JOHDATUS DYNAAMISIIN SYSTEEMEIHIN 2013

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "JOHDATUS DYNAAMISIIN SYSTEEMEIHIN 2013"

Transkriptio

1 JOHDATUS DYNAAMISIIN SYSTEEMEIHIN 013 JOUNI PARKKONEN Tämä kurssi antaa pikaisen johdannon joihinkin dynaamisten systeemien keskeisiin käsitteisiin. Kurssi on aineopintotasoinen, esitiedoiksi riittävät ensimmäisen vuoden analyysin ja lineaarialgebran kurssit ja perustiedot euklidisen aavaruuden geometriasta ja topologiasta (avoimet ja suljetut joukot, tiheät joukot, jatkuvuus, raja-arvo jne.). Suositeltavaa lukemista kurssin tueksi on lueteltu materiaalin lopussa olevassa lähdeluettelossa, hyviä oppikirjoja ovat muunmuassa [Dev], [HSD],[HK]. Tätä kurssia suunnitellessa [HK] on ollut tärkeä lähde. 1. Johdanto Olkoon (X, d) metrinen avaruus ja olkoon f : X X. Tällä kurssilla oletamme yleensä, että f on jatkuva. Diskreetillä dynaamisella systeemillä tarkoitetaan kuvauksen f : X X iteraattien f k = f f f ja eri pisteiden x X ratojen }{{} k kertaa O + f (x) = {f k (x) : k N} tarkastelua, kun k. Muodollisesti sanomme, että kolmikko ((X, d), f, N) on diskreetti dynaaminen systeemi, missä N kertoo, mitä iteraatteja tarkastellaan. Jos f on bijektio, voidaan tarkastella myös sen negatiivisia iteraatteja f k = (f 1 ) k kaikille k < 0 ja pisteen x X täyttä rataa O f (x) = {f k (x) : k N} jolloin tarkasteltava dynaaminen systeemi on kolmikko ((X, d), f, Z). Tarkasteltavat kysymykset liittyvät ratojen asymptoottiseen käyttäytymiseen. Esimerkiksi Onko jonolla (f k (x)) k N raja-arvoa? Onko rata O f (x) tiheä? Miten lähekkäisten pisteiden radat käyttäytyvät toistensa suhteen? Disktreetissä dynaamisessa systeemissä ((X, d), f, N) tai ((X, d), f, Z) on tapana ajatella, että N tai Z on diskreetti aika. Jatkuva-aikainen dynaaminen systeemi koostuu virtauksesta (φ t ) t R, missä φ: X X on homeomorfismi, joka toteuttaa ehdon φ t φ s = φ t+s kaikilla t, s R. Jatkuva-aikaiseen dynaamiseen systeemiin ((X, d), (φ t ) t R ) voidaan liittää diskreetti dynaaminen systeemi esimerkiksi tarkastelemalla ajanhetken 1 kuvausta φ 1, joka määrää dynaamisen systeemin ((X, d), φ 1, Z). Virtauksen määrittelevän ominaisuuden perusteella pätee (φ 1 ) n = φ n. Tällä kurssilla tutustumme dynaamisiin systeemeihin suuressa määrin esimerkkien kautta. Kurssin aikana tapaamme myös joitakin dynamiikan sovelluksia muihin matematiikan aloihin kuten differentiaaliyhtälöiden teoriaan ja lukuteoriaan. Last update: 3. lokakuuta

2 Esimerkki 1.1. (1) Olkoon 0 < k < 1. Lineaarikuvauksella K : R n R n, Kx = kx on kiintopiste 0 R: K0 = 0. Lisäksi jokaiselle x R pätee L k x 0, kun k. Kaikki radat siis suppenevat kohti puoleensavetävää (attraktiivista) kiintopistettä 0. () Olkoon H : R R lineaarikuvaus L(x) = (x 1, x ). Nyt Hk (0, s) 0, kun k kaikilla s R ja (H k (s, t), kun k kaikilla t 0. Esimerkki 1.. Parametrisoidaan ympyrä S 1 kuvauksella Φ: R S 1, Φ(s) = (cos(πs), sin(πs)). Tällöin Φ(s+k) = Φ(s) kaikilla s R ja kaikilla k Z. Merkitään ympyrän pisteitä tämän kulmaparametrisoinnin avulla [s] = Φ(s) S 1. Olkoon α R. Ympyrän S 1 kierto R α : S 1 S 1 määritellään asettamalla R α ([s]) = [s + α]. Tämä määritelmä on hyvin asetettu, sillä jos k Z, niin pätee R α [s + k] = [s + k + α] = [s + α] = R α [s]. Kierron asymptoottinen käyttäytyminen riippuu vahvasti kulmasta α: (1) Jos α = p Q, missä p Z, q N {0} ja lukujen p ja q suurin yhteinen tekijä q on 1, niin R q p ([s]) = [s+p] = [s] kaikille s, joten kaikki pisteet x S 1 ovat jaksollisia q jaksolla q. () Jos α Q Q, niin kaikki radat ovat tiheitä: Jos olisi x S, jolle O + R α (x) S 1, niin olisi avoin väli U S O + R α (x). Olkoon U maksimaalinen tällainen väli. Tällöin Rα(U) k Rα(U) l = kaikilla k l, k, l Z. Jos nimittäin Rα(U) k = Rα(U), l niin Rα k l = id, mikä on mahdotonta. Koska U on valittu maksimaaliseksi, muunlainen leikkaaminen on myös mahdotonta. Mutta nythän joukko k=0 Rk α(u) koostuu keskenään samanpituisista erillisistä väleistä, joten sen pituus on ääretön. Tämä on mahdotonta, koska ympyrän pituus on 1. Huomaa, että käytämme tässä tietoa, että kierrot ovat ympyrän S 1 isometrioita. Esimerkki 1.3. Collatzin (3n + 1)-ongelma on esimerkki hyvin yksinkertaisesta dynaamisesta systeemistä, jonka ilmeistä asymptoottista käyttäytymistä ei osata todistaa. Olkoon C : N {0} N {0} määritelty asettamalla { 3n + 1, kun n on pariton C(n) = x, kun n on parillinen. Pisteen 1 rata on Kokeilemalla huomaamme, että kaikkien pisteiden radat näyttävät päätyvän lopulta tähän 3-jaksoiseen rataan. Tämä havainto on tarkastettu ainakin noin lukuun saakka. Collatzin ongelmasta voi lukea esimerkiksi artikkelista [Con] ja sen viittauksista. Esimerkki 1.4. Olkoot 0 < µ < 1 < λ. Lineaarikuvaukset φ t : R R, muodostavat tason virtauksen: φ t (x) = (λ t x 1, µ t x ) φ s φ t (x) = (λ s λ t x 1, µ s µ t x ) = (λ s+t x 1, µ s+t x ) = φ s+t (x) kaikilla s, t R ja kaikilla x R. Huomaa, että φ 1 on Esimerkin 1.1 lineaarikuvaus kuvaus H, kun λ = ja µ = 1. Siis pisteen x rata kuvauksen H määräämässä diskreetissä systeemissä sisältyy sen rataan virtauksessa (φ t (x)) t R. Piste 0 on virtauksen kiintopiste. Kaikille b R pätee φ t (0, b) 0, kun t + ja φ t (b, 0) 0, kun t. Jos a 0, pätee φ t (a, b), kun t + ja φ t (b, a), kun t. Erityisesti siis koordinaattiakselien ulkopuolisten pisteiden radat menevät äärettömyyteen, kun t ±.

3 Esimerkki 1.5. Olkoon T 3 : R R, { 3x, kun x 1 T 3 (x) = 3 3x, kun x > 1. Miten rata (T3 k (x)) k=0 käyttäytyy muuttujan x eri arvoilla? Jos x < 0, niin T3 k (x) = 3 k x, ja tällaisen jonon raja-arvo on selvästi. Jos x > 1, niin T 3 (x) < 0, joten näilläkin alkuarvoilla jonon raja-arvo on. Jos x ] 1, [, niin T 3 3 3(x) > 1, joten näilläkin alkuarvoilla jonon raja-arvo on. Jos x ] 1, [ ] 7, 8[, niin T (x) ] 1, [, jotent (x) > 1. Siis näilläkin alkuarvoilla jonon raja-arvo on.... Kuitenkin joillakin alkuarvoilla käyttäytyminen on täysin erilaista: Systeemillä on kaksi kiintopistettä 0 ja 3. 4 (T 3 ) m ( 1 ) = 1 kaikilla m N. Siis (T 3 m 3 ) M ( 1 ) = 0 kaikilla M m, joten 3 m nämä jonot ovat vakiojonoja suurilla indekseillä k. T 3 ( 3) = 3, T 4 4 3( 1) = 3, T 4 4 3( 1 ) = 1 ja niin edelleen Systeemillä on runsaasti jaksollisia ratoja esimerkiksi 9 3 ja Cantorin joukko K = [0, 1] (T3 k ) 1 (] 1 3, 3 [) = k=0 (T3 k ) 1 ([0, 1]) = {x R : T3 k (x) [0, 1] kaikilla k N} k=1 = { a i 3 1 : a i {0, } } i=1 koostuu niistä pisteistä, joiden radat sisältyvät väliin [0, 1]. Itse asiassa ne pysyvät joukossa K. Myöhemmin osoitamme, että systeemillä on ratoja, joiden sulkeuma on Cantorin joukko K. 0 1 Vaihe Joukko K k = (T3 k ) 1 [0, 1] koostuu k erillisestä suljetusta välistä Ik 0, I1 k,... 1,Ik k, joiden jokaisen pituus on 1. Koska K on joukon K 3 k k osajoukko jokaisella k N, on K siis nollamittainen joukko. 3

4 Jos valitsemme sisäkkäisen jonon Cantorin joukon konstruktiossa esiintyviä jonoja I k(1) 1 I k() I k(3) 3, niin kurssilla Analyysi 1 käsiteltävän sisäkkäisten välien periaatteen nojalla i=1 Ik(i) i on yhden pisteen joukko jokaisella tällaisella välien muodostamalla jonolla. Selvästi kahta eri jonoa vastaa kaksi eri pistettä koska jossain vaiheessa toiseen jonoon on valittu kahdesta mahdollisesta välistä oikeanpuoleinen ja toiseen vasemmanpuoleinen. Toisaalta jokainen piste määrää täsmälleen yhden jonon (I k(i) i ) k=1. Jokaiseen Cantorin joukon pisteeseen voidaan liittää yksikäsitteinen osoite, joka on jono (a i ) i=1, missä a k = 0, jos k. vaiheessa valitaan vasemmanpuoleinen kahdesta mahdollisesta jonosta ja a k = 1, jos k. vaiheessa valitaan oikeanpuoleinen väli. Jos x Ik l, niin äärellisen pituiseksi katkaistu koodi a 1a... a k on luvun l binääriesitys. Edellä esitetty koodaus antaa bijektion Cantorin joukon ja jonoavaruuden Σ = {ω : N {0, 1}} välille. Cantorin diagonaalitodistuksen avulla on nyt helppo osoittaa, että K on ylinumeroituva.. Kutistavat kuvaukset Olkoot (X, d X ) ja (Y, d Y ) metrisiä avaruuksia. Kuvaus F : X Y on K- Lipschitzkuvaus tai K-Lipschitz-jatkuva, jos d Y (F (x), F (y)) Kd X (x, y) kaikille x, y X. Jos F on K-Lipschitz jollain K > 0, niin sanotaan, että F on Lipschitz-jatkuva. Jos F on K-Lipschitz jollain K < 1, niin sanotaan, että F on (K-)kutistava. Piste x X on kuvauksen F : X X kiintopiste, jos F (x) = x. Jos kuvauksen F : X X kiintopisteellä x 0 on avoin ympäristö U, jonka kaikki pisteet ovat positiivisesti asymptoottisia pisteen x 0 kanssa, niin x 0 on (lokaalisti) em puoleensavetävä eli attraktiivinen kiintopiste. Jos taas kiintopisteellä x 0 on avoin ympäristö V siten, että kaikilla pisteillä y V {x 0 } on N(y) N siten, että F N(y) / V, niin x 0 on (lokaalisti) hylkivä kiintopiste. Lause.1 (Kutistusperiaate eli Banachin kiintopistelause). Olkoon X täydellinen metrinen avaruus. Tällöin jokaisella kutistavalla kuvauksella F : X X on täsmälleen yksi kiintopiste. Jos F on K-kutistava, niin d(x 0, F k (x)) K k d(x 0, x) kaikille x X. Todistus. Olkoon x X, ja olkoot m, n N, m < n. Tällöin n m 1 d(f m (x), F n (x)) d(f m+k (x), F m+k+1 (x)) k=0 n m 1 = k=0 n m 1 k=0 d(f m+k (x), F m+k (F (x))) K m+k d(x, F (x)) Km d(x, F (x)). 1 K Siis jono (F j (x)) j=1 on Cauchyn jono, ja koska X on täydellinen, jono (F j (x)) j=1 suppenee kohti jotain pistettä x X. Piste x on kuvauksen F kiintopiste, sillä kaikille j N pätee d(x, F (x )) d(x, F j (x)) + d(f j (x), F j+1 (x)) + d(f j+1 (x), F (x )) (1 + K)d(x, F j (x)) + K j d(x, F (x)) 0, 4

5 kun j. Metriikan positiivisuudesta seuraa, että x = F (x ). Jos x ja y ovat kiintopisteitä, niin Kd(x, y ) d(f (x ), F (y )) = d(x, y ), joten d(x, y ) = 0, ja siis x = y. Jos d(x 0, y k ) K k d(x 0, x) kaikille x X, niin sanotaan, että pisteet y k lähestyvät pistettä x 0 eksponentiaalisella nopeudella. Kutistavalla kuvauksella on siis yksikäsitteinen kiintopiste, jota kaikki radat lähestyvät eksponentiaalisella nopeudella. Propositio.. Olkoon I R on avoin väli ja olkoon x 0 I funktion g C 1 (I, R) kiintopiste. (1) Jos g (x 0 ) < 1, niin on avoin g-invariantti väli U I, joka sisältää pisteen x 0 siten, että pisteet F k (x) lähestyvät pistettä x 0 eksponentiaalisella nopeudella kaikille x U. () Jos g (x 0 ) > 1, niin x 0 on lokaalisti hylkivä kiintopiste. Todistus. Kurssin Analyysi tiedoilla. Kutistusperiaatteen avulla voidaan todistaa esimerkiksi seuraavan klassisen numeerisen menetelmän toimiminen. Jos I R on avoin väli ja funktiolla g : I R on kiintopiste x 0 I ja g(x 0 ) = 0, sanotaan, että kiintopiste x 0 on superattraktiivinen. Tällöin, jos g on riittävän siisti, vaikkapa kolme kertaa jatkuvasti differentioituva, g k (x) x 0 supereksponentiaalisella nopeudella: Kaikille K > 0 ja kaikille pisteille x, jotka ovat riittävän lähellä kiintopistettä x 0 pätee kun k. d(x 0, g k (x)) K k d(x 0, x) 0, Lause.3 (Newtonin menetelmä). Olkoon I suljettu ja rajoitettu väli. Olkoon f : I R kaksi kertaa jatkuvasti differentioituva. Oletetaan, että funktiolla f on nollakohta välillä I ja että sen derivaatalla ei ole nollakohtaa välillä I. Olkoon F : I R, F (x) = x f(x) f (x). Tällöin on jokin väli J I siten, että F J on kutistava kuvaus ja jono F k (x) suppenee kohti funktion f nollakohtaa supereksponentiaalisella nopeudella kaikilla x J. Todistus. Harjoitus. Olkoon U R n ja I R avoimia joukkoja ja f : U I R n (jatkuva) kuvaus. Tällä kurssilla tarkastelemme differentiaaliyhtälöryhmiä (1) ẋ = f(x, t), ja niihin liittyviä alkuarvotehtäviä, joissa vaaditaan lisäksi x(t 0 ) = x 0 jollain x 0 U. Merkintä ẋ(t) = x (t) tarkoittaa vektoriarvoisen kuvauksen x: R n, R 5

6 derivaattaa. Komponenteittain kirjoitettuna differentiaaliyhtälöryhmä (1) on ẋ 1 = f 1 ((x 1,..., x n ), t), ẋ = f ((x 1,..., x n ), t), (). ẋ n = f n ((x 1,..., x n ), t). Yleensä kutsumme differentiaaliyhtälöryhmää yksinkertaisemmin differentiaaliyhtälöksi. Differentiaaliyhtälön (1) ratkaisu alkuarvolla x(t 0 ) = x 0 on differentioituva kuvaus x: R n joltain avoimelta väliltä R, jolle pätee ẋ(t) = f(x(t), t) kaikilla t ja x(t 0 ) = x 0. Jos differentiaaliyhtälön oikean puolen kuvauksen arvo ei riipu muuttujan t arvosta, tämä riippuvuus jätetään pois ja tarkastellaan kuvauksen f : U R n määräämää autonomista differentiaaliyhtälöä (3) ẋ = f(x) Autonomisen differentiaaliyhtälön (3) ratkaisu alkuarvolla x(t 0 ) = x 0 on differentioituva kuvaus x: R n joltain avoimelta väliltä R, jolle pätee ẋ(t) = f(x(t)) t ja x(t 0 ) = x 0. Differentiaaliyhtälöiden kurssilla todistetaan ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöiden alkuarvotehtävien ratkaisujen olemasaolo- ja yksikäsitteisyyslause, OYlause. Kutistusperiaatteen avulla osoitamme vastaavan tuloksen differentiaaliyhtälöryhmille. Tämä on sama todistus, ns. Picardin iteraatio, jolla lause on tapana todistaa differentiaaliyhtälöiden kurssilla, jossa ei kuitenkaan välttämättä todisteta kutistusperiaatetta yleisessä muodossa. Yksiulotteinen tapaus vastaa differentiaaliyhtälöiden kurssilla käsiteltävää tapausta. Lause.4 (OY-lause). Olkoon I R avoin väli, ja olkoon U R n avoin. Olkoon f : I U R n jatkuva kuvaus, jolle kuvaus x f(t, x) on M-Lipschitz jokaisella t R. Jokaisella (a, b) I U on δ > 0 siten, että alkuarvotehtävällä { ẋ = f(t, x), (4) x(a) = b on välillä ]a δ, a + δ[ määritelty yksikäsitteinen ratkaisu. Todistus. Todistamme lauseen tapauksessa, jossa U = R n ja f on M-Lipschitz. Yleisen tapauksen todistus samalla idealla esitetään esimerkiksi Hasselblatin ja Katokin kirjassa. Olkoon siis f : R R n R n jatkuva kuvaus. Valitaan 0 < δ < 1. Olkoon M (a, b) ]a δ, a+δ[ R n. Picardin operaattori on kuvaus P a,b : C 0 ([a δ, a+δ], R n ) C 0 ([a δ, a + δ], R n ), P a,b (φ)(t) = b + t a f(s, φ(s))ds. Teemme kaksi oleellista havaintoa Picardin operaattorista: Lemma.5. Kuvaus φ: [a δ, a + δ] R n on alkuarvotehtävän (4) ratkaisu välillä ]a δ, a + δ[, jos ja vain jos se on Picardin operaattorin P a,b kiintopiste. Todistus. Kuvaus φ on Picardin operaattorin kiintopiste, jos ja vain jos (5) φ(t) = b + t a 6 f(s, φ(s))ds.

7 Jos φ on kiintopiste, se toteuttaa siis selvästi alkuehdon φ(a) = b. Lisäksi kuvaus φ on differentioituva ja toteuttaa ehdon φ(t) = f(t, φ(t)) analyysin peruslauseen nojalla. Toisaalta, jos φ on alkuarvotehtävän (4) ratkaisu välillä ]a δ, a + δ[, niin kaikilla t ]a δ, a + δ[ pätee P a,b (φ)(t) = b + joten φ on kiintopiste. t a f(s, φ(s))ds = b + Lemma.6. Picardin kuvaus on kutistava. Todistus. P a,b (φ) P a,b (ψ) = max t a δ t a t a φ(s)ds = φ(t), (f(s, φ(s)) f(s, ψ(s)))ds δm φ ψ. Lemman.6 ja Lauseen.1 mukaan Picardin operaattorilla on täsmälleen yksi kiintopiste. Lemman.5 mukaan tämä kiintopiste on tarkasteltavan alkuarvotehtävän (4) ainoa ratkaisu välillä ]a δ, a + δ[. Lausetta 4 voi soveltaa aina, kun f : U R n on C 1, sillä f B on Lipschitz-jatkuva, kun B U on suljettu pallo. Seuraus.7 (Autonominen OY-lause). Olkoon U R n avoin. Olkoon f : U R n C 1 -kuvaus. Jokaisella a R ja x 0 U on δ > 0 siten, että alkuarvotehtävällä { ẋ = f(x), (6) x(a) = b on välillä ]a δ, a + δ[ määritelty yksikäsitteinen ratkaisu. Esimerkki.8. Vaikka tarkastelemmekin lähinnä korkeampiulotteisia tilanteita, on hyvä muistaa, miten Picardin iteraatio antaa alkuarvotehtävän ẏ = y, y(0) = 1 ratkaisun: Valitaan ensimmäiseksi arvaukseksi vakiofunktio y 0 (t) = 1. Tällöin ja induktiolla y 1 (t) = P(y 0 )(t) = 1 + y (t) = P(y 1 )(t) = 1 + t t y k (t) = P(y k 1 )(t) = 0 0 ds = 1 + t, (1 + s)ds = 1 + t + t, k j=0 t k k!. Kuvausten y k muodostama jono suppenee kohti eksponenttifunktiota tasaisesti kompakteilla väleillä. 3. Autonomiset differentiaaliyhtälöt ja virtaukset Autonomisen differentiaaliyhtälön ẋ = f(x) oikean puolen kuvaus f määrää vektorikentän joukossa U. Alkuarvotehtävän { ẋ = f(x) x(t 0 ) = x 0 ratkaisu on differentioituva polku joukossa U, jonka tangenttivektori ẋ(t) pisteessä x(t) on vektorikentän f arvo (siis vektori). Lisäksi polku kulkee pisteen x 0 kautta ja toteuttaa x(t 0 ) = x 0. 7

8 x 3 1 p x Kuva 1. Vakiovektorikenttä f(x) = (1, 1) tasossa ja alkuarvotehtävän ẋ = f(x), x(0) = p = (1, 0.3) ratkaisu aikavälillä t ], ]. Esimerkki 3.1. Olkoot λ, b R. (1) Olkoon f : R R, f(x) = λ tason vakiovektorikenttä. Alkuarvotehtävän { ẋ = f(x) x(0) = b ratkaisu on affiini suora x b (t) = b + tλ. Kuvaukset φ t : R R, t R muodostavat tason virtauksen: kaikille b R. φ t (b) = x b (t) = b + tλ, φ s φ t (b) = (b + tλ) + sλ = b + (s + t)λ = φ s+t (b) () Tason lineaarisen alkuarvotehtävän { ẋ 1 = λ 1 x 1, (7) ẋ = λ x, { x 1 (0) = b 1, x (0) = b, ratkaisu on selvästi x(t) = (b 1 e λ1t, b e λt ). Kun λ < 0 < λ 1, ratkaisut käyttäytyvät kuten kuvassa. Ratkaisut lähestyvät x 1 -akselia, kun t ja x -akselia, kun t. Asetetaan ( ) λ1 0 A = diag(λ 1, λ ) = 0 λ ( ) x1 ja x =. Tällöin yhtälö (7) saadaan matriisimuotoon ẋ = Ax. x Ensimmäisissä harjoituksissa tarkastettiin, että ratkaisujen määrittämät aika-tkuvaukset φ t : R R, muodostavat tason R virtauksen. φ t (b) = (b 1 e λ 1t, x (t) = b e λ t ) 8

9 x x Kuva. Alkuarvotehtävän (7) vektorikenttä ja ratkaisuja. Esimerkki 3.. Toisen asteen lineaarisen differentiaaliyhtälön (8) y (t) + y(t) = 0 kaikki ratkaisut saadaan funktioiden sin ja cos lineaarikombinaatioina. Jokaisella alkuarvotehtävällä y (t) + y(t) = 0, y(0) = a, y (0) = b, on ratkaisu y(t) = a cos t + b sin t: Differentiaaliyhtälö (8) voidaan muuntaa tason differentiaaliyhtälöksi: Asetetaan x 1 = y ja x = y. Tällöin siis yhtälö (8) on { ẋ 1 = x (9) ẋ = x 1. 9

10 x x 1 1 Kuva 3. Differentiaaliyhtälön (9) vektorikenttä f(x) = Ax ja ratkaisut alkuarvoilla x 0 = (0.3, 1), x 0 = ( 1, 1) ja x 0 = (, ): ( ) 0 1 Matriisimuodossa yhtälö (9) on siis ẋ = Ax, missä. Yhtälö(pari)n (9) 1 0 ratkaisu on siis luettavissa edeltä: Yleinen ratkaisu on ( ) ( ) ( ) cos t sin t b1 b1 cos t + b x(t) = sin t. sin t cos t b b 1 sin t + b cos t Ensimmäisissä harjoituksissa osoitettiin, että ratkaisujen määrittämät aika-t-kuvaukset φ t : R R, φ t (b) = (b 1 e λ 1t, b e λ t ) muodostavat tason R virtauksen. Propositio 3.3. Olkoon f : U R n C 1 -vektorikenttä, jolle jokaisen alkuarvotehtävän { ẋ = f(x), (10) x(0) = x 0, maksimaalinen määrittelyväli on R. Tällöin kuvaus φ: R U U, (11) φ(t, x) = φ t (x) = ψ 0,x (t) on joukon U bijektio jokaiselle t R ja jokaiselle s, t R pätee φ s φ t = φ s+t. Todistus. Olkoon φ määritelty lausekkeella (14). Olkoon t R. Tällöin kaikille s R ja b U ja φ(s, φ(t, b)) = φ s φ t (b) = φ s (ψ 0,b (t)) = ψ 0,ψ0,b (t)(s) = Ψ 1 (s) φ(s + t, b) = φ s+t (b) = ψ 0,b (s + t) = Ψ (s) Molemmat kuvaukset Ψ 1, Ψ : R U ovat differentiaaliyhtälön ẋ = f(x) ratkaisuja. Lisäksi Ψ 1 (0) = ψ 0,ψ0,b (t)(0) = ψ 0,b (t) = Ψ (0), joten yksikäsitteisyyslauseen nojalla Ψ 1 = Ψ. Siis yhtälö φ s φ t = φ s+t pätee. 10

11 Koska erityisesti φ t φ t = φ 0 = id = φ t φ t kaikille t R, niin φ t = (φ t ) 1. Siis kuvaukset φ t ovat bijektioita. Osoitamme seuraavaksi, että toisiaan riittävän lähellä olevia alkuarvoja vastaavat ratkaisut pysyvät lähellä toisiaan. Koska Proposition 3.3 mukaan Lauseessa 3.7 tarkasteltu differentiaaliyhtälö määrää kuvausperheen, joka toteuttaa virtauksen määrittelyssä vaadittavan yhtälön, tämä havainto auttaa viimeistelemään tuloksemme differentiaaliyhtälöryhmien ja virtauksen yhteydestä. Käytämme yleistä metristen avaruuksien tulosta: Propositio 3.4. Olkoon X täydellinen metrinen avaruus, ja olkoon Y metrinen avaruus. Olkoon 0 < K < 1 ja olkoon F : X Y X jatkuva kuvaus, jolle kuvaus F y = F (, y): X X on K-kutistava kuvaus jokaiselle y Y. Olkoon g : Y X kuvaus, jonka arvo pisteessä y on kuvauksen F y kiintopiste. Tällöin kuvaus g on jatkuva. Todistus. Havaitaan, että kaikille x X pätee k d(x, g(y)) d(fy(x), i Fy i+1 (x)) + d(fy k+1 (x), g(y)), joten (1) d(x, g(y)) i=0 i=0 d(f i y(x), F i+1 y (x)) = 1 1 λ d(x, F y(x)), sillä äärellinen summa on pienempi kuin 1 d(x, F 1 λ y(x)) ja d(f k+1 (x), g(y)) 0, kun k, koska g(y) on kutistavan kuvauksen F y kiintopiste. Valitaan x = g(y ) = F (g(y ), y ), jolloin epäyhtälö (1) antaa d(g(y ), g(y)) 1 1 λ d(f (g(y ), y ), F (g(y ), y)). Koska kuvaus F on jatkuva, niin d(f (g(y ), y ), F (g(y ), y)) 0, kun y y, mistä väite seuraa. Olkoot X = C 0 ([a δ, a + δ], R n ), Y = R n ja F : X Y X, F (φ, b) = P a,b (φ) ja varustetaan X Y metriikalla d i, joka määritellään d 1 ((φ 1, b 1 ), (φ, b )) = d X (φ 1, φ ) + d Y (b 1, b ). Propositio 3.5. Olkoon U R n avoin ja olkoon f : U R n M-Lipschitz- jatkuva. Olkoon Φ a,b alkuarvotehtävän ẋ = f(x), f(a) = b ratkaisu. Olkoon ɛ > 0. Tällöin on η > 0, jolle Φ a,b Φ a,b = max t a δ Φ a,b(t) Φ a,b (t) < ɛ, jos b b < η. Todistus. Riittää osoittaa, että kuvaus F on jatkuva. Kolmioepäyhtälön avulla saamme d X (F (φ 1, b 1 ), F (φ, b )) = Väite seuraa Propositiosta 3.4. max b 1 b + t [a δ,a+δ] t b 1 b + Mδ d X (φ 1, φ ). 11 a (f(φ 1 (s)) f(φ (s)))ds

12 Lause 3.6. Olkoon f : U R n C 1 -vektorikenttä, jolle jokaisen alkuarvotehtävän { ẋ = f(x), (13) x(0) = x 0, maksimaalinen määrittelyväli on R. Tällöin (φ t ) t R, (14) φ(t, x) = φ t (x) = ψ 0,x (t) on joukon U virtaus. Todistus. Väite seuraa Propositioista 3.3 ja 3.5. Lauseen 3.6 antama virtaus on differentiaaliyhtälön ẋ = f(x) määräämä virtaus tai vektorikentän f määräämä virtaus. Voidaan osoittaa, että, jos C 1 -kuvaus φ: R U U on virtaus joukossa U, niin se on vektorikentän φ(0, x) määräämä virtaus. t Differentiaaliyhtälöiden jatkokurssilla osoitetaan seuraava tulos: Lause 3.7. Olkoon f : U R n Lipschitz-jatkuva vektorikenttä. Jokaisella a R ja x 0 R n on yksikäsitteinen funktio ψ a,x0 : R R n, joka on alkuarvotehtävän { ẋ = f(x), (15) x(a) = b ratkaisu. Seuraus 3.8. Lipschitz-jatkuva vektorikenttä f : R n R n määrää avaruuden R n virtauksen. Esimerkki 3.9. Differentiaaliyhtälön ( ) x 1 ẋ = + x + x3 1 +x x 1 x 1 x + x3 +x 1 x ratkaisut alkuarvoilla x 0 = (0.9, 0) ja x 1 = (0.95, 0) käyttäytyvät samaan tapaan (itse asiassa kaikilla t R), kun taas alkuarvolla x = (1.1, 0) käyttäytyminen on erilaista kuin alkuarvoilla x 0 ja x 1, kun t kasvaa. x x x x

13 4. Lineaaristen autonomisten differentiaaliyhtälöiden dynamiikkaa Olkoon A reaalinen n n-matriisi. Differentiaaliyhtälö ẋ = Ax on lineaarinen differentiaaliyhtälö. Luvussa 3 tarkastelimme kahta tason lineaarista differentiaaliyhtälöä ẋ = Ax, joiden ratkaisut käyttäytyvät selvästi eri tavoin: Esimerkin 7 differentiaaliyhtälön radat ovat nollan rataa lukuunottamatta rajoitettuja kun taas Esimerkin 3. radat ovat kaikki ympyröitä, siis rajoitettuja joukkoja. Jos A on reaalinen n n-matriisi, niin vektori v R n {0} on matriisin A ominaisvektori ominaisarvolla λ R, jos Av = λv. Ominaisvektori on siis nollasta poikkeava vektori matriisia A λi standardikannassa vastaavan lineaarikuvauksen ytimessä. Tästä nähdään, että matriisin A reaaliset ominaisarvot ovat matriisin A karakteristisen polynomin χ A (λ) = det(a λi) reaaliset juuret. Lineaarialgebran kurssilla on tapana käsitellä ainoastaan reaalisia ominaisarvoja, mutta tällä kurssilla on luontevaa käsitellä myös karakteristisen polynomin kompleksisia juuria. Kutsumme näitäkin matriisin A ominaisarvoiksi, erityisesti kompleksisiksi ominaisarvoiksi. Karakteristisen polynomin aste on n, joten Algebran peruslauseen (todistetaan Kompleksianalyysissa) mukaan karakteristisella polynomilla on algebrallinen kertaluku huomioiden n juurta. Ominaisarvon kertaluku karakteristisen polynomin juurena on sen algebrallinen kertaluku. Matriisin A reaalista ominaisarvoa λ vastaavat ominaisvektorit muodostavat nollavektorin kanssa ominaisavaruuden E λ = E λ (A) = {v R n : Av = λv}. Ominaisavaruuden E λ dimensio on ominaisarvon λ geometrinen kertaluku. ( ) 0 1 Esimerkki 4.1. (1) Matriisilla A = ei ole reaalisia ominaisarvoja. Sen 1 0 karakteristinen polynomi on ( ) λ 1 χ A (λ) = det = λ 1 λ + 1, joten sillä on kompleksiset ( ) ominaisarvot i ja i. 1 1 () Matriisilla on yksi algebrallisesti kaksinkertainen ominaisarvo 1. Ominaisarvon 1 geometrinen kertaluku on 1: Ominaisvektorit määrittävä yhtälöryhmä 0 1 Av = v kutistuu yhtälöksi v = 0, joka määrää 1-ulotteisen aliavaruuden. Lineaarialgebrassa (LAG) osoitetaan, että -matriisi B on diagonalisoituva, jos sillä on kaksi eri (reaalista) ominaisarvoa. Toisaalta -matriisi voi olla diagonalisoituva ( vaikka ) sillä olisi vain yksi ominaisarvo (λ = µ yllä), ja esimerkiksi 0 1 matriisilla ei selvästi ole yhtään ominaisvektoria eikä siis yhtään reaalista ominaisarvoa, koska sitä standardikannassa vastaava lineaarikuvaus on kierto 1 0 myötäpäivään kulman π/ verran. Jos n n-matriisi A on diagonalisoituva, niin on avaruuden R n kanta, joka koostuu matriisin A (tai sitä vastaavan lineaarikuvauksen L A : R n R n, L A v = Av) ominaisvektoreista. Erityisesti ominaisavaruuksien dimensioiden summa on n. Lineaarialgebran kurssilla osoitetuista tuloksista saadaan: Propositio 4.. n n-matriisi A on diagonalisoituva, jos ja vain jos sen ominaisarvojen geometristen kertalukujen summa on n 13

14 Jos A ja B ovat reaalisia n n-matriiseja ja C on kääntyvä reaalinen n n-matriisi, jolle B = CAC 1, niin A ja B ovat toistensa konjugaatteja ja C on konjugoiva matriisi. Diagonalisoituva matriisi on siis jonkin diagonaalimatriisin konjugaatti. Lineaarialgebrassa osoitetaan seuraava tulos: Propositio 4.3. Olkoot A ja B reaalisia n n-matriiseja, joille pätee A = CBC 1 jollain kääntyvällä reaalisella n n-matriisilla C. Tällöin (1) matriiseilla A ja B on samat ominaisarvot. () matriisia C vastaava lineaarikuvaus kuvaa matriisin B ominaisavaruudet bijektiivisesti matriisin A ominaisavaruuksiksi. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden yhteydessä konjugointi on usein kätevä väline seuraavan ominaisuuden vuoksi Lemma 4.4 (Muuttujanvaihtolemma). Olkoot A ja B n n-matriiseja, joille pätee A = CBC 1 jollain kääntyvällä C. Tällöin, jos x on differentiaaliyhtälön ẋ = Bx ratkaisu alkuarvolla x(0) = x 0, niin y = Cx on differentiaaliyhtälön ẏ = Ay ratkaisu alkuarvolla y(0) = Cx 0. Todistus. Ketjusäännön (Differentiaalilaskenta 1) nojalla Esimerkki 4.5. Matriisin ẏ(x) = Cẋ = CBx = CBC 1 y. A = ( ) ominaisarvot ovat ja. Sen ominaisavaruudet saadaan ratkaisemalla yhtälöparit Av = v ja Av = v, jotka antavat vastaaville ominaisavaruuksille yhtälöt v 1 = 3v ja v 1 = v. Matriisi A voidaan diagonalisoida esimerkiksi matriisilla ( ) 3 1 C =, 1 1 ( ( ) 3 1 jonka sarakkeet w 1 = ja w 1) = ovat ominaisvektoreita. Nythän, jos 1 B = C 1 A C, niin ( ( 1 B = 0) C 1 A C 1 0) ja vastaavasti ( 0 (16) B 1) Alkuarvotehtävän ( = C 1 Aw 1 = C 1 w 1 = C 1 1 w 1 = 0) x(0) = ( 0 = 1) ẋ = Bx, ( ) ( ) ae t ratkaisu tunnetaan, se on x(t) = be t. Lemman 4.4 mukaan y(t) = Cx(t) = a b ( ) 3ae t + be t ae t be t 14.,

15 x 3 x x x on alkuarvotehtävän (17) Kuva 4. Kaksi satulaa ẏ = Ax, y(0) = C ratkaisu. Matriisia C vastaava lineaarikuvaus on siis muuttujanvaihto, joka liittää alkuarvotehtävät (16) ja (17), ja niiden ratkaisut toisiinsa. Lause 4.6 (Konjugointilause). Olkoon A reaalinen -matriisi. Tällöin on kääntyvä reaalinen -matriisi C, jolle matriisi CAC 1 on ( ) a b (1) diagonaalimatriisi, jos matriisilla A on kaksi eri reaalista ominaisarvoa tai yksi geometrisesti ( ) kaksinkertainen reaalinen ominaisarvo, λ 1 () muotoa, jos matriisilla A on yksi geometrisesti yksinkertainen reaalinen ominaisarvo, ja ( ) 0 λ α β (3) vinosymmetrinen muotoa, jos matriisilla A ei ole reaalisia ominaisarvoja. β α Todistus. (1) Jos matriisilla A on kaksi eri ominaisarvoa, diagonalisoituvuus on todistettu kurssilla LAG. Jos matriisilla A on geometrisesti kaksinkertainen ominaisarvo, koko taso R on sen ominaisavaruus ja A on diagonaalinen. () Oletetaan, että matriisilla A on geometrisesti kaksinkertainen ominaisarvo λ R, ja olkoon u jokin ominaisvektori. Olkoon v R mikä tahansa vektori siten, että u ja v virittävät koko tason R. Tällöin Av = µu + νv joillekin µ, ν R, µ 0. Jos olisi ν λ, niin A ( µ ν λ u + v ) = λ µ ( ) µ u + µu + νv = ν ν λ ν λ u + v, joten ν λ olisi ominaisarvo vastoin oletusta. Siispä Av = µu + λv. Valitaan kannaksi u ja w = v/µ. Tällöin Au = λu ja Aw = µu/µ + λv/µ = u + λw, joten matriisi on tässä kannassa haluttua muotoa. (3) Oletetaan, että matriisilla A ei ole reaalisia ominaisarvoja. Tällöin sillä on kaksi kompleksista ominaisarvoa α ± iβ, β 0. Ajatellaan A kompleksisena matriisina. Tällöin ominaisarvoa α + iβ vastaa jokin ominaisvektori u = Re u + i Im u C. 15

16 Havaitaan ensin, että Re u ja Im u ovat lineaarisesti riippumattomia reaalisessa vektoriavaruudessa R : Jos näin ei ole, niin Re u = c Im u jollain c R. Tällöin joten (c + i)a Im u = A((c + i) Im u) = A(u) = (α + iβ)u = (α + iβ)(c + i) Im u, A Im u = (α + iβ) Im u, mikä on mahdotonta, sillä A Im u on reaalinen vektori, kun taas (α + iβ) Im u ei ole. Kirjoitetaan matriisi Au komponenteittain kahdella tavalla: Koska A on reaalinen, pätee Toisaalta Au = A(Re u + i Im u) = A(Re u) + ia(im u). Au = (α + iβ)(re u + i Im u) = α Re u β Im u + i(β Re u + α Im u), joten tarkastamalla reaali- ja imaginaariosat saadaan ja A Re u = α Re u β Im u A Im u = β Re u + α Im u. Edellä oleva tarkastelu osoittaa, että avaruuden R kannassa, jonka muodostavat vektorit v 1 = Re u ja v = Im u, matriisia A vastaava lineaarikuvaus käyttäytyy halutulla tavalla. Valitaan kannanvaihtomatriisiksi C matriisi, jonka sarakkeet ovat vektorien v 1 ja v komponentit. Tällöin C on reaalinen, ja pätee ( ( ) 1 α C 1 AC = C 0) 1 Av 1 = C 1 (αv 1 βv ) = β ja ( 0 C 1 AC = C 1) 1 Av 1 = C 1 (βv 1 + αv ) = ( β α). Tarkastelemme nyt tason lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuja konjugointilauseen antamissa eri tapauksissa. Seuraavassa A on -matriisi: Matriisi A on diagonalisoituva. Differentiaaliyhtälön ẋ = Ax ratkaisut saadaan eksponenttifunktion avulla kuten esimerkissä 4.5. Ratkaisuja on ominaisarvojen merkeistä riippuen kolmea erilaista tyyppiä: (1) Jos matriisilla A on kaksi ominaisarvoa, jotka ovat erimerkkisiä, ratkaisut käyttäytyvät kuten Esimerkissä 4.5. Tässä tapauksessa origoa kutsutaan satulaksi, katso kuvia Esimerkissä 4.5. () Jos matriisilla A on kaksi negatiivista ominaisarvoa λ 1 ja λ, ratkaisut saadaan samalla tavalla kuin esimerkissä 4.5. Ratkaisujen käyttäytyminen on kuitenkin erilaista: Differentiaaliyhtälön ẋ = Bx ratkaisut alkuarvoilla, jotka ovat koordinaattiakseleilla, lähestyvät origoa eksponentiaalisesti akselia pitkin, kun t. Muilla alkuarvoilla ratkaisut lähestyvät myös origoa, mutta kuvan mukaisia käyriä pitkin. Tässä tapauksessa origoa kutsutaan nieluksi. Huomaa, että ratkaisukäyrät ovat säteitä, kun λ 1 = λ. (3) Jos matriisilla A on kaksi positiivista ominaisarvoa λ 1 ja λ, ratkaisukäyrät ovat kuten nielulla, mutta ratkaisut liikkuvat vastakkaiseen suuntaan. Tässä tapauksessa origoa kutsutaan lähteeksi. 16

17 x x Kuva 5. Lähde ( ) λ 1 Matriisi A on konjugaatti matriisin kanssa. Kuvaus x: R R 0 λ, ( ) a + tb x(t) = e λt b on differentiaaliyhtälön ratkaisu alkuarvolla x(0) = (a, b). ẋ = ( ) λ 1 x 0 λ x x Kuva 6. Surkastunut lähde Jos matriisilla A on yksi ominaisarvo, jonka algebrallinen kertaluku on( yksi ja ) λ 1 geometrinen kertaluku on kaksi, niin Lauseen 4.6 nojalla A on matriisin 0 λ 17

18 konjugaatti jollain λ R, ja differentiaaliyhtälön ẋ = Ax ratkaisut saadaan Lemman 4.4 avulla. Tässä tapauksessa origoa kutsutaan surkastuneeksi nieluksi, jos λ < 0 ja surkastuneeksi lähteeksi, jos λ > 0. Matriisi A on konjugaatti vinosymmetrisen matriisin kanssa Lauseen 4.6 ( mukaan ) kaikki reaaliset -matriisit, jotka eivät ole diagonalisoituvia tai( matriisin ) λ 1 α β konjugaatteja jollain λ R, ovat vinosymmetrisen matriisin A = 0 λ β α konjugaatteja joillain α, β R, β 0. Kuvaus x: R R, ( ) ( ) cos βt sin βt x(t) = e αt [a + b ] sin βt cos βt { ẋ = Ax on alkuarvotehtävän ratkaisu. x(0) = (a, b) (1) Jos α = 0, niin ratkaisu on muotoa ( ) ( ) cos βt sin βt x(t) = a + b sin βt cos βt Tämä kuvaus parametrisoi ympyrän, jonka säde on a + b. Yleisessä tilanteessa ratkaisut parametrisoivat ellipsin, joka saadaan kuvaamalla tämä ympyrä kannanvaihtokuvauksella. Tässä tapauksessa origo on keskus. () Jos α < 0, niin kerroin e αt aiheuttaa sen, että ratkaisu lähestyy origoa, kun t. Ratkaisukäyrä on spiraali, joka kiertää origoa lineaarisella nopeudella ja lähestyy sitä eksponentiaalisella nopeudella. Tässä tapauksessa origo on spiraalinielu. x x Kuva 7. Spiraalinielu (3) Jos α > 0, niin kerroin e αt aiheuttaa sen, että ratkaisun normi kasvaa rajatta, kun t. Ratkaisukäyrä on spiraali, joka kiertää origoa lineaarisella nopeudella ja etääntyy siitä eksponentiaalisella nopeudella. Tässä tapauksessa origo on spiraalilähde. Esimerkki 4.7. Matriisin A = ( )

19 x x Kuva 8. Spiraalilähde ominaisarvot ovat ±i. Vektori u = (1 + i, 1) on ominaisarvoa i vastaava ominaisvektori. Valitaan tason R kantavektoreiksi Re u = v 1 = (1, 1) ja Im u = v = (1, 0) ja käytetään koordinaattimuunnosta ( ) 1 1 C =. 1 0 Nyt siis B = C 1 AC = ( ) 0 i. i 0 Differentiaaliyhtälön ẋ = Bx ratkaisut parametrisoivat ympyröitä kuten edellä totesimme. Muuttujanvaihtolemman nojalla differentiaaliyhtälön ẏ = Ay ratkaisut ovat muotoa Cx, missä x on differentiaaliyhtälön ẋ = Bx ratkaisu. Siis ratkaisut ovat ympyröiden kuvia lineaarikuvauksella C. Täsmällisemmin ne ovat käyriä, joiden pisteet toteuttavat yhtälön missä r = (C 1 x) t C 1 x = x t ((C 1 ) t C)x = x t Qx, Q = (C 1 ) t C = C = ( 1 ) 1 1 on symmetrinen matriisi ja kuvaus x x t Qx on positiividefiniitti neliömuoto. Matriisin Q ominaisarvot ovat 1± 5 ja niitä vastaaviksi ominaisvektoreiksi voimme valita (keskenään ortogonaaliset) vektorit w 1 = ( 1 5, 1) ja w = ( 1+ 5, 1). Matriisin Q ominaisvektoreiden muodostamassa kannassa neliömuoto on z z joten ratakäyrät ovat standardimuotoisia ellipsejä vektoreiden w 1 ja w muodostamassa ortogonaalisessa kannassa, katso kuva 4. 19

20 x x Kuva 9. Keskus Esimerkki 4.8. Matriisia B (18) B = vastaava differentiaaliyhtälö ẋ = Bx on helppo ratkaista, koska ensimmäiset kaksi koordinaattia muodostavat oman -ulotteisen systeeminsä: Kuvaus a cos t + b sin t x(t) = a sin t + b cos t on ratkaisu alkuarvolla x(0) = (a, b, c) R 3. Jos c = 0, niin ratkaisu pysyy x 1 x -tasossa ja on a + b -säteisen ympyrän parametrisointi kuten esimerkissä 3.. Jos taas a = b = 0, niin ratkaisu pysyy x 3 -akselilla ja lähestyy origoa eksponentiaalisella vauhdilla. Yleisen tilanteen ratkaisukäyrä kulkee sylinterillä {x R 3 : x 1 + = a + b } ja kasautuu kohti x 1 x -tason ympyrää ce t {(x 1, x, 0) R 3 : x 1 + = a + b }. Lause 4.6) on erikoistapaus tuloksesta, joka pätee kaikissa ulottuvuuksissa. Tämän yleisemmän tuloksen muotoilemiseksi tarvitsemme hieman terminologiaa: Jos B 1,..., B N ovat n 1 n 1,..., n N n N -neliömatriiseja, ja N i=1 n i = n, niin matriiseista B 1,..., B N muodostettu matriisi diag(b 1,..., B N ) = B 1 B... B N, jossa loput n N i=1 n i kerrointa ovat nollia, on blokkidiagonaalimatriisi, jonka blokkeja ovat matriisit B i. Blokin B i koko on n i. 0

21 Kuva 10. Kaksi eri näkymää differentiaaliyhtälön ẋ = Bx ratkaisusta alkuarvolla x(0) = (1, 1, 1), kun B on kaavan (18) matriisi. Lause 4.9 (Jordanin kanoninen muoto). Olkoon A reaalinen n n-neliömatriisi, ja olkoot λ 1,..., λ r, λ r+1, λ r+1,..., λ M, λ M sen eri ominaisarvot. Olkoot a i ja g i ominaisarvon λ i algebrallinen ja geometrinen kertaluku. Tällöin A voidaan konjugoida reaalisella matriisilla blokkidiagonaalimuotoon, jossa jokainen blokki on joko muotoa λ i 1 ( ) λi tai λ i λ i 1, λ i jos λ i on reaalinen, tai C λi = ( ) αi β i β i α i tai C λi I C λi I......,... I C λi jos λ i = α i +iβ i ei ole reaaliluku. Reaalista ominaisarvoa λ i vastaa g i blokkia, joiden kokojen summa on a i. Kompleksista ominaisarvoparia λ i, λ i vastaa g i blokkia, joiden kokojen summa on a i. Jordanin kanonisen muodon ja Lemman 4.4 avulla moniulotteiset tapaukset voidaan palauttaa helpommin käsiteltävään muotoon. Tällä kurssilla emme todista Lausetta 4.9, todistus esitetään monissa hieman edistyneemmän lineaarialgebran kirjoissa, esimerkiksi [HJ], [Ort]. 5. Kaaos Edellisten lukujen esimerkit ovat käsitelleet pääasiassa melko vakaata dynamiikka. Esimerkiksi kutistavien kuvausten tapauksessa kaikkien pisteiden radat lähestyvät samaa kiintopistettä eksponentiaalisella nopeudella. Tarkastelemme nyt monimutkaisempia systeemejä. Diskreetti dynaaminen systeemi f : X X diskreetti dynaaminen systeemi topologisesti transitiivinen, jos kaikille avoimille epätyhjille joukoille U, V X on N N siten, että f N (U) V. Yksi kaaokselta yleensä edellytettävistä piirteistä on perhosefekti eli herkkä riippuvuus alkuarvoista. Dynaaminen systeemi f : X X riippuu herkästi alkuarvoista, jos on > 0 siten, että jokaisella x X ja ɛ > 0 on 1

22 y B(x, ɛ) ja N N, joille d(f N (x), f N (y)). Herkkä riippuvuus alkuarvosta tarkoittaa, että pieni epätarkkuus lähtötilanteessa voi muuttaa tulevaisuuden kokonaan. R. Devaneyn määritelmän mukaan dynaaminen systeemi on kaoottinen, jos (1) sen jaksollisten pisteiden joukko on tiheä, () se on topologisesti transitiivinen ja (3) se riippuu herkästi alkuarvoista. Esimerkki 5.1. (1) Ympyrän kaikki pisteet ovat rationaalisen kierron jaksollisia pisteitä ja irrationaalinen kierto on topologisesti transitiivinen. Kuitenkaan kumpikaan näistä ei ole kaoottinen systeemi: Mikään ympyrän kierto ei riipu herkästi alkuarvosta sillä kierrot ovat ympyrän isometrioita: d(r α (x), R α (y)) = d(x, y) kaikilla x, y S 1. () Lineaarikuvaus L: R n R n, Lx = x riippuu herkästi alkuarvosta mutta ei ole kaoottinen: L k x L n y = k x y, kun k, jos x y. Seuraava tulos osoittaa, että herkkä riippuvuus alkuarvoista seuraa kaoottisuuden määritelmän kahdesta ensimmäisesstä kohdasta: Lause 5.. Olkoon f : X X jatkuva. Jos avaruus X ei koostu yhdestä jaksollisesta radasta ja f on kaoottinen, niin dynaaminen systeemi f : X X riippuu herkästi alkuarvosta. Todistus. Katso [BBC + ], [HK, Theorem 7..1]. Esimerkki 5.3. Olkoon m N, k. Olkoon E m : S 1 S 1 kulman k-kertaistava kuvaus, jonka lauseke kulmaparametrin s R avulla lausuttuna on E m ([s]) = [ms]. Kuvaus E m on kaoottinen: Harjoituksissa tarkastimme, että E on hyvin määritelty ja että jokaisella pisteellä p S 1 on täsmälleen kaksi alkukuvaa kuvauksella E. Yleisesti pätee vastaava tulos: E m on jatkuva m 1-kuvaus. Olkoon P n (E m ) = {x S 1 : Em(x) n = x}. Kuten harjoituksissa tehtiin tapauksessa m = voidaan tarkastaa, että { k } P n (E m ) = [ m n 1 ] S1 : k Z. Joukon P n pisteet jakautuvat ympyrälle tasaisesti ja jakavat ympyrän S 1 väleihin, 1 joiden pituus on. On helppo tarkastaa, että jaksollisten pisteiden joukko m n 1 P (E m ) = n N P n (E m ) on tiheä. Olkoon U S 1 avoin epätyhjä joukko. Tällöin U sisältää jonkin m-adisen välin J = J k k m = [ N m, k + 1 N m ]. N Siis E m (U) Em(J) N = S 1. Siis kaikille epätyhjille V S 1 pätee Em(U) V N = V, joten E m on topologisesti transitiivinen. Vaikka se ei loogisesti olekaan välttämätöntä Lauseen 5.4 nojalla, osoitetaan vielä herkkä riippuvuus alkuarvoista: Koska jokainen piste x X sisältyy äärettömän moneen sisäkkäiseen m-adiseen väliin, jotka kuvautuvat koko ympyräksi kuvauksen E m sopivilla iteraateilla, on jokaisella tällaisella välillä piste, joka kuvautuu toiselle puolelle ympyrää kuin x.

23 Esimerkin 5.3 lopussa osoitimme itse asiassa, että kuvaus E m on topologisesti sekoittava: kaikille avoimille epätyhjille joukoille U, V X on N N siten, että f n (U) V kaikille n N. Tarkastelemme seuraavaksi topologista transitiivisuutta. Metrinen avaruus X on separoituva, jos sillä on numeroituva tiheä osajoukko. Esimerkiksi R n = Q n, S 1 = {[q] : q Q}. Toisaalta, jos Y on ylinumeroituva joukko varustettuna diskreetillä metriikalla d(a, b) = 1 kaikilla a b, niin Y ei ole separoituva. Piste x X on eristetty, jos B(x, r) on äärellinen joukko jollain r > 0. Esimerkiksi kaikkien diskreettien metristen avaruuksien kaikki pisteet ovat eristettyjä. Lause 5.4. Olkoon f : X X jatkuva. Jos systeemillä f : X X on tiheä rata ja avaruudessa X ei ole eristettyjä pisteitä, niin f on topologisesti transitiivinen. Jos X on täydellinen ja separoituva ja f on topologisesti transitiivinen, niin sillä on tiheä rata. Todistus. Oletetaan, että on x X, jolle O + f (x) = X. Olkoot U ja V epätyhjiä avoimia joukkoja. Tällöin on n U N siten, että y U = f n U (x) U. Pisteen y U rata on tiheä koska metrisessä avaruudessa X ei ole eristettyjä pisteitä. Siis on N V siten, että f N V (y U ) V, mikä osoittaa, että f on topologisesti transitiivinen. Oletetaan sitten, että f on topologisesti transitiivinen. Olkoon A metrisen avaruuden X numeroituva tiheä osajoukko. Olkoon {U k : k N} = {B(a, r) : a A, r Q + }. Osoitamme, että on x X, jolle O + f (x) U k kaikilla k N. Koska jokainen avoin joukko sisältää ainakin yhden joukon kokoelmasta {U k : k N} (itse asiassa äärettömän monta joukkoa), niin tällaisen pisteen x rata on tiheä. Topologisen transitiivisuuden nojalla on N 1 N, jolle f N 1 (U 1 ) U. Valitaan a i A ja 0 < r 1 1 siten, että B(a 1, r 1 ) U 1 f N 1 (U ). Samoin on N N siten, että B(a 1, r 1 ) f N (U 3 ) on avoin epätyhjä joukko. Valitaan a A ja 0 < r <, jne. Näin saadaan Cauchyn jono (a k ), joka täydellisyyden nojalla suppenee kohti raja-arvoa a X. Konstruktiosta seuraa, että a k=1 B(a k, r k ), joten f N k (a) Uk+1 kaikilla k 1. Esimerkki 5.5. Lauseen 5.4 nojalla kulman m-kertaistavalla kuvauksella E m : S 1 S 1 on tiheä rata. Todistus ei anna esimerkkiä pisteestä, jonka rata on tiheä, mutta sellainen voidaan antaa melko helposti. Tarkastellaan kuvausta E. Jokainen ympyrän piste voidaan esittää muodossa [ i=1 b i ] i ja kuvaus E sopii tämän esityksen kanssa hyvin yhteen: E ( [ i=1 b i ] [ ) = i i=1 b i+1 i ]. Olkoon (a i ) i=1 jono, joka saadaan luettelemalla kaikki äärelliset jonot, jotka voidaan muodostaa numeroista 0 ja 1: (19) Olkoon p = [ i=1 a i i ] S 1. 3

24 Huomaamme, että J k N = [ k N, k + 1 N ] = {[ i=1 i=1 b i ] N : b i i = k}. Siis sopivalla M N pätee E M (p) J k mille tahansa dyadiselle välille, joten N pisteen p rata on tiheä. Vastaavalla tavalla voidaan antaa esimerkki tiheästä radasta kuvaukselle E m, kun m 3, luettelemalla kaikki äärelliset jonot, jotka voidaan muodostaa numeroista 0, 1 ja. Jonon (19) avulla saadaan esimerkki ehkä vielä mielenkiintoisemmasta radasta kuvaukselle E 3 : Kaikille jonoille (b i ) i=1 pätee E 3 ( [ b i ] [ b i+1 ] ) =, 3 i 3 i joten näemme Esimerkissä 1.5 esitellyn Cantorin 1 -joukon K kuva 3 on E 3 -invariantti. Olkoon i=1 i=1 [K] = {[x] S 1 : x K} q = [ i=1 a i 3 i ] S 1. Kuten kuvauksen E tapauksessa näemme, että sopivalla M N pätee E M 3 (q) I k N mille tahansa N N ja k Z. Siis pisteen q radan sulkeuma on Cantorin 1 3 -joukon K kuva ympyrällä S Konjugointi ja semikonjugointi Käytimme muuttujanvaihtolemmaa 4.4 apuna lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa. Muuttujanvaihto saattoi differentiaaliyhtälön sellaiseen muotoon, jossa se oli helppo ratkaista ja alkuperäisen tehtävän ratkaisu saatiin konjugoidun differentiaaliyhtälön ratkaisusta muuttujanvaihtokuvauksen avulla. Tässä luvussa tarkastelemme vastaavaa hieman yleisempää tekniikkaa diskreeteille systeemeille Kuvaus g : Y Y on kuvauksen f : X X topologinen tekijä, jos on jatkuva surjektio s: X Y siten, että g s = s f. Kuvaus s on semikonjugoiva kuvaus. X s f X g Y Y Jos kuvaus s on homeomorfismi, niin kuvaukset f ja g ovat konjugaatteja ja s on konjugoiva kuvaus. Propositio 6.1. Olkoot f : X X ja g : Y Y jatkuvia kuvauksia ja olkoon g kuvauksen f topologinen tekijä semikonjugoivalla kuvauksella s: X Y. Tällöin (1) s kuvaa kuvauksen f jaksolliset radat kuvauksen g jaksollisiksi radoiksi. () s kuvaa kuvauksen f tiheät radat kuvauksen g tiheiksi radoiksi. (3) jos f on topologisesti transitiivinen, niin g on topologisesti transitiivinen. Todistus. Harjoitustehtävä. Seuraus 6.. Olkoot f : X X ja g : Y Y jatkuvia kuvauksia ja olkoon g kuvauksen f topologinen tekijä. Jos Y ei koostu yhdestä jaksollisesta radasta ja f on kaoottinen, niin g on kaoottinen. 4 s

25 Todistus. Seuraa Propositiosta 6.1 ja Lauseesta 5.. Esimerkki 6.3. Tšebyšovin (Chebyshev) polynomi P n on se yksikäsitteinen polynomi, jolle pätee P n (cos θ) = cos(nθ) kaikille θ R. Polynomien P n lausekkeet saadaan de Moivren kaavasta: P (x) = x 1, P 3 (x) = 4x 3 3x, P 4 (x) = 8x 4 8x + 1 ja niin edelleen. Kuvaus P m : [ 1, 1] [ 1, 1] on kaoottinen. Tämä seuraa Seurauksesta 6., koska P m [ 1,1] on (määritelmänsä mukaan) kulman m-kertaistaistavan kuvauksen E m : S 1 S 1 topologinen tekijä semikonjugoivalla kuvauksella s: S 1 [ 1, 1], s([t]) = cos(πt). Esimerkki 6.4. Telttakuvaus T : [0, 1] [0, 1], { x, kun x 1 T (x) = x, kun x > 1. ja logistinen kuvaus F 4 : [0, 1] [0, 1], F 4 (x(= 4x(1 x) ovat semikonjugaatteja. Kuvaus F 4 on kuvauksen T topologinen tekijä semikonjugoivalla kuvauksella s: : [0, 1] [0, 1], Nythän, jos x [0, 1 ], pätee s(t) = 1 (1 cos(πt)) : s T (x) = 1 (1 cos(4πt)) = 1 cos (πx) ja jos x [ 1, 1], niin kosinin jasollisuuden ja parillisuuden nojalla pätee s T (x) = 1 (1 cos(π( t))) = 1 (1 cos(π( t))) = 1 (1 cos(4πt)). Toisaalta F 4 s(t) = 4( 1 (1 cos(πt)))(1 1 (1 cos(πt))) = 1 cos (πx). Esimerkki 6.5. Olkoon [K] S 1 Esimerkissä 5.5 konstruoitu E 3 -invariantti Cantorin joukko. Olkoon s: [K] S 1, b i ] b i /] b i ] s([ ) = [ = [. 3 i i i+1 i=1 i=1 Kuvaus s on jatkuva (!) surjektio, jolle pätee s E 3 = E s. Siis kuvaus E : S 1 S 1 on kuvauksen E 3 : [K] [K] topologinen tekijä. i=1 7. Tasainen jakautuminen Luvun kaksikymmentä ensimmäistä potenssia ovat, 4, 8, 16, 3, 64, 18, 56, 51, 104, 048, 4096, 819, 16384, 3768, 65536, 13107, 6144, 5488, Näiden lukujen ensimmäisten numeroiden jakauma joukossa {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} näyttää mielenkiintoiselta ja ensimmäisen näin muodostetun numeron jakauma esitettynä eri numeroiden suhteellisena esiintymistiheytenä näyttää vakiintuvan kohti tiettyä jakaumaa: Luvun n ensimmäinen numero on k {1,,... 9}, jos ja vain jos k 10 l n (k + 1) 10 l 5

26 Kuva 11. Lukujen n ensimmäisten numerojen jakauma, 1 n eli Kuva 1. Suhteelliset taajuudet ρ Lk (0, 10000), k {0, 1,,..., 9}, kierrolle R log10 (p), (0) log 10 k + l n log 10 < log 10 (k + 1) + l. Dynaamisen tulkinnan kannalta mielenkiintoinen havainto on, että epäyhtälöpari (0) voidaan ilmaista ympyrälle kuvattuna muodossa (1) R n log 10 ([0]) = [n log 10 ] [log 10 k, log 10 (k + 1)[= L k. Välit L k, k {1,,... 9} jakavat ympyrän S 1 kymmeneen osaan, joiden pituudet ovat log 10 (k) log 10 (k 1). Näistä pituuksista muodostettu pylväsdiagrammi muistuttaa hyvin tarkasti Kuvan 1 jakaumaa. Huomaa, että log 10 R Q. Olkoon α R Q. Olkoon S 1 väli ja olkoon Funktio ρ: N [0, 1], N (n, x) = #{k [0, n] N : R n α(x) }. ρ (n, x) = 1 n N (n, x) on suhteellinen taajuus, jolla pisteen x radan alkuosa iteraattiin R n α(x) saakka vierailee välillä. Olkoon välin S 1 pituus λ( ). 6

27 Lemma 7.1. Olkoon α R Q ja olkoot 1, S 1 välejä. Jos 1 on lyhyempi kuin, niin on N N siten, että N 1 (n, x) N (n + N, x) kaikille x S 1. Todistus. Harjoitus 5. Haluamme osoittaa, että jono (ρ (n, x)) n N 1 suppenee kohti raja-arvoa, joka on riippumaton pisteestä x S 1. Tässä tarkastelussa on sujuvaa käyttää reaalilukujonon (a n ) n N {1} yläraja-arvoa lim sup a n = lim sup a m = inf sup a m n n m n n N m n ja alaraja-arvoa lim inf a n = lim inf a m = sup inf a m, n n m n n N m n jotka jokaisella jonolla on laajennetussa reaalilukujen joukossa [, ] = { } R { }. Reaalilukujonolla (a n ) n N {1} on raja-arvo täsmälleen silloin, kun sen ylä- ja alarajaarvot yhtyvät. Tällöin lim a n = lim sup a n = lim inf a n. n n n Lemma 7.. Olkoon α R Q ja olkoot 1, S 1 välejä. Jos λ( ) = 1 k, niin lim sup ρ (x, n) 1 n k 1. Todistus. Olkoot V j = [ j 1, j ] k 1 k 1 S1. Lemman 7.1 nojalla on N N siten, että N (x, n) N Vj (x, n + N) kaikille n N ja j 1,,..., k 1. Siispä joten k 1 (k 1)N (x, n) N Vj (x, n + N) = N S 1(x, n + N) = n + N, mistä väite seuraa. j=1 (k 1)ρ (n, x) n + N n Ensimmäisten numeroiden jakauma selittyy seuraavan tuloksen avulla: Osoitamme, että irrationaalisen kierron rata on tasaisesti jakautunut ympyrällä. Lause 7.3. Olkoon α R Q. Olkoon S 1 väli. Tällöin lim ρ (n, x) = λ( ). n 7,

28 Todistus. Olkoon ɛ > 0. Olkoon väli, joka sisältää välin siten, että λ( ) = l k < λ( ) + ɛ. Nyt lim sup ρ (x, n) lim sup ρ (x, n) l k (λ( ) + ɛ) n n k 1 k 1 Lemman 7. ja suhteellisen taajuuden additiivisuuden nojalla. Kun ɛ 0, välttämättä k, joten () lim sup ρ (x, n) λ( ). n Välin komplementin tarkasteleminen antaa lim sup ρ S 1 (x, n) λ(s 1 ). n Koska aina pätee ρ (x, n) + ρ S 1 (x, n) = 1, niin ja saamme lim inf n ρ (x, n) + lim sup ρ S 1 (x, n) = 1, n (3) lim inf n ρ (x, n) 1 λ(s 1 ) = λ( ). Väite seuraa epäyhtälöistä () ja (3). Itse asiassa edellä tehty todistus käyttää luvusta ainoastaan sitä ominaisuutta, että log 10 on irrationaaliluku. Sama pätee kaikille luonnollisille luvuille, jotka eivät ole muotoa 10 m jollain m N. Seuraus 7.4. Olkoon b N, b ja oletetaan, että b ei ole luvun 10 monikerta. Tällöin #{m N [0, n] : luvun b n ensimmäinen numero on k} lim = log n n 10 (k) log 10 (k 1). Todistus. Yhdistä Lauseen 7.3 yleistys epäyhtälöparin (1) kanssa. Lauseen 7.3 väite yleistyy välien karakterististen funktioiden avulla: Lause 7.5. Olkoon α R Q. Kaikille Riemann-integroituville funktioille φ: S 1 R pätee 1 n lim φ(r n n n α(x)) = φ(s)ds. S 1 i=1 Todistus. Olkoon 1 A joukon A karakteristinen funktio eli indikaattorifunktio, joka saa arvon 1 joukossa A ja arvon 0 sen komplementissa. Ehto Rα(x) k on yhtäpitävä ehdon 1 (Rα(x)) k = 1 kanssa. Siispä Lauseen 7.3 väite on 1 lim n n n 1 (Rα(x)) n = 1 (s)ds. S 1 i=1 Funktion φ Riemann-integraali määritellään muotoa N a k 1 k k=1 olevien porrasfunktioiden avulla, joille väite pätee lineaarisuuden nojalla. Yksityiskohtainen todistus esitetään esimerkiksi lähteessä [HK, Thm ]. 8

29 8. Dynaamisten systeemien parametrisoituja perheitä. Tässä luvussa tarkastelemme esimerkkien avulla, miten pienet tai hieman suuremmatkin muutokset dynaamisessa systeemissä muuttavat systeemin luonnetta. Samalla tutustumme joihinkin reaalilukujen joukon dynaamisten systeemien erityisominaisuuksiin. Määrittelemme aluksi ratojen asymptoottista käyttäytymistä kuvaavia käsitteitä. Olkoon f : X X dynaaminen systeemi. Piste x on positiivisesti (tai eteenpäin) asymptoottinen pisteen p kanssa, jos d(f n (x), f n (p)) 0, kun n + ja jos f on homeomorfismi, niin x on negatiivisesti (tai taaksepäin) asymptoottinen pisteen p kanssa, jos d(f n (x), f n (p)) 0, kun n. Pisteen p kanssa positiivisesti asymptoottiset pisteet muodostavat pisteen p vakaan joukon W s (p) = W s f (p) ja negatiivisesti asymptoottiset pisteet muodostavat pisteen p epävakaan joukon W u (p) = W u f (p). Propositio 8.1. Olkoon I R on avoin väli ja olkoon x 0 I funktion g C 1 (I, R) kiintopiste. Jos g (x 0 ) < 1, niin on avoin g-invariantti väli U I, joka sisältää pisteen x 0 siten, että pisteet F k (x) lähestyvät pistettä x 0 eksponentiaalisella nopeudella kaikille x U. Erityisesti U W s (x 0 ). Puoleensavetävän kiintopisteen x 0 vakaa joukko on avoin. Todistus. Harjoitus. Avoimmuus seuraa derivaatan jatkuvuudesta. Propositio 8.1 yleistyy moniulotteiseen tilanteeseen oleellisesti samalla todistuksella. Olkoon seuraavassa Dg kuvauksen g : U U differentiaali. Propositio 8.. Olkoon V R n on avoin joukko ja olkoon x 0 V kuvauksen g C 1 (U, U) kiintopiste. Jos Dg(x 0 ) < 1, niin on g-invariantti avoin joukko U V, joka sisältää pisteen x 0 siten, että pisteet g k (x) lähestyvät pistettä x 0 eksponentiaalisella nopeudella kaikille x U. Erityisesti U W s (x 0 ). Puoleensavetävän kiintopisteen x 0 vakaa joukko on avoin. Esimerkki 8.3. (a) Jos f on kutistava, niin kaikki pisteet ovat positiivisesti asymptoottisia yksikäsitteisen kiintopisteen kanssa. (b) Olkoon L: R R, Lx = (x 1, 1 x ). Kaikki pisteet x R, joille x 1 0 ovat positiivisesti asymptoottisia pisteen (x 1, 0) kanssa: Vastaavasti, jos x 0, niin W s L(x) = {y R : y 1 = x 1 }. W u L(x) = {y R : y = x }. Jos x 0 on kuvauksen f C 1 (I, I) p-jaksollinen piste, niin (f p ) (x 0 ) = x O + f (x) f (x) on vakio kaikille jaksollisen radan pisteille. Jos x 0 on kuvauksen f p puoleensavetävä kiintopiste, niin sama pätee kaikille radan pisteille. Tällöin pisteen x 0 rata on puoleensavetävä rata. Olkoon I R väli. Kuvauksen f : I I dynamiikkaa on joskus hyödyllistä havainnollistaa graafisella analyysilla: (1) Piirretään samaan kuvaan tarkasteltavan funktion ja identtisen funktion kuvaajat. () Valitaan piste x I. (3) Piirretään pystysuora jana [(x, x), (x, f(x))] I I. 9

DIFFERENTIAALIYHTÄLÖIDEN JATKOKURSSI SYKSY 2010

DIFFERENTIAALIYHTÄLÖIDEN JATKOKURSSI SYKSY 2010 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖIDEN JATKOKURSSI SYKSY 1 JOUNI PARKKONEN Kurssi 1 1. Johdanto Olkoon U R n ja I R avoimia joukkoja ja f : U I R n (jatkuva) kuvaus. Tällä kurssilla tarkastelemme dierentiaaliyhtälöryhmiä

Lisätiedot

DIFFERENTIAALIYHTÄLÖIDEN JATKOKURSSI SYKSY 2014

DIFFERENTIAALIYHTÄLÖIDEN JATKOKURSSI SYKSY 2014 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖIDEN JATKOKURSSI SYKSY 2014 JOUNI PARKKONEN Tämä teksti sisältää syksyn 2014 kurssien Differentiaaliyhtälöiden jatkokurssi 1 ja 2 materiaalin. Ensimmäisellä jatkokurssilla tutustutaan

Lisätiedot

JOHDATUS DYNAAMISIIN SYSTEEMEIHIN 2016

JOHDATUS DYNAAMISIIN SYSTEEMEIHIN 2016 JOHDATUS DYNAAMISIIN SYSTEEMEIHIN 2016 JOUNI PARKKONEN Tästä kurssista Tämä kurssi antaa pikaisen johdannon joihinkin dynaamisten systeemien keskeisiin käsitteisiin. Kurssi on aineopintotasoinen, esitiedoiksi

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. 99 17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Differentiaaliyhtälön x'(t) = f(x(t),t), x(t) n määrittelemän systeemin sanotaan olevan autonominen, jos oikea puoli ei eksplisiittisesti riipu

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010

Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 4.1. Viime kerralta. Esimerkki lokaalikonveksin avaruuden osajoukosta, joka

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause

Lisätiedot

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on? Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi

Lisätiedot

(1.1) Ae j = a k,j e k.

(1.1) Ae j = a k,j e k. Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt II, kevät 2017 Harjoitus 5

Differentiaaliyhtälöt II, kevät 2017 Harjoitus 5 Differentiaaliyhtälöt II, kevät 27 Harjoitus 5 Heikki Korpela 26. huhtikuuta 27 Tehtävä 2. Määrää seuraavan autonomisen systeemin kriittiset pisteet, ratakäyrät ja luonnostele systeemin aikakehitys: (t)

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

Metriset avaruudet 2017

Metriset avaruudet 2017 Metriset avaruudet 2017 Jouni Parkkonen Merkintöjä N = {0, 1, 2,... } luonnolliset luvut #(A) N { } joukon A alkioiden lukumäärä A B = {a A : a / B} joukkojen A ja B erotus. A B on joukkojen A ja B erillinen

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

6. Lineaariset operaattorit

6. Lineaariset operaattorit 96 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että Fourier-sarjat suppenevat L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla 80). Osoitimme myös, että kun f on jatkuva ja

Lisätiedot

Matriisin eksponenttifunktio ja differentiaaliyhtälöryhmät

Matriisin eksponenttifunktio ja differentiaaliyhtälöryhmät Matriisin eksponenttifunktio ja differentiaaliyhtälöryhmät Petra Maaskola Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 203 Tiivistelmä: Petra Maaskola, Matriisin

Lisätiedot

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI 6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä

Lisätiedot

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja 7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. 1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus. 1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa). NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

Harjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio,

Harjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio, Differentiaaliyhtälöt, Kesä 06 Harjoitus 3 Kaikissa tehtävissä, joissa pitää tarkastella kriittisten pisteiden stabiliteettia, jos kyseessä on satulapiste, ilmoita myös satulauraratkaisun (tai kriittisessä

Lisätiedot

LUKU 10. Yhdensuuntaissiirto

LUKU 10. Yhdensuuntaissiirto LUKU hdensuuntaissiirto Olkoot (M, N) suunnistettu pinta, p M ja v p R 3 p annettu vektori pisteessä p (vektorin v p ei tarvitse olla pinnan M tangenttivektori). Tällöin vektori (v p N(p)) N(p) on vektorin

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto DY-teoriaa DY-teoriaa Käsitellään seuraavaksi

Lisätiedot

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])

Lisätiedot

2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.

2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2. 2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x

Lisätiedot

Similaarisuus. Määritelmä. Huom.

Similaarisuus. Määritelmä. Huom. Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP

Lisätiedot

Kompaktisuus ja filtterit

Kompaktisuus ja filtterit Kompaktisuus ja filtterit Joukkoperheellä L on äärellinen leikkausominaisuus, mikäli jokaisella äärellisellä L L on voimassa L. Nähdään helposti, että perheellä L on äärellinen leikkausominaisuus ja L

Lisätiedot

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi / kertaus

Matemaattinen Analyysi / kertaus Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä

Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 29 Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä Todetaan ensin ilman todistuksia (tulos on syvällinen) ratkaisujen

Lisätiedot

LUKU 6. Mitalliset funktiot

LUKU 6. Mitalliset funktiot LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

LUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto

LUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto LUKU 7 Perusmuodot 7 Ensimmäinen perusmuoto Määritelmä 7 Olkoon ϕ: U R 3 tilkku Määritellään funktiot E, F, G: U R asettamalla (7) E := ϕ ϕ, F := ϕ, G := ϕ u u u u Funktiot E, F G ovat tilkun ϕ ensimmäisen

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälösysteemit sekä niiden tasapainopisteiden stabiilisuus

Differentiaaliyhtälösysteemit sekä niiden tasapainopisteiden stabiilisuus TAMPEREEN YLIOPISTO Luonnontieteiden Pro gradu -tutkielma Ilkka Niemi-Nikkola Differentiaaliyhtälösysteemit sekä niiden tasapainopisteiden stabiilisuus Luonnontieteiden tiedekunta Matematiikka Tammikuu

Lisätiedot

10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 37. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaalihtälöt Tarkastelemme muotoa () ( x) + a( x) ( x) + a( x) ( x) = b( x) olevia htälöitä, missä kerroinfunktiot ja oikea puoli ovat välillä I jatkuvia. Edellisen

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Lineaarialgebra II P

Lineaarialgebra II P Lineaarialgebra II 89P Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5 Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:.

Lisätiedot

Määritelmä 2.5. Lause 2.6.

Määritelmä 2.5. Lause 2.6. Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan

Lisätiedot

Poistumislause Kandidaatintutkielma

Poistumislause Kandidaatintutkielma Poistumislause Kandidaatintutkielma Mikko Nikkilä 013618832 26. helmikuuta 2011 Sisältö 1 Johdanto................................... 2 2 Olemassaolon ja yksikäsitteisyyden historiaa............ 3 3 Esitietoja..................................

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104

Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Ensi viikolla luennot salissa X Torstaina 7.12. viimeiset demot (12.12. ja 13.12. viimeiset luennot). Torstaina 14.12 on välikoe 2, muista ilmoittautua! Demorastitiedot

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot