Derivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.
|
|
- Jaana Mikkola
- 4 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen avaruuden osajoukko, ja kuvajoukko on m-ulotteinen. Tällaisia funktioita sanotaan vektorifunktioiksi. Määritellään vektorifunktion derivaatta. Keskeinen ajatus: Derivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella. Tavoite on oppia laskemaan osittaisderivaattoja, usean muuttujan reaalifunktion derivaatta ja gradientti. CDH: 7.7 (n-ulotteiset vektorit) CDH: (osittaisderivaatat ja gradientti) 1 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 1/24 24
2 Lineaarialgebraa (MApu I) Tason R 2 vektorit: a = a 1 i + a 2 j voidaan esittää lukuparina a (a 1, a 2 ) a 1 = a i, a 2 = a j. a + b = (a 1, a 2 ) + (b 1, b 2 ) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2 ), λa = λ(a 1, a 2 ) = (λa 1, λa 2 ), a = a a = a a 2 2. a b = a 1 b 1 + a 2 b 2. Vastaavasti kolmiulotteiset vektorit: a = a 1 i + a 2 j + a 3 k (a 1, a 2, a 3 ). 2 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 2/24 24
3 Vektoriavaruus R n (CDH: 7.7) Avaruus R n koostuu vektoreista x = (x 1, x 2,..., x n ). Vektoreiden x ja y summa ja reaaliluvulla kertominen: x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ), λx = (λx 1, λx 2,..., λx n ). Vektorit ovat {v 1, v 2,..., v m } ovat lineaarisesti riippumattomat (LI), jos niitä ei voida lausua toistensa lineaarikombinaationa. a 1 v 1 + a 2 v a m v m = 0 a 1 = a 2 =... a m = 0. Avaruudessa R n n LI vektorin joukko on kanta. 3 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 3/24 24
4 Kanta Standardikanta: {e 1, e 1,..., e n }, missä e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1, 0,..., 0),..., e n = (0,..., 0, 1). Tällöin jokainen x R n voidaan esittää n x = x 1 e 1 + x 2 e x n e n = x k e k. vrt R 3 : e 1 = i, e 2 = j, e 3 = k. k=1 4 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 4/24 24
5 Sisätulo ja normi Vektorien x, y R n sisätulo: Vektorin x normi: n x y = x 1 y 1 + x 2 y x n y n = x k y k. k=1 x = x x = Ortogonaalisuus: x y = 0. x x x 2 n = n x 2 n. k=1 Erityisesti standardikanta: e i e j = δ ij, (i, j = 1,..., n). 5 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 5/24 24
6 Lineaarikuvaukset Kuvaus F : R n R m on lineaarinen jos kaikille x, y R n ja λ, µ R pätee F (λx + µy) = λf (x) + µf (y). Esimerkkejä: Skaalaus F : R n R n, F (x) = αx. Tutkitaan määritelmän avulla: F (λx + µy) = α(λx + µy) = λ(αx) + µ(αy) = λf (x) + µf (y). Projektio: F : R 3 R 2, F (x, y, z) = (x, y). Vastaavasti: F (λx+µy) = (λx 1 +µx 2, λy 1 +µy 2 ) = λ(x 1, y 1 )+µ(x 2, y 2 ) = λf (x)+µf (y). Lisää esimerkkejä: harjoitus 5/ tehtävä 1. Lineaarikuvauksiin (ja matriiseihin) palataan MApu III:lla. 6 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 6/24 24
7 Johdantoa CDH: Tarkastellaan kuvausta f : G R m, f(x) = (f 1 (x), f 2 (x),..., f m (x)), missä G R n. Kuvaukset f i : G R m ovat funktion f komponenttifunktiot. n = 1 = m: reaalifunktio (MApu I), m > 1 tai n > 1: f on vektorifunktio. m > 1: f on vektoriarvoinen Miten raja-arvon, jatkuvuuden ja derivaatan käsitteet yleistyvät vektorifunktioille? 7 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 7/24 24
8 Yhden muuttujan vektorifunktiot (vektorikenttä) Tarkastellaan funktiota f : R m, f(t) = (f 1 (t), f 2 (t),..., f m (t)). Nyt raja-arvon, jatkuvuuden ja derivoituvuuden käsitteet palautuvat komponenttifunktioiden kautta reaalifunktioiden tilanteeseen (MApu I). Raja-arvo a R m pisteessä t 0 : lim t t0 f(t) = a, jos jokaiselle f i, i = 1,..., m pätee lim t t0 f i (t) = a i. f on derivoituva pisteessä t, jos raja-arvo f(t + t) f(t) lim t 0 t on olemassa. Raja-arvoa merkitään f (t). Funktio f on derivoituva pisteessä t aina ja vain kun jokainen komponenttifunktio f i on derivoituva pisteessä t ja f (t) = (f 1(t), f 2(t),..., f m(t)). Korkeammat derivaatat kuten reaalifunktioille. 8 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 8/24 24
9 Usean muuttujan funktion raja-arvo Tarkastellaan funktiota f : A R m, missä A R n. Funktiolla f on pisteessä x 0 raja-arvo a jos etäisyys f(x) a saadaan mielivaltaisen pieneksi missä tahansa pisteessä x x 0, joka on riittävän lähellä pistettä x 0, eli x x 0 on riittävän pieni. Taas tarkastelu palautuu komponenttifunktioihin: funktiolla f on raja-arvo a lim x x 0 f(x) = a, täsmälleen silloin, kun jokaiselle komponenttifunktiolle lim f i (x) = a i. x x 0 9 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 9/24 24
10 Usean muuttujan funktion raja-arvo ja jatkuvuus Funktio f : A R m, missä A R n on jatkuva pisteessä x 0 A jos lim x x 0 f(x) = f(x 0 ), ja jatkuva, jos se on jatkuva jokaisessa pisteessä x A. Vektoriarvoinen funktio on jatkuva täsmälleen silloin, kun jokainen komponenttifunktio on jatkuva. 10 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 10/24 24
11 Reaaliarvoisen funktion differentioituvuus Tarkastellaan kahden muuttujan funktiota f(x, y). Pidetään y vakiona ja merkitään g y (x) = f(x, y). Funktion osittaisderivaatta x:n suhteen on g y(x). Osittaisderivaatta y:n suhteen vastaavati. Lasketaan funktion osittaisderivaatat f(x, y) = { xy x 2 +y 2, kun (x, y) (0, 0) 0, kun (x, y = (0, 0). Ratkaisu: Tarkastellaan aluksi tilannetta (x, y) 0 ja lasketaan osittaisderivaatat f x (x, y) = y3 x 2 y (x 2 + y 2 ) 2, f y (x, y) = x3 y 2 x (x 2 + y 2 ) 2. Pisteessä (x, y) = (0, 0) osittaisderivaatat saadaan erotusosamäärän raja-arvoina: x f(0, 0) = 0 = y f(0, 0). 11 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 11/24 24
12 Reaaliarvoisen funktion differentioituvuus...esimerkki jatkuu Esimerkin funktiolla on siis olemassa osittaisderivaatat kaikkialla. Tarkastellaan funktion jatkuvuutta: Jos lähetymme origoa koordinaattiakselin suunnissa, niin funktion arvo origon lähellä on nolla. Jos lähestymme origoa suoraa y = x pitkin, on funktion arvo 1/2. Näin ollen funktiolla ei siis ole raja-arvoa origossa, eikä se ole jatkuva. Siis: pelkkä osittaisderivaattojen olemassaolo ei ole hyvä derivoituvuuden määritelmä, koska haluttaisiin, että derivoituva funktio on myös jatkuva (kuten yhden muuttujan reaalifunktio). 12 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 12/24 24
13 Reaaliarvoisen funktion differentioituvuus Haluamme, että derivoituva funktio on aina jatkuva (kuten reaalifunktion tapauksessa). Merkitään h x x 0. Silloin reaalifunktion derivaatan määritelmä sanoo f(x 0 + h) f(x 0 ) f (x 0 )h lim h 0 h = 0, ja tarkoittaa, että voimme approksimoida funktiota pisteen x 0 ympäristössä ensimmäisen asteen polynomilla. Yleistetään tämä: f(x 0 + h, y 0 + k) f(x 0, y 0 ) ah bk lim (h,k) (0,0) (h, k) missä a, b R. Erityisesti havaitaan, että a = f x (x 0, y 0 ) b = f y (x 0, y 0 ). (Tarkastele määritelmää akselien suunnassa, eli kun k = 0 tai h = 0) = 0, 13 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 13/24 24
