ELEC-A7200 Signaalit ja järjestelmät Laskuharjoitukset. LASKUHARJOITUS 1 Sivu 1/18. Hyvä opiskelija

Transkriptio

1 ELEC-A7 LASKUHARJOIUS Sivu /8 Hyvä opiskelija ässä opeusmoniseessa esieään kurssiin ELEC-A7 liiyviä laskuharjoiusehäviä rakaisuineen. Kaikkia ehäviä ei välämää käsiellä laskuharjoiuksissa, joen voi jouua ise uusumaan joidenkin ehävien rakaisuihin. ehävä ova vaaivuusaseilaan eniehävien veroisia. ehävien käsielyjärjesys saaaa muuua luenojen ja laboraorioöiden vuoksi (synkronoini niihin). Kunkin harjoiuksen alussa esieään ehävänanno, joa voisi ise harjoiella laskemisa. ehävänanojen jälkeen esieään kysymykse vasauksineen. Harjoiele laskemisa! Laskuharjoiuksiin kannaaa oaa mukaan muisiinpanovälinee, laskin ja kurssin luenomonisee, koska ähän laskuharjoiusmoniseeseen ullaan ekemään äydennyksiä. Laskuharjoiuksissa on hyvä olla mukana myös laboraorioyöohjeia, sillä harjoiusen aikana anneaan vinkkejä niin esi- kuin jälkiselosusen ekemiseen. Noppa-sivuilla on myös esimerkkienejä rakaisuineen ja kaavakokoelma, josa on hyöyä myös muilla kursseilla. enissä jaeaan lainaksi vasaava kaavakokoelma, joen ällä kurssilla ei arvise opeella kaavoja ulkoa. Oa kaavakokoelma mukaan laskuharjoiuksiin, uusu samalla sen sisälöön. Lukuisisa arkasuksisa huolimaa voi ässä moniseessa olla painovirheiä. Jos havaise virheen, ilmoia siiä kurssin assisenille. Virheilmoius kannaaa myös ehdä, jos löydä painovirheiä luenomoniseisa ja laboraorioyöohjeisa. erveuloa laskuharjoiuksiin! Espoossa 3. syyskuua 3 Seppo Saasamoinen Kurssin ELEC-A7 pääassiseni seppo.saasamoinen@aalo.i p Huone E-3 (vasaanoo sopimuksen mukaan, varaa aika sähköposilla)

2 ELEC-A7 LASKUHARJOIUS Sivu /8. Laske ja piirrä signaalin v ( ) 3 4 sin ( 3 ) cos ( 4 ) = π π yksi- ja kaksipuoleise ampliudi- sekä vaihespekri. Laske myös signaalin eho oleaen impedanssiasoksi ohmi.. Johda alla olevassa kuvassa esieyn suorakaidepulssijonon (suorakaideaallon, kaniaallon ) v ( ) Fouriersarjan keroime ja piirrä v ( ) :n spekri, kun = ja = 5. v () A - -A 3. arkasellaan signaalin näyeenooa. = π spekri ennen ja jälkeen näyeisysä. Näyeenooaajuus s = 5. Mien alkuperäinen spekri saadaan näyeisyksen jälkeen? 3 b) Piirrä signaalin x ( ) = 4cos ( π ) spekri ennen ja jälkeen näyeisysä. Näyeenooaajuus s =. c) a-kohdan apauksessa on lisäksi häiriösignaali h aajuudella 3. 5, jonka ampliudi on puole hyöysignaalisa. Näyeenooaajuus s = 4. Piirrä spekri ennen ja jälkeen näyeisyksen. Mien häiriösignaalin epäoivou vaikuus näyeiseyyn signaaliin voiaisiin esää? a) Piirrä signaalin x ( ) 4cos ( ) 4. Johda kuvassa anneun pulssin Fourier-muunnos käyäen sopivia muunnoksen ominaisuuksia. on pulssin puolen ampliudin leveys. Hyödyllisiä muunnospareja riippuen käyeysä meneelysä ova esim. u rec u sinc, u δ d u e v() ( ) ( ) F F j πd a -a 5. Suorakaidepulssisa ( ) ( d ) x = rec, d =.5 s, = s, oeaan näyeiä, sekunnin välein. Määriä näyeiseyn x ( ) :n diskreei Fourier-muunnos eli DF xk ( ) ja x ( ) :n Fourier-muunnos F x ( ). Veraa DF:n ja Fourier-muunnoksen anamia perusaajuisia (n = ) komponeneja keskenään, kun näyeiden lukumäärä N =.

3 ELEC-A7 LASKUHARJOIUS Sivu 3/8. Laske ja piirrä signaalin v ( ) 3 4 sin ( 3 ) cos ( 4 ) = π π yksi- ja kaksipuoleise ampliudi- sekä vaihespekri. Laske myös signaalin eho oleaen impedanssiasoksi ohmi. Signaali aika-alueessa. Kuva uoeu Malab-ohjelmalla. Esimerkkirakaisu, ehävä. Reaalisille jaksollisille signaaleille (luonnollisille signaaleille) voidaan (rigonomerinen) Fourier-sarja esiää muodossa v c c cos n arg c () ( ) = + n ( π + n ) n= Yhälösä () voidaan pääellä, eä mikä ahansa jaksollinen signaali voidaan esiää harmonisen kosiniaalojen summana. Kosiniaalojen alin aajuus (n = ) on, joa kusuaan perusaajuudeksi ja ensimmäiseksi harmoniseksi. aajuus on signaalin v ( ) jaksonajan kääneisarvo eli =. Harmoninen = monikera. ermi c on signaalin asajännieosuus, asajänniekomponeni, joka on myös signaalin aikakeskiarvo (odousarvo). arg c n on vaihekulma (vaihe-ero) puhaaseen kosiniaaloon nähden (huippuarvo saavueaan ajanhekellä = ). Seuraavaksi saaeaan ehävän signaali kaavan () muooon (kosiniaalojen summaksi, koska Fouriermuunnoksessa reerenssinä on kosiniaalo). Käyeään hyväksi sini ja kosinisignaalien seuraavia ominaisuuksia: π sin x sin x sin x cos x cos x cos x cos x cos x ( ) = ( ) ( ) = ( ) = ( ) ( ) = ( + π) () ällöin saadaan ( ) = 3 4 ( 3π ) ( 4π ) = 3cos( π + π ) + 4cos 5 π + + cos ( π + π) v sin cos π (3) Ny voidaan piirää yksipuoleisen aajuusalueen ampliudi ( V() )- sekä vaihespekri (arg(v())) (viivaspekri eli piiki ).

4 ELEC-A7 LASKUHARJOIUS Sivu 4/8 V() arg(v()) 4 π 3 π 5 Ampliudispekri 5 Vaihespekri -puoleisessa aajuusalueessa signaalin kaava on π jπ = = + + (4) j jπ { ( )} ( ) 3 δ ( ) 4 δ ( 5 ) δ ( ) F v V Hz e Hz e Hz e Impulssin ( piikin ) merkkinä on siis δ. Merkinä ( 5 Hz) vaihekulma esieään aajuusalueessa e:n poenssina, esimerkiksi e. Mikäli jx jx e hajoeaan muooon e cos ( x) j sin ( x) δ arkoiaa spekriviivaa aajuudella 5 Hz ja π j = +, voidaan spekrin lauseke esiää kompleksisessa muodossa. On siis makuasia, esieäänkö ieyn aajuuden spekrikomponeni ( piikki ) muodossa A ϕ, jossa A = a + b ja ϕ a an b = ai muodossa ± a ± jb. Esimerkiksi Malabin aajuusvekorissa spekrikomponenin a arvo on juuri muodossa ± a ± jb. Sien siirryään kaksipuoleiseen spekriin. Siihen pääsään, kun kosiniunkio lausuaan Eulerin kaavan mukaan exponeneina jx jx ( ) ( ) cos x = e + e (5) Näin ollen ehävän signaali voidaan kirjoiaa muooon π π j 5 π + j 5 π + j( π +π) j( π +π) v ( ) = 3 + e + e + e + e (6) ja saadaan kaksipuoleinen spekri V() arg(v())

5 ELEC-A7 LASKUHARJOIUS Sivu 5/8 -puoleisessa aajuusalueessa π π j j jπ ( ) 3 δ ( ) δ ( 5 ) δ ( 5 ) jπ jπ,5 δ ( Hz) e +,5 δ ( + Hz) e V = Hz e + Hz e + + Hz e + (7) Signaali/V Aika/s.3 Ampliudi/V/Hz aajuus/hz Kuva. Esimerkki jaksollisesa signaalisa. Moniseen laaijan aaa -äänne aika-alueessa (ylin kuva) ja vasaava esiys yksipuoleisessa aajuusalueessa (alin kuva). Perusaajuus 8 Hz. Harmonisen aajuuksien aajuude eivä ole pysynee aivan vakioina (ääni on värissy), jolloin spekrikomponeni ova levenneiä. Analyysi on ehy Malab-ohjelmalla. Lopula laskemme signaalin ehon. Jaksollisen signaalin keskimääräinen eho, kun impedanssi on ohmi, saadaan kaavalla U P = v ( ) = v ( ) d P = (8) R Kun ukii ehävänannon kaavaa aika-alueessa, muodosuisi kaavan 8 mukaan aika hankala laskuoimius. oisaala Parsevalin ehoeoreeman mukaan jaksollisen signaalin eho saadaan suoraan Fourier-keroimien neliöiden summana. Huomaa, eä keroime c n laskeaan -puoleisa spekriä ajaellen. n= n P = c (9) ehävän signaalille saadaan siis (oleaen signaalin yksiköksi voli ja impedanssiasoksi ohmi) P = ( 3) + + = 7, 5W ()

6 ELEC-A7 LASKUHARJOIUS Sivu 6/8. Johda alla olevassa kuvassa esieyn suorakaideaallon v ( ) Fourier-sarjan keroime ja piirrä v ( ) :n spekri, kun = ja = 5. ässä =. Esimerkkirakaisu, ehävä. v () A - -A Jaksollisen signaalin Fourier sarja on seuraavaa muooa = n n () n= ( ) c e j π v jossa cnon Fourier-kerroin ja on signaalin perusaajuus (ensimmäinen harmoninen). Exponeniermi voidaan purkaa sini- ja kosiniaaloihin, joen signaali voidaan käsiää useiden aalojen jϕ e = cos ϕ + j sin ϕ ja kunkin aajuisa siniaaloa painoeaan keroimella c n. summana eli ( ) ( ) Kerroin c n (ampliudi) saadaan laskeua kaavalla jπn cn v ( ) e d = () Kaavasa () voidaan odea, eä keroime saadaan korreloimalla signaalia v() kunkin (ko)siniaalokomponenin kanssa. oisin sanoen, miä samankalaisempi v() on jonkun (ko)siniaalokomponenin kanssa, siä suuremman painon c n saa. Huomaa, eä cn on yleensä kompleksinen. Jos v() on reaaliarvoinen signaali (kuen kaikki luonnollise signaali), on voimassa c c c e j arg c n n = n = n (3) oisin sanoen: negaiivisen aajuusalueen F-sarjan kerroin on posiiivisen aajuusalueen keroimen kompleksikonjugaai. Käyeään seuraavassa merkinää ( ) c n = c (4) n ällöin saadaan ampliudille ja vaiheelle ( ) ( ) ( ) ( ) c n = c n arg c n = arg c n (5)

7 ELEC-A7 LASKUHARJOIUS Sivu 7/8 ehävän signaali v() voidaan lausua seuraavasi k v ( ) = A rec A k = [lue rec miinus k kaua au] (6) jossa suorakaidepulssi (rec = recangle = suorakaide) on, < rec =, > (7) Ensiksi on siis ehy kaniaaloa, jonka ampliudi on +A ja. Koska ämän keskiarvo on A, vähenneään arvoa A, jolloin kaniaalo saa arvoja +A ja A. Sijoiamalla v() kaavaan () saadaan j πn jπn jπn cn = Ae d Ae d Ae d + + (8) eli inegroimme paloiain inegroinivälin yli. Inegroimalla ja sijoiamalla ylä- ja alaraja pääsään muooon jπn ( ( )) jπn jπn jπn A cn = e e e e jπn (9) Sisempi sulkulauseke on jπn jπn ( ) ( ) e e = sin πn j = kaikilla n:n arvoilla, () joen saadaan ( n ) A sin jπn jπn A π cn = ( e e ) = jπn πn () Huomaa, eä ermi au on lisäy osoiajaan ja nimiäjään. Kaava on arpeen laboraorioyö :n loppuselosusa ehäessä! Merkiään sin ( πx) πx = sinc ( x), () jolloin saadaan lopullinen muoo

8 ELEC-A7 LASKUHARJOIUS Sivu 8/8 c n A = sinc ( n ) (3) ämä päee, kun n. Ny äyyy vielä laskea erikseen apaus n =. ällöin kysymyksessä on DC- eli asasähkökomponeni, joka saadaan laskeua signaalin aikakeskiarvona arkaseluvälin yli c = v d (4) ( ) Sijoieaan signaali v() ja inegroidaan paloiain, symmerian peruseella voidaan inegroida välillä ja keroa kahdella, joen saadaan c = A d + A d (5) ja edelleen c = A (6) Seuraavaksi piirrämme ampliudispekri apauksissa = ja = 5. Helpoina on yriää hahmoella spekrin verhokäyrä. Kun n, niin spekrin verhokäyrä noudaaa sinc-unkioa. Seuraava kuva esiää yleisesi sinc-unkion kuvaajan ( πx) sin y = πx (x:n suheen vaimeneva siniaalo) y()x

9 ELEC-A7 LASKUHARJOIUS Sivu 9/8 Hahmoellaan ensin viivaspekri, kun = = ova kohdissa n =,, 3, 4... (sini-ermi ulee nollaksi).. Funkion c sinc ( ) n n A = verhokäyrän nollakohda Koska = ja =, ova verhokäyrän nollakohda siis kohdissa, 4, 6, 8, DC-komponeni äyyy vielä laskea erikseen. Kaavalla (6) saadaan c =. Ny voimme hahmoella kaksipuoleisen viivaspekrin (ampliudispekri riiää) Viivaspekri jakuu lopuomiin, joskin harmonisen piikkien suuruude vaimeneva käänäen verrannollisena harmonisen suuruueen. Kaniaalo ei siis ole iedonsiirrossa hyvä apa siirää ieoa (biejä), sillä kaisaleveyden ova rajauja. Lopuksi hahmoellaan viivaspekri, kun = 5. ällöin verhokäyrän nollakohda ova kohdissa 5,, 5,, DC-komponenille laskeaan jälleen arvo kaavalla (6), jolloin c = A = A =. 6 A 5 ässä siis A on ampliudin symboli, ei siis ampeereia.

10 ELEC-A7 LASKUHARJOIUS Sivu /8 Näin ollen ampliudispekriksi voidaan hahmoella (huomaa, eei verhokäyrä kulje DC-piikin huipun kaua ja A = ampliudi) 3. arkasellaan signaalin näyeenooa. = π spekri ennen ja jälkeen näyeisysä. Näyeenooaajuus s = 5. Mien alkuperäinen spekri saadaan näyeisyksen jälkeen? (S = sample = näye). 3 b) Piirrä signaalin x ( ) = 4cos ( π ) spekri ennen ja jälkeen näyeisysä. Näyeenooaajuus s =. c) a-kohdan apauksessa on lisäksi häiriösignaali h aajuudella 3, 5, jonka ampliudi on puole hyöysignaalisa. Näyeenooaajuus s = 4. Piirrä spekri ennen ja jälkeen näyeisyksen. Mien häiriösignaalin epäoivou vaikuus näyeiseyyn signaaliin voiaisiin esää? a) Piirrä signaalin x ( ) 4cos ( ) Esimerkkirakaisu, ehävä 3 a) Hajoieaan kosini exponeniermeihin kaavalla jθ jθ ( ) ( ) cos θ = e + e () ja saadaan signaali x() muooon jπ j π ( ) x = e + e () ja kaksipuoleinen ampliudispekri voidaan piirää.

11 ELEC-A7 LASKUHARJOIUS Sivu /8 Ennen näyeenooa spekri on siis seuraava Xbg s s Kun signaalia näyeiseään, spekriksi ulee: Xbg s s Selvyyden vuoksi näyeisyksessä muodosunee komponeni on merkiy kakoviivalla. Havaiaan, eä alkuperäinen spekri kerauuu näyeaajuuden välein. Alkuperäinen spekri saadaan, kun näyeisey signaali alipääsösuodaeaan suodaimella, jonka kaisanleveys äyää ehdo < B < (3) s jolloin ne (kerauunee) aajuude, joka eivä ollee alkuperäisessä spekrissä suodauva pois. ( B = band(widh) = kaisa(leveys), josa usein myös käyeään merkinää W). Malab-harjoiuksissa ule näkemään aajuusalueen s, jolloin näe yhden kerauuneen komponenin eli s.

12 ELEC-A7 LASKUHARJOIUS Sivu /8 b) 3 ällä kerralla näyeenooaajuus on vain. Spekri ennen näyeisysä on seuraavanlainen X bg s s Näyeisyksessä spekri jälleen keraanuu s :n välein ja näyeisyksen jälkeen saadaan Xbg s s Ny kun näyeenooaajuus on pienempi kuin, laskosuu signaali aajuudelle, joka on pienempi kuin. Näin ollen alkuperäisä signaalia ei voida saada alipääsösuodauksella. Ilmiöä sanoaan laskosumiseksi (laskosuminen = aliasing). ässä on siis rikou Nyquisin näyeenooeoreeman lakia, joka sanoo, eä näyeaajuuden ulee olla yli -kerainen verrauna signaalin suurimpaan aajuueen max (lue: sisälämään suuriaajuisimpaan kosiniaaloon) eli s (4) max Käyännössä s,. max

13 ELEC-A7 LASKUHARJOIUS Sivu 3/8 c) spekri ennen näyeisysä Xbg h h s s ja näyeisyksen jälkeen Xbg s s Eli kuvasa havaiaan, eä korkeaaajuinen häiriösignaali laskosuu ikäväsi aajuudelle 5,, joa ei voi suodaaa alipääsösuodauksella. Ongelmasa pääsään eroon, kun signaalisa alipääsösuodaeaan korkeaaajuise häiriö pois ennen näyeenooa. Siksi näyeenoojärjeselmän ulossa on olava alipääsösuodain, joa esimerkiksi makapuhelimen aiheuama häiriö eivä sokisi järjeselmän oiminaa, häiriösignaalejahan ei pysyä näkemään.

14 ELEC-A7 LASKUHARJOIUS Sivu 4/8 4. Johda kuvassa anneun pulssin Fourier-muunnos käyäen sopivia muunnoksen ominaisuuksia. on pulssin puolen ampliudin leveys. Hyödyllisiä muunnospareja on esiey laaikon alareunassa. v() a -a u rec u sinc, u δ d u e ( ) ( ) F F j πd Esimerkkirakaisu, ehävä 3. Useimma signaali ova keraluoneisia, jolloin on iedeävä, millaisen aajuusalueen signaali arvisee edeäkseen virheeömäsi. ällöin joudumme laskemaan Fourier-muunnoksen, jonka määrielmä on j π { ( )} = ( ) = ( ) ( π ) ( ) ( π ). F v v e d v cos d j v sin d ässä siis signaalia v ( ) korreloidaan eli verraaan kaikkiin mahdollisiin kosini- ja siniaaloihin. Muunnoksen käyäminen suoraan on usein hyvin uskallisa ja siksi on viisaina käyää valmiiksi iedeyjä keinoja ( jippoja ) ja muunnosaulukoia F-muunnoksen laskemiseksi. Nämä keino ja auluko on esiey kurssin opeusmoniseissa ja kaavakokoelmassa, joka löyyy Nopasa. ässä ehävässä käyämme hyväksemme kolmea Fourier-muunnoksen ominaisuua eli Derivoinikeino d v ( F ) ( j π ) V ( ) () d F j d Origonsiiro ( ) ( ) v V e π () d Superposiio eli jos v ( ) = a v ( ) + a v ( ), niin F v ( ) = a F v ( ) + a F v ( ) Aloieaan derivoimalla maemaaisesi ja graaisesi signaali v() (3) v() a -a a a v () a

15 ELEC-A7 LASKUHARJOIUS Sivu 5/8 Merkiään suorakaidepulssia seuraavasi:, < rec =,, > jolloin saadaan + a ( ) a a v' rec rec rec = + (4) Huomaa, eä rec-pulssin viive laskeaan pulssin keskikohdasa ajanhekeen = nähden. Käyeään hyväksi ehävässä anneua suorakaidepulssin muunnoskaavaa sekä origonsiiroeoreemaa. Näin saadaan yllä oleva derivoiu signaali seuraavaan muooon { ( )} = sinc ( ) sinc ( - ) + sinc ( ) j π j π F v' a e a a e (5) Ja edelleen ( ) ( ) { } = sinc ( ) ( π ) sinc ( -) F v' a cos (6) Lopula ( ) { ( )} sinc ( ) cos ( π ) sinc ( -) F v' V = = a jπ jπ (7) Kuva. Kaavan (7) unkio aajuusalueessa, ampliudi- ja vaihespekri. Arvoiksi on aseeu seuraava: a =, =,5 ms ja = /5. Kuvaaja on laskeu ja ehy Malabilla. x Ampliudi/V/Hz aajuus/hz 5 Vaihekulma/asea aajuus/hz

16 ELEC-A7 LASKUHARJOIUS Sivu 6/8 5. Suorakaidepulssisa ( ) ( d ) x = rec, d =,5 s, = s, oeaan näyeiä, sekunnin välein. Määriä näyeiseyn x ( ) :n diskreei Fourier-muunnos eli DF xk ( ) ja x ( ) :n Fourier-muunnos F x ( ). Veraa DF:n ja Fourier-muunnoksen anamia perusaajuisia (n = ) komponeneja keskenään, kun näyeiden lukumäärä N =. Esimerkkirakaisu, ehävä 4. Fourier-muunnoksen määrielmä on π X x e d = () j ( ) ( ) Approksimoidaan Fourier-muunnosa summakaavalla ja korvaaan jakuva signaali x() näyejonolla l ( s ) xbg x k. s Kun lisäksi käsiellään vain N näyeä, saadaan yhälösä () approksimaaio N jπ( n ) ( ks ) ( ) s l ( s ) X n x k e ermi s korvaa siis merkinnän d () k = Käyeään merkinää W jπ N = e (3) sekä = N (4) s Kun näyeväli s = = = N N s s =, saadaan myös s = näyeväli (askellusväli) aajuusalueessa (5) Näin ollen saamme yhälön () muooon N s N jπ nk N s nk ( ) = s l ( s ) = s l ( s ) (6) X n x k e x k W k = k = Kun vielä merkiään x ( k ) x ( k ) l s =, niin voimme lausua

17 ELEC-A7 LASKUHARJOIUS Sivu 7/8 N nk ( ) ( ) s s ( ) X n x k W = DF x k (7) k = eli DF:n määrielmä on ( N ) = ( ) nk (8) k = DF x k x k W Malab-ohjelmassa DF laskeaan FF:llä (Fas Fourier ransorm) ja käskyn helpissä on seuraavaa: For lengh N inpu vecor x, he DF is a lengh N vecor X, wih elemens N X(k) = sum x(n)*exp(-j**pi*(k-)*(n-)/n), <= k <= N. n= Joa Malabin laskema spekri olisi ampliudilaan oikein, laskeaan X = (x)/n; Ny voimme laskea käsin ehävässä anneulle pulssille DF:n. Anneu pulssi on muooa ( d ) x ( ) = rec Pulssisa oeaan näyeiä alla olevan kuvan mukaisesi bg x s Eli näyearvo ova ( ) ( ) x k =,k =.. 5 x k =,k = Lisäksi iedeään, eä s s 5 = s sekä 5 = N = N = = s Sijoieaan arvo kaavaan (7) ja saadaan arvolla n = 9 kn X xkw = j k = eli X. 66 ja arg X = 9 o

18 ELEC-A7 LASKUHARJOIUS Sivu 8/8 Malabissa ja muissakin ieokoneohjelmissa spekrikomponeni esieään kompleksissa muodossa. Yllä esiey spekrikomponei esieään silloin muodossa X =.66i. Seuraavaksi laskeaan Fourier-muunnos anneulle pulssille. Suorakaidepulssin muunnos on A rec F A sinc ( ) (9) Lisäksi käyeään aikasiiroa F j ( ) ( ) x X e π () Ylläolevan peruseella saadaan anneulle pulssille, joka on viiväsyny sekunnilla, seuraava muunnos ( ) sinc ( ) X e π j = () Arvolla = saadaan jπ X = sinc e j, 637 eli X 637, ja arg X = 9 o Verraaan näiä uloksia DF:n anamiin approksimaaioihin, ja odeaan virhe: % Ampliudissa ja % Vaiheessa Virhe pienenee kun näyeenooaajuua kasvaeaan, jolloin näyemäärä kasvaa.