Luento 9. Epälineaarisuus

Transkriptio

1 Lueno 9 Epälineaarisuus 8..6 Epälineaarisuus Tarkasellaan passiivisa epälineaarisa komponenia u() y() f( ) Taylor-sarjakehielmä 3 y f( x) + f '( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) +...! 3! 4! 3 α + α x+ α x + α x Epälineaarisuuden läpi kulkenu signaali Kerolasku aikaasossa vasaa konvoluuioa aajuusasossa 8..6

2 Epälineaarisuus Tarkasellaan sini-muooisa heräeä Fourier-muunnos Epälineaarisuus.8 DC-komponeni cos(π ) cos (π ) harmooninen Epälineaarisuus Epälineaarisuus Signaalin aajuudella cos(π ) cos 3 (π ) Harmooninen aajuus

3 Epälineaarisuus Epälineaarisuude synnyävä harmoonisia aajuuksia Approksimoidaan epälineaarisuua Taylor-sarjan kolmella ensimmäisellä ermillä: Parillise poenssi synnyävä harmoonisia, joka voidaan poisaa suodaamalla Parioma poenssi aiheuava komponeneja myös signaalin aajuudelle cos(π ) /Σ k cos k (π ) 8..6 /3Σ k cos k (π ) Särö Yleinen epälineaarisuus 3 f( x) + f '( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) +...! 3! 4! 3 α + α x+ α x + α x Kun ulosignaali on kosini u() x() Acos( π f) niin epälineaarisuuden lähösignaali y () f( x ()) a ( x ()) k k k voidaan kirjoiaa ulosignaalin harmoonisen yliaalojen avulla k ( π ) y () uk cos kf x f( ) y()

4 Särö Epälineaarisuuden vaikuusa signaaliin voidaan arkasella särökeroimien (disorion) avulla n. aseen särökerroin: u d n n u n aseen särövaimennus: An log dn n,3,4, Kokonaissärökerroin do d + d3 + d4 + d Särö Signaalin eho (Parsevalin eoreema) Py u + u + u + u3 + u4 + u5 +.. P + P+ P + P3 + P4 + P Signaalin kokonaissärö voidaan määriää kun unneaan lähösignaalin kokonaiseho P y, DCkomponenin eho P sekä perusaajuuden eho P do Py P P P

5 Särö Kosinin poenssikaava n n n n cos x cos ( ( n k) x) n + k k n n n n cos x cos ( n k ) x) n k k Sovelleaan summakaavoja lähösignaaliin y ( ) a + aa cos( π fx) + aa + cos( π fx) aa 3 cos( π f x ) + cos( π 3 f x ) aa 4 + cos( π f x ) + cos( π 4 f x ) aa 5 cos( π f x ) + cos( π 3f x ) + cos( π 5 f x ) Särö Ryhmiellään ermi uudelleen harmoonisen yliaalojen mukaan a + aa + a4a au+ a3u + a5a +... cos fx u u 4 + aa + a4a +... cos( π fx) u aa 3 + aa cos( π 3 f x ) 4 6 u au cos( π 4 fx) + a5u +... cos( π 5 fx) u5 ( π )

6 Särökeroimiksi saadaan Särö 4 3 aa a4a... aa a4a... u d u aa + aa 3 + a5a +... a+ aa 3 + a5a a3a a5a... a3a a5a... u d3 u aa + aa 3 + aa a+ aa 3 + aa a4a... a4a... u d4 u aa + aa 3 + aa a+ aa 3 + aa a5a +... a5a d aa + aa 3 + a5a +... a+ aa 3 + aa Epälineaarisuus Jos A<< ai a n <<a, niin särökeroimeksi saadaan an n dn A n a ja särövaimennukseksi An log ( d ) n n a a log log + ( n ) 3, ( n ) log( u) n au a n n ± db:n uloasoon (log_(a)) > db särövaimennus

7 y Esimerkki Sauraaio y () f( x ()) f ( x ( )) anh( ax ( )) a 3 a 5 7a 7 f( x) ax x + x x π ax + ax 3 + ax 5 + ax ax Tarkasellaan ulosignaalia x() Acos π f ( ) Särökeroime kun a ja A d n x an n dn A n a d d5.33 d7.54 d9.9 d db -37 db -5 db -33 db -4 db Esimerkki x() y()

8 Epälineaarisuus Traveling Wave Tube TWT ehovahvisin Alkuperäinen signaali x () r ()cos c+ ( ω φ ) TWT-vahvisimen ulosulo y() A( r() ) cos ( ωc+ φ+φ( r() )) αar Ar ( ) + β r a α r Φ ( r) + φ βφr Oupu ampliude Phase error(rad) Sauraaio αa βa Inpu ampliude αφ.593. βφ Inpu ampliude Ampliudisa riippuva vaiheensiiro Keskeismodulaaiosärö Keskeismodulaaiosäröä synyy epälineaarisessa järjeselmässä, kun ulosignaali on kahden ai useamman sinisignaalin summa. x() x() + x() Lähösignaali on muooa ( ) k ( ) y () f x () a x() + x() k k k ax k n n k () x () k n n k k k k n n k k k k k k n k n n ax () + ax () + ax () x () k x ja sen Sekoiunee signaali harmoonise yliaallo x ja sen harmoonise yliaallo

9 Keskeismodulaaiosärö Tarkasellaan epälineaarisuua y () x() Tulosignaali x () A cos ω x () A cos ω ω > ω ( ) ( ) ( ) ( ) x () Acos ω + Acos ω Lähösignaali y ( ) Acos ω + Acos ω + AAcos ω cos ω ( ) ( ) ( ) ( ) cos( φ) cos( φ) ( cos( φ+ φ) + cos( φ φ) ) y () A+ Acos( ω) + A + Acos( ω) + AAcos( ( ω+ ω) ) + AA cos ( ω ω) ( ) Keskeismodulaaiosärö Tarkasellaan apausa, jossa A A A y ( ) A+ Acos( ω) + A+ Acos( ω) + A cos( ( ω+ ω) ) + A cos ( ω ω) ( ) Verraaan samanaseise harmonise yliaalojen ja keskeismodulaaioulosen ampliudeja A A A jos A>, niin keskinäismodulaaio komponeni ova vasaavia. keraluvun harmoonisia aajuksia suurempia

10 Keskeismodulaaiosärö x - x (x +x ) x +x x x x *x Keskeismodulaaiosärö Kahden kosini-signaalin kulkiessa n. aseen epälineaarisuuden läpi synyy sekoiusaajuuksia f lf + mf xkeskeis x x fx fx l + m n Tulosignaalin x () aajuus Tulosignaalin x () aajuus 8..6