Luento 2. S Signaalit ja järjestelmät 5 op TKK Tietoliikenne Laboratorio 1. Jean Baptiste Joseph Fourier ( )

Transkriptio

1 Luento Jasollisten signaalien Fourier-sarjat Viivaspetri S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio Jean Baptiste Joseph Fourier (768-83) Ransalainen matemaatio ja fyysio. Esitti Fourier-sarjat teosessaan héorie analytique de la chaleur (Analyyttinen lämpöteoria) 8. S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio

2 Jasollinen (periodinen) Jasolliset signaalit Jasonaia - / / Perusjaso Amplitudi t Ominaistaajuus f =/ Signaalin ominaisuusien tarastelemisesi riittää un esitytään yhden jason pituiseen aiaväliin. Valitaan ysinertaisuuden vuosi tarasteluvälisi / t / S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio 3 Jasolliset signaalit Kahden jasollisen signaalin sisätulo, un molempien signaalien jasonaia on (tai on niiden jasonaiojen monierta) Kesimääräinen teho (indusoitu normi) S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio 4

3 Ortonormaali anta arastellaan osoitin signaaleja iπ φ () t = exp t =...,,,,,,... Osoittimen φ (t) pyörimistaajuus =: Hz asavirtaomponentti (DC) =: / Perustaajuus (. harmoninen taajuus) >: /. Harmoninen taajuus Osoittimet muodostavat ortonormaalin annan ( φ() t φl() t ) = = l l Im φ () t Re S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio 5 Ortonormaali anta Osoitetaan, että = l ( φ() t φl() t ) = l arastellaan ensin tapausta =l ( φ φl ) iπ iπl () t () t = exp t exp t dt, l iπ ( l) i π = exp t dt = exp t dt = dt = S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio 6 3

4 Ortonormaali anta arastellaan nyt tapausta l ( φ φl ) iπ iπl () t () t = exp t exp t dt, l ( ) ( exp( iπ ( l) ) exp( iπ ( l) )) ( ) ( π ( l) ) sinc( l) π ( l) ( ) iπ l iπ l = exp t dt exp t = iπ ( l) = iπ l sin = = = S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio 7 sin i ix ix ( x) = ( e e ) sinc ( x) = sin ( π x) π x sinc( x) = sin ( π x) π x Nollaohdat Raja-arvo sin ( π x) sinc( x) = = π x x =±, ±, ±, 3, SINC-funtio sin ( πx sin ) ( π x) cos( ) limx lim x π πx π = x = lim x = = πx π x π π x Hôpital s rule S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio 8 4

5 i) ii) Ortonormaali anta arastellaan jasollista funtiota v(t)=v(t+m ), m=,-,,, joa täyttää ehdot P= v() t dt < ε vt ε vt ε lim ( + ) ( ) (Neliöintegroituva/ehosignaali) äärellisessä määrässä pisteitä välillä / t / jälimmäinen ehto rajoittaa signaalin epäjatuvuusohtien määrän. t S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio 9 Ortonormaali anta Signaali, joa täyttää ehdot i) ja ii) voidaan esittää ortogonaalisen annan avulla Exponentiaalinen Fourier-sarja π vt () = vφ() t = v exp i t = = Fourier-ertoimet * = ( () φ() ) = () () ()exp φ = π v v t t v t t dt v t i t dt S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio 5

6 Esponentiaalinen Fourier-sarja On periodinen π vt () = v exp i t = vt ( + m ), m = ästä seuraa, että jasollisen signaalin perusjasolle lasettu Fourier sarja on voimassa aiilla t:n arvoilla. π π π vt ( + m) = v exp i ( t+ m) = v exp i t exp i m = = π = v exp i t = v( t) = Im π exp i m = exp( iπ m) = π Re S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio Exponentiaalinen Fourier sarja Fourier-ertoimet ovat omplesisia suureita: vastaavat perustaajuuden f =/ harmoonisia taajuusia asavirtaomponentti = vastaa signaalin esimääräistä amplitudia { v } { v } Im arg{ v} = arctan Re S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio 6

7 rigonometrinen Fourier sarja Reaaliselle signaalille Hermiittinen symmetria Käytetään tätä ominaisuutta hyväsi: {v } {v } (>) (<) rigonometrinen Fourier-sarja S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio 3 Fourier osini- ja sinisarja Fourier-ertoimet π v = v()exp t i t dt π π = vt () cos t isin t α iβ = π α = vt () cos t dt π β = vt () sin t dt ( ) sin ( ) ix e = cos x i x S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio 4 7

8 Fourier osini- ja sinisarja Fourier sini- ja osinisarja Kun v(t) on reaalinen: v = α * v = v = α + iβ ( ) Nyt voidaan irjoittaa v,v, π vt () = v exp i t = = π π = α + ( α iβ) exp i t + ( α + iβ) exp i t = π π = α + α cos t + β sin t = v -,v -, ( ) iexp ix + iexp( ix) = exp i exp( ) = sin( x) ( ( ix) ix ) S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio 5 Fourier osini- ja sinisarja arastellaan reaalista signaalia v(t) Jos pinta-ala signaalin yli on nolla, α = (β = reaaliselle signaalille) Parillinen signaali v(-t)=v(t) => β = sini-sarja häviää Pariton signaali v(-t)=-v(t) => α = osini-sarja häviää Puoliaalto symmetrinen: v(-t)=-v( /-t) Parilliset harmoniset häviävät α n =, β n =, n=,,, S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio 6 8

9 Esimeri Oloon Fourier-sarjan ertoimet Huomataan, että v(t) Joten ertoimet voidaan irjoittaa muotoon S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio 7 Rataistaan ensin integraali Esimeri sin(π l) Yllä olevaa hyödyntäen saadaan A exp( iφ ) = A = exp( iφ ) = otherwise Amplitudispetri: v Vaihespetri: arg{v } S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio 8 9

10 Viivaspetri Reaalinen jasollinen signaali voidaan esittää summana osinisignaaleja π π vt ( ) = vexp i t = v + v cos t+ arg{ v} = = Viiva spetri: Amplitudi spetri: v Vaihespetri: arg{v } v v v v v arg{ v } arg{ v } f f f f arg{ v } f f f f arg{ v } S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio 9 Parsevalin teoreema Signaalin esimääräinen teho / P= v() t dt = v / = - - S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio

11 Viivaspetri ehospetri v v v ehospetrin ertoimet, määrittävät miten signaalin esimääräinen teho on jaautunut eri taajuusille. S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio Esimeri Signaali, jossa on DC-omponentti Kesimääräinen teho Huomaa, että Joten tehon lausee voidaan viedä muotoon Osoittautuu, että S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio

12 Esimeri Rataistaan signaalin Fourier-sarjan ertoimet: Vaion viivaspetri =± ± ± sinc( ) = = Huomaa, että,,,3, S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio 3 Esimeri Sinisignaalin viivaspetri johdettiin aiemmin Signaalin v(t) viivaspetri saadaan summana Amplitudispetri: v Vaihespetri: arg{v } V V exp( iφ ) = V exp( iφ ) muutoin = = S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio 4

13 Esimeri Rataistaan signaalin teho Parsevalin teoreeman muaan / P= v() t dt v = / = joten, nyt P= v = v, + v, + v, = V + V + V = V + V = 4 4 ulos on sama uin suoraan tehon määritelmästä johdettu. S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio 5 Kellosignaali + - Esimeri 3 Signaalin DC-omponentti on (α =) Signaali on pariton, joten osinisarja häviää (α = =,,3 ) v =iβ Signaali on myös puoliaaltosymmetrinen, joten parilliset harmoniset atoavat β n =, n =,,,3,... S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio 6 3

14 Esimeri 3 Lasetaan sinisarjan ertoimet π β = vt ()sin t dt π π = sin tdt sin tdt + π π π = cos cos π + π sin( ax) dx = cos( ax) a parillinen cos( π ) = ( + cos( π )) = = π π pariton π Esponentti Fourier sarjan ertoimisi tulee tällöin v+ = iβ+ = i, v = π S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio 7 Esimeri 3 ehospetri 4/π v v 3 v 5 Vaihespetri π/ -π/ S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio 8 4

15 Esimeri 4 Pulssijono Α τ τ< Signaalilla on DC-omponentti (pulssin pinta-ala on Aτ) Signaali on parillinen (sinisarja häviää) v =α τ π π v = v()exp t t dt Acos t dt = τ S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio 9 Esimeri 4 Integroimalla saadaan τ π π v = v()exp t i t dt Acos t dt = τ A π τ π τ = sin sin π πτ πτ sin sin τ τ τ = A = A = A sinc π τ π cos( ax) dx = sin( ax) a ( x) sin =sin( x) S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio 3 5

16 Amplitudispetri Esimeri 4. τ/=. =-:; x=.; %x=au/ < A=;.5. for n=:length() v(n)=a*x*sinc((n)*x); end; v.5 bar(,v,.) xlabel('') ylabel('v_') title(['\tau/=' numstr(x)]) hold on t=-:.:; plot(t,a*x*sinc(x*t)) axis([ - -x/4 x]) hold off v τ/= S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio 3 Kataistu fourier-sarja arastellaan approximaatiota Jos v(t) täyttää ehdot i) ja ii) i) P= v() t dt < äärellisessä määrässä pisteitä t välillä / t / ii) lim ε vt ( + ε) vt ( ε) niin erosignaalin esimääräinen teho menee nollaan S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio 3 6

17 Gibbsin Ilmiö Jos signaali on epäjatuva amplitudinen, niin aselmaisessa muutosohdassa on noin 9% ylitys riippumatta N:n suuruudesta..5.5 N= -.5 N= ime S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio 33 Esimeri 5 Pulssijono Α τ τ< π τ τ v = v()exp t i t dt A sinc = vt () = vt ˆ( ) = iπ t ve = K iπ t ve K = S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio 34 7

18 Esimeri 5 Approsimaatio. τ/=. K= K=; =-K/:K/; =; x=.; %x=au/ < A=; v(t) for n=:length() v(n)=a*x*sinc((n)*x); end; t t=-*:.:*; vhat=; for n=:length() vhat=vhat+v(n)*exp(i**pi*(n)/*t); end; plot(t,vhat) xlabel('t') ylabel('v(t)') title(['\tau/=' numstr(x) ' K=' numstr(k)]) v(t) τ/=. K= t S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio 35 S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio 36 8