Täydellisyysaksiooman kertaus

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Täydellisyysaksiooman kertaus"

Transkriptio

1 Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja (alaraja). A on rajoitettu, jos se on sekä alhaalta, että ylhäältä rajoitettu. Täydellisyysaksiooman nojalla epätyhjällä ja ylhäältä rajoitetulla joukolla A R on pienin yläraja eli supremum. Vastaavasti, alhaalta rajoitetulla epätyhjällä joukolla on suurin yläraja, eli infimum.

2 Luku M R on joukon A R supremum jos ja vain jos: 1 Se on joukon A yläraja. 2 Mikään M < M ei ole joukon A yläraja (löytyy a A siten, että a > M ).

3 Luku M R on joukon A R supremum jos ja vain jos: 1 Se on joukon A yläraja. 2 Mikään M < M ei ole joukon A yläraja (löytyy a A siten, että a > M ). ESIMERKKI: Luonnollisten lukujen joukko N ei ole ylhäältä rajoitettu. Todistus: Tehdään vastaoletus, jonka mukaan N on ylhäältä rajoitettu. Tällöin täydellisyysaksiooman nojalla on olemassa M = sup N. Koska M 1 < M, niin (M 1 ei ole joukon N yläraja, joten) on olemassa n N, jolle n > M 1. Tällöin myös n + 1 N. Koska n + 1 > (M 1) + 1 = M, niin M ei olekaan joukon N yläraja. Vastaoletus johtaa siis ristiriitaan.

4 ESIMERKKI: Osoitetaan, että sup A = 0, kun A = { 1 k : k N}. Koska 1 k 0 kaikille k N, niin 0 on joukon A yläraja. Toisaalta, jos M < 0, voidaan (edellisen esimerkin nojalla) valita k N siten, että k > 1 M, jolloin myös 1 k > M. Siten mikään M < 0 ei voi olla joukon A alaraja. 0 on siis väistämättä joukon A alarajoista pienin.

5 Raja-arvoihin ja jatkuvuuteen liittyvät tärkeät määritelmät reaaliakselilla. Määritelmä Reaalilukujono (x k ) k=1 suppenee, jos sillä on raja-arvo x R eli sellainen x R, että kaikille ε > 0 löytyy k 0 N siten, että x k x < ε kaikille k k 0. Jos jono (x k ) ei suppene, se hajaantuu.

6 Raja-arvoihin ja jatkuvuuteen liittyvät tärkeät määritelmät reaaliakselilla. Määritelmä Reaalilukujono (x k ) k=1 suppenee, jos sillä on raja-arvo x R eli sellainen x R, että kaikille ε > 0 löytyy k 0 N siten, että x k x < ε kaikille k k 0. Jos jono (x k ) ei suppene, se hajaantuu. Muista: Monotoninen (kasvava tai vähenevä) lukujuno suppenee jos ja vain jos se on rajoitettu. Jokaisella rajoitetulla reaalilukujonolla (x k ) k on suppeneva osajono. Reaalilukujono (x k ) suppenee jos ja vain jos se on Cauchy-jono: Kaikille ε > 0 löytyy k ε N siten, että x k x m < ε kaikille k, m k ε.

7 Määritelmä Reaalilukuvälillä I määritelty funktio f : I R on jatkuva pisteessä x I, jos jokaiselle ε > 0 löytyy δ > 0 siten, että f (y) f (x) < ε kaikille y I, joille x y < δ Funktio f : I R on jatkuva, jos se on jatkuva jokaisessa määrittelyvälin pisteessä x I.

8 Määritelmä Reaalilukuvälillä I määritelty funktio f : I R on jatkuva pisteessä x I, jos jokaiselle ε > 0 löytyy δ > 0 siten, että f (y) f (x) < ε kaikille y I, joille x y < δ Funktio f : I R on jatkuva, jos se on jatkuva jokaisessa määrittelyvälin pisteessä x I. Muista: Raja-arvoihin ja jatkuvuuteen liittyvät perustulokset: mm. lineaarisuus, suppiloperiaate, jne. Funktio f : I R on jatkuva pisteessä x I jos ja vain jos lim f (y) = f (x). y x Reaalifunktion raja-arvojen ja jatkuvuuden karakterisointi jonojen avulla.

9 Sisätulo Pisteiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) R n välinen euklidinen sisätulo x y saadaan kaavasta x y = n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y x n y n. i=1

10 Sisätulo Pisteiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) R n välinen euklidinen sisätulo x y saadaan kaavasta x y = n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y x n y n. i=1 Sisätulolla on seuraavat perusominaisuudet (kun x, y, z R n ja λ R): x x 0 ja x x = 0 jos ja vain jos x = 0. x y = y x. (λx) y = λ(x y) = x (λy). (x + y) z = x z + y z.

11 Normi Sisätulon avulla voidaan määritellä vektorin x R n pituus, eli normi x = x x = n (x i ) 2, jolloin pisteiden x ja y välinen etäisyys on x y = y x. i=1

12 Normi Sisätulon avulla voidaan määritellä vektorin x R n pituus, eli normi x = x x = n (x i ) 2, jolloin pisteiden x ja y välinen etäisyys on x y = y x. i=1 Määritelmä perustuu (n-ulotteiseen) Pythagoraan lauseeseen.

13 Normi Sisätulon avulla voidaan määritellä vektorin x R n pituus, eli normi x = x x = n (x i ) 2, jolloin pisteiden x ja y välinen etäisyys on x y = y x. i=1 Määritelmä perustuu (n-ulotteiseen) Pythagoraan lauseeseen. Normilla on seuraavat perusominaisuudet: x 0 ja yhtäsuuruus pätee vain mikäli x = 0. λx = λ x (erityisesti y x = x y ). x + y x + y.

14 Kulma Sisätulon ja normin avulla voidaan määrittää euklidisen avaruuden R n pisteiden väliset kulmat. Jos x, y R n \ {0}, niin ( ) x y (x, y) = arccos [0, π]. x y

15 Kulma Sisätulon ja normin avulla voidaan määrittää euklidisen avaruuden R n pisteiden väliset kulmat. Jos x, y R n \ {0}, niin ( ) x y (x, y) = arccos [0, π]. x y ESIMERKKI: Avaruuden R 4 pisteiden x = (0, 1, 2, 3) ja (y = 1, 2, 3, 4) välinen kulma on ( ) x y (x, y) = arccos x y ( ) = arccos ( ) 2 20 = arccos , 22 ( 12, 6 ).

16 Pallot ja pallonkuoret Olkoon x R n ja r 0. Määritellään Avoin pallo B n (x, r) = {y R n : y x < r}. Suljettu pallo B n (x, r) = {y R n : y x r}. Pallopinta S n 1 (x, r) = {y R n : y x = r}.

17 Rajoitetut ja rajoittamattomat joukot Määritelmä Joukko A R n on rajoitettu, mikäli joukko { a : a A} R on rajoitettu eli jos on olemassa M R siten, että a M kaikille a A. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä joukolle A R n (harjoitustehtävä): 1 A on rajoitettu. 2 Joukko { x y : x, y A} R on rajoitettu. 3 On olemassa x R ja 0 < r < siten, että A B(x, r). 4 Kaikille x R löytyy r > 0 siten, että A B(x, R).

18 Rajoitetun joukon halkaisija on diam(a) = sup{ x y : x, y A}. Jos A R n ei ole rajoitettu, se on rajoittamaton.

19 Rajoitetun joukon halkaisija on diam(a) = sup{ x y : x, y A}. Jos A R n ei ole rajoitettu, se on rajoittamaton. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä joukolle A R n (harjoitustehtävä): 1 A on rajoittamaton. 2 Kaikille M > 0 löytyy x A siten, että x M. 3 On olemassa jono (x k ) k siten, että x k A kaikille k N ja lim x k =. k

20 ESIMERKKI: Joukko A =]0, 4[ ] 1, 1[ R 2 on rajoitettu ja sen halkaisija on 20:

21 ESIMERKKI: Joukko A =]0, 4[ ] 1, 1[ R 2 on rajoitettu ja sen halkaisija on 20: Jos x, y A, niin 0 < x 1, y 1 < 4, joten x 1 y 1 < 4. Vastaavasti x 2 y 2 < 2. Siten x y = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 < = 20. Siis diam(a) = sup{ x y : x, y A} 20. Koska (a, 1 + a), (4 a, 1 a) A kaikille 0 < a < 2, niin diam(a) (a, 1+a) (4 a, 1 a) = (4 2a) 2 + (2 2a) 2, kaikille 0 < a < 2. Kun a 0, saadaan diam(a) lim (4 2a) 2 + (2 2a) 2 = 20. a 0

22 Esimerkki: Joukko A = N B 3 (0, 1) R 4 on rajoittamaton:

23 Esimerkki: Joukko A = N B 3 (0, 1) R 4 on rajoittamaton: Esimerkiksi (k, 0, 0, 0) A kaikille k N ja kun k. (k, 0, 0, 0) = k,

24 Funktioihin liittyvät peruskäsitteet Olkoon f : X Y funktio. Joukon A X kuvajoukko on f (A) = {f (a) : a A}. Joukon B Y alkukuva on f 1 (B) = {x X : f (x) B}. Kuvaus f on injektio, jos f (x) f (y) aina kun x, y X ja x y. Kuvaus f on surjektio, jos f (X) = Y.

25 Kuvaus f on bijektio, jos se on sekä surjektio, että injektio, eli jos jokaista maalijoukon alkioita y Y vastaa täsmälleen yksi määrittelyjoukon alkio x X siten, että f (x) = y. Bijektiolla f : X Y on käänteiskuvaus f 1 : Y X, joka määräytyy säännöstä f 1 (y) = x f (x) = y. Jos g: Y Z, niin voidaan määritellä yhdistetty kuvaus g f : X Z asettamalla g f (x) = g (f (x)) kaikille x X.

26 Usean muuttujan vektoriarvoiset kuvaukset Olkoon f : A B, missä A R n ja B R m. Tällöin f = (f 1,..., f m ), missä f k : A R ovat funktion f (reaaliarvoiset) kompenenttifunktiot (k = 1,..., n). ERIKOISTAPAUKSIA: Jos n = 1, kyseessä on reaalimuuttujan funktio, jolloin komponenttifunktiot ovat reaalifunktioita. ESIMERKKI: f : R R 3, f (t) = (sin t, cos t, t/5).

27 Jos m = 1, funktio on reaaliarvoinen. ESIMERKKI: g : R2 [1, + [, g(x, y) = 1 + x4 + y

28 ESIMERKKI: Olkoon g: R 2 [1, [, g(x, y) = 1 + x 4 + y 4 g ei ole injektio, sillä esimerkiksi g(1, 1) = g( 1, 1) = 3. g on surjektio: Jos 1 u <, niin ( g(0, (u 1) 1/4 ) = (u 1) 1/4) 4 = 1 + u 1 = u. Joukon N N kuvajoukko on f (N N) = {1 + n 4 + m 4 : n, m N} Joukon C = [2, 3] alkukuva on = {3, 18, 33, 83, 98, 163,...}. g 1 (C) = {(x, y) R 2 : x 4 + y 4 3} = {(x, y) R 2 : 1 x 4 + y 4 3}.

29 ESIMERKKI: Tutkitaan onko kuvaus g: R 2 R 2, bijektio. g(x, y) = (2x + y, y 3 ), Surjektiivisuus: Olkoon (u, v) R 2. Etsitään pistettä (x, y), jolle g(x, y) = (u, v): Jotta olisi g(x, y) = (u, v), niin on oltava y 3 = v, joten y = v 1/3. Edelleen, on oltava 2x + y = 2x + v 1/3 = u, joten x = (u v 1/3 )/2. Huomataan, että (( )) 1 g 2 (u v1/3 ), v 1/3 = (u, v). Siis g on surjektio.

30 Injektiivisyys: Jos g(x, y) = g(z, w), niin g 2 (x, y) = g 2 (z, w), joten y 3 = z 3 = y = z. Edelleen, g 1 (x, y) = g 1 (z, w), joten 2x + y 3 = 2z + w 3 = 2z + y 3 = x = z. Siispä (x, y) = (z, w), joten g on injektio. g on siis bijektio eli sillä on käänteiskuvaus g 1 : R 2 R 2. Käänteiskuvauksen lauseke on ( ) 1 g 1 (u, v) = 2 (u v1/3 ), v 1/3.

31 Funktion hahmottelu kuvien avulla Funktion f : A B (A R n, B R m ) kulkua voi hahmotella piirtämällä esimerkiksi Funktion kuvaajan G f = {(x, f (x)) : x A} A B R n R m, tai sen osan (saattaa hyvinkin onnistua etenkin, jos n + m 3). Funktion arvojoukon f (A) B R m tai sopivan kuvajoukon f (C), C A (tulee kyseeseen, kun m 3. Tasa-arvojoukkoja f 1 ({b)} eri arvoilla b B (kun) n 3. Esimerkkejä.

32 Rajoitetut funktiot Määritelmä Funktio f : A R m, A R n on rajoitettu, jos f (A) R m on rajoitettu. TÄRKEÄ HAVAINTO: Koska kaikille y R m, y k y m max k=1,...,m yk, niin f = (f 1,..., f m ): A R m on rajoitettu, jos ja vain jos jokainen komponenttifunktio f k on rajoitettu.

33 ESMERKKI: Funktio f : R n R 2, ( ( n )) 1 f (x) = 1 + x 1 x n, sin x k k=1

34 ESMERKKI: Funktio f : R n R 2, ( ( n )) 1 f (x) = 1 + x 1 x n, sin x k on rajoitettu, sillä 0 k= x 1 x n 1 kaikille x Rn, ja ( n ) sin x k 1 kaikille x R n. k=1

35 ESMERKKI: Funktio f : R 4 R 2, ( ) x 1 f (x) = 1 + x 1 3, log log(x2 x 3 x 4 )

36 ESMERKKI: Funktio f : R 4 R 2, ( ) x 1 f (x) = 1 + x 1 3, log log(x2 x 3 x 4 ) ei ole rajoitettu, sillä kun (x 2, x 3, x 4 ) = (M, M, M), niin log log(m 3 ), kun M.

37 Jonot Joukon R n jono (x k ) koostuu numeroiduista alkioista x 1, x 2, x 3,... R n. Jonon alkioiden x k = (x 1 k, x2 k,..., xn k ) komponentit muodostavat reaalilukujonot (x j k ) k (1 j n). ESIMERKKI: x k = (x 1 k, x2 k, x3 k ), missä x 1 k = k, x2 k = ( 1)k, x 3 k = log k. Näin ollen ( ) x k = k, ( 1) k ), log k = ((1, 1, 0), (2, 1, log 2), (3, 1, log 3),...). k

38 Jonoihin liittyvät peruskäsitteet Olkoon (x k ) k avaruuden R n jono. Jono (x k ) suppenee kohti raja-arvoa x R n, mikäli kaikille ε > 0 on k ε N siten, että x x k < ε kaikille k k ε. Jos jono ei suppene, se hajaantuu. Jono on rajoitettu, jos on olemassa M < siten, että x k M kaikille k N. Suppeneva jono on aina rajoitettu (Syy: x k x, kun k on riittävän suuri.)

39 Hajaantuva jono voi olla joko rajoitettu tai rajoittamaton Esim. avaruuden R n jono x k = ( 1) k e 1, Esim. avaruuden R 2 jono x k = (k, k 2 ). Jono (x k ) suppenee jos ja vain jos kaikki komponenttijonot (x j k ) k suppenevat ja tällöin missä lim x k = (x 1,..., x n ), k x j = lim k x j k. ESIMERKIKSI: ( ( ) ( 1 k k 2 )) k sin, k k + log k, exp + k k 2 (1, 1, e), kun k.

40 ESIMERKKI: Olkoon α R. Tutkitaan lukujonoa x k = (cos(kαπ), sin(kαπ)) ympyrällä S 1. Valitaan α = 3 7 :

41 ESIMERKKI: Olkoon α R. Tutkitaan lukujonoa x k = (cos(kαπ), sin(kαπ)) ympyrällä S 1. Valitaan α = 3 7 :

42 ESIMERKKI: Olkoon α R. Tutkitaan lukujonoa x k = (cos(kαπ), sin(kαπ)) ympyrällä S 1. Valitaan α = 3 7 :

43 ESIMERKKI: Olkoon α R. Tutkitaan lukujonoa x k = (cos(kαπ), sin(kαπ)) ympyrällä S 1. Valitaan α = 3 7 :

44 ESIMERKKI: Olkoon α R. Tutkitaan lukujonoa x k = (cos(kαπ), sin(kαπ)) ympyrällä S 1. Valitaan α = 3 7 :

45 ESIMERKKI: Olkoon α R. Tutkitaan lukujonoa x k = (cos(kαπ), sin(kαπ)) ympyrällä S 1. Valitaan α = 3 7 :

46 ESIMERKKI: Olkoon α R. Tutkitaan lukujonoa x k = (cos(kαπ), sin(kαπ)) ympyrällä S 1. Valitaan α = 3 7 :

47 ESIMERKKI: Olkoon α R. Tutkitaan lukujonoa x k = (cos(kαπ), sin(kαπ)) ympyrällä S 1. Valitaan α = 3 7 :

48 ESIMERKKI: Olkoon α R. Tutkitaan lukujonoa x k = (cos(kαπ), sin(kαπ)) ympyrällä S 1. Valitaan α = 3 7 :

49 ESIMERKKI: Olkoon α R. Tutkitaan lukujonoa x k = (cos(kαπ), sin(kαπ)) ympyrällä S 1. Valitaan α = 3 7 :

50 ESIMERKKI: Olkoon α R. Tutkitaan lukujonoa x k = (cos(kαπ), sin(kαπ)) ympyrällä S 1. Valitaan α = 3 7 :

51 ESIMERKKI: Olkoon α R. Tutkitaan lukujonoa x k = (cos(kαπ), sin(kαπ)) ympyrällä S 1. Valitaan α = 3 7 :

52 ESIMERKKI: Olkoon α R. Tutkitaan lukujonoa x k = (cos(kαπ), sin(kαπ)) ympyrällä S 1. Valitaan α = 3 7 :

53 ESIMERKKI: Olkoon α R. Tutkitaan lukujonoa x k = (cos(kαπ), sin(kαπ)) ympyrällä S 1. Valitaan α = 3 7 :

54 ESIMERKKI: Olkoon α R. Tutkitaan lukujonoa x k = (cos(kαπ), sin(kαπ)) ympyrällä S 1. Valitaan α = 3 7 :

55 ESIMERKKI: Olkoon α R. Tutkitaan lukujonoa x k = (cos(kαπ), sin(kαπ)) ympyrällä S 1. Valitaan α = 3 7 :

56 ESIMERKKI: Olkoon α R. Tutkitaan lukujonoa x k = (cos(kαπ), sin(kαπ)) ympyrällä S 1. Valitaan α = 3 7 :

57 ESIMERKKI: Olkoon α R. Tutkitaan lukujonoa x k = (cos(kαπ), sin(kαπ)) ympyrällä S 1. Valitaan α = 3 7 :

58 Valitaan sitten α = 2:

59 Valitaan sitten α = 2:

60 Valitaan sitten α = 2:

61 Valitaan sitten α = 2:

62 Valitaan sitten α = 2:

63 Valitaan sitten α = 2:

64 Valitaan sitten α = 2:

65 Valitaan sitten α = 2:

66 Valitaan sitten α = 2:

67 Valitaan sitten α = 2:

68 Valitaan sitten α = 2:

69 Valitaan sitten α = 2:

70 Valitaan sitten α = 2:

71 Valitaan sitten α = 2:

72 Valitaan sitten α = 2:

73 Valitaan sitten α = 2:

74 Valitaan sitten α = 2:

75 Valitaan sitten α = 2:

76 Valitaan sitten α = 2:

77 Valitaan sitten α = 2:

78 Valitaan sitten α = 2:

79 Valitaan sitten α = 2:

80 Valitaan sitten α = 2:

81 Valitaan sitten α = 2:

82 Valitaan sitten α = 2:

83 Valitaan sitten α = 2:

84 Valitaan sitten α = 2:

85 Valitaan sitten α = 2:

86 Valitaan sitten α = 2:

87 Valitaan sitten α = 2:

88 Valitaan sitten α = 2:

89 Valitaan sitten α = 2:

90 Valitaan sitten α = 2:

91 Valitaan sitten α = 2:

92 Valitaan sitten α = 2:

93 Valitaan sitten α = 2:

94 Valitaan sitten α = 2:

95 Valitaan sitten α = 2:

96 Valitaan sitten α = 2:

97 Valitaan sitten α = 2:

98 Valitaan sitten α = 2:

99 Valitaan sitten α = 2:

100 Valitaan sitten α = 2:

101 Valitaan sitten α = 2:

102 Valitaan sitten α = 2:

103 Valitaan sitten α = 2:

104 Valitaan sitten α = 2:

105 Valitaan sitten α = 2:

106 Valitaan sitten α = 2:

107 Valitaan sitten α = 2:

108 Valitaan sitten α = 2:

109 Valitaan sitten α = 2:

110 Valitaan sitten α = 2:

111 Tärkeitä jonoihin liittyviä tuloksia Jokaisella avaruuden R n rajoitetulla jonolla on suppeneva osajono. Avaruuden R n jono (x k ) k suppenee täsmälleen silloin kun se on Cauchy-jono: Kaikille ε > 0 löytyy k ε N siten, että x k x m < ε kaikille k, m k ε.

112 Sarjat Avaruuden R n sarja x k, k=1 missä x k R n, suppenee, jos osasummien muodostama jono (S N ) N=1, N S N = x k, suppenee. k=1

113 Sarjat Avaruuden R n sarja x k, k=1 missä x k R n, suppenee, jos osasummien muodostama jono (S N ) N=1, N S N = x k, k=1 suppenee. Suppenevan sarjan k x k summa on raja-arvo k=1 x k = lim N S N = lim N N x k. k=1

114 HUOMAUTUS: Sarjan suppenemistarkastelu palautuu komponenttisarjojen kautta reaalilukusarjojen suppenemistarkasteluun.

115 HUOMAUTUS: Sarjan suppenemistarkastelu palautuu komponenttisarjojen kautta reaalilukusarjojen suppenemistarkasteluun. ESIMERKKI: Tason sarja k=1 ( ) 1 k 2, ( 1/3)k, suppenee, koska komponenttisarjat suppenevat. k=1 1 k 2, k=1 ( 1/3) k,

116 Topologian peruskäsitteitä Piste x R n on joukon A R n sisäpiste, jos on olemassa sellainen r > 0, että B(x, r) A:

117 Piste x R n on joukon A R n ulkopiste, jos on olemassa sellainen r > 0, että B(x, r) A = :

118 Piste x R n on joukon A R n reunapiste, jos kaikille r > 0 on voimassa B(x, r) A B(x, r) \ A:

119 Piste x R n on joukon A R n kasautumispiste, jos kaikille r > 0 on voimassa A B(x, r) \ {x} :

120 Piste x R n on joukon A R n eristetty piste, jos on olemassa sellainen r > 0, että B(x, r) A = {x}:

121 Määritellään joukolle A R n sisus int A = {x R n : x on joukon A sisäpiste.} ulkopuoli ext A = {x R n : x on joukon A ulkopiste.} reuna A = {x R n : x on joukon A reunapiste.} sulkeuma A määritellään asettamalla A = A A.

122 Topologian peruskäsitteisiin liittyviä tuloksia Joukolle A R n on voimassa: 1 int A A A. 2 int A = A \ A = A \ A. 3 int A = ext(r n \ A). 4 A = (R n \ A). 5 R n = int A A ext A (erillinen yhdiste). 6 A = A \ int A ja A = int A A. 7 {x R n : x on joukon A kasautumispiste} = A \ {x R n : x on joukon A eristetty piste}.

123 Topologian peruskäsitteet ja jonot Piste x R n on joukon A R n 1 sisäpiste, jos ja vain jos jokaiselle jonolle x k, jolle lim k x k = x on k 0 N siten, että x k A kaikilla k k 0. 2 reunapiste, jos ja vain jos on olemassa jonot x k, y k siten, että x k A ja y k R n \ A kaikille k N, sekä lim k x k = lim k y k = x. 3 ulkopiste, jos ja vain jos jokaiselle jonolle x k, jolle lim k x k = x on k 0 N siten, että x k / A kaikilla k k 0. 4 kasautumispiste, jos ja vain jos on olemassa jono x k siten, että x k A \ {x} kaikilla k N ja lim k x k = x 5 Eristetty piste, jos jokaiselle jonolle x k A, jolle lim k x k = k on olemassa k 0 N siten, että x k = x kaikille k k 0.

124 Bolzanon ja Weirstrassin lauseen muotoilu kasautumispisteiden avulla Lause Olkoon A rajoitettu joukko, jossa on äärettömän monta alkiota. Tällöin joukolla A on ainakin yksi kasautumispiste. ESIMERKKI: Joukko A = { 1 n 2 } : n N, on ääretön ja rajoitettu, joten sillä on ainakin yksi kasautumispiste.

125 Bolzanon ja Weirstrassin lauseen muotoilu kasautumispisteiden avulla Lause Olkoon A rajoitettu joukko, jossa on äärettömän monta alkiota. Tällöin joukolla A on ainakin yksi kasautumispiste. ESIMERKKI: Joukko A = { 1 n 2 } : n N, on ääretön ja rajoitettu, joten sillä on ainakin yksi kasautumispiste. Huomataan, että 0 on joukon A ainoa kasautusmispiste.

126 Avoimet ja suljetut joukot

127 Avoimet ja suljetut joukot Joukko A R n on avoin, jos jokainen sen piste on sisäpiste. Siis A on avoin int A = A A A =.

128 Avoimet ja suljetut joukot Joukko A R n on avoin, jos jokainen sen piste on sisäpiste. Siis A on avoin int A = A A A =. Joukko F on suljettu, jos se sisältää kaikki kasautusmispisteensä. Siis A on suljettu kas A A A = A A A.

129 ESIMERKKEJÄ: Joukko A =]0, 1[ ]0, 2[ R 2 on avoin:

130 ESIMERKKEJÄ: Joukko A =]0, 1[ ]0, 2[ R 2 on avoin: Jos (x, y) A, niin 0 < x < 1 ja 0 < y < 2. Koska epäyhtälöt ovat aitoja, voidaan valita r > 0 niin pieneksi, että 0 < x r < x < x + r < 1 ja 0 < y r < y < y + r < 2. Tällöin B((x, y), r) ]0, 1[ ]0, 2[.

131 ESIMERKKEJÄ: Joukko A =]0, 1[ ]0, 2[ R 2 on avoin: Jos (x, y) A, niin 0 < x < 1 ja 0 < y < 2. Koska epäyhtälöt ovat aitoja, voidaan valita r > 0 niin pieneksi, että 0 < x r < x < x + r < 1 ja 0 < y r < y < y + r < 2. Tällöin B((x, y), r) ]0, 1[ ]0, 2[. Vastaavasti voidaan todeta, että joukko [0, 1] [0, 2] on suljettu.

132 ESIMERKKEJÄ: Joukko A =]0, 1[ ]0, 2[ R 2 on avoin: Jos (x, y) A, niin 0 < x < 1 ja 0 < y < 2. Koska epäyhtälöt ovat aitoja, voidaan valita r > 0 niin pieneksi, että 0 < x r < x < x + r < 1 ja 0 < y r < y < y + r < 2. Tällöin B((x, y), r) ]0, 1[ ]0, 2[. Vastaavasti voidaan todeta, että joukko [0, 1] [0, 2] on suljettu. Joukko [0, 1] ]0, 2[

133 ESIMERKKEJÄ: Joukko A =]0, 1[ ]0, 2[ R 2 on avoin: Jos (x, y) A, niin 0 < x < 1 ja 0 < y < 2. Koska epäyhtälöt ovat aitoja, voidaan valita r > 0 niin pieneksi, että 0 < x r < x < x + r < 1 ja 0 < y r < y < y + r < 2. Tällöin B((x, y), r) ]0, 1[ ]0, 2[. Vastaavasti voidaan todeta, että joukko [0, 1] [0, 2] on suljettu. Joukko [0, 1] ]0, 2[ ei ole avoin, eikä suljettu.

134 Avoimiin ja suljettuihin joukkoihin liittyviä perustuloksia Olkoon A, U, V, U 1, U 2,..., K, F, K 1, K 2,... R n. A on avoin jos ja vain jos R n \ A on suljettu. Jos U ja V ovat avoimia, niin U V on avoin. Jos K ja F ovat suljettuja, niin K F on suljettu. Jos U 1, U 2,... ovat avoimia, niin U k, on avoin. k=1

135 Jos K 1, K 2,... ovat suljettuja, niin K k, k=1 on suljettu. Jos U on avoin ja K on suljettu, niin U \ K on avoin ja K \ U on suljettu.

136 Kompaktit joukot Avaruuden R n suljettua ja rajoitettua joukkoa sanotaan kompaktiksi. Kompakteilla joukoilla on muun muassa seuraavat ominaisuudet: Jokaisella kompaktin joukon jonolla on osajono, joka suppenee joukossa K. Sisäkkäisten epätyhjien kompaktien joukkojen leikkaus on epätyhjä: Jos K 1, K 2, K 3,... ovat kompakteja avaruuden R n osajoukkoja siten, että K 1 K 2 K 3..., niin K k. k=1

137 Jatkuvuus Olkoon A R n ja B R m. Kuvaus f : A B on jatkuva pisteessä x A, jos kaikille ε > 0 on δ > 0 siten, että f (y) f (x) < ε aina kun y A ja y x < δ.

138 Jatkuvuus Olkoon A R n ja B R m. Kuvaus f : A B on jatkuva pisteessä x A, jos kaikille ε > 0 on δ > 0 siten, että f (y) f (x) < ε aina kun y A ja y x < δ. Kuvaus f on jatkuva, jos se on jatkuva pisteessä x kaikille määrittelyjoukon pisteille x A.

139 Jatkuvuus Olkoon A R n ja B R m. Kuvaus f : A B on jatkuva pisteessä x A, jos kaikille ε > 0 on δ > 0 siten, että f (y) f (x) < ε aina kun y A ja y x < δ. Kuvaus f on jatkuva, jos se on jatkuva pisteessä x kaikille määrittelyjoukon pisteille x A. ESIMERKKI: Onko Funktio f : R 3 R 2, jatkuva? f (x, y, z) = ( z, 2x + y 2 ), Olkoon (x 0, y 0, z 0 ) R 3 ja ε > 0. Sovelletaan arviota (x 1, x 2 ) x 1 + x 2 x + x, vektoriin f (x, y, z) f (x 0, y 0, z 0 ) R 2.

140 f (x, y, z) = ( z, 2x + y 2 ). Oletetaan ensin, että z 0 0. Olkoon (x, y, z) (x 0, y 0, z 0 ) < δ. Nyt ( ) f (x, y, z) f (x 0, y 0, z 0 ) = z z0, 2(x x 0 ) + y 2 y 2 0 ( z z 0 )( z + z 0 ) + 2 x x 0 + (y 0 + (y y 0 )) 2 y 2 0 z + z0 z z x x y 0 y y 0 + (y y 0 ) 2 z0 ( ) δ z0 + 2δ + y 0 δ + δ y δ, z0

141 f (x, y, z) = ( z, 2x + y 2 ). Oletetaan ensin, että z 0 0. Olkoon (x, y, z) (x 0, y 0, z 0 ) < δ. Nyt ( ) f (x, y, z) f (x 0, y 0, z 0 ) = z z0, 2(x x 0 ) + y 2 y 2 0 ( z z 0 )( z + z 0 ) + 2 x x 0 + (y 0 + (y y 0 )) 2 y 2 0 z + z0 z z x x y 0 y y 0 + (y y 0 ) 2 z0 ( ) δ z0 + 2δ + y 0 δ + δ y δ, z0 mikä on < ε, kun valitaan δ = min 1, ε y z0.

142 Tapauksessa z 0 = 0, käytetään arviota z 0 δ, kun z 0 δ.

143 Funktion raja-arvo Olkoon A R n, B R m ja olkoon x A. Funktiolla f : A B on pisteessä x raja-arvo c = lim y x f (y),

144 Funktion raja-arvo Olkoon A R n, B R m ja olkoon x A. Funktiolla f : A B on pisteessä x raja-arvo c = lim y x f (y), mikäli kaikille ε > 0 on olemassa δ > 0 siten, että f (y) c < ε aina kun y A ja 0 < y x < δ.

145 Jatkuvuuden ja raja-arvon yhteys Funktio f : A R m on jatkuva pisteessä x A jos ja vain jos lim f (y) = f (x). y x

146 Perustuloksia Funktio f = (f 1,..., f m ): A R m on jatkuva pisteessä x R n jos ja vain jos komponenttifunktiot f 1,..., f m : A R ovat jatkuvia pisteessä x eli jos lim f k (y) = f k (x) kaikille k = 1,..., m. y x Jos f : A R m ja g: A R m ovat jatkuvia (pisteessä x 0 A), niin myös f + g: A R m on jatkuva (pisteessä x 0 ). Jos f : A R m on jatkuva (pisteessä x 0 ) ja jos λ R, niin myös λf : A R m on jatkuva (pisteessä x 0 ).

147 ESIMERKKI: Olkoon f : R 3 R 2, ( ) f (x, y, z) = 3x 5y, y 2 + z 2. Onko f jatkuva?

148 ESIMERKKI: Olkoon f : R 3 R 2, ( ) f (x, y, z) = 3x 5y, y 2 + z 2. Onko f jatkuva? Kuvaukset (x, y, z) x, (x, y, z) y, R 3 R ovat jatkuvia (koordinaattiprojektiot).

149 ESIMERKKI: Olkoon f : R 3 R 2, ( ) f (x, y, z) = 3x 5y, y 2 + z 2. Onko f jatkuva? Kuvaukset (x, y, z) x, (x, y, z) y, R 3 R ovat jatkuvia (koordinaattiprojektiot). Jatkuvien funktioiden lineaariyhdistelynä (x, y, z) 3x 5y on jatkuva.

150 ESIMERKKI: Olkoon f : R 3 R 2, ( ) f (x, y, z) = 3x 5y, y 2 + z 2. Onko f jatkuva? Kuvaukset (x, y, z) x, (x, y, z) y, R 3 R ovat jatkuvia (koordinaattiprojektiot). Jatkuvien funktioiden lineaariyhdistelynä (x, y, z) 3x 5y on jatkuva. Koska kaikille (x, y, z), (x 0, y 0, z 0 ) R 3 on voimassa y 2 + z 2 y z2 0 (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 niin (x, y, z) y 2 + z 2 on jatkuva. (x, y, z) (x 0, y 0, z 0 ),

151 ( ) f (x, y, z) = 3x 5y, y 2 + z 2. Funktion f komponenttifunktiot (x, y, z) 3x 5y ja (x, y, z) y 2 + z 2 ovat jatkuvia, joten f on jatkuva.

152 Perustuloksia Jos A R n ja f : A R, g: A R ovat jatkuvia (pisteessä x A), niin 1 fg on jatkuva (pisteessä x). 2 f g on jatkuva (pisteessä x jos g(x) 0/joukossa {x A : g(x) 0}).

153 Perustuloksia Jos A R n ja f : A R, g: A R ovat jatkuvia (pisteessä x A), niin 1 fg on jatkuva (pisteessä x). 2 f g on jatkuva (pisteessä x jos g(x) 0/joukossa {x A : g(x) 0}). Olkoon A R n, B R m ja C R k. Jos f : A B ja g: B C ovat jatkuvia (pisteissä x/f (x)), niin myös yhdistetty kuvaus g f : A C on jatkuva (pisteessä x).

154 ESIMERKKI: Olkoon f : R 3 \ {(x, y, z) R 3 : z = 0} R 2, ( ) f (x, y, z) = exp(cos 5 (xy)) + cosh log z 1 + x 4 +, 2 z/(y2 +1) z. Onko f jatkuva?

155 ESIMERKKI: Olkoon f : R 3 \ {(x, y, z) R 3 : z = 0} R 2, ( ) exp(cos 5 (xy)) + cosh log z f (x, y, z) = 1 + x 4 +, 2 z/(y2 +1). z Onko f jatkuva? Komponenttikuvaukset (x, y, z) x, (x, y, z) y, (x, y, z) z ovat jatkuvia.

156 ESIMERKKI: Olkoon f : R 3 \ {(x, y, z) R 3 : z = 0} R 2, ( ) exp(cos 5 (xy)) + cosh log z f (x, y, z) = 1 + x 4 +, 2 z/(y2 +1). z Onko f jatkuva? Komponenttikuvaukset (x, y, z) x, (x, y, z) y, (x, y, z) z ovat jatkuvia. (x, y, z) xy, (x, y, z) x 4 ovat jatkuvien reaaliarvoisten funktioiden tuloina jatkuvia, samoin (x, y, z) z y (jatkuvien funktioiden lineaariyhdistely + osamäärä).

157 ESIMERKKI: Olkoon f : R 3 \ {(x, y, z) R 3 : z = 0} R 2, ( ) exp(cos 5 (xy)) + cosh log z f (x, y, z) = 1 + x 4 +, 2 z/(y2 +1). z Onko f jatkuva? Komponenttikuvaukset (x, y, z) x, (x, y, z) y, (x, y, z) z ovat jatkuvia. (x, y, z) xy, (x, y, z) x 4 ovat jatkuvien reaaliarvoisten funktioiden tuloina jatkuvia, samoin (x, y, z) z y (jatkuvien funktioiden lineaariyhdistely + osamäärä). Reaalifunktiot t cos t, t log t, t cosh t, t t, t exp(t), t 2 t, ovat jatkuvia.

158 ( ) exp(cos 5 (xy)) + cosh log z f (x, y, z) = 1 + x 4 +, 2 z/(y2 +1). z Jatkuvien kuvausten yhdistettyinä kuvauksina (x, y, z) cos 5 (xy), (x, y, z) log z, (x, y, z) 2 z/(y2 +1) (= f 2 (x, y, z)), (x, y, z) cosh log z, (x, y, z) exp(cos 5 (xy)), ovat jatkuvia.

159 ( ) exp(cos 5 (xy)) + cosh log z f (x, y, z) = 1 + x 4 +, 2 z/(y2 +1). z Jatkuvien kuvausten yhdistettyinä kuvauksina ovat jatkuvia. (x, y, z) cos 5 (xy), (x, y, z) log z, (x, y, z) 2 z/(y2 +1) (= f 2 (x, y, z)), (x, y, z) cosh log z, (x, y, z) exp(cos 5 (xy)), Jatkuvien funktioiden lineaariyhdistelyn ja osamäärän avulla määritelty (x, y, z) f 1 (x, y, z) on jatkuva.

160 ( ) exp(cos 5 (xy)) + cosh log z f (x, y, z) = 1 + x 4 +, 2 z/(y2 +1). z Jatkuvien kuvausten yhdistettyinä kuvauksina ovat jatkuvia. (x, y, z) cos 5 (xy), (x, y, z) log z, (x, y, z) 2 z/(y2 +1) (= f 2 (x, y, z)), (x, y, z) cosh log z, (x, y, z) exp(cos 5 (xy)), Jatkuvien funktioiden lineaariyhdistelyn ja osamäärän avulla määritelty (x, y, z) f 1 (x, y, z) on jatkuva. Koska molemmat komponenttifunktiot ovat jatkuvia, niin f on jatkuva.

161 Tärkeitä tuloksia Suljetussa ja rajoitetussa joukossa määritelty jatkuva funktio: Saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa. On tasaisesti jatkuva. Arvojoukko on suljettu ja rajoitettu. Jos f : A R m on jatkuva ja x A \ A, niin f voidaan laajentaa jatkuvaksi kuvaukseksi joukkoon A {x} jos ja vain jos on olemassa raja-arvo lim f (y) y x Rm. Vastaava tulos pätee myös laajennettaessa funktiota koko reunalle A.

162 Palautetta toivotaan!

Ville Suomala EUKLIDISET AVARUUDET

Ville Suomala EUKLIDISET AVARUUDET Ville Suomala EUKLIDISET AVARUUDET Luentotiivistelmä syksy 2016 R reaalilukujen joukko [a; b] suljettu väli fx 2 R : a x bg ]a; b[ avoin väli fx 2 R : a < x < bg [a; b[ puoliavoin väli fx 2 R : a x < bg

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

3 Lukujonon raja-arvo

3 Lukujonon raja-arvo ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n

Lisätiedot

1 Supremum ja infimum

1 Supremum ja infimum Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,

Lisätiedot

Metriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00

Metriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1 Metriset avaruudet Erno Kauranen 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1. Sisätulo ja normiavaruus................................................. 3 2. Metrinen avaruus........................................................

Lisätiedot

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste, Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.

Lisätiedot

Metriset avaruudet 2017

Metriset avaruudet 2017 Metriset avaruudet 2017 Jouni Parkkonen Merkintöjä N = {0, 1, 2,... } luonnolliset luvut #(A) N { } joukon A alkioiden lukumäärä A B = {a A : a / B} joukkojen A ja B erotus. A B on joukkojen A ja B erillinen

Lisätiedot

Metriset avaruudet ja Topologia

Metriset avaruudet ja Topologia Metriset avaruudet ja Topologia 1.0 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.5-1.0 Jouni Parkkonen Luentoja Jyväskylän yliopistossa syksyllä 2018 Sisältö I Metriset avaruudet 5 1 Metriset avaruudet 7 1.1 Määritelmä ja

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

1 Reaaliset lukujonot

1 Reaaliset lukujonot Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot

Lisätiedot

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden

Lisätiedot

Metriset avaruudet 2017

Metriset avaruudet 2017 Metriset avaruudet 2017 Jouni Parkkonen Lukijalle Nämä ovat muistiinpanoni metristen avaruuksien kurssille syyslukukaudella 2017. Kurssi on johdatus metristen avaruuksien teoriaan. Peruskäsitteiden (metriikka,

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

Sarjojen suppenemisesta

Sarjojen suppenemisesta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Positiivitermisten sarjojen suppeneminen

Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b. 2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na

Lisätiedot

5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia

5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

Metriset avaruudet ja Topologia

Metriset avaruudet ja Topologia Metriset avaruudet ja Topologia 1.0 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.5-1.0 Jouni Parkkonen Luentoja Jyväskylän yliopistossa syksyllä 2017 Sisältö I Metriset avaruudet 5 1 Metriset avaruudet 7 1.1 Määritelmä ja

Lisätiedot

Johdatus matemaattisen analyysin teoriaan

Johdatus matemaattisen analyysin teoriaan Kirjan Johdatus matemaattisen analyysin teoriaan harjoitustehtävien ratkaisuja 18. maaliskuuta 2005 Ratkaisut ovat laatineet Jukka Ilmonen ja Ismo Korkee. Ratkaisuissa olevista mahdollisista virheistä

Lisätiedot

MS-C1540 Euklidiset avaruudet

MS-C1540 Euklidiset avaruudet MS-C1540 Euklidiset avaruudet MS-C1540 Euklidiset avaruudet III-periodi, kevät 2016 Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu 1 / 30 Euklidiset

Lisätiedot

Raja-arvot ja jatkuvuus

Raja-arvot ja jatkuvuus Raja-arvot ja jatkuvuus 30. lokakuuta 2014 10:11 Suoraa jatkoa kurssille Johdatus reaalifunktioihin (MATP311) (JRF). Oheislukemista: Kilpeläinen: Analyysi 1, luvut 3-6, Spivak: Calculus, luvut 5-8, 22,

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 1. ALUKSI. Joukko-oppia

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 1. ALUKSI. Joukko-oppia DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 1. ALUKSI Joukko-oppia Lyhenteitä ja merkintöjä. A = B A:sta seuraa B. Implikaatio. A B A ja B yhtäpitävät. Ekvivalenssi.

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue. 1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z

Lisätiedot

U β T. (1) U β T. (2) {,X} T. (3)

U β T. (1) U β T. (2) {,X} T. (3) 1.1 a) Joukkoperhe T = α I T α P(X) on topologia. Todistus. Osoitetaan, että topologian määritelmän 1.1 ehdot (1), (2) ja (3) toteutuvat. Ehtoa (1) varten olkoon {U β β J} T. Pitää osoittaa, että U β T.

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ

1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ Matematiikan tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 2015 Lisätehtävät 1 Ratkaisut 1. Olkoon f :, x+1, x 1, f (x)= x+3, x>1 Piirrä funktion kuvaa välillä [ 1, 3]. (a) Tutki ra-arvon (ε, δ)-määritelmän

Lisätiedot

Analyysi I. Visa Latvala. 26. lokakuuta 2004

Analyysi I. Visa Latvala. 26. lokakuuta 2004 Analyysi I Visa Latvala 26. lokakuuta 2004 34 Sisältö 3 Reaauuttujan funktiot 35 3.1 Peruskäsitteitä................................. 35 3.2 Raja-arvon määritelmä............................. 43 3.3 Raja-arvon

Lisätiedot

Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus

Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus 1. (5:7) Olkoon E normiavaruus, I = [0, 1] ja f, g : I E jatkuvia. Osoita, että yhtälön h(s, t) = (1 t)f(s) + tg(s) määrittelemä kuvaus h : I 2 E on

Lisätiedot

saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?

saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä? ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 4 Funktion raja-arvo 4 Määritelmä Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: fx) A < ε aina, kun 0 < x a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla

Lisätiedot

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa Seurauksia Seuraus Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa P(x) = a n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ). Seuraus Astetta n olevalla polynomilla voi olla enintään

Lisätiedot

Lukujoukot. Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }.

Lukujoukot. Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }. Lukujoukot Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }. N 0 = {0, 1, 2, 3,... } = N {0}. Kokonaislukujen joukko Z = {0, 1, 1, 2, 2,... }. Rationaalilukujen joukko Q = {p/q p Z, q N}. Reaalilukujen

Lisätiedot

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

Johdatus topologiaan (4 op)

Johdatus topologiaan (4 op) 180305 Johdatus topologiaan (4 op) Kevät 2009 1. Alkusanat Sana topologia on johdettu kreikan kielen sanoista topos ja logos, jotka merkitsevät paikkaa ja tietoa. Jo 1700-luvun alussa käytettiin latinan

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

Jonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ).

Jonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Jonot Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Lukujonon täsmällinen tulkinta on funktio f : N R, jolle f

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /

Lisätiedot

Analyysi A. Harjoitustehtäviä lukuun 1 / kevät 2018

Analyysi A. Harjoitustehtäviä lukuun 1 / kevät 2018 Aalyysi A Harjoitustehtäviä lukuu / kevät 208 Ellei toisi maiita, tehtävissä esiityvät muuttujat ja vakiot ovat mielivaltaisia reaalilukuja.. Aa joki ylä- ja alaraja joukoille { x R x 2 + x 6 ja B = {

Lisätiedot

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.

Lisätiedot

Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos. x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2.

Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos. x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Siis kuvaus on injektio, jos eri alkiot kuvautuvat eri alkioille eli maalijoukon jokainen alkio

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Joukot metrisissä avaruuksissa

Joukot metrisissä avaruuksissa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

YHDEN REAALIMUUTTUJAN ANALYYSIN PERUSTEET. Tero Kilpeläinen

YHDEN REAALIMUUTTUJAN ANALYYSIN PERUSTEET. Tero Kilpeläinen YHDEN REAALIMUUTTUJAN ANALYYSIN PERUSTEET Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpanoja keväältä 2014 5. maaliskuuta 2015 Sisältö 1. Johdanto 1 2. Reaalilukujen jatkumo 2 2.1. Merkintöjä.................................

Lisätiedot

USEAN MUUTTUJAN FUNKTIOT II. Kari Ylinen

USEAN MUUTTUJAN FUNKTIOT II. Kari Ylinen USEAN MUUTTUJAN FUNKTIOT II Kari Ylinen 21 Sisältö 1 I Avaruuden R n rakenteesta ja kuvauksista 1 I.1 Avaruuden R n lineaarinen ja metrinen rakenne.......... 1 I.2 Jonon suppeneminen.........................

Lisätiedot

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali 4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,

Lisätiedot

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

Funktiot ja raja-arvo. Pekka Salmi

Funktiot ja raja-arvo. Pekka Salmi Funktiot ja raja-arvo Pekka Salmi Versio 0.3 13. lokakuuta 2017 Johdanto Tämä moniste on keskeneräinen... 1 1 Reaaliluvut 1.1 Lukujoukot Lukujoukoista käytettään seuraavia merkintöjä: N = {0, 1, 2, 3,...}

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle / MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa

Lisätiedot

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista

Lisätiedot

Analyysi A. Raja-arvo ja jatkuvuus. Pertti Koivisto

Analyysi A. Raja-arvo ja jatkuvuus. Pertti Koivisto Analyysi A Raja-arvo ja jatkuvuus Pertti Koivisto Kevät 207 Alkusanat Tämä moniste on tarkoitettu oheislukemistoksi Tampereen yliopistossa pidettävälle kurssille Analyysi A. Monisteen tavoitteena on tukea

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Taustatietoja ja perusteita

Taustatietoja ja perusteita Taustatietoja ja perusteita Vektorit: x R n pystyvektoreita, transpoosi x T Sisätulo: x T y = n i=1 x i y i Normi: x = x T x = ni=1 x 2 i Etäisyys: Kahden R n :n vektorin välinen etäisyys x y 1 Avoin pallo:

Lisätiedot

2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo

2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo 2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo Ratkaisun olemassaolon tutkimiseen tarvitaan perustietoja konvekseista joukoista ja lineaarialgebrasta. Niitä tarvitaan myös ratkaisualgoritmin ymmärtämiseen. Tutkitaan

Lisätiedot

Kuinka määritellään 2 3?

Kuinka määritellään 2 3? Kuinka määritellään 2 3? y Nyt 3 = 1,7320508.... Luvut 3 2 x x 3 2 x 2 1 = 2, 2 1,7 3,2490, 2 1,73 3,3173, 2 1,732 3,3219,... ovat hyvin määriteltyjä koska näihin tarvitaan vain rationaalilukupotenssin

Lisätiedot

Määritelmä 2.5. Lause 2.6.

Määritelmä 2.5. Lause 2.6. Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Vastaavuus puolestaan on erikoistapaus relaatiosta.

Lisätiedot

2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a i > 0kaikillai 2 I, niin P i2i a i = 1.

2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a i > 0kaikillai 2 I, niin P i2i a i = 1. Harjoitus 1, 11.9.2015 1. Näytä, että joukossax on äärettömän monta alkiota jos ja vain jos on joukko X, 6= X, jokaonyhtämahtavakuinx. 2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

Topologia IA, kesä 2017 Harjoitus 1

Topologia IA, kesä 2017 Harjoitus 1 Topologia IA, kesä 07 Harjoitus Heikki Korpela 5. toukokuuta 07 Tehtävä. Todista ( luonnollisin oletuksin, kirjoita ne!) kaava 0.8., so. että f j J B j = j J f B j, huolellisesti tarkastellen yksittäisiä

Lisätiedot

Analyysi I (mat & til) Demonstraatio IX

Analyysi I (mat & til) Demonstraatio IX Analyysi I (mat & til) Demonstraatio IX 16.11. 2018 II välikoe 19.11. klo 9 salissa IX. Ilmoittaudu NettiOpsussa 12.11. mennessä. Koealue: Funktion raja-arvo, jatkuvuus ja Bolzanon lause, ts. kirjan luku

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1. Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x

Lisätiedot

LUKU 4. Pinnat. (u 1, u 2 ) ja E ϕ 2 (u 1, u 2 ) := ϕ u 2

LUKU 4. Pinnat. (u 1, u 2 ) ja E ϕ 2 (u 1, u 2 ) := ϕ u 2 LUKU 4 Pinnat 4.. Määritelmiä ja esimerkkejä Määritelmä 4.. Epätyhjä osajoukko M R 3 on sileä (kaksiulotteinen) pinta, jos jokaiselle pisteelle p M on olemassa ympäristö V p R 3, avoin joukko U p R 2 ja

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti

Lisätiedot

Linkkejä kurssi2 / Etälukio (edu.) kurssi8 / Etälukio (edu.) (Suurinta osaa tämän linkin takana olevasta materiaalista pohdimme vasta huomenna!

Linkkejä kurssi2 / Etälukio (edu.) kurssi8 / Etälukio (edu.) (Suurinta osaa tämän linkin takana olevasta materiaalista pohdimme vasta huomenna! Funktiot, L3a n kuvaaja n kuvaaja n kuvaaja Linkkejä kurssi2 / Etälukio (edu.) kurssi8 / Etälukio (edu.) (Suurinta osaa tämän linkin takana olevasta materiaalista pohdimme vasta huomenna!) Funktio (Käytännöllinen

Lisätiedot

Oletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U

Oletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan

Lisätiedot

Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.

Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Topologia I 1. kurssikoe 26.2.2013 Malliratkaisut ja tehtävien tarkastamiset Tehtävät 1 ja 2 Henrik Wirzenius Tehtävät 3 ja 4 Teemu Saksala Jos sinulla on kysyttävää

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

Funktion. Käänteisfunktio. Testi 3. Kauhava Aiheet. Funktio ja funktion kuvaaja. Funktion kasvaminen ja väheneminen.

Funktion. Käänteisfunktio. Testi 3. Kauhava Aiheet. Funktio ja funktion kuvaaja. Funktion kasvaminen ja väheneminen. Funktiot Kauhava 26.11.2010 n kuvaaja n kuvaaja n kuvaaja Linkkejä kurssi2 / Etälukio (edu.) kurssi8 / Etälukio (edu.) (Suurinta osaa tämän linkin takana olevasta materiaalista pohdimme vasta huomenna!)

Lisätiedot

Tehtävä 1. Miksi seuraavat esimerkit eivät ole funktioita? 1. f : R Z, f(x) = x 2. 2 kun x on parillinen,

Tehtävä 1. Miksi seuraavat esimerkit eivät ole funktioita? 1. f : R Z, f(x) = x 2. 2 kun x on parillinen, Funktiotehtävät, 10. syyskuuta 005, sivu 1 / 4 Perustehtävät Tehtävä 1. Miksi seuraavat esimerkit eivät ole funktioita? 1. f : R Z, f(x) = x. kun x on parillinen, f : N {0, 1, }, f(x) = 1 kun x on alkuluku,

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 5. Kurssikerta Petrus Mikkola 10.10.2016 Tämän kerran asiat Raja-arvo ja toispuolinen raja-arvo Funktion suurin ja pienin arvo Lukujono Lukujonon suppeneminen Kasvava

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö TOPOLOGIA

TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö TOPOLOGIA TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö TOPOLOGIA Arttu Ojanperä (Eero Hyryn luentojen mukaan) 2013 Sisältö 1 Johdanto 4 1 Jatkuvat kuvaukset........................ 4 2 Avoimet joukot..........................

Lisätiedot

5.6 Yhdistetty kuvaus

5.6 Yhdistetty kuvaus 5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai MATP53 Approbatur B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai 6..5. (Teht. 5 ja s. 4.) Olkoot z = + y i ja z = + y i. Osoita, että (a) z + z = z +z, (b) z z = z z, (c) z z = z ja (d) z = z z, kun z. (a) z + z =

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos September 13, 2017 Pekka Alestalo,

Lisätiedot