M y. u w r zi. M x. F z. F x. M z. F y

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "M y. u w r zi. M x. F z. F x. M z. F y"

Transkriptio

1 Tuipaalutusen lasenta siitmämenetelmällä Yleistä Jos paaluvoimia ei voida määittää suoaan tasapainohtälöistä (uten ohdassa 5.), on smsessä staattisesti määäämätön paalutus, jona paaluvoimien lasentaan tavitaan mös siitmien hteensopivuusehtoja. Seuaavassa esitetään siitmämenetelmän muainen ataisu, jossa ataistaan alusi jonun valitun pisteen (leensä oodinaatiston oigon) siitmäomponentit. Jos paalulaatan siitmät hdessäin pisteessä tunnetaan, tunnetaan mös aiien muiden pisteiden siitmät, osa laatta otasutaan täsin jääsi appaleesi (EI = EA =, eli paalulaatta ei taivu tai puistu ooon). Kun tunnetaan siitmäomponentit, voidaan unin paalun saama ooonpuistuma lasea ja tästä edelleen paaluvoimat. Tämän ataisutavan edullisuus on siinä, että tuntemattomia siitmäomponentteja on tasotapausessa aina enintään 3 ja avauustapausessa vastaavasti 6 l iippumatta paalutusessa ätettjen paalujen luumääästä Paaluvoimien ataisu tasotapausessa Jos paalutusella on si smmetiataso (niin uin ätännön aenteissa usein on), voidaan tässä tasossa vaiuttavien uloisten uomaomponenttien aiheuttamat siitmät ja paaluvoimat lasea ns. tasotapausena. Esimeisi uvan 67 paalutuseen sntvät siitmät ja paaluvoimien lasenta voidaan aina jaaa ahteen toisistaan iippumattomaan osaan: 1) Tasotapausena voidaan ensin äsitellä eiseen smmetia- eli -tasossa vaiuttavien uloisten voimaomponenttien, ja osuus (uva 67 b) paaluvoimiin. ) uiden (leensä seundääisten) voimaomponenttien (, ja ) vaiutusesta tuleva osuus paaluvoimiin voidaan lasea eiseen, jos on tapeen: a) b) u w i, ϕ Kuva 67. Paalutus, jolla on si smmetiataso ( -taso). a)tasopiios, ätettävä oodinaatisto seä aii uusi uloista voimaomponenttia. b) Sivuuva, tasossa vaiuttavat pimääiset voimasuueet ja niitä vastaavat siitmäomponentit. Taastellaan seuaavassa siitmämenetelmän muaista ataisuhtälöiden johtamista tasopaalutuselle. Ysittäisen paalun päässä aselin suunnassa vaiuttavan voiman ja vastaavan ooonpuistuman välisen hteden ilmaisee aiaisemmin mainittu paalun jäs i = EA/L (s. aava (49)). Tämä jousivaiota vastaava suue voidaan tuipaalulle helposti johtaa Hooen lain avulla taastelemalla uvaa 68 a).

2 37 N, ϕ Δ 1 O, u w Δ 1 L N Δ = α Kuva 68. a) Paalun päihin vaiuttava asiaalinen puistusvoima N ja aselin suuntaiset siitmät Δ i. Kuvan 68 a) muaan, jos tunnetaan siitmät Δ i paalun molemmissa päissä, saadaan ooonpuistumasi Δ Δ 1. Suhteellinen puistuma (muodonmuutos) oo paalun pituudella on ε = (Δ Δ )/L, josta edelleen saadaan paalun jännits lasettua etomalla ε immoetoimella E (Hooen lai). σ = E ε. (65) Paalun nomaalivoima saadaan etomalla jännits paalun poiipinta-alalla (A). Paalussa vallitsevan nomaalivoiman ja päiden siitmien välille saadaan siten htes: EA N = ( Δ Δ1 ). (66) L Tuipaaluissa otasutaan leensä paalun alapään tueutuvan täsin jäään allioon, jolloin paalun alapäässä ei tapahdu siitmistä ja Δ =. Otasumalla paalun puistusvoima positiivisesi suueesi saadaan htälöstä (66) N = Δ 1, (67) jossa on paalun jäs. ( = EA/L, aava (49), vt. lineaaisen jousen jousivaio). Vastaavalla tavalla voidaan johtaa oo paalutuselle sen johonin pisteeseen vaiuttavien oodinaattiaselien suuntaisten voimaomponenttien (, ja ) ja pisteen siitmien (u, w ja ϕ) välinen htes (uva 68 b). Kosa siitmä- ja voimaomponentteja on tasossa hteensä 3 l, tavitaan mös 3 toisistaan iippumatonta htälöä. Yhtälöt voidaan muodollisesti ijoittaa matiisimuotoon seuaavasti: u w = ϕ eli matiisihtälönä sama asia: [ K]{ } { f} b) Paaluantuan siitmäomponenttien u,w ja ietmän ϕ ollessa tunnettuja voidaan määittää paalun läpäässä tapahtuva aselin suuntainen ooonpuistuma (Δ 1 ). (68) δ =. (69) missä eoinmatiisille ja vetoeille ätetään tavallisesti meaniiasta tuttuja nimitsiä [K] = paalutusen jäsmatiisi, {δ} = siitmävetoi ja {f} = voimavetoi.

3 38 Jäsmatiisin [K] aliot aavassa (68) voidaan ataista antamalla vuoonpeään sittäiselle siitmäomponentille siön suuuinen avo (muiden omponenttien ollessa nollia) ja lasemalla tämän siitmätilan aiheuttamat. voimaomponentit paalun läpäässä. Voimaomponentit ovat tällöin suoaan siitmäomponenttia vastaavan jäsmatiisin pstivin aliot uten htälöstä (6) voidaan nähdä. ääitetään seuaavassa esimein vuosi jäsmatiisin ensimmäisen pstsaaeen aliot antamalla siitmäomponentille u avo 1 (u = 1) muiden siitmien ollessa nollia (w = ja ϕ =). Yhtälöstä (68) seuaa tällöin 11 =, 1 = ja 31 = eli jäsmatiisin alioiden määittämisesi on lasettava asetetusta siitmätilasta aiheutuneet voimaomponentit (, ja ) (uva 69). Paalun läpää puistuu ooon paaluantuan pstsiitmän u johdosta matan Δ, jona suuuus saadaan u:n pojetiona paalun aselille: Δ = cos (α) u = cos (α), (7) missä α on - aselin ja paalun aselin välinen ulma. Kooonpuistuma Δ snnttää paaluun nomaalivoiman, jona suuuus on htälön (57) peusteella on: N = Δ = cos (α). (71) Jaamalla voima N oodinaattiaselien suuntaisiin omponentteihin (, ) ja lasemalla N:stä aiheutuva momentti oigon suhteen ( ) saadaan jäsmatiisin ensimmäisen pstsaaeen alioisi: 11 = = cos (α) N = cos (α), 1 = = sin (α) N = sin(α) cos(α) (7) 31 = = N = cos(α), Kuva 69. Paalun jäsmatiisin alioiden määits. missä on paalun nomaalivoiman momenttivasi oigosta mitattuna. Johtamalla vastaavasti muut jäsmatiisin aliot, (toinen ja olmas saae htälössä (68)) ja ättämällä paalun aselin suuntaisen vetoin suuntaulmien osineille seuaavia lhennsmeintöjä p = cos (α) p = cos (9 o - α) = sin (α), (73) voidaan htälöhmä (68) ijoittaa muotoon: o, u u = 1 α Δ p u p w = ϕ, (74) joa uvaa sittäisen paalun jäden osuutta oo paalutusen voima-siitmähtälöhmässä. Summaamalla aiien paalujen vaiutus hteen saadaan paalutusen jäsmatiisi lausuttua valitussa oodinaatistossa ja edelleen lopullinen htälöhmä siitmäomponenttien u, w ja ϕ ataisemisesi:

4 39 p p u w =. (75) ϕ Yhtälöhmästä (75) nä, että siitmävetoin eoinmatiisi eli jäsmatiisi on ullein paalutuselle ominainen aennevaio ja iippuu ainoastaan paalujen jäsistä seä niiden asemasta valittuun oodinaatistoon nähden (suueet p i, p i, i ja i ovat aii vaioita). Rataisuhtälöitä on tasotapausessa ainoastaan 3 appaletta (tämä siis tasopaalutusissa, jota eivät ole meanismeja), joten valitun paalutusen oigon siitmät voidaan aina määittää, jos uloiset uomaomponentit (, ja ) tunnetaan. atiisimeinnöin ijoitettuna htälön (75) ataisu on muotoa: {δ} = [K] -1 {f}, (76) missä {δ}-vetoi sisältää tuntemattomat siitmäomponentit (u, w ja ϕ). Tavallisesti htälöhmän (75) ataisu uitenin suoitetaan eliminointimenettelllä, jolloin eoinmatiisin [K] äänteismatiisia ei tavitse eiseen määittää (esim. Gaussin menetelmä). Kätännössä 3 3 htälöhmän ataisu onnistuu helposti sopivaa funtiolasinta, tauluolasenta- tai matematiiaohjelmaa hväsi ättäen. Kun jään paaluantuan siitmäomponentit hdessä tason pisteessä (= tavallisesti valitun oodinaatiston oigossa) on ataistu, niin samalla tunnetaan paaluantuan aiien muidenin pisteiden siitmät. Näin ollen joaisen paalutuseen uuluvan paalun läpäässä voidaan määittää paalun saama aselin suuntainen siitmä (= ooonpuistuma) Δ ja siitä edelleen paaluvoima N ättäen aavaa (67). Ysittäisen paalun läpään siitmä Δ i paalun aselin suunnassa saadaan lasettua siitmäomponenteista paalun suuntaosinien ja momenttivaen avulla. Paalun i nomaalivoiman lauseeesi saadaan: N i = i Δ i = i [p i u + p i w + i ϕ]. (77) i (positiivinen i ) o Kaavoissa esiintvä sittäisen paalun momenttivasi + i eli paalun aselin ohtisuoa etäiss oigosta (uva 7) voidaan sinetaisimmin lasea paalun läpään oodinaattien ja suuntaosinien avulla htälöstä: i i = i p i - i p i (78) i johon läpään paiaoodinaatit (i, i ) on sijoitettava meeineen samoin uin suuntaosinien avo. (Huom. omenttivaen i ja suuntaosinin p i väää etumei on lasennassa tehtjä leisimpiä viheitä) Tasotapausessa meien oieellisuuden taistusena voi ättää seuaavia sääntöjä: 1. -oodinaatistossa -aselin ja paalun aselin välinen suuntaulman osini: p = cos (α) on aina positiivinen, osa paalut suuntautuvat aina alaspäin (uva 7).. -aselin ja paalun aselin välinen suuntaulman osini p = cos (9 o - α) = sin (α) on positiivinen, jos ulma α on positiivinen. Paalu on tällöin alteva oiealle uten uvassa 7. Jos ulma α on negatiivinen mös p muuttaa meinsä ja on negatiivinen (vasemmalle alteva paalu). 3. omenttivasi on positiivinen, jos paalun aseli tai sen jate ohittaa oigon oiealta, miä taoittaa positiivisen -aselin puolelta uten uvassa 7. +α Paalu i Kuva 7. Paalun aselin momenttivasi( i ) ja läpään oodinaatit ( i ja i ).

5 4 Paalujen nomaalivoimien lasemisesi tavitaan siis ainoastaan asi htälöä (75) ja (77) iippumatta siitä uina monta paalua tai paaluiviä paalutusessa on. Rataisun ulu on siten aina sama: 1) Valitaan oodinaatisto, lasetaan jäsmatiisin etoimet, edusoidaan uloinen uoma valittuun oigoon, muodostetaan htälöhmä (75) ja ataistaan siitmäomponentit (u, w ja ϕ). KK ) Rataistaan paaluvoimat (N i ). htälöistä (77) Pääjädet ja pääsuunta Siitmäomponenttien ataisemisesi on leensä ataistava olmen htälön lineaainen htälöhmä (75). o φ o Koodinaattiaseliston sopivalla paian valinnalla voidaan ataistavaa htälöhmää josus sinetaistaa. Eitisesti, jos oigo valitaan paalutusen ietoesiöön (ohta 5..) tulevat siitmäomponentit u ja w ietmästä ϕ iippumattomisi ja jäsmatiisin temit = o 1 =. 1 Yhtälöhmä (75) on tällöin muotoa: p u p w =, (79) ϕ Kuva71. Paalutusen ietoesiö ja pääsuunta. missä uloisten uomien aiheuttama momentti ( ) lasetaan ietoesiön suhteen. Kietmä (ϕ) eli ietmän suuuus ietoesiön mpäi voidaan heti ataista: ϕ = /. Jos vielä suoitetaan oodinaatiston ieto paalutusen pääsuuntaan (φ o ) (uva 71), nollautuu edellisten temien lisäsi eoinmatiisista viimeinenin lävistäjän ulopuolinen temi p ja eoinmatiisista tulee diagonaalinen: u w = ϕ, (8) Diagonialisoidun eoinmatiisisin lävistäjäaliot ovat tasopaalutusen pääjästemit. atemaattisesti eoinmatiisin [K] muuntaminen lävistäjämuotoon on ominaisavotehtävä ja lävistäjätemit (eli pääjädet) ovat alupeäisen eoinmatiisin ominaisavot. Nämä voidaan helposti määittää matemaattisilla ohjelmilla (atcad, atlab). Siitmäomponentit (u ja w ) pääoodinaatiston aselien suunnissa ( ) voidaan helposti määittää lineaaisesti iippumattomista htälöistä (8), mutta eoinmatiisin aliot, seä uloiset voimasuueet on lasettava pääaselistossa ( ) (uva 71). Tästä oituu usein tapeettomasti lisätötä, osa ietoesiön paia seä pääsuunnat eivät ole leisessä tasotapausessa ennalta tunnettuja. Kaiilla (stabiileilla) tasopaalutusilla on uitenin aina olemassa siäsitteinen ieto-esiö seä pääsuunnat. Algeballisesti ietoesiön paia voidaan määittää alupeäisessä oodinaatistossa lasettujen jäsmatiisin alioiden avulla.

6 Ehdoista = ja = seuaa ietoesiön paian (, ) osoittavat htälöt: = = p p p, 3 = = p p p (81) Pääjässuunta voidaan edelleen määittää ehdosta p =, josta suunnan määittävälle ulmalle φ o saadaan ehtohtälö: 1 p tan(φ o ) = =, (8) 11 Pääjäsien ja pääjässuunnan tunteminen on täeää paalutusta suunniteltaessa, osa paalutus antaa eniten uomaa juui pääjässuunnassa. Vastaavasti tätä suuntaa vastaan ohtisuoassa suunnassa paalutusen anto on heioin. Paalutus tuleein suunnitella siten, että suuin uloinen uoma vaiuttaa pääjässuunnassa tai lähellä tätä olevassa suunnassa. Siitmiä lasettaessa ei leensä annata ensin määittää ietoesiötä tai pääjässuuntaa, osa niiden tunteminen ei ole välttämätöntä. Siitmät on useimmiten helpointa määittää suoaan htälöhmästä (75) tauluolasentaohjelmaa tai ohjelmoitava lasinta ättäen, vaia jouduttaisiinin ataisemaan 3 tuntematonta sisältävä htälöhmä. Jos ietoesiön paia on ennalta tunnettu, on oigo ätevintä sijoittaa ietoesiöön, mutta säilttää alupeäiset oodinaattiaselien suunnat. Siitmäomponentit pst- ja vaaasuunnassa (u ja w) voidaan vielä ataista ahden htälön htälöhmästä (79) suhteellisen helposti. Koodinaatiston ietämistä pääsuuntaan tulee leensä välttää, osa tästä aiheutuu lisätöitä. Paalujen läpäiden oodinaatit, suunnat seä uomaomponentit on nimittäin lausuttava uudessa, ieetssä -oodinaatistossa (uvassa 71) ätännössä muavien pst- ja vaaasuuntien sijasta. Koodinaatiston oigon paian valinnalla voidaan mös jonun vean a. helpottaa jäsmatiisin temien lasentaa. Sijoittamalla oigo paalujen läpäiden tasoon on aiien paalujen läpäiden -oodinaatti nolla ( i = ). Tällöin momenttivasi saadaan aavan (78) muaan htälöstä: i = i p i. Jos useamman paalunivin aselit tasopojetiossa leiaavat samassa pisteessä annattaa oigo sijoittaa istesohtaan, osa näissä iveissä sijaitsevien paalujen mo- ment-tivaet oigon suhteen häviävät.( i =, uva 7 a). b. Jos tasopaalutusella on smmetia-aseli, on se samalla aina mös pääsuunta (uva 7 b). Tällöin -aselisi annattaa sijoittaa smmetia-aselille. Tällöin jäsmatiisista nollautuvat temit p ja ja ataisuh- tälöhmä (75) muuttuu muotoon: u w = ϕ. (83) Kuva 7. Oigon paian valinta. a) Useamman paaluivin istesohta b) Smmetia-aseli (= -aseli).

7 Paaluvoimien ataisu avauustapausessa Yleisessä (stabiilissa) avauustapausessa paaluja on enemmän uin 6 l, paalut sijaitsevat ei suunnissa eiä paalutusella ole smmetiatasoa (uva 73). Paaluantualla on uitenin aiiaan vain 6 siitmäomponenttia eli vapaus-astetta; siitmäomponentit (u, v, w) oodinaattiaselien suuntaan ja ietmäomponentit (ω, ϕ, θ) oodinaatti-aselien mpäi. Vastaavasti uloisena uomitusena voi olla olme voimaomponenttia (, ja ) ja olme momenttiomponettia (,, ). Voimien ja siitmien välinen htes leisessä avauustapausessa voidaan ijoittaa muotoon: u v w = ω ϕ θ, (84) Kuva 73. Avauuspaalutus. vastaten tasotapausen htedessä esitettä htälöhmää (68). Kosa aenteen jäsmatiisi on aina smmetinen, on aavan (84) eoinmatiisissa eilaisia alioita enintään 1 l. Kaii [K] -matiisin aliot voidaan määittää samalla peiaatteella uin tasotapausen äsitteln htedessä esitettiin. Rataisemalla voimasuueet siitmätilasta, jossa sittäiselle siitmäomponenteille annetaan vuoonpeään avo 1 ja pitäen samanaiaisesti muut omponentit nollina. Jäsmatiisin alioisi saadaan tällä peiaatteella: p p p p p p u v w = ω ϕ θ, (85) missä meinnät p, p ja p ovat lhennsmeintöjä paalun aselin ( ) ja oodinaattiaselien (,,) välisten suuntaulmien osineille: p = cos (,), p = cos (,), (86) p = cos (,) ja, ja ovat paalun aselin momenttivaet oodinaattiaselien suhteen. Nämä voidaan sinetaisimmin määittää suuntaulmien ja paalun läpään oodinaattien avulla htälöistä:

8 43 = p - p, = p - p, (87) = p - p. Kun siitmäomponentit ovat htälöistä (85) ataistu, saadaan sittäisen paalun paaluvoima (N i ) uten tasotapausessain lasemalla ensin paalun ooonpuistuma ja etomalla se sittäisen paalun jädellä i. Paalun i ooonpuistuma (Δ i ) saadaan lasettua pojisioimalla paaluantuan siitmäomponentit paalun aselin suunnalle: N i = i Δ i = i [p i u + p i v +p i w + i ω+ i ϕ+ i θ]. (88) Soveltamalla htälöitä (85) (88) voidaan aina määittää mielivaltaisen avauuspaalutusen paaluvoimat. Sstemaattisuutensa vuosi esitett aavat sopivat eitisen hvin ohjelmoitavasi. Jos paalutusella on tasouvassa si smmetia-aseli, ja paalutusen oodinaatisto valitaan siten, että -aseli ht smmetia-aseliin, jaaantuu avauuspaalutusen ataisu ahteen toisistaan iippumattomaan osaan (s. mös ohta 5.3. ja uva 67 a). Samalla aavan (85) jäsmatiisista nollautuu 18 temiä. Jäjestämällä aavassa siitmävetoi siten, että -tasossa tapahtuvat siitmät (u, w, ϕ) tulevat ensin, on avauuspaalutusen ataisuhtälöhmä tällöin muotoa: = v w u p p θ ω ϕ. (89) Yhtälöhmän (89) olme lintä htälöä on itse asiassa jo aiaisemmin edellä äsitelt tasotapaus ja voidaan aina äsitellä muista omponenteista iippumatta. Kolmen alimman htälön avulla voidaan puolestaan ataista -tasoa vastaan ohtisuoan voiman ( ) ja ahden momentin ( ja ) aiheuttamat siitmäomponentit ja niistä aiheutuvat lisäset paaluvoimiin. Usein paalutus pitään ätännössä suunnittelemaan siten, että pääasiallinen uomitus tapahtuu smmetiatason suuntaisesti, jolloin tasoa vastaan ohtisuoien uomat pieniä ja niiden aiheuttamat lisäset paaluvoimiin seundääisiä. Jos avauuspaalutusella on tasouvassa asi smmetia-aselia, niin htälöhmä (89) sinetaistuu edelleen, jos -aselisi valitaan smmetia-aselien leiauspisteen autta uleva suoa. Paalutusen voima-siitmähtes voidaan tällöin ijoittaa muotoon: = v w u ω θ ϕ. (9) Sijoittamalla oigo -tason suunnassa määitettn ietoesiöön voitaisiin vielä si lävistäjän ulopuolinen temi eli aavassa (9) nollata. Keoinmatiisin tädellinen diagonalisointi ei tavallisesti ole mahdollista, osa siäsitteistä ietoesiötä ei mielivaltaisella avauuspaalutusella ole. Viimeisen lävistäjän ulopuolisen temin nollaaminen samanaiaisesti temin anssa onnistuu siten vain eioistapausessa.

3 KEHÄRAKENTEET. 3.1 Yleistä kehärakenteista

3 KEHÄRAKENTEET. 3.1 Yleistä kehärakenteista Elementtimenetelmän peusteet. KEHÄRAKENTEET. leistä ehäaenteista Kehäaenteen osina oleat palit oiat ottaa astaan aiia annattimen asitusia, jota oat nomaali- ja leiausoima seä taiutus- ja ääntömomentti.

Lisätiedot

Sähköstatiikka ja magnetismi Mekaniikan kertausta

Sähköstatiikka ja magnetismi Mekaniikan kertausta Sähöstatiia ja magnetismi Meaniian etausta Antti Haato 17.05.013 Newtonin 1. lai Massan hitauden lai Jatavuuden lai Kappaleen nopeus on vaio tai appale pysyy paiallaan, jos siihen ei vaiuta voimia. Newtonin

Lisätiedot

Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely.

Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely. 1144/2011 7 Liite 1 Vauutustenisistä riseistä johtuvien suureiden lasemista varten äytettävä vauutuslajiryhmittely. Vauutuslajiryhmä Vauutusluoat Ensivauutus 1 Laisääteinen tapaturma 1 (laisääteinen) 2

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Meaniian jatourssi Fys10 Sysy 009 Jua Maalampi LUENTO 6 Harmonisen värähdysliieen energia Jousen potentiaalienergia on U ( x missä on jousivaio ja Dx on poieama tasapainosta. Valitaan origo tasapainopisteeseen,

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 21: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Lagrangen

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 21: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Lagrangen / ÄRÄHELYMEKANIIKKA SESSIO : Usean vapausasteen systeein liieyhtälöien johto Lagrangen yhtälöillä JOHDANO Kirjoitettaessa liieyhtälöitä suoraan Newtonin laeista äytetään systeeistä irrotettujen osien tai

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi 02/1 VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi VAPAUSASTEET Valittaessa systeeille lasentaallia tulee yös sen vapausasteiden luuäärä äärätysi. Tää taroittaa seuraavaa: Lasentaallin

Lisätiedot

Talousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut

Talousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut Sivu 1/7 oronorolasuja sovelletaan tapausiin, joissa aia on pidempi uin ysi oonainen orojaso, eli aia, jolle oroanta ilmoittaa oron määrän. orolasu: enintään yhden orojason pituisille oroajoille; oronorolasu:

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen D-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Johdanto differenssiyhtälöiden rataisemiseen Differenssiyhtälöillä uvataan disreettiaiaisten järjestelmien toimintaa. Disreettiaiainen taroittaa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja

Lisätiedot

RATKAISUT: 21. Induktio

RATKAISUT: 21. Induktio Physica 9 2. painos 1(6) ATKAISUT ATKAISUT: 21.1 a) Kun magneettienttä muuttuu johdinsilmuan sisällä, johdinsilmuaan indusoituu lähdejännite. Tätä ilmiötä utsutaan indutiosi. b) Lenzin lai: Indutioilmiön

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali

Todennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali Todennäöissjaaumat /5 Sisältö ESITIEDOT: lasenta, määrätt Haemisto KATSO MYÖS: tilastomatematiia P (X = )=p. Nämä ovat 0 ja niiden summa on p =. Pistetodennäöisdet voidaan graafisesti esittää pstsuorien

Lisätiedot

Muodonmuutostila hum 30.8.13

Muodonmuutostila hum 30.8.13 Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan

Lisätiedot

2 Taylor-polynomit ja -sarjat

2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.

Lisätiedot

4757 4h. MAGNEETTIKENTÄT

4757 4h. MAGNEETTIKENTÄT TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 1/7 FYSIIKAN LABORATORIO V 1.6 5.014 4757 4h. MAGNEETTIKENTÄT TYÖN TAVOITE Työssä tutkitaan vitajohtimen aiheuttamaa magneettikentää. VIRTAJOHTIMEN SYNNYTTÄMÄ MAGNEETTIKENTTÄ

Lisätiedot

Sattuman matematiikkaa III

Sattuman matematiikkaa III Sattuman matematiiaa III Kolmogorovin asioomat ja frevenssitulinta Tommi Sottinen Tutija Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université

Lisätiedot

Lujuusopin jatkokurssi IV.1 IV. KUORIEN KALVOTEORIAA

Lujuusopin jatkokurssi IV.1 IV. KUORIEN KALVOTEORIAA Lujuusoin jatkokussi IV. IV. KUORIE KALVOTEORIAA Kuoien kalvoteoiaa Lujuusoin jatkokussi IV. JOHDATO Kuoiakenteen keskiinta on jo ennen muoonmuutoksia kaaeva inta. Kaaevasta muoosta seuaa että keskiinnan

Lisätiedot

Kalman-suodin. AS , Automaation signaalinkäsittelymenetelmät. Laskuharjoitus 3

Kalman-suodin. AS , Automaation signaalinkäsittelymenetelmät. Laskuharjoitus 3 Kalman-suodin AS-84.2161, Automaation signaalinäsittelmenetelmät Lasuhajoitus 3 Ideaalisen posessin tilamalli x( 1) x( ) Ax( ) Bu( ) u B A x Slide 2 Ideaalisen posessin tilamalli x( 1) x( ) Ax( ) Bu( )

Lisätiedot

Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä

Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Ennen uin mennään varsinaisesti tämän harjoitusen asioihin, otetaan alusi ysi merintäteninen juttu Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y 0 Vaihtoehtoinen

Lisätiedot

Eksponentti- ja logaritmiyhtälö

Eksponentti- ja logaritmiyhtälö Esponentti- ja logaritmiyhtälö Esponenttifuntio Oloon a 1 positiivinen reaaliluu. Reaalifuntiota f() = a nimitetään esponenttifuntiosi ja luua a sen antaluvusi. Jos a > 1, niin esponenttifuntio f : R R,

Lisätiedot

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 10: Avaruusristikon sauvaelementti.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 10: Avaruusristikon sauvaelementti. / EEMEIMEEEMÄ PERSEE SESSIO : Avasistion savalmntti. AVARSRISIKO EEMEIVERKKO Avasistion taaan ataisn päästään ättämällä lmnttivoa jona solmt ovat istion nivlin ohdilla in istion sava on lmntti. Kvassa

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille taroitetut rataisuehdotuset Tämän harjoitusen ideana on opetella -muunnosen äyttöä differenssiyhtälöiden rataisemisessa Lisäsi äytetään

Lisätiedot

Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt

Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt SMG-00 Piirianalyysi II Harjoitustehtävät Luu : Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmä on lineaarinen, jos T u u T u T u, jossa ja

Lisätiedot

Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt

Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt SMG-00 Piirianalyysi II Luentomonisteen harjoitustehtävien vastauset Luu : Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt. Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmä on lineaarinen,

Lisätiedot

Luku kahden alkuluvun summana

Luku kahden alkuluvun summana Luu ahden aluluvun summana Juho Salmensuu Lahden Lyseon luio Matematiia 008 Tiivistelmä Tutielmassa tarastellaan ysymystä; uina monella eri tavalla annettu parillinen oonaisluu voidaan esittää ahden aluluvun

Lisätiedot

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4) http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.

Lisätiedot

Taivaanmekaniikkaa Kahden kappaleen liikeyhtälö

Taivaanmekaniikkaa Kahden kappaleen liikeyhtälö Taivaanmekaniikkaa kaavojen johto, yksityiskohdat yms. ks. Kattunen, Johdatus taivaanmekaniikkaan tai Kattunen, Donne, Köge, Oja, Poutanen: Tähtitieteen peusteet tai joku muu tähtitieteen/taivaanmekaniikan

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden sisältöjen isteitysten luonnehdinta ei

Lisätiedot

S-114.240 Hahmontunnistus ihmisläheisissä käyttöliittymissä Kasvojen tunnistus ja identiteetin tarkistus: ZN-Face

S-114.240 Hahmontunnistus ihmisläheisissä käyttöliittymissä Kasvojen tunnistus ja identiteetin tarkistus: ZN-Face S-114.240 Hahmontunnistus ihmisläheisissä äyttöliittymissä Kasvojen tunnistus ja identiteetin taristus: ZN-Face Kalle Korhonen sorhon@cc.hut.fi 13.4.2000 Tiivistelmä: Raportissa tutustutaan aupalliseen

Lisätiedot

Työntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen erityisperusteet

Työntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen erityisperusteet Työnteijän eläelain (TyEL) muaisen eläeauutusen erityisperusteet 202 2 TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN (TYEL) MUKAISEN ELÄKEVAKUUTUKSEN ERITYISPERUSTEET Voimaantulosäännöset Perusteen 20.2.2006 oimaantulosäännös

Lisätiedot

Palkkielementti hum 3.10.13

Palkkielementti hum 3.10.13 Palilmntti hum.0. Palilmnttjä Tarastllaan tässä sitysssä vain Eulr-Brnoullin palitoriaan prustuvia palilmnttjä. Tässä palitoriassa olttaan, ttä palin poiiliaus säilyy taivutttunain tasona, joa on ohtisuorassa

Lisätiedot

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 30.5.2006. sarja A

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 30.5.2006. sarja A TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintauulustelujen matematiian oe 30.5.006 sarja A Ohjeita. Sijoita joainen tehtävä omalle sivulleen. Laadi rataisut seleästi v älivaiheineen, tarvittaessa

Lisätiedot

S , Fysiikka III (ES) Tentti Tentti / välikoeuusinta. Laaditaan taulukko monisteen esimerkin 3.1. tapaan ( nj njk Pk

S , Fysiikka III (ES) Tentti Tentti / välikoeuusinta. Laaditaan taulukko monisteen esimerkin 3.1. tapaan ( nj njk Pk S-.35, Fysiia III (ES) entti 8..3 entti / välioeuusinta I älioeen alue. Neljän tunnistettavissa olevan hiuasen miroanonisen jouon mahdolliset energiatasot ovat, ε, ε, 3ε, ε,, jota aii ovat degeneroitumattomia.

Lisätiedot

Näkymäalueanalyysi. Joukhaisselkä Tuore Kulvakkoselkä tuulipuisto 29.03.2012. Annukka Engström

Näkymäalueanalyysi. Joukhaisselkä Tuore Kulvakkoselkä tuulipuisto 29.03.2012. Annukka Engström Näyäalueanalyysi Jouhaisselä Tuore Kulvaoselä tuulipuisto 29032012 Annua Engströ Näyäalueanalyysin uodostainen Näeäalueanalyysilla saadaan yleisuva siitä, ihin tuulivoialat äytettyjen lähtötietojen perusteella

Lisätiedot

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,

Lisätiedot

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPITO TYÖOHJE 2009 Keianteniian osasto Tenillisen eian laboratorio BJ90A0900 Tenillisen eian ja tenillisen polyeerieian laboratoriotyöt Ohje: Irina Turu, Katriina Liiatainen,

Lisätiedot

Naulalevylausunto LL10 naulalevylle

Naulalevylausunto LL10 naulalevylle LAUSUNTO NRO VTT S 09771 08 1 (1) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö Lahti Levy Oy Asonatu 11 FI 15100 Lahti 3.9.2008 Simo Jouainen Ari Kevarinmäi VTT Asiantuntijapalvelut PL 1000 02044 VTT Puh. 020 722 5566,

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Hannu Pajula. Stirlingin luvuista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Hannu Pajula. Stirlingin luvuista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutielma Hannu Pajula Stirlingin luvuista Informaatiotieteiden ysiö Matematiia Maalisuu 2014 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden ysiö PAJULA, HANNU: Stirlingin luvuista

Lisätiedot

6 Lineaarisen ennustuksen sovelluksia

6 Lineaarisen ennustuksen sovelluksia 6 Lineaarisen ennustusen sovellusia Lineaarisella ennustusella on hyvin täreä asema monessa puheenäsittelyn sovellusessa. Seuraavassa on esitetty esimerejä siitä miten lineaarista ennustusta voidaan hyödyntää.

Lisätiedot

2. Tutki toteuttaako seuraava vapaassa tilassa oleva kenttä Maxwellin yhtälöt:

2. Tutki toteuttaako seuraava vapaassa tilassa oleva kenttä Maxwellin yhtälöt: 84 RDIOTKNIIKN PRUSTT aois. Las a gadini f, n f,, b divgnssi, n c oooi, n on n b- ohdassa.. Ti oaao saava vapaassa ilassa olva nä Mawllin hälö:.. Oloon vapaassa ilassa sähönä oplsivoina sinä. Määiä a aallon

Lisätiedot

Kolmivaihejärjestelmän oikosulkuvirran laskemista ja vaikutuksia käsitellään standardeissa IEC-60909, 60909-1, 60909-2, 60781, 60865-1 ja 60865-2.

Kolmivaihejärjestelmän oikosulkuvirran laskemista ja vaikutuksia käsitellään standardeissa IEC-60909, 60909-1, 60909-2, 60781, 60865-1 ja 60865-2. Luu 7: Oiosulusuojaus 7. OIKOLKOJA 7.. Yleistä Vero laitteide mitoittamisessa, oiosulusuojause suuittelussa ja turvallise äytö suuittelussa o tuettava oiosuluvirrat eri tilateissa ja eri osissa veroa.

Lisätiedot

Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä

Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä Kun yhdistetään kahdella tavalla esitetty sähkökentän vuo, saadaan Gaussin laki: S d S Q sis Gaussin laki peustuu siihen, että suljetun pinnan läpi

Lisätiedot

BLY. Paalulaattojen suunnittelu kuitubetonista. Petri Manninen 24.1.2011

BLY. Paalulaattojen suunnittelu kuitubetonista. Petri Manninen 24.1.2011 BLY Paalulaattojen suunnittelu uitubetonista Petri Manninen BY 56 Paalulaatta - Yleistä Käytetään tyypillisesti peheillä, noraali- tai lievästi ylionsolidoituneilla savioilla ja uilla peheiöillä Mitoitustietojen

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

4.7 Todennäköisyysjakaumia

4.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä ym., osa I G. Gripenberg Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Indutioperiaate Relaatiot ja funtiot Funtiot Aalto-yliopisto. maalisuuta 0 Kombinatoriia

Lisätiedot

RATKAISUT: 10. Lämpötila ja paine

RATKAISUT: 10. Lämpötila ja paine Physica 9. painos (6). Lämpötila ja paine :. Lämpötila ja paine. a) Suure, jolla uvataan aineen termoynaamista tilaa. b) Termoynaamisen eli absoluuttisen lämpötila-asteion ysiö. c) Alin mahollinen lämpötila.

Lisätiedot

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa S-4.7 Fysiia III (EST) Tetti..6. Tarastellaa systeemiä, jossa ullai hiuasella o olme mahdollista eergiatasoa, ε ja ε, missä ε o eräs vaio. Oletetaa, että systeemi oudattaa Maxwell-Boltzma jaaumaa ja, että

Lisätiedot

2.1. Bijektio. Funktion kasvaminen ja väheneminen ********************************************************

2.1. Bijektio. Funktion kasvaminen ja väheneminen ******************************************************** .. Funtion asvainen ja väheneinen.. Bijetio. Funtion asvainen ja väheneinen Palautetaan ieleen funtion äsite. ******************************************************** MÄÄRITELMÄ Oloot ja B asi ei-tyhjää

Lisätiedot

Naulalevylausunto LL10 naulalevylle

Naulalevylausunto LL10 naulalevylle LAUSUNTO NRO VTT-S-08165-13 1 (4) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö Tehtävä Yleistä Lahti Levy Oy Asonatu 11 15100 Lahti 21.11.2013 Simo Jouainen VTT Expert Services Ltd Ari Kevarinmäi PL 1001, 02044 VTT Puh.

Lisätiedot

Luentomoniste: Mekaniikka Pasi Repo & Pekka Varis (päivitetty 2.1.06)

Luentomoniste: Mekaniikka Pasi Repo & Pekka Varis (päivitetty 2.1.06) Fyiia evät 006 JAMK/IT -Intituutti Luentoonite: Meaniia Pai Repo & Pea Vai (päivitetty..06) 0. Johdanto... 0.. Fyiian ääitelä... 0.. Mittau ja yiöt.... -ulotteita ineatiiaa... 3.. Keivauhti... 3.. Keinopeu...

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

Kun annettu differenssiyhtälö z-muunnetaan puolittain, saadaan: 1 1 z Y z zy z z/4 4

Kun annettu differenssiyhtälö z-muunnetaan puolittain, saadaan: 1 1 z Y z zy z z/4 4 DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoits 8, rataisehdotset Tämän harjoitsen ideana on opetella -mnnosen ättöä differenssihtälöiden rataisemisessa. Lisäsi ätetään -mnnosen ehäpä hödllisintä ominaistta, eli

Lisätiedot

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Koordinaatistot 1/6 Sisältö Koordinaatiston ja koordinaattien käsite Geometrisissa tehtävissä ja siten mös monissa kätännön ongelmissa on usein tarpeen ilmoittaa pisteiden sijainti jonkin kiinteän vertailussteemin

Lisätiedot

Luvun 10 laskuesimerkit

Luvun 10 laskuesimerkit Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 11.1 Sigge-serkku tasapainoilee sahapukkien varaan asetetulla tasapaksulla puomilla, jonka pituus L = 6.0 m ja massa M = 90 kg. Sahapukkien huippujen välimatka D = 1.5

Lisätiedot

termit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s.

termit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s. SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 7 3. Luusarjat Josus luujonon (b ) termit on luontevairjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme luusarjojen teoriaan: Määritelmä 3.. Oloon ( ), R luujono. Symboli (3.)

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x , III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat

Lisätiedot

Ortogonaalisuus ja projektiot

Ortogonaalisuus ja projektiot MA-3450 LAAJA MAEMAIIKKA 5 amperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2007 äydeämme Lama 2: lieaarialgebraa oheisella Ortogoaalisuus ja projetiot Olemme aiaisemmi jo määritelleet, että asi vetoria

Lisätiedot

1. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa yhdistetystä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen?

1. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa yhdistetystä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Matematiikan johdantokurssi, sks 06 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.

Lisätiedot

[ k ] ja ekvivalenttisen solmukuormitusvektorin { r } määritystä kaavoista (4.20) ja

[ k ] ja ekvivalenttisen solmukuormitusvektorin { r } määritystä kaavoista (4.20) ja Elementtimenetelmän perusteet 7. 7 D-SOLIDIRAKEEE 7. ohdanto Edellä tarkasteltiin interpolointia ja numeerista integrointia emoneliön ja emokolmion alueissa. Emoelementtien avulla voidaan muodostaa vaihtelevan

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 3 ratkaisuiksi

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 3 ratkaisuiksi SMG-4 Sähkömagneettisten jäjestelmien lämmönsiito Ehdotukset hajoituksen 3 atkaisuiksi 1. Voidaan kohtuullisella takkuudella olettaa, että pallonmuotoisessa säiliössä lämpötila muuttuu vain pallon säteen

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 5. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 5. ( ) Jeremias Berg Disreeti Matematiia Paja Rataisuja viiolle 5. (28.4-29.4 Jeremias Berg Yleisiä ommeteja: Näissä tehtävissä aia usei rataisua oli ysittäie lasu. Kuitei vastausee olisi hyvä lisätä ommeteja siitä misi jou

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voiman momentin käsite (Kirjan luvut 4.1-4.6) Mikä on voiman momentti? Määritetään momentti skalaari- ja vektorimuodossa Opitaan

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Sampomuunnos, kallistuneen lähettimen vaikutuksen poistaminen Matti Oksama

Sampomuunnos, kallistuneen lähettimen vaikutuksen poistaminen Matti Oksama ESY Q16.2/2006/4 28.11.2006 Espoo Sampomuunnos, kallistuneen lähettimen vaikutuksen poistaminen Matti Oksama GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI 28.11.2006 Tekijät Matti Oksama Raportin laji Tutkimusraportti

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 10.3.2016 Susanna Hurme Statiikan välikoe 14.3.2016 Ajankohta ma 14.3.2016 klo 14:15 17:15 Salijako Aalto-Sali: A-Q (sukunimen alkukirjaimen mukaan) Ilmoittautuminen

Lisätiedot

Tuomo Mäki-Marttunen Stokastiset ja tavalliset differentiaaliyhtälöt inertiapaikannuksessa

Tuomo Mäki-Marttunen Stokastiset ja tavalliset differentiaaliyhtälöt inertiapaikannuksessa TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Luonnontieteiden ja ympäristöteniian tiedeunta Tuomo Mäi-Marttunen Stoastiset ja tavalliset differentiaaliyhtälöt inertiapaiannusessa Diplomityö Aihe hyväsytty tiedeuntaneuvostossa

Lisätiedot

www.kastowin.com Sahaus. Varastointi. Ja enemmän.

www.kastowin.com Sahaus. Varastointi. Ja enemmän. Uusi KASTOwin Mestariteos sarjatuotantona www.astowin.com Sahaus. Varastointi. Ja enemmän. Enemmän uin ainutlaatuinen: Uusi KASTOwin. Kannattavan automaattisahausen asi täreintä teijää ovat: suuri leuuteho

Lisätiedot

HMM ja geenien etsintä

HMM ja geenien etsintä Kuten makovin mallien yhteydessä, niin HMM halutulla topologialla voidaan opettaa tunnistamaan geenejä. Ohessa eäs geenitunnistukseen käytetty topologia, joka tunnistaa ihmisen geenit (5 -> 3 ). Edellä

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30 DI matematiikan opettajaksi: Tädennskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle : ti 6 klo :-5: Kädään läpi: funktioita f : D f R n R m ja integrointia R n :ssä Oletetaan, että, R n ovat mielivaltaisia

Lisätiedot

TUOTTEEN NIMI VALMISTAJA TUOTEKUVAUS SERTIFIOINTIMENETTELY. Myönnetty 28.8.2012. Kerto-S ja Kerto-Q Rakenteellinen LVL

TUOTTEEN NIMI VALMISTAJA TUOTEKUVAUS SERTIFIOINTIMENETTELY. Myönnetty 28.8.2012. Kerto-S ja Kerto-Q Rakenteellinen LVL SERTIFIKAATTI VTT-C-184-03 Myönnetty 28.8.2012 TUOTTEEN NIMI VALMISTAJA Kerto-S ja Kerto-Q Raenteellinen LVL Metsäliitto Osuusunta Metsä Wood PL 24 08101 LOHJA TUOTEKUVAUS SERTIFIOINTIMENETTELY Kerto-S

Lisätiedot

Sähköstaattisen potentiaalin laskeminen

Sähköstaattisen potentiaalin laskeminen Sähköstaattisen potentiaalin laskeminen Potentiaalienegia on tuttu mekaniikan kussilta eikä se ole vieas akielämässäkään. Sen sijaan potentiaalin käsite koetaan usein vaikeaksi. On hyvä muistaa, että staattisissa

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

Mat. tukikurssi 27.3.

Mat. tukikurssi 27.3. Mat. tukikurssi 7.. Tänään oli paljon vaikeita aiheita: - suunnattu derivaatta - kokonaisdierentiaali - dierentiaalikehitelmä - implisiittinen derivointi Nämä kaikki liittvät aika läheisesti toisiinsa.

Lisätiedot

Harjoitus 5 / viikko 7

Harjoitus 5 / viikko 7 DEE-000 Piiianalyysi Hajoitus 5 / viikko 7 5. Laske solmupistemenetelmällä oheisen kuvan esittämän piiin jännite ja vita i. 0k ma k k k i ma Solmupistemenetelmää käytettäessä takasteltavan kytkennän jännitelähteet

Lisätiedot

Muuntaja ja generaattori, laskuharjoitukset

Muuntaja ja generaattori, laskuharjoitukset EEC-E849 Muuntaja ja generaattori, lasuharjoituset. Kasi muuntajaa T ja T on ytetty rinnan V:n ja 0 V:n isojen välille. Muuntajan T arvot ovat /0 V, 00 MVA, 0 % (00 MVA:n perusteholla) ja muuntajan T arvot

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

5. OSITTAISINTEGROINTI

5. OSITTAISINTEGROINTI 5 OSITTAISINTEGROINTI Kahden funktion f ja g tulo derivoidaan kuten muistetaan seuraavasti: D (fg) f g + f Kun tämä yhtälö integroidaan puolittain, niin saadaan fg f ()g()d + f ()()d Yhtälö saattaa erota

Lisätiedot

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia 23 VEKTORIANALYYSI Luento 3 4 Käyrän lokaaleja ominaisuuksia Käyrän tangentti Tarkastellaan parametrisoitua käyrää r( t ) Parametrilla t ei tarvitse olla mitään fysikaalista merkitystä, mutta seuraavassa

Lisätiedot

Lauri Puranen Säteilyturvakeskus Ionisoimattoman säteilyn valvonta

Lauri Puranen Säteilyturvakeskus Ionisoimattoman säteilyn valvonta LC-577 Sähömagneettisten enttien ja optisen säteilyn biologiset vaiutuset ja mittauset Sysy 16 PINTAAJUIST SÄHKÖ- JA MAGNTTIKNTÄT Lauri Puranen Säteilyturvaesus Ionisoimattoman säteilyn valvonta SÄTILYTURVAKSKUS

Lisätiedot

Koulun pihan liikennejärjestelyt. Muu toimenpide Mutkan suuntamerkit Kadun parantaminen Nopeusrajoituksen tehostaminen. Liittymän parantaminen

Koulun pihan liikennejärjestelyt. Muu toimenpide Mutkan suuntamerkit Kadun parantaminen Nopeusrajoituksen tehostaminen. Liittymän parantaminen Kevyen liienteen järjestelyt Pysäöintijärjestelyt 18 17 16 19 2 14a 14b 15 9 1 12 13 22a 22b 24 Pohjaartta:Maanmittauslaitos 215 18.6.215, Sito Oy 1 8 11 21 6a 6b 7 6c 23 25 2 5 4 3 5 Metriä 3 1 Kevyen

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus- ja miinuslaskut vasemmalta oikealle.

niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus- ja miinuslaskut vasemmalta oikealle. Alkeistason matikkaa Plus-, miinus-, kerto- ja jakolaskujen laskujärjestys Esim. jos pitää laskea tällainen lasku:? niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus-

Lisätiedot

AALTO-OPAS H-BEND VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Juhana Kankainen j82081 Teemu Lahti l82636 Henrik Tarkkanen l84319

AALTO-OPAS H-BEND VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Juhana Kankainen j82081 Teemu Lahti l82636 Henrik Tarkkanen l84319 VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Juhana Kanainen j8081 Teemu Lahti l8636 Henri Taranen l84319 SATE010 Dynaaminen enttäteoria AALTO-OPAS H-BEND Sivumäärä: 1 Jätetty tarastettavasi:

Lisätiedot

VANTAAN KAUPUNKI Maankäytön, rakentamisen ja ympäristön toimiala Kuntatekniikan keskus / Geotekniikka 13 VAPAALA TONTIT K 13008/12-14.

VANTAAN KAUPUNKI Maankäytön, rakentamisen ja ympäristön toimiala Kuntatekniikan keskus / Geotekniikka 13 VAPAALA TONTIT K 13008/12-14. KAUPUNKI Maanäytön, raentamisen ja ympäristön toimiala Kuntateniian esus / Geoteniia VAPAAA TONTIT K /-.. Maaperä Alueella on tehty aupungin toimesta yleispiirteinen pohjatutimus ja tiealueilla sijaitsee

Lisätiedot

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa 179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen kuvan mukaisessa ripustuksessa. a) Mitkä ovat kahleiden jännitykset? b) Mikä kahleista uhkaa katketa ensimmäisenä? Piirretäänpä parit vapaakappalekuvat.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

KERAVA 9. ALIKERAVA KERCA III LÄNSIOSA (2277B)

KERAVA 9. ALIKERAVA KERCA III LÄNSIOSA (2277B) KERAVA. ALIKERAVA KERCA I LÄNSIOSA (B) Asemaaavan muutosen selostus, joa osee..0 päivättyä aavaarttaa KERAVAN KAUPUNKI Maanäyttöpalvelut aupunginvaltuusto..0 Perus- ja tunnistetiedot. Tunnistetiedot KerCa

Lisätiedot

S Piirianalyysi 2 1. Välikoe

S Piirianalyysi 2 1. Välikoe S-55.0 Piirianalyyi. Välioe 9.3.007 ae tehtävät eri paperille uin tehtävät 3 5. Muita irjoittaa joaieen paperiin elväti nimi, opielijanumero, urin nimi ja oodi. Tehtävät laetaan oaton oepaperille. Muita

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Aukkopalkin kestävyys

Aukkopalkin kestävyys simeri 3 Auopain estävyys 1.0 Kuormitus Auopain ominaisuormat on esitetty aa oevassa uvassa. Tarasteaan paia ysiauoisena nivepäisenä paina. Seuraamusuoa on CC K FI 1,0 (ei esitetä asemassa). Tässä asemassa

Lisätiedot

Harjoitus 4. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa a) ja b) sekä laske c) kohdan tehtävä.

Harjoitus 4. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa a) ja b) sekä laske c) kohdan tehtävä. Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit

Lisätiedot

PAULI RAUTAKORPI LEIJAVOIMALAN TEHON ARVIOINTI

PAULI RAUTAKORPI LEIJAVOIMALAN TEHON ARVIOINTI Teknis-luonnontieteellinen koulutusohjelma PAULI RAUTAKORPI LEIJAVOIMALAN TEHON ARVIOINTI Kandidaatintyö Takastaja: lehtoi Risto Silvennoinen Palautuspäivä: 16.9.2008 II TIIVISTELMÄ TAMPEREEN TEKNILLINEN

Lisätiedot