Reaalianalyysin perusteita

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Reaalianalyysin perusteita"

Transkriptio

1 Reaalianalyysin perusteita Heikki Orelma 16. marraskuuta 2008

2 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Mitallisuus 3 3 Yksinkertaiset funktiot 6 4 Mitat ja integrointi 7 5 Kompleksisten funktioiden integrointi 10 6 Nolla-mittaisten joukkojen rooli integrointiteoriassa 11 7 Lebesguen mitta ja integraali 13 2

3 1 Johdanto Vuotuinen jatko-opintoseminaarisarjamme käsittelee lukuvuonna integrointia Banachin avaruuksissa. Teoria rakentuu reaalianalyysin perusteiden ja ideoiden varaan. Tässä kirjoitelmassa on tarkoitus perehtyä niihin reaalianalyysin perusteiden käsitteisiin, jonka tekijä katsoo olevan tarpeen seminaarin kuuntelemiseksi. sitys perustuu klassikkoteoksen Walter Rudin: Real and Complex Analysis kahteen ensimmäiseen kappaleeseen. sityksen ei ole edes suunniteltu olevan täydellinen johtatus aiheeseen, joten puuttuvia yksityiskohtia kannattaakin etsiä eo. teoksesta. Motivaationamme aiheeseen vois vaikkapa olla kysymys: miten muodostaa integroiville funktioille mielekkäitä avaruuksia? Klassisesti voitaisiin yrittää menetellä seuraavasti. Oletetaan, että f : [a, b] R on rajoitettu funktio ja f = missä integraali on tavallinen Riemannin integraali. Integroituvien funktioiden avaruudeksi tulisi tällöin: b a f, L 1 := {f : [a, b] R : f rajoitettu ja f < }. Kuitenkin tästä avaruudesta ei tule täydellistä, joten sen varaan on hankalaa ryhtyä rakentamaan mitään mielekästä matemaattista teoriaa. Ratkaisuna ongelmaan tulee voimakkaampien integraalien kehtitely. Ongelmaan törmäsivät ja sitä tutkivat 1900-luvun alussa Émile Borel, Marie Jordan,??? Young ja Henry Lebesgue. Viimeisimmän teoriasta on vuosien saatossa kehittynyt laajimmalle levinnyt integrointiteoria, johon esim. tässä esityksessä tutustumme. 2 Mitallisuus Määritelmä 2.1 (, T ) on topologinen avaruus, jos: 1. T ja T, 2. jos V i T jokaisella i = 1,..., n, niin n V i T, 3. jos V i T jokaisella i = 1, 2,... niin V i T. 3

4 Joukkoa T kutsutaan topologiaksi ja sen joukkoja avoimiksi. Jos ja Y ovat topologisia avaruuksia on f : Y jatkuva kuvaus jos f 1 (V ) on avoin aina kun V on avoin. Määritelmä 2.2 (, Γ) on mitallinen avaruus, jos: 1. Γ, 2. jos A Γ, niin 1 A c Γ, 3. jos V i Γ jokaisella i = 1, 2,... niin V i Γ. Joukkoa T kutsutaan σ-algebraksi ja sen joukkoja mitallisiksi. Jos on mitallinen avaruus ja Y topologinen avaruuksia on f : Y mitallinen kuvaus jos f 1 (V ) on mitallinen aina kun V on avoin. Huomautus Koska = c niin Γ. 2. Jos V i Γ jokaisella i = 1, 2,... niin valitsemalla V k+1 = V k+2 =... = saadaan: V 1... V k Γ. 3. Jos V i Γ jokaisella i = 1, 2,... niin ( V i = 4. Jos A, B Γ, niin A B = B c A Γ. V c 1 ) c Γ. Lause 2.4 Olkoon f : Y mitallinen ja g : Y Z jatkuva kuvaus. Tällöin h = g f on mitallinen kuvaus f : Z. Lause 2.5 Olkoot u, v : R mitallisia funktioita ja Φ : R 2 Y jatkuva kuvaus. Tällöin h = Φ (u v) on mitallinen kuvaus h : Y. 1 ylä-c tarkoittaa nyt ja jatkossa joukon komplementtia. 4

