Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.

Transkriptio

1 Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y < 5. 3 Kaikilla x ja y pätee x y x y. Pekka Salmi FUNK 5. syyskuuta / 44

2 Kolmioepäyhtälö Lause (Kolmioepäyhtälö) Kaikilla x, y R pätee x + y x + y. x + y y x Vektorin x + y pituus on enintään yhtäsuuri kuin vektoreiden x ja y pituuksien summa. Pekka Salmi FUNK 5. syyskuuta / 44

3 Kolmioepäyhtälön perustelu Todistus Lemman nojalla x x x ja y y y. Summaamalla nämä epäyhtälöt saadaan ( x + y ) x + y x + y. Täten jälleen Lemman nojalla. x + y x + y Pekka Salmi FUNK 5. syyskuuta / 44

4 Esimerkki Oletetaan että x ja y toteuttavat arviot x 1 < 2 ja y 1 < 3. Tällöin x y = x y ey x y = x 1 + y 1 < = 5. Geometrinen tulkinta: x:n etäisyys luvusta 1 on alle 2 yksikköä ja y:n etäisyys luvusta 1 alle 3 yksikköä. Siis lukusuoralla x ja y sijoittuvat seuraavasti: x y Tästä voidaan päätellä että x:n ja y:n välisen etäisyyden täytyy olla alle 5 yksikköä. Pekka Salmi FUNK 5. syyskuuta / 44

5 Käänteinen kolmioepäyhtälö eli ey:n vasen puoli Lause (Käänteinen kolmioepäyhtälö) Kaikilla x, y R pätee x y x + y. Yhdistettynä kolmioepäyhtälöön saadaan, että kaikilla x, y R pätee seuraavat arviot: Täydellinen kolmioepäyhtälö x y x ± y x + y Pekka Salmi FUNK 5. syyskuuta / 44

6 Käänteisen kolmioepäyhtälön perustelu Todistus Kolmioepäyhtälön nojalla x = x + y y ey x + y + y = x y x + y. Vastaavasti y = y + x x ey y + x + x = y x x + y. Täten joten x + y x y x + y x y x + y. Lemman nojalla. Pekka Salmi FUNK 5. syyskuuta / 44

7 Arviointia Esimerkki Olkoon a, b R joista tiedetään että a 1 ja b 2. Osoitetaan että tällöin a 2 b 2 3 a b. Kolmioepäyhtälön nojalla a 2 b 2 = (a + b)(a b) = a + b a b ey ( a + b ) a b 3 a b. Pekka Salmi FUNK 5. syyskuuta / 44

8 Arviointia 2 Esimerkki Mitä voidaan sanoa luvusta a, kun tiedetään, että a ja b ovat sellaisia reaalilukuja, että 2 < b < 3 ja a b 1 2? Käänteisen kolmioepäyhtälön nojalla a b = a b a b 1 2. Täten b 1 2 a b Yhdistämällä tämä tietoon että 2 < b < 3 saadaan että Geometrinen ratkaisu: piirrä kuva. 3 2 < a < 7 2. Pekka Salmi FUNK 5. syyskuuta / 44

9 Funktion käsite ja kuvaaja Olkoot X ja Y ei-tyhjiä joukkoja. Funktio f : X Y on sääntö joka liittää jokaiseen alkioon x X täsmälleen yhden alkion f (x) Y. Joukkoa X kutsutaan funktion f määritysalueeksi ja joukkoa Y funktion f maalijoukoksi. Funktion f kuvajoukko (tai arvojoukko) on Funktion f graa eli kuvaaja määrää funktion f yksikäsitteisesti. f (X ) = {f (x) x X } Y. G f = {(x, f (x)) x X } X Y Pekka Salmi FUNK 5. syyskuuta / 44

10 Reaalifunktiot Reaalifunktion määritysalue ja kuvajoukko ovat reaalilukujen joukon osajoukkoja. Tällaisen funktion f : M R, missä M R, kuvaaja on muotoa G f = {(x, y) R 2 x M, y = f (x)} ja se voidaan esittää (x, y)-koordinaatistossa. Pekka Salmi FUNK 5. syyskuuta / 44

11 Esimerkki Olkoon f : R R, f (x) = x. Tällöin funktion f määritysalue on R, kuvajoukko on { x x R} = [0, + [ ja kuvaaja on joukko G f = {(x, x ) x R} = {(x, x) x < 0} {(x, x) x 0} Pekka Salmi FUNK 5. syyskuuta / 44

12 Esimerkki 2 Tutkitaan sääntöä f (x) = 1 x 2 1. Mikä on funktion f luonnollinen määritysalue ja kuvajoukko? Luonnollinen määritysalue on R \ { 1, 1}. Funktio f on parillinen (symmetrinen origon suhteen) eli f ( x) = f (x). Kun x, nimittäjä f (x) 0. Kun x 1+, niin f (x) +. Täten ]0, + [ sisältyy kuvajoukkoon. Toisaalta f (0) = 1 ja kun x 1, niin f (x) (f on vähenevä välillä [0, 1[). Kaiken kaikkiaan voidaan päätellä että funktion f kuvajoukko on ], 1] ]0, + [. Ks. Wolfram Alpha. Pekka Salmi FUNK 5. syyskuuta / 44

13 Polynomifunktiot Funktio P : R R, P(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 missä a 0, a 1,..., a n R, a n 0, on polynomi, jonka aste on n. Lukuja a 0, a 1,..., a n kutsutaan polynomin kertoimiksi. Luku x 0 R on funktion f nollakohta jos f (x) = 0 (luvun x täytyy tietenkin kuulua funktion f määritysalueeseen). Pekka Salmi FUNK 5. syyskuuta / 44

14 Aputulos Lemma a n b n = (a b)(a n 1 + a n 2 b + a n 3 b ab n 2 + b n 1 ) Todistus 1. tapa: Induktio luvun n suhteen. 2. tapa: Kerrotaan auki (a b)(a n 1 + a n 2 b + a n 3 b ab n 2 + b n 1 ) = a n + a n 1 b + a n 2 b a 2 b n 2 + ab n 1 a n 1 b a n 2 b 2 a 2 b n 2 ab n 1 b n = a n b n. Pekka Salmi FUNK 5. syyskuuta / 44

15 Polynomin juuret Lause Jos x 0 on astetta n olevan polynomin P nollakohta, niin P on jaollinen termillä x x 0 eli P(x) = (x x 0 )Q(x) missä Q on astetta n 1 oleva polynomi. Pekka Salmi FUNK 5. syyskuuta / 44

16 Todistus Olkoon P(x) = n a k x k, a k R, a n 0. Edellisen lemman nojalla k=0 P(x) = P(x) P(x 0 ) = a n (x n x n ) + a 0 n 1 (x n 1 x n 1 ) + + a 0 1 (x x 0 ) + a 0 a 0 = a n (x x 0 )Q n (x) + a n 1 (x x 0 )Q n 1 (x) + + a 1 (x x 0 ) n = (x x 0 ) a k Q k (x). k=1 }{{} =Q(x) Tekijän Q(x) korkeimman asteen termi on a n x n 1 joten Q:n aste on n 1. Pekka Salmi FUNK 5. syyskuuta / 44