Erkki Mäkinen ja Timo Poranen. Algoritmit

Transkriptio

1 Erkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKKÖ TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 1/2011 TAMPERE 2011

2 TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKKÖ INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 1/2011 KESÄKUU 2011 Erkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit 3. painos INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKKÖ TAMPEREEN YLIOPISTO ISBN ISSN L ISSN

3 Ë ÐØ ½ ÐÙ ¾ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ø Ò Ó Ø ¾º½º ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ñ Ö ÒØØ Ú Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾º Ö Ò Ý ØÐ Ò Ö Ø Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ¾º¾º½º Ö Ò Ý ØÐ Ò ÔÙÖ Ñ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾º¾º ÖÒ Ý ØÐ ÐÙÓ Ò ÝÐ Ò Ò Ö Ø Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾º º Ä Ú ÒÒÙ Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ ¾º º Ì Ó Ø ØØÙ Ú Ø ÚÙÙ Ò ÐÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ ¾º º ÅÙ ÙØÙÚ Ø Ø ØÓÖ ÒØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º½º Ä Ú ØØÝÚ ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º¾º Î ÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º Ñ Ö Ð Ö Ó Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ð ÓÖ ØÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ò Ó Ø º½º À ÓØ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º ÝÒ Ñ Ò Ò Ó ÐÑÓ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º Ò Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º È ÖÙÙØØ Ú Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º È Ð ÔÙÙØ α β ¹ Ö ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º È ÐÐ Ò Ø ÒØÒ Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º º½º Ë ÑÙÐÓ ØÙ ÝØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾º Ò ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ÅÙ Ø ÐÙÓÒØÓÐ ÒÒ Ò Ø ÒØÑ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÁÒ Ù Ø ÓÓÒ Ô ÖÙ ØÙÚ Ð ÓÖ ØÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÔÔÖÓ ÑÓ ÒØ Ð ÓÖ ØÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÐÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º º¾º ÌËÈ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÂÓÙ Ó Ò Ð ÓÖ ØÑ Ø ØØ ÐÝ Ø º½º Ö ÐÐ Ø Ò ÓÙ Ó Ò ØØ ÐÝÓÒ ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º Ø ÖÑ Ò Ø Ø Ò Ö ÐÐ Ø Ò ÙØÓÑ ØØ Ò Ú Ú Ð ÒØØ ÙÙ º º º º º º º º º ½

4 Å Ö ÓÒÓÒ ÓÚ ØÙ Ð ÓÖ ØÑ Ø º½º ÃÒÙØ Ò¹ÅÓÖÖ Ò¹ÈÖ ØØ Ò Ð ÓÖ ØÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º ÓÝ Ö Ò¹ÅÓÓÖ Ò Ð ÓÖ ØÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ê Ò Ò¹Ã ÖÔ Ò Ð ÓÖ ØÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ö Ð ÓÖ ØÑ Ø ½ º½º ËÝÚÝÝ ÙÙÒØ Ò Ò Ø ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º ¾¹Ý Ø Ò ÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ËÙÙÒÒ ØÙÒ Ö Ò ¹ Ø ÒØ Ú Ú Ø Ý Ø Ò ÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º È Ð ÙØ ÓÐÑÙ Ò Ø ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º È Ö ÙØÙ ÓÒ ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Î Ø Ô Ö ÙØÙ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ì ÓÒ Ø Ú ØÑ Ø º½º ÒØÖÓÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º ËØ ØØ Ø ÓÓ Ù Ñ Ò Ø ÐÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÍÒ Ú Ö Ð Ø ÓÓ Ø Ñ Ò Ø ÐÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ä ÑÔ Ð Ò¹ Ú Ò ÓÓ Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÅÙ ÙØÙÚ Ò Ð ØÓ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÓÓ Ù Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º Ë ØÙÒÒ Ø ØÙ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø ½¼½ º½º Ë ÖÛÓÓ ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼¾ º¾º Ä Î ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º º ÅÓÒØ ÖÐÓ ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º º Ë ØÙÒÒ Ø ØØÙ Ø ÒØÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ Ê ÒÒ Ð ÓÖ ØÑ Ø ½½ º½º È ÖÙ ØØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º Ê ÒÒ Ð ÓÖ ØÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ò Ó Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½º Ê ÚÓ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º¾º ÌÙÖÒ Ù Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º º ÄÓ ÓÑ Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º º Ö ÒØ Ò Ð Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º º È ÖÙ Ð ÓÖ ØÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º º½º Ä Ø Ò Ö Ò Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º º¾º ÙÐ Ö Ò ÐÑÙ ¹Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾¼ º º º Ä ØØ ÐÙ Ø ÙÐÙ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾¾ º º º Å ØÖ Ò ÖØÓÐ Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾¾ ¾

5 ÄÙ Ù ½ ÐÙ ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ ÝØ ØØÚ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Ò ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý ¹ Ò ÓÔ ÒØÓ ÓÐÐ Ð ÓÖ ØÑ Øº ÅÓÒ Ø Ò Ó ÐÙ Ñ ØÓÒ ÓÒ ÝÝØ ÝØØ ÓØ Ò Ð Ò ÓÔÔ Ö º ËÙÓ Ø ÐØ Ú ÝÐ ØÝ ÓÚ Ø Ñ Ö ÓÖÑ Ò Ò ÑÙ Ò ½ ÓÓ Ö ¹ Ò Ì Ñ Ò ÃÐ Ò Ö Ò Ì Ö Ó Ò Ö Øº Ð ÓÖ ØÑ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ò ØØÝÚØ Ö Ñ Ò ÑÙ Ò Ë Û Ò Ð ÓÐ Ø³Ò ½¾ ØÝ Øº Ö ØÝ Ø ÒÒ ØØ ÙÓÑ Ó È ÒØØÓ Ò ÙÓÑ Ò Ð Ò Ò ÓÔÔ Ö ½½ º ÅÙÙØ Ö ÐÐ ÙÙ ÐÙ ØØ ÐÓÒ Ö Ø ØØÝÚØ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ö Ö ØÝ ÐÙ Òº ÈÓØ Ò ÐÓ Ö ØÑ ÙÑÑ ÚÓ ÄÙ ÐØ ÐÐÝØ ØÒ ÒÒ ÓØ ØÓ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ñ Ö Ò Ù Ø ÓÔ ¹ Ö Ø ÐÓ Ö ØÑ ÙÒ Ø Ó Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ Ò Ð Øº ÐÐ ÓÒ ÖÖ Ø¹ ØÙ ÑÙÙØ Ñ ÔÓØ Ò ¹ ÐÓ Ö ØÑ ÙÒ Ø Ó Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ó Ø Ø Ó ØÓ ØÙÚ Ø ÝØ ØÒº ÂÓ a m n ÓÚ Ø Ö Ð ÐÙ Ù a 0 Ò Ò a 0 = 1 a 1 = a a 1 = 1 a (a m ) n = a mn = (a n ) m a m a n = a m+n. ÂÓ ÐÓ Ö ØÑ Ò ÒØ ÐÙÚÙÐÐ ÓÐ Ñ Ö ØÝ Ø Ò Ò ÒØ ÐÙ Ù Ø ØÒ Ñ Ö Ø ÑØغ Æ Ò Ø Ò Ù Ò Ñ Ö ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ò Ñ Ö ÒØ Ò Ý Ø Ý º ÂÓ a b c ÓÚ Ø

6 ÒÓÐÐ ÙÙÖ ÑÔ Ö Ð ÐÙ Ù Ò Ò a = b log b a log1 = 0 log(ab) = loga+logb logb a = alogb a logb = b loga log b a = log ca log c b 1 log b a = log ba 1 = log b a 1 log b a = log a b loglogn = log(logn) log k n = (logn) k. Å Ö ÒØ a Ø Ö Ó ØØ ÙÙÖ ÒØ Ó ÓÒ ÐÙ Ù x ÓÐÐ ÔØ x aº Î Ø Ø a Ø Ö Ó ØØ Ô Ò ÒØ Ó ÓÒ ÐÙ Ù x aº Ë ÙÖ Ú ÙÑÑ ÚÓ Ø ÖÚ Ø Ò ÑÝ ØÓ ØÙÚ Ø n i=1 i = n(n+1) 2 n i=1 i 2 = n(n+1)(2n+1) 6 n 2 i = 2 n+1 1 i=0 n i=0 a i = an+1 1 a 1, Ó a 1 n i=0 ia i = nan+2 (n+1)a n+1 +a (a 1) 2, Ó a 1º

7 Ã Ö ÐÐ ÙÙØØ ½ ̺Àº ÓÖÑ Ò º º Ä Ö ÓÒ ÊºÄº Ê Ú Ø Ò º ËØ Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ Ð ÓÖ Ø Ñ º Ì Ö Ø ÓÒº Ì ÅÁÌ ÈÖ ¾¼¼ º ¾ ˺ Ú Ò Ö Ô Ð ÓÖ Ø Ñ º ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÈÖ ½ º ź̺ ÓÓ Ö Ò Êº Ì Ñ Ð ÓÖ Ø Ñ Òº Ï Ð Ý ¾¼¼½º ʺĺ Ö Ñ º º ÃÒÙØ Ò Çº È Ø Ò ÓÒÖ Ø Å Ø Ñ Ø º ÓÒ¹ Ï Ð Ý ½ º º Â Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ È Ö ÐÐ Ð Ð ÓÖ Ø Ñ º ÓÒ¹Ï Ð Ý ½ ¾º º ÃÐ Ò Ö Ò º Ì Ö Ó Ð ÓÖ Ø Ñ Òº ÓÒ¹Ï Ð Ý ¾¼¼ º ̺ Ä ØÓÒ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ È Ö ÐÐ Ð Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ö Ø ØÙÖ ÖÖ Ý ÌÖ Ò ÀÝÔ ÖÙ º ÅÓÖ Ò ² Ã Ù Ñ ÒÒ ½ ½º ͺ Å Ò Ö ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ø Ú ÔÔÖÓ º ÓÒ¹Ï Ð Ý ½ º ½¼ º Å Ð Û Þ Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ø ËØÖÙØÙÖ ÚÓÐÙØ ÓÒ ÈÖÓ Ö Ñ º ËÔÖ Ò¹ Ö ½ ¾º ½½ ź È ÒØØÓÒ Ò ÂÓ ØÙ Ð ÓÖ ØÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙÙÒ Ò ÐÝ Ó ÒØ Òº ÇØ Ø ØÓ ½ º ½¾ ʺ Ë Û Ò Èº Ð ÓÐ Ø Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ò ÐÝ Ó Ð ÓÖ Ø Ñ º ÓÒ¹Ï Ð Ý ½ º ½ º º ËØÓÖ Ö Ø ÓÑÔÖ ÓÒº Å Ø Ó Ò Ì ÓÖݺ ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÈÖ ½ º

8

9 ÄÙ Ù ¾ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ø Ò Ó Ø Å Ð ÔÝÖ ØÒ Ø ÑÐÐ Ò ÑÖ ØØ ÐÝÒ Ø Ú Ò ÒØÙ Ø Ú Ø ÙÚ Ð Ñ Ò Ð ÓÖ Ø¹ Ñ ÚÓ Ø Ò Ò Ø ÒÓ Ñ Ö ØÓ Ñ ÒØ Ó Ò ÓÙ Ó Ó ÐÐ ÓÒ Ò Ò ÙÖ Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø ½º ÁÐÑ Ø ÚÙÙ º Ð ÓÖ ØÑ ÓÒ ÚÓ Ø Ú ÐÑ Ø ÒØ ÐÐ Ö ÐÐ ÐÐ Ó ØÓÐÐ º ¾º Ð ØØ ÝÝ º ÂÓ Ò Ý ØØ Ò Ó Ò ÓÒ ÓÐØ Ú ÐÐ Ò Ò ØØ ÝÒÒÝ Ö ¹ Ñ Ð ÝÝØØ Ò ÙÓÖ ØÙ Ø Ú Ø º º ËÙÓÖ Ø ØØ ÚÙÙ º ÂÓ Ò Ò Ó ÓÒ ÚÓ Ø Ú ÙÓÖ ØØ Ö ÐÐ Ö ÐÐ Ò ÔÙÚÐ Ò Ò º Ñ Ö ÐÐ Ó ÐÑÓ ÒØ Ð ÐÐ Ö Ó Ø ØÙØ Ó ÐÑ Ø ØÝØØÚØ ÒÑ Ú Ø Ñ٠غ ÌÑÒ ÚÙÓ Ø ØÝ Ð ÓÖ ØÑ Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ó ÐÑÓ ÒØ ÐØ Ò ÐÑ Ù Ð¹ ØØ Ð ÚÐÐ Ô Ù Ó ÓÓ ÐÐ º À ÐÙØØ ØÑ Ô Ù Ó ÓÓ ÚÓ Ø Ò ÒØ ÓÒ ÙÒ Ø ÑÐÐ Ø ÑÖ Ø ÐÐÝÒ Ð ÒÒ Ò Ñ ÐÐ Ò ÑÙ º ÌÐÐ Ñ ÐÐ ÓÚ Ø Ñ Ö ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ê Å Ê Ò ÓÑ Å Ò µº Ð ÓÖ ØÑ ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò Ó Ò Ó Ø Ó Ø Ð ÒØ ÑÖÚØ ÙÓÖ Ø Ø¹ Ø Ú Ò ØÓ Ñ ÒØ ¹ Ð Ò Ý ØØ Ø º ÅÙÙ Ø Ô Ù Ð ÓÖ ØÑ ÓÒ Ô Ø ÖÑ Ò ¹ Ø Ò Òº ÄÙÚÙ Ø Ö Ø ÐØ Ú Ø ØÙÒÒ Ø ØÙØ Ð ÓÖ ØÑ Ø ÓÚ Ø Ô Ø ÖÑ Ò Ø º ÇÑ Ò ÙÙ Ø ½ ¾ ÙÖ ØØ Ö Ð Ð ÓÖ ØÑ ÓÒ Ú Ò ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ ÑÖº ÌÓ ÐØ Ñ Ö ÙÒ Ø Ó Ø ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÐØ ÐÐ Ø ÐÐ Ò ÓÒ ÝÐ ÒÙÑ ÖÓ ¹ ØÙÚ ÑÖº à ÙÒ Ø ÓØ ÚØ ÓÐ Ð ØØ Ú ÓÑÔÙØ Ð µ Ð ÐÐ ÙÒ Ø Ó Ð¹ Ð ÓÐ Ð ÓÖ ØÑ Ó ÑÖ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓØ ÐÐ Ý ØØ Ðк Ë ÑÓ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÔØ ÓÒ ÐÑ ÓÒ ÐÑ Ó Ò Ú Ø Ø Ò ÝÐÐ Ø µ ÓØ ÚØ ÓÐ Ö Ø Ú ÓÐÚ Ð Ð µ Ú Ò Ö Ø Ñ ØØÓÑ ÙÒ ÓÐÚ Ð ÙÒ Ð µº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÖ Ú ÓÒ ÐÑ P 1 ÇÐ ÓÓÒ A Ó Ò Ð ÓÖ ØÑ º ÈÝ ØÝÝ A Ý ØØ ÐÐ x P 2 ÇÐ ÓÓÒ G Ó Ò Ö º ÇÒ Ó G ÚÖ Ø ØØÚ k ÐÐ ÚÖ ÐÐ P 3 ÇÐ ÓÓÒ S ÓÙ Ó Ó ÓÒ ÐÙ Ù º Ø ÓÙ ÓÒ S Ñ Ò º ÇÒ ÐÑ Ò P 1 P 3 Ð ØØÝÚ ØÝÝÔ ÐÐ Ð ÓÖ ØÑ Ø ÓÖ ØØ Ý ÝÑÝ ÓÚ Ø Ñ Ö ÙÖ Ú Ø ÇÒ Ó ÓÐ Ñ Ð ÓÖ ØÑ Ó Ö Ø ÓÒ ÐÑ Ò P È Ð ÓÒ Ó P Ò Ö Ø ¹

10 Ñ Ò ÙÐÙÙ Ø Ð ÙÒ ÝØ ØÒ ÒÒ ØØÙ Ð ÓÖ ØÑ È Ð ÓÒ Ó P Ò Ö Ø ¹ Ñ Ò Ú ÒØÒ ÙÐÙÙ ÇÒ Ó ÒÒ ØØÙ Ð ÓÖ ØÑ Ô Ö Ñ ÓÐÐ Ò Ò Å Ø Ò ¹ Ø Ð Ú Ø ÑÙ Ø Ö ÔÔÙÚ Ø ØÓ Ø Ò ÇÒ ÐÑ P 1 ÓÒ Ö Ø Ñ ØÓÒ ÔØ ÓÒ ÐÑ º ÇÒ ÐÑ ÐÐ P 2 P 3 ÔÙÓÐ Ø Ò ÓÒ Ö Ø¹ Ù Ð ÓÖ ØÑ Øº ÇÒ ÐÑ Ø P 3 Ø ØÒ ÑÝ Ù Ò Ô Ð ÓÒ Ò Ö Ø Ñ Ò Ú ÒØÒ ÙÐÙÙº ÂÓ Ð Ý ØÒ Ð ÓÖ ØÑ ÓÒ Ú Ø ÑÙ ÓÒ ÙÙÖ ØÑÒ Ð Ö Ò ÙÙÖÙ Ò Ò ÓÒ Ð Ý ØØÝ ÓÔØ Ñ Ð Ò Ò Ð ÓÖ ØÑ ÓÒ ÐÑ ÐÐ P 3 º à ÐÐ ÓÒ ÐÑ ÐÐ ØÙÒ¹ Ò Ø Ú Ø ÑÙ Ò Ð Ö Ó º Ñ Ö ÓÒ ÐÑ Ø P 2 Ø Ø ÚÓ Ò Ó Ö Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ º ÇÒ ÐÑ P 2 ÙÙÐÙÙ Ò º ÆȹØÝ ÐÐ Ø Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÐÙÓ ¹ Òº ÇÐ ÓÓÒ P Ó Ò ÓÒ ÐÑ A Ð ÓÖ ØÑ Ó Ö Ø ÓÒ ÐÑ Ò P º ÇÒ ÐÑ ÐÐ P ÓÒ Ù ÑÑ Ø Ò Ö Ó Ó Ø Ô Ù Ò Ø Ò µº Å Ö ØÒ Ø Ô Ù Ò Ó Ó ÐÙÚÙÐÐ nº Ì Ð Ò¹ Ø Ø Ö ÔÔÙ Ò n ÚÓ ÓÐÐ Ñ Ö Ø Ô Ù Ò ØØÑ Ò Ø ÖÚ ØØ Ú Ò ÑÙ Ø Ô Ó Ò Ø ØØ Ò ÐÙ ÙÑÖ Ø Ó Ò ÑÙÙ ÓÔ Ú Ø Ú Ð ØØÙ ÙÙÖ º Ð ÓÖ ØÑ Ò Ú Ø ÑÙ Ñ Ø ØØ ÝØ ØØÚ Ý ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ñ Ö Ú ÖØ ÐÙ Ò ÐÙ ÙÑÖ Ø ØÝÒ ÐÑÙ Ò ÙÓÖ ØÙ ÖØÓ Ò ÑÖ Ð Ó ÐÑ Ò ÙØ Ù ÖØÓ Ò ÑÖ Ø Ò ÐÐÓ Ð Ð ÓÖ ØÑ Ò ÙÓÖ ØØ Ñ Ò ØÓ ÐÐ ÙÙ ÙÐÙÚ º Ð ÓÖ ØÑ Ò A Ò ÐÝÝ Ò Ø Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ ÐÚ ØØ Ù Ò Ô Ð ÓÒ A ÐÙÚÙÒ n ÙÒ ¹ Ø ÓÒ µ Ø ÖÚ Ø Ø Ð Ô ÑÑ ÑÖ Ô Ö Ø Ô Ù º Í Ò ØÝÝ ÝØÒ Ó Ø Ñ Ò ÝÑÔØÓÓØØ ÝÐÖ ¹ ÖÚ Ó Ø ÓØ ÐÑ Ú Ø Ñ Ø Ò ¹ Ø Ø Ð Ú Ø ÑÙ ÝØØÝØÝÝ ÙÒ n Ú Ö ØØ º ¾º½º ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ñ Ö ÒØØ Ú Ø Ð ÓÖ ØÑ Ò ¹ Ø Ð Ú Ø ÑÙ Ø Ò Ø Ö Ð Ñ Ò Ò ÓÒ Ù Ò Ú º Ð Ò Ö ØØ ØØ Ø ØÒ ÚÙÒ ØÝÝÔÔ º ÌØ Ú ÖØ Ò ÑÖ Ø ÐÐÒ ÓÐÑ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ñ Ö Òع Ø Ô Ó Ø Ö Ó ÖØÓ Ñ ÙÓÑ Ó º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó Ø f : N R + g : N R + º ÌÐÐ Ò ÑÖ Ø ÐÐÒ f ÓÒ O(g) Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ø ÔÓ Ø Ú Ø Ú ÓØ c n 0 ØØ f(n) cg(n) ÙÒ n n 0 f ÓÒ Ω(g) Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ø ÔÓ Ø Ú Ø Ú ÓØ c n 0 ØØ f(n) cg(n) ÙÒ n n 0 f ÓÒ Θ(g) Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ø ÔÓ Ø Ú Ø Ú ÓØ c 1 c 2 n 0 ØØ c 1 g(n) f(n) c 2 g(n) ÙÒ n n 0 º

