d ) m d (I n ) = 2 d n d. Koska tämä pätee kaikilla

Transkriptio

1 MAT21007 Mitta ja integraali Harjoitus 2 viikko ) Palauta mieleen: monisteen luku 0; Topologia I) avaruuden d euklidinen etäisyys, avoimet kuulat ja joukot. Ohjausta laskuharjoitusten tekoon: maanantaina klo salissa C Perustele Lemman 1.37 avulla miksi d-ulotteinen mitta m d d ) = +. atkaisu: Olkoon I n := ] n, n[ d avoin d-väli kaikilla n N. Lemman 1.37 nojalla m d I n ) = l I n ) = 2n) d. Koska I n d, ulkomitan monotonisuuden Lause 1.6.2)) nojalla m d d ) m d I n ) = 2 d n d. Koska tämä pätee kaikilla n N, on oltava m d d ) = +. Koska d on mitallinen Esimerkki 1.24) niin täten m d d ) = m d d ) = +. d :n voi nähdä olevan mitallinen seuraavasti: d on numeroituva ja siksi sen ulkomitta on nolla m d ) = 0 ja siis on mitallinen Lause 1.22) ja koska d = c, myös d on mitallinen Lause 1.23). 2. Olkoon I indeksi)joukko ja reaaliluvut a i 0 kaikilla i I. Näytä: jos S =: i I a i <, niin I 0 = {i I : a i > 0} on numeroituva joukko. Vihje: Tutki joukon I k = {i I : a i 1/k} alkioitten lukumäärää kun k N. Todistus: Oletetaan että S := i I a i <. Tutkitaan vihjeen mukaisesti joukon I k = {i I : a i 1/k} alkioitten lukumäärää kun k N. Nyt jos joukossa I k olisi tiukasti enemmän kuin S = Sk jäsentä eli I 1/k k > Sk), niin kun Ik I k olisi mikä tahansa I k :n osajoukko jossa on Sk + 1 jäsentä eli Ik = Sk + 1), niin summan määriteltän nojalla muistetaan S = sup { i J a i J I äärellinen }) olisi S i I k a i i Ik a i 1 i Ik k Sk + 1) 1 > S, mikä on ristiriita. Täten joukossa I k k on korkeintaan Sk alkiota eli I k Sk). Tämä pätee jokaisella k N. Koska I 0 = {i I : a i > 0} = k N I k, niin I 0 on äärellisten joukkojen numeroituvana yhdisteenä numeroituva. 3. Tutki, onko joukko Lebesgue-)mitallinen tasossa 2. A = {x, y) 2 : x Q, y / Q} 1

2 atkaisu: Väitämme että A on mitallinen. Tutkitaan joukon A komplementtia 2 \ A =: A c ; Lauseen 1.23 nojalla riittää osoittaa että A c on mitallinen. Huomataan että A c = {x, y) 2 : x / Q tai y Q} = {x, y) 2 : x / Q} {x, y) 2 : y Q} = \ Q) Q missä vielä huomataan \ Q) = Q ) c. Täten, Lauseiden 1.23 ja 1.29 nojalla, A c on mitallinen, jos Q ja Q ovat mitallisia. Osoitamme että joukot Q ja Q ovat 0-mittaisia ja siten mitallisia. Koska kumpikin joukoista osoitetaan 0-mittaiseksi miltei samalla tavalla, osoitamme vain joukon Q 0-mittaiseksi. Huomataan heti, että Q = {x, y) 2 : y }. x Q Tämän lisäksi jokaisella x 0 ja jokaisella ε > 0 on voimassa {x 0, y) 2 : y } k N ] x 0 ε k2 k+2, x 0 + ε [ ] k, k[, k2 k+2 joten kokoelma F ε := {]x 0 ε/k2 k+2 ), x 0 + ε/k2 k+2 )[ ] k, k[ : k N} muodostaa joukon {x 0, y) 2 : y } Lebesguen peitteen. Koska m 2{x 0, y) 2 : y }) SF ε ) = k=1 ε k2 2k = ε k+1 2 = ε, k niin luvun ε mielivaltaisuuden nojalla m 2{x 0, y) 2 : y }) = 0. Siten Lebesguen ulkomitan subadditiivisuuden ja joukon Q numeroituvuuden nojalla on voimassa k=1 m 2Q ) = m 2 {x, y) 2 : y } x Q x Q m 2{x, y) 2 : y }) }{{} =0 = 0, 2