5 Seuraus 2.6 Olkoon mitallinen avaruus. Tällöin: 1. f = u + iv on C-mitallinen jos u ja v ovat R-mitallisia. 2. Jos f = u + iv on C-mitallinen, niin u, v, f ovat R-mitallisia. 3. Jos f ja g ovat C-mitallisia, niin f + g ja fg ovat C-mitallisia. 4. Jos on mitallinen, niin χ (=karakterisitinen funktio) on mitallinen funktio. 5. Jos f on C-mitallinen niin on olemassa C-mitallinen α siten, että α = 1 ja f = α f. Lause 2.7 Olkoon F perhe :n osajoukkoja. Tällöin on olemassa pienin :n σ-algebra, joka sisältää perheen F. Merkitään lauseen pienintä σ-algebraa σ(f):llä. Sanomme, että σ(f) on perheen F generoima σ-algebra. Lauseen 2.7 todistuksen idea. Määritellään joukko Halutuksi σ-algebraksi kelpaa Ω = {:n σ-algebrat Γ s.e. F Γ}. σ(f) = {Γ : Γ Ω}. Helposti nähdää, että joukko on todella σ-algebra. Q..D. Oletetaan, että (, T ) on topologinen avaruus. Tällöin σ(t ) sanotaan olevan Borelin σ-algebra ja sen joukkoja kutsutaan Borelin joukoiksi. Borelin joukkoja ovat mm. avoimet ja suljetut joukot, G δ -joukot 2, F σ -joukot 3. Lause 2.8 Olkoon (, Γ) mitallinen avaruus, Y topologinen avaruus ja f : Y. Tällöin 2 Avoimien joukkojen numeroituvat leikkaukset. 3 Suljettujen joukkojen numeroituvat yhdisteet. 5

6 1. Joukko on σ-algebra. Ω = { Y : f 1 () Γ} 2. Jos f on mitallinen ja Y on borelin joukko, niin f 1 () Γ. 3. Jos Y = [, ] ja f 1 ((a, ]) Γ jokaisella a R on f mitallinen. 4. Jos f on mitallinen, Z topologinen avaruus ja g : Y Z Borelin funktio. Tällöin h = g f : Z on mitallinen. Lause 2.9 Jos f n : [, ] on mitallinen jokaisella n N niin ovat mitallisia. sup n f n ja lim sup f n Seuraus Pisteittävän suppenevan jonon C- funktioita rajafunktio on C-mitallinen. 2. Jos f, g : [, ] ovat mitallisia niin on mitallinen. rityisesti ovat mitallisia. max{f, g} f + := max{f, 0} ja f := max{ f, 0} 3 Yksinkertaiset funktiot Määritelmä 3.1 Olkoon mitallinen avaruus. Mitallista funktiota s : [0, ) kutsutaan mitalliseksi jos funktion arvojoukko on äärellinen t.s. s() = {a 1,..., a n }. Merkitsemällä voidaan s esittää summa A i = {x : s(x) = a i, n s = a i χ Ai. 6

7 Seuraus 3.2 s on mitallinen jos ja vain jos A i on mitallinen jokaisella i = 1,..., n. Merkitään lisäksi J () := {s : [0, ) : s yksinkertainen funktio}. Lause 3.3 Jos f : [0, ] on mitallinen on olemassa jono (s n ) J siten, että 1. 0 s 1 s 2 f, 2. s n (x) f(x) jokaisella x. 4 Mitat ja integrointi Olkoon (, Γ) mitallinen avaruus. Positiivinen mitta on joukkofunktio µ : Γ [0, ] siten, että: 1. Jos (A i ) Γ, on jono pistevieraita joukkoja, niin ( ) µ A i = µ(a i ). 2. µ(a) < ainakin yhdellä A Γ. Kolmikkoa (, Γ, µ) kutsutaan mitta-avaruudeksi. Funktiota µ : Γ C, joka toteuttaa ehdon 1. kutsutaan kompleksiseksi mitaksi. Borelin joukoissa määriteltyjä mittoja kutsutaan Borelin mitoiksi. Lause 4.1 Olkoon (, Γ, µ) mitta-avaruus. 1. µ( ) = 0, 2. µ(a 1 A n ) = µ(a 1 ) + + µ(a n ), kun A i :t ovat pisteviraita ja mitallisia. 3. Jos A, B Γ ja A B, niin µ(a) µ(b). 4. Jos A i Γ kun i N, A = i A i ja A 1 A 2... niin lim µ(a i) = µ(a). i 7

8 5. Jos A i Γ kun i N, A = i A i ja A 1 A 2... niin Seuraava joitakin esimerkkejä mitoista. 1. Mittaa kutsutaan triviaalimitaksi. 2. Mittaa lim µ(a i) = µ(a). i µ(a) = kutsutaan lukumäärämitaksi. {, A, 0, A =, µ(a) = #A 3. Olkoon x 0. Mittaa µ(a) = { 1, x 0 A, 0, x 0 / A, kutsutaan Diracin mitaksi. 4. Hausdorn mitta on separoituvassa metrisessä avaruudessa määritelty mitta. Sen avulla voidaan määritellä mielivaltaisen metrisen avaruuden osajoukon ulottuvuus, eli ns. joukon Hausdorn dimensio. Hausdorf- n mitta on kehitetty ns. Carathéodoryn konstruktion avulla. Olkoon (, d) separoituva metrinen avaruus ja 0 s <. Määritellään jokaisella δ > 0 funktio Hδ s : P() [0, ], H s δ(a) = inf{ i I d( i ) s : i i I, I on numeroituva, d( i ) δ, A i I i }. Luku d( i ) = sup{d(x, y) : x, y i } on joukon halkaisija. Voidaan osoittaa, että kaikilla δ > 0 funktio Hδ s on ulkomitta :ssä. Huomataan, että jos 0 < δ 1 δ 2, niin Hδ s 2 (A) Hδ s 1 (A) kaikilla A. Näin ollen rajafunktio H s : P() [0, ], H s (A) = lim δ 0 H s δ(a), on olemassa. Tätä funktiota kutsutaan (s-ulotteiseksi) Hausdorn ulkomitaksi. Se on myös ulkomitta, mikä voidaan osoittaa käyttämällä sitä tietoa, että Hδ s on ulkomitta kaikilla δ > 0. Hausdorn ulkomitan rajoittumaa H s -mitallisiin joukkoihin kutsutaan Hausdorn mitaksi, joka on Carathéodoryn lauseen nojalla mitta. 8