11 Ð Ò Ø ÖÚ Ø Ò Ñ Ö ÒØ O(g) ÓØ ÝØ ØÒ Ó Ù ÐÐÓ Ò Ò ÙÒ ÑÝ Θ(g) ÓÔ º Ð Ø Ô Ù ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ò Ñ Ö ÒØ Ò Ý Ø Ý Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó ¹ Ò ÖÚÓ Ò Ø ÖÚÓ º ÃÙÒ Ù Ø Ò Ò ÑÖ Ø ÐØ Ò ØØ ÙÒ Ø ÓØ f g ÚÓ Ú Ø Ú Ò ÔÓ Ø Ú ÖÚÓ Ø ÖÚÓÑ Ö Ø ÖÚ Ø º ÃÙÒ f g ÐÑ Ú Ø Ð ÓÖ ØÑ Ò Ö ÙÖ Ú Ø ÑÙ ÓÒ ÓÐ ØÙ Ò Ò ÖÚÓ Ò ÔÓ Ø Ú ÙÙ Ø ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Òº ÐÐ Ñ Ö ØØ Ò f ÓÒO(g) Ù Ò Ñ Ö ØÒ ÑÝ f = O(g)º Ì Ù Ø Ò Ò ÓÐ Ý Ø Ú ÒÓÑ Ø Ý Ø ÙÙÖÙÙ Ø Ñ ÓÒ ÝÝØ ÙÓÑ Ó Ø ÐØ O¹Ñ Ö Ò¹ Ø ÐØÚ Ð Ù Ø º Ë Ñ ÔØ Ø Ø Ò Ò ÑÝ Ω¹ Θ¹Ñ Ö ÒÒ ÐÐ º Ì Ö Ò ÓØØ Ò ÝÐÐ ÑÖ Ø ÐÐÝØ ÓÐÑ Ñ Ö ÒØØ Ô ÑÖ ØØ Ð ÚØ Ù Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÓÙ Ó º Ñ Ö Ñ Ö ÒÒÐÐ O(n 2 ) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÓÙ Ó Ó ÓÒ ÙÙÐÙÚ Ø Ò ÙÒ Ø ÓØ Ó ÐÐ ÚÓ Ò Ú Ð Ø ÝÐÐ ÓÐ Ú Ø ÓØ ØÝØØÚØ Ú ÓØ c n 0 ÙÒ g(n) = n 2 º Ä Ù 2n 3 +4n 2 +n 3 = 2n 3 +O(n 2 ) O¹Ñ Ö ÒØ ØÙÐ Ø Ò Ò Ò ØØ O(n 2 ) ÚÓ Ø Ò Ø ÖÚ ØØ ÓÖÚ Ø ÓÐÐ Ò Óº ÓÙ ÓÓÒ ÙÙÐÙÚ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÑÙØØ Ø Ý Ø Ý ÓÐÐ ÒÒÓ ØÙÒ Ø Ñ Ò Ñ ÒÓÑ Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÓÐ º O¹Ñ Ö ÒÒÐÐ ÔØ ÚØ Ñ Ö ÒÒ Ø f(n) = O(f(n)) co(f(n)) = O(f(n)) = O(cf(n)) ÙÒ c ÓÒ Ú Ó O(f(n))+O(f(n)) = O(f(n)) O(O(f(n))) = O(f(n)) O(f(n))O(g(n)) = O(f(n)g(n)) O(f(n)g(n)) = f(n)o(g(n))º ÂÓ Ù Ö ÐÐ ÙÙ ÝØ ØÒ Ô Ù¹o Ø Ø Ö Ó ØØ Ñ Ò ¹Ø Ù O Ø ÙÖ ¹ Ú Ø f ÓÒ o(g) Ó ÐÐ Ú Ó ÐÐ c > 0 ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ú Ó n 0 ØØ f(n) < cg(n) ÙÒ n n 0 º Ñ Ö 2n ÓÒ o(n 2 ) ÑÙØØ 2n 2 ÓÐ o(n 2 )º Î Ø Ú Ø ÑÖ Ø ÐÐÒ ω Ø Ö Ó ØØ ¹ Ñ Ò ¹Ø Ù Ω º ÄÓ Ö ØÑ Ò ÒØ ÐÙÚÙÐÐ O¹Ñ Ö ÒÒÒ Ý Ø Ý ÝÐ Ò ÓÐ Ñ Ö ØÝ Ø ÙÒ Ò ÒØ ÐÙ Ù ÓÒ Ý Ø ÙÙÖ ÑÔ Ú Óº ÌÑ Ó ØÙÙ Ø ØØ ÒØ ÐÙÚÙÒ ÑÙÙÒÒÓ Ú Ø Ú ÓÐÐ ÖØÓÑ Ø º Ø Ô Ò ÑÔ Ò ¹Ú Ó Ø Ò ÒØ ÐÙ Ù Ò Ð ÑÝ Ò ÔÓÒ ÒØ ÓÐ Ú ÐÓ Ö ØÑ Ò ÒØ ÐÙ Ù ÚÓ Ù Ø Ò Ò ÓÖÚ Ø ØÓ ÐÐ º

12 ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ñ Ö ÒØØ Ú Ø Ð ØØÝÚØ Ð Ø Ö ¹ ÖÚÓÒ ØØ Òº ÎÓ Ò ¹ Ñ Ö ØÓ Ø ØØ Ó f(n) lim n g(n) = a, ÙÒ a ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ù Ò Ò f(n) ÓÒ Θ(g)º Î Ø Ú Ø ÙÒ Ò Ò f(n) ÓÒ o(g(n)) ÙÒ Ò Ò f(n) ÓÒ ω(g(n))º f(n) lim n g(n) = 0, f(n) lim n g(n) =, Ñ Ö ¾º½ ÇÐ ÓÓÒ f(n) = a m n m + a m 1 n m a 1 n+a 0 º ÈÓÐÝÒÓÑ f(n) ÓÒ O(n m ) ÐÐ ÙÒ n 1 ÚÓ Ò Ö Ó ØØ f(n) a m n m + a m 1 n m a 1 n+ a 0 = ( a m + a m 1 /n+...+ a 1 /n m 1 + a 0 /n m )n m ( a m + a m a 1 + a 0 )n m. ÐÐ ÓÐ Ú Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ Ò ÑÑ Ò Ó Ò Ú ÓØ ÚÓ Ò ÒÝØ Ú Ð Ø ÙÖ Ú Ø n 0 = 1º c = a m + a m a 1 + a 0 Ì Ú ÐÐ Ö ÙÖ Ú Ø ÑÙ ÒØÝÚ ÙÒ Ø Ó Ò ÚÙÚ Ù Ø ÓÚ Ø Ñ Ö ÙÖ Ú Ø O(1) Ú Ó Ð Ý ØØ Ò Ó Ó Ú ÙØ Ö ÙÖ Ø ÖÔ Ò O(logn) ÐÓ Ö ØÑ Ò Ò ØÐÐ Ò Ý Ø ØØ ÚÓ ÐÙ Ó ÓÒ Òµ O(n) Ð Ò Ö Ò Ò O(nlogn) Ñ Ö ÑÓÒ Ø Ð ØØ ÐÙ Ð ÓÖ ØÑ Øµ O(n 2 ) Ò Ð ÐÐ Ò Ò ÕÙ Ö Ø µ O(n 3 ) ÙÙØ ÓÐÐ Ò Ò Ù µ ÝØÒÒ ÐÐ Ò Ò Ò Ô Ò ÐÐ n Ò ÖÚÓ ÐÐ O(2 n ) ÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ò O(n!)º Î ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ú Ø ÑÙ Ø Ò ÝÐÖ Ø ÓÚ Ø Ò Ù Ò ØÖ ÑÑØ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ú ÖØ ÐÙÔ ÖÙ Ø Ø Ò Ò ÓÒ ÝÝØ ÓØØ ÙÓÑ ÓÓÒ ØØ ½¼

13 Ó Ò Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò Ô ÑÑ Ø Ø Ô Ù Ø ÒØÝÚØ ÝØÒÒ Ò Ø Ð ÒØ Ò Ò Ö¹ ÚÓ Ò ØØ ÚÓ Ò ØÓ Ñ ÑÖ Ø Ò Ú Ø ÑÙ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ó Ð ÓÖ ØÑ ØÙÐÐ Ò ÝØØÑÒ ÖÚÓ Ò ÓÒ Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò ÐÔÔÓÙ ØÖ Ô Ò ÐÐ n Ò ÖÚÓ ÐÐ ÚÓ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ó Ð ÓÖ ØÑ ØÓ Ñ Ó Ø ÒÓÔ Ð ÓÖ ØÑ ÚÓ Ø ÖÚ Ø Ò ÑÑÒ Ø Ð Ù Ò Ø ÑÔ Ð ÓÖ ØÑ ÒÙÑ Ö Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò Ø Ö ÙÙ Ø Ð ÙÙ ÓÚ Ø Ý Ø ØÖ Ø Ù Ò ÒÓÔ Ù º ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ò ÝÐÖ Ó Ò ÝØØ Ò Ð ØØÝÝ Ð ØÙ ØØ ØÙÐÓ Ø ÓÚ Ø Ö ÔÔÙ¹ Ñ ØØÓÑ ØÓØ ÙØÙ Ø ÐÐ Ö ÙÖ Ø ÖÚ ÐÑ Ø Ò ÓÒ ÙÒ Ø Ô Ù Ò Ð ØØÝÚÒ ÙÙÖ Ò ÚÙÐÐ º ÌÓ ÐØ ÝÑÔØÓÓØØ Ò Ò ØÙÐÓ ÚÐØØÑØØ ÖÖÓ Ñ ØÒ Ð ÓÖ ØÑ Ò ÝØØݹ ØÝÑ Ø ÝØÒÒ Ò Ø Ð ÒØ ÐÐ Ú Ó n 0 ÚÓ ÓÐÐ Ò Ò ÙÙÖ ØØ ÝÐ ØØ ÝØÒÒ Ò Ø Ð ÒØ Ú Ø Ò ØÙÐ Ú Ø ÖÚÓغ ÝÑÔØÓÓØØ ÐÐ ÝÐÖ Ó ÐÐ Ô Ö ÒØ Ú ¹ ØÓ ØÓ Ò ÐÝ Ó ÒØ Ñ Ò Ø ÐÑ ÓÚ Ø ÑÖ Ò Ø Ô Ù Ò Ò ÐÝÝ ÙÓÖ Ø ØØÙ Ò ÓÔ Ö Ø Ó Ò Ø Ö Ò ÐÙ ÙÑÖÒ Ð Ñ Ò Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò Ó ÐÐ Ò Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ º à ÑÖ Ò Ò Ò ÐÝÝ Ø ÖÚ Ø Ø ØÓ Ø ÓÐ ØÙ Ý ØØ Ò ÙÑ Ø ÓÒ Ù Ò Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ô ÑÑ Ò Ø Ô Ù Ò Ò ÐÝÝ ÐÚ Ø Ú Ø Ú ÑÔ º ËÙÓÖ Ø ØØÙ Ò ÓÔ Ö Ø Ó Ò Ø Ö ÖÚÓ ÓÒ Ñ Ð Ø Ð Ñ Ö ÐÐÓ Ò ÙÒ Ú ÖØ ÐÐ Ò Ñ Ò Ø Ö Ó ØÙ Ò Ð ØØÙ ØÓ Ò ÑÙ ØÙØØ Ú Ð ÓÖ ØÑ Ó Ò ØÓ Ñ ÒØ Ô ÖÙ ØÙÙ ÓÒ¹ ÙÒ Ý Ø Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ ØÓ Ø Ñ Òº Ð ÓÖ ØÑ Ò Ó ÐÐ Ø Ò ÐÝÝ ÚÓ Ò ÝØØ Ð ÓÖ ØÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙÒ ÔÙÒ ÐÐ ÝÚ Ò ÙÙÒÒ Ø ÐÐÙØ Ó Ø ÚÓ Ú Ø Ô Ð Ø Ð ÓÖ Ø¹ Ñ Ò ÔÙÐÐÓÒ ÙРغ ÃÓ ÐÐ Ø Ò ÐÝÝ ÚÓ ÝØØ ÑÝ ÐÐÓ Ò ÙÒ ÑÙÙØ ÒÓØ ÓÚ Ø Ð Ò ÑÓÒ ÑÙØ º Ñ Ö ¾º¾ Ì ØÚÒ ÓÒ Ø n¹ Ð Ó Ø Ó ÓÒ ÐÙ ÙØ ÙÐÙ Ó Ø L ÖÚÓ xº ÂÓ x ÓÒ Ø ÙÐÙ Ó Ò Ò Ô Ð ÙØ Ø Ò Ò Ô Ø ÙÐÙ Ó ÑÙÙØÓ Ò Ô Ð ÙØ Ø Ò ÖÚÓ ¼º Ì Ô Ù Ò ÓÓ ÚÓ Ò Ú Ð Ø Ð Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ nº ÃÝØ ØÒ ÙÚ Ò ¾º½ Ð ÓÖ ØÑ º ½µ j := 1 ¾µ Û Ð j nµ Ò L(j) xµ Ó j := j +1 Ó µ j > n Ø Ò j := 0 Ò µ Ö ØÙÖÒ j ÃÙÚ ¾º½ Ø Òغ Ê Ú Ø ½µ µ ÙÓÖ Ø Ø Ò ÖÖ Ò ÑÓÐ ÑÔ Ò ÙÓÖ ØÙ Ò ÙÐÙÙ Ó Ò Ú Ó ¹ º Ð ÓÖ ØÑ Ò Ú Ø ÑÙ Ö ÔÔÙÙ Ö Ú Ò ¾µ ÙÓÖ ØÙ ÖÖÓ Ø º È ÑÑ Ø Ô Ù ¹ ÙÓÖ ØÙ ÖØÓ ÓÒ n Ô Ö Ø Ô Ù ½º à ÑÖ Ò Ò ÙÓÖ ØÙ ÖØÓ Ò ½½

14 ÐÙ ÙÑÖ ÒÝØØ ÓÐ Ú Ò ÒÓ Ò n/2 Ó Ø ÙÖ ÑÖ Ò Ø Ô Ù Ò Ú Ø ¹ ÑÙ O(n)º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÑÖ Ò Ø Ô Ù Ò Ú Ø ÑÙ Ø Ù Ø Ò Ò Ñ Ò Ø Ö ÑÑ Òº Ì Ö Ó ØØ ÓÓÒ q ØÓ ÒÒ ÝÝØØ ØØ x ÓÒ Ø ÙÐÙ Ó L ÓÐ ÓÓÒ I i Ø ¹ Ô Ù Ó x ÓÒ Ø ÙÐÙ ÓÒ Ô iº ÃÙÒ ÓÐ Ø Ø Ò ØØ Ð Ó Ò ÒØ Ø ÙÐÙ Ó ÓÒ Ø Ø ÙØÙÒÙØ ÚÓ Ò Ú ÖØ ÐÙ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÑÖ Ø Ô Ù k Ú Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó k Ú = = q n n p(i i )i+(1 q)(n+1) = i=1 n i=1 n i=1 q n i+(1 q)(n+1) i+(1 q)(n+1) = q n(n+1) +(1 q)(n+1) n 2 = q(n+1) +(1 q)(n+1) 2 = ( 1 2) q (n+1). ÂÓ Ø ØÒ ØØ x ÓÒ Ø ÙÐÙ Ó Ø º q = 1µ Ò Ò k Ú = (n+1)/2º ÂÓ Ø Ñ Ö q = 1/2 Ò Ò k Ú = 3(n+1)/4. Ç ÐÑ Ò Ó Ò Ú Ø ÑÙ ÐÐ ÔØ ÚØ ÝÐ Ò ÙÖ Ú Ø Ý Ò ÖØ Ø ÒÝÖ Ò¹ Ò Ø Ó ØÙ ¹ ØÙÐÓ ØÙ ÝØ ÚÓ Ò ÙÓÖ ØØ Ú Ó ØÓÐ Ù Ò Ú Ø ÑÙ ÓÒ ÓÒ Ø ÑÑ Ò Ö Ò Ú Ø ÑÙ Ø Ò ÙÑÑ ÐÑÙ Ò Ú Ø ÑÙ ÓÒ ÙÓÖ ØÙ ÖØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÖØ ÐÓÔ ØÙ ÓÒ Ø Ø Ù ¹ Ò ÐÑÙ Ò ÖÙÒ ÓÒ Ú Ø ÑÙ Ø Ò ÙÑÑ º ÂÓ Ó ØÙ Ý Ø Ú Ô Ý Ø ÒÐ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÓÖ Ø ØØ Ú Ò Ú Ó Ö ÔÔÙ¹ Ñ ØØ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ò ÓÐ Ú Ò ÐÙ Ù Ò ÙÙÖÙÙ Ø Ò Ò ØØÑ Ò Ø ÖÚ ØØ Ú Ò ØØ Ò ÐÙ ÙÑÖ Øµ ÝØ ØÒ Ò Ò ÒÓØØÙ Ý Ù Ø ÒÒÙ Ø ÙÒ Ø Ó Øµº Æ Ò Ø ¹ Ò Ø ØÝ º Ì Ö ÑÔ ØÙÐÓ Ø Ò Ò º ÐÓ Ö ØÑ ÐÐ Ù Ø ÒÒÙ Ô Ö Ø¹ Ø ÐÐ Ó Ó ÓÔ Ö Ø Ó ÙÓÑ Ó Ò Ù Ò Ô Ð ÓÒ ØØ ÓÒ Ø ÐØÚ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ØÓØ ÙØØ Ñ º ÄÓ Ö ØÑ Ò Ò Ù Ø ÒÒÙ Ô Ö Ø Ø ÐÐ Ø ÒÓØ Ó Ø ÓÒ ØÖÙ Ø ÓØ Ó Ö ÒØ Ø ÓÓ Ø Ò ÝÚ Ò ÙÙÖ ÐÙÚÙ Ó Ø ØØ Ò Ø Ð¹ ÐÒ Ñ Ö Ö ØÑ ØØ ÐÐ ÓÔ Ö Ø Ó ÐÐ º ¾º¾º Ö Ò Ý ØÐ Ò Ö Ø Ñ Ø Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÚ ¾º¾ Ø ØØÝ ÐÓÑ ØÙ Ð ØØ ÐÙ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÙÒ Ø Ó Ñ Ö L 1,L 2 µ ÐÓÑ ØØ Ð Ø ÐÐÙØ Ð Ø Ø L 1 L 2 Ý Ð Ø ÐÐÙ Ð Ø O( L 1 + L 2 )º Å Ö¹ ÒØ L Ø Ö Ó ØØ Ð Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ Ð Ø Lºµ ½¾

