Luento 2. Jaksolliset signaalit

Transkriptio

1 Luento Jaksollisten signaalien Fourier-sarjat Viivaspektri S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio Jaksollinen (periodinen) Jaksolliset signaalit Jaksonaika - / / Perusjakso Amplitudi t Ominaistaajuus f =/ Signaalin ominaisuuksien tarkastelemiseksi riittää kun keskitytään yhden jakson pituiseen aikaväliin. Valitaan yksinkertaisuuden vuoksi tarkasteluväliksi / t / S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio

2 Jaksolliset signaalit Kahden jaksollisen signaalin sisätulo, kun molempien signaalien jaksonaika on tai on niiden monikerta Keskimääräinen teho (indusoitu normi) S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio 3 Ortonormaali kanta arkastellaan osoitinsignaaleja iπ k φk () t = exp t k =...,,,,,,... Osoittimen φ k (t) pyörimistaajuus k=: Hz asavirtakomponentti (DC) k=: / Perustaajuus (. harmoninen taajuus) k>: k/ k. Harmoninen taajuus Osoittimet muodostavat ortonormaalin kannan ( φk() t φl() t ) = k = l k l Im φ k () t Re S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio 4

3 Ortonormaali kanta Osoitetaan, että k = l ( φk() t φl() t ) = k l arkastellaan ensin tapausta k = l ( φk φl ) iπk iπl () t () t = exp t exp t dt, k l iπ ( k l) i π = exp t dt = exp t dt = dt = S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio 5 Ortonormaali kanta arkastellaan nyt tapausta k l ( φk φl ) iπk iπl () t () t = exp t exp t dt, k l ( ) ( exp( iπ ( k l) ) exp( iπ ( k l) )) ( ) ( π ( k l) ) sinc( k l) π ( k l) ( ) iπ k l iπ k l = exp t dt exp t = iπ ( k l) = iπ k l sin = = = S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio 6 sin i ix ix ( x) = ( e e ) sinc ( x) = sin ( π x) π x 3

4 sinc( x) = sin ( π x) π x Nollakohdat Raja-arvo sin ( π x) sinc( x) = = π x x =±, ±, ±, 3, SINC-funktio sin ( πx sin ) ( π x) cos( ) limx lim x π πx π = x = lim x = = πx π x π π x Hôpital s rule S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio 7 i) ii) Ortonormaali kanta arkastellaan jaksollista funktiota v(t) = v(t+m ), m =,-,,, joka täyttää ehdot P= v() t dt < ε vt ε vt ε lim ( + ) ( ) (Neliöintegroituva/ehosignaali) äärellisessä määrässä pisteitä välillä / t / Jälkimmäinen ehto rajoittaa signaalin epäjatkuvuuskohtien määrän. t S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio 8 4

5 Ortonormaali kanta Signaali, joka täyttää ehdot i) ja ii) voidaan esittää ortogonaalisen kannan avulla Exponentiaalinen Fourier-sarja π k vt () = vkφk() t = vk exp i t k= k= Fourier-kertoimet * k = ( () φk() ) = () k () ()exp φ = π k v v t t v t t dt v t t dt S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio 9 Eksponentiaalinen Fourier-sarja On periodinen π k vt () = vk exp i t = vt ( + m ), m k = ästä seuraa se, että jaksollisen signaalin perusjaksolle laskettu Fourier-sarja on voimassa kaikilla t:n arvoilla. πk πk πk vt ( + m) = vk exp i ( t+ m) = vk exp i t exp i m k= k= π k = vk exp i t = v( t) k = Im π k exp i m = exp( iπ km) = π Re S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio 5

6 Exponentiaalinen Fourier-sarja Fourier-kertoimet ovat kompleksisia suureita: vastaavat perustaajuuden f = / harmonisia taajuuksia asavirtakomponentti k = vastaa signaalin keskimääräistä amplitudia S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio rigonometrinen Fourier-sarja Reaaliselle signaalille Hermiittinen symmetria Käytetään tätä ominaisuutta hyväksi: {v k } {v k } (k>) (k<) rigonometrinen Fourier-sarja S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio 6

7 Fourier kosini- ja sinisarja Fourier-kertoimet π k vk = v()exp t t dt πk πk = vt () cos t isin t αk iβk = π k αk = vt () cos t dt π k βk = vt () sin t dt ( ) sin ( ) ix e = cos x i x S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio 3 Fourier kosini- ja sinisarja Fourier sini- ja kosinisarja v(t) on reaalinen: v = α * v = v = ( α + iβ ) k k k k Nyt voidaan kirjoittaa v,v, π k vt () = vk exp i t = k = πk πk = α + ( αk iβk) exp i t + ( αk + iβk) exp i t k = πk πk = α + αk cos t + βk sin t k = v -,v -, ( ) iexp ix + iexp( ix) = exp i exp( ) = sin( x) ( ( ix) ix ) S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio 4 7

8 Fourier kosini- ja sinisarja arkastellaan reaalista signaalia v(t) Jos pinta-ala signaalin yli on nolla, α = (β = reaaliselle signaalille) Parillinen signaali v(-t) = v(t) => β k = sini-sarja häviää Pariton signaali v(-t) = -v(t) => α k = kosini-sarja häviää Puoliaaltosymmetrinen: v(-t) = -v( /-t) Parilliset harmoniset häviävät α n =, β n =, n =,,, S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio 5 Olkoon Esimerkki Fourier-sarjan kertoimet Huomataan, että v(t) Joten kertoimet voidaan kirjoittaa muotoon S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio 6 8

9 Ratkaistaan integraali Esimerkki Joten sin(π l) A exp( iφ ) k = A = exp( iφ ) k = otherwise Amplitudispektri: v k Vaihespektri: arg{v k } S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio 7 Viivaspektri Reaalinen jaksollinen signaali voidaan esittää summana kosinisignaaleja Viivaspektri Amplitudispektri: v k Vaihespektri: arg{v k } v v v v v arg{ v } arg{ v } f f f f arg{ v } f f f f arg{ v } S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio 8 9

10 Parsevalin teoreema Signaalin keskimääräinen teho / P= v() t dt = v / k k = - - S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio 9 Viivaspektri ehospektri v v v ehospektrin kertoimet määrittävät miten signaalin teho on jakautunut eri taajuuksille. S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio

11 Esimerkki Signaali, jossa on DC-komponentti Keksimääräinen teho Huomaa, että Joten tehon lauseke voidaan viedä muotoon Osoittautuu, että S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio Vakion viivaspektri Esimerkki Huomaa, että k =±, ±, ±,3, sinc( k) = k = S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio

12 Sinisignaalin viivaspektri Esimerkki johdettiin aiemmin Signaalin v(t) viivaspektri saadaan summana Amplitudispektri: v k Vaihespektri: arg{v k } V exp( iφ ) k = V exp( iφ ) k muutoin = = S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio 3 Esimerkki Ratkaistaan signaalin teho Parsevalin teoreeman mukaan / P= v() t dt vk = / k = joten, nyt P= vk = v, + v, + v, = V + V + V = V + V k = 4 4 ulos on sama kuin suoraan tehon määritelmästä johdettu. S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio 4

13 Esimerkki 3 Kellosignaali + - Signaalin DC-komponentti on (α = ) Signaali on pariton, joten kosinisarja häviää (α k = k =,,3 ) vk =iβk Signaali on myös puoliaaltosymmetrinen, joten parilliset harmoniset katoavat β n =, n =,,,3,... S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio 5 Esimerkki 3 Lasketaan sinisarjan kertoimet π k βk = vt ()sin t dt πk πk = sin tdt sin tdt + π k πk πk = cos cos πk + πk sin( ax) dx = cos( ax) a k parillinen cos( π k ) = ( + cos( π k )) = = πk πk k pariton π k Eksponentti Fourier-sarjan kertoimiksi tulee tällöin vk+ = iβk+ = i, vk = π k S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio 6 3

14 Esimerkki 3 ehospektri 4/π v v3 v5 k Vaihespektri π/ -π/ k S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio 7 Esimerkki 4 Pulssijono Α τ τ< Signaalilla on DC-komponentti (pulssin pinta-ala on Aτ) Signaali on parillinen (sinisarja häviää) v k =α k τ πk πk vk = v()exp t t dt Acos t dt = τ S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio 8 4

15 Esimerkki 4 Integroimalla saadaan τ πk πk vk = v()exp t t dt Acos t dt = τ A πk τ πk τ = sin sin π k πτ k πτ k sin sin τ τ τ = A = A = A sinc k k τ π π k cos( ax) dx = sin( ax) a ( x) sin =sin( x) S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio 9 Esimerkki 4 Amplitudispektri. τ/=. k=-:; x=.; %x=au/ < A=;.5. for n=:length(k) v(n)=a*x*sinc(k(n)*x); end; v k.5 bar(k,v,.) xlabel('k') ylabel('v_k') title(['\tau/=' numstr(x)]) hold on t=-:.:; plot(t,a*x*sinc(x*t)) axis([ - -x/4 x]) hold off v k k τ/= k S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio 3 5

16 Katkaistu Fourier-sarja arkastellaan approksimaatiota Jos v(t) täyttää ehdot i) ja ii) i) P= v() t dt < äärellisessä määrässä pisteitä t välillä / t / ii) lim ε vt ( + ε) vt ( ε) niin erosignaalin keskimääräinen teho menee nollaan S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio 3 Gibbsin ilmiö Jos signaali on epäjatkuva-amplitudinen, niin askelmaisessa muutoskohdassa on noin 9 % ylitys riippumatta N:n suuruudesta..5.5 N= -.5 N= ime S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio 3 6

17 Esimerkki 5 Pulssijono Α τ τ< πk τ τ vk = v()exp t t dt A sinc k = vt () = vt ˆ( ) = k iπ t ve k k= K k iπ t ve k K k = S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio 33 Esimerkki 5 Approksimaatio. τ/=. K= K=; k=-k/:k/; =; x=.; %x=au/ < A=; v(t) for n=:length(k) v(n)=a*x*sinc(k(n)*x); end; t t=-*:.:*; vhat=; for n=:length(k) vhat=vhat+v(n)*exp(i**pi*k(n)/*t); end; plot(t,vhat) xlabel('t') ylabel('v(t)') title(['\tau/=' numstr(x) ' K=' numstr(k)]) v(t) τ/=. K= t S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio 34 7

18 S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio 35 8