ELEC-A7200 Signaalit ja järjestelmät 5 op

Transkriptio

1 Luennoisija Prof. Riku Jäni Pääassiseni Seppo Saasamoinen S-posi: Puh E9 Vasaanoo ma klo 9- S-posi: seppo.saasamoinen@aalo.fi Puh hps://noppa.aalo.fi/noppa/kurssi/elec-a7/eusivu

2 ELEC-A7 Signaali ja järjeselmä 5 op Kurssimaeriaali on Nopassa hps://noppa.aalo.fi/noppa/kurssi/elec-a7/eusivu Opima on käyössä öiden palauukseen Kurssi suorieaan enillä (5%) sekä pariyönä ehävillä koiehävillä ja laboraorioöillä (5%). Kurssikirjana oimii Oppenheim & Willsky, Signals & Sysems, nd ediion, Prenice-Hall, 997 Kirjaan liiyy MITOPENCOURSEWARE videoluenno hp://ocw.mi.edu/resources/res-6-7-signals-andsysems-spring-/ Lisäksi kurssimaeriaalina oimii luenokalvo sekä niihin liiyvä videon päkä.

3 Miä kurssilla käsiellään? signaalien ja järjeselmien peruskäsieiä signaali- ja järjeselmäanalyysin perusmeneelmiä Signaalimuunnokse, signaalien aajuusesiys Näyeenoo Signaalien suodaaminen lineaarisilla alipääsö- ja kaisanpääsösuodaimilla Epälineaarisuus signaalien moduloini Missä ällaisia ieoja arviaan? elekroniikkajärjeselmissä ieoliikennejärjeselmissä signaalikäsielyssä miausekniikassa sääöekniikassa kaukokaroiuksessa radiomääriyksessä (paikannus) jne 3

4 Kalvojen värikoodi Teoriaa Kaavan joho Esimerkki Lisämaeriaalia (ei vaadia enissä) Akivoiva ehävä 4

5 Lueno Signaali aika-alueessa

6 Lueno Lueno. Johdano; Signaali aika alueessa Kurssin avoiee, mioius ja järjesely N/A. Signaalien luokielu Jakuva/diskereei aika/ampliudi Oppenheim. Jaksollinen/jaksoon Oppenheim. Parillinen/parion Oppenheim. Energia ja ehosignaali Oppenheim.. Aika akselinmuunnokse Oppenheim. Pulssin leveys Viive.3 Diracin dela ja askelfunkio Oppenheim.4 Diracin dela ja näyeenoo Askelfunkio.4 Exponeni ja sini muooise signaali Oppenheim.3 Osoiin (kompleksi ekponeni) Eulerin kaava Jakso ja ampliudi Teho Vaimeneva ja kasvava värähely.5 Signaaliavaruus Pruju Signaalien sisäulo Indusoiu normi ja eho/energia Orogonaalisuus ja oronormaalisuus Signaalin esiäminen kannan avulla 6

7 . Signaalien luokielu

8 Erilaisia signaaleja Signaali on ajan, paikan ai minkä ahansa riippumaoman muuujan mukana vaiheleva suure. Kurssilla keskiyään Aikasignaaleihin s() Taajuussignaaleihin S(f)..8.6 s() S(f) f 8

9 Erilaisia signaaleja Signaali voi olla Reaalinen s () Kompleksinen s () s() is () I Q Esim. Moduloiu signaali s () v()cos f v ()sin f I c Q c i f c i fc I Q l s () Re v() iv () e Re s() e s () v () iv () l I Q Ekvivaleni alipääsösignaali Moduloiu signaali 9

10 Erilaisia signaaleja Yksidimensioinen (yksikanavainen) s() Monidimensioinen (monikanavainen) s () s () n s() sn() Esim. Ajoneuvon ila Taajuusmulipleksoiu signaali x() Paikka s () v()cos f v()cos f s() v() Nopeus f f a () v () s() Kiihyvyys Vekori esiys v()

11 Jakuva- ja diskreeiaikaise signaali Jakuva-aikainen Signaali on määriely kaikkina ajanhekinä Diskreei-aikainen Signaali on määriely vain ieyinä ajanhekinä k ai ieyille näyeille k

12 Jakuva- ja diskreei-ampliudise signaali Jakuva-ampliudinen Signaalin ampliudi s() voi saada kaikkia ampliudiarvoja ei-numeroiuvasa joukosa A s () A A Esim. signaalin ampliudi voi saada minkä ahansa arvon reaalilukujen joukosa Diskreeiampliudinen Signaalin ampliudiarvo on rajoieu numeroiuvaan joukkoon B s () s, s, s,... Esim. 8 biin kvanisoinnilla voidaan esiää 8 = 56 signaaliasoa.

13 Jakuva- ja diskreeiaikaise sekä - ampliudise signaali JATKUVA-AIKAINEN DISKREETTIAIKAINEN I x() II x() JATKUVA- AMPLITUDINEN DISKREETTI- AMPLITUDINEN III x() IV x() S.-G. Häggman, ELEC-A7 Luenomonisee, 5 3

14 Jaksollise ja jaksooma signaali Aikarajoiamaon T : s( T) Aikarajoieu, pulssisignaali: Signaali saa nollasa poikkeavia arvoja ainoasaan ieyllä aikavälillä (, ) s(), 4

15 Deerminisise ja sokasise signaali Deerminisinen Signaalin ampliudiarvo s() unneaan eukäeen kaikilla ajan arvoilla Saunnainen (sokasinen) Saunnaisen signaalin käyäyymisä ulevaisuudessa ei voida arkasi ennusaa. Voidaan vain esiää odennäköisyys sille, eä ampliudi on jollakin ampliudivälillä Pr s ( ) s Fs ( ; ) s() s() % 5

16 Teho- ja energiasignaali

17 Signaalin eho Jänniesignaalin hekelliseho u () i () u () R R Tehon kuluus vasuksessa P ui u R () ()() () Jos kuorma sisälää reakiivisia komponeneja, niin vasaava yhälö saadaan näennäiseholle S () u () Keskimääräinen eho aikavälillä P P() d 7

18 Teho- ja energiasignaali Signaalin energia E lim s ( ) d T T T Signaali on energiasignaali, jos <E< määrielmän mukaan Keskimääräinen eho T P lim T s( ) d T T Signaali on ehosignaali, jos <P< 8

19 Teho- ja energiasignaali Pulssisignaali, s () muuoin Energia Keskimääräinen eho T T E lim s( ) d s( ) d T T T T T Plim T s( ) d lim s( ) d T Pulssisignaali on energiasignaali Pulssisignaali ei ole ehosignaali 9

20 Teho- ja energiasignaali Askelsignaali, s () Energia T T T T E lim s( ) d lim d T Keskimääräinen eho T T Plim T s( ) d limt d d T T T T T limt T Askelsignaali ei ole energiasignaali Askelsignaali on ehosignaali

21 Tehävä Yksikköpulssi rec() rec() Mikä signaali ova ehosignaaleja? Mikä signaali ova energia signaaleja? Voiko signaali olla samaan aikaan sekä eho, eä energiasignaali?

22 Teho- ja energiasignaali: Jaksollisen signaalin eho Jaksollisen signaalin keskimääräinen eho T P v() d v() d T T T missä v() on signaali, jolle päee T T d d Inegroini ehdään T:n piuisen aikavälin yli. Tulos on riippumaon :sa. Jaksollinen signaali on ehosignaali Keskimääräisen ehon laskemiseksi riiää, eä arkasellaan yhä jakson miaisa aikaväliä. Jakson paikka voidaan valia mielivalaisesi -T / T /

23 Tehävä Mikä on jänniesignaalin s() jakson aika? s() Volia sekunia Mikä on keskimääräinen eho vasuksessa R? s () R 3

24 . Aika-akselin muunnokse

25 Pulssinleveys Olkoon x() pulssi, joka on määriely aikavälille [, ] Tarkasellaan pulssia y()=x(/t), T> Jos T>, niin pulssin leveys kasvaa Jos T<, niin pulssin leveys pienenee x() x = - y() y =T x T T 5

26 Viive Viiväsey pulssi x(-t), T> x() x(-t) T +T +T 6

27 Symmeria ominaisuude Tarkasellaan apausa, jossa v () Jos v() on parillinen v(-)=v() Jos v() on parion v(-)=-v() 7

28 Aika-akselin muunnokse Piirrä x () rec x( ) rec x3( ) rec x 4( ) rec Yksikköpulssi / kanipulssi rec() 8

29 .3 Diracin dela-funkio ja askelfunio

30 Impulssifunkio/Diracin dela-funkio Ääreömän kapea pulssi, jonka pina-ala on. () d () d Impulssifunkio () voidaan johaa raja-arvona pulssisa, jonka piuus on ja korkeus /, kun. Suorakaidepulssin apauksessa: rec lim x rec x muuoin 3

31 Impulssifunkio rec Suorakaidepulssi Gaussin pulssi x exp T= T=.5 T= Ampliudi 5 4 Ampliudi Aika - - Aika 3

32 Ideaalinen näyeenoo Oeaan signaalisa s() näye ajanhekellä s() = s( ) Käyännössä kykimen sulkeuuminen ja avauuminen ei apahdu ääreömän nopeasi. 3

33 Käyännön näyeenoo Näyeenoopiirin malli p (- ) pulssi, jolla on äärellinen nousuaika / ja jonka pina-ala on p () d s() s( ) Kun pulssin nousuaika menee kohi nollaa niin s p d s ds lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 33

34 Askelfunkio Askelfunkio (Heaviside sep funcion) u() u () ( ) d Epäjakuvuuskohdan derivaaa voidaan lausua impulssifunkion avulla d u () () d u() u () 34

35 Epäjakuva-ampliudise signaali Epäjakuvuuskoha ajanhekellä d x () '() x x d '( ) on signaalin jakuvan ermin derivaaa x( + ) x( - ) x() dx()/d 35

36 .4 Eksponeni- ja sinisignaali

37 Sinimuooinen signaali Sinimuooinen signaali (esim. vaihojännie) v () Acos A Ampliudi + Vaihekulma radiaaneina ( 8) Vaihesiirymä jäö (lag), joho (lead) =/T Ominaiskulmaaajuus (rad/s) Ominaisaajuus (Hz) Jaksonaika 37

38 Sinimuooinen signaali v () Acos.5.5 A T v() cos( ) / 38

39 Teho- ja energiasignaali: Sinimuooisen signaalin eho Sinimuooisen signaali v () Acos T Tehon määrielmä P v() d T T 39

40 Teho- ja energiasignaali: Sinimuooisen signaalin eho Signaalin eho T T A P v() d cos d T T T T T cos cos( ) 4 ix ix i x ix x e e e e x T T 4 A T 4 A P cos d sin T T T 4 T T cos x dx sin( x) T A T T T 4 T T 4 T A sin sin T 4 T 4 T 4

41 Eksponenisignaali Kompleksi eksponenisignaali (osoiin) () i v e cos isin (Eulerin kaava) Jakson aika T Sinimuooinen signaali voidaan lausua kahden osoiimen avulla: A v () Acos e e e e i i i i 4

42 Eksponenisignaali Kompleksi eksponenisignaali (osoiin) v Ce rc C ri (),,, Signaali voidaan kirjoiaa muooon Reaaliosa: r v () Ce cos isin r vce Re ( ) cos 4

43 Vaimeneva ja kasvava värähely r x () Ce cos 8 r< r>

44 .5 Signaaliavaruus hp://hubblesie.org/newscener/archive/releases///image/a/

45 Vekoriavaruus Vekoriavaruus (linaariavaruuus) on joukko, johon on määriely kaksi laskuoimiusa alkioiden (vekorien) summa sekä ns. skalaarilla kerominen. x x x xn x a ib n k k k n-dimensioinen kompleksi vekori vekorin k. elemeni Yheenlasku x y x y x y x y xy x y x y n n n n Skalaarilla kerominen x ax x ax x, x xn axn a a a n 45

46 Sisäuloavaruus Sisäuloavaruus on vekoriavaruus, johon on määriely edellisen operaaioiden lisäksi myös sisäulo, jonka avulla voidaan määriää vekorien välinen kulma, orogonaalisuus sekä miaa niiden suuruua (piuus). n Tavallise ason vekrori muodosava sisäuloavaruuden, jossa sisäulo on sama kuin vekorien piseulo x x n * * * * * y y y n xky k k xy, yx yx xn x x x x * x a ib * * * * n k k k Vekorin hermioini (Transfonoini ja kompleksi kongjugaai elemeneisä) 46

47 Sisäuloavaruus Sisäulo indusoi normin, joka keroo vekorin piuuden * n k x x, x x x x x Sisäulo määriää kulman vekorien välillä xy, arccos x y x k x y x a ib * x x a ib a ib a b x Sisäulo määriää projekion piuuden xy, y x y 47

48 Sisäuloavaruus: Vekorien orogonaalisuus ja oronormaalisuus Orogonaalisuus ja oronormaalisuus xy, xy, x y Orogonaalisuus Oronormaalisuus y x Orogonaali vekori ova asossa oisiaan kohisuorassa 48

49 Sisäuloavaruus: Kanavekori Vekori { k, k=,,,n} muodosava vekoriavaruuden kannan mikäli yhäkään vekoria k ei voida lausua muiden lineaarikombinaaiona (vekori ova lineaarisesi riippumaomia) w, l,,..., n: φ wφ l k l l l lk n φ φ Vekori { k, k=,,,n} muodosava vekoriavaruuden oronormaalin kannan, jos * k, l l k φ φ φ φ k k l l φ φ 49

50 Vekoriavaruus: Vekorin esiäminen kannan avulla Vekori x voidaan esiää oronormaalin kannan avulla projisoimalla vekori kullekkin kanavekorille n * x φkx φ k k * x φ φ φ x φ x φ * * φx φ x φ * * * x φ x φ φ x φ 5

51 Vekoriavaruus: Kanavekori Olkoon {x i, i=,,,n} n-diemensioisen vekoriavaruuden vekoreia. Jos vekori ova lineaarisesi riippumaomia niin ne viriävä avaruuden Vekoreisa voidaan muodosaa oronormaali kana käyäen Gram-Schmid proseduuria φ φ x x, φ φ φ φ φ i φ x x, φ φ, i,3, 4,... n φ i i i j j j i x x φ φ i, i,,3,4,... n x x, φ φ φ x, φ φ x x 5

52 Signaaliavaruus: Sisäulo Olkoon x() ja y() kompleksiarvoisia aika-alueen signaaleja,. Signaalien sisäulo * (), () () () x y x y d x () * x () y() y() x(), y() = signaalien ulon alue 5

53 Signaaliavaruus: Sisäulo Energia signaali voi olla määrielynä myös koko aikaalueessa,, jolloin * x (), y() x() y () d Jaksollisen ehosignaalien apauksessa on apana arkasella yhä jakson piuisa aikaväliä T * (), () () () x y x y d, T 53

54 Signaaliavaruus: Sisäulo Sisäulo indusoi normin. Normin neliö keroo signaalin energian aikavälillä, * x () x (), x () xx () () d x () d Energia signaalille E x () Jaksolliselle ehosignaalille P x () T 54

55 Signaaliavaruus: Sisäulo Sisäulon ominaisuuksia x (), y () y (), x () ax(), y() a x(), y() * (), () (), () x ay a x y v () x (), y () v (), y () x (), y () * 55

56 Signaaliavaruus: Signaalien orhogonaalisuus ja oronormaalisuus Orogonaalisuus ja oronormaalisuus x (), y () x (), y () x () y () Orogonaalisuus Oronormaalisuus x() y() x() y() x (), y ()

57 Tehävä Rakaise signaalien x() ja y() energia Rakaise myös niiden sisäulo x(), y() Konsruoi singnaaleille oronormaali kana x() Volia sekunia y() Volia sekunia 57

58 Signaaliavaruus: Signaalin esiäminen kannan avulla Approksimoidaan signaalia s() oronormaalin kannan { k ()} avulla s () c () ˆ kk s () k Valiaan painokeroime c k sien, eä virhesignaalin energia minimoiuu min s ( ) s ˆ( ) c Minimi virhe-energia rakaisu on c s(), () k k Eli paras approksimaaio signaalille on sˆ( ) s(), k() k() k 58

59 Signaaliavaruus: Signaalin esiäminen kannan avulla Jos virhe s () s ˆ() niin s() ckk() k c s(), () k k ja s() ck k Parsevalin eoreema Muuoin s() ck k Besselin epäyhälö 59

60 Kanafunkioia: Fourierin kana Tarkasellaan aikaväliä (-T /, T /) Oronormaali kana k () expi k T T T T * k k k T T k...,,,,,,... k c s(), () s() () d s() expi d T T Tähän palaaan seuraavalla luennolla Jaksollisen signaalien aajuusason analyysi Im Kannan muodosaa erisuuniin ja eri aajuuksilla pyörivä osoiime f k k T Re 6

61 Kanafunkioia: Walsh-funkio Tarkasellaan aikaväliä aikavälillä (,T) K-dimensioinen orogonaali kana () W () k Esim. K=4 k W () muuoin p W n p() Wn Wn 4 4 k=: n=,p= k=: n=,p= k=3: n=,p= k=4: n=,p= W () W () Pulssimaise signaali Sovelluksia: - kanavoinikoodaus CDMAjärjeselmässä - kuvion unnisus ja kuvankäsiely - W () - W () 3 6

62 Mihin signaaliavaruua voi käyää? CDMA esimerkki 3. sukupolven makaviesinäjärjeselmässä käyeään koodijakoisa iedonsiiroa (Code Division Muliple Access, CDMA), jossa ieyllä aajuuskaisalla läheeään usealle käyäjälle ieoa samanaikaisesi. Käyäjä eroeaan oisisaan käyämällä orogonaalisia hajauuskoodeja, joka perusuva Walsh-funkioihin. Olkoon I i informaaio symboli, joka on arkoieu makapuhelimelle i. Jäeään esimerkisä selvyyden vuoksi kanoaallon vaikuus pois. Tukiaseman läheämä signaali on muooa s() I W (), T j j j Nokia Flexi WCDMA base saion 6

63 Mihin signaaliavaruua voi käyää? CDMA esimerkki Korrelaaiovasaanoin perusuu sisäulon laksemiseen vasaanoeun signaalin s() ja käyäjän oman hajauuskoodin W i () välillä. s(), W() I W(), W () I W (), W() I i j i j j j i i j j koska Walsh-funkio muodosava oronormaalin kannan. W (), W() j i j j i i 63

64 Muia oronormaaleia kanafunkioia Laguerren funkio L k (), [,), k=,,, k() exp Lk() k exp d k Lk () exp k k! d ( k) L ( ) (k ) L ( ) kl ( ) k k k Kvanimekaniikka: Schrödingerin yhälön rakaisu Hermien funkio H k (), (,), k=,,, exp k() Hk() n k! k d Hk ( ) exp exp k d H () H () kh () k k k k Fysiikka, ilasoiede Legendren funkio P k (), [-,], k=,,, k() k Pk() k d k Pk () k k k! d ( k) P ( ) (k) P ( ) kp ( ) k k k Poeniaalieoria (sähkömagneismi, virausdynamiikka, ähiiede, ): Laplacen yhälö rarkaisu Tsebysevin (Chebyshevin) funkio C k (), [-,], k=,,, 4 C ( ) k k () C () C () C (), k 4 Ck ( ) k,,... k k k C(), C() Approksimaaioeoria (inerpoloini) 64

65 S.-G. Häggman, ELEC-A7 Luenomonisee, 5 Hermien polynomeihin perusuva kanafunkio Legendren polynomeihin perusuva kanafunkio.5 n=4 n= n= n= n= -.5 n= n= n= n=4 n= n=5 n= Tšebyshevin polynomeihin perusuva kanafunkio n=3 n=5 n=4 n= n= n= Laguerren polynomeihin perusuva kanafunkio n=.5 n= n=4 n= n=3 n=5 Aalo-yliopiso -.5 Tieoliikenne- ja

66 Signaaliavaruus: kanafunkio Muodoseaan orogonaali kana n:sa lineaarisesi riippumaomasa signaalisa x () () x () x () () x () x (), () () () () () i () x () x (), () (), i,3,4,... n i i i j j j i () i ( ), i,,3,4,... n () i k 66

67 Gram-Schmid proseduuri Tarkasellaan signaaleia {x k ()} x () x () x () x4( ) x () x () x () T k k k E x () x () d E E, E E 3 67

68 Gram-Schmid proseduuri Oronormaali kanafunkio (signaali) () () () 3 Signaalijoukko {x k ()} sisälsi vain kolme lineaarisesi riippumaona signaalia, joen kanafunkioiakin on vain kolme 68

69 Gram-Schmid proseduuri Signaalien esiäminen kannan avulla x () () x () () x () () () 3 3 x () () () 4 3 Vekori esiys 3 g, g, g3, g4 E g, E g, E g 3, E g

70 Mihin signaaliavaruua voi käyää? Modulaaio esimerkki Tarkasellaan digiaalisa modulaaioa. K läheeävää biiä kuvaaan K symboliksi Symbolin piuus (ajallinen keso) on T Kuakin symbolia k=,,, K vasaa oma a k ampliudi ja vaihe k. Symboli läheeään käyäen kanoaaloa, jonka aajuus on f c Symboleia vasaava aalomuodo ova P s ( ) sin,,,,..., K k ak fck T k T Oleeaan, eä ft c 7

71 Mihin signaaliavaruua voi käyää? Modulaaio esimerkki Oeaan kaksi oronormaalia kanafunkioa () sin fc, T T () cos fc, T T Ny signaali voidaan esiää muodossa P sk() ak sin fck T P P ak cos k sin fc ak sin k cos fc T T Pa cos ( ) Pa sin ( ) k k k k 7

72 Mihin signaaliavaruua voi käyää? Modulaaio esimerkki Ny on helppo visualisoida läheeävä symboli () Pa k sin k Pa cos k k () 7

73 Mihin signaaliavaruua voi käyää? Modulaaio esimerkki Konsillaaio kuva Kaikki symboli esieynä kannan avulla 8-PSK hp://zone.ni.com/cms/images/devzone/u/psk.jpg 73

74 Mihin signaaliavaruua voi käyää? Modulaaio esimerkki TD-LTE Downlink 64-QAM 74