Alijärjestelmän mittaus ja muita epätäydellisiä mittauksia

Transkriptio

1 T Tietojenkäsittelyteorian seminaari Alijärjestelmän mittaus ja muita epätäydellisiä mittauksia Loepp & Wootters, Protecting Information, luvut.4-.5

2 T Tietojenkäsittelyteorian seminaari Alijärjestelmän mittaus ja muita epätäydellisiä mittauksia Mitä otsikko takoittaa? Alijärjestelmän mittaus: Useamman kvantin järjestelmästä mitataan vain sen kvanttien osajoukon tila. Epätäydellinen mittaus: Useamman kvantin järjestelmästä mitataan vain osa. Esimerkki: alijärjestelmän mittaus myös muita epätäydellisia mittauksia olemassa Aluksi käsitellään alijärjestelmän mittausta.

3 T Tietojenkäsittelyteorian seminaari Tarkastellaan yleisintä fotoniparin polarisaatiotilaa: s = a + b + c + d, joka voi olla lomittunut tai ei. Halutaan tehdä mittaus M = (, ) ensimmäiselle fotonille ja jättää toinen fotoni mittaamatta. Mittauksen vaikutuksen selvittämiseksi on hyödyllistä kirjoittaa tila s = (a + b ) + (c + d ), mikä on muotoa s = v + w, missä v ja w ovat normalisoimattomia vektoreita assosioituina toiseen fotoniin.

4 T Tietojenkäsittelyteorian seminaari Kun tehdään mittaus M ensimmäiselle photonille, mitkä ovat tulosten ja todennäköisyydet? Tila oli muotoa s = v + w. Tulosten todennäköisyydet ovat v v ja w w. Entä mitkä ovat fotonien lopputilat? Jos ensimmäisestä fotonista tulee tulos, sen lopputila on ja toisen fotonin lopputila on verrannollinen v :hen.

5 T Tietojenkäsittelyteorian seminaari Sääntö alijärjestelmien mittaukselle Tarkastellaan järjestelmää AB joka koostuu kahdesta osasta A ja B ja oletetaan että AB kokonaisuutena on tilassa s. Osaa A mitataan nyt mittauksella ( m 1,..., m N ), missä N on osan A dimensio. Voidaan osoittaa, että tila s voidaan aina kirjoittaa muodossa s = m 1 v m N v N, missä v 1,..., v N ovat normalisoimattomia osaan B assosioituja vektoreita Tuloksen m i todennäköisyys on p i = v i v i. Jos i. tulos tapahtuu, osan A lopputila on m i ja osan B lopputila on v i / v i v i.

6 T Tietojenkäsittelyteorian seminaari Esimerkki Fotonipari on tilassa s = 1 ( + ). (1) Tehdään ensimmäiselle fotonille mittaus M = ( m 1, m ) = ( 1 ( + ), (i) Mikä on tuloksen m 1 todennäköisyys? (ii) Jos tulos on m 1, niin mikä on toisen fotonin lopputila? 1 ( )). Vastaukset: Vastataksemme haluamme ilmaista tilan s muodossa Eli haluamme, että s = m 1 v 1 + m v. s = 1 [( + ) v 1 + ( ) v ].

7 T Tietojenkäsittelyteorian seminaari Jokainen v i voidaan kirjoittaa v i = a i + b i, joten saadaan s = 1 [( + ) (a 1 +b 1 )+( ) (a +b )] = 1 [(a 1 +a ) +(b 1 +b ) +(a 1 a ) +(b 1 b ) ]. Vertaamalla tätä yhtälöön (1) nähdään, että täytyy olla a 1 + a = 1, b 1 + b = 0, a 1 a = 0, ja b 1 b = 1. Ainoa ratkaisu on a 1 = a = b 1 = 1/ ja b = 1/. Täten v 1 = 1 ( + ) ja v = 1 ( ). Nyt kysymyksiin voidaan vastata. (i) Tuloksen m 1 todennäköisyys on v 1 v 1 = (1/) + (1/) = 1/. (ii) Jos tulos m 1 tapahtuu, toisen fotonin lopputila on v 1 / v 1 v 1 = (1/ )( + ).

8 T Tietojenkäsittelyteorian seminaari Yhden fotonin mittaus vaikuttaa toisen fotonin tilaan. Lisäksi, toisen fotonin lopputila riippuu valinnasta, minkä mittauksen teemme ensimmäiselle fotonille. Jos Alice seisoo lähellä ensimmäistä fotonia ja Bob seisoo lähellä toista fotonia, voisiko Alice lähettää välittömän signaalin Bobille valitsemalla mittauksen? Vastaus: Alice voi valita minkä mittuksen tekee, mutta ei voi vaikuttaa mittauksen tulokseen. Voidaan osoittaa, että tämä estää häntä käyttämästä fotonin lomittuneisuutta lähettääkseen signaalin Bobille.

