Systeemimallit: sisältö

Transkriptio

1 Syseemimalli: sisälö Malliyypi ja muuuja Inpu-oupu -uvaus ja ilayhälömalli, ila Linearisoini Jauva-aiaisen lineaarisen järjeselmän siirofunio, sabiilisuus Laplace-muunnos Disreeiaiaisen lineaarisen järjeselmän pulssinsiirofunio, sabiilisuus z-muunnos Disreoini TKK/SAL Ma Syseemien idenifioini Kai Viranen

2 Joiain malliyyppejä Maemaainen malli: muuujien välise suhee uvau maemaaisesi yhälöin Lohoaaviomalli: syseemin oiminojen looginen jao lohoihin, joiden välisiä vuorovaiuusia uvaaan nuolin u S y u subsysem1 subsysem2 y simulaaiomalli: malli ehä olemassa vain ieooneohjelmana joa on ehä jäsenney maemaaisesa ai lohoaaviomallisa TKK/SAL Ma Syseemien idenifioini Kai Viranen

3 Sisäänmeno, ulosulo ja häiriö Mallin vaio: syseemiparameri suunnieluparameri Mallin muuuja: ulosulo oupu y=[y 1,..., y p ] T sisäänmeno inpu, ohjaus u=[u 1,...,u m ] T voidaan valia häiriö w=[w 1,...,w r ] T ei voida valia Sisäänmenoja ja häiriöiä usuaan uloisisi muuujisi, muia mallin muuujia sisäisisi Dynaamisessa järjeselmässä y riippuu paisi u:sä ja w:sä myös aiisa us ja ws, s< TKK/SAL Ma Syseemien idenifioini Kai Viranen

4 Inpu-oupu -uvaus ja ilayhälömalli Yleinen jauvan ajan inpu-oupu-uvaus on muooa gy n, y n-1,...,y, u m,...,u=0, missä a viiaa a:neen derivaaaan ja g on join epälineaarinen funio SISO Muunneaan 1. eraluvun differeniaaliyhälösyseemisi aseamalla x i :=y i-1, i=1,...,n Saadaan ilayhälömalli x& = y f x, u = h x, u jossa dim x=n, dim u=m, dim y=p x on mallin ila, n on mallin eraluu TKK/SAL Ma Syseemien idenifioini Kai Viranen

5 Tila Aiemmin odeiin, eä syseemin ulosuloon y vaiuava us ja ws, s< Olisi ovin ömpelöä alleaa us ja ws oonaisuudessaan Syseemin ai mallin ila x on sellainen informaaio, jona uneminen yhdessä u:n ja w:n anssa mahdollisaa syseemin ulosulon yτ lasemisen jollein τ> Käyännössä ilalla on äreä meriys esim. simuloinnissa: se on suoraan ullain aia-aselella alleeava informaaio u y u x& = f x, u y S inpu-oupu-uvaus exernal model y = h x, u ilamalli inernal model TKK/SAL Ma Syseemien idenifioini Kai Viranen

6 Esiysen ero Inpu-oupu -uvaus ei oa anaa syseemin sisäiseen raeneeseen Klassisen sääöeorian perusa siirofuniolla ilmaisun lineaarisen inpu-oupu -uvausen analyysi aajuusasossa Tilayhälöesiys moderni lähesymisapa OR:n syny 1950-luvulla mahdollisi mm. ilaaaisinyennän, opimisäädön, monimuuuujasäädön ja epälineaarisen mallien äsielyn seä laajensi lineaarisen järjeselmien eoriaa meriäväsi TKK/SAL Ma Syseemien idenifioini Kai Viranen

7 Tasapainoilan raaisu Valiaan u=u 0 vaio; mihin x ja y aseuva? x 0 : fx 0,u 0 =0 ysi, useia ai ei yhään raaisua x 0,u 0 on asapainopise saionary poin usein oivoavaa saada syseemi asapainoilaan Vasaavasi asapainoilan ulosulo on y 0 =hx 0,u 0 Tasapainopise on asympooisesi sabiili y onvergoi y 0 :aan Konvergenssinopeua uvaa aiavaio usein mieleniinnon annala nopea ila voidaan orvaa saaisilla approsimaaioilla Saainen vahvisus = y 0 :n heryys muuoselle u 0 :ssa eli g u 0 ; y 0 =hx 0 u 0,u 0 =gu 0 TKK/SAL Ma Syseemien idenifioini Kai Viranen

8 g lineaarinen un g. on y:n ja u:n derivaaojen painoeu summa, saadaan y u:n funiona Laplace-muunnosella SISO: m m 1 bms bm 1s... b0 Y s = U s n n 1 n 2 as a s a s... 1 n n 1 Osamäärää usuaan syseemin siirofuniosi Gs Toisaala, oimimalla uen edellä saadaan lineaarinen ilayhälömalli x& = Ax Bu n 2 y = Cx Du ässä dim A=nxn, dim B=nxm, dim C=pxn, dim D=pxm TKK/SAL Ma Syseemien idenifioini Kai Viranen

9 Lineaarisen jauva-aiaisen syseemin sabiilisuus Asympooinen sabiilisuus vs. sabiilisuus: loaali, globaali Lin. järjeselmälle sabiilisuus on syseemin ominaisuus joa ei riipu oimina-alueesa ai ulosuureisa Siirofunion Gs väliämä inpu-oupu -uvaus on globaalisi asympooisesi sabiili joss nimiäjäpolynomin nollaohda so. siirofunion nava sijaiseva aidosi omplesiason vasemmassa puolisossa uvaus on sabiili jos join nava ova im-aselilla ja ne ova ysineraisia Huom. Laplace-muunamalla ilayhälö saadaan Gs=CsI-A -1 BD eli nava yhyvä A:n ominaisarvoihin TKK/SAL Ma Syseemien idenifioini Kai Viranen

10 TKK/SAL Ma Syseemien idenifioini Kai Viranen Linearisoini Tarasellaan epälineaarisa järjeselmää asapainopiseessä x 0,u 0 seä poieamia x=x-x 0, y=y-y 0 ja u=u-u 0 päee: missä laseuna x 0,u 0 :ssa Lisäieoa app. B irjassa ' ' ' ' u D x C y u B x A x d d u h D x h C u f B x f A = = = = ', ', ', '

11 TKK/SAL Ma Syseemien idenifioini Kai Viranen Disreeiaiainen lineaarinen järjeselmä Inpu-oupu -uvausen siirofunioesiys Tilayhälöesiys: oeaan iloisi viiväsey y:n ja u:n arvo Asympooinen sabiilisuus: siirofunion nava A:n ominaisarvo ysiöympyrän sisäpuolella sabiilisuus: napoja ysiöympyrällä 1 Du Cx y Bu Ax x = = z U z a z a z a b z b z b z Y n n n n n n m m m m =

12 Disreoini Oloon anneuna jauva-aiainen malli x& = y f x, u = h x, u ja arasellaan disreeiaiaisa mallia x 1 y, u Mien F ja H ulisi valia, joa disreeiaiainen malli uvaisi disreoinipiseissä jauva-aiaisa mallia mahdollisimman hyvin? Euler, Runge-Kua meneelmä, yms... = F x = H x, u TKK/SAL Ma Syseemien idenifioini Kai Viranen

13 Lineaarisen mallin disreoini Oleeaan ohjaus aia-aselella vaiosi/lineaarisesi ja raaisaan ilayhälö => disreein mallin syseemi- ja ohjausmariisi jouduaan lasemaan mariisiesponeni ja sen inegraali Lue pl 3.9 ja app. A Harjoiusyö 1 ässä puhuun hands on -sovellus TKK/SAL Ma Syseemien idenifioini Kai Viranen

14 Sananen p:sä, s:sä, z:sa, q:sa ja q -1 :sä s on Laplace-ason muuuja - p on derivoinioperaaori aiaasossa sfs=l{f }, pf=f Gs on Laplace-ason olio - Gp on operaaoripolynomi Gs operoi Us:ään, Gp u:hen z on z-ason muuuja q on eeenpäinsiiro-operaaori q -1 on aasepäinsiiro-operaaori aiaasossa z -1 Yz=Z{y -1 }, qy=y 1, q -1 y=y -1 Gz on z-ason olio joa operoi Uz:aan Gq ja Gq -1 ova aiaason operaaoripolynomeja joa operoiva u:hen Huomaa eriyisesi, eä disreeiaiaisen järjeselmän sabiilisuusulos osee z:n ai q:n polynomeja usein äyeään myös merinää G*z -1 ai G*q -1! TKK/SAL Ma Syseemien idenifioini Kai Viranen