MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
|
|
- Kaarlo Nieminen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Vektoriavaruudet MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
2 Vektoriavaruudet Vektoriavaruus Vektoriavaruus on matemaattinen struktuuri, joka on lineaarialgebran peruskäsite. Vektoriavaruuksia käytetään paljon erityisesti matriisilaskennassa ja funktionaalianalyysissa. Vektoriavaruutta ajatellaan joukkona, johon on määritelty kaksi laskutoimitusta: alkioiden summa ja ns. skalaarilla kertominen. Skalaarit kuuluvat tiettyyn kerroinkuntaan K, esim. R tai C. Vektoriavaruuden alkioita kutsutaan vektoreiksi (vaikka ne siis eivät ollenkaan aina ole perinteisiä vektoreita). 2 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
3 Vektoriavaruudet Vektoriavaruus Määritelmä 1 Joukkoa V sanotaan vektoriavaruudeksi, jos V :n alkioille on määritelty yhteenlasku + : V V V ja skalaarilla kertominen : K V V siten, että (1) (u + v) + w = u + (v + w) u, v, w V (liitäntälaki) (2) On olemassa alkio 0 V, (nolla-alkio) s.e. v + 0 = v v V (3) jokaisella v V on olemassa v V s.e. (vasta-alkio) v + ( v) = 0 (4) u + v = v + u u, v V (vaihdantalaki) (5) α (u + v) = α u + α v α K, u, v V (osittelulaki) (6) (α + β) v = α v + β v α, β K, v V (osittelulaki) (7) α (β v) = (α β) v α, β K, v V (liitäntälaki) (8) 1 v = v v V. (yksikköalkio) 3 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
4 Vektoriavaruudet Vektoriavaruus Esimerkki 2 (Vektoriavaruuksia) R, R 2, R n varustettuna tutuilla kerto- ja yhteenlaskuilla V = {v R 2 v 2 = mv 1 }, tavalliset tason vektorien yhteenlasku ja reaaliluvulla kertominen Kaikkien reaalisten m n -matriisien muodostama joukko R m n, matriisien yhteenlasku ja reaaliluvulla kertominen Korkeintaan toista astetta olevien x :n polynomien joukko P 2 = {p p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2, a 0, a 1, a 2 C}, polynomien yhteenlasku ja skalaarilla kertominen samoin P n, P välillä [a, b] jatkuvien reaaliarvoisten funktioiden joukko C[a, b] 4 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
5 Vektoriavaruudet Vektoriavaruus Esimerkki 3 (Eivät vektoriavaruuksia) V = {v R 2 v 2 = mv 1 1}, eli ne tason vektorit, jotka muodostavat suoran y = mx 1. V ei voi olla vektoriavaruus koska 0 V. W = {(x, sin(x)) x R} normaalein vektorien laskusäännöin ei ole vektoriavaruus, sillä (π/2, sin(π/2)) + (π, sin π) = (3π/2, 1) (3π/2, sin(3π/2)). 5 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
6 Vektoriavaruudet Vektorialiavaruus Määritelmä 4 K -kertoimisen vektoriavaruuden V ei-tyhjä osajoukko S V on V :n aliavaruus, jos pätee a) u, v S u + v S, b) v S, α K α v S, kun käytetään V :ssä määriteltyjä laskutoimituksia. Ehdot a) ja b) voidaan kirjoittaa yhteen ekvivalentiksi ehdoksi: u, v S, α, β K α u + β v S. 6 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
7 Vektoriavaruudet Vektorialiavaruus Esimerkki 5 Vektoriavaruuden R 3 kaikki vektorialiavaruudet ovat triviaaliavaruus {(0, 0, 0)} origon kautta kulkevat suorat origon kautta kulkevat tasot avaruus R 3 itse Esimerkki 6 Onko S = {v R 2 v 1 0} vektoriavaruuden R 2 aliavaruus? Ei, sillä S ei ole skalaarilla kertomisen suhteen suljettu: esim. 1 (1, 1) / S. 7 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
8 Vektoriavaruudet Vektorialiavaruus Määritelmä 7 Ei-tyhjän joukon S V viritelmä (engl. span) sp(s) on kaikkien S :n alkioista muodostettujen lineaarikombinaatioiden joukko eli sp(s) = { u V u = n a i s i, a i K, s i S, 1 n < }. i=1 Viritelmä on aina alkuperäisen joukon aliavaruus. Jos U = sp(v 1,..., v k ), vektorijoukko {v 1,..., v k } virittää U :n. 8 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
9 Vektoriavaruudet Kanta Määritelmä 8 Vektoriavaruuden osajoukko {v 1, v 2,..., v n } on lineaarisesti riippumaton, jos nollavektori voidaan esittää näiden lineaarikombinaationa vain siten, että kaikki kertoimet ovat nollia, eli kun c 1 = c 2 = = c n = 0 on yhtälön c 1 v 1 + c 2 v c n v n = 0 ainoa ratkaisu. Jos muitakin ratkaisuja on, niin joukkoa {v 1, v 2,..., v n } sanotaan lineaarisesti riippuvaksi. 9 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
10 Vektoriavaruudet Kanta Lause 9 Vektorijoukko {v 1, v 2,..., v n } on lineaarisesti riippuva jos ja vain jos jokin vektoreista voidaan esittää muiden vektoreiden lineaarikombinaationa. Esimerkki 10 Olkoon p 1 (t) = 1, p 2 (t) = t, p 3 (t) = 4 t. Joukko {p 1, p 2, p 3 } P 1 on lineaarisesti riippuva, sillä p 3 = 4p 1 p / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
11 Vektoriavaruudet Kanta Määritelmä 11 Vektoriavaruuden V äärellistä osajoukkoa B = {b 1, b 2,..., b n } sanotaan V :n kannaksi, jos se on lineaarisesti riippumaton ja virittää V :n. Vektoriavaruuden V dimensio, dim(v ), on V :n kantavektoreiden lukumäärä. Dimension määritelmä on järkevä: vaikka kantavektorit voidaan valita monella tavalla, niitä on aina sama määrä! Tämä nähdään seuraavasta: Lause 12 Olkoon V vektoriavaruus. Jos joukko {w 1, w 2,..., w n } virittää V :n ja {v 1, v 2,..., v k } V on lineaarisesti riippumaton joukko, niin n k. 11 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
12 Vektoriavaruudet Kanta Sanotaan, että vektoriavaruus V on ääretönulotteinen, dim(v ) =, jos on olemassa vektorijono {v 1, v 2,... } V siten, että joukko {v 1,..., v n } on lineaarisesti riippumaton kaikilla n N. Esimerkki 13 Ääretönulotteisia vektoriavaruuksia ovat esim. kaikkien rajoitettujen lukujonojen joukko l kaikkien polynomien muodostama avaruus P kaikkien välillä [a, b] jatkuvien funktioiden vektoriavaruus C[a, b] 12 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
13 Vektoriavaruudet Kanta Lause 14 Jos dim(v ) = n ja {v 1,..., v n } V on lineaarisesti riippumaton, niin se on V :n kanta. Lause 15 Jos B = {b 1, b 2,..., b n } on vektoriavaruuden V kanta, niin jokainen vektori v V voidaan esittää muodossa v = c 1 b 1 + c 2 b c n b n täsmälleen yhdellä tavalla. 13 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
14 Vektoriavaruudet Kannanvaihto Ongelma: tunnetaan vektorin esitys kannassa B = {b 1, b 2,..., b n } ja halutaan vaihtaa toiseen kantaan U = {u 1, u 2,..., u n }. Merkitään vektorin v koordinaatteja näissä kannoissa [v] B = (β 1,..., β n ) ja [v] U = (η 1,..., η n ). Jos b j = n i=1 s ij u i, j = 1,..., n, niin v = n η i u i = i=1 n β j b j = j=1 n j=1 β j n s ij u i = i=1 n ( n ) s ij β j u i. i=1 j=1 Vektorin koordinaatit (kannassa U ) ovat yksikäsitteiset, joten η i = n j=1 s ij β j, i = 1,..., n. 14 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
15 Vektoriavaruudet Kannanvaihto s s 1n Merkitään S =... s n1... s nn Tällöin koordinaattien välinen yhtälö on [v] U = S [v] B. Matriisia S kutsutaan kannanvaihtomatriisiksi. Se on aina kääntyvä, joten vanhat koordinaatit saadaan uusista vastaavasti [v] B = S 1 [v] U. 15 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
16 Vektoriavaruudet Kannanvaihto Esimerkki 16 Tarkastellaan R 2 :n kantoja B = {b 1, b 2 } ja C = {c 1, c 2 }, missä b 1 = [ ] 9, b 1 2 = [ ] [ ] [ ] 5 1 3, c 1 1 =, c 4 2 =. 5 Etsi kannanvaihtomatriisi kannasta B kantaan C. Ratkaisu: Halutaan siis löytää kertoimet, joilla B:n kantavektorit voidaan esittää C:n kantavektorien avulla, eli kertoimet x 1, x 2, y 1, y 2 siten, että [ ] [ ] x c1 c 1 2 x 2 = b 1 ja [ ] [ ] y c1 c 1 2 = b y / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
17 Vektoriavaruudet Kannanvaihto Yhtälöt voidaan ratkaista kerralla tekemällä liittomatriisi [ c1 c 2 b 1 b 2 ] ja käyttämällä siihen Gaussin algoritmia. Saadaan [ ] [ ] [ ] 6 4 Kannanvaihtomatriisi B:stä C:hen on siis. 5 3 [ ] [ ] [ ] Esimerkiksi, jos [v] B =, niin [v] 0 C = = [ ] / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
18 Lineaarikuvaukset Kuva-avaruus ja nolla-avaruus Dimensiolause MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
19 Lineaarikuvaukset Kuva-avaruus ja nolla-avaruus Dimensiolause Lineaarikuvaus Olkoot U ja V K -kertoimisia vektoriavaruuksia. Määritelmä 1 Kuvaus T : U V on lineaarikuvaus, jos kaikilla x, y U ja α, β K pätee T (α x + β y) = α T (x) + β T (y). Lineaarikuvaus tunnetaan, jos tiedetään, miten se kuvaa kantavektorit. 2 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
20 Lineaarikuvaukset Kuva-avaruus ja nolla-avaruus Dimensiolause Lineaarikuvaus Esimerkki 2 (Lineaarikuvauksia) projektio jatkuvien kuvausten integrointi derivoituvien kuvausten derivointi matriisilla kertominen 3 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
21 Lineaarikuvaukset Kuva-avaruus ja nolla-avaruus Dimensiolause Lineaarikuvaus Lineaarikuvaus voidaan aina esittää matriisilla: T (x) = Ax eräällä matriisilla A. Tämän matriisin sarakkeet muodostuvat lähtöavaruuden kantavektorien kuvien koordinaattivektoreista. On siis muistettava, että lineaarikuvauksen matriisiesitys riippuu valituista kannoista! Kun halutaan korostaa sitä, missä avaruuksien U ja V kannoissa B U ja B V matriisi on määritelty, merkitään: A = [T ] BU,B V. 4 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
22 Lineaarikuvaukset Kuva-avaruus ja nolla-avaruus Dimensiolause Lineaarikuvaus Esimerkki 3 Olkoon T : P 3 P 3 lineaarikuvaus T (p)(x) = p(2 x). Olkoon P 3 :ssa kanta B = {p 1, p 2, p 3, p 4 } = {1, x, x 2, x 3 }. Saadaan T (p 1 )(x) = 1 = p 1 (x) T (p 2 )(x) = 2 x = (2p 1 p 2 )(x) T (p 3 )(x) = (2 x) 2 = 4 4x + x 2 = (4p 1 4p 2 + p 3 )(x) T (p 4 )(x) = (2 x) 3 = (8p 1 12p 2 + 6p 3 p 4 )(x) Siispä T :n matriisiksi kannassa B saadaan [T ] B = / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
23 Lineaarikuvaukset Kuva-avaruus ja nolla-avaruus Dimensiolause Lineaarikuvaus Esimerkki 4 Lasketaan edellisen esimerkin lineaarikuvauksen matriisi kannan ˆB = {ˆp 1, ˆp 2, ˆp 3, ˆp 4 } = {1, 1 x, (1 x) 2, (1 x) 3 } suhteen: T (ˆp 1 )(x) = 1 = ˆp 1 (x) T (ˆp 2 )(x) = 1 (2 x) = x 1 = ˆp 2 (x) T (ˆp 3 )(x) = (1 (2 x)) 2 = (x 1) 2 = ˆp 3 (x) T (ˆp 4 )(x) = (1 (2 x)) 3 = (x 1) 3 = ˆp 4 (x), joten T :n matriisi tässä kannassa on lävistäjämatriisi 1 [T ] ˆB = / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
24 Lineaarikuvaukset Kuva-avaruus ja nolla-avaruus Dimensiolause Lineaarikuvaus Olkoot T : U V ja S : V W lineaarikuvauksia. Tällöin yhdistetty kuvaus ST : U W määritellään (ST )(u) = S(T (u)). Se on myös lineaarikuvaus. Olkoon avaruuksissa U, V ja W kannat B U, B V ja B W. Yhdistetun kuvauksen matriisi saadaan kertomalla kuvausten matriisit keskenään, eli [ST ] BU,B W = [S] BV,B W [T ] BU,B V. 7 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
25 Lineaarikuvaukset Kuva-avaruus ja nolla-avaruus Dimensiolause Kuva-avaruus ja nolla-avaruus Määritelmä 5 Olkoon T lineaarikuvaus U V. T :n nolla-avaruus (eli ydin) on N(T ) = {u U T u = 0} U. T :n kuva-avaruus on R(T ) = {T u u U} V. Lause 6 Olkoon T : U V lineaarikuvaus. Tällöin a) N(T ) on U :n aliavaruus ja b) R(T ) on V :n aliavaruus. 8 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
26 Lineaarikuvaukset Kuva-avaruus ja nolla-avaruus Dimensiolause Kuva-avaruus ja nolla-avaruus Matriisiin A = [a 1... a n ] R m n liittyvän lineaarikuvauksen L A : R n R m : L A (x) = A x kuva-avaruus on sen sarakkeiden viritelmä: Lause 7 R(L A ) = sp(a 1,..., a n ). Esimerkki 8 Projektiokuvauksen T : R 3 R 2, T (x) = (x 1, x 2 ) nolla-avaruus on selvästi N(T ) = {x = (0, 0, x 3 ) x 3 R} eli kantavektorin e 3 suuntaiset vektorit. T :n kuva R(T ) taas on koko R 2. 9 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
27 Lineaarikuvaukset Kuva-avaruus ja nolla-avaruus Dimensiolause Kuva-avaruus ja nolla-avaruus Määritelmä 9 Olkoon T : U V lineaarikuvaus. Määritellään T :n nulliteetti: ν(t ) = dim(n(t )). T :n rangi r(t ) = dim(r(t )). Nämä voivat olla äärellisiä tai äärettömiä. Matriisilaskussa matriisin rangi määritellään A :n sarakeavaruuden dimensioksi. Edellä olevan lauseen mukaan se on myös A :han liittyvän lineaarikuvauksen L A rangi. 10 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
28 Lineaarikuvaukset Kuva-avaruus ja nolla-avaruus Dimensiolause Dimensiolause Lause 10 (Lineaarialgebran peruslause eli dimensiolause) Olkoon U äärellisulotteinen ja T : U V lineaarikuvaus. Tällöin r(t ) + ν(t ) = dim(u). Todistuksen idea taululla. Esimerkki 11 Neliömatriisille A C n n r(a) = n ν(a) = 0, joten kumpi tahansa näistä ehdoista takaa, että A on kääntyvä. 11 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
29 Lineaarikuvaukset Kuva-avaruus ja nolla-avaruus Dimensiolause Dimensiolause Fakta 1: Matriisin A kuva-avaruuden kannan muodostavat ne sarakevektorit, joiden kohdalle redusoidussa porrasmuodossa on pivot-alkio. Fakta 2: Matriisin A nulliteetti on redusoidun porrasmuodon niiden sarakkeiden lukumäärä, joissa ei ole pivot-alkiota. Fakta 1:stä voi vakuuttua tarkastelemalla redusoitua porrasmuotoa: selvästi pivot-alkiolliset sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomat ja muut voidaan muodostaa lineaarikombinaationa niistä. Fakta 2 pohjautuu siihen, että ratkaistaessa ydintä eli yhtälöä Ax = 0 pivot-alkiottomat sarakkeet vastaavat vapaita muuttujia, ja niiden lukumäärä on ytimen dimensio. 12 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
30 Lineaarikuvaukset Kuva-avaruus ja nolla-avaruus Dimensiolause Dimensiolause Esimerkki Etsi matriisin A = kuva-avaruus, ydin, rangi ja nulliteetti. Ratkaisu: Saatetaan matriisi redusoituun porrasmuotoon Gaussin eliminaatiolla. Saadaan A Näin ollen R(A) = sp{( 3, 1, 2) T, ( 1, 2, 5) T )} ja r(a) = / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
31 Lineaarikuvaukset Kuva-avaruus ja nolla-avaruus Dimensiolause Dimensiolause (jatkuu) Ytimen dimension on ν(a) = 3. Vapaita muuttujia ovat x 2, x 4 ja x 5 ja loput ratkeavat yhtälöparista { x 1 2x 2 + 2x 3 + 3x 4 x 5 = 0, x 3 + 2x 4 2x 5 = 0. Ytimeksi saadaan N(A) = {x x x 2, x 4, x 5 R} / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
32 Lineaarikuvaukset Kuva-avaruus ja nolla-avaruus Dimensiolause Dimensiolause Lause 13 Olkoon A R n n. Tällöin seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä sen kanssa, että A:lla on olemassa käänteismatriisi: A:n sarakkeet muodostavan R n :n kannan Col A = R n dim Col A = n r(a) = n N(A) = {0} dim N(A) = 0 15 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
33 Lineaarikuvaukset Kuva-avaruus ja nolla-avaruus Dimensiolause Dimensiolause Lause 14 Olkoon T : U V lineaarikuvaus. Tällöin a) Jos vektorit u 1,..., u n ovat lineaarisesti riippuvat, niin T u 1,..., T u n ovat myös. b) Jos u 1,..., u n ovat lineaarisesti riippumattomat ja N(T ) = {0} (eli T on injektio), niin T u 1,..., T u n lineaarisesti riippumattomat. ovat Todistus taululla, jos ehditään. 16 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
34 MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Normi ja sisätulo Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto / 1 R. Kangaslampi Normi ja sisätulo
35 Vektoriavaruuden laskutoimitukset Vektoriavaruudessa on aina määritelty yhteenlasku ja skalaarilla kertominen. Usein voidaan määritellä myös muita laskutoimituksia. Normiavaruus on vektoriavaruus, jossa vektoreille on määritelty pituusfunktio eli normi. Sisätuloavaruus on normiavaruus, jossa lisäksi kulmien mittaaminen on mahdollista, eli erityisesti ortogonaalisuus on määritelty. 2 / 1 R. Kangaslampi Normi ja sisätulo
36 Normi Määritelmä 1 Olkoon V K -kertoiminen vektoriavaruus. Kuvaus : V R on normi, jos se toteuttaa (1) v 0 v V. (2) v = 0 = v = 0. (3) u + v u + v u, v V. (4) α v = α v α K, v V. 3 / 1 R. Kangaslampi Normi ja sisätulo
37 Normi Esimerkki 2 Vektoriavaruudessa R n tavallisin normi on nk. euklidinen normi ( n ) x 2 = x i i=1. Muita usein käytettyjä normeja R n :ssä ovat x 1 = n i=1 x i ja x = max 1 i n x i. Samoja käytetään avaruudessa C n. 4 / 1 R. Kangaslampi Normi ja sisätulo
38 Normi Esimerkki 3 Piirrä joukot {x R 2 x 2 1}, {x R 2 x 1 1}, {x R 2 x 1}. (Vastaus: kiekko, vinoneliö ja neliö.) 5 / 1 R. Kangaslampi Normi ja sisätulo
39 Normi Normin avulla myös määritellään alkioiden välinen etäisyys: d(u, v) := u v. Esimerkki 4 Laske vektoreiden u = (1, 0, 1) T ja v = (0, 2, 1) T R 3 etäisyys normeissa 2, 1 ja. d(u, v) 2 = u v 2 = (1, 2, 2) T 2 = ( 2) = 3 d(u, v) 1 = u v 1 = (1, 2, 2) T 1 = = 5 d(u, v) = u v = (1, 2, 2) T = 2 6 / 1 R. Kangaslampi Normi ja sisätulo
40 Normi Etäisyyden { avulla saadaan vektorijonojen suppeneminen: x k } V suppenee kohti vektoria x V, jos k=1 lim k xk x = 0. Normiavaruuksien välisten kuvausten jatkuvuus määritellään: F : U V on jatkuva pisteessä u 0 U, jos ɛ > 0 δ > 0 s.e. u u 0 U < δ = F (u) F (u 0 ) V < ɛ. 7 / 1 R. Kangaslampi Normi ja sisätulo
41 Sisätulo Määritelmä 5 Olkoon V K -kertoiminen vektoriavaruus. Kuvaus, : V V K on sisätulo, jos se toteuttaa ehdot (1) v, v 0 kaikilla v V. (2) v, v = 0 = v = 0. (3) u + v, w = u, w + v, w kaikilla u, v, w V. (4) αu, v = α u, v kaikilla α K, u, v V. (5) v, u = u, v kaikilla u, v V. 8 / 1 R. Kangaslampi Normi ja sisätulo
42 Sisätulo Huomioita: Vektoriavaruudesta R n tuttu vektoreiden välinen pistetulo toteuttaa sisätulon ehdot. C n :n vektoreille määritellään x, y = x T y = n i=1 x i y i. Ominaisuudet (3) ja (4) sanovat, että sisätulo on lineaarinen ensimmäisen argumentin suhteen. Toisen argumentin suhteen sisätulo on konjugoidusti lineaarinen: skalaarit saadaan ulos kompleksikonjugaatteina. Reaalisessa tapauksessa sisätulo on siten lineaarinen myös toisen argumentin suhteen. 9 / 1 R. Kangaslampi Normi ja sisätulo
43 Sisätulo Sisätulon avulla voidaan aina määritellä avaruuteen normi: jos V on sisätuloavaruus, asetetaan v = v, v. Sisätulon ehdoista saadaan normin ehdot (1),(2) ja (4) helposti.(3) eli kolmioepäyhtälö vaatii hieman laskemista. Se voidaan osoittaa Schwarzin epäyhtälön u, v u v avulla. (Schwarzin ey:n todistus luentomonisteessa.) 10 / 1 R. Kangaslampi Normi ja sisätulo
44 Sisätulo Sisätulon avulla voidaan reaalikertoimisessa avaruudessa määritellä vektoreiden väliset kulmat. Schwarzin epäyhtälön mukaan 1 u, v u v 1, joten voidaan määritellä vektoreiden u 0 ja v 0 välinen kulma ( u, v ) <) (u, v) = arccos. u v Vektorit u ja v ovat ortogonaaliset, kun <) (u, v) = π/2 eli kun u, v = 0. Ortogonaalisuus määritellään samoin kompleksikertoimisissa vektoriavaruuksissa. 11 / 1 R. Kangaslampi Normi ja sisätulo
45 Sisätulo Esimerkki 6 Tarkastellaan avaruutta P 2 sisätulolla p, q = 1 1 p(x)q(x) dx. Polynomit p 1 (x) = x ja p 2 (x) = x 2 ovat ortogonaaliset, sillä p 1, p 2 = 1 1 x x 2 dx = 0. Samoin p 0 (x) = 1 on ortogonaalinen p 1 :n kanssa. Sen sijaan p 0, p 2 = 1 1 x 2 dx = 2/3. Valitsemalla p 2 :n sijaan ˆp 2 (x) = x 2 1/3, saadaan ortogonaalinen joukko {p 0, p 1, ˆp 2 }. 12 / 1 R. Kangaslampi Normi ja sisätulo
46 Sisätulo Sisätuloavaruuden vektorijoukkoa S = {v 1,..., v k } sanotaan ortogonaaliseksi, jos kaikki sen vektorit ovat keskenään ortogonaaliset. Jos ortogonaalisen joukon vektorit ovat lisäksi pituudeltaan ykkösiä kutsutaan joukkoa ortonormaaliksi. Kanta, jonka vektorit ovat ortonormaaleja, on luonnollisesti ortonormaali kanta. 13 / 1 R. Kangaslampi Normi ja sisätulo
47 Sisätulo Esimerkki 7 Lasketaan edellisen esimerkin ortogonaalisten polynomien normit: p 0 2 = p 0, p 0 = 1, 1 = dx = 2 p 0 = 2 p 1 2 = x, x = 1 1 x 2 dx = 2 3 p 1 = 2/3 ˆp 2 2 = x 2 1 3, x = 1 (x )2 dx = 8 45 ˆp 2 = 8/45. Täten { 1 2, 3 2 x, (x )} on ortonormaali joukko. Se on lineaarisesti riippumaton ja, koska dim(p 2 ) = 3, se on P 2 :n ortonormaali kanta. 14 / 1 R. Kangaslampi Normi ja sisätulo
48 Gram-Schmidt Ortonormaaleja kantoja voidaan muodostaa nk. Gram Schmidtin prosessilla. Olkoon (v 1, v 2,... ) (äärellinen tai ääretön) jono lineaarisesti riippumattomia sisätuloavaruuden vektoreita. Muodostetaan yhtä pitkä jono (q 1, q 2,... ) ortonormaaleja vektoreita seuraavasti: q 1 = v 1 / v 1, w k = v k k 1 j=1 q k = w k / w k. v k, q j q j, } k = 2, 3,... Tässä keskimmäisellä rivillä v k :sta poistetaan sen komponentit jo muodostetuilla suunnilla q 1,..., q k 1. Viimeisellä rivillä jäljelle jäävä osa normeerataan ykkösen pituiseksi. 15 / 1 R. Kangaslampi Normi ja sisätulo
49 Gram-Schmidt Lause 8 Edellä esitetylle Gram-Schmidtin prosessille pätee: a) (q 1, q 2,... ) on ortonormaali. b) sp(q 1,..., q k ) = sp(v 1,..., v k ) kaikilla k 1. Erityisesti, jos V on äärellisdimensioinen ja {v 1,..., v n } on sen kanta, niin {q 1,..., q n } on V :n ortonormaali kanta. Esimerkki 9 Taululla / luentomonisteessa. 16 / 1 R. Kangaslampi Normi ja sisätulo
50 MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto / 1 R. Kangaslampi QR ja PNS
51 PNS-ongelma Olkoon V sisätuloavaruus, A sen äärellisdimensioinen aliavaruus ja v V. Tarkastellaan seuraavaa approksimointitehtävää: Etsi a A siten, että v a on pienin mahdollinen. Koska R n :ssä v a 2 = n j=1 (v j a j ) 2, tämän minimointia kutsutaan usein pienimmän neliösumman tehtäväksi. Tehtävän ratkaisussa käytetään usein ns. QR-hajotelmaa. 2 / 1 R. Kangaslampi QR ja PNS
52 PNS-ongelma Lemma 1 Tällä tehtävällä on olemassa yksikäsitteinen ratkaisu a ja sille pätee: v a, u = 0 kaikilla u A. Todistus. Taululla: Osoitetaan, että jos ratkaisu on olemassa, se on yksikäsitteinen. Osoitetaan, että a = m j=1 v, q j q j on ratkaisu. 3 / 1 R. Kangaslampi QR ja PNS
53 PNS-ongelma Edellisen lemman vektoria a kutsutaan v :n kohtisuoraksi projektioksi aliavaruudelle A ja merkitään a = P A v. Kaavasta m PA v = v, q j q j j=1 ja sisätulon lineaarisuudesta nähdään myös, että PA lineaarikuvaus V A. on 4 / 1 R. Kangaslampi QR ja PNS
54 PNS-ongelma Olkoon nyt V = R n ja aliavaruus A = sp(a 1,..., a m ). Merkitään A = [a 1... a m ] R n m. Tällöin A = R(A) = { Ax x R m}. Etsitään ratkaisua muodossa a = Ac, missä c R m. Lemman mukaan ratkaisun on toteutettava eli v Ac, u = 0 kaikilla u R(A), (v Ac) T Ax = 0 kaikilla x R m. Tämä on mahdollista vain, jos (v Ac) T A = 0 eli A T (v Ac) = 0. Näin c :n on toteutettava A T A c = A T v. (tämä on ns. normaaliyhtälö) 5 / 1 R. Kangaslampi QR ja PNS
55 PNS-ongelma Esimerkki 2 Etsi pienimmän neliösumman ratkaisu yhtälölle Ax = b, kun A = 0 2 ja b = (Eli: etsi x, joka antaa avaruudesta { Ax x R 2} sen alkion, jonka etäisyys b:stä on pienin.) 6 / 1 R. Kangaslampi QR ja PNS
56 PNS-ongelma Ratkaisu: Etsitään ratkaisu käyttäen normaaliyhtälöä A T Ax = A T b. Lasketaan siis ensin A T A ja A T b: [ ] 0 A T A = = [ ] 2 A T b = 0 = Ratkaistavana on siis yhtälö [ ] [ ] 17 1 x1 = 1 5 x 2 [ ] [ ] [ ] / 1 R. Kangaslampi QR ja PNS
57 PNS-ongelma Tämä voitaisiin ratkaista Gaussin algoritmin rivioperaatioin, mutta onnistuu myös käänteismatriisin avulla, koska A T A on kääntyvä: A T Ax = A T b x = (A T A) 1 A T b, joten x = [ ] 1 [ ] = 1 84 [ ] [ ] = [ ] 1. 2 Huom. Mikään vektori ei toteuta yhtälöä Ax = b, siksi etsimme PNS-ratkaisua. Vastauksena saadaan, että se vektori, jolle Ax b on pienin, on x = (1, 2) T. Tämä vektori siis toteuttaa parhaiten alkuperäisen yhtälön. 8 / 1 R. Kangaslampi QR ja PNS
58 QR-hajotelma Tarkastellaan normaaliyhtälöä A T A c = A T v hieman lisää. Jos A T A on kääntyvä, tästä voidaan ratkaista c = (A T A) 1 A T v ja siten P A v = A (AT A) 1 A T v. Kun aliavaruuteen on asetettu ortonormaali kanta, kohtisuora projektio on helppo laskea aiemmalla kaavalla PA v = m j=1 v, q j q j. Mielivaltainen sisätuloavaruuden kantahan voidaan ortonormalisoida Gram-Schmidt -prosessilla. 9 / 1 R. Kangaslampi QR ja PNS
59 QR-hajotelma Olkoon matriisin A = [a 1... a m ] K n m sarakkeet lineaarisesti riippumattomat. Ortonormalisoidaan A :n sarakkeet (merkinnät kuten aiemmin Gram-Schmidt-prosessissa). Saadaan a 1 a 2, q 1... a m, q 1 A = [q 1 q 2... q m w 2... a m, q 2 ].... = Q R, w m missä yläkolmiomatriisin R K m m diagonaalilla on skaalaustekijät ja yläpuolella sisätulot r ij = a j, q i, i < j. Matriisin Q sarakkeet ovat ortonormaalit, joten Q Q = I. Tätä esitystä A = Q R kutsutaan A :n (suppeaksi) QR-hajotelmaksi. 10 / 1 R. Kangaslampi QR ja PNS
60 QR-hajotelma Sijoittamalla A :n QR-hajotelma kaavaan saadaan A T A c = A T v R Q QR c = R Q v eli R c = Q v, josta c on helppo ratkaista, koska R on yläkolmiomatriisi. Kohtisuora projektio R(A) :lle on nyt P R(A) v = QQ v. 11 / 1 R. Kangaslampi QR ja PNS
61 QR-hajotelma Huom: Täydentämällä {q 1,..., q m } koko K n :n ortonormaaliksi kannaksi saadaan unitaarinen (reaalisessa tapauksessa ortogonaalinen) neliömatriisi ˆQ = [q 1... q m q m+1... q n ] = [Q Q 2 ] ja A :lle laajempi hajotelma A = [Q Q 2 ] [ ] R = ˆQ ˆR. 0 Tätä kutsutaan A :n (varsinaiseksi) QR-hajotelmaksi ja ylempänä esiintynyttä A :n suppeaksi QR-hajotelmaksi. 12 / 1 R. Kangaslampi QR ja PNS
62 PNS-menetelmä Esimerkki 3 Etsi QR-hajotelman avulla pienimmän neliösumman ratkaisu yhtälölle Az = b, kun A = 2 4, b = Ratkaisu: Ortonormeerataan ensin A:n sarakkeet, jotta saadaan QR-hajotelma: q 1 = a 1 / a 1 = (2/3, 2/3, 1/3) T q 2 = (a 2 q 1, a 2 q 1 )/ a 2 q 1, a 2 q 1 = ( 1/3, 2/3, 2/3) T 13 / 1 R. Kangaslampi QR ja PNS
63 PNS-menetelmä QR-hajotelma on Q = [ ] 2/3 1/3 q 1 q 2 = 2/3 2/3 1/3 2/3 [ ] a1 q R = 1, a 2 = 0 a 2 q 1, a 2 q 1 [ ] PNS-ratkaisu saadaan yhtälöstä R z = Q b eli [ ] [ ] [ ] 3 5 z1 2/3 2/3 1/3 = 7 = 0 1 1/3 2/3 2/3 z 2 Ratkaisu on z = (4, 1) T. 3 1 [ ] / 1 R. Kangaslampi QR ja PNS
64 PNS-menetelmä Pienimmän neliösumman tehtävä on tavallisimmillaan seuraava: mitattavan suureen y oletetaan noudattavan lineaarista mallia y = c 1 x c n x n. Olkoon muuttujien arvoilla (x i1, x i2,..., x in ), mitattu arvot y i, i = 1,..., m. Millä kertoimilla c j malli kuvaisi parhaiten mittausaineistoa? Järjestetään data matriisiyhtälöksi y = A c, missä vektori y sisältää mitatut arvot y i, c tuntemattomat kertoimet ja matriisi A = (x ij ) R m n. Koska yleensä m > n, niin tehtävällä ei välttämättä ole ratkaisua, joten etsitään kertoimia, jotka minimoivat virheen y A c. 15 / 1 R. Kangaslampi QR ja PNS
65 PNS-menetelmä Esimerkki 4 Edellisen esimerkin tehtävä etsiä pienimmän neliösumman ratkaisu yhtälölle c = voisi muodostua esimerkiksi tilanteessa, jossa sovitetaan mallia y = c 1 x 1 + c 2 x 2 mittausdataan, jossa arvoilla (x 1, x 2 ) = (2, 3) on saatu mittaustulos 7, arvoilla (2, 4) tulos 3 ja arvoilla (1, 1) tulos 1. Äsken saatiin ongelmalle PNS-ratkaisuksi (4, 1) T, joten tähän dataan parhaiten sopii siis malli y = 4x 1 x / 1 R. Kangaslampi QR ja PNS
66 PNS-menetelmä Esimerkki 5 Etsitään yhtälöa sille suoralle, joka sopii (PNS-mielessä) parhaiten mittauspisteisiin (2, 1), (5, 2), (7, 3) ja (8, 3). Toisin sanoen, etsitään siis kertoimia a ja b siten, että mittauspisteet (x i, y i ) noudattavat mahdollisimman hyvin yhtälöä y = a + bx. Matriisimuodossa haetaan PNS-ratkaisua yhtälölle 1 x 1 [ ] 1 x 2 a 1 x 3 = b 1 x 4 y 1 y 2 y 2 y 4 eli 1 2 [ ] a 1 7 = 2 b Tuntemattomat a ja b voidaan nyt ratkaista normaaliyhtälöstä A T A(a, b) T = A T (1, 2, 3, 3) T tai QR-hajotelman avulla yhtälöstä R (a, b) T = Q (1, 2, 3, 3) T. 17 / 1 R. Kangaslampi QR ja PNS
67 PNS-menetelmä Esimerkki 6 Oletetaan, että mitatut datapisteet (x i, y i ) näyttävätkin sijoittuvan paremmin jollekin paraabelille. Yritetään siis etsiä kertoimia a, b ja c siten, että y = a + bx + cx 2 parhaiten kuvaa mittauspisteitä. Tällöin etsitään PNS-ratkaisua yhtälölle 1 x 1 x 2 1 y 1 1 x 2 x2 2 a y 2 1 x 3 x 2 3 b =... c 1 x n xn 2 y 3. y n. 18 / 1 R. Kangaslampi QR ja PNS
68 Matriisinormi Häiriöalttius MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto / 14 R. Kangaslampi matriisiteoriaa
69 Matriisinormi Häiriöalttius Matriisinormi Vektorin normi mittaa vektorin pituutta. Matriiseille ja lineaarikuvauksille voidaan myös määritellä normeja. Olkoon jokin vektorinormi (esim. 2 tai ). Mitataan matriisin kokoa sillä, kuinka pitkiksi vektoreiksi matriisilla kerrottaessa yksikkövektorit saattavat kuvautua. Matriisille A C m n asetetaan A = max x =1 Ax. Tässä siis oikealla puolella esiintyy vektoreiden x C n ja Ax C m normeja. Näin määritelty A toteuttaa normin määritelmän 4 ehtoa. 2 / 14 R. Kangaslampi matriisiteoriaa
70 Matriisinormi Häiriöalttius Matriisinormi Kun halutaan korostaa, minkä vektorinormin avulla matriisinormi on, määritelty käytetään vastaavaa merkkiä. Esimerkiksi A 1 = max x 1 =1 Ax 1 ja A 2 = max x 2 =1 Ax 2. Esimerkki Matriisin A = matriisinormi 2 on A 2 = 4, sillä matriisi kuvaa yksikköpallon ellipsoidiksi, jonka pisimmän puoliakselin pituus on 4. 3 / 14 R. Kangaslampi matriisiteoriaa
71 Matriisinormi Häiriöalttius Matriisinormi Matriisinormin laskeminen voi, normista riippuen, olla hyvinkin hankalaa. 1- ja -normit ovat laskuissa monesti käteviä: Lause 2 Olkoon A C m n. Tällöin ja A 1 = max 1 j n A = max 1 i m m a ij eli suurin sarakesumma i=1 n a ij eli suurin rivisumma. j=1 4 / 14 R. Kangaslampi matriisiteoriaa
72 Matriisinormi Häiriöalttius Matriisinormi Kaikki eri matriisinormit ovat kuitenkin keskenään ekvivalentteja: Lause 3 Olkoot p ja q kaksi matriisinormia. Tällöin on olemassa positiiviset vakiot c 1 (p, q) ja c 2 (p, q) siten, että kaikilla A C m n. c 1 A p A q c 2 A p Matriisinormit siis poikkeavat toisistaan vain vakiolla: jos q-normissa A q < B q, niin p-normissa A p < c B p, missä c on normeista riippuva vakio. (Todistus: G. Zielke, Some remarks on matrix norms, condition numbers, and error estimates for linear equations, Linear Algebra and its Applications, Vol. 110 (1988), pp ) 5 / 14 R. Kangaslampi matriisiteoriaa
73 Matriisinormi Häiriöalttius Matriisinormi Matriisinormin ominaisuuksia: Ax A x, AB A B, A k A k, k = 1, 2,.... Seuraavaa tulosta tullaan tarvitsemaan myöhemmin: 6 / 14 R. Kangaslampi matriisiteoriaa
74 Matriisinormi Häiriöalttius Matriisinormi Lause 4 Olkoon A C n n siten, että A < 1. Tällöin I A on kääntyvä ja (I A) A. Todistus. Jos I A ei ole kääntyvä, niin on olemassa x C n siten, että x = 1 ja (I A)x = 0. Tällöin A Ax = x = 1, mikä on ristiriita. Oletetaan, että I A on kääntyvä. Jos x = 1 ja v = (I A) 1 x, niin 1 = (I A)v v Av v A v = (1 A ) v. Siten v 1 1 A. 7 / 14 R. Kangaslampi matriisiteoriaa
75 Matriisinormi Häiriöalttius Häiriöalttius Käytännön ongelmissa, joita kuvataan lineaarisilla malleilla Ax = b, on usein epätarkkuutta sekä datassa että mallissa, eli niin matriisin A kuin vektorin b kertoimissakin. Nyt halutaan tietää, millainen virhe voi aiheutua ratkaisuun x. Tarkastellaan ensin, miten δb :n suuruinen häiriö vektorissa b vaikuttaa ratkaisuun. Merkitään δx :llä ratkaisuvektorin muutosta. Vähentämällä yhtälöt Ax = b ja A(x + δx) = b + δb puolittain, saadaan δx = A 1 δb. Siten absoluuttisen virheen normille saadaan yläraja δx A 1 δb. 8 / 14 R. Kangaslampi matriisiteoriaa
76 Matriisinormi Häiriöalttius Häiriöalttius Paremmin ratkaisun virhettä kuvaa kuitenkin suhteellinen virhe δx / x, sillä lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisun voi kerroinmatriisia skaalaamalla saada pienemmäksi, jolloin myös absoluuttinen virhe pienenee. Koska b A x niin suhteelliselle virheelle saadaan yläraja-arvio δx x A A 1 δb b. 9 / 14 R. Kangaslampi matriisiteoriaa
77 Matriisinormi Häiriöalttius Häiriöalttius Määritelmä 5 Matriisin häiriöalttius on κ(a) = A A 1. Suuri häiriöalttius merkitsee siten, että pienikin suhteellinen virhe b :ssä voi aiheuttaa ratkaisuun x suuren epävarmuuden. Aivan vastaavasti voidaan tarkastella matriisin A häiriön δa aiheuttamaa virhettä ratkaisuun, ja saadaan δx δa κ(a) x + δx A. 10 / 14 R. Kangaslampi matriisiteoriaa
78 Matriisinormi Häiriöalttius Häiriöalttius Esimerkki 6 [ ] 1 ɛ Lasketaan κ 1 (A), kun A =, ɛ (0, 1). 1 ɛ [ ] Nyt A 1 = joten häiriöalttiudeksi saadaan 1/ɛ 1/ɛ κ 1 (A) = A 1 A 1 1 = 2 1 (1 + 1/ɛ) = 1 + 1/ɛ, 2 joka on suuri ɛ :n ollessa pieni. 11 / 14 R. Kangaslampi matriisiteoriaa
79 Matriisinormi Häiriöalttius Häiriöalttius Normissa 2 häiriöalttius olisi hankalaa laskea annetun määritelmän perusteella, mutta onneksi se saadaan helposti singulaariarvojen avulla: Lemma 7 κ 2 (A) = σ max(a) σ min (A), missä σ max (A) on matriisin A suurin ja σ min (A) pienin singulaariarvo. Ei todisteta tällä kurssilla. Muistutus: Matriisin A singulaariarvot ovat matriisin A T A ominaisarvojen positiiviset neliöjuuret. 12 / 14 R. Kangaslampi matriisiteoriaa
80 Matriisinormi Häiriöalttius Häiriöalttius Häiriöalttius riippuu (hieman) siitä, missä normissa asioita mitataan. Koska 1 = I = AA 1 A A 1, saadaan tosin κ(a) 1 jokaiselle kääntyvälle matriisille normista riippumatta. Kuten normit, myös häiriöalttiudet eri normeissa mitattuna ovat ekvivalentteja, eli poikkeavat toisistaan vain vakiokertoimella. Tämä nähdään seuraavasta lauseesta: 13 / 14 R. Kangaslampi matriisiteoriaa
81 Matriisinormi Häiriöalttius Häiriöalttius Lause 8 Olkoot häiriöalttiudet κ p (A) = A p A 1 p ja κ q (A) = A q A 1 q. Tällöin on olemassa positiiviset vakiot c 1 (p, q) ja c 2 (p, q) siten, että kaikilla A C m n. c 1 κ p (A) κ q (A) c 2 κ p (A) (Todistus: G. Zielke, Some remarks on matrix norms, condition numbers, and error estimates for linear equations, Linear Algebra and its Applications, Vol. 110 (1988), pp ) 14 / 14 R. Kangaslampi matriisiteoriaa
82 MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto / 1 R. Kangaslampi matriisiteoriaa
83 Kertaus: ominaisarvot Määritelmä 1 Jos n n-matriisille A pätee Ax = λx jollakin vektorilla x C n \ {0} ja skalaarilla λ C, niin λ on matriisin A ominaisarvo ja x sitä vastaava ominaisvektori. Ominaisyhtälö Ax = λx on yhtäpitävästi (A λi )x = 0, missä I on identtinen matriisi. Tälle löytyy nollasta eroava ratkaisu x täsmälleen silloin, kun det(a λi ) = 0 jollekin λ R. 2 / 1 R. Kangaslampi matriisiteoriaa
84 Kertaus: ominaisarvot Huomioita reaalisia ominaisvektoreita ei aina ole olemassa ominaisvektori on määritelmän mukaan nollasta eroava ominaisarvo voi olla nolla Ax = λx A(tx) = λ(tx) kaikilla t R, joten ominaisvektorin x sijaan voidaan puhua x:n suuntaisesta ominaissuorasta {tx t R}. (Kulkee origon kautta.) Jos lineaarikuvauksen A R n n ominaisarvo λ 0, niin vastaava ominaissuora kuvautuu itselleen ja ominaisarvo λ ilmoittaa ominaissuoran suuntaisen venytyksen. Jos λ < 0, niin suunnistus ominaissuoralla kääntyy, ts. venytyksen lisäksi lineaarikuvaus peilaa ominaissuoran normaalin suhteen. Jos λ = 0, niin kuvaus litistää ominaissuoran origoksi. 3 / 1 R. Kangaslampi matriisiteoriaa
85 Kertaus: ominaisarvot Ominaisarvot ja -vektorit lasketaan siis seuraavasti: Muodosta karakteristinen polynomi p(λ) = det(a λi ). Etsi karakteristisen polynomin nollakohdat p(λ) = 0, nämä ovat ominaisarvot. Ratkaise kullakin ominaisarvolla λ i sitä vastaava ominaisvektori/suora yhtälöstä (A λ i I )x = 0. 4 / 1 R. Kangaslampi matriisiteoriaa
86 Kertaus: ominaisarvot Määritelmä 2 Polynomin det(a λi ) juuren kertaluku on kyseisen ominaisarvon λ algebrallinen kertaluku m a (λ). Ominaisarvon λ geometrinen kertaluku m g (λ) on sitä vastaavan ominaisavaruuden dimensio, eli lineaarisesti riippumattomien ominaisvektorien lukumäärä. Huom: Geometrinen kertaluku ei koskaan voi olla suurempi kuin algebrallinen kertaluku, m g (λ) m a (λ). 5 / 1 R. Kangaslampi matriisiteoriaa
87 Kertaus: ominaisarvot Esimerkki 3 Etsi matriisin A = ominaisarvojen algebralliset ja geometriset kertaluvut. Ratkaisu: Lasketaan ominaisarvot karakteristisen polynomin nollakohtina: det(a λi ) =... = (3 λ) 2 (λ + 1) = 0, joten ominaisarvon λ = 3 algebrallinen kertaluku on 2 ja ominaisarvon λ = 1 on 1. Lasketaan sitten ominaisvektorit: 6 / 1 R. Kangaslampi matriisiteoriaa
88 Kertaus: ominaisarvot Kun λ = 1, yhtälö on (A + 1I )x = 0, ja saadaan x 2 = 0 ja x 3 = x 1, eli ominaissuora {t(1, 0, 1) t R}. Näin ollen geometrinen kertaluku on m g ( 1) = m a ( 1) = 1. Arvolle λ = 3 saadaan yhtälöstä (A 3I )x = 0 ehdot x 2 R ja x 3 = x 1, joten tätä ominaisarvoa vastaten saadaankin ominaistaso {s(1, 0, 1) + t(0, 1, 0) s, t R}. (Lineaarisesti riippumattomat ominaisvektorit esim. (1, 0, 1) ja (0, 1, 0)). Geometrinen kertaluku on siis m g (3) = 2. 7 / 1 R. Kangaslampi matriisiteoriaa
89 Ominaisarvot Ominaisarvoista voidaan puhua myös yleisemmin lineaarikuvauksille, ei vain matriiseille: Määritelmä 4 Olkoon V K -kertoiminen vektoriavaruus. Lineaarikuvausta avaruudelta itselleen: T : V V kutsutaan tavallisesti (lineaari-)operaattoriksi. Jos on olemassa λ K ja vektori v V \ {0} siten, että T v = λ v, niin sanotaan, että λ on T :n ominaisarvo ja vektori v on tähän liittyvä T :n ominaisvektori. 8 / 1 R. Kangaslampi matriisiteoriaa
