Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13

Transkriptio

1 4/3/3 Osa. Differen0aaliyhtälöt Differen0aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk0on derivaa?a. Esim: dx = x2 f x + f xy 2 2m d 2 ψ = Eψ dx 2 Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais Differen0aaliyhtälöt voidaan jakaa luokkiin usealla eri tavalla. Tässä esitellään tärkeimmät jao?elut. Muu?ujien määrä: Tavallisessa differen0aaliyhtälössä ( ordinary differen0al equa0on ) on vain yksi muu?uja, esim: dx 2 + y2 dx + ysin = 0 Osi)aisdifferen0aaliyhtälössä ( par0al differen0al equa0on ) on useampia muu?ujia, esim: 2 f dx + 2 f f 2 dz = 0 2 Luoki?elua: kertaluku Differen0aaliyhtälön kertaluku vii?aa siihen kuinka monennen asteen derivaa?oja siinä esiintyy.. kertaluku, esim: F = m dv 2. kertaluku, esim: 2 2m d 2 ψ = Eψ dx 2 Fysiikassa & kemiassa esiintyy harvoin 3. tai korkeamman kertaluvun differen0aaliyhtälöjä. Luoki?elua: lineaarisuus Differen0aaliyhtälö on lineaarinen jos siinä esiintyvää funk0ota ja sen derivaa?oja ei ole korote?u potenssiin (ja niitä ei myöskään esiinny funk0oiden argumen?eina yms). Lineaarinen y''+ 3y' 6x 0 Epälineaarinen y'' y'+ y 2 = 0

2 4/3/3 Luoki?elua: homogeenisuus Tavallinen differen0aaliyhtälö y:n suhteen on homogeeninen jos kaikissa termeissä esiintyy y tai sen derivaa?a (huom: tämä määritelmä on epätäsmällinen mu0a ymmärre0ävä). Homogeeninen y'' y'cos+ y 2 sin = 0 Epähomogeeninen y'' y'cos+ y 2 sin = cos y'' y'cos+ y 2 sin = 3 Differen0aalyhtälöiden ratkaiseminen Ei ole mitään yleistä tekniikkaa jolla mikä tahansa differen0aaliyhtälö voidaan ratkaista. Ratkaisumenetelmät edelly?ävät usein varsin kehi?yneitä matemaassia menetelmiä (ei ehditä ope?aa tällä kurssilla). Poikkeuksen muodostavat separoituvat differen0aaliyhtälöt, jotka voidaan muokata muotoon fdx = g(y). Nämä voidaan ratkaista suoraan integroimalla (mikäli sekä f e?ä g osataan integroida). Esimerkki. asteen kemiallisen alkeisreak0o A tuo?eet: d [ A] = k [ A] Yhtälö on separoituva, koska se voidaan kirjoi?aa muotoon: d [ A] [ A] = k Jolloin saadaan d [ A] [ A] = k ln[ A] = kt + C [ A] = e kt+c = e C e kt Äskeiselle differen0aaliyhtälölle saa0in laske?ua yleinen ratkaisu; [A]=e C e - kt. Koska vakio C voi o?aa mitä tahansa arvoja, ratkaisuja on ääretön määrä. Piirre?ynä ne muodostavat käyräparven. Jo?a vakiot saadaan määrä?yä, tarvitaan differen0aaliyhtälön lisäksi (yksi tai useampi) alkuarvo tai reunaoehto. Esimerkissä tämä voisi olla vaikkapa 0eto e?ä konsentraa0o ajanhetkellä t=0 on, jolloin saadaan: = e k 0+C e C = Eli [A]= e - kt. 2

3 4/3/3 Alkuarvotehtävä Yleises0 o?aen n. kertaluvun differen0aaliyhtälön yleisessä ratkaisussa on n kappale?a määräämä?ömiä vakioita, joiden ratkaisemiseen tarvitaan n kapale?a alkuarvoa/reunaehtoa. Differen0aaliyhtälö + alkuarvot = alkuarvotehtävä. Separoituvat differen0aaliyhtälöt Separoituvan differen0aaliyhtälön ratkaiseminen palautuu integraalien laskemiseen, eikä siihen näinollen tarvita erityistaitoja. Alkuarvot voi syö?ää joko integroin0rajoihin (tätä on esimerkeissä jo tehty), tai integraalit voidaan ensin laskea määräämä?ömänä, jonka jälkeen alkuarvot sijoitetaan (ja integroin0vakiot ratkaistaan). Esimerkki dx + 3x2 y 2 = 0, y()= 2 separoidaan: y 2 = 3x2 dx Integroidaan: = 3x 2 dx y x3 + C x 3 + C Sijoitetaan alkuarvo y()= 2 : 2 = 3 + C 3 + C = 2 C = Eli ratkaisuksi saadaan: x 3 + 3

4 4/3/3 Ei- separoituvat diff. yhtälöt Ei- separoituvien yhtälöiden ratkaiseminen tapahtuu käytännössä usein taulukkokirjan tai muun kirjallisuuslähteen avulla. Ensin tunnistetaan yhtälön tyypi, jonka jälkeen voidaan soveltaa kirjallisuudesta löytyvää ratkaisua (jos sellainen on olemassa). Käsitellään muutamaa yksinkertaista tapausta: Lineaarinen. kertaluvun differen0aaliyhtälö Lineaarinen vakiokertoiminen 2. kertaluvun differen0aaliyhtälö Lineaarinen. kertaluvun differen0aaliyhtälö Homogeeninen tapaus: dx + p 0 Yhtälö on separoituva : pdx = pdx y ln ae pdx pdx + C (a R) Epähomogeeninen tapaus: + p r dx Yhtälö ei separoidu suoraan, mu?a ratkaisu voidaan esi?ää homogeenisen yhtälön ratkaisun avulla (johto esim. kirjan luvussa.5): Frdx + C F Missä F on ns. integroiva tekijä; F = e p dx dx 3e2 x Tässä p = ja r = 3e 2 x Lasketaan F F = e p dx = e dx = e x (Integrointivakiota ei tarvita tässä koska se on mukana alkuperäisessä ratkaisukaavassa) Nyt voidaan soveltaa kaavaa: = 3ex + C e x Frdx + C = F = 3e 2 x + Ce x Esimerkki e x 3e 2 x dx + C = 3 e x dx + C e x e x 4

5 4/3/3 Kemiallinen esimerkki Käsitellään kahden ensimmäisen kertaluvun reak0on systeemiä: A B, nopeuskerroin k B C, nopeuskerroin Hetkellä t=0 olkoon A:n konsentraa0o, ja B:n ja C:n konsentraa0ot 0. Merkintään B:n konsentraa0ota y:llä. [ ] d A [ ] d B = k [ A] = k [ A] [ B] Ensimmäinen yhtälö on separoituva, ja se ratkais0in äsken esimerkkinä, ratkaisu on: [ A] = e kt Sijoitetaan tämä tulos toiseen yhtälöön, ja merkitään lisäksi [B] = y [ ] d B = = k A + k k A t 2 0 e k [ ] k [ B] = k A 2 0 e k t y Yhtälö on nyt muodossa + p(t) r(t) + k e k t p(t) =, r(t) = k e k t + p(t) r(t) Käytetään aiemmin esiteltyä ratkaisukaavaa: F(t)r(t) + C, F(t) = e p(t) F(t) e k2t k e kt + C = k A 0 e e t = e t ( k )t e t + C Mikäli - k = 0 eli = k, saadaan: k k e 0 + C + C = k t + C e t = e t e t = (k t + C)e t Ja ase?amalla y=0 kun t=0 saadaan 0 = (k 0 + C)e 0 Ce 0 = 0 C = 0 Ratkaisun muoto riippuu nyt siitä, onko - k = 0 vai ei. 5

6 4/3/3 Mikäli - k 0 eli k, saadaan: k e ( k k )t + C e ( k )t + C k = 2 k e t e t Ja ase?amalla y=0 kun t=0 saadaan 0 = k e ( k ) 0 + C k = e 0 C = k k k k + C Sijoitetaan saatu C:n arvo y:n lausekkeeseen ja sievennetään: k k e ( k )t k k e t = k k e ( k )t k k e t = k k (e k t e t ) Yhteenvetona saa0in siis: =3k =(/3)k [A] = e k t [B] = { k te k2t, jos k = k (e k t e t ), jos k k Massatasapainosta voidaan lisäksi helpos0 vielä päätellä [C]: =k [C] = [A]-[B] 6

7 4/3/3 Vakiokertoiminen 2. kertaluvun differen0aaliyhtälö Homogeeninen tapaus: dx + a 2 dx + b 0 Yhtälön ratkaisu voidaan palau?aa polynomiyhtälön ratkaisemiseen sijoi?amalla ratkaisu- yritys e λx. Tällöin saadaan ns. karakteris0nen polynomiyhtälö: λ 2 + aλ + b = 0 Polynomiyhtälöllä voi olla joko yksi (kaksinkertainen) reaalijuuri, kaksi erillistä reaalijuurta tai kaksi erillistä kompleksiarvoista juurta. Differen0aaliyhtälön ratkaisun muoto on kussakin tapauksessa eri. Tapaus : kaksi erillistä reaaliarvoista juurta, λ ja λ 2. C e λx + C 2 e λ 2x Tapaus 2: yksi reaalijuuri λ. (C + C 2 x)e λ x Tapaus 3: kaksi kompleksiarvoista juurta, λ = p + qi ja λ 2 = p qi C e λ x + C 2 e λ 2x = C e px+qix + C 2 e px qix = e px (C e qix + C 2 e qix ) tai trigonometrisessa muodossa Eulerin kaavan avulla: e px (C [ cos(qx)+ isin(qx) ] + C 2 [ cos( qx)+ isin( qx) ]) = e px (C cos(qx)+ C 2 cos(qx)+ C isin(qx) C 2 isin(qx)) e px (C 3 (cos(qx)+ C 4 sin(qx)) missä C 3 on reaaliluku ja C 4 imaginääriluku. Ei- homogeeninen tapaus: dx + a + b r 2 dx Voidaan ratkaista monille eri r:n tapaukselle. Yleises0 ratkaisu voidaan esi?ää muodossa y h + y p missä y h on homogeenisen yhtälön ratkaisu (kuten edellä), ja y p on esimerkiksi arvaamalla saatu erikoisratkaisu. Erikoisratkaisun y p muotoja erilaisille r tapauksille voi löytää oppi- ja taulukkokirjoista (esim. oppikirjan taulukko 2.). 7

8 4/3/3 Esimerkkejä erikoisratkaisujen muodoista eri r - funk0oiden tapauksessa: r ce αx cx n ccos(ωx) tai csin(ωx) ce αx cos(ωx) tai ce αx sin(ωx) y p ke αx a 0 + a x + a 2 x a n x n a cos(ωx) + a 2 sin(ωx) e αx (a cos(ωx)+ a 2 sin(ωx)) c,α,ω ovat annettuja vakioita; k, a...a n taas kertoimia jotka ratkaistaan sijoittamalla diff. yhtälöön Esimerkki: ratkaise differen0aaliyhtälö dx x2 dx Ratkaisu: otetaan ensin homogeeninen yhtälö dx dx Karakteris0nen polynomiyhtälö on λ 2 + 3λ + 2 = 0 λ = 3± = {, 2} 2 Juuret ovat reaaliarvoisia; homogeenisen yhtälön ratkaisu on siis: y h = C e x + C 2 e 2 x Etsitään seuraavaksi erikoisratkaisu epähomogeensielle yhtälölle. Arvaamalla, pää?elemällä tai edellä esitystystä taulukosta saadaan erikoisratkaisun muodoksi toisen asteen polynomi: y p = a 0 + a x + a 2 x 2 Ratkaistaan kertoimet a 0, a, a 2 sijoi?amalla differen0aaliyhtälöön. Tätä varten tarvitaan seuraavat derivaatat: p = 2a dx 2 2 p = 2a 2 x + a dx Sijoitetaan nämä alkuperäiseen differen0aaliyhtälöön: dx x2 dx 2a 2 + 3a + 6a 2 x + 2a 2 x 2 + 2a x + 2a 0 = 2x 2 2a 2 x 2 + (6a 2 + 2a )x + (2a 2 + 3a + 2a 0 ) = 2x 2 Yhtälö voi pitää paikkansa kaikilla x:n arvoilla vain jos 2a 2 = 2 6a 2 + 2a = 0 a = 3 2a 2 + 3a + 2a 0 = 0 a 0 = 3.5 8

9 4/3/3 Erikoisratkaisuksi saa0in siis: y p = 3.5 3x + x 2 Ja yleinen ratkaisu on näinollen y h + y p = C e x + C 2 e 2 x x + x 2 9