DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 3, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset

Transkriptio

1 DEE- ineaarise järjeselmä Harjoius 3, harjoiusenpiäjille arkoieu rakaisuehdoukse Ennen kuin mennään ämän harjoiuksen aihepiireihin, käydään läpi yksi huomionarvoinen juu Piirianalyysin juuri suorianee opiskelija saaava ihmeellä, miksi sähköpiiriehäviä rakaisaan ällä kurssilla differeniaaliyhälöiden avulla Miksi vaihosähköehäviä ei hoidea osoiinlaskennalla, kuen ehiin Piirianalyysissä? Vasaus ihmeelyyn on siinä, eä osoiinlaskennalla pysyään aklaamaan vain jakuvuusilan (seady-sae) vaihosähköapaukse, joissa sähkösuuree ova sinimuooisia Jos vaihosähköpiirissä jänniee ja virra muuuva ei-sinimuooisesi, ai jos arkasellaan eriyyppisiä hekellisiä häiriöilaneia (ransieneja), osoiinlaskenaa ei voida käyää Tällöin rakaisu on aina haeava differeniaaliyhälöiden avulla Adjekiivi homogeeninen ja epähomogeeinen arkoiava differeniaaliyhälöiden apauksessa samaa asiaa kuin differenssiyhälöiden apauksessakin Homogeenisessa differeniaaliyhälössä kaikki nollasa poikkeava ermi sisälävä rakaisavan muuujan Epähomogeenisessa differeniaaliyhälössä on sen sijaan vähinään yksi nollasa poikkeava ermi, joka ei sisällä rakaisavaa muuujaa [ylimääräisä yleisieoa harjoiusenpiäjille] Differeniaaliyhälöillä kuvaaan jakuva-aikaisen järjeselmien oiminaa Jakuvaaikainen arkoiaa siä, eä minkä ahansa kahden ajanheken välisä löyyy aina ääreön määrä ajanhekiä Aika on ny siis jakuva suure eikä muuu diskreeein aikavälein kuen diskreeiaikaisissa järjeselmissä Tarkasellaan differeniaaliyhälöä 4 4 && y + y& + = e -, jossa symbolin yläpuolella oleva pise arkoiaa aikaderivaaaa Kun haeaan yhälölle rakaisua, esiään sellaisa ajasa riippuvaa ermiä y, joka oeuaa kyseisen yhälön Haeaan siis sellaisa y():ä, jolle päee: "Kun y derivoidaan kahdesi ajan suheen, summaaan siihen nelosella kerrou keraalleen ajan suheen derivoiu y, ja lisäään näihin vielä nelosella kerrou y, saadaan ulokseksi e - " Yllä oleva differeniaaliyhälö on epähomogeeninen, koska siinä on nollasa poikkeava ermi, joka ei sisällä rakaisavaa muuujaa y Kyseinen epähomogeenisuusermi on ässä apauksessa e - Epähomogeenisen differeniaaliyhälön rakaiseminen noudaaa aina samaa sapluunaa: akaise ensin homogeeninen differeniaaliyhälö Jos alkuperäinen yhälö on epähomogeeninen, ee siiä homogeeninen merkisemällä epähomogeenisuusermi nollaksi Homogeeninen differeniaaliyhälö rakeaa aina sien, eä rakaisavan muuujan paikalle sijoieaan yrie e r Homogeenisen yhälön rakaisu y() (h) saadaan pääelyä karakerisisen yhälön juurisa Hae sien epähomogeenisen differeniaaliyhälön yksiyisrakaisu y() (p) epähomogeenisuusermiin perusuvalla "sivisyneellä arvauksella" 3 Epähomogeenisen differeniaaliyhälön yleinen rakaisu y() on summa homogeenisen yhälön rakaisusa ja yksiyisrakaisusa: y() = y() (h) + y() (p)

2 4 opuksi yleisen rakaisun unemaoman vakioermi rakaisaan alkuehojen avulla, jos alkuehdo on anneu ai ne pysyään pääelemään Huomaa, eä jos alkuperäinen differeniaaliyhälö on homogeeninen, yllä olevan lisan koha kaksi jää kokonaan pois Tällöin yksiyisrakaisua ei siis arvia ollenkaan, ja homogeenisen yhälön rakaisu on suoraan differeniaaliyhälön yleinen rakaisu Peruselu sille, miksi homogeeninen differeniaaliyhälö rakeaa aina yrieellä e r, on siinä, eä kyseinen ermi pysyy derivoiaessa muodolaan muuumaomana Eli suomeksi sanouna uo arkoiaa joakin sellaisa, eä ermin e r muuoksen (eli derivaaan) arvo on aina vakio keraa ermin isensä arvo [/ylimääräisä yleisieoa harjoiusenpiäjille] Ja sien vielä arinaa jakuva-aikaisen järjeselmien impulssivaseesa [johdano impulssivaseeseen] Jakuva-aikaisen järjeselmän impulssivase on vasaavanlainen järjeselmäyökalu kuin diskreeillä puolellakin: impulssivase on järjeselmän ulosulo, kun järjeselmään syöeään sisäänmenoksi impulssi ähökohaisesi myös impulssivaseen muodosaminen apahuu samalla avalla kuin diskreeillä puolella Tarviaan järjeselmää kuvaava yhälö, johon sisäänmenon paikalle sijoieaan impulssi d ja ulosulon paikalle impulssivase h Diskreeillä puolella impulssi oli yksinkerainen lukujono: d ( k) ì, k = =í î, k ¹ Jakuvalla puolella impulssin käsie on monimukaisempi, mua ise impulssivaseen muodosaminen ei kuienkaan ole merkiäväsi vaikeampaa Jakuvalla puolella impulssia kuvaaan impulssifunkiolla d(), jolle päee: ì ï d () =, kun ¹ ï í d ( ) ï ï òd () = î - Impulssivaseen muodosamisen kannala oleellisa on: d() =, > Täsä seuraa, eä impulssivasea muodoseassa rakaisavaksi ulee aina homogeeninen differeniaaliyhälö Yllä esieyjen impulssifunkion ominaisuuksien alina kohaa käyeään hyväksi, kun johdeaan alkuehoja impulssivaseelle Tämä on käsiely luennoilla, eikä siihen ässä yheydessä enää puuua Seuraavassa esieään luennolla johdeu jakuva-aikaisen järjeselmän impulssivaseen alkuehdo Tarkasellaan keraluokkaa n olevaa differeniaaliyhälöä, jossa korkeimman keraluokan ermin kerroin on yksi Tässä yheydessä on nimenomaan oleellisa, eä DY on saaeu muooon, jossa h:n korkeimman derivaaaermin kerroin on yksi:

3 - - n n n dh d h d h dh + an n n - + a n a n + ah() = bd () - - Koska yhälön ase on n, sen rakaisemiseen arviaan n kappalea alkuehoja, joka menevä seuraavasi n- ( ) ( ) dh d h d h h( ) = = = = = ja n- ( ) n- d h = b n- Jos siis DY on asea, arviava alkueho on h() = b Jos DY on asea, arviava alkuehdo ova h() = ja dh()/ = b Jos DY on 3 asea, arviava alkuehdo ova h() =, dh()/ = ja d h()/ = b Ja selvenneäköön vielä, eä esimerkiksi merkinäapa dh()/ = on äsmällisesi ilmaisuna dh ( ) dh = Û = = Kyse ei siis ole vakion h() derivoimisesa ajan suheen, vaan kyse on h:n angenin kulmakeroimesa ajanhekellä = [/johdano impulssivaseeseen] Tehävä akaisaan ensin homogeeninen yhälö (HY): d y dy - y() + 4 = y() = e r Þ r r r r e - re + e = :e r 4 Û r - r+ = KY Þ 4 ± /4 r= = HY:n rakaisun pysyy aina pääelemään karakerisisen yhälön (KY) juurisa Jos KY:n juure olisiva ollee reaalisia ja yksinkeraisia (eli oiseen aseen KY:llä olisi kaksi reaalijuura a ja b), ällöin HY:n rakaisu olisi ollu () h a b y = Ce + Ce Ny KY:llä on kuienkin moninkerainen reaalijuuri, sillä KY on oisa asea, mua sille löyyi vain yksi juuri Juuri on siis ässä apauksessa kaksinkerainen, jolloin HY:n rakaisu on () h y = C e + C e Huomaa, eä KY:n juuren moninkeraisuus lisää :ä kasvavassa poenssissa homogeenisen yhälön rakaisun keroimeksi Käyännössä ämä arkoiaa siä, eä 3

4 jos KY olisi ollu kolmaa asea, ja jos sille olisi sili löyyny vain yksi juuri a, homogeenisen yhälön rakaisu olisi kolminkeraisen juuren apauksessa () h a a a y = Ce + Ce + Ce Jos KY:n juure ova kompleksilukuja, homogeeisen yhälön rakaisuun ulee sini- ja kosiniermejä Täsä aiheesa jaeaan opiskelijoille lisäieoa harjoiuksissa Haeaan sien epähomogeenisen differeniaaliyhälön oeuava yksiyisrakaisu Koska epähomogeenisuusermi on, eli ensimmäisen aseen polynomi :sä, kokeillaan yksiyisrakaisuksi mahdollisimman yleisä muooa olevaa ensimmäisen aseen polynomia :sä, eli ermiä a + b, jossa a ja b ova vakioia: ( + ) ( + ) d a b d a b - + ( a+ b) = Û 4 - a+ a+ b= 4 4 Vakio a ja b saadaan rakaisua veraamalla :n keroimia ja vakioermejä eri puolilla yhälöä: ì a = ï 4 í b a ïî ï 4 - = Û ì a= 8 í îb = 3 y Þ () p = öydey ermi kelpaa yksiyisrakaisuksi, sillä a:n ja b:n uli olla vakioia, ja ne saaiin myös rakaisua vakioiksi Toisin sanoen löydey yksiyisrakaisu oeuaa y() paikalle sijoieuna alkuperäisen epähomogeenisen differeniaaliyhälön Täen differeniaaliyhälön yleiseksi rakaisuksi saadaan: () () () h p y = y + y = Ce + Ce akaisaan vielä vakio C ja C anneujen alkuehojen avulla Tää varen arviaan y():n aikaderivaaan lauseke, joksi saadaan dy Alkuehdoisa saadaan: = C e + C e + C e + 8 ì y = Ce + C e = ï ídy ï = Ce + Ce + C e + 8= î ìc =-3 î = 8 Û í C Differeniaaliyhälön rakaisu on siis y() =- 3e + 8e

5 Tehävä Kun epähomogeenisuusermi on siniä ai kosinia, yksiyisrakaisuksi kannaaa aina kokeilla sinin ja kosinin summaa Pelkkä sini ai kosini ei riiä, koska siniä derivoiaessa saadaan kosinia, ja kosinia derivoiaessa saadaan (miinus) siniä Kokeillaan siis yksiyisrakaisuksi ermiä asin() + bcos(), jossa a ja b ova vakioia: + + d a b d a b éë sin cos ùû é sin cos ù - ë û + éasin 4 ë + bcos û = sin - asin - bcos - éëacos - bsin ùû+ sin () cos() sin () 4 ë a b û = æ 3 ö æ sin 3 ö ç b- a + ç -a- b cos è 4 ø è 4 ø = sin Û Û () () () () () ù () Vakioille a ja b saadaan yhälöpari veraamalla sin():n ja cos():n keroimia eri puolilla yhälöä: ì 3 b- a= ï 4 í ï 3 - a - b = ïî 4 ì a =- ï 5 Û í ï 6 b= ïî 5 p 6 = Yksiyisrakaisu on siis y() sin () cos() Tehävä 3 (luenomoniseen ehävä 35) Tällainen sähköpiireihin liiyvä kykinehävä, jossa rakaisava differeniaaliyhälö piää osaa ise muodosaa, on osoiauunu opiskelijoille vaikeaksi Kuienkin ämänyyppisiä ehäviä on menneinä vuosina ollu lähes jokaisessa kurssin välikokeessa ja enissä, joen opiskelijoille kannaaa keroa, eä kyseessä on ärkeä asia Tarkoius on muodosaa virran lauseke ajanhekillä ³ s Kykin S on ällöin kiinni Kun kykin S on kiinni, piirissä on rinnankykeyinä oikosulku ( W) ja Tämän rinnankykennän kokonaisresisanssiksi o saadaan o + = = W Tämä siis arkoiaa siä, eä kun kykin S on kiinni, piiri näyää seuraavanlaisela i() E S 5

6 Kirjoieaan piiriä kuvaava differeniaaliyhälö Kirchhoffin jännielain avulla ( ³ s): d + () = : Û i() di i E i E + = Kyseessä on epähomogeeninen differeniaaliyhälö, koska siiä löyyy nollasa poikkeva ermi (E/), joka ei sisällä rakaisavaa muuujaa i() Epähomogeenisen differeniaaliyhälön rakaiseminen alkaa aina homogeenisen yhälön (HY) rakaisemisella Tehdään siis yhälösä homogeeninen, ja rakaisaan se sijoiamalla rakaisavan muuujan paikalle e r HY rakeaa aina ällä yrieellä, koska kyseessä on ainoa ermi, jonka muoo pysyy derivoiaessa muuumaomana: di + i () = i() = e r r r Þ re + e = : e r Û r + = KY Û r =- Þ () h i = De - Yllä olevassa rakaisussa KY arkoiaa karakerisisa yhälöä Ja homogeenisen yhälön rakaisu i() (h) arkoiaa siä, eä kun löydey rakaisu sijoieaan homogeeniseen differeniaaliyhälöön, yhälösä ulee idenisesi osi, eli yhälö oeuuu Haeaan sien alkuperäisen epähomogeenisen yhälön oeuava yksiyisrakaisu Koska epähomogeenisuuden aiheuava ermi ei riipu ajasa (E/), kokeillaan yksiyisrakaisuksi ajasa riippumaona yrieä B: E i() = B (vakio) Þ + B = Û E B= = i () ( p) Kokeiliin vakioyrieä B, ja rakaisuksi saaiin ajasa riippumaon ermi E/ Siksi vakioyrie oimii ässä apauksessa yksiyisrakaisuna Yksiyisrakaisu i() (p) arkoiaa siis siä, eä kun löydey rakaisu sijoieaan epähomogeeniseen differeniaaliyhälöön, yhälösä ulee idenisesi osi, eli yhälö oeuuu Epähomogeenisen duffereniaaliyhälön yleinen rakaisu on aina homogeenisen yhälön rakaisun ja yksiyisrakaisun summa akaisua kusuaan yleiseksi, koska vakio D on vielä rakaisemaa: () () () h p - E i = i + i = De + Joa yleisen rakaisun vakioermi D saadaan rakaisua, arviaan yksi alkueho Se saadaan ehävänannon iedosa, eä piirin vira i() on vakio ennen kykimen sulkemisa Tällöin vira kulkee vasuksen kaua Kirjoieaan Kirchhoffin jännielain mukainen lauseke, kun kykin S on auki: di + i () + i() = E 6

7 Huomaa, eä ehävänannossa on sanou, eä piirin vira on vakio, kun kykin S on auki Tällöin virran aikaderivaaa menee nollaksi, eikä käämin yli ole jännieä: ( + ) i = E Û i() = E + Juuri sillä hekellä, kun kykin S suljeaan, i() noudaaa vielä yllä olevaa lausekea, koska piirin vira ei voi muuua epäjakuvasi Täen ajanhekellä = s, joilloin kykin suljeaan, voidaan kirjoiaa: i E E = + = + ( ) De ) + ) E E Û D = - + ( + ) ( + ) E- E + -E = = Differeniaaliyhälön rakaisu on i() = æ ö -E -ç E e è ø + ( + ) Yrieään vielä havainnollisaa, miä löydey rakaisu arkoiaa Joa saadaan piirreyä rakaisusa kuvaaja, anneaan komponeneille lukuarvo Olkoo: = W, = 3 W, = 5 H, E = V Kun kykin on auki, vira on vakioarvossa 3 A Kun kykin suljeaan, piirin resisanssi pienenee, ja vira alkaa kasvaa opula vira asaanuu arvoon A Tehävä 4 Joa impulssivase saadaan muodoseua, arviaan järjeselmää kuvaava differeniaaliyhälö Tarviaan siis differeniaaliyhälö ulosulon y() ja sisäänmenon u() välille Kirchhoffin jännielaisa saadaan 7

8 () di u() = i() + + y() Joa impulssivase saadaan muodoseua, arviaan differeniaaliyhälö u():n ja y():n välille Nämä molemma muuuja löyyvä yllä olevasa yhälösä, mua lisäksi yhälössä on ylimääräinen muuuja i(), josa on pääsävä eroon Koska piirin komponeni ova sarjassa, kondensaaorin vira-jännie-yhälösä saadaan Cy i = & Ny järjeselmän ulosulon ja sisäänmenon välinen differeniaaliyhälö voidaan kirjoiaa lopulliseen muooonsa: = & + && + :(C) Û y() + y() + y() = u() u Cy Cy y && & C C Huomaa, eä impulssivasea muodoseaessa ulosulon korkeimman derivaaaermin keroimen on olava yksi Muussa apauksessa alkuehdo menevä väärin Kun järjeselmää kuvaava differeniaaliyhälö on iedossa, impulssivase saadaan sijoiamalla sisäänmenon u() paikalle impulssifunkio d() ja ulosulon y() paikalle impulssivase h(): h&& () + h& () h() () + C = C d Täsä edeään sien, eä arkasellaan ilannea posiiivisilla ajanhekillä ( > s) akaisavaksi ulee aina homogeeninen differeniaaliyhälö, sillä impulssifunkio saa ällöin arvon nolla Synyny homogeeninen DY rakaisaan normaaliin apaan: h&& () + h& () h() + C = h() = e r Þ r r r r e + re e + C = :e r Û r + r + C = Þ æ ö 4 - ± ç - è ø C ìr»-8873 r = Û í îr»- 7 Karakerisinen yhälö on oisa asea, ja sille löyyi kaksi erisuura reaalijuura Impulssivaseen yleiseksi rakaisuksi saadaan siis h De De = + Huomaa, eä impulssivasea muodoseaessa yleinen rakaisu saadaan aina suoraan homogeenisen yhälön rakaisuna Miään yksiyisrakaisuja ei siis impulssivasea selvieäessä arvia akaisava differeniaaliyhälö saadaan aina homogeeniseksi, kun ilannea arkasellaan ajanhekillä > s 8

9 Muodoseussa impulssivaseen lausekkeessa on vielä kaksi unemaona vakioa (D ja D ), joiden rakaisemiseen arviaan kaksi alkuehoa Koska arkaselava differeniaaliyhälö on oisa keraluokkaa, impulssivaseen alkuehdo ova ì h = ï í h& ï î C 5 ( ) = = Joa jälkimmäisä alkuehoa saadaan käyeyä, arviaan h & :n lauseke: = h& De De Täen vakioksi D ja D saadaan ì ï h = De + De = ìd»-9 í 5 ïî h & Û í ( ) =-8873De - 7De = îd» Impulssivaseen lauseke on siis: h 9e - 9e =- + Muodoseu impulssivaseen lauseke arkoiaa siä, eä jos arkaselavan piirin lähdejännie on impulssifunkio d(), kondensaaorin yli oleva jännie noudaaa muodoseua h():n lausekea Oheinen kuva havainnollisaa ilannea Tehävä 5 Muodoseaan lauseke ulosulon y() ja sisäänmenon i() välille Kirchhoffin viralaisa: () () () i = i + i = Cy &() + C () y Û y &() + y () = i () C C 9

10 Korkeina keraluokkaa olevan ulosulon derivaaaermin kerroin on jälleen saaeu ykköseksi, joa impulssivaseen alkuehdo menevä oikein Impulssivase saadaan, kun järjeselmää kuvaavaan yhälöön sijoieaan sisäänmenon i() paikalle impulssi d() ja ulosulon y() paikalle impulssivase h(): h & () + h() = δ() C C Û h& ( ) + h ( ) = δ() Kun arkasellaan posiiivisia ajanhekiä ( > s), rakaisavana on homogeeninen differeniaaliyhälö: h & () + h () = h() = e r Þ r r re + e = :e r Û r + = KY Û r =- Þ h = De - Vielä arviaan alkueho D:n määriämiseen Koska differeniaaliyhälö on asea, alkuehdoksi saadaan h() =, joen impulssivaseen lauseke on h ( ) = De = Û D = Þ h e - = Muodoseu rakaisu arkoiaa siä, eä jos viralähde, vasus ja kondensaaori ova rinnakkain, ja jos lähdevirran muoo noudaaa impulssifunkioa, rinnankykennän yli oleva jännie noudaaa muodoseua impulssivaseen lausekea