90 Ominaisarvot Esimerkki 5 Tarkastellaan polynomeja {ˆp 1, ˆp 2, ˆp 3, ˆp 4 } = {1, 1 x, (1 x) 2, (1 x) 3 } ja lineaarikuvausta Tp(x) = p(2 x) polynomiavaruudessa P 3.Tällöin pätee T ˆp 1 = ˆp 1, T ˆp 2 = ˆp 2, T ˆp 3 = ˆp 3 ja T ˆp 4 = ˆp 4. Täten T :llä on ominaisarvot 1 ja 1. Ominaisarvoa 1 vastaavat ominaisvektorit ovat polynomit 1 ja (1 x) 2, ominaisarvoa 1 vastaavia ominaisvektoreita ovat 1 x ja (1 x) 3. 9 / 1 R. Kangaslampi matriisiteoriaa
91 Ominaisarvot Jos u ja v ovat lineaarikuvauksen T samaan ominaisarvoon λ liittyviä ominaisvektoreita, niin T (α u + β v) = α T u + β T v = α λ u + β λ v = λ (α u + β v), joten niiden lineaarikombinaatiokin on λ :aan liittyvä ominaisvektori (jos 0). Yhteen ominaisarvoon λ liittyvät ominaisvektorit muodostavatkin nollan kanssa ominaisavaruuden E T (λ) = { v V T v = λ v } = N(T λi ). 10 / 1 R. Kangaslampi matriisiteoriaa
92 Ominaisarvot Huom: Ominaisarvon geometrinen kertaluku on siis ominaisavaruuden dimensio: m g (λ) = dim(e A (λ)). Matriisin A K n n ominaisarvojen joukkoa eli spektriä merkitään Λ(A) :lla. Tämä on K :n ei-tyhjä osajoukko, jossa on korkeintaan n alkiota. A :n spektraalisäde ρ(a) on suurin A :n ominaisarvojen itseisarvoista eli ρ(a) = max λ. λ Λ(A) 11 / 1 R. Kangaslampi matriisiteoriaa
93 Ominaisarvot Esimerkki 6 Matriisille A = laskettiin aiemmin ominaisarvoiksi λ = 3 ja λ = 1. Arvolle λ = 1 saatiin ominaisvektori (1, 0, 1) T ja arvolle λ = 3 ominaisvektorit (1, 0, 1) T ja (0, 1, 0) T. Nyt siis spektri on Λ(A) = { 1, 3} ja spektraalisäde on ρ(a) = max λ Λ(A) λ = 3. Ominaisavaruudet ovat { E A ( 1) = N(A + I ) = α(1, 0, 1) T } α R, { E A (3) = N(A 3I ) = α(1, 0, 1) T + β(0, 1, 0) T } α, β R. 12 / 1 R. Kangaslampi matriisiteoriaa
94 Ominaisarvot Seuraava, jo mahdollisesti tuttu tulos, on avuksi muodostettaessa ominaisvektoreista kantoja: Lause 7 Olkoot λ 1,..., λ n lineaarikuvauksen T : V V erisuuria ominaisarvoja ja v 1,..., v n näitä vastaavia ominaisvektoreita. Tällöin v 1,..., v n ovat lineaarisesti riippumattomat. (Todistettu Matriisilaskenta-kurssilla) 13 / 1 R. Kangaslampi matriisiteoriaa
95 Kertaus: Diagonalisointi Neliömatriisi A, joilla on n riippumatonta ominaisvektoria, voidaan diagonalisoida. Tämä tarkoittaa, että matriisi A voidaan kirjoittaa muodossa A = SΛS 1, missä matriisin S sarakkeet ovat matriisin A ominaisvektorit, ja matriisi Λ on diagonaalimatriisi, jossa kussakin sarakkeessa on matriisissa S samassa sarakkeessa olevaan ominaisvektoriin liittyvä ominaisarvo. Huom n n-matriisi diagonalisoituu, jos sillä on n lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria. Erityisesti tämä tapahtuu silloin, kun matriisilla on n erisuurta ominaisarvoa, mutta voi siis tapahtua muulloinkin! 14 / 1 R. Kangaslampi matriisiteoriaa
96 Kertaus: Diagonalisointi Esimerkki 8 ( ) 1 2 Matriisin A = ominaisarvoa 1 vastaa ominaisvektori 2 1 ( ) ( ) 1 1 ja ominaisarvoa 3 vastaa. Diagonalisoi A. 1 1 Vastaus: A = SΛS 1 = ( ) ( ) ( 1/2 1/2 1/2 1/2 ) 15 / 1 R. Kangaslampi matriisiteoriaa
97 Kertaus: Diagonalisointi Jos matriisi on diagonalisoituva, sen potensseja on hyvin näppärä laskea: A 2 = SΛ } S 1 {{ S} ΛS 1 = SΛ 2 S 1 =I A 3 = SΛ } S 1 {{ S} Λ } S 1 {{ S} ΛS 1 = SΛ 3 S 1 =I =I A k = SΛ k S 1 Diagonaalimatriisin potenssit ovat helppoja: Λ k = λ λ n k = λ k λ k n. 16 / 1 R. Kangaslampi matriisiteoriaa
98 Kertaus: Diagonalisointi Käänteismatriisin löytäminenkin on diagonalisoidulle matriisille helppoa: A 1 = (SΛS 1 ) 1 = SΛ 1 S 1. missä diagonaalimatriisi kääntyy näppärästi, λ Λ 1 = λ n 1 λ = λ 1 n 17 / 1 R. Kangaslampi matriisiteoriaa
99 Kertaus: Diagonalisointi Esimerkki 9 Laske A 2014, kun A = ( ) Vastaus: A = SΛS 1 = ( ) ( ) ( ), A 2014 = = ( ) ( ( ) ) ( ) 18 / 1 R. Kangaslampi matriisiteoriaa
100 Similaarisuus Neliömatriisi A on similaarinen matriisin B kanssa, jos on olemassa säännöllinen matriisi S siten, että B = SAS 1. Tällöin merkitään A B. Muotoa SAS 1 olevaa matriisia kutsutaan A :n similaarimuunnokseksi. Esimerkki 10 Diagonalisoituva matriisi A on similaarinen sellaisen diagonaalimatriisin kanssa, jossa diagonaalilla ovat A:n ominaisarvot. Lineaarioperaattorin matriisiesitykset eri kantojen suhteen ovat keskenään similaariset. 19 / 1 R. Kangaslampi matriisiteoriaa
101 Similaarisuus Lause 11 Matriisien similaarisuus eli on ekvivalenssirelaatio, eli sillä on ominaisuudet: [Refleksiivisyys:] A A kaikilla A K n n. [Symmetrisyys:] A B = B A. [Transitiivisuus:] A B ja B C = A C. Todistus. Harjoitustehtävä 20 / 1 R. Kangaslampi matriisiteoriaa
102 Similaarisuus Similaarisilla matriiseilla on monia yhteisiä ominaisuuksia. Lause 12 Keskenään similaarisilla matriiseilla on sama karakteristinen polynomi ja siten myös samat ominaisarvot samoine algebrallisine kertalukuineen. Myös ominaisarvojen geometriset kertaluvut ovat samat. Todistus. Taululla. 21 / 1 R. Kangaslampi matriisiteoriaa
103 Similaarisuus Lause 13 Matriisi on similaarinen diagonaalimatriisin kanssa täsmälleen silloin, kun sen ominaisvektoreista voidaan muodostaa kanta. Näin on erityisesti silloin, kun ominaisarvot ovat erisuuret. Lause 14 Matriisi on similaarinen diagonaalimatriisin kanssa täsmälleen silloin, kun kaikille ominaisarvoille pätee m g (λ) = m a (λ). 22 / 1 R. Kangaslampi matriisiteoriaa
104 MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan
105 Schurin hajotelma Kaikki matriisit eivät diagonalisoidu. Kuitenkin, jokainen neliömatriisi on similaarinen yläkolmiomatriisin kanssa, vieläpä niin, että tämän similaarimuunnoksen suorittava matriisi on unitaarinen. Tämä nk. Schurin hajotelma on lähtökohta moniin muihin käyttökelpoisiin hajotelmiin. Lause 1 (Schurin hajotelma) Jokaiselle A C n n on olemassa unitaarinen matriisi Q siten, että S = Q AQ on yläkolmiomatriisi. S :n diagonaalialkiot ovat A :n ominaisarvot. Esitystä A = QSQ ( = QSQ 1 ) kutsutaan A :n Schurin hajotelmaksi. Käytännössä se lasketaan QR-hajotelman avulla iteratiivisesti, lisää aiheesta kurssilla Numeerinen matriisilaskenta. 2 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan
106 Schurin hajotelma Schurin hajotelman avulla saadaan kätevästi todistettua monia hyödyllisiä tuloksia, esimerkiksi: Lause 2 Matriisin determinantti on sen ominaisarvojen tulo. Todistus. Schurin hajotelmasta A = QSQ saadaan: det(a) = det(qsq ) = det(q) det(s) det(q ) = det(q) det(q ) det(s) = det(qq ) det(s) = det(s) ja koska S on yläkolmiomatriisi, niin tämä on S :n diagonaalialkioiden eli A :n ominaisarvojen tulo. 3 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan
107 Jordanin muoto Kaikki matriisit eivät diagonalisoidu, mutta kaikki matriisit ovat siis similaarisia yläkolmiomatriisin kanssa. Kysymys kuuluukin, kuinka yksinkertaiseen muotoon tämä yläkolmiomatriisi voidaan saattaa? Yksinkertaisin mahdollinen on ns. Jordanin muoto, jota nyt lähdetään etsimään. 4 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan
108 Jordanin muoto Tutkitaan aluksi Jordan-matriisia µ µ µ J(µ, r) := C r r µ µ µ Tämä karakteristinen polynomi on P J(µ,r) (λ) = (µ λ) r, eli ainoa ominaisarvo on λ = µ ja se algebrallinen kertaluku on m a (µ) = r. 5 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan
109 Jordanin muoto Ominaisarvoa µ vastaa kuitenkin vain yksi ominaissuunta: E µ (J(µ, r)) = {(α, 0, 0,..., 0) T α C}, eli geometrinen kertaluku on m g (µ) = 1. Jordan-matriisi ei siis todellakaan diagonalisoidu, vaan se on eräänlainen ääritapaus diagonalisoitumattomuudesta! Milloin matriisi on similaarinen Jordan-matriisin kanssa? Eli milloin A = V J(µ, r) V 1 jollakin V? 6 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan
110 Jordanin muoto Kirjoitetaan matriisi V muodossa V = [ v 1 v 2... v r ] ja katsotaan, millaisia ehtoja saadaan pystyvektoreille v i. A = V J(µ, r) V 1 A [ v 1... v r ] = [ v1... v r ] J(µ, r) Koska [ v1... v r ] J(µ, r) = [ µv1 v 1 + µv 2 v 2 + µv 3... v r 1 + µv r ] ja toisaalta A [ v 1... v r ] = [ Av1 Av 2 Av 3... Av r ], niin yhtälön A = V J(µ, r) V 1 pätemiseksi täytyy päteä 7 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan
111 Jordanin muoto Av 1 = µv 1 (A µi )v 1 = 0 Av 2 = v 1 + µv 2 (A µi )v 2 = v 1 Av 3 = v 2 + µv 3 eli (A µi )v 3 = v 2.. Av r = v r 1 + µv r (A µi )v r = v r 1 Kertomalla näitä edelleen (A µi ):n potensseilla, saadaan. 8 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan
112 Jordanin muoto (A µi )v 1 = 0 (A µi ) 2 v 2 = (A µi )v 1 = 0 (A µi ) 3 v 3 = (A µi ) 2 v 2 = 0. (A µi ) r v r = (A µi ) r 1 v r 1 = 0 eli (A µi )v 1 = 0 (A µi ) 2 v 2 = 0 (A µi ) 3 v 3 = 0. (A µi ) r v r = 0 Vektorit v 1, v 2,... v r saadaan siis ratkaisemalla ensin (A µi )v 1 = 0, sen jälkeen (A µi ) 2 v 2 = 0 jne. Tästä syystä vektoreita v 1, v 2,... v r kutsutaankin usein yleistetyiksi ominaisarvoiksi. 9 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan
113 Jordanin muoto Huom: Myös v 1 ratkaisee yhtälön (A µi ) 2 v 2 = 0, joten v 2 on löydettävä siten, että se on lineaarisesti riippumaton vektorista v 1. Vastaavasti myös seuraaville vektoreille: niiden on aina oltava lineaarisesti riippumattomia edellisistä. Käsin laskettaessa onkin yleensä helpompaa laskea vektorit v 1, v 2,... v r suoraan aiemmasta yhtälöryhmästä (A µi )v 1 = 0 (A µi )v 2 = v 1 (A µi )v 3 = v 2. (A µi )v r = v r / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan
114 Jordanin muoto Edetään tällä periaatteella, eli askeleella j etsitään yhtälölle (A µi )v j = v j 1 ratkaisu v j, joka on lineaarisesti riippumaton vektoreista v 1, v 2,..., v j 1. Mikäli algoritmi ei katkea ennen loppua, saadaan V = [ v 1 v 2... v r ] C r r siten, että A = V J(µ, r)v 1. Tietenkään yleinen A C r r ei ole similaarinen Jordan-matriisin kanssa (A:lla esim. useita ominaisarvoja). Seuraava kuitenkin pätee: 11 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan
115 Jordanin muoto Lause 3 Jokainen A C n n on similaarinen jonkin Jordanin kanonisen muodon kanssa, eli A = V JV 1, missä J(λ 1, r 1 ) J(λ 2, r 2 ) J =... Cn n, J(λl, rl) r r l = n. Tässä λ 1,..., λ l ovat matriisin A ominaisarvot (voi olla λ j = λ i, vaikka j i), ja J(λ j, r j ) ovat Jordan-lohkoja. 12 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan
116 Jordanin muoto Huom: Matriisin A Jordanin kanoninen muoto on lohkojen järjestystä vaille yksikäsitteinen, mutta muunnosmatriisi V ei ole. Esimerkki 4 Laske Jordanin hajotelma matriisille A = / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan
117 Jordanin muoto Ratkaisu: Lasketaan ensin matriisin A ominaisarvot: p λ (A) = det(a λi ) =... = (λ 1)(λ 2) 2 = 0, josta saadaan λ 1 = 1, λ 2 = 2. Lasketaan ominaisvektori ominaisarvolle λ 1 = 1, ja saadaan esim. u 1 = (1, 3, 2) T. Laskettaessa ominaisvektoreita ominaisarvolle λ 2 = 2 huomataan, että kaikki ominaisvektorit ovat muotoa v = (0, α, 3α) T, eli kahta lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria ei löydy. Matriisi A ei siis diagonalisoidu. Jordanin hajotelma voidaan toki silti tehdä. Valitaan sitä varten ominaisvektoreista yksi, esim. v 1 = (0, 1, 3) T. 14 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan
118 Jordanin muoto Hajotelmasta puuttuva kolmas vektori (eli toinen vektori ominaisarvon 2 lohkoon) voidaan ratkaistava yhtälöstä (A λ 2 I )v 2 = v 1. Tämän ratkaisut ovat muotoa ( 1, α, 8 3α) T, α R. Valitaan v 2 = ( 1, 0, 8) T. Näin ollen V = [ ] v 1 v 2 v 3 = / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan
119 Jordanin muoto Hajotelmaan varten täytyy vielä laskea V 1. Tämän jälkeen saadaan lopulta tulos: A = V JV 1 = / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan
120 Jordanin muoto Jos matriisissa A on moninkertaisia ominaisarvoja, tai se on lähellä matriisia, jolla on moninkertaisia ominaisarvoja, niin sen Jordanin kanoninen muoto on hyvin herkkä pienille muutoksille. Esimerkki 5 [ ] 1 1 Olkoon A =. ɛ 1 Jos ɛ = [ 0, niin ] A:n Jordanin kanoninen muoto on se itse, eli 1 1 J A =. 0 1 [ ] 1 + ɛ 0 Jos kuitenkin ɛ 0, niin J A = 0 1. ɛ 17 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan
121 Jordanin muoto Jordanin muodon häiriöalttius tekee hyvin vaikeaksi rakentaa tarkkoja ja toimivia algorimeja sen laskemiseen. Tästä syystä Jordanin muotoa ei juurikaan käytetä numeerisessa analyysissä. Numeerisesti stabiili Schurin hajotelma on paljon parempi vaihtoehto. 18 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan
122 Matriisieksponentti MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisieksponentti Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto / 13 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
123 Matriisieksponentti Matriisieksponentti Differentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa tyypillinen yrite on muotoa y(t) = e rt. Differentiaaliyhtälösysteemeissä tyyppiä x = Ax tarvitaan puolestaan matriisieksponenttia e At. Seuraavaksi selvitetäänkin, miten tällaisia voidaan laskea. Sarjateoriasta tiedetään, että eksponenttifunktion potenssisarja e x = 0 xk k! suppenee x C. Tämän analogian perusteella voidaan määritellä neliömatriisin eksponenttifunktio kaavalla e A = k=0 1 k! Ak. 2 / 13 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
124 Matriisieksponentti Matriisieksponentti Esimerkki 1 Diagonaalimatriisin D = diag(d 1, d 2,..., d n ), potenssit ovat muotoa D k = diag(d k 1, d k 2,..., d k n ), joten e D = k=0 1 k! Dk = diag ( k=0 d 1 k k!,..., k=0 d k n k! ) = diag( e d 1,..., e dn ). 3 / 13 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
125 Matriisieksponentti Matriisieksponentti Esimerkki 2 Laske e N, kun N = Potensseja laskettaessa todetaan, että N 2 = ja N 3 = 0. Näin ollen myös kaikki korkeammat potenssit N k = 0, kun k 3. Siten e N = I + N N2 = / 13 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
MS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Lineaarikuvaus
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Lineaarikuvaukset Lineaarikuvaus Olkoot U ja V
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 14 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Matriisinormi
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat:
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
Lisätiedot1. Normi ja sisätulo
Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotMS-A0003/A Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6
MS-A3/A - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 Ratkaisuehdotelmia. Diagonalisointi on hajotelma A SΛS, jossa diagonaalimatriisi Λ sisältää matriisin A ominaisarvot ja matriisin S sarakkeet ovat näitä ominaisarvoja
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedoti=1 Näistä on helppo näyttää ominaisuudet (1)-(4). Ellei toisin mainita, käytetään R n :ssä
Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 003. 8.0.003 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni.. Normi
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 205 / 3 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista Differentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa
LisätiedotNeliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja
7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien
LisätiedotDemorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Ensi viikolla luennot salissa X Torstaina 7.12. viimeiset demot (12.12. ja 13.12. viimeiset luennot). Torstaina 14.12 on välikoe 2, muista ilmoittautua! Demorastitiedot
LisätiedotMatemaattinen Analyysi / kertaus
Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen
Lisätiedotominaisvektorit. Nyt 2 3 6
Esimerkki 2 6 8 Olkoon A = 40 0 6 5. Etsitäänmatriisinominaisarvotja 0 0 2 ominaisvektorit. Nyt 2 0 2 6 8 2 6 8 I A = 40 05 40 0 6 5 = 4 0 6 5 0 0 0 0 2 0 0 2 15 / 172 Täten c A ( )=det( I A) =( ) ( 2)
LisätiedotMatriisihajotelmat. MS-A0007 Matriisilaskenta. 5.1 Diagonalisointi. 5.1 Diagonalisointi
MS-A0007 Matriisilaskenta 5. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 25.11.2015 Laskentaongelmissa käsiteltävät matriisit ovat tyypillisesti valtavia.
LisätiedotMatriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?
Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi
LisätiedotSisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006
Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
LisätiedotAlkeismuunnokset matriisille, sivu 57
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna
Lisätiedot2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut
2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
Lisätiedot5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT
5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön
LisätiedotMatriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät
Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa
Lisätiedot6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI
6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,
LisätiedotPäättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1
Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon
LisätiedotSimilaarisuus. Määritelmä. Huom.
Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP
Lisätiedot1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n
LisätiedotMatriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo
Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Antti Rasila 2016 Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Jos {v 1, v 2,..., v k } on äärellisulotteisen vektoriavaruuden V lineaarisesti riippumaton
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotLineaarialgebra II P
Lineaarialgebra II 89P Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5 Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:.
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
Lisätiedot6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI
0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotOminaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotMatematiikka B2 - TUDI
Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotMääritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotBijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
LisätiedotMS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42 Tehtävät 1-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ryhmissä, ja ryhmien ratkaisut esitetään harjoitustilaisuudessa (merkitty kirjaimella L = Lasketaan).
LisätiedotRatkaisuehdotukset LH 7 / vko 47
MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
LisätiedotMatematiikka B2 - Avoin yliopisto
6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotLineaarialgebra II, MATH.1240 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg
Vaasan yliopisto, syksy 218 Lineaarialgebra II, MATH124 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg Tentti T1, 284218 Ratkaise 4 tehtävää Kokeessa saa käyttää laskinta (myös graafista ja CAS-laskinta), mutta ei taulukkokirjaa
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
Lisätiedot6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio
6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotLineaarialgebra, kertausta aiheita
Lineaarialgebra, kertausta aiheita Matriisitulo käänteismatriisi determinantin kehittäminen determinantin ominaisuudet adjungaatti ja Cramerin kaavat yhtälöryhmän eri esitystavat Gauss-Jordan -algoritmi
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotTehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2.
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2016 Harjoitus 3 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 29.8.2016 klo 13.15. Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä
LisätiedotJAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
Lisätiedot1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa
MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
LisätiedotLineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi
Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2014 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 1 of 16 Kertausta Lineaarinen riippuvuus
LisätiedotOMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA
1 OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA Olkoon x = (x 1,..., x n ) avaruuden R n piste (l. vektori). Vektori x samaistetaan n 1-matriisin (x 1 x 2... x n ) T kanssa, ts. voidaan yhtä hyvin kirjoittaa x1
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotSingulaariarvohajotelma ja pseudoinverssi
HELSINGIN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Niko Kaitarinne Singulaariarvohajotelma ja pseudoinverssi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Helmikuu 01 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen
LisätiedotOminaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi
Ominaisarvo-hajoitelma ja a 1 Lause 1: Jos reaalisella n n matriisilla A on n eri suurta reaalista ominaisarvoa λ 1,λ 2,...,λ n, λ i λ j, kun i j, niin vastaavat ominaisvektorit x 1, x 2,..., x n muodostavat
LisätiedotEsimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt
Esimerkki 4.4. Määrää matriisin 2 2 1 A = 1 3 1 2 4 3 ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt det(a λi ) = 1 + 2 λ 2 1 + 1 λ 1 λ 1 3 λ 1 = 1 3 λ 1 2 4 3 λ 2 4 3 λ 1 λ = 1 4 λ 1 = (1 λ)( 1)1+1 4 λ 1 2 6 3
LisätiedotYleiset lineaarimuunnokset
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
LisätiedotEnnakkotehtävän ratkaisu
Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.
Lisätiedot9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut
MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:
Lisätiedot