1 Perusteita lineaarisista differentiaaliyhtälöistä
|
|
- Leo Sipilä
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 1 Perusteita lineaarisista differentiaaliyhtälöistä Johdetaan lineaarisen aikavariantin systeemin ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), x(t 0 ) = x 0 yleinen ratkaisu. Tarkastellaan ensin homogeenistä yhtälöä. Lause 1.1. Alkuarvotehtävällä on olemassa yksikäsitteinen ratkaisu x(t) jokaisella x 0. Tod: Sivuutetaan. ẋ(t) = A(t)x(t), x(t 0 ) = x 0 (1) Lause 1.2. Olkoot vektorit e 1,...,e n kanonisia ortonormeerattuja kantavektoreita. Tehtävän ẋ i (t) = A(t)x i (t), x i (t 0 ) = e i ratkaisut x i (t) voidaan kooda ns. fundamentaalimatriisiksi ] Φ(t, t 0 ) = x 1 (t)... x n (t). Kaikilla ajan hetkillä t fundamentaalimatriisin Φ(t, t 0 ) sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomia. Tehtävän (1) ratkaisu voidaan kirjoittaa x(t) = Φ(t, t 0 )x 0. Tod: Olkoot τ kiinteä mutta mielivaltainen ajanhetki, ja c 1,...,c n mielivaltaisia kertoimia siten, että c 1 x 1 (τ) c n x n (τ) = 0. Asetetaan Silloin pätee y(t) = c 1 x 1 (t) c n x n (t). y(τ) = 0, ẏ(t) = A(t)y(t). Eräs ratkaisu tälle on y(t) 0. Koska ratkaisu oli yksikäsitteinen, on tämä myös ainoa ratkaisu. Silloin on oltava y(t 0 ) = c 1 e c n e n = 0, ja siten kaikki kertoimet c 1 =... = c n = 0. Näin ollen fundamentaaliratkaisut x i (t) ovat lineaarisesti riippumattomia kaikilla t. Fundamentaalimatriisille Φ(t, t 0 ) pätee (kierroksen 1 kotitehtävä) Φ(t, t 0 ) = A(t)Φ(t, t 0 ), Φ(t 0, t 0 ) = I, joten asettamalla saadaan x(t) = Φ(t, t 0 )x 0 ẋ(t) = Φ(t, t 0 )x 0 = A(t)Φ(t, t 0 )x 0 = A(t)x(t). 1
2 Huomaa, että joten x(t) = Φ(t, τ)x(τ) = Φ(t, τ)φ(τ, t 0 )x 0, t, τ, t 0, Φ(t, t 0 ) = Φ(t, τ)φ(τ, t 0 ) Φ(t, τ) = Φ(t, t 0 )Φ(τ, t 0 ) 1, koska fundamentaalimatriisi oli edellä osoitettu kääntyväksi. Todistetaan, että yleisen alkuarvotehtävän ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), x(t 0 ) = x 0 ratkaisu voidaan kirjoittaa muodossa Suoraan derivoimalla saadaan x(t) = Φ(t, t 0 )x 0 + t ẋ(t) = d dt Φ(t, t 0)x 0 + Φ(t, t)b(t)u(t) + t 0 Φ(t, τ)b(τ)u(τ) ds. t t t 0 d Φ(t, τ)b(τ)u(τ) dτ dt = A(t)Φ(t, t 0 )x 0 + B(t)u(t) + A(t)Φ(t, τ)b(τ)u(τ) dτ t 0 t ] = A(t) Φ(t, t 0 )x 0 + Φ(t, τ)b(τ)u(τ) dτ + B(t)u(t) t 0 = A(t)x(t) + B(t)u(t) ja koska myös alkuehto totetuu, on väite todistettu. Esim. Ratkaistavana ẋ(t) = ax(t) + bu(t) s.e. x(0) = x 0. Nyt Φ saadaan tehtävän ẋ = ax, x(t 0 ) = 1 ratkaisuna, eli Φ(t, t 0 ) = e a(t t 0). Saadaan siis x(t) = x 0 e at + b t 0 ea(t τ) u(τ)dτ. 2
3 2 Perusteita epälineaarisesta ohjelmoinnista 2.1 Välttämättömät ehdot optimointitehtävälle Rajoittamattoman optimointitehtävän min g(x) x R n välttämätön optimaalisuusehto lokaalille optimille on g(x) = 0. Ehto on riittävä lokaalille x optimille, kun Hessen matriisi 2 g(x) on positiivisesti definiitti. Ehto on riittävä globaalille x 2 optimille silloin, kun f on konveksi funktio. Rajoitettu tehtävä: min g(x) s.e. f(x) = 0 ja h(x) 0, missä f(x) R m 1 ja h(x) R m 2. Tehtävän Lagrangen funktio on L(x, µ, λ) = g(x) + λ T f(x) + µ T h(x), missä Lagrangen kertoimet λ R m 1 ja µ R m 2. Tehtävän välttämätön optimaalisuusehto lokaalille optimille on L(x, µ, λ) x = 0 ja µ T h(x) = 0, µ 0. Lisäksi optimin on oltava käypä. Ehto on välttämätön kun rajoitteet ovat riittävän säännöllisiä. Rajoitteilta siis vaaditaan lisäominaisuuksia, kuten se, että sekä kaikkien rajoitteiden gradientit ovat optimissa lineaarisesti rippumattomia. Ehto on riittävä, kun L:n Hessen matriisi (x:n suhteen) on positiivisesti definiitti optimissa. 2.2 Diskreettiaikaisen tehtävän välttämättömät ehdot Johdetaan ensiksi välttämättömät ehdot diskreettiaikaiselle optimisäätötehtävälle. Tilayhtälö on x k+1 = f k (x k, u k ), k = 1,...,N 1 alkuehdolla x 1 = x 0 1, ja tavoite on maksimoida kohdefunktio J(u) = g N (x N ) + N 1 k=1 g k (x k, u k ). Tehtävä voidaan ajatella epälineaarisena optimointitehtävänä, jossa optimoidaan tilamuuttujien ja ohjausmuuttujien suhteen ja tilayhtälöt ovat yhtälörajoitteita. Tehtävän Lagrangen funktio määritellään Lagrangen kertoimien λ k avulla: L(x, λ) = g N (x N ) + N 1 k=1 { gk (x k, u k ) λ k+1 xk+1 f k (x k, u k ) ]}. 3
4 Mikäli tehtävän ohjaukset u k ovat rajoittamattomia, niin välttämättömät ehdot ekstremaalille ovat L = 0, k = 2,...,N (2) L u k = 0, k = 1,...,N 1 (3) Lisäksi vaaditaan tilayhtälöiden (eli yhtälörajoitteiden) toteutuminen. Tilayhtälöt huomioiden saadaan yhteensä 3N 3 yhtälöä yhtä monelle tuntemattomalle x 2,...,x N, u 1,..., u N 1,...,λ 2,...,λ N. (4) Yhtälö (2) antaa eli Yhtälöstä (3) saadaan g k + λ k+1 f k λ k = 0 λ k = g k + λ k+1 f k, k = 2,...,N. (5) g k u k + λ k+1 f k u k = 0, k = 1,..., N 1. (6) Eliminoimalla λ k+1 yhtälöstä (5) ja sijoittamalla se yhtälöön (6) saadaan differenssiyhtälö x k :lle ja u k :lle optimissa. Tätä yhtälöä kutsutaan joskus Eulerin ehdoksi. Kyseinen välttämätön ehto vastaa jatkuvan ajan systeemien Eulerin yhtälöä, siitä nimitys. Välttämättömät ehdot voidaan kirjoittaa myös käyttäen Hamiltonin funktiota H k (x k, u k, λ k+1 ) g k (x k, u k ) + λ k+1 f k (x k, u k ), (7) jolloin välttämättömät ehdot muuttuvat muotoon x k+1 = f k (x k, u k ), k = 1,...,N 1 (8) λ k = H k(x k, u k, λ k+1 ), k = 2,..., N (9) 0 = H k(x k, u k, λ k+1 ) u k, 1 = 2,..., N 1. (10) Jos ohjaukset olisivatkin rajoitettuja, voitaisiin todistaa diskreetti versio Pontryaginin minimiperiaatteesta. Tämä korvaisi ehdon (6). Esim. diskreetin ajan tilasäätäjäongelma Tilayhtälö: x k+1 = A k x k + B k u k, k = 0,..., N 1 alkuehdolla x 0 = x 0 ja lopputila vapaa, ts. g N 0. Kohdefunktionaali on min J = 1 2 N 1 k=0 x T k+1 Q k+1 x k+1 + u T k R ku k ]. 4
5 Erityisesti on oltava Tilasäätäjäongelman Hamiltonin funktio on λ N = 1 ] x T 2 x N Q N x N = QN x N. N H k (x k, u k, λ k+1 ) = 1 2 x T k+1 Q k+1 x k+1 + u T k R k u k ] + λ T k+1 A k x k + B k u k ] = 1 ] (Ak x k + B k u k ) T Q k+1 (A k x k + B k u k ) + u T k R k u k 2 +λ T k+1 A kx k + B k u k ] Ohjaus on rajoittamaton, joten optimaalinen ohjaus saadaan ratkaistua yhtälöstä H k u k = B T k Q k+1a k x k + B T k Q k+1b k u k + R k u k + B T k λ k+1 = B T k Q k+1(a k x k + B k u k ) + R k u k + B T k λ k+1 = B T k Q k+1 x k+1 + R k u k + B T k λ k+1 = 0, eli optimiohjaus on Liittotilayhtälöstä saadaan u k = R 1 k BT k Q k+1x k+1 + λ k+1 ]. λ k = H k = A T k Q k+1a k x k + A T k Q k+1b k u k + A T k λ k+1 ] = A T k Qk+1 (A k x k + B k u k ) + λ k+1 = A T k Qk+1 x k+1 + λ k+1 ]. Tehdään oletus, jonka mukaan liittotila on muotoa jollakin matriiseilla K k. Silloin optimiohjaus on muotoa ja sijoittamalla tilayhtälöihin saadaan josta seuraa Vastaavasti liittotilayhtälöistä saadaan λ k = (K k Q k )x k, (11) u k = R 1 k BT k K k+1x k+1 (12) x k+1 = A k x k B k R 1 k BT k K k+1x k+1, (13) Λ k x k+1 I + B k R 1 k BT k K k+1] xk+1 = A k x k. (14) λ k = A T k K k+1x k+1, (15) joten (K k Q k )x k = A T k K k+1 x k+1. (16) 5
6 Jos nyt matriisi Λ k on säännöllinen niin Λ 1 k on olemassa, ja voidaan kirjoittaa: x k+1 = Λ 1 k A kx k. (17) Sijoittamalla tämä yhtälöön (16) saadaan Kk Q k ] xk = A T k K k+1λ 1 k A k] xk. (18) Koska yhtälön (18) tulee toteutua kaikilla x k, niin on oltava Lisäksi, koska λ N = Q N x N niin silloin K k = Q k + A T k K k+1λ 1 k A k. (19) K N = 2Q N. (20) Tästä rekursiosta voidaan ratkaista K k :t. Nyt ollaan saatu takaisinkytketty optimiohjaus u k = R 1 k BT k K k+1λ 1 k A kx k. (21) Tällöin jokaisella ajan hetkellä ohjauksen laskemiseksi joudutaan ratkaisemaan lineaarinen yhtälöryhmä. Lainataan seuraava matriisien inversiolemma: Lemma 2.1. Olkoot I n yksikkömatriisi kokoa n n, S ja T matriiseja kokoa n r ja r n. Silloin: (I n + ST T ) 1 = I n S(I r + T T S) 1 T T, jos käänteismatriisit ovat olemassa. Todistus. Laskemalla (I + ST T )(I S(I + T T S) 1 T T ) =... = I. Sijoittamalla lemmaan S = B k ja T T = R 1 k BT k K k+1 saadaan Λ 1 k = I B k (I r + R 1 k BT k K k+1 B k ) 1 R 1 k BT k K k+1 = I B k Rk (I r + R 1 k BT k K k+1b k )] 1 B T k K k+1 = I B k Rk + B T k K k+1b k ] 1 B T k K k+1. Nyt riittää ratkaista r r yhtälöryhmä. Jos ohjausvektorin dimensio r on pienempi kuin tilavektorin dimensio n, niin säästyy laskenta-aikaa. Merkitään ja nyt ratkaisu voidaan kirjoittaa P k R k + B T k K k+1b k ] 1 B T k (22) x k+1 u k = (I B k P k K )A k x k = R 1 k BT k K ] k+1 I Bk P k K k+1 Ak x k K k = Q k + A T k K ] k+1 I Bk P k K k+1 Ak, K N = 2Q N P k = R k + B T k K k+1b k ] 1 B T k. 6
7 3 Tilayhtälöiden numeerinen ratkaiseminen Alkuarvotehtävässä halutaan ratkaista lopputila x(t f ) siten, että tilayhtälöt ẋ = f(x,u, t) toteutuvat, kun alkutila x 0 ja ohjaus u on annettu Tilayhtälöiden numeerinen integrointi voidaan suorittaa joko yksi- tai moniaskelmenetelmillä Yksiaskelmenetelmissä tilayhtälöt integroidaan askeleen h i = t i+1 t i yli alkutilasta x i x(t i ) x i+1 = x i + ti+1 t i ẋdt = x i + ti+1 Integraalin määrittämiseksi askel h i jaetaan k:hon osaan t i f(x,u, t)dt τ j = t i + h i ρ j, 0 ρ 1... ρ k 1 Välivaiheiden jälkeen saadaan joukko yksiaskelmenetelmiä, joita kutsutaan k-vaiheisiksi Runge-Kutta menetelmiksi ja joiden globaali virhe O(h p ). Määritellään f i f(x(t i ),u(t i ), t i ) sekä u i+1 u(t i + h i /2). Eulerin menetelmä (eksplisiittinen, k = 1, p = 1) x i+1 = x i + h i f i Hermite-Simpson menetelmä (implisiittinen, k = 3, p = 4) x i+1 = 1 2 (x i + x i+1 ) + h i 8 (f i f i+1 ) ( f i+1 = f x i+1,u i+1, t i + h ) i 2 x i+1 = x i + h i 6 (f i + 4f i+1 + f i+1 ) Puolisuunnikasmenetelmä (implisiittinen, k = 2, p = 2) x i+1 = x i + h i 2 (f i + f i+1 ) Klassinen Runge-Kutta menetelmä (eksplisiittinen, k = 4, p = 4) k 1 = h i f(x i,u i, t i ) ( k 2 = h i f x i k 1,u i+1, t i + h ) i 2 ( k 3 = h i f x i k 2,u i+1, t i + h ) i 2 k 4 = h i f(x i + k 3,u i+1, t i+1 ) x i+1 = x i (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) 7
8 Eksplisittisten menetelmien etu on, että x i+1 saadaan laskettua suoraan x i :n sekä ohjausten funktiona Eksplisiittiset menetelmät voivat olla toisaalta epästabiileja Differentiaaliyhtälön ẋ = 1000x Eulerin diskretointi x k+1 = x k 1000hx k x k = (1 1000h) k x 0 Jotta numeerinen ratkaisu konvergoisi tarkkaan ratkaisuun x(t) = e 1000t x 0 0, vaaditaan h < 1, eli h 1/500 Implisiittisissä menetelmissä riippuvuus x i+1 :stä on usein epälineaarinen Esimerkiksi implisiittisessä Eulerin menetelmässä vaaditaan epälineaarisen yhtälön ratkaisemista ζ i x i+1 x i + h i f(x i+1,u i+1, t i+1 ) = 0 Yhtälön ratkaisemiseksi vaadittavia iteraatioita kutsutaan korjausiteraatioiksi, kun taas alkuyrite tuotetaan ns. ennustusaskeleella Implisiittiset menetelmät ovat stabiileja Em. differentiaaliyhtälölle implisiittinen Eulerin diskretointi x k+1 = x k 1000hx k+1 x k = ( h) k x 0, joten menetelmä on stabiili (x 0 kaikilla h > 0) 1 h = 1/ Implisiittinen Euler Tarkka ratkaisu Eksplisiittinen Euler
9 Moniaskelmenetelmien yleinen muoto k 1 x i+k = α j x i+j + h j=0 k β j f i+j missä α j ja β j ovat tunnettuja vakioita. Jos β k = 0, menetelmä on eksplisiittinen, muuten implisiittinen. Adamsin menetelmissä tilayhtälöitä f(t) approksimoidaan interpolanteilla pisteissä {(x q (t i ), f q (t i )) i = l k + 1,..., l; q = 1,..., n} Lisävaatimuksia yksiaskelmenetelmiin nähden Moniaskelmenetelmä vaatii tietoa k 1 edeltävästä pisteestä, joten menetelmä täytyy alustaa esim. jollain yksiaskelmenetelmällä Moniaskelmenetelmässä oletetaan, että askelpituus h on vakio: tarkkuus? j=0 9
10 4 Johdanto kollokaatiomenetelmiin 4.1 Funktionaaliyhtälöiden ratkaiseminen Olk. y : A R n, A R m, merkitään y:n argumenttia t:llä y(t). Ratkaistavana on funktionaaliyhtälö F(y) = 0, missä y kuuluu funktioavaruuteen Y 1 ja F(y) funktioavaruuteen Y 2. Esim. 1. Kun halutaan ratkaista differentiaaliyhtälösysteemi ẋ = f(x, t) kaikilla t t 1, t 2 ], niin F(x)(t) = ẋ(t) f(x, t). Esim. 2. Ratkaistaan arvofunktiota kiinnitetyillä ohjauksilla V (x) Bellmanin yhtälössä. Tällöin F(V )(x) = V (x) g(x, u)+αv (f(x, u))]. Tämä on osaongelma Bellmanin yhtälön numeerisessa ratkaisemisessa ns. politiikkaiteraatiolla. Muodostetaan y:lle approksimaatio kantafunktioiden φ i : A R n, i = 1,..., k, avulla: ỹ(t) = c i φ i (t). Tavoitteena on löytää sellainen ỹ, joka ratkaisee yhtälön F(y) = 0 mahdollisimman tarkasti. Siis haetaan parametreja c i. Arviodaan sovituksen hyvyyttä käyttämällä kriteerinä residuaalifunktiota R(t; c) = F(ỹ)(t), missä c = (c 1,...,c k ). Kollokaatiomenetelmässä haetaan c siten että R(t; c) = 0 toteutuu mahdollisimman hyvin (ellei tarkasti) valituissa kollokaatiopisteissä t 1,...,t p. Kollokaatiomenetelmää käytettäyessä tulee 1. valita sopivat kantafunktiot, 2. kollokaatiopisteet ja 3. menetelmä c:n ratkaisemiseksi. 1. Kantafunktioiden valinta: Kantafunktioiden on oltava riittävän joustavia tehtävän tarpeisiin. Funktiomuodon oltava mieluiten sellainen, että tulokset ovat hyviä pienellä määrällä kantafunktioita. Kun approksimoitava muuttuja on yksidimensioinen, niin usein hyvä valinta on nk. Chebyshevin polynomit. 2. Kollokaatiopisteiden valinta: Yksidimensioisessa tapauksessa ns. Chebyshevin kollokaatiopisteet ovat usein hyvä valinta. 