15 ÈÖÓ ÙÖ ÓÖØ i,jµ ½µ i = j Ø Ò Ö ØÙÖÒ x i ¾µ Ð µ m := (i+j 1)/2; µ Ö ØÙÖÒ Ñ Ö ( ÓÖØ i,mµ ÓÖØ m+1,j) ) µ Ò ÃÙÚ ¾º¾ ÄÓÑ ØÙ Ð ØØ ÐÙº Ä Ø Ò Ð ÙÔ Ö Ò Ò ÐØ Ú ÙØ Ñ Ö ¹ ÙØ Ù Ò ÐÙ ÙÑÖÒ ÓØ Ò Ú Ø ¹ ÑÙ Ø Ô ÑÑ ÑÖ Ô Ö Ø Ô Ù ÓÚ Ø Ñ ÙÙÖÙÙ ÐÙÓ ¹ º Ú Ø ÑÙ T(n) ÚÓ Ò ØØ Ö Ò Ý ØÐ Ò { c 1, ÙÒ n = 1 T(n) 2T(n/2)+c 2 n, ÙÒ n > 1. Ö Ò Ý ØÐ Ò Ó T(1) c 1 ÒÓØ Ò Ö ÙÒ Ó º Ð ÑÑ Ó 2T(n/2) ÐÑÓ ØØ Ö ÙÖ Ú Ò ÙØ Ù Ò ÙÐÙÚ Ò Ò c 2 n Ò ÑÙÙ ÙÒ Ð ÒØ Ò Ú Ö¹ Ø ÐÙØ Ð Ø Ò Ñ Ò Ò Ý ØÑ Ò Òµ ÙÐÙÚ Ò Òº ÃÙÒ ÓÐ Ø Ø Ò ØØ n ÓÒ Ó Ò ÔÓØ Ò Ò Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ó Ñ Ò Ø Ò º ÅÝ ¹ ÑÑ Ò ÙÓÑ Ø Ò ØØ ØÑ ÓÐ ØÙ ÐÓÙ Ø Ö Ø ÐÙÒ ÝÐ ÝÝØغ Ì ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ØØ T(n) ÙÐ ØÙ ÑÙÓ Ó Ð n Ò Ú Ó Ò ÚÙÐÐ º Ò¹ ÖØ Ò Ò Ø Ô Ö Ò Ý ØÐ Ò Ö Ø Ñ ÓÒ ÖÚ Ø Ó Ö Ø Ù Ò Ð Ò Ú ÖÑ ØÙ ÖÚ Ù Ò Ó ÐÐ ÙÙ Ø º Ö Ò Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù ÖÚ Ù Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÐÐ Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ Ð ÝÐ Ò ÐÐ ØØ Ð Ø Ò Ö Ø Ù Ó ÐÐ Ò Ô Ò ÐÐ Ø Ô Ù ÐÐ ÔÝÖ ØÒ ÔØØ Ð ÑÒ Ö Ø ÙÒ ÝÐ Ò Ò ÑÙÓØÓº ÖÚ ØÙÒ Ö Ø ÙÒ Ó ÐÐ ÙÙ Ò ØÓ Ø Ñ Ò ÝØ ØÒ Ø Ú ÐÐ Ø Ò¹ Ù Ø ÓØ º ÖÚ Ø Ò ÒÝØ ØØ T(n) anlogn+b Ó ÐÐ Ò Ú Ó ÐÐ a b ÓØ Ø Ò Ø ØÚ Ó Ó ØØ ÖÚ Ù Ò Ù Ø ÓÒ ÚÙÐÐ Ó º ÃÙÒ n = 1 Ò Ò c 1 a 1 log1+b = bº Î ÓÒ b ÓÒ ÓÐØ Ú Ú ÒØÒ Ý Ø ÙÙÖ Ù Ò c 1 º Ì Ò Ò Ù Ø Ó¹ÓÐ ØÙ T(k) aklogk +b ÙÒ k < n Ú Ø ØÒ ØØ ÎÓ Ò Ö Ó ØØ T(n) anlogn+b. T(n) 2T(n/2)+c 2 n 2(a n 2 log n 2 +b)+c 2n = anlog n 2 +2b+c 2n = an(logn log2)+2b+c 2 n = anlogn an+2b+c 2 n. ÁÒ Ù Ø ÓØÓ ØÙ ÓÐ Ú ÐÑ Ó Ú Ñ Ö Ó Ø ØØÙ Ð Ù ØØ ÚÓ Ø Ò ÖÚ Ó ÝÐ ¹ Ô Ò Ð Ù ÐÐ anlogn+bº ÌÑ ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø Ó Ú Ó a Ú Ð Ø Ò ÓÔ Ú Ø º Ë ÐÚ ¹ Ø ØÒ Ñ ÐÐ Ò Ò ÖÚÓ Ú ÓÐÐ a ÓÒ ÒÒ ØØ Ú º ÔÝ ØÐ anlogn an+2b+c 2 n anlogn+b ½

16 ÓÒ ÚÓ Ñ Ó an+b+c 2 n 0 Ð a c 2 +b/n. ÃÓ ÓÐ Ø ØØ Ò ØØ n > 1 Ò Ò ÚÓ Ò Ú Ð Ø a c 2 + b. ÂÓ Ú Ð Ø Ò b = c 1 a = c 1 +c 2 Ò Ò ÓÒ ÚÓ Ñ T(n) (c 1 +c 2 )nlogn+c 1 Ð ÐÓÑ ØÙ Ð ØØ ÐÙÒ Ú Ø ÑÙ ÓÒ O(nlogn). Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÖ Ú Ò Ñ Ö Ò Ô Ð ØØ ÐÙÒ ÕÙ ÓÖص ÑÖ Ø ¹ Ú Ø ÑÙ Ø º È Ð ØØ ÐÙ Ò Ð Ø ÐÐ Ò Ø ÙÐÙ Ó A[1...j] ÙÖ Ú Ø ½º Î Ð Ø Ò Ó Ð Ó Ó Ò Ð Ø ÐØ Ú Ø ÐÙÚÙ Ø º ¾º ÂÖ Ø ØÒ Ø ÙÐÙ Ó Ò Ò ØØ Ó Ø ÙÐÙ Ó A[1...k 1] ÐØ Ó Ð ÓØ Ô ¹ Ò ÑÑØ A[k...j] Ø ÙÙÖ ÑÑ Ø Ø Ý Ø ÙÙÖ Ø Ð Óغ º Â Ø Ø Ò Ö ÙÖ Ú Ø Ó Ø ÙÐÙ Ó Ø A[1...k 1] A[k...j]. Â Ó Ó Ò A[1...k 1] A[k...j] ÚÓ Ò Ø ÙÒ Ø ÓÐÐ Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó Ø ØÒ ÙÚ ¾º º ÃÙØ ÙÒ Ô ÖØ Ø ÓÒ i,jµ Ú Ø ÑÙ ÓÒ O(j i 1). ÙÒØ ÓÒ Ô ÖØ Ø ÓÒ i,j ÒØ Ö Ô ÚÓØ Ð Óµ ÒØ Ö l,r ÒØ Ö ½µ l := i r := j ¾µ Ö Ô Ø µ Û Ô A[l],A[r]µ µ Û Ð A[l].alkio < Ô ÚÓØ Ó l := l+1 Ó µ Û Ð A[r].alkio Ô ÚÓØ Ó r := r 1 Ó µ ÙÒØ Ð l > r µ Ö ØÙÖÒ l ÃÙÚ ¾º Ä Ø Ò Ó ØÙ º Â Ó Ð Ó ÚÓ Ò Ú Ð Ø ÑÓÒ ÐÐ Ö Ø Ú ÐÐ ÓÐ Ø Ø Ò ÝØ ØØÚÒ ÐÐ Ø Ñ Ò ØØ ÐÝ ØØ Ø ØÒ Ø ÙÐÙ ÓÒ ÐÙ Ø Ö ÙÙÖØ Ð ÓØ Ú Ð Ø Ò Ò Ø ÙÙÖ ÑÔ º ÂÓ Ð ¹ Ø ÐØ Ú ÐÙ Ù ÓÒ Ú ÑÑÒ Ù Ò Ò Ò Ò Ô ÚÓØ Ô Ð ÙØØ ÖÚÓÒ ÒÓÐÐ º ÃÙÚ Ò ¾º ÕÙ ÓÖع Ð Ó ÐÑ ÓÐ Ø Ø Ò Ò Ô ÚÓع ÙÒ Ø ÓÒ Ô Ð ÙØØ Ú Ò Ò Ò Ú Ð ØÙÒ Ó Ð ÓÒº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ñ Ò ÖÚÓ ÒÒÝ Ø ÙÐÙ Ó Ý Ø ÖØ Ù ÑÑ Ò ØØ Ð Ù Ö ØÝ Ø ÓÚ Ø Ý Ø ØÓ ÒÒ º ÃÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØ p(i) Ø ØÓ ÒÒ Ýݹ Ø ØØ Ô ÖØ Ø ÓÒ 1,nµ ØÙÓØØ Ó Ø ÙÐÙ ÓØ Ó Ò ÓÓØ ÓÚ Ø i n i Ð ÓØ º ÌÐÐ Ø ÓØ Ò ÙÒ Ó Ð Ó ÓÒ ÙÙÖÙÙ Ö ØÝ (i + 1)º Ð Ø ÐØ Ú Ø ÐÙÚÙ Ø º ÌÓ¹ ÒÒ ÝÝ ÐÐ ØØ ÙÙÖÙÙ ÐØ Ò (i+1)º ÐÙ Ù ÓÒ Ø ÙÐÙ ÓÒ Ô ½ ÓÒ 1 º ÂÓØØ n ØÙÐ Ú Ð ØÙ Ó Ð Ó ÓÒ Ø ÙÐÙ ÓÒ ØÓ Ô ÓÐØ Ú Ø Ô Ò ÑÔ ÐÙ Ùº ÌÑÒ Ø Ô ØÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ i º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ ØØ Ø ÙÐÙ ÓÒ Ò Ñ¹ n 1 Ñ Ô ÓÒ Ð Ø ÐØ Ú Ø ÐÙÚÙ Ø ÙÙÖÙÙ ÐØ Ò (i+1)º ÐÙ Ù ØØ Ø ØÙÐ ½

17 ÈÖÓ ÙÖ ÕÙ ÓÖØ i,j ÒØ Öµ Ô ÚÓØ Ð Ó Ô ÚÓØ Ò Ü ÒØ Ö ± Ó Ð ÓÒ Ò ½µ Ô ÚÓØ Ò Ü Ò Ô ÚÓØ i,jµ ¾µ Ô ÚÓØ Ò Ü 0 Ø Ò µ Ô ÚÓØ := A[Ô ÚÓØ Ò Ü]. Ð Ó µ k := Ô ÖØ Ø ÓÒ i,j,ô ÚÓص µ ÕÙ ÓÖØ i,k 1µ µ ÕÙ ÓÖØ k,jµ µ Ò ÃÙÚ ¾º È Ð ØØ ÐÙº Ó Ð Ó ÓÒ 1 i º ÌÓ Ò Ò Ñ ÓÐÐ ÙÙ ÓÒ ØØ ÙÙÖÙÙ ÐØ Ò (i+1)º ÐÙ Ù ÓÒ Ø ÙÐÙ ÓÒ n n 1 Ô ¾ Ô ½ ÓÒ Ø Ô Ò ÑÔ ÐÙ Ùº ÌÑÒ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ i º ÎÓ Ò Ö Ó ØØ ÓÒ 1 n n 1 Ð p(i) = 1 i nn 1 + i 1 nn 1 = 2i n(n 1). à ÑÖ ÐÐ ÐÐ Ò Ö Ò Ý ØÐ { c 1, ÙÒ n = 1 T(n) = n 1 i=1 p(i)[t(i)+t(n i)]+c 2n, ÙÒ n > 1 T(n) = { c 1, n 1 i=1 ÙÒ n = 1 2i [T(i)+T(n i)]+c n(n 1) 2n, ÙÒ n > 1º ÅÙÓ Ñ ÐÐ Ö Ò Ý ØÐ Ñ Ò Ø ÒÔ Ò Ø ÑÐÐ ØØ Ò ÖÚ Ù ÚÓ Ø Ò ØÓ Ø ÙÖ Ú Ð Ù ØÓ ØÙ Ò Ý ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òµº Ä Ù ¾º½ ÉÙ ÓÖØ 1,nµ Ú Ø ÑÖ Ò Ò O(nlogn)º ¾º¾º½º Ö Ò Ý ØÐ Ò ÔÙÖ Ñ Ò Ò Ê Ø Ø Ò ÙÙ ÐÐ Ò ÐÓÑ ØÙ Ð ØØ ÐÙÒ Ú Ø ÑÙ Ø ÙÚ Ú Ö Ò Ý ØÐ º ÆÝØ ÓÐ ¹ Ø Ø Ò ØØ n ÓÒ ÑÙÓØÓ 2 k º ËÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ ØÓ ØÙÚ Ø ÒÒ ØØÙ Ý ØÐ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÌÓ Ø Ñ ÐÐ ØØ i ÖØ Ò T(n) 2T(n/2)+c 2 n 2(2T(n/4)+c 2 n/2)+c 2 n 2 ( 2(2T(n/8)+c 2 n/4)+c 2 n/2 ) +c 2 n... T(n) 2 i T(n/(2 i ))+ic 2 n. ½

18 ÃÓ n = 2 k Ò Ö ØÝ Ø T(n) 2 k T(1)+kc 2 n c 1 n+c 2 nlogn Ð T(n) ÓÒ O(nlogn)º ÐÐ ÓÐ Ú Ö Ø Ù ÓÐ Ø Ø Ò ØØ n = 2 k º ÌÑ ÓÐ ØÙ ÐÓÙ Ø Ö Ø ÐÙÒ ÝÐ ÝÝØغ ÂÓ Ò Ñ ØØ Ò ÓÐ Ø Ø Ò ØØ T(n) ÓÒ Ú Ú ÙÒ Ø Ó ÙØ Ò Ö ÙÖ Ú Ø ÑÙ ¹ Ø Ò Ó ÐÐ Ó Ò Ò Ò ÓÒ ÒÐ Ø µ Ò Ò ÚÓ Ò ÔØ ÐÐ ÙÖ Ú Ø º ÂÓ n ÓÐ Ó Ò ÔÓØ Ò Ò Ò ÓÒ Ó Ò Ò Ó Ò ÔÓØ Ò Ò ÚÐ 2 k 1 < n < 2 k º ÙÒ ¹ Ø ÓÒ T Ú ÚÙÙ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÓÒ ØÐÐ Ò T(2 k 1 ) T(n) T(2 k )º ÐÐ ØÓ Ø ØØ Ò ØØ T(2 k ) c2 k log2 k ÓÐÐ Ò Ú ÓÐÐ cº ÆÝØ ÔØ Ó Ò ÔÓØ Ò Ò ÚÐ ÓÐ Ú ÐÐ n ÐÐ T(n) c2 k log2 k c(2n)log(2n) = 2cnlogn+2cnº ÎÓ Ò Ú Ð Ø ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ú ÓØ ÑÝ n ÐÐ Ð ÔØ T(n) = O(nlogn)º ÃÓ Ñ ÒÐ Ò Ò ÔØØ ÐÝ ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ò Ò ÝÐ Ø Ò ÚÓ Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÓÓÒ ÓÐ ØØ ÓÐ Ú Ò ÓÔ Ú ÑÙÓØÓ º Ñ Ö ¾º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ö Ò Ý ØÐ { 1, ÙÒ n = 2 T(n) = 2T(n/2)+2, ÙÒ n = 2 k n > 2. ËÓÚ ÐÐ Ø Ò ØÓ ØÙÚ Ø ÒÒ ØØÙ Ý ØÐ º Ë Ò T(n) = 2T(n/2)+2 = 2(2T(n/4)+2)+2 = 4T(n/4)+4+2 = 4(2T(n/8)+2)+4+2 = 8T(n/8) =... i = 2 i T(n/2 i )+ 2 j. j=1 ÃÓ Ö ÙÒ ØÓ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÖÚÓÐÐ n = 2 ÚÓ Ò ÔÙÖ Ñ Ø ØÓ Ø k 1 ÖØ º Ë Ò k 1 T(n) = 2 k 1 T(n/2 k 1 )+ 2 j = 2 k 1 T(2)+2 k 2 j=1 = 2 k 1 +2 k 2 = 2 k /2+2 k 2 = 2 logn /2+2 logn 2 = n/2+n 2 = 3n/2 2. Ñ Ö ¾º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ö Ò Ý ØÐ { 1, ÙÒ n = 1 T(n) = 2T(n/2)+logn, ÙÒ n = 2 k n > 1. ËÓÚ ÐÐ Ø Ò Ø ØÓ ØÙÚ Ø ÒÒ ØØÙ Ý ØÐ º Ë Ò T(n) = 2T(n/2)+logn = 2(2T(n/4)+log(n/2))+logn = 4T(n/4)+2log(n/2)+logn = 4(2T(n/8)+log(n/4))+2log(n/2)+logn = 8T(n/8)+4log(n/4)+2log(n/2)+logn =... i 1 = 2 i T(n/2 i )+ 2 j log(n/2 j ). j=0 ½

19 ÃÙÒ i = k = logn Ò k 1 k 1 T(n) = 2 k T(n/2 k )+ 2 j log(n/2 j ) = n+ 2 j log2 k j j=0 j=0 k 1 k 1 k 1 = n+ 2 j (k j) = n+k 2 j j j=0 j=0 j=0 = n+k(2 k 1) ((k 1)2 k+1 k2 k +2) = n+k2 k k k2 k+1 +2 k+1 +k2 k 2 = n+k2 k+1 k k2 k+1 +2 k+1 2 = 2 k+1 k 2+n = 2n logn+n 2 = 3n logn 2. 2 j Ñ Ö ¾º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ö Ò Ý ØÐ { 1, ÙÒ n = 1 T(n) = 3T(n/2)+n 2 n, ÙÒ n = 2 k n > 1. ËÓÚ ÐÐ Ø Ò ØÓ ØÙÚ Ø ÒÒ ØØÙ Ý ØÐ º Ë Ò T(n) = 3T(n/2)+n 2 n = 3(3T(n/4)+n 2 /4 n/2)+n 2 n = 9T(n/4)+3(n 2 /4 n/2)+(n 2 n) = 9(3T(n/8)+n 2 /16 n/4)+3(n 2 /4 n/2)+(n 2 n) = 27T(n/8)+9(n 2 /16 n/4)+3(n 2 /4 n/2)+(n 2 n) =... i 1 i 1 = 3 i T(n/2 i )+n 2 (3/4) j n (3/2) j. j=0 j=0 ÅÙÓ Ø Ò Ò Ò Ø Ð ÑÑ Ø Ý Ø ÒÐ ØØ Ú n 2 i 1 j=0 (3/4) j = n 2(3/4)i 1 3/4 1 = 4n2 ((3/4) i 1) i 1 n (3/2) j = 2n((3/2) i 1). j=0 Æ Ò ÚÙÐÐ T(n) ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó T(n) = 3 i T(n/2 i )+4n 2 4n 2 (3/4) i +2n 2n(3/2) i. Î Ð Ø Ò Ø i = lognº ÌÐÐ Ò Ò ½

20 T(n) = 3 logn +4n 2 4n 2 (3/4) logn +2n 2n(3/2) logn = n log3 +4n 2 +2n 4n 2nlog3 n = n log3 +4n 2 +2n 4n log3 2n log3 = 4n 2 +2n 5n log3. 2nnlog3 log4 n log2 ¾º¾º¾º ÖÒ Ý ØÐ ÐÙÓ Ò ÝÐ Ò Ò Ö Ø Ù Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ö Ò Ý ØÐ { T(n) = 1, ÙÒ n = 1 at(n/b)+d(n), ÙÒ n > 1, ÙÒ a b ÓÚ Ø Ú Ó Ø d Ó Ò ÙÒ Ø Óº ÇØ Ø Ò Ø ØÚ ØÓ Ø ØØ Ø Ö Ø ÐØ Ú ÑÙÓØÓ ÓÐ Ú Ò Ý ØÐ Ò Ö Ø ÙÐÐ ÓÒ ØÝ k 1 T(n) = a k + a j d(b k j ), ÙÒ n = b k. j=0 Ì ÖÑ a k ÒÓØ Ò Ö Ø ÙÒ ÓÑÓ Ò Ó ÙÑÑ Ð Ù ØØ Ô ÓÑÓ Ò ¹ Ó º ËÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ Ö Ò Ý ØÐ Ò ÔÙÖ Ñ Ñ Ò ØØ ÐÝ Ò ( n ( ( n ) ( n T(n) = at +d(n) = a at +d +d(n) ( b) b b)) 2 n ) ( n ( ( n ) ( n )) ( n = a 2 T +ad = a b b)+d(n) 2 at +d +ad +d(n) ( 2 b 3 b b) 2 n ) ( n ) ( n = a 3 T +a 2 d +ad +d(n) =... b 3 b b) 2 ( n ) i 1 = a i T + b i j=0 ( n ) a j d. b j ÀÙÓÑ Ó Ñ ÐÐ ØØ n = b k ÚÓ Ò Ú Ñ Ò Ò Ð Ù Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó k 1 a k + a j d(b k j ), ÙÒ n = b k. j=0 ÙÒ Ø ÓØ d ÒÓØ Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ó d(nm) = d(n)d(m). Ñ Ö ÙÒ Ø Ó d 1 (n) = n α ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò ÐÐ (nm) α = (n) α (m) α º Ë Ò Ò ÙÒ Ø Ó d 2 (n) = logn ÓÐ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Ò ÐÐ d 2 (nm) = lognm lognlogm = d 2 (n)d 2 (m)º ÐÐ ØÙ ØÙÐÓ ÚÓ Ò Ú Ð Ö Ó ØØ Ý Ò ÖØ ÑÔ Ò ÑÙÓØÓÓÒ Ó Ø ØÒ ØØ d ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Ò ÙÒ Ø Óº ÌÐÐ Ò ÓÒ ÚÓ Ñ ( ) j a = d(b) k k 1 k 1 a j d(b k j ) = d(b) k j=0 j=0 ( a d(b) ½ d(b)) k 1 a 1 = d(b) ak d(b)k a 1, d(b)

21 ÙÒ a d(b)º ÌÑÒ ØÝ Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ØÓ Ø ÙÖ Ú ÝØØ ÐÔÓ Ò Ò Ð Ù º Ä Ù ¾º¾ ÇÐ ÓÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ý ØÐ { 1, ÙÒ n = 1 T(n) = at(n/b)+d(n), ÙÒ n > 1 ÙÒ a b ÓÚ Ø Ú Ó Ø º ÌÐÐ Ò O ( n log a) b, Ó a > d(b) T(n) = O ( n log d(b)) b, Ó a < d(b) O ( n log b d(b) log b n ), Ó a = d(b)º ÌÓ ØÙ º ÃÙÒ a > d(b) Ò Ò a k d(b) k a d(b) 1 ÓÒ O(a k )º ÌÐÐ Ò T(n) ÓÒ O(a k ) Ð O(n log b a )º ÃÙÒ a < d(b) Ò Ò a k d(b) k a 1 d(b) ÓÒ O(d(b) k )º ÌÐÐ Ò T(n) ÓÒ O(d(b) k ) Ð O(n log b d(b) )º ÃÙÒ a = d(b) Ò Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø ¹ Ú ÙÙ ÓÐ ØÙ Ò Ð Ø ÔØØ ÐÝ ÚÓ Ø º ÌÐÐ Ò ÚÓ Ò Ù Ø Ò Ò Ö Ó ØØ k 1 j=0 aj d(b k j ) = d(b) k k 1 j=0 1 = d(b)k k = n log b d(b) log b n T(n) ÓÒ O ( n log b d(b) log b n ) º Ñ Ö ¾º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ý ØÐ Ø T(n) = T(n) = T(n) = { { { 1, ÙÒ n = 1 4T(n/2)+n, ÙÒ n > 1 1, ÙÒ n = 1 4T(n/2)+n 2, ÙÒ n > 1 1, ÙÒ n = 1 4T(n/2)+n 3, ÙÒ n > 1. Ã Ý ØÐ ÓÒ a = 4 b = 2 ÓØ Ò Ö Ø ÙÒ ÓÑÓ Ò Ò Ò Ó ÓÒ a log b n = n log b a = n 2 º Ð ÑÑ Ý ØÐ ÓÒ d(b) = 2 < 4 = a ÓØ Ò T(n) = O(n log 2 4 ) = O(n 2 )º Î ¹ Ø Ú Ø ÑÑ Ý ØÐ ÓÒ d(b) = 2 2 = 4 = a T(n) = O(n log 2 4 log 2 n) = O(n 2 logn)º Ð ÑÑ Ý ØÐ ÓÒ ÔÙÓÐ Ø Ò d(b) = 2 3 > 4 = a T(n) = O(n 3 )º Ñ Ö ¾º Ê Ø Ø Ò Ý ØÐ { 1, ÙÒ n = 1 T(n) = 2T(n/2)+nlogn, ÙÒ n > 1. ½

22 Ì Ý ØÐ ÓÒ a = b = 2º ØÐ Ò ÓÑÓ Ò Ò Ò Ó ÓÒ a k = n log b a = n log 2 2 = n. ÙÒ Ø Ó d(n) = nlogn ÓÐ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Ò ÓØ Ò Ä Ù ØØ ¾º¾ ÚÓ ÓÚ ÐØ º Ô ÓÑÓ Ò Ò Ò Ó ÓÒ k 1 k 1 k 1 a j d(b k j ) = 2 j 2 k j log2 k j = 2 k (k j) j=0 j=0 j=0 = 2 k 1 k(k +1) = 2 logn 1 logn(logn+1) = n 2 (log2 n+logn). Ô ÓÑÓ Ò Ò Ò Ó ÑÖ Ý ØÐ Ò T(n) ÚÙÚ Ù Òº T(n) ÓÒ O(nlog 2 n)º ÌÑÒ Ð Ó Ò ÐÙ ÒÒ ØÙÒ Ö Ò Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù ÚÓ Ò ÐÐ Ø ØÝÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÒØ ÓÑÓ Ò Ò Ô ÓÑÓ Ò Ò Ó Ò ÙÑÑ Ò ÑÙÓ Ó k 1 a k + a j d(b k j ). j=0 ÃÙÒ Ö Ò Ý ØÐ ØØ Ö ÙÖ Ú Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò Ú Ø ÑÙ Ø Ò Ò ÓÑÓ Ò Ò Ò Ó Ú Ø Ó ÓÒ ÐÑ Ò Ö Ø ÙÙÒ ÙÐÙÚ Ô ÓÑÓ Ò Ò Ò Ó ÑÙÙ ÙÒ Ð ¹ ÒØ Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ñ Ò Ò Ö Ø ÙÒ Ó Ó Ñ Ò Ò Ó Ø µ ÙÐÙÚ º ÃÙÒ ÔÝÖ ¹ ØÒ Ø Ó Ø Ñ Ò Ð ÓÖ ØÑ ÓÒ Ø ØØÚ ÙÑÔ Ó ÑÖ Ú Ø ÑÙ Òº ÂÓ ¹ Ñ Ö ÓÑÓ Ò Ò Ò Ó ÓÒ ÑÖÚ ÒÒ Ø Ø Ó Ø Ö Ø ÙÒ Ó Ó Ñ Ø Ó Ø Ú Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò Ø Ó Ø Ñ ÓÒ ÐÑ ÓÒ ØØ Ú Ó Ò ØÓ ÐÐ Ø Ú ÐÐ º Ñ Ö ¾º ÄÓÑ ØÙ Ð ØØ ÐÙÒ Ú Ø ÑÙ Ø ÙÚ Ö Ò Ý ØÐ { c 1, ÙÒ n = 1 T(n) 2T(n/2)+c 2 n, ÙÒ n > 1. ÌÑÒ Ð Ó Ò Ñ Ö ÒÒ ÐÐ ÓÒ a = b = 2 d(n) = c 2 nº ÀÓÑÓ Ò Ó Ò 2 logn = n Ô ÓÑÓ Ò Ó k 1 k 1 2 j c 2 2 k j = 2 k c 2 = c 2 2 k k = O(nlogn). j=0 j=0 Ð ÓÖ ØÑ Ò Ø Ó Ø Ñ Ô Ø ÔÝ ØÝ Ø Ó Ø Ñ Ò ÐÓÑ ØÙ Ú ØØ º ÌÑ ÐÚ Ø ¹ Ò ÓÐ Ñ ÓÐÐ Ø º ÅÝ ÑÑ Ò ÙÓÑ Ø Ò Ò ØØ ÐÓÑ ØÙ Ð ØØ ÐÙ ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ ¹ Ø ÓÔØ Ñ Ð Ò Ò Ö Ð Ð ØØ ÐÙÑ Ò Ø ÐÑ Ò ÐÙÓ º ÐÐ Ò Ñ Ö Ò Ö Ò Ý ØÐ ÓÐ Ä Ù Ò ¾º¾ Ú Ø Ñ ÑÙÓØÓ ÐÐ d(n) = c 2 n ÓÐ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Ò ÙÒ Ø Óº Î ÓÐÐ c 2 Ù Ø Ò Ò ÓÐ Ú ÙØÙ Ø Ô ÓÑÓ¹ Ò Ò Ó Ò ÝÑÔØÓÓØØ Ò ÝØØÝØÝÑ Òº ÌÑ Ô Ø ÝÐ Ø Ò Ô Ò ÙÒ ¹ Ø ÓÒ d Ú Ó ÖÖÓ Ò ÚÓ Ò ÙÒÓ Ø Ó Ö Ø Ù Ö ØØ ÝÑÔØÓÓØØ Ò Ò ØÙÐÓ º Ä Ù ¾º¾ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÙ ÐÐ Ò Ñ Ò ÝÐ ÑÑ ÑÙÓ Ó ÙÖ Ú Ò Ð Ù Ò Ø Ô Òº ¾¼

23 Ä Ù ¾º ÇÐ ÓÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ý ØÐ { 1, ÙÒ n = 1 T(n) = at(n/b)+cd(n)+e, ÙÒ n > 1 ÙÒ a b c e ÓÚ Ø Ú Ó Ø º ÌÐÐ Ò O ( n log a) b, Ó a > d(b) T(n) = O ( n log d(b)) b, Ó a < d(b) O ( n log b d(b) log b n ), Ó a = d(b)º ¾º¾º º Ä Ú ÒÒÙ Ñ Ò Ø ÐÑ Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ñ Ö Ò Ö Ò Ý ØÐ { 1, ÙÒ n = 1 T(n) = 2T(n 1)+n, ÙÒ n > 1º Ö n Ò ÖÚÓ ÐÐ Ò ÙÖ Ú Ø Ý ØÐ Ø T(n) = 2T(n 1)+n T(n 1) = 2T(n 2)+n 1... T(n i) = 2T(n i 1)+n i... T(2) = 2T(1)+2. Î Ð Ø Ò Ð Ú ÒØ 2 0,2 1,...,2 i,...,2 n 2 ÖÖÓØ Ò ÙØ Ý ØÐ Ø ÔÙÓÐ ØØ Ò Ð Ú Ò¹ Ø ÐÐ º Ë Ò ÙÙ Ø Ý ØÐ Ø T(n) = 2T(n 1)+n 2T(n 1) = 2 2T(n 2)+2(n 1)... 2 n i T(n i) = 2 n i 2T(n i 1)+2 n i (n i)... 2 n 2 T(2) = 2 n 2 2T(1)+2 n 2 2. Ä Ñ ÐÐ ÒÑ Ý ØÐ Ø ÔÙÓÐ ØØ Ò Ý Ø Ò Ò n 2 n 1 T(n) = 2 n 1 T(1)+ (n i)2 i = (n i)2 i. Ë Ú ÒØÑÐÐ ØÑ Ð Ù Ò ÑÙÓØÓÓÒ T(n) = 2 n+1 n 2º Å Ø Ò µ i=0 ¾½ i=0

24 ¾º º Ì Ó Ø ØØÙ Ú Ø ÚÙÙ Ò ÐÝÝ Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓÚ ÐÐÙ Ø Ó Ø Ò ÓÒÓ Ô Ö ÓÔ Ö Ø Ó Ø Ñ Ò Ø ØÓÖ Ò¹ Ø Ò ÐÙØ Ò Ø Ø Ó Ó ÓÔ Ö Ø Ó ÓÒÓÒ ÙÓÖ ØÙ º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒÓÒ ÙÓÖ ØÙ ÚÓ Ò ÖÚ Ó Ý ØØ Ø Ò ÓÔ Ö Ø Ó Ò Ô ÑÔ Ò Ø Ô Ù Ø Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ º Æ Ò Ø ¹ Ú ÖÚ Ó ÚÓ Ù Ø Ò Ò ÓÐÐ Ð Ò Ô Ñ Ø Ò Ò ÐÐ Ô Ò Ø Ô Ù ÚÓ Ò ØÓ ØÙ ÖÖ Ø ØÓ Òº ÌÓ Ò Ò Ô Ö ÒØ Ò Ò Ø Ô ÓÒ ÝØØ ÑÖ Ò Ø Ô Ù Ò Ò ÐÝÝ º ÇÒ ÐÑ Ò ÓÒ ØÐÐ Ò ÓÔ Ú Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÑ Ò Ð ÝØÑ Ò Òº Ñ Ö ¾º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ô ÒÓ ÓØ Ø ÐÐÒ T ¹ÓÔ Ö Ø Ó ÐÐ ÓØ ÑÙÓ Ó ØÙÚ Ø k Ø (k 0) ÔÓÔ¹ ÙØ Ù Ø Ý Ø ÔÙ ¹ ÙØ Ù Ø º Å ÓÒ Ú Ø ÑÙ ÙÒ Ø Ò m ÔÔ Ð ØØ T ¹ÓÔ Ö Ø Ó Ø ÐÙÒÔ Ö Ò ØÝ Ò Ô ÒÓÓÒ Ò ÔÓÔ¹ Ø ÔÙ ¹ ÙØ ÙÒ ¹ Ú Ø ÑÙ ÓÒ ½ Ý ºµ ØØ Ò T ¹ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ô ÑÑ Ò Ø Ô Ù Ò Ú Ø ÑÙ ÓÒmº È ÑÑ Ò Ø Ô Ù Ò Ú Ø ÑÙ ÒØ Ó Ó ÓÔ Ö Ø Ó ÓÒÓÒ Ú Ø ÑÙ ¹ O(m 2 )º Ë ÐÐ T ¹ÓÔ Ö Ø Ó Ø ÓØ Ø ÖÚ Ø Ú Ø m Ý m Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÒÓ ÚÓ Ù Ø Ò Ò ÓÐÐ Ù Ò Ý ÔÔ Ð º ÃÙÒ Ø Ò m ÔÔ Ð ØØ T ¹ÓÔ Ö Ø Ó Ø Ò Ò Ô ÒÓÓÒ Ú Ò Ý Ø Ò m Ð ÓØ º ÅÝ ÔÓÔ¹ ÙØ Ù ÚÓ ØÐÐ Ò ÓÐÐ ÓÖ ÒØ Ò m ÔÔ Ð ØØ º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒÓÒ ÒØ ÖÚ ÓÒ ÓÖ ÒØ Ò 2mº Ì Ó Ø ØØÙ Ú Ø ÚÙÙ Ò ÐÝÝ ÔÝÖ Ó Ø Ñ Ò Ó Ó ÓÒÓÒ Ú Ø Ñ Ò Ò Ò ÐÝ Ó Ñ Ð¹ Ð ÓÔ Ú Ø Ý ØØ ÓÔ Ö Ø Ó Ø º Ì Ó Ø ØØÙ Ú Ø ÚÙÙ Ò ÐÝÝ ÚÓ Ò Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ø Ö Ð Ø ÒÒ Ñ Ò ÖÚÓ Ø Ò ÙÐÑ Ø º È Ò Ö Ò Ò ÑÝ º ÃÙØ Ò ÓÔ Ö Ø Ó ÓÒÓÒ ÓÔ Ö Ø ÓØ Ó Ø ÓÒ ÝØ ØØÚ n Ý ¹ º ÂÓ ÓÔ Ö Ø Ó Ø ÖÚ Ø Ú ÑÑÒ Ò Ò ÝØØÑØ Ò Ø Òº ÂÓ n Ý Ö Ø Ò Ò ÝØ ØÒ Ø Ø ÓØ Ø Ò Ð Ò º ÂÓ Ð Ó ÓÒ ÐÓÔÙ ÔÓ ¹ Ø Ú Ò Ò Ò Ò Ý Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ø Ó Ø ØØÙ Ú Ø ÑÙ ÓÒ nº Ñ Ö ¾º½¼ ÃÙÐÐ Ò T ¹ÓÔ Ö Ø ÓÐÐ ÓÒ ÝØ Ò ¾ Ý º ÌÓ ÐÐ Ý Ð¹ Ð Ñ Ø Ò ÔÙ ØÓ ÐÐ Ñ Ø Ò Ó Ò ÔÓÔ Ø Ô ÒÒ Ò Ø Òº ÃÓ ÔÓÔ¹ ÙØ Ù ÓÒ ÓÖ ÒØ Ò Ý Ø Ô Ð ÓÒ Ù Ò ÔÙ ¹ ÙØ Ù Ò Ò Ø Ø Ö ØØÚØ ÔÓÔ¹ ÙØ Ù Ò Ñ Ñ Òº Ò T ¹ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ø Ó Ø ØØÙ Ú Ø ÑÙ ÓÒ ¾º ÝÝ ÓÒ Ò ÑÝ º Ø ÐÐ Ò ØØ Ø ØÓÖ ÒØ Ò Ó Ò Ø Ð ÒØ Ò D Ð ØØÝÝ Ö ¹ Ð ÐÙ Ù Φ(D) ÓØ ÒÓØ Ò ÔÓØ ÒØ Ð º ÂÓ ÙÓÖ Ø Ø Ò ÐÔÔÓ ÓÔ Ö Ø Ó Ø Ò Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ú ÐÐ Ø ÓÔ Ö Ø ÓØ Ô Ò ÒØÚØ ÔÓØ ÒØ Ð º ÇÔ Ö Ø ÓÒiØ Ó Ø ØØÙ a ÑÖ Ø ÐÐÒ Ý ØÐ ÐÐ a = t+φ(d ) Φ(D) ÙÒ t = ØÓ ÐÐ Ò Ò Φ(D) = ÔÓØ ÒØ Ð ÒÒ Ò ÓÔ Ö Ø ÓØ Φ(D ) = ÔÓØ ÒØ Ð ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ð Òº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ Ó ÓÒ m ÓÔ Ö Ø ÓØ º Ä Ø Ò Ý Ø Ò ÓÔ Ö Ø Ó Ò Ø Ó Ø ØÙØ Ø m m m a i = (t i +Φ i Φ i 1 ) = t i +Φ m Φ 0, i=1 i=1 ¾¾ i=1

