AS Automaation signaalinkäsittelymenetelmät. Laskuharjoitus 8. Ackermannin algoritmi Sumea säätö

Transkriptio

1 AS Automaation signaalinkäsittelymenetelmät Laskuharjoitus 8 Ackermannin algoritmi Sumea säätö

2 Tilasäätö Prosessia säädetään tilojen mukaan Suljetun järjestelmän siirtofunktion navat asetellaan haluttuihin paikkoihin u Prosessi x K

3 Ackermannin algoritmi Olkoon järjestelmä x ( k + 1) = Ax( k) + Bu( k) Oletetaan, että rajoittamaton ohjaus u( k) = Kx( k) K = [k 1 k 2... k n ] tilatakaisinkytkentämatriisi Suljetun järjestelmän tilayhtälö ( A BK) x( ) x( k + 1) = k (A BK) ominaisarvot ovat suljetun järjestelmän napoja β 1, β 2,..., β n

4 Ackermannin algoritmi Jotta suljetun järjestelmän navat voitaisiin asetella haluttuihin paikkoihin, tulee järjestelmän olla säädettävä. Jotta järjestelmä olisi säädettävä, täytyy säädettävyysmatriisilla Q c =[B AB... A n-1 B] olla täysi rangi Jos Q c on neliömatriisi, niin det(q c ) 0

5 Ackermannin algoritmi Suljetun järjestelmän karakteristinen yhtälö det(zi A + BK) = 0 Käyttämällä tilatakaisinkytkentää halutaan sijoittaa suljetun järjestelmän navat paikkoihin z = β 1, z = β 2,..., z = β n Järjestelmän karakteristisen yhtälön halutaan siis olevan ρ(z) = (z β 1 )(z β 2 )...(z β n ) = z n α 1 z n-1 α 2 z n-2... α n-1 z α n = 0

6 Ackermannin algoritmi - Esimerkki Olkoon järjestelmä annettu kanonisessa muodossa Halutaan ominaisarvoiksi z=β 1, z=β 2, z=β 3 Karakteristinen polynomi ρ(z) = (z β 1 )(z β 2 )(z β 3 ) = z 3 α 1 z 2 α 2 z α 3 = 0 ) ( ) ( ) ( k u k a a a k + = + x x

7 Ackermannin algoritmi - Esimerkki Kun K = [k 1 k 2 k 3 ], niin suljetun järjestelmän karakteristiseksi polynomiksi saadaan det(zi A+BK) = z 3 (a 1 k 1 )z 2 (a 2 k 2 )z (a 3 k 3 ) = 0 Verrataan haluttuun karakteristiseen polynomiin ρ(z) = z 3 α 1 z 2 α 2 z α 3 = 0 Saadaan k 1 = α 1 + a 1 k 2 = α 2 + a 2 k 3 = α 3 + a 3 Eli K = a - α

8 Ackermannin muoto K:lle K voidaan laskea myös suoran esityksen kautta käyttäen ns. Ackermannin muotoa: K = [0... 1][B AB... A n-1 B] -1 ρ c (A) ρ c (A) on halutun suljetun järjestelmän karakteristisen polynomin arvo, kun muuttujana on matriisi A. Esim. jos ρ c (z) = z 2 + z + 3, on ρ c (A) = AA + A + 3I, missä AA on tavallinen matriisikertolasku ja I on yksikkömatriisi

9 Ackermannin muoto, useita ohjauksia Jos u:ssa on useita eri ohjauksia (u pystyvektori n x 1 ja B m x n matriisi) ja järjestelmä (A, B) on säädettävä, on yleensä olemassa vektori p, siten että matriisi B voidaan korvata vektorilla b = Bp niin, että järjestelmä säilyy säädettävänä. Järjestelmän ohjaus voidaan nyt toteuttaa 1-dimensioisella ohjauksella u (k). x( k + 1) = Ax( k) + bu'( k) u( k) = pk'x( k)

10 Ackermannin algoritmi - yhteenveto Onko järjestelmä säädettävä? rank(e x ) = n?, n = E x :n rivien määrä (Q c = E x ) Neliömatriisilla rank(e x ) = n, kun det(e x ) 0 E x = [ B AB... A n-1 B ] Suljetun järjestelmän karakteristinen yhtälö ρ c (z) = (z β 1 )(z β 2 )...(z β n ) Jos u on vektori, valitaan jokin p Bu bu, missä b = Bp Huom, myös E x muuttuu! K = [0... 1] E x -1 ρ c (A) a c b d 1 = d c a det c b a b d

11 Sumea säätö Sumeassa logiikassa binääriset joukot korvataan sumeilla joukoilla Alkiot voivat saada muitakin arvoja kuin 0 tai 1 Kielelliset muuttujat kuvaavat joukkoja Pieni / Keskikokoinen / Suuri Hidas / Keskinkertainen / Nopea Jäsenyysfunktiot kuvaavat suureiden kuulumista näihin joukkoihin Sääntökanta kuvaa joukkojen keskinäisiä suhteita

12 Sumea säätö kanta jäsenyysfunktio Sääntö- esim. painopiste Pro- Sumeu- Päätöksen- Selkey- Pro- sessi tus tekologiikka tys sessi sumea mittaus sumea ohjaus täsmällinen mittaus täsmällinen ohjaus

13 Sumea säätö 1) Sumeutus Suureen kuuluminen kuhunkin joukkoon Jäsenyysfunktiot kuuluminen joukkoon A A B

14 Sumea säätö 1) Sumeutus Suureen kuuluminen kuhunkin joukkoon Jäsenyysfunktiot A kuuluminen joukkoon B B

15 Sumea säätö 2) Päätöksenteko Säännöt määrittävät joukkojen väliset suhteet Säännöissä käytetään loogisten operaatioiden laajennuksia Esimerkiksi AND-operaatio korvataan usein valitsemalla kahdesta luvusta pienempi Operaatioiden tulokset esitetään sumeilla luvuilla

16 Sumea säätö Esim. sääntö: IF (x = A) AND (y = B) THEN (u = C) x:n jäsenyys A-joukossa on 0.3 ja y:n jäsenyys B-joukossa 0.5 Sumean operaation tulokseksi tulee MIN (0.3, 0.5) = 0.3 u = 0.3 u = C kertoo, että u kuvataan sumealla luvulla C: C 0.3 D

17 Sumea säätö Kaikki sumeat luvut maalataan samaan koordinaatistoon. Vaikka samoja alueita maalataan useampaan kertaan, niiden painoarvo ei muutu C D

18 Sumea säätö 3) Selkeytys Muutetaan jollain operaatiolla sumeat luvut täsmälliseksi luvuksi Esimerkiksi painopisteen laskenta 1.3

19 Sumea säätö 1) Sumeutus Jäsenyysfunktiot suureen kuuluminen joukkoihin 2) Päätöksenteko Sumeat operaatiot joukoille Maalataan sumeasta luvusta tuloksen alapuolelle jäävä alue Kaikki tulokset samaan kuvaan 3) Selkeytys Operaatio, jolla maalatut alueet muutetaan täsmälliseksi luvuksi