ACKERMANNIN ALGORITMI. Olkoon järjestelmä. x(k+1) = Ax(k) + Bu(k)

Transkriptio

1 ACKERMANNIN ALGORITMI Olkoon järjestelmä x(k+1) = Ax( + Bu( jossa x( = tilavektori (n x 1) u( = ohjaus (skalaari) A (n x n matriisi) B (n x 1 matriisi) Oletetaan, että ohjaus u( = Kx( on rajoittamaton. K = [k 1 k 2... k n ] on tilatakaisinkytkentämatriisi (1 x n). Suljetun järjestelmän tilayhtälö x(k+1) = (A BK)x( (A BK):n ominaisarvot ovat suljetun järjestelmän napoja β 1, β 2,..., β n. Jotta suljetun järjestelmän navat voitaisiin asetella haluttuihin paikkoihin, tulee järjestelmän olla säädettävä. Jotta järjestelmä olisi säädettävä, täytyy säädettävyysmatriisilla Q c = [ B AB... A n-1 B ] olla täysi rangi, eli jos Q c on neliömatriisi, niin det(q c ). Suljetun järjestelmän karakteristinen yhtälö det(zi A + BK) = Ackermannin menetelmä: Käyttämällä tilatakaisinkytkentää halutaan sijoittaa suljetun järjestelmän navat paikkoihin z=β 1, z=β 2,..., z=β n. Toisin sanoen halutaan järjestelmän karakteristisen yhtälön olevan Esim. ρ c (z) = zi A + BK = (z β 1 )(z β 2 )...(z=β n) = z n α 1 z n-1 α 2 z n-2... α n-1 z α n =. Olkoon järjestelmä annettu kanonisessa muodossa a1 a2 a3 1 x( k + 1) = 1 x( + u( 1 Halutaan, että ominaisarvot ovat z=β 1, z=β 2, z=β 3 ja karakteristinen polynomi ρ c (z) = (z β 1 )(z β 2 )(z=β 3) = z 3 α 1 z 2 α 2 z α 3 =.

2 Kun K = [k 1 k 2 k 3 ] niin suljetun järjestelmän karakteristiseksi polynomiksi saadaan det(zi A + BK) = z 3 (a 1 k 1 )z 2 (a 2 k 2 )z (a 3 k 3 ) =, jolloin saadaan eli K = a α. k 1 = -α 1 + a 1 k 2 = -α 2 + a 2 k 3 = -α 3 + a 3 Yleinen tilaesitys (u skalaari): Säädettävä (ohjattava) järjestelmä voidaan muuttaa muunnoksella x( = Tw( kanoniseen muotoon jossa w(k+1) = T -1 ATw( + T -1 Bu( T T 1 1 a1 a2 1 AT = 1 M M 1 B = = B M K K K K a n 1 an = A M M 1 Kertoimet a i ovat A:n karakteristisen polynomin kertoimet. ρ c (z) = z n a 1 z n-1 a 2z n-2... a n-1z a n = Voidaan osoittaa, että missä T = E x E w -1 E x = [ B AB A n-1 B ] E w = [ B' A'B' A' n-1 B'] = T -1 E x.

3 Jos u( = K w w( niin edellä saatu tulos voidaan yleistää K w = a α, jossa a sisältää järjestelmän karakteristisen polynomin kertoimet ja α halutut takaisinkytketyn järjestelmän karakteristisen polynomin kertoimet. u( = K x x( u( = K w w( = K w T -1 x( K x = K w T -1 K x :lle voidaan edelleen johtaa suora esitys, ns. Ackermannin muoto: K x = [... 1] [B AB A n-1 B] -1 ρ c (A) jossa ρ c (A) on halutun suljetun järjestelmän karakteristisen polynomin arvo matriisilla A. Jos u:ssa on useita eri ohjauksia (u pystyvektori n x 1 ja B n x n matriisi) ja järjestelmä (A, B) on säädettävä, on yleensä olemassa vektori p siten, että kun korvataan matriisi B vektorilla b = Bp, niin järjestelmä säilyy säädettävänä. Järjestelmän ohjaus voidaan nyt toteuttaa yksidimensioisella ohjauksella u'(. x(k+1) = Ax( + bu'( u( = pk'x(

4 SUMEA SÄÄTÖ Sumeassa logiikassa binääriset joukot korvataan sumeilla joukoilla. Tällöin alkiot voivat saada muitakin arvoja kuin tai 1. Sumeita joukkoja kuvataan usein kielellisillä muuttujilla (esim. pieni / keskikokoinen / suuri). Jäsenyysfunktioilla kuvataan suureiden kuulumista näihin joukkoihin. Sääntökanta puolestaan kuvaa joukkojen keskinäisiä suhteita. Sumean säädön toiminnan periaate voidaan esittää seuraavalla kaaviolla: Sääntökanta jäsenyysfunktio esim. painopiste Päätöksentekologiikka Sumeutus Selkeytys Prosessi Prosessi sumea mittaus täsmällinen mittaus sumea ohjaus täsmällinen ohjaus Sumean säädön vaiheet tapahtuvat seuraavasti: 1) Sumeutus Suureiden kuulumista eri joukkoihin kuvataan jäsenyysfunktioilla. Seuraava kuva esittää vaakaakselilla olevan luvun kuulumista joukkoihin A ja B. kuuluminen joukkoon A A kuuluminen joukkoon B B 2) Päätöksenteko Joukkojen väliset suhteet määritetään säännöillä, joissa käytetään loogisten operaatioiden sumeita laajennuksia. Esimerkiksi AND-operaatio korvataan usein valitsemalla kahdesta luvusta pienempi. AND-operaation sumeaa vastiketta kutsutaa T-normiksi, ja OR-operaation sumeaa vastinetta S- normiksi. Operaatioiden tulokset esitetään sumeilla luvuilla. Esim. sääntö: IF (x = A) AND (y = B) THEN (u = C) x:n jäsenyys A-joukossa on.3 ja y:n jäsenyys B-joukossa.5. Sumean operaation tulokseksi tulee MIN (.3,.5) =.3. u =.3

5 u = C kertoo, että u kuvataan sumealla luvulla C: C.3 D Kaikki sumeat luvut maalataan samaan koordinaatistoon. Vaikka samoja alueita maalataan useampaan kertaan, niiden painoarvo ei muutu. C D 3) Selkeytys Sumeat luvut muutetaan jollain operaatiolla täsmälliseksi luvuksi. Eräs tapa on laskea maalatun alueen painopiste. 1.3

6 Tehtävä x ( k + 1) = x( + u(.5.5 E x = [ B AB] =.25 rank(e x ) = 2 ( det(e x ) = -.4 ) järjestelmä on säädettävä Haluttu karakteristinen yhtälö ρ c (z) = (z.5)(z.55) = z 2 1.5z ρ c (A) = AA 1.5A +.275I.8 = =.25 K = [ 1] [ B AB A n-1 B] -1 ρ c (A) = [ 1] = [ ] Tarkistetaan laskemalla suljetun järjestelmän ominaisarvot det(zi A + BK) = z 2 1.5z z 1 =.5 v z 2 =.55

7 Tehtävä x( k + 1) = x( + u( E x.9 = rank(e x ) = 2 järjestelmä on säädettävä valitaan 1.9 p = b = Bp = E x = [ b Ab] E x = Haluttu karakteristinen yhtälö ρ c (z) = (z.48)(z.6) = z 2 1.8z ρ c (A) = AA 1.8A +.288I.3489 = K = [ 1] E x -1 ρ c (A) = [ ] u' = K'x u( = pk'x( = x( = K Tarkistus: det(zi A + BK) = z 2 1.8z = z 1.48 z 2.6

8 Tehtävä 3 Mittaukset e =.5: S = 1/3 =.33, M = 1, B =.33 Mittaukset de =.9: S = 1/15 =.67, M = 11/15 =.73, B = 9/15 =.6 Sääntö 1: e =.33 (B) ja de =.6 (B) u (N) =.33 Sääntö 2: e = 1 (M) ja de =.6 (B) u (N) =.6 Sääntö 3: e =.33 (B) ja de =.67 (S) u (Z) =.67 Sääntö 4: e =.33 (S) ja de =.67 (S) u (P) =.67 Valitaan suurimmat u (N), u (Z) ja u (P) : u (N) =.6 (suurempi näistä kahdesta: u(n) =.33 ja u(n) =.6) u (Z) =.67 u (P) =.67 Maalataan kyseiset alueet: N Z P u Maalatut alueet ovat painoarvoltaan yhtäsuuria, vaikka jotkut alueet ovat maalattu "periaatteessa" useampaan kertaan. Maalatun alueen painopiste kertoo ohjauksen u:n suuruuden (vaaka-akselin leikkauspiste). Painopisteen arviointi tässä tapauksessa voidaan suorittaa silmällä. u:n arvo noin -.8