9 Huomautus 4.2 Välin [0, ] aritmetiikkaa. Määritellään a + = + a =, kun 0 a ja a = a = {, 0 < a, 0, a = 0. Olkoon s J () muotoa s = n a i χ Ai ja olkoon Γ. Yksinkertaisen funktion s integraali yli :n mitan µ suhteen määritellään tällöin n sdµ := a i µ(a i ). Mitallisen funktion f : [0, ] integraali yli :n mitan µ suhteen määritellään { } fdµ := sup sdµ : s J (), s f. Seuraavassa näin määritellyn integraalin perusominaisuuksia. Propositio 4.3 Oletetaan tarvittavat mitallisuudet. 1. Jos 0 f g, niin fdµ gdµ. 2. Jos A B, niin A fdµ B fdµ. 3. Jos 0 c, niin cfdµ = c fdµ. 4. Jos f(x) = 0 jokaisella x, niin fdµ = Jos µ() = 0, niin fdµ = fdµ = χ fdµ 7. Jos s J (), niin ϕ() = sdµ on mitta. Lause 4.4 (Monotonisen konvergenssin lause, Beppo Levi 1906) Olkoon (f n ) jono mitallisia funktioita siten, että 1. 0 f 1 f 2..., 9

10 2. lim f n (x) = f(x) jokaisella x. Tällöin f on mitallinen ja lim f n dµ = fdµ. Lause 4.5 Olkoon (f n ) jono mitallisia funktioita ja jokaisella x. Tällöin f(x) = fdµ = f n (x) n=1 n=1 f n fdµ. Lemma 4.6 (Fatou) Olkoon (f n ) jono mitallisia funktioita. Tällöin lim inf fdµ lim inf. Lause 4.7 Olkoon f mitallinen funktio. Tällöin ϕ() = fdµ on mitta. 5 Kompleksisten funktioiden integrointi Olkoon f : C mitallinen funktio. Merkitään absoluuttisesti mitan µ suhteen integroituvien funktioiden joukkoa { } L 1 (µ) := f : C : f dµ < Funktiolle f = u + iv L 1 (µ) määritellään integraali fdµ := u + dµ u dµ + i v + dµ i v dµ. Lause 5.1 Olkoot f, g L 1 (µ) ja α, β C. Tällöin αf + βg L 1 (µ) ja (αf + βg)dµ = α fdµ + β gdµ. 10

11 Lause 5.2 Olkoon f L 1 (µ). Tällöin fdµ f dµ. Lause 5.3 (Dominoidun konvergenssin lause, Lebesgue 1910) Olkoon (f n ) jono mitallisia funktioita siten, että f(x) = lim f n (x), kun x. Jos on olemassa g L 1 (µ) siten, että kun x, niin 1. f L 1 (µ), f n (x) g(x) lim f n f dµ = 0, lim f n dµ = fdµ. 6 Nolla-mittaisten joukkojen rooli integrointiteoriassa Sanomme, että ominaisuus P (x) on voimassa joukossa melkein kaikkialla (lyhyesti m.k.) jos on olemassa N Γ siten, että µ(n) = 0, N ja P (x) on vomassa joukossa N. simerkki 6.1 Jos µ({x : f(x) g(x)}) = 0, on f = g melkein kaikkialla joukossa mitan µ suhteen. Lisäksi fdµ = gdµ. Huomioita: 11

12 0-mittaisilla joukolla ei ole vaikutusta integroitaessa. ntä, jos µ() = 0 ja N, mutta N / Γ. Voidaanko tällöin määritellä µ(n) = 0? Vastauksen antaa seuraava lause. Lause 6.2 Olkoon (, Γ, µ) mitta-avaruus. Merkitään Γ := { : A, B Γ s.e. A B ja µ(b A) = 0}. Jos µ() := µ(a), niin on (, Γ, µ) mitta-avaruus. Yllä olevan mitan ja σ-algebran Γ laajennusta kutsutaan Γ:n µ-täydennykseksi. dellä olevaa teoriaa voidaan laajentaa yleistää m.k.-mielessä. Seuraavassa joitakin esimerkkejä. Lause 6.3 Olkoon (f n ) jono C-mitallisia funktioita m.k. :ssä siten, että f n dµ <. n=1 Tällöin f(x) = n=1 f n(x) suppenee m.k. x, f L 1 (µ) ja fdµ = f n fdµ. n=1 Lause Olkoon f : [0, ] mitallinen, Γ ja fdµ = 0. Tällöin f = 0 m.k. 2. Olkoon f L 1 (µ) ja fdµ = 0 jokaisella Γ. Tällöin f = 0 m.k. 3. Jos f L 1 (µ) ja fdµ = f dµ, niin on olemassa α S 1 C siten, että αf = f m.k. Lause 6.5 Olkoot µ() <, f L 1 (µ), S C suljettu osajoukko ja A (f) := 1 fdµ S µ() jokaisella Γ siten, että µ() <. Tällöin f(x) S m.k. x. Lause 6.6 OLkoon ( n ) Γ siten, että µ( n ) <. n=1 Tällöin m.k. x pätee: x n äärellisen monella n N. 12

13 7 Lebesguen mitta ja integraali Tässä kappaleessa esitellään tärkein matematiikassa käytetty mitta ja sen määräämä integraali: Lebesguen mitta ja integraali. Mitan konstruktio voidaan suorittaa monelle tapaa, yksinkertaisimmillaan approksimoimalla reaalilukuvälejä sopivasti. Tässä esityksessä turvaudutaan kuitenkin huomattavasti elegantimpaan työkaluun, joka on: Lause 7.1 (Rieszin esityslause, Frigyes Riesz 1909) Olkoon lokaalikompakti Hausdorn avaruus ja Λ jatkuva positiivinen lineaarifunktionaali C c ():llä (kompaktikantajaiset funktiot :llä). Tällöin on olemassa σ- algebra Γ, joka sisältää Borelin joukot ja yksikäsitteinen positiivinen mitta µ siten, että: 1. Λf = fdµ, kun f C c(). 2. µ(k) < jokaisella kompaktilla K. 3. Jos Γ, niin µ() = inf{µ(v ) : V, V avoin}. 4. Jos on avoin tai Γ ja µ() <, niin µ() = sup{µ(k) : K, K kompakti}. 5. Jos Γ, A ja µ() = 0, niin µ(a) = 0. Todistuksen idea. Määritellään kun V avoin. Olkoon nyt µ(v ) = sup{λf : f χ }, W = {x R k : α i x i β i, i = 1,..., k} suljettu k-kuutio. Kuution tilavuus: Vol(W ) = k (β i α i ). Olkoon x R k ja δ > 0. a = (α 1,..., α k )-kulmainen δ-kuutio on tällöin joukko Olkoon Q(a, δ) = {x R k : α i x i α i + δ, i = 1,..., k} P n := 2 n Z k joukon R k hila, jonka tiheys 2 n. Olkoon Ω n ne 2 n -kuutiot, joiden kulmat kuuluvat hilaan P n (Dyadikkikuutiot). 13

14 Lause 7.2 On olemassa positiivinen täydellinen mitta m määriteltynä R k :n σ-algenrassa M siten, että 1. m(w ) = Vol(W ) jokaisella k-kuutiolla W, 2. M sisältää Borelin joukot, 3. m( + x) = m() jokaisella M ja e R k, 4. jos µ on positiivinen mitta M:ssä, on olemassa c R siten, että Borelin joukoilla R k. µ() = cm() 5. Jokaista lineaarikuvausta T : R k R k kohti on olemassa (T ) R siten, että m(t ()) = (T )m(), kun M. Todistuksen idea. Olkoon f : R k C funktio siten, että supp f R k on kompakti. Määritellään Λ n f := 2 nk x P n f(x), kun n N. Määritellään positiivinen lineaarifunktionaali: Λf := lim Λ n f, missä f C c (R k ) ja sovelletaan Rieszin esityslausetta. dellä olevan lauseen mittaa m kutsutaan Lebesguen mitaksi ja sen määräämää integraalia Lebesguen integraaliksi. Lopuksi ratkaistaan (ainakin osittain) ongelma: miten käytännössä Lebesgueintegraali lasketaan? Seuraus 7.3 Jos f : R k R on rajoitettu funktio ja f on Riemannintegroituva, niin tällöin f on Lebesgue-integroituva ja f = fdm. 14

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

Tiheyspistelauseita. Petteri Salovaara. Pro Gradu tutkielma

Tiheyspistelauseita. Petteri Salovaara. Pro Gradu tutkielma Tiheyspistelauseita Petteri Salovaara Pro Gradu tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesä 2006 1 2 Sisältö 1. LUKU: Esitietoja 3 2. LUKU: Mittojen derivointia ja tiheyspistelause

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Määritelmä 2.5. Lause 2.6.