14 Reaaliarvoisen funktion differentioituvuus Kahden muuttujan funktio f on differentioituva pisteessä (x 0, y 0 ), jos sillä on olemassa osittaisderivaatat pisteessä (x 0, y 0 ) ja lisäksi pätee f(x 0 + h, y 0 + k) f(x 0, y 0 ) f(x 0,y 0 ) h f(x 0,y 0 ) k x y lim (h,k) (0,0) (h, k) = 0. Lineaarikuvausta (h, k) f x (x 0, y 0 )h + f y (x 0, y 0 )k kutsutaan f:n differentiaaliksi eli derivaataksi pisteessä (x 0, y 0 ) ja merkitään df(x 0, y 0 ). 14 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 14/24 24
15 Differentioituvuus geometrisesti Tarkastellaan edelleen kahden muuttujan funktiota f(x, y). Differentioituvuus tarkoittaa, että funktion kuvaajalla z = f(x, y) on pisteessä (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) tangenttitaso. Tämä taso on 1. asteen polynomin T (x, y) = f(x 0, y 0 ) + df(x 0, y 0 )(x x 0, y y 0 ), kuvaaja. Vertaa: = f(x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) Reaalifunktion f : R R approksimaatio pisteen x 0 ympäristössä: tangenttisuora. Vektorifunktion f : G R 2 R approksimaatio pisteen (x 0, y 0 ) G ympäristössä: tangenttitaso. 15 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 15/24 24
16 Esimerkki Esimerkki Tutki funktion f(x, y) = x 2 + y 2 differentioituvuutta. Ratkaisu: Osittaisderivaatat: differentioituvuutta laskemalla f f x (x, y) = 2x, y (x, y) = 2y. Selvitellään f(x + h, y + k) f(x, y) f f x (x, y)h y (x, y)k, (h, k) = (x + h)2 + (y + k) 2 x 2 y 2 2xh 2yk h2 + k 2, = h2 + k 2 = (h, k), h2 + k2 ja tämä lähestyy nollaa kun (h, k) (0, 0). Siis funktio on differentioituva kaikkialla ja sen differentiaali pisteessä (x, y) on df(x, y)(h, k) = 2xh + 2yk. 16 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 16/24 24
17 Reaaliarvoisen funktion differentioituvuus n-ulotteinen tapaus Seuraavissa määritelmissä esiintyy muutamia topologisia käsitteitä; määritellään ne tässä. Olkoon A R n joukko. Piste x A on joukon A sisäpiste, jos jokin x-keskinen avoin pallo B(x, r) = {x R n : x x 0 < r} sisältyy joukkoon A. Joukko A on avoin, jos sen jokainen piste on sisäpiste. Piste x A on joukon A reunapiste, jos jokainen avoin pallo B(x, r) leikkaa sekä joukkoa A, että sen komplementtia. Joukko A on suljettu, jos se sisältää kaikki reunapisteensä. Avoimen joukon käsitettä tarvitaan raja-arvotarkasteluissa, jotta tarkastelupisteen ympärille saadaan tilaa. HUOM: seuraavissa määritelmissä x R n, eli x on n-komponenttinen vektori. 17 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 17/24 24
18 Reaaliarvoisen funktion differentioituvuus n-ulotteinen tapaus Seuraavissa määritelmissä oletetaan, että G R n on avoin joukko ja t R. Funktion f : G R osittaisderivaatta muuttujan x i suhteen pisteessä x on f f(x + te i ) f(x) (x) = lim, x i t 0 t mikäli raja-arvo on olemassa. = lim t 0 f(x 1,..., x i + t,... x n ) f(x 1,..., x i,..., x n ) t Osittaisderivaatta x i :n suhteen lasketaan siis kuten tavallinen derivaatta pitämällä muut muuttujat vakioina. Osittaisderivaatta toteuttaa reaalifunktiolle tutut derivointisäännöt. Osittaisderivaattaa merkitään mm. f x i (x) = i f(x) = xi f(x) = D xi f(x). Osittaisderivaatta i f(x) kertoo funktion kasvunopeuden x i -akselin suuntaan pisteessä x. 18 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 18/24 24
19 Reaaliarvoisen funktion differentioituvuus n-ulotteinen tapaus Funktion kasvunopeuden mielivaltaiseen suuntaan antaa suunnattu derivaatta: Funktion f : G R suunnattu derivaatta yksikkövektorin e suuntaan pisteessä x on f(x + te) f(x) e f(x) = lim, t 0 t mikäli raja-arvo on olemassa. Suunnattu derivaatta vektorin a 0 suuntaan on suunnattu derivaatta a:n suuntaisen yksikkövektorin suuntaan. 19 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 19/24 24
20 Reaaliarvoisen funktion differentioituvuus n-ulotteinen tapaus Differentioituvuus: Funktio f : G R on differentioituva pisteessä x G, jos sillä on olemassa kaikki osittaisderivaatat i f(x) ja lisäksi lim u 0 f(x + u) f(x) n i=1 if(x)u i = 0. u Lineaarikuvausta df(x) : R n R, df(x)u = n i=1 if(x)u i sanotaan f:n differentiaaliksi eli derivaataksi pisteessä x. Funktio on differentioituva, jos se on differentioituva jokaisessa Differentioituvuus siis tarkoittaa sitä, että erotusta f(x + u) f(x) voidaan approksimoida pisteen x lähellä lineaarikuvauksella: f(x + u) = f(x) + df(x)u + O( u ). Erityisesti siis differentioituva funktio on jatkuva. 20 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 20/24 24
21 Esimerkki Differentiaalin avulla voidaan mm. tehdä virhearvioita: Esimerkki Suorakulmion muotoisen levyn sivujen pituudet x ja y on mitattu 0.5% tarkkuudella. Mikä on näiden perusteella lasketun pinta-alan tarkkuus? Ratkaisu: Pinta-ala on A(x, y) = xy, joka on differentioituva funktio. Lasketaan siis A = A(x + x, y + y) A(x, y) da(x, y)( x, y) = A x A x + y = y x + x y. y Tästä saadaan suhteelliselle virheelle A A x x + y y = 1%. 21 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 21/24 24
22 Reaalifunktion f gradientti Funktion f : G R gradientti pisteessä x G on vektori gradf(x) = f(x) = ( 1 f(x), 2 f(x),..., n f(x)). Gradientin avulla differentiaali voidaan kirjoittaa: df(x)u = f(x) u. Fysiikassa differentiaalia merkitään usein: n df(x) = i f(x)dx i. i=1 22 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 22/24 24
23 Reaalifunktion f gradientti Jos funktio f : G R on differentioituva, niin sen suunnattu derivaatta yksikkövektorin e suuntaan on e f(x) = f(x) e. Gradientin geometrinen tulkinta: f(x) antaa funktion f nopeimman kasvun suunnan pisteessä x. Huom: Osittaisderivaattojen jatkuvuus takaa funktion differentioituvuuden. Funktiota, jolla on olemassa jatkuvat osittaisderivaatat sanotaan jatkuvasti differentioituvaksi. Useimmat fysiikassa kohtaamamme funktiot ovat tällaisia. 23 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 23/24 24
24 Derivointisääntöjä Kootaan vielä lopuksi derivointisääntöjä. Olkoot funktiot f ja g : G R (jatkuvasti) differentioituvia ja λ R sekä h : R R (jatkuvasti) derivoituva. Tällöin f + g, λf, fg ja h f ovat (jatkuvasti) differentioituvia ja d(f + g) = df(x) + dg(x), d(λf)(x) = λdf(x), d(fg)(x) = f(x)dg(x) + g(x)df(x), d(h f)(x) = h (f(x))df(x). Jos yhden muuttujan funktio g : G R n ja funktio f : G R ovat (jatkuvasti) differentioituvia, niin yhdistetty kuvaus f g : R on (jatkuvasti) derivoituva ja (f g) (t) = f(g(t)) g (t). 24 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 24/24 24
Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.
Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
LisätiedotRatkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,...
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset 11 Osoita, että vektorifunktio f = (f 1,, f m ): R n R m, on jatkuva, jos ja vain jos jokainen komponenttifunktio
LisätiedotTaustatietoja ja perusteita
Taustatietoja ja perusteita Vektorit: x R n pystyvektoreita, transpoosi x T Sisätulo: x T y = n i=1 x i y i Normi: x = x T x = ni=1 x 2 i Etäisyys: Kahden R n :n vektorin välinen etäisyys x y 1 Avoin pallo:
LisätiedotAntti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotMatematiikka B1 - avoin yliopisto
28. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Nettitehtävät Kurssin sisältö 1/2 Osittaisderivointi Usean muuttujan funktiot Raja-arvot Osittaisderivaatta Pinnan
LisätiedotVektorianalyysi I MAT21003
Vektorianalyysi I MAT21003 Ritva Hurri-Syrjänen Helsingin yliopisto 3. syyskuuta 2018 Sisältö Luennot syyslukukaudella 2017 3 Esimakua 4 Kertaus 5 1 Euklidinen avaruus 6 1.1 Euklidinen avaruus R n...............................
LisätiedotVektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 23.
Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 23. lokakuuta 2017 Sisältö Luennot syyslukukaudella 2017 3 Esimakua 4 Kertaus
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto
LisätiedotViikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi
Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa
Lisätiedot, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
LisätiedotVektorianalyysi II (MAT21020), syksy 2018
Vektorianalyysi II (MAT21020), syksy 2018 Ylimääräisiä harjoitustehtäviä 1. Osoita, että normin neliö f : R n R, f(x) = x 2 on differentioituva pisteessä a R n ja, että sen derivaatalle on voimassa 2.
LisätiedotKuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotMatematiikka B1 - TUDI
Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Matematiikka B1 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Kurssin
LisätiedotSelvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x
Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden
Lisätiedot1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat
1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat Funktion ensimmäiset osittaisderivaatat voidaan yhdistää yhdeksi vektorifunktioksi seuraavasti: Missä tahansa pisteessä (x, y), jossa funktiolla f(x, y) on ensimmäiset
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 7 1 Useamman muuttujan funktion raja-arvo Palautetaan aluksi mieliin yhden muuttujan funktion g(x) raja-arvo g(x). x a Tämä raja-arvo kertoo, mitä arvoa funktio g(x)
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
Lisätiedot3.3 Funktion raja-arvo
3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotAnalyysi I (sivuaineopiskelijoille)
Analyysi I (sivuaineopiskelijoille) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2017 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 19 1 of 18 Kahden muuttujan funktioista
LisätiedotBM20A0300, Matematiikka KoTiB1
BM20A0300, Matematiikka KoTiB1 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Robert A. Adams: Calculus, A Complete Course Luku 12 Luku 13 Luku 14.1 Tarvittava materiaali (luentokalvot, laskuharjoitustehtävät ja
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)
LisätiedotVektorianalyysi II MAT21020
Vektorianalyysi II MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ke: :5-:, to: :5-4: Helsingin yliopisto 4. huhtikuuta 8 Sisältö RHS:n luennoista 3 5 Kertausta vektorifunktioista 4 6 Vektorifunktioiden
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
Lisätiedot9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 3. Kompleksinen derivointi 3.1. Määritelmä. Olkoon G kompleksitason C epätyjä osajoukko. Olkoon z 0 joukon G sisäpiste. Funktio f : G C on kompleksisesti
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
Lisätiedot3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita
Lisätiedot2 Osittaisderivaattojen sovelluksia
2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu
LisätiedotTehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2018 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa määritelty kuvaus B(0, 1) := x R 2 : x
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
Lisätiedot12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa
179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
Lisätiedotsin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 2 Ratkaisuedotukset 2.1. Tutki funktion g : R 2 R, g(0, 0) = 0, jatkuvuutta. g(x, y) = sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2, kun (x,
LisätiedotJohdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 3. luento 17.11.2017 Neuroverkon opettaminen (ohjattu oppiminen) Neuroverkkoa opetetaan syöte-tavoite-pareilla
LisätiedotH7 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan
LisätiedotPisteessä (1,2,0) osittaisderivaatoilla on arvot 4,1 ja 1. Täten f(1, 2, 0) = 4i + j + k. b) Mihin suuntaan pallo lähtee vierimään kohdasta
Laskukarnevaali Matematiikka B. fx, y, z) = x sin z + x y, etsi f,, ) Osittaisderivaatat ovat f f x = sin z + xy, y = x, f z = x cos z Pisteessä,,) osittaisderivaatoilla on arvot 4, ja. Täten f,, ) = 4i
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
LisätiedotMatematiikan tukikurssi. Toinen välikoe
Matematiikan tukikurssi Toinen välikoe 1 Sisältö 1 Useamman muuttujan funktion raja-arvo 1 2 Useamman muuttujan funktion jatkuvuus 7 3 Osittaisderivaatat ja gradientti 8 4 Vektoriarvoiset funktiot 9 5
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot
LisätiedotUSEAN MUUTTUJAN FUNKTIOT II. Kari Ylinen
USEAN MUUTTUJAN FUNKTIOT II Kari Ylinen 21 Sisältö 1 I Avaruuden R n rakenteesta ja kuvauksista 1 I.1 Avaruuden R n lineaarinen ja metrinen rakenne.......... 1 I.2 Jonon suppeneminen.........................
Lisätiedot2.6 Funktioiden kuvaajat ja tasa-arvojoukot
2.6 Funktioiden kuvaajat ja tasa-arvojoukot Olkoon I R väli. Yhden muuttujan funktion g : I R kuvaaja eli graafi on avaruuden R 2 osajoukko {(x, y) R 2 : x I, y = g(x)}. 1 0 1 2 3 1 0.5 0 0.5 1 Kuva 2.1:
LisätiedotVektorit, suorat ja tasot
, suorat ja tasot 1 / 22 Koulussa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä (x 1, x 2 ). Jos vektorin
Lisätiedot3. Useamman muuttujan funktioiden differentiaalilaskentaa Olkoon A R n. Kuvaus f : A R on n:n muuttujan reaalifunktio. Se kuvaa
3 Useamman muuttujan funktioiden differentiaalilaskentaa Olkoon A R n Kuvaus f : A R on n:n muuttujan reaalifunktio Se kuvaa A:n pisteet x = (x,, x n ) A (x,, x n R) reaaliluvuiksi f(x) ja koko A:n R:n
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I
Usean muuttujan funktiot MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem) Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto Raja-arvot 3 Jatkuvat funktiot 4 Osittaisderivaatat 5 Derivaatta eli gradientti.
Lisätiedota) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:
6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,
LisätiedotPäättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1
Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon
LisätiedotMatemaattiset menetelmät II
Matemaattiset menetelmät II 5. helmikuuta 214 Esipuhe Tämä on 1. versio Matemaattiset menetelmät II-kurssin opetusmonisteesta, joka perustuu Vaasan yliopistossa luennoimaani vastaavan nimiseen kurssiin.
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:
LisätiedotBM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 1. (a) Tunnemme vektorit a = [ 5 1 1 ] ja b = [ 2 0 1 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)
LisätiedotVASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN
Matematiikan kurssikoe, Maa6 Derivaatta RATKAISUT Sievin lukio Torstai 23.9.2017 VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN MAOL-taulukkokirja on sallittu. Vaihtoehtoisesti voit käyttää aineistot-osiossa olevaa
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta
Talousmatematiikan perusteet: Luento 6 Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Motivointi Funktion arvojen lisäksi on usein kiinnostavaa tietää jotakin funktion
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
LisätiedotOletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä
Lisätiedot1 Euklidiset avaruudet R n
1 Euklidiset avaruudet R n Tässä osiossa käymme läpi Euklidisten avaruuksien R n perusominaisuuksia. Olkoon n N + positiivinen kokonaisluku. Euklidinen avaruus R n on joukko R n = {(x 1, x 2,..., x n )
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
LisätiedotTutki, onko seuraavilla kahden reaalimuuttujan reaaliarvoisilla funktioilla raja-arvoa origossa: x 2 + y 2, d) y 2. x + y, c) x 3
2. Reaaliarvoiset funktiot 2.1. Jatkuvuus 23. Tutki funktion f (x,y) = xy x 2 + y 2 raja-arvoa, kun piste (x,y) lähestyy origoa pitkin seuraavia xy-tason käyriä: a) y = ax, b) y = ax 2, c) y 2 = ax. Onko
LisätiedotLineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi
Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Harri Hakula Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2018 1 Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen
LisätiedotReaaliarvoisen yhden muuttujan funktion derivaatta LaMa 1U syksyllä 2011
Kuudennen eli viimeisen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion derivaatta LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuihin 2.3. ja 2.4. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Jatkuvuuden
LisätiedotRatkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Topologia I 1. kurssikoe 26.2.2013 Malliratkaisut ja tehtävien tarkastamiset Tehtävät 1 ja 2 Henrik Wirzenius Tehtävät 3 ja 4 Teemu Saksala Jos sinulla on kysyttävää
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
LisätiedotDifferentiaalimuodot
LUKU 2 Differentiaalimuodot Olkoot A R n ja p A. Vektori pisteessä p on pari (p; v), missä v R n. Pisteeseen p kiinnitetyn vektorin v p := (p; v) ensimmäinen komponentti p on vektorin v p paikkaosa ja
LisätiedotVektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa
Viikon aiheet Pistetulo (skalaaritulo Vektorien tulot Pistetulo Ristitulo Skalaari- ja vektorikolmitulo Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integrointi, yhdistetyn funktion derivaatan integrointi Vektoreiden
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.
1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta
Talousmatematiikan perusteet: Luento 6 Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Motivointi Funktion arvojen lisäksi on usein kiinnostavaa tietää jotakin funktion
Lisätiedot1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa
MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon
Lisätiedot2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.
2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I
Usean muuttujan funktiot MS-A007 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa G. Gripenberg Aalto-yliopisto Raja-arvot 3 Jatkuvat funktiot 4 Osittaisderivaatat 5 Derivaatta
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I
MS-A007 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa G. Gripenberg Aalto-yliopisto 1. tammikuuta 016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A007 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
LisätiedotPienimmän neliösumman menetelmä
Pienimmän neliösumman menetelmä Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Funktion sovitus Datapisteet (x 1,...,x n ) Annettu data y i = f(x i )+η i, missä f(x) on tuntematon funktio ja η i mittaukseen
LisätiedotBijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016
Lisätiedot