3. Menetelmä parametrien ratkaisemiseksi: Kun kollokaatiopisteitä on sama määrä kuin kantafunktioita, voidaan kertoimet c ratkaista kollokaatioehdoista syntyvästä yhtälöryhmästä. Kun kantafunktioita on vähemmän kuin kollokaatiopisteitä, voidaan c ratkaista esim. pienimmän neliösumman menetelmällä. 4.2 Tilamuuttujan approksimointi polynomeilla Approksimoidaan tilayhtälöiden ẋ = f(x, t) ratkaisua välillä t 1, t 2 ] astetta p olevalla polynomilla (kantafunktiot polynomeja) x(t) = c 0 + c 1 (t t 1 ) + c 2 (t t 1 ) c k (t t 1 ) p, missä c i R n ja n on x(t):n dimensio. Residuaalifuntio on siis R(τ; c) = d x (τ) f x(τ), τ]. dt 10
11 Vaaditaan, että R(τ j ; c) = 0 toteuttuu kollokaatiopisteissä τ j (t 1, t 2 ), j = 1,...,k (kollokaatioehdot). Lisäksi vaaditaan, että x(t i ) x i = 0. Lobatton menetelmissä välin pääte- ja sisäpisteet kollokaatiopisteitä Gaussin menetelmissä vain sisäpisteet kollokaatiopisteitä Radaun menetelmissä vain toinen päätepiste on kollokaatiopiste Runge-Kutta menetelmistä puolisuunnikasmenetelmä ja Hermite-Simpson ovat Lobatton menetelmiä Puolisuunnikas: p = 2, kollokaatio alku- ja loppupisteessä Hermite-Simpson: p = 3, kollokaatio alku-, keski- ja loppupisteessä 11
Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Johdetaan ensiksi välttämättömät ehdot diskreettiaikaiselle optimisäätötehtävälle.
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 9 1. Johdetaan ensiksi välttämättömät ehdot diskreettiaikaiselle optimisäätötehtävälle. Tilayhtälö on x k+1 = f k (x k, u k ), k = 1,..., N 1 alkuehdolla
Lisätiedot3 Tilayhtälöiden numeerinen integrointi
3 Tlayhtälöden numeernen ntegront Alkuarvotehtävässä halutaan ratkasta lopputla xt f ) sten, että tlayhtälöt ẋ = fx,u, t) toteutuvat, kun alkutla x 0 on annettu Tlayhtälöden numeernen ntegront vodaan suorttaa
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 12 To 13.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To 13.10.2011 p. 1/38 p. 1/38 Tavalliset differentiaaliyhtälöt Yhtälöissä tuntematon funktio Tavalliset
Lisätiedot12 Jatkuva-aikaisten tehtävien numeerinen ratkaiseminen
12 Jatkuva-aikaisten tehtävien numeerinen ratkaiseminen Ratkaisumenetelmät jaetaan epäsuoriin ja suoriin menetelmiin Epäsuora menetelmä yrittää ratkaista Pontryaginin minimiperiaatteen mukaiset vättlämättömät
LisätiedotOptimaalisuusehdot. Yleinen minimointitehtävä (NLP): min f(x) kun g i (x) 0 h j (x) = 0
Optimaalisuusehdot Yleinen minimointitehtävä (NLP): min f(x) kun g i (x) 0 h j (x) = 0 i = 1,..., m j = 1,..., l missä f : R n R, g i : R n R kaikilla i = 1,..., m, ja h j : R n R kaikilla j = 1,..., l
Lisätiedotmin x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4
LisätiedotLuento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa
Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon
LisätiedotLuento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät
Luento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät ja sisäpistemenetelmät Lagrangen välttämättömien ehtojen ratkaiseminen Newtonin menetelmällä Jos tehtävässä on vain yhtälörajoituksia, voidaan minimipistekandidaatteja
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden
Lisätiedot[xk r k ] T Q[x k r k ] + u T k Ru k. }.
Mat-2.48 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 3. Johdetaan lineaarisen aikainvariantin seurantatehtävän yleinen ratkaisu neliöllisellä kustannuksella. Systeemi: x k+
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
Lisätiedot5 Differentiaaliyhtälöryhmät
5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =
LisätiedotAmazon.com: $130,00. Osia, jaetaan opetusmonisteissa
1 Kurssin käytännön järjestelyt Luennot (12 kpl) tiistaisin klo 9 12 luokassa Y313 Luennoitsija TkT Mitri Kitti Vastaanotto luentojen yhteydessä email: mitri.kitti@hse.fi Luentomoniste kurssin verkkosivuilla
LisätiedotLuento 10: Optimointitehtävien numeerinen ratkaiseminen; optimointi ilman rajoitusehtoja
Luento 10: Optimointitehtävien numeerinen ratkaiseminen; optimointi ilman rajoitusehtoja Seuraavassa esitetään optimointitehtävien numeerisia ratkaisumenetelmiä, eli optimointialgoritmeja, keittokirjamaisesti.
LisätiedotJos siis ohjausrajoitusta ei olisi, olisi ratkaisu triviaalisti x(s) = y(s). Hamiltonin funktio on. p(0) = p(s) = 0.
Mat-.148 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 1 1. Olkoon maaston korkeus y(s) derivoituva funktio ja etsitään tien profiilia x(s). Päätösmuuttuja on tien jyrkkyys
Lisätiedotb 1. b m ) + ( 2b Ax) + (b b)
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-9 Optimointioppi Kimmo Berg 5 harjoitus - ratkaisut min Ax b (vertaa PNS-tehtävät) a x + + a n x n a) Ax b = a m x + + a mn x n = x a a m }{{}
Lisätiedot13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
Lisätiedotk = 1,...,r. L(x 1 (t), x
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 6 1. Johdetaan välttämättömät ehdot funktionaalin J(y) = t g(y(t), ẏ(t),..., dr y(t), t) dt dt r ekstremaalille, kun
Lisätiedotv AB q(t) = q(t) v AB p(t) v B V B ṗ(t) = q(t) v AB Φ(t, τ) = e A(t τ). e A = I + A + A2 2! + A3 = exp(a D (t τ)) (I + A N (t τ)), A N = =
Mat-214 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti Mallivastaukset kierros 1 1 a) Sekoitussäiliöön A virtaa puhdasta vettä virtauksella v A säiliöstä A säiliöön B täysin sekoittunutta liuosta virtauksella v AB
Lisätiedot1 Rajoitettu optimointi I
Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali II-1 1 Rajoitettu optimointi I 1.1 Tarvittavaa osaamista Matriisit ja vektorit, matriisien de niittisyys Derivointi (mm. ketjusääntö, Taylorin kehitelmä) Implisiittifunktiolause
LisätiedotMat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 1
Mat-214 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 1 1 a) Sekoitussäiliöön A virtaa puhdasta vettä virtauksella v A, säiliöstä A säiliöön B täysin sekoittunutta liuosta virtauksella v AB ja säiliöstä
LisätiedotMat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Johdetaan välttämättömät ehdot funktionaalin. g(y(t), ẏ(t),...
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 6 1. Johdetaan välttämättömät ehdot funktionaalin J(y) = g(y(t), ẏ(t),..., dr y(t), t) dt dt r ekstremaalille, kun ja t f ovat kiinteitä ja tiedetään
LisätiedotDynaamisten systeemien teoriaa. Systeemianalyysilaboratorio II
Dynaamisten systeemien teoriaa Systeemianalyysilaboratorio II 15.11.2017 Vakiot, sisäänmenot, ulostulot ja häiriöt Mallin vakiot Systeemiparametrit annettuja vakioita, joita ei muuteta; esim. painovoiman
LisätiedotHarjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien
Lisätiedot6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.
1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
Lisätiedot6 Variaatiolaskennan perusteet
6 Variaatiolaskennan perusteet Sivut ss. 22 26 pääosin lähteen [Kirk, Ch. 4, ss. 107 127] pohjalta Variaatiolaskenta keskittyy lokaaliin analyysiin eli funktion lokaalin minimin vastineisiin funktionaaleilla.
Lisätiedot12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa
179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
Lisätiedot2v 1 = v 2, 2v 1 + 3v 2 = 4v 2.. Vastaavasti ominaisarvoa λ 2 = 4 vastaavat ominaisvektorit toteuttavat. v 2 =
TKK, Matematiikan laitos Pikkarainen/Tikanmäki Mat-1.1320 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 12, A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä 21. 25.4.2008, viikko
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 15. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä Lagrangen kerroin ja varjohinta
Talousmatematiikan perusteet: Luento 15 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä Lagrangen kerroin ja varjohinta Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden rajoittamatonta optimointia:
LisätiedotKonjugaattigradienttimenetelmä
Konjugaattigradienttimenetelmä Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Konjugaattigradienttimenetelmä Oletukset Matriisi A on symmetrinen: A T = A Positiivisesti definiitti: x T Ax > 0 kaikille x 0
Lisätiedot, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
LisätiedotMat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 11
Mat-.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 11 1. Olkoon tehtaan tuotanto x(t) ajan hetkellä t ja investoitava osuus tuotannosta u(t). Tehdasta kuvaa systeemiyhtälö ẋ(t) = u(t)x(t) x() = c
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 7. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 7 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 1 / 43 Luennon 7 sisältö Interpolointi ja approksimointi Interpolaatiovirheestä Paloittainen
Lisätiedotx = ( θ θ ia y = ( ) x.
Aalto-yliopiston Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan systeemianalyysin laitos Mat-2429 Systeemien Identifiointi 5 harjoituksen ratkaisut Esitetään ensin systeemi tilayhtälömuodossa Tiloiksi valitaan
Lisätiedot4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.
Lisätiedot. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että
LisätiedotOsakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016
Osakesalkun optimointi Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Artikkeli Gleb Beliakov & Adil Bagirov (2006) Non-smooth optimization methods for computation of the Conditional Value-at-risk and portfolio optimization.
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotMat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko
LisätiedotMat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 3
Mat-2.48 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 3. Johdetaan lineaarisen aikainvariantin seurantatehtävän yleinen ratkaisu neliöllisellä kustannuksella. Systeemi: Kustannusfunktio: J = 2 xt NHx
Lisätiedot(s 2 + 9)(s 2 + 2s + 5) ] + s + 1. s 2 + 2s + 5. Tästä saadaan tehtävälle ratkaisu käänteismuuntamalla takaisin aikatasoon:
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2429 Systeemien Identifiointi 2 harjoituksen ratkaisut Yhtälö voitaisiin ratkaista suoraankin, mutta käytetään Laplace-muunnosta tehtävän ratkaisemisessa
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016
LisätiedotLuento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.
Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista x + αd, α 0, on pisteestä x R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin
LisätiedotMat Työ 1: Optimaalinen lento riippuliitimellä
Mat-2.132 Työ 1: Optimaalinen lento riippuliitimellä Miten ohjaan liidintä, jotta lentäisin mahdollisimman pitkälle?? 1 työssä Konstruoidaan riippuliitimen malli dynaamisen systeemin tilaesitys Simuloidaan
LisätiedotKKT: log p i v 1 + v 2 x i = 0, i = 1,...,n.
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.139 Optimointioppi Kimmo Berg 7. harjoitus - ratkaisut 1. Oletetaan aluksi, että epäyhtälöt eivät ole aktiivisia p i > 0. Tässä tapauksess KKTehdot
Lisätiedot1 Di erentiaaliyhtälöt
Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y
Lisätiedotk=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu
LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja
LisätiedotOsa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot
Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto
LisätiedotDI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 13: ti klo 13:00-15:30 ja to 1.4.
DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 3: ti 33 klo 3:-5:3 ja to 4 klo 9:5-: Käydään läpi differentiaaliyhtälöitä Määritelmä Olkoon A R n n (MatLab:ssa
Lisätiedot2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.
2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x
Lisätiedot2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo
2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo Ratkaisun olemassaolon tutkimiseen tarvitaan perustietoja konvekseista joukoista ja lineaarialgebrasta. Niitä tarvitaan myös ratkaisualgoritmin ymmärtämiseen. Tutkitaan
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 3.2.27 Tehtävä. Valmisohjelmistolla voidaan ratkaista tehtävä min c T x s. t. Ax b x, missä x, c ja b R n ja A R m n. Muunnetaan tehtävä max x + 2x 2 + 3x 3 + x s. t. x + 3x 2 + 2x
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 5 Ti 20.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 5 Ti 20.9.2011 p. 1/40 p. 1/40 Choleskyn menetelmä Positiivisesti definiiteillä matriiseilla kolmiohajotelma
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta
Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden
LisätiedotMat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ
Mat-48 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ L ẋ = x ẋ = g L sin x rx Epälineaarisen systeemin tasapainotiloja voidaan
LisätiedotFunktioiden approksimointi ja interpolointi
Funktioiden approksimointi ja interpolointi Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics interpolaatio-ongelma 8 Eksponenttifunktion exp(x) interpolointi 3.5 Funktion e^{0.25x} \sin(x) interpolointi 7 3
LisätiedotTaustatietoja ja perusteita
Taustatietoja ja perusteita Vektorit: x R n pystyvektoreita, transpoosi x T Sisätulo: x T y = n i=1 x i y i Normi: x = x T x = ni=1 x 2 i Etäisyys: Kahden R n :n vektorin välinen etäisyys x y 1 Avoin pallo:
LisätiedotVakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 29 Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä Todetaan ensin ilman todistuksia (tulos on syvällinen) ratkaisujen
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotACKERMANNIN ALGORITMI. Olkoon järjestelmä. x(k+1) = Ax(k) + Bu(k)
ACKERMANNIN ALGORITMI Olkoon järjestelmä x(k+1) = Ax( + Bu( jossa x( = tilavektori (n x 1) u( = ohjaus (skalaari) A (n x n matriisi) B (n x 1 matriisi) Oletetaan, että ohjaus u( = Kx( on rajoittamaton.
