Täydellisyysaksiooman kertaus

Transkriptio

1 Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja (alaraja). A on rajoitettu, jos se on sekä alhaalta, että ylhäältä rajoitettu. Täydellisyysaksiooman nojalla epätyhjällä ja ylhäältä rajoitetulla joukolla A R on pienin yläraja eli supremum. Vastaavasti, alhaalta rajoitetulla epätyhjällä joukolla on suurin yläraja, eli infimum.

2 Luku M R on joukon A R supremum jos ja vain jos: 1 Se on joukon A yläraja. 2 Mikään M < M ei ole joukon A yläraja (löytyy a A siten, että a > M ).

3 Luku M R on joukon A R supremum jos ja vain jos: 1 Se on joukon A yläraja. 2 Mikään M < M ei ole joukon A yläraja (löytyy a A siten, että a > M ). ESIMERKKI: Luonnollisten lukujen joukko N ei ole ylhäältä rajoitettu. Todistus: Tehdään vastaoletus, jonka mukaan N on ylhäältä rajoitettu. Tällöin täydellisyysaksiooman nojalla on olemassa M = sup N. Koska M 1 < M, niin (M 1 ei ole joukon N yläraja, joten) on olemassa n N, jolle n > M 1. Tällöin myös n + 1 N. Koska n + 1 > (M 1) + 1 = M, niin M ei olekaan joukon N yläraja. Vastaoletus johtaa siis ristiriitaan.

4 ESIMERKKI: Osoitetaan, että sup A = 0, kun A = { 1 k : k N}. Koska 1 k 0 kaikille k N, niin 0 on joukon A yläraja. Toisaalta, jos M < 0, voidaan (edellisen esimerkin nojalla) valita k N siten, että k > 1 M, jolloin myös 1 k > M. Siten mikään M < 0 ei voi olla joukon A alaraja. 0 on siis väistämättä joukon A alarajoista pienin.

5 Raja-arvoihin ja jatkuvuuteen liittyvät tärkeät määritelmät reaaliakselilla. Määritelmä Reaalilukujono (x k ) k=1 suppenee, jos sillä on raja-arvo x R eli sellainen x R, että kaikille ε > 0 löytyy k 0 N siten, että x k x < ε kaikille k k 0. Jos jono (x k ) ei suppene, se hajaantuu.

6 Raja-arvoihin ja jatkuvuuteen liittyvät tärkeät määritelmät reaaliakselilla. Määritelmä Reaalilukujono (x k ) k=1 suppenee, jos sillä on raja-arvo x R eli sellainen x R, että kaikille ε > 0 löytyy k 0 N siten, että x k x < ε kaikille k k 0. Jos jono (x k ) ei suppene, se hajaantuu. Muista: Monotoninen (kasvava tai vähenevä) lukujuno suppenee jos ja vain jos se on rajoitettu. Jokaisella rajoitetulla reaalilukujonolla (x k ) k on suppeneva osajono. Reaalilukujono (x k ) suppenee jos ja vain jos se on Cauchy-jono: Kaikille ε > 0 löytyy k ε N siten, että x k x m < ε kaikille k, m k ε.

7 Määritelmä Reaalilukuvälillä I määritelty funktio f : I R on jatkuva pisteessä x I, jos jokaiselle ε > 0 löytyy δ > 0 siten, että f (y) f (x) < ε kaikille y I, joille x y < δ Funktio f : I R on jatkuva, jos se on jatkuva jokaisessa määrittelyvälin pisteessä x I.

8 Määritelmä Reaalilukuvälillä I määritelty funktio f : I R on jatkuva pisteessä x I, jos jokaiselle ε > 0 löytyy δ > 0 siten, että f (y) f (x) < ε kaikille y I, joille x y < δ Funktio f : I R on jatkuva, jos se on jatkuva jokaisessa määrittelyvälin pisteessä x I. Muista: Raja-arvoihin ja jatkuvuuteen liittyvät perustulokset: mm. lineaarisuus, suppiloperiaate, jne. Funktio f : I R on jatkuva pisteessä x I jos ja vain jos lim f (y) = f (x). y x Reaalifunktion raja-arvojen ja jatkuvuuden karakterisointi jonojen avulla.

9 Sisätulo Pisteiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) R n välinen euklidinen sisätulo x y saadaan kaavasta x y = n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y x n y n. i=1

10 Sisätulo Pisteiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) R n välinen euklidinen sisätulo x y saadaan kaavasta x y = n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y x n y n. i=1 Sisätulolla on seuraavat perusominaisuudet (kun x, y, z R n ja λ R): x x 0 ja x x = 0 jos ja vain jos x = 0. x y = y x. (λx) y = λ(x y) = x (λy). (x + y) z = x z + y z.

11 Normi Sisätulon avulla voidaan määritellä vektorin x R n pituus, eli normi x = x x = n (x i ) 2, jolloin pisteiden x ja y välinen etäisyys on x y = y x. i=1

12 Normi Sisätulon avulla voidaan määritellä vektorin x R n pituus, eli normi x = x x = n (x i ) 2, jolloin pisteiden x ja y välinen etäisyys on x y = y x. i=1 Määritelmä perustuu (n-ulotteiseen) Pythagoraan lauseeseen.

13 Normi Sisätulon avulla voidaan määritellä vektorin x R n pituus, eli normi x = x x = n (x i ) 2, jolloin pisteiden x ja y välinen etäisyys on x y = y x. i=1 Määritelmä perustuu (n-ulotteiseen) Pythagoraan lauseeseen. Normilla on seuraavat perusominaisuudet: x 0 ja yhtäsuuruus pätee vain mikäli x = 0. λx = λ x (erityisesti y x = x y ). x + y x + y.

14 Kulma Sisätulon ja normin avulla voidaan määrittää euklidisen avaruuden R n pisteiden väliset kulmat. Jos x, y R n \ {0}, niin ( ) x y (x, y) = arccos [0, π]. x y

15 Kulma Sisätulon ja normin avulla voidaan määrittää euklidisen avaruuden R n pisteiden väliset kulmat. Jos x, y R n \ {0}, niin ( ) x y (x, y) = arccos [0, π]. x y ESIMERKKI: Avaruuden R 4 pisteiden x = (0, 1, 2, 3) ja (y = 1, 2, 3, 4) välinen kulma on ( ) x y (x, y) = arccos x y ( ) = arccos ( ) 2 20 = arccos , 22 ( 12, 6 ).

16 Pallot ja pallonkuoret Olkoon x R n ja r 0. Määritellään Avoin pallo B n (x, r) = {y R n : y x < r}. Suljettu pallo B n (x, r) = {y R n : y x r}. Pallopinta S n 1 (x, r) = {y R n : y x = r}.

17 Rajoitetut ja rajoittamattomat joukot Määritelmä Joukko A R n on rajoitettu, mikäli joukko { a : a A} R on rajoitettu eli jos on olemassa M R siten, että a M kaikille a A. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä joukolle A R n (harjoitustehtävä): 1 A on rajoitettu. 2 Joukko { x y : x, y A} R on rajoitettu. 3 On olemassa x R ja 0 < r < siten, että A B(x, r). 4 Kaikille x R löytyy r > 0 siten, että A B(x, R).

18 Rajoitetun joukon halkaisija on diam(a) = sup{ x y : x, y A}. Jos A R n ei ole rajoitettu, se on rajoittamaton.

19 Rajoitetun joukon halkaisija on diam(a) = sup{ x y : x, y A}. Jos A R n ei ole rajoitettu, se on rajoittamaton. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä joukolle A R n (harjoitustehtävä): 1 A on rajoittamaton. 2 Kaikille M > 0 löytyy x A siten, että x M. 3 On olemassa jono (x k ) k siten, että x k A kaikille k N ja lim x k =. k

20 ESIMERKKI: Joukko A =]0, 4[ ] 1, 1[ R 2 on rajoitettu ja sen halkaisija on 20:

21 ESIMERKKI: Joukko A =]0, 4[ ] 1, 1[ R 2 on rajoitettu ja sen halkaisija on 20: Jos x, y A, niin 0 < x 1, y 1 < 4, joten x 1 y 1 < 4. Vastaavasti x 2 y 2 < 2. Siten x y = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 < = 20. Siis diam(a) = sup{ x y : x, y A} 20. Koska (a, 1 + a), (4 a, 1 a) A kaikille 0 < a < 2, niin diam(a) (a, 1+a) (4 a, 1 a) = (4 2a) 2 + (2 2a) 2, kaikille 0 < a < 2. Kun a 0, saadaan diam(a) lim (4 2a) 2 + (2 2a) 2 = 20. a 0

22 Esimerkki: Joukko A = N B 3 (0, 1) R 4 on rajoittamaton:

23 Esimerkki: Joukko A = N B 3 (0, 1) R 4 on rajoittamaton: Esimerkiksi (k, 0, 0, 0) A kaikille k N ja kun k. (k, 0, 0, 0) = k,

24 Funktioihin liittyvät peruskäsitteet Olkoon f : X Y funktio. Joukon A X kuvajoukko on f (A) = {f (a) : a A}. Joukon B Y alkukuva on f 1 (B) = {x X : f (x) B}. Kuvaus f on injektio, jos f (x) f (y) aina kun x, y X ja x y. Kuvaus f on surjektio, jos f (X) = Y.

25 Kuvaus f on bijektio, jos se on sekä surjektio, että injektio, eli jos jokaista maalijoukon alkioita y Y vastaa täsmälleen yksi määrittelyjoukon alkio x X siten, että f (x) = y. Bijektiolla f : X Y on käänteiskuvaus f 1 : Y X, joka määräytyy säännöstä f 1 (y) = x f (x) = y. Jos g: Y Z, niin voidaan määritellä yhdistetty kuvaus g f : X Z asettamalla g f (x) = g (f (x)) kaikille x X.

26 Usean muuttujan vektoriarvoiset kuvaukset Olkoon f : A B, missä A R n ja B R m. Tällöin f = (f 1,..., f m ), missä f k : A R ovat funktion f (reaaliarvoiset) kompenenttifunktiot (k = 1,..., n). ERIKOISTAPAUKSIA: Jos n = 1, kyseessä on reaalimuuttujan funktio, jolloin komponenttifunktiot ovat reaalifunktioita. ESIMERKKI: f : R R 3, f (t) = (sin t, cos t, t/5).

27 Jos m = 1, funktio on reaaliarvoinen. ESIMERKKI: g : R2 [1, + [, g(x, y) = 1 + x4 + y

28 ESIMERKKI: Olkoon g: R 2 [1, [, g(x, y) = 1 + x 4 + y 4 g ei ole injektio, sillä esimerkiksi g(1, 1) = g( 1, 1) = 3. g on surjektio: Jos 1 u <, niin ( g(0, (u 1) 1/4 ) = (u 1) 1/4) 4 = 1 + u 1 = u. Joukon N N kuvajoukko on f (N N) = {1 + n 4 + m 4 : n, m N} Joukon C = [2, 3] alkukuva on = {3, 18, 33, 83, 98, 163,...}. g 1 (C) = {(x, y) R 2 : x 4 + y 4 3} = {(x, y) R 2 : 1 x 4 + y 4 3}.

29 ESIMERKKI: Tutkitaan onko kuvaus g: R 2 R 2, bijektio. g(x, y) = (2x + y, y 3 ), Surjektiivisuus: Olkoon (u, v) R 2. Etsitään pistettä (x, y), jolle g(x, y) = (u, v): Jotta olisi g(x, y) = (u, v), niin on oltava y 3 = v, joten y = v 1/3. Edelleen, on oltava 2x + y = 2x + v 1/3 = u, joten x = (u v 1/3 )/2. Huomataan, että (( )) 1 g 2 (u v1/3 ), v 1/3 = (u, v). Siis g on surjektio.

30 Injektiivisyys: Jos g(x, y) = g(z, w), niin g 2 (x, y) = g 2 (z, w), joten y 3 = z 3 = y = z. Edelleen, g 1 (x, y) = g 1 (z, w), joten 2x + y 3 = 2z + w 3 = 2z + y 3 = x = z. Siispä (x, y) = (z, w), joten g on injektio. g on siis bijektio eli sillä on käänteiskuvaus g 1 : R 2 R 2. Käänteiskuvauksen lauseke on ( ) 1 g 1 (u, v) = 2 (u v1/3 ), v 1/3.

31 Funktion hahmottelu kuvien avulla Funktion f : A B (A R n, B R m ) kulkua voi hahmotella piirtämällä esimerkiksi Funktion kuvaajan G f = {(x, f (x)) : x A} A B R n R m, tai sen osan (saattaa hyvinkin onnistua etenkin, jos n + m 3). Funktion arvojoukon f (A) B R m tai sopivan kuvajoukon f (C), C A (tulee kyseeseen, kun m 3. Tasa-arvojoukkoja f 1 ({b)} eri arvoilla b B (kun) n 3. Esimerkkejä.

32 Rajoitetut funktiot Määritelmä Funktio f : A R m, A R n on rajoitettu, jos f (A) R m on rajoitettu. TÄRKEÄ HAVAINTO: Koska kaikille y R m, y k y m max k=1,...,m yk, niin f = (f 1,..., f m ): A R m on rajoitettu, jos ja vain jos jokainen komponenttifunktio f k on rajoitettu.

33 ESMERKKI: Funktio f : R n R 2, ( ( n )) 1 f (x) = 1 + x 1 x n, sin x k k=1

34 ESMERKKI: Funktio f : R n R 2, ( ( n )) 1 f (x) = 1 + x 1 x n, sin x k on rajoitettu, sillä 0 k= x 1 x n 1 kaikille x Rn, ja ( n ) sin x k 1 kaikille x R n. k=1

35 ESMERKKI: Funktio f : R 4 R 2, ( ) x 1 f (x) = 1 + x 1 3, log log(x2 x 3 x 4 )

36 ESMERKKI: Funktio f : R 4 R 2, ( ) x 1 f (x) = 1 + x 1 3, log log(x2 x 3 x 4 ) ei ole rajoitettu, sillä kun (x 2, x 3, x 4 ) = (M, M, M), niin log log(m 3 ), kun M.

37 Jonot Joukon R n jono (x k ) koostuu numeroiduista alkioista x 1, x 2, x 3,... R n. Jonon alkioiden x k = (x 1 k, x2 k,..., xn k ) komponentit muodostavat reaalilukujonot (x j k ) k (1 j n). ESIMERKKI: x k = (x 1 k, x2 k, x3 k ), missä x 1 k = k, x2 k = ( 1)k, x 3 k = log k. Näin ollen ( ) x k = k, ( 1) k ), log k = ((1, 1, 0), (2, 1, log 2), (3, 1, log 3),...). k

38 Jonoihin liittyvät peruskäsitteet Olkoon (x k ) k avaruuden R n jono. Jono (x k ) suppenee kohti raja-arvoa x R n, mikäli kaikille ε > 0 on k ε N siten, että x x k < ε kaikille k k ε. Jos jono ei suppene, se hajaantuu. Jono on rajoitettu, jos on olemassa M < siten, että x k M kaikille k N. Suppeneva jono on aina rajoitettu (Syy: x k x, kun k on riittävän suuri.)

39 Hajaantuva jono voi olla joko rajoitettu tai rajoittamaton Esim. avaruuden R n jono x k = ( 1) k e 1, Esim. avaruuden R 2 jono x k = (k, k 2 ). Jono (x k ) suppenee jos ja vain jos kaikki komponenttijonot (x j k ) k suppenevat ja tällöin missä lim x k = (x 1,..., x n ), k x j = lim k x j k. ESIMERKIKSI: ( ( ) ( 1 k k 2 )) k sin, k k + log k, exp + k k 2 (1, 1, e), kun k.

40 ESIMERKKI: Olkoon α R. Tutkitaan lukujonoa x k = (cos(kαπ), sin(kαπ)) ympyrällä S 1. Valitaan α = 3 7 :

41 ESIMERKKI: Olkoon α R. Tutkitaan lukujonoa x k = (cos(kαπ), sin(kαπ)) ympyrällä S 1. Valitaan α = 3 7 :

42 ESIMERKKI: Olkoon α R. Tutkitaan lukujonoa x k = (cos(kαπ), sin(kαπ)) ympyrällä S 1. Valitaan α = 3 7 :

43 ESIMERKKI: Olkoon α R. Tutkitaan lukujonoa x k = (cos(kαπ), sin(kαπ)) ympyrällä S 1. Valitaan α = 3 7 :

44 ESIMERKKI: Olkoon α R. Tutkitaan lukujonoa x k = (cos(kαπ), sin(kαπ)) ympyrällä S 1. Valitaan α = 3 7 :

45 ESIMERKKI: Olkoon α R. Tutkitaan lukujonoa x k = (cos(kαπ), sin(kαπ)) ympyrällä S 1. Valitaan α = 3 7 :

46 ESIMERKKI: Olkoon α R. Tutkitaan lukujonoa x k = (cos(kαπ), sin(kαπ)) ympyrällä S 1. Valitaan α = 3 7 :

47 ESIMERKKI: Olkoon α R. Tutkitaan lukujonoa x k = (cos(kαπ), sin(kαπ)) ympyrällä S 1. Valitaan α = 3 7 :

48 ESIMERKKI: Olkoon α R. Tutkitaan lukujonoa x k = (cos(kαπ), sin(kαπ)) ympyrällä S 1. Valitaan α = 3 7 :

49 ESIMERKKI: Olkoon α R. Tutkitaan lukujonoa x k = (cos(kαπ), sin(kαπ)) ympyrällä S 1. Valitaan α = 3 7 :

50 ESIMERKKI: Olkoon α R. Tutkitaan lukujonoa x k = (cos(kαπ), sin(kαπ)) ympyrällä S 1. Valitaan α = 3 7 :

51 ESIMERKKI: Olkoon α R. Tutkitaan lukujonoa x k = (cos(kαπ), sin(kαπ)) ympyrällä S 1. Valitaan α = 3 7 :

52 ESIMERKKI: Olkoon α R. Tutkitaan lukujonoa x k = (cos(kαπ), sin(kαπ)) ympyrällä S 1. Valitaan α = 3 7 :

53 ESIMERKKI: Olkoon α R. Tutkitaan lukujonoa x k = (cos(kαπ), sin(kαπ)) ympyrällä S 1. Valitaan α = 3 7 :

54 ESIMERKKI: Olkoon α R. Tutkitaan lukujonoa x k = (cos(kαπ), sin(kαπ)) ympyrällä S 1. Valitaan α = 3 7 :

55 ESIMERKKI: Olkoon α R. Tutkitaan lukujonoa x k = (cos(kαπ), sin(kαπ)) ympyrällä S 1. Valitaan α = 3 7 :

56 ESIMERKKI: Olkoon α R. Tutkitaan lukujonoa x k = (cos(kαπ), sin(kαπ)) ympyrällä S 1. Valitaan α = 3 7 :

57 ESIMERKKI: Olkoon α R. Tutkitaan lukujonoa x k = (cos(kαπ), sin(kαπ)) ympyrällä S 1. Valitaan α = 3 7 :

58 Valitaan sitten α = 2:

59 Valitaan sitten α = 2:

60 Valitaan sitten α = 2:

61 Valitaan sitten α = 2:

62 Valitaan sitten α = 2:

63 Valitaan sitten α = 2:

64 Valitaan sitten α = 2:

65 Valitaan sitten α = 2:

66 Valitaan sitten α = 2:

67 Valitaan sitten α = 2:

68 Valitaan sitten α = 2:

69 Valitaan sitten α = 2:

70 Valitaan sitten α = 2:

71 Valitaan sitten α = 2:

72 Valitaan sitten α = 2:

73 Valitaan sitten α = 2:

74 Valitaan sitten α = 2:

75 Valitaan sitten α = 2:

76 Valitaan sitten α = 2:

77 Valitaan sitten α = 2:

78 Valitaan sitten α = 2:

79 Valitaan sitten α = 2:

80 Valitaan sitten α = 2:

81 Valitaan sitten α = 2:

82 Valitaan sitten α = 2:

83 Valitaan sitten α = 2:

84 Valitaan sitten α = 2:

85 Valitaan sitten α = 2:

86 Valitaan sitten α = 2:

87 Valitaan sitten α = 2:

88 Valitaan sitten α = 2:

89 Valitaan sitten α = 2:

90 Valitaan sitten α = 2:

91 Valitaan sitten α = 2:

92 Valitaan sitten α = 2:

93 Valitaan sitten α = 2:

94 Valitaan sitten α = 2:

95 Valitaan sitten α = 2:

96 Valitaan sitten α = 2:

97 Valitaan sitten α = 2:

98 Valitaan sitten α = 2:

99 Valitaan sitten α = 2:

100 Valitaan sitten α = 2:

101 Valitaan sitten α = 2:

102 Valitaan sitten α = 2:

103 Valitaan sitten α = 2:

104 Valitaan sitten α = 2:

105 Valitaan sitten α = 2:

106 Valitaan sitten α = 2:

107 Valitaan sitten α = 2:

108 Valitaan sitten α = 2:

109 Valitaan sitten α = 2:

110 Valitaan sitten α = 2:

111 Tärkeitä jonoihin liittyviä tuloksia Jokaisella avaruuden R n rajoitetulla jonolla on suppeneva osajono. Avaruuden R n jono (x k ) k suppenee täsmälleen silloin kun se on Cauchy-jono: Kaikille ε > 0 löytyy k ε N siten, että x k x m < ε kaikille k, m k ε.

112 Sarjat Avaruuden R n sarja x k, k=1 missä x k R n, suppenee, jos osasummien muodostama jono (S N ) N=1, N S N = x k, suppenee. k=1

113 Sarjat Avaruuden R n sarja x k, k=1 missä x k R n, suppenee, jos osasummien muodostama jono (S N ) N=1, N S N = x k, k=1 suppenee. Suppenevan sarjan k x k summa on raja-arvo k=1 x k = lim N S N = lim N N x k. k=1

114 HUOMAUTUS: Sarjan suppenemistarkastelu palautuu komponenttisarjojen kautta reaalilukusarjojen suppenemistarkasteluun.

115 HUOMAUTUS: Sarjan suppenemistarkastelu palautuu komponenttisarjojen kautta reaalilukusarjojen suppenemistarkasteluun. ESIMERKKI: Tason sarja k=1 ( ) 1 k 2, ( 1/3)k, suppenee, koska komponenttisarjat suppenevat. k=1 1 k 2, k=1 ( 1/3) k,

116 Topologian peruskäsitteitä Piste x R n on joukon A R n sisäpiste, jos on olemassa sellainen r > 0, että B(x, r) A:

117 Piste x R n on joukon A R n ulkopiste, jos on olemassa sellainen r > 0, että B(x, r) A = :

118 Piste x R n on joukon A R n reunapiste, jos kaikille r > 0 on voimassa B(x, r) A B(x, r) \ A:

119 Piste x R n on joukon A R n kasautumispiste, jos kaikille r > 0 on voimassa A B(x, r) \ {x} :

120 Piste x R n on joukon A R n eristetty piste, jos on olemassa sellainen r > 0, että B(x, r) A = {x}:

121 Määritellään joukolle A R n sisus int A = {x R n : x on joukon A sisäpiste.} ulkopuoli ext A = {x R n : x on joukon A ulkopiste.} reuna A = {x R n : x on joukon A reunapiste.} sulkeuma A määritellään asettamalla A = A A.

122 Topologian peruskäsitteisiin liittyviä tuloksia Joukolle A R n on voimassa: 1 int A A A. 2 int A = A \ A = A \ A. 3 int A = ext(r n \ A). 4 A = (R n \ A). 5 R n = int A A ext A (erillinen yhdiste). 6 A = A \ int A ja A = int A A. 7 {x R n : x on joukon A kasautumispiste} = A \ {x R n : x on joukon A eristetty piste}.

123 Topologian peruskäsitteet ja jonot Piste x R n on joukon A R n 1 sisäpiste, jos ja vain jos jokaiselle jonolle x k, jolle lim k x k = x on k 0 N siten, että x k A kaikilla k k 0. 2 reunapiste, jos ja vain jos on olemassa jonot x k, y k siten, että x k A ja y k R n \ A kaikille k N, sekä lim k x k = lim k y k = x. 3 ulkopiste, jos ja vain jos jokaiselle jonolle x k, jolle lim k x k = x on k 0 N siten, että x k / A kaikilla k k 0. 4 kasautumispiste, jos ja vain jos on olemassa jono x k siten, että x k A \ {x} kaikilla k N ja lim k x k = x 5 Eristetty piste, jos jokaiselle jonolle x k A, jolle lim k x k = k on olemassa k 0 N siten, että x k = x kaikille k k 0.

124 Bolzanon ja Weirstrassin lauseen muotoilu kasautumispisteiden avulla Lause Olkoon A rajoitettu joukko, jossa on äärettömän monta alkiota. Tällöin joukolla A on ainakin yksi kasautumispiste. ESIMERKKI: Joukko A = { 1 n 2 } : n N, on ääretön ja rajoitettu, joten sillä on ainakin yksi kasautumispiste.

125 Bolzanon ja Weirstrassin lauseen muotoilu kasautumispisteiden avulla Lause Olkoon A rajoitettu joukko, jossa on äärettömän monta alkiota. Tällöin joukolla A on ainakin yksi kasautumispiste. ESIMERKKI: Joukko A = { 1 n 2 } : n N, on ääretön ja rajoitettu, joten sillä on ainakin yksi kasautumispiste. Huomataan, että 0 on joukon A ainoa kasautusmispiste.

126 Avoimet ja suljetut joukot

127 Avoimet ja suljetut joukot Joukko A R n on avoin, jos jokainen sen piste on sisäpiste. Siis A on avoin int A = A A A =.

128 Avoimet ja suljetut joukot Joukko A R n on avoin, jos jokainen sen piste on sisäpiste. Siis A on avoin int A = A A A =. Joukko F on suljettu, jos se sisältää kaikki kasautusmispisteensä. Siis A on suljettu kas A A A = A A A.

129 ESIMERKKEJÄ: Joukko A =]0, 1[ ]0, 2[ R 2 on avoin:

130 ESIMERKKEJÄ: Joukko A =]0, 1[ ]0, 2[ R 2 on avoin: Jos (x, y) A, niin 0 < x < 1 ja 0 < y < 2. Koska epäyhtälöt ovat aitoja, voidaan valita r > 0 niin pieneksi, että 0 < x r < x < x + r < 1 ja 0 < y r < y < y + r < 2. Tällöin B((x, y), r) ]0, 1[ ]0, 2[.

131 ESIMERKKEJÄ: Joukko A =]0, 1[ ]0, 2[ R 2 on avoin: Jos (x, y) A, niin 0 < x < 1 ja 0 < y < 2. Koska epäyhtälöt ovat aitoja, voidaan valita r > 0 niin pieneksi, että 0 < x r < x < x + r < 1 ja 0 < y r < y < y + r < 2. Tällöin B((x, y), r) ]0, 1[ ]0, 2[. Vastaavasti voidaan todeta, että joukko [0, 1] [0, 2] on suljettu.

132 ESIMERKKEJÄ: Joukko A =]0, 1[ ]0, 2[ R 2 on avoin: Jos (x, y) A, niin 0 < x < 1 ja 0 < y < 2. Koska epäyhtälöt ovat aitoja, voidaan valita r > 0 niin pieneksi, että 0 < x r < x < x + r < 1 ja 0 < y r < y < y + r < 2. Tällöin B((x, y), r) ]0, 1[ ]0, 2[. Vastaavasti voidaan todeta, että joukko [0, 1] [0, 2] on suljettu. Joukko [0, 1] ]0, 2[

133 ESIMERKKEJÄ: Joukko A =]0, 1[ ]0, 2[ R 2 on avoin: Jos (x, y) A, niin 0 < x < 1 ja 0 < y < 2. Koska epäyhtälöt ovat aitoja, voidaan valita r > 0 niin pieneksi, että 0 < x r < x < x + r < 1 ja 0 < y r < y < y + r < 2. Tällöin B((x, y), r) ]0, 1[ ]0, 2[. Vastaavasti voidaan todeta, että joukko [0, 1] [0, 2] on suljettu. Joukko [0, 1] ]0, 2[ ei ole avoin, eikä suljettu.

134 Avoimiin ja suljettuihin joukkoihin liittyviä perustuloksia Olkoon A, U, V, U 1, U 2,..., K, F, K 1, K 2,... R n. A on avoin jos ja vain jos R n \ A on suljettu. Jos U ja V ovat avoimia, niin U V on avoin. Jos K ja F ovat suljettuja, niin K F on suljettu. Jos U 1, U 2,... ovat avoimia, niin U k, on avoin. k=1

135 Jos K 1, K 2,... ovat suljettuja, niin K k, k=1 on suljettu. Jos U on avoin ja K on suljettu, niin U \ K on avoin ja K \ U on suljettu.

136 Kompaktit joukot Avaruuden R n suljettua ja rajoitettua joukkoa sanotaan kompaktiksi. Kompakteilla joukoilla on muun muassa seuraavat ominaisuudet: Jokaisella kompaktin joukon jonolla on osajono, joka suppenee joukossa K. Sisäkkäisten epätyhjien kompaktien joukkojen leikkaus on epätyhjä: Jos K 1, K 2, K 3,... ovat kompakteja avaruuden R n osajoukkoja siten, että K 1 K 2 K 3..., niin K k. k=1

137 Jatkuvuus Olkoon A R n ja B R m. Kuvaus f : A B on jatkuva pisteessä x A, jos kaikille ε > 0 on δ > 0 siten, että f (y) f (x) < ε aina kun y A ja y x < δ.

138 Jatkuvuus Olkoon A R n ja B R m. Kuvaus f : A B on jatkuva pisteessä x A, jos kaikille ε > 0 on δ > 0 siten, että f (y) f (x) < ε aina kun y A ja y x < δ. Kuvaus f on jatkuva, jos se on jatkuva pisteessä x kaikille määrittelyjoukon pisteille x A.

139 Jatkuvuus Olkoon A R n ja B R m. Kuvaus f : A B on jatkuva pisteessä x A, jos kaikille ε > 0 on δ > 0 siten, että f (y) f (x) < ε aina kun y A ja y x < δ. Kuvaus f on jatkuva, jos se on jatkuva pisteessä x kaikille määrittelyjoukon pisteille x A. ESIMERKKI: Onko Funktio f : R 3 R 2, jatkuva? f (x, y, z) = ( z, 2x + y 2 ), Olkoon (x 0, y 0, z 0 ) R 3 ja ε > 0. Sovelletaan arviota (x 1, x 2 ) x 1 + x 2 x + x, vektoriin f (x, y, z) f (x 0, y 0, z 0 ) R 2.

140 f (x, y, z) = ( z, 2x + y 2 ). Oletetaan ensin, että z 0 0. Olkoon (x, y, z) (x 0, y 0, z 0 ) < δ. Nyt ( ) f (x, y, z) f (x 0, y 0, z 0 ) = z z0, 2(x x 0 ) + y 2 y 2 0 ( z z 0 )( z + z 0 ) + 2 x x 0 + (y 0 + (y y 0 )) 2 y 2 0 z + z0 z z x x y 0 y y 0 + (y y 0 ) 2 z0 ( ) δ z0 + 2δ + y 0 δ + δ y δ, z0

141 f (x, y, z) = ( z, 2x + y 2 ). Oletetaan ensin, että z 0 0. Olkoon (x, y, z) (x 0, y 0, z 0 ) < δ. Nyt ( ) f (x, y, z) f (x 0, y 0, z 0 ) = z z0, 2(x x 0 ) + y 2 y 2 0 ( z z 0 )( z + z 0 ) + 2 x x 0 + (y 0 + (y y 0 )) 2 y 2 0 z + z0 z z x x y 0 y y 0 + (y y 0 ) 2 z0 ( ) δ z0 + 2δ + y 0 δ + δ y δ, z0 mikä on < ε, kun valitaan δ = min 1, ε y z0.

142 Tapauksessa z 0 = 0, käytetään arviota z 0 δ, kun z 0 δ.

143 Funktion raja-arvo Olkoon A R n, B R m ja olkoon x A. Funktiolla f : A B on pisteessä x raja-arvo c = lim y x f (y),

144 Funktion raja-arvo Olkoon A R n, B R m ja olkoon x A. Funktiolla f : A B on pisteessä x raja-arvo c = lim y x f (y), mikäli kaikille ε > 0 on olemassa δ > 0 siten, että f (y) c < ε aina kun y A ja 0 < y x < δ.

145 Jatkuvuuden ja raja-arvon yhteys Funktio f : A R m on jatkuva pisteessä x A jos ja vain jos lim f (y) = f (x). y x

146 Perustuloksia Funktio f = (f 1,..., f m ): A R m on jatkuva pisteessä x R n jos ja vain jos komponenttifunktiot f 1,..., f m : A R ovat jatkuvia pisteessä x eli jos lim f k (y) = f k (x) kaikille k = 1,..., m. y x Jos f : A R m ja g: A R m ovat jatkuvia (pisteessä x 0 A), niin myös f + g: A R m on jatkuva (pisteessä x 0 ). Jos f : A R m on jatkuva (pisteessä x 0 ) ja jos λ R, niin myös λf : A R m on jatkuva (pisteessä x 0 ).

147 ESIMERKKI: Olkoon f : R 3 R 2, ( ) f (x, y, z) = 3x 5y, y 2 + z 2. Onko f jatkuva?

148 ESIMERKKI: Olkoon f : R 3 R 2, ( ) f (x, y, z) = 3x 5y, y 2 + z 2. Onko f jatkuva? Kuvaukset (x, y, z) x, (x, y, z) y, R 3 R ovat jatkuvia (koordinaattiprojektiot).

149 ESIMERKKI: Olkoon f : R 3 R 2, ( ) f (x, y, z) = 3x 5y, y 2 + z 2. Onko f jatkuva? Kuvaukset (x, y, z) x, (x, y, z) y, R 3 R ovat jatkuvia (koordinaattiprojektiot). Jatkuvien funktioiden lineaariyhdistelynä (x, y, z) 3x 5y on jatkuva.

150 ESIMERKKI: Olkoon f : R 3 R 2, ( ) f (x, y, z) = 3x 5y, y 2 + z 2. Onko f jatkuva? Kuvaukset (x, y, z) x, (x, y, z) y, R 3 R ovat jatkuvia (koordinaattiprojektiot). Jatkuvien funktioiden lineaariyhdistelynä (x, y, z) 3x 5y on jatkuva. Koska kaikille (x, y, z), (x 0, y 0, z 0 ) R 3 on voimassa y 2 + z 2 y z2 0 (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 niin (x, y, z) y 2 + z 2 on jatkuva. (x, y, z) (x 0, y 0, z 0 ),

151 ( ) f (x, y, z) = 3x 5y, y 2 + z 2. Funktion f komponenttifunktiot (x, y, z) 3x 5y ja (x, y, z) y 2 + z 2 ovat jatkuvia, joten f on jatkuva.

152 Perustuloksia Jos A R n ja f : A R, g: A R ovat jatkuvia (pisteessä x A), niin 1 fg on jatkuva (pisteessä x). 2 f g on jatkuva (pisteessä x jos g(x) 0/joukossa {x A : g(x) 0}).

153 Perustuloksia Jos A R n ja f : A R, g: A R ovat jatkuvia (pisteessä x A), niin 1 fg on jatkuva (pisteessä x). 2 f g on jatkuva (pisteessä x jos g(x) 0/joukossa {x A : g(x) 0}). Olkoon A R n, B R m ja C R k. Jos f : A B ja g: B C ovat jatkuvia (pisteissä x/f (x)), niin myös yhdistetty kuvaus g f : A C on jatkuva (pisteessä x).

154 ESIMERKKI: Olkoon f : R 3 \ {(x, y, z) R 3 : z = 0} R 2, ( ) f (x, y, z) = exp(cos 5 (xy)) + cosh log z 1 + x 4 +, 2 z/(y2 +1) z. Onko f jatkuva?

155 ESIMERKKI: Olkoon f : R 3 \ {(x, y, z) R 3 : z = 0} R 2, ( ) exp(cos 5 (xy)) + cosh log z f (x, y, z) = 1 + x 4 +, 2 z/(y2 +1). z Onko f jatkuva? Komponenttikuvaukset (x, y, z) x, (x, y, z) y, (x, y, z) z ovat jatkuvia.

156 ESIMERKKI: Olkoon f : R 3 \ {(x, y, z) R 3 : z = 0} R 2, ( ) exp(cos 5 (xy)) + cosh log z f (x, y, z) = 1 + x 4 +, 2 z/(y2 +1). z Onko f jatkuva? Komponenttikuvaukset (x, y, z) x, (x, y, z) y, (x, y, z) z ovat jatkuvia. (x, y, z) xy, (x, y, z) x 4 ovat jatkuvien reaaliarvoisten funktioiden tuloina jatkuvia, samoin (x, y, z) z y (jatkuvien funktioiden lineaariyhdistely + osamäärä).

157 ESIMERKKI: Olkoon f : R 3 \ {(x, y, z) R 3 : z = 0} R 2, ( ) exp(cos 5 (xy)) + cosh log z f (x, y, z) = 1 + x 4 +, 2 z/(y2 +1). z Onko f jatkuva? Komponenttikuvaukset (x, y, z) x, (x, y, z) y, (x, y, z) z ovat jatkuvia. (x, y, z) xy, (x, y, z) x 4 ovat jatkuvien reaaliarvoisten funktioiden tuloina jatkuvia, samoin (x, y, z) z y (jatkuvien funktioiden lineaariyhdistely + osamäärä). Reaalifunktiot t cos t, t log t, t cosh t, t t, t exp(t), t 2 t, ovat jatkuvia.

158 ( ) exp(cos 5 (xy)) + cosh log z f (x, y, z) = 1 + x 4 +, 2 z/(y2 +1). z Jatkuvien kuvausten yhdistettyinä kuvauksina (x, y, z) cos 5 (xy), (x, y, z) log z, (x, y, z) 2 z/(y2 +1) (= f 2 (x, y, z)), (x, y, z) cosh log z, (x, y, z) exp(cos 5 (xy)), ovat jatkuvia.

159 ( ) exp(cos 5 (xy)) + cosh log z f (x, y, z) = 1 + x 4 +, 2 z/(y2 +1). z Jatkuvien kuvausten yhdistettyinä kuvauksina ovat jatkuvia. (x, y, z) cos 5 (xy), (x, y, z) log z, (x, y, z) 2 z/(y2 +1) (= f 2 (x, y, z)), (x, y, z) cosh log z, (x, y, z) exp(cos 5 (xy)), Jatkuvien funktioiden lineaariyhdistelyn ja osamäärän avulla määritelty (x, y, z) f 1 (x, y, z) on jatkuva.

160 ( ) exp(cos 5 (xy)) + cosh log z f (x, y, z) = 1 + x 4 +, 2 z/(y2 +1). z Jatkuvien kuvausten yhdistettyinä kuvauksina ovat jatkuvia. (x, y, z) cos 5 (xy), (x, y, z) log z, (x, y, z) 2 z/(y2 +1) (= f 2 (x, y, z)), (x, y, z) cosh log z, (x, y, z) exp(cos 5 (xy)), Jatkuvien funktioiden lineaariyhdistelyn ja osamäärän avulla määritelty (x, y, z) f 1 (x, y, z) on jatkuva. Koska molemmat komponenttifunktiot ovat jatkuvia, niin f on jatkuva.

161 Tärkeitä tuloksia Suljetussa ja rajoitetussa joukossa määritelty jatkuva funktio: Saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa. On tasaisesti jatkuva. Arvojoukko on suljettu ja rajoitettu. Jos f : A R m on jatkuva ja x A \ A, niin f voidaan laajentaa jatkuvaksi kuvaukseksi joukkoon A {x} jos ja vain jos on olemassa raja-arvo lim f (y) y x Rm. Vastaava tulos pätee myös laajennettaessa funktiota koko reunalle A.

162 Palautetta toivotaan!