9 T Tietojenkäsittelyteorian seminaari Standardikanta (,,, ) esittää tiettyä täydellistä mittausta fotoniparille. Mutta oletetaan, että haluamme tehdä vain mittauksen (, ) ensimmäiselle fotonille. Täytyy pystyä erottelemaan kaksi ensimmäistä kantaelementtiä kahdesta viimeisestä. Tässä tulevat apuun projektio-operaattorit. Tilan kertominen matriisilla P 1 = saa aikaan kahden fotonin tilan projisoinnin aliavaruuteen, jonka virittävät kaksi ensimmäistä kantavektoria.

10 T Tietojenkäsittelyteorian seminaari Vastaavasti tilan kertominen matriisilla P = saa aikaan kahden fotonin tilan projisoinnin aliavaruuteen, jonka virittävät kaksi jälkimmäistä kantavektoria.

11 T Tietojenkäsittelyteorian seminaari Määritelmä. N :n dimension vektoriavaruuteen vaikuttava projektio-operaattori P on N N -matriisi seuraavilla ominaisuuksilla: (i) P = P, (ii) P = P.

12 T Tietojenkäsittelyteorian seminaari Esimerkki. Olkoon s tilavektori N -ulotteisessa tila-avaruudessa. Matriisi P = s s on projektio-operaattori joka projisoi s :n virittämään aliavaruuteen (ks. perustelu kirja s.98).

13 T Tietojenkäsittelyteorian seminaari Esimerkki. Olkoot s (1) ja s () kaksi ortogonaalista tilaa N -ulotteisessa tila-avaruudessa. Yhdessä ne virittävät kaksiulotteisen aliavaruuden. Operaattori, joka projisoi tähän aliavaruuteen voidaan kirjoittaa P = s (1) s (1) + s () s ().

14 T Tietojenkäsittelyteorian seminaari Yleiset kvanttimekaaniset säännöt epätäydellisille mittauksille Järjestelmän tila-avaruus mielivaltaisen ulotteinen. 1. Mittaus esitetään projektio-operaattoreina M = (P 1,..., P n ) niin että i P i = I, identiteetti-operaattori.. Jos järjestelmän alkutila on s ja mittaus M suoritetaan, niin i. tuloksen todennäköisyys on p i = s P i s. 3. Jos alkutila on s ja i. tulos tapahtuu, systeemin lopputila on s i = P i s s Pi s.

15 T Tietojenkäsittelyteorian seminaari Esimerkki Fotonipari on alussa tilassa s = (1/ )( + ). Tehdään ensimmäiselle fotonille mittaus (, ). Mitkä ovat kahden tuloksen todennäköisyydet, ja kullekin tulokselle, mikä on fotoniparin lopputila?

16 T Tietojenkäsittelyteorian seminaari Projektio-operaattorit P 1 ja P kuten aikaisemmassa johdatuksessa. Säännön mukaan ensimmäisen tuloksen todennäköisyys on p 1 = ( Vastaavasti toisen tuloksen todennäköisyys on 1/ / ) = /

17 T Tietojenkäsittelyteorian seminaari Jos ensimmäinen tulos tapahtuu, niin säännön mukaan parin lopputila on / 1 s = = =. 1/ / 0 0 Siis mittaus ei vain jätä mitattua fotonia tilaan, vaan jättää myös toisen fotonin samaan tilaan.

18 T Tietojenkäsittelyteorian seminaari Esimerkki. Tarkastellaan seuraavaa epätäydellistä mittausta fotoniparille: P 1 = + P = + Mittaus kysyy onko kahdella fotonilla sama polarisaatio vai vastakkaiset polarisaatiot ilman että kultakin fotonilta kysyttäisiin sen oma polarisaatio. Olkoon tila s = 1 ( + ) eli sama mitä käytettiin aikaisemmissa esimerkeissä.

19 T Tietojenkäsittelyteorian seminaari Mittauksen tulosten todennäköisyydet ovat p 1 = s P 1 s = 1 ( + )( + ) ( + ) = 1 p 1 = s P s = 1 ( + )( + ) Ensimmäinen tulos siis tapahtuu. ( + ) = 0

20 T Tietojenkäsittelyteorian seminaari ensimmäinen tulos siis tapahtuu, ja fotonipari säännön mukaan jää tilaan s 1 = P 1 s s P1 s = s. Eli, mittaus ei ole muuttanut tilaa. Jos kunkin yksittäisen fotonin polarisaatiot olisi mitattu, se olisi muuttanut niiden tilaa. Tekemällä tämänkaltainen epätäydellinen mittaus, voidaan saada tietoa tilasta vaikuttamatta tilaan.

21 T Tietojenkäsittelyteorian seminaari Yhteenveto 1. Lomittuneissa järjestelmissä alijärjestelmän mittaus vaikuttaa myös järjestelmän toisen osan tilaan.. Voidaan tehdä myös epätäydellisiä mittauksia joissa systeemin tila ei muutu.