Lineaarialgebra a, kevät 2018 Harjoitusta 5 Maplella

Transkriptio

1 Lineaarialgebra a, kevät 2018 Harjoitusta 5 Maplella Tehtävä 1. Determinantti = 0, kun 2 samaa saraketta restart; with(linalg): Induktiotodistus matriisin koon ( ) suhteen. Väite. Jos ja n x n -matriisissa A on kaksi samanlaista saraketta, niin det(a) = 0. Todistus. 1) Väite on selvästikin tosi pienimmällä arvolla n = 2: 'det'(matrix(2,2,[a,a,b,b])) = det(matrix(2,2,[a,a,b,b])); 2) : Induktio-oletus. Oletetaan, että väite on tosi k x k -matriiseille; ts. kahden sarakkeen samuus vie determinantin nollaksi. 3) : Olkoon A neliömatriisi kokoa ja olkoon siinä kaksi identtistä saraketta i ja j. Koska, on matriisissa jokin muu sarake m. Kehitetään matriisin A determinantti sarakkeen m mukaan: (1.1) missä kofaktoreissa on sarakkeen m alkioiden vastaavien k x k -matriisien determinantteja. Kuhunkin näistä on "periytynyt" kaksi samanlaista saraketta sarakkeista i ja j (vaikkakaan niiden numerot eivät ehkä enää ole i ja j matriiseissa ), ja induktio-oletuksen mukaan niiden determinantit, ja siten myös y.o. summan sisältämät kofaktorit, ovat = 0. Täten myös det(a) = 0. Induktioperiaatteen nojalla väite on tosi. Tehtävä 2. Yläkolmiomatriisin determinanttisääntö Todistustehtävän hahmottelua Maplella. Kuvaillaan tilannetta esimerkillä: restart; with(linalg): A := matrix(5,5,(i,j) - if (i j) then 0 else a[i,j] fi); (2.1) Kehitetään nyt kokeeksi 1. sarakkeen suhteen: 'det(a)' = a[1,1] * 'det'(submatrix(a,2..5,2..5)) + 0 ; (2.2)

2 missä laskettava determinantti on riviä ja saraketta pienempi, mutta edelleen yläkolmiomatriisi. Induktiotodistus neliömatriisin koon n suhteen voidaan nyt helposti keksiä: 1. Asia on selvä tapauksessa n = 1: det( ) =. Tapaus n = 2 on myös tosi (katso itse se). 2. Induktioaskel. Induktio-oletus: väite pätee k x k -matriiseille jollakin arvolla k = 2, ts. sen kokoisille yläkolmiomatriiseille determinantti on diagonaalialkioiden tulo. Olkoon nyt B = ( ) yläkolmiomatriisi kokoa (k+1) x (k+1). Kehitetään se yllä olevan esimerkin tapaan 1. sarakkeen suhteen. Tässä sarakkeessa ovat kaikki muut luvut nollia paitsi ehkä ei. Nyt det(b) = = det( ), missä vastaavaksi matriisiksi tulee yläkolmiomatriisi kokoa kxk. Induktio-oletuksen mukaan det( ) =..., joten kaikenkaikkiaan det(b) =... eli päälävistäjäalkioidensa tulo. Induktioperiaatteen nojalla väite on tosi kaikilla n = 1. Tehtävä 3. Tulon "singulaarisuussääntö" Sääntö vastaa lukujen maailman tulon nollasääntöä. Oletus. Olkoot A ja B n x n -matriiseja ja B singulaarinen. Väitös. Tulomatriisi AB on singulaarinen. Todistus. Käytetään Lausetta (a) <= (b) muodossa, että niiden negaatiotkin ovat ekvivalentteja. Merkitään C := AB. Koska B on singulaarinen, on homogeenisella yhtälöllä Bx = 0 triviaaliratkaisun lisäksi nollavektorista poikkeava ratkaisu y ei 0. Mutta koska Cy = (AB)y = A(By) = A0 = 0, (lisää perustelut!) on myös yhtälöllä Cx = 0 (tämä sama) nollasta poikkeava ratkaisu y. Lauseen nojalla AB on singulaarinen. Tehtävä 4. Determinantit restart; with(linalg): A := matrix([[1,6,1,-2], [0,1,-1,2], [2,3,-2,1], [-3,2,0,3]] ); (4.1) Kehitetään 1. sarakkeen suhteen: detera := 1*(-1)^(1+1)*'det'(minor(A,1,1)) + 0*(-1)^(2+1)*'det'(minor(A,2,1)) + 2*(-1)^(3+1)*'det'(minor(A,3,1)) + (-3)*(-1)^(4+1)*'det'(minor(A,4,1)); (4.2)

3 Tästä edelleen vaikkapa Sarrusin säännöllä (ei kylläkään tässä Maplella, katso vain tulokset alempana) 'det'(matrix([[1,-1,2],[3,-2,1],[2,0,3]])) = det(matrix([[1, -1,2],[3,-2,1],[2,0,3]])), 'det'(matrix([[6,1,-2],[1,-1,2],[2,0,3]])) = det(matrix([[6, 1,-2],[1,-1,2],[2,0,3]])), 'det'(matrix([[6,1,-2],[1,-1,2],[3,-2,1]])) = det(matrix([ [6,1,-2],[1,-1,2],[3,-2,1]])); (4.3) 1* *(-21) - (-3)*21; 30 det(a); # Maplella suoraankin 30 (4.4) (4.5) B := matrix([[2, -4, 1, 8], [3,1,1,-2], [-1,-2,0,4], [3,-3, -10,6]]); (4.6) Matriisiin järjestyy nolla näin tyypin III alkeissarakeoperaatiolla, jolloin determinantin arvo ei muutu. #?addcol addcol(%,2,4,2); (4.7) joten myös matriisin B determinantti = 0.

4 Lisälasku huvin vuoksi manipuloimalla C := matrix(5,5,[-1,1,0,2,-3, 4,2,1,3,0, -6,3,0,0,9, -1, 0,2,-1,1, 2,1,0,-2,-3]); (4.1.1) addrow(%,2,4,-2); (4.1.2) Nyt kehitetään 3. sarakkeen suhteen; tätä varten ensin vastaava matriisi M[23]:= delrows(delcols(%,3..3),2..2); (4.1.3) Nollataan toista riviä: addcol(%,2,1,2):addcol(%,2,4,-3); (4.1.4) ja sen determinantti 2. rivin mukaan DETM23 := 3*(-1)^(2+2)*'det'(delrows(delcols(%,2..2),2..2)); (4.1.5) Kaikenkaikkiaan siis determinantti on (-1)*DETM23; det(c); (4.1.6) (4.1.7)

5 Tehtävä 5. 2x2-determinantit Näin det(a) Sarrusin säännöllä luku := (-2.72)* *(-3.5); evalf(luku, 2); Maplessa on myös det-käsky: 6.6 A := matrix([[-2.72, -3.5], [3.2, 1.7]]); (5.1) (5.2) det(a); B := matrix([[3*x, 4/(x+1)], [2*x, x - 1]]); (5.3) (5.4) (5.5) a) Matriisi B on singulaarinen jos ja vain jos se on määritelty ja det(b) = 0; solve(%,x); # Singulaarisuus arvolla x = (5.6) (5.7) B on määritelty, kun, ja muilla arvoilla: säännöllinen, kun ja ja. C := matrix([[3 - lambda, 2], [4, 5 - lambda]]); (5.8) b) Matriisi C on singulaarinen jos ja vain jos det(c) = 0; solve(%, lambda); C on singulaarinen arvoilla = 1 ja = 7. Kurssin lopulla ominaisarvojen yhteydessä esiintyy tyyppiä C olevia determinantteja. (5.9) (5.10)

6 Tehtävä 6. Determinanttien summa ja summan determinantti A := matrix(4,4,[2,1,-1,2,1,0,2,1,0,-2,0,3,2,-1,4,-2]); (6.1) B := matrix(4,4,[2,1,-1,2,1,0,2,1,0,-2,0,3,2,1,4,-2]); (6.2) Determinanttien summa voidaan laskea - paitsi kuten yleisesti laskemalla determinantit erikseen ja sitten summa: det(a), det(b); # käskyjä voi myös antaa jonona det(a) + det(b), det(a+b); (6.3) (6.4) - tässä myös determinanttien erikoisella yhteenlaskukaavalla (Lause 6.3.2b), koska saraketta 2 lukuun ottamatta sisällä olevat matriisit ova samat: C := matrix([ [2, 1+1, -1, 2], [1, 0+0, 2, 1], [0, -2-2, 0, 3], [2, -1+1, 4,-2]]): det(c); (6.5) Mitä tästä opimme? det(a+b) ei tavallisesti ola sama kuin det(a) + det(b).

7 Tehtävä 7. Eliminointimenetelmällä Muokataan matriisia tyypin III alkeisrivioperaatioilla, jolloin kussakin vaiheessa olevan matriisin determinantti pysyy samana lukuna. Emme nimittäin oikein voi Maplessa muokata determinantin sisällä olevaa matriisia: A := matrix([[2,-1,-2,2], [-2,2,1,1], [4,-1,-2,-3], [-2,4,2, 2]]); (7.1) addrow(%,1,2,1): addrow(%,1,3,-2): addrow(%,1,4,1); # I vaihe (7.2) addrow(%,2,3,-1): addrow(%,2,4,-3); # II vaihe (7.3) addrow(%,3,4,-1); # III vaihe, eikä skaalata johtavia ykkösiksi! (7.4) Tämä on yläkolmiomatriisi ja sen determinantti siksi on päälävistäjäalkioiden tulo, tässä myös suoraan det-käskyllä: 2*1*3*5, det(a); (7.5)

8 Tehtävä 8. Van der Monden matriisi a) Alkeellisimmin vaikkapa laskemalla determinantti ja toisaalta kertomalla auki väitetty lauseke. b) Myös voisi tyypin III sarakeoperaatioilla nollata pari ylärivin ykköstä, kehittää ekarivin suhteen ja laskea niin, että ottaa sopivasti yhteisiä tekijöitä (erotuksia). VDM3 := matrix([[1,1,1],[x,y,z],[x^2,y^2,z^2]]); (8.1) det(vdm3); tulos3 := factor(%); # det myös tulomuodossa Tässä väitetty tulo vähän muunnetussa muodossa, verrataan arvoon tulos3: simplify((y-x)*(z-x)*(z-y) - tulos3); 0 VDM4 := matrix([[1,1,1,1],[x,y,z,u],[x^2,y^2,z^2,u^2],[x^3, y^3,z^3,u^3]]); (8.2) (8.3) (8.4) det(vdm4); tulos4 := factor(%); # sama juttu simplify((y-x)*(z-x)*(u-x)*(z-y)*(u-y)*(u-z) - tulos4); # sääntö muotoutuu... 0 rivit := seq([x^k, y^k, z^k, u^k, w^k], k = 0..4); (8.5) (8.6) (8.7) VDM := matrix([rivit]); (8.8)

9 det(vdm); (8.9) tulos5 := factor(%); (8.10) simplify((y-x)*(z-x)*(u-x)*(w-x)*(z-y)*(u-y)*(w-y)*(u-z)*(wz)*(w-u) - tulos5); # taas erotus = 0 0 (8.11) Minkä konjektuurin voit tehdä yleisemmäksi tulokseksi isommillekin Van der Monden matriiseille? Näyttäisi siltä, että on laskettava kaikkien muuttujien erotusten tulo niin, että oikeanpuoleisista vähennetään vasemmanpuoleiset.