausdorn mitan muunnos. Merkittävin ero Hausdorn mittaan on, että pakkausmitan tapauksessa tutkittavaa joukkoa ei peitetä joukoilla, vaan joukon kokoa tutkitaan pakkaamalla sen sisään palloja. δ>0
7 Määritelmä. Olkoon 0 s <. Asetetaan kaikilla A R n ja 0 < δ < Pδ s (A) = sup{ (diamb i ) s : B i = B(x i, r i ) kokoelma erillisiä suljettuja palloja siten, että x i A ja diamb i δ} ja P s (A) = lim Pδ s (A) = inf P δ s (A). δ 0 δ>0 Funktiota P s kutsutaan pakkausesimitaksi Huomautus. P s on monotoninen eli P s (A) P s (B), jos A B. Lisäksi P s ( ) = 0. Kuitenkaan P s ei ole mitta, sillä P s ei ole subadditiivinen Määritelmä. Pakkausmitta P s määritellään kaikilla A R n P s (A) = inf{ P s (A i ) : A = A i } Lause. Pakkausmitta P s on Borel-säännöllinen mitta. Selvästi P s ( ) = 0 ja P s (A) P s (B), jos A B. Osoitetaan seuraavaksi, että P s on subadditiivinen. Olkoon ɛ > 0. Olkoot A 1, A 2,... R n ja A i,j siten, että A i j=1 A i,j ja j=1 P s (A i,j ) P s (A i ) + ɛ/2 i. Tällöin A i A i,j. Siten P s ( A i ) j=1 P s (A i,j ) ɛ + j=1 Väite seuraa antamalla ɛ 0. Siis P s on mitta. P s (A i ). Osoitetaan vielä, että P s on Borel-säännöllinen. Huomataan aluksi, että aina Pδ s(a) = Pδ s(a), joten Ps (A) = P s (A). Täten P s (A) = inf{ P s (F i ) : A F i, F i suljettu}. Valitaan kaikilla i suljettu A i,j siten, että A j=1 A i,j, diama i,j 1/i ja j=1 P s (A i,j ) P s (A) + 1/i. Tällöin A j=1 A i,j =: B. Nyt B on Borel-joukko siten, että A B ja siis P s (A) P s (B). Lisäksi P s (B) P s (A i,j ) P s (A i,j ) P s (A) + 1/i. j=1 j=1
8 8 Kun i saadaan P s (B) P s (A). Siis P s (B) = P s (A). Dimensioista Määritellään seuraavaksi Hausdorn dimensio, Minkowskin dimensio ja pakkausdimensio Lause. Olkoot 0 s < t < ja A X. Tällöin (1) jos H s (A) <, niin H t (A) = 0, (2) jos H t (A) > 0, niin H s (A) =. Olkoot δ > 0 ja A E i siten, että diame i δ ja (diame i) s Hδ s (A) + 1. Tällöin Hδ(A) t (diame i ) t = (diame i ) t s+s δ t s (diame i ) s δ t s (Hδ(A) s + 1). Kun δ 0, niin saadaan väite (1). Kohta (2) seuraa suoraan kohdasta (1) antiteesillä, mutta todistetaan kohta (2) tässä erikseen samaan tapaan kuin kohta (1). Olkoon A E i siten, että diame i δ. Tällöin (diame i ) s = (diame i ) t (t s) δ s t (diame i ) t. Ottamalla epäyhtälöstä inf saadaan Hδ(A) s δ s t Hδ(A). t Kun δ 0, niin saadaan väite (2), sillä tällöin δ s t ja oletuksen mukaan Hδ t(a) > 0, joten Hs (A). Edellisen lauseen havainnon perusteella voimme määritellä joukon Hausdorn dimension Määritelmä. Joukon A X Hausdorn dimensio on dim H A = sup{s : H s (A) > 0} = sup{s : H s (A) = } = inf{t : H t (A) < } = inf{t : H t (A) = 0}. Määritellään seuraavaksi joukon Minkowskin ylä-ja aladimensiot Määritelmä. Olkoon A R n rajoitettu ja epätyhjä ja 0 < ɛ <. Määritellään luku k N(A, ɛ) = min{k : A B(x i, ɛ), x i R n }
9 eli N(A, ɛ) on pienin määrä ɛ-säteisiä palloja, jotka tarvitaan peittämään joukko A. 9 Joukon A Minkowskin ylä- ja aladimensiot ovat ja dim M A = inf{s : lim sup N(A, ɛ)ɛ s = 0} ɛ 0 = inf{s : lim sup N(A, ɛ)ɛ s < } ɛ 0 = sup{s : lim sup N(A, ɛ)ɛ s = } ɛ 0 = sup{s : lim sup N(A, ɛ)ɛ s > 0} ɛ 0 dim M A = inf{s : lim inf N(A, ɛ)ɛ s = 0} ɛ 0 = inf{s : lim inf N(A, ɛ)ɛ s < } ɛ 0 = sup{s : lim inf N(A, ɛ)ɛ s = } ɛ 0 = sup{s : lim inf N(A, ɛ)ɛ s > 0}. ɛ 0 Jos dim M A = dim M A = s, niin joukon A Minkowskin dimensio on dim M A = s Huomautus. (1) Suoraan määritelmistä seuraa, että dim H A dim M A dim M A. (2) Edellisen kanssa ekvivalentit määritelmät Minkowskin dimensioille ovat ja dim M A = lim sup ɛ 0 dim M A = lim inf ɛ 0 log N(A, ɛ) log(1/ɛ) log N(A, ɛ) log(1/ɛ). Lisäksi, jos luvussa N(A, ɛ) peittävinä joukkoina käytetään ɛ-halkaisijaisia kuutioita, saadaan sama dimensio kuin Minkowskin dimensioiden määritelmistä. Näitä dimensioita kutsutaan vastaavasti ylä- ja alalaatikkodimensioksi. (katso [1] s.41-42) Seuraavaa lausetta tarvitaan myöhemmin tiheyksien yhteydessä Lause. Olkoon joukko A R n rajoitettu ja epätyhjä. Oletetaan, että µ on Radon-mitta R n :ssä ja a, b, r 0 ja s ovat positiivisia lukuja siten, että 0 < µ(a) µ(r n ) < ja 0 < ar s µ(b(x, r)) br s kaikille x A, 0 < r r 0. Tällöin dim H A = dim M A = dim M A = s.
10 10 Peitetään A joukoilla E i siten, että 0 < diame i r 0 ja A E i. Tällöin voidaan valita pisteet x i A E i, jolloin A voidaan peittää palloilla B(x i, diame i ). Täten b (diame i ) s µ(b(x i, diame i )) µ(a) > 0. Tästä saadaan H s (A) µ(a)/b, joten s dim H A dim M A dim M A. Toisaalta, olkoon 0 < ɛ r 0. Merkitään k = P (A, ɛ) = max{k : on olemassa erilliset pallotb(x i, ɛ), i = 1,..., k, x i A}. Valitaan erilliset pallot B(x i, ɛ), x i A ja i = 1,..., k. Tällöin ap (A, ɛ)ɛ s k µ(b(x i, ɛ)) µ(r n ) <, mistä seuraa, että dim M A s, sillä luvulle P (A, ɛ), pätee N(A, 2ɛ) P (A, ɛ) N(A, ɛ/2) (katso [4] s.78). Siis s dim H A dim M A dim M A s, joten dim H A = dim M A = dim M A = s Määritelmä. Olkoon A R n. Muokatut Minkowskin ylä- ja aladimensiot, joita myös kutsutaan ylä- ja alapakkausdimensioiksi, määritellään seuraavasti: dim p A = inf{sup dim M A i : A = A i, A i rajoitettu} i ja Huomautus. Selvästi ja dim p A = inf{sup dim M A i : A = i A i, A i rajoitettu}. dim H A dim p A dim M A dim p A dim p A dim M A Lause. Olkoot 0 s < t < ja A X. Tällöin (1) jos P s (A) <, niin P t (A) = 0, (2) jos P t (A) > 0, niin P s (A) =. Samalla tavalla kuten lause Edellisen lauseen perusteella pakkausmitan avulla voidaan määritellä joukon dimensio samalla tavalla kuin Hausdorn mitan yhteydessä.
11 1.28. Määritelmä. Pakkausmitan avulla voidaan määritellä joukon A R n pakkausdimensio dim p A = inf{s : P s (A) = 0} = inf{s : P s (A) < } = sup{s : P s (A) > 0} = sup{s : P s (A) = } Huomautus. Kaikille A R n pätee dim p A = dim p A. Todistus löytyy esimerkiksi [4] lause Lause. Kaikille A R n pätee H s (A) P s (A). Riittää osoittaa, että H s (A) P s (A), sillä jos tämä pätee ja A A i ja P s (A i ) P s (A) + ɛ, niin 11 H s (A) H s ( A i ) H s (A i ) P s (A i ) P s (A) + ɛ. Tällöin kun ɛ 0, niin H s (A) P s (A). Voidaan olettaa, että P s (A) <. Olkoon ɛ > 0 ja valitaan δ > 0 siten, että P s δ (A) < P s (A) + ɛ. Olkoot B 1, B 2,... erillisiä suljettuja palloja, joiden keskipisteet ovat A: ssa, diamb i < δ ja (diamb i ) s Pδ s (A) (diamb i ) s + ɛ. (*) Koska Pδ s (A) <, on olemassa k, jolle (diamb i ) s < ɛ. (**) i=k+1 Sovelletaan 5r-peitelausetta (lause 1.7) kokoelmaan suljettuja palloja B(x, r), joille pätee x A, 10r δ ja B(x, r) R n \ k B i. Tällöin löydetään erilliset suljetut pallot B 1, B 2,..., joille diamb i δ/5, keskipisteet ovat A: ssa siten, että A \ k B i 5B j (***) ja yhdistetty kokoelma palloja {B i : i = 1,..., k} {B j : j = 1, 2,...} on erillinen. j=1
12 12 Siten (*):stä ja (**):stä seuraa k (diamb i ) s + (diamb j) s Pδ s (A) (diamb i ) s + ɛ j=1 = k (diamb i ) s + (diamb i ) s + ɛ i=k+1 k (diamb i ) s + 2ɛ. Siten (diamb j) s 2ɛ. j=1 (***):stä ja edellä lasketusta seuraa k k Hδ(A) s (diamb i ) s + (diam5b j) s = (diamb i ) s + 5 s j=1 j=1 Pδ s (A) + 5 s 2ɛ < P s (A) + (1 + 5 s 2)ɛ. Nyt antamalla δ 0 ja ɛ 0 saamme H s (A) P s (A). (diamb j) s Seuraus. Kaikilla A R n dim H A dim p A Huomautus. Lauseessa 1.29 voi olla H s (A) < P s (A). On myös mahdollista, että H s (A) = 0 ja P s (A) =. Itse asiassa tapaus 0 < H s (A) = P s (A) < on harvinainen. 2. LUKU: Mittojen derivointia ja tiheyspistelause Toisessa luvussa keskitytään mittojen derivointiin, joka johtaa lopulta tiheyspistelauseeseen. Aluksi määritellään mitan ylä- ja aladerivaatat toisen mitan suhteen. Tärkeimpänä lauseena esitetään ns. Radon-Nikodym-Lebesgue -lause, joka antaa perusteet mitan derivoinnille toisen mitan suhteen. Lauseen todistamiseksi tarvitaan tietoa mittojen absoluuttisesta jatkuvuudesta ja erästä lemmaa, joka todistetaan ennen varsinaisen lauseen todistusta. Lisäksi tämän lauseen seurauksena saadaan eräs tiheyspistelause Määritelmä. Olkoot µ ja λ lokaalisti äärellisiä Borelin mittoja R n :ssä. Mitan µ ylä- ja aladerivaatat mitan λ suhteen pisteessä x R n ovat ja D(µ, λ, x) = lim sup r 0 D(µ, λ, x) = lim inf r 0 µ(b(x, r)) λ(b(x, r)) µ(b(x, r)) λ(b(x, r)).
13 13 Jos raja-arvo on olemassa pisteessä x määritellään mitan µ derivaataksi D(µ, λ, x) = D(µ, λ, x) = D(µ, λ, x) Huomautus. (1) Tässä tulkitaan 0/0 = 0. (2) Kuvaukset x D(µ, λ, x) ja x D(µ, λ, x) ovat Borelin funktioita Määritelmä. Olkoot µ ja λ mittoja R n :ssä. Jos µ(a) = 0 aina, kun λ(a) = 0 kaikilla A R n, toisin sanoen λ(a) = 0 µ(a) = 0 kaikilla A R n, niin sanotaan, että mitta µ on absoluuttisesti jatkuva mitan λ suhteen. Tätä merkitään µ λ. Seuraavassa lausessa esitetään perusteet mitan µ derivoinnille mitan λ suhteen Lause. Olkoot µ ja λ Radon-mittoja R n :ssä. (1) Derivaatta D(µ, λ, x) on olemassa ja se on äärellistä λ-melkein kaikilla x R n. (2) Kaikille Borel-joukoille A R n pätee D(µ, λ, x)dλ(x) µ(a) A ja yhtäsuuruus pätee kaikille Borel-joukoille A, jos µ λ. (3) µ λ, jos ja vain jos D(µ, λ, x) < µ-melkein kaikilla x R n. Tämän todistamiseksi tarvitsemme seuraavan lemman Lemma. Olkoot µ ja λ Radon-mittoja R n :ssä, 0 < t < ja A R n. (1) Jos D(µ, λ, x) t kaikille x A, niin silloin µ(a) tλ(a). (2) Jos D(µ, λ, x) t kaikille x A, niin silloin µ(a) tλ(a). (1) Olkoon ɛ > 0. Koska λ on Radon-mitta, löydetään määritelmän 1.2(3) perusteella avoin joukko U siten, että A U ja λ(u) λ(a) + ɛ. Vitalin peitelauseen 1.9 perusteella löydetään erilliset suljetut pallot B i U siten, että µ(b i ) (t + ɛ)λ(b i ) ja µ(a \ B i ) = 0. Tällöin µ(a) µ(a ( B i )) + µ(a \ B i ) = µ(a ( B i )) = µ( (A B i )) µ(a B i ) (t + ɛ) µ(b i ) λ(b i ) = (t + ɛ)λ( B i ) (t + ɛ)λ(u) (t + ɛ)(λ(a) + ɛ).
