Luento 9. Epälineaarisuus

Transkriptio

1 Lueno 9 Epälineaarisuus 9..7 Epälineaarisuus Tarkasellaan passiivisa epälineaarisa komponenia u() y() f( ) Taylor-sarjakehielmä 3 y f( x) + f '( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) +...! 3! 4! 3 α + α x+ α x + α x Epälineaarisuuden läpi kulkenu signaali Kerolasku aikaasossa vasaa konvoluuioa aajuusasossa 9..7

2 Epälineaarisuus Tarkasellaan sini-muooisa heräeä Fourier-muunnos Epälineaarisuus.8 DC-komponeni cos(π ) cos (π ) harmooninen Epälineaarisuus Epälineaarisuus Signaalin aajuudella cos(π ) cos 3 (π ) Harmooninen aajuus

3 Epälineaarisuus Epälineaarisuude synnyävä harmoonisia aajuuksia Approksimoidaan epälineaarisuua Taylor-sarjan kolmella ensimmäisellä ermillä: Parillise poenssi synnyävä harmoonisia, joka voidaan poisaa suodaamalla Parioma poenssi aiheuava komponeneja myös signaalin aajuudelle cos(π ) /Σ k cos k (π ) 9..7 /3Σ k cos k (π ) Särö Yleinen epälineaarisuus 3 f( x) + f '( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) +...! 3! 4! 3 α + α x+ α x + α x Kun ulosignaali on kosini u() x() Acos( π f) niin epälineaarisuuden lähösignaali y () f( x ()) a ( x ()) k k k voidaan kirjoiaa ulosignaalin harmoonisen yliaalojen avulla k ( π ) y () uk cos kf x f( ) y()

4 Särö Epälineaarisuuden vaikuusa signaaliin voidaan arkasella harmonisen särökeroimien (disorion) avulla n. aseen särökerroin: u d n n u n aseen särövaimennus: An log dn n,3,4, dn % Särö % Kokonaissärökerroin do d + d3 + d4 + d Särö Signaalin eho (Parsevalin eoreema) Py u + u + u + u3 + u4 + u5 +.. P + P+ P + P3 + P4 + P Signaalin kokonaissärö voidaan määriää kun unneaan lähösignaalin kokonaiseho P y, DCkomponenin eho P sekä perusaajuuden eho P do Py P P P

5 Särö Epälineaarisuuden ominaiskäyrä 3 4 yx ( ) a + ax + ax + ax 3 + ax Kosinin poenssikaava n n n n cos x cos ( ( n k) x) n + k k n n n n cos x cos ( n k ) x) n k k Sovelleaan summakaavoja lähösignaaliin y ( ) a + aa cos( π fx) + aa + cos( π fx) aa 3 cos( π f x ) + cos( π 3 f x ) aa 4 + cos( π f x ) + cos( π 4 f x ) aa 5 cos( π f x ) + cos( π 3f x ) + cos( π 5 f x ) Särö Ryhmiellään ermi uudelleen harmoonisen yliaalojen mukaan a + aa + a4a au+ a3u + a5a +... cos fx u u 4 + aa + a4a +... cos( π fx) u aa 3 + aa cos( π 3 f x ) 4 6 u au cos( π 4 fx) + a5u +... cos( π 5 fx) u4 ( π )

6 Särökeroimiksi saadaan Särö 4 3 aa a4a... aa a4a... u d u aa + aa 3 + a5a +... a+ aa 3 + a5a aa 3 aa 5... aa 3 aa 5... u d3 u aa + aa 3 + a5a +... a+ aa 3 + a5a a4a... a4a... u d4 u aa + aa 3 + aa a+ aa 3 + aa aa aa d aa + aa 3 + aa a+ aa 3 + aa Särö Jos A<< ai a n <<a, niin särökeroimeksi saadaan an n dn A n a ja särövaimennukseksi An log ( d ) n n a log a log + ( n ) 3, ( n ) log( u) n au a n n

7 y Esimerkki Sauraaio (esim. vahvisimen yliohjaus) y () f( x ()) f ( x ( )) anh( ax ( )) a 3 a 5 7a 7 f( x) ax x + x x π ax + ax + ax 3 + ax ax Tarkasellaan ulosignaalia x() Acos π f ( ) Särökeroime kun a ja A d n d d x an n dn A n a d7.54 d9.9 d db -37 db -5 db -33 db -4 db Esimerkki x() y()

8 Epälineaarisuus Epälineaarinen komponeni aiheuaa yleensä ehohukkaa kun ulosignaalin eho kasvaa suureksi. Epälineaarisuuden kuvaamiseen käyeyjä suureia Sauraaioaso (sauraion level) on suurin jäjeselmäsä saaava perusaajuisen komponenin lähöaso. db:n kompressio aso (db compression level) on se järjeselmän lähöaso, joka on db alempi kuin lähöaso ilman epälinearisuua. Kolmannen harmonisen leikkausaso on log-logkoordinaaisossa jakeujen perusaajuisen ampliudin ja kolmannen harmonisen leikkauspise db:n kompressio aso Esimerkki db vahvisin 5 4 Lineaarisen 9 db Vahvisimen lähöaso P ou (dbm) 3 Sauraaio aso db compressioaso 3 db 4.45 db db P in (dbm)

9 Kolmannen harmonisen leikkausaso P ou (dbm) 3 - Kanaaajuinen signaali Harmooninen P in (dbm) Epälineaarisuus Traveling Wave Tube TWT ehovahvisin Alkuperäinen signaali x () r ()cos c+ ( ω φ ) TWT-vahvisimen ulosulo y() A( r() ) cos ( ωc+ φ+φ( r() )) αar Ar ( ) + β r a α r Φ ( r) + φ βφr Oupu ampliude Phase error(rad) Sauraaio αa βa Inpu ampliude αφ.593. βφ Inpu ampliude Ampliudisa riippuva vaiheensiiro

10 Keskeismodulaaiosärö Keskeismodulaaiosäröä synyy epälineaarisessa järjeselmässä, kun ulosignaali on kahden ai useamman sinisignaalin summa. x() x() + x() Lähösignaali on muooa ( ) k ( ) y () f x () a x() + x() k k k ax k n n k () x () k n n k k k k n n k k k k k k n k n n ax () + ax () + ax () x () k x ja sen Sekoiunee signaali harmoonise yliaallo x ja sen harmoonise yliaallo Keskeismodulaaiosärö Tarkasellaan epälineaarisuua y () x() Tulosignaali x () A cos ω x () A cos ω ω > ω ( ) ( ) ( ) ( ) x () Acos ω + Acos ω Lähösignaali y ( ) A cos ω + A cos ω + AAcos ω cos ω ( ) ( ) ( ) ( ) cos cos cos cos ( φ) ( φ) ( ( φ+ φ) + ( φ φ) ) y ( ) A + A cos + A + A cos + A A cos + + AA ( ω ) ( ω ) (( ω ω ) ) cos( ( ω ω ) ) 9..7

11 Keskeismodulaaiosärö Tarkasellaan apausa, jossa A A A y ( ) A + A cos( ω) + A cos( ω) + A cos ω + ω + A cos ω ω Verraaan samanaseise harmonise yliaalojen ja keskeismodulaaioulosen ampliudeja A A (( ) ) (( ) ) keskinäismodulaaio komponeni ova vasaavia. keraluvun harmoonisia aajuksia suurempia 9..7 Keskeismodulaaiosärö x - x (x +x ) x +x x x x *x

12 Keskeismodulaaiosärö Kahden kosini-signaalin kulkiessa n. aseen epälineaarisuuden läpi synyy sekoiusaajuuksia f lf + mf xkeskeis x x fx fx l + m n Tulosignaalin x () aajuus Tulosignaalin x () aajuus Sovelluksia Useimmien säröllä arkoieaan ahaona ja ei niin haluua muuosa signaalissa, mua eriyisesi kiarisien keskuudessa säröllä arkoieaan efekiä, jolla muokaaan alkuperäisä puhdasa signaalia lisäämällä siihen uusia aajuuskomponeeja. Säröefekiä uoavaa laiea kusuaan usein äänensärkijäksi. Alkujaan säröefeki keksiiin 95-luvulla kun kiaravahvisina soieiin niin kovaa, eä vahvisin yliohjauui ja ääni säröyyi s() Signal Clipped signal

13 Malab esimerkki fs44; %Sampling frequency (Hz) s/fs; %Sampling ime (sec) f5; %Signal frequency (Hz) T5; %Signal lengh (sec) A.5; %Signal ampliude :s:t; %Time ya*cos(*pi*f*); za*cos(*pi**f*); disp('signal ') wavplay(y,fs) pause disp('clipped signal (Disorion)') ycmax(-.75*a,min(.75*a,y)); wavplay(yc,fs) pause disp('singal ') wavplay(z,fs) pause disp('clipped signal (Disorion)') zcmax(-.75*a,min(.75*a,z)); wavplay(z,fs) pause disp('singal + signal ') wavplay(.5*(y+z),fs) pause disp('wo signals (Inermodulaion disorion)') yzcmax(-.75*a,min(.75*a,.5*(y+z))); wavplay(zc,fs) pause Lineaarisen modulaaorin oeuaminen Haluaan oeuaa modulaaori piiri, joka saa syöeeksi kanoaallon ja moduloiavan signaalin x() x() A c () cos X(f) ( π f) c Σ ( ) z () Summain Neliöini Kaisanpääsö suodaus H(f) Z( f ) ( π ) y () Ax ()cos f c C(f) f c f c Y( f) f c f c f c f c f c f c