SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA"

Transkriptio

1 1 SÄHKÖTKNIIKKA JA LKTONIIKKA X , Kimmo Silvonen Osa II, Muuosilmiö ja differeniaaliyhälö Tässä luvussa rajoiuaan pääasiassa asajännieläheisiin liiyviin muuosilmiöihin, vaikka samanlainen maemaainen käsiely onkin sovelleavissa myös yleisempiin apauksiin. Muuosilmiölaskenaa kusuaan myös ransienianalyysiksi. Vaihojänniee, pulssi ja muu aalomuodo on usein viisaina käsiellä numeerisesi simuloimalla ai Laplacemuunnoksen avulla. Joskus muuosilmiöisä on haiaa ja joskus niiä käyeään hyödyksi. Haioja ova esimerkiksi oiminnan ai vaseen hidasuminen ja aalomuodon väärisyminen, hyöykäyöä oisaala myös esimerkiksi aalomuodon muokkaaminen. Puhaasi resisiivisissä piireissä ei ässä käsielyjä (hiaia) muuosilmiöiä esiinny lainkaan; jännie ja vira voiva muuua salamannopeasi ja samanaikaisesi. Hyvin nopeia ai hiaia muuosilmiöiä ei muuenkaan aina arvise oaa huomioon. 1.1 eakiivise komponeni Kelan ja kondensaaorin energiavaraso aiheuava piireihin hiaua. Vira muuaa kondensaaorin varausa ja siihen verrannollisa jännieä äärellisellä nopeudella. Samoin kelan energiavaraso, käämivuo, ja siihen verrannollinen vira eivä voi muuua yh äkkisesi. Ääreömän nopea energian muuos vaaisi ääreömän suuren ehon. Kondensaaori siis pyrkii jarruamaan jännieen muuumisa ja kela virran muuosa. Toisaala kelan jännie ja kondensaaorin vira voiva

2 2 1.1 eakiivise komponeni muuua askelmaisesikin, koska varasoiunee energia eivä riipu kyseisisä suureisa. Keloja, muunajia ja kondensaaoreia nimieään yheisesi reakiivisiksi komponeneiksi. esisanssisa nämä eroaa mm. energian varauskyky, joka vasuksela puuuu. eakanssi eivä oisaala kulua energiaa; varasoinnissa energia ei vähene. Vasus puolesaan kuluaa energiaa muuamalla sähköenergian lämmöksi. "Puhaassa" kelassa ja kondesaaorissa ei synny missään ilaneessa lämpöä. Muuosilmiöiden maemaainen käsiely perusuu kelan ja kondensaaorin jännie vira-yhälöihin aika-alueessa (ime domain): u L = L di L i = du i L () = 1 L u () = u L + i(0) i(0) = I L0 (1) i + u(0) u(0) = U 0 (2) Tarkaselun alkuheken ( = 0) ilalla voi olla mikä ahansa heki 1, kunhan virran ja jännieen alkuarvo vasaava inegroinnin alarajaa (kaava 1 ja 2). Myös inegroinnin loppukoha = 2 voi olla mikä ahansa. Yksinkeraisimmissa apauksissa piirissä on vasusen, läheen ja mahdollisen kykimen lisäksi vain yksi kela (L-piiri) ai yksi kondensaaori (-piiri). Tällaisen piirin analyysi perusuu ilaneesa riippuen yheen yllä mainiuisa neljäsä yhälösä. Taulukkoon 1 on koou yheenveona muuosilmiöiden muoo yleisimmissä käyännön ilaneissa (yksi kondensaaori ai yksi kela); helpoimmin osin "muisa" aulukon ulokse laskemalla ne ise derivaaan ai inegraalin avulla. L- ja L-piiri sekä piiri, joissa on kaksi kondensaaoria ai kaksi kelaa, johava oisen keraluvun differeniaaliyhälöihin. Näiä voidaan ehokkaimmin käsiellä Laplace-muunnoksella (Pierre Simon Laplace) ai piirisimuloiniohjelmilla. Synyvä muuosilmiö ova usein eksponeniaalisia (kuva 1) ai eksponeniaalisesi vaimenevia siniaaloja, kuen Lpiireissä.

3 1.1 eakiivise komponeni 3 = 0 u = 0 u u i L "kupera" u i L "kovera" = 0 L i L = 0 L i L Kuva 1. Kondensaaorin ja kelan kykenäilmiöiden verailu (johdanona aiheeseen). Huomaa, mien kondensaaorin jännieen ja kelan virran muuosilmiö ova samanmuooise. Jännieläheen nollaaminen on käyännössä yleensä ehävä eri avalla kuin kuvassa oleva oikosulkeminen! Tapausen maemaainen käsiely on uonnempana. Taulukko 1. Kelan ja konkan muuosilmiö ieyissä ilaneissa (kupera ja kovera eksponenikäyrä [siis ylhäälä kasouna] ova omaa erminologiaani). Kasvava kovera ai pienenevä kupera eksponenikäyrä eivä olisi fysikaalisesi mahdollisia, koska ne lähesyvä ajan funkiona plus- ai miinus-ääreönä. i L ai u u L = L di L ai i = du vakio (d.c.) 0 lineaarisesi eli suoraviivaisesi kasvava posiiivinen vakio lineaarisesi eli suoraviivaisesi pienenevä negaiivinen vakio kasvava kupera eksponenikäyrä pienenevä kovera eksponenikäyrä pienenevä kovera eksponenikäyrä kasvava kupera eksponenikäyrä

4 4 1.2 Kondensaaorin varaaminen 1.2 Kondensaaorin varaaminen Oleeaan aluksi, eä kondensaaorin alkujännie U 0 = 0; konkka on siis varaukseon. Kun kykin suljeaan (sulkeminen on merkiy kuvaan 2 nuolella), kondensaaori alkaa varauua asajännieläheesä vasuksen kaua. Vira kulkee kunnes kondensaaorin jännie u on saavuanu jännieläheen jännieen. Tää kusuaan jakuvuusilaksi (seady sae). Tasavira näyää siis ( kulkevan ) kondensaaorin läpi, jos kondensaaorin jännieä muueaan du 0. Poraa kokeilumielessä läpinäkyvän mukin pohjaan reikä, laske mukiin raanasa veä ja sammua sien raana! Huomaa, eä reiäsä viraa veä ulos vain, jos neseen pinnan korkeus (vr. jännie ai varaus) mukissa muuuu. Tämä kuvaa oikeasaan parhaien yhden kondensaaorilevyn varauksen muuumisa. Fysikaalisesi vira ei kulje kondensaaorin eriseen läpi, vaan ainoasaan jännieläheesä johimia pikin kondensaaorin levyihin, joka varauuva vasakkaismerkkisesi; vira siis kuljeaa oiseen levyyn posiiivisen ja oiseen iseisarvolaan yhä suuren negaiivisen varauksen ±Q. u elekroni = 0 u + +Q Q elekroni i u Kuva 2. Kondensaaorin varaaminen asajännieeseen. Oikealla piiri kykimen sulkemisen jälkeen. Kuvassa kondensaaoriin on siiryny kokonaisvaraus Q. 1.3 Differeniaaliyhälö ja yrie Muuosilmiö voidaan analysoida Kirchhoffin jännielain avulla: = u + u = i + u i = du Seuraavassa esieään "rinnakkain" kaksi vaihoehoisa apaa ehävän rakaisemiseksi. 1. Derivoini puoliain :n suheen. Huomaa, eä on vakio ja on (3)

5 1.3 Differeniaaliyhälö ja yrie 5 vakiokerroin: 0 = di + du = di + i 2. Lausuaan vaihoehoisesi vira jännieen avulla: (4) = du + u (5) Saadaan siis kaksi hieman erimuooisa differeniaaliyhälöä 0 = di + i ai = du + u (6) Molemma ova ensimmäisen keraluvun differeniaaliyhälöiä, koska niissä ei ole oisa derivaaaa eikä korkeampia derivaaaermejä. Differeniaaliyhälössä on yypillisinä osina funkio, funkion derivaaa ajan suheen, sekä mahdollisesi summaava vakioermi () ja vakiokeroimia, kuen. nsimmäinen yhälö on homogeeninen, koska siiä puuuu vakioermi. Differeniaaliyhälöä ei derivaaan akia voida rakaisa sien, eä oeaisiin unemaon muuuja yheiseksi ekijäksi. Differeniaaliyhälön rakaisuna on yleensäkin vain poikkeusapauksessa jokin vakio; yllä i = 0 ai u = kävisivä rakaisuiksi, mua ne eivä yleensä oeua alku- ai loppuilan reunaehoja. Muu mahdollise rakaisu löydeään esimerkiksi yrieen avulla. Vain ieyn muooise funkio ova yllä olevien differeniaaliyhälöiden rakaisuja. Yrie määrielee ämän funkion yleisen (ja ainoan mahdollisen) muodon. nsimmäisen keraluvun differeniaaliyhälöiden ainoa mahdollise rakaisu eli yriee ova seuraava: i = i() = Ae τ u = u () = B + Ae τ (7) A:n edessä voi oman maun mukaan olla myös miinusmerkki, koska A voi olla posiiivinen ai negaiivinen. Yrieen voi perusella esimerkiksi seuraavasi; jakeaan yhälösä (6): Inegroidaan puoliain: u = du }{{} + + du u = 0 (8) du u }{{} ln(u )+c = 0 (9)

6 6 1.4 Vakioiden arvo, Muna ja jauho -meneelmä missä c on inegroimisvakio, jonka arvo määräyyy alkuilan peruseella. Saaiin vaihoehoinen apa differeniaaliyhälön rakaisemiseen: Loppuuloksesa voidaan unnisaa vakio A ja B. ln(u ) = c (10) u = e (11) u () = }{{} + }{{} e c e (12) B A 1.4 Vakioiden arvo, Muna ja jauho -meneelmä Tehäväksi jää rakaisa reaalisen (reaaliluku) vakiokeroimien A, B ja τ arvo, joka riippuva mm. piirin alku- ja loppuilasa. Aikavakio τ on aina posiiivinen, mua A ja B voiva olla posiiivisia ai negaiivisia. Merkinnä i ja i() arkoiava aina samaa eli ajan funkiona muuuvaa viraa! Huomaa, eä vakio τ on sama molemmissa yrieissä (7), mua vakio A on ensimmäisessä yrieessä vira ja jälkimmäisessä jännie. Samanlaisa yrieä voidaan käyää ilaneesa riippuen joko virralle ai jännieelle, koska differeniaaliyhälö ova samanmuooise. Sijoieaan yriee differeniaaliyhälöihin vakioiden rakaisemiseksi. Vaikka ässä käsielläänkin molempia yhälöiä yhä aikaa, riiää käyännössä vain oisen yhälön arkaselu. d 0 = ( ) Ae τ + Ae τ 0 = A 1 τ e τ A + e τ ( 0 = Ae τ 1 τ + 1 ) }{{} 0 ( ) d B + Ae τ = ( = 0 A 1 τ e τ 0 = (B ) }{{} mn=0 ( + + (B + Ae τ ) (13) ) + (B + Ae τ ) (14) ) Ae τ 1 A τ e τ }{{} jh=0 (15) Vasemmassa yhälössä sulkulausekkeen ulee olla nolla. Jälkimmäisessä yhälössä ei oikealla puolella saa olla munia (mn) eikä jauhoja (jh), koska niiä ei ole yhälön oisellakaan puolella (oleeaan sama määrä munia ja jauhoja aikinaan kuin oli resepissäkin). Muna eivä voi kumoa

7 1.4 Vakioiden arvo, Muna ja jauho -meneelmä 7 jauhoja ja vakio-osa ei voi kumoa ajasa riippuvaa osaa ainakaan kaikilla :n arvoilla. Siis vakio-osien ja B ulee olla yhä suure ja yhälön ajasa riippuvien osien ulee kumoa oisensa. Nämä vaaimukse voidaan odisaa esimerkiksi ukimalla yhälöä kahdella eri hekellä: esimerkiksi, kun =, ja kun (esim. = 0). Yhälöidenhän on oeuduava kaikilla :n posiiivisilla arvoilla, koska arkaselu alkaa kykimen sulkeuduua hekellä = 0. Vasemmanpuoleisesa yhälösä nähdään hei, eä τ =. Oikeanpuoleisesa yhälösä voidaan rakaisa B ja τ (vasemmassa yhälössä B olisi nolla). B = A 1 τ e τ = Ae τ τ = (16) Huomaaan, eä molemmisa yhälöisä jäi vielä vakio A rakaisemaa. Se laskeaankin aina alkuilaneen peruseella. Yrieiden ulee olla yheensopivia alkuvirran ja alkujännieen kanssa. Tulokse riippuva kondensaaorin varausilasa arkaselun alkuhekellä. Oleeaan aluksi, eä alkujännie U 0 = 0; sen ulee olla yheensopiva yrieen kanssa (alla oikealla). Alkuvira i(0) määräyyy kykenäkaavion ja KJL:n peruseella (seuraavassa vasemmalla). i(0) = U 0 = Ae 0 = A u (0) = B + Ae 0 = B + A = U 0 (17) A = A = U 0 B = (18) Kun A on rakaisu, unneaan virran ja jännieen lausekkee yksikäsieisesi: i () = e u () = e (19) Jännie voidaan ieysi laskea myös virrasa ja vira jännieesä. u () = i () i () = u () (20) dellä rakaisu perusui derivaaamuooisiin yhälöihin. akaisu inegraalimuooisen yhälöiden kaua on lähes yhä helppo, mua käyännössä harvinaisempi apa; voi yriää siä ise. Jos derivoi yhälön puoliain (mikä osin ei ole välämäönä), huomaa, eä funkion inegraalin derivaaa on funkio ise: ( d ) i +U 0 = i + 0 (21) 0

8 8 1.5 Aikavakio määrää muuosilmiön nopeuden Alkuarvo U 0 on vakio, joen sen derivaaa on nolla. Vakio A ja B voidaan laskea samalla avalla kuin äsken, vaikka alkujännie U 0 ei olisikaan nolla. Tällöin: i () = U 0 e }{{ } A u () = }{{} B +(U 0 ) }{{} A e (22) Käyrä ajan funkiona on piirrey kuvaan 3. Muuosilmiön yleinen esiysmuoo mahdollisaa maemaaisen käsielyn jopa ilman differeniaaliyhälöä, koska alku- ja loppuarvo voidaan pääellä suoraan piirisä: i () = i(0) e τ }{{} A u () = u( ) +[u(0) u( )] e τ (23) }{{}}{{} B A i A i (0 + ) u i (0 ) U 0 Kuva 3. Jännieen ja virran aalomuodo. Kuvaan on merkiy myös virran rajaarvo, kun hekeä = 0 lähesyään vasemmala ai oikeala: i (0 ) ja i (0 + ). Kondensaaorin jännie on aina jakuva, joen U 0 = u (0) = u (0 ) = u (0 + ). Jos U 0 =, ei muuosilmiöä apahdu, koska alku- ja loppuila ova sama. 1.5 Aikavakio määrää muuosilmiön nopeuden Vakioa τ kusuaan aikavakioksi, joka kuvaa muuosilmiön nopeua (yksikkönä sekuni). Virran ai jännieen alkuarvo ei vaikua aikavakioon miään. Monissa yksinkeraisissa piireissä aikavakio laskeaam kaavalla τ =, missä voi koosua useamman vasuksen (näennäisesä) sarjaanai rinnankykennäsä. Käyännön elekroniikkapiireissä vasusarvo vaiheleva yypillisesi välillä 0,1 Ω MΩ ja kapasianssi välillä 10 pf µf. Tämän peruseella aikavakio voi eri ilaneissa vaihdella varsin laajoissa rajoissa 1 ps... 1 Ms (1 Ms 278 h). Muuosilmiöiä ei siis aina arvise oaa huomioon, jos ne ova riiävän nopeia ai äärimmäisen hiaia.

9 1.6 Kondensaaorin varauksen purkaminen 9 Aikavakion τ kuluua kykimen sulkemisesa vira on pudonnu e:neen osaan eli se on enää 37 % maksimisaan (1/e 0,37). Jännie puolesaan on noussu 63 % alkuilan U 0 ja loppuilan välisesä asoerosa (1 1/e 0,63). Aikavakio voidaan myös määriää esimerkiksi piirreysä käyräsä ai oskilloskoopin kuvapukela kohaan = 0 piirreyn käyrän angenin avulla (kuva 4). Käyännössä 37 % ai 63 % piseiden hakeminen lienee arkempi meneelmä. i A e τ U 0 e u τ Kuva 4. Aikavakion määriäminen käyrän angenin peruseella ai alku- ja loppuilojen korkeuseron peruseella. Tangenin suunaa on käyännössä vaikea arvioida arkasi. Kondensaaorin virran raja-arvo ova eri suure riippuen siiä, lähesyäänkö hekeä nolla posiiivisela vai negaiivisela puolela. Merkinä i(0 ) arkoiaa raja-arvoa, kun nollaa lähesyään miinus-puolela ja vasaavasi merkinä i(0 + ) raja-arvoa plus-puolela. Koska kondensaaorin jännie on jakuva, ova myös raja-arvo vasemmala ja oikeala sama. u (0 ) = u (0 + ) = u (0) = U 0 (24) Sen sijaan vira on epäjakuva, yllä i (0 ) = 0 ja i (0 + ) = A, missä A on vakio (ei ampeeri). 1.6 Kondensaaorin varauksen purkaminen Jos varau kondensaaori kykeään virapiiriin, kondensaaorin varaus ja jännie muuuva uua ilannea vasaaviksi (kuva 5).

10 Kondensaaorin varauksen purkaminen auki = 0 i u u i i Kuva 5. Kondensaaorin varauksen purkaminen. Oikealla piiri kykimen sulkemisen jälkeen ( 0). nsin vasen kykin avaiin ( < 0), kun kondensaaori oli laauunu jännieeseen U 0. Suljeaan oinen kykin hekellä = 0. u + i = 0 u = i = du (25) Koska yhälö on homogeeninen, oeaan avuksi se yrie, jossa B = 0. ( u () = Ae τ Ae τ = A 1 ) e τ τ (26) τ = (27) Koska yrieen peruseella U 0 = u (0) = Ae 0 = A, vakion A ulee olla yhä suuri kuin U 0. u () = U 0 e i () = u () (28) Yllä oleva ulokse on piirrey kuvaan 6. Huomaa, eä käyrä ova kykimen sulkemisen jälkeen samanmuooise kuin laauksessa (kuva 3), mua u ja i vaihava paikkaa. Pysyakselin kohdalla jännie on jakuva, mua vira muuuu yh äkkisesi; juuri ämä on ominaisa kondensaaorille. u i U 0 U 0 Kuva 6. Kondensaaorin purkauskäyrä. Virran oleussuuna säilyeiin paremman verailavuuden akia samana kuin laauksessa, vaikka odellisuudessa purkausvira kulkee luonnollisesi vasakkaiseen suunaan (i 0).

11 1.7 Kelan kykeminen piiriin 11 Alku- ja loppuilan arkaselua on seliey kuvassa 7. 1 = u() 2 I U 0 2 alkuilanne 2 i() 2 muuosilmiö 2 U 2 loppuilanne Kuva 7. Kondensaaorin alku- ja loppujännieen laskeminen, kun kykin avaaan hekellä = 0; jakuvassa ilassa virraon kondensaaori voidaan poisaa. 1.7 Kelan kykeminen piiriin Kelan muuosilmiö ova muuen samanmuooisia kuin kondensaaorin, mua kelassa virran ulee olla jakuva ja jännie voi muuua yh äkkisesikin. Kuvassa 8 kela, jonka vira on aluksi nolla, kykeään jännieläheeseen. Tämän jälkeen vira alkaa hiljalleen kulkea kelan läpi eli kela energisoiuu. = 0 L u L u L i L u L Kuva 8. Kelan kykeminen asavirapiiriin. Muuosilmiöä kuvaa Kirchhoffin jännieyhälö: = u + u L = i + L di L (29) Koska ny differeniaaliyhälö sisälää vakioermin, käyeään seuraavaa yrieä i L () = B + Ae τ (30)

12 Kelan kykeminen piiriin Yllä olevan differeniaaliyhälön rakaisu on siis aina ää muooa. Sijoieaan yrie yhälöön } = {{ B} +Ae A τ L τ e τ vakio osa }{{} f () Tämän on olava voimassa kaikilla :n ei-negaiivisilla arvoilla. (31) = B f () = A L A τ = 0 (32) B = τ = L (33) Yksinkeraisen L-piirien aikavakio on yleisesi muooa τ = L/. Vasuksen suurenaminen nopeuaa muuosilmiöä oisin kuin piireissä. Vakio A laskeaan jälleen alkuehdon peruseella: I L0 = i L (0) = 0. i L (0) = + Ae 0 = 0 A = i L () = ) (1 e L/ (34) (35) u L () = L di L = e L/ (36) Jos alkuvira ei josain syysä olisi nolla, pysyisivä aikavakio τ ja kerroin B ennallaan, mua vakio A muuuisi, kuen kondensaaorinkin apauksessa: A = I L0. Alkuvira ei kuvan piirissä voi ilman lisäjärjeselyjä olla muua kuin nolla. Kelan mahdollinen alkuvira voisi korkeinaan ulla sellaisesa piirin osasa, joka irroeaan hei kykimen sulkemishekellä. Vira i L () kasvaa ai pienenee eksponenikäyrää pikin alkuarvosa I L0 loppuarvoon / (kuva 9). u L i L I L0 Kuva 9. Virran kykeminen kelaan eli kelan energiavarason laaaminen. Veraa käyriä kondensaaorin laaus- ja purkauskäyriin.

13 1.8 Kelan energiavarason purkaminen 13 Kuen huomaa, on kelan vira kykenähekellä (aina) jakuva i L (0 ) = i L (0 + ) = i L (0) = I L0 (37) mua jännie on epäjakuva, kuen kelassa yleensäkin: u L (0 ) = 0 (38) u L (0 + ) = (39) 1.8 Kelan energiavarason purkaminen dellisen kohdan piiriin voidaan jakuvassa ilassa liiää kelan rinnalle vasus 2 ilman, eä apahuu muuosilmiöä, koska kelan jakuvan ilan jännie U L = 0. Vaikka jännielähde irroeaan ämän jälkeen piirisä, ei vira hei kakea, koska kelan on ensin yhjenneävä energiavarasonsa. Oleeaan, eä ennen kykimen avaamisa muuosilmiö ova jo asoiunee. Kykimen avaamisen jälkeen kela pyrkii jakamaan virran kulkua, ny vasuksen 2 läpi. Nollaaan kello samalla hekellä, kun kykin avaaan (kuva 10). Tällöin uuden arkaselun alkuhekellä kelan vira on sama kuin edellisen arkaselujakson lopussa I L0 = i 1 U L = U L U L = (40) i 1 1 = 0 I L0 0 i L L 2 U L = 0 L 2 u L Kuva 10. Kelan virran kakaisu. Oikealla piiri kykimen avaamisen jälkeen. u L = L di L = 2 i L i L () = Ae τ (41) L A τ e τ = 2 Ae τ (42) τ = L 2 (43)

14 Diracin delafunkio on häiriöpiikki Vakio A saadaan jälleen alkuehdon peruseella i L (0) = Ae 0 = A = I L0 (44) i L () = I L0 e 2 L (45) u L () = 2 i L = 2 I L0 e 2 L (46) Huomaa, eä kelaan synyy eksponeniaalisesi vaimeneva jänniepulssi, kunnes vira on "kulunu" loppuun (kuva 11). Tämä siiä huolimaa, eä piirissä ei enää kykimen avaamisen jälkeen ole jäljellä jännielähdeä. i L I L0 u L 2 I L0 Kuva 11. Kelan vira ja jännie kykimen avaamisen jälkeen; vira jakaa vielä kulkuaan, vaikka jännielähde on irroeu piirisä! 1.9 Diracin delafunkio on häiriöpiikki Tarkasellaan edellä ollua piiriä ilman vasusa 2. Mikäli kykin ny avaaan, ei vira pääse enää kulkemaan miään reiiä. Kelan jännie kohoaa impulssimaisesi iseisarvolaan hyvin korkeaksi, koska virran derivaaa on di = 0 I L0 = (47) 0 s Tarkasi oaen kyseessä on askelfunkion disribuuioderivaaa, ns. Diracin (Paul A. M. Dirac) delafunkio δ(). Tällöin kela säeilee energiansa ilmaan, mikä aiheuaa suuraajuisia häiriöiä (myös Marconin lennäin oimi näin) ai jopa valokaaren (ilma ionisoiuu ja alkaa johaa sähköä).

15 1.10 L-piirien muuosilmiö 15 i Lδ() δ() L i D i Kuva 12. Impulssifunkion synyminen, kun kelan vira kakaisaan ai jännieellinen kondensaaori oikosuljeaan. Oikealla "häiriösuojaus" kelan rinnalle aseeulla diodilla. Kykimen ollessa kiinni kulkee asavira vain kelan läpi, koska diodi on esosuunnassa. Kun kykin avaaan, purkaa kela varasoimansa energian diodiin. Diodi esää Diracin delafunkion eli jänniepiikin synymisen. Diodin ilalla voi joskus olla vasus. Mikäli kelan vira kakaisaan yh äkkisesi, synyy siis korkea jänniepiikki. Teoreeisesi arkaseluna δ() on ääreömän korkea, mua ääreömän kapea pulssi, jonka pina-ala on yksi. Delafunkion yksikkö on 1/s. Ilmiöä käyeään hyödyksi mm. loiselamppujen syyimissä; lamppu syyy korkean jänniepulssin seurauksena. Myös kondensaaorissa synyy vasaava virapiikki, jos sen jännie oikosuljeaan (kuva 12). Puolijohdekomponeni piää suojaa piirissä mahdollisesi synyvää ylijännieä vasaan. simerkiksi releen ai asaviramooorin käämin viereen (H-sillassa kykimien viereen) järjeseään virralle ylimääräinen kulkureii. Tähän käyeään usein diodia (kuva 12), joka normaaliilaneessa on esosuunnassa. Jos diodi korvaaisiin vasuksella, kulkisi osa käämiin ulevasa virrasa sen kaua, ellei käämiresisanssi ole hyvin pieni. Yksi Diracin delafunkion sovellus on piirin impulssivaseen laskena. Diracin delafunkion eli impulssifunkion voidaan kasoa olevan yksinkeraisin mahdollinen signaali. Kun impulssi syöeään piirin sisäänmenoon, saadaan hyvä ja pelkisey kuva laieen oiminnasa ukimalla lähdön vasea. Digiaalisen suodaimien oimina perusuu siihen, eä jakuva signaali muueaan ensin näyejonoksi. Jokainen näye erikseen edusaa delafunkioa, jonka korkeus ai näyeiheys on verrannollinen signaalin hekellisarvoon L-piirien muuosilmiö L- ja L-piirien muuosilmiöiä jouduaan käsielemään 2. keraluvun differeniaaliyhälöillä. Tarkasellaan kuvan 13 resonanssipiiriä, joka kykeään asajännieläheeseen hekellä = 0.

16 L-piirien muuosilmiö = 0 L i Kuva 13. Vira i kulkee kykimen sulkemisen jälkeen niin kauan, eä kondensaaori ehii varauua jännieeseen. Virran aalomuoo riippuu lukuarvoisa. Kirjoieaan piirille kykimen sulkemisen jälkeen differeniaaliyhälö. = u + u L + u = i + L di i +U 0 (48) Inegraaliermi voidaan haluaessa poisaa yhälösä derivoimalla yhälö puoliain (vakion U 0 derivaaa on nolla). 0 = di + Ld2 i 2 + i (49) Näin synyy oisen keraluvun differeniaaliyhälö. Yhälön rakaisun muoo riippuu lukuarvoisa. Vaikka U 0 häviää yhälösä, se vaikuaa loppuulokseen alkuilan reunaehojen kaua. Tässä kirjassa ei käsiellä arkemmin oisen keraluvun differeniaaliyhälöiden yleisä rakaisemisa. Kun yrie on iedossa, on vakioiden rakaiseminen kuienkin melko helppoa sijoiamalla yrie differeniaaliyhälöön. Värähelyeho sekä yhälön rakaisu (kuva 14) voidaan helpoimmin johaa Laplace-muunnoksen avulla. akaisuja on kolme erilaisa riippuen vasuksen suuruudesa: 1. Alikriiinen vaimennus i() = ωl e 2L L sin(ω) jos < 2 (50) 2. Kriiinen vaimennus i() = L e 2L L jos = 2 3. Ylikriiinen vaimennus i() = ( 2kL e 2L e k e k) L jos > 2 (51) (52)

17 1.10 L-piirien muuosilmiö 17 ω = ( ) 1 2 L (53) 2L k = ( ) 2 1 2L L (54) Sopivilla lukuarvoilla asajännielähde voi synnyää eksponeniaalisesi vaimenevan sinimuooisen värähelyn (50). Jos vasus on liian suuri, synyy vain yksiäinen pyörisyny pulssi; vira kasvaa ensin hiljalleen maksimiinsa ja kaaruu sien akaisin kohi nollaa (51-52). dellä olevien lausekkeiden ohella oisen keraluvun differeniaaliyhälön rakaisuna voi olla eksponeniaalisesi vaimenevan sinin ja kosinin summa. akaisussa voi lisäksi olla summaava vakioermi Varahelypiiri =1 F, L=4 H, =5 V, =2,4,6 APLA 8.40 User: Helsinki Universiy of TechnologyTue Oc Jannieen uc muuosilmio =5 V, =2,4,6 APLA 8.40 User: Helsinki Universiy of TechnologyTue Oc i/a uc/v /s =6 =4 = /s 5 V =6 =4 =2 Kuva 14. L-piirin vira ja jännie (u ) ajan funkiona kuvaan merkiyillä lukuarvoilla. Jos vasus on riiävän pieni ( < 2 L/), synyy vaimeneva värähely. Suuremmilla vasusarvoilla synyy vain yksi pulssi, joka laaa kondensaaorin jännieeseen. Kriiinen vaimennus ( = 4 Ω) uoaa nopeimman vaseen. Kuvan 14 verhokäyrä vasaa virran muuosilmiöä kuvassa 15.

18 L-piirien muuosilmiö 3.00 i/a Verhokayra (=2) APLA 8.40 User: Helsinki Universiy of TechnologyTue Oc = 0 i /s Kuva 15. Värähelyn verhokäyrä on eksponeniaalisesi vaimeneva. Huomaa, eä funkion maksimikohda osuva hieman eri kohiin kuin sinin maksimi, ja siksi verhokäyrä ei kulje äsmälleen huippujen kaua. Värähelyaajuus on pienempi kuin piirin resonanssiaajuus. Oikealla keinoekoinen piirimalli edellä olleen verhokäyrän laskemiseksi: = ωl, = τ/ = 2L/ 2. Vaihovirapiirin muuosilmiö on esiey kuvassa Konkan jannie ajan funkiona, 1 V, 1 Hz APLA 8.40 User: Helsinki Universiy of TechnologyMon Oc u() 0.60 V /s kykey sini jakuva ila erous Kuva 16. Hekellä = 0 kykeävä siniaalo saavuaa lopullisen aalomuoonsa vasa, kun muuosilmiö (eksponenikäyrä) on menny nollaan.

W dt dt t J.

W dt dt t J. DEE-11 Piirianalyysi Harjoius 1 / viikko 3.1 RC-auon akku (8.4 V, 17 mah) on ladau äyeen. Kuinka suuri osa akun energiasa kuluu ensimmäisen 5 min aikana, kun oleeaan mooorin kuluavan vakiovirran 5 A? Oleeaan

Lisätiedot

Huomaa, että aika tulee ilmoittaa SI-yksikössä, eli sekunteina (1 h = 3600 s).

Huomaa, että aika tulee ilmoittaa SI-yksikössä, eli sekunteina (1 h = 3600 s). DEE- Piirianalyysi Ykkösharkan ehävien rakaisuehdoukse. askeaan ensin, kuinka paljon äyeen ladaussa akussa on energiaa. Tämä saadaan laskeua ehäväpaperissa anneujen akun ieojen 8.4 V ja 7 mah avulla. 8.4

Lisätiedot

Tasaantumisilmiöt eli transientit

Tasaantumisilmiöt eli transientit uku 12 Tasaanumisilmiö eli ransieni 12.1 Kelan kykeminen asajännieeseen Kappaleessa 11.2 kykeiin reaalinen kela asajännieeseen ja ukiiin energian varasoiumisa kelan magneeikenään. Tilanne on esiey uudelleen

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 4, ratkaisuehdotukset

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 4, ratkaisuehdotukset D-00 ineaarise järjeselmä Harjoius 4, rakaisuehdoukse nnen kuin mennään ämän harjoiuksen aihepiireihin, käydään läpi yksi huomionarvoinen juu. Piirianalyysin juuri suorianee opiskelija saaava ihmeellä,

Lisätiedot

Diskreetillä puolella impulssi oli yksinkertainen lukujono:

Diskreetillä puolella impulssi oli yksinkertainen lukujono: DEE-00 ineaarise järjeselmä Harjoius 5, rakaisuehdoukse [johdano impulssivaseeseen] Jakuva-aikaisen järjeselmän impulssivase on vasaavanlainen järjeselmäyökalu kuin diskreeillä puolellakin: impulssivase

Lisätiedot

Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta Sivu 1/5

Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta Sivu 1/5 S-72. Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse, syksy 28 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Sivu /5 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Konvoluuion avulla saadaan laskeua aika-alueessa järjeselmän lähösignaali,

Lisätiedot

Mittaustekniikan perusteet, piirianalyysin kertausta

Mittaustekniikan perusteet, piirianalyysin kertausta Miausekniikan perusee, piirianalyysin kerausa. Ohmin laki: =, ai = Z ( = ännie, = resisanssi, Z = impedanssi, = vira). Kompleksiluvu Kompleksilukua arviaan elekroniikassa analysoiaessa piireä, oka sisälävä

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 3, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 3, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset DEE- ineaarise järjeselmä Harjoius 3, harjoiusenpiäjille arkoieu rakaisuehdoukse Ennen kuin mennään ämän harjoiuksen aihepiireihin, käydään läpi yksi huomionarvoinen juu Piirianalyysin juuri suorianee

Lisätiedot

TKK Tietoliikennelaboratorio Seppo Saastamoinen Sivu 1/5 Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta

TKK Tietoliikennelaboratorio Seppo Saastamoinen Sivu 1/5 Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta KK ieoliikennelaboraorio 7.2.27 Seppo Saasamoinen Sivu /5 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Konvoluuion avulla saadaan laskeua aika-alueessa järjeselmän lähösignaali, kun ulosignaali ja järjeselmän

Lisätiedot

Tietoliikennesignaalit

Tietoliikennesignaalit ieoliikennesignaali 1 ieoliikenne inormaaion siiroa sähköisiä signaaleja käyäen. Signaali vaiheleva jännie ms., jonka vaiheluun on sisällyey inormaaioa. Signaalin ominaisuuksia voi ukia a aikaasossa ime

Lisätiedot

( ) ( ) 2. Esitä oheisen RC-ylipäästösuotimesta, RC-alipäästösuotimesta ja erotuspiiristä koostuvan lineaarisen järjestelmän:

( ) ( ) 2. Esitä oheisen RC-ylipäästösuotimesta, RC-alipäästösuotimesta ja erotuspiiristä koostuvan lineaarisen järjestelmän: ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS 3 Sivu /8. arkasellaan oheisa järjeselmää bg x Yksikköviive + zbg z bg z d a) Määriä järjeselmän siirofunkio H Y = X b) Määriä järjeselmän

Lisätiedot

5. Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä

5. Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä 1 MAT-145 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen eknillinen yliopiso Riso Silvennoinen Kevä 21 5. Vakiokeroiminen lineaarinen normaaliryhmä Todeaan ensin ilman odisuksia (ulos on syvällinen) rakaisujen olemassaoloa

Lisätiedot

Monisilmukkainen vaihtovirtapiiri

Monisilmukkainen vaihtovirtapiiri Monisilmukkainen vaihovirapiiri Oeaan arkaselun koheeksi RLC-vaihovirapiiri jossa on käämejä, vasuksia ja kondensaaoreia. Kykenä Tarkasellaan virapiiriä, jossa yksinkeraiseen RLC-piiriin on kodensaaorin

Lisätiedot

( ) 5 t. ( ) 20 dt ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) / ( ) du ( t ) dt

( ) 5 t. ( ) 20 dt ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) / ( ) du ( t ) dt SMG-500 Verolasennan numeerise meneelmä Ehdouse harjoiusen 4 raaisuisi Haeaan ensin ehävän analyyinen raaisu: dx 0 0 0 0 dx 00e = 0 = 00e 00 x = e + = 5e + alueho: x(0 = 0 0 x 0 = 5e + = 0 = 5 0 0 0 5

Lisätiedot

Suunnitteluharjoitus s-2016 (...k-2017)

Suunnitteluharjoitus s-2016 (...k-2017) 1 Suunnieluharjoius s-2016 (...k-2017) HAKKURITEHOLÄHDE Seuraavan push-pull-yyppisen hakkurieholäheen komponeni ulisi valia (muunajaa lukuunoamaa). V1 iin 230 V ± 10 % 50 Hz V3 Perusieoja kykennäsä Verkkoasasuunauksen

Lisätiedot

Dynaaminen optimointi ja ehdollisten vaateiden menetelmä

Dynaaminen optimointi ja ehdollisten vaateiden menetelmä Dynaaminen opimoini ja ehdollisen vaaeiden meneelmä Meneelmien keskinäinen yheys S yseemianalyysin Laboraorio Esielmä 10 - Peni Säynäjoki Opimoiniopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Meneelmien yhäläisyyksiä

Lisätiedot

2. Suoraviivainen liike

2. Suoraviivainen liike . Suoraviivainen liike . Siirymä, keskinopeus ja keskivauhi Aika: unnus, yksikkö: sekuni s Suoraviivaisessa liikkeessä kappaleen asema (paikka) ilmoieaan suoralla olevan piseen paikkakoordinaain (unnus

Lisätiedot

KULMAMODULOITUJEN SIGNAALIEN ILMAISU DISKRIMINAATTORILLA

KULMAMODULOITUJEN SIGNAALIEN ILMAISU DISKRIMINAATTORILLA 1 KULMMOULOITUJEN SIGNLIEN ILMISU ISKRIMINTTORILL Millaisia keinoja on PM & FM -ilmaisuun? 51357 Tieoliikenneekniikka I Osa 17 Kai Käkkäinen Kevä 015 ISKRIMINTTORIN TOIMINTKÄYRÄ J -YHTÄLÖ FM-signaalin

Lisätiedot

12. ARKISIA SOVELLUKSIA

12. ARKISIA SOVELLUKSIA MAA. Arkiia ovellukia. ARKISIA SOVELLUKSIA Oleeaan, eä kappale liikkuu ykiuloeia raaa, eimerkiki -akelia pikin. Kappaleen nopeuden vekoriluonne riiää oaa vauhdin eumerkin avulla huomioon, ja on ehkä arkoiukenmukaiina

Lisätiedot

x v1 y v2, missä x ja y ovat kokonaislukuja.

x v1 y v2, missä x ja y ovat kokonaislukuja. Digiaalinen videonkäsiel Harjoius, vasaukse ehäviin 4-0 Tehävä 4. Emämariisi a: V A 0 V B 0 Hila saadaan kanavekorien (=emämariisin sarakkee) avulla. Kunkin piseen paikka hilassa on kokonaisluvulla kerroujen

Lisätiedot

Rakennusosien rakennusfysikaalinen toiminta Ralf Lindberg Professori, Tampereen teknillinen yliopisto ralf.lindberg@tut.fi

Rakennusosien rakennusfysikaalinen toiminta Ralf Lindberg Professori, Tampereen teknillinen yliopisto ralf.lindberg@tut.fi Rakennusosien rakennusfysikaalinen oimina Ralf Lindber Professori, Tampereen eknillinen yliopiso ralf.lindber@u.fi Rakenneosien rakennusfysikaalisen oiminnan ymmärämiseksi on välämäönä piirää kolme eri

Lisätiedot

Silloin voidaan suoraan kirjoittaa spektrin yhtälö käyttämällä hyväksi suorakulmaisen pulssin Fouriermuunnosta sekä viiveen vaikutusta: ( ) (

Silloin voidaan suoraan kirjoittaa spektrin yhtälö käyttämällä hyväksi suorakulmaisen pulssin Fouriermuunnosta sekä viiveen vaikutusta: ( ) ( TT/TV Inegraalimuunnokse Fourier-muunnos, ehäviä : Vasauksia Meropolia/. Koivumäki v(. Määriä oheisen signaalin Fourier-muunnos. Vinkki: Superposiio, viive. Voidaan sovelaa superposiioperiaaea, koska signaalin

Lisätiedot

1 Excel-sovelluksen ohje

1 Excel-sovelluksen ohje 1 (11) 1 Excel-sovelluksen ohje Seuraavassa kuvaaan jakeluverkonhalijan kohuullisen konrolloiavien operaiivisen kusannusen (SKOPEX 1 ) arvioimiseen arkoieun Excel-sovelluksen oimina, mukaan lukien sovelluksen

Lisätiedot

OH CHOOH (2) 5. H2O. OH säiliö. reaktori 2 erotus HCOOCH 3 11.

OH CHOOH (2) 5. H2O. OH säiliö. reaktori 2 erotus HCOOCH 3 11. Kemian laieekniikka 1 Koilasku 1 4.4.28 Jarmo Vesola Tuoee ja reakio: hiilimonoksidi, meanoli, meyyliformiaai C HC (1) vesi, meyyliformiaai, meanoli, muurahaishappo HC CH (2) hiilimonoksi, vesi, muurahaishappo

Lisätiedot

Systeemimallit: sisältö

Systeemimallit: sisältö Syseemimalli: sisälö Malliyypi ja muuuja Inpu-oupu -kuvaus ja ilayhälömalli, ila Linearisoini Jakuva-aikaisen lineaarisen järjeselmän siirofunkio, sabiilisuus Laplace-muunnos Diskreeiaikaisen lineaarisen

Lisätiedot

2. Taloudessa käytettyjä yksinkertaisia ennustemalleja. ja tarkasteltavaa muuttujan arvoa hetkellä t kirjaimella y t

2. Taloudessa käytettyjä yksinkertaisia ennustemalleja. ja tarkasteltavaa muuttujan arvoa hetkellä t kirjaimella y t Tilasollinen ennusaminen Seppo Pynnönen Tilasoieeen professori, Meneelmäieeiden laios, Vaasan yliopiso. Tausaa Tulevaisuuden ennusaminen on ehkä yksi luoneenomaisimpia piireiä ihmiselle. On ilmeisesi aina

Lisätiedot

A-osio. Ei laskinta! Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä vain kaksi joihin vastaat!

A-osio. Ei laskinta! Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä vain kaksi joihin vastaat! MAA Koe 7..03 A-osio. Ei laskina! Valise seuraavisa kolmesa ehäväsä vain kaksi joihin vasaa! A. a) Mikä on funkion f(x) määrieljoukko, jos f( x) x b) Muua ulomuooon: 4a 8a 4 A. a) Rakaise hälö: x 4x b)

Lisätiedot

9. Epäoleelliset integraalit; integraalin derivointi parametrin suhteen. (x + y)e x y dxdy. e (ax+by)2 da. xy 2 r 4 da; r = x 2 + y 2. b) A.

9. Epäoleelliset integraalit; integraalin derivointi parametrin suhteen. (x + y)e x y dxdy. e (ax+by)2 da. xy 2 r 4 da; r = x 2 + y 2. b) A. 9. Epäoleellise inegraali; inegraalin derivoini paramerin suheen 9.. Epäoleellise aso- ja avaruusinegraali 27. Olkoon = {(x, y) x, y }. Osoia hajaanuminen ai laske arvo epäoleelliselle asoinegraalille

Lisätiedot

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009 Mallivasaukse KA5-kurssin laskareihin, kevä 2009 Harjoiukse 2 (viikko 6) Tehävä 1 Sovelleaan luenokalvojen sivulla 46 anneua kaavaa: A A Y Y K α ( 1 α ) 0,025 0,5 0,03 0,5 0,01 0,005 K Siis kysyy Solowin

Lisätiedot

Luento 2. Järjestelmät aika-alueessa Konvoluutio-integraali. tietoverkkotekniikan laitos

Luento 2. Järjestelmät aika-alueessa Konvoluutio-integraali. tietoverkkotekniikan laitos Lueno 2 Järjeselmä aika-alueessa Konvoluuio-inegraali Lueno 2 Lueno 2 Järjeselmä aika alueessa; Konvoluuio inegraali 2.1 Järjeselmien perusominaisuude Oppenheim 1.5. 1.6 Muisillise ja muisioma järjeselmä

Lisätiedot

Derivoimalla ensimmäinen komponentti, sijoittamalla jälkimmäisen derivaatta siihen ja eliminoimalla x. saadaan

Derivoimalla ensimmäinen komponentti, sijoittamalla jälkimmäisen derivaatta siihen ja eliminoimalla x. saadaan 87 5. Eliminoinimeneely Tarkaellaan -kokoia vakiokeroimia yeemiä + x a a x a x + a x b() x = = = +. a a x a x a x b () (3) b() x + Derivoimalla enimmäinen komponeni, ijoiamalla jälkimmäien derivaaa iihen

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia 8/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 8: Yhen vapausaseen paovärähely, ransieniuormiusia JOHDANTO c m x () Kuva. Syseemi. Transieniuormiusella aroieaan uormiusheräeä, joa aiheuaa syseemiin lyhyaiaisen liieilan.

Lisätiedot

2. Matemaattinen malli ja funktio 179. a) f (-2) = -2 (-2) = = -6 b) f (-2) = 2 (-2) 2 - (-2) = (-8) + 7 = = 23

2. Matemaattinen malli ja funktio 179. a) f (-2) = -2 (-2) = = -6 b) f (-2) = 2 (-2) 2 - (-2) = (-8) + 7 = = 23 LISÄTEHTÄVÄT. Maemaainen malli ja funkio 9. a) f (-) = - (-) + = - + = -6 b) f (-) = (-) - (-) + = - (-8) + = 8 + 8 + = 80. a) f ( ) = + f ( ) = 0 + = 0 ( ) = ± = ± = ai = Vasaus: = - ai = b) + = + = 0

Lisätiedot

f x dx y dy t dt f x y t dx dy dt O , (4b) . (4c) f f x = ja x (4d)

f x dx y dy t dt f x y t dx dy dt O , (4b) . (4c) f f x = ja x (4d) Tehävä 1. Oleeaan, eä on käössä jakuva kuva, jossa (,, ) keroo harmaasävn arvon paikassa (, ) ajanhekenä. Dnaaminen kuva voidaan esiää Talor sarjana: d d d d d d O ( +, +, + ) = (,, ) + + + + ( ). (4a)

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.4 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vasausen piireiden, sisälöjen ja piseiysen luonnehdina ei sido ylioppilasukinolauakunnan arvoselua. Lopullisessa arvoselussa

Lisätiedot

Luento 4. Fourier-muunnos

Luento 4. Fourier-muunnos Lueno 4 Erikoissignaalien Fourier-muunnokse Näyeenoo 4..6 Fourier-muunnos Fourier-muunnos Kääneismuunnos Diricle n edo Fourier muunuvalle energiasignaalille I: Signaali on iseisesi inegroiuva v ( d< II:

Lisätiedot

Puolijohdekomponenttien perusteet A Ratkaisut 2, Kevät 2017

Puolijohdekomponenttien perusteet A Ratkaisut 2, Kevät 2017 OY/PJKOMP R 017 Puolijohdekomoeie erusee 571A Rakaisu, Kevä 017 1. Massavaikuuslai mukaisesi eemmisö- ja vähemmisövarauksekuljeajie ulo o vakio i, joka riiuu uolijohdemaeriaalisa ja lämöilasa. Kuvasa 1

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 13 Black-Scholes malli optioiden hinnoille

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 13 Black-Scholes malli optioiden hinnoille Rahoiusriski ja johannaise Mai Esola lueno 3 Black-choles malli opioien hinnoille . Ion lemma Japanilainen maemaaikko Kiyoshi Iō oisi seuraavana esieävän lemman vuonna 95 arikkelissaan: On sochasic ifferenial

Lisätiedot

YKSISIVUKAISTAMODULAATIO (SSB)

YKSISIVUKAISTAMODULAATIO (SSB) YKSISIVUKAISTAODULAATIO SSB ien kaisaa voi sääsää verrauna DSB- a A-modulaaioihin? ikä on Hilber-munnin? 5357A Tieoliikenneekniikka I Osa 9 Kari Kärkkäinen Kevä 05 YKSISIVUKAISTAODULAATION IDEA DSB & A-inormaaio

Lisätiedot

6.4 Variaatiolaskennan oletusten rajoitukset. 6.5 Eulerin yhtälön ratkaisuiden erikoistapauksia

6.4 Variaatiolaskennan oletusten rajoitukset. 6.5 Eulerin yhtälön ratkaisuiden erikoistapauksia 6.4 Variaaiolaskennan oleusen rajoiukse Sivu ss. 27 31 läheien Kirk, ss. 13 143] ja KS, Ch. 5] pohjala Lähökoha oli: jos J:llä on eksremaali (), niin J:n variaaio δj( (), δ()) ():ä pikin on nolla. 1. Välämäön

Lisätiedot

Sopimuksenteon dynamiikka: johdanto ja haitallinen valikoituminen

Sopimuksenteon dynamiikka: johdanto ja haitallinen valikoituminen Soimukseneon dynamiikka: johdano ja haiallinen valikoiuminen Ma-2.442 Oimoinioin seminaari Elise Kolola 8.4.2008 S yseemianalyysin Laboraorio Esielmä 4 Elise Kolola Oimoinioin seminaari - Kevä 2008 Esiyksen

Lisätiedot

MAT-02450 Fourier n menetelmät. Merja Laaksonen, TTY 2014

MAT-02450 Fourier n menetelmät. Merja Laaksonen, TTY 2014 MAT-45 Fourier n meneelmä Merja Laaksonen, TTY 4..4 Sisälö Johano 3. Peruskäsieiä................................... 4.. Parillinen ja parion funkio....................... 7.. Heavisien funkio............................

Lisätiedot

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009 Mallivasaukse KA5-kurssin laskareihin, kevä 2009 Harjoiukse 8 (viikko 14) Tehävä 1 LAD-käyrä siiryy ylöspäin. Ulkomaisen hinojen nousessa oman maan reaalinen vaihokurssi heikkenee 1 vaihoase vahvisuu IS-käyrä

Lisätiedot

Tehtävä I. Vaihtoehtotehtävät.

Tehtävä I. Vaihtoehtotehtävät. Kem-9.7 Prosessiauomaaion perusee Teni 5.9.5 TÄMÄ PAPERI TÄYTYY EHDOTTOMASTI PALAUTTAA TENTIN MUKANA NIMI: (OS: ) OPINTOKIRJA: VIERAILULUENNOT KUUNNELTU: VALV. LASK: Tehävä I. Vaihoehoehävä. Oikea vasaus

Lisätiedot

SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017

SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017 SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017 Viikko Aihe kirjan luku Viikko 1 Sähköken>ä, pistevaraukset 14 Viikko 2 Varausjakauman sähköken>ä 16 Viikko 2 Sähköinen poteniaalienergia ja poteniaali 17 Viikko 3 Sähköken>ä

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 12 Stokastisista prosesseista

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 12 Stokastisista prosesseista Rahoiusriski ja johdannaise Mai Esola lueno Sokasisisa prosesseisa . Markov ominaisuus Markov -prosessi on sokasinen prosessi, missä ainoasaan muuujan viimeinen havaino on relevani muuujan seuraavaa arvoa

Lisätiedot

PK-YRITYKSEN ARVONMÄÄRITYS. KTT, DI TOIVO KOSKI elearning Community Ltd

PK-YRITYKSEN ARVONMÄÄRITYS. KTT, DI TOIVO KOSKI elearning Community Ltd PK-YRITYKSEN ARVONMÄÄRITYS KTT, DI TOIVO KOSKI elearning Communiy Ld Yriyksen arvonmääriys 1. Yriyksen ase- eli subsanssiarvo Arvioidaan yriyksen aseen vasaavaa puolella olevan omaisuuden käypäarvo, josa

Lisätiedot

Mittaus- ja säätölaitteet IRIS, IRIS-S ja IRIS-M

Mittaus- ja säätölaitteet IRIS, IRIS-S ja IRIS-M Miaus- ja sääölaiee IRIS, IRIS-S ja IRIS-M KANSIO 4 VÄLI ESITE Lapinleimu Miaus- ja sääölaiee IRIS, IRIS-S ja IRIS-M IRIS, IRIS-S Rakenne IRIS muodosuu runko-osasa, sääösäleisä, sääömuerisa ai sääökahvasa

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 12: Yhden vapausasteen vaimenematon pakkovärähtely, harmoninen

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 12: Yhden vapausasteen vaimenematon pakkovärähtely, harmoninen / VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO : Yhden vapausaseen vaieneaon pakkoväähely, haoninen kuoiusheäe JOHDANTO Ulkoisisa kuoiuksisa aiheuuvaa väähelyä sanoaan pakkoväähelyksi. Jos syseeissä on vaiennusa, on kyseessä

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 6, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 6, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset DEE- ineaarie järjeelmä Harjoiu 6, harjoiuenpiäjille arkoieu rakaiuehdouke Tää harjoiukea käiellään aplace-muunnoa ja en hyödynämiä differeniaaliyhälöiden rakaiemiea Tehävä Määrielmän mukaan funkion f

Lisätiedot

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Kojemeeorologia Sami Haapaala syksy 03 Fysiika laios, Ilmakehäieeide osaso Mialaieide dyaamise omiaisuude Dyaamise uusluvu määriävä mie mialaie käyäyyy syöeide muuuessa Apua käyeää differeiaaliyhälöiä,

Lisätiedot

KYNNYSILMIÖ JA SILTÄ VÄLTTYMINEN KYNNYKSEN SIIRTOA (LAAJENNUSTA) HYVÄKSI KÄYTTÄEN

KYNNYSILMIÖ JA SILTÄ VÄLTTYMINEN KYNNYKSEN SIIRTOA (LAAJENNUSTA) HYVÄKSI KÄYTTÄEN YYSILMIÖ J SILÄ VÄLYMIE YYSE SIIRO LJEUS HYVÄSI ÄYÄE ieoliikenneekniikka I 559 ari ärkkäinen Osa 5 4 MILLOI? Milloin ja missä kynnysilmiö esiinyy? un vasaanoimen ulon SR siis esi-ilmaisusuodaimen lähdössä

Lisätiedot

Luento 7 Järjestelmien ylläpito

Luento 7 Järjestelmien ylläpito Luno 7 Järjslmin ylläpio Ahi Salo Tknillinn korkakoulu PL, 5 TKK Järjslmin ylläpidosa Priaallisia vaihohoja Uusiminn rplacmn Ennalahkäisvä huolo mainnanc Korjaaminn rpair ❶ Uusiminn Vioiun komponni korvaaan

Lisätiedot

S Signaalit ja järjestelmät Tentti

S Signaalit ja järjestelmät Tentti S-7. Signaali ja järjeselmä eni..6 Vasaa ehävään, ehävisä 7 oeaan huomioon neljä parhaien suorieua ehävää.. Vasaa lyhyesi seuraaviin osaehäviin, käyä arviaessa kuvaa. a) Mikä kaksi ehoa kanaunkioiden φ

Lisätiedot

SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017

SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017 SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017 Viikko Aihe kirjan luku Viikko 1 Sähköken>ä, pistevaraukset 14 Viikko 2 Varausjakauman sähköken>ä 16 Viikko 2 Sähköinen poteniaalienergia ja poteniaali 17 Viikko 3 Sähköken>ä

Lisätiedot

S Ä H K Ö - J A T I E T O T E K N I I K A N O S A S T O

S Ä H K Ö - J A T I E T O T E K N I I K A N O S A S T O S Ä H K Ö J A T I E T O T E K N I I K A N O S A S T O 2.0.2007 Piirieria II (Graafise laskime salliuja). Laske kuvan piirille siirfunki U u (s)/u in (s) ja piirrä nllanapakara. Laske myös Laplacekääneismuunns

Lisätiedot

XII RADIOAKTIIVISUUSMITTAUSTEN TILASTOMATEMATIIKKAA

XII RADIOAKTIIVISUUSMITTAUSTEN TILASTOMATEMATIIKKAA II ADIOAKTIIVISUUSMITTAUSTEN TILASTOMATEMATIIKKAA Laskenaaajuus akiivisuus Määrieäessä radioakiivisen näyeen akiivisuua (A) uloksena saadaan käyeyn miausyseemin anama laskenaaajuus (). = [II.I] jossa =

Lisätiedot

Tiedonhakumenetelmät Tiedonhakumenetelmät Helsingin yliopisto / TKTL. H.Laine 1. Todennäköisyyspohjainen rankkaus

Tiedonhakumenetelmät Tiedonhakumenetelmät Helsingin yliopisto / TKTL. H.Laine 1. Todennäköisyyspohjainen rankkaus Tieonhakumeneelmä Helsingin yliopiso / TKTL.4.04 Toennäköisyyeen perusuva rankkaus Tieonhakumeneelmä Toennäköisyyspohjainen rankkaus Dokumenien haussa ongelmana on löyää käyäjän kyselynä ilmaiseman ieoarpeen

Lisätiedot

a. Varsinainen prosessi on tuttua tilaesitysmuotoa:

a. Varsinainen prosessi on tuttua tilaesitysmuotoa: ELEC-C Sääöeniia 7. lauharjoiu Vaaue. r - K u K C y a. Varinainen proei on uua ilaeiymuooa: A Bu y C Kuvaa nähdään, eä ilamallin iäänmenona on u r K. Salaaria ei voi vähenää mariiia, joen un on n -veori,

Lisätiedot

Kuntaeläkkeiden rahoitus ja kunnalliset palvelut

Kuntaeläkkeiden rahoitus ja kunnalliset palvelut Kunaeläkkeiden rahoius ja kunnallise palvelu I LA Rapori LA Repors 30.1.2013 No 4 Kunaeläkkeiden rahoius ja kunnallise palvelu Jukka Lassila * Niku Määänen ** armo Valkonen *** * LA linkeinoelämän ukimuslaios,

Lisätiedot

KÄYTTÖOPAS. -järjestelmän sisäyksikkö HXHD125A8V1B

KÄYTTÖOPAS. -järjestelmän sisäyksikkö HXHD125A8V1B KÄYÖOPAS -järjeselmän sisäyksikkö SISÄLÖ 1. Määrielmä... 1 1.1. Merkkien ja varoiusen arkoiukse... 1 1.2. Käyeyjen ermien merkiys... 1 2. Yleise varooime... 2 3. Johdano... 2 3.1. Yleisä... 2 3.2. ämän

Lisätiedot

Öljyn hinnan ja Yhdysvaltojen dollarin riippuvuussuhde

Öljyn hinnan ja Yhdysvaltojen dollarin riippuvuussuhde Öljyn hinnan ja Yhdysvalojen dollarin riippuvuussuhde Kansanalousiede Pro gradu -ukielma Talousieeiden laios Tampereen yliopiso Toukokuu 2010 Jari Hännikäinen TIIVISTLMÄ Tampereen yliopiso Talousieeiden

Lisätiedot

SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 2. Tietoliikennetekniikka I A Kari Kärkkäinen Osa 3

SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 2. Tietoliikennetekniikka I A Kari Kärkkäinen Osa 3 SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 2 Tieoliikenneekniikka I 521359A Kari Kärkkäinen Osa 3 Konvoluuio ja kerolasku ajassa ja aajuudessa Kanaaajuussignaali baseband sanomasignaali sellaisenaan ilman modulaaioa Kaisanpääsösignaali

Lisätiedot

Sähkötekniikka ja elektroniikka

Sähkötekniikka ja elektroniikka Sähkötekniikka ja elektroniikka Kimmo Silvonen (X) Passiiviset peruskomponentit Luento Kondensaattori kapasitanssi C, i =f(u), varauksen häviämättömyyden laki eli sähkövirran määritelmä Kela induktanssi

Lisätiedot

VATT-KESKUSTELUALOITTEITA VATT DISCUSSION PAPERS. JULKISEN TALOUDEN PITKÄN AIKAVÄLIN LASKENTAMALLIT Katsaus kirjallisuuteen

VATT-KESKUSTELUALOITTEITA VATT DISCUSSION PAPERS. JULKISEN TALOUDEN PITKÄN AIKAVÄLIN LASKENTAMALLIT Katsaus kirjallisuuteen VATT-KESKUSTELUALOITTEITA VATT DISCUSSION PAPERS 445 JULKISEN TALOUDEN PITKÄN AIKAVÄLIN LASKENTAMALLIT Kasaus kirjallisuueen Juho Kosiainen Valion aloudellinen ukimuskeskus Governmen Insiue for Economic

Lisätiedot

3 SIGNAALIN SUODATUS 3.1 SYSTEEMIN VASTE AIKATASOSSA

3 SIGNAALIN SUODATUS 3.1 SYSTEEMIN VASTE AIKATASOSSA S I G N A A L I T E O R I A, O S A I I I TL98Z SIGNAALITEORIA, OSA III 44 3 Signaalin suodaus...44 3. Sysmin vas aikaasossa... 44 3. Kausaalisuus a sabiilisuus... 46 3.3 Vas aauusasossa... 46 3.4 Ampliudivas

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 14: Yhden vapausasteen vaimeneva pakkovärähtely, harmoninen kuormitusheräte

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 14: Yhden vapausasteen vaimeneva pakkovärähtely, harmoninen kuormitusheräte 4/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 4: Yhden vaausaseen vaieneva akkvärähely, harninen kuriusheräe LIIKEYHTÄLÖN JOHTO JA RATKAISU Kuvassa n esiey visksisi vaienneun yhden vaausaseen harnisen akkvärähelijän erusalli.

Lisätiedot

KOMISSION VALMISTELUASIAKIRJA

KOMISSION VALMISTELUASIAKIRJA EUROOPAN UNIONIN NEUVOSTO Bryssel, 23. oukokuua 2007 (24.05) (OR. en) Toimielinen välinen asia: 2006/0039 (CNS) 9851/07 ADD 2 N 239 RESPR 5 CADREN 32 LISÄYS 2 I/A KOHTAA KOSKEVAAN ILMOITUKSEEN Läheäjä:

Lisätiedot

KÄYTTÖOPAS. Ilma vesilämpöpumppujärjestelmän sisäyksikkö ja lisävarusteet RECAIR OY EKHBRD011ADV1 EKHBRD014ADV1 EKHBRD016ADV1

KÄYTTÖOPAS. Ilma vesilämpöpumppujärjestelmän sisäyksikkö ja lisävarusteet RECAIR OY EKHBRD011ADV1 EKHBRD014ADV1 EKHBRD016ADV1 EKHBRD011ADV1 EKHBRD014ADV1 EKHBRD016ADV1 EKHBRD011ADY1 EKHBRD014ADY1 EKHBRD016ADY1 KÄYÖOPAS Ilma vesilämpöpumppujärjeselmän sisäyksikkö ja lisävarusee EKHBRD011ADV1+Y1 EKHBRD014ADV1+Y1 EKHBRD016ADV1+Y1

Lisätiedot

ETERAN TyEL:n MUKAISEN VAKUUTUKSEN ERITYISPERUSTEET

ETERAN TyEL:n MUKAISEN VAKUUTUKSEN ERITYISPERUSTEET TRAN TyL:n MUKASN AKUUTUKSN RTYSPRUSTT Tässä peruseessa kaikki suuree koskea eraa, ellei oisin ole määriely. Tässä peruseessa käyey lyhenee: LL Lyhyaikaisissa yösuheissa oleien yönekijäin eläkelaki TaL

Lisätiedot

Laskelmia verotuksen painopisteen muuttamisen vaikutuksista dynaamisessa yleisen tasapainon mallissa

Laskelmia verotuksen painopisteen muuttamisen vaikutuksista dynaamisessa yleisen tasapainon mallissa Laskelmia verouksen painopiseen muuamisen vaikuuksisa dynaamisessa yleisen asapainon mallissa Juha Kilponen ja Jouko Vilmunen TTässä arikkelissa esieään laskelmia siiä, mien verouksen painopiseen siiräminen

Lisätiedot

Tuotannon suhdannekuvaajan menetelmäkuvaus

Tuotannon suhdannekuvaajan menetelmäkuvaus 1(15) Tuoannon suhdannekuvaajan meneelmäkuvaus Luku 1 Luku 2 Luku 3 Luku 4 Tuoannon suhdannekuvaajan yleiskuvaus Tuoannon suhdannekuvaajan julkaisuaikaaulu, revisoinikäyännö ja jakelu Tuoannon suhdannekuvaajan

Lisätiedot

Tekes tänään (ja huomenna?) Pekka Kahri Palvelujohtaja, Tekes Fortune seminaari 21.8.2013

Tekes tänään (ja huomenna?) Pekka Kahri Palvelujohtaja, Tekes Fortune seminaari 21.8.2013 Tekes änään (ja huomenna?) Pekka Kahri Palvelujohaja, Tekes Forune seminaari 21.8.2013 Rahoiamme sellaisen innovaaioiden kehiämisä, joka ähäävä kasvun ja uuden liikeoiminnan luomiseen Yriysen kehiysprojeki

Lisätiedot

2. Systeemi- ja signaalimallit

2. Systeemi- ja signaalimallit 2. Syseemi- ja signaalimalli Malliyyppejä: maemaainen malli: muuujien välise suhee kuvau maemaaisesi yhälöin lohkokaaviomalli: syseemin oiminojen looginen jako lohkoihin, joiden välisiä vuorovaikuuksia

Lisätiedot

Antti Majaniemi MATEMATIIKKA II. Differentiaali- ja integraalilaskentaa sekä differentiaaliyhtälöitä. t = 0 U C. i = i (t) u 3 ISBN

Antti Majaniemi MATEMATIIKKA II. Differentiaali- ja integraalilaskentaa sekä differentiaaliyhtälöitä. t = 0 U C. i = i (t) u 3 ISBN Ani Majaniemi MATEMATIIKKA II Differeniaali- ja inegraalilaskenaa sekä differeniaaliyhälöiä = u R U C L u i = i () u 6 ISBN 978-95-9-868-5 Tämä eos on lisensoiu Creaive Commons Nimeä-EiKaupallinen Kansainvälinen

Lisätiedot

PALLON PUTOAMINEN VÄLIAINEISSA

PALLON PUTOAMINEN VÄLIAINEISSA PALLON PUTOAMINEN VÄLIAINEISSA Tieokonesimulaaio ja siihen liiyä kokeellinen ukimus Joosa Kurinen ja Heidi Juuinen Mikkelin Lyseon lukio ysiikka 30..007 TIIVISTELMÄ Viksu-iedekilpailuprojekimme aiheena

Lisätiedot

ẍ(t) q(t)x(t) = f(t) 0 1 z(t) +.

ẍ(t) q(t)x(t) = f(t) 0 1 z(t) +. Diffrniaaliyhälö II, harjoius 3, 8 228, rakaisu JL, kuusi sivua a On muunnava linaarinn oisn kraluvun diffrniaaliyhälö ẍ qx f yhäpiäväksi nsimmäisn kraluvun linaarisksi kahdn skalaariyhälön sysmiksi Rak

Lisätiedot

Finanssipolitiikan tehokkuudesta Yleisen tasapainon tarkasteluja Aino-mallilla

Finanssipolitiikan tehokkuudesta Yleisen tasapainon tarkasteluja Aino-mallilla BoF Online 3 29 Finanssipoliiikan ehokkuudesa Yleisen asapainon arkaseluja Aino-mallilla Juha Kilponen Tässä julkaisussa esiey mielipiee ova kirjoiajan omia eiväkä välämää edusa Suomen Pankin kanaa. Suomen

Lisätiedot

( ) N z ( RADIOAKTIIVISUUS TILASTOLLISENA ILMIÖNÄ. B.1 Radioaktiivisten ytimien hajoamislaki. P( z) =

( ) N z ( RADIOAKTIIVISUUS TILASTOLLISENA ILMIÖNÄ. B.1 Radioaktiivisten ytimien hajoamislaki. P( z) = B RADIOAKTIIVISUUS TILASTOLLISENA ILMIÖNÄ B.1 Radioakiivisen yimien hajoamislaki Miaaessa radioakiivisen yimien hajoamisessa synyvän säeilyn inensieeiä havaiaan, eä ilmaisimeen aikayksikössä saapuvien

Lisätiedot

b) Esitä kilpaileva myötöviivamekanismi a-kohdassa esittämällesi mekanismille ja vertaile näillä mekanismeilla määritettyjä kuormitettavuuksia (2p)

b) Esitä kilpaileva myötöviivamekanismi a-kohdassa esittämällesi mekanismille ja vertaile näillä mekanismeilla määritettyjä kuormitettavuuksia (2p) LUT / Teräsrakenee/Timo Björk BK80A30: Teräsrakenee II:.5.016 Oheismaeriaalin käyö EI salliua, laskimen käyö on salliua, lausekkeia ehäväosion lopussa Vasaukse laadiaan ehäväpaperille, joka palaueava,

Lisätiedot

MÄNTTÄ-VILPPULAN KAUPUNKI. Mustalahden asemakaava Liikenneselvitys. Työ: E23641. Tampere 18.5.2010

MÄNTTÄ-VILPPULAN KAUPUNKI. Mustalahden asemakaava Liikenneselvitys. Työ: E23641. Tampere 18.5.2010 MÄNÄ-VLPPULAN KAUPUNK Musalahden asemakaava Liikenneselviys yö: E ampere 8..00 ARX Ympärisö Oy PL 0 ampere Puhelin 00 000 elefax 00 00 www.airix.fi oimiso: urku, ampere, Espoo ja Oulu Mänä-Vilppulan kaupunki,

Lisätiedot

Luento 9. Epälineaarisuus

Luento 9. Epälineaarisuus Lueno 9 Epälineaarisuus 9..7 Epälineaarisuus Tarkasellaan passiivisa epälineaarisa komponenia u() y() f( ) Taylor-sarjakehielmä 3 y f( x) + f '( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) +...! 3! 4!

Lisätiedot

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Taloustieteiden tiedekunta TARJONTA SUOMEN ASUNTOMARKKINOILLA

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Taloustieteiden tiedekunta TARJONTA SUOMEN ASUNTOMARKKINOILLA JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Talousieeiden iedekuna TARJONTA SUOMEN ASUNTOMARKKINOILLA Kansanalousiede Pro gradu -ukielma Helmikuu 2006 Laaia: Janne Lilavuori Ohaaa: Professori Kari Heimonen JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO

Lisätiedot

Piennopeuslaite FMH. Lapinleimu

Piennopeuslaite FMH. Lapinleimu Piennopeuslaie FMH Floormaser FMH on puolipyöreä uloilmalaie, joka on arkoieu käyeäväksi syrjäyävään ilmanjakoon Floormaser- järjeselmässä. KANSIO VÄLI 6 ESITE Lapinleimu.1.0 Floormaser Yleisä Floormaser

Lisätiedot

Tilausohjatun tuotannon karkeasuunnittelu. Tilausohjatun tuotannon karkeasuunnittelu

Tilausohjatun tuotannon karkeasuunnittelu. Tilausohjatun tuotannon karkeasuunnittelu Tilausohjaun uoannon areasuunnielu Tilausohjaussa uoannossa sarjojen muodosaminen ei yleensä ole relevani ongelma, osa uoevaihelu on suura, mä juuri onin peruse MTO-uoannolle Tuoe- ja valmisusraenee ova

Lisätiedot

RIL 256-2010 Suomen Rakennusinsinöörien Liitto RIL ry

RIL 256-2010 Suomen Rakennusinsinöörien Liitto RIL ry Suomen Rakennusinsinöörien Liio RIL ry Julkisen hankinojen kehiämismalli Tuoavuuden paranaminen TUKEFIN-meneelmällä 2 RIL 256-2010 RILin julkaisuilla on oma koisivu, joka löyyy osoieesa www.ril.fi Kirjakauppa

Lisätiedot

S-55.1100 SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA

S-55.1100 SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA S-55.1100 SÄHKÖTKNIIKKA JA KTONIIKKA 2. välikoe 5.5.2008. Saa vasaa vain neljään ehävään! Kimmo Silven 1. aske vira. = 1 kω, = 2 kω, 3 = 4 kω, = 10 V. Diodin ominaiskayra, aseikko 0... 4 ma + 3 Teh. 2.

Lisätiedot

järjestelmät Luento 4

järjestelmät Luento 4 DEE- Lineaarise järjeselmä Lueno 4 Lineaarise järjeselmä Riso Mionen 3.7.4 Lueno 3 - Recap Lineaarisen differenssiyhälöiden raaiseminen Impulssivaseen äsie Impulssivase ja onvoluuiosumma Lineaarise järjeselmä

Lisätiedot

ZELIO Time Sarja RE7 Elektroniset aikareleet

ZELIO Time Sarja RE7 Elektroniset aikareleet Zelio Time -aikarelee ZELIO Time Sarja RE7 Elekronise aikarelee Valinaopas 00 Valinaopas 00 Zelio Time RE 7 -aikarelee Valinaopas Sovellukse Elekronise aikarelee mahdollisava yksinkeraisen auomaisoiujen

Lisätiedot

Kokonaishedelmällisyyden sekä hedelmällisyyden keski-iän vaihtelu Suomessa vuosina 1776 2005

Kokonaishedelmällisyyden sekä hedelmällisyyden keski-iän vaihtelu Suomessa vuosina 1776 2005 Kokonaishedelmällisyyden sekä hedelmällisyyden keski-iän vaihelu Suomessa vuosina 1776 2005 Heli Elina Haapalainen (157 095) 26.11.2007 Joensuun Yliopiso Maemaais- luonnonieeiden iedekuna Tieojenkäsielyieeen

Lisätiedot

Ene-59.4130, Kuivatus- ja haihdutusprosessit teollisuudessa, Laskuharjoitus 5, syksy 2015

Ene-59.4130, Kuivatus- ja haihdutusprosessit teollisuudessa, Laskuharjoitus 5, syksy 2015 Ene-59.4130, Kuivaus- ja haihduusprosessi eollisuudessa, asuharjoius 5, sysy 2015 Tehävä 4 on ähiehävä Tehävä 1. eijuerrosilassa poleaan rinnain uora ja urvea. Kuoren oseus on 54% ja uiva-aineen ehollinen

Lisätiedot

Termiinikurssi tulevan spot-kurssin ennusteena

Termiinikurssi tulevan spot-kurssin ennusteena TAMPEREEN YLIOPISTO Talousieeiden laios Termiinikurssi ulevan spo-kurssin ennuseena Kansanalousiede Pro gradu-ukielma Talousieeiden laios Tampereen yliopiso 28.2.2006 Ville Kivelä 1 TIIVISTELMÄ Tampereen

Lisätiedot

Painevalukappaleen valettavuus

Painevalukappaleen valettavuus Painevalukappaleen valeavuus Miskolc Universiy Sefan Fredriksson Swecas AB Muokau ja lisäy käännös: Tuula Höök, Pekka Savolainen Tampereen eknillinen yliopiso Painevalukappale äyyy suunniella sien, eä

Lisätiedot

YKSISIVUKAISTAMODULAATIO (SSB)

YKSISIVUKAISTAMODULAATIO (SSB) YKSISIVUKISTODULTIO SSB Tieoliikenneekniikka I 5359 Kari Kärkkäinen Osa 6 0 Yksisivukaisamodulaaion idea DSB:ssa inormaaio on redundanisesi kaheen keraan, s. LSB & USB. Toisen kaisan läheys riiää, olloin

Lisätiedot

KURSSIN TÄRKEIMPIÄ AIHEITA

KURSSIN TÄRKEIMPIÄ AIHEITA KURSSIN TÄRKEIMPIÄ AIHEITA varausjakauman sähköken/ä, Coulombin laki virtajakauman ken/ä, Biot n ja Savar8n laki erilaisten (piste ja jatkuvien) varaus ja virtajakautumien poten8aalienergia, poten8aali,

Lisätiedot

Lyhyiden ja pitkien korkojen tilastollinen vaihtelu

Lyhyiden ja pitkien korkojen tilastollinen vaihtelu Lyhyiden ja pikien korkojen ilasollinen vaihelu Tomi Pekka Juhani Marikainen Joensuun Yliopiso Maemaais-luonnonieeellinen iedekuna / Tieojenkäsielyieeen ja ilasoieeen laios / Tilasoiede Pro Gradu -ukielma

Lisätiedot

Notor Upotettava. 6 www.fagerhult.fi

Notor Upotettava. 6 www.fagerhult.fi Upoeavan Noor-valaisimen avulla kaoon voidaan luoda joko huomaamaomia ai ehokkaan huomioa herääviä ja yhenäisiä valaisinjonoja ilman minkäänlaisia varjosuksia. Pienesä koosaan huolimaa Noor arjoaa hyvin

Lisätiedot

Piennopeuslaite FMP. Lapinleimu

Piennopeuslaite FMP. Lapinleimu Piennopeuslaie FMP Floormaser FMP on lieä uloilmalaie, joka on arkoieu käyeäväksi syrjäyävään ilmanjakoon Floormaser-järjeselmässä. KANSIO 4 VÄLI 6 ESITE 6 Lapinleimu.1.00 Floormaser Yleisä Floormaser

Lisätiedot

a) Esitä piirtämällä oheisen kaksoissymmetrisen ulokepalkkina toimivan kotelopalkin kaksi täysin erityyppistä plastista rajatilamekanismia (2p).

a) Esitä piirtämällä oheisen kaksoissymmetrisen ulokepalkkina toimivan kotelopalkin kaksi täysin erityyppistä plastista rajatilamekanismia (2p). LUT / Teräsrakenee/Timo Björk BK80A30: Teräsrakenee II: 9.9.016 Oheismaeriaalin käyö EI salliua, laskimen käyö on salliua, lausekkeia ehäväosion lopussa Vasaukse laadiaan ehäväpaperille, joka palaueava,

Lisätiedot

SMG KENTTÄ JA LIIKKUVA KOORDINAATISTO

SMG KENTTÄ JA LIIKKUVA KOORDINAATISTO SMG KENTTÄ JA LIIKKUVA KOORDINAATISTO LiikeJla vaiku5aa siihen, miten kentät syntyvät ja miten hiukkaset kokevat kenben väli5ämät vuorovaikutukset ja miltä kentät näy5ävät. Vara5u hiukkanen kokee sähkömagneebsen

Lisätiedot