Y (s) = G(s)(W (s) W 0 (s)). Tarkastellaan nyt tilannetta v(t) = 0, kun t < 3 ja v(t) = 1, kun t > 3. u(t) = K p y(t) K I

Transkriptio

1 Aalto-yliopiston Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan systeemianalyysin laitos Mat Systeemien Identifiointi 6. harjoituksen ratkaisut. Laplace-tasossa saadaan annetulle venttiilille W (s) W (s) = G v (s)u(s) + V (s), missä V (s) on venttiilin paine-ero, W (s) virtaus W (s) virtaus tasapainotilassa. Olkoon y(t) = h(t) h pinnankorkeuden h(t) poikkeama halutusta referenssikorkeudesta h, jolloin pinnankorkeudelle pätee Y (s) = G(s)(W (s) W (s)). Tarkastellaan nyt tilannetta v(t) =, kun t < 3 v(t) =, kun t > 3. a) Käytä Simulink-mallia las6ta.mdl. Eli tässä asetetaan u(t) =. Havaitaan, että häiriö aiheuttaa systeemin tilaan pysyvän poikkeaman. b) Nyt asetetaan P-säädin, jolloin u(t) = K p y(t). Käytetään mallia las6t3b.mdl, jolloin nähdään, että kasvattamalla vahvistusta K p saadaan nopeampia säätimiä, mutta edelleen jää pysyvä poikkeama halutusta tasapainoarvosta. Huomataan myös, että isommat vahvistuksen arvot heiluttavat enemmän pinnankorkeutta, riittävän isolla vahvistuksella saadaankin epästabiili systeemi. c) Lisäämällä säätöön I-osa saadaan pysyvä poikkeama eliminoitua. Nyt siis u(t) = K p y(t) K I t t y(τ)dτ. Kokeilemalla löydetään, että esimerkiksi K p = 2 K I = saadaan stabiili säätö. K I = 7 tuottaa jo epästabiilin ratkaisun. d) Säädön stabiilisuutta voidaan parantaa lisäämällä vielä D-osa, jolloin u(t) = K p y(t) K I t dy(t) y(τ)dτ K D t dt D-osalla saadaan parannettua säädön stabiilisuutta. Käytännössä ongelma on se, että D-osa derivoi signaalia y, mikä vahvistaa kohinaa. Siten kohinaiselle datalle D-osa voi aheuttaa ongelmia k äytännössä. e) Simulink malli las6t3e.mdl sisältää nyt diskreettiaikaisen PID-säätimen. Kiinnitetään K p = K I = K D =.. Huomataan, että näytteenottovälin kasvattaminen hidastaa säätöä tekee siitä epästabiilimman..

2 f) Nyt siis u(t) = sin(ωt) tarkastellaan diskreettiä PID-säädintä. Pidetään samat säätimen parametriarvot kuin edellisessäkin kohdassa valitaan näytteenottoväliksi s. Kun valitaan esimerkiksi ω sopivasti huomataan, että säädin toimii huonosti, eikä se havaitse näin suuritaajuista häiriövärähtelyä, vrt. Nyquist taajuus. Pienitaajuisilla värähtelyillä säädin toimii huomattavasti paremmin. 2. G(s) = s(s + )s + 2) Käytettäessä PID-säädintä saadaan Laplace-tasossa ohukselle U(s) = (K p + K I s + K Ds)(Y (s) R(s), a) Valitaan siis K D = K I =. Esitetään systeemi ensin suljetun silmukan muodossa, eli upotetaan säädin systeemin siirtofunktioon, jolloin Y (s) = G(s)U(s) = G(s)K p (R(s) Y (s)), missä R(s) on referenssisignaali, jota Y (s):n halutaan seuraavan mahdollisimman tarkasti. Näin saadaan Y (s) = eli suljetun systeemin siirtofunktio on G c (s) = K p G(s) + K p K pg(s) + K p G(s) R(s), = K p s(s + )(s + 2) + K p. Siten systeemin juuret (siirtofunktion kan nollakohdat) saadaan karakteristisesta yhtälöstä s(s + )(s + 2) + K p =, jonka juuret piirtävät juuriuran kun K p :ta muutetaan. Ura voidaan piirtää Matlabissa suoraan funktiolla rlocus. Juuriurasta havaitaan, ett ä juuret voivat mennä oikeaan puolitasoon, jolloin systeemi on epästabiili. Ratkaistaan K p :n arvo, jolla systeemi menee epästabiiliksi. Lasketaan siis millä K p :n arvolla juuriura leikkaa imaginaariakselin, eli asetetaan karakteristisessa yhtälössä s = iω eli iω(iω + )(iω + 2) + K p = (iω) 3 + 3(iω) 2 + 2(iω) + K p = (K p 3ω 2 ) + (2ω ω 3 )i =, ω(2 ω 2 ) = ω = tai ω 2 = 2 K p = 3ω 2 K p = tai K p = 6. Nyt havaitaan pienellä päättelyllä tarkastelemalla juuriuraa, että stabiili ratkaisu saadaan, kun K p 6. 2

3 b) Asetetaan nyt K p = 6 lisätään säätimeen D-osa, jolloin josta Y (s) = G(s)(K p + K D s)(r(s) Y (s)), Y (s) = G(s)(K p + K d s) + (K p + K D s)g(s) = K p + K D s s(s + )(s + 2) + K p + K d s, eli karakteristinen yhtälö on s(s + )(s + 2) + K p + K D s =, missä K p = 6. Piirtämällä juuriura nähdään, että juuret pysyvät vasemmassa puolitasossa, eli D-osa stabiloi systeemiä. Huomaa kuitenkin. tehtävässä huomautettu käytännön aspekti - derivointi vahvistaa kohinaa. 3. a) Määritetään ensin suljetun silmukan systeemi kuvaamaan tilatakaisinkytkent ää. josta z-muuntamalla saadaan eli x(k + ) = Ax(k) + Bu(k) = (A BK)x(k), zx(z) = (A BK)X(z), (zi A + BK)X(z) =, systeemin karakteristinen yhtälö on siis det(zi A + BK) =. Auki kirjoittamalla tulee ( ) ( ) ( ) 2 ( ) det[z + k k 2 ] ( ) z + + k 2 + k = det 2 z = z 2 + ( + k )z k 2. Nyt halutaan, että karakteristsella yhtälöllä on kaksoisjuuri z =.5, eli, että karakteristinen yhtälö on josta nähdään, että eli (z.5) 2 = z 2 z +.25 =, + k = 2 + k 2 =.25, k = 2 k 2 =.75. 3

4 b) Nyt on siis tarkasteltavana tkuva-aikainen systeemi. Edellä diskreetissä tapauksessa z-muunnettiin, niin nyt tkuvassa maailmassa Laplace-muunnetaan suljetun silmukan tilayhtälö jolloin saadaan josta karakteriseksi yhtälöksi tulee ẋ = (A BK)x, sx(s) = (A BK)X(s), (si A + BK)X(s) =, det(si A + BK) =, auki kirjoittamalla saadaan ( ) ( ) ( ) s ( ) det + k k s ( ) s = det k s + k 2 Haluttu karakteristinen yhtälö on nyt = s 2 + k 2 s k =. (s i)(s i) = s s + 9. Nyt saadaan k = 29.6 k 2 = a) Systeemi voidaan kirjoittaa muodossa ḧ = g Ki2 hm di dt = Ri L + V L Ratkaistaan h :aa vastaavat tasapainoarvot i V yhtälöistä Mg Ki2 h = V = Ri, joista saadaan Mgh i = K V Mgh = R K. Sitten voidaankin linearisoida. Merkitään tilo Δh Δx = Δḣ, Δi 4

5 sisäänmenoa u = V. Derivoimalla saadaan linearisoiduksi systeemiksi missä A = Ki 2 2 Ki h 2 M h M R L B = Havaitaan korkeutta x, jolloin missä C = ( ) D =. b) Ohus u =, jolloin ẋ = Ax + Bu, L = = y = Cx + Du, sx(s) = AX(s), (si A)X(s) =, jolloin systeemin karakteristinen yhtälö on det(si A) =, eli kyse on totutusti matriisin A ominaisarvojen laskemisesta. Ne voidaan laskea numeerisesti vaikkapa Matlabin eig-funktiolla, joka antaa ominaisarvoiksi ( ),., joista yksi on oikeassa puolitasossa, jolloin systeemi on epästabiili. c) Tarkistetaan ohttavuus havaittavuus. Nyt Q c = ( B AB A 2 B ) 28 = 28 28, jonka rangi on selvästi n = 3. Havaittavuusmatriisiksi saadaan Q o = ( C A C A 2 C ) 98 =, 2.8 jonka rangi on n = 3. Siten systeemi on täyd. ohttava havaittava. Suljetun silmukan systeemin karakteristinen yhtälö on: det(si (A BK)) =. 5

6 Valitaan systeemin navoiksi esimerkiksi ± i 5. Matriisi K voitaisiin hakea kuten edellisessäkin tehtävässä, mutta se voidaan myös löytää suoraan Matlabin funktiolla place, jolloin saadaan K = ( ). d) Nyt tuodaan lisäksi systeemiin ulkoinen referenssisignaali r, jolla pyritään ohamaan järjestelmän toimintaa. Siten saamme systeemin ẋ = (A BK)x + Br Tällä säätimellä pyritään ohamaan systeemiä siten, että y = Cx = r. Oletettaessa, että r on vakio on myös x:n vakioiduttava. Siten josta mitattavaksi suureeksi saadaan ẋ = (A BK)x + Br =, x = (A BK) Br, y = Cx = C(A BK) Br. Haetaan skaalaustekijä siten, että sisäänmeno on sama kuin ulostulo, eli jolloin jotta tämä toteutuu on valittava Näillä merkinnöillä saadaan systeemi Simuloidaan tätä systeemiä. r = Ny, r = NC(A BK) Br, N = (C(A BK) B). ẋ = (A BK)x + BNr. e) Nyt kokeillaan mielivaltaista referenssisignaalia r. Käyttämällä skriptiä las6t4e.m nähdään, että säätö toimii jotenkuten, mutta ulostulon referenssitrajektorin väliin jää pieni poikkeama. 6