S Signaalit ja järjestelmät (5 op) Prof. Sven-Gustav Häggman

Transkriptio

1 S Signaali ja järjeselmä (5 op) Prof. Sven-Gusav Häggman

2

3 S Signaali ja järjeselmä (5 op) Sven-Gusav Häggman Sisällyslueelo sivu 1 Johdano 7 Signaali ja signaalien esiäminen 13.1 Signaalien luokius Jakuva ja diskreei signaali Pulssisignaali ja ajallisesi rajoiamaoma signaali Jaksollise ja jaksooma signaali Deerminisise ja saunnaise signaali Reaalise ja kompleksise signaali 19. Signaalien esiysapoja 1..1 Signaalien kanafunkioesiykse 1.. Orogonaalise ja oronormaalise kanafunkioesiykse 3..3 Signaalimuunnokse 33 3 Signaalien aajuusanalyysi Fourier-sarja Mielivalaisen signaalin Fourier-sarja rajoieulla aikavälillä Jaksollisen signaalin Fourier-sarja rajoiamaomalla aikavälillä Fourier-sarjan fysikaalinen ulkina viivaspekrinä Fourierin kosini- ja sinisarja Esimerkkejä jaksollisen signaalien Fourier-sarjoisa Kakaisu Fourier-sarja signaaliapproksimaaiona Fourier-muunnos Viivaspekrisä spekriiheyeen Fourier-muunnoksen ja -kääneismuunnoksen määrielmä Esimerkkejä pulssisignaalien Fourier-muunnoksisa Fourier- ja Laplace-muunnoksen välinen yheys Fourier-muunnoksen määriäminen sen ominaisuuksien avulla Fourier-muunnoksen symmeriaominaisuude Energiaominaisuude ja Rayleighin eoreema Superposiio 7 3

4 3.3.4 Aikasiiro Taajuussiiro (lineaarinen modulaaio) Aika- ja aajuusskaalaus Duaalisuus Derivoinikeino Inegroinikeino Kerolasku ja konvoluuioinegraali Erikoissignaalien muunnokse Impulssifunkio, muunnos ja ominaisuude, epäjakuvuuskohdan derivoini Jakuvien kosini- ja sinisignaalien Fourier-muunnokse Jaksollisen signaalin Fourier-sarjan Fourier-muunnos Näyejonon Fourier-muunnos ja näyeenooeoreema Signumsignaali ja sen Fourier-muunnos Askelfunkio ja sen Fourier-muunnos Diskreei Fourier-muunnos (DFT) Numeerisen spekrianalyysin aseama reunaehdo DFT:n ja IDFT:n määrielmä DFT:n ominaisuuksia DFT:n soveluminen jakuvien signaalien spekrien numeeriseen laskemiseeen Ikkunoini ja vuooilmiö Lineaarise järjeselmä Lineaarisen järjeselmien luokiusperiaaeia Lineaarisen järjeselmän määrielmä Ajasa riippumaoma ja riippuva järjeselmä (linear ime-invarian (LTI), linear ime-varian (LTV)) Kausaalise ja ei-kausaalise järjeselmä LTI-järjeselmien kuvausfunkio Musien laaikkojen lähesymisapa Siirofunkio, sen johaminen ja fysikaalinen ulkina Impulssivase, sen johaminen ja fysikaalinen ulkina Ampliudi- ja vaihefunkio, ehonsiirofunkio Ampliudi-, vaihe- ja kulkuaikaväärisymä Signaaliaso ja db-käsie Lineaarise järjeselmäyhdiselmä 173 4

5 4.3.1 Sarjakykenä Rinnakkaiskykenä Takaisinkykenä Muia järjeselmäyhdiselmiä Lineaarisen järjeselmien sabiilisuus Sabiilisuuden peruseho Sabiilisuuden käyännön oeamismeneelmiä Suodain LTI-sovelluksena Suodaimien käyöarkoiuksia Ideaalise alipääsö-, ylipääsö- ja kaisanpääsösuodaime Käyännön suodaimien pääsö-, eso- ja ylimenokaisa, selekiivisyys Tavallisimma suodainperhee Alipääsösuodaimen nousuaika 11 5 Epälineaarise järjeselmä Muisioman epälineaarisen järjeselmän ominaiskäyrä 3 5. Muisioman epälineaarisen järjeselmän signaalianalyysi Harmonise särökeroime ja särövaimennukse Särökeroimen johaminen ominaiskäyräsä Muia epälineaarisuua kuvaavia paramereja Keskeismodulaaiosärö Muisillisen epälineaarisen järjeselmien kuvaus 45 6 Saunnaise signaali lineaarisissa järjeselmissä Todennäköisyyseorian perusee Saunnaisilmiön perusalkio Saunnaisapahuma Saunnaismuuuja Saunnaissignaali Todennäköisyys Saunnaismuuujien kuvaus Kumulaiivinen jakaumafunkio jaodennäköisyysiheysfunkio Tilasollise odousarvo Usein esiinyviä odennäköisyysmalleja Binomijakauma Poissonjakauma 74 5

6 6.3.3 Gaussin jakauma Rayleigh- ja Rice-jakauma Tasainen jakauma Laplace-jakauma Log-normaalinen jakauma Saunnaissignaalien luonne Saunnaissignaalien ilasollinen kuvaus Yheisiheysfunkio p(x(1),x(),...,x(n)) Ensimmäisen ja oisen keraluvun ilasollise kuvaukse Laajassa mielessä saionäärise, saionäärise ja ergodise saunnaissignaali Auokorrelaaiofunkio ja ehospekri Auokorrelaaiofunkion ja ehospekrin ominaisuuksia Esimerkkejä auokorrelaaiofunkioiden määriämisesä Saunnaissignaalien suodaus Tulo- ja lähösignaalien iheysfunkio Tulo- ja lähösignaalien auokorrelaaiofunkio ja ehospekri Suodaimien kohinakaisanleveys 308 6

7 1. Johdano Kurssilla käsiellään signaalien ja järjeselmien analyysin peruskäsiee ja -meneelmä ja ukiaan niiden yksinkeraisia sovelluksia. Eupäässä arkasellaan jakuvia signaaleja ja järjeselmiä. Diskreeeisä signaaleisa ja järjeselmisä käsiellään diskreeiä Fourier-muunnosa, jolloin koroseaan sen käyöä jakuvien signaalien aajuusspekrin numeerisen laskennan yökaluna. Signaalien ja järjeselmien unemus on arpeen hyvin monella alueella. Elekroniikkajärjeselmissä joko generoidaan signaaleja ai käsiellään laieeseen syöeyjä ulosignaaleja kehiämällä niisä uusia lähösignaaleja, esim. vahvisamalla ai suodaamalla. Elekroniikkajärjeselmisä voidaan määrää signaaliparamereja ja kuvausfunkioia. Tieoliikenneekniikassa siirreään informaaioa kanavia signaaleja paikasa oiseen. Tieoliikenneverkkojen hallinnassa ja siiroyheyksien muodosamisessa käyeään näihin arkoiuksiin määrielyjä signaaleja. Keskeinen ongelma iedonsiirrossa on hyöysignaalin ehokas eroaminen siirolinkillä ja vasaanoimessa synyväsä kohinasa ja häiriöisä. Signaalikäsielyssä keskiyään sovelamaan ehokkaia algorimeja signaalien laajoihin muokkaamisehäviin. Tämä edellyää yleensä alkuperäisen signaalin näyeisämisä ja näyejonojen muunamisa. Miausekniikassa pyriään havaisemaan ja usein rekiseröimään miaavasa ilmiösä kerovia signaaleja. Anuriekniikalla pyriään generoimaan helposi miaavia signaaleja. Sääöekniikassa miaaan säädeäväsä järjeselmäsä ai prosessisa erilaisia signaaleja, joia sien sopivasi käsielyinä käyeään järjeselmän ai prosessin ohjaamiseen. Kaukokaroiuksessa miaaan karoiavasa objekisa heijaseuja signaaleja ai objekin isensä generoimia signaaleja. Radiomääriysjärjeselmissä pyriään omaa sijainia määriämään navigoinijärjeselmän läheämien signaalien avulla ai jonkin muun objekin sijainia ja/ai liikeraaa määriämään ukapulssiheijasusen avulla. Tässä on vain suppea lueelo alueisa, joissa signaali- ja järjeselmäieoua arviaan. Havaiaan, eä signaalien ja järjeselmien perusunemus on yhä ärkeä kuin esim. piirien ja kenien eorian uneminen. 7

8 SIGNAALIT JA JÄRJESTELMÄT Miä käsiellään? signaalien ja järjeselmien peruskäsieiä signaali- ja järjeselmäanalyysin perusmeneelmiä pääfokuksessa jakuva signaali ja järjeselmä, mua myös diskreei signaali ova esillä yksinkeraisia sovelluksia Missä ällaisia ieoja arviaan? Esim. elekroniikkajärjeselmissä ieoliikennejärjeselmissä signaalikäsielyssä miausekniikassa sääöekniikassa kaukokaroiuksessa radiomääriyksessä jne. 8

9 Seuraavaksi arkasellaan signaalin ja järjeselmän käsieä. Signaalilla arkoieaan fysikaalisen apahuman kuvausa ajan, paikan, ai jonkin muun muuujan funkiona. Signaalin yksikkö voi olla melkein mikä ahansa, mua sähköisellä signaalilla se on jännie ai vira. Joskus käyeään yksikkönä W, jos esim. unneaan signaalin eho. Järjeselmä suoriaa jonkin ehävän. Siihen syöeään yksi ai useampia ulosignaaleja, ja se uoaa yhden ai useampia lähösignaaleja. Tässä käsiellään järjeselmiä, joissa on yksi ulosignaali ja yksi lähösignaali. Järjeselmä voi olla lineaarinen ai epälineaarinen, ja sen ominaisuude voiva olla vakioia ai ajan mukana muuuvia. Tässä käsiellään vain ns. LTI-järjeselmiä, eli lineaarisia aika-invarianeja (ajan funkiona muuumaomia) järjeselmiä. Myös lieväsi epälineaarisia, muisiomia LTI-järjeselmiä kuvaaan. Muisiomuus ässä yheydessä arkoiaa siä, eä epälineaarisuus ei muuu ulosignaalin aajuuden funkiona. LTV-järjeselmä eli lineaarise aika-variani (ajan funkiona muuuva) järjeselmä ja muisillise epälineaarise LTI-järjeselmä jäävä käsielemää. Järjeselmien rakenne vaikuaa ieysi lähösignaaleihin, mua rakenne ei ole ensisijainen kiinnosuksen kohde, vaan ns. järjeselmäfunkio, joka mallinava lähösignaalien ja ulosignaalien välise yheyde. Seuraavassa esieään muuamia esimerkkejä erilaisisa järjeselmisä ja niihin liiyvisä signaaleisa. Esimerkki 1.1 Sähköinen piiri Tämä koosuu vasusen, kondensaaoreiden ja kelojen muodosamasa kykennäsä. Tulosignaalina on joko jännie- ai virapulssi, ja piirin muokkama lähösignaali on myös joko jännie- ai virapulssi. Esimerkki 1. Auon käynnisysjärjeselmä Tulosignaalina on käynnisysreleen uoama virapulssi, ja lähösignaalina käynnisysmooorin akselin anama mekaaninen momeni. Ny ulo- ja lähösignaalien luonee ova aivan erilaise. Esimerkki 1.3 Kaua yliävä ihminen Tässä järjeselmässä on useia ulo- ja lähösignaaleja. Tulosignaali ova silmille uleva rajoieusi kolmiuloeise kuva kadulla liikkuvisa ajoneuvoisa ja korville uleva osiain kaksiuloeise ajoneuvojen ääne. Lähösignaali ova jalkalihasen oiminaa sääävä hermoärsykkee. Esimerkki 1.4 Tukainformaaioa käsielevä ieokonejärjeselmä Tulosignaalina on lenokoneesa heijasunee kaiu ja lähösignaaleina lenokoneen sijainnin ja lenoradan kerova signaali. 9

10 SIGNAALI- JA JÄRJESTELMÄKÄSITTEET Signaali: Signaali on jonkin fysikaalisen apahuman kuvaus ajan funkiona Järjeselmä: Järjeselmä suoriaa jonkin ehävän. Järjeselmään syöeään yksi ai useampia ulosignaaleja, ja se uoaa yhden lähösignaalin ai useampia lähösignaaleja. Tulosignaali x () 1 x () x () M Järjeselmä Lähösignaali y () 1 y () y () N Esim. 1 Esim. Esim. 3 Esim. 4 Sähköinen piiri Tulosignaali: jännie/vira-signaali Lähösignaali: jännie/vira-signaali Auon käynnisysjärjeselmä Tulosignaali: käynnisysreleen virapulssi Lähösignaali: käynnisysmooorin momeni Kaua yliävä ihminen Tulosignaali: silmille uleva liikeneen kuva, korville uleva ajoneuvojen ääne Lähösignaali: jalkalihasen oiminaa ohjaava hermoärsykkee Tukainformaaioa käsielevä ieokonejärjeselmä Tulosignaali: lenokoneesa heijasunee kaiu Lähösignaali: sijainia ja liikeraaa edusava signaali 10

11 KURSSIN LUONNE Maemaainen kuvaus idealisoiduilla signaali- ja järjeselmämalleilla Absrakisuus: mone signaali ja signaalimuunnokse eivä ole helposi miaavissa, fysikaalinen ulkina välillä vaikeaa järjeselmien fysikaalinen oimina ei ole kovin kiinnosava, vaan ne kuvaaan erilaisilla järjeselmäfunkioilla kuen siirofunkiolla ja impulssivaseella omaksuminen vaikeaa alussa oma akiivinen panos ärkeä Ongelmarakaisuissa on osaava sovelaa maemaaisia yökaluja laskuruiini arpeen käyävä ise läpi esimerkkejä ja harjoiusehäviä 11

12 KURSSIN TAVOITTEET Kurssinn jälkeen osanoaja unee: signaali- ja järjeselmäanalyysin perusperiaaee ja -käsiee, signaalin aajuusesiyksen idean ja laskenameneelmä, deerminisisen ja saunnaisen signaalien käyäyymisen lineaarisissa järjeselmissä. Kurssin suorieuaan osanoaja osaa sovelaa ieonsa mm.: pulssisignaalien spekrianalyysiin Fouriermuunnoksella käyäen muunnoksen ominaisuuksia, lineaarisen järjeselmän pulssivaseen laskemiseen konvoluuioekniikalla, suodainparamerien mioiukseen haluujen suodausominaisuuksien saavuamiseksi, lieväsi epälineaarisen järjeselmien särökeroimien laskemiseen, saunnaissignaalien ehoanalyysiin lineaarisissa suodaimissa. 1

13 Signaali ja signaalien esiäminen Meissä isessämme ja ympäröivässä maailmassa esiinyy laaja valikoima signaaleja, joka ova ärkeiä oiminnallemme. Seuraavassa esieään joiakin signaaleja, joisa muuama ova ärkeiä ihmisen oiminnassa, ja oise ova keskeisiä ihmisen rakenamissa järjeselmissä. Ihmisen kokema odellisuus väliyy eri signaalien avulla. Signaalien vasaanoamiseksi on kehiyny erikoisuneia elimiä, joiden vasaanoama ja vasaanoamisen jälkeen sopivasi muunneu signaali käsiellään aivoissa. Silmä ova herkä sähkömagneeisille aalloille, joiden aallonpiuus on 400 ja 750 nm välillä. Tämä on seuraus siiä, eä näillä aallonpiuuksilla ilmakehän vaimennuksessa on ikkuna, eli vaimennus on pieni. Näköaisi muokkaa opise signaali sien, eä saamme kaksiuloeisen (ja rajoieusi kolmiuloeisen) kuvan ympärisösämme. Korva ova herkä ilmakehässä eeneville paineaalloille, joiden aajuus on välillä [ Hz]. Kuuloaisi muokkaa akusise signaali sien, eä kuulemme puhea ja lähesyviä vaaroja yms. Nenän hajusolu ja kielen makusolu ova herkkiä kemiallisille signaleille. Hajuaisi ja makuaisi voi unnisaa eri aineia ja ehkä esää meiä syömäsä sopimaomia ruoka-aineia. Kehoon jakauunee erikoissolu ova herkkiä lämpö-, paine- ja koskeussignaaleille. Tunoaisi unnisava näissä apahuvia muuoksia, joa voisimme välää jouumasa vaikeuksiin, kun ulkoise olosuhee käyvä meille sopimaomiksi. Ihmisen oiminaa sääävä eri signaali. Aivojen käsielyä aisien väliämiä signaaleja, ne saaava joskus läheää lihaksille oiminasignaaleja hermoraoja pikin ai rauhasille käskyjä uoaa ilaneeseen sopivia hormoneja. Teknisissä järjeselmissä siirreään ai käsiellään lopuon määrä signaaleja. Näisä voidaan mainia informaaion siirrossa siirrey, siirron oeuamisessa käyey signaali ja siiroa häirisevä signaali (kuva, daa/digiaalise pulssi, kanoaallo/kohina ja häiriö). Signaalikäsielyssä, esim. puhe- ja kuvakoodauksessa ja analogia-digiaalimuunnoksissa synyy alkuperäisisä poikkeavia signaaleja. Radiomääriysjärjeselmien signaaleja 13

