Lineaaristen järjestelmien teoriaa II

Transkriptio

1 Lieaarise järjeselmie eoriaa II Ohjaavuus Tarkkailavuus havaiavuus Lisää sabiilisuudesa Tilaesimoii, Kalma-suodi TKK/Syseemiaalyysi laboraorio

2 Mielekiioisia kysymyksiä Oko syseemi rakeeelaa sellaie, eä siä voidaa hallia? => ohjaavuus Tarviseeko syseemi eriyisä halliaa? => sabiilisuus Mie siä halliaa? => sääöeoria/-ekiikka Mie halliaa parhaalla mahdollisella avalla? => opimisääö Miä syseemi sieluelämäsä voidaa saoa? => arkkailavuus Mie sieluelämää havaiaa? =>ilahavaisemie Kalma-suodi TKK/Syseemiaalyysi laboraorio

3 TKK/Syseemiaalyysi laboraorio Ohjaavuus Tarkasellaa jakuva aja syseemiä Määriellää se ilasiiro- ja ulosulokuvaukse,,,, u x g y u x f x = = & p R U R T T R U R T T : : η ξ

4 Määrielmiä Syseemi o ohjaava R : alueessa D hekellä 0, jos jokaisa x 0 D kohi o olemassa ohjaus u U ja ajaheki 1 0 sie eä ξ 1, 0,x 0,u=0. Jos syseemi o ohjaavissa alueessa D jokaisea ajahekeä, se o asaisesi ohjaava Jos D=R, syseemi o globaalisi ohjaava Tasaisesi & globaalisi ohjaava syseemi = äydellisesi ohjaava syseemi Ohjaavuus karakerisoi syseemi halliavuua voidaako palauaa ollailaa äärellisessä ajassa TKK/Syseemiaalyysi laboraorio

5 Ohjaavuude esaamie: uloksia Epälieaarisille syseemeille ohjaavuude oeamie vaikeaa Lieaarise syseemi: Aikaivariai lieaarie syseemi x& = y Ax = Cx o äydellisesi ohjaava, jos ja vai jos x m-mariisi Q c = [B AB A 2 B... A -1 B] ragi o =dim x, m=dim u Bu Du TKK/Syseemiaalyysi laboraorio

6 Tarkkailavuus Alu syseemi o arkkailava R : alueessa D hekellä 0, jos jokaie x 0 D voidaa yksikäsieisesi määrää havaioimalla ohjaus u U ja ulosulo η., 0,x 0,u jollaki äärellisellä aikavälillä 0, 1, missä 1 o mahdollisesi x 0 :sa ja u:sa riippuva ajaheki Jos syseemi o arkkailava alueessa D jokaisea ajahekeä, se o asaisesi arkkailava Jos D=R, syseemi o globaalisi arkkailava Tasaisesi & globaalisi arkkailava syseemi = äydellisesi arkkailava syseemi Mia sille, voidaako syseemi ila rekosruoida ulosulosa TKK/Syseemiaalyysi laboraorio

7 Tarkkailavuude esaamie Epälieaarisille syseemeille ei yleisiä keioja Lieaarise syseemi: Aikaivariai lieaarie syseemi x& = Ax Bu y = Cx Du o äydellisesi ohjaava, jos ja vai jos x p-mariisi Q o = [C* A*C* A* 2 C*... A* -1 C*] ragi o =dim x, m=dim u * o hermioii TKK/Syseemiaalyysi laboraorio

8 Diskreeiaikaise syseemi Tulokse yleisyvä myös diskreeiaikaisii syseemeihi Mua: ohjaavuusmariisi ragieho o välämäö vai jos syseemimariisi A o kääyvä Esim. syseemi x 1 1=0 x 2 1=x 2 u o selväsi ohjaava, mua Q c = [B AB]=[0 0;1 1], joka ragi = 1 TKK/Syseemiaalyysi laboraorio

9 TKK/Syseemiaalyysi laboraorio Ohjaavuude ulkia Diskreeiaikaise syseemi ilayhälö rakaisu voidaa kirjoiaa muodossa 1 Du Cx y Bu Ax x = = = = = u u Q x A k Bu A x A x c k k M

10 ...ulkia Jos y Qc: ragi =, jokaie R : vekori x voidaa esiää muodossa x=q c [u-1... u0] T Eriyisesi voidaa kirjoiaa vekori -A x 0 ässä muodossa, jolloi o olemassa aiaki yksi ohjausjoo u0,...,u-1 s.e. x=0 TKK/Syseemiaalyysi laboraorio

11 Sabiilisuudesa edellee Klassise mekaiika sabiilisuuskäsiys: asapaiosa häiriy syseemi auomie käyäyymie Syseemiekie sabiilisuus: rajoieu sisäämeo saava aikaa rajoieuja ulosuloja piee muuokse sisäämeoissa saava aikaa pieiä muuoksia ulosuloissa =sisäämeo-ulosulo sabiilisuus Sabiilisuusehdo lähes sama TKK/Syseemiaalyysi laboraorio

12 TKK/Syseemiaalyysi laboraorio Tasapaioila Tarkasellaa edellä kuvaua syseemiä sekä ilasiiro- ja ulosuloskuvauksia Tila-avaruude pise x e o asapaioila, jos fx e,0,=0 kaikilla Nollaohjauksella järjeselmä pysyy asapaioilassa,,,, u x g y u x f x = = & p R U R T T R U R T T : : η ξ

13 Klassisia sabiilisuusmäärielmiä Tasapaioila x e o sabiili, jos jokaisa 0 ja jokaisa ε>o o olemassa δ >0 s.e. x x < δ ξ, x,0 x < 0 e 0 0 e ε x e o asympooisesi sabiili, jos se o sabiili ja jokaisa 0 kohi o olemassa δ 1 >0 s.e. x lim, 0x0,0 = 0 xe < δ1 ξ x e x e o globaalisi asympooisesi sabiili, jos se o sabiili ja ylläoleva päee kaikilla x 0 TKK/Syseemiaalyysi laboraorio

14 Sisäämeo-ulosulo -sabiilisuus Em. syseemi o sisäämeo-ulosulo sabiili jos jokaisa x 0 ja jokaisa M>0 kohi o olemassa N>0 sie eä jokaisella 0 päee: u < M η < N 0, 0x0, u eli lähdeäessä misä ilasa ahasa jokaise rajoieu sisäämeo ulee uoaa rajoieu ulosulo 0 TKK/Syseemiaalyysi laboraorio

15 Lieaarise syseemi Tarkasellaa lieaarisa aikaivariaia syseemiä x& = Ax Bu y = Cx Du Se asapaioilaa o aia origo Koska ollaohjausa vasaava ila liike o muooa x= e A x 0 voidaa odea, eä asympooisesi sabiili origo o myös globaalisesi asympooisesi sabiili Tulos: origo o yo. syseemi sabiili asapaioila joss A: omiaisarvoja ei ole kompleksiaso vasemmassa puoliasossa ja ei useampikeraisia om. arvoja im. akselilla Origo o globaalisi asympooisesi sabiili joss A: omiaisarvoje reaaliosa ova egaiivisia TKK/Syseemiaalyysi laboraorio

16 Yheys sabiilisuuksie välillä Jos origo o em. syseemi asympooisesi sabiili asapaiopise, o syseemi sisäämeo-ulosulo sabiili Jos syseemi o sisäämeo-ulosulo sabiili ja äydellisesi ohjaava ja arkkailava, ii origo o järjeselmä asympooisesi sabiili asapaiopise ei odisea Päevä myös diskreeiaikaisille syseemeille Sabiilisuuskrieerissä vase puoliaso korvaaa yksikköympyrällä TKK/Syseemiaalyysi laboraorio

17 Tilaesimoii ilaarkkailu Ogelma: määriä syseemi sisäie ila ulosulo ja syseemi malli avulla Tila miaamie kallisa, mahdooa => kosruoidaa ilaarkkailija => esimaai ilalle käyö esim. ilaakaisikykeässä Ogelmaa prosessi- ja miauskohia => Kalma-suodi keio yhdisää opimaalisesi malli ja miaus TKK/Syseemiaalyysi laboraorio

18 Tilaesimaaori Tarkasellaa lieaarisa kohiaoa syseemiä x& = Ax Bu Syseemi v& z y = Cx Du = Fv Gy = Mv Ny Hu Pu o yo. järjeselmä ilaesimaaori ai arkkailija observer, jos mielivalaisella alkuilalla x 0 o olemassa alkuila v 0 s.e. jos v 0 =v 0 ii z=x kaikilla > 0 ja kaikilla u avallisesi pyriää muodosamaa ii eä ise v o ila esimaai TKK/Syseemiaalyysi laboraorio

19 Täyde keraluvu arkkailija Syseemi xˆ& o ed. järjeselmä äyde keraluvu arkkailija, jos ehdosa x ˆ seuraa kaikilla >0 ja 0 = x x ˆ = x 0 kaikilla u Jos dimesio o pieempi, puhuaa redusoidu keraluvu arkkailijoisa miimikeraluvu arkkailija dimesio = dim x dim y Yo. arkkailija o em. syseemi arkkailija joss F=A-LC, G=L, H=B-LD L mielivalaie mariisi = Fxˆ Gy Hu, xˆ R TKK/Syseemiaalyysi laboraorio

20 ..arkkailija Tällöi arkkailija o xˆ & = Axˆ Bu L y Cxˆ Viimeisä sulkulausekea kusuaa iovaaioksi miaukse ja malli ulosulo erous Tarkkailija suuieluogelma: Valise L eli valise mie iovaaio huomioidaa Tilahavaisija syseemimariisi o A-LC Du valisemalla L sopivasi saadaa ilahavaisijalle mielivalaie dyamiikka edellyäe eä syseemi o äydellisesi arkkailava TKK/Syseemiaalyysi laboraorio

21 Kalma-suodi Edellä o oleeu, eä syseemi ja miaukse ova kohiaomia Mie ila olisi esimoiava, ku syseemi o sokasie? Tarkasellaa lieaarisa diskreeiaikaisa syseemiä x 1 = Ax Bu v y = Cx e missä covv=r 1, cove=r 2, v ja e valkoisa, keskeää riippumaoa kohiaa Exτvs T =0, Exτes=0, s>τ, Exτ=x 0, Exτ-x 0 xτ-x 0 T =Π 0 Myös ila ymmärreää sauaismuuujaksi TKK/Syseemiaalyysi laboraorio

22 Kalma-suodi Ogelma: kosruoi miause us,ys, s τ avulla esimaai x^1 1 s.e. virhee kovariassi E[x1-x^1 1 x1-x^1 1 T ] miimoiuu Tilaesimaaori: x^1 1=x^ 1Kr= Ax^ BuKy-Cx^ Tulos: Piei mahdollie kovariassi saavueaa, ku K=APC T [CPC T R 2 ] -1 Kalma-vahvisus P1=APA T R 1 -APC T [CPC T R 2 ] -1 CPA T, P0=P 0 kovariassi TKK/Syseemiaalyysi laboraorio

23 Tulkia, käyäö Rekursiivie algorimi viimeisi miaus riiää kovariassimariisi säilyää laskea kaala ärkeä iformaaio Kalma-suodi yhdisää miausdaa ja malli aama iformaaio iide luoeavuude suheessa luoeavuude miareia kohioide kovariassi skaalaua prosessi- ja ulosulodyamiikoilla suuri R 2 => piei vahvisus Käyäössä arviaa prosessi- ja miauskohia kovariasseille esimaai järkeily miaukse TKK/Syseemiaalyysi laboraorio