SÄHKÖASEMAN ENSIÖPUOLEN SUUNNITTELUSSA KÄYTETTÄ- VIEN LASKENTAMENETELMIEN KEHITTÄMINEN

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "SÄHKÖASEMAN ENSIÖPUOLEN SUUNNITTELUSSA KÄYTETTÄ- VIEN LASKENTAMENETELMIEN KEHITTÄMINEN"

Transkriptio

1 aalto-yliopito tenillinen oreaoulu Eletroniian, tietoliienteen ja automaation tiedeunta Rauno Hirvonen SÄHKÖASEMAN ENSIÖPUOLEN SUUNNIELUSSA KÄYEÄ- VIEN LASKENAMENEELMIEN KEHIÄMINEN Diplomityö, joa on jätetty opinnäytteenä taratettavai diplomi-ininöörin tutintoa varten Epooa yön valvoja: Prof. Matti Lehtonen yön ohjaaja: DI Jorma Eola

2 aalto-yliopito tenillinen oreaoulu diplomityön tiivitelmä eijä: Rauno Hirvonen yön nimi: Sähöaeman eniöpuolen uunnittelua äytettävien laentamenetelmien ehittäminen Päivämäärä: Kieli: Suomi Sivumäärä: 9+69 iedeunta: Eletroniian, tietoliienteen ja automaation tiedeunta Profeuuri: Sähöaemat ja -johdot Koodi: S-8 Valvoja: Prof. Matti Lehtonen Ohjaaja: DI Jorma Eola ää työä on tutittu ähöaeman eniöpuolen uunnitteluun liittyviä laelmia, joita eeiimmän oan muodotavat materiaalien ja laitteiden eä niiden tuiraenteiden mitoitulaelmat. Näiden laelmien avulla pyritään varmitumaan iitä, että ähöaema etää riittävällä luotettavuudella ja taloudelliet näöohdat huomioon ottaen aii todennäöiet raituet, jota iihen ohdituvat raennuvaiheen ja äytön aiana. yön teoreettien perutan muodotavat lähinnä aiheeeen liittyvät SFS:n ja IEC:n tandardit eä CIGRÉ:n julaiut. Käytännön näöulma tulee puoletaan etupäää ABB Oy Sähöaemat -yiötä ja heidän vuoiymmenten aiana hanimataan oemueta ähöaemaraentamiea niin Suomea uin ulomaillain. yö tuloena on aatu oonaivaltainen uva ähöaeman eniöpuolen uunnitteluun liittyvitä täreimmitä laelmita, niiden peruteita ja toteututavoita. yön äytännön ovelluena on tehty Excel-ohjelma oioulun meaaniten ja termiten vaiututen laemiei. Saatuja tuloia voidaan hyödyntää uuien laentamenetelmien ehittämieä eä vanhojen parantamiea tavoitteenaan uunnittelun tehotaminen ja laadun parantaminen. Avainanat: ähöaema, uunnittelu, laelma, oioulu

3 aalto univerity chool of cience and technology abtract of the mater thei Author: Rauno Hirvonen itle: Development of calculation method for ubtation primary engineering Date: Language: Finnih Number of page: 9+69 Faculty: Faculty of Electronic, Communication and Automation Profeorhip: Subtation and overhead line Code: S-8 Supervior: Prof. Matti Lehtonen, Dr.Sc. (ech.) Intructor: Jorma Eola, M. Sc. (ech.) hi thei examine calculation ued for planning the primary ide of a ubtation. he eential part of thee calculation conit of dimenioning material, equipment and their upporting tructure. he purpoe of the calculation i to enure that the ubtation withtand all poible tree during the contruction period and in normal uage remaining ufficient reliability and taing account the economical apect. heoretical bai of thi thei ret motly on relevant SFS and IEC tandard a well a CIGRÈ publication. he practical apect on the other hand come mainly from ABB Oy Subtation and their many decade long experience from ubtation project in Finland and abroad. hi thei give a comprehenive picture of the mot important calculation, their bai and implementation method needed for planning the primary ide of a ubtation. A a practical application an Excel-baed program for calculating hort-circuit effect i preented. he reult of thi thei can be ued for developing new calculation method and improving the exiting one targeting enhanced deign and improved quality in ubtation engineering. Keyword: ubtation, deign, calculation, hort-circuit

4 iv Eipuhe ämä diplomityö on tehty ABB Oy Sähöaemat -yiöä opinnäytetyöi Aaltoyliopiton tenillien oreaoulun eletroniian, tietoliienteen ja automaation tiedeunnalle. Diplomityön aiheen valintaan ovat vaiuttaneet omat pyrimyeni laajentaa oaamitani ähöaeman eniöpuolen uunnitteluun työenneltyäni yli ahdenymmenen vuoden ajan ähöaeman toiiojärjetelmiin liittyviä tehtäviä. ämän liäi iinnotueni laelmien teemietä ja tietooneohjelmoinnita ovat puoltaneet aiheen valintaa. Haluan iittää työni valvojaa profeori Matti Lehtota ja ohjaajaa DI Jorma Eolaa aamatani tueta ja neuvoita tämän diplomityön teemieä. Samalla haluan lauua iitoeni myö muille Sähöaemat-yiön henilöunnalle ja työtovereille, jota ovat edeauttaneet tämän diplomityön valmitumiea ja tää uhteea varinin eniöpuolen uunnittelun eimiehelle Seppo Patolle ja uunnittelija Nil Öterholmille. Mutaaarea Rauno Hirvonen

5 v Siältö iivitelmä iivitelmä (englannii) Eipuhe Siällyluettelo Symbolit ja lyhenteet ii iii iv v vii Johdanto eoreetinen tauta 5. Yleitä Vaatimuet Oioululaelmat Oiouluvirta Oiouluvoimat Meaaniet vaiutuet ermiet vaiutuet aipuma- ja riippumalaelmat Koronalaelmat Uouojau Maadoitulaelmat Maajärityten vaiututen laenta Melun laenta eräraenne- ja perutulaelmat utimuaineito ja -menetelmät 45 4 uloet Vatauet tutimuyymyiin Mitä laelmia tarvitaan? Mitä ovat näiden laelmien tautalla olevat teoriat? Miten laelmat nyyiellään tehdään?

6 vi 4..4 Miten nyyiiä laentamenetelmiä voitaiiin ehittää? Mitä valmiita laentaovellutuia marinoilta löytyy? Laentaohjelman uunnittelu IEC865 mrt.xlm - meaaniet vaiutuet putille IEC865 mfc.xlm - meaaniet vaiutuet öyille IEC865 tbc.xlm - termiet vaiutuet paljaille johtimille etau Jatoehity Yhteenveto 64 Viitteet 66 Liite A 68 Liite B 69

7 vii Symbolit ja lyhenteet Symbolit α tuennan vaiutuen huomioiva erroin ion tuipiteen voimaan β tuennan vaiutuen huomioiva erroin ion raitueen ɛ lineaarinen lämpöpitenemierroin γ tuennan huomioiva erroin ion ominaitaajuuteen γ z oioulupiirin impedanin vaiheulma täreyerroin eimieen voimaan κ oiouluvirran yäyerroin µ 0 tyhjiön permeabiliteetti ν, ν 3 upituvoiman laennaa äytettäviä ertoimia ω ulmataajuu ρ painovoima pinta- ja pituuyiöä ohden ρ E maaperän reitiiviyy σ g ion oman painon aiheuttama taivuturaitu σ m ion taivuturaitu oioulua σ oajohtimen taivuturaitu oioulua σ tot ion oonaitaivuturaitu oioulua σ w tuuliuorma σ x öyden vetoraituen vaaaomponentti τ oioulupiirin aiavaio ϕ u jännitteen vaiheulma ϑ lämpenemä tai lämpötila 3I 0 johdon tai aapelin yöttämä maauluvirta A johtimen poiipinta-ala a johtimien eilinjojen välinen etäiyy a m iojen eilinjojen välinen tehollinen etäiyy a oajohdinten eilinjojen välinen tehollinen etäiyy B magneettivuon tihey b c öyden taattinen riippuma b h öyden maimi horiontaalinen iirtymä c oajohdinten yhdyiteiden vaiutuen huomioiva erroin ion ominaitaajuuteen tai johtimen ominailämpöapaiteetti D putiion ulohalaiija tai maadoituveron halaiija E immoerroin tai ähöentän voimauu F johtimien välinen voima f ähöjärjetelmän taajuu tai ion taipuma F luonteenomainen ähömagn. voima pituuyiöä ohden öydellä F b horiontaalinen eiminen voima F d jäyän ion tuieritimeen ohdituva oiouluvoima F f öyden pudotuvoima F m ioon ohdituva voima aivaiheiea oioulua eimmäieen ioon ohdituva voima ymmetrieä oioulua F m3

8 viii F pi F F t F t F v f c g n h i i (t) I I B I b I BP i dc I dyn I E I i p I th I thr J L l l c l i L PA l L WA m m n q q 0 Q w r r E R ES r L R p0. nippuöyden upituvoima uloimmaieen oajohtimeen ohdituva voima oioulua taattinen öyivoima öyivoima oioulua oajohdinten välinen oiouluvoima nippuöydellä ion ominaitaajuu maan vetovoiman iihtyvyy johtimen oreu maan pinnata tuennan vaiutuen huomioiva erroin ion taipumaan virran hetelliarvo aluoiouluvirta ehon autta uleva virta ymmetrien oiouluvirran ataiuvirta allittu ehon autta uleva virta oiouluvirran taaomponentti dynaaminen oiouluvirta maavirta jatuvan tilan oiouluvirta yäyoiouluvirta evivalenttinen terminen oiouluvirta nimellinen lyhytaiaien virran etoiuu aiaalinen pintamomentti tuennan vaiutuen huomioiva erroin ion oman painon aiheuttamaan raitueen maadoitueletrodin pituu tuieritimien eilinjojen välinen etäiyy johtimen pituu jännevälillä eritinetjun pituu A-painotettu äänipainetao oajohdinten yhdyiteiden eilinjojen välinen etäiyy tai yhdyiteen etäiyy viereieen tuieritimeen A-painotettu äänitehotao oiouluvirran taaomponentin lämpövaiutuen huomioiva erroin maa pituuyiöä ohden oiouluvirran vaihtoomponentin lämpövaiutuen huomioiva erroin tai luumäärä elatiuuerroin tuulen paine tuuliuorma johtimen reitani pituuyiöä ohden redutioerroin maadoitureitani johtimen äde iomateriaalin myötöraja puten einämän pauu

9 ix S d ( ) S th S thr t f r pi t U U E U U P V σ V σ V F V r V r Z Z Z ES Z uunnitteluvatepetri evivalenttinen terminen oiouluvirran tihey nimellinen lyhytaiaien virrantiheyden etoiuu aia öyden putoamiheti oioulun aluhetetä oiouluvirran etoaia nimellinen oiouluvirran etoaia nipun upituheti oioulun aluhetetä öyivoiman huippuheti oioulun aluhetetä jännite maadoitujännite oetujännite allittu oetujännite värähtelyn vaiutuen huomioiva erroin ion raitueen värähtelyn vaiutuen huomioiva erroin oajohtimen raitueen värähtelyn vaiutuen huomioiva erroin tuieritimen raitueen jälleenytennät huomioiva erroin ion raitueen jälleenytennät huomioiva erroin oajohtimen raitueen ion taivutuvatu ilmajohdon uojohtimen/pylvämaadoituen impedani maadoituimpedani oajohtimen taivutuvatu Operaattorit d dx x A B derivaatta muuttujan x uhteen oittaiderivaatta muuttujan x uhteen vetorien A ja B rititulo Lyhenteet AC DC HV MV LV 3 r vaihtovirta taavirta uurjännite eijännite pienjännite vaiheen ja maan välinen oioulu eli maaulu aivaiheinen oioulu olmivaiheinen oioulu nimelliarvo

10 Johdanto ABB Oy Sähöaemat -yiö Vaaaa toimittaa ähöaemia eri puolille maailmaa. Sähöaemat toimitetaan yleenä avaimet äteen -periaatteella, eli toimitueen uuluu aii ähöaeman raentamieen tarvittavat laitteet ja tarvieet eä työ alaen uunnitteluta aina äyttöoulutueen ati. Sähöaemien uunnittelu on Sähöaemat -yiöä jaettu areati ottaen ahteen oa-alueeeen: eniöpuoleen ja toiiopuoleen. Eniöpuolen uunnittelu vataa aieta eniöpuolen raentamieen tarvittavata uunnitteluta ja toiiopuolen uunnittelu vataavati aieta miä liittyy toiiopuoleen. oiiopuolen uunnittelu vataa liäi näiden ahden oa-alueen yhteenovittamieta eli rajapinnata. Eniöpuolen uunnittelu ootuu eä ähötenillietä että raennutenillietä uunnitteluta ja en vatuualueelle uuluu em. muaieti eniölaitteet ja -tarvieet eniölaitteiden tuiraenteet ja perutuet maadoitujärjetelmä uouojau valvomoraennu maanraennu. oiiopuolen uunnitteluun uuluu periaatteea aii muu eli toiiolaitteet, toiioaapelit, ojeaapit, jne. Liäi yllä olevata litata poieten pääoa eniölaitteiden hanintoihin liittyvitä tehtävitä uuluvat toiiopuolen uunnitteluun, oa iihen liittyviä määrityiä on yleenä eniöpuoleen verrattuna enemmän. ätä uunnittelun jaoa eniö- ja toiiopuoleen on havainnollitettu graafieti liitteeä A. Suunnitteluun liittyy oleelliena oana mitoitulaelmat, jota yhdeä taloudelliten laelmien ana toimivat perutana materiaalien, laitteiden ja raenteiden valinnalle eä varinaiten uunnitteludoumenttien teemielle. Näiden mitoitulaelmien liäi tehdään määrälaelmia, jota liittyvät mm. tarjouiin, hanintoihin ja uljetuiin. Laelmia tehdään edelleen uurea määrin äin taulainta hyväi äyttäen, miä yinertaiia tapauia onin ihan hyvä tapa. Vaieammat tapauet annattaa uitenin iirtää erilaiiin laentapohjiin (eim. Excel tai Mathcad), varinin jo ne toituvat uein. Oiein monimutaiita lautoimituita voi olla järevää tehdä jo joninlainen tietooneohjelma tai otaa ellainen, jo niitä löytyy

11 aupata ohtuullieen hintaan. Näiden valmiiden laentapohjien ja tietooneohjelmien ana pitää uitenin olla huolellinen, että yöttää lähtöarvot niihin oiein ja tulitee niiden tuloia oiealla tavalla. Moneti nämä valmiit laentapohjat ja tietooneohjelmat eivät ihan tämällieti vataa itä äytännön tapauta, mitä halutaan laea, jolloin taruu lähtöarvojen yötöä ja tuloten tulinnaa orotuu. ällöin on eniarvoien täreää tuntea myö näihin laelmiin liittyvät teoreettiet tautat. utimuen tavoite ja rajau ämän tutimuen tavoitteena on ehittää ABB Oy Sähöaemat -yiön eniöpuolen uunnittelua äytettäviä laentamenetelmiä, jota liittyvät materiaalien, laitteiden eä niiden tuiraenteiden mitoitueen ja valintaan. Laentamenetelmien ehittämiellä pyritään tehotamaan ähöaemien uunnittelua ja parantamaan en laatua. ää työä eitytään ulo aennettaviin, ilmaeriteiiin ähöaemiin eli n. uloytinlaitoiin, ja tutimuen avulla pyritään löytämään vatauet euraaviin yymyiin:. Mitä laelmia ähöaeman eniöpuolen uunnittelua tarvitaan?. Mitä ovat näiden laelmien tautalla olevat teoriat? 3. Miten laelmat nyyiellään tehdään? 4. Miten nyyiiä laentamenetelmiä voitaiiin ehittää? 5. Mitä valmiita laentaovellutuia marinoilta löytyy? eoreettiten tautojen elvittelyä työn painopite on tutimualueen ähötenilliiä laelmia, ja varinaiten laentamenetelmien ehittämieä eitytään lähinnä oiouluun liittyvien meaaniten ja termiten vaiututen laentaan. utimuen tautaa Sähöaeman laitteiden ja raenteiden on luonnollieti etettävä normaalita äytötä aiheutuvat raituet, mutta tämän liäi niiden on iedettävä myö lyhytaiaiia poieutilanteita. ällaiia poieutilanteita ynnyttävät mm. oioulut ja erilaiet ääilmiöt eä eimiillä alueilla liäi maanjärityet. Oioulut aiheuttavat uuria meaaniia eä termiiä raituia ähöaemalla. Rinnaaiia johtimia ulevien oiouluvirtojen ynnyttämät magneettientät aiheuttavat niiden välille voimavaiutuia, jota raittavat o. johtimien liäi myö

12 niihin ytettyjä laitteita ja tuiraenteita. Oiouluvirta aiheuttaa myö oioulupiiriin ytettyjen laitteiden ja johtimien voimaata lämpenemitä. Suurin oletettu oiouluvirta, niin dynaaminen uin terminenin, onin yi täreimmitä riteereitä ähöaeman laitteiden valinnaa eä niiden tuiraenteiden mitoituea. Alati liääntyvätä ähöntarpeeta johtuva ähöverojen vahvitaminen avattaa oiouluvirtoja, miä entietään liää tämän mitoituriteerin meritytä tulevaiuudea. 3 Kovat tuulet, ateet ja lämpötilavaihtelut aiheuttavat raituia ennen aiea laitteiden tuiraenteille ja näiden vaiutuet tulee ottaa huomioon lumi-, tuuli- ja jääuormia laettaea. ämänin merity tulee liääntymään tulevaiuudea ilmaton lämmeteä, oa en odotetaan liäävän ja voimitavan erilaiia poieuelliia ääilmiöitä. Poieutilanteiiin voidaan laea myö uonen. Uoeen liittyvä alama ähöjärjetelmään tai en ympäritöön iieään aiheuttaa järjetelmään jyräreunaien jännitepiiin, jona eurauena voi olla läpilyönti o. järjetelmään ytetyn laitteen erityeä. ällainen läpilyönti aattaa rioa laitteen ja aiheuttaa vian laajenemien. Uonen onin erittäin merittävä viojen aiheuttaja ähöaemilla ja en vaiutuet on otettava huomioon laitteiden valinnaa ja uojauea. Jotta näitä ilmiöitä voitaiiin äitellä ja niiden vaiutuia arvioida laelmien avulla, ne on jouduttu mallintamaan matemaattiten aavojen avulla. ähän työhön on tarvittu runaati eä teoreettita oaamita että entältä hanittua mittautietoa. Koa nämä ilmiöt ovat luonteeltaan hyvin dynaamiia ja äyttäytyvät liäi epälineaarieti, on malleja jouduttu yleenä vielä yinertaitamaan muuttamalla ne taattieen ja lineaarieen muotoon liimääräityten eä erilaiten dynaamiten ertoimien avulla. utimuen aineito ja menetelmät Lähinnä SFS:n ja IEC:n tandardien eä CIGRÉ:n julaiujen avulla on elvitetty, mitä mitoitulaelmia ähöaeman eniöpuolen uunnittelua tarvitaan eä mitä ovat näihin laelmiin liittyvät teoreettiet tautat. utimuta varten on äyty läpi muutama ABB Oy Sähöaemat -yiön teemä ähöaemaprojeti ja elvitetty, mitä eniöpuolen uunnitteluun liittyviä laelmia niiä on tehty, mii ne on tehty ja mitä menetelmiä niiä on äytetty. Myö projeteihin liittyvitä teniitä peifiaatioita on erätty tietoa aiaaiden vaatimuita näiden laelmien uhteen. ABB Oy Sähöaemat -yiön työnteijöitä haatattelemalla on erätty tietoa nyyiin äytöä olevita laentamenetelmitä ja toiveita näiden parantamiei.

13 Liäi on elvitetty, mitä uuia laentamenetelmiä vielä tarvittaiiin. utimuea on pyritty eräämään tietoa myö muilta ähöaemamarinoilla toimivilta yrityiltä. 4 Internetin ja yelyiden avulla on elvitetty, mitä valmiita laentaohjelmia marinoilta löytyy ja pyritty arvioimaan niiden oveltuvuutta ähöaemauunnitteluun. utimuen raportointi utimuen raportointi jaaantuu areati ottaen olmeen oaan: teoreettieen, äytännöllieen ja oveltavaan oaan. eoreettiea oaa elvitetään enin laelmien tarpeelliuu ja tautat, itten äytännön oaa niiden nyyinen toteutu ja viimei oveltavaa ouudea eitetään oonaan uuden laentaohjelman uunnittelu. utimuen tuloena on aatu oonaivaltainen uva ähöaeman eniöpuolen uunnittelua tarvittavita mitoitulaelmita ja niiden peruteita. utimu antaa amalla pohjan niin uuien laentamenetelmien ehittämielle uin vanhojen parantamiellein. utimuen äytännön ovellutuena on tehty Exceliin perutuva ohjelma oiouluun liittyvien meaaniten ja termiten vaiututen laentaa varten.

14 5 eoreetinen tauta. Yleitä Sähöaemalla taroitetaan ellaita ähöenergian iirto- tai jaeluveron ohtaa, joa voidaan uorittaa ytentöjä, jännitteen muuntamita tai ähöenergian iirron eittämitä tai jaoa eri johdoille []. Sähöaemata äytetään uein muitain nimityiä, uten eim. ytinaema, ytinlaito, yöttöaema ja muuntoaema, en äyttötaroitueta riipuen. Miäli ähöaeman eniöpuoli on aennettu ulo, voidaan vielä joihinin nimityiin liätä ulo-etuliite, eim. uloytinlaito. Näiä uloytinlaitoia äytetään virtajohtimina etupäää paljaita ioja ja öyiä, jota eritetään toiitaan ja maahan johtavita raenteita eritimien ja riittävän ilmavälin avulla. ällöin voidaan puhua n. ilmaeriteietä uloytinlaitoeta. Eimeri tällaieta uloytinlaitoeta on eitetty uvaa. Kuva : Kahden muuntajan uloytinlaito johdon päää. [] ää työä tullaan tutimaan juuri tämän tyyppitä ilmaeriteitä uloytinlaitota, mutta iitä tullaan uitenin jatoa äyttämään yleinimitytä ähöaema yinertaiuuden vuoi. ällaien ähöaeman eniöpuoli ootuu areati ottaen ooojaiota tai - ioita, iihen liitetyitä entitä, aeman uouojaueta ja maadoituita. Kooojaiot voivat olla joo puti- tai öyiioja ja ne varutetaan yleenä mit-

15 tamuuntajilla ja maadoituerottimilla. Kentät ootuvat puoletaan ytentälaitteita (ataiijat, erottimet, maadoituerottimet), mittamuuntajita, ylijänniteuojita eä näiden väliitä liitynnöitä. Kenttään voi liäi uulua, en äyttötaroitueta riippuen, eim. muuntaja, ondenaattori, reatori, jne. Liäi ähöaeman eniöpuolen laitteiden, uten avojohtojen ja muuntajien, liityntöjä varten voidaan tarvita n. portaaleja. Avojohtojen tapauea puhutaan tällöin pääteportaalita. 6 Seuraavaa lähdetään äittelemään edellä määritellyn ähöaeman uunnitteluun ja raentamieen liittyviä teniiä vaatimuia.. Vaatimuet Sähöenergian iirrolta ja jaelulta vaaditaan ennen aiea turvalliuutta ja luetettavuutta, mielellään vielä ohtuuhintaan. Suomea turvalliuuvaatimuet on määritellyt Kauppa- ja teolliuuminiteriö päätöeään 93/999 [3]. Sen muaan vaatimuet atotaan täyttyvän, jo uunnittelua ja raentamiea noudatetaan aiilta oin tandardeja, jota urvateniian eu UKES on vahvitanut ohjeeaan S0. ämän ohjeen muaan eeiin ähöaeman uunnittelua ja raentamita oeva tandardi Suomea on SFS 600, uurjänniteaennuet [4]. Vaia SFS 600 onin uomalainen tandardi, oveltuu e pitälle myö vientitoimituia, oa en tautalla ovat anainväliet IEC, EN ja HD -tandardit. SFS 600 tandardin perutana on eurooppalainen HD 637 -harmoniointidoumentti [5]. urvalliuuteen ja luotettavuuteen liittyy olennaiena oana etävyy. SFS 600 tandardi vaatiiin, että aennuten ja laitteiden on etettävä ennaoitavia olevat paialliet ähöiet, meaaniet, ilmatolliet ja ympäritövaiutuet. Aennuet ja laitteet eivät myöään aa aiheuttaa ohtuutonta häiriötä ympäritöön. Seuraavaa nämä SFS 600 tandardin muaiet vaatimuet on lueteltu eniöpuolen uunnittelun näöulmata atottuina ja jaoteltuina olmeen eri ategoriaan niiden vaiutualueiden muaan. A. Sähöiet vaatimuet: Järjetelmien tähtipiteen maadoitutapana on äytettävä jotain SFS 600 tandardin muaita menetelmää. Aennuten ja laitteiden on etettävä mitoitujännite eä äyttötaajuiet ylijännitteet, ytentäylijännitteet ja ilmatolliet ylijännitteet. Järjetelmä on uunniteltava ja raennettava iten, että virrat normaaleia äyttöolouhteia eivät ylitä laitteiden mitoituvirtoja tai omponenttien allittuja virtoja, jo mitoituvirtoja ei ole määritelty.

16 Aennuet on uunniteltava, raennettava ja oottava etämään turvallieti oiouluvirtojen meaaniet ja termiet raituet. Oioulun tandardin muainen etoaia on,0. Aennuet on uojattava automaattieti toimivilla laitteilla, jota ytevät poi vaiheiden väliet oioulut. Maauluia voi riittää pelä ilmaiu tähtipiteen maadoitutavata riippuen. Aennuet on uunniteltava järjetelmän mitoitutaajuudelle. Aennuet on uunniteltava iten, että oronan aiheuttamat radiohäiriöt eivät ylitä määriteltyä taoa. Maadoitujärjetelmän tulee toimia aiia olouhteia ja varmitaa ihmiten turvalliuu paioia, joia henilöillä on oieu ulea. Aennuet on uojattava uorilta alamaniuilta. B. Meaaniet vaatimuet: Aennuten, laitteiden, raenteiden ja perututen on etettävä euraavat normaalit uormitutapauet: + oman painon aiheuttama uormitu + ilmajohdon aiheuttama vetouormitu (muaan luettuna jääuorma ja tuuliuorma) laettuna uurimata johtimen jännityetä epäuotuiimmia paialliia olouhteia + aennuuormitu, joa on vähintään,0 N uuruinen tuiraenteen, irityportaalin jne. riittiimmää ohdaa + muitten uin ilmajohtojen eli taipuiien liitojohtimien eä jäyien iojen jääuorma + muitten uin ilmajohtojen eli taipuiien liitojohtimien eä jäyien iojen tuuliuorma. Aennuten, laitteiden, raenteiden ja perututen on etettävä oman painon aiheuttaman uormituen ja vetouormituen ana amanaiaieti uurin euraavita poieuelliita uormitutapauita: + ytentävoimat + oiouluvoimat + johtimen tai irityetjun ateamiet. Edelliten liäi on tuulen, ähömagneettiten raituten ja liienteen (eimerii hetellinen tie- ja rautatieliienne) aiheuttama värähtely otettava huomioon. Valmitajan on ilmoitettava laitteen etävyy värähtelyraituia vataan. 7

17 C. Ilmato- ja ympäritövaiutuia oevat vaatimuet eä erityivaatimuet: Aennuet, johon iältyy aiien laitteiden ja apulaitteiden muodotama oonaiuu, on uunniteltava iten, että ne etävät aennupaian lämpötilaa, oreutta, ilmanpainetta, oteutta, ademäärää, liaiuutta ja auringonäteilyä. Pienten eläinten ja miro-organimien aiheuttama vaara on uunnittelu- ja raennuvaiheea torjuttava eim. opivilla materiaalivalinnoilla, pääyn etämiellä eä opivalla lämmityellä ja tuuletuella. Aennuet on uunniteltava ja raennettava iten, että melutao ei ylitä viranomaiten antamia raja-arvoja. Maanjärityten vaiutuet on otettava huomioon eimiillä alueilla laitteiden valinnaa ja aennuten uunnittelua. (Suomea ei tällaiia alueita eiinny.) Nämä em. vaatimuet toimivat ii perutana ähöaeman uunnittelulle ja raentamielle. Ne ovat en vuoi hyvä lähtöohta myö tätä tutimuta ajatellen. 8 Sähöaeman tilaaja määrittelee yleenä etävyyteen liittyvät ähöiet peruvaatimuet, uten maadoitutavan, nimelliarvot, ylijänniteetoiuudet ja oiouluvirtaetoiuudet. Liäi tilaajalla voi olla tandardita poieavia vaatimuia eim. ilmatolliten ja ympäritövaiututen uhteen. Kun ähöaeman toimittaja hanii ähöaeman laitteet, uten ataiijat, erottimet, mittamuuntajat, jne., on yleenä uunnittelun tehtävänä varmitaa, että ne täyttävät nämä tilaajan määrittelemät peruvaatimuet. Laitteiden toimittajat ja viime ädeä niiden valmitajat puoletaan vataavat omien tuotteidena tandardien ja vaatimuten muaiuudeta. Sähöaeman toimittajan vatuulla on e, että näitä laitteita raennettu ähöaema oonaiuudeaan täyttää tilaajan ja tandardien muaiet vaatimuet. ämän varmitamiei tarvitaan uunnitteluvaiheea laelmia, jota liittyvät mm. ooojaiojen, tuieritimien, tuiraenteiden ja perututen mitoittamieen. Kun näitä tandardin eittämiä vaatimuia taratellaan laelmien näöulmata, huomataan että oiouluvirtoihin liittyvät vaatimuet eiintyvät niin ähöiten uin meaanitenin vaatimuten puolella. Sähöiiä vaatimuia ovat liäi alamaniulta uojautuminen, oronahäiriöt ja maadoitujärjetelmän toimivuu ellaiia aioita, jota edellyttävät joninlaiten laelmien tai taratelujen uorittamita. Meaaniia vaatimuia ovat oioululaelmien liäi aii muutin tandardia mainitut ohdat ellaiia, jota tulee ottaa laelmia huomioon. Muiden vaatimuten oalta (ategoria C) melutao ja maanjärityen vaiutuet

18 uuluvat näihin laelmia edellyttäviin aioihin. Seuraavaa lähdetään äymään taremmin läpi näihin laelmiin liittyviä teoreettiia tautoja. 9.3 Oioululaelmat Oioululla taroitetaan ähöjärjetelmän viaa, joa vähintään ai potentiaaliltaan eriuuruita tai -vaiheita ähöä johtavaa materiaalia ovat pienen impedanin autta yhteydeä toiiina. Kolmivaihejärjetelmää oioulu voi olla joo ymmetrinen tai epäymmetrinen: ymmetrinen iinä tapauea, että e äittää aii olme vaihetta ja muua tapauea epäymmetrinen. Oiouluvirta ylittää yleenä moninertaieti normaalin äyttövirran, minä vuoi e aiheuttaa uuria ähömagneettiia voimavaiutuia eä lämpövaiutuia. Laitteiden ja aennuten yyä etää näitä meaaniia ja termiiä raituia arvioidaan niiden dynaamien etovirran I dyn ja termien etovirran I thr peruteella..3. Oiouluvirta Oiouluvirran uuruu riippuu moneta eri teijätä, uten viatapaueta, oioulupiirin jännitteetä, oioulupiirin impedanita, oioulun yntyhetetä ja en etoajata. Oiouluvirran uuruu voidaan laea IEC tandardin [6] muaieti. Oiouluvirran yhteydeä puhutaan myö en ymmetriyydetä. ätä ei pidä uitenaan eoittaa edellä äiteltyyn vian ymmetriyyteen. Symmetriellä oiouluvirralla taroitetaan viavirtaa, joa ei ole taaomponenttia. Se on ii aia-aelin uhteen ymmetrinen. Vataavati epäymmetrieä oiouluvirraa taaomponentti on muana. Kolmivaiheiea viaa oiouluvirran hetelliarvo ajan funtiona voidaan eittää aavan muodoa: i(t) [ ] I b (t) in (ωt + ϕ u γ z ) + I in (γ z ϕ u ) e t/τ joa I b (t) on ajan muana vaimeneva ymmetrien oiouluvirran ataiuvirta (teholliarvo), I on aluoiouluvirta, ω on ulmataajuu, t on aia oioulun aluhetetä, ϕ u on jännitteen vaiheulma oioulun aluhetellä, γ z on oioulupiirin impedanin vaiheulma ja τ on oioulupiirin aiavaio. Yhtälön oiean puolen enimmäinen termi edutaa oiouluvirran vaihtoomponenttia ja toinen termi en taaomponenttia. I b (t) laetaan IEC tandardin, luvun 4.5.., muaieti ja e riippuu ajan liäi viavirran uuruudeta uhteea generaattorin nimellivirtaan. [7] ()

19 0 Kuvaa on eitetty aavan () muainen oiouluvirran äyrämuoto, un via tapahtuu lähellä generaattoria ja jännitteen nollaohdaa. Vian ollea auana generaattoreita, uten e ähöaemilta atottuna yleenä onin, voidaan oiouluvirran vaihtoomponentin vaimeneminen jättää huomioimatta. ällöin aavaa () I b (t) I ja oiouluvirran äyrämuoto muuttuu uvan 3 muaiei. Kuva : Oiouluvirran äyrämuoto lähellä generaattoria tapahtuvaa viaa. I on aluoiouluvirta, I on jatuvan tilan oiouluvirta, i p on yäyoiouluvirta ja A on oiouluvirran taaomponentin i dc huippuarvo. [6] Kuva 3: Oiouluvirran äyrämuoto auana generaattorita tapahtuvaa viaa. I on aluoiouluvirta, I on jatuvan tilan oiouluvirta, i p on yäyoiouluvirta ja A on oiouluvirran taaomponentin i dc huippuarvo. [6]

20 Kuvia ja 3 oiouluvirta aavuttaa huippuarvona puolen jaon uluttua vian yntyhetetä. ämä uurin mahdollinen oiouluvirran huippuarvo eli n. yäyoiouluvirta aadaan yhtälötä: i p κ I () joa κ on oiouluvirran yäyerroin. Se ottaa huomioon oiouluvirran taaomponentin vaiutuen yäyoiouluvirran uuruuteen ja e aadaan yhtälötä: κ, 0 + 0, 98e 3R/X (3) joa R on oioulupiirin reitani ja X oioulupiirin reatani. Syäyertoimen teoreettinen maimi on (un X lähetyy ääretöntä), mutta oemuten muaan e harvoin ylittää arvoa,8 uurjänniteveroia [8]. Jotta laitteet ja aennuet etäiivät nämä oiouluvirran aiheuttamat meaaniet raituet, on niiden dynaamien etovirran I dyn oltava uurempi tai yhtä uuri uin uurin mahdollinen yäyoiouluvirta i p. oiin anoen euraavan epäyhtälön täytyy olla voimaa: I dyn i p (4) Evivalenttiella termiellä oiouluvirralla I th taroitetaan oiouluvirran teholliarvoa, jolla on ama terminen vaiutu ja etoaia uin todelliella oiouluvirralla, jolla voi olla ajan muana vaimeneva taa- ja vaihtoomponentti [6]. ämä voidaan eittää aavan muodoa euraavati: 0 i dt I (m + n) I th (5) joa i on oiouluvirran hetelliarvo, I th on evivalenttinen terminen oiouluvirta, on oiouluvirran etoaia, m on oiouluvirran taaomponentin ja n vaihtoomponentin lämpövaiutuen huomioiva erroin. ätä aavata aadaan rataituna: I th I m + n (6) Jo oioulu tapahtuu auana generaattoreita, uten uvaa 3, ja vian etoaia ylittää 0,5, voidaan laelmia olettaa, että m + n, jolloin I th I [6]. Jotta laitteet ja aennuet etäiivät oiouluvirran termiet vaiutuet, on niiden nimellien termien oiouluvirtaetoiuuden oltava uurempi tai yhtä uuri

21 uin edellä laettu evivalenttinen terminen oiouluvirta. oiin anoen euraavan epäyhtälön on oltava voimaa: I thr I th r (7) joa I thr on laitteen nimellinen terminen oiouluetoiuu ja r on tätä vataava nimellinen etoaia. Yleenä tämä nimellinen etoaia on,0 IEC-tandardeia [9]. Arvot I thr ja I dyn itoo tandardeia toiiina yhtälö []: I dyn, 5I thr, 8 I thr (8) ermieen etoiuuteen palataan vielä luvua.3.4, joa äitellään oioulun termiiä vaiutuia laajemmin..3. Oiouluvoimat Biot n ja Savartin lain muaan virtajohdin ynnyttää ympärilleen magneettivuon, jona tihey riippuu virran uuruudeta, etäiyydetä tähän johtimeen eä johtimen ympärillä olevata väliaineeta. Kuvaa 4 johtimea ulema virta ynnyttää magneettivuon johtimen ohdalle. Kuva 4: Johtimea ulevan virran voimavaiutu johtimeen. F on johtimeen ohdituva voima, B on johtimen aiheuttama magneettivuon tihey johtimen ohdalla, µ 0 on tyhjiön permeabiliteetti, i (t) ja i (t) ovat johtimien virtojen hetelliarvot, a on etäiyyvetori johtimeta johtimeen, e a on tämän etäiyyvetorin uuntainen yiövetori, d ja d ovat johtimien uuntaiia pituualioita. ämän magneettivuon differentiaalinen tihey pituualion d ohdalla aadaan

22 3 yhtälötä: db µ 0 4π i (t) d e a a joa µ 0 on tyhjiön permeabiliteetti. Sitten un näiden molempien johtimien aiheuttamat magneettivuot otetaan huomioon, aadaan magneettivuon tiheydelle uvan 5 muainen eity. (9) Kuva 5: Kahden virrallien johtimen muodotama magneettienttä uvan 4 muaiea tapauea. Kuva on tehty Anoft Maxwell -ohjelman avulla. Lorenzin lain avulla aadaan puoletaan laettua differentiaalinen voima, joa ohdituu tähän pituualioon d : df i (t)d B (0) Kun tämä lauee derivoidaan B:n uhteen ja ijoitetaan iihen edellinen lauee, ottamalla liäi huomioon, että yiövetori e a a /a, aadaan voimalle toien ateen oittaidifferentiaaliyhtälö: F µ 0 4π i (t)i (t) ( a ) a 3 Johtimea uleva virta aiheutti ii voimavaiutuen johtimeen iinä ulevan virran vaiutueta. Aivan amalla tavalla johdin aiheuttaa voimavaiutuen johtimeen. Nämä johtimiin ohdituvat voimat ovat aina yhtä uuria mutta vataaimeriiä. Jo virrat ulevat amaan uuntaan, niin voimat pyrivät vetämään johtimia toiiana ohti ja jo virrat ulevat eri uuntiin, niin voimat pyrivät työntämään ne auemmai toiitaan. () Jo johtimet ja ovat poiileiaueltaan ympyrän muotoiia, uoria, yhtä pitiä ja ulevat oo pituudeltaan amalla etäiyydellä toiitaan, aadaan edellä olevita laueeeta integroimalla voiman iteiarvoi: F µ 0 π i (t)i (t) l a [ ( a + l ] ) a l ()

23 joa a on johtimien eilinjojen välinen etäiyy ja l on johtimien pituu. Jo vielä oletetaan, että a << l, ievenee aava vielä yinertaiempaan muotoon: 4 F µ 0 π i (t)i (t) l a ämä on nyt e peruaava, jota IEC tandardi [9] äyttää ähömagneettiten voimavaiututen laentaan. Kaava antaa jonin verran todellita uuremman arvon, miä mitoituen annalta on uitenin turvalliemmalla puolella. Mitä pienempi uhde a/l on, itä tarempi on tulo. Eimerii jo a/l 0,, niin virhe on illoin < 0 %. (3) ämän aavan avulla voidaan euraavaa laea 3-vaiheien vaihtoähöjärjetelmän ooojaioihin ohdituvia voimia eri viatilanteia edellyttäen tietenin, että iot ovat amaa taoa. aratellaan enin vaiheiden L ja L välitä oioulua. Kun aavaan (3) ijoitetaan aavan () muaiet vaihevirrat ottamalla huomioon, että vaihe-vaihe -viaa ne ovat yhtä uuret mutta vataaimeriet, aadaan voimille uvan 6 muaiet uvaajat. Laelmia on oletettu, että oioulu tapahtuu auana generaattorita (I b (t) I ) ja jännitteen nolla-hetellä (ϕ u 0), miä on voimien annalta pahin tilanne. Kuvata 6 nähdään, että voimat F L ja F L ovat joa heti yhtä uuria mutta uunnaltaan vataaiia. Voiman maimiarvo aavutetaan uvan muaieti puolen jaon jäleen vian yntyhetetä. Kuva 6: Kioihin vaiuttavat voimat vaiheiden L ja L välieä oioulua ajan funtiona. F L on vaiheeeen L ohdituva voima, F L on vaiheeeen L ohdituva voima, a on iojen eilinjojen välinen etäiyy ja t on voiman maimiajanohta. Kuva on tehty Excel-ohjelman avulla. Aivan amalla periaatteella voidaan laea voimat ymmetrieä, 3-vaiheiea oioulua. ää on uitenin muitettava ottaa aiien vaiheiden einäiet voimavaiutuet huomioon euraavien aavojen muaieti:

24 5 F L (t) µ [ 0 i L (t)i L (t) + i ] L(t)i L3 (t) l π a F L (t) µ 0 π [i L(t)i L3 (t) i L (t)i L (t)] l a F L3 (t) µ [ 0 i L (t)i L3 (t) + i ] L(t)i L3 (t) l π a (4) (5) (6) Näiden aavojen avulla aadaan voimille uvan 7 muainen äyrätö. Kuva 7: Kioihin ymmetrieä oioulua vaiuttavat voimat ajan funtiona. F L on vaiheeeen L ohdituva voima, F L on vaiheeeen L ohdituva voima, F L3 on vaiheeeen L3 ohdituva voima, a on iojen eilinjojen välinen etäiyy ja t on voiman maimiajanohta. Kuva on tehty Excel-ohjelman avulla. Kuvaa 7 on oletettu, että oioulu tapahtuu auana generaattorita (I b (t) I ) ja yntyy hetellä, un vaiheen L jännite on nolla (ϕ ul 0). ämä ei uitenaan ole voimien annalta e pahin tilanne, minä voi todeta maimivoimia eittävätä äyrätötä uvaa 8. Näitä äyritä nähdään, että pahimmaa tilanteea uurin voima ohdituu eimmäieen vaiheeeen ja illoin, un ϕ ul 75 ± n90, joa n ±0, ±, ±,... ääin tapauea on elvää, että aiien voimien umman on joa hetellä oltava nolla, minä voi myö todeta uvata 7. Rataiemalla ai- ja olmivaiheiia oiouluia vaiheiiin ohdituvien voimien laueeet (3) (6) voidaan voimille muodotaa yleinen omponenttimuodoa oleva eity, jota on myöhemmin hyötyä arvioitaea oioulun aiheuttamia meaaniia vaiutuia luvua.3.3: F (t) F 0 + F ω (t) + F } {{ } g (t) + F ω (t) } {{ } jatuva vaimeneva (7)

25 joa F 0 on vaiovoima (voiman F (t) jatuvan tilan aritmeettinen eiarvo), F ω on toien harmonien taajuudella värähtelevä, vaimenematon voima, F g on eponentiaalieti, aiavaiolla τ/ vaimeneva voima ja F ω on veron taajuudella värähtelevä, aiavaiolla τ vaimeneva voima. [7] 6 Kolmivaiheiea oioulua eimmäien vaiheen L vaiovoiman omponentti F 0 on nolla, miä taroittaa itä, että jatuvaa tilaa oonaivoiman F (t) aritmeettinen eiarvoin on nolla. Uloimmaiia vaiheia L ja L3 näin ei ole, eiä myöään aivaiheien oioulun aiana vialliia vaiheia. Kuvita 6 ja 7 voidaan myö todeta, että olmivaiheiea oioulua vaiheen L voiman uvaaja on muodoltaan lähe amanlainen verrattuna voimien uvaajiin aivaiheiea oioulua. Kuva 8: Kioihin ymmetrieä oioulua vaiuttavien voimien maimit ulman ϕ ul funtiona. ϕ ul on vaiheen L jännitteen ulma oioulun yntyhetellä, F Lmax on vaiheeeen L, F Lmax on vaiheeeen L ja F L3max on vaiheeeen L3 ohdituva maimi voima. Kuva on tehty Excel-ohjelman avulla. IEC tandardin [9] muaan voidaan tämä uvaa 8 olmivaiheiea oioulua eiintyvä uurin voima F Lmax laea riittävän tarati aavalla: F m3 µ 0 3 π i p3 l (8) a m joa i p3 on 3-vaiheien oiouluvirran huippuarvo, l on ion tuieritinten eilinjojen välinen etäiyy ja a m on iojen välinen tehollinen etäiyy. a m a yittäielle, poiileiaueltaan pyöreille ioille; muua tapauea e täytyy määritellä IEC tandardia eitetyn äyrätön avulla. Kaavaa voidaan äyttää myö olmioon aennetuille johtimille, joa a m on illoin olmion ivun pituu. Kaava antaa hieman todellita uurempia arvoja, oiouluvirran aiavaiota, ym. teijöitä riippuen, mutta tämä on mitoituen annalta uitenin turvalliemmalla puolella.

26 Vataavati aivaiheiea oioulua voidaan vialliiin vaiheiiin ohdituva maimivoima laea aavalla: F m µ 0 π i p joa i p on -vaiheien oiouluvirran huippuarvo. 7 l (9) a m Jo oioulupiirin vataimpedani ja myötäimpedani ovat yhtä uuret, aadaan aivaiheien ja olmivaiheien oiouluvirran uhteei [6]: i p3 (0) i p 3, ja oa oiouluvoimat ovat uoraan verrannolliia viavirtojen uuruuiin, aiheuttaa olmivaiheinen via aavan muaan noin 5 % uuremmat voimat aivaiheieen viaan verrattuna. ämä olettamu pitää hyvin paiaana auana generaattorita tapahtuvia vioia. Jo vaiheio ootuu ueita oajohtimita, aiheuttaa iinä uleva oiouluvirta uurimman voiman uloimmaieen oajohtimeen. Sen maimi voidaan IEC tandardin muaan laea aavalla: F µ 0 π ( ) ip l () n a joa n on oajohdinten luumäärä, l on piin ahden perättäien yhdyiteen tai yhdyiteen ja viereien tuieritimen välinen etäiyy, a on oajohdinten välinen tehollinen etäiyy ja i p on oiouluvirran huippuarvo. ää oiouluvirran huippuarvoa määriteltäeä on yytä taritaa myö maaulut, joia aattaa impedanien uhteita riippuen eiintyä uurimmat viavirrat. Edellä mainitut ooojaiojen oiouluvoimia äittelevät laelmat edellyttivät, että johtimet olivat amaa taoa. Jo näin ei ole, voidaan yleitä aavaa () hyväi äyttäen johtaa tarateltavaan tapaueen opiva aava. ätä eimerinä uvan 9 muainen uoraulmaan taivutettu johdin, jollaita eiintyy mm. päätyentiä ja alatuloöyiä. Johtimen vaaauoraan oaan ohdituvalle oonaivoimalle voidaan johtaa lauee: ( F (x) µ x y + ) y + r 0 L 4π i ln ( r L y + ) () y + x Vataavati pytyuoralle ouudelle ohdituva oonaivoima aadaan vaihtamalla aavaa x ja y eenään.

27 8 Kuva 9: aivutettuun virrallieen johtimeen ohdituva ähömagneettinen voima. i on johtimen virta, r L on johtimen äde, x on johtimen pituu vaaauunnaa ja y on johtimen pituu pytyuunnaa..3.3 Meaaniet vaiutuet Nämä edellä uvatutut oiouluvoimat aiheuttavat raituia ja muita meaaniia vaiutuia toiaalta johtimille itelleen ja toiaalta niiden iinnity- ja tuiraenteille liittimet muaan luettuna. Näiden raituten luonne riippuu paljolti iitä äytetäänö jäyiä ioja vai taipuiia johtimia eli öyiä. Sen vuoi tämän aian äittelyin on euraavaa jaettu vataaviin oiin. Jäyät iot Laettaea jäyien iojen oiouluvoimia oletetaan, että niiden välinen etäiyy pyyy muuttumattomana oioulun aiana. ällöin meaaniia vaiutuia oevat yhtälöt ovat lineaariia ja oonaivaiututen laentaan voidaan äyttää n. uperpoitiomenetelmää. Laelmia oletetaan myö, että aiaaliia voimia ei oioulun vaiutueta eiinny. Fyiaaliena mallina laelmia äytetään taivutettua palia. Sähöaeman ooojaioina äytetään nyyään lähe poieuetta putia, jota on valmitettu alumiinieoitteeta AlMgSi. Näillä eoalumiiniputilla on iitattomia etuja öyiin ja upariputiin nähden, mutta niillä on uitenin e huono ominaiuu, että ne jäyyytenä ja eveytenä vuoi aattavat helpoti alaa vä-

28 rähdellä [7]. ämä värähtely liää ion ja en tuiraenteiden raituia ja aattaa aiheuttaa väymi- ja ääni-ilmiöitä []. 9 ämä värähtely on otettava mitoituea huomioon. Vaia olmivaiheiea oioulua uurin voima ohdituiin eimmäieen vaiheeeen, ei e ilti välttämättä merite itä, että iihen ohdituva meaaninen oonairaitu olii uurin, un tämä värähtelyn vaiutu otetaan huomioon. Kuten aavata (7) ävi ilmi, iältää voima eä veron taajuudella että veron toiella harmoniella taajuudella värähtelevät omponentit, eli 50 Hz:n veroa taajuudet 50 Hz ja 00 Hz. Jo iojärjetelmän ominaitaajuu on jompiumpi näitä tai hyvin lähellä niitä, yntyy meaaninen reonani, joa vahvitaa iojärjetelmään ohdituvia meaaniia raituia. ämä näyy uivita 0 ja, joita enimmäinen uvaa ominaitaajuuden vaiututa ion raitueen ja jälimmäinen ominaitaajuuden vaiututa tuieritimen raitueen. Näiä uvia V σ ja V F ovat ertoimia, jota ottavat ominaivärähtelyn vaiutuen huomioon ion ja vataavati en tuieritimen raitueen. Kuva 0: Kion ominaitaajuuden vaiutu vaiheiden L ja L3 iojen raitueen (erroin V σ ) olmivaiheiea oioulua. Λ on logaritminen vaimennu ja t on via-aia. [0] Kion ominaitaajuu taivutuea aadaan yhtälötä: f c γ l EJ m (3) joa γ on ion tuennan huomioiva erroin, E on ion immoerroin, J on ion aiaalinen pintamomentti, l ion tuipiteiden väli ja m on ion maa

29 0 Kuva : Kion ominaitaajuuden vaiutu vaiheiden L ja L3 tuieritimien raitueen (erroin V F ) olmivaiheiea oioulua. Λ on logaritminen vaimennu ja t on via-aia. [0] pituuyiöä ohden [9]. Jo io ootuu uoraaiteen muotoiita oajohtimita, aadaan ominaitaajuu illoin yhtälötä: f c c γ l EJ m joa c on oajohdinten yhdyiteiden vaiutuen huomioiva erroin, J on oajohtimen aiaalinen pintamomentti ja m on oajohtimen maa pituuyiöä ohden [9]. (4) Oajohtimen raituta laettaea äytetään ominaitaajuutta, joa aadaan yhtälötä: f c 3, 56 EJ l m Kaavat (3) ja (4) eivät ota huomioon ion tuiraenteiden elatiuutta, joten todelliuudea iojärjetelmän ominaitaajuu on laettua arvoa hieman alhaiempi. Eimerii valutuieritimillä on ominaitaajuuden pieneneminen todettu (5)

30 olevan n. 0 % []. ätä on yleenä etu mitoituen annalta, ellei ominaitaajuuden aleneminen johda iihen, että joudutaan reonanialueelle. Sii tämä aia täytyy ottaa huomioon, varinin jo f c /f >, 4 [8]. Järjetelmän ominaitaajuu vaiuttaa en nopeuteen reagoida uloiiin voimiin. Jo f c /f >>, euraa raitu voimaa äytännöä amanaiaieti. Jo f c /f <<, euraa raitu voimaa pienellä viiveellä ja on ooltaanin pienempi harmoniia reonanialueita luuun ottamatta. ämän viiveen aniota on vielä mahdollita pienentää raituia tehoaati ytemällä via nopeati poi, eli enneuin raitu aavuttaa huippuarvona. ämä huippuarvo aavutetaan, un oioulun yntyhetetä on ulunut ominaitaajuuden puolen jaon aia. [7] Värähtely vaiuttaa olmivaiheiea oioulua iten, että uurin raitu ohdituu eimmäieen vaiheeeen, jo uhde f c /f > ja muua tapauea uloimmaiiin vaiheiiin [0]. Suurjännitejärjetelmiä, uten ähöaemilla, tämä uhde on yleenä alle 0,5, joten uloimmaiet vaiheet joutuvat niiä illoin uuremmalle raituelle eivaiheeeen verrattuna [9]. Oiouluvoima aiheuttaa ion taipumien ja mahdollieti pienen muodonmuutoen. Laelmia allitaan muodonmuuto, joa on % tuivälin pituudeta. Näin pienen muodonmuutoen ei atota aiheuttavan vaaraa äytön turvalliuudelle, ellei e itten aiheuta allittujen jännite-etäiyyien alittumita. Muodonmuutoen alliminen mitoituea alentaa ion lujuuvaatimuia ja mahdollitaa näin taloudelliemman rataiun. ällainen muodonmuuto on uitenin äytännöä hyvin harvinaita []. Raituiin liittyvät laelmat uoritetaan tatiian einoin ottamalla dynaamiet vaiutuet huomioon erityiillä ertoimilla. Kion raitu on uurimmillaan illoin, un en taipumain on uurimmillaan. ämä maimi taivuturaitu aadaan yhtälötä: σ m V σ V r β F ml 8Z joa V σ on ominaivärähtelyn vaiutuen huomioiva erroin (. uva 0), V r on olmivaiheien jälleenytennän huomioiva erroin, β on ion tuennan vaiutuen huomioiva erroin, F m on maimivoima aavoita (8) ja (9), l on ion tuipiteiden väli ja Z on ion taivutuvatu [9]. (6) Jo yhtenäien ion tuivälit l poieavat toiitaan, tulee laelmia äyttää piintä mittaa. Miään tuiväli ei uitenaan tää tapauea aii alittaa 0 % viereien tuivälin pituudeta, oa tuivälien pituuien ero liää ion reonania. ämä voidaan välttää ataiemalla io tuieritimen ohdalta ja liittämällä ion päät yhteen taipuialla johtimella. [0]

31 Jo io ootuu oajohtimita, aadaan oajohtimeen ohdituva maimi taivuturaitu yhtälötä: σ V σ V r F l 6Z (7) joa V σ on ominaivärähtelyn vaiutuen huomioiva erroin, V r on olmivaiheien jälleenytennän huomioiva erroin, F on yhtälötä () aatava voima, l on piin ahden perättäien yhdyiteen tai yhdyiteen ja viereien tuieritimen välinen etäiyy ja Z on ion oajohtimen taivutuvatu [9]. Kion maimi oonairaitu taivutuea aadaan laemalla yhteen ion ja en oajohtimen maimiraituet: Kion oletetaan etävävän tämän onairaituen, jo: σ tot σ m + σ (8) σ tot < qr p0, (9) joa R p0, on iomateriaalin myötöraja ja q ion muodota riippuva elatiuuerroin. Eimerii putelle tämä elatiuuerroin aadaan yhtälötä: ( /D)3 q, 7 ( /D) 4 (30) joa D on puten ulohalaiija ja on puten einämän pauu. [9] Oajohtimelle allitaan pienempi raitu, jolla halutaan varmitaa, ettei oajohdinten välinen etäiyy muuttuii oioulun aiana liian paljon. Sen vuoi oajohtimelle allitaan, että σ < R p0, (3) ää edellä äiteltiin ite ioon ohdituvia raituia, mutta uten tämän luvun alua todettiin, aiheuttavat oiouluvoimat yhtä lailla raituia myö en tuiraenteille. Kioon vaiuttava oiouluvoima vääntää tuieritintä voimalla, joa aadaan yhtälötä: F d V F V r αf m (3) joa V F on ion ominaivärähtelyn vaiutuen huomioiva erroin (. uva ), V r on olmivaiheien jälleenytennän huomioiva erroin, α on ion tuennan vai-

32 3 utuen huomioiva erroin ja F m on maimivoima yhtälöitä (8) ja (9) [9]. uieritimen oletetaan etävän tämän oiouluvoiman, jo e ei ylitä valmitajan eritimelle antamia lujuuarvoja []. Voimien vertailua on otettava huomioon oiouluvoiman vaiutupiteen ja lujuuarvoia annetun voiman vaiutupiteen mahdollinen ero. ämä tehdään laemalla molempien voimien momentit eim. tuieritimen juureen ja vertailemalla näitä arvoja eenään [8]. Ueat äyttäjät vaativat tähän mitoitueen vielä liävarmuutta määrittelemällä, että oiouluvoima aa olla oreintaan 70 % lujuuarvoia ilmoitetuta arvota [7]. ätä ei IEC tandardi uitenaan vaadi. Kaavalla (3) laettua oiouluvoimaa F d äytetään mitoituperuteena myö tuieritimeä olevan ioliittimen eä iojärjetelmän teräraenteiden mitoituea [9]. Kiojärjetelmää uunniteltaea voidaan raituten ja voimien laenta eä iihen liittyvät etoiuutarituet tehdä vaiheittain euraavan litan muaieti [9]:. Laetaan ion ominaitaajuu f c aavalla (3) tai (4) ja taritetaan, ettei ole vaaraa reonanita. Jo vaara on olemaa, on yytä miettiä, voidaano raennetta muuttamalla reonani välttää. ämä on täreää jo normaalia äyttötilannettain ajatellen ääni-ilmiöiden välttämiei [].. Laetaan ion ja oajohtimen raituten σ m ja σ ylärajat aavoilla (6) ja (7) illä oletuella, että raitu aiheuttaa ioa pienen muodonmuutoen. ällöin värähtelyn vaiututa raitueen ei tarvite ottaa huomioon. Jo olminapainen jälleenytentä on äytöä, pitää laea ylärajat myö iinä tapauea, että e on tilapäieti ytetty poi päältä. 3. Laetaan edellien ohdan peruteella oonairaituen σ tot yläraja aavalla (8). 4. aritetaan ion ja oajohtimen etoiuudet aavoilla (9) ja (3). Myötörajana R p0, tää tarituea on äytettävä valmitajan ilmoittamaa minimimiarvoa. Jo etoiuudet eivät tarituen muaan ole riittäviä, iirrytään ohtaan Laetaan tuieritimeen ohdituvan oiouluvoiman F d yläraja aavalla (3) edellä laetun oonairaituen peruteella. Jo olminapainen jälleenytentä on äytöä, pitää huomioida myö e tilanne, että jälleenytentä on tilapäieti ytetty poi päältä. Myötörajana R p0, tää laennaa on äytettävä valmitajan ilmoittamaa maimiarvoa. 6. aritetaan tuieritimen etoiuu vertaamalla edellä laettua oiouluvoimaa F d tuieritimen valmitajan antamiin lujuuarvoihin.

33 7. Jo ohdia 4 tai 6 tehtyjen tarituten peruteella etoiuudet eivät ole riittäviä, laetaan ion ja oajohtimen raituet σ m ja σ uudelleen aavoilla (6) ja (7) ottaen tällä ertaa ominaivärähtelyn vaiutuen huomioon. Jo olminapainen jälleenytentä on äytöä, pitää laelma tehdä myö iinä tapauea, että e on tilapäieti ytetty poi päältä. 8. Laetaan edellien ohdan peruteella oonairaitu σ tot aavalla (8). 9. aritetaan ion ja oajohtimen etoiuudet aavoilla (9) ja (3). ää myötörajana R p0, on äytettävä valmitajan ilmoittamaa minimimiarvoa. 0. Laetaan tuieritimeen ohdituva oiouluvoima F d uudelleen aavalla (3) ottaen tällä ertaa ominaivärähtelyn vaiutu huomioon. Jo olminapainen jälleenytentä on äytöä, pitää laelma tehdä myö iinä tapauea, että e on tilapäieti ytetty poi päältä. Myötörajana R p0, tää laennaa on äytettävä valmitajan ilmoittamaa maimiarvoa.. aritetaan tuieritimen etoiuu vertaamalla edellä laettua oiouluvoimaa F d tuieritimen valmitajan antamiin lujuuarvoihin.. Miäli ohdia 9 ja tehtyjen tarituten peruteella etoiuudet eivät vieläään ole riittäviä, on iojärjetelmän uunnitelmaa muutettava ja palattava ohtaan. Uuia ähöaemia uunniteltaea annattaa ominaivärähtelyn vaiutu ottaa aina laelmia huomioon, varinin uuremmilla jännitetaoilla, joia ominaitaajuudet ovat alhaiia [0]. ällöin edellä olevata litata voidaan tarpeettomana jättää poi laelmat, jota liittyvät raituten ja voimien ylärajoihin, eli ohdat 6. Nämä ylärajoja oevat aavat opivat parhaiten nopeaan, äin tehtävään taritueen johtuen niiden yinertaiuudeta. Kun laelmat tehdään jonin ohjelman avulla, uten liitteeä B, voidaan laelmaan helpoti iällyttää oo laentaproei. 4 Köydet Sähöaemalla voidaan taipuiia johtimia eli öyiä äyttää ooojaioina, liitojohtoina ooojaiota ojeille ja ojeiden välillä. Kooojaioina öydet riputetaan teräraenteille vetoeritimiä äyttäen. Kojeiden väliet liitoet tehdään joo uoraan ojeelta toielle tai tuieritintä väliä äyttäen. Näihin öyiin ohdituvat oiouluvoimat muuttuvat oioulun aiana, oa niiden välinen etäiyy a muuttuu voimien vaiutueta oioulun aiana. Köyden pituuaan l ei pyy vaiona vaan pitenee jonin verran oioulun aiana oiouluvirran termien vaiutuen ja oiouluvoiman vetoraituen vuoi. Muun muaa näitä yitä johtuen oioulun meaaniet vaiutuet eivät ole öyillä lineaariia. ätä euraa, että uperpoitiomenetelmää ei voida äyttää voimien ja raituten yhteivaiutuia laettaea, uten jäyien iojen ohdalla voitiin. Laelmia

34 uitenin yinertaitetaan illä oletuella, että öyillä ei ole minäänlaita taivutulujuutta. Fyiaaliena mallina öyien ohdalla äytetään heiluria. [7] 5 Seuraavaa tullaan uvaamaan oiouluvoimien meaaniia vaiutuia öyille yleiellä taolla menemättä ovin yvälle yityiohtaiiin laelmiin. Nämä laelmat ovat paljon monimutaiempia verrattuna jäyien iojen ohdalla eitettyihin laelmiin, eiä niitä en vuoi ole järevää lähteä tää yhteydeä ovin peruteellieti äittelemään. Yityiohtaiten laelmien oalta viitataanin IEC tandardiin [9] ja liitteen B laentaohjelman tuloteiiin. Kun jäyien iojen ohdalla puhuttiin iojärjetelmän ominaitaajuudeta, niin öyien ohdalla puhutaan öyden heilahtelun jaonajata ja e aadaan yhtälötä: π 0, 8 b c g n (33) joa b c on öyden taattinen riippuma (. uva 7) ja g n on maan vetovoiman iihtyvyy. ämä aava pätee virrattomalle öydelle pienillä heilahteluulmilla. [9] Oiouluvoimat aiheuttavat öyien ivuttaiuuntaien heilahtelun ja nippuöydellä liäi n. upituilmiön (engl. pinch effect), joa oajohtimet pyrivät lähentymään toiiaan lyhentäen näin nippuöyden oonaipituutta. Näitä ilmiöitä on havainnollitettu uvia ja 3. Ne liäävät öyien ja en varuteiden vetoraituia, jota puoletaan liäävät taivuturaituia öyien tui- ja iinnityraenteia. Köyien heilahtelu voi liäi aiheuttaa n. eundaarien oioulun tai maaulun vaiheiden joutuea heilahtelun aiana liian lähelle toiiaan tai jotain maadoitettua oaa [7]. Kuvaa on eitetty nippuöyden heilahtelu ja öyivoiman vaihtelu aivaiheien oioulun eurauena. apahtumien ulu on euraava:. Köyi on lepotilaa, jolloin öyivoima on öyden oman painon aiheuttama taattinen vetovoima F t.. Kaivaiheinen oioulu tapahtuu ajanhetellä Oiouluvoima aa oajohtimet puritumaan yhteen uvan 3 muaieti. ämä lyhentää äillieti nippuöyden pituutta aiheuttaen öyivoimaan pulimaien piiin n. upituvoiman. ämän upituvoiman huippu F pi aavutetaan reilun puolen jaon uluttua oioulun yntyhetetä, ajanhetellä pi. 4. Värähtelevä oiouluvoima (. aava 7) työntää johtimia yhä auemmai toiitaan. ämä liää öyivoimaa ja aavuttaa huippuarvona F t ajanhetellä t, jolloin öyi on auimpana lepotilataan, etäiyydellä b h.

Fy07 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) 1 / 5

Fy07 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) 1 / 5 y07 Koe 8.9.05 Kuopion yeon lukio (KK) / 5 Vataa kolmeen tehtävään. Vatuken reitani on 60, käämin induktani on 0,60 H ja reitani 8 ja kondenaattorin kapaitani on 80. Komponentit ovat arjaan kytkettyinä

Lisätiedot

2 Taylor-polynomit ja -sarjat

2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.

Lisätiedot

S Piirianalyysi 2 1. Välikoe

S Piirianalyysi 2 1. Välikoe S-55.0 Piirianalyyi. Välioe 9.3.007 ae tehtävät eri paperille uin tehtävät 3 5. Muita irjoittaa joaieen paperiin elväti nimi, opielijanumero, urin nimi ja oodi. Tehtävät laetaan oaton oepaperille. Muita

Lisätiedot

Viikkotehtävät IV, ratkaisut

Viikkotehtävät IV, ratkaisut Viikkotehtävät IV, ratkaiut. 7,40 V (pariton napajännite) I 7 ma (lampun A ähkövirta rinnankytkennää) I 5 ma (lampun B ähkövirta rinnankytkennää) a) eitani on, joten lamppujen reitanit voidaan lakea tehtävää

Lisätiedot

POSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI

POSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI S-108110 OPTIIKKA 1/6 POSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI Laboratoriotyö S-108110 OPTIIKKA /6 SISÄLLYSLUETTELO 1 Poitiivien linin polttoväli 3 11 Teoria 3 1 Mittauken uoritu 5 LIITE 1 6 Mittaupöytäkirja 6

Lisätiedot

Tilastotieteen jatkokurssi 8. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset (viikot 13 ja 14)

Tilastotieteen jatkokurssi 8. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset (viikot 13 ja 14) Tilatotietee jatkokuri 8. lakuharjoitute ratkaiuehdotuket (viikot 13 ja 14) 1) Perujoukko o aluee A aukkaat ja tutkittavaa omiaiuutea ovat tulot, Tiedämme, että perujouko tulot oudattaa ormaalijakaumaa,

Lisätiedot

S-55.1220/142 Piirianalyysi 2 1. Välikoe 10.3.2006

S-55.1220/142 Piirianalyysi 2 1. Välikoe 10.3.2006 S-55.0/4 Piirianalyyi. Välioe 0.3.006 ae tehtävät 3 eri paperille in tehtävät 4 5. Mita irjoittaa joaieen paperiin elväti nimi, opielijanmero, rin nimi ja oodi. Tehtävät laetaan oaton oepaperille. Mita

Lisätiedot

Luottamusmiehen / -valtuutetun valinta, asema ja oikeudet

Luottamusmiehen / -valtuutetun valinta, asema ja oikeudet YLEMMÄT TOIMIHENKILÖT YTN RY OHJE YRY+K -ryhmä / Mko 19.8.2009 1 (13) Luottamumiehen / -valtuutetun valinta, aema ja oikeudet Siällyluettelo: Yleitä... 2 Oikeu luottamumiehen valintaan... 2 Luottamumiehen

Lisätiedot

X 2 = k 21X 1 + U 2 s + k 02 + k 12. (s + k 02 + k 12 )U 1 + k 12 U 2. s 2 + (k 01 + k 21 + k 02 + k 12 ) s + k

X 2 = k 21X 1 + U 2 s + k 02 + k 12. (s + k 02 + k 12 )U 1 + k 12 U 2. s 2 + (k 01 + k 21 + k 02 + k 12 ) s + k Aalto-yliopiton Perutieteiden korkeakoulu Matematiikan ja yteemianalyyin laito Mat-49 Syteemien Identifiointi 0 harjoituken ratkaiut äytetään enin iirtofunktiomalli Tehdään Laplace-muunno: ẋ k 0 k x +

Lisätiedot

RATKAISUT: 21. Induktio

RATKAISUT: 21. Induktio Physica 9 2. painos 1(6) ATKAISUT ATKAISUT: 21.1 a) Kun magneettienttä muuttuu johdinsilmuan sisällä, johdinsilmuaan indusoituu lähdejännite. Tätä ilmiötä utsutaan indutiosi. b) Lenzin lai: Indutioilmiön

Lisätiedot

Asunto Oy Lahden Lehtorinne LAUNE ENNAKKOMARKKINOINTI

Asunto Oy Lahden Lehtorinne LAUNE ENNAKKOMARKKINOINTI LAUNE ENNAKKOMARKKINOINTI 3 Leppoiaa ja huolonta elämää Launeen maiemia Lahdea ol eeieä aemaa Lahti ijaitee ainutlaatuiella paialla Salpauelän harjujen ja Veijärven yhtymädaa. Järvenrantaaupungia aii

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen D-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Johdanto differenssiyhtälöiden rataisemiseen Differenssiyhtälöillä uvataan disreettiaiaisten järjestelmien toimintaa. Disreettiaiainen taroittaa

Lisätiedot

SYNKRONIKONEET RELUKTANS- SIKONEET RM RM RM + >>L q. L d >>L q. Harjalliset -pyörivä PMSM upotetu magneetit

SYNKRONIKONEET RELUKTANS- SIKONEET RM RM RM + >>L q. L d >>L q. Harjalliset -pyörivä PMSM upotetu magneetit 7.48 TY Juha Pyrhönen 7. Tahtikone Tahtikoneet muootavat kokonaien ähkökoneperheen. Päätyyppejä ovat vieramagnetoiut tahtikoneet, ynkroniet reluktanikoneet ja ketomagneettitahtikoneet. Vieramagnetoiut

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä ym., osa I G. Gripenberg Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Indutioperiaate Relaatiot ja funtiot Funtiot Aalto-yliopisto. maalisuuta 0 Kombinatoriia

Lisätiedot

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria.

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria. 5. Veitoken tilavuu on V,00 m 1,00 m,00 m 6,00 m. Pienoimallin tilavuu on 1 V malli 6,00 m 0,06m. 100 Mittakaava k aadaan tälötä. 0,06 1 k 6,00 100 1 k 0,1544... 100 Mitat ovat. 1,00m 0,408...m 100 0,41

Lisätiedot

Luentomoniste: Mekaniikka Pasi Repo & Pekka Varis (päivitetty 2.1.06)

Luentomoniste: Mekaniikka Pasi Repo & Pekka Varis (päivitetty 2.1.06) Fyiia evät 006 JAMK/IT -Intituutti Luentoonite: Meaniia Pai Repo & Pea Vai (päivitetty..06) 0. Johdanto... 0.. Fyiian ääitelä... 0.. Mittau ja yiöt.... -ulotteita ineatiiaa... 3.. Keivauhti... 3.. Keinopeu...

Lisätiedot

2. Laskuharjoitus 2. siis. Tasasähköllä Z k vaipan resistanssi. Muilla taajuuksilla esim. umpinaiselle koaksiaalivaipalle saadaan = =

2. Laskuharjoitus 2. siis. Tasasähköllä Z k vaipan resistanssi. Muilla taajuuksilla esim. umpinaiselle koaksiaalivaipalle saadaan = = 2 Lasuarjoitus 2 21 Kytentäimpedanssin asenta Mitä taroittaa ytentäimpedanssi? 5 ma:n suuruinen äiriövirta oasiaaiaapein vaipassa (uojoto) aieuttaa 1 mv:n suuruisen äiriöjännitteen 1 m:n mataa Miä on ytentäimpedanssin

Lisätiedot

Kolmivaihejärjestelmän oikosulkuvirran laskemista ja vaikutuksia käsitellään standardeissa IEC-60909, 60909-1, 60909-2, 60781, 60865-1 ja 60865-2.

Kolmivaihejärjestelmän oikosulkuvirran laskemista ja vaikutuksia käsitellään standardeissa IEC-60909, 60909-1, 60909-2, 60781, 60865-1 ja 60865-2. Luu 7: Oiosulusuojaus 7. OIKOLKOJA 7.. Yleistä Vero laitteide mitoittamisessa, oiosulusuojause suuittelussa ja turvallise äytö suuittelussa o tuettava oiosuluvirrat eri tilateissa ja eri osissa veroa.

Lisätiedot

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie

Lisätiedot

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,

Lisätiedot

Viivakuormituksen potentiaalienergia saadaan summaamalla viivan pituuden yli

Viivakuormituksen potentiaalienergia saadaan summaamalla viivan pituuden yli hum.9. oiman potentiaalienergia Potentiaalienergiata puhutaan, kun kappaleeeen vaikuttaa jokin konervatiivinen voima. oima on konervatiivinen, jo en tekemä tö vaikutupieen iirteä tiettä paikata toieen

Lisätiedot

SyySkuu 2012 www.skp.fi/jyvaskyla

SyySkuu 2012 www.skp.fi/jyvaskyla 012 2 yl a u u a v y Sy.f i/j y p. www - Suomen EU-jäenyydetä lähtien on rummutettu, että julien etorin ouutta BKT:tä on pienennettävä. Kuntataolla ye on ollut alati avavata palvelujen yityitämietä, aupunginvaltuutettu

Lisätiedot

a. Varsinainen prosessi on tuttua tilaesitysmuotoa:

a. Varsinainen prosessi on tuttua tilaesitysmuotoa: ELEC-C Sääöeniia 7. lauharjoiu Vaaue. r - K u K C y a. Varinainen proei on uua ilaeiymuooa: A Bu y C Kuvaa nähdään, eä ilamallin iäänmenona on u r K. Salaaria ei voi vähenää mariiia, joen un on n -veori,

Lisätiedot

Sattuman matematiikkaa III

Sattuman matematiikkaa III Sattuman matematiiaa III Kolmogorovin asioomat ja frevenssitulinta Tommi Sottinen Tutija Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Meaniian jatourssi Fys10 Sysy 009 Jua Maalampi LUENTO 6 Harmonisen värähdysliieen energia Jousen potentiaalienergia on U ( x missä on jousivaio ja Dx on poieama tasapainosta. Valitaan origo tasapainopisteeseen,

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan

Lisätiedot

Talousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut

Talousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut Sivu 1/7 oronorolasuja sovelletaan tapausiin, joissa aia on pidempi uin ysi oonainen orojaso, eli aia, jolle oroanta ilmoittaa oron määrän. orolasu: enintään yhden orojason pituisille oroajoille; oronorolasu:

Lisätiedot

Lauri Puranen Säteilyturvakeskus Ionisoimattoman säteilyn valvonta

Lauri Puranen Säteilyturvakeskus Ionisoimattoman säteilyn valvonta LC-577 Sähömagneettisten enttien ja optisen säteilyn biologiset vaiutuset ja mittauset Sysy 16 PINTAAJUIST SÄHKÖ- JA MAGNTTIKNTÄT Lauri Puranen Säteilyturvaesus Ionisoimattoman säteilyn valvonta SÄTILYTURVAKSKUS

Lisätiedot

Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä

Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Ennen uin mennään varsinaisesti tämän harjoitusen asioihin, otetaan alusi ysi merintäteninen juttu Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y 0 Vaihtoehtoinen

Lisätiedot

1 Määrittele lyhyesti seuraavat käsitteet. a) Kvantisointivirhe. b) Näytetaajuuden interpolointi. c) Adaptiivinen suodatus.

1 Määrittele lyhyesti seuraavat käsitteet. a) Kvantisointivirhe. b) Näytetaajuuden interpolointi. c) Adaptiivinen suodatus. TL536DSK-algoritmit (J. Laitinen) 6.4.5 Määrittele lyyeti euraavat käitteet a) Kvantiointivire. b) äytetaajuuden interpolointi. ) Adaptiivinen uodatu. a) Kvantiointivire yntyy, kun ignaalin ykittäinen

Lisätiedot

3 KEHÄRAKENTEET. 3.1 Yleistä kehärakenteista

3 KEHÄRAKENTEET. 3.1 Yleistä kehärakenteista Elementtimenetelmän peusteet. KEHÄRAKENTEET. leistä ehäaenteista Kehäaenteen osina oleat palit oiat ottaa astaan aiia annattimen asitusia, jota oat nomaali- ja leiausoima seä taiutus- ja ääntömomentti.

Lisätiedot

Pinta-alan variaatio. Rakenteiden Mekaniikka Vol. 44, Nro 1, 2011, s Eero-Matti Salonen ja Mika Reivinen

Pinta-alan variaatio. Rakenteiden Mekaniikka Vol. 44, Nro 1, 2011, s Eero-Matti Salonen ja Mika Reivinen Rakenteien Mekaniikka Vol. 44, Nro, 0,. 93-97 Pinta-alan variaatio Eero-Matti Salonen ja Mika Reivinen Tiivitelmä. Artikkelia tarkatellaan taoalueen pinta-alan variaation eittämitä vektorilakennan avulla.

Lisätiedot

SYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN

SYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN SYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN Miten modulaation P S P B? 536A Tietoliienneteniia II Osa 4 Kari Käräinen Sysy 05 SEP VS. BEP D-SIGNAALIAVARUUDESSA Kullein modulaatiolle johdetaan

Lisätiedot

6 Lineaarisen ennustuksen sovelluksia

6 Lineaarisen ennustuksen sovelluksia 6 Lineaarisen ennustusen sovellusia Lineaarisella ennustusella on hyvin täreä asema monessa puheenäsittelyn sovellusessa. Seuraavassa on esitetty esimerejä siitä miten lineaarista ennustusta voidaan hyödyntää.

Lisätiedot

Valuma-aluetason kuormituksen hallintataulukon vaatimusmäärittely

Valuma-aluetason kuormituksen hallintataulukon vaatimusmäärittely Valuma-aluetaon kuormituken hallintataulukon vaatimumäärittely Verio 4.11.2011 1. Tavoitteet Veienhoidon äädöten toteutu edellyttää veitöihin kohdituvan kuormituken vähentämitä n, että veden laatu paranee

Lisätiedot

Jakso 4: Dynamiikan perusteet jatkuu, työ ja energia Näiden tehtävien viimeinen palautus- tai näyttöpäivä on maanantaina

Jakso 4: Dynamiikan perusteet jatkuu, työ ja energia Näiden tehtävien viimeinen palautus- tai näyttöpäivä on maanantaina Jako 4: Dynamiikan peruteet jatkuu, työ ja energia Näiden tehtävien viimeinen palautu- tai näyttöpäivä on maanantaina 8.8.2016. Kolmea enimmäieä lakua ovelletaan Newtonin 2. ja 3. lakia. T 4.1 (pakollinen):

Lisätiedot

Naulalevylausunto LL10 naulalevylle

Naulalevylausunto LL10 naulalevylle LAUSUNTO NRO VTT S 09771 08 1 (1) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö Lahti Levy Oy Asonatu 11 FI 15100 Lahti 3.9.2008 Simo Jouainen Ari Kevarinmäi VTT Asiantuntijapalvelut PL 1000 02044 VTT Puh. 020 722 5566,

Lisätiedot

YDINSPEKTROMETRIA TENTTI mallivastaukset ja arvostelu max 30 p, pisterajat 15p 1, 18p 2, 21p 3, 24p 4, 27p - 5

YDINSPEKTROMETRIA TENTTI mallivastaukset ja arvostelu max 30 p, pisterajat 15p 1, 18p 2, 21p 3, 24p 4, 27p - 5 5573-5 YDISPEKTROMETRIA TETTI 9.5.05 mallivatauket ja arvotelu max 30 p, piterajat 5p, 8p, p 3, 4p 4, 7p - 5. Mittautehokkuu ja iihen vaikuttavat aiat/ilmiöt gammapektrometriaa (yht. 6 p) Vatau: ilmaiimea

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille taroitetut rataisuehdotuset Tämän harjoitusen ideana on opetella -muunnosen äyttöä differenssiyhtälöiden rataisemisessa Lisäsi äytetään

Lisätiedot

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPITO TYÖOHJE 2009 Keianteniian osasto Tenillisen eian laboratorio BJ90A0900 Tenillisen eian ja tenillisen polyeerieian laboratoriotyöt Ohje: Irina Turu, Katriina Liiatainen,

Lisätiedot

Eksponentti- ja logaritmiyhtälö

Eksponentti- ja logaritmiyhtälö Esponentti- ja logaritmiyhtälö Esponenttifuntio Oloon a 1 positiivinen reaaliluu. Reaalifuntiota f() = a nimitetään esponenttifuntiosi ja luua a sen antaluvusi. Jos a > 1, niin esponenttifuntio f : R R,

Lisätiedot

Y56 Laskuharjoitukset 3 palautus ma klo 16 mennessä

Y56 Laskuharjoitukset 3 palautus ma klo 16 mennessä 1 Y6 Lakuharjoituket 3 alautu ma 3.. klo 16 menneä Harjoitu 1. Lue enin Vihmo, Jouni (006) Alkoholijuomien hintajoutot uomea vuoina 199 00, Yhteikuntaolitiikka 71, 006/1 ivut 9 ja vataa itten kyymykiin.

Lisätiedot

Tehtävä 1. Vaihtoehtotehtävät.

Tehtävä 1. Vaihtoehtotehtävät. Kem-9.7 Proeiautomaation peruteet Perutehtävät Tentti 9.. Tehtävä. Vaihtoehtotehtävät. Oikea vatau,p, väärä vatau -,p ja ei vatauta p Makimi,p ja minimi p TÄMÄ PAPERI TÄYTYY EHDOTTOMASTI PALAUTTAA TENTIN

Lisätiedot

termit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s.

termit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s. SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 7 3. Luusarjat Josus luujonon (b ) termit on luontevairjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme luusarjojen teoriaan: Määritelmä 3.. Oloon ( ), R luujono. Symboli (3.)

Lisätiedot

N p Katseluavaruudessa tehtävät operaatiot. Karsinta eli takasivueliminointi. Katselutilavuus

N p Katseluavaruudessa tehtävät operaatiot. Karsinta eli takasivueliminointi. Katselutilavuus 5.2. Kateluaaruuea tehtäät operaatiot Karinta eli takaiueliminointi Karinta eli takaiueliminointi on toimenpie, joka ertaa monikulmioien uuntaa katelupiteen eli projektion kekipiteen kana. Jo näkmä käittää

Lisätiedot

K Ä Y T T Ö S U U N N I T E L M A Y H D Y S K U N T A L A U T A K U N T A

K Ä Y T T Ö S U U N N I T E L M A Y H D Y S K U N T A L A U T A K U N T A K Ä Y T T Ö S U U N N I T E L M A 2 0 1 7 Y H D Y S K U N T A L A U T A K U N T A Forssan kaupunki Talousarvio ja -suunnitelma 2017-2019 / T O I M I A L A P A L V E L U 50 YHDYSKUNTAPALVELUT 5 0 0 T E

Lisätiedot

S Fysiikka III (Est) Tentti

S Fysiikka III (Est) Tentti S-114137 Fyiikka III (Et) Tentti 9008 1 Vetyatomin elektronin kulmaliikemäärää kuvaa kvanttiluku l =3 Lake miä kaikia kulmia kulmaliikemäärävektori voi olla uhteea kulmaliikemäärän z-komponenttiin ( )

Lisätiedot

= P 0 (V 2 V 1 ) + nrt 0. nrt 0 ln V ]

= P 0 (V 2 V 1 ) + nrt 0. nrt 0 ln V ] 766328A Termofysiikka Harjoitus no. 7, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Sylinteri on ympäristössä, jonka paine on P 0 ja lämpötila T 0. Sylinterin sisällä on n moolia ideaalikaasua ja sen tilavuutta kasvatetaan

Lisätiedot

AALTO-OPAS H-BEND VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Juhana Kankainen j82081 Teemu Lahti l82636 Henrik Tarkkanen l84319

AALTO-OPAS H-BEND VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Juhana Kankainen j82081 Teemu Lahti l82636 Henrik Tarkkanen l84319 VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Juhana Kanainen j8081 Teemu Lahti l8636 Henri Taranen l84319 SATE010 Dynaaminen enttäteoria AALTO-OPAS H-BEND Sivumäärä: 1 Jätetty tarastettavasi:

Lisätiedot

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 30.5.2006. sarja A

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 30.5.2006. sarja A TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintauulustelujen matematiian oe 30.5.006 sarja A Ohjeita. Sijoita joainen tehtävä omalle sivulleen. Laadi rataisut seleästi v älivaiheineen, tarvittaessa

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali

Todennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali Todennäöissjaaumat /5 Sisältö ESITIEDOT: lasenta, määrätt Haemisto KATSO MYÖS: tilastomatematiia P (X = )=p. Nämä ovat 0 ja niiden summa on p =. Pistetodennäöisdet voidaan graafisesti esittää pstsuorien

Lisätiedot

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali:

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali: BMA57 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus, viikko 46/5 Fourier-integraali: f(x) A() π B() π [A() cos x + B() sin x]d, () Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: f(t) cos tdt, () f(t) sin tdt. (3) F {f(t)} ˆf()

Lisätiedot

ELEKTROMAGNEETTISET VOIMAT SAMANSUUNTAISISSA VIRTA- JOHDOISSA

ELEKTROMAGNEETTISET VOIMAT SAMANSUUNTAISISSA VIRTA- JOHDOISSA VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Jussi Sievänen, n86640 Tuomas Yli-Rahnasto, n85769 Markku Taikina-aho, n85766 SATE.2010 Dynaaminen Kenttäteoria ELEKTROMAGNEETTISET VOIMAT SAMANSUUNTAISISSA

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina Jakso 1. iot-savartin laki, Ampèren laki, vektoripotentiaali Tässä jaksossa lasketaan erimuotoisten virtajohtimien aiheuttamien magneettikenttien suuruutta kahdella eri menetelmällä, iot-savartin lain

Lisätiedot

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x , III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

Työntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen erityisperusteet

Työntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen erityisperusteet Työnteijän eläelain (TyEL) muaisen eläeauutusen erityisperusteet 202 2 TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN (TYEL) MUKAISEN ELÄKEVAKUUTUKSEN ERITYISPERUSTEET Voimaantulosäännöset Perusteen 20.2.2006 oimaantulosäännös

Lisätiedot

VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Lauri Karppi j82095. SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI.

VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Lauri Karppi j82095. SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI. VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Oskari Uitto i78966 Lauri Karppi j82095 SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI Sivumäärä: 14 Jätetty tarkastettavaksi: 25.02.2008 Työn

Lisätiedot

Kuva lämmönsiirtoprosessista Käytössä ristivirtalämmönvaihdin (molemmat puolet sekoittumattomat)

Kuva lämmönsiirtoprosessista Käytössä ristivirtalämmönvaihdin (molemmat puolet sekoittumattomat) Kemian laitetekniikka Kotilaku 3..008 Jarmo Vetola Kuva lämmöniirtoproeita Käytöä ritivirtalämmönvaihdin (molemmat puolet ekoittumattomat) kuuma maitovirta, eli ravaton maito patöroinnita virtau vaippapuolella

Lisätiedot

Estimointi Laajennettu Kalman-suodin. AS , Automaation signaalinkäsittelymenetelmät Laskuharjoitus 4

Estimointi Laajennettu Kalman-suodin. AS , Automaation signaalinkäsittelymenetelmät Laskuharjoitus 4 Estimointi Laajennettu Kalman-suodin AS-84.2161, Automaation signaalinäsittelymenetelmät Lasuharjoitus 4 Estimointi Systeemin tilaa estimoidaan, un prosessin tilamalli tunnetaan Tilamalli voi olla lineaarinen

Lisätiedot

URH - Venttiili. Halton URH. Venttiili

URH - Venttiili. Halton URH. Venttiili Halton URH Venttiili ilmaventtiili, jossa on painehäviön säätömahdollisuus. Seinä- tai attoasennus erillisen asennusehysen avulla. Kanavamelun vaimennus. Laitteessa on ilman tilavuusvirran mittaus- ja

Lisätiedot

TEKNIIKKA JA LIIKENNE. Sähkötekniikka. Sähkövoimatekniikka INSINÖÖRITYÖ

TEKNIIKKA JA LIIKENNE. Sähkötekniikka. Sähkövoimatekniikka INSINÖÖRITYÖ TEKNIIKKA JA LIIKENNE Sähkötekniikka Sähkövoimatekniikka INSINÖÖRITYÖ KOSKETUSSUOJAN POIKKIPINNAN VAIKUTUS 60-400 kv SUURJÄNNITEKAAPELIN KUORMITETTAVUUTEEN Työn tekijä: Mika Suomi Työn valvoja: Jarno Varteva

Lisätiedot

Simulation and modeling for quality and reliability (valmiin työn esittely) Aleksi Seppänen

Simulation and modeling for quality and reliability (valmiin työn esittely) Aleksi Seppänen Simulation and modeling for quality and reliability (valmiin työn esittely) Aleksi Seppänen 16.06.2014 Ohjaaja: Urho Honkanen Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston

Lisätiedot

BINÄÄRISET TIEDONSIIRTOMENETELMÄT TÄRKEIMPIEN ASIOIDEN KERTAUS A Tietoliikennetekniikka II Osa 11 Kari Kärkkäinen Syksy 2015

BINÄÄRISET TIEDONSIIRTOMENETELMÄT TÄRKEIMPIEN ASIOIDEN KERTAUS A Tietoliikennetekniikka II Osa 11 Kari Kärkkäinen Syksy 2015 BINÄÄRISET TIEDONSIIRTOMENETELMÄT TÄRKEIMPIEN ASIOIDEN KERTAUS 536A Tietoliienneteniia II Osa Kari Käräinen Sysy 5 Kantataajuusjärjestelmä lähettää ±A -tasoisia symboleita T:n välein. Optimaalinen vastaanotin

Lisätiedot

Luku kahden alkuluvun summana

Luku kahden alkuluvun summana Luu ahden aluluvun summana Juho Salmensuu Lahden Lyseon luio Matematiia 008 Tiivistelmä Tutielmassa tarastellaan ysymystä; uina monella eri tavalla annettu parillinen oonaisluu voidaan esittää ahden aluluvun

Lisätiedot

1.3Lohkorakenne muodostetaan käyttämällä a) puolipistettä b) aaltosulkeita c) BEGIN ja END lausekkeita d) sisennystä

1.3Lohkorakenne muodostetaan käyttämällä a) puolipistettä b) aaltosulkeita c) BEGIN ja END lausekkeita d) sisennystä OULUN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteiden laitos Johdatus ohjelmointiin 81122P (4 ov.) 30.5.2005 Ohjelmointikieli on Java. Tentissä saa olla materiaali mukana. Tenttitulokset julkaistaan aikaisintaan

Lisätiedot

Ortogonaalisuus ja projektiot

Ortogonaalisuus ja projektiot MA-3450 LAAJA MAEMAIIKKA 5 amperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2007 äydeämme Lama 2: lieaarialgebraa oheisella Ortogoaalisuus ja projetiot Olemme aiaisemmi jo määritelleet, että asi vetoria

Lisätiedot

Luento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r

Luento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä θ F t m g F r 1 / 27 Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä 2 / 27 Johdanto Tarkastellaan jaksollista liikettä (periodic

Lisätiedot

Tämä merkitsee geometrisesti, että funktioiden f

Tämä merkitsee geometrisesti, että funktioiden f 28 2. Futiosarjat Edellä sarjat olivat luusarjoja, joide termit ovat (tässä urssissa) reaaliluuja. Jos termit ovat samasta muuttujasta riippuvia futioita, päädytää futiotermisii sarjoihi. Näide äyttö matematiiassa

Lisätiedot

S SÄHKÖTEKNIIKKA Kimmo Silvonen

S SÄHKÖTEKNIIKKA Kimmo Silvonen S55.0 SÄHKÖTEKNKKA 9.5.000 Kimmo Silvonen Tentti: tehtävät,,5,8,9. välikoe: tehtävät,,,4,5. välikoe: tehtävät 6,7,8,9,0 Oletko muistanut vastata palautekyselyyn Voit täyttää lomakkeen nyt.. aske virta.

Lisätiedot

Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt

Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt SMG-00 Piirianalyysi II Luentomonisteen harjoitustehtävien vastauset Luu : Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt. Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmä on lineaarinen,

Lisätiedot

20 Kollektorivirta kun V 1 = 15V 10. 21 Transistorin virtavahvistus 10. 22 Transistorin ominaiskayrasto 10. 23 Toimintasuora ja -piste 10

20 Kollektorivirta kun V 1 = 15V 10. 21 Transistorin virtavahvistus 10. 22 Transistorin ominaiskayrasto 10. 23 Toimintasuora ja -piste 10 Sisältö 1 Johda kytkennälle Theveninin ekvivalentti 2 2 Simuloinnin ja laskennan vertailu 4 3 V CE ja V BE simulointituloksista 4 4 DC Sweep kuva 4 5 R 2 arvon etsintä 5 6 Simuloitu V C arvo 5 7 Toimintapiste

Lisätiedot

521384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 5

521384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 5 5384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Haroitu 5. Häviötön 5 Ω:n aaltoohto on päätetty tuntemattomaan impedaniin. Aaltoohdolla olevaki ännitteen eiovan aallon uhteeki aadaan 3 a enimmäinen minimi havaitaan 5 cm:n

Lisätiedot

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4) http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17

Lisätiedot

Aukkopalkin kestävyys

Aukkopalkin kestävyys simeri 3 Auopain estävyys 1.0 Kuormitus Auopain ominaisuormat on esitetty aa oevassa uvassa. Tarasteaan paia ysiauoisena nivepäisenä paina. Seuraamusuoa on CC K FI 1,0 (ei esitetä asemassa). Tässä asemassa

Lisätiedot

1 Johdanto. FIR-suodattimien vaste voidaan hallita IIR:iä tiukemmin

1 Johdanto. FIR-suodattimien vaste voidaan hallita IIR:iä tiukemmin FIR uodinpankit * Lähteet: Zölzer. Digital audio ignal proceing. Wiley & Son. Saramäki. Multirate ignal proceing. TTKK:n kuri 80558. * ) Aihealue on erittäin laaja. Eity tää on tarkoitukellieti uppea,

Lisätiedot

EMC: Electromagnetic Compatibility Sähkömagneettinen yhteensopivuus

EMC: Electromagnetic Compatibility Sähkömagneettinen yhteensopivuus EMC: Electromagnetic Compatibility Sähkömagneettinen yhteensopivuus Ympäristön häiriöt Laite toimii suunnitellusti Syntyvät häiriöt Sisäiset häiriöt EMC Directive Article 4 1. Equipment must be constructed

Lisätiedot

S Piirianalyysi 2 1. Välikoe

S Piirianalyysi 2 1. Välikoe S-55.0 Piirianalyyi. Välioe.3.0 ae ehävä eri paperille uin ehävä 3 5. Muia irjoiaa joaieen paperiin elväi nimi, opielijanumero, urin nimi ja oodi. Tehävä laeaan oreaoulun oepaperille. Muia papereia ei

Lisätiedot

MATEMATIIKKAKILPAILU

MATEMATIIKKAKILPAILU Tekniikan Opettajat TOP ry Teknologiateolliuuden Kutannuoakeyhtiö Opetuhallitu 00-uotiäätiö Otaa AMMATIKKA top..05 MALLIRATKAISUT Toien ateen ammatillien koulutuken kaikkien alojen yhteinen MATEMATIIKKAKILPAILU

Lisätiedot

DIGITAALISET PULSSIMODULAATIOT M JA PCM A Tietoliikennetekniikka I Osa 21 Kari Kärkkäinen Kevät 2015

DIGITAALISET PULSSIMODULAATIOT M JA PCM A Tietoliikennetekniikka I Osa 21 Kari Kärkkäinen Kevät 2015 1 DIGITAALISET PULSSIMODULAATIOT M JA PCM 521357A Tietoliikennetekniikka I Oa 21 Kari Kärkkäinen DELTAMODULAATIO M 2 M koodaa näytteen ± polariteetin omaavaki binääripuliki. Idea perutuu ignaalin m(t muutoken

Lisätiedot

S , Fysiikka III (ES) Tentti Tentti / välikoeuusinta. Laaditaan taulukko monisteen esimerkin 3.1. tapaan ( nj njk Pk

S , Fysiikka III (ES) Tentti Tentti / välikoeuusinta. Laaditaan taulukko monisteen esimerkin 3.1. tapaan ( nj njk Pk S-.35, Fysiia III (ES) entti 8..3 entti / välioeuusinta I älioeen alue. Neljän tunnistettavissa olevan hiuasen miroanonisen jouon mahdolliset energiatasot ovat, ε, ε, 3ε, ε,, jota aii ovat degeneroitumattomia.

Lisätiedot

Sähköstatiikka ja magnetismi Mekaniikan kertausta

Sähköstatiikka ja magnetismi Mekaniikan kertausta Sähöstatiia ja magnetismi Meaniian etausta Antti Haato 17.05.013 Newtonin 1. lai Massan hitauden lai Jatavuuden lai Kappaleen nopeus on vaio tai appale pysyy paiallaan, jos siihen ei vaiuta voimia. Newtonin

Lisätiedot

SMG-4450 Aurinkosähkö

SMG-4450 Aurinkosähkö SMG-4450 Aurinkosähkö Kolmannen luennon aihepiirit Aurinkokennon ja diodin toiminnallinen ero: Puolijohdeaurinkokenno ja diodi ovat molemmat pn-liitoksia. Mietitään aluksi, mikä on toiminnallinen ero näiden

Lisätiedot

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 28. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta 2016 1 / 22 Hieman kertausta

Lisätiedot

S SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA

S SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA S-55.00 SÄHKÖTKNKKA A KTONKKA. välkoe 9.3.2007. Saat vatata van neljään tehtävään!. ake pteden A ja B välnen potentaalero el jännte AB. =4Ω, 2 =2Ω, =0 V, 2 =4V, =2A, =3A A + 2 2 B + 2. Kytkn ljetaan hetkellä.

Lisätiedot

Fysiikka 7. Sähkömagnetismi

Fysiikka 7. Sähkömagnetismi Fysiikka 7 Sähkömagnetismi Magneetti Aineen magneettiset ominaisuudet ovat seurausta atomiydintä kiertävistä elektroneista (ytimen kiertäminen ja spin). Magneettinen vuorovaikutus Etävuorovaikutus Magneetilla

Lisätiedot

7.1 Taustamelun estimoinnista

7.1 Taustamelun estimoinnista 7 Puheen ehostus Puheen ehostamisea taroitetaan seaisia menetemiä, joia puheen aatua pyritään parantamaan. Kuuostaa ysinertaiseta, mutta mitä sitten taroitetaan aadua? Siä voidaan taroittaa ainain seeyttä

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

MP069 alueen sähköteknisten reunaehtojen laskeminen.

MP069 alueen sähköteknisten reunaehtojen laskeminen. M069 alueen ähkötekniten reunaehtojen lakeinen. Kekiteho tälle alueelle aatiin kun otettiin Tornion irkkiötä ataaa oakotitalo alue ja niiden talojen kulututen peruteella äärättiin kullekin tontille kulutupite

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

(c) Määrää/Determine välillä/in the interval [1000, 10000] olevien 7. jaollisten kokonaislukujen lukumäärä/ number of integers divisible by 7.

(c) Määrää/Determine välillä/in the interval [1000, 10000] olevien 7. jaollisten kokonaislukujen lukumäärä/ number of integers divisible by 7. Luuteorian perusteet Exercises/Harjoitusia 2016 1. Show by induction/osoita indutiolla, that/että Osoita, että a n 1 = (a 1)(a n 1 + a n 2 + + a + 1). a n + 1 = (a + 1)(a n 1 a n 2 + a + 1) jos 2 n. (c)

Lisätiedot

Julkaisun laji Opinnäytetyö. Sivumäärä 43

Julkaisun laji Opinnäytetyö. Sivumäärä 43 OPINNÄYTETYÖN KUVAILULEHTI Tekijä(t) SUKUNIMI, Etunimi ISOVIITA, Ilari LEHTONEN, Joni PELTOKANGAS, Johanna Työn nimi Julkaisun laji Opinnäytetyö Sivumäärä 43 Luottamuksellisuus ( ) saakka Päivämäärä 12.08.2010

Lisätiedot

S if b then S else S S s. (b) Muodosta (a)-kohdan kieliopin kanssa ekvivalentti, so. saman kielen tuottava yksiselitteinen.

S if b then S else S S s. (b) Muodosta (a)-kohdan kieliopin kanssa ekvivalentti, so. saman kielen tuottava yksiselitteinen. T-79.148 yky 2003 Tietojenkäittelyteorian peruteet Harjoitu 7 Demontraatiotehtävien ratkaiut 4. Tehtävä: Ooita, että yhteydettömien kielten luokka on uljettu yhdite-, katenaatioja ulkeumaoperaatioiden

Lisätiedot

Rak-54.116 Rakenteiden mekaniikka C, RM C (4 ov) Tentti 30.8.2007

Rak-54.116 Rakenteiden mekaniikka C, RM C (4 ov) Tentti 30.8.2007 Rak-54.116 Rakeneden mekankka, RM (4 ov) Ten.8.7 Krjoa jokaeen koepapern elvä - koko nme, puhuelunm allevvauna - oao, vuokur, enn pävämäärä ekä enävä opnojako koodeneen - opkeljanumero, mukaan luken arkukrjan

Lisätiedot

t P1 `UT. Kaupparek. nro Y-tunnus Hämeenlinnan. hallinto- oikeudelle. Muutoksenhakijat. 1( UiH S<

t P1 `UT. Kaupparek. nro Y-tunnus Hämeenlinnan. hallinto- oikeudelle. Muutoksenhakijat. 1( UiH S< 1(0 1 4 1 1 4 UiH 0 0 0 1 S< A S I A N A J O T O I M I S T O O S S I G U S T A F S S O N P L 2 9, Ra u h a n k a t u 2 0, 1 5 1 1 1 L a h t i P u h e l i n 0 3 / 7 8 1 8 9 6 0, G S M 0 5 0 0 / 8 4 0 5

Lisätiedot

d) Jos edellä oleva pari vie 10 V:n signaalia 12 bitin siirtojärjestelmässä, niin aiheutuuko edellä olevissa tapauksissa virheitä?

d) Jos edellä oleva pari vie 10 V:n signaalia 12 bitin siirtojärjestelmässä, niin aiheutuuko edellä olevissa tapauksissa virheitä? -08.300 Elektroniikan häiriökysymykset Kevät 006 askari 3. Kierrettyyn pariin kytkeytyvä häiriöjännite uojaamaton yksivaihejohdin, virta I, kulkee yhdensuuntaisesti etäisyydellä r instrumentointikaapelin

Lisätiedot

Taylorin sarja ja Taylorin polynomi

Taylorin sarja ja Taylorin polynomi Taylorin sarja ja 1 Potenssisarja c k (x a) k = f (x) määrittelee x:n funktion. Seuraavaksi toteamme mikä yhteys potenssisarjalla on sen määrittelemän funktion derivaattoihin f (a),f (a),f (a),f (3) (a),...

Lisätiedot