14 ERILAISET SIGNAALIT Ihmisen kokema odellisuus väliyy eri signaalien avulla. opise signaali, näköaisi akusise signaali, kuuloaisi kemiaallise signali, maku- ja hajuaisi lämpö-, paine- ja koskeussignaali, unoaisi Ihmisen oiminaa sääävä myös eri signaali hermoverkosossa kulkeva signaali Signaali eknisissä järjeselmissä informaaion siirrossa käyey signaali signaalikäsielyssä käyey signaali radiomääriysjärjeselmien signaali kaukomiaus- ja kauko-ohjausjärjes elmien signaali kaukokaroiusjärjeselmien signaali sääö- ja ohjausjärjeselmien signaali 14

15 ova uka- ja navigoinijärjeselmien pulsseja ja kanoaaloja. Kaukomiausjärjeselmissä erilaise anuri uoava miaavaa ilmiöä kuvaavia signaaleja, ja kauko- ohjausjärjeselmissä läheeään signaaleja, joka suoriava ennala määräy oiminno Kaukokaroiusjärjeselmissä käyeään usein ukamaisia signaaleja ai analysoidaan kuvaavan koheen uoamia signaaleja. Sääö- ja ohjausjärjeselmissä miaaan jonkin prosessin anureille uoama signaali ja sopivilla algorimeillja (laskusäännöillä) synnyeään prosessia ohjaavia signaaleja..1 Signaalien luokius Eri signaalien ominaisuude vaiheleva hyvin paljon. Seuraavassa esiellään muuamia signaalien kuvaukseen liiyviä käsieiä..1.1 Jakuva ja diskreei signaali Yksi signaalien luokius perusuu niiden ampliudi- ja aikakäyäyymiseen. Ampliudi voi saada kaikkia arvoja jollakin ieyllä ampliudivälillä vai vain joiakin ieyjä arvoja. Vasaavasi signaali voi olla olemassa kaikilla ajan arvoilla ieyllä aikavälillä ai vain joillakin ajanhekillä. Saadaan neljä eri signaaliluokkaa, joia esieäänn oheisessa kuvassa. Jakuva-ampliudinen jakuva-aikainen signaali voi saada kaikkia ampliudiarvoja ieyllä ampliudivälillä ja voi olla olemassa kaikilla ajanhekillä ieyllä aikavälillä. Kaikki siirokanavissa eenevä signaali, allennusvälineissä allenneu signaali ja eknisen laieiden käsielemä signaali ova ällaisia riippumaa siiä, onko niiden kanama informaaio jakuva-ampliudinen ja jakuva-aikainen (analoginen) vai ampliudidiskreei ja aika-diskreei (digiaalinen). Jakuva-ampliudinen diskreeiaikanen signaali voi saada kaikki ampliudiarvo ieyllä ampliudivälillä, mua se on olemassa vain ieyillä, diskreeeillä ajanhekillä. Näyesignaali on esimerkki ällaisesa signaalisa. 15

16 SIGNAALIEN LUOKITTELU JATKUVA-AIKAINEN DISKREETTIAIKAINEN I x() II x() JATKUVA- AMPLITUDINEN DISKREETTI- AMPLITUDINEN III x() IV x() I Jakuva-ampliudinen, jakuva-aikainen signaali Esim. siirokanavassa kulkeva signaali II Jakuva-ampliudinen, diskreeiaikainen signaali Esim. näyesignaali III Diskreeiampliudinen, jakuva-aikainen signaali Esim. kvanisoiu signaali IV Diskreeiampliudinen, diskreeiaikainen signaali Esim. kvanisoiu näyesignaali 16

17 Diskreei-ampliudinen jakuva-aikainen signaali saa vain ieyjä, diskreeejä ampliudiarvoja, ja se on olemassa kaikilla ajanhekillä ieyllä aikavälillä. Logiikkapiirien signaali ja PCM-järjeselmien kvanisoiu signaali voidaan mallinaa ällaiseksi. Diskreei-ampliudinen diskreeiaikainen signaali saa vain ieyjä, diskreeejä ampliudiarvoja, ja se on olemassa vain ieyillä, diskreeeillä ajanhekillä. Digiaalisen informaaioläheen uoama signaali kuvaaan usein ällaiseksi signaaliksi..1. Pulssisignaali ja ajallisesi rajoiamaoma signaali Signaali voidaan myös luokiella niiden ajallisen ominaisuuksien peruseella. Signaali voi olla aikarajoiamaon, jolloin sen ampliudi 0 kaikilla muilla ajanhekillä, paisi niissä piseissä, joissa se siiryy negaiivisesa ampliudiarvosa posiiiviseen ampliudiarvoon ja päinvasoin. Aikarajoieinen signaali on pulssimuooinen. Usein pulssiksi määriellään sellainen signaali, jonka energia on äärellinen. Tällöin myös aikarajoiamaon signaali voi olla pulssiyyppinen, kun sen ampliudi laskee riiävän nopeasi menäessä kohi ääreömiä ajan arvoja. Oheisessa kuvassa on esiey molemma signaaliyypi..1.3 Jaksollise ja jaksooma signaali Jos signaalin muoo oisuu samanlaisena peräkkäisillä aikaväleillä kusuaan signaali jaksolliseksi signaaliksi x ( + kt) = x (), jossa T on jakson piuus ja k on kokonaisluku. Mone miaus- ja esisignaali ova jaksollisia. Niiden energia on ääreön, mua eho kuienkin normaalisi äärellinen. Joskus puhuaan energia- ja ehosignaaleisa. Sinisignaali on esimerkki yksinkeraisesa jaksollisesa signaalisa. Ns. pseudosaunnainen daajono on esimerkki monimukaisesa jaksollisesa signaalisa. Se saaaa sisälää miljoonia pulsseja, ennen kuin jono oisuu. Oheisessa kuvassa esieään myös esimerkki jaksollisesa signaalisa. 17

18 SIGNAALITYYPIT I AIKARAJOITTAMATON SIGNAALI x() AIKARAJOITETTU SIGNAALI x() -T/ T/ JAKSOLLINEN SIGNAALI x( + kt) = x() x() -3T/ -T/ T/ 3T/ 18

19 .1.4 Deerminisise ja saunnaise signaali Signaali voidaan myös jakaa deerminisisiin ja saunnaisiin (sokasisiin) signaaleihin. Edellisen signaaliluokan perusominaisuus on se, eä sen ampliudiarvo unneaan eukäeen joka ajanhekellä. Ideaalinen sinigeneraaori ai suorakaideaalogeneraaori uoava ällaisia signaaleja, kuen oheisessa kuvassa esieään. Jaksollinen signaali on periaaeessa aina deerminisinen. Myös edellä mainiu pseudosaunnainen daajono on deerminisinen signaali. Saunnaisen signaalin käyäyymisä ulevaisuudessa ei voida eukäeen ennusaa. Voidaan vain esiää odennäköisyys, eä sen ampliudi on jollakin ampliudivälillä jonkin ajan kuluua. Kaikki informaaiosignaali ova luoneelaan saunnaisia. Jos niiden ulevaisuus olisi eukäeen iedossa, niiden siiro olisikin urhaa! Tällöin vasaanoeu signaali keroisi vain siirokanavan ominaisuuksisa, mikä onkin deerminisisen esisignaalien arkoius. Jaksollise signaali voiva olla saunnaisia vain siinä mielessä, eä jakson alkuheke saaava olla saunnaisia. Silloin esim. yhden jakson yli suorieu miaus ekee signaalin ulevaisuuden arkan ennusamisen mahdolliseksi..1.5 Reaalise ja kompleksise signaali Kaikki fysikaalise signaali ova reaaliarvoisia. Mone signaalianalyysin algorimi kuienkin salliva kompleksiarvoisia signaaleja. Tieyjen maemaaisen konversioiden jälkeen käsielävä signaalimalli voi olla kompleksinen. Esimerkkinä mainiakoon kaisanpääsösignaalien ekvivalenise alipääsösignaali, joia käyeään moduloiujen signaalien kuvauksessa. 19

20 SIGNAALITYYPIT II DETERMINISTISET SIGNAALIT Kun sen arvo unneaan jollakin ajan hekellä, se unneaan kaikilla ajan hekillä, esim. miaussignaali Esim. 1 Siniaalo x() Esim. Suorakaideaalo x() STOKASTISET SIGNAALIT Kun arvo unneaan jollakin ajan hekellä, sen arvo oisella ajan hekellä on esieävissä vain odennäköisyyden avulla, esim. informaaiosignaali x() 0

21 . Signaalien esiysapoja..1 Signaalien kanafunkioesiykse Signaalianalyysissa, signaalikäsielyssä ja signaalien siirron arkaseluissa on usein on arkoiuksenmukaisa esiää signaali kanafunkioiden avulla. Periaae käy ilmi oheisesa kuvasa, jossa jakuva-ampliudinen ja jakuvaaikainen signaali x() esieään vierekkäin olevien suorakaidemuooisen pulssien avulla. Tämä ei ole kovin ehokas esiysapa, koska arviavien kanafunkioiden lukumäärä on usein suuri. Kanafunkioesiyksen aikaväli Kanafunkioesiys pyriään saamaan vasaamaan kuvaavaa signaalia mahdollisimman hyvin arkaseluaikavälillä, joka voi olla esim. [-T/,T/]. Signaalin ei arvise olla rajoieu arkaseluaikaväliin. Yleensä aikavälin laajenaminen edellyää suurempaa kanafunkiomäärää kuen käy kuvan esimerkissä. Kanafunkiojoukko Esimerkissä valiu kanafunkiojoukko on käevä moneen arkoiukseen, mua se ei ole mikään yypillinen esiysapa. Usein käyeään kanafunkiojoukkoja, joissa kanafunkio voiva olla päällekkäisiä, ja niiden muoo ja maemaainen esiys voiva olla hyvin monimukaisia. Esimerkin kanafunkioesiys Kunkin kanafunkion korkeus määräyyy kuvaavan signaalin ampliudisa suorakaidepulssin alkuhekellä. Nähdään, eä kanafunkioesiys ei ole arkka, mua arkkuus paranee, kun kanafunkioiden lukumäärää noseaan kuvausaikavälillä (suorakaidepulsseja kavenneaan). Yleisessä apauksessa kanafunkiojoukon piäisi olla ääreömän suuri äysin arkan kuvauksen aikaansaamiseksi. Voidaan kuienkin osoiaa, eä jos kuvaavien signaalien lukumäärä on äärellinen (K kpl), voidaan aina löyää äärellinen kanafunkiojoukko, joka kuvaa signaali arkasi. Tarviavien kanafunkioiden lukumäärä on korkeinaan K. Tämä on ärkeä ominaisuus esim. digiaalisen informaaion vasaanoossa, jossa käyeään vain muuamia signaalimuooja. 1

22 SIGNAALIN FUNKTIOESITYKSEN PERIAATE signaali x() T/ -T/ signaalin esiämiseksi käyey kanafunkiojoukko φ 1 () φ () φ 3 () φ () Ν -T/ T/ kanafunkioiden avulla esiey signaali -T/ x() T/

23 .. Orogonaalise ja oronormaalise kanafunkioesiykse Signaalien maemaainen analyysi helpouu usein huomaavasi, kun ne esieään arkaseluaikavälillä orogonaalisen ai oronormaalisen kanafunkiojoukon avulla. Tällöin kanafunkio viriävä suorakulmaisen koordinaaison. Periaae Reaalisen signaalin x() kanafunkioesiys aikavälillä [-T/,T/] on x () cnφn() (.1) n Kanafunkio ova oronormaalisia, kun korrelaaioinegraali T T φm() φn() d = δmn = 1, kun m= n 0, kun m n (.) Kanafunkio ova pelkäsään orogonaalisia, kun T φm() φn () d = Em δmn (.3) T jossa Em on kanafunkion φm() energia. Oronormaalisuus merkisee siis orogonaalisuuden lisäksi siä, eä kaikkien kanafunkioiden energia on 1. Kanafunkioesiyksessä kerroinvekori {cn} määrielee signaalin. Kuvausvekorin keroimien valina Tavallisesi valiaan keroime {cn} sien, eä kanafunkioesiyksen virhe-energia ε laskeuna aikavälin [-T/,T/] yli minimoiuu, eli ε T = MIN x() cnφn() d { cn} T n 3 (.4)

24 ORTOGONAALISET JA ORTONOR- MAALISET KANTAFUNKTIOJOUKOT Kanafunkiojoukko {φn()} Signaalin kanafunkioesiys x ( ) c φ ( ) n n n Kanafunkiojoukon oronormaalisuus RS T T z m 1 φ ( ) φn ( ) d = δ mn = T 0, kun m = n, kun m n Kanafunkiojoukon orogonaalisuus T z φm( ) φn ( ) d = Em δ mn T 4

25 Seuraavassa osassa johdeaan virhe-energian minimoiva keroime Käyämällä kompleksilukujen laskusäänöä z = z z (.5) voidaan virhe-energian lauseke esiää muodossa T ε = x() cnφn() x () cnφn() d T n n (.6) Kun suorieaan kerolasku ja oeaan huomioon yhälö (.5), saadaan T ε = x () + cmφm() cnφn() T m n (.7) x() cnφn() x () cnφn() d n n Kun inegroidaan ermeiäin ja siirreään signaali x() summausmerkin alle, saadaan T T m n m n T mn T ε = x() d + c c φ () φ () d (.8) T T n φn n φn T n T c x() () d c x () () d n Kaavassa (.8) ensimmäinen inegraaliermi on signaalin aikavälille [-T/,T/] osuvan osan energia, oiseen ermiin voidaan sovelaa oronormaalisuuden perusominaisuua, jolloin 5

26 T T = Ex + c () () () () T n cn x n d cn x n d n T T (.9) ε φ φ Hakasuluissa oleva ermi voidaan äydenää neliömuooiseksi, mua äydennysermi on ieysi myös vähenneävä, joa virhe-energia ei muuuisi. Tällöin T T Ex c () () () () T n x n = + d x n d n T n T ε φ φ (.10) 6

27 Kaavassa (.10) ensimmäinen ja viimeinen ermi eivä riipu keroimisa {cn} ja oinen ermi on aina 0. Virhe-energia minimoiuu, kun oinen ermi on nolla, eli kun T cn = x() φn () d (.11) T josa seuraa, eä kanafunkioesiyksen virhe-energia on ε = Ex T n cn (.1) Yhälösä (.1) seuraa, eä oronormaaliselle kanafunkioesiykselle on aina voimassa Besselin epäyhälö T Ex = () T x d cn (.13) T n Jos virhe-energia on nolla, kanafunkiojoukko sanoaan äydelliseksi, ja likiarvolauseke (.1) muuuu yhälöksi x () = cnφn() (.14) n ja energia voidaan laskea Parsevalin eoreemalla E xt = n cn (.15) joka anaa vaihoehoisen meneelmän signaalin energian laskemiseksi. Esimerkkejä kanafunkioesiyksisä: Fourier-sarja on keskeinen yökalu signaalianalyysissa. Se käsiellään myöhemmin peruseellisemmin. 7

28 KANTAFUNKTIOESITYKSEN KERTOIMIEN VALINTA Valinaperiaae: virhe-energian minimoini ε R S T = MIN z k T c p n T n x( ) c φ ( ) d n n U V W Keroime määräään silloin kaavasa T cn = z x( ) φ n ( ) d T Kanafunkioesiyksen virhe-energia ε = Ex cn T n Täydellinen kanafunkiojoukko: virhe-energia = 0, ja x ( ) = c φ ( ) n n n Parsevalin lause E x T = n c n 8

29 Walsh-funkioia sovelleaan esim. hajaspekrijärjeselmien hajouskoodina, puheanalyysissa, bioelekronisen signaalien käsielyssä, kuvionunnisuksessa ja kuvankäsielyssä. Ne voidaan esiää kolmessa muodossa, joilla on erilaise rekursiokaava. Tässä arkasellaan ns. Walsh-järjesey funkio φi()=walw(i,), i=0,1,...(n-1), joka määriellään aikavälillä [0,1] seuraavasi: walw(0, ) = 1 walw( i + p, ) = walw i,( + 0,5) i+ p + 1 walw i,( 0,5) ( ) ( ) ( ) Oheisessa kuvassa esieään Walsh-kanafunkio, kun N = 8. (.16,.17) Legendren funkioihin Pn() perusuva kanafunkio ova oronormaalisia aikavälillä [-1,1]. Kanafunkio ova φ n() = n+ 0,5 Pn() (.18) jossa Legendren polynomi voidaan laskea kaavasa ( ) n 1 1 d n Pn ( ) = 1, n= 0,1,,... (.19) n n! n d ja ne voidaan myöskin laskea rekursiokaavalla ( n + 1) Pn+ 1() = (n + 1) Pn() npn 1() (.0) Lisäksi päee n Pn( ) = ( 1) Pn( ) (.1) 9

30 wal (0,) w wal (1,) w wal (,) w wal (3,) w wal (4,) w wal (5,) w wal (6,) w wal (7,) w WALSH-FUNKTIOT, N=

31 Laguerren funkioihin Ln() perusuva kanafunkio ova oronormaalisia aikavälillä [0, ). Kanafunkio ova φ n() = e Ln() (.) jossa Laguerren polynomi voidaan laskea kaavasa n ( ) n e d Ln ( ) = e, n= 0,1,,... (.3) n! n d ai rekursiokaavalla ( n + 1) Ln+ 1() = (n + 1 ) Ln() nln 1() (.4) Hermien funkioihin Hn() perusuva kanafunkio ova oronormaalisia aikavälillä (, ). Kanafunkio ova e φn() = Hn() (.5) n n! π jossa Hermien funkio voidaan laskea kaavasa n n d n Hn( ) = ( 1) e e, n = 0,1,,... d (.6) ai rekursiokaavalla Hn+ 1() = Hn() nhn 1() (.7) Lisäksi päee n Hn( ) = ( 1) Hn( ) (.8) Tšebyshevin funkioihin Cn() perusuva kanafunkio ova oronormaalisia aikavälillä [-1,1]. Kanafunkio ova 31

32 Legendren polynomeihin perusuva kanafunkio 1 n= n=0 0 1 n=1 n=4 n=5 n= Laguerren polynomeihin perusuva kanafunkio 1 n=0 0.5 n= 0 n=4-0.5 n=1 n=3 n=

33 φ φ 1 1 0() = C 0,5 0() π ( 1 ) 1 n() = C (), 1 0,5 n n π ( 1 ) (.9) jossa Tšebyshevin polynomi voidaan laskea kaavasa ( ) n n ( ) n! d n 0,5 Cn() = 1 1 (.30) ( n)! n d ai rekursiokaavalla Cn+ 1() = Cn() Cn 1(), n 1 C1() = C0() = 1 (.31 a,b,c) Edellä mainiujen polynomien käyäyyminen alhaisilla n:n arvoilla esieään oheisissa kuvissa...3 Signaalimuunnokse Kaikki edellä mainiu signaalin kanafunkioesiykse kuvaava signaalin aika-alueessa. Monesi haluaan kuienkin ukia signaalia jonkin uuden muuujan avulla. Spekrianalyysissa signaalin ominaisuuksia ukiaan eri aajuuksilla. Signaalin muuokse erilaisissa järjeselmissä saaaa olla helpommin määrieävissä, kun signaali esieään jonkin muun muuujan kuin ajan funkiona. Kun signaali esieään uuden muuujan avulla, aikamuuuja on jollakin avalla eliminoiava. Tämä apahuu esimerkiksi inegroimalla signaali aikaalueen yli painoeuna funkiolla, joka sisälää uuden muuujan ja aikamuuujan. Useimma signaalimuunnokse ova inegraalimuunnoksia. 33

34 Hermien polynomeihin perusuva kanafunkio 0.5 n=4 n= n= n= n=1 n= Tšebyshevin polynomeihin perusuva kanafunkio n=1 n=3 n=4 n= n= -1.0 n=

35 Esimerkkejä signaalimuunnoksisa Fourier-muunnos on perusmuodossaan aikajakuvien signaalien inegraalimuunnos, joka esiää signaalin spekrin aajuuden funkiona. Signaalin x() Fourier-muunnos määriellään seuraavasi jπ f X ( f ) = x() e d (.3) Uusi muuuja f on reaalinen, mua Fourier-muunnos on yleensä kompleksinen. Fourier-muunnos käsiellään laajasi myöhemmin. Laplace-muunnos muisuaa hyvin paljon Fourier-muunnosa. Signaalin x() yksipuolinen Laplace-muunnos määriellään s X ( s) = x() e d (.33) 0 Inegraalimuuuja s= σ + jω = σ + jπ f (.34) on kompleksinen, kuen muunnos ise. Jos signaali on olemassa vain posiiivisilla ajan arvoilla, Fourier-muunnos saadaan Laplace-muunnoksesa, kun aseeaan σ = 0. Yksipuolisa Laplace-muunnosa voidaan käyää fysikaalisen järjeselmien analyysissa, koska niissä järjeselmän lähösignaali ei voi alkaa ennen ulosignaalia, jolloin vain sopivalla origon valinnalla kaikki signaali alkava aikaisinaan hekellä = 0. Myös mone muu järjeselmäanalyysi esim. sabiilisuusarkaselu ja analogisen suodaimien suunnielu ehdään Laplace-muunnoksen avulla. Tässä Laplacemuunnosa ei laajemmin arkasella. Z-muunnos on aika-diskreein näyejonon muunnos. Se ei ole inegraalimuunnos vaan yksipuolinen muunnos on määriely summan avulla seuraavasi 35

36 X( z) = k xk ( ) z (.35) k= 0 jossa x(k): ova signaalisa x() asavälisesi oeuja näyeiä. Diskreei Fourier-muunnos (DFT) on aikarajoieisen aikadiskreein näyejonon muunnos, ja sen määrielmä on jossa N 1 jπ nkf ( ) ( ) ot X nf s o = x nts e (.36) k= 0 NfoT s = 1 (.37) Sopivilla paramerivalinnoilla DFT approksimoi jakuvan Fourier-muunnoksen. Asia käsiellään myöhemmin arkemmin. Kaikilla edellä mainiuilla muunnoksilla on myös kääneismuunnos. 36

37 3. Signaalien aajuusanalyysi Miksi arviaan signaalien aajuusanalyysia? Vasaus on eä siiä syysä, eä signaalien ajallisen ominaisuuksien ohella myöskin niiden aajuudellise ominaisuude ova kiinnosavia. Yksi syy ähän on ihmisen kuulon ja näön oimina spekrianalysaaorin apaan. Eriyisesi radioieoliikeneessä siirokanava on perineisesi jaeu aajuuskaisoihin. Toinen ärkeä syy on se, eä signaalianalyysissa mone oiminno ova helpommin suorieavissa aajuusalueessa kuin aika-alueessa. Tässä ukiaan aluksi jaksollisen signaalien esiämisä harmonisen sinija kosinisignaalien summana Fourier-sarjan avulla. Sien arkasellaan jaksoomien eli pulssisignaalien esiämisä ääreömän lähellä oisiaan olevien kosinisignaalien avulla Fourier-muunnoksen avulla. Paljon huomioa kiinnieään Fourier-muunnoksen käyännön laskemiseen käyäen hyväksi muunnoksen ominaisuuksia. Edelleen syvennyään myös ieyjen erikoissignaalien Fourier-muunnoksiin, kuen impulssifunkion ja askelfunkion muunnoksiin. Lopuksi käsiellään diskreeiä Fourier-muunnosa, sen perusominaisuuksia ja sovelamisa aikajakuvien pulssien Fourier-muunnoksen numeeriseen laskemiseen. 3.1 Fourier-sarja Mielivalaisen signaalin Fourier-sarja rajoieulla aikavälillä Fourier-sarja on orogonaalinen kanafunkioesiys, jossa kanafunkio kompleksisella eli eksponenimuooisella Fourier-sarjalla ova jπ n T T T φn( ) = e,,, n= 0, ± 1, ±, ± 3,... (3.1) Mielivalaisen signaalin x() kompleksinen Fourier-sarja aikavälillä [ T/, T/] on 37

38 SIGNAALIEN TAAJUUSANALYYSI Perusidea: Signaali voidaan esiää eriaajuisen kosiniaalojen summana, joka muodosava signaalispekrin Miksi? Kuulo ja näkö oimiva spekrianalysaaoreina Esim. radiokanava määriely aajuusalueessa Signaalianalyysi usein huomaavasi helpompi aajuusalueessa Mien? Fourier-sarja Jakuva Fourier-muunnos Diskreei Fourier-muunnos 38

39 jossa jπ n T x () = cn e (3.) n= 1 T 1 T c j n T n x () n() d x () e π = φ = T d (3.3) T T T Huom! Inegraalin edessä olevassa keroimessa on oeu huomioon eeívä kanafunkio ole oronormaalisia. Yhälössä (3.3) esiinyvä inegraali voidaan ulkia signaalin ja kanafunkion korrelaaioksi, joka sien on jaeu aikavälin piuudella. Fourier-sarja voidaan laskea sellaisille signaaleille, joille päee T x() d < (3.4) T { } ja x( ε) x( ε) lim + 0 äärellisessä määrässä piseiä (3.5) ε 0 Lausekkee (3.4) ja (3.5) oeuuva, kun signaali on ampliudirajoieinen ja sisälää numeroiuvan määrän epäjakuvuuskohia Jaksollisen signaalin Fourier-sarja rajoiamaomalla aikavälillä Signaali on jaksollinen, kun x ( + kt) = x ( ) k= 0, ± 1, ±, ± 3,... (3.6) Signaalin jakso on T. Useimma esisignaali ova jaksollisia, kuen sinisignaali, suorakaidepulssiaalo, näyeenoosignaali jne. 39

40 KOMPLEKSINEN FOURIER-SARJA Kanafunkio φ n L NM jπn T T T ( ) = e,, QP, n = 0, ± 1, ±, ± 3,... Huom! Nämä funkio ova orogonaalisia mua eivä ole oronormaalisia Fourier-sarja O n n= x( ) = c e jπn T Fourier-keroime c n T 1 = z 1 x( ) φ n( ) d = z x( ) e T T T T T jπn T d Ehdo olemassaololle T T z x( ) d < ja lim ε 0 m a f a fr x + ε x ε 0 äärellisessä määrässä piseiä 40

41 Voidaan helposi nähdä, eä mielivalaisen signaalin Fourier-sarja on jaksollinen. Nimiäin + kt kt jπn jπn jπn jπn ce T T T T n = ce n e = ce n n= n= n= (3.7) jπ nk koska e = 1. Täsä seuraa väliömäsi, eä jaksollisen signaalin perusjaksolle laskeu Fourier-sarja on voimassa kaikilla ajan arvoilla. Tämä ekee Fourier-sarjasa eriäin ehokkaan yökalun jaksollisen signaalien analyysissa. Jaksollisen signaalin Fourier-sarjan keroime voidaan laskea mielivalaisella aikavälillä, kun se vaan on jakson piuinen. Tämä nähdään seuraavalla arkaselulla. Mielivalaisella inegroinivälillä voidaan keroimen inegraalilauseke kirjoiaa muooon T + λ jπ n c () T n = x e d T + λ T T T j πn + λ j πn + λ jπn = x() e Td x() e Td + x() e Td T T T (3.8) Viimeisessä inegraaliermissä ehdään muuujien vaihdos u = -T, jolloin T j πn T + λ jπn c () T () T n = x e d x e d T T T + λ + T jπ n + x( + T ) e T d T (3.9) 41

42 Koska viimeisen ermin molemma funkio ova jaksollisia jaksolla T, on T j πn T + λ j πn T + λ jπn c () T () T () T n = x e d x e d + x e d T T T T jπ n = x() e T d = cn (3.10) T Fourier-sarjan fysikaalinen ulkina viivaspekrinä Fourier-sarjalla saadaan jaksollisille signaaleille luonnollinen aajuusalueen esiys, viivaspekri. Tämä perusuu siihen, eä Fourier-sarja voidaan kirjoiaa asavirran ja harmonisen kosiniaalojen summana. Tukiaan aluksi posiiivisen ja negaiivisen Fourier-keroimien yheyä. On helppo osoiaa, eä reaalisella signaalilla x() c n = cn (3.11) Tämä nähdään seuraavalla arkaselulla. Keroimen määrielmä on 1 jπ n c ( )e T n = x d (3.3) T T Kirjoieaan sien keroimen konjugaain lauseke * * * 1 j πn 1 j πn 1 + j πn c ()e T () e T ()e T n = x d = x d = x d T T T T T T (3.1) 4

43 Toisaala 1 + jπ n * c () T n = x e d cn T =, (3.13) T eli yhälö (3.11) seuraa. Kompleksisella signaalilla ei näin ole. Kirjoieaan sien Fourier-sarja uueen muooon jπn jπn () T T x = c0 + ce n + c ne n= 1 jπn jπn c T T = 0 + ce n + ce n n= 1 (3.14) Seuraavaksi käyeään hyväksi kompleksilukujen kaavaa { } z+ z = Re z (3.15) joka sovelleuna kaavaan (3.14) anaa n= 1 jπ n T x ( ) = c0 + Re ce n n= 1 = α0 + αncos πn + βn sin πn T T (3.16) Sopivia rigonomerisia kaavoja käyäen voidaan edellinen lauseke kirjoiaa muooon β x ( ) 0 n n cos n arcan n = α + α + β π n= 1 T αn (3.17) 43

44 Eriaajuise kosiniaallo muodosava yksipuolisen viivaspekrin, jonka viivojen ampliudi ova α0, n = 0 αn + βn = cn, n> 0 (3.18) β ja vaihee arcan n (3.19) αn Viivaspekrissa komponenia, jossa - n = 0, kusuaan asavirakomponeniksi, - n = 1, sanoaan perusaajuiseksi si ensimmäiseksi harmoniseksi komponeniksi, - n > 1, sanoaan n:nneksi harmoniseksi komponeniksi Fourierin kosini- ja sinisarja Usein esieään Fourier-sarja muodossa a ( ) 0 x = + ancos πn + bnsin πn n= 1 T n= 1 T (3.0) Keroimia {an} sisäläviä sarjaermejä sanoaan Fourierin kosinisarjaksi ja keroimia {bn} sisäläviä sarjaermejä sanoaan Fourierin sinisarjaksi. Veraamalla yhälöön (3.16) nähdään, eä 1 an = αn = x( ) cos πn d T T T 1 bn = βn = x( )sin πn d T T T (3.1) (3.) 44

45 Symmeriaominaisuude Signaalin symmeriaominaisuude johava joihinkin Fourier-sarjan keroimien yleisiin ominaisuuksiin. Kun signaalin rajoiama posiiivise ja negaiivise pina-ala ova samansuuruise, Fourier-sarjan asavirakerroin (c 0, a 0 ) häviää. Kun signaali x() on parillinen ajan funkio (joskus kusuu nolla-akselisymmeriaksi, sinisarja häviää (inegroiava on parion funkio). Kosinisarjan keroimien laskennassa riiää inegroiminen puolen aikavälin yli, kun kerroaan ulos kahdella: 1 4 T an = αn = x( ) cos πn d T 0 T (3.3) Kun signaali x() on parion ajan funkio (joskus kusuu nollapisesymmeriaksi), kosinisarja häviää (inegroiava parion funkio). Sinisarjan keroimien laskennassa riiää inegroiminen puolen aikavälin yli, kun kerroaan ulos kahdella: 1 4 T bn = βn = x( )sin πn d T 0 T (3.4) Jos signaali on puoliaalosymmerinen (peilisymmeria), eli ( ) x () = x + T (3.5) parillise harmonise komponeni häviävä. 45

46 FOURIER-SARJAN SYMMETRIAOMINAISUUDET + -pina-ala = _ -pina-ala asavirakomponeni häviää x() T/ T/ x() parillinen sinisarja häviää x() -T/ T/ x() parion x() kosinisarja häviää -T/ T/ x() puoliaalosymmerinen parillise harmose häviävä x() -T/ T/ 46

47 3.1.5 Esimerkkejä jaksollisen signaalien Fouriersarjoisa Esimerkki 3.1. Suorakaidepulssijonon Fourier-sarja Laskeaan oheisen kuvan mukaisen suorakaidepulssijonon Fourier-sarja, jonka keroime ova 1 jπ n τ ( ) T cn = x e d = Acos π n d T T T 0 T (3.6) Toinen inegraali seuraa signaalin parillisuudesa, yläraja suorakaidepulssin kesosa. Inegraalin laskena on ällä keraa yksinkeraisa c n τ τ sin π n A T Aτ T = sin π n = T 0 π n T T τ π n T (3.7) Oheiseen kuvaan on piirrey yhälön (3.7) mukainen kaksipuolinen viivaspekri τ/t-arvoilla 0, ja 0,5. Havaiaan, eä kapeampi pulssiosa anaa leveämmän spekrin. Näillä aikasuheilla suuri osa keroimisa on nolla-arvoisia. Esimerkki 3.. Kolmioaallon Fourier-sarja Laskeaan oheisen kuvan mukaisen kolmioaallon Fourier-sarja, jonka keroime ova 1 jπ n T ( ) T cn = x e d = j x( )sin π n d T T T 0 T (3.8) T 4 4A T 4A T = j sin πn d j sin πn d T 0 T T T T 4 T T Toisessa inegraalimuodossa on oeu huomioon signaalin pariomuus, ja viimeisessä muodossa on huomioiu signaalin paloiainen määriely. Tässä voidaan kuienkin oaa huomioon peilisymmeria, joka häviää 47

48 SUORAKAIDEPULSSIJONON FOURIER-SARJA x() τ T 0, τ T = 0, 0,1 0-0, n 10 x() 0,4 0, τ T = 0, n 10 48

49 Fourier-sarjan parillise harmonise. Graafisella arkaselulla havaiaan, eä puolijakson alkuosan inegraali ja loppuosan inegraali ova samansuuruise johuen siiä, eä pariomilla n-arvoilla inegroiava on parillinen funkio symmeria-akselin = T/4 suheen. Tällöin 4 T 4 4A cn = j sin π n d T 0 T T (3.9) Inegraalin rakaisun helpoamiseksi ehdään muuujan vaihdos x = π n (3.30) T jolloin raja muuuva seuraavalla avalla 0 0 T 4 nπ (3.31) ja T T = x d dx π n = π n (3.3) Tällöin Fourier-kerroin voidaan esiää muodossa 4 T 4 4A T T 4A nπ cn = j x sin ( x) dx = j x sin ( x) dx T 0 T π n π n n π 0 nπ 4A 4A nπ nπ nπ = j ( sin( x) xcos( x) ) = j sin cos n π 0 n π ( nπ ) sin = j4 A (3-33) n π Oheisessa kuvassa esieään -j:llä kerrou viivaspekri. Huomaaan, eä perusaajuinen viivakomponeni on dominoiva ja viivaspekrin ampliudi pienenee nopeasi aajuuden funkiona. 49

50 KOLMIOAALLON FOURIER-SARJA x() -3T/ -T/ T/ 3T/ x() T/ T/4 symmeria-akseli 1 4A/π 0,5 0-0, n 10 50

51 3.1.6 Kakaisu Fourier-sarja signaaliapproksimaaiona Mielivalaisen signaalin arkka esiäminen Fourier-sarjan avulla vaaii ääreömän mona kerroina. Tämä ei ole käyännöllisä ai edes mahdollisa. Seuraavassa ukiaan edellisen esimerkkien signaaleilla, mien esiysvirhe riippuu mukaan oeujen Fourier-keroimien lukumääräsä N. Suorakaidepulssijono Epäjakuvuuskohdisa johuen pulssin alkaessa ja loppuessa vaadiaan hyvin suuri määrä ermejä hyvän approksimaaion saavuamiseksi. Vasa kun N = 999 approksimaaion aaloilu häviää ällä piiroarkkuudella. Tarkkuua voidaan myös arvioida esiysvirheen avulla, joka myös esieään oheisissa kuvissa (huomaa ampliudiaseikkojen erilaisuus, oisen kuvaparin rinnakkaissiirro ja esiysvirhehuippujen kakaisu). Äärellisellä kerroinmäärällä epäjakuvuuskohdissa esiinyy aina pulssin korkuinen esiysvirhe. Esiysvirheen energia verrauna pulssienergiaan perusjaksolla olisi ehkä parempi esiysarkkuuden mia kuin esiysvirhe. Kolmioaalo Koska ämä signaali ei sisällä epäjakuvuuskohia (aikaderivaaa on kuienkin epäjakuva), sen esiämiseksi samalla suheellisella arkkuudella kuin suorakaidepulssilla arviaan huomaavasi vähemmän keroimia. Kun N = 9, on esiys jo huomaavan arkka. Vaikemma kohda ova ääriarvokohda, jossa myös aikaderivaaa on epäjakuva. Nähdään eä miä nopeamma muuokse signaali sisälää, siä enemmän ermejä on oeeava mukaan Fourier-sarjasa ieyn arkkuuden saavuamiseksi. 51

52 SUORAKAIDEPULSSIJONON APPROKSIMOINTI N=3 N=9 N= virhe N=3 N=9 N=

53 SUORAKAIDEPULSSIJONON APPROKSIMOINTI N=99 N=99 N=

54 KOLMIOAALLON APPROKSIMOINTI N=3 N=9 N= virhe N=3 N=9 N=

55 3. Fourier-muunnos Vain jaksollisen signaalin Fourier-sarja voidaan ulkia signaalispekriksi. Fourier-sarja on ise asiassa määriely aika-alueessa, ja sen spekriulkina edellyää ääreömän kesoisia sini- ja/ai kosinisignaaleja. Ei-jaksollisilla signaaleilla, esim. keraluonoisilla pulssisignaaleilla, Fouriersarja on voimassa vain äärellisen suuruisella aikavälillä, ja sen spekriulkina ei ole mahdollinen. Seuraavassa esieään Fourier-sarjan käyö ei-jaksollisen signaalien aajuusanalyysissa pidenämällä määrielyväli ääreömäksi. Samalla on muueava keroimien määrielmä, joa ulos olisi nollasa poikkeava. Tämä johaa siihen, eä viivaspekrin sijasa on oeava käyöön spekriiheyskäsie. Miksi on osaava laskea Fourier-muunnoksia? Fourier-muunnosa käyeään signaalien aajuusanalyysissa, joka usein suorieaan numeerisesi ieokoneella esimerkiksi eri järjeselmien simuloiniohjelmissa. Lisäksi ne pulssi, joiden Fourier-muunnos on analyyisesi rakaisavissa, ova sangen eoreeisia luoneelaan, eiväkä esiinny käyännön järjeselmissä. Keskeinen ongelma simuloiniohjelmien käyössä on järjeselmämallien esaus ja saaujen ulosen päevyyden oeaminen. Tähän voidaan käyää eoreeisia signaalimalleja, joiden laskeminen analyyisesi on mahdollisa. Silloin Fourier-muunnos on ärkeä yökalu Viivaspekrisä spekriiheyeen Jaksollisilla signaaleilla signaalin spekri koosuu harmonisen kosiniaalojen ampliudi- ja vaihearvoisa. Ei-jaksollisilla signaaleilla ällainen viivaspekri ei synny, mua enä jos haluaan kuienkin esiää nämäkin signaali aikarajoiamaomien kosiniaalojen avulla? Luonnollinen lähesymisapa on Fourier-sarjan määrielyvälin uloaminen ääreömyyeen kummassakin aikasuunnassa, jolloin sarjan keroime ova 55

56 Mihin arviaan Fourier-muunnosa? Fourier-sarjakehielmä ei mahdollisa eijaksollisen signaalien viivaspekriesiysä Fourier-muunnos anaa keinon esiää eijaksollisen signaalien spekri Miksi on osaava laskea Fouriermuunnoksia? Spekrin laskemiseksi löyyy ieokonealgorimeja Analyyisesi voidaan laskea vain idealisoiujen signaalien Fourier-muunnoksia Se on signaalien aajuusanalyysin perusa Se esiää signaalispekrin (spekriiheyden) Teoreeisisia uloksia arviaan esim. simuloiniyökalujen oiminnan esaamiseksi Analyyinen muoo edullinen esim. parameririippuvuuksien selviämiseksi 56

57 1 T jπ n c lim ( ) T n = x e d. (3.34) T T T Jos signaali on iseisesi inegroiuva x() d <, (3.35) käy niin, eä keroimien aajuusväli ja ampliudi lähenevä nollaa. Tämä ei siis ole hedelmällinen lähesysapa. Parempi lähesymisapa on arkasella spekriiheyä aajuudella Tällöin n f = R, kun n, T. (3.36) T { } cn X( f) = lim ct n, (3.37) T jossa X(f) on signaalin spekriiheys. 3.. Fourier-muunnoksen ja -kääneismuunnoksen määrielmä Spekriiheys voidaan ny laskea lähemällä liikkelle Fourier-sarjan keroimen määrielmäsä ja oamalla huomioon aajuuden määrielmä (3.36), jolloin T T jπ n j f lim { } lim ( ) T π cnt = x e d = x( ) e d (3.38) T T T T 57

58 Viivaspekrisä spekriiheyeen Lähökohana Fourier-sarja cn R S = z T 1 T jπn lim x( ) e T d T T T U V W Perusvaikeus: z x( ) d < cn = 0, viivakomponeni ääreömän iheäsi Rakaisu: f n = R, kun n, T T cn X f = cnt T R S j n U k p T T lim cnt lim ( ) T = z π V x e d x( ) e jπf d T T T T ( ) lim k p T W = z Fourier-muunnos j f X ( f ) = z π x( ) e d 58

59 Huomioimalla yhälö (3.37) saadaan Fourier-muunnoksen määrielmä: jπ f X ( f ) = x() e d (3.39) Fourier-muunnos esiää siis signaalin spekriiheyden, ja sen yksikkö on esim. V/Hz ai W Hz. Se on maemaainen signaalimalli, jonka miaaminen ei ole aikarajoiamaomilla signaaleilla edes mahdollisa. Fourier-muunnos ei määrielmänsä peruseella voi olla ajan funkio. Kun Fourier-muunnos unneaan, signaali saadaan määräyksi Fourier-kääneismuunnoksella. Tämän johdeaan sekin raja-arvoarkaselulla seuraavasi. jπn ( ) j n ( ) lim T X nt π x ce lim T = n = e. (3.40) T n= T n= T Kun 1 n T, df, f,, on Fourier-kääneismuunnos T T x() X ( f ) e j π = f df (3.41) Kääneismuunnos ei voi määrielmän peruseella olla aajuuden funkio. Joskus kusuaan x() signaalin esiykseksi aika-alueessa, ja X(f) signaalin esiykseksi aajuusalueessa Esimerkkejä pulssisignaalien Fourier-muunnoksisa Vain harvoilla signaaleilla Fourier-muunnoksen laskeminen määrielmäkaavalla (3.39) on riiävän yksinkeraisa. Jos Fourier-muunnos yleensä on analyyisessa muodossa esieävissä, sen laskemiseen voidaan usein käyää myöhemmin esieäviä Fourier-muunnoksen ominaisuuksia, kun unneaan 59

60 Fourier-kääneismuunnos Tämä saadaan raja-arvoarkaselulla Signaalin Fourier-sarjaan sijoieaan R S j n U V S a f π X n T jπn x( ) = lim cne T lim e T T n= T n= T T R W = T U V W Raja-arvoanalyysissa T 1 n, df, f, z T T jolloin päädyään Fourier-kääneismuunnokseen x( ) = z X ( f ) e jπf df 60

61 muuamien perussignaalien muunnokse. Seuraavassa esieään muuamien perussignaalien Fourier-muunnosen laskeminen määrielmäkaavalla. Esimerkki 3.3 Suorakaidepulssin Fourier-muunnos. Suorakaidepulssi on maemaainen signaalimalli, joa käyeään esim. kuvaamaan logiikkapiirien uoamia pulsseja. Se on eoreeinen malli, koska fysikaalinen pulssi ei voi sisälää epäjakuvuuskohia johuen fysikaalisen järjeselmän hiausekijöisä kuen kapasiansseja elekroniikkapiireissä. Kirjallisuudessa se usein merkiään rec-funkiolla seuraavalla avalla x() A rec o = T jossa - o on pulssin keskikohdan sijaini, - T on pulssin keso, - A on pulssin korkeus. (3.4) Seuraavassa laskeaan origokeskeisen suorakaidepulssin Fourier-muunnos. T jπ f jπ f X ( f ) = A rec e d = A e d T T T jπ f e A jπ ft jπ ft = A = e e T jπ f jπ f A 1 jπ ft jπ ft AT = e e = sin ft π f j π ft ( π ) (3.43) Muunnos esieään kirjallisuudessa usein ns. sinc-funkion avulla. Sen määrielmä on sinc ( x) sin ( π x) =. (3.44) π x Sinc-funkion avulla esieynä on suorakaidepulssin Fourier-muunnos F A rec AT sinc f T T ( ) 61 (3.45)

62 SUORAKAIDEPULSSIN FOURIER-MUUNNOS Merkinäapa: x() x( ) = A F T rec H G I o K J A o T Muunneava pulssi: F I x( ) = Arec H T K A x() T Fourier-muunnos: X ( f ) = ATsinca f ft 1 X(f) f T 6

63 Muisisäänönä: sinc-funkion argumenina aajuus keso, keroimena suorakaidepulssin pina-ala. Fourier-muunnos esieään oheisessa kuvassa. Sinc-funkion arvo asavirralla (f = 0) saadaan käyämällä sinifunkion Taylor-sarjaa, ja se on sinc(0) = 1. Spekriiheydessä on nollakohia 1/T:n välein. Fourier-muunnoksen iseisarvon verhokäyrä laskee verrannollisena aajuuden kääneisarvoon. Esimerkki 3.4 Yksipuolisen (kausaalisen) eksponenipulssin Fourier-muunnos Tämän pulssin signaalilauseke on T Ae, 0 T x () = = Ae u () 0, < 0 (3.46) Tässä on käyey funkiomerkinää u(), joka arkoiaa yksikköaskelfunkioa, joka määriellään 0, < 0 u ( ) = 0,5, = 0 1, > 0 (3.47) Fourier-muunnos on T jπ f T jπ f X ( f ) = A e u() e d = A e e d jπ f jπ f + (3.48) + T T e = A e d = A jπ f T Rajojen sijoius anaa 63

64 EKSPONENTTIPULSSIN FOURIER-MUUNNOS 1 x ( ) 0.5 A( f) /T πft 1 φ ( f) πft 64

65 1 1 + jπ f 0 + jπ f e T e T X( f) = A jπ f + jπ f T T 0 A T jπ f 0 T jπ f = e e e e 1 + jπ f T A jπ f A = 11 0 e = jπ f + jπ f T T AT = + (3.49) ( 1 jπ ft) Koska lausekkeen (3.49) oiseksi alimmalla rivillä kompleksisen eksponenifunkion iseisarvo on 1, reaalisen eksponenifunkion 0-arvo uoaa ulokseksi nollan. Kuvan piirämisen helpoamiseksi esieään kompleksinen Fourier-muunnos iseisarvonsa ja argumeninsa avulla. Edellisä kusuaan ampliudispekriksi. Yleinen kaava sekä ulos eksponenipulssin Fourier-muunnoksen ampliudispekrille on A( f) = Re X( f) + Im X( f) = { } { } AT 1+ 4π f T (3.50) Jälkimmäisä kusuaan vaihespekriksi, ja sen yleinen kaava ja ulos eksponenipulssin Fourier-muunnokselle on { X f } { X f } Im ( ) φ( f) = arcan = arcan ( π ft) (3.51) Re ( ) Eksponenipulssin ampliudi- ja vaihespekri esieään oheisessa kuvassa. Ampliudispekri laskee asaisesi aajuuden funkiona. Pulssin epäjakuvuuskoha hekellä = 0 aiheuaa sen, eä spekrin lasku on yhä hidasa 65

66 kuin suorakaidepulssin spekrin verhokäyrän lasku suurilla aajuuksilla ( 1/f). Vaihespekri on parion aajuuden funkio ja muuuu arvosa +π/ arvoon π/ aajuuden funkiona Fourier- ja Laplace-muunnoksen välinen yheys Fourier-muunnos määriellään usein kulmaaajuuden avulla jolloin F x () jω = X( jω) = xe () d, ω = π f (3.5) { } Laplace-muunnoksen määrielmä on L x () s = X() s = xe () d, s= σ + jω (3.53) 0 { } Laplace-muunnoksen perusmuoo on siis määriely vain kausaalisille signaaleille. Kun signaalin energia on äärellinen, x() d < (3.54) saadaan kausaalisen signaalin Fourier-muunnos sijoiamalla sen Laplacemuunnokseen s jπf. Tällöin voidaan käyää hyväksi Laplace-muunnosaulukoia, joia löyyy paljon laajempina kuin Fourier-muunnosaulukoia. (Laplace-muunnosa ei voida saada päinvasaisella sijoiuksella Fourier-muunnokseen.) Jos kausaalisen signaalin energia on ääreön, Fourier-muunnosa ei saada Laplace-muunnoksesa, koska ämä on silloin olemassa vain s-ason oikeassa puoliasossa (σ > 0), muei jω-akselilla. 66