Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1"

Transkriptio

1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin kolmesta suuresta perustuloksesta, nimittäin tasaisen rajoituksen periaate (tämä luku) sekä avoimen kuvauksen lause (luku 8). Kolmas näistä suurista perustuloksista (Hahn Banachin lause) tulee dualiteetin yhteydessä luvussa 9, ja se ei perustu täydellisyyteen. Koska Bairen lauseella on paljon muitakin sovelluksia, tarkastelemme sitä yleisissä metrisissä avaruuksissa. Olkoon (X, d) metrinen avaruus. Palautetaan mieliin: jono (x n ) X on Cauchyn jono, jos jokaista ε > vastaa n ε N, jolle d(x p, x q ) < ε, aina kun p, q n ε. Aivan kuten normiavaruuksienkin tapauksessa, metrinen avaruus (X, d) on täydellinen, jos sen jokainen Cauchyn jono (x n ) X suppenee. Bairen lause käsittelee avoimia tiheitä osajoukkoja V X. Esimerkkejä tällaisista ovat V = R n \[, 1] R n, kun n 2 tai vaikkapa R\Z. Huomautus. Osajoukko V X on tiheä V = X B(x, r) V kaikilla x X, r > W V kaikilla avoimilla W X. Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, jonka esitti ensimmäisenä Rene Baire ( ) Lause (Bairen lause). Olkoon (X, d) täydellinen metrinen avaruus. Jos V j X, j N, on numeroituva kokoelma avoimia tiheitä osajoukkoja, niin V j on tiheä avaruudessa X. Erityisesti siis V j. Todistus. Kts. Väisälä: Topologia II, 1.8. [Hahmotelma: on osoitettava, että B(x, r) ( V n ) kaikilla x X ja r >. Koska V 1 on tiheä löytyy y 1 V 1 B(x, r). Joukko V 1 B(x, r) on avoin, joten on olemassa sellainen < r 1 < 1, että sulkeuma B(y 1, r 1 ) V 1 B(x, r). Oletuksen nojalla V 2 on tiheä, joten löytyy y 2 V 2 B(y 1, r 1 ). Koska oikeanpuoleinen leikkausjoukko on avoin niin on olemassa sellainen < r 2 < 1/2, että B(y 2, r 2 ) V 2 B(y 1, r 1 ). Jatkamalla tätä konstruktiota saamme jonon

2 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI (y n ) X, jolle B(y n, r n ) V n B(y n 1, r n 1 ), n = 1, 2,..., missä < r n < 1/n. Koska y m B(y n, r n ) kaikilla m n konstruktion perustella, niin (y n ) on Cauchyn jono. Koska (X, d) on täydellinen, on siis olemassa z = lim n y n. Tällöin rajalla myös z B(y n, r n ) V n B(x, r) kaikilla n, joten piste z B(x, r) ( V n).] Bairen lause tulee usein käyttöön seuraavassa (yhtäpitävässä) muodossa: 7.2. Seuraus. Olkoon (X, d) täydellinen metrinen avaruus, ja X = F n, missä F n X on suljettu kaikilla n N. Silloin ainakin yksi joukoista F n sisältää avoimen pallon (erityisesti sisus int(f n ) ). Todistus. Olkoon V n = X \ F n kun n N, jolloin V n X on avoin kaikilla n N. Tehdään vastaoletus ja oletetaan, että millään n N joukko F n ei sisällä avointa palloa B(x, r), eli V n B(x, r) kaikilla x X ja r >. Siispä V n on tiheä ja avoin jokaisella n N. Nyt Bairen lause mukaan leikkaus V n on tiheä avaruudessa X. Erityisesti siis löytyy sellainen alkio x X, että x V n = (X \ F n ) = X \ F n. Mutta tämä on ristiriidassa oletuksen X = F n kanssa. Siispä vastaoletus on väärä ja väite seuraa. Muotoilemme aluksi ensimmäisen suurista lauseista ja todistamme sen soveltamalla Bairen lausetta Lause (Banach Steinhausin lause eli tasaisen rajoituksen periaate). Olkoon E Banachin avaruus, F normiavaruus ja {T α } α J kokoelma jatkuvia lineaarikuvauksia T α : E F (tässä indeksijoukko J on mielivaltainen). Tällöin on kaksi toisensa poissulkevaa vaihtoehtoa: joko (1) on olemassa sellainen luku M <, että tai T α M jokaisella α J,

3 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 117 (2) on olemassa kiinteä vektori x E, jolle sup T α x =. α J Erityisesti, jos M(x) := sup α J T α x < jokaisella x E, niin sup α J T α = sup sup T α x <. α J x B E Huomautus. Jos väite (1) ei toteudu, niin a priori on olemassa vektorit x α E (α J), joille x α = 1 ja sup α T α x α =. Väite (2) sanookin, että voidaan valita yksi ja sama vektori x E kaikilla α J. Ennen kuin todistamme Banach Steinhausin lauseen, tarkastelemme hieman sen käyttöä. Ensimmäisenä tasaisen rajoituksen periaatteen sovelluksena osoitamme vahvan parannuksen pisteittäisen rajaoperaattorin jatkuvuudelle (katso Esimerkki 6.5 sivulla 15 ja Lause 6.6 sivulla 16) Lause. Olkoon E Banachin avaruus, F normiavaruus ja (T n ) L (E,F) sellainen jono jatkuvia lineaarikuvauksia, että Tx := lim n T n x on olemassa kaikilla x E. Tällöin T L (E,F), eli T on jatkuva lineaarikuvaus. Todistus. Kuvaus T on lineaarinen Lauseen 6.2 sivulla 14 nojalla. Oletuksen mukaan jono (T n x) suppenee avaruudessa F jokaisella x E. Siispä jono (T n x) on Cauchyn jono ja edelleen Lauseen 3.3 sivulla 29 mukaan rajoitettu. Siispä M(x) sup T n x < x E. n N Nyt Banach Steinhausin Lauseen 7.3 nojalla löytyy sellainen M <, että T n M kaikilla n N. Saadaan Tx = lim T n x sup T n x M x n kun x E, joten T M. n N Lähtöavaruuden täydellisyys on edellä olennainen ehto: 7.5. Esimerkki. Esimerkin 6.3 sivulla 14 mukaisessa tilanteessa P = { x : x on R-kertoiminen polynomi }, T n x = n ( x(1) x(1 1 n )), kun x P, x = sup x(t) t [,1] Esimerkissä 6.3 näytettiin, että T n L (P, R) ja T n x Tx kun n, missä Tx = x (1), kun x P on polynomi. Mutta, tällöin T / L (P, R) ei ole jatkuva. Johtopäätökset: i) (P, ) ei ole täydellinen (suora tapa harjoituksissa)

4 118 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI ii) Oletus, että E Banachin avaruus on olennainen Lauseessa 7.4. Koska olemme saaneet jo hieman esimakua Banach Steinhausin lauseen tehokkuudesta ja voimasta, niin siirrymme lauseen todistukseen. Banach Steinhausin lauseen todistus. Olkoon F(n, α) := { x E : T α x n }, kun α J, n N. Kuvaus f α : x T α x on kahden jatkuvan kuvauksen yhdisteenä jatkuva. Siispä F(n, α) = f 1 α ([ n, n]) E on suljettu joukko jokaisella α J ja jokaisella n N, sillä joukko [ n, n] R on suljettu ja f α on jatkuva. Tällöin myös leikkausjoukko F n := α J F(n, α) E on suljettu, sillä mielivaltainen leikkaus suljetuista joukoista on edelleen suljettu. Oletetaan nyt, että vaihtoehto (2) ei päde. Väitteen todistamiseksi on siis osoitettava, että tällöin vaihtoehto (1) on välttämättä voimassa. Olkoon tätä varten x E mielivaltainen. Koska oletimme, että vaihtoehto (2) ei päde, niin sup T α x <. α J Siten löytyy sellainen n N, että sup T α x n. α J Siispä x F(n, α) jokaisella α J eli x F n. Tästä seuraa heti, että E = F n. Koska E on Banachin avaruus, niin Seurauksen 7.2 nojalla löytyy sellainen N N ja sellainen avoin pallo B(x, r ), että (7.6) B(x, r ) F N. Osoitamme seuraavaksi, että ehdosta (7.6) seuraa, että T α x 2N/r jokaisella α J ja jokaisella x B E. Olkoon x E ja x < 1. Tällöin x + r x B(x, r ), joten T α (x + r x) N. Siispä T α x = 1 r T α (r x) = 1 r T α (x + r x) T α (x ) 1 r ( Tα (x + r x) + T α (x ) ) 2N r =: M Siis T α M jokaisella α J.

5 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Esimerkki. Olkoon (a k ) k N R sellainen lukujono, että (7.8) a k x k suppenee avaruudessa R kaikilla x = (x k ) l 1. k=1 Havaitaan, että jos (a k ) l on rajoitettu jono, niin (7.8) toteutuu: a k x k sup a j x k <, kun x = (x k ) l 1. j N k=1 k=1 Siispä sarja a k x k suppenee (jopa itseisesti), kun x = (x k ) l 1. Herää kysymys, onko olemassa muita lukujonoja (a k ), joille (7.8) on voimassa? Osoitamme käänteisen suunnan eli jos lukujono (a k ) toteuttaa ehdon (7.8), niin (a k ) l. (Tämä esimerkki liittyy läheisesti luvun 9 duaalisuusteoriaan.) Todistus. Asetetaan kaikilla n N f n (x) = a j x j kun x = (x k ) l 1. Tällöin f n on lineaarinen l 1 R kaikilla n N ja f n (x) = a j x j a j x j max a k x j k=1,...,n max k=1,...,n a k x 1 < kaikilla x = (x k ) l 1 ja kaikilla n N. Siis f n on jatkuva l 1 R kaikilla n. Oletuksen (7.8) nojalla on olemassa raja-arvo lim f n(x) = lim a j x j = a j x j =: f(x) n n kaikilla x = (x k ) l 1. Koska l 1 on Banachin avaruus, niin Lauseen 7.4 perusteella lineaarinen operaattori f L (l 1, R) on jatkuva. On siis olemassa M <, jolle f(x) = a j x j M x 1 kaikilla x = (x k ) l 1. Sijoitetamalla vektorit e k = (,,...,, 1 funktionaaliin f havaitaan, että }{{} k:nnes,,,...) l 1, k N, joten (a k ) l. sup k N a k = sup f(e k ) sup M e k 1 = M, k k

6 12 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Banach Steinhausin lauseen sovelluksia Fourier-sarjoihin Muistamme, että C 1 -funktioille Fourier-sarja suppenee pisteittäin ja jokaisella L 2 -funktiolla Fourier-sarja suppenee ainakin L 2 -normin mielessä. Lisäksi Fejérin lauseen 5.4 nojalla jatkuvalla funktiolla f Fourier-osasummien keskiarvo suppenee tasaisesti kohti f:ää. Edellisten tietojen valossa seuraava tulos on yllättävä (tämä Banach Steinhausin lauseen sovellus oli ainakin yllätys löytöaikanaan): 7.9. Lause. On olemassa jatkuva -jaksollinen funktio f C(, ), jonka Fourier-sarja f(k)e ikx hajaantuu pisteessä x =. Todistus. Olkoon k= S n (f; x) = f(k)e ikx. Näytämme, että on olemassa sellainen jatkuva funktio f C(, ), jolla f() = f() ja sup S n (f; ) =, n N mistä erityisesti seuraa, että funktion f Fourier-sarja hajaantuu, kun x =. Edelleen tästä seuraa, että S n (f; ) f(), kun n. Tähän tarvitaan luvun 5 tietoja. Lemman 5.2 sivulla 79 mukaan S n (f; x) = 1 missä D n on Dirichlet n ydin (7.1) D n (x) = Asetetaan f(t)d n (x t) dt = (D n f)(x), Λ n (f) = S n (f; ) = e ikx = sin ( (n )x) sin( x 2 ). Tällöin kuvaus Λ n on lineaarinen C(, ) R, ja Λ n (f) = 1 D n( t)=d n(t) f(t)d n ( t) dt 1 f D n (t) dt, f(k). f(t) D n ( t) dt

7 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 121 kun f C(, ), joten Λ n () 1 D n 1 kaikilla n N. Osoitamme, että edellinen arvio on itse asiassa yhtäsuuruus, eli että (7.11) Λ n 1 Lisäksi osoitamme, että (7.12) lim n D n 1 = lim D n (t) dt kaikilla n N. n D n (t) dt =, mikä yhdessä kaavan Λ n = () 1 D n 1 ja tasaisen rajoituksen periaatteen kanssa osoittaa väitteen, kuten tulemme pian huomaamaan. Osoitetaan ensin jälkimmäinen raja-väite (7.12), sillä sen argumentti on suoraviivaisempi. Ideana on soveltaa hyvin tunnettua arviota sin( t) < t < t, joka on voimassa kaikilla t >, esitykseen (7.1). Suoraan arvioimalla ja muuttujanvaihdon 2 2 avulla saamme silloin D n (t) dt = = 2 π (n+1/2)π sin((n + 1)t) 2 dt t sin s ds s > k=1 1 k k=1 π 1 kπ sin((n + 1)t) dt 2 t kπ, kun n. (k 1)π Edellä tunnetusti kπ sin t dt = π sin t dt = 2 kaikilla k. (k 1)π Osoitamme nyt epäyhtälön (7.11). Olkoon g n funktio g n (t) = { 1, kun D n ( t) 1, kun D n ( t) < sin t dt jolloin siis g n (t)d n ( t) = D n ( t) kun t [, ]. Tällöin on olemassa jono jatkuvia -periodisia funktioita (f j ) C(, ), joille 1 f j (t) 1 ja lim j f j (t) = g n (t) pisteittäin. Tämä nähdään vertaamalla Lauseen 5.6 todistukseen tai tekemällä suora päättely. (Itse asiassa, g n = χ F χ F c, missä funktion D n jatkuvuuden nojalla joukko F = {t [, ] : D n ( t) } on suljettu. Haluttu funktiojono (f j ) on konstruoitu Lauseen 5.6 osissa (1) ja (2).) tähän tulee kuva!!

8 122 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Koska f j 1 jokaisella j N, niin Lebesguen dominoidun suppenemisen lauseen avulla, kun majoranttina käytetään funktiota D n L 1, saadaan Λ n sup Λ n (f j ) lim Λ n (f j ) = lim j j N = 1 g n (t)d n ( t) dt = 1 1 j D n ( t) dt. f j (t)d n ( t) dt Siis epäyhtälö (7.11) pätee, ja siten Λ n, kun n. Nyt Banach Steinhausin lauseen 7.3 vaihtoehto (2) jää jäljelle, koska suljimme juuri vaihtoehdon (1) pois. Siten on olemassa sellainen jatkuva f C(, ), jolle mikä osoittaa väitteen. sup n N Λ n (f) = sup S n (f; ) =, n N Lisätietoja Fourier-sarjoista: - Du-Bois Reymond (1876): konkreettinen jatkuva -periodinen f, jonka vastaava Fourier-sarja f(k)e ikx hajaantuu pisteessä x = (kts. [Körner: Fourier Analysis, luku 18]). - Banach ja Steinhaus (1927): Lauseen 7.9 ei-konstruktiivinen esimerkki. - Kolmogorov (1926): on olemassa sellainen integroituva f L 1 (, ), jonka Fourier-sarja hajaantuu joka pisteessä x [, ]! Muistamme, että jos f L 2, niin funktion f Fourier-sarja suppenee L 2 -normin mielessä. Onko sama voimassa funktioille avaruudessa L 1?? Vastaamme tähän myös Banach Steinhausin lauseen avulla negatiivisesti Lause. On olemassa sellainen f L 1 (, ), että f f(k)e ikx L 1, kun n. Todistus. Määritellään T n : L 1 (, ) L 1 (, ) asettamalla (T n f)(x) = S n (f; x) = f(k)e ikx, kun f L 1 (, ), x [, ] ja n N. Selvästi T n on lineaarinen, koska f f(k) on lineaarinen kaikilla k Z. Suoraan laskemalla saamme yksinkertaisen arvion funktion f Fourier-kertoimille f(k) 1 f(t) e ikt dt = 1 f 1,

9 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 123 kun f L 1 (, ) ja k Z. Tästä saamme trigonometrisen polynomin T n f L 1 -normille arvion T n f 1 = f(k)e ikx 1 f(k) e ikx L 1 (2n + 1) f 1 kaikilla f L 1 (, ), joten T n : L 1 (, ) L 1 (, ) on jatkuva kaikilla n N. Väitteen osoittamiseksi teemme vastaoletuksen, eli oletamme että kaikilla f L 1 (, ) pätee lim T nf f 1 =. n Tällöin jono (T n f) n N suppenee kaikilla f L 1 (, ), joten sup n T n f 1 < kaikilla f L 1 (, ). Nyt Banach Steinhausin lauseen 7.3 vaihtoehdon (1) mukaan T n M < kaikilla n N. Luvun 5 nojalla Fejérin ydin on K j (x) = 1 j + 1 j D k (x). Olkoon n N kiinteä. Tiedämme sivulla 79 olevan Lemman 5.3 sekä Fejérin Lauseen 5.4 (sivulla 81) perusteella, että T n (K j ) = D n K j = K j D n D n tasaisesti välillä [, ] kun j (tässä Fejérin lause on sovellettu jatkuvaan funktioon D n ). Koska lisäksi K j ja 1 k= K j (t) dt = 1, niin () 1 K j 1 = 1 jokaisella j N, ja siis T n sup T n (K j ) L 1 lim T n (K j ) L 1 = D n. j j Edellisen Lauseen 7.9 todistuksen mukaan D n 1, joten T n, kun n, mikä on ristiriita. Näin S n (f; x) ei suppene kohti funktiota f normin mielessa avaruudessa L 1 jollakin f L 1 (, ). (Vahvempi tieto: Banach-Steinhausin lauseen vaihtoehdon (2) mukaan on jopa olemassa f L 1 (, ), jolle sup n N T n (f) 1 = sup n N S n (f; ) 1 = ). Edellinen Lause 7.13 (sekä toki Kolmogorovin em. tulos vuodelta 1926) näyttää, että Fourier-sarjojen yhteydessä avaruus L 1 poikkeaa huomattavasti avaruudesta L 2. Herää kysymys, miten muut L p -avaruudet käyttäytyvät? Voidaan todistaa (mutta todistukset sivuutetaan tällä kurssilla), soveltamalla joko funktioteoriaa tai nk. singulaarisia integraaleja, että jos 1 < p <, niin funktion f L p (, ) Fourier-sarja suppenee L p -normissa kohti funktiota f, eli f S n (f, ) p, kun n,

10 124 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI kaikilla f L p (, ). Pisteittäisestä suppenemisesta tiedetään, että jos 1 < p < ja f L p (, ), niin Fourierin osasummille pätee f(x) = lim f(k)e ikx m.k. x [, ]. n Tämä tulos on syvällinen Carlesonin Huntin lause 6-luvulta.

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

6. Lineaariset operaattorit

6. Lineaariset operaattorit 96 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että Fourier-sarjat suppenevat L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla 80). Osoitimme myös, että kun f on jatkuva ja

Lisätiedot

f(k)e ikx = lim S n (f; x) kaikilla x?

f(k)e ikx = lim S n (f; x) kaikilla x? 102 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että jos f L 2, niin vastaavan Fourier-sarjan osasummat suppenevat kohti f:ää L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)

Lisätiedot

Määritelmä 2.5. Lause 2.6.

Määritelmä 2.5. Lause 2.6. Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010

Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 4.1. Viime kerralta. Esimerkki lokaalikonveksin avaruuden osajoukosta, joka

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,

Lisätiedot

f(x) sin k x dx, c k = 1

f(x) sin k x dx, c k = 1 f ( n) n 3. Fourier n sarjoista I [1, 8.16, luku 11], [, luku 15], [3, luku IX, 8 9]. [5, luku I], [6, luku XII, 3], [7, luku 8], [8, luku 4], [9, luku 8] Trigonometrinen polynomi on muotoa a + ( ak cos

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

LUKU 6. Mitalliset funktiot

LUKU 6. Mitalliset funktiot LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus

Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus 1. (5:7) Olkoon E normiavaruus, I = [0, 1] ja f, g : I E jatkuvia. Osoita, että yhtälön h(s, t) = (1 t)f(s) + tg(s) määrittelemä kuvaus h : I 2 E on

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

5. Fourier-sarjat. f(x) e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), n= N. f(x) e inx dx = f(n)

5. Fourier-sarjat. f(x) e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), n= N. f(x) e inx dx = f(n) FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 73 5. Fourier-sarjat Fourier esitti vuonna 1822 lämmönjohtamista koskevien tutkimusten yhteydessä kuuluisan menetelmänsä esittää mielivaltainen -jaksollinen funktio kehitelmänä

Lisätiedot

Lebesguen mitta ja integraali

Lebesguen mitta ja integraali Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta

Lisätiedot

Analyysin peruslause

Analyysin peruslause LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta

Lisätiedot

4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit

4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 45 4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit Lähestymme nyt jo kovaa vauhtia hetkeä, jolloin voimme aloittaa stokastisen integroinnin. Ennen sitä käymme vielä läpi yhtä

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

5. Fourier-sarjat. f(x)e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), n= N. 2π f(x)e inx dx = 1 2π. k= N. e inx, n Z. 2π f(x)e inx dx = 1 (f e n ) 2π

5. Fourier-sarjat. f(x)e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), n= N. 2π f(x)e inx dx = 1 2π. k= N. e inx, n Z. 2π f(x)e inx dx = 1 (f e n ) 2π 78 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 5. Fourier-sarjat Fourier esitti vuonna 1822 lämmönjohtamista koskevien tutkimusten yhteydessä kuuluisan menetelmänsä esittää mielivaltainen -jaksollinen funktio kehitelmänä

Lisätiedot

1 Reaaliset lukujonot

1 Reaaliset lukujonot Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot

Lisätiedot

Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Luennot, kevät 2006 ja kevät Kari Astala ja Petteri Piiroinen (v.

Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Luennot, kevät 2006 ja kevät Kari Astala ja Petteri Piiroinen (v. FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos Luennot, kevät 2006 ja kevät 2008 Kari Astala ja Petteri Piiroinen (v. 2006) Hans-Olav Tylli (v. 2008 hienosäätöä)

Lisätiedot

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet

Lisätiedot

Kompaktisuus ja filtterit

Kompaktisuus ja filtterit Kompaktisuus ja filtterit Joukkoperheellä L on äärellinen leikkausominaisuus, mikäli jokaisella äärellisellä L L on voimassa L. Nähdään helposti, että perheellä L on äärellinen leikkausominaisuus ja L

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu

2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu 2. Fourier-sarjoista Fourier-analyysi: Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu Matemaattisen analyysin täkein työväline "Jokainen funktio" voidaan esittää harmonisten värähtelyjen, so.

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7 2. Normi ja normiavaruus Olkoon E vektoriavaruus (eli lineaariavaruus) skalaarikuntana K = R tai K = C. Kurssilla Lineaarialgebra I määriteltiin vain R-kertoimiset vektoriavaruudet,

Lisätiedot

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,

Lisätiedot

2. Normi ja normiavaruus

2. Normi ja normiavaruus 8 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 2. Normi ja normiavaruus Olkoon E vektoriavaruus (eli lineaariavaruus) skalaarikuntana K = R tai K = C. Kurssilla Lineaarialgebra I määriteltiin vain R-kertoimiset vektoriavaruudet,

Lisätiedot

Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset

Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tuomas Hentunen Matematiikan pro gradu tutkielma Kesäkuu 2014 Tiivistelmä: Tuomas Hentunen, Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset (engl. Uniform convergence

Lisätiedot

Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.

Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Topologia I 1. kurssikoe 26.2.2013 Malliratkaisut ja tehtävien tarkastamiset Tehtävät 1 ja 2 Henrik Wirzenius Tehtävät 3 ja 4 Teemu Saksala Jos sinulla on kysyttävää

Lisätiedot

Funktion approksimointi

Funktion approksimointi Funktion approksimointi Päivikki Vesterinen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2015 Tiivistelmä: Päivikki Vesterinen, Funktion approksimointi (engl.

Lisätiedot

Funktiojonon tasainen suppeneminen

Funktiojonon tasainen suppeneminen TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

u(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0;

u(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0; 3. Lämmönjohtumisyhtälö I Yksiulotteisessa lämmönjohtumisyhtälössä u t = u γ x tuntematon funktio u = u(x, t) kuvaa lämpötilaa yksiulotteisen kappaleen (ohut sauva; x-akseli) kohdassa x hetkellä t. Kun

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko. Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,

Lisätiedot

Sarjojen suppenemisesta

Sarjojen suppenemisesta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr

Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Pekka Salmi 26. huhtikuuta 2017 Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 1 / 115 Yleistä Opettaja: Pekka Salmi, MA327 Kontaktiopetus ti 1012 (L),

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

MS-C1540 Euklidiset avaruudet

MS-C1540 Euklidiset avaruudet MS-C1540 Euklidiset avaruudet MS-C1540 Euklidiset avaruudet III-periodi, kevät 2016 Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu 1 / 30 Euklidiset

Lisätiedot

Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008

Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008 Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Ennen malliratkaisuja, muistin virkistämiseksi kaikkien rakastama osittaisintegroinnin kaava: b a u(tv (t

Lisätiedot

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b. 2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na

Lisätiedot

HILBERTIN AVARUUDET 802652S MIKAEL LINDSTRÖM KEVÄÄN 2010 ANALYYSI 3 -LUENTOJEN PERUSTEELLA TOIMITTANEET TOMI ALASTE JA LAURI BERKOVITS

HILBERTIN AVARUUDET 802652S MIKAEL LINDSTRÖM KEVÄÄN 2010 ANALYYSI 3 -LUENTOJEN PERUSTEELLA TOIMITTANEET TOMI ALASTE JA LAURI BERKOVITS HILBRTIN AVARUUDT 802652S MIKAL LINDSTRÖM KVÄÄN 2010 ANALYYSI 3 -LUNTOJN PRUSTLLA TOIMITTANT TOMI ALAST JA LAURI BRKOVITS Sisältö 1 Hilbertin Avaruudet 3 1.1 Normi- ja L p -avaruudet........................

Lisätiedot

Joukot metrisissä avaruuksissa

Joukot metrisissä avaruuksissa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

4. Hilbertin avaruudet

4. Hilbertin avaruudet FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 51 4. Hilbertin avaruudet Hilbertin avaruudet ovat ääretönulotteisista normiavaruuksista ominaisuuksiltaan kaikkein lähinnä kotiavaruutta R n tai C n. Tästä syystä niiden

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

Metriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00

Metriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1 Metriset avaruudet Erno Kauranen 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1. Sisätulo ja normiavaruus................................................. 3 2. Metrinen avaruus........................................................

Lisätiedot

Luonnollisen päättelyn luotettavuus

Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus. 1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen 4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f

Lisätiedot

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 7. Integaalilauseita 7.1. Gousatin lemma. (Edouad Jean-Baptiste Gousat, 1858-1936, anskalainen matemaatikko) Olkoon R tason suljettu suoakaide,

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 5

Kompleksianalyysi, viikko 5 Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen.

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen. Sarjaoppia Käsitellään kompleksi- ja reaalisarjat yhdessä. Reaalilukujen ominaisuuksista (kuten järjestys) riippuvat asiat tulevat lisämausteena mukaan. Kirjallisuutta: 1. [KRE] Kreyszig: Advanced Engineering

Lisätiedot

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

u 2 dx, u A f siten, että D(u) = inf D(U). Tarkemmin: Tarkoitus on osoittaa seuraavat minimointitehtävä ja Dirichlet n tehtävä u A f ja

u 2 dx, u A f siten, että D(u) = inf D(U). Tarkemmin: Tarkoitus on osoittaa seuraavat minimointitehtävä ja Dirichlet n tehtävä u A f ja 1. Dirichlet n periaatteesta 1.1. Periaate I. Dirichlet n periaate pohjautuu fysikaaliseen minimienergiaperiaatteeseen ja luo pohjaa osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ja variaatiolaskennan välille). Yksinkertaisesti

Lisätiedot

Metriset avaruudet 2017

Metriset avaruudet 2017 Metriset avaruudet 2017 Jouni Parkkonen Merkintöjä N = {0, 1, 2,... } luonnolliset luvut #(A) N { } joukon A alkioiden lukumäärä A B = {a A : a / B} joukkojen A ja B erotus. A B on joukkojen A ja B erillinen

Lisätiedot

Poistumislause Kandidaatintutkielma

Poistumislause Kandidaatintutkielma Poistumislause Kandidaatintutkielma Mikko Nikkilä 013618832 26. helmikuuta 2011 Sisältö 1 Johdanto................................... 2 2 Olemassaolon ja yksikäsitteisyyden historiaa............ 3 3 Esitietoja..................................

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 5. Kurssikerta Petrus Mikkola 10.10.2016 Tämän kerran asiat Raja-arvo ja toispuolinen raja-arvo Funktion suurin ja pienin arvo Lukujono Lukujonon suppeneminen Kasvava

Lisätiedot

M 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon

M 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon Matematiian ja tilastotieteen laitos Stoastiset differentiaaliyhtälöt Rataisuehdotelma Harjoituseen 7 1. Näytä, että uvaus M M M 2, un M 2 M = sup E M 2 t 2 t 0 on normi jouossa M 2 = { M : M on martingaali

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Kalle

Lisätiedot

Mathematicians are like Frenchmen: whatever you say to them they translate into their own language and forthwith it is something entirely

Mathematicians are like Frenchmen: whatever you say to them they translate into their own language and forthwith it is something entirely f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Funktionaalianalyysi Sekalaisia harjoituksia MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Jatkuu... Mathematicians are like Frenchmen: whatever you say to them they translate into

Lisätiedot

1. Normi ja sisätulo

1. Normi ja sisätulo Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSI 2017

FUNKTIONAALIANALYYSI 2017 FUNKTIONAALIANALYYSI 2017 JOUNI PARKKONEN Nämä ovat muistiinpanoni funktionaalianalyysin kurssille kevätlukukaudella 2017. Tekstiä ei ole luettu äärimmäisen huolella puhtaaksi eikä sitä ole viilattu julkaisemista

Lisätiedot

2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo

2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo 2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo Ratkaisun olemassaolon tutkimiseen tarvitaan perustietoja konvekseista joukoista ja lineaarialgebrasta. Niitä tarvitaan myös ratkaisualgoritmin ymmärtämiseen. Tutkitaan

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Ratkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,...

Ratkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,... HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset 11 Osoita, että vektorifunktio f = (f 1,, f m ): R n R m, on jatkuva, jos ja vain jos jokainen komponenttifunktio

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

Johdatus topologiaan (4 op)

Johdatus topologiaan (4 op) 180305 Johdatus topologiaan (4 op) Kevät 2009 1. Alkusanat Sana topologia on johdettu kreikan kielen sanoista topos ja logos, jotka merkitsevät paikkaa ja tietoa. Jo 1700-luvun alussa käytettiin latinan

Lisätiedot

p-laplacen operaattorin ominaisarvo-ongelmasta

p-laplacen operaattorin ominaisarvo-ongelmasta p-laplacen operaattorin ominaisarvo-ongelmasta Jarkko Siltakoski Pro gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2016 R N x alue B(x 0, r) E E E int E E U E Merkintöjä

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Reaalianalyysin perusteita

Reaalianalyysin perusteita Reaalianalyysin perusteita Heikki Orelma 16. marraskuuta 2008 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Mitallisuus 3 3 Yksinkertaiset funktiot 6 4 Mitat ja integrointi 7 5 Kompleksisten funktioiden integrointi 10 6 Nolla-mittaisten

Lisätiedot

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset. I.1. Todista Cauchyn-Schwarzin epäyhtälö

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset. I.1. Todista Cauchyn-Schwarzin epäyhtälö HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset I.1. Todista Cauchyn-Schwarzin epäyhtälö kun x, y R. x y x y, Ratkaisu: Tiedetään, että x + ty 2

Lisätiedot