LisätiedotMatemaattinen Analyysi / kertaus
Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen
Lisätiedot2 Osittaisderivaattojen sovelluksia
2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä
Lisätiedot17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.
99 17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Differentiaaliyhtälön x'(t) = f(x(t),t), x(t) n määrittelemän systeemin sanotaan olevan autonominen, jos oikea puoli ei eksplisiittisesti riipu
LisätiedotYhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma
LisätiedotFinanssimaailman ongelmien ratkaiseminen epäsileän optimoinnin keinoin. Markus Harteela Turun yliopisto
Finanssimaailman ongelmien ratkaiseminen epäsileän optimoinnin keinoin Markus Harteela Turun yliopisto huhtikuu 2016 1 Johdanto Tämä työ on kurssin Epäsileä Optimointi harjoitustyö ja se perustuu artikkeliin
LisätiedotReuna-arvotehtävien ratkaisumenetelmät
Reuna-arvotehtävien ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Malliprobleema Kahden pisteen reuna-arvotehtävä u (x) = f (x) (1) u() = u(1) = Jos u C ([,1]) ratkaisu, niin missä x u(x)
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotKäänteismatriisi 1 / 14
1 / 14 Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella
LisätiedotLUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto
LUKU 7 Perusmuodot 7 Ensimmäinen perusmuoto Määritelmä 7 Olkoon ϕ: U R 3 tilkku Määritellään funktiot E, F, G: U R asettamalla (7) E := ϕ ϕ, F := ϕ, G := ϕ u u u u Funktiot E, F G ovat tilkun ϕ ensimmäisen
Lisätiedoty + 4y = 0 (1) λ = 0
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen
LisätiedotBM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
LisätiedotOsakesalkun optimointi
Osakesalkun optimointi Anni Halkola Epäsileä optimointi Turun yliopisto Huhtikuu 2016 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Taustatietoja 2 3 Laskumetodit 3 3.1 Optimointiongelmat........................ 4 4 Epäsileän
Lisätiedot1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:
1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n
LisätiedotLineaarinen toisen kertaluvun yhtälö
Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y
Lisätiedoty (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöiden numeerinen ratkaiseminen
Differentiaaliyhtälöiden numeerinen ratkaiseminen Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Alkuarvotehtävä Tavallisen differentiaaliyhtälön alkuarvotehtävä: Määrää reaaliarvoinen funktio y C 1 (I) siten,
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotLuento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.
Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista. + αd, α 0, on pisteessä R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin 2
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
LisätiedotLuento 2: Liikkeen kuvausta
Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 Korkeamman asteen derivaatat Tutkitaan nyt funktiota f, jonka kaikki derivaatat on olemassa. Kuten tunnettua, funktion toista derivaattaa pisteessä x merkitään f (x).
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet
ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A27 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 2.2, 28, arvosteluperusteet T Moniosaisten tehtävien osien painoarvo on sama ellei muuta ole erikseen osoitettu. Kokeessa
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Laskuharjoitus 4 / vko 40
Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Laskuharjoitus 4 / vko 40 Alkuviikolla harjoitustehtäviä lasketaan harjoitustilaisuudessa. Loppuviikolla näiden harjoitustehtävien tulee olla ratkaistuina harjoituksiin
LisätiedotKohdeyleisö: toisen vuoden teekkari
Julkinen opetusnäyte Yliopisto-opettajan tehtävä, matematiikka Klo 8:55-9:15 TkT Simo Ali-Löytty Aihe: Lineaarisen yhtälöryhmän pienimmän neliösumman ratkaisu Kohdeyleisö: toisen vuoden teekkari 1 y y
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 9 Ti 4.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti 4.10.2011 p. 1/44 p. 1/44 Funktion approksimointi Etsitään p siten, että p f, mutta ei vaadita, että
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
Lisätiedot