14 14 Antamalla ɛ 0, saadaan µ(a) tλ(a), mikä oli väite (1). Kohdan (2) voi todistaa samoin. Lauseen 2.4 todistus. Väite (1) Olkoot 0 < r < ja 0 < s < t < ja merkitään A s,t,r = {x B(0, r) : D(µ, λ, x) s < t D(µ, λ, x)} ja A t,r = {x B(0, r) : D(µ, λ, x) t}. Huomautuksen 2.2(2) perusteella joukot A s,t,r ja A t,r ovat Borelin joukkoja ja siten mitallisia. Lemman 2.5 mukaan tλ(a s,t,r ) µ(a s,t,r ) sλ(a s,t,r ) < ja uλ(a u,r ) µ(a u,r ) µ(b(0, r)) <. Näistä epäyhtälöistä seuraa, että λ(a s,t,r ) = 0, koska s < t ja λ( u>0 A u,r) = lim u λ(a u,r ) = 0. Toisaalta {x R n : D(µ, λ, x) < D(µ, λ, x)} = A s,t,r, s,t Q,s<t,r N joten λ({x R n : D(µ, λ, x) < D(µ, λ, x)}) = λ( s,t Q,s<t,r N A s,t,r ) λ(a s,t,r ) = 0. Toisin sanoen joukko, jossa derivaattaa D(µ, λ, x) ei ole olemassa on λ - nollamittainen eli derivaatta D(µ, λ, x) on olemassa λ-melkein kaikilla x R n. Lisäksi käyttämällä lemmaa 2.5(2) saadaan λ({x B(0, r) : D(µ, λ, x) = }) t 1 µ({x B(0, r) : D(µ, λ, x) = }) t 1 µ(b(0, r)). Antamalla t saadaan λ({x B(0, r) : D(µ, λ, x) = }) = 0. Siis D(µ, λ, x) < λ-melkein kaikilla x R n. Väite (2) Olkoon t > 1 ja merkitään A k = {x A : t k D(µ, λ, x) < t k+1 }, kun k Z. Tällöin A k on Borelin joukko ja siten mitallinen ja {x A : 0 < D(µ, λ, x) < } = k Z A k.
15 15 Nyt käyttämällä lemman 2.5(2) kohtaa apuna saadaan D(µ, λ, x)dλ(x) = D(µ, λ, x)dλ(x) Antamalla t 1 saadaan arvio Merkitään A A = k Z k Z S k Z A k A k D(µ, λ, x)dλ(x) t k+1 λ(a k ) t k Z µ(a k ) tµ(a). D(µ, λ, x)dλ(x) µ(a). A 0 = {x A : D(µ, λ, x) = 0} A = {x A : D(µ, λ, x) = } ja A N = {x A : D(µ, λ, x) ei ole olemassa}. Kohdan (1) perusteella D(µ, λ, x) = D(λ, µ, x) 1 > 0 µ-melkein kaikilla x R n, koska µ λ. Siten µ(a 0 ) = 0. Kohdan (1) perusteella myös λ(a N ) = 0 = λ(a ). Siten koska µ λ, niin µ(a N ) = 0 = µ(a ). Täten µ(a) µ(a \ k Z A k ) + µ( k Z A k ) µ(a 0 A A N ) + µ( k Z Siten käyttämällä lemman 2.5 (1) kohtaa apuna saadaan D(µ, λ, x)dλ(x) D(µ, λ, x)dλ(x) S A Ak = D(µ, λ, x)dλ(x) k Z A k Antamalla t 1 saadaan arvio A k Z t k λ(a k ) t 1 k Z µ(a k ) t 1 µ(a). D(µ, λ, x)dλ(x) µ(a). Siten yhtäsuuruus on voimassa ja kohta (2) on todistettu. A k ) = µ( k Z A k ).
16 16 Väite (3) Kohdan (1) nojalla D(µ, λ, x) < λ-melkein kaikilla x R n. Koska µ λ ja λ ({x R n : D(µ, λ, x) = }) = 0, niin µ ({x R n : D(µ, λ, x) = }) = 0. Siten D(µ, λ, x) < µ-melkein kaikilla x R n. Olkoon D(µ, λ, x) < µ-melkein kaikilla x R n. Olkoon A R n siten, että λ(a) = 0 ja k = 1, 2, 3... Lemman 2.5 (1) avulla saadaan Siten µ(a) = 0, joten µ λ. µ({x A : D(µ, λ, x) k}) kλ(a) = 0. Lauseen 2.4 seurauksena saamme tiheyspistelauseen Radon-mitoille ja lauseen integraalien dierentioinnille Seuraus. Olkoon λ Radon-mitta R n :ssä. (1) Jos A R n on λ-mitallinen, silloin raja-arvo on olemassa ja λ(a B(x, r)) lim r 0 λ(b(x, r)) lim r 0 λ(a B(x, r)) λ(b(x, r)) λ(a B(x, r)) lim r 0 λ(b(x, r)) = 1 λ-melkein kaikilla x A ja = 0 λ-melkein kaikilla x R n \ A. (2) Jos f : R n R on lokaalisti λ-integroituva, niin 1 lim fdλ = f(x) λ-melkein kaikilla x R n. r 0 λ(b(x, r)) B(x,r) Väite (1) seuraa väitteestä (2), kun asetetaan f = χ A. Todistetaan väite (2). Voidaan olettaa, että f 0. Määritellään Radon-mitta µ siten, että µ(a) = fdλ. Silloin A µ λ ja lause 2.4 (2) antaa D(µ, λ, x)dλ(x) = µ(a) = fdλ, kaikille Borelin joukoille A. A Tämä tarkoittaa, että f(x) = D(µ, λ, x) λ-melkein kaikilla x R n, mikä todistaa väitteen (2) Huomautus. Seurausta 2.6 (1) kutsutaan Lebesguen tiheyspistelauseeksi, kun λ = L n, missä L n on n-ulotteinen Lebesguen mitta. A
17 3. LUKU: Hausdorffin mitta ja tiheydet Seurauksessa 2.6 (1) saimme tulokseksi tiheyspistelauseen Radon-mitoille. Luvussa kolme pyritään todistamaan vastaava tulos Hausdorn mitalle. Hausdorn mitan avulla määritellään ylä- ja alatiheydet joukolle A. Lisäksi esitetään lause, jonka avulla voidaan tutkia joukkojen tiheyksiä Hausdorn mitan avulla. Tällöin yleensä ylätiheydet ovat hyödyllisempiä kuin alatiheydet Määritelmä. Olkoot 0 s <, A R n ja a R n. Joukon A s-ulotteiset yläja alatiheydet pisteessä a määritellään seuraavasti: Θ s (A, a) = lim sup(2r) s H s (A B(a, r)) ja r 0 17 Θ s (A, a) = lim inf r 0 (2r) s H s (A B(a, r)). Jos Θ s (A, a) = Θ s (A, a), niin merkitään Θ s (A, a) = Θ s (A, a) = Θ s (A, a) ja sanotaan, että Θ s (A, a) on joukon A s-ulotteinen tiheys pisteessä a. Kun s = n, niin Θ s (A, a) ja Θ s (A, a) ovat tavallisia Lebesguen tiheyksiä. Lebesguen tiheyspistelauseen (seuraus 2.6 (1)) nojalla Θ n (A, a) = 1 L n -melkein kaikilla a A ja, jos A on L n -mitallinen, niin Θ n (A, a) = 0 L n -melkein kaikilla a R n \ A. Yleensä Hausdorn mitasta voi sanoa paljon vähemmän. Kuitenkin seuraava lause on hyvä korvike tutkittaessa joukkojen lokaaleja ominaisuuksia Hausdorn mitan avulla Lause. Olkoon A R n siten, että H s (A) <. Tällöin (1) 2 s Θ s (A, x) 1 H s -melkein kaikilla x A, (2) jos A on H s - mitallinen, niin Θ s (A, x) = 0 H s -melkein kaikilla x R n \ A. Todistetaan ensimmäiseksi kohdan (1) vasemmanpuoleinen epäyhtälö. Merkitään B k = {x A : H s (A B(x, r)) < k k + 1 rs, kaikilla 0 < r < 1 }, k = 1, 2,... k Tällöin {x A : Θ s (A, x) < 2 s } = B k. k=1 Siis riittää osoittaa, että H s (B k ) = 0 kaikilla k. Kiinnitetään seuraavaksi k ja merkitään t = k/(k+1) ja olkoon ɛ > 0. Nyt joukko B k voidaan peittää joukoilla E 1, E 2,... siten, että 0 < diam(e i ) < 1/k, B k E i ja diam(e i ) s H s (B k ) + ɛ.
18 18 Jokaisella i valitaan x i B k E i ja olkoon r i = diam(e i ). Tällöin B k E i A B(x i, r i ) ja H s (B k ) H s ( (B k E i )) < H s (B k E i ) H s (A B(x i, r i )) tri s = t (diame i ) s t(h s (B k ) + ɛ). Antamalla ɛ 0 saamme H s (B k ) th s (B k ). Koska H s (B k ) < ja t < 1, niin silloin H s (B k ) = 0. Kohdan (1) oikeanpuoleista epäyhtälöä varten voimme olettaa, että A on Boreljoukko, sillä H s on Borel-säännöllinen huomautuksen 1.15(3) perusteella. Olkoon t > 1 ja B = {x A : Θ s (A, x) > t}. Kuten todistuksen alkuosassa nytkin riittää osoittaa, että H s (B) = 0. Olkoon ɛ > 0 ja δ > 0. Soveltamalla lausetta 1.10 (2) rajoittumaan H s A löydämme avoimen joukon U siten, että B U ja H s A (U) = H s (A U) < H s (B) + ɛ. Kaikilla x B löytyy mielivaltaisen pieniä lukuja r siten, että 0 < r < δ/2, B(x, r) U ja H s (A B(x, r)) > t(2r) s. Nyt Vitalin peitelauseen 1.9 perusteella löydetään erilliset pallot B 1, B 2,..., joille pätee H s (B \ B i) = 0. Täten H s (B) + ɛ > H s (A U) H s (A ( B i )) = H s (A B i ) > t(2r i ) s = t (diamb i ) s thδ(b s ( B i )) = th s δ(b). Viimeinen yhtäsuuruus seuraa tiedosta H s (B \ B i) = 0 ja Hδ s :n subadditiivisuudesta. Nyt antamalla ɛ 0 ja δ 0 ja koska t > 1, saamme H s (B) = 0. Todistetaan lopuksi kohta (2). Olkoon t > 0 ja B = {x R n \ A : Θ s (A, x) > t}. Osoitetaan, että H s (B) = 0, mistä väite seuraa. Olkoon ɛ > 0. Sovelletaan lausetta 1.10 (2) Borel-säännölliseen mittaan H s A. Koska B R n \ A, niin H s A (B) = H s (A B) = 0, joten löydämme lauseen 1.10 (2) perusteella avoimen joukon U siten, että B U ja H s (A U) < ɛ. Nyt jokaisella x B on r x > 0 siten, että B(x, r x ) U ja H s (A B(x, r x )) > t(2r x ) s. 5r-peitelauseen 1.7 nojalla löydetään x 1, x 2,... B siten,
19 19 että pallot B i = B(x i, r i ) ovat erillisiä ja pallot 5B i peittävät B:n. Siten th (B) s t diam(5b i ) s = t5 s diam(b i ) s = t5 s (2r xi ) s < 5 s H s (A B i ) 5 s H s (A ( B i )) 5 s H s (A U) < 5 s ɛ. Antamalla ɛ 0 saamme H (B) s = 0. Tästä seuraa edelleen, että H s (B) = Huomautus. Lauseen 3.2 kohdassa (1) yläraja on tarkka ja alaraja on paras mahdollinen, kun s 1. Alaraja ei välttämättä ole paras mahdollinen, kun s > LUKU: Pakkausmitta ja tiheydet Myös yleisille mitoille voidaan määritellä tiheyksiä samaan tapaan, kuin edellisessä luvussa tehtiin Hausdorn mitalle. Tässä luvussa määritellään yleisten mittojen tiheys ja esitetään tämän perusteella tulos pakkausmitan tiheydelle. Lisäksi esitetään pari tulosta, joissa käytetään hyväksi tietoa tutkittavan joukon tiheydestä Määritelmä. Olkoon 0 s < ja µ mitta R n :ssä. Mitan µ s-ulotteiset ylä- ja alatiheydet pisteessä a R n ovat ja Θ s (µ, a) = lim sup(2r) s µ(b(a, r)) r 0 Θ s (µ, a) = lim inf r 0 (2r) s µ(b(a, r)). Jos Θ s (µ, a) = Θ s (µ, a), niin merkitään Θ s (µ, a) = Θ s (µ, a) = Θ s (µ, a) ja sanotaan, että Θ s (µ, a) on mitan µ s-ulotteinen tiheys pisteessä a Huomautus. Mitan µ tiheyden määritelmä on samanlainen kuin Hausdorn mitan avulla määritelty tiheys, kun määritelmässä käytetään mitan µ rajoittumaa µ A. Tarkastellaan seuraavaksi pakkausmitan tiheyttä. Pakkausmitalle alatiheys on hyödyllisempi kuin ylätiheys Lause. Olkoon A R n siten, että P s (A) <. Tällöin Θ s (P s A, x) = 1 P s melkein kaikilla x A. Lemman 1.5 ja lauseen 1.19 perusteella voidaan olettaa, että A on Borel-joukko. Koska P s (A) <, niin huomautuksen 1.11 nojalla löydetään kompakti K A siten, että P s (A\K) < ɛ ja lauseen 1.10(2) nojalla avoin V A siten, että P s (V \A) < ɛ. Lisäksi lauseen 1.6 (3) nojalla P s A on Borel-säännöllinen, joten P s A on Radon-mitta. Todistetaan ensin, että Θ s (P s A, x) 1 P s -melkein kaikilla x A.
20 20 Olkoon 0 < t < 1. Merkitään B = {x A : Θ s (P s A, x) < t}. Riittää siis osoittaa, että pätee P s (B) = 0. Olkoon E B ja ɛ > 0. Nyt pakkausesimitan määritelmän nojalla on δ > 0 siten, että Pδ s(e) P s (E) + ɛ. Vitalin peitelauseen 1.9 nojalla löydetään erilliset pallot B i = B(x i, r i ), i = 1, 2,... siten, että diamb i < δ, x i E, P s (A B i ) < t(diamb i ) s ja P s (E \ B i) = 0. Siten P s (E) P s (E ( B i )) + P s (E \ B i ) = P s ( (E B i )) P s ( (A B i )) tp s δ (E) t(p s (E) + ɛ). Antamalla ɛ 0 saadaan P s (E) tp s (E), kun E B. Siten jos B = E i, niin P s (B) P s (A B i ) t (diamb i ) s P s (E i ) t P s (E i ). Siten pakkausmitan määritelmän perusteella P s (B) tp s (B). Koska t oli mielivaltainen, täytyy olla P s (B) = 0. Todistetaan lopuksi, että Θ s (P s A, x) 1 P s -melkein kaikilla x A. Olkoot t > 1 ja r 0 > 0. Merkitään B = {x A : P s (A B(x, r)) t(2r) s, 0 < r < r 0 }. Nyt B on Borel-joukko. Riittää siis osoittaa, että pätee P s (B) = 0. Olkoon ɛ > 0. Sovelletaan lausetta 1.10 ja huomautusta 1.11 mittaan P s A, jolloin löydetään kompakti joukko F ja avoin joukko U siten, että F B U ja P s (A U) < P s (B) + ɛ < P s (F ) + 2ɛ. Olkoon 0 < δ < min{r 0, d(f, R n \ U)}. Valitaan pallot B i, i = 1, 2,... siten, että pallot B i ovat erillisiä ja suljettuja ja niiden keskipisteet ovat F :ssä ja diamb i δ. Tällöin B i U ja t (diamb i ) s P s (A B i ) P s (A U) < P s (B) + ɛ. Täten ottamalla sup edellisen epäyhtälön molemmin puolin saadaan tp s δ (F ) Ps (B) + ɛ ja antamalla δ 0 saadaan tp s (F ) P s (B) + ɛ. Lisäksi tp s (B) t(p s (F ) + ɛ) t(p s (F ) + ɛ) P s (B) + ɛ + ɛt. Antamalla ɛ 0 saamme tp s (B) P s (B) <, joten P s (B) = 0, sillä t > 1. Seuraavaksi todistetaan kaksi tulosta, joissa hyödynnetään tietoa tutkittavan joukon tiheydestä. Näiden todistuksissa tarvitsemme kuitenkin seuraavia lemmoja Lemma. Olkoot µ Radon-mitta R n :ssä, A R n ja 0 < λ <. (1) Jos Θ s (µ, x) λ kaikilla x A, niin µ(a) 2 s λh s (A).
21 21 (2) Jos Θ s (µ, x) λ kaikilla x A, niin µ(a) 5 s λh s (A). Väite(1): Olkoon δ > 0. Merkitään A δ = {x A : µ(b(x, r)) 2 s λr s kaikilla 0 < r δ}. Jos δ δ, niin A δ A δ ja A = δ>0 A δ, joten µ(a) = lim δ 0 µ(a δ ). Olkoon {E i } A δ :n peite siten, että diame i < δ ja A δ E i. Olkoon x i A δ E i. Tällöin E i B(x i, diame i ) ja joten µ(e i ) µ(b(x i, diame i )) 2 s λ(diame i ) s, µ(a δ ) µ(e i ) 2 s λ (diame i ) s. {E i } on mielivaltainen A δ :n peite, joten ottamalla inf saadaan µ(a δ ) 2 s λh s δ(a) ja antamalla δ 0 saadaan väite µ(a) 2 s λh s (A). Väite (2): Olkoot ɛ > 0 ja V avoin siten, että µ(v ) µ(a) + ɛ ja A V. Koska kaikilla x A Θ s (µ, x) = lim sup(2r) s µ(b(x, r)) λ, r 0 niin r s λ 1 2 s µ(b(x, r))) (*) mielivaltaisen pienillä r > 0. Olkoon B δ kokoelma suljettuja palloja B(x, r) siten, että x A, 0 < 10r < δ, B(x, r) V ja (*) pätee. Nyt 5r-peitelauseen 1.8 nojalla löydetään erilliset pallot B i B δ siten, että A 5B i. Tällöin H s δ(a) 5 s (diamb i ) s = 5 s 2 s r s i 5 s 2 s 5 s λ 1 µ(v ) λ 1 2 s µ(b i ) 5 s λ 1 (µ(a) + ɛ). Antamalla δ 0 ja ɛ 0 saadaan väite µ(a) 5 s λh s (A) Lemma. Olkoot µ Radon-mitta R n :ssä, A R n ja 0 < λ <. (1) Jos Θ s (µ, x) λ kaikilla x A, niin µ(a) λp s (A). (2) Jos Θ s (µ, x) λ kaikilla x A, niin µ(a) λp s (A). Samaan tapaan kuin lemma 4.4: Väite (1): Koska kaikilla x A Θ s (µ, x) = lim inf r 0 (2r) s µ(b(x, r)) λ,
22 22 niin mielivaltaisen pienillä r > 0 pätee r s λ 1 2 s µ(b(x, r))). (*) Olkoot δ > 0 ja B δ kokoelma suljettuja palloja B(x, r) siten, että x A, 0 < r < δ ja (*) pätee. Nyt Vitalin peitelauseen 1.9 nojalla löydetään erilliset pallot B i B δ siten, että µ(a \ B i) = 0 ja µ( B i) µ(a). Tällöin P s δ (A) (diamb i ) s = 2 s r s i 2 s λ 1 2 s µ(b i ) = λ 1 µ(b i ) = λ 1 µ( B i ) λ 1 µ(a). Antamalla δ 0 saadaan µ(a) λp s (A). Lisäksi P s (A) = inf{ P s (A A i )} inf{ λ 1 µ(a A i )} λ 1 µ(a), mikä oli väite. Väite(2): Olkoon δ > 0 ja merkitään A δ = {x A : µ(b(x, r)) 2 s λr s kaikilla 0 < r < δ}. Jos δ δ, niin A δ A δ ja A = δ>0 A δ, joten µ(a) = lim δ 0 µ(a δ ). Olkoon ɛ > 0. Tällöin on olemassa avoin joukko V A, jolle µ(v ) µ(a)+ɛ. Olkoon {B i } A δ :n δ-pakkaus eli B i :t ovat palloja, joiden keskipisteet x i A δ, B i V ja r i < δ. Tällöin µ(a) + ɛ µ(v ) µ(b i ) 2 s λri s = λ (2r i ) s, joten P s (A δ ) P s δ (A δ ) λ 1 (µ(a) + ɛ). Antamalla δ 0 ja ɛ 0 saadaan P s (A) λ 1 µ(a), mikä oli väite. Seuraavissa lauseissa käytetään hyväksi tietoa tutkittavan joukon tiheydestä ja tiheyden olemassa olosta mitan P s suhteen Lause. Olkoon A R n siten, että P s (A) <. Tällöin P s (A) = H s (A), jos ja vain jos tiheys Θ s (A, x) on olemassa ja Θ s (A, x) = 1 P s -melkein kaikilla x A. Olkoon P s (A) = H s (A). Käyttämällä mittojen Borel-säännöllisyyttä ja lemmaa 1.5 voidaan olettaa, että A on Borel-joukko. Tällöin, koska lauseen 1.30 mukaan H s P s, niin P s (B) = H s (B) kaikille Borel-joukoille B A.
23 Täten lauseiden 3.2(1) ja 4.3 perusteella H s - melkein kaikilla x A 1 = Θ s (P A, x) = lim inf r 0 (2r) s P s (A B(a, r)) = lim inf r 0 (2r) s H s (A B(a, r)) = Θ s (A, x) lim sup(2r) s H s (A B(a, r)) = Θ s (A, x) 1. r 0 Täten Θ s (A, x) = 1 H s -melkein kaikilla x A. Koska H s (B) = P s (B) kaikille Borel-joukoille B A, niin Borel-säännöllisyyden nojalla kaikille A:n osajoukoille C A pätee P s (C) = H s (C). Tällöin Θ s (A, x) = 1 P s -melkein kaikilla x A. Olkoon Θ s (A, x) = 1 P s -melkein kaikilla x A. Olkoon B Borel-joukko siten, että A B ja H s (A) = H s (B). Lemman 1.5 nojalla Θ s (B, x) = lim inf r 0 (2r) s H s (B B(x, r)) = lim inf r 0 (2r) s H s (A B(x, r)) = Θ s (A, x), kaikilla x R n. 23 Lemman 4.5(2) perusteella sovellettuna Radon-mittaan µ = H s B H s (A) H s ({x A : Θ s (B, x) 1}) 1 P s ({x A : Θ s (A, x) 1}) = P s (A), sillä Θ s (A, x) = 1 P s -melkein kaikilla x A. Lisäksi lauseen 1.30 mukaan H s (A) P s (A) <. Siis P s (A) = H s (A) Lause. Olkoon A R n Borel-joukko siten, että 0 < H s (A) <. Jos Θ s (A, x) > 0 P s -melkein kaikilla x A, niin dim p A = dim H A. Huomautuksen 1.26 mukaan s = dim H A dim p A. Olkoon B = {x A : Θ s (A, x) = 0} ja C = {x A : Θ s (A, x) > 1}. Tällöin P s (B) = 0 ja lauseen 3.2(1) perusteella H s (C) = 0, jolloin lemmasta 4.5(2) seuraa P s (C \ B) = 0, joten myös P s (B C) = 0. Nyt voimme kirjoittaa A \ (B C) = A i, missä joukot A i ovat rajoitettuja, H s (A i ) > 0 ja joillekin r i > 0, 0 < a i < b i <, a i r s H s (A B(x, r)) b i r s x A i, 0 < r < r i. Täten määritelmän 1.28 ja huomautuksen 1.29 perusteella dim p (B C) s ja lauseen 1.24 mukaan kaikille i 1, dim M A i = dim H A i = s. Siten huomautuksen 1.26 nojalla dim p A i = s. Tällöin myös dim p A = s.
24 24 Lähteet: [1] Falconer, K., Fractal Geometry Mathematical Foundations and Applications, John Wiley & Sons Ltd., 1990 [2] Järvenpää, E., Fraktaaligeometrian muistiinpanot, Jyväskylän yliopisto, kevät 2006 [3] Koskela, P., Reaalianalyysin muistiinpanot, Jyväskylän yliopisto, kevät 2005 [4] Mattila, P., Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces, Cambridge studies in advanced mathematics 44, Cambrigde University Press, 1995
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotReaalianalyysin perusteita
Reaalianalyysin perusteita Heikki Orelma 16. marraskuuta 2008 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Mitallisuus 3 3 Yksinkertaiset funktiot 6 4 Mitat ja integrointi 7 5 Kompleksisten funktioiden integrointi 10 6 Nolla-mittaisten
LisätiedotRademacherin lause. Anssi Niitti. Matematiikan Pro Gradu -tutkielma
Rademacherin lause Anssi Niitti Matematiikan Pro Gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2008 Sisältö 1. Johdanto 2 2. Esitietoja. Hausdorff-mitat ja dimensiot
Lisätiedotd ) m d (I n ) = 2 d n d. Koska tämä pätee kaikilla
MAT21007 Mitta ja integraali Harjoitus 2 viikko 25.3-29.3 2019) Palauta mieleen: monisteen luku 0; Topologia I) avaruuden d euklidinen etäisyys, avoimet kuulat ja joukot. Ohjausta laskuharjoitusten tekoon:
LisätiedotREAALIANALYYSI. Pekka Koskela. Syksy 2015
REAALIANALYYSI Pekka Koskela Syksy 2015 Luennot: Ti 1012, To 1416, MaD 380. Demot: To 1012, MaD 355, Changyu Guo.. Demohyvitys: 80%6 p., 70%5, 60%4, 50%3, 30%2, 20%1. Pertti Mattila: Geometry of sets and
LisätiedotMitta- ja integraaliteoria 2 Harjoitus 1, Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja m(a) < 1. Näytä, että josonp>1javakio M<1, joille
Harjoitus 1, 30.10.2015 1. Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja ma) < 1. Näytä, että josonp>1javakio Mt} apple M 2. Olkoon f 2 L 1 A). Näytä, että 2 kaikilla
LisätiedotJordanin sisältö ja Lebesguen ulkomitta
Jordanin sisältö ja Lebesguen ulkomitta Jennika Ojalehto Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2016 Tiivistelmä: Jennika Ojalehto, Jordanin sisältö ja
LisätiedotVille Suomala MITTA JA INTEGRAALI
Ville Suomala MITT J INTEGRLI Luentotiivistelmä kevät 2017 1 Johdanto bstraktin mittateorian voidaan katsoa syntyneen vuoden 1900 tienoilla, kun Henry Lebesgue esitteli uuden integrointiteorian. Mitta-
LisätiedotVille Suomala MITTA- JA INTEGROINTITEORIAA
Ville Suomala MITT- J INTEGROINTITEORI Luentotiivistelmä kevät 2015 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Lebesguen ulkomitta 2 2.1 Merkintöjä............................... 2 2.2 Ulkomitta L..............................
LisätiedotCantorin joukon suoristuvuus tasossa
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna
LisätiedotItsesimilaarit joukot
Itsesimilaarit joukot Henni Nikkilä Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2013 Tiivistelmä: Henni Nikkilä, Itsesimilaarit joukot (engl. Self-similar sets),
LisätiedotVille Suomala MITTA JA INTEGRAALI
Ville Suomala MITT J INTEGRLI Luentomoniste syksy 2018 1 Johdanto Lukijalle Nämä muistiinpanot muodostavat rungon Oulun yliopistossa luennoitavalle kurssille Mitta ja integraali. Luentomuistiinpanot ovat
LisätiedotMitta ja integraali 1
Mitta ja integraali 1 Ilkka Holopainen 2 March 22, 2004 1 Perustuvat pääosin luentomonisteisiin Tylli: Mitta ja integraali (2000 ja Väisälä: Diff. Int. III (1985 2 Ilmoita painovirheistä esim. sähköpostitse
LisätiedotAnalyysin peruslause
LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 Kevät 2012 1 Tilastolliset inversio-ongelmat Tilastollinen ionversio perustuu seuraaviin periaatteisiin: 1. Kaikki mallissa olevat muuttujat mallinnetaan
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotJoukot metrisissä avaruuksissa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia
LisätiedotDerivaatasta ja derivoituvuudesta
Derivaatasta ja derivoituvuudesta Piia Lehtola Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2018 Tiivistelmä: Piia Lehtola, Derivaatasta ja derivoituvuudesta,
LisätiedotTopologisten avaruuksien metristyvyys. Toni Annala
Topologisten avaruuksien metristyvyys Toni Annala Sisältö 1 Johdanto 2 2 Topologiset avaruudet 3 3 Erotteluaksioomat 8 4 Metristyvät avaruudet 13 5 Metristyvyys 17 1 Luku 1 Johdanto Topologia on matematiikan
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
Lisätiedot2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a i > 0kaikillai 2 I, niin P i2i a i = 1.
Harjoitus 1, 11.9.2015 1. Näytä, että joukossax on äärettömän monta alkiota jos ja vain jos on joukko X, 6= X, jokaonyhtämahtavakuinx. 2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a
Lisätiedotarxiv: v1 [math.ho] 30 Jan 2017
arxiv:1702.00277v1 [math.ho] 30 Jan 2017 Itseaffiineista joukoista ANTTI KÄENMÄKI Iteroidulla funktiosysteemillä tarkoitetaan äärellistä kokoelmaa kutistavia kuvauksia f 1,...,f k. Tässä kuvausten f i
LisätiedotMilloin joukon Lebesguen ja Hausdorffin mitat ovat yhtä suuria?
Milloin joukon Lebesguen ja Hausdorffin mitat ovat yhtä suuria? Juha Väätäinen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesä 2012 Sisältö Johdanto 1 Luku 1. Gammafunktio
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 5. Olkoon f : [0, 1] R kasvava. Osoita, että joukko. {x [0, 1] f ei ole jatkuva pisteessä x} on numeroituva. [Vihje: Lause 1.2.
Harjoitukset 1 16.9.25 1. Merkitään Z + = {x Z x > }. Osoita, että f : Z + Z + Z +, f(x, y) = 2 x 1 (2y 1), on bijektio. Piirrä kuva. Perinteisempi kuvaus Z + Z + Z + on (x, y) (x + y 1)(x + y)/2 (x 1).
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotLebesguen mitta ja integraali
Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta
LisätiedotDerivaattaluvut ja Dini derivaatat
Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo
LisätiedotSeuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
Lisätiedot1 Määrittelyjä ja aputuloksia
1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia
Lisätiedotpeitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.
Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,
LisätiedotToispuoleiset raja-arvot
Toispuoleiset raja-arvot Määritelmä Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo a R pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x 0 < x < x 0 + δ; ja vasemmanpuoleinen
LisätiedotLuku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotLUKU 6. Mitalliset funktiot
LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
LisätiedotDiofantoksen yhtälön ratkaisut
Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
LisätiedotSelvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x
Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
LisätiedotX k+1 X k X k+1 X k 1 1
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Stokastiset differentiaaliyhtälöt Ratkaisuehdotelma Harjoitukseen 4 1. Oletetaan, että X n toteuttaa toisen kertaluvun differenssiyhtälön X k+2 2X k+1 + 2X k = ξ k,
LisätiedotDerivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.
Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen
LisätiedotHUOKOISET JOUKOT TUOMAS SAHLSTEN. Kandidaatintutkielma Opiskelijanumero: 013310787
HUOKOISET JOUKOT TUOMAS SAHLSTEN Kandidaatintutkielma Opiskelijanumero: 013310787 1 2 TUOMAS SAHLSTEN Sisällysluettelo Johdanto....................................................... 2 1. Huokoiset joukot.............................................
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotRollen lause polynomeille
Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................
LisätiedotModerni reaalianalyysi
JUHA KINNUNEN Moderni reaalianalyysi F ( ) := f (ξ)e i ξ dξ 2π Juha Kinnusen laatiman luentomateriaalin pohjalta toimittaneet Mikael Lindström, Olli Hyvärinen ja Tuomas Pöyhtäri Sisältö LEBESGUEN ULKOMITTA
LisätiedotKarteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21
säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1
LisätiedotRatkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta).
Matematiikan laitos Johdatus Diskreettiin Matematiikaan Harjoitus 1 03.11.2010 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Nuija 1. Tarkastellaan joukkoja A = {1,3,4}, B = {2,3,7,9} ja C = {2, 5, 7}. Määritä joukot (a)
LisätiedotMääritelmä 2.5. Lause 2.6.
Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
Lisätiedot1.1. Joukon Jordanin sisältö. Reaaliakselin kompaktin välin [t 0, t m ] jako on
1. Jordan-joukot Yksinkertaisuuden (ja havainnollisuuden vuoksi) seuraavassa tarkastellaan vain tason osajoukkoja, vaikka päättelyt voitaisiin helposti siirtää yleiseen n-ulotteiseen euklidiseen avaruuteen
LisätiedotMITTA- JA INTEGRAALITEORIA 2015
MITT- J INTEGRLITEORI 2015 HELI TUOMINEN Sisältö Johdantoa 2 Mitta 2 Integraali 2 nalyysin peruslause 2 Riemann-integraalista 2 1. Valmistelua, kertausta ja merkintöjä 4 Infimum ja supremum 4 Laajennettu
LisätiedotDeterminoiruvuuden aksiooma
Determinoiruvuuden aksiooma Vadim Kulikov Esitelma 12 Maaliskuuta 2008 Tiivistelma. Valinta-aksioomasta seuraa, etta Leb(R) ( P(R), eli on olemassa epamitallisia joukkoja. Tassa esitelmassa nahdaan, etta
LisätiedotPoistumislause Kandidaatintutkielma
Poistumislause Kandidaatintutkielma Mikko Nikkilä 013618832 26. helmikuuta 2011 Sisältö 1 Johdanto................................... 2 2 Olemassaolon ja yksikäsitteisyyden historiaa............ 3 3 Esitietoja..................................
LisätiedotSinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.
Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn
Lisätiedot4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali
4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,
LisätiedotSarjojen suppenemisesta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
LisätiedotMITTA JA INTEGRAALI TUOMAS HYTÖNEN
MITTA JA INTEGRAALI TUOMAS HYTÖNEN 1. Johdanto: Riemann vs. Lebesgue Useimmat integroimisteoriat perustuvat siihen, että on jokin joukko helppoja funktioita, jotka ilman muuta osataan integroida, ts. on
Lisätiedot1 Supremum ja infimum
Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,
Lisätiedot(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotTopologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus
Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus 1. (5:7) Olkoon E normiavaruus, I = [0, 1] ja f, g : I E jatkuvia. Osoita, että yhtälön h(s, t) = (1 t)f(s) + tg(s) määrittelemä kuvaus h : I 2 E on
LisätiedotMetristyvät topologiset avaruudet
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Arttu Ojanperä Metristyvät topologiset avaruudet Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Tammikuu 2016 Tampereen Yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö OJANPERÄ,
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotHELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Kalle
Lisätiedot2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo
2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo Ratkaisun olemassaolon tutkimiseen tarvitaan perustietoja konvekseista joukoista ja lineaarialgebrasta. Niitä tarvitaan myös ratkaisualgoritmin ymmärtämiseen. Tutkitaan
LisätiedotEpäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista
6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida
Lisätiedot, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
LisätiedotCantorin joukko LUKU 8
LUKU 8 Cantorin joukko 8.. Cantorin 3 -joukko Merkitään J = J 0, = [0, ]. Poistetaan välin J keskeltä avoin väli I,, jonka pituus on /3; siis I, = (, 2). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J 3 3, ja
LisätiedotPositiivitermisten sarjojen suppeneminen
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotMitta ja integraali 1
Mitta ja integraali 1 Ilkka Holopainen osittain muokannut ja täydentänyt Okko Kanerva 2 14. tammikuuta 2011 1 Perustuu pääosin luentomonisteisiin Tylli: Mitta ja integraali (2000) ja Väisälä: Diff. Int.
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg
Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. (14.3-18.3) Jeremias Berg 1. Luettele kaikki seuraavien joukkojen alkiot: (a) {x Z : x 3} (b) {x N : x > 12 x < 7} (c) {x N : 1 x 7} Ratkaisu:
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain
LisätiedotTaustatietoja ja perusteita
Taustatietoja ja perusteita Vektorit: x R n pystyvektoreita, transpoosi x T Sisätulo: x T y = n i=1 x i y i Normi: x = x T x = ni=1 x 2 i Etäisyys: Kahden R n :n vektorin välinen etäisyys x y 1 Avoin pallo:
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
LisätiedotFunktiojonon tasainen suppeneminen
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen
LisätiedotU missä U A := {U R n : U avoin ja U A}; intuitiivisesti suurin avoin joukko, joka sisältyy A:han. Määritellään A:n sulkeuma A := F F A
Mitta a integraali Kesä 2 4. tehtävät Malliratkaisut (LS). Olkoon a i R i =, 2,... ono. Sanotaan, että i a i = os kaikille M R on olemassa i, olle kaikille i i pätee a i M. Sanotaan, että i a i = os i
LisätiedotAlkulukujen harmoninen sarja
Alkulukujen harmoninen sarja LuK-tutkielma Markus Horneman Oiskelijanumero:2434548 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun ylioisto Syksy 207 Sisältö Johdanto 2 Hyödyllisiä tuloksia ja määritelmiä 3. Alkuluvuista............................
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
LisätiedotHUOKOISUUS JA DIMENSIOT TUOMAS SAHLSTEN
HUOKOISUUS JA DIMENSIOT TUOMAS SAHLSTEN Pro Gradu -tutkielma Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto 1. helmikuuta 2009 Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Matemaattis-luonnontieteellinen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotTasainen suppeneminen ja sen sovellukset
Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tuomas Hentunen Matematiikan pro gradu tutkielma Kesäkuu 2014 Tiivistelmä: Tuomas Hentunen, Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset (engl. Uniform convergence
Lisätiedotsitä vastaava Cliffordin algebran kannan alkio. Merkitään I = e 1 e 2 e n
Määritelmä 1.1 Algebran A keskus C on joukko C (A) = {a A ax = xa x A}. Lause 1. Olkoon Cl n Cliffordin algebra, jonka generoi joukko {e 1,..., e n }. Jos n on parillinen, niin C (Cl n ) = {λ λ R}. Jos
LisätiedotTopologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N,
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4 (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, i=1 A i = R 1, ja f : R 1 R 1 ei ole jatkuva. Lause
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 7. 2. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan
Lisätiedot7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
LisätiedotMat Johdatus stokastiikkaan: Todistuksia
Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan: Todistuksia Monotonista luokkaa koskeva lause Oletetaan, että Ω on ei-tyhjä joukko; G H 2 Ω ; jos A ja B G niin A B G; Ω H; jos A ja B H ja A B niin B \ A H; ja joko, että
LisätiedotJohdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9
Lyhyehkö johdanto integraalilaskentaan. Johdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Integraalilaskennan lähtökohta 1: Laskutoimitukset + ja ovat keskenään käänteisiä, samoin ja ovat käänteisiä, kunhan ei jaeta
LisätiedotReaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista
säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,
LisätiedotMatriisit. Määritelmä 1 Reaaliluvuista a ij, missä i = 1,..., k ja j = 1,..., n, muodostettua kaaviota a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =
1 / 21 Määritelmä 1 Reaaliluvuista a ij, missä i 1,..., k ja j 1,..., n, muodostettua kaaviota a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A... a k1 a k2 a kn sanotaan k n matriisiksi. Usein merkitään A [a ij ]. Lukuja
LisätiedotStokesin lause LUKU 5
LUU 5 Stokesin lause 5.1. Integrointi monistolla Olkoot W R k alue, W kompakti Jordan-joukko ja ω jatkuva k-muoto alueessa W, ω f dx 1 dx k. Asetetaan ω : f, t.s. f dx 1 dx k : f(x dx f(x 1,, x k dx 1
LisätiedotRatkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Topologia I 1. kurssikoe 26.2.2013 Malliratkaisut ja tehtävien tarkastamiset Tehtävät 1 ja 2 Henrik Wirzenius Tehtävät 3 ja 4 Teemu Saksala Jos sinulla on kysyttävää
LisätiedotJohdatus topologiaan (4 op)
180305 Johdatus topologiaan (4 op) Kevät 2009 1. Alkusanat Sana topologia on johdettu kreikan kielen sanoista topos ja logos, jotka merkitsevät paikkaa ja tietoa. Jo 1700-luvun alussa käytettiin latinan
LisätiedotMITTA- JA INTEGRAALITEORIA. Tero Kilpeläinen
MITT- J INTEGRLITEORI Tero Kilpeläinen 2003-04 Teksti sisältää muistiinpanoja vuosina 2003-04 pidetystä kurssista. Tämän paketin tarkoitus on tukea omien muistiinpanojen tekoa, ei korvata niitä. Matematiikkaa
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
Lisätiedot