Määritelmä 2.5. Lause 2.6. Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan

Lisätiedot

Analyysin peruslause

Analyysin peruslause LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta

Lisätiedot

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 5. Olkoon f : [0, 1] R kasvava. Osoita, että joukko. {x [0, 1] f ei ole jatkuva pisteessä x} on numeroituva. [Vihje: Lause 1.2.

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 5. Olkoon f : [0, 1] R kasvava. Osoita, että joukko. {x [0, 1] f ei ole jatkuva pisteessä x} on numeroituva. [Vihje: Lause 1.2. Harjoitukset 1 16.9.25 1. Merkitään Z + = {x Z x > }. Osoita, että f : Z + Z + Z +, f(x, y) = 2 x 1 (2y 1), on bijektio. Piirrä kuva. Perinteisempi kuvaus Z + Z + Z + on (x, y) (x + y 1)(x + y)/2 (x 1).

Lisätiedot

Mitta ja integraali 1

Mitta ja integraali 1 Mitta ja integraali 1 Ilkka Holopainen 2 March 22, 2004 1 Perustuvat pääosin luentomonisteisiin Tylli: Mitta ja integraali (2000 ja Väisälä: Diff. Int. III (1985 2 Ilmoita painovirheistä esim. sähköpostitse

Lisätiedot

REAALIANALYYSI. Pekka Koskela. Syksy 2015

REAALIANALYYSI. Pekka Koskela. Syksy 2015 REAALIANALYYSI Pekka Koskela Syksy 2015 Luennot: Ti 1012, To 1416, MaD 380. Demot: To 1012, MaD 355, Changyu Guo.. Demohyvitys: 80%6 p., 70%5, 60%4, 50%3, 30%2, 20%1. Pertti Mattila: Geometry of sets and

Lisätiedot

Lebesguen mitta ja integraali

Lebesguen mitta ja integraali Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta

Lisätiedot

Ville Suomala MITTA JA INTEGRAALI

Ville Suomala MITTA JA INTEGRAALI Ville Suomala MITT J INTEGRLI Luentotiivistelmä kevät 2017 1 Johdanto bstraktin mittateorian voidaan katsoa syntyneen vuoden 1900 tienoilla, kun Henry Lebesgue esitteli uuden integrointiteorian. Mitta-

Lisätiedot

U missä U A := {U R n : U avoin ja U A}; intuitiivisesti suurin avoin joukko, joka sisältyy A:han. Määritellään A:n sulkeuma A := F F A

U missä U A := {U R n : U avoin ja U A}; intuitiivisesti suurin avoin joukko, joka sisältyy A:han. Määritellään A:n sulkeuma A := F F A Mitta a integraali Kesä 2 4. tehtävät Malliratkaisut (LS). Olkoon a i R i =, 2,... ono. Sanotaan, että i a i = os kaikille M R on olemassa i, olle kaikille i i pätee a i M. Sanotaan, että i a i = os i

Lisätiedot

Moderni reaalianalyysi

Moderni reaalianalyysi JUHA KINNUNEN Moderni reaalianalyysi F ( ) := f (ξ)e i ξ dξ 2π Juha Kinnusen laatiman luentomateriaalin pohjalta toimittaneet Mikael Lindström, Olli Hyvärinen ja Tuomas Pöyhtäri Sisältö LEBESGUEN ULKOMITTA

Lisätiedot

LUKU 6. Mitalliset funktiot

LUKU 6. Mitalliset funktiot LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

MITTA- JA INTEGRAALITEORIA 2015

MITTA- JA INTEGRAALITEORIA 2015 MITT- J INTEGRLITEORI 2015 HELI TUOMINEN Sisältö Johdantoa 2 Mitta 2 Integraali 2 nalyysin peruslause 2 Riemann-integraalista 2 1. Valmistelua, kertausta ja merkintöjä 4 Infimum ja supremum 4 Laajennettu

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a i > 0kaikillai 2 I, niin P i2i a i = 1.

2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a i > 0kaikillai 2 I, niin P i2i a i = 1. Harjoitus 1, 11.9.2015 1. Näytä, että joukossax on äärettömän monta alkiota jos ja vain jos on joukko X, 6= X, jokaonyhtämahtavakuinx. 2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a

Lisätiedot

Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010

Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 4.1. Viime kerralta. Esimerkki lokaalikonveksin avaruuden osajoukosta, joka

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Esko

Lisätiedot

MITTA- JA INTEGRAALITEORIA. Tero Kilpeläinen

MITTA- JA INTEGRAALITEORIA. Tero Kilpeläinen MITT- J INTEGRLITEORI Tero Kilpeläinen 2003-04 Teksti sisältää muistiinpanoja vuosina 2003-04 pidetystä kurssista. Tämän paketin tarkoitus on tukea omien muistiinpanojen tekoa, ei korvata niitä. Matematiikkaa

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko. Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,

