ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015"

Transkriptio

1 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 25 Kierros 3, tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki, j determinisoi se. Rtkisu: Kielen L = {w {,} w:n kolmnneksi viimeinen merkki on } tunnist epädeterministinen utomtti M = (Q,Σ,δ,q,F), missä Q = {q,q 2,q 3,q 4 } Σ = {,} F = {q 4 }, j siirtymäfunktio δ on määritelty kuten ll olevss kuvss:,,, q q 2 q 3 q4 Konett M vstv deterministinen utomtti M muodostetn siten, että M :n tiloiksi otetn kikki Q:n osjoukot (Q = (Q)). Tiljoukkoihin koodtn kikki mhdolliset M:n lskennt. Esimerkiksi kun M on lukenut syötteen, voi se oll joko tilss q ti q 3. Niinpä koneen M täytyy smll syötteellä päätyä tiln {q,q 3 }. Muodostetn tilnsiirtofunktio δ : q uusi nimi {q } {q } {q,q 2 } A {q,q 2 } {q,q 3 } {q,q 2,q 3 } B {q,q 3 } {q,q 4 } {q,q 2,q 4 } C {q,q 2,q 3 } {q,q 3,q 4 } {q,q 2,q 3,q 4 } D {q,q 3,q 4 } {q,q 4 } {q,q 2,q 4 } E {q,q 4 } {q } {q,q 2 } F {q,q 2,q 3,q 4 } {q,q 3,q 4 } {q,q 2,q 3,q 4 } G {q,q 2,q 4 } {q,q 3 } {q,q 2,q 3 } H Automtin M lopputiloiksi otetn kikki ne tilt, joiss esiintyy jokin M:n lopputiloist. Ylläolevss tulukoss ne on merkitty rstill.

2 B D G A F C H E D2: Osoit, että jos kieli L {,} voidn tunnist äärellisellä utomtill, niin smoin voidn tunnnist myös kieli L R = {w R w L}. (Merkintä w R trkoitt merkkijonon w käänteisjono, ts. merkkijono, joss w:n merkit ovt käänteisessä järjestyksessä.) Rtkisu: Olkoon M = (Q,Σ,δ,q,F) äärellinen utomtti, jok tunnist kielen L (eli L = (M)). Muodostetn tämän perusteell utomtti M = (Q {q },Σ,δ,q,{q }) missä δ = {(q i,,q j ) δ(q j,) = q i } {(q,,q i) q i F} j q / Q on uusi lkutil. Suorsnisesti snottun yllä olev määritelmä trkoitt sitä, että kielen L R tunnistv utomtti sdn L:n tunnistvst utomtist siten, että utomtin siirtymät käännetään ympäri, siihen lisätään yksi uusi til uudeksi lkutilksi, setetn uudest tilst -siirtymät kikkiin lkuperäisen utomtin lopputiloihin j inoksi lopputilksi otetn lkuperäisen utomtin lkutil. Automtti M loitt lskennn syötteellä w R siirtymällä epädeterministisesti johonkin lkuperäisen utomtin hyväksyvistä tiloist. Sen jälkeen se suoritt koneen M siirtymiä käännetyssä järjestyksessä. Syöte hyväksytään mikäli se näin tehdessään päätyy lopult lkuperäiseen lkutiln, kosk tässä tpuksess utomtill M on olemss hyväksyvä lskent syötteelle w. 2

