2. Systeemi- ja signaalimallit

Transkriptio

1 2. Syseemi- ja signaalimalli Malliyyppejä: maemaainen malli: muuujien välise suhee kuvau maemaaisesi yhälöin lohkokaaviomalli: syseemin oiminojen looginen jako lohkoihin, joiden välisiä vuorovaikuuksia kuvaaan nuolin u S y u subsysem1 subsysem2 y simulaaiomalli: malli ehkä olemassa vain ieokoneohjelmana joka on ehkä jäsenney maemaaisesa ai lohkokaaviomallisa

2 Sisäänmeno, ulosulo ja häiriö Mallin vakio: syseemiparameri suunnieluparameri Mallin muuuja: ulosulo oupu y=[y 1,..., y p ] T sisäänmeno inpu, ohjaus u=[u 1,...,u m ] T voidaan valia häiriö w=[w 1,...,w r ] T ei voida valia Sisäänmenoja ja häiriöiä kusuaan ulkoisiksi muuujiksi, muia mallin muuujia sisäisiksi Dynaamisessa järjeselmässä y riippuu paisi u:sä ja w:sä myös kaikisa us, s<

3 Inpu-oupu -kuvaus ja ilayhälömalli Yleinen jakuvan ajan inpu-oupu-kuvaus on muooa gy n, y n-1,...,y, u m,...,u=0, missä a viiaa a:neen derivaaaan ja g on jokin epälineaarinen funkio SISO Muunneaan 1. keraluvun differeniaaliyhälösyseemiksi aseamalla x i :=y i, i=1,...,n Saadaan ilayhälömalli x& = y f x, u = h x, u jossa dim x=n, dim u=m, dim y=p x on mallin ila, n on mallin keraluku

4 Tila Aiemmin odeiin, eä syseemin ulosuloon y vaikuava us ja ws, s< Olisi kovin kömpelöä alleaa us ja ws kokonaisuudessaan Syseemin ai mallin ila x on sellainen informaaio, jonka uneminen yhdessä u:n ja w:n kanssa mahdollisaa syseemin ulosulon yτ laskemisen jollekin τ> Käyännössä ilalla on ärkeä merkiys esim. simuloinnissa: se on suoraan kullakin aika-askelella alleeava informaaio u y u x& = f x, u y S inpu-oupu-kuvaus exernal model y = h x, u ilamalli inernal model

5 Esiysen ero Inpu-oupu -kuvaus ei oa kanaa syseemin sisäiseen rakeneeseen Klassisen sääöeorian perusa siirofunkiolla ilmaisun lineaarisen inpu-oupu -kuvauksen analyysi aajuusasossa Tilayhälöesiys moderni lähesymisapa OR:n syny 1950-luvulla mahdollisi mm. ilaakaisinkykennän, opimisäädön, monimuuuujasäädön ja epälineaarisen mallien käsielyn sekä laajensi lineaarisen järjeselmien eoriaa merkiäväsi

6 g lineaarinen kun g. on y:n ja u:n derivaaojen painoeu summa, saadaan y u:n funkiona Laplace-muunnoksella SISO: n n 1 n 2 ans + an 1s an 2s a0 Y s = U s m m 1 b s + b s m Osamäärää kusuaan syseemin siirofunkioksi Gs Toisaala, oimimalla kuen edellä saadaan lineaarinen ilayhälömalli x& = Ax + Bu m 1 y = Cx + Du ässä dim A=nxn, dim B=nxm, dim C=pxn, dim D=pxm

7 Tasapainoilan rakaisu Valiaan u=u 0 vakio; mihin x ja y aseuva? x 0 : fx 0,u 0 =0 yksi, useia ai ei yhään rakaisua x 0,u 0 on asapainopise saionary poin usein oivoavaa saada syseemi asapainoilaan Vasaavasi asapainoilan ulosulo on y 0 =hx 0,u 0 Jos asapainoilan rakaisu on asympooisesi sabiili, y konvergoi y 0 :aan Konvergenssinopeua kuvaa aikavakio usein mielenkiinnon kannala nopea ila voidaan korvaa saaisilla approksimaaioilla Saainen vahvisus = y 0 :n herkkyys muuokselle u 0 :ssa eli g u 0 ; y 0 =hx 0 u 0,u 0 =gu 0