Lisätiedot

Tasa-asteisesti jatkuvien funktioperheiden suppenevista osajonoista

Tasa-asteisesti jatkuvien funktioperheiden suppenevista osajonoista Tasa-asteisesti jatkuvien funktioperheiden suppenevista osajonoista Pro gradu -tutkielma Toni Vesikko 243023 Itä-Suomen yliopisto 7. heinäkuuta 2016 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Perusteet ja merkintöjä 2 3 Funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Kompaktisuus ja filtterit

Kompaktisuus ja filtterit Kompaktisuus ja filtterit Joukkoperheellä L on äärellinen leikkausominaisuus, mikäli jokaisella äärellisellä L L on voimassa L. Nähdään helposti, että perheellä L on äärellinen leikkausominaisuus ja L

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Fourier-analyysia ryhmillä

Fourier-analyysia ryhmillä Fourier-analyysia ryhmillä Pekka Salmi Kevät 2010 1 Topologian pikakurssi Avoimet, suljetut, kompaktit joukot Olkoon X ei-tyhjä joukko ja P(X) = { A; A X } joukon X osajoukkojen muodostama joukko. Kokoelma

Lisätiedot

Cantorin joukko LUKU 8

Cantorin joukko LUKU 8 LUKU 8 Cantorin joukko 8.. Cantorin 3 -joukko Merkitään J = J 0, = [0, ]. Poistetaan välin J keskeltä avoin väli I,, jonka pituus on /3; siis I, = (, 2). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J 3 3, ja

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Joukot metrisissä avaruuksissa

Joukot metrisissä avaruuksissa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia

Lisätiedot

Milloin joukon Lebesguen ja Hausdorffin mitat ovat yhtä suuria?

Milloin joukon Lebesguen ja Hausdorffin mitat ovat yhtä suuria? Milloin joukon Lebesguen ja Hausdorffin mitat ovat yhtä suuria? Juha Väätäinen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesä 2012 Sisältö Johdanto 1 Luku 1. Gammafunktio

Lisätiedot

f(x) sin k x dx, c k = 1

f(x) sin k x dx, c k = 1 f ( n) n 3. Fourier n sarjoista I [1, 8.16, luku 11], [, luku 15], [3, luku IX, 8 9]. [5, luku I], [6, luku XII, 3], [7, luku 8], [8, luku 4], [9, luku 8] Trigonometrinen polynomi on muotoa a + ( ak cos

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

Ajoneuvovakuutusten hinnoittelu tilastollisista lähtökohdista

Ajoneuvovakuutusten hinnoittelu tilastollisista lähtökohdista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jari-Pekka Piiroinen Ajoneuvovakuutusten hinnoittelu tilastollisista lähtökohdista Luonnontieteiden tiedekunta Matematiikka Toukokuu 2017 Tampereen yliopisto Luonnontieteiden

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

Rademacherin lause. Anssi Niitti. Matematiikan Pro Gradu -tutkielma

Rademacherin lause. Anssi Niitti. Matematiikan Pro Gradu -tutkielma Rademacherin lause Anssi Niitti Matematiikan Pro Gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2008 Sisältö 1. Johdanto 2 2. Esitietoja. Hausdorff-mitat ja dimensiot

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

6. Lineaariset operaattorit

6. Lineaariset operaattorit 96 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että Fourier-sarjat suppenevat L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla 80). Osoitimme myös, että kun f on jatkuva ja

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali 4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,

Lisätiedot

Yleistettyjen jonojen käyttö topologiassa

Yleistettyjen jonojen käyttö topologiassa Yleistettyjen jonojen käyttö topologiassa Antti Karvinen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesä 2016 Tiivistelmä: Antti Karvinen, Yleistettyjen jonojen

Lisätiedot

Itsesimilaarit joukot

Itsesimilaarit joukot Itsesimilaarit joukot Henni Nikkilä Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2013 Tiivistelmä: Henni Nikkilä, Itsesimilaarit joukot (engl. Self-similar sets),

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N,

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4 (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, i=1 A i = R 1, ja f : R 1 R 1 ei ole jatkuva. Lause

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

Johdatus topologiaan (4 op)

Johdatus topologiaan (4 op) 180305 Johdatus topologiaan (4 op) Kevät 2009 1. Alkusanat Sana topologia on johdettu kreikan kielen sanoista topos ja logos, jotka merkitsevät paikkaa ja tietoa. Jo 1700-luvun alussa käytettiin latinan

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,

Lisätiedot

Moderni reaalianalyysi, Syksy

Moderni reaalianalyysi, Syksy Moderni reaalianalyysi, Syksy 2005 1 Ilkka Holopainen 2 14. syyskuuta 2011 1 Perustuvat pääosin luentomonisteisiin Saksman: Moderni reaalianalyysi (1998) ja Astala: Moderni reaalianalyysi (2002) 2 Ilmoita

Lisätiedot

HILBERTIN AVARUUDET 802652S MIKAEL LINDSTRÖM KEVÄÄN 2010 ANALYYSI 3 -LUENTOJEN PERUSTEELLA TOIMITTANEET TOMI ALASTE JA LAURI BERKOVITS

HILBERTIN AVARUUDET 802652S MIKAEL LINDSTRÖM KEVÄÄN 2010 ANALYYSI 3 -LUENTOJEN PERUSTEELLA TOIMITTANEET TOMI ALASTE JA LAURI BERKOVITS HILBRTIN AVARUUDT 802652S MIKAL LINDSTRÖM KVÄÄN 2010 ANALYYSI 3 -LUNTOJN PRUSTLLA TOIMITTANT TOMI ALAST JA LAURI BRKOVITS Sisältö 1 Hilbertin Avaruudet 3 1.1 Normi- ja L p -avaruudet........................

Lisätiedot

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on? Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Metriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00

Metriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1 Metriset avaruudet Erno Kauranen 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1. Sisätulo ja normiavaruus................................................. 3 2. Metrinen avaruus........................................................

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)

Lisätiedot

f(k)e ikx = lim S n (f; x) kaikilla x?

f(k)e ikx = lim S n (f; x) kaikilla x? 102 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että jos f L 2, niin vastaavan Fourier-sarjan osasummat suppenevat kohti f:ää L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla

Lisätiedot

Julian joukot. Henna-Liisa Kivinen. Matematiikan pro gradu

Julian joukot. Henna-Liisa Kivinen. Matematiikan pro gradu Julian joukot Henna-Liisa Kivinen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2013 Tiivistelmä: Henna-Liisa Kivinen Julian joukot, matematiikan pro gradu -tutkielma,

Lisätiedot

Mat Johdatus stokastiikkaan: Todistuksia

Mat Johdatus stokastiikkaan: Todistuksia Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan: Todistuksia Monotonista luokkaa koskeva lause Oletetaan, että Ω on ei-tyhjä joukko; G H 2 Ω ; jos A ja B G niin A B G; Ω H; jos A ja B H ja A B niin B \ A H; ja joko, että

Lisätiedot

Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Luennot, kevät 2006 ja kevät Kari Astala ja Petteri Piiroinen (v.

Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Luennot, kevät 2006 ja kevät Kari Astala ja Petteri Piiroinen (v. FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos Luennot, kevät 2006 ja kevät 2008 Kari Astala ja Petteri Piiroinen (v. 2006) Hans-Olav Tylli (v. 2008 hienosäätöä)

Lisätiedot

1 Reaaliset lukujonot

1 Reaaliset lukujonot Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan

Lisätiedot

Maksimaalifunktio ja L p -avaruudet

Maksimaalifunktio ja L p -avaruudet Maksimaalifunktio ja L p -avaruudet PRO GRADU -TUTKIELMA Matti Teerikangas Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka 23. toukokuuta 27 Sisältö Johdanto 2 Hardy, Littlewood,

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Kalle

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö TOPOLOGIA

TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö TOPOLOGIA TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö TOPOLOGIA Arttu Ojanperä (Eero Hyryn luentojen mukaan) 2013 Sisältö 1 Johdanto 4 1 Jatkuvat kuvaukset........................ 4 2 Avoimet joukot..........................

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

= X s + IE[X t X s ] = 0, s ja sitä, että ehdollinen odotusarvo on tavallinen odotusarvo silloin, kun satunnaismuuttuja

= X s + IE[X t X s ] = 0, s ja sitä, että ehdollinen odotusarvo on tavallinen odotusarvo silloin, kun satunnaismuuttuja 44 E. VALKEILA 6. Geometrinen Brownin liike 6.1. Brownin liike ja Iton kaava. Tavoitteena on mallintaa osakkeen tuottoa jatkuvassa ajassa. Jos (S t ) t T on osakkeen hintaprosessi, niin tuotolla tarkoitetaan

Lisätiedot

u = 2 u (9.1) x + 2 u

u = 2 u (9.1) x + 2 u 9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,

Lisätiedot

Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset

Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tuomas Hentunen Matematiikan pro gradu tutkielma Kesäkuu 2014 Tiivistelmä: Tuomas Hentunen, Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset (engl. Uniform convergence

Lisätiedot

Determinoiruvuuden aksiooma

Determinoiruvuuden aksiooma Determinoiruvuuden aksiooma Vadim Kulikov Esitelma 12 Maaliskuuta 2008 Tiivistelma. Valinta-aksioomasta seuraa, etta Leb(R) ( P(R), eli on olemassa epamitallisia joukkoja. Tassa esitelmassa nahdaan, etta

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Metriset avaruudet 2017

Metriset avaruudet 2017 Metriset avaruudet 2017 Jouni Parkkonen Merkintöjä N = {0, 1, 2,... } luonnolliset luvut #(A) N { } joukon A alkioiden lukumäärä A B = {a A : a / B} joukkojen A ja B erotus. A B on joukkojen A ja B erillinen