3 D3: Osoit, että jos kkoston Σ = {, } kielet A j B voidn tunnist äärellisillä utomteill, niin smoin voidn tunnist myös kielet Ā = Σ A, A B j A B. Rtkisu: Olkoon A j B kkoston Σ = {, } kieliä, jotk voidn tunnist äärellisillä utomteill. Hlutn osoitt, että myös kielet Ā = Σ A, A B j A B voidn tunnist äärellisillä utomteill. Ā: Olkoon M A = (Q,Σ,δ,q,F) deterministinen tilkone, jok tunnist kielen A. Muodostetn tästä kielen komplementin tunnistv utomtti MĀ: MĀ = (Q,Σ,δ,q,Q F). Kone MĀ toimii muuten täsmälleen smll tp kuin M A, mutt hyväksyvät tilt on muutettu hylkääviksi j päinvstoin. Näin ollen MĀ hyväksyy ne snt, jotk M A hylkää j hylkää ne, jotk M A hyväksyy, joten (MĀ) = Ā. Trkstelln esimerkiksi utomtti, jok tunnist kielen: A = {w Σ w on muoto x, missä x Σ }. Kieleen A kuuluvt kikki snt, jotk lkvt -kirjimell j päättyvät -kirjimeen. All esitetään utomtit M A j MĀ: M A : MĀ:,, M A on välttämättä olemss, sillä mitä thns epädeterminististä utomtti kohden voidn muodost smn kielen tunnistv deterministinen utomtti. 3

4 Tässä on huomttv, että esitetty konstruktio toimii vin, jos M A on deterministinen. (Yritä etsiä yksinkertinen vstesimerkki epädeterministiselle tpukselle.) A B: Olkoot M A = (Q A,Σ,δ A,s A,F A ) j M B = (Q B,Σ,δ B,s B,F B ) äärelliset utomtit, jotk tunnistvt kielet A j B. Oletetn lisäksi, että tiljoukot ovt erilliset, eli Q A Q B = /. Tämä oletus voidn tehdä, sillä trvittess voidn toisen koneen tilt nimetä uudelleen. Muodostetn epädeterministinen tilkone M A B seurvsti: missä M A B = (Q,Σ,δ,s,F), Q = Q A Q B {s} F = F A F B δ = δ A δ B {(s,,s ),(s,,s )}. Kone M A B muodostetn siis yhdistämällä koneet M A j M B. Til s on uusi lkutil, jost voidn siirtyä tyhjällä siirtymällä joko M A :n ti M B :n lkutiln. Jos sn x kuuluu kieleen A, M A B hyväksyy sen siirtymällä luksi tiln s A j suorittmll sen jälkeen smt siirrot kuin kone M A olisi suorittnut. Mikäli x B, siirrytään tiln s B j toimitn kuten M B. Trkstelln edellisessä kohdss esiteltyä utomtti M A sekä uutt utomtti M B, jok tunnist kielen: B = {w Σ w : ssä esiintyy osjono }. M B :, Kielen A B hyväksyvä utomtti on seurvnlinen: M A B :,, 4

5 M Ā B : {q, q5} Usein lisätään M A B :hen myös uusi lopputil f, j lisätään sinne tyhjä siirtymä kikist lkuperäisistä lopputiloist q F A F B. Tällöin F = { f }. A B: Väite seur suorn khdest edellisestä kohdst, sillä DeMorgnin sääntöjen perusteell: A B = A B. Trkstelln vielä yllä esiteltyjä koneit M A j M B, j muodostetn kone M A B käyttäen DeMorgnin sääntöä: MĀ: M B:, MĀ B :, q q 2 q 3 q 4,, q 5 q q 7 6 Koneen MĀ B komplementointi vrten se täytyy ensin determinisoid (kone on jo minimoitu, yksityiskohdt liitteenä): {q 2, q 5 } {q 4, q 7 }, {q 3, q x } {q 4, q 6 } {q 2, q 7 } Nyt sdn hluttu kone vihtmll ylläolevn koneen hyväksyvät tilt hylkääviksi j päinvstoin: 5

6 M A B : {q, q 5 } {q 2, q 5 } {q 4, q 7 }, {q 3, q x } {q 4, q 6 } {q 2, q 7 } muutettu seu- Liite: tilkoneen minimointi Tilkoneen determinisointilgoritmill sdn tehtävän tilkone MĀ B rvn muotoon: A C E G B D F H, Nyt hlutn löytää pienin deterministinen tilkone, jok tunnist smn kielen. Luennoll esitetty lgoritmi toimii siten, että utomtin tilojen välille määritellään ekvivlenssireltio, jot viheittin trkennetn, kunnes hluttu lopputulos svutetn. Algoritmin ensimmäisessä viheess poistetn kikki tilt, joit ei void svutt lkutilss. Tässä utomtiss sellisi ei ole, joten utomtti pysyy vielä ennlln. Seurvksi muodostetn ensimmäinen ekvivlenssiositus siten, että utomtin lopputiloist tehdään yksi luokk j kikist muist tiloist toinen: -ekvivlenssi: Luokk Til I A C (I) B (I) B G (I) H (I) C C (I) D (I) D C (I) E (II) F F (I) E (II) G G (I) B (I) H H (I) H (I) II E F (I) E (II) 6

7 Kviost huomtn, että I-luokn tiloist D j F siirrytään :llä II-luokn tiln E, kun ts kikist muist tiloist -siirtymä vie johonkin I-luokkn kuuluvn tiln. Erotetn nyt kksi erilist til omksi luokkseen: -ekvivlenssi: Luokk Til I A C (I) B (I) B G (I) H (I) C C (I) D (III) G G (I) B (I) H H (I) H (I) II E F (III) E (II) III D C (I) E (II) F F (III) E (II) Tällä kert tilt C j F eivät sovi luokkiins, j ne täytyy erott omiksi luokikseen. Näin jtketn, kunnes lopult kikki luokt ovt konsistenttej: 2-ekvivlenssi: 3-ekvivlenssi: Luokk Til Luokk Til I A C (IV) B (I) I A C (IV) B (VI) B G (I) H (I) II E F (V) E (II) G G (I) B (I) III D C (IV) E (II) H H (I) H (I) IV C C (IV) D (III) II E F (V) E (II) V F F (V) E (II) III D C (IV) E (II) VI B G (VI) H (VI) IV C C (IV) D (III) G G (VI) B (VI) V F F (V) E (II) H H (VI) H (VI) Kikki luokt ovt nyt konsistentit, j voidn muodost tilkone, jonk tiloin ovt syntyneet ekvivlenssiluokt. Minimoitu kone on esitetty kvion tehtävän vstuksen yhteydessä. Terminä k-ekvivlenssi trkoitt sitä, että kikki smn luokkn kuuluvt tilt käsittelevät smll tp kikki korkeintn k merkkiä pitkiä syötteitä. Jos p k q j tilst p lähtevä k:n pituinen lskent päätyy lopputiln, niin myös q:st lähtevä smll syötteellä tehty lskent päätyy hyväksyvään tiln, j päinvstoin. 7

Kaikki mitä olet aina halunnut tietää pumppauslemmoista, mutta mitä et ole kehdannut kysyä

Kaikki mitä olet aina halunnut tietää pumppauslemmoista, mutta mitä et ole kehdannut kysyä Kaikki mitä olet aina halunnut tietää pumppauslemmoista, mutta mitä et ole kehdannut kysyä Tommi Syrjänen 1 Yleistä pumppauslemmoista Pumppauslemmalla voidaan todistaa, että kieli ei kuulu johonkin kieliluokkaan.

Lisätiedot

Laskennanteoria: Mitä voimmelaskea tietokoneella ja kuinkatehokkaasti?

Laskennanteoria: Mitä voimmelaskea tietokoneella ja kuinkatehokkaasti? Laskennanteoria: Mitä voimmelaskea tietokoneella ja kuinkatehokkaasti? Wilhelmiina Hämäläinen Johdatus tietojenkäsittelytieteeseen 1.-2.12. 2003 Tietojenkäsittelytieteen laitos Joensuun yliopisto 1 Johdanto

Lisätiedot

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET http://www.tut.fi/smg/course.php?id=57 Rtkisut Hrjoitukset 3, 2014 Tehtävä 1. Pyydetään muodostmn nnetun piirin Nortonin ekvivlentti. Nortonin, smoin kuin Theveninin,

Lisätiedot

10. Verkkotason malleja

10. Verkkotason malleja luento0.ppt S-38.45 Liikenneteorin perusteet Kevät 006 Sisältö Piirikytkentäisen verkon mllinnus estoverkkon Pkettikytkentäisen verkon mllinnus onoverkkon Piirikytkentäisen verkon mlli () Trkstelln piirikytkentäistä

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 31. maaliskuuta 2011

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 31. maaliskuuta 2011 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 31. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Chomskyn hierarkia kieli säännöllinen kontekstiton kontekstinen rekursiivisesti

Lisätiedot

ALKUVALMISTELUT. Lue ennen käyttöä. OMPELUN PERUSTEET HYÖTYOMPELEET. Lue, kun tarvitset lisätietoja. LIITE. Tietokoneistettu ompelukone.

ALKUVALMISTELUT. Lue ennen käyttöä. OMPELUN PERUSTEET HYÖTYOMPELEET. Lue, kun tarvitset lisätietoja. LIITE. Tietokoneistettu ompelukone. ALKUVALMISTELUT Lue ennen käyttöä. OMPELUN PERUSTEET HYÖTYOMPELEET Lue, kun trvitset lisätietoj. LIITE Tietokoneistettu ompelukone Käyttöohje Tärkeitä turvllisuusohjeit Lue nämä turvllisuusohjeet ennen

Lisätiedot

DISKREETTI MATEMATIIKKA

DISKREETTI MATEMATIIKKA DISKREETTI MATEMATIIKKA 1 2 DISKREETTI MATEMATIIKKA Sisällysluettelo 1. Relaatio ja funktio 3 1.1. Karteesinen tulo 3 1.2. Relaatio ja funktio 3 2. Kombinatoriikkaa 8 2.1. Tulo- ja summaperiaate 9 2.2.

Lisätiedot

12. Liikenteenhallinta verkkotasolla

12. Liikenteenhallinta verkkotasolla 12. Liikenteenhllint verkkotsoll luento12.ppt S-38.1145 Liikenneteorin perusteet Kevät 2006 1 12. Liikenteenhllint verkkotsoll Sisältö Verkon topologi Liikennemtriisi Liikenteenhllint verkkotsoll Kuormntsus

Lisätiedot

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin Imaginaariluvut mielikuvitustako Koska yhtälön x 2 x 1=0 diskriminantti on negatiivinen, ei yhtälöllä ole reaalilukuratkaisua Tästä taas seuraa, että yhtälöä vastaava paraabeli y=x 2 x 1 ei leikkaa y-akselia

Lisätiedot

Palloja voi pyörittää kevyellä liikkeellä normaaliasennosta (harmaa) vaakatasossa niin, että numerot tulevat

Palloja voi pyörittää kevyellä liikkeellä normaaliasennosta (harmaa) vaakatasossa niin, että numerot tulevat PELIOHJE 1 (14) Pelaajat: 2-4 pelaajaa Ikäsuositus: 6+ SISÄLTÖ / PELIVÄLINEET 1 kääntyvä satataulu 100 lukukorttia (sis. luvut 1-100) 6 jokerikorttia 2 noppaa (sis.luvut 1-10) 30 pelimerkkiä PELI OPETTAA

Lisätiedot

Sisältö 1 Tekijänoikeudet...8 2 Johdatus M-Filesiin...9 3 Ohjelmiston asennus ja käyttöönotto...10 4 M-Filesin päivittäinen käyttö...

Sisältö 1 Tekijänoikeudet...8 2 Johdatus M-Filesiin...9 3 Ohjelmiston asennus ja käyttöönotto...10 4 M-Filesin päivittäinen käyttö... M-Files 10 Sisältö 1 Tekijänoikeudet...8 2 Johdatus M-Filesiin...9 3 Ohjelmiston asennus ja käyttöönotto...10 3.1 Järjestelmävaatimukset...10 3.2 Automatisoitu asennus ja jakelu...11 3.3 Asennuksen läpivienti...11

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Järjestetyt joukot ja hilat

Jarkko Peltomäki. Järjestetyt joukot ja hilat Jarkko Peltomäki Järjestetyt joukot ja hilat Luonnontieteiden kandidaatin tutkielma Turun yliopisto Syyskuu 2010 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Järjestetty joukko 3 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia...............

Lisätiedot

1.1 Tavallinen binäärihakupuu

1.1 Tavallinen binäärihakupuu TIE-20100 Tietorakenteet ja algoritmit 1 1 Puurakenteet http://imgur.com/l77fy5x Tässä luvussa käsitellään erilaisia yleisiä puurakenteita. ensin käsitellään tavallinen binäärihakupuu sitten tutustutaan

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta 1/7 Sisältö ESITIEDOT: joukko-oppi, lukumäärän laskeminen, funktiokäsite Hakemisto

Todennäköisyyslaskenta 1/7 Sisältö ESITIEDOT: joukko-oppi, lukumäärän laskeminen, funktiokäsite Hakemisto Todennäköisyyslaskenta /7 Sisältö ESITIEDOT: joukko-oppi, n laskeminen, käsite Hakemisto Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennassa tarkastelun kohteena ovat satunnaisilmiöt.esimerkkejä

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Palautuskansio moduuli, ja sen vuorovaikutukset tehtävien annossa!

Palautuskansio moduuli, ja sen vuorovaikutukset tehtävien annossa! Palautuskansio moduuli, ja sen vuorovaikutukset tehtävien annossa! - Elikkä tässä ohjeessa näet kuinka voit tehdä peda.net palveluun koti/etätehtäviä tai vaikka kokeitten tekoa, tapoja on rajattomasti.

Lisätiedot

SUOMEN GEODEETTISET KOORDINAATISTOT JA NIIDEN VÄLISET MUUNNOKSET

SUOMEN GEODEETTISET KOORDINAATISTOT JA NIIDEN VÄLISET MUUNNOKSET Versio:..9 9 GEODEETTINEN LAITOS TIEDOTE 3 Psi Häkli Jrki Puupponen Hnnu Koivul Mrkku Poutnen SUOMEN GEODEETTISET KOORDINAATISTOT JA NIIDEN VÄLISET MUUNNOKSET ISBN 978-95-7-73-4 ISBN-978-95-7-74- (PDF,

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

Pohjoismaisten matematiikkakilpailujen tehtävät ja ratkaisut 1995 2015

Pohjoismaisten matematiikkakilpailujen tehtävät ja ratkaisut 1995 2015 Pohjoismaisten matematiikkakilpailujen tehtävät ja ratkaisut 995 05 Tehtävät 9. Pohjoismainen matematiikkakilpailu, 5.3.995 995.. Olkoon AB O-keskisen ympyrän halkaisija. Valitaan ympyrän kehältä pistec

Lisätiedot

Kiitämme. EPA-päästömääräykset. Takuuilmoitus. Mercury Premier -palvelu. 2011, Mercury Marine 15/20-nelitahtimoottorit 90-8M0057919 211 !

Kiitämme. EPA-päästömääräykset. Takuuilmoitus. Mercury Premier -palvelu. 2011, Mercury Marine 15/20-nelitahtimoottorit 90-8M0057919 211 ! Kiitämme siitä, että olet ostnut yhden mrkkinoiden prhist perämoottoreist. Olet tehnyt hyvän sijoituksen miellyttävään veneilyyn. Perämoottorisi vlmistj on Mercury Mrine, milmn johtv veneteknologin j perämoottorien

Lisätiedot

Kiitämme. EPA-päästömääräykset. Takuuilmoitus. Mercury Premier -palvelu. 2011, Mercury Marine 25/30 EFI nelitahtinen 90-8M0057983 211 !

Kiitämme. EPA-päästömääräykset. Takuuilmoitus. Mercury Premier -palvelu. 2011, Mercury Marine 25/30 EFI nelitahtinen 90-8M0057983 211 ! Kiitämme siitä, että olet ostnut yhden mrkkinoiden prhist perämoottoreist. Olet tehnyt hyvän sijoituksen miellyttävään veneilyyn. Perämoottorisi vlmistj on Mercury Mrine, milmn johtv veneteknologin j perämoottorien

Lisätiedot

1.1 Yhtälön sieventäminen

1.1 Yhtälön sieventäminen 1.1 Yhtälön sieventäminen Lausekkeeksi voidaan kutsua jokaista merkittyä laskutoimitusta. Sellaisia matema-tiikan tehtäviä on vähän, joita suorittaessaan ei joutuisi sieventämään lausekkeita, millä tarkoitetaan

Lisätiedot

2.3 Äänteistä tavuiksi ja sanoiksi. Kommentti [ 1]: Juu, tämä hyvä! Ehkä alemmat kirjat voisivat olla vielä vähän hailakampia tai jotain?

2.3 Äänteistä tavuiksi ja sanoiksi. Kommentti [ 1]: Juu, tämä hyvä! Ehkä alemmat kirjat voisivat olla vielä vähän hailakampia tai jotain? 2.3 Äänteistä tavuiksi ja sanoiksi Ruutunäkymä: Taustalla sama kirjastohuone, joka on pääsivulla. Lisäksi kuvassa esimerkiksi kirjakasa tai kirjat hyllyssä. Kirjat ovat linkkejä äänneryppäisiin. Äänneryppäät

Lisätiedot

Demo 1: Sisä- ja ulkopistemenetelmät

Demo 1: Sisä- ja ulkopistemenetelmät Mat-2.2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 11 Ehtamo Demo 1: Sisä- ja ulkopistemenetelmät a) Ratkaise tehtävä min (x 1 2) 4 + (x 1 2x 2 ) 2 s.e. x 2 = x 2 1 käyttäen kvadraattista ulkopuolista sakkofunktiota.

Lisätiedot

Alkusanat ja sisällysluettelo

Alkusanat ja sisällysluettelo Alkusanat ja sisällysluettelo Tässä ohjeessa käsitellään pintapuolisesti ohjelman sujuvan käytön aloittamiseksi tarvittavien pohjatietojen lisääminen. Useimmat ohjeessa käsitellyistä toimenpiteistä onnistuvat

Lisätiedot

Valttikortit 100 -ohjelman sanasto on peruskoulun opetussuunnitelman ytimestä.

Valttikortit 100 -ohjelman sanasto on peruskoulun opetussuunnitelman ytimestä. Valttikortit 100 on uusi avaus sanaston ja kuullunymmärtämisen oppimiseen. Digitaaliset oppimateriaalit ovat aiemminkin lisänneet yksilöllistä työskentelyä ja välittömiä palautteita harjoitteluun, mutta

Lisätiedot

EXCEL - TAULUKKOLASKENTA...2 ALOITUS...2 PERUSTAULUKKO...3 TYÖKIRJA...3

EXCEL - TAULUKKOLASKENTA...2 ALOITUS...2 PERUSTAULUKKO...3 TYÖKIRJA...3 EXCEL - TAULUKKOLASKENTA...2 ALOITUS...2 PERUSTAULUKKO...3 TYÖKIRJA...3 SOLUJEN TÄYTTÄMINEN JA MUOKKAAMINEN...4 SOLUUN KIRJOITTAMINEN...4 TEKSTIEN JA LUKUJEN KORJAUS...5 TEKSTIEN JA LUKUJEN MUOKKAUS...5

Lisätiedot

Asennus- ja hoito-ohjeet EVC 13 60 40 80 C 20 100 LEK. 2 1 bar 3

Asennus- ja hoito-ohjeet EVC 13 60 40 80 C 20 100 LEK. 2 1 bar 3 MOS FI 87- EVC Asennus- j hoito-ohjeet EVC 8 br 4 Art.nr.XXXXXX Sisältö Yleistä Lht tuotekuvus... Säätötulukko... Järjestelmän kuvus Yleistä... Toimintperite... Kättötulu Kättötulu... 4 Asetukset Lämpöutomtiikk...

Lisätiedot

Itseindeksit Kun tiivistetty teksti ja sen indeksi ovatkin sama asia

Itseindeksit Kun tiivistetty teksti ja sen indeksi ovatkin sama asia Tietojenkäsittelytiede 25 Joulukuu 2006 sivut 28 37 Toimittaja: Jorma Tarhio c kirjoittaja(t) Itseindeksit Kun tiivistetty teksti ja sen indeksi ovatkin sama asia Veli Mäkinen Helsingin yliopisto Tietojenkäsittelytieteen

Lisätiedot