25 ÙÒ Φ 0 ÓÒ ÔÓØ ÒØ Ð ÓÔ Ö Ø Ó ÓÒÓÒ Ð Φ m Ò ÐÓÔÔÙ º ÌÓ ÐÐ Ò Ò ÚÓ ¹ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó m m t i = a i +Φ 0 Φ m. i=1 i=1 ÂÓ Φ 0 Φ m 0 Ð Φ 0 Φ m Ò Ò Ø Ó Ø ØØÙ ÚÓ Ò ÝØØ ÖÚ Ó Ø ØÓ ÐÐ Ø ÝÐ Ô Òº ÌÑ ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø Ñ Ö ÐÐÓ Ò ÙÒ Ú Ð Ø Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ò ØØ Φ 0 = 0 Φ i 0 ÙÒ i > 0º ÌÑ Ú Ø Ô Ò Ö Ò Ò ÑÝ Ø ÐÑ Ò Ð Ò ÒÓØØÓ º Ñ Ö ¾º½½ Î Ð Ø Ò Ô ÒÓ Ñ Ö Ô ÒÓÒ ÔÓØ ÒØ Ð Φ(Ô ÒÓ) Ô ÒÓ ÓÐ Ú Ò Ð Ó Ò ÐÙ ÙÑÖº ÂÓ Ô ÒÓ ÓÒ r Ð ÓØ ÙÓÖ Ø Ø Ò T ¹ÓÔ Ö Ø Ó Ó Ø k ÔÓÔ¹ÓÔ Ö Ø ÓØ Ò Ò a = t+φ(ô ÒÓ ) Φ(Ô ÒÓ) = (k +1)+(r (k 1)) r = 2. ÅÙ ÙØÙÚ Ð Ø ÓÒ Ñ Ö Ò º ÑÙ ÙØÙÚ Ø Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ó Ø Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ø¹ Ó Ø Ö ÑÑ Òº Ì Ö Ø ÐÙÒ Ø Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ ÐÚ ÒØ Ô Ö ÒØ Ò Ú Ø ÚÙÙ Ò ÐÝÝ Ò Ø Ó Ø ØÙÒ Ú Ø ÚÙÙ Ò ÐÝÝ Ò ÚÐ Ø ÖÓ º Ë Ò Ö ÓÒ ÐÑ ÓÒ Ø ØÚÒ ÝÐÐÔ Ø Ð Ó ÓÙ Ó ÓØ Ø ÐÐÒ ÓÔ Ö Ø Ó ÐÐ xµ Ø Ð Ó x ÓÙ Ó Ø Ò ÖØ xµ Ð Ð Ó x ÓÙ ÓÓÒ Ð Ø xµ ÔÓ Ø Ð Ó x ÓÙ Ó Ø º Ë Ò Ö ÓÒ ÐÑ ÚÓ Ò Ö Ø Ø Ø Ó Ø ÝØØÑÐÐ Ö Ð Ò Ö ÔÙ Ø º Ë Ù¹ Ö Ú Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ù Ø Ò Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ö Ø Ñ Ø Ö ØÑØØ ÑÒ Ð Ò Ø ØÝÒ Ð ¹ Ø Ò ÚÙÐÐ º Ð Ó Ø ØÒ Ð Ø Ø ÝÑÐÐ Ð Ø ÐÔ ÐÙ Ø Ð Ø Òº Ð ÓØ Ð ØØ Ú ÖÑ Ø Ù¹ ÙØ Ò ÐÙ Ø ØØ Ð Ó Ú Ð ÓÐ Ð Ø º Ð ÓÒ ÔÓ Ø Ñ ÐÙ Ø ØÒ ÙØ Ò ÓÔ Ö Ø Ó º ÇÔ Ö Ø Ó Ò Ù Ø ÒÒÙ Ø ÓÐ Ø Ø Ò ÙÖ Ú Ð Ø Ò i ÒÒ Ò Ð ÓÒ Ø ÒØ Ø ÔÓ ØÓ Ñ i Ý Ð ÓÒ Ð Ý Ñ i+1 Ý Ó Ð Ø Ò Ô ØÙÙ ÒÒ Ò Ð Ý Ø ÓÒ i ÓÔ Ö Ø Ó Ò ÖØ xµ ÚÓ Ð Ø x Ò Ñ Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ð Ø ÐÑ Ò Ð Ù Ø Ò¹ ÒÙ ÓÔ Ö Ø ÓÒ xµ Ý Ø Ý ÚÓ Ò x ÖØ ÐÑ Ñ Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ð ÑÑ Ð Ø Ò Ð Ù ÑÙÙØ Ô Ö Ø Ò Ð Ó Ò Ú ÓØ Ñ Ú Ø Ý Ò Ý Òº ¾

26 ÂÓ Ð Ø Ò Ð Ó Ò Ó ØÙÚ Ø Ú ØØ Ù Ø ÙØÙ Ú Ø Ò Ð Ó Ò Ò Ø ¹ Ø Ð Ó Ò Ö ØÝ ÐÐ ÓÐ Ñ Ö ØÝ Øº ÌÑ ÓÒ ÝØÒÒ Ù Ø Ò Ò Ý¹ Ú Ò ÖÚ Ò Ø º ÌÓ ÐØ Ó Ð Ó Ò Ú ØØ Ù ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ØÙÒÒ ØØ Ò ØÙ Ø Ò Ò Ò Ð ÓØ ÒÒ ØØ Ø Ø Ò Ò Ö Ø Ú ØØ Ù ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ÑÙ Ò Ð Ú Ò Ö ØÝ Òº Â Ø Ó ÓÐ Ø Ø Ò ØØ Ú ØØ Ù ØÓ ÒÒ ÝÝ ØÙÒÒ Ø ØÙ Ø Òº Ã Ö ÐÐ ÙÙ ÓÒ ØÙØ ØØÙ ÑѺ ÙÖ Ú Ö Ø ÐÝ ÙÖ Ø Ó ÑÓÚ ¹ØÓ¹ ÖÓÒØ Å µ Ó Ø ØØÝ Ð ØØÝ Ð Ó ÖÖ ØÒ Ð Ø Ò Ð ÙÙÒ ØÖ Ò ÔÓ Ìʵ Ó Ø ØÝÒ Ø ÐØÚÒ Ð ÓÒ Ô Ø Ú Ø Ò Ð Ý Ø Ø Ò Ð Ø Ò Ð ÙÙÒ Ö ÕÙ ÒÝ ÓÙÒØ µ Ó Ô ØÒ ÝÐÐ Ú ØØ Ù Ð ÙÖ Ø Ô ØÒ Ð ÓØ Ð ¹ ÙÖ Ò ÑÙ Ò Ð Ú ÙÙÖÙÙ Ö ØÝ º ÇØ Ø Ò ÝØØ Ò Ñ Ö ÒØ p x Ð ÓÒ x Ú ØØ Ù ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ ÙÑ p E A (p) ÙÑ Ò p Ð ØØÝÚÐÐ Ø ÒØ Ù Ø ÒÒÙ Ø Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÐÐ ÙÒ ÝØ ØÒ ÙÖ ¹ Ø Aº ÂÖ Ø ÐÝ ÙÖ Ø Ó Ú ÖÖ Ø Ò Ù Ò ÓÔØ Ñ Ð Ò Ø ØØ Ò Ö ØÝ Ò Ó Ø ÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØ È Ö Ò ÔÖÓ Ð Øݵº È Ö ÒØ Ø ÙÖ Ø Ó ÓÒ Ú ÖØ ÐØÙ Ø ÒØ Ù Ø ÒÒÙ Ø Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ò Ô ÖÙ Ø Ð¹ Ð ØÑ Ú Ø ÑÖ Ò Ø Ô Ù Ò Ò ÐÝÝ µº ÇÒ ÔÝ ØÝØØÝ ØÓ Ø Ñ Ò ÑѺ Ù¹ Ö Ú Ø ØÙÐÓ Ø ÐÐ ÙÑ ÐÐ p E (p) = E È (p) E Å (p) 2E È (p) E ÌÊ (p) E Å (p) Ý Ø ÙÙÖÙÙ ÓÒ ÚÓ Ñ Ú Ò ÙÒ Ð Ø ÓÒ Ð ÓØ Ø p x = 1/n ÐÐ Ð Ó ÐÐ xº ÃÝØÒÒ ÓÒ Ù Ø Ò Ò ÙÓÑ ØØÙ ØØ Å ØÓ Ñ ÝÐ Ò Ô Ö ÑÑ Ò Ù Ò Ìʺ ÌÑ Ô ÖÙ ØÙÙ Ò ØØ Å Ò Ù Ø ÒÒÙ ÙÔÔ Ò Ó Ø Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ò Ô Ð ÓÒ ÒÓÔ ÑÑ Ò Ù Ò ÌÊ Ò Ù Ø ÒÒÙ º Ë ÙÖ Ú Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ð Ø ÙÖ Ø Ó Ò Ø Ó Ø ØØÙ Ú Ø ÑÙ º ÇÐ Ø Ø Ò ÐÙ ØØ Ð Ó ÓÙ Ó ÓÒ ÒØ Ø º ÓÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ ÑÙÓ Ó ØÙÙ Ô Ð ØÒ ¹ÓÔ Ö ¹ Ø Ó Ø º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒÓÒ S Ú Ø Ñ Ø Ø ÓÚ ÐÐ ØØ ÙÖ Ø A ÝØ ØÒ Ñ Ö¹ ÒØ C A (S)º Ä Ù ¾º à ÐÐ ÓÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ ÐÐ S ÓÒ C Å (S) 2C È (S). ÌÓ ØÙ º Ã Ò ÙÖ Ø Ó Ò Ú Ø ÑÙ ÑÙÓ Ó ØÙÙ ¹Ø ÑÚ Ø Ø Ñ¹ Ú Ø Ú ÖØ ÐÙ Ø Ð Ø Ò Ð Ó Ò Ø ØØÚÒ Ð ÓÒ ÚÐ Ðк Ì ÑÚ Ú ÖØ ÐÙ ÓÒ ÐÐ ÙÖ Ø Ó ÐÐ Ý Ø ÑÓÒØ º Ê ØØ Ó Ó ØØ ØØ Å ¹ ÙÖ Ø Ø ÓÖ¹ ÒØ Ò ÖØ Ò Ò Ô Ð ÓÒ ¹Ø ÑÚ Ú ÖØ ÐÙ Ù Ò Èº ÌÑ ÚÓ Ò ØÓ Ø ¾

27 Ö Ò Ó ÐÐ Ð ÓÔ Ö ÐÐ (A,B)º Å ¹ ÙÖ Ø Ò Ø ÑØ ¹Ø ÑÚØ Ú ÖØ ÐÙØ Ð¹ Ó Ò A B ÚÐ ÐÐ Ö ÔÔÙÚ Ø Ô Ð ØÒ A Ò B Ò Ò Ø Ö ØÝ Ø Ð Ø ¹ º Ð Ó Ò Ò Ò Ò Ö ØÝ ÔÙÓÐ Ø Ò Ö ÔÔÙÙ Ø ÙÑÔ ÓÒ Ú Ñ Ø ØØÝ Ú ØØ Ù Ø ÑÙ Ò Ð Ó Ò ÚØ Ò Ú ÙØ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÓÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ S ÓÒ m ÔÔ Ð ØØ Aµ¹ n ÔÔ Ð ØØ ¹ Bµ¹ÓÔ Ö Ø Ó Ø º Ð ÝÝØØ ÐÓÙ Ñ ØØ ÚÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ m n. È¹Ð Ø Ð Ó B ÓÒ ÒÒ Ò Ð ÓØ A ¹Ø ÑÚ A,Bµ¹Ú ÖØ ÐÙ Ø Ò m ÔÔ Ð ØØ º ÂÓ Ò Å Ò ¹Ø ÑÚÒ Ú ÖØ ÐÙÙÒ Ð ØØÝÝ A Ò B Ò Ö ØÝ Ò Ú ØÙÑ Ò Òº ÌÐÐ Ú ØÓ ÚÓ ÓÐÐ ÓÖ ÒØ Ò 2mº Ä Ù Ò ¾º Ö ÓÒ Ø Ù Ø º Ø ÚÓ Ô Ö ÒØ º ÌÑÒ Ó Ó ØØ Ñ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÐÙ Ð Ø Ó ÓÒ Ò Ð Ð ÓØ º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒÓÐÐ S = (ABCD) t ÓÒ C È (S) = ( )tº Å ¹ ÙÖ Ø Ò ÑÙ Ò Ò Ù Ø ÒÒÙ Ö ÔÔÙÙ Ð Ø Ò Ð Ù ÐРغ ÂÓ Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ö ØÝ D C B A Ò Ò C Å (S) = ( )t = 16tº Ð Ø ÚÓ ÓÐÐ C È (S) = t k i=1 i C Å (S) = tk 2 º ÃÙ Ø ÒÒÙ Ø Ò Ù Ø Ò C Å (S) C È (S) = tk2 t k i=1 i = k2 k(k +1)/2 = 2k k +1. ÃÙÒ k Ú Ò Ò Ù Ð ØÝÝ Ø Ú Ð Ø Ñ ÐÐ k Ø ÖÔ ÙÙÖ Ô ØÒ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ð ÐÐ Ó Ø º Ìʹ ÙÖ Ø ÐÐ ÚÓ ØÓ Ø Ä Ù Ò ¾º ÐØ Ø ØÙÐÓ Ø º ÌÑ Ò Ò Ø Ö¹ Ø Ð Ñ ÐÐ Ð Ø ÓÒ Ð Ù ÐØ ÓÒ A B C D Eº ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒÓÒ (ED) t ØÙÐÓ Ò Ú Ø Ú Ø Ð ÓØ D E ØÓ ØÙÚ Ø Ô Ó Ò ÑÙØØ ÚØ Ø Ò Ó Ø Ð Ø Ò Ð Ù º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒÓÒ Ù Ø ÒÒÙ ÓÒ 10tº ÇÔØ Ñ Ð Ø ØØ Ö ØÝ D E ÓÚ Ø Ð Ø Ò ÐÙ Ù Ø ÒÒÙ ÓÒ (1+2)t ÓÒ C ÌÊ (S) > 2C È (S). Ë ÙÖ Ú Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÝÒ Ñ Ð Ó ÓÙ Ó º ÇØ Ø Ò Ø ØÚ ØÓ Ø ËÐ ¹ ØÓÖ Ò Ì Ö Ò Ò Ú Ú ØÙÐÓ Ó ÓÖÚ È¹ ÙÖ Ø Ò Ð Ù ¾º Ñ Ð Ú ÐØ ÐÐ ÙÖ Ø ÐÐ º ÇØ Ø Ò ÝØØ Ò ÙÖ Ú Ø Ñ Ö ÒÒØ F A (S) = ÐÑ Ø Ò Ú ØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ Ò Öع ¹ÓÔ Ö Ø Ó Ò Ý Ø Ý X A (S) = Ñ ÙÐÐ Ø Ò Ú ØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ C A (S) = Ó ÓÒ Ù Ø ÒÒÙ ÐÑ Ò Ñ ÙÐÐ Ú ØÓ m = ÓÔ Ö Ø Ó ÓÒÓÒ Ô ØÙÙ º ÃÓ Å ¹ ÙÖ Ø Ø Ú Ò ÐÑ Ú ØÓ ÓÒ X Å (S) = 0 ÐÐ ÓÔ Ö Ø Ó¹ ÓÒÓ ÐÐ Sº Ä Ù ¾º Ä ØØ ØÝ Ø Ð Ø Ø ÐÐ ÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝ Ò Ð ÙØÙ ÒØ Ò ÑÙ ÐÐ ÙÖ Ø Ó ÐÐ A ÐÐ ÓÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ ÐÐ S Ó Ò Ô ØÙÙ ÓÒ m ÔØ C Å (S) 2C A (S)+X A (S) F A (S) m. ÌÓ ØÙ º ÌÓ ØÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ö ÒÒ Ò Ø Ð Ø º ÌÓ Ø Ò Ø ÝÐÐÔ ØÒ Å ¹ ÙÖ Ø ÐÐ ØÓ Ø ÐÔ Ð Ú ÐÐ ÙÖ Ø ÐÐ Aº Ä ØÓ Ò Ø Ò Ò Ø ÑÐÐ Ò ¾

28 Ñ Ø ÓÔ Ö Ø Óغ ÃÝØ ØÒ Ð ØÓ Ø Ú Ø Ú Ø Ò Ñ ØÝ Å ¹Ð Ø A¹Ð Ø º Î Ð Ø Ò ÔÓØ ÒØ Ð ÙÒ Ø Ó Ð ØÓ ÓÐ Ú Ò ÒÚ Ö Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ ÒÚ Ö ÓÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ð¹ Ð Ø Ð ÓÔ Ö (i,j) ÓÒ Ð Ó Ò Ò Ò Ò Ö ØÝ ÓÒ Ö Ð Ò Ò Å ¹Ð Ø Ù Ò A¹Ð Ø º Ð ÙØ Ð ÒØ ÑÓÐ ÑÑ Ø Ð Ø Ø ÓÚ Ø ØÝ ÓØ Ò ÔÓØ ÒØ Ð ÓÒ ÐÙ ¼º ÃÓ ÔÓØ ÒØ Ð ÓÒ ÐÙ ÙÑÖ Ò Ò ÓÒ Ò ¹Ò Ø Ú Ò Òº Ì Ó Ø ØØÙ ÖÚ Ó ØÓ ÐÐ Ø ÝÐ Ô Òº ÇÐ ÓÓÒ i ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ò ÓÐ Ú Ò Ð ÓÒ Ò A¹Ð Ø c A ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ù ¹ Ø ÒÒÙ A¹Ð Ø º Ä Ù ØÙÐ ØÓ Ø ØØÙ ÙÒ ÒÝØ ØÒ ØØ Å ¹Ð Ø Ø Ó Ø ØÙØ Ú Ø ÑÙ Ø Ö ÓÔ Ö Ø Ó ÐÐ ÓÚ Ø ÙÖ Ú Ø 2i 1 = 2c A 1 Ò ÖØ 2(i+1) 1 = 2c A 1 Ð Ø i = c A 2c A 1 ÐÑ Ò Ò Ú ØÓ A¹Ð Ø 1 Ñ ØØÙ Ú ØÓ A¹Ð Ø ½º Î ØØ Ò ÔÝ ØÐ Ò Ó Ò ÔÙÓÐ Ò Ø ÖÑ Ø2C A (S) m Ò ÓÐÑ Ø Ò ÑÑ Ø ÓÔ Ö Ø Ó Ø º Ì ÖÑ Ø X A (S) F A (S) ÔÙÓÐ Ø Ò Ò Ø Ð ÑÑ Ø ÓÔ ¹ Ö Ø Ó Ø º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ö Ò ÙØ Ò ÓÔ Ö Ø ÓØ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÐÙ ¹ÓÔ Ö Ø ÓØ Ó Ó ØÙÙ A¹Ð Ø Ò Ò Ð ÓÓÒ Ó ÓÒ Ô iº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ØÑ Ð Ó ÓÒ Å ¹Ð Ø Ô kº ÇÐ Ø Ø Ò ÐÐ Ò ØØ x i ÓÒ Ò Ò Ð Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓØ ÐØÚØ Ø ØØÝ Ð ÓØ Å ¹Ð Ø ÑÙØØ ÓÚ Ø Ò Ð A¹Ð Ø º Ì Ø ÙÖ ØØ Ý Ø ÐØ Ø ØÝ ÐÐ Ð Ó ÐÐ ÓÒ k 1 x i ÔÔ Ð ØØ º Å ¹Ð Ø Ò ÙÖ Ø ÖØ Ø ØÝÒ Ð ÓÒ Ð Ø Ò Ð ÙÙÒº ÌÑ ÙØØ ÔÓØ ÒØ Ð Ò ÑÙÙØÓ Ò ÐÐ Ó ÒÚ Ö Ó Ø ÔÓ ØÙÙ ÑÙØØ ØÓ ÐØ ÙÙ ÒÚ Ö Ó Ø ØÙÐ Ø Ð ÐÐ º ÈÓ ØÙÚ Ò ÒÚ Ö Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ x i ÙÙ ÒÚ Ö Ó Ø ÝÒØÝÝ k 1 x i ÔÔ Ð ØØ º ÆÝØ ÚÓ Ò ÑÖØ Ø Ó Ø ØØÙ Å ¹Ð Ø Ñ Ö ÒØ Φ Ø Ö Ó ØØ ÔÓØ ÒØ Ð Ò ÑÙÙØÓ Ø µ a = t+ Φ = k +(k 1 x i ) x i = 2k 2x i 1 = 2(k x i ) 1 2i 1. Î Ñ Ò Ò ÔÝ ØÐ ÔØ ÐÐ Ý Ø ÐØ ÚÓ Ø ØÝ ÐÐ Ð Ó ÐÐ ÓÐÐ ÓÖ Ò¹ Ø Ò i 1 k x i i. Ë ÙÖ Ú Ø Ö Ø ÐÐ Ò A¹Ð Ø Ø ØÚ ÐÑ Ø Ú ØÓ º Ë Ø Ø Ò Ò Ñ ¹ Ñ ØÒ Å ¹Ð Ø ÐÐ ÓØ Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÓÒ ¼º Ð Ø Ò Ð ÙØÙ ÒØ Ò ÑÙ Ø A¹Ð Ø ÚÓ Ø ÐÑ Ò Ú ÓÒ Ú Ò ÓÒ ÙÒ Ò Öع Ø ¹ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ý Ø Ý º Å ¹ ÙÖ Ø ÖØ Ý Ò Ð ÓÒ Ò ÓÑ Ò Ð Ø Ò Ò ÑÑ º A¹Ð Ø Ò Ø ¹ Ñ ÐÑ Ò Ò Ú ØÓ ÔÓ Ø Ý Ò ÒÚ Ö ÓÒ ÓØ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ô Ò Ò Ý Ðк Î ¹ Ø Ú Ø A¹Ð Ø Ò Ñ ØØÙ Ú ØÓ Ñ Ñ ØÒ Å ¹Ð Ø ÐÐ ÑÙØØ ÚÓ Ú ØØ ÔÓØ ÒØ Ð Ý Ðк ÁÒ ÖعÓÔ Ö Ø Ó ÓÒ ÐÙ ØÙØ ØØ Ú ÓÒ Ó Ð ØØÚ Ð Ó Ó Ð Ø º ÌØ Ò ØÓ ÐÐ ¹ Ò Ò ÑÓÐ ÑÑ Ð ØÓ ÓÒ Ñ º Ê ÔÔÙ Ò Ø Ñ Ò Ó Ø Ò A¹Ð Ø Ð ÙÙ Ò Ð ÓÒ ÝÒØÝÝ Ó Ò ÑÖ ÙÙ ÒÚ Ö Ó Ø º ËÙÙÖ ÑÑ ÐÐ Ò ØÑ ÑÖ ÓÒ i Ð ØÓ Ò Ô ØÙÙ ÒÒ Ò ÙÙ Ò Ð ÓÒ Ð Ý Øµº Ì Ó Ø ØÙÐÐ ÐÐ a ÔØ a i+1+i = 2i+1 = 2(i+1) 1 = 2c A 1. ¾

29 Î Ð ÓÒ ØØ Ð ÑØØ Ð Ø ¹ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ø Ô Ù º ÇÐ Ø Ø Ò ÙØ Ò ¹ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ó ÐÐ ØØ ÓÔ Ö Ø Ó Ó ØÙÙ Ò A¹Ð Ø Ò Ð ÓÓÒ Ó ÓÒ Ô i ØØ ØÑ Ð Ó ÓÒ Å ¹Ð Ø Ô kº ÐÐ Ò ÙØ Ò ¹ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ó ÐÐ µ ÓÐ Ø Ø Ò ØØ x i ÓÒ Ò Ò Ð Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓØ ÐØÚØ Ý Ø Ð ÓØ Å ¹ Ð Ø ÑÙØØ ÓÚ Ø Ò Ð A¹Ð Ø º Ð ÓÒ ÔÓ Ø Ñ Ò Ò ÚÓ ÒÓ Ø Ò Ú ÒØ ÒÚ Ö Ó Ø Ú ÒÒÝ Ò ÙÙÖÙÙ ÓÒx i º Ì Ó Ø ØØÙ ÚÓ Ò ÒÝØ ÖÚ Ó ÙÖ Ú Ø a = k x i i 2c A 1. Æ Ò Ð Ù Ò ØÓ ØÙ ÓÒ Ú ÐÑ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ó ÓÒ Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ò Ó ØÙÚ ÓÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ º ÇÔ Ö Ø Ó Ò ØÓØ ÙØÙ Ò ÒÒ ÐØ ÓÒ Ö Ø Ú Ø ØÒ Ó Ó ÓÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ ØÙ Ø Ò Ú ÓÒ Ó Ø Ó ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ý ÓÔ Ö Ø Ó Ó ÓÒ ÙÓÖ Ø ØØ Ú ÐÓÔÔÙÙÒ ÒÒ Ò Ù Ò ÐÚ Ñ ÓÔ Ö Ø Ó ÓÒ ÙÖ Ú º ÂÓ Ó Ó ÓÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ Ø ØÒ ØÙ Ø Ò ÒÓØ Ò ÓÒÓÒ ØÓØ ÙØØ Ú Ð ÓÖ ØÑ Ó Ò ¹ Ð ÓÖ ØÑ º ÂÓ ÓÔ Ö Ø ÓØ Ø ØÒ Ý ÖÖ ÐÐ Ò ÓÒ Ý ÓÒÐ Ò ¹ Ð ÓÖ ØÑ º Ë Ò Ö ÓÒ ÐÑ Ò Ø Ô Ù Ó Ò ¹ Ð ÓÖ ØÑ ÚÓ ØÓ Ñ Ñ Ö Ò Ò ØØ Ð Ö Ð Ó Ò Ð ØØÝÚ Ò Ú ØØ Ù Ø Ò ÐÙ ÙÑÖØ ØÙ Ø Ò Ö Ø Ð Ø Ò ÒØ Ò Ú ØØ Ù Ö Ú Ò Ò ÑÙ Ò Ð Ú Ò Ö ØÝ Òº Å ¹ Ìʹ ÙÖ Ø Ø ÔÙÓÐ Ø Ò ØÓ Ñ Ú Ø ÓÒÐ Ò ¹Ô Ö ØØ ÐÐ º ÃÝØ ØÒ Ð ÓÖ ØÑ Ò A Ù Ø ÒÒÙ Ø ÓÒ ÐÑ Ò P Ð ØØÝÚ ÓÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ I Ñ Ö ÒØ c A (I)º ÇÐ ÓÓÒ ÓÔØ Ñ Ð Ò ÓÒÐ Ò ¹ Ø Ó Ò ¹ Ð ÓÖ ØÑ Òµ Ù Ø ÒÒÙ c opt (I)º ÇÒÐ Ò ¹ Ð ÓÖ ØÑ A ÒÓØ Ò ÐÔ ÐÙ Ý Ý ÓÑÔ Ø Ø Ú µ ÓÒ ÐÑ P Ó ÓÒ ÓÐ ¹ Ñ ÐÐ Ø Ú ÓØ a b ØØ ÐÐ ÓÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ ÐÐ I ÓÒ ÚÓ Ñ c A (I) ac opt (I)+b. à ÐÔ ÐÙ Ý Ý Ò Ò Ð ÓÖ ØÑ ØÓ Ñ ÐÐ Ý ØØ ÐÐ ÓÖ ÒØ Ò a ÖØ Ø ÑÑ Ò Ù Ò ÓÔØ Ñ Ð Ò Ò Ð ÓÖ ØÑ Ó ÚÓ ÓÐÐ ÑÝ Ó Ò ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ð ÐÐ ÚÓ ÓÐÐ ØÙ Ø Ò Ø Ó Ó Ó Ý Ø º ÐÐ ÓÐ Ú Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ø ØÒ ØØ Å ¹ ÙÖ Ø ÓÒ ÐÔ ÐÙ Ý Ý Ò Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò Ö ÓÒ ÐÑ Ò Ø Ô Ù º à ÐÔ ÐÙ Ý Ý Ð ÓÖ ØÑ ÓÒ Ð ÝØÝÒÝØ ÑÝ ÑÓÒ ÐÐ ÑÙ ÐÐ ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÓØ ÝØÒÒ Ò Ø Ð ÒØ Ú Ø Ú Ø ÓÒÐ Ò ¹ÓÑ Ò ÙÙØØ º ÌÐÐ ÓÚ Ø Ñ Ö ÑÓÒ Ø Ø Ò Ö Ø ÐÝÝÒ Ø ØÓ ÓÒ Ò ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒØ Ò Ð ØÝÚØ ÓÒ ÐÑ Øº à ÐÔ ÐÙ Ý Ý Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø ÓÚ Ø ÝØÒÒ Ó Ó ØØ ÙØÙÒ Ø Ø Ó ÑÑ Ù Ò Ô ¹ Ö ÒØ Ò Ò ÐÝÝ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ô Ö ÑÔ Ò Ô ØÝØ Ð ÓÖ ØÑ Ø Ñ Ò Ø Ô Ò Ù Ò Å ¹ ÙÖ Ø ÓÒ ÝØÒÒ ÝÐ Ò Ô Ö ÑÔ Ù Ò Ìʹ ÙÖ Ø Ú Ó ÓØÙ ÖÚÓØ Ö¹ Ø ÐÙ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÚÓ Ø Ò Ò ÓÐ ØØ Ô ÒÚ Ø Ø º Å Ð Ò ÒØÓ Ò Ò ÐÔ ÐÙ Ý Ý Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò Ð ØØÝÚ Ô ÖÖ ÓÒ ØØ Ò Ò ØÝØÝÝ ÓÔÔ ÑÙ ÙØÙÑ Ò Ö Ð Ò Ý ØØ Òº ÅÙÙØ Ò Ò ÚØ ÚÓ ÐÐ Ñ ÓÐÐ ÐÐ Ý ØØ ÐÐ ÓÐÐ Ú Ò Ú Ó ÖØ Ø Ø ÑÔ Ù Ò ÓÔØ Ñ Ð ÓÖ ØÑ º ¾

30 ¾º º ÅÙ ÙØÙÚ Ø Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ì ØÓÖ ÒØ Ø ÚÓ Ò ÝÖ ØØ Ø Ó Ø ÙÙ ÐÐ Ò Ö Ø ÐÝ ÙÖ Ø Ó ÐÐ Ó Ø ÓÚ ÐÐ ¹ Ø Ò Ó Ò Ð ÓÚ ØØ Ù Ò Ý Ø Ý º ÌÝÝÔ ÐÐ Ø ÙÖ Ø Ø ÔÝÖ ÚØ ÖØÑÒ Ð ÓÒ Ó ÓÒ Ù Ø Ú Ø Ø Ò ÐÔÓÑÑ Ò Ø ÚÓ Ø ØØ Ú º Ì Ó ÐÚ Ø ØÒ Ò º ÑÙ ÙØÙÚ Ò Ð ¹ Ù Ø Ò µ Ø ØÓÖ ÒØ Ò Ð ØØÝÚ Ô ÖÙ ØØ Ø Ø ØÒ Ó ¹ Ø Ò Ñ Ö ÑÙ ÙØÙÚ Ø Ø ØÓÖ ÒØ Ø º ÑÑ Ò ÔÝÖ ØØ Ò ØØÑÒ ÙÖ Ø Ó ÓØ Ø Ú Ø Ø ØÓÖ ÒØ Ò Ø ¹ Ó ÙÙ Ò ÑÖ Ø Ô ÑÑ Ø Ô Ù ÙÒ Ø ØÓÖ ÒØ Ò Ð Ó ÐÐ ÓÐ ¹ Ø Ø Ò ÓÐ Ú Ò ÒØ Ø Ú ØØ Ù ØÓ ÒÒ ÝÝ Øº à ÑÖ Ø Ø Ô Ù Ø ÝØ ØØ ÓÒ ÓÒ ÐÑ Ò ÓÔ Ú Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÑ Ò Ð ÝØÑ Ò Òº È ÑÑ Ò Ø Ô Ù Ò ÝØØ ÚÓ Ø Ó Ø ØÓ ÐÐ Ø Ø Ð ÒÒ ØØ ÙÓÒÓÑÔ Ò ÖÚ ÓÓÒ ÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÓÒÓ Ø ØÓÖ Ò¹ Ø Ò Ó ØÙÚ ÓÔ Ö Ø Ó Ø º È ÑÑ Ò Ø Ô Ù Ò Ò ÐÝÝ Ò ØÙÐÓ Ý ØÝ Ø Ò ÓÔ Ö Ø Ó Ò Ô ÑÔ Ò Ø Ô Ù Ò ÙÑÑ ÙÓÑ ÓØØ Ø ØÒ Ò ÑÙÙ¹ ØÓ Ø Ó Ø ÓÔ Ö Ø ÓØ Ñ ÓÐÐ Ø Ø ÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ò Ò Ò ÐÔÓØØ Ú Ø ÑÝ ÑÔ ÓÔ Ö Ø Ó Ø º Ö ØÝ Ø ØÑ ØÙÐ Ò ØÙØ ØØ ÑÙ ÙØÙÚ Ø ØÓÖ Ò¹ Ø Ø º Ì Ó Ø ØÙ Ò ÐÝÝ Ð Ø Ò ÑÖ Ò Ò Ú Ø ÚÙÙ ÝÐ Ô ÑÑ Ò Ø Ô Ù Ò ÓÔ Ö Ø Ó ÓÒÓÒº ØØ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ú Ø ÑÙ ÚÓ Ñ Ö ÓÐÐ Ú ÖÖ ÒÒÓÐÐ Ò Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ò Ð Ó Ò ÐÙ ÙÑÖÒ Ò ÑÙØØ Ø Ö Ø ÐØ Ø ÖÔ Ô Ø ÓÔ Ö ¹ Ø Ó ÓÒÓ ÓÔ Ö Ø Ó Ò ÑÖ Ò Ò Ú Ø ÑÙ ÚÓ Ò ÓÐÐ O(logn)º ÂÓ Ò ÓÚ Ð¹ ÐÙ ÓÒ ØÖ ØØ Ó Ò Ý ØØ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÙÐÙØØ Ñ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ù Ò Ó Ò ÒÒ ØØÙ Ö º ÌÐÐ Ò ÑÙ ÙØÙÚ Ø ØÓÖ ÒØ Ó Ù Ø ÖÚ ØØ Ú Ø Ú Ø ÓÔ Ö Ø ÓØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ð Ò Ø Ø º ÅÙ ÙØÙÚ ÐÐ Ø ØÓÖ ÒØ ÐÐ ÓÚ Ø ØÝÝÔ ÐÐ ÙÖ Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ø ÐÐ ÒÒ Ø Ø ØÓ Ø ØÓÖ ÒØ Ò Ø Ð Ø ÚÖغ ÎĹÔÙÙ ÓÐ Ú Ø ÓÖ Ù Ø Óصº ÂÓ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ý Ø Ý ÓÚ ÐÐ Ø Ò Ý Ò ÖØ Ø ÙÖ Ø Ø ØÓÖ Ò¹ Ø Ò ÑÙÙØØ Ñ º À ÙÖ Ø ÓÚ ÐÐ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØ Ø ØÓÖ ÒØ Ò Ø Ð Ø º ÃÓ Ø Ð Ø ØÓ Ø ÐÐ ÒÒ Ø ÑÙ ÙØÙÚ Ø Ø ØÓÖ ÒØ Ø ØÚØ Ø Ð º ÅÙ ÙØÙÚ Ø Ø ØÓÖ ÒØ Ø ÓÚ Ø Ù Ò ÐÔÔÓ ØÓØ ÙØØ º ¾º º½º Ä Ú ØØÝÚ ÔÙÙ ÅÓÚ ¹ØÓ¹ ÖÓÒØ ¹ ÙÖ Ø Ò Ú Ø Ò Ö ØÝ ÔÙ Ø Ø ÐØ ÓÒ ÑÓÚ ¹ØÓ¹ÖÓÓØ ¹ ÒØ Ó ÒÓ Ø ÙÙÖ Ò ÓÐÑÙÒ Ó ÓÒ Ú Ñ ÓÒ Ú Ø ØØÙº Ë Ù Ø Ò Ò ÓÐ Ø Ó Ø Ó Ø ØÙ Òµ Ñ Ð º ÇÒ Ò Ñ ØØ Ò ÓÐ Ñ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ô Ø ÓÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ Ó Ò ÑÖ Ò Ò Ú Ø ÑÙ ØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ÝØ ØØ ÓÒ Ú ÖÖ ÒÒÓÐÐ Ò Ò Óй ÑÙ Ò ÐÙ ÙÑÖÒº à ÐÐ ÓÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ ÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ò Ø Ò n¹ ÓÐÑÙ Ò n > 3 nô Ö ÐÐ Ò Òµ Ö ØÝ ÔÙÙ ÙÒ ÙÖ Ú Ø Ø Ò ¹ÓÔ Ö Ø ÓØ Ö ØÝ ¾