Lisätiedot

4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit

4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 45 4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit Lähestymme nyt jo kovaa vauhtia hetkeä, jolloin voimme aloittaa stokastisen integroinnin. Ennen sitä käymme vielä läpi yhtä

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1

Lisätiedot

1.1. Joukon Jordanin sisältö. Reaaliakselin kompaktin välin [t 0, t m ] jako on

1.1. Joukon Jordanin sisältö. Reaaliakselin kompaktin välin [t 0, t m ] jako on 1. Jordan-joukot Yksinkertaisuuden (ja havainnollisuuden vuoksi) seuraavassa tarkastellaan vain tason osajoukkoja, vaikka päättelyt voitaisiin helposti siirtää yleiseen n-ulotteiseen euklidiseen avaruuteen

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

sitä vastaava Cliffordin algebran kannan alkio. Merkitään I = e 1 e 2 e n

sitä vastaava Cliffordin algebran kannan alkio. Merkitään I = e 1 e 2 e n Määritelmä 1.1 Algebran A keskus C on joukko C (A) = {a A ax = xa x A}. Lause 1. Olkoon Cl n Cliffordin algebra, jonka generoi joukko {e 1,..., e n }. Jos n on parillinen, niin C (Cl n ) = {λ λ R}. Jos

Lisätiedot

Poistumislause Kandidaatintutkielma

Poistumislause Kandidaatintutkielma Poistumislause Kandidaatintutkielma Mikko Nikkilä 013618832 26. helmikuuta 2011 Sisältö 1 Johdanto................................... 2 2 Olemassaolon ja yksikäsitteisyyden historiaa............ 3 3 Esitietoja..................................

Lisätiedot

4.3.7 Epäoleellinen integraali

4.3.7 Epäoleellinen integraali Esimerkki 4.3.16. (Lineaarinen muuttujien vaihto) Olkoot A R m sellainen kompakti joukko, että A on nollajoukko. Olkoon M R m m säännöllinen matriisi (eli det(m) 0) ja f : R m R jatkuva funktio. Tehdään

Lisätiedot

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSI 2017

FUNKTIONAALIANALYYSI 2017 FUNKTIONAALIANALYYSI 2017 JOUNI PARKKONEN Nämä ovat muistiinpanoni funktionaalianalyysin kurssille kevätlukukaudella 2017. Tekstiä ei ole luettu äärimmäisen huolella puhtaaksi eikä sitä ole viilattu julkaisemista

Lisätiedot

ISOPERIMETRINEN ONGELMA

ISOPERIMETRINEN ONGELMA ISOPERIMETRINEN ONGELMA Pertti Pitkänen Matematiikan pro gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos 11. heinäkuuta 2005 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Isoperimetrisen epäyhtälön

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

DERIVAATTAFUNKTION OMINAISUUKSIA. Annika Katariina Harja

DERIVAATTAFUNKTION OMINAISUUKSIA. Annika Katariina Harja DERIVAATTAFUNKTION OMINAISUUKSIA Annika Katariina Harja Matematiikan pro gradu Matematiikan ja tilastotieteen laitos Jyväskylän yliopisto Kesä 2013 Tiivistelmä: Harja, A. 2013. Derivaattafunktion ominaisuuksia,

Lisätiedot

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat

Lisätiedot

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste, Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.

Lisätiedot

Todennäköisyysteoria. Teoria mitasta, mitallisuudesta, mitattomuudesta ja riippumattomuudesta. Tommi Sottinen

Todennäköisyysteoria. Teoria mitasta, mitallisuudesta, mitattomuudesta ja riippumattomuudesta. Tommi Sottinen Todennäköisyysteoria Teoria mitasta, mitallisuudesta, mitattomuudesta ja riippumattomuudesta A. Kolmogorov P. Lévy Tommi Sottinen tommi.sottinen@helsinki.fi mathstat.helsinki.fi/ tsottine 1. joulukuuta

Lisätiedot

2. Normi ja normiavaruus

2. Normi ja normiavaruus 8 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 2. Normi ja normiavaruus Olkoon E vektoriavaruus (eli lineaariavaruus) skalaarikuntana K = R tai K = C. Kurssilla Lineaarialgebra I määriteltiin vain R-kertoimiset vektoriavaruudet,

Lisätiedot

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a

Lisätiedot

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla

Lisätiedot

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos Koodausteoria 10 op Kontaktiopetusta 50 h, 26.5. - 26.6. ma 10-14, ti 10-13, to 10-13 Aloitusviikolla poikkeuksellisesti ke 10-13 torstain

Lisätiedot

MS-C1540 Euklidiset avaruudet

MS-C1540 Euklidiset avaruudet MS-C1540 Euklidiset avaruudet MS-C1540 Euklidiset avaruudet III-periodi, kevät 2016 Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu 1 / 30 Euklidiset

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot