Analyysin peruslause

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Analyysin peruslause"

Transkriptio

1 LUKU 10 Analyysin peruslause Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta II voidaan kuitenkin sanoa jotakin. ja Lause Olkoon F : [a, b] kasvava funktio. Tällöin F L 1 ([a, b]) F (x) dm(x) F (b) F (a). Todistus. Jatketaan F välille (b, ) asettamalla F (x) = F (b), kun x > b. Määritellään F n : [a, b], F n (x) = n (F (x + 1 n ) F (x)). Koska Lebesguen derivointilauseen 9.1 nojalla F on derivoituva melkein kaikkialla, on F n (x) F (x) melkein kaikille x [a, b]. Koska F on kasvava, on F einegatiivinen. Samoin funktion F kasvavuudesta seuraa, että F n on jatkuva melkein kaikkialla (funktion F n epäjatkuvuuspisteiden joukko on numeroituva), joten jokainen F n on mitallinen. Tällöin rajafunktio F on mitallinen. Fatoun lemman nojalla F (x) dm(x) lim inf F n (x) dm(x). Tässä ( F n (x) dm(x) = n 1 Viimeksi muutettu F (x + 1 n ) dm(x) ) F (x) dm(x) ( ) = n F (t) dm(t) F (x) dm(x) [a+ 1 n,b+ 1 n ] ( ) = n F (t) dm(t) F (x) dm(x) [b,b+ 1 n ] [a,a+ 1 n ( ] ) n F (b) dm(t) F (a) dm(x) = F (b) F (a), [b,b+ 1 n ] [a,a+ 1 n ] 60

2 10.1. PUSLAUS I 61 missä toinen yhtäsuuruus saadaan muuttujanvaihdolla (lause 3.17) ja viimeisen rivin epäyhtälö seuraa funktion F kasvavuudesta. Väitteen molemmat kohdat seuraavat nyt Fatoun lemmasta. Seuraava lause on analyysin peruslause I Lebesgue-integroituville funktioille. Lause 10.2 (Analyysin peruslause I). Olkoon f L 1 ([a, b]). Määritellään F : [a, b] asettamalla F (x) = f(t) dm(t). Tällöin F on derivoituva melkein kaikkialla ja F (x) = f(x) melkein kaikille x [a, b]. Todistus. Kun funktio f esitetään positiivi- ja negatiiviosansa avulla muodossa f = f + f, on F (x) = f + (t) dm(t) f (t) dm(t), missä molemmat funktiot x f ± (t) dm(t) ovat kasvavia. Lebesguen derivointilauseen 9.1 nojalla nämä funktiot ovat derivoituva melkein kaikkialla, joten myös F on derivoituva melkein kaikkialla. Osoitetaan, että F (x) = f(x) melkein kaikille x [a, b]. Oletetaan, että f(x) = 0, kun x < a tai x > b. Tapaus 1 : f = χ I, missä I = (α, β) [a, b]. Nyt 0, jos a x α, F (x) = l(i [a, x]) = x α, jos α x β, ja β α, jos β x b. Väite seuraa tästä. Tapaus 2 : f on porrasfunktio. Koska ehto F = f on lineaarinen, seuraa väite edellisestä kohdasta. Tapaus 3 : f on yläfunktio. Olkoon (s n ) n=1 kasvava porrasfunktiojono siten, että s n f melkein kaikkialla. Asetetaan S n (x) = s n (t) dm(t). Tällöin F (x) = lim S n (x) = S 1 (x) + (S k (x) S k 1 (x)) k=2

3 10.1. PUSLAUS I 62 kaikille x [a, b]. Tässä jokainen sarjan termi on muuttujan x kasvava funktio, koska s n s n 1 0. Fubinin 9.2 lauseen ja edellisen kohdan avulla saadaan F (x) = S 1(x) + (S k(x) S k 1(x)) = s 1 (x) + k=2 (s k (x) s k 1 (x)) k=2 = lim s n (x) = f(x) melkein kaikkialla. Tapaus 4 : f L 1. sitetään f muodossa f = g h, missä g ja h ovat yläfunktioita. Väite seuraa nyt edellisestä kohdasta. Määritelmä Funktio F : [a, b] on absoluuttisesti jatkuva välillä [a, b], jos jokaiselle ε > 0 on olemassa δ > 0 siten, että kun (a j, b j ) [a, b], j = 1,..., n, ovat pareittain pistevieraita avoimia osavälejä, joille (b j a j ) < δ, niin f(b j ) f(a j ) < ε. simerkki a) Oletetaan, että F : [a, b] toteuttaa Lipschitzin ehdon: jollekin M pätee f(x) f(y) M x y Tällöin F on absoluuttisesti jatkuva. kaikille x, y [a, b]. b) Jos F on derivoituva välillä [a, b] (päätepisteissä toispuoliset derivaatat) ja F on rajoitettu, niin F toteuttaa Lipschitzin ehdon, joten F on absoluuttisesti jatkuva. c) Cantorin funktio (=Lebesguen singulaarifunktio) ψ ei ole absoluuttisesti jatkuva. Tämä nähdään ehkä mukavimmin osoittamalla aluksi, että absoluuttisesti jatkuva funktio kuvaa nollamittaiset joukot nollamittaisiksi joukoiksi. Cantorin funktio kuitenkin kuvaa Cantorin joukon C komplementtijoukon [0, 1] \ C numeroituvaksi joukoksi =: D, joten ψ(c) = [0, 1] \ D, mikä ei ole nollamittainen. Lause Olkoon f L 1 ([a, b]). Määritellään F : [a, b] asettamalla F (x) = f(t) dm(t). Tällöin F on absoluuttisesti jatkuva välillä [a, b]. Lause on melko helppo todistaa seuraavan yleisemmän tuloksen avulla: Lause Olkoon f L 1. Jokaiselle M asetetaan f := f(t) dm(t) := f(t)χ (t) dm(t). Tällöin jokaiselle ε > 0 on olemassa δ > 0 siten, että f < ε kaikille M, joille m() < δ.

4 10.2. AJOITTUSTI HILAHTLVAT FUNKTIOT 63 Todistus. Jokaiselle n Z + asetetaan A n = {x f(x) n} ja g n := fχ An. Tällöin A n M, joten g n on mitallinen. Lisäksi g 1 g 2... g n..., g n f ja g n f L 1 kaikille n Z +. Monotonisen konvergenssin lauseen nojalla g n = f. lim Olkoon ε > 0. Valitaan n Z + siten, että f g n < ε/2. Asetetaan δ = ε/(2n). Kun M ja m() < δ, on f = ( f g n ) + g n ( f g n ) + nχ < ε/2 + n m() < ε/2 + n δ = ε ajoitetusti heilahtelevat funktiot Määritelmä Olkoon F : [a, b] annettu funktio. Olkoon P = {[x k 1, x k ] k = 1,..., n} välin [a, b] jako. Merkitään V (f, P ) = V (P ) = F (x k ) F (x k 1 ). Määritellään funktion G kokonaisheilahtelu V F (a, b) välillä [a, b] asettamalla V F (a, b) = sup{v (P ) P on välin [a, b] jako}. Lisäksi asetetaan V F (a, a) = 0. Sanotaan, että F on rajoitetusti heilahteleva välillä [a, b], jos V F (a, b) <. Lause Olkoot F : [a, b] annettu funktio ja c [a, b]. Tällöin V F (a, b) = V F (a, c) + V F (c, b). Todistus. Olkoon P = {[x k 1, x k ] k = 1,..., n} välin [a, b] jako. Valitaan m {1,..., n} siten, että x m 1 c x m. Merkitään Koska P 1 = {[x 0, x 1 ],..., [x m 2, x m 1 ], [x m 1, c]} P 2 = {[c, x m ], [x m, x m+1 ],..., [x n 1, x n ]}. F (x m ) F (x m 1 ) F (c) F (x m 1 ) + F (x m ) F (c), on V (F, P ) V (F, P 1 ) + V (F, P 2 ) V F (a, c) + V F (c, b). Tästä seuraa, että V F (a, b) V F (a, c) + V F (c, b). Käänteistä epäyhtälöä varten olkoot α < V F (a, c) ja β < V F (c, b). Tällöin väleillä [a, c] ja [c, b] on jaot P 1 ja P 2 siten, että V (F, P 1 ) > α ja V (F, P 2 ) > β. Tällöin α + β < V (F, P 1 ) + V (F, P 2 ) = V (F, P 1 P 2 ) V F (a, b).

5 10.2. AJOITTUSTI HILAHTLVAT FUNKTIOT 64 Koska α ja β ovat mielivaltaiset, seuraa tästä, että V F (a, c) + V F (c, b) V F (a, b). Lause 10.9 (Camille Jordan). Jokainen rajoitetusti heilahteleva funktio voidaan esittää kahden kasvavan funktion erotuksena. Todistus. Olkoon F : [a, b] rajoitetusti heilahteleva. Asetetaan G(x) := V F (a, x) ja H(x) := F (x) V F (a, x). Tällöin G + H = F. dellisen lauseen nojalla G on kasvava (y > x = G(y) = V F (a, y) = V F (a, x) + V F (x, y) V F (a, x)). iittää siis osoittaa, että H on kasvava. Olkoon y > x. Tällöin H(y) H(x) = V F (a, y) V F (a, x) (F (y) F (x)) V F (x, y) F (y) F (x). Kun kokonaisheilahtelun määritelmässä esiintyvissä summissa V (P ) käytetään välin [x, y] jakoa P = {[x, y]} nähdään, että F (y) F (x) V F (x, y). Siis H(y) H(x) 0, mistä väite seuraa. Lause Olkoon F : [a, b] rajoitetusti heilahteleva. Tällöin F on derivoituva melkein kaikkialla ja F L 1 ([a, b]). Todistus. dellisen lauseen nojalla F voidaan esittää muodossa F = G H, missä G ja H ovat kasvavia. Lebesguen derivointointilauseen 9.1 nojalla G ja H ovat derivoituvia melkein kaikkialla. Väite seuraa lauseesta Lause Olkoon f L 1 ([a, b]). Määritellään F : [a, b] asettamalla F (x) = f(t) dm(t). Tällöin F on rajoitetusti heilahteleva välillä [a, b]. Lisäksi V F (a, b) = f(t) dm(t). Todistus. Olkoon P = {[x k 1, x k ] k = 1,..., n} välin [a, b] jako. Tällöin F (x k ) F (x k 1 ) = f(t) dm(t) Tästä seuraa, että V F (a, b) [x k 1,x k ] [x k 1,x k ] f(t) dm(t) = f(t) dm(t). f(t) dm(t). Koska f L 1 ([a, b]), on V F (a, b) <, joten F rajoitetusti heilahteleva. Käänteisen epäyhtälön todistaminen sivuutetaan tässä (löytyy esimerkiksi Natansonin kirjasta [27, Kap. IX, 4, Satz 8]). Lukijaa kehotetaan kuitenkin käymään todistus läpi tapauksessa, missä f on jatkuva. Lause Olkoon F : [a, b] absoluuttisesti jatkuva. Tällöin F on rajoitetusti heilahteleva välillä [a, b].

6 10.3. PUSLAUST II JA III 65 Todistus. Olkoon δ > 0 lukua ε = 1 vastaava arvo absoluuttisen jatkuvuuden määritelmässä, m m ( ) (b j a j ) < δ = f(b j ) f(a j ) < ε = 1. Jaetaan väli [a, b] osaväleihin [x k 1, x k ], k = 1,..., n, a = x 0 < x 1 < < x n 1 < x n = b. Oletetaan, että osaväleille on voimassa x k x k 1 < δ kaikille k = 1,..., n. Kun ehtoa ( ) sovelletaan osaväliin [x k 1, x k ], nähdään että V F (x k 1, x k ) 1 kaikille k = 1,..., n. Siis V F (a, b) = V F (x k 1, x k ) n < Peruslauseet II ja III Lause (Analyysin peruslause II). Olkoon F : [a, b] absoluuttisesti jatkuva. Tällöin F on derivoituva melkein kaikkialla, F L 1 ([a, b]) ja F (x) F (a) = F (t) dm(t) kaikille x [a, b]. Tämän väitteen todistus on kohtalaisen tekninen, ja se esitetään useammaksi osatulokseksi jaettuna. Lemma Olkoon F : [a, b] absoluuttisesti jatkuva. Tällöin kuvajoukko F (A) on nollamittainen jokaiselle nollamittaiselle joukolle A [a, b]. Todistus. Olkoot ε > 0 ja δ > 0 kuten absoluuttisen jatkuvuuden määritelmässä. Olkoot A [a, b] nollamittainen ja (a j, b j ), j Z +, pareittain pistevieraat välit siten, että (a j, b j ) [a, b], A \ {a, b} (a j, b j ) ja (b j a j ) < δ. Valitaan c j, d j [a j, b j ] siten, että F ([a j, b j ]) = [F (c j ), F (d j )]. Tällöin välit [F (c j ), F (d j )], j Z +, peittävät kuvajoukon F (A \ {a, b}) ja näiden yhteenlasketulle pituudelle on (F (d j ) F (c j )) ε. Väite seuraa tästä. Seuraavan lemman väite ja todistus kaipaavat avukseen enemmän tietoja, joita meillä on käytettävissämme. Lemmassa käytetään kaikille joukoille määriteltyä Lebesguen ulkomittaa m (). Todistus on seurattavissa vaikka ulkomittaa ja sen ominaisuuksia ei tunnekaan. Tällöin täytyy kuitenkin tehdä sellaiset lisäoletukset, että kaikki väitteessä ja todistuksessa esiintyvät joukot ovat mitallisia. Mitallisille

7 10.3. PUSLAUST II JA III 66 joukoille on m () = m(). Lemmaa tullaan jatkossa soveltamaan absoluuttisesti jatkuviin funktioihin, jotka ovat erityisesti jatkuvia funktioita. Jatkuville funktioille osa esiintyvistä joukoista (joukot B n ) on helposti osoitettavissa mitallisiksi, mutta ongelma säilyy kuvajoukkojen F (B n ) kohdalla. On nimittäin olemassa jatkuvia funktioita f siten, että kuvajoukko f() ei ole mitallinen kaikille mitallisille joukoille. Lemma Olkoon F : [a, b] annettu funktio. Oletetaan, että B [a, b] ja β 0 ovat sellaiset, että D + F (x) β ja D F (x) β kaikille x B. Tällöin m (F (B)) β m (B). Todistus. Olkoon ε > 0. Jokaiselle n Z + asetetaan B n = {x B F (x + h) F (x) < (β + ε) h, kun h 0, a < x + h < b, h < 1/n}. Tällöin B 1 B 2 B 3... ja n=1 B n = B. Lausetta 7.4 (kohta iv) vastaavan tuloksen nojalla m (F (B)) = lim m (F (B n )). Osoitetaan, että kaikille n Z + on voimassa m (F (B n )) < (β + ε)(m (B n ) + ε). Väite seuraa tästä. Kiinnitetään n Z +. Olkoon (I j ) jono välin (a, b) osavälejä siten, että B n I j, m(i j ) < 1/n kaikille j Z + ja m(i j) < m (B n ) + ε. Joukon B n määritelmän nojalla on kun s, t B n I j. Siis ( m (F (B n )) = m (F F (s) F (t) < (β + ε)m(i j ), )) ( (B n I j ) = m m (F (B n I j )) ) F (B n I j ) diam(f (B n I j )) (β + ε) m(i j ) < (β + ε)(m (B) + ε). Tässä on käytetty hyödyksi ulkomitan ominaisuutta m () diam() = joukon halkaisija = sup{ x y x, y }. Seuraus Olkoon F : [a, b] annettu funktio. Oletetaan, että on olemassa B [a, b] siten, että F (x) on olemassa ja F (x) = 0 kaikille x B. Tällöin F (B) on nollamittainen. Todistus. Sovelletaan edellistä lausetta, kun β = 0. Kun kuvajoukon ulkomitta m (F (B)) = 0, on kuvajoukko nollamittainen. Lause (Analyysin peruslause III). Olkoon F : [a, b] absoluuttisesti jatkuva. Jos F (x) = 0 melkein kaikille x [a, b], niin F on vakiofunktio.

8 *10.4. TÄYDNTÄVIÄ TULOKSIA 67 Todistus. Olkoot B = {x (a, b) F (x) = 0} ja A = [a, b] \ B. Oletuksen nojalla A on nollamittainen. Lauseen nojalla kuvajouko F (A) on nollamittainen. dellisen seurauksen nojalla kuvajouko F (B) on nollamittainen. Siis F ([a, b]) = F (A B) = F (A) F (B) on nollamittainen. Toisaalta, koska F on jatkuva, on välin [a, b] kuvajoukko F ([a, b]) myös väli. Nollamittaisena kuvajoukon pitää kutistua yhden pisteen joukoksi. Lauseen todistus. Lauseen nojalla F on rajoitetusti heilahteleva. Lauseen nojalla F on derivoituva melkein kaikkialla ja F L 1 ([a, b]). Asetetaan G(x) = F (t) dm(t). Lauseen 10.5 nojalla G on absoluuttisesti jatkuva ja G = F melkein kaikkialla. Tällöin H := F G on absoluuttisesti jatkuva ja H = 0 melkein kaikkialla. dellisen lauseen nojalla H on vakiofunktio, joten F (x) G(x) = H(x) = H(a) = F (a) G(a) = F (a) kaikille x [a, b]. Analyysin peruslauseet voidaan esittää myös seuraavana yhteenvetolauseena: Lause Olkoon F : [a, b] annettu funktio jatkuva. Tällöin F : [a, b] absoluuttisesti jatkuva, jos ja vain jos (i) F on derivoituva melkein kaikkialla; (ii) F L 1 ([a, b]), ja (iii) F (x) F (a) = F (t) dm(t) kaikille x [a, b]. Funktion absoluuttisen jatkuvuuden selvittäminen suoraan määritelmän avulla on yleensä hankalaa. Kohdassa Täydentäviä tuloksia esitetään yksi vähemmälle huomiolle jäävä tulos, joka helpottaa absoluuttisen jatkuvuuden selvittämistä, ja joka antaa helpon menetelmän varmistaa, että analyysin peruslause II on voimassa annetulle funktiolle. Tässä yhteydessä kannattaa palauttaa mieleen harjoitustehtävänä käsitelty, yksi Lebesguen väitöskirjan tärkeistä tuloksista ([22, No. 28]): Jos F : [a, b] on derivoituva koko välillä [a, b] ja F on rajoitettu, niin F (x) dm(x) = F (b) F (a). *10.4. Täydentäviä tuloksia Lause * Olkoon f : [a, b] jatkuva funktio. Oletetaan, että on olemassa numeroituva joukko D [a, b] siten, että (i) f (x) on olemassa ja äärellinen kaikille x [a, b] \ D; sekä (ii) f L 1 ([a, b]). Tällöin f(x) f(a) = f (t) dm(t) kaikille x [a, b]. rityisesti f on absoluuttisesti jatkuva. Tämän väitteen todistamiseen tarvitaan kolme aputulosta. Lemma * Olkoon [a, b] nollamittainen joukko. Tällöin on olemassa absoluuttisesti jatkuva kasvava funktio ψ : [a, b] siten, että ψ (x) = + kaikille x.

9 *10.4. TÄYDNTÄVIÄ TULOKSIA 68 Todistus. Koska on nollamittainen, on jokaiselle n Z + olemassa avoin joukko A n siten, että A n ja m(a n ) < 1/2 n. Voidaan lisäksi olettaa, että joukot A n muodostavat vähenevän jonon, A 1 A 2 A Olkoon ϕ n = n χ A k. Tällöin jono (ϕ n ) n=1 on kasvava ja ϕ n (x) dm(x) = χ Ak (x) dm(x) = m(a k ) < 1/2 k < 1. Monotonisen konvergenssin lauseen nojalla jono (ϕ n ) n=1 suppenee melkein kaikkialla ja rajafunktio ϕ := lim ϕ n L 1 ([a, b]). Huomaa, että ϕ n (x) = n, kun x A n. Asetetaan ψ(x) = ϕ(t) dm(t) ja ψ n (x) = ϕ n (t) dm(t). Olkoon n Z +. Kun x ja h > 0 on riittävän pieni, on [x, x+h] A n. Tällöin ψ(x + h) ψ(x) = 1 ϕ(t) dm(t) h h [x,x+h] 1 ϕ n (t) dm(t) 1 n dm(t) = n. h [x,x+h] h [x,x+h] Tästä seuraa, että ψ +(x) = +. Vastaavasti osoitetaan, että ψ (x) = +. Lemma *10.21 (A. Zygmund). Olkoon f : [a, b] jatkuva funktio. Asetetaan F = {x [a, b) D + f(x) 0}. Oletetaan, että kuvajoukko f(f ) ei sisällä yhtään avointa väliä. Tällöin f on kasvava. Todistus. Antiteesi: on olemassa c, d [a, b) siten, että c < d ja f(c) > f(d). Osoitetaan, että (f(d), f(c)) f(f ). Olkoon y 0 (f(d), f(c)). Asetetaan (piirrä kuva) x 0 = sup{x [c, d) f(x) y 0 }. Jatkuvuuden nojalla on f(x 0 ) = y 0. Koska y 0 > f(d), on x 0 < d. Luvun x 0 valinnan nojalla on f(x) < y 0, kun x (x 0, d). Tästä seuraa, että D + f(x 0 ) 0, joten x 0 F ja y 0 f(f ). Siis (f(d), f(c)) f(f ), mistä seuraa ristiriita oletuksen kanssa. Lemma * Olkoon f : [a, b] jatkuva funktio. Oletetaan, että (i) Dinin derivaatta D + f on ei-negatiivinen melkein kaikkialla; (ii) joukko B = {x [a, b) D + f(x) = } on numeroituva. Tällöin f on kasvava. Todistus. Olkoon := {x (a, b) < D + f(x) < 0} Olkoot ε > 0 ja ψ lemman *10.20 mukainen, joukkoa vastaava funktio. Asetetaan σ(x) = ψ(x) + x ja g = f + ε σ.

10 *10.4. TÄYDNTÄVIÄ TULOKSIA 69 Olkoon x ja D + f(x) >. Olkoon (h k ) sellainen lukujono, että h k > 0, h k 0 ja f(x+h k) f(x) h k D + f(x). Koska ψ (x) = +, on σ (x) = +, joten g(x + h k ) g(x) = f(x + h k) f(x) + ε σ(x + h k) σ(x) +. h k h k Olkoon nyt δ > 0 ja k 0 Z + niin suuri, että 0 < h k < δ, kun k > k 0. Tällöin g(x + h) g(x) sup 0<h<δ h g(x + h k) g(x) h k h k +. Tästä seuraa, että D + g(x) = +. (Huomaa, että funktioon f liittyen valittua jonoa (h k ) ei voi käyttää funktion g Dinin derivaattojen määräämiseen.) Olkoon nyt x ja x B. Tällöin D + f(x) D + f(x) 0. Koska σ on kasvava, on riittävän pienille h > 0 g(x + h) g(x) f(x + h) f(x) σ(x + h) σ(x) f(x + h) f(x) = + ε. h h h h Tästä seuraa, että D + g(x) 0. Siis joukko F := {x [a, b) D + g(x) 0} on numeroituvan joukon B osajoukko. Tällöin joukko g(f ) ei voi tällöin sisältää avointa väliä. dellisen lemman nojalla g on kasvava. Olkoot nyt x, y [a, b), x < y. Tällöin f(x)+ε σ(x) = g(x) g(y) = f(y)+ε σ(y). Kun ε 0+, saadaan f(x) f(y). Lauseen *10.19 todistus. Jokaiselle n Z + olkoon g n = max(f, n) ja f n (x) = g n (t) dm(t). Dominoidun konvergenssin lauseen nojalla lim f n(x) = f (t) dm(t). Lauseen 10.2 nojalla f n on derivoituva melkein kaikkilla. Koska derivoituvalle funktiolle Dinin derivaatat yhtyvät tavalliseen derivaattaan, on melkein kaikille x (a, b) Lisäksi pienille h > 0 on f n (x + h) f n (x) h D + (f n f)(x) = f n(x) f (x) = g n (x) f (x) 0. = 1 h [x,x+h] g n (t) dm(t) 1 h [x,x+h] ( n) dm(t) = n. Näistä kahdesta epäyhtälöstä seuraa, että niissä pisteissä x, joissa f (x) on olemassa ja äärellinen, on D + (f n f)(x) >. Siis D + (f n f)(x) = vain joukon D pisteissä. Lemman *10.22 nojalla f n f on kasvava. Tällöin joten f n (x) f(x) f n (a) f(a) = f(a), f (t) dm(t) = lim f n (x) f(x) f(a). Korvaamalla f vastafunktiolla f päädytään käänteiseen epäyhtälöön.

11 *10.4. TÄYDNTÄVIÄ TULOKSIA 70 Tähän loppuun on poimittu vielä muutama absoluuttiseen jatkuvuuteen ja funktion helahteluun liittyvä vähemmän tunnettu tulos. Olkoon f : [a, b] jatkuva funktio. Jokaiselle y asetetaan N f (y) := N(y) := yhtälön f(x) = y ratkaisujen x [a, b] lukumäärä, N f (y) := N(y) := muuten. jos tämä on äärellinen, ja Funktio N f on funktion f Banachin indikaattori (engl. Banach s indicatrix). Lause *10.23 (Stefan Banach). Jatkuvan funktion f : [a, b] Banachin indikaattori N on mitallinen ja N(y) dm(y) = V f (a, b). Todistuksen osalta katso [27, Kap. VIII, 6, Satz 3], [13, ] (harjoitustehtävä), [36, HT 5, s. 332] (harjoitustehtävä). Tuloksesta kannattaa huomata, että jatkuvalle rajoitetusti heilahtelevalle funktiolle f niiden arvojen y joukko, jotka f saavuttaa äärettömän monessa x-pisteessä, on nollamittainen (miksi?). Funktio f : [a, b] on N-funktio, jos kuvajoukko f(a) on nollamittainen jokaiselle nollamittaiselle joukolle A [a, b]. (N-funktion käsite on peräisin N. N. Lusinilta.) Lause *10.24 (Stefan Banach (1925) ja M. A. Zaretzki (1925)). Olkoon f : [a, b] annettu funktio. Tällöin f on absoluuttisesti jatkuva, jos ja vain jos (i) f on jatkuva; (ii) f on N-funktio; ja (iii) V f (a, b) <. Todistuksen osalta katso [27, Kap. IX, 3, Satz 4], [13, Theorem 18.25], [36, HT 6, s. 333] (harjoitustehtävä). Varsinainen Banachin ja Zaretzkin lause koskee ehtojen riittävyyttä. htojen välttämättömyys käy selville aiemmin tässä luvussa todistetuista tuloksista. Lemman todistukseen liittyi ongelma, että kuvajoukko f(b n ) voi olla epämitallinen, vaikka B n olisikin mitallinen. Jatkuvat funktiot, joilla on tällainen ominaisuus, voidaan karakterisoida seuraavasti: Lause * Olkoon f : [a, b] jatkuva funktio. Tällöin f on f on N-funktio, jos ja vain jos kuvajoukko f(a) on mitallinen jokaiselle mitalliselle joukolle A [a, b]. Todistuksen osalta katso [27, Kap. IX, 3, Satz 2], [36, HT 6, s. 333] (harjoitustehtävä). Seuraus * Olkoon f : [a, b] absoluuttisesti jatkuva. Tällöin jokaisen mitallisen joukon A [a, b] kuvajoukko f(a) on mitallinen.

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Cantorin joukko LUKU 8

Cantorin joukko LUKU 8 LUKU 8 Cantorin joukko 8.. Cantorin 3 -joukko Merkitään J = J 0, = [0, ]. Poistetaan välin J keskeltä avoin väli I,, jonka pituus on /3; siis I, = (, 2). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J 3 3, ja

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

LUKU 6. Mitalliset funktiot

LUKU 6. Mitalliset funktiot LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.

Lisätiedot

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 5. Olkoon f : [0, 1] R kasvava. Osoita, että joukko. {x [0, 1] f ei ole jatkuva pisteessä x} on numeroituva. [Vihje: Lause 1.2.

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 5. Olkoon f : [0, 1] R kasvava. Osoita, että joukko. {x [0, 1] f ei ole jatkuva pisteessä x} on numeroituva. [Vihje: Lause 1.2. Harjoitukset 1 16.9.25 1. Merkitään Z + = {x Z x > }. Osoita, että f : Z + Z + Z +, f(x, y) = 2 x 1 (2y 1), on bijektio. Piirrä kuva. Perinteisempi kuvaus Z + Z + Z + on (x, y) (x + y 1)(x + y)/2 (x 1).

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

Reaalianalyysin perusteita

Reaalianalyysin perusteita Reaalianalyysin perusteita Heikki Orelma 16. marraskuuta 2008 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Mitallisuus 3 3 Yksinkertaiset funktiot 6 4 Mitat ja integrointi 7 5 Kompleksisten funktioiden integrointi 10 6 Nolla-mittaisten

Lisätiedot

U missä U A := {U R n : U avoin ja U A}; intuitiivisesti suurin avoin joukko, joka sisältyy A:han. Määritellään A:n sulkeuma A := F F A

U missä U A := {U R n : U avoin ja U A}; intuitiivisesti suurin avoin joukko, joka sisältyy A:han. Määritellään A:n sulkeuma A := F F A Mitta a integraali Kesä 2 4. tehtävät Malliratkaisut (LS). Olkoon a i R i =, 2,... ono. Sanotaan, että i a i = os kaikille M R on olemassa i, olle kaikille i i pätee a i M. Sanotaan, että i a i = os i

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Merkitään vaiheessa s jäljellä olevien suljettujen välien yhdistettä

Merkitään vaiheessa s jäljellä olevien suljettujen välien yhdistettä Sisältö. Cantorin 3 -joukko 2. Cantorin funktio 2 3. Rieszin ja Sz.-Nagyn funktio 4 4. Yleistetty Cantorin joukko 5 5. Vito Volterran esimerkki 6 6. Analyysin peruslauseesta 8 Kirjallisuutta 9. Cantorin

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

r 1 Kuva 1. Cantorin joukon ensimmäiset sukupolvet. Merkitään vaiheessa s jäljellä olevien suljettujen välien yhdistettä s=1

r 1 Kuva 1. Cantorin joukon ensimmäiset sukupolvet. Merkitään vaiheessa s jäljellä olevien suljettujen välien yhdistettä s=1 Sisältö. Cantorin 3 -joukko 2. Cantorin funktio 2 3. Rieszin ja Sz.-Nagyn funktio 5 4. Yleistetty Cantorin joukko 6 5. Vito Volterran esimerkki 7 6. Analyysin peruslauseesta 9 Kirjallisuutta. Cantorin

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1. Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

MITTA- JA INTEGRAALITEORIA 2015

MITTA- JA INTEGRAALITEORIA 2015 MITT- J INTEGRLITEORI 2015 HELI TUOMINEN Sisältö Johdantoa 2 Mitta 2 Integraali 2 nalyysin peruslause 2 Riemann-integraalista 2 1. Valmistelua, kertausta ja merkintöjä 4 Infimum ja supremum 4 Laajennettu

Lisätiedot

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden

Lisätiedot

2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a i > 0kaikillai 2 I, niin P i2i a i = 1.

2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a i > 0kaikillai 2 I, niin P i2i a i = 1. Harjoitus 1, 11.9.2015 1. Näytä, että joukossax on äärettömän monta alkiota jos ja vain jos on joukko X, 6= X, jokaonyhtämahtavakuinx. 2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

Moderni reaalianalyysi

Moderni reaalianalyysi JUHA KINNUNEN Moderni reaalianalyysi F ( ) := f (ξ)e i ξ dξ 2π Juha Kinnusen laatiman luentomateriaalin pohjalta toimittaneet Mikael Lindström, Olli Hyvärinen ja Tuomas Pöyhtäri Sisältö LEBESGUEN ULKOMITTA

Lisätiedot

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali 4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

MITTA- JA INTEGRAALITEORIA. Tero Kilpeläinen

MITTA- JA INTEGRAALITEORIA. Tero Kilpeläinen MITT- J INTEGRLITEORI Tero Kilpeläinen 2003-04 Teksti sisältää muistiinpanoja vuosina 2003-04 pidetystä kurssista. Tämän paketin tarkoitus on tukea omien muistiinpanojen tekoa, ei korvata niitä. Matematiikkaa

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko. Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,

Lisätiedot

f(x) sin k x dx, c k = 1

f(x) sin k x dx, c k = 1 f ( n) n 3. Fourier n sarjoista I [1, 8.16, luku 11], [, luku 15], [3, luku IX, 8 9]. [5, luku I], [6, luku XII, 3], [7, luku 8], [8, luku 4], [9, luku 8] Trigonometrinen polynomi on muotoa a + ( ak cos

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin

Lisätiedot

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

Funktiojonon tasainen suppeneminen

Funktiojonon tasainen suppeneminen TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Johdanto Tämä luentomoniste on tarkoitettu korvaamaan luentomuistiinpanoja Sarjat ja differentiaaliyhtälöt-kurssilla. Tämä ei kuitenkaan ole oppikirja, mikä tarkoittaa sitä,

Lisätiedot

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita? Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)

Lisätiedot

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a

Lisätiedot

Rollen lause polynomeille

Rollen lause polynomeille Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Joukot metrisissä avaruuksissa

Joukot metrisissä avaruuksissa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Neljännen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuun 2.1. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Funktion y = f (x) on intuitiivisesti

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen

Lisätiedot

Tällöin on olemassa reaalilukuja c, jotka kuuluvat jokaiselle välille I n = [a n, b n ]. Toisin sanoen a n c b n kaikilla n.

Tällöin on olemassa reaalilukuja c, jotka kuuluvat jokaiselle välille I n = [a n, b n ]. Toisin sanoen a n c b n kaikilla n. Analyysi I ja II lisämateriaalia HAARUKOINTI Tässä käsitellään kootusti sellaisia differentiaali- ja integraalilaskennan kurssin kysymyksiä, joissa joudutaan syventymään lukusuoran hienovaraisimpiin ominaisuuksiin.

Lisätiedot

Määritelmä 2.5. Lause 2.6.

Määritelmä 2.5. Lause 2.6. Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

Lebesguen mitta ja integraali

Lebesguen mitta ja integraali Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta

Lisätiedot

Reaalifunktion epäjatkuvuus

Reaalifunktion epäjatkuvuus Reaalifunktion epäjatkuvuus Misa Muotio Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2013 Tiivistelmä: Misa Muotio, Reaalifunktion epäjatkuvuus (engl. Discontinuity

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 10. Kurssikerta Petrus Mikkola 22.11.2016 Tämän kerran asiat Globaali ääriarvo Konveksisuus Käännepiste L Hôpitalin sääntö Newtonin menetelmä Derivaatta ja monotonisuus

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan

Lisätiedot

Ville Suomala MITTA JA INTEGRAALI

Ville Suomala MITTA JA INTEGRAALI Ville Suomala MITT J INTEGRLI Luentotiivistelmä kevät 2017 1 Johdanto bstraktin mittateorian voidaan katsoa syntyneen vuoden 1900 tienoilla, kun Henry Lebesgue esitteli uuden integrointiteorian. Mitta-

Lisätiedot

Poistumislause Kandidaatintutkielma

Poistumislause Kandidaatintutkielma Poistumislause Kandidaatintutkielma Mikko Nikkilä 013618832 26. helmikuuta 2011 Sisältö 1 Johdanto................................... 2 2 Olemassaolon ja yksikäsitteisyyden historiaa............ 3 3 Esitietoja..................................

