SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 2. Tietoliikennetekniikka I A Kari Kärkkäinen Osa 3

Transkriptio

1 SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 2 Tieoliikenneekniikka I A Kari Kärkkäinen Osa 3

2 Konvoluuio ja kerolasku ajassa ja aajuudessa Kanaaajuussignaali baseband sanomasignaali sellaisenaan ilman modulaaioa Kaisanpääsösignaali bandbass kanoaaloon moduloiu sanomasignaali Kun arkasellaan moduloiujen signaalien spekrejä joka on saau esim. kahden aikasignaalin kerolaskun seurauksena, kuen DSB-modulaaiolla, arviaan seuraavia Fourier-laskennan perussäänöjä: kerolasku aika-alueessa konvoluuio aajuusalueessa konvoluuio aika-alueessa kerolasku aajuusalueessa Konvoluuioinegraali kahdelle signaalille ks. Z&T, s.39 40: τ 2 τ dτ Seuraavilla kalvoilla esimerkkejä konvoluuion sovelamisesa. Mm. suodain laskee ulosignaalin ja impulssivaseen välisen konvoluuion. Lineaarisille järjeselmille sovelleavissa superposiioperiaae mm. Fourieranalyysissä. Lineaarisuua käyeään paljon mallinnusoleuksena luonnonieeissä ja ekniikassa. Epälineaarisuude hankalia ja ei-oivouja, koska aiheuava uusia esim. sekoiajan keskeismodulaaioulokse ja jopa aivan odoamaomia esim. kaaosilmiö, perhosvaikuus ilmiöiä. Tieoliikenneekniikka I A Kari Kärkkäinen Osa

3 Konvoluuion laskeminen graafisesi esieynä τ 2 τ dτ Tieoliikenneekniikka I A Kari Kärkkäinen Osa

4 Konvoluuion laskeminen graafisesi esieynä Tieoliikenneekniikka I A Kari Kärkkäinen Osa

5 Sinimuooise signaali kompleksisena osoiinesiyksenä Eulerin kaava: e ± jω 0 cos ω0 ± j sin ω0 Reaaliarvoinen sini- ai kosinisignaali voidaan Eulerin kaavan peruseella ajaella muodosuvan kahden erisuuniin samalla kulmanopeudella ω 0 pyörivien kompleksisen osoiimen vekorisummana ks. 2-osan kalvo 4 ja 3-osan kalvo 6. Analyyisissä 2-puoleisissa spekriesiyksissä esiinyvä posiiivise ja välämäömä negaiivise aajuuspari voidaan ehkä nähdä parhaien ässä valossa. Usein riiää, eä arkasellaan vain posiiivisia aajuuksia s. 1-puoleinen spekri, jolloin 2-puoleisen ampliudispekrin arvo on kerroava kahdella. Sini- ja kosinisignaalin spekri sisälävä diskreei komponeni vain posiiivisella ja negaiivisella kulmaaajuudella. Ampliudispekri samoja, mua vaihespekri eroava vaihe/viiveero näkyy vaihespekrissä; eho on aina viipeesä riippumaon. DSB ja AM-modul. spekrissä näkyy konvoluuio kanoaallon ja sanoman spekrien välillä s. infon spekri siiryy aajuuksille ±ω 0. Tieoliikenneekniikka I A Kari Kärkkäinen Osa

6 Sinimuooise signaali kompleksisena osoiinesiyksenä e ± jω 0 cos ω0 ± j sin ω0 Tieoliikenneekniikka I A Kari Kärkkäinen Osa 3

7 Sinin ja kosinin spekri viivaspekrejä Sini parion funkio Sinimuooisen signaalin keskimääräinen eho ½A 2 Nähdään: Viivaspekrissä vain 2 ermiä muilla periodisilla signaaleilla yleensä määrä. Ero ilmenee vain vaihespekrissä vaihe/viive-ero ei vaikua ehon jakauumiseen aajuusalueessa. Kosini parillinen funkio Tieoliikenneekniikka I A Kari Kärkkäinen Osa

8 Funkion siiro -akselilla Spekrien esiämisessä arviaan usein ns. funkionsiiroominaisuua Huom. kuvissa funkion argumenien merki. Konvoluuio sanomasignaalin spekrin ja kanoaallon spekrin välillä arkoiaa käyännössä kanaaajuisen baseband sanomasignaalin spekrin siirymisä nollaaajuuden ympärisösä posiiiviselle ja negaiiviselle kanoaajuudelle ja ampliudispekrin keromisa luvulla ½. yf 0 Negaiivinen 0 eumerkki Posiiivinen 0 eumerkki yf + 0 f 0 yf- - 0 f Tieoliikenneekniikka I A Kari Kärkkäinen Osa

9 Nyquisin näyeenooeoreema Analogisen ja digiaalisen pulssimodulaaioiden, sekä DSP:n yheydessä operoidaan näyeiseyjen signaalien kanssa. Nyquisin näyeenooeoreeman mukaan on oeava näyeiä vähinään kaksinkeraisa kaisanleveyä vasaavalla nopeudella f s 2W, W informaaion kaisanleveys laskosumisvirheen aliasing välämiseksi palaueaessa signaalia alkuperäiseen analogiseen muooonsa ideaalisella alipääsösuodaamalla. Ideaalisen LPF:n minimikaisanleveys on W. Tieoliikenneekniikka I A Kari Kärkkäinen Osa

10 Laskosumisen aliasing synyminen Alias näyeenoosa johuvaa, suodaus ok Alias LP-suodaimen epäideaalisuudesa johuvaa, näyeisys ok Tieoliikenneekniikka I A Kari Kärkkäinen Osa

11 Spekrin kaisanleveyden määrielmiä Aikarajoieun signaalin kaisanleveys on aina, vaikka suurin osa läheysehosa onkin keskiyny kanoaaloaajuuden lähisölle. Asia hankaloiaa kaisanleveyden määrielyä. Spekrin kaisanleveyden määrielyapoja jakuvalle ai diskreeille spekrille: Huom. sama määrielyperiaaee sopiiva myös viivaspekreille. Tieoliikenneekniikka I A Kari Kärkkäinen Osa

12 Fourier-muunnoksen ominaisuuksia Spekrin laskennassa on usein ärkeää lineaarisuusoleuksen voimassaolo, muuen laskena vaikeuuu oleellisesi Tieoliikenneekniikka I A Kari Kärkkäinen Osa

13 Fourier-muunnoksen ominaisuuksia Tieoliikenneekniikka I A Kari Kärkkäinen Osa

14 Fourier-muunnospareja Tieoliikenneekniikka I A Kari Kärkkäinen Osa

15 Fourier-muunnospareja Tieoliikenneekniikka I A Kari Kärkkäinen Osa

16 Rec- ja Sinc-funkio eri muunnosalueissa Muuamia esimerkkejä spekrien muodosumisesa: Opeus: Signaali ei voi olla samanaikaisesi sekä aikarajoieu eä aajuus- Rajoieu. Pyriäessä äärellisen kaisanleveyden signaaleihin jouduaan käyämään ääreömän kesoisia signaaleja. Vr. Heisenbergin epäarkkuusperiaae fysiikassa, joka ilmaisee, eei hiukkasen paikkaa ja nopeua impulssimomenia voida miaa samanaikaisesi mielivalaisen arkasi, s. v h/2π 2π. Tieoliikenneekniikka I A Kari Kärkkäinen Osa

17 Muuamia Fourier-muunnospareja graafisesi esieynä Esim. AWGN-kohina ACF ja PSD ova Fourier-muunnos pareja Tieoliikenneekniikka I A Kari Kärkkäinen Osa

18 Askelfunkion spekri Tieoliikenneekniikka I A Kari Kärkkäinen Osa

19 Periodisen ja näyeiseyn signaalin spekri Tieoliikenneekniikka I A Kari Kärkkäinen Osa

20 Kerolasku ja konvoluuio spekrin laskennassa Opeus: Aikakakaisun kosinin spekri levenee, eli oheisessa kuvassa impulssifunkio muuuu kapeaksi sinc-funkioksi. Tieoliikenneekniikka I A Kari Kärkkäinen Osa

21 Gibbsin ilmiö Signaalin kakaisun aikaikkunoinnin vaikuus spekriin näkyy ns. Gibbsin oskillaaioilmiönä johuu Fourier-sarjan epäasaisesa konvergenssisa epäjakuvuuskohdassa. Asiaan örmäään mm. signaalinkäsielyssä. Tieoliikenneekniikka I A Kari Kärkkäinen Osa

22 Kompleksiarvoinen 3D-spekri sin c100 cos2π θ Spekri DSB-moduloidulle signaalille: Alkuvaihekulma θ kosinin sisällä näkyy vain näiden reunajämien pyörähämisenä oiseen asenoon, s. se vaikuaa vain vaihespekriin, eikä ampliudispekriin. Tieoliikenneekniikka I A Kari Kärkkäinen Osa

23 Ampliudispekri 3D-spekrin iseisarvo Huomaa FFT:n laskennassa kakaisun vuoksi synyvä Gibbsin ilmiö Bamanin korva. Tieoliikenneekniikka I A Kari Kärkkäinen Osa

24 Vaihespekri 3D-spekrin vaihekulma-arvo Tieoliikenneekniikka I A Kari Kärkkäinen Osa

25 KAPEAKAISTAISEN KAISTANPÄÄSTÖ-SIGNAALIN ESITYSTAVAT KOMPLEKSINEN VERHOKÄYRÄ & KANTATAAJUUSMALLI Tieoliikenneekniikka I A Kari Kärkkäinen Osa 3

26 Kapeakaisaisen kaisanpääsösignaalin esiysava Kapeakaisaiselle signaalille BW < 10% kanoaallon keskiaajuudesa, esim. BW< 100 MHz, kun f c 1GHz on olemassa käevä maemaainen esiysapa anal. & digi. modulaaio- ja simulaaioarkaseluissa kosini ja sini signaaliavaruuden kanafunkioina: Re Re Re R Re Θ an j2πfc [ e ], [ + j cos2πf + j sin2πf ] cos2πf R cos R cos 2 Re LP 1 Re [ Θ ], Im R sin[ Θ ] [ 2πf + Θ ] + Im Re C 2 Im C Im LP Im Re + C sin2πf C j R e 1 Re kapeakaisaisa kaisanpääsömoduloiua signaalia kuvaavan kompleksisen verhokäyrän LP kanaaajuinen reaaliosa I-akselin Direc ais, In-phase ais suunaan. Im kapeakaisaisa kaisanpääsömoduloiua signaalia kuvaavan kompleksisen verhokäyrän LP kanaaajuinen imaginääriosa Q-akselin Quadraure ais suunaan. R on kanaaajuisen kompleksisen verhokäyrävekorin iseisarvofunkio ja Θ on vasaava vaihefunkio, joka määriävä jokaisella ajanhekellä moduloidun ampliudi- & vaiheinformaaion arvon I/Q-asossa. Aika-akseli kohisuorassa I/Q-asoa vasaan. Kompleksisa I/Q-asoesiysä käyeään ampliudi- ja vaihemodulaaioiden havainnolliseen esiämiseen informaaion näkyessä kompleksisen verhokäyrän LP omaavana alipääsöluoneisena kanaaajuisena signaalina 3D-käyränä. Tieoliikenneekniikka I A Kari Kärkkäinen Osa Im C, jθ j 2 Vekorin kärki piirää ajan funkiona kanaaajuisen kompleksinen verhokäyräsignaalin LP

27 Kapeakaisaisen kaisanpääsösignaalin esiysava Esim. Simuloinneissa esiinyvä I & Q-kanaaajuus -komponeni, joka kuvaava siiryvää informaaioa kompleksisen verhokäyrän LP Re & Im-osa. R 2 ai + a 2 Q Kanoaalomoduloiu kapeakaisainen kaisanpääsösignaali muodosuu näiden sinimuooisen komponenien summasa. Tieoliikenneekniikka I A Kari Kärkkäinen Osa

28 Tieoliikenneekniikka I A Kari Kärkkäinen Osa Kapeakaisaisen kaisanpääsösignaalin esiysava Kompleksisa verhokäyräesiysä hyödynneään järjeselmäanalyyseissa ja ieokonesimuloinien ns. kanaaajuisessa baseband-mallissa riiää eä näyeiseään kaisanleveyeen eikä kanoaaloaajuueen verrannollisesi. Samaa kapeakaisaisaisen kaisanpääsösignaalien kanaaajuusmallia voidaan sovelaa myös kohinan ns. kapeakaisaiselle kohinamallille. n LP kapeakaisaisen kohinaprosessin alipääsöluoneisen kanaaajuusmallin kompleksinen verhokäyrä. c ja s ova kvadrauurise kohinaprosessi. [ ] [ ] Φ + + Φ Φ Φ + Φ an 2 cos sin cos sin2 cos2 Re R f R n R n R n e R n j n n f n f n e n n c s s c s c j s c LP s c f j LP π π π π Huom! Näiä signaali- ja kohinamalleja arviaan mm. kursseissa: langaon ieoliikenne I-III, ieoliikeneen simuloinni ja yökalu.

29 Kapeakaisaisen kaisanpääösignaalin esiysava Huom! NBNW-signaalissa apahuu saunnaisia ampliudi- ja vaihemuuoksia, koska R ja Φ sokokasisia saunnaismuuujia. Huom. edellisen kalvon kaavoissa oleeu, eä kuvan 5.12 mieliv. alkuvaihe θ 0 Tieoliikenneekniikka I A Kari Kärkkäinen Osa

30 Tieoliikenneekniikka I A Kari Kärkkäinen Osa Kapeakaisaisen kaisanpääösignaalin esiysava Kompleksien alipääsöluoneisen baseband-signaalin LP vase y LP impulssivaseen h LP omaavalle järjeselmälle noudaaa ao. lainalaisuuksia arviaan mm.ieokonesimuloinneissa: [ ] [ ] [ ], 2 Re 0 2 f X f H f Y f X f H f Y h h y h h y j h j h y e h h h j h h j y j y y h y h y LP LP LP I Q Q I Q Q Q I I I Q I Q I LP f j LP Q I LP Q I LP Q I LP LP LP LP π Kaisanpääsösuodaime voidaan siis mallinaa kompleksisina baseband-vasineinaan