3 joten m 2 Q ) = 0 ja joukko Q on siten mitallinen. Kommentti: vaihtoehto) Q = {q j : j N} on numeroituva, joten A = Q Q c = j=1{q j } Q c ) on numeroituva yhdiste mitallisista joukoista eli mitallinen), koska joukko {q j } Q c {q j } on nollamittainen tasossa kaikilla j N kuten yllä). 4. Olkoon A ja B sellaisia mitallisia joukkoja avaruudessa d, että A B ja ma) <. Näytä, että mb \ A) = mb) ma). Vihje: valitse sopiva testijoukko Caratheodoryn ehdossa. Todistus: Koska A ja B ovat mitallisia, niin myös A c ja B A c ovat mitallisia. Joukon A mitallisuuden nojalla mb) Carathéodory = mb A) + mb \ A) A B = ma) + mb \ A). Koska ma) <, niin voimme kirjoittaa edellisen muodossa mb \ A) = mb) ma). Kommentti: vaihtoehto) B = A B \ A) on erillinen yhdiste, joten mitan täysadditiivisuuden nojalla mb) = ma) + mb \ A), missä B \ A = B A c on myös mitallinen joukko. 5. Todista monisteen Lause 1.40 Lindelöfin lause): Olkoon B d mielivaltainen joukko, ja V α B α A mielivaltainen peite avoimilla joukoilla V α d, missä α A. Tällöin on olemassa numeroituva osapeite V αj B. j N 3

4 Vihje: käytä avoimia kuulia Bx, r), missä keskipiste x Q d ja säde r > 0 on rationaaliluku. Todistus: Kun x B, niin löytyy jokin tai joitakin) V α siten että x V α, ja koska V α on avoin, löytyy jokin itse asiassa useita) avoin kuula x By x,α, r x,α ) V α, missä keskipiste y x,α Q d ja säde r x,α > 0 on rationaaliluku koska Q d d on tiheä). Täten nähdään että perhe F := { } By, r) y Q d r Q r > 0 x B α A : x By, r) V α on B:n peite. Huomataan, että koska sellaisia kuulia Bz, t), missä keskipiste z Q d ja säde t > 0 on rationaaliluku, on vain numeroituva määrä koska Q on numeroituva ja täten sen kaikki äärelliset karteesiset tulot Q n ovat numeroituvia, ja edellämainitun kaltaisia kuulia on selvästi vähemmän kuin Q d+1 ), niin F on itse asiassa B:n numeroituva peite. Nyt jokaista F F kohti on olemassa yksi tai useita) V α siten että F V α ; valitaan käyttäen valinta-aksioomaa) jokaista F F kohti yksi V αf kuten edellä. Nyt peite {V αf F F} on joukon B numeroituva osapeite jollaista kysyttiin. 6. Olkoon A d sellainen joukko, että jokaisella x A on olemassa avoin kuula Bx, r x ), jolle ulkomitta m A Bx, r x )) = 0. Näytä, että m A) = 0. Vihje: Lindelöfin lause sekä ulkomitan subadditiivisuus. Todistus: Huomataan, että kun tarkastellaan yllämainittujen kuulien Bx, r x ), x A perhettä F := {Bx, r x ) x A}, niin F on A:n peite avoimilla joukoilla. Lindelöfin lauseen Lause 1.40, edellä tehtävä 5) nojalla on olemassa numeroituva osapeite { Bx j, r xj ) j N } F. Nyt pätee m A) = m A j N Bx j, r xj ) )) = m j N A Bxj, r xj ) )) m A Bx j, r xj ) ) j N = j N 0 = 0. 4

5 Täten m A) = 0. 5