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle / MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa

Lisätiedot

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3) Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu 2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)

Lisätiedot

u(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0;

u(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0; 3. Lämmönjohtumisyhtälö I Yksiulotteisessa lämmönjohtumisyhtälössä u t = u γ x tuntematon funktio u = u(x, t) kuvaa lämpötilaa yksiulotteisen kappaleen (ohut sauva; x-akseli) kohdassa x hetkellä t. Kun

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit

4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 45 4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit Lähestymme nyt jo kovaa vauhtia hetkeä, jolloin voimme aloittaa stokastisen integroinnin. Ennen sitä käymme vielä läpi yhtä

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Analyysi I. Visa Latvala. 26. lokakuuta 2004

Analyysi I. Visa Latvala. 26. lokakuuta 2004 Analyysi I Visa Latvala 26. lokakuuta 2004 34 Sisältö 3 Reaauuttujan funktiot 35 3.1 Peruskäsitteitä................................. 35 3.2 Raja-arvon määritelmä............................. 43 3.3 Raja-arvon

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen

Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen 1. Väite: Funktio f : [, ) [1, ), missä on bijektio. f(x) = x + 4x + 5, Todistus: Luentomateriaalissa todistettujen

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 7. 2. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan

Lisätiedot

f(tx + (1 t)y) tf(x) + (1 t)f(y) jokaisella x, y A ja t [0, 1].

f(tx + (1 t)y) tf(x) + (1 t)f(y) jokaisella x, y A ja t [0, 1]. Tässä luvussa näytetään divergenssilause konveksin joukon tapauksessa. Määritelmä 4.5.1. 1. Joukko R m on konveksi, jos kaikilla x, y pisteet tx + (1 t)y jokaisella t [0, 1]. 2. Olkoon R m konveksi. Funktio

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset

Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tuomas Hentunen Matematiikan pro gradu tutkielma Kesäkuu 2014 Tiivistelmä: Tuomas Hentunen, Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset (engl. Uniform convergence

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 7. Integaalilauseita 7.1. Gousatin lemma. (Edouad Jean-Baptiste Gousat, 1858-1936, anskalainen matemaatikko) Olkoon R tason suljettu suoakaide,

Lisätiedot

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

4.3.7 Epäoleellinen integraali

4.3.7 Epäoleellinen integraali Esimerkki 4.3.16. (Lineaarinen muuttujien vaihto) Olkoot A R m sellainen kompakti joukko, että A on nollajoukko. Olkoon M R m m säännöllinen matriisi (eli det(m) 0) ja f : R m R jatkuva funktio. Tehdään

Lisätiedot

Mat Johdatus stokastiikkaan: Todistuksia

Mat Johdatus stokastiikkaan: Todistuksia Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan: Todistuksia Monotonista luokkaa koskeva lause Oletetaan, että Ω on ei-tyhjä joukko; G H 2 Ω ; jos A ja B G niin A B G; Ω H; jos A ja B H ja A B niin B \ A H; ja joko, että

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin

Lisätiedot

5. Fourier-sarjat. f(x) e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), n= N. f(x) e inx dx = f(n)

5. Fourier-sarjat. f(x) e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), n= N. f(x) e inx dx = f(n) FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 73 5. Fourier-sarjat Fourier esitti vuonna 1822 lämmönjohtamista koskevien tutkimusten yhteydessä kuuluisan menetelmänsä esittää mielivaltainen -jaksollinen funktio kehitelmänä

Lisätiedot

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat

Lisätiedot

Sobolev-avaruudet. Tero Kilpeläinen

Sobolev-avaruudet. Tero Kilpeläinen Sobolev-avaruudet Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpanoja 5. kesäkuuta 2007 Sisältö 1. Johdattelua 1 1.1. Perusmerkintöjä.............................. 8 2. L p -avaruudet 9 2.1. Yleistä...................................

Lisätiedot

Rekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on

Rekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä

Lisätiedot

X k+1 X k X k+1 X k 1 1

X k+1 X k X k+1 X k 1 1 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Stokastiset differentiaaliyhtälöt Ratkaisuehdotelma Harjoitukseen 4 1. Oletetaan, että X n toteuttaa toisen kertaluvun differenssiyhtälön X k+2 2X k+1 + 2X k = ξ k,

Lisätiedot

DERIVAATTAFUNKTION OMINAISUUKSIA. Annika Katariina Harja

DERIVAATTAFUNKTION OMINAISUUKSIA. Annika Katariina Harja DERIVAATTAFUNKTION OMINAISUUKSIA Annika Katariina Harja Matematiikan pro gradu Matematiikan ja tilastotieteen laitos Jyväskylän yliopisto Kesä 2013 Tiivistelmä: Harja, A. 2013. Derivaattafunktion ominaisuuksia,

Lisätiedot

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus

Lisätiedot