8 Lineaarisen syseemin sabiilisuus Asympooinen sabiilisuus: lokaali, globaali Sabiilisuus Siirofunkion Gs väliämä inpu-oupu -kuvaus on globaalisi asympooisesi sabiili joss nimiäjäpolynomin nollakohda so. siirofunkion nava sijaiseva aidosi kompleksiason vasemmassa puoliskossa kuvaus on sabiili jos jokin nava ova im-akselilla ja ne ova yksinkeraisia Huom. Laplace-muunamalla ilayhälö saadaan Gs=CsI-A -1 B+D eli nava yhyvä A:n ominaisarvoihin

9 Diskreeiaikainen lineaarinen järjeselmä Inpu-oupu -kuvauksen siirofunkioesiys Tilayhälöesiys Asympooinen sabiilisuus: siirofunkion nava A:n ominaisarvo yksikköympyrän sisäpuolella sabiilisuus: napoja yksikköympyrällä 1 k k k k k k Du Cx y Bu Ax x + = + = z U z b z b a z a z a z a z Y m m m m n n n n n n =

10 Sananen p:sä, s:sä, z:sa, q:sa ja q -1 :sä s on Laplace-ason muuuja - p on derivoinioperaaori aikaasossa sfs=l{f }, pf=f Gs on Laplace-ason olio - Gp on operaaoripolynomi Gs operoi Us:ään, Gp u:hen z on z-ason muuuja q on eeenpäinsiiro-operaaori q -1 on aaksepäinsiiro-operaaori aikaasossa z -1 Yz=Z{y k-1 }, qy=y k+1, q -1 y=y k-1 Gz on z-ason olio joka operoi Uz:aan Gq ja Gq -1 ova aikaason operaaoripolynomeja joka operoiva u:hen Huomaa eriyisesi, eä ed.kalvon sabiilisuusulos koskee z:n ai q:n polynomeja usein käyeään myös merkinää G*z -1 ai G*q -1!

11 Linearisoini Tarkasellaan epälineaarisa järjeselmää asapainopiseessä x 0,u 0 sekä poikkeamia x=x-x 0, y=y-y 0 ja u=u-u 0 päee: missä laskeuna x 0,u 0 :ssa ' ' ' ' D u x C y u B x A x d d + = + = u h D x h C u f B x f A = = = = ', ', ', '

12 ...linearisoini Enä jos järjeselmä ei ole asapainoilassa? Myös diskreeiaikainen syseemi voidaan linearisoida samaan apaan, lue app. B Linearisoini soveluu hyvin esim. sääösuunnieluun, koska akaisinkykenä vähenää mallinnusvirheiden vaikuusa Linearisoinnin pohjala voidaan ehdä johopääöksiä vain varovasi

13 Diskreoinnisa.. Tyypillinen ongelma: mikä diskreeiaikainen malli vasaa anneua jakuvan ajan mallia ai päinvasoin mahdollisimman hyvin? y k y u DT

14 ..Diskreoinnisa Malli epälineaarinen => approksimoidaan ilaa :n ympärillä kehieyllä Taylorin polynomilla => Euler, Runge-Kua jne. Malli lineaarinen: oleeaan ohjaus aika-askelella vakioksi/lineaariseksi ja rakaisaan ilayhälö => diskreein mallin syseemi- ja ohjausmariisi jouduaan laskemaan mariisieksponeni ja sen inegraali Harjoiusyö 1 lue kpl 3.9 ja app. A

15 Häiriöiden kuvaus 3 häiriöyyppiä: 1. miaavissa oleva häiriö häiriöä voidaan käsiellään kuin ohjausa esim. aurinkolämmiys: säeilyinensieei ajaellaan häiriöksi 2. ei-miaavissa oleva häiriö, jonka lähde unneaan häiriö voidaan oaa huomioon mallia konsruoiaessa esim. lenokoneen liikeyhälö vaihelu ilmavirauksissa 3. ei-miaavissa oleva häiriö esim. ulosuloon summauuva kohina

16 Signaalien kuvaus aikaasossa... Vaikka häiriö olisi miaavissa, on se pysyävä rekonsruoimaan oleellisila osilaan esim. simuloinia varen Deerminisise häiriömalli: oleeaan eä häiriö w on jonkin prosessin ulosulo: x& w = w = h f w w x x w w, u, u u w on jokin sopiva ohjaus, esim. impulssi δ sopivin syklein saadaan aikaan jakso ulosuloon Eriyisen hyvä lähesymisapa jos häiriön synymekanismi unneaan =>mallinnusongelma! Lineaarisessa apauksessa voidaan kuvaa myös siirofunkion ai operaaoripolynomin avulla w w

17 ... Sokasise malli aikaasossa Tyypillisesi häiriösignaalia ei voida ennusaa äydellisesi signaalin kuvauksessa arviaan sokasinen komponeni Yksinkerainen valina: aseeaan u w =e, missä e on valkoisa kohinaa so. auokorreloimaon saunnaismuuuja: w+d 1 w-t+...+d n w-nt=c 0 e+c 1 e-t+...+c n ent, e ja es riippumaomia kun s=/= yllä T=näyeenooväli 2π/T=näyeenooaajuus, π/t= Nyquisaajuus e:n ei välämää arvise olla normaalijakauunu

18 ...Sokasise malli aikaasossa Edellinen määriely spesifioi {w}:n sokasisena prosessina, ja kulloisekin w:n arvo ova ämän prosessin realisaaio Kyseessä on ARMA-prosessi ulosulo eli siis häiriö on lineaarisesi suodaeua valkoisa kohinaa lähesymisapa unneaan myös kohinanmuooiluna [noise shaping] Prosessin odousarvofunkio on m w = Ew ja kovarianssifunkio R w,s=ew-m w ws-m w s Prosessi on saionaarinen, jos sen ilasollise ominaisuude eivä riipu :sä ässä päee, jos e:n jakauma ei riipu ajasa

19 Signaali aajuusasossa Karakerisoidaan signaaleja niiden aajuussisällön avulla Spekri ehospekri, spekraaliieys: merk. w:n spekriä Φ w ω:llä, missä ω on kulmaaajuus yksikkönä energia/aajuus eho = energian aikajakauma, ehospekri = energian aajuusjakauma 3 määrielmää lue app. C! Signaaleille, joilla on äärellinen energia, spekri määriellään signaalin fourier-muunnoksen modulin neliönä Signaaleille, joilla on ääreön energia, spekri määriellään kakaisulle signaalille, normeeraaan kakaisun piuudella Saionaarisille sokasisille prosesseille spekri määriellään realisaaion spekrin odousarvona:

20 ...Signaali aajuusasossa merk. saionaarisen sokasisen prosessin {wkt} kovarianssifunkioa R w kt=ew+ktw Ny spekri määriellään: w k= Φ ω = T R kt e k= iωkt eli spekri kuvaa prosessin keskimääräisä aajuussisälöä Diskreeiaikaiselle signaalille spekri määriellään vain nollan ja Nyquis-aajuuden välillä syy: laskosuminen w

21 ...Signaali aajuusasossa Risispekri risiehoiheysspekri Φ yu ω: määriellään y:n Fourier-muunnoksen ja u:n Fouriermuunnoksen kompleksikonjugaain ulona saionaarisille sokasisille prosesseille se on risikorrelaaion DFT eli kuvaa keskimääriä kompleksiarvoinen Inuiiivinen ulkina: arkasellaan kaha signaalia y ja u: jos u:ssä on aajuuskomponeni cosω, on y:ssä sama komponeni Φ yu ω keraa suurempana ja vaiheelaan arg Φ yu ω jäljessä

22 Yheys aika-ja aajuusasojen välillä Olk. y=gpu+w, u ja w riippumaomia Fourier-muunneaan: Yω=GiωUω+Wω Koroeaan puoliain neliöön, normeeraaan aikavälin piuudella ja oeaan odousarvo => Φ y ω= Giω 2 Φuω+Φ w ω vasaavasi keromalla puoliain conjuω:llä ja eenemällä samoin saadaan Φ yu ω=giωφuω keroo mien prosessi G vaikuaa u:n aajuussisälöön keroo mien prosessi G liiää y:n ja u:n aajuusominaisuude

23 Diskreeiaikainen syseemi Olk. y=gqu+w, u ja w romia => ja Φ y ω= G T e iωτ 2 Φ u ω+φ w ω Φ yu ω=g T e iωτ Φ u ω Näyeenooväliä T vasaava siirofunkio ARMA-prosessin Cq/Dq spekraaliiheys on näinollen Ce iωτ 2 / De iωτ 2 Φ e ω vasaavasi jakuva aika Φ e ω on valkoiselle kohinalle var e 2 Specral Facorizaion: jos anneu spekri on ω 2 :n raionaalifunkio, voidaan aina löyää siä vasaava sabiili syseemi Gp eräs idenifioinilähesymisapa