DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA. Taustaa

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA. Taustaa"

Transkriptio

1 Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA Taustaa Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / Digitaalisen tiedonsiirron perusidea on ysinertaisesti siirtää jouo bittejä (binäärinen luujono) paiasta toiseen sähöisten tai sähömagneettisten signaalien avulla. Huolimatta siirrettävän informaation disreetistä olomuodosta, itse tiedonsiirtoanavaan lähetettävä aaltomuoto on fysiaalisista rajoitteista johtuen jatuvaaiainen. Oiealla tavalla toteutetun näytteenoton avulla jatuvaaiainen aaltomuoto saadaan uitenin palautettua disreetisi luujonosi vastaanottimessa ilman merittäviä häviöitä. Jua Talvitie, Toni Levanen & Mio Valama TTY / Tietoliienneteniia Tässä oleva esitys pohjautuu mm. ao. urssien sisältöön: TLT-54 Digitaalinen siirtoteniia TLT-596 Digitaalisen siirtoteniian jatourssi Taroitusena on antaa esimerejä disreetin matematiian meritysestä modernissa tietoliienneteniiassa esittyen lähinnä anavaorjauseen eli evalisointiin. Ennen digitaalisten tiedonsiirtomenetelmien äyttöönottoa havaittua jatuva-aiaista signaalia äsiteltiin vastaanottimessa ysinomaan analogisin omponentein. Tällä tavoin signaalin hallinta vaieutuu olennaisesti, sillä joainen signaalille tehty prosessointitoimenpide vaatii periaatteessa oman erillisen sähöpiirin. Lisäsi analogiset sähöomponentit ovat alliita ja isoooisia, minä vuosi niiden aupallinen houuttelevuus varsinin nyymaailmassa on hyvin heio. Tässä piileein digitaalisen siirtoteniian voimavara, sillä vastaanotetun jatuva-aiaisen signaalin näytteistetty versio on vain jouo luuja, joiden hallinta miropiireillä on hyvin tehoasta. Luuja voidaan helposti esimerisi tallentaa muistiin ja palauttaa ne sieltä myöhemmin häviöttömästi jatoprosessointia varten. Juuri tämän vuosi disreetin matematiian tuottamat sovelluset ovat erittäin täreitä tietoliienneteniiassa. Digitaaliteniia on nyyään äytössä lähes aiissa uluttajasovellusissa uten matapuhelinveroissa, yleisradio ja -TV lähetysissä, otien langattomissa Internet-yhteysissä, navigaattori- ja paiannuspalveluissa seä yleisesti odin sisäisessä tiedonsiirrossa. Joaisessa näissä tiedonsiirtoanava aiheuttaa lähetettyyn signaalin vääristymää. Kanavaevalisoinnilla taroitetaan tämän vääristymän orjaamista ja sitä äytetään jatossa tämän esitysen esimerinä disreetin matematiian sovellusesta digitaalisessa tiedonsiirrossa.

2 Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / 3 Tiedonsiirtojärjestelmän raenne ja siirtoanavan vaiutus Kantataajuisen (nollataajuuden ympäristössä sijaitsevan) digitaalisen siirtojärjestelmän periaatteellinen lohoaavio on esitetty alla olevassa uvassa. Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / 4 Jos esimerisi äytettävää taajuusaistaa on Hz, niin teoriassa symbolia voidaan siirtää seunnissa. Tällöin siirrettäessä bittejä sellaisenaan (binäärinen symboliaaosto), saavutettava bittinopeus on bittiä/s, un taas edellä esitetyn 4-tasoisen symboliaaoston avulla saavutetaan samalla aistalla bittinopeus bittiä/s. Mitä suurempi symboliaaosto on, sitä enemmän bittejä yhtä lähetettyä symbolia ohden voidaan siirtää. Toisaalta, olettaen lähetysteho iinnitetysi, suuremman symboliaaoston huonona puolena on suurempi heryys ohinan ja häiriöiden aiheuttamille virheille. Disreetit symbolit muunnetaan jatuva-aiaisesi signaalisi lähetinsuodattimen avulla. Tässä valittua (jatuva-aiaista) pulssimuotoa g(t) painotetaan disreeteillä symbolien arvoilla, jolloin lähetettävä signaali on muotoa S() t = Â A g( t -T) =- Ensimmäisessä vaiheessa lähetettävä bittijono muutetaan symboleisi. Tässä jouo perääisiä bittejä muutetaan tietysi symboliaaoston määräämäsi luuarvosi. Alla on esimerin vuosi esitetty 4-tasoisen reaalisen symboliaaoston raenne: Esimeri 4-tasoisesta symboliaaostosta Bittiyhdistelmä Symboli -3-3 Pääasiallinen taroitus bittien uvaamisessa symboleisi on asvattaa järjestelmän taajuusaistan äytön tehouutta, sillä signaaliohinasuhteen ja anavan vaiutusten lisäsi digitaalisen siirtojärjestelmän tiedonsiirtoapasiteettiin vaiuttaa ainoastaan äytetty taajuusaistanleveys. Tämä puolestaan määräytyy siitä, uina monta symbolia (disreettiä luuarvoa) aiaysiöä ohden halutaan siirtää. missä T on ahden perääisen symbolin välinen aia. Alla olevassa uvassa on esimeri äytettäessä pulssimuotona anttipulssia (huomaa uvassa myös yleiset riteerit äytettävälle pulssimuodolle): Kanttipulssin sijasta äytännöllisempi rataisu on äyttää pyöreämpiä pulssimuotoja, uten ns. nostettuja osinipulsseja. Erityisen olennaista on uitenin ymmärtää edellä esitettyjen pulssimuotoriteerien meritys. Kosa näytehetellä pulssi saa aina arvon ysi, tietyllä symboliajanhetellä signaalista S(t) otettu näytteen arvo on aina samalla ajanhetellä lähetetyn symbolin A arvo. Lisäsi osa pulssin arvo saa aina arvon nolla muilla symboliajanhetillä, eri pulssit/symbolit eivät häiritse toisiaan.

3 Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / 5 Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / 6 Lähetetty jatuva-aiainen signaali S(t) muoautuu anavassa ja ohina summautuu vääristyneen aaltomuodon päälle. Tämän jäleen vastaanottosuodatusessa äytössä olevan taajuusaistan ulopuolinen ohina suodatetaan pois ja signaalista otetaan näytteitä symboliajanjason T välein Kanavan impulssivaste p Kuten jo mainittiin, näytteistys poimii saapuvasta signaalista vain tietyt ajanhetet: T (=- ). Toisin sanoen vastaanotettua signaalia tarastellaan vain symboliajanhetillä, minä vuosi edellä uvatusta lohoaaviosta voidaan ehittää efetiivinen disreettiaiainen malli: Kyseisen anavan tapausessa vastaanotettu näytejono voidaan nyt irjoittaa muodossa R = A * p + Z = -.4A + A +.8A + Z - + Tässä lohoaaviossa ei enää esiinny jatuva-aiaisia signaaleita. Analyyttisissa tarasteluissa tämä malli on uitenin riittävä, miäli voidaan olettaa, että pulssimuoto toteuttaa edellä mainitut riteerit ja näytteenotto onnistuvat ideaalisesti. Nyt vastaanotettua näytejonoa voidaan uvata disreetillä tavalla seuraavasti: R = A * p + Z missä p on anavan (näytteistetty) disreettiaiainen impulssivaste ja Z summautuvaa ohinaa. Meri * uvaa onvoluutiota, jona avulla saadaan lasettua lineaaristen järjestelmien input-output-vasteita (ts. Sitia-materiaali Integroinnin sovellusia tiedonsiirtoteniiassa ). Näin ollen joainen lähetetty symboli nähdään vastaanottimessa painotettuna olmen perääisen symbolin summana. Taajuustasossa tämä näyy spetrin vääristymisenä, jossa eri taajuudet vaimenevat toisiinsa nähden eri tavalla. Evalisaattorin tehtävänä on pienentää tätä anavassa syntyvää ISI:ä. Ongelmana on siis löytää sellainen disreettiaiainen suodatin (ts. suodattimen ertoimet/tapit,c -, c, c +, ), jona avulla ISI minimoituu. Aiatasossa tämä taroittaa järjestelmän oonaisvasteen (anava+evalisaattori) paottamista lähelle ysiöimpulssin vastetta, un taas taajuustasossa järjestelmän tuottama amplitudispetri pyritään saamaan mahdollisimman tasaisesi amplitudiarvon ympäristöön. Erilaisia evalisointimenetelmiä löytyy irjallisuudesta useita, joista ns. zero-forcing-menetelmä esitellään seuraavilla sivuilla. Jos anavan impulssivaste ulottuu useamman symboliaiavälin T alueelle, niin anavassa syntyy symbolien välistä esinäisvaiutusta: ISI (Inter Symbol Interference). Esimerisi anava, jona disreetti impulssivaste on muotoa p =-.4 (+)+ ()+.8 (-) ( (t) on ysiöimpulssifuntio) voidaan esittää graafisesti seuraavaan tapaan:

4 Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / 7 Lineaarinen evalisointi (zero-forcing-menetelmä) Ehä ysinertaisin ja intuitiivisin menetelmä ISI:n poistamiseen on ns. zero-forcing-evalisaattori. Tässä lähtöohtana on etsiä sellainen disreettiaiainen rajatun estoinen (Finite Impulse Response) suodatin, joa pyrii poistamaan ISI:n oonaan. Tämän ongelman analysointi on huomattavan paljon helpompaa suorittaa taajuustasossa, sillä siellä onvoluutio voidaan esittää ertolasuna. Muuntamalla aiatason vasteet z-muunnosella taajuustason siirtofuntiosi, vastaanotetut näytteet voidaan esittää seuraavasti: Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / 8 Tarastellaan seuraavasi esimeritilannetta, jossa edellä esitettyyn 3- tappiseen anavaan lähetetään symbolit, -, ja. Alla olevassa uvassa on esitetty lähetetyn sevenssin aiatason esityset siirtojärjestelmän eri vaiheissa Lähetetty sevenssi Kanavan impulssivaste p().5.5 Kanavan ulostulo Rz () = PzAz ()() + Nz () missä P(z), A(z) ja N(z) ovat anavan impulssivasteen, symbolijonon ja ohinan z-muunnoset. Evalisoidut näytteet saadaan tällöin z-tasossa ilmaistua Vastaanotettu sevenssi..8.6 Systeemin oonaisvaste Evalisaattorin vaste Qz () = Cz ()( PzAz ()() + Nz ()) = CzPzAz () ()() + CzNz () () Tästä nähdään suoraan, että miäli anavan vaiutus halutaan vastaanotetusta signaalista oonaan poistaa, tulee evalisaattorin siirtofuntio valita siten, että C(z)P(z)=. Toisin sanoen evalisaattorin siirtofuntio on muotoa Cz () = / Pz () Termi zero-forcing juontaain juurensa nimenomaan tästä lähestymistavasta, jossa ISI iään uin paotetaan nollaan. Evalisoidut symbolit voidaan nyt esittää muodossa Qz () = CzPzAz () ()() + CzNz () () = PzAz ()() + Nz () Pz () Pz () Nz () = Az () + Pz () Kanavan ulostulossa nähdään selvästi, että aluperäinen sevenssi on voimaaasti vääristynyt ISI:n vaiutusesta. Itse asiassa, jos päätöset/arvauset lähetetystä sevenssistä tehtäisiin tähän signaaliin perustuen, symbolien ilmaisussa tapahtuisi luultavimmin virhe, sillä 3. lähetetty symboli on lähempänä -:ä uin :ä. Käytetty evalisaattori on tässä 9-tappinen eli sen impulssivaste on muotoa c -4, c -3, c,, c 3, c 4. Evalisaattorin ertoimet on lasettu zero-forcing-menetelmään perustuen siten, että C(z)=/P(z). Systeemin oonaisvaste ( p * c tai z-tasossa P(z)C(z)) on uvan perusteella hyvin lähellä ysiöimpulssifuntiota, joten ISI on selvästi pienentynyt. ISI saadaan poistettua sitä taremmin, mitä enemmän evalisaattoriin sisällytetään tappeja. Tappien luumäärä asvattaa uitenin järjestelmän lasennallista taaaa, minä vuosi niiden määrää joudutaan aina tapausohtaisesti rajoittamaan. Aiatason tarastelun lisäsi tilannetta voidaan havainnollistaa myös taajuustasossa. Taajuustason esitys saadaan ottamalla Fourier-

5 Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / 9 muunnoset (ts. Sitia-materiaali Integroinnin sovellusia tiedonsiirtoteniiassa ) edellisessä uvassa esitetyistä aiatason vasteista. Alla oleviin uviin on piirretty anavan, evalisaattorin ja järjestelmän oonaisvasteen amplitudispetrit. Amplitudivaste Taajuusvasteet anavalle ja evalisaattorille Kanavan vaste Evalisaattorin vaste normalsoitu taajuus Amplitudivaste Systeemin oonaisvaste normalsoitu taajuus Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / Tuntemattoman ja/tai muuttuvan anavan hallinta Zero-forcing-menetelmässä evalisaattorin ertoimet määritetään suoraan anavan vasteen perusteella. Yleensä anavan vaste ei ole uitenaan tunnettu, minä vuosi zero-forcing-menetelmän äyttö sellaisenaan ei ole mahdollista. Lisäsi esimerisi langattomassa tiedonsiirrossa anavan vaste muuttuu jatuvasti, minä vuosi evalisaattorin tappiertoimia joudutaan jatuvasti päivittämään. Tähän taroituseen adaptiivinen evalisointi tarjoaa lasennallisesti tehoaat työalut. Alla olevassa uvassa on esitetty lineaarisen adaptiivisen evalisoinnin periaatteellinen lohodiagrammi. Kuvista havaitaan, että evalisaattorin vaste on äänteinen verrattuna anavan vasteeseen. Kanavassa vaimentuneita taajuusia voimistetaan ja päinvastoin, minä vaiutusesta oonaisvaste tasoittuu amplitudiarvon ympäristöön. Vaia zero-forcing-menetelmä intuitiivisesti vaiuttaain erittäin järevältä, siihen liittyy uitenin iävä ohinan voimistumisilmiö. Evalisaattori voimistaa signaalia niillä taajuusilla, joissa anavan vaimennus on suuri. Tällöin, itse hyötysignaalin lisäsi, evalisaattori voimistaa tarpeettomasti myös ohinaa. Tämä nähdään seleästi jo edellä esitetystä aavasta (evalisoidun sevenssin z-muunnos): Nz () Qz () = Az () + Pz () Kyseisen ilmiön vuosi ISI:n poistoon äytetäänin usein muunlaisia menetelmiä, uten esimerisi MSE-evalisaattoria (Minimum Square Error), jossa ISI:ä ei aluperin pyritäään ohinan tehosta riippuen poistamaan aivan oonaan. Eräs toinen mahdollisuus on äyttää ns. sevenssi-ilmaisua, jossa anavan aiheuttama ISI otetaan huomioon itse symbolien ilmaisuprosessissa (esim. Viterbi-algoritmi), jolloin varsinainen evalisointi ennen ilmaisua jää tarpeettomasi. Kohinan summausen jäleen vastaanotin havaitsee anavassa vääristyneen symbolisevenssin R. Perusideana adaptiivisessa evalisoinnissa on minimoida virhe evalisoidun sevenssin Q ja oiean sevenssin A välillä. Käytännössä tämä onnistuu esimerisi ennalta määrätyn, vastaanottimessa tunnetun, pilottisignaalin avulla. Näin ollen tiedetään minälainen evalisoidun sevenssin Q tulisi olla ja siten evalisoinnista aiheutuva virhe voidaan lasea suoraan pilottisignaalin ja Q :n erotusella. Pilottisignaalin sijasta vastaavana referenssisignaalina voidaan äyttää myös evalisoidusta signaalista tehtyjä symbolipäätösiä, miäli voidaan olettaa, että päätöset ovat enimmäseen oieita (esim. yli 9% todennäöisyydellä). Minimoitaessa esimääräistä (neliö)virhettä päädytään usein melo suuriin lineaarisiin yhtälöryhmiin, joiden rataisussa tarvittava matriisi-

6 Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / inverssi saattaa olla lasennallisesti ottaen epääytännöllinen. Jos edelleen pidetään mielessä, että anava muuttuu oo ajan, tappeja joudutaan jatuvasti päivittämään ja lasettavien matriisi-inverssien määrä aiaysiöä ohden vain asvaa. Tähän ongelmaan tehoaan rataisun antavat erilaiset iteratiiviset lasentamenetelmät, joista LMSalgoritmi (Least Mean Squares) on eräs tunnetuimmista. Tässä evalisaattorin tappeja päivitetään joaisen evalisaattoriin saapuvan näytteen perusteella, minä vuosi jatuvat matriisi-inverssit jäävät tarpeettomisi ja lasennallinen taaa evenee. LMS-algoritmi perustuu ns. gradienttialgoritmiin, jossa neliövirhe minimoidaan pyrimällä ohti gradientin nollaohtaa (minimiohta) iteratiivisesti. Tämä tapahtuu siirtymällä aina pieni asel errallaan ohti negatiivisen gradientin suuntaan unnes nollaohta saavutetaan. Aluperäinen gradientti-algoritmi tarvitsee toimiaseen tiedot vastaanotetun signaalin tilastollisista ominaisuusista: näytteiden autoorrelaatiomatriisi ja ristiorrelaatio referenssisymbolin välillä. Nämä ovat uitenin yleensä tuntemattomia. LMS-algoritmi eroaa gradienttialgoritmista juuri tässä mielessä, sillä se arvioi nämä tilastolliset ominaisuudet hetellisesti perustuen suoraan vastaanotettuihin näytteisiin. LMS-algoritmin voidaan toiminta voidaan lyhyesti esittää seuraavalla iteratiivisella prosessilla: Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / Tutitaan seuraavasi tilannetta, jossa äytetään LMS-algoritmia tutun 3-tappisen anavan (ts. sivu 5) evalisointiin. Määritetään vastaanotetun sevenssin signaali-ohinatehosuhteesi db ja äytetään algoritmissa 9-tappista suodatinta seä aselpituutta =.. Alla olevaan uvaan vasemmalla on havainnollistettu absoluuttisen virheen E äyttäytyminen iteraatioiden edetessä. Kohinasta johtuen virheen äyrä ei ole tasainen mutta onvergoituu seleästi nollan ympäristöön. Oiean puoleisessa uvassa evalisaattorin eri tappien (siis 9 pl yhteensä) luuarvot on esitetty iteraatioiden funtiona. 3.5 Evalisaattorin virhe.8 Evalisaattorin tappiertoimet * + = + be c c r, missä E c r T = A -cr -L L (lasettu virhe) = [ c,..., c,..., c ] (evalisaattorin tapit ajanhetellä ) = [ R,..., R,..., R ] (vastaanotettu sevenssi) + L -L Tässä on ns. aselparametri, joa määrittää uina suuri asel ohti arvioitua negatiivisen gradientin suuntaan otetaan. Jos on liian suuri, algoritmi muuttuu epästabiilisi ( hajoaa äsiin ), ja toisaalta, jos on liian pieni, algoritmi ei ehdi onvergoitua pilottisevenssin aiana. Alla olevassa uvassa on esitetty LMS algoritmin toiminnallinen raenne tarasteltaessa evalisaattorin l:nen tapin [c ] l päivitysprosessia: iteraationumero iteraationumero Jatetaan vielä esimeriä ja tarastellaan evalisoituja symboleita Q iteraatioiden edetessä. Käytetään lähetyseen satunnaisia symboleita, jota valitaan jouosta A Œ{ -3, -,, 3}. Alla oleviin uviin on havainnollistettu tilannetta ilman evalisointia (vasemmalla) ja evalisoinnin anssa (oiealla).

7 Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / 3 6 Evalisoimattomat näytteet ajan funtiona 6 Evalisoidut näytteet ajan funtiona 4 4 Näytearvo - Näytearvo Vasemmanpuoleisesta uvasta on selvää, ettei symboli-ilmaisin pysty ilman evalisointia tuottamaan luotettavia symbolipäätösiä. Oieanpuoleisessa uvassa LMS-algoritmin avulla ilmaisimelle tulevat näytearvot vaiuttavat jo huomattavasti luotettavimmilta. Alussa on havaittavissa algoritmin ns. oppimisjaso, jona aiana evalisaattorin tapit onvergoituvat oieisiin arvoihinsa. Kuten ehä havaita saattaa(?), aluarvoina evalisaattorin aiille tapeille on tässä annettu nolla-arvo. Lopusi on vielä syytä huomauttaa, että vaia aii edellä annetut esimerit pohjautuvatin reaaliluuihin, samat metodit ovat yhtä lailla äytettävissä myös omplesiluujen tapausessa. Itse asiassa useimmat modernit tiedonsiirtojärjestelmät äyttävät nimenomaan omplesiarvoista symboliaaostoa. Tämän vuosi evalisaattorin toteutusen täytyy myös olla omplesinen (ts. sitia-materiaali Komplesiluvut ja radiosignaalit ). Käytännössä omplesiset suodattimet voidaan uitenin aina toteuttaa äyttämällä ahta rinnaaista reaaliarvoista suodatinta.

BINÄÄRISET TIEDONSIIRTOMENETELMÄT TÄRKEIMPIEN ASIOIDEN KERTAUS A Tietoliikennetekniikka II Osa 11 Kari Kärkkäinen Syksy 2015

BINÄÄRISET TIEDONSIIRTOMENETELMÄT TÄRKEIMPIEN ASIOIDEN KERTAUS A Tietoliikennetekniikka II Osa 11 Kari Kärkkäinen Syksy 2015 BINÄÄRISET TIEDONSIIRTOMENETELMÄT TÄRKEIMPIEN ASIOIDEN KERTAUS 536A Tietoliienneteniia II Osa Kari Käräinen Sysy 5 Kantataajuusjärjestelmä lähettää ±A -tasoisia symboleita T:n välein. Optimaalinen vastaanotin

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen 9/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 9: Usean vapausasteen systeemin liieyhtälöiden johto Newtonin laia äyttäen JOHDANTO Usean vapausasteen systeemillä taroitetaan meaanista systeemiä, jona liietilan uvaamiseen

Lisätiedot

6 Lineaarisen ennustuksen sovelluksia

6 Lineaarisen ennustuksen sovelluksia 6 Lineaarisen ennustusen sovellusia Lineaarisella ennustusella on hyvin täreä asema monessa puheenäsittelyn sovellusessa. Seuraavassa on esitetty esimerejä siitä miten lineaarista ennustusta voidaan hyödyntää.

Lisätiedot

Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä

Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Ennen uin mennään varsinaisesti tämän harjoitusen asioihin, otetaan alusi ysi merintäteninen juttu Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y 0 Vaihtoehtoinen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen D-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Johdanto differenssiyhtälöiden rataisemiseen Differenssiyhtälöillä uvataan disreettiaiaisten järjestelmien toimintaa. Disreettiaiainen taroittaa

Lisätiedot

Vakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15

Vakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15 SHV-tutinto Vauutusmatematiian sovelluset 20.11.2008 lo 9-15 1(7) Y1. Seuraava tauluo ertoo vauutusyhtiön masamat orvauset vahinovuoden ja orvausen masuvuoden muaan ryhmiteltynä (tuhansina euroina): Vahinovuosi

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille taroitetut rataisuehdotuset Tämän harjoitusen ideana on opetella -muunnosen äyttöä differenssiyhtälöiden rataisemisessa Lisäsi äytetään

Lisätiedot

2 Taylor-polynomit ja -sarjat

2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.

Lisätiedot

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1 Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden

Lisätiedot

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1. Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.

Lisätiedot

Talousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut

Talousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut Sivu 1/7 oronorolasuja sovelletaan tapausiin, joissa aia on pidempi uin ysi oonainen orojaso, eli aia, jolle oroanta ilmoittaa oron määrän. orolasu: enintään yhden orojason pituisille oroajoille; oronorolasu:

Lisätiedot

SYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN

SYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN SYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN Miten modulaation P S P B? 536A Tietoliienneteniia II Osa 4 Kari Käräinen Sysy 05 SEP VS. BEP D-SIGNAALIAVARUUDESSA Kullein modulaatiolle johdetaan

Lisätiedot

(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA

(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA Investoinnin annattavuuden mittareita Opetusmonisteessa on asi sivua, joilla on hyvin lyhyesti uvattu jouo mittareita. Seuraavassa on muutama lisäommentti ja aavan-johto. Tarastelemme projetia, jona perusinvestointi

Lisätiedot

2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla

2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla MAB Matemaattisia malleja I.8. Mallintaminen ensimmäisen asteen.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifuntion avulla Tutustutaan mallintamiseen esimerien autta. Esimeri.8. Määritä suoran yhtälö, un

Lisätiedot

3. Markovin prosessit ja vahva Markovin ominaisuus

3. Markovin prosessit ja vahva Markovin ominaisuus 30 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 3. Marovin prosessit ja vahva Marovin ominaisuus Aloitamme nyt edellisen appaleen päättäneen esimerin yleistämisen Brownin liieelle. Käymme ysitellen läpi esimerin

Lisätiedot

K-KS vakuutussumma on kiinteä euromäärä

K-KS vakuutussumma on kiinteä euromäärä Kesinäinen Henivauutusyhtiö IIIELLA TEKNIIKALLA LAKUPERUTE H-TUTKINTOA ARTEN HENKIAKUUTU REKURIIIELLA TEKNIIKALLA OIMAAOLO 2 AIKALAKU JA AKUUTUIKÄ Tätä lasuperustetta sovelletaan..25 alaen myönnettäviin

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali

Todennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali Todennäöissjaaumat /5 Sisältö ESITIEDOT: lasenta, määrätt Haemisto KATSO MYÖS: tilastomatematiia P (X = )=p. Nämä ovat 0 ja niiden summa on p =. Pistetodennäöisdet voidaan graafisesti esittää pstsuorien

Lisätiedot

Eksponentti- ja logaritmiyhtälö

Eksponentti- ja logaritmiyhtälö Esponentti- ja logaritmiyhtälö Esponenttifuntio Oloon a 1 positiivinen reaaliluu. Reaalifuntiota f() = a nimitetään esponenttifuntiosi ja luua a sen antaluvusi. Jos a > 1, niin esponenttifuntio f : R R,

Lisätiedot

Sattuman matematiikkaa III

Sattuman matematiikkaa III Sattuman matematiiaa III Kolmogorovin asioomat ja frevenssitulinta Tommi Sottinen Tutija Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université

Lisätiedot

Hanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3:

Hanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3: Hanoin tornit Oloot n ieoa asetettu olmeen tanoon uvan osoittamalla tavalla (uvassa n = 7). Siirtämällä yhtä ieoa errallaan, ieot on asetettava toiseen tanoon samaan järjestyseen. Isompaa ieoa ei missään

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi 02/1 VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi VAPAUSASTEET Valittaessa systeeille lasentaallia tulee yös sen vapausasteiden luuäärä äärätysi. Tää taroittaa seuraavaa: Lasentaallin

Lisätiedot

1 Olkoon suodattimen vaatimusmäärittely seuraava:

1 Olkoon suodattimen vaatimusmäärittely seuraava: Olkoon suodattimen vaatimusmäärittely seuraava: Päästökaistan maksimipoikkeama δ p =.5. Estokaistan maksimipoikkeama δ s =.. Päästökaistan rajataajuus pb = 5 Hz. Estokaistan rajataajuudet sb = 95 Hz Näytetaajuus

Lisätiedot

STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7

STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7 1. Todennäöisyyslasennasta ja merinnöistä Palautamme seuraavassa lyhyesti mieleen todennäöisyyslasennan äsitteitä ja esittelemme myös muutamia urssilla äytettäviä merintätapoja.

Lisätiedot

BLY. Paalulaattojen suunnittelu kuitubetonista. Petri Manninen 24.1.2011

BLY. Paalulaattojen suunnittelu kuitubetonista. Petri Manninen 24.1.2011 BLY Paalulaattojen suunnittelu uitubetonista Petri Manninen BY 56 Paalulaatta - Yleistä Käytetään tyypillisesti peheillä, noraali- tai lievästi ylionsolidoituneilla savioilla ja uilla peheiöillä Mitoitustietojen

Lisätiedot

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4) http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.

Lisätiedot

EETU OJANEN SIGNAALIN ENNUSTAMINEN KALMAN-SUOTIMELLA. Kandidaatintyö

EETU OJANEN SIGNAALIN ENNUSTAMINEN KALMAN-SUOTIMELLA. Kandidaatintyö EETU OJANEN SIGNAALIN ENNUSTAMINEN KALMAN-SUOTIMELLA Kandidaatintyö Tarastaja: Lehtori Konsta Koppinen Jätetty tarastettavasi 11. tououuta 2009 2 TIIVISTELMÄ TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Tietoliienne-

Lisätiedot

Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt

Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt SMG-00 Piirianalyysi II Harjoitustehtävät Luu : Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmä on lineaarinen, jos T u u T u T u, jossa ja

Lisätiedot

Perustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24

Perustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24 Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu / 24 Perustehtäviä. Muunna sarja telesooppimuotoon ja osoita, että se suppenee. Lase myös sarjan summa. ( + ) = 2 + 6 + 2 +... 2. Osoita suoraan määritelmään

Lisätiedot

Helsinki University of Technology

Helsinki University of Technology Helsinki University of Technology Laboratory of Telecommunications Technology S-38.11 Signaalinkäsittely tietoliikenteessä I Signal Processing in Communications ( ov) Syksy 1997. Luento: Pulssinmuokkaussuodatus

Lisätiedot

7.1 Taustamelun estimoinnista

7.1 Taustamelun estimoinnista 7 Puheen ehostus Puheen ehostamisea taroitetaan seaisia menetemiä, joia puheen aatua pyritään parantamaan. Kuuostaa ysinertaiseta, mutta mitä sitten taroitetaan aadua? Siä voidaan taroittaa ainain seeyttä

Lisätiedot

Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt

Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt SMG-00 Piirianalyysi II Luentomonisteen harjoitustehtävien vastauset Luu : Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt. Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmä on lineaarinen,

Lisätiedot

Luku kahden alkuluvun summana

Luku kahden alkuluvun summana Luu ahden aluluvun summana Juho Salmensuu Lahden Lyseon luio Matematiia 008 Tiivistelmä Tutielmassa tarastellaan ysymystä; uina monella eri tavalla annettu parillinen oonaisluu voidaan esittää ahden aluluvun

Lisätiedot

ELEC-C7230 Tietoliikenteen siirtomenetelmät

ELEC-C7230 Tietoliikenteen siirtomenetelmät ELEC-C7230 Tietoliikenteen siirtomenetelmät Laskuharjoitus 8 - ratkaisut 1. Tehtävässä on taustalla ajatus kantoaaltomodulaatiosta, jossa on I- ja Q-haarat, ja joka voidaan kuvata kompleksiarvoisena kantataajuussignaalina.

Lisätiedot

S-114.240 Hahmontunnistus ihmisläheisissä käyttöliittymissä Kasvojen tunnistus ja identiteetin tarkistus: ZN-Face

S-114.240 Hahmontunnistus ihmisläheisissä käyttöliittymissä Kasvojen tunnistus ja identiteetin tarkistus: ZN-Face S-114.240 Hahmontunnistus ihmisläheisissä äyttöliittymissä Kasvojen tunnistus ja identiteetin taristus: ZN-Face Kalle Korhonen sorhon@cc.hut.fi 13.4.2000 Tiivistelmä: Raportissa tutustutaan aupalliseen

Lisätiedot

Naulalevylausunto Kartro PTN naulalevylle

Naulalevylausunto Kartro PTN naulalevylle LAUSUNTO NRO VTT-S-04256-14 1 (6) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö ITW Construction Products Oy Jarmo Kytömäi Timmermalmintie 19A 01680 Vantaa 18.9.2014 Jarmo Kytömäi VTT Expert Services Oy Ari Kevarinmäi PL

Lisätiedot

9 Lukumäärien laskemisesta

9 Lukumäärien laskemisesta 9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 5. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 5. ( ) Jeremias Berg Disreeti Matematiia Paja Rataisuja viiolle 5. (28.4-29.4 Jeremias Berg Yleisiä ommeteja: Näissä tehtävissä aia usei rataisua oli ysittäie lasu. Kuitei vastausee olisi hyvä lisätä ommeteja siitä misi jou

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 21: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Lagrangen

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 21: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Lagrangen / ÄRÄHELYMEKANIIKKA SESSIO : Usean vapausasteen systeein liieyhtälöien johto Lagrangen yhtälöillä JOHDANO Kirjoitettaessa liieyhtälöitä suoraan Newtonin laeista äytetään systeeistä irrotettujen osien tai

Lisätiedot

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPITO TYÖOHJE 2009 Keianteniian osasto Tenillisen eian laboratorio BJ90A0900 Tenillisen eian ja tenillisen polyeerieian laboratoriotyöt Ohje: Irina Turu, Katriina Liiatainen,

Lisätiedot

järjestelmät Diskreettiaikaiset järjestelmät aikatason analyysi DEE Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen

järjestelmät Diskreettiaikaiset järjestelmät aikatason analyysi DEE Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen DEE- Lineaariset järjestelmät Disreettiaiaiset järjestelmät aiatason analsi DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen Disreettiaiaiset järjestelmät 7 3 5 Lineaaristen, vaioertoimisten differenssihtälöiden

Lisätiedot

Projekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on

Projekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on EPOP Kevät 2012 Projeti 5 Systeemifuntiot ja asiportit Tämä projeti tehdään 3 hengen ryhmissä. yhmääni uuluvat Kuin ryhmistä tarastelee piiriä eri taajuusilla. yhmäni taajuus on Seuraavan projetin aiana

Lisätiedot

AMBIGUITEETTIONGELMA KANTOAALLONVAIHEMITTAUKSESSA. JUKKA TOLONEN Teknillinen korkeakoulu Maanmittaustieteiden laitos jotolone@cc.hut.

AMBIGUITEETTIONGELMA KANTOAALLONVAIHEMITTAUKSESSA. JUKKA TOLONEN Teknillinen korkeakoulu Maanmittaustieteiden laitos jotolone@cc.hut. MIGUITEETTIONGELM KNTOLLONVIHEMITTUKSESS JUKK TOLONEN Tenillinen oreaoulu Maanmittaustieteiden laitos otolone@cc.hut.fi . Johdanto Satelliittipaiannus perustuu vastaanottimen a satelliittien välisen etäisyyden

Lisätiedot

Naulalevylausunto LL13 naulalevylle

Naulalevylausunto LL13 naulalevylle LAUSUNTO NRO VTT-S-3259-12 1 (4) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö Lahti Levy Oy Asonatu 11 151 Lahti 27.4.212 Simo Jouainen VTT Expert Services Oy Ari Kevarinmäi PL 11, 244 VTT Puh. 2 722 5566, Fax. 2 722 73

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan

Lisätiedot

Naulalevylausunto LL13 Combi naulalevylle

Naulalevylausunto LL13 Combi naulalevylle LAUSUNTO NRO VTT-S-0361-1 1 (5) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö Lahti Levy Oy Asonatu 11 15100 Lahti 7.4.01 Simo Jouainen VTT Expert Services Oy Ari Kevarinmäi PL 1001, 0044 VTT Puh. 00 7 5566, ax. 00 7 7003

Lisätiedot

ONKO SUOMALAINEN VAHINKOVAKUUTUSYHTIÖ TASOITUSVASTUUNSA VANKI? fil. tri Martti Pesonen, SHV. Suomen Aktuaariyhdistyksen vuosikokousesitelmä

ONKO SUOMALAINEN VAHINKOVAKUUTUSYHTIÖ TASOITUSVASTUUNSA VANKI? fil. tri Martti Pesonen, SHV. Suomen Aktuaariyhdistyksen vuosikokousesitelmä ONKO SUOMALAINEN VAHINKOVAKUUTUSYHTIÖ TASOITUSVASTUUNSA VANKI? fil. tri Martti Pesonen, SHV Suomen Atuaariyhdistysen vuosioousesitelmä 27.2.2006 2 Sisällysluettelo: sivu 1. Tasoitusvastuujärjestelmän uvaus

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä ym., osa I G. Gripenberg Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Indutioperiaate Relaatiot ja funtiot Funtiot Aalto-yliopisto. maalisuuta 0 Kombinatoriia

Lisätiedot

4.7 Todennäköisyysjakaumia

4.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma

Lisätiedot

M 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon

M 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon Matematiian ja tilastotieteen laitos Stoastiset differentiaaliyhtälöt Rataisuehdotelma Harjoituseen 7 1. Näytä, että uvaus M M M 2, un M 2 M = sup E M 2 t 2 t 0 on normi jouossa M 2 = { M : M on martingaali

Lisätiedot

Helsinki University of Technology Laboratory of Telecommunications Technology

Helsinki University of Technology Laboratory of Telecommunications Technology Helsini University of Technology Laboratory of Telecommunications Technology Kertausta: AWGN-anava n(t) S-38.211 Signaalinäsittely tietoliienteessä I Signal Processing in Communications (2 ov) Sysy 1998

Lisätiedot

SAUNAN ENERGIANKULUTUS JA SIIHEN VAIKUTTAVAT TEKIJÄT The energy consumption of sauna and related factors

SAUNAN ENERGIANKULUTUS JA SIIHEN VAIKUTTAVAT TEKIJÄT The energy consumption of sauna and related factors LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Tenillinen tiedeunta Ympäristöteniian oulutusohelma BH10A0300 Ympäristöteniian andidaatintyö a seminaari SAUNAN ENERGIANKULUTUS JA SIIHEN VAIKUTTAVAT TEKIJÄT The energy

Lisätiedot

MAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan

MAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan 3.3 Laiat MAB7 Talousmatematiia Otava Opisto / Kati Jorda Laia ottamie Suuri osa ihmisistä ottaa laiaa jossai elämävaiheessa. Pailaiaa tarvitaa yleesä vauusia ja/tai taausia. Laiatulle pääomalle masetaa

Lisätiedot

1 Määrittele seuraavat langattoman tiedonsiirron käsitteet.

1 Määrittele seuraavat langattoman tiedonsiirron käsitteet. 1 1 Määrittele seuraavat langattoman tiedonsiirron käsitteet. Radiosignaalin häipyminen. Adaptiivinen antenni. Piilossa oleva pääte. Radiosignaali voi edetä lähettäjältä vastanottajalle (jotka molemmat

Lisätiedot

Nurmijärven kunnan kaupan palveluverkkoselvitys 28.5.2012

Nurmijärven kunnan kaupan palveluverkkoselvitys 28.5.2012 aupan palveluveroselvitys 28.5.2012 aupan palveluveroselvitys 1 Sisällysluettelo 1 JOHDANTO 2 2 KAUPAN NYKYTILAN KARTOITUS JA KUVAUS 3 2.1 Vähittäisaupan toimipaiat ja myynti 3 2.2 Ostovoima ja ostovoiman

Lisätiedot

M y. u w r zi. M x. F z. F x. M z. F y

M y. u w r zi. M x. F z. F x. M z. F y 36 5.3 Tuipaalutusen lasenta siitmämenetelmällä 5.3.1 Yleistä Jos paaluvoimia ei voida määittää suoaan tasapainohtälöistä (uten ohdassa 5.), on smsessä staattisesti määäämätön paalutus, jona paaluvoimien

Lisätiedot

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu

Lisätiedot

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,

Lisätiedot

termit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s.

termit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s. SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 7 3. Luusarjat Josus luujonon (b ) termit on luontevairjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme luusarjojen teoriaan: Määritelmä 3.. Oloon ( ), R luujono. Symboli (3.)

Lisätiedot

Kaupunkisuunnittelu 17.8.2015

Kaupunkisuunnittelu 17.8.2015 VANTAAN KAUPUNKI MIEIPITEIDEN KOONTI Kaupunisuunnittelu..0 MR :N MUKAISEEN KUUEMISKIRJEESEEN..0 VASTAUKSENA SAADUT MIEIPITEET JA KANNANOTOT ASEMAKAAVAN MUUTOKSESTA NRO 009, MARTINAAKSO YHTEENSÄ KANNANOTTOJA

Lisätiedot

HÄMEENLINNAN KESKUSTAN LÄNSIREUNAN KAUPPA- KESKUKSEN KAUPALLISTEN VAIKTUKSTEN ARVIOINTI Yleiskaavoitusta varten

HÄMEENLINNAN KESKUSTAN LÄNSIREUNAN KAUPPA- KESKUKSEN KAUPALLISTEN VAIKTUKSTEN ARVIOINTI Yleiskaavoitusta varten HÄMEENLNNAN KESKUSTAN LÄNSREUNAN KAUPPA- KESKUKSEN KAUPALLSTEN AKTUKSTEN ARONT Yleisaavoitusta varten Hämeenlinnan esustan liietilan ehitys 2005-2020 lineaarinen asvu n. 2 % /v. 160 000 140 000 120 000

Lisätiedot

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x , III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat

Lisätiedot

Luento 8. Suodattimien käyttötarkoitus

Luento 8. Suodattimien käyttötarkoitus Luento 8 Lineaarinen suodatus Ideaaliset alipäästö, ylipäästö ja kaistanpäästösuodattimet Käytännölliset suodattimet 8..006 Suodattimien käyttötarkoitus Signaalikaistan ulkopuolisen kohinan ja häiriöiden

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Meaniian jatourssi Fys10 Sysy 009 Jua Maalampi LUENTO 6 Harmonisen värähdysliieen energia Jousen potentiaalienergia on U ( x missä on jousivaio ja Dx on poieama tasapainosta. Valitaan origo tasapainopisteeseen,

Lisätiedot

Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely.

Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely. 1144/2011 7 Liite 1 Vauutustenisistä riseistä johtuvien suureiden lasemista varten äytettävä vauutuslajiryhmittely. Vauutuslajiryhmä Vauutusluoat Ensivauutus 1 Laisääteinen tapaturma 1 (laisääteinen) 2

Lisätiedot

Valon diffraktio yhdessä ja kahdessa raossa

Valon diffraktio yhdessä ja kahdessa raossa Jväslän Ammattioreaoulu, IT-instituutti IXPF24 Fsiia, Kevät 2005, 6 ECTS Opettaja Pasi Repo Valon diffratio hdessä ja ahdessa raossa Laatija - Pasi Vähämartti Vuosiurssi - IST4S1 Teopäivä 2005-2-17 Palautuspäivä

Lisätiedot

APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄ- ELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPERUSTEET

APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄ- ELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPERUSTEET APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄ- ELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPEUSTEET Koooma 28.3.2006. Viimeisin perustemuutos on ahistettu 16.1.2003. APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄELÄKEVAKUUTUKSEN LASKU-

Lisätiedot

Digitaalinen signaalinkäsittely Desibeliasteikko, suotimen suunnittelu

Digitaalinen signaalinkäsittely Desibeliasteikko, suotimen suunnittelu Digitaalinen signaalinkäsittely Desibeliasteikko, suotimen suunnittelu Teemu Saarelainen, teemu.saarelainen@kyamk.fi Lähteet: Ifeachor, Jervis, Digital Signal Processing: A Practical Approach H.Huttunen,

Lisätiedot

Suodatus ja näytteistys, kertaus

Suodatus ja näytteistys, kertaus ELEC-C7230 Tietoliikenteen siirtomenetelmät Luento 6: Kantataajuusvastaanotin AWGN-kanavassa II: Signaaliavaruuden vastaanotin a Olav Tirkkonen Aalto, Tietoliikenne- ja tietoverkkotekniikan laitos a [10.6.3-10.6.6;

Lisätiedot

Taajamaosayleiskaava Kaupallisen selvityksen päivitys 28.2.2011

Taajamaosayleiskaava Kaupallisen selvityksen päivitys 28.2.2011 Taajamaosayleisaava Kaupallisen selvitysen päivitys Lohjan aupuni, Taajamaosayleisaava Kaupallisen selvitysen päivitys 1 1 JOHDANTO 2 2 KAUPALLINEN PALVELUVERKKO LOHJALLA 2011 3 2.1 Kaupalliset esittymät

Lisätiedot

Nurmijärven kunnan kaupan palveluverkkoselvitys. Luonnos 11.5.2012

Nurmijärven kunnan kaupan palveluverkkoselvitys. Luonnos 11.5.2012 aupan palveluveroselvitys Luonnos 11.5.2012 aupan palveluveroselvitys 1 Sisällysluettelo 1 JOHDANTO 1 2 KAUPAN NYKYTILAN KARTOITUS JA KUVAUS 3 2.1 Vähittäisaupan toimipaiat ja myynti 3 2.2 Ostovoima ja

Lisätiedot

Näkymäalueanalyysi. Joukhaisselkä Tuore Kulvakkoselkä tuulipuisto 29.03.2012. Annukka Engström

Näkymäalueanalyysi. Joukhaisselkä Tuore Kulvakkoselkä tuulipuisto 29.03.2012. Annukka Engström Näyäalueanalyysi Jouhaisselä Tuore Kulvaoselä tuulipuisto 29032012 Annua Engströ Näyäalueanalyysin uodostainen Näeäalueanalyysilla saadaan yleisuva siitä, ihin tuulivoialat äytettyjen lähtötietojen perusteella

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Hannu Pajula. Stirlingin luvuista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Hannu Pajula. Stirlingin luvuista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutielma Hannu Pajula Stirlingin luvuista Informaatiotieteiden ysiö Matematiia Maalisuu 2014 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden ysiö PAJULA, HANNU: Stirlingin luvuista

Lisätiedot

Kompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa

Kompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa Kompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa Vierailuluento IMA-kurssilla Heikki Huttunen Lehtori, TkT Signaalinkäsittely, TTY heikki.huttunen@tut.fi Department of Signal Processing Fourier-muunnos

Lisätiedot

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti SG-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 21.3.2006 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle

Lisätiedot

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti SG-00 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti..005 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle ja sen

Lisätiedot

EPOP Kevät

EPOP Kevät EPOP Kevät 2012 16.1.2012 Projeti 1 Muutosilmiöt Piirianalyysi 1:ssä äsitellyt tasa- ja vaihtovirta-analyysit ovat jatuvan tilan menetelmiä, joissa oletetaan, että piirin herätteet (riippumattomat lähteet)

Lisätiedot

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 30.5.2006. sarja A

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 30.5.2006. sarja A TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintauulustelujen matematiian oe 30.5.006 sarja A Ohjeita. Sijoita joainen tehtävä omalle sivulleen. Laadi rataisut seleästi v älivaiheineen, tarvittaessa

Lisätiedot

YRITTÄJIEN ELÄKELAIN (YEL) MUKAISEN LISÄELÄKEVAKUUTUKSEN PERUSTEET. Kokooma 30.3.2006. Viimeisin perustemuutos vahvistettu 20.12.2004.

YRITTÄJIEN ELÄKELAIN (YEL) MUKAISEN LISÄELÄKEVAKUUTUKSEN PERUSTEET. Kokooma 30.3.2006. Viimeisin perustemuutos vahvistettu 20.12.2004. YITTÄJIN LÄKLAIN (YL) MUKAISN LISÄLÄKVAKUUTUKSN PUSTT Koooma 30.3.2006. Viimeisin perustemuutos vahvistettu 20.12.2004. SISÄLTÖ YITTÄJIN LÄKLAIN (YL) MUKAISN LISÄLÄKVAKUUTUKSN PUSTT 1. PUSTIDN SOVLTAMINN...

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia 8/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 8: Yhen vapausaseen paovärähely, ransieniuormiusia JOHDANTO c m x () Kuva. Syseemi. Transieniuormiusella aroieaan uormiusheräeä, joa aiheuaa syseemiin lyhyaiaisen liieilan.

Lisätiedot

Molekulaarisuus = reagoivien molekyylien lkm Stoikiometria = tasapainotetun reaktioyhtälön lkm (ainetase)

Molekulaarisuus = reagoivien molekyylien lkm Stoikiometria = tasapainotetun reaktioyhtälön lkm (ainetase) 1. Yleistä a) Tasapainoreation yleinen muoto: a + bb f r cc + dd K c C D B èq a b, jossa d f r [X] = yhdisteen X onsentraatio a,b,c,d = yhdisteen stöiömetria (ainetaseesta) f = reationopeus eteenpäin r

Lisätiedot

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa S-4.7 Fysiia III (EST) Tetti..6. Tarastellaa systeemiä, jossa ullai hiuasella o olme mahdollista eergiatasoa, ε ja ε, missä ε o eräs vaio. Oletetaa, että systeemi oudattaa Maxwell-Boltzma jaaumaa ja, että

Lisätiedot

Luento 2. S Signaalit ja järjestelmät 5 op TKK Tietoliikenne Laboratorio 1. Jean Baptiste Joseph Fourier ( )

Luento 2. S Signaalit ja järjestelmät 5 op TKK Tietoliikenne Laboratorio 1. Jean Baptiste Joseph Fourier ( ) Luento Jasollisten signaalien Fourier-sarjat Viivaspetri S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio Jean Baptiste Joseph Fourier (768-83) Ransalainen matemaatio ja fyysio. Esitti Fourier-sarjat

Lisätiedot

KÄYTTÖOPAS SUOMI KÄYTTÖOPAS

KÄYTTÖOPAS SUOMI KÄYTTÖOPAS KÄYTTÖOPAS SUOMI KÄYTTÖOPAS Kiitos Canon-tuotteen ostamisesta. EOS 1000D on digitaalinen SLR (Single-Lens Reflex) -amera, jossa on 10,10 megapiselin uvaenno. Kamerassa on luuisia toimintoja, uten huippunopea

Lisätiedot

MAATALOUSYRITTÄJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN PERUSTEET

MAATALOUSYRITTÄJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN PERUSTEET 5 TLOUYRTTÄJÄN ELÄKELN UKEN VKUUTUKEN PERUTEET PERUTEDEN OVELTNEN Näitä perusteita soelletaan..009 lähtien maatalousrittäjän eläelain 80/006 YEL muaisiin auutusiin. VKUUTUKU Vauutusmasu uodelta on maatalousrittäjän

Lisätiedot

Kun annettu differenssiyhtälö z-muunnetaan puolittain, saadaan: 1 1 z Y z zy z z/4 4

Kun annettu differenssiyhtälö z-muunnetaan puolittain, saadaan: 1 1 z Y z zy z z/4 4 DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoits 8, rataisehdotset Tämän harjoitsen ideana on opetella -mnnosen ättöä differenssihtälöiden rataisemisessa. Lisäsi ätetään -mnnosen ehäpä hödllisintä ominaistta, eli

Lisätiedot

HalliPES 1.0 OSA 14: VOIMALIITOKSET

HalliPES 1.0 OSA 14: VOIMALIITOKSET HalliPES 1.0 OSA 14: VOIMALIITOKSET 28.4.2015 1.0 JOHDANTO Tässä osassa esitetään primäärirungon voimaliitosia ja niien mitoitusohjeita. Voimaliitoset mitoitetaan tapausohtaisesti määräävän uormitusyhistelmän

Lisätiedot

Tuntematon järjestelmä. Adaptiivinen suodatin

Tuntematon järjestelmä. Adaptiivinen suodatin 1 1 Vastaa lyhyesti seuraaviin a) Miksi signaaleja ylinäytteistetään AD- ja DA-muunnosten yhteydessä? b) Esittele lohkokaaviona adaptiiviseen suodatukseen perustuva tuntemattoman järjestelmän mallinnus.

Lisätiedot

b 4i j k ovat yhdensuuntaiset.

b 4i j k ovat yhdensuuntaiset. MAA5. 1 Koe 29.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää! Muista tehdä pisteytysruuduo ensimmäisen onseptin yläreunaan! Perustele vastausesi välivaiheilla! 1. Oloon vetorit a 2i 6 j 3 ja b i 4 j 3 a) Määritä

Lisätiedot

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe SGN-100 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe 6.4.010 Sivuilla 1- on. Älä vastaa siihen, jos et ollut ensimmäisessä välikokeessa. Tentin kysymykset ovat sivuilla 3-4. Vastaa vain jompaan kumpaan kokeeseen,

Lisätiedot

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 06: Aksiaalinen sauvaelementti, osa 1.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 06: Aksiaalinen sauvaelementti, osa 1. 6/ ELEMENTTIMENETELMÄN PERSTEET SESSIO 6: Asiaalinen sauvaelementti, osa. ASIAALINEN RAENNE L, A, E L, A, E L, A, E uva. Asiaalinen raenne. Asiaalinen raenne taroittaa tässä yhteydessä raennetta, joa oostuu

Lisätiedot

Digitaalinen Signaalinkäsittely T0125 Luento 4-7.04.2006

Digitaalinen Signaalinkäsittely T0125 Luento 4-7.04.2006 Digitaalinen Signaalinkäsittely T5 Luento 4-7.4.6 Jarkko.Vuori@evtek.fi Z-taso Z-taso on paljon käytetty graafinen esitystapa jonka avulla voidaan tarkastella signaalien taajuussisältöjä sekä järjestelmien

Lisätiedot

KÄYTTÖOPAS SUOMI KÄYTTÖOPAS

KÄYTTÖOPAS SUOMI KÄYTTÖOPAS KÄYTTÖOPAS SUOMI KÄYTTÖOPAS Kiitos Canon-tuotteen ostamisesta. EOS 500D on huippulaatuinen digitaalinen SLR (Single-Lens Reflex) -amera, jossa on erittäin tara 15,10 tehollisen megapiselin CMOSenno, DIGIC

Lisätiedot

AALTO-OPAS H-BEND VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Juhana Kankainen j82081 Teemu Lahti l82636 Henrik Tarkkanen l84319

AALTO-OPAS H-BEND VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Juhana Kankainen j82081 Teemu Lahti l82636 Henrik Tarkkanen l84319 VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Juhana Kanainen j8081 Teemu Lahti l8636 Henri Taranen l84319 SATE010 Dynaaminen enttäteoria AALTO-OPAS H-BEND Sivumäärä: 1 Jätetty tarastettavasi:

Lisätiedot

Estimointi Laajennettu Kalman-suodin. AS , Automaation signaalinkäsittelymenetelmät Laskuharjoitus 4

Estimointi Laajennettu Kalman-suodin. AS , Automaation signaalinkäsittelymenetelmät Laskuharjoitus 4 Estimointi Laajennettu Kalman-suodin AS-84.2161, Automaation signaalinäsittelymenetelmät Lasuharjoitus 4 Estimointi Systeemin tilaa estimoidaan, un prosessin tilamalli tunnetaan Tilamalli voi olla lineaarinen

Lisätiedot

± r = 1e 2 2 ±

± r = 1e 2 2 ± SMG- Piirianalyysi II Ehdotuset harjoitusen asi rataisuisi 3 (a) d y ( t) dy ( t) 7 4 y ( t) 4 r + + = y(t) = e rt r r ( ) + 4r + 7 / 4 = KY ± r = 4 4 4 7 / 4 e rt + 4 e rt + 7 / 4 e rt = : e rt r = /

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, evät 05 / ORMS00 Matemaattinen Analyysi 6. harjoitus. Approsimoi toisen asteen polynomilla P(x) = b 0 +b x+b x oheisen tauluon muaisia havaintoja. (Teorian löydät opetusmonisteen sivuilta

Lisätiedot

KÄYTTÖOPAS SUOMI KÄYTTÖOPAS. Pikaopas ja Ohjelmiston aloitusopas ovat tämän käyttöoppaan lopussa.

KÄYTTÖOPAS SUOMI KÄYTTÖOPAS. Pikaopas ja Ohjelmiston aloitusopas ovat tämän käyttöoppaan lopussa. KÄYTTÖOPAS Piaopas ja Ohjelmiston aloitusopas ovat tämän äyttöoppaan lopussa. SUOMI KÄYTTÖOPAS Johdanto EOS 550D on huippulaaduas ja suoritusyyinen digitaalinen järjestelmäamera, jossa on huipputara 18,0

Lisätiedot

Luento 5: Kantataajuusvastaanotin AWGNkanavassa I: Suodatus ja näytteistys a. Kuvaa diskreetin ajan signaaliavaruussymbolit jatkuvaan aikaan

Luento 5: Kantataajuusvastaanotin AWGNkanavassa I: Suodatus ja näytteistys a. Kuvaa diskreetin ajan signaaliavaruussymbolit jatkuvaan aikaan ELEC-C7230 Tietoliikenteen siirtomenetelmät Luento 5: Kantataajuusvastaanotin AWGNkanavassa I: Suodatus ja näytteistys a Olav Tirkkonen Aalto, Tietoliikenne- ja tietoverkkotekniikan laitos a [10.1-10.6.3]

Lisätiedot