MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

Transkriptio

1 MS-C340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 205 / 3 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

2 Differentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa tyypillinen yrite on muotoa y(t) = e rt. Differentiaaliyhtälösysteemeissä tyyppiä x = Ax tarvitaan puolestaan matriisieksponenttia e At. Seuraavaksi selvitetäänkin, miten tällaisia voidaan laskea. Sarjateoriasta tiedetään, että eksponenttifunktion potenssisarja e x = 0 xk k! suppenee x C. Tämän analogian perusteella voidaan määritellä neliömatriisin eksponenttifunktio kaavalla e A = k=0 k! Ak. 2 / 3 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

3 Esimerkki Diagonaalimatriisin D = diag(d, d 2,..., d n ), potenssit ovat muotoa D k = diag(d k, d k 2,..., d k n ), joten e D = k=0 k! Dk = diag ( k=0 d k k!,..., k=0 d k n k! ) = diag( e d,..., e dn ). 3 / 3 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

4 Esimerkki 2 Laske e N, kun 0 0 N = Potensseja laskettaessa todetaan, että N 2 = ja N 3 = 0. Näin ollen myös kaikki korkeammat potenssit N k = 0, kun k 3. Siten e N = I + N N2 = / 3 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

5 Tällaista matriisia, jonka potenssit jostakin eteenpäin ovat nollia, kutsutaan nilpotentiksi. Sellaiselle sarjakehitelmä e A = k=0 k! Ak luonnollisesti aina suppenee. Mutta miten voidaan tietää, että tämä sarjakehitelmä suppenee mielivaltaisen neliömatriisin tapauksessa? Mielivaltaisessa normiavaruudessa V jono {v k } k= suppenee kohti alkiota v V, jos pätee: lim k v k v = 0. Tarkastellaan nyt matriisieksponentin sarjakehitelmän suppenemista. 5 / 3 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

6 Lause 3 Sarja k=0 k! Ak suppenee kaikilla A C n n. Todistus. Taululla. Idea: tarkastellaan kutakin matriisin elementtiä erikseen, ja käyttämällä tietoa, että 0 xk k! suppenee, todetaan kunkin elementin ja siten koko matriisisarjan suppenevan. 6 / 3 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

7 Seuraavan lauseen tietojen avulla matriisieksponentti voidaan laskea yleiselle neliömatriisille: Lause 4 Olkoot A, B ja P n n -matriiseja ja P lisäksi kääntyvä. a) Jos C = PAP, niin e C = P e A P. b) Jos AB = BA, niin e A+B = e A e B. c) e A = (e A ). d) e (A ) = (e A ). 7 / 3 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

8 Jos matriisi A on diagonalisoituva, eli löytyy P siten, että A = PΛP, jossa Λ on lävistäjämatriisi, niin edellisen lauseen a)-kohdan mukaan e A = Pe Λ P. Koska lävistäjämatriisin eksponenttifunktio osataan laskea, on e A :n laskeminen diagonalisoituville matriiseille näin ratkaistu. 8 / 3 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

9 Esimerkki 5 [ 0 Matriisin A = ominaisarvot ovat λ 0 = ja λ 2 =. [ Niitä vastaavat ominaisvektorit ovat esim. v = ja [ [ [ 0 v 2 =. Siten Λ =, P = ja 0 [ [ [ e A = Pe Λ P e 0 = 0 e 2 = [ e + e e e 2 e e e + e = [ cosh sinh sinh cosh. 9 / 3 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

10 Jos A ei ole diagonalisoituva, niin se voidaan kuitenkin similaarimuuntaa Jordanin muotoon J A. Nyt e J A on lohkolävistäjämatriisi, jonka lohkot koostuvat muotoa e J(λ,r) olevista matriiseista. Nämä voidaan laskea seuraavasti: Jordan-lohko voidaan kirjoittaa lävistäjämatriisin ja nilpotentin matriisin summana [ λ λ [ λ [ 0... J(λ, r) = λi + N =.... = λ λ λ Koska λi ja N kommutoivat, saadaan r e J(λ,r) = e λi+n = e λi e N = e λ j=0 j! Nj. 0 / 3 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

11 Esimerkki 6 Lasketaan Jordan-lohkolle J(4, 2) matriisieksponentti: e J(4,2) = e 4I+[ = e 4I e [ 0 ( [ ) [ = e k 0 e 4 k! = = k=0 ([ 0 0 e 4 [ e [ [ [ e 4 0 [ 0 e 4 0 = e 4 e 4 0 e 4 ) (koska [ k = 0 k > ) / 3 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

12 Esimerkki 7 Aiemmin laskettiin matriisin A = Jordan-muotoon X AX = J A = [ [ Näin ollen [ e A = Xe J A X e 2 = X, missä X = e J(4,2) similaarimuunnos [ 0 0 X [ [ [ e 2 = 0 0 e 4 [ = 4e 4 e 2 + 3e 4 e 2 + e 4 2e 4 e 2 e 4 e 2 e e 4 e 2 + e 4 e 2 + e 4. 2 / 3 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

13 Kaikilla matriiseilla on Jordanin hajotelma, joten nyt osataan laskea matriisieksponentti mille tahansa matriisille. Voidaan siis siirtyä eteenpäin, ratkomaan differentiaaliyhtälöitä matriisieksponentin avulla. 3 / 3 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista