HARMONINEN VÄRÄHTELIJÄ

Transkriptio

1 Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt 1 1 HARMONINEN VÄRÄHELIJÄ 1. yön tavoitteet 1.1 Mittausten taroitus ässä työssä tutustut jasolliseen, määrätyin aiavälein toistuvaan liieeseen, jota voidaan matemaattisesti uvata sini- ja osinifuntioiden avulla. Kosa näitä funtioita sisältäviä lauseeita utsutaan harmonisisi, jasollista liiettä nimitetään usein harmonisesi liieesi ja jasollisessa liieessä olevaa esinettä utsutaan harmonisesi värähtelijäsi. yössä määrität jousen jousivaion ahdella eri menetelmällä. Ensinnäin mittaat jousen venymää sen päähän ripustetun punnusen massan funtiona ja toisesi saatat jousen punnusineen harmoniseen värähdysliieeseen ja mittaat tämän liieen jasonaiaa massan funtiona. Lisäsi määrität maan vetovoiman iihtyvyyden matemaattisen heilurin avulla mittaamalla heilurin heilahdusliieen jasonajan seä langan pituuden. 1. Oppimistavoitteet yön taroitusena on opettaa sinua äyttämään metrimittaa ja seuntielloa, jota ysinertaisuudestaan huolimatta uuluvat edelleen täreimpiin perusmittausvälineisiin. Opit määrittämään metrimitan ja ellon luemataruudet ja tarastelemaan muita mittaustulostesi taruuteen vaiuttavia teijöitä. Maan vetovoiman iihtyvyyden luotettavuuden arvioinnin yhteydessä pääset soveltamaan oppimiasi virheen arviointimenetelmiä täreän fysiian perussuureen määrittämisessä. ässä työssä eseisenä tavoitteena on myös opetella mittaustulosten äsittelyä tauluomuodossa ja esittämistä graafisesti. Kolmas täreä oppimistavoite on tutustua ahteen menetelmään, joita äyttäen ilmiöitä uvaavia teoreettisia malleja voidaan sovittaa mittaustulosiin. Nämä menetelmät ovat graafinen sovitus ja pienimmän neliösumman menetelmä. Niitä äytetään erityisesti silloin, un mitattavat suureet riippuvat lineaarisesti mittausissa muunneltavissa olevista suureista, jota usein voidaan olettaa taroisi. ässä työssä määrität jousivaion venymämittausista graafista sovitusta äyttäen. Jousen heilahdusaiamittausista laset suoran ulmaertoimen ja vaiotermin arvot luennoilla esitetyistä yhtälöistä tauluomenetelmän avulla äyttäen apuna Excel-tauluolasentaohjelmaa. Kulmaertoimen ja vaiotermin perusteella saat selville tutimasi jousen jousivaion ja massan. Lisäsi tutustut siihen, miten heilahdusaiamittausten pienimmän neliösumman sovitus voidaan tehdä suoraan Excelin avulla, jolloin saat selville ulmaertoimen ja vaiotermin virherajoineen.

2 HARMONINEN VÄRÄHELIJÄ. yössä äytettävät laitteet.1 Metrimitta ja seuntiello Metrimitalla, jona luemataruus on 0,5 1 mm, voidaan sen pituudesta riippuen mitata pituusia 0,1 m 30 m. Mittaat seä jousen venymää että matemaattisen heilurin langan pituutta metrimitalla. Kuvassa.1 a) on esimeri työssä äytettävästä metrimitasta. Fysiian töissä äytettävien seuntiellojen luemataruudet vaihtelevat yleensä välillä 0,01 0,1 s. ässä työssä mitataan uvassa.1 b) esitetyllä seuntiellolla seä jousen heilahdusaioja että matemaattisen heilurin jasonaioja. Nollaus Käynnistys / Pysäytys aruus a) b) Kuva.1. yypillinen fysiian töissä äytettävä a) metrimitta ja b) seuntiello.. Jousi..1 Venymä Periaateuva työssä äytettävästä ierrejousesta ja punnusesta on esitetty uvassa.. Luentojen luvussa 9 tarastellaan taremmin tilannetta, jossa jouseen ripustetaan m-massainen punnus. ällöin punnus venyttää jousta voimalla, jona suuruus on F ja joa on suoraan verrannollinen jousen venymään y. asapainotilanteessa, un jousi ja punnus ovat paiallaan, jousi ohdistaa punnuseen voiman, joa on yhtä suuri, mutta vastaaissuuntainen uin punnusen paino, ts. y y F = y = mg, (.1) missä on jousen jousivaio ja g on maan vetovoiman iihtyvyys, jolle Oulun oreudella voidaan äyttää li- mg Kuva.. Jousen venymä ilman punnusta ja punnusen anssa.

3 Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt 1 3 iarvoa 9,8 m/s. Yhtälön (.1) perustella tiedetään, että jousen venymän y ja punnusen massan m välinen riippuvuus on muotoa g y = m eli y = b1m, (.) joa on suoran yhtälö, jossa ulmaerroin b 1 antaa suureen g arvon... Heilahdusaia arastellaan nyt tilannetta, jossa jouseen on ripustettu m-massainen punnus ja jousen venymä on alusi systeemin ollessa levossa y 0. Yhtälöstä (.) saamme venymälle y 0 = ( g )m. Pannaan jousi punnusineen sitten värähtelemään tasapainoaseman y0 ympärillä. arastellaan heteä t, jolloin punnusen poieama tasapainoasemasta on y. Punnusen liiuessa siihen ohdistuu nettovoima, jolle saadaan g F = mg - ( y + y0 ) = mg - y - y0 = mg - y - m = -y. Punnuseen vaiuttavan voiman suuruus on siten suoraan verrannollinen poieamaan tasapainoasemasta ja voiman suunta on sellainen, että se pyrii palauttamaan punnusen tasapainoasemaan. Punnusen liieyhtälösi saadaan nyt dv d y d y F = ma = m = m = -y Þ + y = 0. (.3) dt dt dt m Yhtälön (.3) yleinen rataisu on muotoa y t) = Asin( w t +f) amplitudi eli punnusen suurin poieama tasapainoasemasta, ulmataajuus, (, missä A on liieen w = pf = p on f on taajuus, on jasonaia ja f on vaiheulma. Mittaustilanteessamme punnus lähtee liieelle levosta siten, että punnusta on poieutettu tasapainoasemasta etäisyydelle A. Aluehto on siten y ( t = 0 ) = A, jolloin vaiheulmasi tulee f = p. ällöin saadaan punnusen paiasi ajan funtiona ( wt + p ) Acos( wt ) y( t) = Asin =. (.4) Kuva.3 esittää punnusen paiaa ajan funtiona ahdella eri amplitudin ja vaiheulman arvolla. Sijoittamalla yhtälön (.4) muainen rataisu yhtälöön (.3) ulmataajuuden, jousivaion ja massan välisesi yhteydesi saadaan w =. m

4 4 HARMONINEN VÄRÄHELIJÄ Punnus on nyt jasollisessa liieessä tasapainoasemansa molemmin puolin niin, että edestaaiseen heilahduseen eli yhteen jasoon uluva aia, jota utsutaan jasonajasi, värähdysajasi tai heilahdusajasi, on p m = = p. (.5) w ässä työssä äytämme sellaisia jousia ja punnusia, että emme voi olettaa jousen massaa meritysettömän pienesi punnusen massaan verrattuna. Luennoissa perus- m m, tellaan, että tällöin yhtälössä (.5) on itse asiassa äytettävää massaa ( ) j missä m j on jousen massa. Näin ollen jasonajasi saadaan ( 1 3) m + m j = p. (.6) Yhtälöstä (.6) saadaan punnusineen värähtelevän jousen heilahdusajan neliön punnusen massan m ja jousen massan m välisesi yhteydesi 4p m = 3 j 4p + m j eli = a, + b m. (.7) y (cm) 4,5 3,5,5 1,5 0,5-0,5-1,5 -,5-3,5-4,5 0 0, 0,4 0,6 0,8 1 1, 1,4 1,6 1,8 = A = 4 cm, f = 0 = A = cm, f = p/ t (s) Kuva.3. Punnusen paia ajan funtiona, un f = 1 Hz, tapausissa A = 4 cm ja f =0 seä A = cm ja f = p/.

5 Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt Matemaattinen heiluri arastellaan uvassa.4 esitettyä matemaattista heiluria, jossa pieni m - massainen pallo on iinnitetty l -pituisella massattomalla ja venymättömällä langalla iinteään pisteeseen ja saatettu heilahtelemaan niin, että heilahdusulma q on pieni. Jos oletetaan, että erilaiset itavoimat, uten esimerisi ilman vastus, voidaan jättää huomiotta, palloon vaiuttavat ainoastaan maan vetovoima ja langan tuivoima. Maan vetovoiman omponentti pallon radan suunnassa on - mgsinq. Pallon liieyhtälösi saadaan äyttäen tietoa, että pallon etäisyys tasapainoasemastaan on yhtä uin l - säteisen ympyrän aaren pituus s = lq q l mgsinq q mg Kuva.4. Matemaattinen heiluri. ( lq ) d s d F = ma = m = m = -mg sin q. (.8) dt dt q, jolloin liieyh- Kosa ulma q on pieni, voidaan äyttää approsimaatiota tälösi saadaan sin q» d q g + q = 0, (.9) dt l joa on samaa muotoa uin edellä saatu yhtälö (.3). Yhtälön (.5) muaisesti matemaattisen heilurin jasonaia on p l = = p. (.10) w g 3. Ennaotehtävät Rataise seuraavat tehtävät ennen saapumistasi työvuorolle. Palauta rataisusi työn ohjaajalle: 1. Johda yhtälön (.7) perusteella lauseeet, joista voit lasea jousivaion ja jousen massan m j pienimmän neliösumman suoran vaiotermin a ja ulmaertoimen b avulla.

6 6 HARMONINEN VÄRÄHELIJÄ. Rataise yhtälöstä (.10) maan vetovoiman iihtyvyys g. Osoita sitten logaritmista oonaisdifferentiaalimenetelmää äyttäen, että maan vetovoiman iihtyvyyden suhteellisen virheen D g g yläraja on muotoa Dg g (ln g) Dl l + (ln g) D Dl l D +. (.11) 4. Mittauset 4.1 Jousen venymän ja heilahdusajan mittauset Valitse, minä jousen osan paiaa luet mittausissa asteiolta ja irjaa varsinaisen venymän määrittämisesi ylös luema ilman punnusta. Ripusta sitten ensimmäinen punnus jouseen, irjaa mittauspöytäirjaan punnusen massa ja sitä vastaava jousen uusi paia asteiolla. Saata sitten jousi punnusineen heilahtelemaan ja mittaa 10 perääisen heilahdusen aia olme ertaa. Ripusta tämän jäleen seuraava punnus edellisen lisäsi jouseen ja toista edellä uvatut venymä- ja heilahdusaiamittauset. oista tätä, unnes olet tehnyt ummatin mittauset ymmenellä eri massalla. 4. Maan vetovoiman iihtyvyyden mittaaminen Mittaa ensin äytössäsi olevan matemaattisen heilurin langan pituus metrimitalla, irjaa virheen arviointia varten mittauspöytäirjaan myös mittausesi taruus. Pane sitten matemaattinen heiluri heilahtelemaan. Pohdi, miä approsimaatio sinun tulee ottaa huomioon mittausissasi. Mittaa 0 perääisen heilahdusen aia olme ertaa. Mitä seiat sinun on otettava huomioon määrittäessäsi heilahdusajan virhettä? 5. Mittaustulosten äsittely ja tulosten luotettavuuden arviointi 5.1 Jousen venymä ja heilahdusaia Jousivaion määrittäminen venymämittausista Lase ensin jousen todelliset venymät vähentämällä utain massaa vastaavasta jousen paiasta ilman punnusta havaittu paialuema. Kirjaa lasujesi tuloset sopivaan tauluoon. Piirrä sitten Liitteen ohjeiden muaisesti ( m, y)- oordinaatistoon uvaaja, joa esittää venymää massan funtiona ja sovita havaintopisteisiin Liitteestä löytyvän malliuvaajan muaisesti suora ja määritä sen ulmaerroin. Lase ulma-

7 Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt 1 7 ertoimen ja maan vetovoiman iihtyvyyden liiarvon 9,8 m/s avulla jousen jousivaio Jousivaion ja jousen massan määrittäminen heilahdusaiamittausista Yhtälöstä (.7) huomataan, että un värähtelevän jousen jasonaia on mitattu punnusen massan funtiona, annattaa mittaustuloset esittää ( m, ) -oordinaatistossa. Jos aii on unnossa, tulisi piirtämäsi pisteiden muodostaa suora. Sovita yhtälön (.7) muainen suora havaintopisteisiin pienimmän neliösumman menetelmällä äyttäen Liitteen ohjeita, jolloin saat lasetusi suoran vaiotermin a ja ulmaertoimen b arvot. Lase sitten näiden avulla arvot jousen jousivaiolle ja massalle ennaotehtävässä 1 johtamistasi lauseeista. utustu vielä ohjaajan avustusella siihen, miten voit piirtää pienimmän neliösumman suoran Excelin avulla ja määritä jousen massa myös piirtämästäsi suorasta. Määritä suoran ulmaerroin b ja vaiotermi a myös suoraan Excelin avulla hyödyntäen ohjelmasta löytyvää pienimmän neliösumman sovitusta. utustu lisäsi siihen, miten voit määrittää Exceliä äyttäen suoran ulmaertoimen ja vaiotermin virheet. 5. Maan vetovoiman iihtyvyyden määrittäminen Lase matemaattisen heilurin jasonaia olmen heilahdusaiamittausesi esiarvona ja määritä jasonajan virhe vertaamalla ellon luemataruutta, reatioajan aiheuttamaa virhettä ja suurinta poieamaa heilahdusajan esiarvosta. Lase sitten maan vetovoiman iihtyvyys ennaotehtävässä johtamastasi yhtälöstä ja yhtälöstä (.10) maan vetovoiman iihtyvyyden suhteellisen virheen yläraja. Määritä lopusi myös maan vetovoiman iihtyvyyden absoluuttinen virhe 6. Lopputuloset ja pohdintaa Ilmoita lopputulosina seä venymä- että heilahdusaiamittausten perusteella lasemasi jousivaion arvot seä heilahdusaiamittausten avulla lasemalla ja uvaajasta määritetyt jousen massan arvot. Pohdi lopputulosten esitystapaa vertaamalla ahdella eri tavalla saatua jousivaion ja jousen massan arvoa. Ilmoita maan vetovoiman iihtyvyys virherajoineen ja vertaa saamaasi tulosta tauluoarvoon.