31 Ú Ñ Ò 1,2,..., n,1,2,..., n º ÌÙÐÓ Ò ÓÔ Ö Ø Ó ÓÒÓÒ Ð ÙÓ Ø ÓÒ Ú ÑÑ ÐÐ Ú ÒÓ 2 2 ÔÙÙ Ó Ø ÓÒÓÒ ÐÓÔÔÙÓ Ò ÓÔ Ö Ø ÓØ ÐÐ º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒÓÒ Ù Ø ÒÒÙ ÓÒ > n2 8 Ð ÓÔ Ö Ø Ó Ò Ø Ó Ø ØØÙ Ú Ø ÑÙ ÓÒ Ω(n)º Ä Ú ØØÝÚÒ ÔÙÙÒ ÔÐ Ý ØÖ µ Ò ÓÒ Ð ØØ ÑÓÚ ¹ØÓ¹ÖÓÓØ ¹ ÒØ Ò ÙÔÓÐÙÐÐ Ø ØÚØ ÖÓØ Ø Óغ Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ñ Ö Ò ÙÚ ¾º Ø ØØÝ ÔÙÙØ º ÃÙÚ ¾º Ñ Ö ÔÙÙº Ä ØØ ÙÙÖ Ø Ó Ø Ø ØØÚ ÓÐÑÙ Ø Ñ Ö ÓÐÑÙ µ ÚÓ Ò Ð¹ ÙÔ Ö Ò Ò ÔÙÙ ÓÐÑ Ò Ó ÔÙÙ ÙÒ Ø ØØÚ ÓÐÑÙ Ô Ò ÑÑØ ÓÐÑÙØ Ú Ò ÔÙÙµ Ø ØØÚ ÓÐÑÙ ÙÙÖ ÑÑ Ø ÓÐÑÙØ Ó ÔÙÙµ ØÓ Ø ØØ Ð ÑØØ ÑØ ÓÐÑÙغ ÃÙÚ ¾º ÓÒ Ø ØØÝ Ú Ò Ó ÔÙÙ Ò Ø Ð ÒØ ÙÒ ÓÐÐ Ò Ð Ý ØØÝ ÓÐÑÙ º À ÙÔÓÐÙÐÐ ØÒ ÓÐÑÙ ÖÖ ÐÐ Ò Ó ÑÓÐ ÑÑ Ø Ð Ø Ø ¹ Ò Ó ÐÐ Ú Ø Ú Ø Ú ÑÑ ÐÐ µ ÙÓÖ Ø Ø Ò ÖÓØ Ø Ó Ú ÑÑ ÐÐ Ú Øº Ó ÐÐ µº Ñ Ö ÑÑ Ò ÑÑ Ø Ø ÚÓ Ø ØØ Ú Ø ÓÐÑÙØ ÓÚ Ø ½¼ Ò Ø Ð Ø ÚØ Ð Ò Ø ÙÔÓÐÙÐÐ ÓÚ Ø Ö ÙÙÒØ Òº Ë ÙÖ Ú Ø ÓÐÑÙØ ÓÚ Ø Ó Ø ÙÑÑ Ø Ò Ð Ø¹ Ø ÙÖ Ø Ò Ú ÑÔ Ð Ò ÓØ Ò Ø Ò ÖÓØ Ø Ó Ó ÐÐ º ÄÓÔÙ ÙÔÓÐÙÐÐ ÚÙØ Ø Ò Ø ØØÝ ÓÐÑÙ º Ø ÒÒÒ ØÙÐÓ Ò ÓÐ Ú Ò ÔÙÙÒ ÙÙÖ ÓÒ Ø ØØÝ ÓÐÑÙ Ò Ó Ú Øº Ú Òµ Ð Ô ÓÒ Ó Ò Ú Øº Ú ÑÑ Òµ ÔÙÙÒ ÙÙÖ º Ø ØÝÒ ÓÐÑÙÒ Ó ¹ Ú Øº Ú Òµ Ð ÔÙÙ Ð ÙÔ Ö ÔÙÙ Ð Ø ØÒ Ó Ò Ú Øº Ú ÑÔ Òµ ÔÙÙ¹ ÙÒ Ð Ø Ò Ø ÓØ Ò Ò Ô ÓÒ Ø ÑÐÐ Ø ÑÖØØݵº Ñ Ö ÑÑ ÓÐÑÙ Ð Ø ØÒ Ó Ò ÔÙÙÒ ÓÐÑÙÒ Ú ÑÑ Ð Ô º Ã Ð Ú ØØÝÚÒ ÔÙÙÒ ÒÓÖÑ Ð Ø ÔÙÙÓÔ Ö Ø ÓØ Ô ÖÙ ØÙÚ Ø ¹ÓÔ Ö Ø ÓÓÒº ÈÙ ¹ Ò T 1 T 2 Ý ØÑ Ò Ò Ó Òµ ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø Ú Ò Ó ÔÙÙÒ T 1 Ú Ñ Ø ÓÚ Ø Ô Ò ÑÔ Ù Ò ÔÙÙÒ T 2 Ú Ñ Øº ÌÐÐ Ò ÚÓ Ò ÔÙÙ T 1 Ø ¹ÓÔ Ö Ø Ó Ó Ó ØÙÙ Ð ÓÓÒ ÓÐÐ ÓÒ ÙÙÖ Ò Ú Òº ÌÐÐ Ò Ý Ò Ò Ð Ó ØÙÐ ÔÙÙÒ T 1 ÙÙ¹ Ö Ò Ó Ð ÔÙÙ ØÝ º ÈÙÙ T 2 ÚÓ Ò Ð Ø Ý Ò ÙÙÖ Ò Ó Ð ÔÙÙ º ØÑ Ò Ò ÓÒ Ø ØØÝ ÙÚ ¾º º Ð ÓÒ x Ù Ø Ò Ø ØÚ ÔÙÙÒ Ñ Ò Ò ÔÐ Ø(x) ØÓØ ÙØ Ø Ò ÓÔ Ö Ø ÓÐÐ (x) Ó ÒÓ Ø Ð ÓÒ x ÔÙÙÒ ÙÙÖ Ñ ÓÐÐ Ø ÓÑÑ Ò ÙÑÑ Ò ÔÙÙÒ Ð ÔÙÙÒ Ö¹ ¾

32 ÃÙÚ ¾º ÃÙÚ Ò ¾º ÔÙÙ ÙÒ Ð ØØÝÚØ Ú Ò ÔÙÙ Ó ÔÙÙ ÙÒ Ø ØÒ Ð ÓØ º splay T T T 1 T ÃÙÚ ¾º Ä Ú ØØÝÚ Ò ÔÙ Ò Ý ØÑ Ò Òº ÖÓØØ Ñ Ò Ö ÐÐ ÔÙÙ º ÃÙÚ ¾º ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÑÓÐ ÑÑ Ø Ú Ö ÓØ x Ó Ó Ô Ò ÑÔ Ò Ø ÙÙÖ ÑÔ Ò Ú ÒØ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ò ÔÙÙÒ ÙÙÖ µº splay tai T T T 1 T 2 T 1 T 2 ÃÙÚ ¾º Ä Ú ØØÝÚÒ ÔÙÙÒ ÓÔ Ö Ø Ó ÔÐ Ø xµº Ð ÓÒ x Ð Ñ Ò Ò insert(x) ÐÓ Ø Ø Ò Ø ÑÐÐ ÓÔ Ö Ø Ó (x)º ÂÓ x Ð ÝØÝÝ ÔÙÙ Ø Ø ÚÓ ÒÒ Ò Ð Øº ÂÓ x ÓÐ ÔÙÙ ÔØÝÝ ÙÔÓÐ Ù x Ø Ø¹ Ø Ð Ø Ò Ó Ø ÚÓ Ò Ø Ø ÒÔ Òº ÃÓ Ø Ø Ò ¹ÓÔ Ö Ø Ó Ø Ò Ð ÓÓÒ ÒÓ Ø Ø Ò ÔÙÙÒ ÙÙÖ º ÈÙÙÒ ÙÙ ÙÙÖ ÓÒ Ð ÓØ x Ð ÒÒ Ô Ò ÑÔ Ø ÙÙÖ ÑÔ Ð Óº ÎÓ Ò ÔÙÙ Ø Ò Ó Ò Ò Ò ØØ Ó Ø ØÙÐ Ú Ø Ò ÔÙÙÒ Ú ÑÑ Ó Ð ÔÙÙ ÓÒ ÙÙÖ ØÙÐ x º ÙÚ ¾º µº Ð ÓÒ x ÔÓ ØÓ Ð Ø (x) ÐÓ Ø Ø Ò Ø ÑÐÐ (x)º ÈÙÙÒ ÙÙÖ ÒÓÙ Ò ÔÓ ¹ Ø ØØ Ú Ò Ð ÓÒ x Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ Ý Ø ØÒ ÓÔ Ö Ø ÓÐÐ Ó Òº Ð ÓÒ ÔÓ ØÓ Ð Ú Ø¹ ØÝÚ Ø ÔÙÙ Ø ÓÒ Ø ØØÝ ÙÚ ¾º½¼º Ä Ú ØÝ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ø Ó Ø ØØÙ Ú Ø ÑÙ n¹ ÓÐÑÙ ÔÙÙ ÓÒ O(logn)º ÃÓ ÑÙÙØ ÓÔ Ö Ø ÓØ Ô ÖÙ ØÙÚ Ø ¹ÓÔ Ö Ø ÓÓÒ Ö ØØ ØÙÐÓ Ò ØÓ Ø Ñ Ò Ò ÐÐ º ÌÓ ØÙ Ø Ú ÖØ Ò ÒÒ ØÒ Ð Ú ØØÝÚÒ ÔÙÙÒ Ó Ò ÓÐÑÙÙÒi ÒØ Ô ÒÓwt(i) > 0º ËÓÐÑÙÒ i Ó Ó s i ÓÒ Ð Ó Ò Ô ÒÓ Ò Ð ÔÙÙ ÓÒ ÙÙÖ i ÓÒº ËÓÐÑÙÒ Ø r(i) ÓÒ logs(i) Ø Ö Ø ÐØ Ú Ò Ð Ú ØØÝÚÒ ÔÙÙÒ ÔÓØ ÒØ Ð ÓÒ Ò ÓÐÑÙ Ò Ø Ò ÙÑÑ º ÌÓ ØÙ ÙÔÓÐ Ù ÔÓÐ Ù ÙÙÖ Ø Ú Ø ØØÙÙÒ Ð ÓÓÒµ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ¹ ÐØ ÖÖ ÐÐ Òº ÈÓØ ÒØ Ð Ò ÑÙÙØÓ Ò Ð Ñ ÓÒ ÙÓÑ Ó Ø Ú ÙÔÓÐÙÒ ÓÐÑÙ Ò ¼

33 split x T T 1 T 2 T 1 T 2 ÃÙÚ ¾º Ä Ú ØØÝÚÒ ÔÙÙÒ ÓÔ Ö Ø Ó Ò ÖØ xµº access x join T T T T 1 2 T ÃÙÚ ¾º½¼ Ð ÓÒ x ÔÓ Ø Ñ Ò Ò Ð Ú ØØÝÚ Ø ÔÙÙ Ø º Ð ÔÙ Ò ÑÙÙØÓ Ø ÙÒ Ø Ò ÑÙ ÙØØ Ñ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÙÙÐÙÚ Ø ÖÓØ Ø Óغ ÂÓ ÐÐ Ò Ð Ò Ó ÐÐ ÚÓ Ò Ö Ò ØÓ Ø ØÓ ØÙ Ò Ý ØÝ Ó Ø Ð ÝØÝÚØ ÖØ Ð Ø ËÐ ØÓÖ Ò Ì Ö Ò Ë Ð ¹ Ù Ø Ò Ò ÖÝ Ö ØÖ Âº Å ¾ ½ µ ¾¹ µ ØØ Ó t ÓÒ Ý Ò ÙÔÓÐÙÒ Ó Ò ÝÐ Ò ÓÐÑÙ v ÓÒ Ò Ð Ò ÓÐÑÙ Ò Ò Ø Ó Ø ØØÙ ØÓ ÐÐ Ò Ò ¾ Ý µ Ð ÙÔÓÐÙÐÐ ØÝÒ Ñ Ø Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò ÑÙÙØÓ Ò ÙÑÑ µ ÓÒ ÓÖ ÒØ Ò 3(r(t) r(v))+1 = O(log s(t) s(v) ). A x y B C (a) A B x y C A x z y C B D (b) A x y B C z D z y x A B C D (c) x y z A B C D ÃÙÚ ¾º½½ ÊÓØ Ø ÓØ ÙÔÓÐÙÐÐ Ø ØØ ÓÐÑÙ xº ÂÓ ÐÐ Ø Ô Ù ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ÑÝ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ú Ø Ò º ÌÙÐÓ ÚÙØ Ø Ò ÙÒ Ñ Ö ÙÚ Ò ¾º½½ Ø Ô Ù (b) ÙÓÑ Ó Ò Ø Ò ÑÙÙØÓ Ø ÓÐÑÙ x y zº ÌÓ Ò Ò Ô ÖÙ Ø Ô Ù ÓÒ Ó ÐØ Ø ÙÐ Ø Ò ÚÙÓÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÑÑ ÐÐ Ó ÐÐ ÙÚ ¾º½½(c)µº Ö Ò ÓÒ Ú Ð Ø Ðع Ú Ø Ð ÒÒ ÙÚ ¾º½½(a)µ Ó ÙÔÓÐÙÒ Ô ØÙÙ ÓÒ Ô Ö ØÓÒ ÐÓÔÙ ÙÔÓÐÙÐÐ ØÒ Ú Ò Ý ÖѺ À ÙÔÓÐ Ù Ø ÓÐÑÙ Ò t v ÖÓÓÐ Ø Ú ØÙÚ Ø Ò Ò ØØ Ð ØØ Ó Ó ÙÔÓÐÙÒ Ù Ø ÒÒÙ ÑÙ Ò ØÙÐ Ú Ø Ú Ò ÙÙÖ Ò Ø r(t) Ø ØØÚÒ Ð ÓÒ Ø r(v) ÑÙ Ò ÙÔÓÐÙÒ ÓÐÑÙ Ò Ø Ò ÙÔ ØÙ ÙÑÑ Ø ÔÓ º Ä Ù ¾º ÇÐ ÓÓÒ n¹ ÓÐÑÙ Ò Ð Ú ØØÝÚÒ ÔÙÙÒ ÙÙÖ tº ÇÔ Ö Ø ÓÒ (v) Ø Ó Ø ØØÙ Ú Ø ÑÙ ÓÒ ÓÖ ÒØ Ò 3(r(t) r(v))+1 = O(log s(t) s(v) ). ½

34 Ä Ù Ø ¾º ÙÖ ØØ Ò Ø Ú ÒÓÑ Ø Ò Ð Ú ØØÝÚÒ ÔÙÙ ÙÒ Ó ØÙÚ Ò ÓÔ Ö Ø Ó Ò Ò ÖØ Ð Ø Ó Ò ÔРص Ø Ó Ø ØØÙ Ú Ø ÑÙ ÓÒ O(logn)º Ä Ù ¾º ÓÒ ÚÓ Ñ ÐÐ Ô ÒÓ Ò wt(i) > 0 Ú Ð ÒÒÓ ÐÐ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ø Ð ÒÒ ØØ Ó m ¹ÓÔ Ö Ø ÓØ Ó Ø Ø Ò Ð Ú ØØÝÚÒ ÔÙÙ ÙÒ Ó ÓÒ n ÓÐÑÙ Ó ¹ Ò ÓÐÑÙÒ Ô ÒÓ ÓÒ 1 º ÌÐÐ Ò ÓÐÑÙÒ ÙÙÖ Ò Ñ ÓÐÐ Ò Ò Ó Ó ÓÒ s n + = 1 Ô Ò Ò Ñ ÓÐÐ Ò Ò Ó Ó ÓÒ s = 1 º Ä Ù Ò ¾º ÑÙ Ò Ý Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ø Ó Ø ØØÙ ÓÒ n ÓÖ ÒØ Ò a = 3(r(t) r(v))+1 = 3(logs(t) logs(v))+1 3(log1 log 1 n )+1 = 3log 1 n +1 = 3logn+1. ÈÓØ ÒØ Ð Ô Ò Ò ÓÔ Ö Ø Ó ÓÒÓÒ ÙÓÖ ØÙ Ò Ò ÓÖ ÒØ Ò Φ = n (logs + logs ) = i=1 n logn = nlogn, j=1 ÓØ Ò ÓÔ Ö Ø Ó ÓÒÓÒ ØÓ ÐÐ Ò Ò ÓÒ Ó ÒØ Ò a+ Φ = m(3logn+1)+nlogn = O((n+m)logn+m). ÂÓ Ý Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ô ÑÑ Ò Ø Ô Ù Ò Ú Ø ÑÙ ÓÐ O(logn) ÙØ Ò ÓÒ Ø ¹ Ð ÒÒ Ñ Ö ÎĹÔÙ Ò Ó ÐÐ ÓÐ ÓÔ Ö Ø Ó ÓÒÓÒ Ù Ø ÒÒÙ O(mlogn)º ÂÓ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ø ÖÔ Ô Ø ÓÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ ÓÒ Ð Ú ØØÝÚ ÔÙÙ Ý Ø Ø Ó Ù Ò ÎĹÔÙÙº ÌÐÐ Ò Ò Ñ ØØ Ò ÖØÓ Ò ÓÐ Ú Ò Ø ÖÑ Ò n Ú ÙØÙ ÝÑÔØÓÓØØ Ò Ú ¹ Ø ÑÙ Ò Ú º Î Ð Ø Ñ ÐÐ ÓÐÑÙ Ò Ô ÒÓØ Ö Ø ÚÓ Ò ÚÓ Ò Ð Ù Ø ¾º Ó Ø ÑÙ Ø Ò Ñ Ð Ò¹ ÒØÓ ØÙÐÓ º Ä Ú ØÝ ÓÔ Ö Ø Ó ÓÒ Ò ÐÓ Ò Ò ÑÓÚ ¹ØÓ¹ ÖÓÒØ ¹ ÙÖ Ø Ò Ò º ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò Ö¹ Ú Ù ÓÒ ØØ ÑÝ Ð Ú ØØÝÚØ ÔÙÙØ ÓÐ Ú Ø ÐÔ ÐÙ Ý Ý º ÌØ Ò º ÝÒ Ñ ÓÔØ ¹ Ñ Ð ØÝ ¹ ÓÒ ØÙÙÖ Ù Ø Ò Ò ÓÐ ÔÝ ØÝØØÝ ØÓ Ø Ñ Òº ¾º º¾º Î ÒÓ Ì Ð Ó Ø Ö Ø ÐØ Ú Ø ØÓÖ ÒÒ Ò º Ú ÒÓ Û Ôµ ØÓØ ÙØØ ÔÖ Ó¹ Ö Ø ØØ ÓÒÓÒº Ì ØÚÒ ÓÒ ÝÐÐÔ Ø Ó Ó ÐÑ ÒÒ ØÙÒ Ô ÖÙ ÓÙ ÓÒ Ð ÓÚ Ö Ø Ó ¹ ÓÙ Ó ÙÓÖ ØØ Ò ÐÐ ÙÖ Ú ÓÔ Ö Ø Ó Ø Ð Ø Ñ Ò hµ Ô Ð ÙØ Ó ÓÙ ÓÒ h Ô Ò ÑÑÒ Ð ÓÒ ÖÚÓ ÔÓ Ø Ô Ò Ò Ð Ó ÓÙ Ó Ø Ò ÖØ x,hµ Ð Ð Ó x Ó ÓÙ ÓÓÒ h Ñ Ð h 1,h 2 µ Ð Ó ÓÙ ÓÒ h 2 Ð ÓØ Ó ÓÙ ÓÓÒ h 1 ØÙ Ó h 2 Ñ ÒÙÐÐ hµ ÑÙÓ Ó Ø ØÝ Ó ÓÙ Ó ÓÒ Ò Ñ ÓÒ hº ¾

35 ÂÓ Ò Ò ÓÙ Ó Ø ØÒ Ò Ö ÔÙÙÒ ÓÒ Ó ÓÐÑÙ ÓÒ Ð Ó Ó ÓÒ ÖÚÓÐØ Ò Ô Ò ÑÔ Ù Ò Ò Ð Ð Øº Ã Ò ÙÙÖ ÓÒ Ò Ò Ô Ò Ò Ð Óº Ò Ö ÔÙÙÒ Ó ÔÓÐÙ ÙØ ÙØ Ò ÙÙÖ Ø Ð Ú Ó Ø Ó Ó ØØ Ñ ÙÖ Ú ÔÓй Ù Ú Ø Ú Ø Ú Ò ÔÓÐ Ù Ð ÙÙÖ Ø ÙÖ Ú ÑÔ Ó Ó ØØ Ñ º ÇÔ Ö Ø Ó Ð Ø Ñ Ò ÚÓ Ò ÙÓÖ ØØ Ò Ò ØØ Ø h ÔÓ Ø Ø Ò ÙÙÖ ÓÖ¹ Ú Ø Ò h ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ñ Ð h 1,h 2 µ ØÙÐÓ ÐÐ ÙÒ h 1 h 2 ÓÚ Ø ÙÙÖ Ò Ó Ú Ò Ð ¹ ÔÙÙº ÇÔ Ö Ø Ó Ñ Ð h 1,h 2 µ ÚÓ Ò ÔÙÓÐ Ø Ò ÙÓÖ ØØ Ø Ò ÑÐÐ Ð ÔÙ Ò Ó Ø ÔÓÐ Ù ÙÙÖ Ø Ð Ø Ò ÐÓÑ ØØ Ñ ÐÐ ÔÓÐÙ ÐÐ ÓÐ Ú Ø ÓÐÑÙØ Ú Ú Ò Ö ØÝ Òº Å Ð ¹ÓÔ Ö Ø ÓØ ØÙÚ Ø Ó Ò ÔÓÐ Ù Ò Ô ÒØÝ º È Ö ÒØ Ò Ò Ö Ø Ù Ó Ò ÔÓÐ Ù Ò Ô ÒØÝÑ Ò ÙØØ Ñ Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÓÒ ÝÐÐÔ Ø ÓÐÑÙ Ø ØÓ Ò Ò Ó ¹ Ò Ú ÑÔ Ò Ð Ø Ò Ø ÝÝ Ø Ð Ø ÓÐÑÙ Ø º Î ÑÑ ØÓÐ Ð Ø Ø Ôµ ÐÝ Ò ÔÓÐ Ù Ó Ø ÓÐÑÙ Ø Ð Ø Ò ÙÐ Ò Ó Ò Ð Ô Ò ÙØØ Ø ÑÝ ÔÙÙØØÙÚ Ð ÔÙÙ ÐÙ Ø Ò Ð µº ÌÑÒ ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÚÓ Ñ Ô ØÑ ÓÒ ÐÓÑ ¹ ØÙ ÔÓÐÙ ÐÐ ÓÐ Ú Ò ÓÐÑÙ Ò Ø Ð Ø ØÓ Ø Ø Ò Ò ØÙØ ØØ Ú Ñ Ð ¹ÓÔ Ö Ø Ó Ò Ð Òº Î ÑÑ ØÓÐ Ò Ò ÔÖ ÓÖ Ø ØØ ÓÔ Ö Ø Ó Ò Ô ÑÑ Ò Ø Ô Ù Ò Ú Ø ÑÙ ÓÒ O(log n)º Î Ø Ú ÑÙ ÙØÙÚ Ø ØÓÖ ÒØ Ú ÒÓ Ñ ÒØ Ô Ò Ò Ú ÙØÙ Ò ÑÙ ÙØÙ ÓÔ Ö Ø ÓÐÐ Ó Ø Ò Ó Ò Ñ Ð ¹ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ý Ø Ý º ÅÙ¹ ÙØÙ ÓÔ Ö Ø Ó Ú Ø ÐÓÑ Ø ØÙØ ÓÐÑÙØ Ó Ø Ð Ô Ø Ú ÑÑ Ò Ò Ð Ô Ø Ú ÑÑ Ø Ó ÐÙ ÙÙÒÓØØ Ñ ØØ Ú Ñ Ò ÓÐÑÙÒ Ð Ø º ÃÙØ Ò ÑÙ ÙØÙÚ Ò Ø ¹ ØÓÖ ÒØ Ò Ô Ö ØØ Ò ÙÙÐÙÙ ØØ ÙÙ ÐÐ Ò Ö Ø ÐÝ ÒØ ÓÚ ÐÐ Ø Ò Ó Ò Ñ Ð ¹ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ý Ø Ý Ö ÔÔÙÑ ØØ Ò Ø Ð Ø º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ñ Ö Ò ÙÚ Ò ¾º½¾ Ø Ð ÒÒ ØØ º ÃÙÚ Ò Ú ÒÓ Ò Ó Ò Ñ Ð ¹ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÐÓÔÔÙØÙÐÓ ÓÒ Ø ØØÝ ÙÚ ¾º½ Ó ÐÐ º h h ÃÙÚ ¾º½¾ Ã Ú ÒÓ º Å Ð ¹ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ú Ñ Ò Ú Ò Ø Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ô Ø Ú ÒÓ Ò Ó Ò Ó Ø ÔÓÐÙØ ÐÝ Ý Ò ÒÓÔ ÙØØ ÙÖ Ú Ñ Ð ¹ÓÔ Ö Ø Ó Ø º Ì Ñ Ð Ú ÒÓ ÓÒ ÑÙ ÙØÙ¹ Ú Ø ØÓÖ ÒÒ º Å Ð ¹ÓÔ Ö Ø Ó ÓÒ Ò Ô ÖÙ ÓÔ Ö Ø Ó Ó ÓÒ Ô ÖÙ ØÙ Ò Ò ÑÙÙØ ÓÔ Ö Ø ÓØ ØÓØ ÙØ Ø Òº ÅÖ Ø ÐÐÒ Ú ÒÓÒ Ò ÓÐÑÙÒ x Ô ÒÓ wt(x) Ò Ò ÓÐÑÙ Ò ÐÙ ÙÑÖÒ Óع ÓÚ Ø Ò Ð ÔÙÙ ÓÒ ÙÙÖ x ÓÒº ËÓÐÑÙ Ù Ø Ò Ò ÙÙÖØ µ ÒÓØ Ò Ö ¹

36 ÃÙÚ ¾º½ ÃÙÚ Ò ¾º½¾ Ú ÒÓØ Ø ÐÓÑ ØÙ Ò Ð Ò Ú ÑÑ ÐÐ µ ÑÙ ÙØÙ ÓÔ Ö ¹ Ø ÓÒ Ð Ò Ó ÐÐ µº ÀÙÓÑ ØØ ÓÐÑÙ ¾ ÔÝ ÝÝ ÓÐÑÙÒ ¾¼ Ú ÑÔ Ò Ð Ô Ò ÐÐ ¾¼ ÓÐ ÐÓÑ ØÙ ÔÓÐÙÒ Ú Ñ Ò Ò ÓÐÑÙº Ó Ò Ô ÒÓÐÐ wt(x) Ò Ú Ò ÑÑ Ò p(x) Ô ÒÓÐÐ wt(p(x)) ÓÒ ÚÓ Ñ wt(x) > wt(p(x))/2º ÅÙÙÐÐÓ Ò ÓÐÑÙ ÓÒ ÚÝغ ËÓÐÑÙÒ Ð Ô Ø Ú Ò ØÓ Ò Ò ÚÓ ÓÐÐ Ö ¹ º Ë ÑÓ Ò ÓÒ ÐÔÔÓ ØÓ Ø ØØ Ñ ÐÐ Ø Ò n¹ ÓÐÑÙ Ò Ú ÒÓÒ Ò ÔÓÐÙÐÐ ÚÓ ÓÐÐ ÓÖ ÒØ Ò logn ÚÝØØ ÓÐÑÙ º ÌÑÒ Ó Ó ØØ Ñ Ñ Ö ØÒ Ò ÙÙÖØ Ü ÐÐ ÔÓÐÙÒ Ú Ñ Ø ÓÐÑÙ Ý Ðк ÂÓ ÔÓÐÙÐÐ ÓÒk ÚÝØØ ÓÐÑÙ Ò Ò ÔØ wt(y) wt(x)/2 k º à ÖØÓÑ ÐÐ ÔÙÓÐ ØØ Ò 2 k ÐÐ Ñ ÐÐ ÔÙÓÐ ØØ Ò wt(y) ÐÐ ÓØØ Ñ ÐÐ ÑÓÐ ÑÑ Ø ÔÙÓ¹ Ð Ø ÐÓ Ö ØÑ Ø Ò k log( wt(x) wt(y) ) = logn, ÐÐ wt(x) = n x ÓÒ ÙÙÖ µ wt(y) = 1 y ÓÒ Ð Ø µº Å ÐÐ Ø Ò n¹ ÓÐÑÙ Ò Ú ÒÓÒ Ò ÔÓÐÙÐÐ ÓÒ ÓÖ ÒØ Ò logn ÚÝØØ ÓÐÑÙ º Î ÒÓÒ Ò ÔÓØ ÒØ Ð ÑÖ Ø ÐÐÒ ÒÝØ Ò Ò ÓÐÑÙ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓØ ÓÚ Ø Ö Ø Ó Ø Ð Ô º ÃÙÚ ¾º½¾ Ò h 1 ÔÓØ ÒØ Ð ÓÒ ½ ÐÐ ÓÐÑÙ ½¼ ÓÒ Ò ÒÓ Ö Ó Ð Ô º Ã Ò h 2 ÔÓØ ÒØ Ð ÓÒ ¼º ÈÓØ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ ÑÖ ØØ ÐÝÒ Ö¹ ÚÝÝ Ø ÚÓ Ò ÒÓÔ Ø Ú ÙÙØØ ÙØÙ ÙÖ Ú ÐÐ ÔØØ ÐÝÐк ÂÓ Ñ Ð ¹ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÙÓÖ ØÙ Ò ÙÐÙÙ Ò ÑÑÒ Ù Ò O(logn) Ò Ò Ó ÔÓÐÙ ÓÒ ÓÐÐÙØ Ô Ð ÓÒ Ö Ø ÓÐÑÙ ÐÐ ÚÝ Ø ÓÐÑÙ ÓÒ Ñ ÐÐ Ø Ò ÔÓÐÙÐÐ ÓÖ ÒØ Ò logn º ÃÓ ¹ Ó ÐÐ ÔÓÐÙ ÐÐ ÓÐÐ Ø Ö Ø ÓÐÑÙØ ÐÓÔÔÙØ Ð ÒØ ÓÚ Ø Ú ÑÔ Ð Ô Ú Ò ÔÓØ ÒØ Ð ÙÙÖ Ò Ò Ô Ð ÓÒ Ù Ò ÝÐ ØØ O(logn) Òº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ø Ò Ñ Ð ¹ÓÔ Ö Ø Ó Ú ÒÓ ÐÐ Ó ÐÐ Ó Ò ÓÐÑÙ Ò ÐÙ ÙÑÖØ ÓÚ Ø n 1 n 2 º ÇÐ Ø Ø Ò ÐÐ Ò ØØ Ò Ò Ú ÒÓ Ò Ó Ò Ó ÐÐ ÔÓÐÙ ÐÐ ÓÒ Ö Ø ÓÐÑÙ Ú Ø Ú Ø k 1 k 2 ÔÔ Ð ØØ º Ê Ò ÓÐÑÙ Ò Ð Ó ÐÐ ÔÓÐÙ ÐÐ ÓÒ Ý Ø Ò ÙÙÖØ ÐÐ Ø ÝÒ ÙÓÑ ÓÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÚÝ Ø ÓÐÑÙ ÓÖ ÒØ Ò logn 1 logn 2 ÔÔ Ð ØØ º Ø Ò ÚÝ Ø ÓÐÑÙ ÓÒ Ó ÐÐ ÔÓÐÙ ÐÐ ÓÖ ÒØ Ò

37 2 logn 1 ÙÒ n = n 1 + n 2 º Å Ð ¹ÓÔ Ö Ø ÓÒ ØÓ ÐÐ Ø ÚÓ Ò ÖÚ Ó ÝÐ Ô Ò Ð Ù ÐÐ 1+2 logn +k 1 +k 2. Ì Ó Ø ØØÙ ÑÖØØ ÓÒ Ð ÙÓÑ Ó Ø Ú ÔÓØ ÒØ Ð Ò ÑÙÙØÓ º Ç ÔÓ¹ ÐÙ ÓÐÐ Ø Ö Ø ÓÐÑÙØ ÑÙÙØØÙÚ Ø Ú ÑÑ Ð Ô ØÑÒ ÚÙÓ ÔÓØ ÒØ Ð Ô ¹ Ò Ò (k 1 +k 2 ) ÐÐ º ÌÓ ÐØ ÓØ ÙØ ÑÑ Ò Ú ÑÔ Ò Ð Ô Ò ÓÐÐ Ø Ö Ø ÓÐÑÙØ ÑÙÙØØÙÚ Ø Ó º ÂÓ Ø Ó Ð Ô ÑÙÙØØÙÒÙØØ Ö Ø ÓÐÑÙ Ú Ø ÐÓÔÔÙ¹ Ø Ð ÒØ Ú ÑÑ ÐÐ ÔÓÐÙÐÐ ÓÐ Ú ÚÝØ ÓÐÑÙº ÃÓ ÐÐ n¹ ÓÐÑÙ Ò Ú ÒÓÒ Ò ÔÓÐÙ ÐÐ ÓÒ ÓÖ ÒØ Ò logn ÚÝØØ ÓÐÑÙ ÔÓØ ÒØ Ð ÚÓ Ú ØØ Ò ÑÔ Ò Ò ÓÐÑÙ Ò Ú ÙØÙ Ø ÓØ ÑÙÙØØÙÚ Ø Ñ Ð ¹ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ý Ø Ý Ú ÑÑ Ø Ó º ÌØ Ò Ñ Ð ¹ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ø Ó Ø ØØÙ ÚÓ Ò ÖÚ Ó ÝÐ Ô Ò Ð Ù ÐÐ 1+2 logn +k 1 +k 2 + logn k 1 k 2 3 logn +1. Å Ð ¹ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ø Ó Ø ØØÙ ÓÒ O(logn)º È Ö ÒØ Ñ Ð Ú ÒÓÒ Ò Ô ÑÑ Ò Ø Ô Ù Ò Ú Ø ÑÙ ÓÒ Ω(n)º ÌÑ Ò Ò Ø Ö Ø Ð Ñ ÐÐ Ñ Ö ÓÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ Ñ ÒÙÐÐ(h) Ò ÖØ((n/2)+1,h) Ò ÖØ((n/2) 1,h) Ò ÖØ((n/2)+2,h) Ò ÖØ((n/2) 2,h)... Ò ÖØ(1,h) Ò ÖØ(n,h) Ð Ø Ñ Òº ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒÓÒ ÔØØÚ Ð Ø Ñ Ò ÓÔ Ö Ø Ó ÐÓÑ Ø Ø Ò ÔÓÐÙØ Ó Ò Ô ØÙÙ¹ Ø ÓÚ Ø ½ n º ÃÙ Ø ÒÒÙ ÓÒ Ω(n)º ÌÑ Ó Ó ØØ ØØ Ú ÒÓ ÓÐ Ô Ö ÒØ 2 Ñ Ð Ø Ó Ð ÓÒ ÓÐ Ñ ÓÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ Ó Ò Ý ØØ Ø ÓÔ Ö Ø ÓØ ÓÚ Ø ÙÓ¹ Ñ ØØ Ú Ò ÐÐ Ø º Ì Ö Ø ÐØ Ö ØØÚÒ Ô Ø ÓÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ Ý ØØ Ø Ò ÐÐ Ò ÓÔ Ö Ø Ó Ò Ù Ø ÒÒÙ ÙØÙÙ ÓÒÓÒ ÑÙ ÐÐ ÓÔ Ö Ø Ó ÐÐ º ¾º º Ñ Ö Ð Ö Ó Ø ÇÒ ÐÑ Ò Ú Ø ÚÙÙ Ò ÐÝÝ ÓÒ Ø ØÚÒ ÐÚ ØØ Ù Ò Ô Ð ÓÒ Ø Ð ÓÒ Ð¹ Ñ Ò P Ö Ø Ù Ú ÒØÒ Ú Ø ÝØ ØØ ÒÔ Ñ Ø Ø Ò Ð ÓÖ ØÑ º Ð Ò Ð Ö ÔÝÖ ØÒ Ó Ó ØØ Ñ Ò Ó Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÐÙÓ Cº Ñ Ö ¾º½¾ Ä ØØ ÐÙÓÒ ÐÑ Ø Ö Ø ÐØ ÚÓ Ò Ö Ó ØØÙ ÐÐ Ò Ð ÓÖ Ø¹ Ñ Ò ÓØ Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ð Ø ÐØ Ú Ò Ð Ó Ò ÚÐ Ò ÑÙÓØÓ a < b a = b a > b ÓÐ Ú Ò Ú ÖØ ÐÙ Òº ÌÐÐ Ò Ø Ö Ø ÐÙ Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ ÚØ Ñ Ö ÐÐ Ø Ð ØØ ¹ ÐÙ Ð ÓÖ ØÑ Ø ÓØ Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ð Ø ÐØ Ú Ò ÐÙ Ù Ò Ò Ö ØÝ Ø Ò ØØ ÙÚ Ó Òº

38 ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÐÐ ÐÙÓ Ò C ÙÙÐÙÚ ÐÐ ÓÒ ÐÑ Ò P Ö Ø Ú ÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ A ÔØ ÙÖ Ú Ó T max (n) = T(n) ÓÒ A Ò Ú Ø ÑÙ Ò Ò T(n) = Ω(f(n))º Ë ÐÐÓ Ò ÒÓØ Ò ØØ T(n) ÓÒ P Ò Ú Ø ÑÙ Ò Ð Ö Ð ÓÖ ØÑ ÐÙÓ C Ô ÑÑ Ø ¹ Ô Ù º ÇÐ ÓÓÒ f(n) ÓÒ ÐÑ Ò P ÓÒ Ò Ö ÙÖ Ú Ø ÑÙ Ò Ð Ö ÐÙÓ Cº ÇÒ¹ ÐÑ Ò P Ö Ø Ù Ð ÓÖ ØÑ A ÓÒ ÓÔØ Ñ Ð Ò Ò Óº Ö ÙÖ Ú Ø ÑÙ Ò Ù Ø Ò ÐÙÓ C Ó A Ò Ö ÙÖ Ú Ø ÑÙ ÓÒ O(f(n))º ÅÓÒ Ð Ö ØÓ ØÙ ÝØ ØÒ Ð ÓÖ ØÑ ÐÙÓ Ò Ö Ñ Ò ÔØ ÔÙ Ø º ȹ Ø ÔÙÙ ÓÒ Ö ÒÒ Ó ØØ Ð ÓÖ ØÑ Ò ÐØÑ Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ò ÙÓÖ ØÙ Ø Ò Ó Ó Ð¹ Ñ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ð ÑÑ Ò Ð ØØ ÐÙÓÒ ÐÑ Ò Ð ØØÝÚ ÔØ ÔÙ Ø º Ì ØÚÒ ÓÒ Ð ¹ Ø ÐÐ n Ð ÓØ ÑÙÓØÓ a < b a = b a > b ÓÐ Ú ÐÐ Ú ÖØ ÐÙ ÐÐ º Ë Ø Ú ÔØ ÔÙÙ ¹ T n ÓÒ Ò Ò Ý Ð Ø ÙØ Ò Ð Ø ÐØ Ú Ò Ð Ó Ò Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ Ó Ø º Ä Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ Ò Ò n!º Ñ Ö ¾º½ ÇÐ ÓÓÒ n = 3 ÓÐ ÓÓÒ Ð ÙØ Ð ÒÒ ÓÒ A[1] = a A[2] = b A[3] = cº ÌÙÐÓ Ò ÙÚ Ò ¾º½ ÑÙ Ò Ò ÔØ ÔÙÙº a<b? b<c? a<c? a<b<c a<c? b<a<c b<c? a<c<b c<a<b b<c<a c<b<a ÃÙÚ ¾º½ Ñ Ö Ò Ð ØØÝÚ ÔØ ÔÙÙº Ä Ù ¾º ÂÓ Ò Ò Ú ÖØ ÐÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ð ØØ ÐÙ Ð ÓÖ ØÑ Ø Ô ÑÑ Ø Ô Ù ¹ Ò Ò logn! = Ω(nlogn) Ú ÖØ ÐÙ º ÌÓ ØÙ º ÂÓ Ò Ö ÔÙÙ ÓÒ k Ð Ø Ò Ò ÔÙÙÒ ÓÖ Ù ÓÒ Ú ÒØÒ logk º Ä Ø¹ Ø ÐÙÙÒ Ð ØØÝÚ ÔØ ÔÙÙ T n Ð Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ Ú ÒØÒ n! ÓØ Ò ÔÙÙÒ ÓÖ Ù ÓÒ Ú ÒØÒ logn! º ÃÓ ÔÙÙÒ ÓÖ Ù ÓÒ Ñ Ù Ò Ú ÖØ ÐÙ Ò ÐÙ ÙÑÖ Ô ÑÑ ¹ Ø Ô Ù Ò Ò ØÓ ØÙ ÓÒ Ú ÐÑ ÙÒ Ú Ð ÒÝØ ØÒ ØØ logn! ÓÒ Ω(nlogn)º ÎÓ Ò Ö Ó ØØ ( n n ) ( n ) n/21 n! = n(n 1)... 2)( n/2, 2 ÓØ Ò logn! n 2 log n 2 = n 2 logn n 2.